Зависимость генерации магнитного поля тепловой конвекцией в плоском горизонтальном слое жидкости от скорости вращения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Чертовских, Роман Александрович

• Чертовских, Роман Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чертовских, Роман Александрович

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

1.1 Свободная тепловая конвекция в слое.

1.1.1 Уравнения конвекции в приближении Буссинеска

1.1.2 Граничные условия.

1.2 Конвекция в присутствии магнитного поля.

1.2.1 Уравнения эволюции магнитного поля.

1.2.2 Гидромагнитная конвекция в плоском слое.

1.2.3 Граничные условия для магнитного поля.

1.2.4 Задачи кинематического и нелинейного динамо

1.3 Численные методы.

1.3.1 Дискретизация по пространству.

1.3.2 Дискретизация по времени.

1.4 Симметрии.

2 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ КОНВЕКТИВНЫЕ АТТРАКТОРЫ И КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ДИНАМО

2.1 Конвекция Рэлея-Бенара при Та =

2.2 Конвекция Рэлея-Бенара во вращающейся жидкости.

2.2.1 Идентификация бифуркаций.

2.2.2 Гидродинамические конвективные аттракторы.

2.3 Кинематическое динамо.

3 НЕЛИНЕЙНАЯ ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

3.1 Идентификация бифуркаций.

3.2 Конвективные МГД аттракторы и их бифуркации.

3.2.1 Аттракторы, возникающие из TW, 0 < Та <

3.2.2 Аттракторы, возникающие из TW, взаимодействие мод

3.2.3 Аттракторы, возникающие из TW, 36 < Та <

3.2.4 Аттракторы, возникающие из R1} 127 < Та <

3.2.5 Аттракторы, возникающие из Ri вблизи Та =

3.2.6 Аттракторы, возникающие из Ri, 506 < Та <

3.2.7 Аттракторы, возникающие из Ri вблизи Та=718.

3.2.8 Аттракторы, возникающие из WR, 721 < Та <

3.2.9 Аттракторы, возникающие из Rd, 685 < Та <

3.2.10 Аттракторы, возникающие из Rd, 1118 < Та <

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Зависимость генерации магнитного поля тепловой конвекцией в плоском горизонтальном слое жидкости от скорости вращения»

Физические явления геомагнитной природы известны человечеству с древних времен: плавающая металлическая игла, использовавшаяся в навигационных целях с XII века, служила первым компасом. Жизнь на Земле защищена магнитным полем от потоков заряженных частиц - солнечного ветра, чье взаимодействие с магнитосферой проявляется в виде полярного сияния. Магнитные поля также обнаружены у внеземных объектов, например, темные пятна на поверхности Солнца (солнечные пятна) - это зоны пониженной температуры вследствие сильной магнитной активности; Юпитер обладает самым сильным магнитным полем среди планет солнечной системы, его поле приблизительно в десять раз сильнее земного; слабые магнитные поля обнаружены также у галактик и кластеров галактик. Все эти наблюдения приводят к вопросу: какова природа магнитных полей космических объектов, таких как звезды, планеты и галактики?

Период свободного затухания магнитного поля Земли порядка 104 лет, однако палеомагнитные наблюдения указывают на то, что поле существует по крайней мере 10° лет [127], поэтому оно не было наведено извне во время формирования планеты, и необходим механизм его самоподдержания. Земной магнетизм не может поддерживаться только постоянной намагниченностью по двум причинам: (1) температура внутри планеты существенно выше точки Кюри (500 — 800°С), при достижении которой ферромагнитные минералы теряют свою намагниченность [16] и (п) геомагнитное поле меняется на масштабах времени от секунд до миллионов лет [20]. Одно из интересных динамических свойств в главном дипольного земного магнитного поля это хаотическая (во времени) смена его полярности - магнитные инверсии они происходят на временных масштабах порядка 105 — 106 лет), периоды смены полярности занимают несколько тысяч лет [127]. Объяснение природы магнитного поля обычно дается в рамках теории динамо.

Магнитные поля звезд и планет часто связывают с движением проводящей расплавленной среды в их недрах [19, 23, 83, 124, 128, 155], которое поддерживается композиционной или тепловой конвекцией. Движение проводящей жидкости (например, во внешнем ядре Земли или в солнечной конвективной зоне) в присутствии магнитного поля согласно закону Фара-дея индуцирует электродвижущую силу, порождающую электрические токи; по закону Био-Савара пространственное распределение электрического тока возбуждает магнитное поле, которое может усиливать начальное. Этот механизм, известный как магнитное динамо, был впервые предложен в [121].

Возможность генерации магнитного поля (вынужденными) течениями расплавленных металлов была подтверждена в лабораторных экспериментах. В эксперименте в Карлсруэ (Германия) жидкий натрий прокачивался по трубам с направляющими пластинами, предназначенными для создания спирального течения (схожего с течением Дж.О. Робертса [146]), что вызывало усиление естественного геомагнитного поля. В рижском эксперименте (Институт физики, Саласпилс, Латвия) [88-90] использовано течение, предложенное в [22]; расплавленный натрий, приводимый в движение пропеллером в соосных трубах, усиливал наложенное магнитное поле. Эксперименты в Кадараше (Франция) [39-41, 130, 131] показали возможность генерации магнитного поля течением жидкости, приводимой в движение вращающимся диском в покоящемся цилиндрическом контейнере, т.е. без какого-либо наложения сложной искусственной крупномасштабной структуры на геометрию течения. В Мэриленде и Мэдисоне (США) проводят динамо-эксперименты в сферическом слое и шаре, соответственно. Группа в Перми изучает генерацию магнитного поля нестационарным (неустановившимся) течением жидкости в торе, возникающим после его резкой остановки [85, 160]. (Упомянутые эксперименты описаны в обзорах [51, 80, 87] и в специальном выпуске журнала "Ма§пе^Ьу^о(1упа1шсз'', том 38, выпуски 1-2, 2002). Также ответим, что особое внимание уделялось исследованию возможности усиления: :гч/Юл?нитного поля течениями жидких металлов в ядерных реакторах как в теоретических, так и в экспериментальных [35] работах (см. также исторические замечания и ссылки в [143]).

Конвективное динамо планет и звезд, в принципе, можно мо,о;е:гшровать непосредственным интегрированием уравнений, описывающих тепловые и электромагнитные процессы: уравнения Навье-Стокса, теплопроводности и магнитной индукции. Однако величины параметров, отвечающие астрофизическим объектам, требуют огромного количества вычислений, которые не могут быть выполнены даже на самых современных параллельных комщЕ»ютерах в разумное время. Более того, эти величины (такие как вязкость, коэффициент тепловой диффузии, электропроводность и др.) известны недостаточно точно. Поэтому необходимо изучать зависимость решений от величин параметров; в частности, должны быть идентифицированы точки биф>з^ркаций.

Магнитное поле в проводящей жидкости описывается уравнение:зч^г магнитной индукции - линейным (по магнитному полю) параболические з^равнени-ем в частных производных. Влиягоге магнитного поля на течение ^жидкости осуществляется посредством силы Лоренца, квадратичной по магнитному полю, и, поэтому, если магнитное поле мало, силой Лоренца в уравнении движения жидкости можно пренебречь. Таким образом, можно рассзч^са/гривать задачу о влиянии заданного течения проводящей жидкости на слабое магнитное поле как задачу о линейной устойчивости - т.н. задачу кинема/тического динамо [17]. В рамках этого подхода, если магнитное поле не затихает, когда время стремится к бесконечности, течение называется кинем:аттическим динамо (при заданных величинах параметров, характеризующих з^и-агнитные свойства жидкости), или течение называют способным генерировапь. магнитное поле в кинематическом (линейном) режиме. Если течение сто,хд.ионарно, то задача кинематического динамо сводится к изучению спектра, оператора магнитной индукции: заданное течение является кинематически:!^ динамо, если доминирующее (с максимальной действительной частью) собственное значение оператора магнитной индукции положительно. В теории кинематического динамо сформулированы условия для« полей скорости течений, гарантирующие отсутствие генерации в линейном режиме - они известны как антидинамо-теоремы (см. [17]). Например, доказано, что плоское течение (течение V называется плоским, если существует постоянный вектор р такой, что V • р = 0) не может быть кинематическим динамо [12]. Если течение является кинематическим динамо, магнитное поле не обязательно генерируется и в последующем нелинейном режиме. После того, как магнитное поле становится достаточно сильным, течение изменяется под действием силы Лоренца. Если измененное течение не может генерировать магнитное поле, то в устоявшемся режиме поле затухает (если только слабость магнитного поля не приводит к дальнейшим изменениям течения, приводящим к восстановлению способности генерировать). Это возможно, например, в конвективной системе, обладающей несколькими аттракторами, часть которых - кинематические динамо. Такое поведение действительно наблюдается в конвекции (см., например, [125]).

Согласно современным научным представлениям, земное и солнечное магнитные поля генерируются течением проводящей жидкости в расплавленном внешнем ядре и нижней конвективной зоне, соответственно. Поэтому естественно проводить вычисления в сферическом слое (для жидкости, заключенной между двумя вложенными сферами). Также часто рассматривается плоский слой (для жидкости, заключенной между двумя плоскостями), который можно рассматривать как сегмент сферического слоя; это вычислительно существенно менее сложная задача.

Некоторые конвективные течения в плоском слое, от очень простых [125] до сложных турбулентных [52, 126], могут генерировать магнитное поле (см. также [107]). При моделировании динамо в жидком ядре Земли [96, 148], было найдено магнитное поле приблизительно верной величины, которое имеет форму диполя и испытывает инверсии, похожие на естественные. Динамо в сферических слоях также изучено в [101, 105, 165] и другими авторами.

В электропроводной жидкости в присутствии магнитного поля тепловая конвекция характеризуется в безразмерной форме числами Рэлея В. (характеризует амплитуду силы Архимеда), Прандтля Р (отношение кинематической вязкости и коэффициента тепловой диффузии), магнитным Прандтля Рт (отношение кинематической вязкости и коэффициента магнитной диффузии), и Тейлора Та (пропорционально скорости вращения). Обычно рассматривают условие прилипания на границах или свободные границы, идеально электропроводные или изолирующие, при постоянной температуре или с постоянным потоком тепла; это определяет граничные условия для скорости, магнитного поля и температуры, соответственно.

Как генерация магнитного поля конвективными течениями зависит от значений параметров системы, полностью не исследовано. Большие числа Рэлея предпочтительны для генерации (критическое Рт монотонно убывает с увеличением Щ в сферических слоях [46]. В [140] найдена аналогичная зависимость для плоского слоя при увеличении Я до некоторого критического значения, но при Я выше этого порогового значения поведение критического Рт перестает быть монотонным. Также исследовано влияние числа Прандтля [141].

Вращение, присущее большинству астрофизических объектов, может также способствовать генерации магнитного поля. Вращение Земли относительно быстрое. Считается, что геодинамо действует во внешнем ядре в магни-тострофическом режиме, в котором величина силы Кориолиса сравнима с величинами сил Лоренца, Архимеда и давления. Вращение - также важный фактор физики солнечной тахоклины [65], где, согласно современным представлениям, генерируется солнечное магнитное поле. Дифференциальное вращение приводит к возникновению т.н. о;—эффекта [17]. Хотя динамо, в основе которых лежит со—эффект, - обычно медленные (считается, что динамо в звездах быстрые), этот механизм ключевой в динамо Солнца [167]. При быстром вращении динамику процессов планетарного динамо определяют пограничные слои и сдвиговые течения [48]. Поэтому вопрос о том, как скорость вращения влияет на генерацию, представляет интерес для астрофизических приложений.

Зависимость магнитного поля от скорости вращения изучали в следующих работах. В [126] обнаружено, что вращение может способствовать генерации в нелинейном режиме - критическое значение магнитного числа Рей-нольдса уменьшается и отношение магнитной к кинетической энергии возрастает, если жидкость вращается. Напротив, в [53] найдено, что вращение не является существенным фактором: сообщается о "сходных инкрементах роста и сходных уровнях насыщения" в конвекции во вращающейся и невра-щающейся жидкости. Результаты только нескольких расчетов представлены в указанных работах, и поэтому какие-либо заключения малоубедительны. Тогда как турбулентные конвективные динамо не требуют вращения, вблизи установления конвекции в плоском слое вращение существенно как для кинематического [125], так и для нелинейного динамо [74] - в обоих режимах, рассмотренных этими авторами, динамо не было при отсутствии вращения. Численные исследования [166] генерации магнитного поля турбулентной тепловой конвекцией с числом Рэлея, зависящим от глубины, (названной авторами "проникающей" ввиду некоторой аналогии с моделями солнечного динамо) показали, что вращение "значительно увеличивает отношение магнитной энергии [мелкомасштабного поля] к кинетической", но существенного влияния вращения на генерацию крупномасштабного поля найдено не было. Крупномасштабное динамо (с зависящим от глубины числом Рэлея), приводимое в действие турбулентными конвективными течениями сжимаемой жидкости, было недавно обнаружено в [111, 112], где вращение играло решающую роль: крупномасштабное поле (генерируемое в присутствии турбулентного су-эффекта) присутствовало в устоявшемся режиме только при достаточно быстром вращении.

Диссертация посвящена исследованию зависимости генерации магнитного поля от числа Тейлора в идеализированной постановке. Жидкость в плоском слое, вращающемся вокруг вертикальной оси и подогреваемом снизу, рассмотрена в приближении Буссинеска - в нем силу Архимеда считают линейно зависящей от температуры и вариациями плотности в уравнении для течения жидкости пренебрегают везде, кроме слагаемого, отвечающего силе Архимеда (это конвекция Рэлея-Бенара [8, 34, 54, 77, 115, 129]). Считаем, что горизонтальные границы слоя идеально электропроводны и поддерживаются при постоянной температуре. Приняты условия периодичности в горизонтальных направлениях с одним и тем же периодом L для всех полей.

Конвекция Рэлея-Бенара в плоском слое в отсутствии вращения, а также при быстром и медленном вращении хорошо изучена. При малой величине R жидкость находится в покое. При увеличении числа Рэлея выше критического значения Rc (это значение не зависит от Р) жидкость приходит в движение. В большом диапазоне величин параметров течения как вращающейся, так и невращающейся жидкости имеют форму стационарных валов (возникающих при монотонной неустойчивости), в отсутствие вращения течение плоское. При Та = 0 устойчивость в пространстве (R, Р, к), где к -горизонтальный волновой вектор, изучена для свободных изотермических горизонтальных границ в [42, 47, 54]. Если жидкость вращается, то также возможна т.н. колебательная неустойчивость; тогда первичные течения в определенном диапазоне величин Р и Та - стоячие и бегущие волны [54, 66, 114]. При достаточно быстром вращении имеет место неустойчивость Кюпперса-Лортца [49, 118], т.е. стационарные валы становятся неустойчивыми к валам с другим направлением, и в фазовом пространстве возникает гетероклинный цикл. В пределе больших Та к задаче применимы асимптотические методы [38, 103, 109, 110, 170, 171]. Обзор современных исследований в конвекции Рэлея-Бенара приведен в сборнике статей [77] и в [34].

Мы фиксируем значения всех параметров за исключением числа Тейлора, и численно изучаем аттракторы системы при Та, возрастающем от нуля, а также идентифицируем бифуркации, ограничивающие ветви этих аттракторов. Мы изучаем усредненную по времени магнитную Еь и кинетическую Ev энергии режимов, из которых состоят ветви, а также их отношение Eb/Ev; последняя величина - мера эффективности динамо, представляющая интерес для астрофизических приложений (хотя мы, очевидно, рассматриваем не характерный для астрофизики диапазон величин параметров). Система также представляет интерес с точки зрения эквивариантной теории динамических систем, поскольку обладает большой группой симметрий.

Какие величины параметров оптимальны для такого исследования? Естественно рассмотреть величины параметров, при которых система не слишком сложна. Поведение динамической системы, которая описывает reo- или астрофизический процесс, возникает в результате большого числа бифуркаций тривиального стационарного состояния, и поэтому чрезмерно сложна, чтобы служить естественной отправной точкой нашего исследования. Приблизиться к сложным режимам, возникающим в reo- и астрофизических системах, можно будет на последующих стадиях исследования, путем продолжения по параметрам, значения которых начинаются с величин, для которых структура аттракторов динамической системы относительно проста. Также, мы не можем начинать со слишком малых значений Рт, потому что для них только турбулентные течения могут генерировать магнитное поле: для установления в конвективной МГД системе турбулентности должно произойти много бифуркаций, и, следовательно, для таких значений параметров система также весьма сложна. В противоположность этому, для относительно больших Рт уже ламинарные конвективные течения простой структуры способны генерировать магнитное поле; более того, если значение Рт не слишком велико, то магнитное поле не настолько сильно, чтобы сила Лоренца дестабилизировала конвективные течения. Такие значения параметров удобны для наших целей.

Бифуркации в системах с симметриями - предмет эквивариантной теории динамических систем [64, 82, 98, 99, 152]. Результаты этой теории используют, например, в биологии [161], неврологии [106], при изучении формирования структур [79, 104], в механике жидкости и газа [62, 71] и теории динамо

63, 78]. В диссертации идентифицированы бифуркации ветвей аттракторов конвективной гидродинамической системы и стационарных МГД состояний: для каждой бифуркации были вычислены собственные значения и соответствующие им собственные подпространства оператора линеаризации системы уравнений, описывающих режимы, и таким образом установлены размерность и действие групп симметрии стационарных состояний на собственном подпространстве, что необходимо для использования эквивариантной теории бифуркаций.

В вычислениях мы приняли те же величины параметров, что и в [140]: Р = 1, Рт = 8, R = 2300 и L = 2\/2 (это период, при котором при отсутствии вращения состояние покоя становится неустойчивым при минимальном R). Число Рэлея близко ко критическому значению для установления конвекции, поэтому конвективные аттракторы имеют простую структуру системы параллельных валов; это упрощает детальное изучение аттракторов и их бифуркаций. Согласно линейной теории устойчивости [54], конвективное движение жидкости подавляется вращением вблизи Та = 2000. Значение Рт достаточно близко ко критическому для установления генерации магнитного поля конвективными аттракторами, поэтому магнитные поля относительно малы, и течения жидкости в МГД аттракторах (когда динамо действует) качественно схожи с гидродинамическими аттракторами. Рассматриваемые величины не отвечают величинам параметров в reo- и астрофизическим системах. Хотя эти величины выбраны из соображений вычислительного и математического удобства, они реализуются в природных объектах: в аккреционных дисках магнитные числа Прандтля Рт порядка единицы [145], Рт > 1 типично для межзвездного и межгалактического газов [45, 154]. Эксперимент с плазмой, предложенный в [157] для изучения астрофизических динамо, характеризуется величинами 3 • Ю-4 < Рт < 5. Также отметим, что обычно галактики - тонкие диски [24], и потому некоторые особенности постановки задачи, рассмотренной в диссертации (бесконечный плоский слой со свободными граничными условиями), могут быть перенесены в модели нелинейных галактических динамо. Тем не менее, в настоящей работе мы не преследовали цель моделировать непосредственно гео- или астрофизические системы. Ниже приведены оценки величин параметров гидромагнитной конвекции во внешнем ядре Земли:

Р и 1.4, R ~ Ю30, Та ~ Ю30 and Рт « 6 х 1(Г7

102],

Р ~ 10~2 - 10-\ R ~ 1025 - 1035, Та ~ Ю30 and Рт ~ 10~6 [36] и в конвективной зоне Солнца:

Р ~ Ю-7, Л ~ Ю20, Та ~ 1026 and Рт ~ 10~3

137, 172].

В диссертации изучена гидромагнитная конвекция в определенном диапазоне величин параметров и обнаружено большое разнообразие МГД режимов (при различных величинах Та). Некоторые из них (обладающие подходящими симметриями) особенно интересны с точки зрения анализа устойчивости к возмущениям с большими пространственными масштабами. В работах, цитированных выше, предполагалась пространственная периодичность, с периодом по горизонтальным направлениям того же порядка, что и высота слоя. Можно также рассматривать длин ном асштабные возмущения, чей пространственный масштаб по горизонтали много больше, чем период возмущаемых мелкомасштабных МГД состояний [11]. Отношение этих масштабов - малый параметр. Для МГД состояний, обладающих центральной симметрией или симметрией относительно вертикальной оси, уравнения для среднего длин-номасштабного возмущения включают линейный дифференциальный оператор второго порядка, описывающий вихревую диффузию (используют также термин "вихревая вязкость"). Если он имеет собственные значения с положительной действительной частью, то говорят об отрицательной вихревой диффузии [25]. Соответственно, МГД система линейно неустойчива к длинномас-штабным возмущениям. Усредненные (homogenised) уравнения были использованы при анализе линейной устойчивости гидродинамических режимов [76] и в задаче кинематической генерации магнитного поля такими течениями

37]. Отрицательная вихревая вязкость численно найдена в некоторых стационарных течениях [92, 168, 169], отрицательная магнитная диффузия - в стационарных и периодических по времени течениях [175, 179, 180]. Уравнения, описывающие эволюцию слабо нелинейного возмущения (усредненного по малым масштабам) МГД режимов, возникающих в конвекции во вращающемся плоском слое, были выведены в [11, 176]. В дальнейшей работе представляется естественным изучить, используя эту теорию, длинномасштабные возмущения стационарные и периодических по времени МГД состояний, описанных в Главе 3, центрально-симметричных или имеющих симметрию относительно вертикальной оси.

Цель работы состояла в численном изучении влияния скорости вращения на генерацию магнитного поля в идеализированной постановке - конвекцией в плоском слое проводящей жидкости (в приближении Буссинеска), вращающейся вокруг вертикальной оси. Для этого было необходимо численно изучить аттракторы конвективной МГД системы при числах Тейлора Та, возрастающих от нуля до максимальной величины, при которой вращение еще не подавляет течение, при фиксированных величинах остальных параметров системы, а также идентифицировать бифуркации, ограничивающие ветви этих аттракторов. Особый интерес представляли МГД режимы, центрально-симметричные или симметричные относительно вертикальной оси, поскольку действие а—эффекта на возмущения с большими пространственными и временньши масштабами в главном порядке несущественно, и возможно появление эффекта отрицательной вихревой вязкости.

Цель работы определила постановку задач:

- вычисление при выбранных величинах, параметров аттракторов гидродинамической системы (в отсутствие магнитного поля) и идентификация бифуркаций стационарных состояний;

- решение задачи кинематического динамо для найденных гидродинамических аттракторов;

- вычисление аттракторов МГД системы и идентификация бифуркаций стационарных состояний при тех же величинах параметров.

Актуальность работы. Согласно современным научным представлениям, магнитные поля многих астрофизических объектов генерируются конвективными течениями в их недрах. Величины параметров, отвечающих условиям внутри Земли и астрофизических объектов, и реологические соотношения известны неточно. Поэтому необходимо изучать режимы поведения решений системы уравнений, описывающей конвекцию и генерацию ею магнитного поля, в определенных областях параметров, а также идентифицировать бифуркации режимов поведения этой физической системы. Численное решение этих уравнений для таких величин параметров невозможно ввиду огромного объема вычислений. Соответственно, актуальны изучение модельных задач магнитогидродинамики в областях с простой геометрией (например, в плоском горизонтальном слое) и анализ бифуркаций режимов конвективных МГД систем, когда величины параметров не сильно отличны от критических, при которых устанавливается конвективное движение и начинается генерация магнитного поля. Особый интерес представляет изучение влияния скорости вращения жидкости на генерацию магнитного поля, поскольку вращение - один из важнейших факторов динамики Земли, и оно присуще большинству астрофизических объектов.

Научная новизна. Хотя в литературе приведены результаты расчетов генерации магнитного поля конвективными течениями для некоторых изолированных величин параметров, детального анализа МГД режимов в полном интервале изменения скорости вращения жидкости, при котором конвективные течения не затухают, до сих пор никем в мире проведено не было.

В диссертации впервые:

- исследованы аттракторы МГД системы в интервале чисел Тейлора от Та = 0 (нет вращения) до Та — 2000 (сила Кориолиса подавляет течение жидкости) при фиксированных величинах остальных параметров;

- показано, что влияние вращения на генерацию магнитного поля тепловой конвекцией немонотонно и не носит простой характер;

- обнаружены два новых типа глобальных бифуркаций в системах с сим-метриями.

Практическая значимость работы. Изучение влияния скорости вращения на генерацию магнитного поля конвективными течениями в плоском горизонтальном слое имеет важное теоретическое значение для понимания процессов генерации магнитного поля конвективными течениями. Вычисленные в настоящей работе аттракторы МГД системы будут использованы для изучения влияния других параметров на систему (методом продолжения по параметру), а стационарные и периодические по времени режимы конвективной МГД системы, симметричные относительно вертикальной оси или центрально-симметричные, - для численного изучения их устойчивости к длин-номасштабным возмущениям.

Создан комплекс параллельных программ (для многопроцессорных систем с общей памятью) численного интегрирования уравнений конвекции в присутствии магнитного поля (написан на языке ФОРТРАН 90). Для преодоления жесткости системы уравнений Фурье-Галеркина для этой системы уравнений в частных производных автором диссертации предложен метод типа Адамеа-Башфорта 4-го порядка точности с автоматическим выбором шага интегрирования. Достигнута высокая эффективность программ благодаря тщательной оптимизации на уровне и математических алгоритмов, и программирования.

Достоверность результатов. Использованный в работе комплекс программ численного интегрирования конвективной МГД системы тщательно оттестирован. Результаты проведенных методических расчетов находятся в согласии как с аналитическими, так и с численными результатами других авторов (см. Приложение к диссертации). Проверено, что характер возникающих в бифуркациях конвективных МГД режимов соответствует тому, сколько и какие собственные значения оператора линеаризации пересекают в точке бифуркации действительную ось. Для проверки достаточности пространственного разрешения (43 х 43 х 22 гармоник Фурье) некоторые нелинейные режимы (в том числе, по крайней мере один аттрактор на каждой ветви) были вычислены с большим разрешением - 127 х 127 х 65 гармоник Фурье; отличия в решениях с указанными разрешениями несущественны (различия в кинетической и магнитной энергиях составляют менее 0.001%).

Личный вклад автора. Автор принимал участие в анализе результатов расчетов совместно с соавторами статей, опубликованных по теме диссертации [5, 6, 59]. Разработка программного обеспечения для этих расчетов, его тестирование и вся вычислительная работа выполнены автором единолично. Использованный метод [30] интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений разработан автором диссертации. Созданное автором диссертации программное обеспечение также использовано для решения задачи о генерации магнитного поля конвективными течениями проводящего раствора в плоском слое [4].

Структура работы. Диссертация объемом 137 стр. состоит из Введения, трех глав, Заключения, Списка литературы (180 работ) и Приложения; в диссертации 8 таблиц и 29 рисунков. В Главе 1 обсуждена постановка задачи и использованные численные методы. Глава 2 посвящена изучению аттракторов конвективной системы в отсутствие магнитного поля и их бифуркаций; для этих аттракторов решена задача кинематического динамо. В Главе 3 рассмотрены режимы нелинейной генерации магнитного поля и идентифицированы их бифуркации. В Заключении кратко суммированы результаты проделанной работы и указаны возможные направления ее продолжения. В Приложении описано тестирование использованных в работе программ.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Чертовских, Роман Александрович

Результаты работы показывают, что влияние вращения на генерацию магнитного поля тепловой конвекцией нельзя описать в виде простых законов. Его природу можно изучить только путем детального исследования генезиса аттракторов конвективной МГД системы и их бифуркаций. Даже вблизи критического значения числа Тейлора установления конвективного течения бифуркационная диаграмма весьма сложная. В нескольких интервалах изменения параметра сосуществуют 2 или 3 конвективных МГД аттрактора (иногда один из них - негенерирующий, т.е. гидродинамический).

Общий характер влияния скорости вращения на генерацию магнитного поля конвективными течениями соответствует известным представлениям: увеличение скорости вращения от нуля до некоторого критического значения способствует генерации магнитного поля в линейном и нелинейном режимах, но при дальнейшем увеличении скорости вращения энергия генерируемого магнитного поля Еь постепенно уменьшается (максимум магнитной энергии в наших расчетах Еь = 32.30 достигается для режима Б?'1 при Та = 216) вплоть до прекращения генерации; при дальнейшем увеличении скорости вращения, сила Кориолиса подавляет движение жидкости. Однако наличие многих ветвей режимов и окон нелинейного динамо (например, между стационарными МГД состояниями и Б^0) накладывает на эту картину сложную "мелкомасштабную структуру", на некоторых интервалах Та даже меняя указанную тенденцию на противоположную. Так, например, увеличение скорости вращения от нуля подавляет генерацию магнитного поля в периодическом режиме вместо ее усиления.

Предположение о том, что увеличение числа Тейлора сначала способствует, потом препятствует и, наконец, прекращает генерацию, математически не доказано, но, по-видимому, выполнено при всех величинах других параметров (если число Рэлея достаточно велико). В конвективной МГД системе может происходить субкритическая потеря устойчивости тривиального стационарного состояния (жидкость в покое), что может привести к расширению (по сравнению с интервалом существования конвективных режимов в отсутствие магнитного поля) интервала чисел Тейлора, в котором конвективные МГД состояния продолжают существовать при заданных других параметрах системы. Однако, по-видимому, этот интервал конечен даже при Рт Р, поскольку, с физической точки зрения, генерация невозможна без переноса магнитного поля течением жидкости, а не наоборот. Этот вопрос требует дальнейшего изучения.

Численно идентифицированы несколько интересных бифуркаций, из них две - глобальные бифуркации в системе с симметрией - обнаружены в этой работе впервые в мире. Они аналогичны седловой бифуркации на инвариантной окружности БШС. В этих брхфуркациях (при Та та 506.07 и Та та 718.16) периодическая орбита ограничена не гомоклинным (как в БШС), а гетеро-клинным циклом. Из более известных, но достаточно редко встречающихся в физических динамических системах, найдены неполная последовательность Фейгенбаума бифуркаций удвоения периода тора Р™ (происходит между Та = 57 и 80), и последовательность перемежающихся хаотических и квазипериодических режимов Csw (при 78 < Та < 126), в которой наличие квазипериодических режимов может быть связано с захватом частоты (frequency locking).

Другой необычный набор бифуркаций обнаружен в окрестности бифуркации коразмерности 2 при 216 < Та < 224. Численное исследование собственных значений оператора линеаризации уравнений МГД конвекции в окрестности стационарного состояния S^1 (согласно нашим результатам, эта бифуркация происходит именно в этом семействе) показало, что эта бифуркация не типа Такенса-Богданова (но она может быть возмущением бифуркации Такенса-Богданова).

Обнаружены ветви стационарных конвективных МГД состояний, имеющих симметрии rs2 (центрально-симметричные) или rs2 (симметрия относительно вертикальной оси). Некоторые периодические по времени режимы (например, из семейства FTW при Та — 57, и из FTW при Та = 123) не симметричны в каждый момент времени, но обладают соответствующей симметрией со сдвигом по времени на половину временного периода. Наличие таких сим-метрий - важное свойство аттракторов, поскольку в конвективной МГД системе с такой симметрией отсутствует существенный глобальный см—эффект. (При наличии существенного о:—эффекта режим неустойчив к длинномас-штабным возмущениям, а при его отсутствии неустойчивость, если она есть, развивается на временных масштабах большего порядка.) Поведение длинно-масштабных возмущений, усредненных по малым масштабам, можно тогда описать системой нелинейных уравнений в частных производных второго и третьего порядков [176]; на длинномасштабные возмущения действуют такие физические эффекты, как комбинированная вихревая диффузия и вихревая адвекция. Автор диссертации планирует провести численное исследование этих эффектов.

Другое естественное продолжение проведенных исследований - изучение зависимости найденных ветвей аттракторов от других параметров. Оно даст более ясное представление о математических и физических свойствах конвективного динамо (т.е. о геометрии ветвей аттракторов в пространстве параметров задачи). Это направление исследований вычислительно затратно, но, по мнению автора, такой подход предпочтительнее для понимания конвективных МГД систем, чем анализ отдельных расчетов с экстремальными величинами параметров, практикуемый многими авторами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации изучена генерация магнитного поля конвективными течениями в плоском слое при различных скоростях вращения. В определенном диапазоне значений числа Тейлора Та = 0 - 2000 (при Ь = 2уД, Я = 2300, Р = 1) вычислены режимы конвекции (в отсутствие магнитного поля), идентифицированы их бифуркации и для этих гидродинамических конвективных аттракторов решена задача кинематического динамо (при Рт = 8). При тех же величинах параметров решена задача нелинейного динамо - найдены аттракторы конвективной МГД системы и идентифицированы бифуркации стационарных состояний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чертовских, Роман Александрович, 2010 год

1. Андронов A.A., Леонтович Е.А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметров // Ученые записки Горьковского Ун-та. — 1937. Т. 6. - С. 3-24.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1967. — 488 с.

3. Герценштейн С.Я., Желиговский В.А., Нечаев В.А., Подвигина О.М., Чертовских P.A. Гидромагнитное динамо и устойчивость трехмерных конвективных течений в горизонтальном слое раствора // ДАН. — 2010. Т. 433. - С. 341-345.

4. Герценштейн С.Я., Желиговский В.А., Подвигина О.М., Чертовских P.A. О генерации магнитного поля трехмерными конвективными течениями проводящей жидкости во вращающемся горизонтальном слое // ДАН. 2007. - Т. 417. - С. 613-615.

5. Герценштейн С.Я., Чертовских P.A. Генерация магнитного поля конвективными течениями во вращающемся горизонтальном слое // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2008. — Т. 43. — С. 92-101.

6. Гершуни Г.З., Е.М. Жуховицкий. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1972. — 392 с.

7. Гетлинг A.B. Конвекция Рэлея-Бенара: структуры и динамика. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. 248 с.

8. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. — Ижевск: РХД, 2002. — 560 с.

9. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге—Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1988. — 334 с.

10. Желиговский В.А. Математическая теория устойчивости магнитогидро-динамических режимов к длинномасштабным возмущениям. — М.: Эдиториал УРСС, 2010. 352 с.

11. Зельдович Я.Б. Магнитное поле при двумерном движении проводящей турбулентной жидкости // ЖЭТФ. 1956. - Т. 31. - С. 154-156.

12. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Физматгиз, 1961. — 203 с.

13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T.VIII. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982. — 620 с.

14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.VI. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988. 736 с.

15. Любимова Е.А. Термика земли и луны. — М.: Наука, 1968.— 279 с.

16. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. — М.: Мир, 1980.- 309 с.

17. Никитин Н.В. Спектрально-конечно-разностный метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах // Журн. вычисл. матем. матем. физ. — 1994. — Т. 34. — С. 909-925.

18. Паркер E.H. Космические магнитные поля: В 2 т. — М.: Мир, 1982.

19. Паркинсон У. Введение в геомагнетизм. — М.: Мир, 1986. — 527 с.

20. Подвигина О.М. Пространственно-периодические стационарные и нестационарные решения трехмерного уравнения Навье-Стокса с ABC силой.- Изд-во МГУ, 1999.— С. 142.

21. Пономаренко Ю.Б. К теории гидродинамического динамо // Журн. при-кл. мех. техн. физ. — 1973. — Т. 6. — С. 47-51.

22. Прист Э.Р. Солнечная магнитогидродинамика. — М.: Мир, 1985. — 592 с.

23. Рузмайкин A.A. Соколов Д.Д. Шукуров A.M. Магнитные поля галактик.- М.: Наука, 1988.- 200 с.

24. Старр В.П. Физика явлений с отрицательной вязкостью.— М.: Мир, 1971.- 259 с.

25. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999.- 685 с.

26. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512 с.

27. Чертовских P.A. Конвективное динамо во вращающемся слое // Материалы международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность", 1-7 марта 2010 г., Звенигород. — М.: Изд-во МГУ. — С. 178.

28. Чертовских P.A. Генерация магнитного поля конвективным движением проводящей жидкости в слое // Труды конференции молодых ученых Института механики МГУ, Москва, 12-14 октября 2004 г. / Ред. Г.Г. Черный, В А. Самсонов. М.: Изд-во МГУ, 2004.- С. 283-291.

29. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1978. —■ 462 с.

30. Ahlers G., Grossmann S., Lohse D. Heat transfer and large scale dynamics in turbulent Rayleigh-Benard convection // Rev. Modern Phys. — 2009. — Vol. 81.-P. 503-537.

31. Alemany A., Marty Ph., Plunian F., Soto J. Experimental investigations of dynamo action in the secondary pumps of the fast breeder reactor super-phenix //J. Fluid Mech. 2000. - Vol. 403. - P. 263-276.

32. Aurnou J.M. Planetary core dynamics and convective heat transfer scaling // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2007. - Vol. 101. — P. 327-345.

33. Baptista M., Gama S.M.A., Zheligovsky V.A. Eddy diffusivity in convective hydromagnetic systems // Eur. Phys. J. B. 2007. — Vol. 60. — P. 337-351.

34. Bassom A.P., Zhang K. Strongly nonlinear convection cells in a rapidly rotating fluid layer // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. — 1994. — Vol. 76. — P. 223-238.

35. Berhanu M., Gallet B., Mordant N., Fauve S. Reduction of velocity fluctuations in a turbulent flow of gallium by an external magnetic field // Phys. Rev. E. 2008. - Vol. 78. - 015302.

36. Bolton E.W., Busse F.H. Stability of convection rolls in a layer with stressfree boundaries // J. Fluid Mech. 1985. - Vol. 150.- P. 487-498.

37. Boussinesq J. Théorie Analytique de la Chaleur, Volume 2. — Paris: Gauthier-Villars, 1903. — 665 p.

38. Boyd J.P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. — 2nd edition. — N.Y.: Dover Publ., 2001.- 688 p.

39. Brandenburg A., Subramanian K. Astrophysical magnetic fields and nonlinear dynamo theory // Phys. Rep. 2005. - Vol. 417. — P. 1-209.

40. Busse F.H. Homogeneous dynamos in planetary cores and in the laboratory // Ann. Rev. Fluid Mech. 2000. - Vol. 32. - P. 383-408.

41. Busse F.H., Bolton E.W. Instabilities of convection rolls with stress-free boundaries near threshold // J. Fluid Mech.— 1984.— Vol. 146.— P. 115125.

42. Busse F., Dormy E., Simitev R., Soward A. Dynamics of rotating fluids // Mathematical Aspects of Natural Dynamos / Ed. E. Dormy, A.M. Soward. — Boca Raton: CRC Press, 2007.- P. 119-198.

43. Busse F.H., Heikes K.E. Convection in a rotating layer: a simple case of turbulence // Science. 1980. - Vol. 208. - P. 173-175.

44. Canuto C., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang T.A. Spectral Methods: Fundamentals in Single Domains. — Berlin: Springer-Verlag, 2006. — 581 p.

45. Cardin Ph., Brito D. Survey on experimental results // Mathematical Aspects of Natural Dynamos / Ed. E. Dormy, A.M. Soward. — Boca Raton: CRC Press, 2007. P. 361-407.

46. Cattaneo F., Emonet T., Weiss N. On the interaction between convection and magnetic field // Astrophys. J. — 2003. — Vol. 588. — P. 1183-1198.

47. Cattaneo F., Hughes D.W. Dynamo action in a rotating convective layer // J. Fluid Mech. 2006. - Vol. 553. - P. 401-418.

48. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability.— N.Y.: Dover Publ., 1961. 704 p.

49. Chertovskih R.A., Gama S., Podvigina O.M., Zheligovsky V.A. Convective dynamo in a rotating plane layer // Proceedings of the "Portugal UT

50. Austin CFD 2008, 1st Workshop on Computational Engineering: Fluid Dynamics", Instituto de Engenharia Mécanica at Instituto Superior Técnico, Lisbon, Portugal, July 10 11, 2008.— Lisbon: Instituto Superior Técnico, 2008. - P. 93-94.

51. Chertovskih R., Gama S., Podvigina O., Zheligovsky V. Dependence of magnetic field generation by thermal convection on the rotation rate: a case study // Physica D.- 2010,— Vol. 239.- P. 1188-1209. http: //arxiv.org/abs/0908.1891.

52. Childress S. oi-effect in flux ropes and sheets // Phys. Earth Planet. Inter. — 1979. Vol. 20. - P. 172-180.

53. Childress S., Soward A.M. On the rapid generation of magnetic field // Chaos in Astrophysics. Proceedings of the Advanced Research Workshop, Palm Coast, FL, April 9-11,1984 / Ed. J.R. Buchler. Dordrecht: D. Reidel Publ. Co., 1985.- P. 233-244.

54. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor Problem. — Berlin: Springer-Verlag, 1994. 233 p.

55. Chossat P., Krupa M., Melbourne I., Scheel A. Magnetic dynamos in rotating convection a dynamical systems approach // Dynam. Cont. Discr. Impuls. Syst. - 1999. - Vol. 5. - P. 327-340.

56. Chossat P., Lauterbach R. Methods in Equivariant Bifurcations and Dynamical Systems. — Singapore: World Scientific Publ., 2000. — 404 p.

57. Christensen-Dalsgaard J., Thompson M.J. Observational results and issues concerning the tachocline // The Solar Tachocline / Ed. D.W. Hughes, R. Rosner, N.O. Weiss. — Cambridge Univ. Press, 2007. — P. 53-85.

58. Clune T., Knobloch E. Pattern selection in rotating convection with experimental boundary conditions // Phys. Rev. E. — 1993. — Vol. 47. — P. 25362550.

59. Colinet P., Legros J.C., Velarde M.G. Nonlinear Dynamics of Surface-Tension-Driven Instabilities. — Weinheim: Wiley-VCH, 2001. — 512 p.

60. Coullet P. Stability of the scenarios towards chaos // Chaos and Statistical Methods / Ed. Y. Kuramoto.— Berlin: Springer-Verlag, 1984.— P. 62-71.

61. Cox S.M., Matthews P.C. A pseudospectral code for convection with an analytical/numerical implementation of horizontal boundary conditions // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1997. - Vol. 25. - P. 151-166.

62. Cox S. M., Matthews P. C. Exponential time differencing for stiff systems // J. Comput. Phys. 2002. - Vol. 176. - P. 430-455.

63. Crawford J.D., Knobloch E. Symmetry and symmetry-breaking bifurcations in fluid dynamics // Ann. Rev. Fluid Mech. — 1991. — Vol. 23. — P. 341-387.

64. Criminale W.O., Jackson T.L., Joslin R.D. Theory and Computation of Hy-drodynamic stability. — Cambridge Univ. Press, 2003. — 441 p.

65. Davidson P. A. An Introduction to Magnetohydrodynamics. — Cambridge Univ. Press, 2001.-431 p.

66. Demircan A., Seehafer N. Dynamo in asymmetric square convection // Geo-phys. Astrophys. Fluid Dynam. — 2002. — Vol. 96. — P. 461-479.

67. Drazin P. G., Reid W.H. Hydrodynamic Stability.— 2nd edition. — Cambridge Univ. Press, 2004. — 605 p.

68. Dubrulle B., Frisch U. Eddy viscosity of parity-invariant flow // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. - P. 5355-5364.

69. Dynamics of Spatio-temporal Cellular Structures: Henri Benard Centenary Review / Ed. I. Mutabazi, J. E. Wesfreid, E. Guyon. — Basel: Birkhauser, 2006. 249 p.

70. Dynamo and Dynamics: a Mathematical Challenge / Ed. P. Chossat, D. Am-bruster, I. Oprea. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2001.— 416 p.

71. Fauve S. Pattern forming instabilities // Hydrodynamics and Nonlinear Instabilities / Ed. C. Godreche, P. Manneville. — Cambridge Univ. Press, 1998.- P. 387-491.

72. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. 1978.- Vol. 19.- P. 25-52.

73. Field M.J. Dynamics and Symmetry. — L.: Imperial College Press, 2007.— 478 p.

74. Fluid Dynamics and Dynamos in Astrophysics and Geophysics: reviews emerging from the Durham Symposium on Astrophysical Fluid Mechanics,

75. July 29 to August 8, 2002 / Ed. A.M. Soward, C.A. Jones, D.W. Hughes, N.O. Weiss. — Boca Raton: CRG Press, 2005. 464 p.

76. Fornberg B. A Practical Guide to Pseudospectral Methods. — Cambridge Univ. Press, 1998. — 242 p.

77. Frick P., Noskov V., Denisov S., Khripchenko S., Sokoloff D., Stepanov R., Sukhanovsky A. Non-stationary screw flow in a toroidal channel: way to a laboratory dynamo experiment // Magnetohydrodynamics. — 2002. — Vol. 38. P. 143-162.

78. Frisch U. Turbulence: the Legacy of A.N. Kolmogorov. — Cambridge Univ. Press, 1995. — 296 p.

79. Gailitis A., Lielausis O., Gerbeth G., Stefani F. Dynamo experiments // Magnetohydrodynamics: Historical Evolution and Trends / Ed. S. Molokov, R. Moreau, H.K. Moffatt. — Berlin: Springer-Verlag, 2007,— Vol. 80,— P. 37-54.

80. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Dement'ev S., Cifersons A., Gerbeth G., Gundrum T., Stefani F., Christen M., Will G. Magnetic field saturation in the Riga dynamo experiment // Phys. Rev. Lett. — 2001.— Vol. 86.— P. 3024-3027.

81. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. On the results of the Riga dynamo experiments // Magnetohydrodynamics. — 2001. — Vol. 37. P. 71-79.

82. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. Laboratory experiments on hydromagnetic dynamos // Rev. Modern Phys.— 2002.— Vol. 74. P. 973-990.

83. Galloway D.J., Zheligovsky V.A. On a class of non-axisymmetric flux rope solutions to the electromagnetic induction equation // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1994. - Vol. 76. - P. 253-264.

84. Gama S., Vergassola M., Frisch U. Negative eddy viscosity in isotropical-ly forced two-dimensional flow: linear and nonlinear dynamics // J. Fluid Mech. 1994. - Vol. 260. - P. 95-126.

85. Ghil M., Childress S. Topics in Geophysical Fluid Dynamics: Atmospheric Dynamics, Dynamo Theory, and Climate Dynamics. — Berlin: SpringerVerlag, 1987. 485 p.

86. Giglio M., Musazzi S., Perini U. Transition to chaotic behavior via a reproducible sequence of period-doubling bifurcations // Phys. Rev. Lett. — 1981. Vol. 47. - P. 243-246.

87. Gilbert A.D. Dynamo theory // Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, Volume 2 / Ed. S. Friedlander, D. Serre. — Amsterdam: Elsevier, 2003. — P. 355-441.

88. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. A three-dimensional convective dynamo solution with rotating and finitely conducting inner core and mantle // Phys. Earth Planet. Inter. 1995. - Vol. 91. - P. 63-75.

89. Goldstein H.F., Knobloch E., Silber M. Planform selection in rotating convection // Phys. Fluids. 1990. - Vol. 2. - P. 625-627.

90. Golubitsky M., Stewart I. The Symmetry Perspective: from Equilibrium to Chaos in Phase Space and Physical Space. — Basel: Birkhauser, 2003. — 325 p.

91. Golubitsky M., Stewart I., Schaeffer D.G. Singularities and Groups in bifurcation theory, Volume 2. — Berlin: Springer-Verlag, 1988. — 533 p.

92. Gottlieb D., Orszag S.A. Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications. — Philadelphia: SIAM, 1977.— 170 p.

93. Grote E., Busse F.H. Dynamics of convection and dynamos in rotating spherical fluid shells // Fluid Dynamics Res. — 2001. Vol. 28. — P. 349-368.

94. Gubbins D. Geodynamo, dimensional analysis and timescales // Encyclopedia of Geomagnetism and Paleomagnetism / Ed. D. Gubbins, E. HerreroBervera. — Berlin: Springer-Verlag, 2007. — P. 297-300.

95. Haiford A.R., Proctor M.R.E. An oscillatory secondary bifurcation for mag-netoconvection and rotating convection at small aspect ratio //J. Fluid Mech. 2002. - Vol. 467. - P. 241-257.

96. Hoyle R. Pattern Formation: an Introduction to Methods. — Cambridge Univ. Press, 2006. 422 p.

97. Ishinara N., Kida S. Dynamo mechanism in a rotating spherical shell: competition between magnetic field and convection vortices //J. Fluid Mech. — 2002. Vol. 465. - P. 1-32.

98. Izhikevich E.M. Dynamical Systems in Neuroscience: the Geometry of Excitability and Bursting. — Cambridge: MIT Press, 2006. — 441 p.

99. Jones C A. Dynamo theory // Dynamos: Lecture Notes of the Les Houches Summer School 2007 / Ed. Ph. Cardin, L.F. Cugliandolo. — Amsterdam: Elsevier, 2008, P. 45-135.

100. Jones C., Roberts P. Convection-driven dynamos in a rotating plane layer // J. Fluid Mech. 2000. - Vol. 404. - P. 311-343.

101. Julien K., Knobloch E. Fully nonlinear oscillatory convection in a rotating layer // Phys. Fluids. 1997. - Vol. 9,- P. 1906-1913.

102. Julien K., Knobloch E. Fully nonlinear three-dimensional convection in a rapidly rotating layer // Phys. Fluids. 1999. - Vol. 11. — P. 1469-1483.

103. Käpylä P.J., Korpi M.J., Brandenburg A. Alpha effect and turbulent diffusion from convection // Astr. Astrophys. — 2009. — Vol. 500. — P. 633-646.

104. Kapyla P.J., Korpi M.J., Brandenburg A. Large-scale dyn ^i.min rigidly rotating turbulent convection // Astrophys. J. — 2009. — 697. — P. 11531163.

105. Kloosterziel R. C., Carnevale G. F. Closed-form linear sta,"tz»il5-±ry conditions for rotating Rayleigh-Benard convection with rigid stress-fr^st-^ Tapper and lower boundaries // J. Fluid Mech. 2003. — Vol. 480.- P. -42.

106. Knobloch E., Silber M. Travelling wave convection in a, zcr~<z>-ba,ting plane layer // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. — 1990. — Vol, — P. 195-209.

107. Koschmieder E.L. Benard Cells and Taylor Vortices.- d^ambridge Univ.1. Press, 1993.- 337 p.

108. Krupa M. Bifurcations of relative equilibria // SIA1VE Math. Anal.— 1990. Vol. 21. - P. 1453-1486.

109. Kuchment P. Floquet Theory for Partial Differential E3~<igj-u.a,-tions. — Basel:. Birkhauser, 1993. — 350 p.

110. Kiippers G., Lortz D. Transition from laminar convect±.-«d>:izi to thermal turbulence in a rotating fluid layer //J. Fluid Mech.— IL969.— Vol. 35.— P. 609-620.

111. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theontr-^y. — 3rd edition. — Berlin: Springer-Verlag, 2004. — 631 p.

112. Lappa M. Thermal Convection: Patterns, Evolution and £E>inability. — Weinheim: Wiley-VCH, 2009. P. 690.

113. Larmor J. How could a rotating body such as the Sun become a magnet? // Rep. British Assoc. Advancement Science. — 1919. — P. 9—160.

114. Libchaber A., Fauve S., Laroche C. Two-parameter stxi^zir^ of the routes to chaos // Physica D. 1983. - Vol. 7. — P. 73-84.

115. Lorrain P., Lorrain F., Houle S. Magneto-Fluid Dynamics: Fundamentals and Case Studies of Natural Phenomena. — Berlin: Springer-Verlag, 2006. — 319 p.

116. Mathematical aspects of natural dynamos / Ed. E. Dormy, A.M. Soward. — Boca Raton: CRC Press, 2007. — 504 p.

117. Matthews P. C. Dynamo action in simple convective flows // Roy. Soc. Lond. Proc., Series A. 1999. — Vol. 455. — P. 1829-1840.

118. Meneguzzi M., Pouquet A. Turbulent dynamos driven by convection //J. Fluid Mech. 1989. — Vol. 205. — P. 297-318.

119. Merrill R.T., McElhinny M.W., McFadden Ph. The Magnetic Field of the Earth: Paleomagnetism, the Core, and the Deep Mantle. — 2nd edition. — L.: Academic Press, 1998.— 531 p.

120. Mestel L. Stellar Magnetism. — Oxford Univ. Press, 2003. — 658 p.

121. Meyer-Spasche R. Pattern Formation in Viscous Flows: the Taylor-Couette Problem and Rayleigh-Bénard Convection. — Basel: Birkhâuser, 1999. — 209 p.

122. Mukutmoni D., Yang K.T. Rayleigh-Benard convection in a small aspect ratio enclosure. Part II: Bifurcation to chaos //J. Heat Transfer. — 1993. — Vol. 115. P. 367-376.

123. Nikitin N. Third-order-accurate semi-implicit Runge-Kutta scheme for incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Num. Meth. Fluids. — 2006. Vol. 51. - P. 221-233.

124. Nore C., Tuckerman L., Daube O., Xin S. The 1:2 mode interaction in exactly counter-rotating von Kärmän swirling flow //J. Fluid Mech. — 2003. — Vol. 477.- P. 51-88.

125. Oberbeck A. Uber die wärmeleitung der flüssigkeiten bei berücksichtigung der Strömungen infolge von temperaturdifferenzen // Annalen der Physik und Chemie. 1879. - Vol. 7. - P. 271-292.

126. Orszag S.A. On the elimination of aliasing in finite difference schemes by filtering high-wavenumber components //J. Atmosph. Sei.— 1971.— Vol. 28.-P. 1074.

127. Ossendrijver M. The solar dynamo // Astr. Astrophys. Rev.— 2003.— Vol. 11.-P. 287-367.

128. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. — Cambridge Univ. Press, 2002. — 478 p.

129. Petrelis F., Fauve S., Dormy E., Valet J.-P. Simple mechanism for reversals of Earth's magnetic field // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Vol. 102. 144503.

130. Podvigina O.M. Magnetic field generation by convective flows in a plane layer // Eur. Phys. J. B. 2006. - Vol. 50. - P. 639-652.

131. Podvigina O.M. Magnetic field generation by convective flows in a plane layer: the dependence on the Prandtl numbers // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2008. - Vol. 102. - P. 409-433.

132. Podvigina O.M., Ashwin P. Heteroclinic cycles in the 1 : \/2 mode interaction with applications to Boussinesq convection // Physica D. — 2007. — Vol. 234. P. 23-48.

133. Radier K.-H. Mean-field dynamo theory: Early ideas and today's problems // Magnetohydrodynamics: Historical Evolution and Trends / Ed. S. Molokov, R. Moreau, H.K. Moffatt. Berlin: Springer-Ver lag, 2007. - P. 55-72.

134. Roberts G.O. Dynamo action of fluid motions with two-dimensional periodicity // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond., Series A.— 1972.— Vol. 271.— P. 411-454.

135. Roberts P.H. An Introduction to Magnetohydrodynamics.— Longmans, 1967.- 264 p.

136. Roberts P.H., Glatzmaier G A. Geodynamo theory and simulations // Rev. Modern Phys. 2000. - Vol. 72. - P. 1081-1123.

137. Roberts P.H., Zhang K. Thermal generation of Alfvén waves in oscillatory magnetoconvection // J. Fluid Mech. — 2000. Vol. 420.- P. 201-223.

138. Rotvig J., Jones C. Rotating convection-driven dynamos at low Ekman number // Phys. Rev. E.- 2002. Vol. 66.- 056308.

139. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math. Pliys. — 1971. Vol. 20. - P. 167-192.

140. Sattinger D.H. Branching in The Presence of Symmetry.— Philadelphia: SIAM, 1983. 73 p.

141. Scheel S., Seehafer N. Bifurcation to oscillations in three-dimensional Rayleigh-Bénard convection // Phys. Rev. E. — 1997. — Vol. 56. — P. 55115516.

142. Shukurov A., Sokoloff D. Astrophysical dynamos // Dynamos: Lecture Notes of the Les Houches Summer School 2007 / Ed. Ph. Cardin, L.F. Cugliando-lo. Amsterdam: Elsevier, 2008, P. 251-299.

143. The Solar Tachocline / Ed. D.W. Hughes, R. Rosner, N.O. Weiss. Cambridge Univ. Press, 2007. — 382 p.

144. Sparrow C. The Lorentz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange at-tractors. — Berlin: Springer-Verlag, 1982. — 269 p.

145. Spence E.J., Reuter K., Forest C.B. A spherical plasma dynamo experiment // Astrophys. J. 2009. — Vol. 700. - P. 470-478.

146. Spiegel E.A., Veronis G. On the Boussinesq approximation for a compressible fluid // Astrophys. J. 1960. - Vol. 131. - P. 442-447.

147. St Pierre M.G. The strong field branch of the Childress-Soward dynamo // NATO Advanced Study Institute: Solar and Planetary Dynamos / Ed. M. R. E. Proctor, P. C. Matthews, A. M. Rucklidge.— Cambridge Univ. Press, 1993.- P. 295-302.

148. Stepanov R., Volk R., Denisov S., Frick P., Noskov V., Pinton J.-F. Induction, helicity, and alpha effect in a toroidal screw flow of liquid gallium // Phys. Rev. E. 2006. - Vol. 73. - 046310.

149. Stewart I., Elmhirst T., Cohen J. Symmetry-breaking as an origin of species // Bifurcation, Symmetry and Patterns / Ed. J. Buescu, S. Castro, A.P. Dias, I. Labouriau. — Basel: Birkhauser, 2003. — P. 3-54.

150. Stone E., Armbruster D. Noise and 0(1) amplitude effects on heteroclinic cycles // Chaos. 1999. - Vol. 9. - P. 499-506.

151. Stone E., Holmes Ph. Random perturbations of heteroclinic attractors // SIAM J. Appl. Mathematics. 1990. - Vol. 50. - P. 726-743.

152. Strogatz S.H. Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. — Reading: Addison-Wesley, 1994. — 498 p.

153. Takahashi F., Matsushima M. Dynamo action in rotating spherical shell at high Rayleigh numbers // Phys. Fluids. — 2005. — Vol. 17. — 076601.

154. Tobias S.M., Cattaneo F., Brummell N.H. Convective dynamos with penetration, rotation and shear // Astrophys. J. — 2008. — Vol. 685. — P. 596-605.

155. Tobias S.M., Weiss N.O. The solar dynamo and the tachocline // The Solar Tachocline / Ed. D.W. Hughes, R. Rosner, N.O. Weiss. — Cambridge Univ. Press, 2007.- P. 319-350.

156. Vergassola M., Gama S., Frisch U. Proving the existence of negative isotropic eddy-viscosity // Proceedings of NATO-ASI: Theory of Solar and Planetary Dynamos. — Cambridge Univ. Press, 1993, P. 321-327.

157. Wirth A., Gama S., Frisch U. Eddy viscosity of three-dimensional flow //J. Fluid Mech. 1995. - Vol. 288. - P. 249-264.

158. Zhang K., Roberts P.H. Thermal inertial waves in a rotating fluid layer: exact and asymptotic solutions // Phys. Fluids. — 1997. — Vol. 9. — P. 1980-1987.

159. Zhang K., Roberts P.H. A note on stabilising and destabilising effects of Ekman boundary layers // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. — 1998. — Vol. 88. R 215-223.

160. Zhang K., Schubert G. Comparison of terrestrial and solar dynamos // Rep. Progr. Phys. 2006. - Vol. 69. - P. 1581-1605.

161. Zheligovsky V. Numerical solution of the kinematic dynamo problem for Beltrami flows in a sphere //J. Sci. Computing. — 1993. — Vol. 8. — P. 4168.

162. Zheligovsky V.A. A kinematic magnetic dynamo sustained by a Beltrami flow in a sphere // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. — 1993. — Vol. 73. — P. 217-254.

163. Zheligovsky V.A. Convective plan-form two-scale dynamos in a plane layer // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. — 2005. — Vol. 99. — P. 151-175.

164. Zheligovsky V.A. Amplitude equations for weakly nonlinear two-scale perturbations of free hydromagnetic convective regimes in a rotating layer // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2009. — Vol. 103. — P. 397-420.

165. Zheligovsky V. Determination of a flow generating a neutral magnetic mode // Phys. Rev. E. 2009. - Vol. 80. - 036310.

166. Zheligovsky V.A. Generation of a symmetric magnetic field by thermal convection in a plane rotating layer // Magnetohydrodynamics. — 2010. — Vol. 46.- P. 3-22.

167. Zheligovsky V.A., Podvigina O.M. Generation of multiscale magnetic field by parity-invariant time-periodic flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. — 2003. Vol. 97. - P. 225-248.

168. Zheligovsky V.A., Podvigina O.M., Frisch U. Dynamo effect in parity-invariant flow with large and moderate separation of scales // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2001. - Vol. 95. - P. 227-268.