Движения жидкости вблизи пересечения бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Хоперский, Андрей Геннадьевич

• Хоперский, Андрей Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хоперский, Андрей Геннадьевич

Введение.

Глава 1. Нейтральные кривые.

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Нелинейная система для возмущений.

§ 1.3. Расчет нейтральных кривых.

Глава 2. Амплитудная система.

§ 2.1. Амплитудные уравнения.

§ 2.2. Моторная подсистема.

§ 2.3. Равновесия моторной подсистемы

§ 2.4. Расчет коэффициентов амплитудной системы.

Глава 3. Переходы в моторной подсистеме.

§ 3.1. Равновесия и их бифуркации.

3.1.1. Случай подогрева внешнего цилиндра

3.1.2. Случай подогрева внутреннего цилиндра.

§ 3.2. Циклы и их бифуркации

3.2.1. Циклы, ответвляющиеся от равновесий

3.2.2. Циклы, возникающие "из воздуха".

§ 3.3. Хаотические аттракторы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Движения жидкости вблизи пересечения бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных волн»

В диссертации исследуются течения вязкой теплопроводной изотермически несжимаемой жидкости между двумя нагретыми до различных температур бесконечными вращающимися цилиндрами.

Основной режим движения жидкости в рассматриваемой задаче представляет собой неизотермическое течение Куэтта — круговое течение, имеющее логарифмическое распределение температуры. Ему соответствует точное решение уравнений Навье-Стокса, теплопроводности, неразрывности и состояния, которое существует при любых значениях параметров задачи.

В экспериментах, однако, данное течение реализуется далеко не всегда: при изменении параметров (например, при увеличении скорости вращения внутреннего цилиндра) оно может потерять устойчивость и смениться вторичным режимом. При этом возможны два типа потери устойчивости неизотермического течения Куэтта. В результате монотонной вращательно-симметричной неустойчивости оно сменяется вихрями Тейлора, а в результате колебательной трехмерной неустойчивости — автоколебательным режимом типа бегущей азимутальной волны.

Целью данной работы является исследование режимов, которые возникают в малой окрестности точки пересечения нейтральных кривых, отвечающих этим двум типам потери устойчивости неизотермического течения Куэтта.

Помимо общетеоретического интереса, изучение течений жидкости между нагретыми вращающимися цилиндрами привлекает внимание исследователей в связи с различными техническими, геофизическими и метеорологическими приложениями. Примерами могут служить проблема отвода тепла, выделяемого в роторе электромотора, задача исследования процессов, происходящих в быстро вращающихся подшипниках скольжения, проблема разделения многокомпонентных смесей в установках с цилиндрическими электрофоретическими камерами, изучение циркуляции воздушных масс в экваториальных зонах планетных атмосфер и др.

Заметим также, что неизотермическое течение Куэтта представляет собой особенно удобный объект для численных исследований благодаря тому, что переходы к достаточно сложным режимам движения жидкости возникают здесь при довольно малых числах Рейнольдса.

Первые экспериментальные исследования течений жидкости между нагретыми вращающимися цилиндрами были направлены на получение тепловых характеристик потока до и после потери устойчивости основного режима [121, 136, 140, 142, 154]. В них температурные градиенты и отношения угловых скоростей цилиндров были фиксированы и малы по абсолютной величине, а число Рейнольдса менялось. При переходе числа Рейнольдса через критическое значение основной режим течения жидкости сменялся вторичным режимом, подобным возникающим в изотермическом случае вихрям Тейлора — стационарным вращательно-симметричным (не зависящим от азимутальной переменной) течением, которое представляет собой набор тороидальных вихрей, регулярно расположенных вдоль оси цилиндров. Частицы жидкости в этом течении двигаются по спиралям, наматывающимся на торы. Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводило к тому, что возникала турбулентность, а в некоторых случаях — смешанный турбулентно-ламинарный режим, в котором на фоне развитой турбулентности четко просматриваются вихревые структуры, напоминающие вихри Тейлора. Интересно отметить, что турбулентные вихри Тейлора наблюдались и в изотермическом случае, в экспериментах Е. Кошмидера [146-148], но каких-либо теоретических моделей, воспроизводящих это весьма интересное явление, в настоящее время, видимо, нет.

Потеря устойчивости основного режима в неизотермическом случае фиксировалась экспериментаторами по появлению излома на графике зависимости числа Нуссельта от числа Рейнольдса. Он вызывается скачкообразным изменением скорости теплообмена при переходе от неизотермического течения Куэтта, в котором преобладает перенос тепла в основном за счет теплопроводности, к более интенсивному вторичному движению, в котором превалирует конвективный теплообмен, вызванный вихревым характером вторичного течения.

Выводов о стабилизирующем или дестабилизирующем воздействии температурных градиентов на неизотермическое течения Куэтта в этих работах не было. Это объясняется тем, что температурные градиенты в этих экспериментах были невелики и зафиксировать их влияние на устойчивость основного режима было сложно.

Первые экспериментальные результаты, указывающие на стабилизирующее воздействие подогрева внутреннего цилиндра, были получены в 1962 г. в работе Беккера и Кея [14]. В ней внешний цилиндр был неподвижен, а внутренний вращался. Температурный градиент был довольно мал, но все-таки позволил зафиксировать некоторое увеличение критического значения числа Рейнольдса, соответствующего переходу к вихрям Тейлора, по сравнению с изотермическим случаем.

Экспериментальному исследованию течений между двумя нагретыми цилиндрами, вращающимися с одинаковыми угловыми скоростями, посвящены работы группы ученых из Перми [96-98, 118, 119]. Известно, что в изотермическом случае течение Куэтта устойчиво при любых значениях числа Рейнольдса, когда цилиндры вращаются как твердое тело. Поэтому возникновение вторичных режимов, которое наблюдалось в работах пермских экспериментаторов при подогреве внешнего цилиндра, имеет конвективное происхождение и свидетельствует о дестабилизирущем влиянии такого подогрева на течение Куэтта.

Первые теоретические результаты по исследованию устойчивости неизотермического течения Куэтта в линейном приближении были получены в 1954 г. С. Чандрасекаром, который в работе [124] рассмотрел случай, когда цилиндры вращаются с одинаковыми угловыми скоростями. С помощью проекционного метода он исследовал устойчивость основного режима относительно плоских (не зависящих от аксиальной переменной) возмущений, разыскивая собственное решение линеаризованной задачи устойчивости в виде линейной комбинации цилиндрических функций. Для случая, когда радиус внешнего цилиндра в два раза больше радиуса внутреннего цилиндра, С. Чандрасекар получил приближенную аналитическую формулу, отражающую зависимость критического значения числа Рейнольдса от температурного градиента. Из нее вытекает, что в случае твердотельного вращения цилиндров потеря устойчивости неизотермического течения Ку-этта может произойти лишь при подогреве наружного цилиндра. Увеличение температурного градиента оказывает при этом дестабилизирующее воздействие.

Современные компьютерные вычисления [46] показывают, что в рассмотренном С. Чандрасекаром случае монотонные плоские возмущения являются наиболее опасными в классе трехмерных бесконечно малых про-странст -венно-периодических возмущений, если только температурные градиенты не слишком велики (при значительном увеличении температурного градиента роль наиболее опасных переходит к трехмерным колебательным возмущениям [46]). Именно такие возмущения приводят к возникновению вторичного режима, представляющего собой систему плоских конвективных валов, вытянутых вдоль оси цилиндров и вращающихся с той же угловой скоростью, что и цилиндры. Во вращающейся вместе с цилиндрами системе координат это движение является стационарным. Такое вторичное течение наблюдалось в экспериментах [96-98, 118, 119]. Его теоретическое исследование было выполнено в работе [46].

Начатое С. Чандрасекаром аналитическое исследование устойчивости неизотермического течения Куэтта в линейном приближении было продолжено в работах [11, 15, 42, 43, 47, 48, 50, 65, 85, 89, 92, 97, 123, 141, 150, 162].

Обоснование применения метода линеаризации в проблеме устойчивости стационарных и периодических движений сплошных сред дано в статьях [104, 111] и монографии [115].

Наиболее подробно исследована линейная устойчивость относительно монотонных вращательно-симметричных возмущений.

Для них рассмотрен как случай, когда внешний цилиндр покоится либо цилиндры вращаются в одну сторону [11, 15, 42, 44, 48, 50, 85, 89, 123, 141, 150, 162], так и случай, когда цилиндры вращаются в разные стороны [И, 42, 123, 150].

В работах [11, 15, 48, 141, 150, 162] проанализирован предельный случай узкого зазора между цилиндрами. Задача о линейной устойчивости неизотермического течения Куэтта относительно монотонных вращательно-симметричных возмущений в этом случае близка, а при дополнительном предположении о близости угловых скоростей цилиндров — совпадает с рэлеевской задачей о свободной конвекции в слое жидкости [23, 26, 66, 125].

В неизотермическом случае принцип монотонности вращательно-симметричных возмущений, согласно которому потеря устойчивости основного режима относительно вращательно-симметричных возмущений должна приводить к возникновению стационарного вторичного течения [17, 26, 66], не выполняется. Поэтому возможна не только трехмерная, но и враща-тельно-симметричная колебательная потеря устойчивости основного режима. Такая неустойчивость исследовалась в работах [47, 65]. Для изотермического течения Куэтта данный принцип, вероятно, справедлив, хотя строгое его доказательство имеется лишь для предельного случая, когда зазор между цилиндрами бесконечно мал, а угловые скорости цилиндров бесконечно близки.

Устойчивость относительно трехмерных возмущений исследовалась в случае узкого зазора в работах [92, 97], а в случае произвольного зазора — в работе [42].

Рассчитанные различными авторами критические значения числа Рей-нольдса совпадают достаточно хорошо и соответствуют значениям, полученным экспериментальным путем. Во всех случаях оказалось, что подогрев наружного цилиндра дестабилизирует неизотермическое течение Куэтта, а подогрев внутреннего — стабилизирует.

Исследованию нелинейной задачи устойчивости посвящены работы [4446, 49]. В них используется развитая в серии публикаций В.И.Юдовича [109, 110, 113, 114] методика, позволяющая определить число ненулевых решений, ответвляющихся от основного режима в точке бифуркации, и построить эти решения в виде рядов Ляпунова-Шмидта [18]. Таким образом были получены разложения в ряды Ляпунова-Шмидта решений, отвечающих вторичным течениям, которые ответвляются от неизотермического течения Куэтта, — вихрям Тейлора [44, 49], трехмерному автоколебательному режиму типа бегущей азимутальной волны [45] и плоскому вторичному режиму [46].

Заметим, что изучению бифуркации возникновения вихрей Тейлора в изотермическом случае посвящено множество работ, начиная с публикации самого Тейлора [155]. Сошлемся здесь лишь на некоторые теоретические [13, 6-10, 12, 13, 39, 40, 71, 72, 75-77, 82, 83, 100-102, 106, 107, 130, 131, 151, 156] и экспериментальные [20, 31, 60, 68, 120, 122, 134, 135] исследования, посвященные этому вопросу. Трехмерный вторичный автоколебательный режим, ответвляющийся от течения Куэтта в изотермическом случае, был рассчитан методом Ляпунова-Шмидта в работе [90].

Укажем также на строгие математические результаты, полученные для неизотермического течения Куэтта. Доказательство существования у него по-крайней мере одной точки бифуркации было проведено в [48] с применением методики работ [91, 107]. Доказательство нескольких признаков устойчивости и неустойчивости основного режима содержится в работах

43, 48, 50].

Во всех теоретических исследованиях линейной и нелинейной устойчивости неизотермического течения Куэтта, о которых шла речь выше, равно как и в данной диссертации, задача для возмущений основного режима изучается в приближении Буссинеска [21-23, 26, 63, 148], которое опирается на предположение о малости коэффициента теплового расширения жидкости. Анализ его применимости для исследования линейной устойчивости неизотермического течения Куэтта выполнен в работах [16, 36].

Еще одно упрощающее предположение, использованное как в уже упомянутых исследованиях, так и в данной работе, заключается в том, что коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности и теплового расширения жидкости считаются постоянными. Как было показано в работе [157], пренебрежение зависимостью вязкости от температуры для некоторых жидкостей (например, для определенных водно-глицериновых смесей) может привести к качественно неверным выводам о влиянии температурных градиентов на устойчивость основного стационарного течения. Поэтому применение результатов, полученных для случая постоянных коэффициентов вязкости, температуропроводности и теплового расширения, требует известной осторожности, когда речь идет об описании явлений, происходящих в реальных физических жидкостях.

Таким образом, в настоящее время вопрос о первой потере устойчивости неизотермического течения Куэтта и об ответвлении от него вторичных режимов типа вихрей Тейлора или бегущих азимутальных волн можно считать в той или иной степени изученным. Каких-либо публикаций, связанных с теоретическим исследованием более сложных режимов движения жидкости между нагретыми вращающимися цилиндрами, обнаружить не удалось.

Проблемой исследования возникновения сложных режимов движения жидкости гидродинамики занимаются уже более ста лет. Трудности связаны здесь прежде всего с нелинейностью гидродинамических уравнений, решить которые в явном виде удается лишь в самых простых случаях, весьма далеких от многообразных явлений, которые наблюдаются в природе. В настоящее время теоретическое изучение сложных гидродинамических течений возможно фактически лишь либо путем прямого численного решения уравнений гидродинамики на достаточно мощных компьютерах (см., например, серию работ [158-161], в которых методом Бубнова-Галеркина рассчитываются сложные режимы, возникающие после потери устойчивости изотермического течения Куэтта), либо с помощью построения различных феноменологических теорий (см., например, [38]), либо путем применения различных асимптотических методов.

Именно последний подход в сочетании с компьютерными вычислениями и используется в данной работе, которая базируется на теории бифуркаций коразмерности 2 гидродинамических течений с цилиндрической симметрией, развитой в середине 80-годов В. И. Юдовичем в России, а также Ж. Йоссом и П. Шосса во Франции.

Эта теория позволяет исследовать различные режимы движения жидкости, существующие вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн [58, 59, 116, 128, 143, 145] либо бифуркаций возникновения азимутальных волн с различными азимутальными волновыми числами [78, 116, 126-128, 143].

Благодаря свойствам симметрии, которыми обладают уравнения, описывающие движения жидкости между вращающимися цилиндрами (см. формулы (1.4) в § 1.1.), тейлоровской неустойчивости соответствуют две вещественные моды, а азимутальной неустойчивости — четыре. В итоге критическое число Рейнольдса, соответствующее пересечению бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн, оказывается шестикратно вырожденным.

Нелинейное взаимодействия этих шести мод описывается амплитудной и системой трех комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кубическими ведущими нелинейными членами (см. формулы (2.2) в § 2.1), которая является обобщением известного амплитудного уравнения Ландау [63]. Она была получена В. И. Юдовичем путем использования техники теории бифуркаций, связанной с применением теоремы о нейтральном многообразии [116].

Наличие у течений между цилиндрами группы симметрий позволяет расщепить амплитудную систему на две подсистемы [116].

Первая из них называется моторной подсистемой амплитудной системы (см. формулы (2.4) в § 2.1). Она имеет четвертый порядок и определяет эволюцию инвариантов группы симметрий — амплитуд pi, Р2 трех комплексных мод (тейлоровской и двух азимутальных), а также резонансной линейной комбинация их фаз — фазового инварианта /3.

Вторая подсистема выражает производные по времени от трех фаз комплексных мод через инварианты (см. формулы (2.5) в § 2.1). Для отыскания фаз из нее достаточно выбрать любые два уравнения.

Амплитудная система Юдовича может быть использована в весьма широком классе задач, обладающих симметрией, присущей течению Куэт-та. Так, например, в работе [144] она применялась для изучения движений вязкой жидкости между проницаемыми цилиндрами. В данной диссертации эта система используется для изучения движений жидкости, возникающих после потери устойчивости неизотермического течения Куэтта.

Для задачи о пересечении бифуркаций возникновения азимутальных волн с различными азимутальными волновыми числами критическое число Рейнольдса является восьмикратно вырожденным, что приводит к амплитудной системе восьмого порядка [128].

Заметим, что наличие кратного спектра у линеаризованной задачи устойчивости отнюдь не является в гидродинамике исключительным событием, поскольку многие гидродинамические системы не являются системами общего положения, благодаря наличию у них различных групп симметрий. Таковой, в частности, является и рассматриваемая в данной работе система.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Хоперский, Андрей Геннадьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной режим движения жидкости между двумя нагретыми до различных температур вращающимися цилиндрами — неизотермическое течение Куэтта — представляет собой ламинарное круговое течение с логарифмическим распределением температуры. Это течение может потерять устойчивость двумя способами. В результате монотонной неустойчивости оно сменяется вихрями Тейлора, а в результате колебательной неустойчивости — автоколебательным режимом типа бегущей азимутальной волны. В работе исследованы режимы, которые возникают в малой окрестности точки пересечения нейтральных кривых, отвечающих этим двум типам потери устойчивости неизотермического течения Куэтта.

Исследование базируется на анализе системы амплитудных уравнений, полученной в работе [116] для широкого класса задач с цилиндрической симметрией. Она описывает нелинейное взаимодействие монотонных вращательно-симметричных и колебательных трехмерных мод и представляет собой систему трех комплексных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Рассчитаны нейтральные кривые, соответствующие монотонной вра-щательно-симметричной и трехмерной колебательной потере устойчивости основного режима.

2. Установлено, что, в зависимости от значений параметров задачи, нейтральные кривые могут вообще не иметь точек пересечения, а могут пересекаться в одной или нескольких точках. Основное отличие от изотермического случая состоит в том, что при подогреве внутреннего цилиндра нейтральные кривые могут пересекаться и в случае, когда цилиндры вращаются в одну сторону. Отсюда следует, что при наличии определенного температурного градиента нелинейное взаимодействие тейлоровской и азимутальных мод может приводить к возникновению сложных режимов движения жидкости не только, когда цилиндры вращаются в разные стороны, как это бывает в изотермическом случае, но и когда они вращаются в одну сторону.

3. Выполнен численный расчет коэффициентов амплитудной системы. Для этого потребовалось рассчитать на компьютере решения серии линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка с переменными комплексными коэффициентами.

4. Рассчитаны равновесия моторной подсистемы амплитудной системы, лежащие на инвариантных плоскостях. Им соответствуют стационарные или периодические режимы движения жидкости.

5. Рассчитаны равновесия общего положения моторной подсистемы. Им соответствуют двухчастотные квазипериодические режимы движения жидкости.

6. Численный анализ показал, что в некоторых случаях одновременно существуют несколько устойчивых равновесий, поэтому в реальных физических экспериментах могут наблюдаться гистерезисные явления для соответствующих этим равновесиям течений жидкости. Вычисления показали также, что при достаточно больших значениях одного из параметров задачи ни одно равновесие моторной подсистемы не является устойчивым, поэтому для больших значений данного параметра в экспериментах следует ожидать возникновения достаточно сложных режимов движения жидкости.

7. Установлено, что при определенных значениях параметров задачи от некоторых равновесий ответвляются предельные циклы — изолированные периодические решения моторной подсистемы. Им соответствует трех-частотные квазипериодические режимы движения жидкости.

8. Обнаружены устойчивые циклы с вращением. У таких циклов модули амплитуд ро, pi, р2 периодичны с некоторым периодом р, а фазовый

100 инвариант (3 удовлетворяет лишь условию = /?(£) + 2niv при всех и некотором целом п. Решения амплитудных уравнений, соответствующие таким режимам, ограничены, а значит ограничены также компоненты поля скорости и температуры соответствующих режимов движения жидкости.

9. Помимо предельных циклов, удалось рассчитать гораздо более сложные решения моторной подсистемы — хаотические аттракторы. Обнаружены, в частности, хаотические аттракторы с неограниченным ростом по времени фазового инварианта /3, возникающие в результате бесконечного каскада удвоений устойчивых инверсионно-связанных пар предельных циклов с вращением. У соответствующих таким аттракторам режимов движения жидкости компоненты поля скорости и температуры являются ограниченными функциями времени, но меняются стохастическим образом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хоперский, Андрей Геннадьевич, 2002 год

1. Андрейчиков И. П. Расчет вторичного течения между вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1975. № 2. С. 150-152.

2. Андрейчиков И. П. Ветвление вторичных режимов движения жидкости между вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1977. № 1. С. 47-53.

3. Андрейчиков И. П., Овчинникова С. Н. Нелинейная устойчивость течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // Тр. 5-го Всесоюзн. семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. Часть 1. Новосибирск: СО АН СССР, 1975. С. 70-78.

4. Андрейчиков И. П., Петровская Н.В., Юдович В. И. Бифуркации и стохастические движения в некоторых гидродинамических системах // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1980. № 3485-80. 7 с.

5. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

6. Афендиков A. J1. Ветвление при наличии группы симметрий и бифуркация вихрей Тейлора // ИПМ АН СССР, 1983. Препр. № 61.

7. Афендиков A.JL, Бабенко К. И. О вихрях Тейлора // ИПМ АН СССР, 1982. Препр. № 3.

8. Афендиков A. JL, Бабенко К. И. Об устойчивости вихрей Тейлора // ИПМ АН СССР, 1983. Препр. № 32.

9. Бабенко К. И., Афендиков А. Л., Юрьев С. П. Об устойчивости и бифуркации течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // ИПМ АН СССР, 1981. Препр. № 99.

10. Бабенко К. И., Афендиков А. Л., Юрьев С. П. О бифуркации течения Куэтта между вращающимися цилиндрами в случае двукратного собственного значения // ДАН СССР, 1982. Т. 266. № 1. С. 73-78.

11. Бал. Влияние радиального градиента температуры на устойчивость вязкого течения между вращающимися коаксиальными цилиндрами // Тр. амер. общества инж. мех. Сер. Е, Прикладная механика, 1972. № 2.

12. Барковский Ю. С., Юдович В. И. Рождение вихрей Тейлора в случае раз-новращающихся цилиндров и спектральные свойства одного класса краевых задач // ДАН СССР, 1978. Т. 242. № 4. С. 784-787.

13. Барковский Ю. С., Юдович В. И. Спектральные свойства одного класса краевых задач // Матем. сборник, 1981. Т. 114(156). № 3. С. 438-450.

14. Беккер, Кей. Изучение неадиабатического течения в кольцевом канале с внутренним вращающимся цилиндром // Тр. амер. общества инж. мех. Сер. С. Теплопередача, 1962. № 2. С. 3-12.

15. Беккер, Кей. Влияние радиального градиента температур на неустойчивость течения между двумя концентрическими цилиндрами, из которых внутренний вращается, а внешний неподвижен // Тр. амер. общества инж. мех. Сер. С. Теплопередача, 1962. № 2. С. 13-17.

16. Беликов В. С., Колесов В. В. Использование приближения Буссинеска при исследовании устойчивости неизотермического течения Куэтта между вращающимися цилиндрами // Изв. Сев. Кавказ, научн. центра высш. школы. Сер. естеств. наук, 1984. № 3. С. 25-26.

17. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Наука, 1971. 350 с.

18. Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений // М.: Наука, 1969. 527 с.

19. Вайнбергер Г. Ф. Изменение устойчивости в течении Куэтта // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. С. 228-236.

20. Василенко Ю. Г., Кузнецов Е. А., Львов В. С., Нестерихин Ю. Е., Соболев B.C., Спектор М.Д., Тимохин С.А., Уткин Е.Н., Шмойлов Н.Ф. О зарождении вихрей Тейлора в течении Куэтта // ПМТФ, 1980. № 2. С. 58-64.

21. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

22. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 318 с.

23. Гетлинг А. В. Конвекция Рэлея-Бенара. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 247 с.

24. Гледзер Е. Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M. Системы гидродинамического типа и их применение // М.: Наука, 1981. 366 с.

25. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность // Новосибирск: Наука, 1977. 366 с.

26. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 638 с.

27. Ди Прима. Применение метода Галеркина к задачам устойчивости в гидродинамике // Сб. "Механика". Период, сб. перев. ин. статей. М. 1956. № 3(37). С. 53-61.

28. Ди Прима. Устойчивость криволинейных течений // Тр. амер. общества инж. мех. Сер. Е, Прикладная механика, 1963. № 4. С. 10-18.

29. Ди Прима Р. С., Суинни X. JI. Неустойчивости и переход в течении между концентрическими вращающимися цилиндрами // Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984. С. 169-217.

30. Должанский Ф. В., Кляцкин В. И., Обухов А. М., Чусов М. А. Нелинейные системы гидродинамического типа // М.: Наука, 1974. 160 с.

31. Доннели Р. Д. Экспериментальное определение пределов устойчивости // Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964. С. 54-67.

32. Дэвис С. Р. О принципе изменения устойчивости // Сб. "Механика". Период. сб. перев. ин. статей. М. 1970. № 4. С. 56-73.

33. Есипов А. А., Юдович В. И. Принцип Рэлея и задача о возникновении конвекции в длинных цилиндрах // Всесоюзн. конф. "Совр. проблемы тепловой гравитационной конвекции". Минск: ИТМО АН БССР, 1971. С. 41-43.

34. Есипов А. А., Юдович В. И. Предельное поведение собственных значений краевых задач в неограниченно расширяющихся областях // Журнал выч.мат. и математич. физики, 1973. Т 13. № 2. С. 421-432.

35. Есипов А. А., Юдович В. И. Асимптотика собственных значений первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения на длинном отрезке // Журнал выч. мат. и математич. физики, 1974. Т. 14. № 2. С. 342-349.

36. Жуков М.Ю., Колесов В. В., Цывенкова О. А. Численный анализ устойчивости неизотермического течения Куэтта // Изв. АН СССР, МЖГ, 1988. № 5. С. 70-76.

37. Журавлев Ф.А., Львов B.C., Нестерихин Ю.Е., Предтеченский А.А., Соболев В. С., Уткин Е. Н., Черных А. И. Методика и результаты исследования перехода к турбулентности в простых гидродинамических течениях // Автометрия, 1982. № 3. С. 4-15.

38. Зельдович Я. Б. О трении в жидкости между вращающимися цилиндрами // ИПМ АН СССР, 1979. Препр. № 139.

39. Иванилов Ю. П. Вторичные режимы в течении Куэтта // Изв. АН СССР. МЖГ, 1968. № 1. С. 118-121.

40. Иванилов Ю.П., Яковлев Г. Н. О бифуркации течений жидкости между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 768-773.

41. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983. 300 с.

42. Колесов В. В. Устойчивость неизотермического течения Куэтта // Изв. АН СССР, МЖГ, 1980. № 1. С. 167-170.

43. Колесов В. В. Об условиях устойчивости неизотермического течения Куэтта // ПММ, 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 441-447.

44. Колесов В. В. Возникновение вихрей Тейлора между нагретыми вращающимися цилиндрами // СО АН СССР, ЖПМТФ, 1981. № 6. С. 87-93.

45. Колесов В. В. Расчет автоколебаний, возникающих в результате потери устойчивости неизотермического течения Куэтта // Изв. АН СССР, МЖГ, 1981. № 3. С. 25-32.

46. Колесов В. В. Возникновение плоского вторичного режима между нагретыми вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1981. № 6. С. 22-27.

47. Колесов В. В. Колебательная вращательно-симметричная потеря устойчивости неизотермического течения Куэтта // Изв. АН СССР, МЖГ, 1984. № 1. С. 76-80.

48. Колесов В. В., Овчинникова С.Н. Влияние радиального градиента температуры на устойчивость течения жидкости между вращающимися цилиндрами // Изв. Сев. Кавказ, научн. центра высш. школы. Сер. естеств. наук, 1974. № 4. С. 37-42.

49. Колесов В. В., Овчинникова С.Н. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами с радиальным градиентом температуры // Изв. Сев. Кавказ, научн. центра высш. школы. Сер. естеств. наук, 1975. № 4. С. 36-39.

50. Колесов В. В., Овчинникова С. Н. Устойчивость течения жидкости между нагретыми вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1975. № 3. С. 32-36.

51. Колесов В. В., Хоперский А. Г. Переходы в неизотермической проблеме Куэтта-Тейлора // Материалы XIV межд. школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность". М: НИИ механики МГУ. 2000. С. 109-110.

52. Колесов В. В., Хоперский А. Г. Бикритические точки, отвечающие пересечению бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных волн // Рук. деп. в ВИНИТИ, 2001. № 769-В2001. 29 с.

53. Колесов В. В., Хоперский А. Г. Простейшие режимы движения жидкости вблизи пересечения бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных волн // Изв. РАН, МЖГ. 2002. № 2. С. 97-109

54. Колесов В. В., Юдович В. И. Переходы в малой окрестности точекпересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1995. № 3020-В95.

55. Колесов В. В., Юдович В. И. Расчет колебательных режимов в течении Куэтта вблизи точки пересечения бифуркаций возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн // Изв. РАН, МЖГ, 1998. № 4. С. 81-93.

56. Коулз Д. К вопросу о тейлоровской неустойчивости циркуляционного течения Куэтта // Тр. амер. общества инж. мех. Сер. Е, Прикладная механика, 1967. Т. 34. № 3. С. 78-84.

57. Крылов A. JI. Доказательство неустойчивости одного течения вязкой несжимаемой жидкости // ДАН СССР, 1963. Т. 153. № 4. С. 787-789.

58. Кузнецов Е.А., Львов B.C., Предтеченский А. А., Соболев B.C., Уткин Е. Н. О проблеме перехода к турбулентности в течении Куэтта // Письма в ЖЭТФ, 1979. Т. 30. № 4. С. 226 229.

59. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733 с.

60. Лебедь Н. Г. Исследование гидродинамической устойчивости неизотермического течения Куэтта в широком кольцевом зазоре // Тр. Николаевского кораблестроит. ин-та, 1971. Вып.4. С. 96-99.

61. Ли. Влияние термодиффузии на устойчивость течения между двумя вращающимися цилиндрами // Тр. амер. общества инж. мех. Проблемы трения и смазки, 1977. № 3. С. 6-11.

62. Линь Цзя Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Изд. иностр. литературы, 1958. 194 с.

63. Львов В. С., Нестерихин Ю. Е. Переход к турбулентности в простых гидродинамических течениях // Вести АН СССР, 1980. № 10. С. 25-35.

64. Львов B.C., Предтеченский А. А., Черных А. И. Бифуркации и хаос в системе вихрей Тейлора: натурный и численный эксперимент // ЖЭТФ, 1981. Т. 80. № 3. С. 1099-1121.

65. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. 368 с.

66. Монин А. С. О природе турбулентности // Успехи физ. наук, 1978. Т. 125. Вып.1. С. 97-122.

67. Овчинникова С.Н. Исследование ветвления течения Куэтта между вращающимися цилиндрами //Тр. 4-го Всесоюзн. семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. Новосибирск, 1973. С. 55-62.

68. Овчинникова С.Н. Устойчивость течения Куэтта в случае широкого зазора между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1970. Т. 34. Вып.2. С. 302307.

69. Овчинникова С. Н. Расчет бикритических точек в задаче Куэтта-Тейлора

70. Рук. деп. в ВИНИТИ, 1997. № 895-В97. 11 с.

71. Овчинникова С. Н. Алгоритм расчета точек пересечения бифуркаций и коэффициентов амплитудных уравнений для задачи Куэтта-Тейлора // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1998. № 464-В98. 19 с.

72. Овчинникова С. Н. Пересечение бифуркаций в задаче Куэтта-Тейлора для вращательно-симметричных течений // Труды V межд. конф. "Совр. проблемы механики сплошной среды". Т. 2. Ростов-на-Дону, 1999. С. 147-151.

73. Овчинникова С.Н., Юдович В. И. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1968. Т. 32. Вып.5. С. 858-868.

74. Овчинникова С.Н., Юдович В. И. Устойчивость и бифуркация течения Куэтта в случае узкого зазора между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1974. Т. 38. Вып.6. С. 1025-1030.

75. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания в радиофизике и гидродинамике. Эксперименты и модели. // Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. Горький, 1980. С. 5-23.

76. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.

77. Райцис M.JI. Влияние градиента температуры на теплообмен и устойчивость // Изв. АН Латв. ССР. Сер. Физич. и технич. науки, 1970. № 3. С. 74-77.

78. Ромашко Е. А. Об устойчивости вторичного течения Тейлора между вращающимися цилиндрами с широким зазором // Инж. физ. журнал, 1973. Т. 25. № 1. С. 99-106.

79. Ромашко Е. А. О нелинейной устойчивости движения вязкой жидкостимежду концентрическими вращающимися цилиндрами // Инж. физ. журнал, 1977. Т. 33. № 4. С. 719-727.

80. Ромашко Е. А. Об устойчивости движения вязкой жидкости в зазоре между вращающимися концентрическими цилиндрами относительно неосесим-метричных возмущений // Докл. АН БССР, 1981. Т. 25. № 10. С. 899-902.

81. Сорокин М. П. Тепловая неустойчивость жидкости в центробежном поле // Уч. зап. Пермского гос. университета, 1968. № 163. С. 31-36.

82. Странные аттракторы. Сб. статей под ред. Я. Г. Синая и Л. П. Шильни-кова. М.: Мир, 1981. 253 с.

83. Стюарт Дж. Т. О нелинейной механике в теории гидродинамической устойчивости // Механика, 1959. № 3(55). С. 19-38.

84. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977.

85. Уринцев А. Л. Расчет автоколебаний типа азимутальных волн, возникающих при потере устойчивости течения вязкой жидкости между концентрическими цилиндрами, вращающимися в разные стороны // ПМТФ, 1976. № 2. С. 68-75.

86. Уховский М. Р., Юдович В. И. Об уравнениях стационарной конвекции // ПММ, 1963. Т. 27. Вып.2. С. 295-300.

87. Хаит В. Д. О тепловой неустойчивости жидкости в поле центробежных сил // Изв. АН СССР, МЖГ, 1971. № 1. С. 137-143.

88. Шайдуров Г. Ф., Ястребов Г. В. К вопросу о конвективной неустойчивости вращающейся жидкости // Гидродинамика. Пермь: 1972. № 4. С. 33-35.

89. Шайдуров Г. Ф., Шлиомис М. И., Ястребов Г. В. Конвективная неустойчивость вращающейся жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ, 1969. № 6. С. 88-93.

90. Шайдуров Г. Ф., Ястребов Г. В. Структура надкритических конвективных движений во вращающемся цилиндрическом слое жидкости // Гидродинамика. Пермь, 1974. № 7. С. 129-135.

91. Шапакидзе Л.Д. Об устойчивости течения Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами // Изв. АН СССР, МЖГ, 1975. № 3. С. 146-148.

92. Шкадов В. Я. Стационарные течения вязкой жидкости между коаксиальными вращающимися цилиндрами после потери устойчивости // Изв. АН СССР, МЖГ, 1969. № 3. С. 81-86.

93. Шкадов В. Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости // Научн. тр. НИИ механики МГУ, 1973. № 25. С. 1-192.

94. Шкадов В. Я. Численное исследование устойчивости гидродинамических течений и нелинейного взаимодействия возмущений // Числ. мет. механики сплошной среды. Новосибирск, 1981. Т. 12. № 4. С. 148-155.

95. Щукин В. К. Влияние температурного поля на устойчивость движенияжидкости между вращающимися цилиндрами // Инж. физич. журнал, 1966. Т. 10. № 3. С. 357-362.

96. Юдович В. И. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости // ДАН СССР, 1965. Т. 161. № 5. С. 1037-1040.

97. Юдович В. И. Пример рождения вторичного стационарного или периодического течения при потере устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости // ПММ, 1965. Т. 29. Вып.З. С. 453-467.

98. Юдович В. И. О бифуркации вращательных течений жидкости // ДАН СССР, 1966. Т. 169. № 2. С. 306-309.

99. Юдович В. И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости между вращающимися цилиндрами // ПММ, 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 688-698.

100. Юдович В. И. О возникновение конвекции // ПММ, 1966. Т. 30. Вып. 6. С. 1000-1005.

101. Юдович В. И. Свободная конвекция и ветвление // ПММ, 1967. Т. 31. Вып. 1. С. 101-111.

102. Юдович В. И. Устойчивость конвекционных потоков // ПММ, 1967. Т. 31. Вып. 2. С. 272-281.

103. Юдович В. И. Об устойчивости вынужденных колебаний жидкости // ДАН СССР, 1970. Т. 195. № 2. С. 292-295.

104. Юдович В. И. Об устойчивости автоколебаний жидкости // ДАН СССР, 1970. Т. 195. № 3. С. 574-576.

105. Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости // ПММ, 1971. Т. 35. Вып. 4. С. 638-655.

106. Юдович В. И. Исследование автоколебаний сплошной среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима // ПММ, 1972. Т. 36. Вып. 3. С. 450-459.

107. Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на-Дону, Изд. РГУ, 1984. 191 с.

108. Юдович В. И. Переходы и возникновение хаоса в течениях жидкости

109. Аннот. докладов 6-го Всесоюзн. съезда по теорет. и прикл. механике. Ташкент: Фан, 1986. С. 661.

110. Якобсон М. В. Эргодическая теория одномерных отображений // Динамические системы. Т. 2. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 204-232.

111. Ястребов Г. В. Применение электро-химической методики для визуализации конвективных движений быстровращающейся жидкости // Гидродинамика. Пермь: 1974. № 5. С. 287-293.

112. Ястребов Г. В. Влияние ориентации быстровращаюгцегося цилиндрического слоя жидкости на структуру надкритических конвективных движений // Уч. зап. Пермского университета, 1976. N2 362. С. 28-30.

113. Andereck С. D., Dickman R., Swinney Н. L. New flows in a circular Couette system with co-rotating cylinders // Phys. Fluids, 1983. V. 26. № 6. P. 13951401.

114. Bjorkland I. S., Kays W. M. Heat transfer between concentric rotating cylinders // Trans. ASME. Ser. C. Heat Transfer Journal, 1959. V. 81. P. 175-186.

115. Burkhalter J. E., Koschmieder E. L. Steady supercritical Taylor vortices after sudden starts // Phys. Fluids, 1974. V. 17. № 11. P. 1929-1935.

116. Butler H.W., McKee D. E. A variational solution to the Taylor stability problem based upon non-equilibrium thermodynamics // Int. J. Heat and Mass Transfer, 1970. V. 13. № 1. P. 43-54.

117. Chandrasekhar S. The stability of viscous flow between rotating cylinders in the presence of radial temperature gradient //J. Rat. Mech. and Anal. 1954. V. 3. P. 181-207.

118. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford. Clarendon Press, 1961. 852 p.

119. Chossat P., Demay Y., Iooss G. Interaction de modes azimutaux dans le probleme de Couette-Taylor // Arch. Rational Mech. Anal. 1987. V. 99. № 3. P. 213-248.

120. Chossat P., Iooss G. Primary and secondary bifurcations in the Couette

121. Taylor problem // Jap. J. App. Math. 1985. V. 2. № 1. P. 37-68.

122. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor problem. New York: Springer-Verlag, 1994. 233 p.

123. Coles D. Transition in circular Couette flow // J. Fluid Mech. 1965. V. 21. № 3. P. 385-425.

124. Davey A. The growth of Taylor vortices in flow between rotating cylinders //J. Fluid Mech. 1962. V. 14. № 3. P. 336-368.

125. Davey A., Di Prima R. C., Stuart J. T. On the instability of Taylor vortices // J. Fluid Mech. 1968. V. 31. № 1. P. 17-52.

126. Di Prima R. C. Stability of nonrotating symmetric disturbances for viscous flow between rotating cylinders // Phys. Fluids, 1961. V. 4. P. 751-755.

127. Fenstermacher P. R., Swinney H.L., Benson S.V., Gollub J. P. Bifurcations to periodic, quasiperiodic, and chaotic regimes in rotating and convecting fluids // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1979. V. 316. P. 652-666.

128. Fenstermacher P. R., Swinney H. L., Gollub J. P. Dynamical instabilities and the transition to chaotic Taylor vortex flow //J. Fluid Mech. 1979. V. 94. № 1. P. 103-128.

129. Frank G., Meyer-Spasche R. Computation of transitions in Taylor vortex flows // Z. Angev. Math. und. Phys. 1981. V. 32. № 6. P. 710-720.

130. Gazley J. Heat transfer characteristics of the rotational and axial flow between concentric cylinders // Trans ASME. 1958. V. 80. P. 79.

131. Gorman M., Swinney H.L. Visual observation of the second characteristic mode in a quasiperiodic flow // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 43. № 25. P. 18711875.

132. Gorman M., Swinney H.L. Spatial and temporal characteristics of modulated waves in the circular Couette system //J. Fluid Mech. 1982. V. 117. P. 123-142.

133. Gorman M., Swinney H.L. Doubly periodic circular Couette flow: experiments compared with predictions from dynamics and symmetry // Phys. Rev.1.tt. 1981. V. 46. № 15. P. 992-995.

134. Haas F. C., Nissan A. H. Experimental heat transfer characteristics of a liquid in Couette motion and with Taylor vortices // Proc. Roy. Soc. 1961. A 261. P. 215-226.

135. Ho C.Y., Nardacci J.N., Nissan A. H. Heat transfer characteristics of fluids moving in a Taylor system of vortices // AIChE Journal, 1964. V. 10. № 2. P. 194-202.

136. Kaye J., Elgar E. C. Modes of adiabatic and diabatic fluid flow in an annulus with an inner rotating cylinder // Trans ASME, 1958. V. 80. № 3. P. 753-765.

137. Kolesov V., Ovchinnikova S., Petrovskaya N., Yudovich V. Onset of chaos through intersections of bifurcations in Couette-Taylor flow // The Third ICIAM Congress. Book of Abstracts. Hamburg, 1995. P. 201.

138. Kolesov V., Shapakidze L. On oscillatory modes in viscous incompressible liquid flows between two counter-rotating permeable cylinders // Trends in App. Math, to Mech. Chapman к Hall / CRC. 2000. V. 106. P. 221-227.

139. Kolesov V., Yudovich V. Transitions near the intersections of bifurcations producing Taylor vortices and azimuthal waves // John Willy & Sons, Inc. RJCM, 1994. V. 1, № 4. P. 71-87.

140. Koschmieder E. L. Turbulent Taylor vortex flow //J. Fluid Mech. 1979. V. 93. № 3. P. 515-527.

141. Koschmieder E. L. Transition from laminar to turbulent Taylor vortex flow // Laminar-Turbulent Transition Symp. Stuttgart, 1979. Berlin e. a. 1980. P. 396404.

142. Koschmieder E. L. Benard cells and Taylor vortices. Cambridge University Press, 1993. 337 p.

143. Krueger E. R., Gross A., Di Prima R. C. On the relative importance of Taylor-vortex and non-axisymmetric modes in flow between rotating cylinders // J. Fluid Mech. 1966. V. 24. № 3. P. 521-538.

144. Lai W. Stability of a revolving fluid with variable density in the presence ofa circular magnetic field // Phys. of Fluids, 1962. V. 5. P. 560-566.

145. Meyer-Spasche R., Keller H. B. Computation of the axisymmetric flow between rotating cylinders // J. Comput. Phys. 1980. V. 35. № 1. P. 100-109.

146. Snyder H.A., Karlsson S.K.F. Experiments on the stability of Couette motion with a radial thermal gradient // Phys. of Fluids, 1964. V. 7. № 10. P. 1696-1706.

147. Swinney H. L., Gollub J. P. Transition to turbulence // Physics Today, 1978. V. 31(8). P. 41-49.

148. Tachibana F., Fukui S., Mitsumura H. Heat transfer in an annulus with an inner rotating cylinder // Jap. Soc. Mech. Engrs, 1960. V. 3. № 9. P. 119-123.

149. Taylor G. I. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders // Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A, 1923. V. 223. P. 289-343.

150. Velte W. Stabilitat und Verzweigung stationarer losungen der Navier-Stokes-schen gleichungen beim Taylor problem // Arch. Rat. Mech. Anal. 1966. V. 22. № 1. P. 1-14.

151. Walowit J. A. The stability of Couette flow between rotating cylinders in the presence of a radial temperature gradient // AIChE J. 1966. № 12. P. 104-109.

152. Yahata H. Dynamics of the Taylor vortices above higher instability points // Progr. Theor. Phys. 1978. V. 59. № 5. P. 1755-1756.

153. Yahata H. Temporal development of the Taylor vortices in a rotating fluid.

154. I // Progr. Theor. Phys. 1980. V. 64. № 3. P. 782-793.

155. Yahata H. Temporal development of the Taylor vortices in a rotating fluid.1. // Progr. Theor. Phys. 1981. V. 66. № 3. P. 879-891.

156. Yahata H. Temporal development of the Taylor vortices in a rotating fluid.

157. V // Progr. Theor. Phys. 1983. V. 69. № 22. P. 396-402.

158. Yih C.-S. Dual role of viscosity in the instability of revolving fluids of variable density // Phys. of Fluids, 1961. V. 4. № 7. P. 806-811.