Теория линейной и слабо нелинейной устойчивости магнитогидродинамических режимов к длинномасштабным возмущениям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, доктор физико-математических наук Желиговский, Владислав Александрович

• Желиговский, Владислав Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Желиговский, Владислав Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ С РАЗДЕЛЕНИЕМ МАСШТАБОВ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫМ СТАЦИОНАРНЫМ ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИМ ПОТОКОМ.

1.1 Асимптотические разложения длинномасштабных магнитных мод и инкрементов их роста.

1.2 Условие разрешимости задачи £g = f и свойства ядра оператора магнитной индукции.

1.3 Уравнения порядка

1.4 Уравнения порядка е

1.5 Уравнения порядка е2: оператор магнитной вихревой диффузии

1.6 Уравнения порядка еп, п >

1.7 Насколько редко явление отрицательной магнитной вихревой диффузии?

1.8 Сильно отрицательные значения магнитной вихревой диффузии

1.9 Генерация магнитного поля с умеренным разделением масштабов

1.10 Выводы

Глава 2. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ С РАЗДЕЛЕНИЕМ МАСШТАБОВ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫМ ПОТОКОМ, ПЕРИОДИЧЕСКИМ В ПРОСТРАНСТВЕ И ВРЕМЕНИ

2.1 Асимптотические разложения длинномасштабных магнитных мод и инкрементов их роста.

2.2 Решение задачи Флоке для произвольного потока, периодического по времени

2.3 Асимптотические разложения длинномасштабных магнитных мод и инкрементов их роста для течения (2.1)

2.4 Уравнения порядка для течения (2.1)

2.5 Уравнения порядка е1 для течения (2.1)

2.6 Уравнения порядка £2 для течения (2.1)

2.7 Уравнения порядка en, п > 2, для течения (2.1)

2.8 Вычисление тензора магнитной вихревой диффузии

2.9 Магнитная вихревая диффузия для течений (2.1): численный анализ

2.10 Магнитная вихревая диффузия течения (2.1) в пределе больших частот cj

2.11 Выводы

Глава 3. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ С РАЗДЕЛЕНИЕМ МАСШТАБОВ

КОНВЕКТИВНЫМИ ПЛАН-ФОРМАМИ

3.1 Постановка задачи

3.2 Асимптотические разложения длинномасштабных магнитных мод и инкрементов их роста

3.3 Уравнения порядка

3.4 Уравнения порядка е

3.5 Уравнения порядка е

3.6 Уравнения порядка еп, п > 2.

3.7 Магнитная вихревая диффузия плоско-параллельных течений

3.8 Конвективные план-формы в слое жидкости без вращения

3.9 Оператор магнитной вихревой диффузии для конвективных план-форм в слое

3.10 Численные результаты

3.11 Выводы

Глава 4. ЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ

ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ К ДЛИННОМАСШТАБНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

4.1 Асимптотические разложения длинномасштабных МГД мод и инкрементов их роста

4.2 Условия разрешимости задач .M(w, g, q) = f.

4.3 Уравнения порядка

4.4 Уравнения порядка е1: оператор комбинированного МГД а—эффекта

4.5 Уравнения порядка е1: случай а—эффекта.

4.6 Уравнения порядка еп, п > 1: случай а—эффекта

4.7 Уравнения порядка е1: случай вихревой диффузии

4.8 Уравнения порядка е2: оператор комбинированной МГД вихревой диффузии

4.9 Уравнения порядка еп, п > 2: случай вихревой диффузии

4.10 Насколько редко явление отрицательной комбинированной МГД вихревой диффузии?

4.11 Выводы

Глава 5. СЛАБО НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ К ДЛИННОМАСШТАБНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

5.1 Асимптотические разложения длинномасштабных слабо нелинейных возмущений МГД состояний.

5.2 Разрешимость задач .M(w,g, q) = f.

5.3 Уравнения порядка s°

5.4 Уравнения порядка е

5.5 Уравнения порядка е1: случай вихревой диффузии

5.6 Оценки решений задачи (5.17) для пространственно-периодического МГД состояния, устойчивого к короткомасштабным возмущениям

5.7 Уравнения порядка е

5.8 Вычисление коэффициентов операторов вихревой коррекции

5.9 Выводы

Глава 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЖИМОВ ВЫНУЖДЕННОЙ КОРОТКОМАСШТАБНОЙ ГИДРОМАГНИТНОЙ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ К ДЛИННОМАСШТАБНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

6.1 Уравнения гидромагнитной тепловой конвекции и краевые условия

6.2 Асимптотические разложения длинномасштабных слабо нелинейных возмущений МГД состояний.

6.3 Разрешимость вспомогательных задач.

6.4 Оценка для гладкого векторного поля, соленоидального по быстрым переменным

6.5 Уравнения порядка £°

6.6 Уравнения порядка е1: а—эффект

6.7 Симметрии конвективной МГД системы, гарантирующие несущественность магнитного и кинематического а—эффектов

6.8 Уравнения порядка е1: несущественный а—эффект

6.9 Уравнения порядка е

6.10 Уравнения порядка еъ

6.11 Уравнения средних полей с оператором а—эффекта: длинномасштабные возмущения конвективных МГД систем вблизи бифуркации Хопфа

6.12 Уравнения средних полей с оператором а—эффекта и кубической нелинейностью: длинномасштабные возмущения конвективных

МГД систем вблизи вилочной бифуркации

6.13 Вычисление коэффициентов операторов вихревой коррекции

6.14 Выводы

Глава 7. СЛАБО НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЖИМОВ СВОБОДНОЙ КОРОТКОМАСШТАБНОЙ ГИДРОМАГНИТНОЙ

ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ К ДЛИННОМАСШТАБНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ.

7.1 Уравнения гидромагнитной тепловой конвекции, краевые условия, операторы линеаризации и асимптотические разложения длинно-масштабных слабо нелинейных возмущений МГД состояний.

7.2 Уравнения порядка £°

7.3 Разрешимость вспомогательных задач.

7.4 Уравнения порядка е1: а—эффект

7.5 Уравнения порядка е1: несущественный а—эффект

7.6 Уравнения порядка £2 и е

7.7 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория линейной и слабо нелинейной устойчивости магнитогидродинамических режимов к длинномасштабным возмущениям»

Многие космические объекты - планеты, звезды, галактики - обладают магнитным полем. Каково его происхождение - один из фундаментальных вопросов современной астрофизики.

Температура в недрах Земли существенно выше точки Кюри, при которой ферромагнитные материалы теряют намагниченность; она достигается уже на глубине 30 км [41]. Следовательно, объяснение главного магнитного поля Земли постоянной намагниченностью пород (такое предположение высказал У.Гильберт еще в 1600 г. [156]) требует ее слишком большого значения (см., однако, [201]). По палеомагнитным данным главное дипольное магнитное поле Земли существует не менее 3 • 109 лет [94] (что составляет около 2/3 всей ее истории), поэтому его также нельзя считать реликтовым магнитным полем, захваченным при аккреции Земли из межпланетного вещества, так как характерное время затухания магнитного поля в ядре порядка 25000 лет [98]. Высказывались и другие гипотезы об источнике магнитного поля Земли, такие как индукция во время магнитной бури [104], токи, образованные движением находящихся на вращающейся Земле электростатических зарядов, атомарные процессы. Однако детальное рассмотрение этих гипотез показало их несостоятельность [48].

Магнитное поле Земли подвержено изменениям, происходящим с разными временными масштабами: вековые вариации (с периодами ~ 101 — 103 лет), западный дрейф (порядка ~ 0.18° в год), инверсии (характерные периоды ~ 105 — 10б лет) [94, 116, 112]. Инверсии магнитного поля являются причиной магнитных аномалий океанического дна, возникающих вследствие термоостаточной намагниченности отвердевающих на поверхности при спрединге дна жидких расплавов базальтов, поднимающихся у океанических хребтов. Открытие магнитных аномалий океанического дна и определение кажущихся траекторий миграции магнитного полюса для разных континентов по палеомагнитным данным стимулировали развитие теории тектоники плит [37, 66, 113]. Вариации также характерны для магнитного поля Солнца. Диаграммы, известные под названием бабочки Маундера [199, 200], отражают 11-летнее периодическое изменение числа и распределения по широте солнечных пятен, связанных со всплыванием вследствие магнитной плавучести трубок магнитного тороидального поля [47]. Это соответствует 22-летней периодичности подфотосферного тороидального магнитного поля Солнца (период оказывается удвоен из-за смены полярности поля при каждом "взмахе крыльев бабочки").

Перечисленные особенности вариации главного магнитного поля Земли и магнитного поля Солнца указывают на динамический характер их происхождения. Возможная магнитогидродинамическая (МГД) природа этих полей дискутировалась уже в начале XX века [183, 184, 254]. С развитием теории гидромагнитного динамо ответ на вопрос об источнике магнитного поля различных астрофизических объектов - планет [95, 94, 96, 7-13, 168, 97, 98, 166, 251], звезд [222, 270, 271, 272, 51, 202] и галактик [53] - стало принято давать в рамках этой теории [114, 35, 39, 45, 14, 15, 283, 33, 225, 188, 47, 223, 105, 280] (этот список литературы не претендует на полноту), хотя предлагались и альтернативные гипотезы (например, [22]). Современные научные представления о механизмах генерации космических полей изложены в фундаментальных собраниях [186, 129] обзорных лекций ведущих специалистов в этой области.

Эволюция магнитного поля внутри объема проводящей жидкости описывается уравнением магнитной индукции — линейным (относительно магнитного поля) параболическим уравнением в частных производных второго порядка. Магнитное поле оказывает обратное воздействие на поток проводящей жидкости посредством силы Лоренца, квадратичной относительно магнитного поля. Следовательно, пока магнитное поле мало, его обратным влиянием на поток можно пренебречь. Таким образом, для некоторого заданного поля скорости жидкости можно получить информацию о начальной стадии эволюции изначально слабого магнитного поля, изучая решения уравнения магнитной индукции (что с математической точки зрения тождественно исследованию линейной устойчивости немагнитного состояния рассматриваемой МГД системы по отношению к чисто магнитным возмущениям). Эту задачу называют задачей о магнитном кинематическом динамо [45]. Если в пределе больших времен магнитное поле не затухает, то говорят, что при данной величине коэффициента молекулярной магнитной диффузии г] рассматриваемый поток является магнитным динамо. Когда поле скорости жидкости стационарно, определение динамо можно естественным образом переформулировать в терминах спектра оператора магнитной индукции. Пусть Л обозначает для некоторого потока v(x) и коэффициента магнитной диффузии г] доминирующее, т.е. имеющее максимальную действительную часть, собственное значение оператора магнитной индукции; v(x) является динамо при данном 77 тогда и только тогда, когда Re А > 0.

На первых этапах построения теории кинематического динамо были найдены так называемые теоремы антидинамо, т.е. условия, при выполнении которых заданный поток жидкости не является динамо. В частности, по теореме Каулинга [114, 115, 35] осесимметричный поток не может генерировать магнитное поле, имеющее ту же ось симметрии; никакое течение с тороидальным полем скорости [126, 95], и никакой плоскопараллельный (т.е. такой, что вектор скорости в любой точке пространства, заполненного жидкостью, в любой момент времени ортогонален некоторому фиксированному вектору) поток [31, 32] не могут быть динамо.

Дальнейший прогресс в развитии теории динамо связан с идеей Е.Паркера [222, 223] о возможности "циклонической" генерации магнитного поля турбулентным движением проводящей жидкости с полем скорости, не обладающим отражательной симметрией и имеющим ненулевую спиральность. Эта идея лежит в основе теории магнитной гидродинамики средних полей [266, 39, 15], в которой постулируется линейная зависимость средней (после усреднения мелкомасштабных компонент поля скорости и магнитного поля) электродвижущей силы от крупномасштабной компоненты магнитного поля (при более общем подходе — и от ее пространственных производных). С физической точки зрения предложенный Е.Паркером механизм генерации имеет следующий вид.

Согласно теореме Альвена [71], при отсутствии магнитной диффузии магнитное поле вморожено в проводящую среду, т.е. магнитные силовые линии переносятся потоком. Если проводимость жидкости достаточно велика, то спиральное течение жидкости деформирует вмороженное магнитное поле в петлю. Это сопровождается появлением тока, параллельного среднему (невозмущенному) магнитному полю. Если эффект не пропадает при усреднении по большому ансамблю "циклонов" (что возможно, например, в случае однородной, изотропной, но не зеркально-симметричной турбулентности [15, 39]), то закон Ома для крупномасштабного поля изменяется и принимает вид j = сг(Е + аВ) (здесь j — плотность тока, су - удельная электропроводность проводящей жидкости, В - среднее магнитное поле, Е - средняя напряженность электрического поля). Вновь появившееся здесь второе слагаемое описывает так называемый а—эффект.

Если в течении жидкости имеет место разделение масштабов, о;—эффект также появляется, что в этом случае может быть строго математически обосновано без привлечения дополнительных предположений о статистических свойствах флуктуирующих (т.е. зависящих от переменных, традиционно называемых "быстрыми", которые описывают короткие пространственные и/или временной масштабы) компонент потока и магнитного поля. В [16, 17] на основе теорий возмущения [34, 67] и осреднения эллиптических операторов [30, 36, 54, 78, 219, 171, 111] построено полное асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций оператора магнитной индукции для стационарных пространственно-периодических потоков, имеющих два характерных масштаба. При различных соотношениях между отношением этих масштабов и амплитудой флуктуирующей компоненты поля скорости возникают а— или 7—эффекты. В [18] численно исследована сходимость к нулевому приближению асимптотического разложения [16] для случая а—эффекта. В [24, 25, 286] тем же методом выведен тензор а—эффекта в задаче кинематического динамо для потока в осесимметричном объеме, зависящего от азимутальной быстрой переменной, и для потока в шаровом объеме, зависящего от трех сферических быстрых переменных. Математический анализ слабо нелинейной устойчивости решений частного случая этой задачи для ABC-потоков проведен в [151, 152], однако он не дал существенно новых результатов. (ABC-потоки - пространственно-периодические собственные функции оператора ротор Vx; каждая из их трех компонент есть сумма синуса и косинуса пространственных декартовых переменных с соответствующими коэффициентами [122]. Они были предложены В.И.Арнольдом [4, 5] как возможные примеры быстрого, т.е. незатухающего в пределе Rm —+ 00, динамо, поскольку траектории частиц в этих потоках обнаруживают стохастическое поведение в определенной части фазового пространства [73, 122].)

С развитием вычислительной техники появилась возможность непосредственного численного решения задач кинематического динамо для модельных ламинарных течений в разных геометриях, например, в сфере [94, 153, 154, 191, 165, 225, 181, 96, 255, 287], в плоском [292] и сферическом слое [56, 55, 255, 169], между двумя вращающимися со-осными цилиндрами [57-62, 52, 20], пространственно-периодического [6, 142-147]. Собственные значения оператора магнитной индукции сходятся при увеличении разрешения вычислений, как правило, несколько быстрее соответствующих магнитных мод [96], однако вычислительная сложность задачи быстро растет с магнитным числом Рейнольдса Rm.

При расчете эволюции магнитного поля при больших Rm необходимо пространственное разрешение порядка Rдостигаемое при аппроксимации магнитного поля с использованием O(R^) базисных функций; расчет на единицу времени требует порядка ЯЦ2 шагов. (Эти порядки величин соответствуют разрешению колмогоровского масштаба в задачах гидродинамики [100], однако из-за сходства структуры уравнений Навье-Стокса и магнитной индукции они остаются верны и для МГД задач.) Таким образом, интегрирование уравнения магнитной индукции на единицу времени требует в общем случае порядка R^ операций. Если геометрия рассматриваемого объема жидкости и краевые условия позволяют использовать трехмерное быстрое преобразование Фурье (например, когда базисные функции - тригонометрические и/или полиномы Чебышева), число операций понижается до 0(Rlr1JA In Rm). В самой благоприятной ситуации, при расчете пространственно-периодического динамо для ABC-потоков, оно растет как В сферической геометрии вычислительную сложность задачи может уменьшить применение быстрого преобразования Фурье по угловым переменным. Так или иначе, расчет при больших Rm требует значительных вычислительных затрат. Вычисления, проведенные с недостаточным разрешением, могут дать неверные результаты, в том числе пониженное пороговое значение Rm начала генерации магнитного поля. Это утверждение, несмотря на свою очевидность, неоднократно проверено в расчетах. Например, из-за недостаточного разрешения в [94, 191, 96] область сходимости численного метода не достигнута [153, 225]; примеры кажущейся генерации магнитного поля в расчетах с недостаточным разрешением приведены в [196, 197].

Современные параллельные суперкомпьютеры позволяют проводить расчеты трехмерных задач кинематического динамо для Rm ~ 103, что гораздо меньше практических потребностей астрофизики, для задач которой характерны большие значения магнитного числа Рейнольдса.

Оценка для Земли Rm = 150 [45] получена в предположении вморо-женности магнитного поля в вещество внешнего ядра при определении характерной скорости движений в ядре; она может быть завышена или занижена втрое из-за неточности определения электропроводности внешнего ядра [95]. Различные задачи магнитогидродинамики Солнца характеризуются гораздо большими значениями Rm = 104 [45], 106 [39], 3 • 107 [51].

В принципе, генерацию магнитного поля во внешнем расплавленном ядре Земли можно исследовать, численно решая систему уравнений (Навье-Стокса с учетом сил Архимеда, Кориолиса и Лоренца, магнитной индукции и теплопроводности), описывающих конвективные гидромагнитные явления. В рамках этого подхода выполнена, например, серия работ Глатцмайера с соавторами [157-162, 163, 109, 220, 247], где удалось воспроизвести дипольную в главном морфологию магнитного поля Земли и его хаотические инверсии, вычисляя решения этой системы уравнений в сферическом слое, соответствующем внешнему ядру. Однако даже современные компьютеры не позволяют выполнять расчеты с пространственным и временным разрешением, достаточным для значений параметров, характеризующих конвекцию во внешнем ядре Земли. Так, упомянутая выше серия работ Глатцмайера с соавторами выполнена для чисел Тейлора и Экмана порядка 103 и Ю-4 — Ю-6, что на порядки величин отличается от их значений для ядра Земли, ~ 109 и ~ Ю-8 — Ю-15 (две последние оценки сделаны по молекулярной и турбулентной кинематической вязкости [173]), соответственно. Для компенсации грубости (при рассмотренных значениях параметров) использованного пространственного разрешения расчеты проводили с применением численной гипервязкости, а этот способ пространственного сглаживания может существенно искажать результаты [284, 253, 285]: при использовании гипервязкости неосесимметричные компоненты поля скорости потока жидкости и магнитного поля недооцениваются по сравнению с осесимметржчными, и динольная конфигурация магнитного поля оказывается предпочтительной, тогда как без ее использования предпочтительная конфигурация - квадрупольная [99]. (Кроме того, использование гипервязкости приводит к увеличению жесткости системы обыкновенных дифференциальных уравнений Фурье-Галеркина, к которым сводится исходная система уравнений после пространственной дискретизации.) По этим причинам полученное в этой серии работ хорошее качественное соответствие результатов расчетов с реальным геодинамо следует "считать удивительным" [172].

Даже если конвекция в присутствии магнитного поля рассматривается с целью исследования магнитного поля конкретного астрофизического объекта — например, Земли — ее необходимо изучать в целой области в пространстве параметров, так как реологические соотношения [108] и значения параметров [226], входящие в систему уравнений, определяющую конвективную МГД систему, известны только приближенно. (Так, оценки коэффициента тепловой диффузии в ядре Земли отличаются на несколько порядков, см., например, [201].) При этом желательно выявить типичные режимы поведения системы и локализовать точки бифуркаций, в которых происходит его перестройка. Это невозможно сделать чисто численно из-за огромного объема требуемых вычислений; следовательно, определенную ценность имеют аналитические и гибридные аналитико-вычислительные подходы. Аналитический подход применен, например, в известных исследованиях геодинамо С.И.Брагинского [7-9] и Э.Соуорда [262, 263], где с помощью асимптотических разложений была определена величина коэффициента а—эффекта, появляющегося в рассмотренных ими МГД системах.

Возможность роста магнитного поля, поддерживаемого движением расплавленного металла, подтверждена экспериментально [127]. Вопрос о возможности такой генерации имеет не только теоретико-астрофизическую значимость, но и практическую важность в приложении к течениям расплавов в охлаждающих системах ядерных реакторов атомных электростанций [80, 230, 231, 72]. В первых экспериментальных работах [187, 192, 193, 19] генерации магнитного поля заданным потоком расплавленного металла не наблюдалось, поскольку в этих лабораторных установках достигались относительно низкие кинематические и магнитные числа Рейнольдса. В экспериментах с так называемым "а-ящиком" [69] было обнаружено возникновение а-эффекта. Генерация магнитного поля была зарегистрирована в эксперименте в Карлсруэ [245, 268, 269, 204, 276]. В установке было организовано спиральное течение расплавленного натрия по трубам диаметром существенно меньше радиуса цилиндрического объема, где генерировалось поле, со взаимно противоположным направлением течения в каждой паре соседних труб (т.е. был выбран шахматный порядок направлений). Подобное течение, впервые предложенное Дж.О. Робертсом [246] и исследованное в [275, 250, 232, 233], характеризуется значительным а—эффектом, что способствует генерации. В "рижской" экспериментальной установке (Институт физики, Саласпилс) сделана попытка реализовать динамо Пономаренко [50] с разрывом потока на цилиндрической поверхности: расплавленный натрий вовлекается вращением пропеллера в спиральное течение во внутренней части цилиндрического аппарата и течет в противоположном направлении в отделенной от нее трубой внешней части. На этой установке получены короткие записи генерации магнитного поля [134-141]. Экспериментальные исследования режимов временной эволюции магнитного поля на продолжительных интервалах времени изучались на установках с объемами расплавленного натрия и галлия цилиндрической формы в Кадараше (Комиссариат атомной энергии Франции) [88, 195, 227, 89, 203, 279, 79], в которых возможность генерации магнитного поля в МГД системах без внешнего искусственного вмешательства в геометрию потока жидкости была убедительно показана впервые в мире. Эксперименты с течениями в сферических областях проводят в Университетах Мэриленда [185, 259, 257] и Висконсина [216]. Экспериментальное исследование кратковременного нестационарного эффекта МГД-динамо, вызванного течением жидкости в тороидальном канале, проводится в Институте механики сплошных сред РАН в Перми [21, 130]. Обзор экспериментальных работ по изучению конвекции в присутствии наложенного магнитного поля для геофизических приложений приведен в [206].

В каждом из этих экспериментов в МГД системах присутствовали различные пространственные масштабы - вследствие поддержания в установке определенного искусственного течения, как в экспериментах в Саласпилсе и Карлсруэ, или из-за наличия в объеме расплава металла развитой турбулентности, как во всех остальных из перечисленных выше экспериментальных работ.

Геодинамо также характеризуется наличием структур, имеющих иерархию пространственных масштабов. Примером таких контрастных структур служит пограничный слой Экмана, возникающий в конвективных потоках вращающейся жидкости при условии прилипания на границе; его неустойчивость может быть причиной генерации магнитного поля [241-243, 249]. Пограничный слой Экмана-Хартмана также может быть неустойчив на границе ядра и мантии [120]. Взаимодействие ядра и мантии, считающееся ответственным за декадную вариацию длины дня, - другой пример важности малых масштабов в контексте геофизических приложений. Так, топографическое взаимодействие осуществляется посредством неровностей на границе раздела ядра и мантии, размеры которых не превышают 5 км (см., например, [90, 201]), что мало по сравнению с радиусом жидкого ядра, 3486 км [23] (влияние нерегуляр-ностей внешней границы жидкого ядра Земли рассмотрено в [1-3, 170]). Тогда как в этих примерах мелкомасштабные структуры находятся у границ жидкого ядра, разделение масштабов может иметь место и во всем жидком объеме, где происходит конвекция. Например, в геострофических потоках в быстро вращающихся сферических или цилиндрических слоях течение жидкости образует так называемые колоппы Тейлора, параллельные оси вращения; ширина колонн значительно меньше размеров контейнера, в котором находится жидкость. Узкие в горизонтальном направлении валы возникают в тепловой конвекции жидкости в горизонтальном слое, быстро вращающемся относительно вертикальной оси [77, 174-177] (ширина валов порядка Та-1//6, где Та - число Тейлора), и в магнитоконвекции с сильным наложенным магнитным полем, в пределе больших чисел Чандрасекара Q [198, 178-180] (ширина конвективных ячеек порядка Q-1//6 или соответственно). Наличие иерархии пространственных масштабов, между которыми происходит взаимодействие (явления прямого и обратного каскада энергии и перемежаемости), присуще турбулентности, играющей важную роль в процессах генерации [44, 68].

Уравнения эволюции МГД возмущений (в частности, магнитного поля при заданном течении проводящей жидкости) обладают важным свойством: они задаются линейным оператором, имеющими при любых величинах параметров и геометрических размерах МГД системы не пустое ядро, если это разрешается краевыми условиями. Иными словами, существуют нейтральные моды возмущений, "не чувствующие" влияния границ МГД системы. Когда размеры контейнера, в котором находится жидкость, увеличиваются, минимальные по абсолютной величине собственные значения оператора Лапласа, описывающего диссипацию энергии в системе за счет диффузионных процессов (вязкости, электрического сопротивления), стремятся к нулю: диссипация в полях, медленно изменяющихся в пространстве, мала. Поэтому естественным с физической точки зрения является вопрос: Если размеры системы достаточно велики, существуют ли экспоненциально растущие во времени моды возмущений, являющиеся длинномасштабными возмущениями короткомасштабных нейтральных мод? Рассмотрению, в частности, этого вопроса посвящена настоящая диссертация.

При математическом анализе прикладных задач гидромагнитной конвекции, в частности, возникающих в астрофизике, из-за наличия в МГД системах иерархии масштабов естественно использовать специализированные аналитические методы теории осреднения уравнений в частных производных для многомасштабных систем (см. монографии [54, 78, 219, 171, 111, 224]). Рассматривается случай, когда характерные временные и пространственные масштабы возмущения существенно больше соответствующих характерных масштабов состояния МГД системы, исследуемого на устойчивость. Полагают, что возмущение зависит не только от так называемых быстрых пространственной, х, и временной, t, переменных, но и от медленных переменных X = ex, Т — et или e2t. Для системы в слабо нелинейном режиме (в нем возмущение еще мало, но нелинейные эффекты уже существенны) делают дополнительное предположение, что амплитуда возмущения порядка е, и рассматривают полные нелинейные уравнения для возмущения. Отношение пространственных масштабов £ > 0 - малый параметр задачи, который можно использовать для ее асимптотического анализа. В дальнейшем поля, зависящие только от короткомасштабных (быстрых) переменных, будем называть коротко масштабными, а зависящие еще и от длинномасштабных (медленных) переменных, - длинно-масштабными. В этой терминологии, в настоящей работе исследуется устойчивость короткомасштабных состояний по отношению к длинно-масштабным возмущениям.

Возмущение ищут в виде степенных рядов по е. Для коэффициентов этих рядов, усредненных по быстрым переменным, представляющих длинномасштабные структуры возмущения, строго (без применения каких-либо эмпирических соотношений для замыкания) выводят замкнутую систему дифференциальных уравнений в частных производных по медленным переменным, в которой влияние малых маештабов выражается новыми слагаемыми (по аналогии с гидродинамикой обычно называемыми вихревыми поправками) с усредненными коэффициентами. Вычисление этих коэффициентов сводится к численному решению систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных по быстрым переменным - так называемых вспомогательных задач. Данные во вспомогательных задачах имеют единственный характерный пространственный масштаб - тот же самый, что и исследуемое на устойчивость состояние. Таким образом, асимптотические методы для задач со многими масштабами предоставляют возможность разделить длинно- и короткомасштабную динамику при условии, что последняя в каком-то смысле однородна. Соответственно, в вычислениях отпадает необходимость использовать разрешение, позволяющее с достаточной точностью представить всю иерархию больших и малых масштабов, что является очень важным преимуществом рассматриваемого комбинированного аналитико-вычислительного подхода. Вывод уравнений средних полей можно рассматривать как аналитическое обоснование вычислительного метода крупных вихрей [252], когда в МГД системе имеет место разделение масштабов. В этом случае вместо обычно используемых в указанном методе эмпирических формул для оценки влияния мелких масштабов на крупные и способов замыкания уравнений для средних полей ("крупных вихрей") можно использовать выведенные здесь точные асимптотические результаты - вихревые тензоры, коэффициенты которых выражаются через решения вспомогательных задач.

В гидродинамических системах подобные разложения указывают на наличие так называемого АКА-эффекта (анизотропного кинематического а—эффекта) [132, 273, 124]. В задачах МГД устойчивости с двумя масштабами уравнения средних полей, как правило, также возникают при осреднении уравнений порядка О(е) и кроме производной по медленному времени содержат единственное слагаемое, отвечающее а—эффекту (независимо от того, какой вид устойчивости - линейной или слабо нелинейной — рассматривается). Однако а—эффект может быть несущественен в главном порядке, т.е. отсутствовать в усредненных уравнениях порядка е - например, если возмущаемая МГД система обладает центральной симметрией или симметрией относительно вертикальной оси. Наличие этих симметрий не необходимо для несущественности а—эффекта - например, АКА-эффект не появляется в АВС-потоках [282]. Если а—эффект несущественен в главном порядке, нетривиальные уравнения средних полей появляются как условия разрешимости (в быстрых переменных) уравнений следующего порядка, 0(е2), и они могут описывать другие вихревые эффекты. В этом случае при рассмотрении линейной МГД устойчивости усредненные по малым масштабам главные члены разложений мод длинномасштабных возмущений стационарных МГД состояний и их инкрементов роста являются, соответственно, собственными векторами и собственными значениями оператора так называемой комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии. Это линейный оператор в частных производных по медленным пространственным переменным второго порядка, вообще говоря, анизотропный и не обязательно знакоопределенный. Если его собственные значения положительны, говорят, что имеет место явление отрицательной вихревой диффузии [265].

Указанные методы применялись для определения вихревой диффузии двумерных [260, 190, 261, 218, 217] и трехмерных [124, 189, 281, 282] течений, и было показано, что (в определенной области параметров) в них возникает эффект отрицательной вихревой вязкости. Его присутствие было непосредственно (без предварительного упрощения уравнений с помощью асимптотического анализа) численно продемонстрировано в [205] в задаче об устойчивости плоских потоков к трехмерным длинномасштабным возмущениям. При переносе пассивного скаляра вихревая диффузия может только усиливать молекулярную диффузию

81, 278, 194]. Подобные асимптотические разложения предсказывают возможность генерации магнитного поля посредством механизма отрицательной магнитной вихревой диффузии [182, 294, 293, 289], если у поля скорости есть центр симметрии, и развития линейной неустойчивости трехмерных центрально-симметричных пространственно-периодических МГД состояний [27]. Уравнения, определяющие линейную устойчивость к длинномасштабным возмущениям симметричных относительно вертикальной оси стационарных конвективных гидромагнитных систем в слое, выведены в [75, 76].

Вблизи бифуркации смены знака вихревой вязкости в течении Колмогорова слабо нелинейный режим удовлетворяет уравнению типа Ка-на-Хиллиарда с кубической нелинейностью [46] (его изучали в [256]). Усредненные нелинейные "эффективные" уравнения были применены в [125] для исследования обратного каскада энергии в течении Колмогорова. Уравнения средних полей для слабо нелинейных возмущений двумерных стационарных потоков изучали в терминах функции тока в [150, 131] (в [131] в уравнение Навье-Стокса было введено дополнительное слагаемое, описывающее (3—эффект, возникающей из-за вращения жидкости, и был рассмотрен случай малой отрицательной вязкости). Уравнения для возмущений, аналогичные по методу построения уравнениям средних полей, рассмотрены в [207, 118]; в качестве исходных, однако, в этих работах были приняты модельные уравнения, приближенно описывающие конвективные течения в слое в форме деформированных валов. В [208-211, 240] рассмотрена в переменных амплитуда - фаза полная система уравнений Буссинесковой конвекции в слое жидкости с жесткими границами и исследованы слабо нелинейная динамика системы конвективных валов и возникающие в ней дефекты. Наряду с медленными временной и горизонтальными пространственными переменными была использована медленная фаза, для которой выведено усредненное уравнение. В перечисленных в этом абзаце работах магнитное поле не рассматривалось.

В диссертации рассматривается последовательность задач возрастающей сложности о линейной и слабо нелинейной устойчивости различных трехмерных МГД систем к длинномасштабным возмущениям, в которых при несущественности а—эффекта в главном порядке возникает явление вихревой диффузии: задачи кинематического динамо для пространственно-периодических центрально-симметричных стационарных (глава 1) и периодических по времени (глава 2) потоков в трехмерном пространстве и конвективных план-форм в плоском слое (глава 3), задачи о линейной (глава 4) и слабо нелинейной (глава 5) устойчивости МГД систем в пространстве, и задача о слабо нелинейной устойчивости нестационарного конвективного динамо в плоском слое, вращающемся относительно вертикальной оси (главы 6 и 7).

В исследовании [27] автора диссертации о линейной устойчивости трехмерных МГД состояний к длинномасштабным возмущениям предполагается, что рассматриваемые состояния стационарны, пространственно-периодичны и центрально-симметричны; в статье [28] о слабо нелинейной устойчивости трехмерных центрально-симметричных МГД состояний предположения об их стационарности и пространственной периодичности не делаются. В работах [75, 76] автора диссертации с соавторами о линейной устойчивости трехмерных конвективных гидромагнитных состояний в слое предполагается, что они стационарны, периодичны по горизонтальным направлениям и симметричны относительно вертикальной оси. При исследовании устойчивости нестационарных МГД состояний усреднение необходимо проводить по всей пространственно-временной области изменения быстрых переменных, а коэффициенты вихревых тензоров - константы (в частности, не зависят от времени; таким образом, исследование временной зависимости вихревой вязкости от времени [149] не имеет под собой математического основания). В работах [29, 290] автора диссертации о слабо нелинейной устойчивости трехмерных конвективных гидромагнитных состояний в слое предположения об их стационарности, периодичности и симметрии заменены на более общие условия корректности пространственно-временных усреднений (т.е. однородности возмущаемых состояний) и несущественности а—эффекта в главном порядке. Хотя условия стационарности и пространственной периодичности наиболее удобны для вычисления решений вспомогательных задач, их необходимо ослабить, чтобы уравнения средних полей были применимы для исследования устойчивости таких режимов, как, например, хаотические спиральные дефекты, развивающиеся в процессе эволюции регулярных структур тепловой конвекции (см. рис. 5b,d,f в [86]).

В задачах о слабо нелинейной устойчивости МГД состояний уравнения для средних полей возмущений оказываются обобщением стандартных уравнений магнитогидродинамики. Кроме стандартных, в них появляются также дополнительные слагаемые: линейный оператор комбинированной вихревой диффузии и квадратичные члены, аналогичные адвективным [28, 29, 290] (в этих работах также обобщен метод [289] экономного вычисления коэффициентов вихревой диффузии и адвекции в уравнениях средних полей посредством рассмотрения вспомогательных задач для сопряженного оператора). Нестационарность возмущаемого МГД состояния при отсутствии симметрий, гарантирующих несущественность а—эффекта в главном порядке, может привести к появлению в уравнениях средних полей нелокальных операторов.

В работах [29, 290] автора диссертации рассматривается слабо нелинейная устойчивость процесса генерации магнитного поля вынужденной конвекцией Рэлея-Бенара в слое, вращающемся вокруг вертикальной оси. (Под вынужденной конвекцией мы понимаем случай, когда в слое жидкости или на границе присутствуют заданные силы и/или источники тепла и магнитного поля.) Такая постановка задачи, более общая, чем в предшествующих работах, естественнее для геофизических приложений, но приводит к следующей алгебраической трудности. Стандартный метод вывода уравнений для средних полей возмущений использует то обстоятельство, что ядро оператора, сопряженного к оператору линеаризации уравнений эволюции рассматриваемой конвективной МГД системы в окрестности состояния, устойчивость которого исследуется, содержит векторные поля — константы. Уравнения средних полей для возмущения являются условием разрешимости уравнений в быстрых переменных, которое по теореме об альтернативе Фредгольма состоит в ортогональности неоднородной части уравнения ядру сопряженного оператора и в рассматриваемом случае эквивалентно равенству нулю ее среднего. (Векторные поля из ядра сопряженного оператора должны удовлетворять краевым условиям для этого оператора; таким образом, вид и число усредненных уравнений зависят от поставленных краевых условий. Мы рассматриваем конвекцию в слое со свободными горизонтальными электропроводными границами, поддерживаемыми при постоянных температурах; в этом случае краевые условия для сопряженного оператора имеют тот же самый вид, и размерность ядра максимальна, благодаря чему выведенные уравнения средних полей имеют наиболее общий вид.) При наличии силы Ко-риолиса ядро сопряженного оператора содержит константы, если разрешить линейный рост по горизонтальным направлениям потенциала вычитаемого градиента. Однако тогда при усреднении появляется поверхностный интеграл давления, не имеющий вид дифференциального оператора от средних полей возмущений. Чтобы обойти эту сложность, уравнение Навье-Стокса удобно рассматривать в форме уравнения для завихренности. Уравнение для усредненного возмущения течения получается тогда как условие разрешимости уравнения при е3, а не £2, как обычно. Если конвективная гидромагнитная система в слое асимптотически близка к симметричной (например, если в исходной системе происходит бифуркация Хопфа с потерей симметрии, и значение параметра бифуркации отличается от бифуркационного на величину порядка s2), то условие несущественности а—эффекта в главном порядке также выполнено, но в уравнениях средних полей появляется слагаемое, описывающее а—эффект. Аналогично рассмотрен случай вилочной бифуркации с потерей симметрии (также для случая, когда значение параметра бифуркации отличается от его значения в точке бифуркации на величину порядка £2). В этом случае уравнения средних полей дополняются уравнением с кубической нелинейностью для амплитуды короткопериодной моды из ядра оператора линеаризации уравнений гидромагнитной конвекции.

Вывод уравнений устойчивости процесса генерации магнитного поля свободной конвекцией Рэлея-Бенара в слое, вращающемся вокруг вертикальной оси, выполнен автором диссертации в статье [291]. Из-за отсутствия сил и источников тепла и магнитного поля возмущаемое состояние инвариантно относительно сдвигов во времени и пространстве, что приводит к увеличению размерности и изменению структуры ядра оператора линеаризации. Тогда как среднее возмущение магнитного поля порядка е, среднее возмущение скорости течения оказывается порядка £2, а при исследовании устойчивости стационарных конвективных МГД состояний, симметричных относительно вертикальной оси или центра - порядка е3. В предположении о несущественности а—эффекта в главном порядке поведение возмущения описывается системой из 4 (в случае стационарного) или 5 (в случае эволюционного возмущаемого состояния) уравнений. Эта замкнутая система смешанного типа не содержит уравнение среднего поля для возмущения скорости течения: уравнения для усредненного возмущения магнитного поля — эволюционные, а остальные не включают в себя производные по медленному времени и операторы молекулярной диффузии. Если конвективное МГД состояние стационарно и имеет симметрию указанного типа (что гарантирует несущественность о;—эффекта), то условие соленоидальности среднего возмущения потока оказывается дифференциальным уравнением третьего порядка с кубической нелинейностью. В приложении приведены численные примеры свободных конвективных гидромагнитных систем в слое, устойчивых к короткомасштабным возмущениям и симметричных относительно вертикальной оси, вследствие чего для них выполнено условие несущественности а—эффекта, слабо нелинейная устойчивость которых к длинномасштабным возмущениям описывается выведенной системой амплитудных уравнений.

Цель работы состояла в аналитическом и численном изучении модельных задач магнитогидродинамической устойчивости, линейной и слабо нелинейной, по отношению к возмущениям, имеющим большие масштабы, с учетом факторов, важных для гео- и астрофизических приложений. Цель работы определила постановку задач:

- построение асимптотических разложений в степенной ряд по отношению пространственных масштабов магнитных мод и инкрементов их роста в задаче о генерации в кинематическом режиме магнитного поля, имеющего большие пространственные масштабы, пространственно-периодическими центрально-симметричными течениями проводящей жидкости, стационарными или периодическими по времени;

- расчет с использованием полученных выражений для оператора магнитной вихревой диффузии величин коэффициента магнитной вихревой (турбулентной) диффузии для ансамблей стационарных и периодических по времени потоков, моделирующих турбулентные течения проводящей жидкости в пространстве, а также для конвективных план-форм в горизонтальном слое;

- вывод уравнений, определяющих главные члены асимптотических разложений в степенной ряд по отношению пространственных масштабов мод линейной устойчивости и инкрементов их роста, а также слабо нелинейных возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, в задаче об устойчивости процесса генерации магнитного поля в трехмерном пространстве;

- расчет с использованием полученных выражений для оператора комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии коэффициента вихревой диффузии для ансамблей стационарных МГД конфигураций, моделирующих турбулентные МГД состояния проводящей жидкости в пространстве;

- вывод уравнений средних полей и амплитудных уравнений для возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, в задаче о слабо нелинейной устойчивости МГД режимов вынужденной и свободной Буссинесковой конвекции проводящей жидкости в слое, вращающемся вокруг вертикальной оси, для отдельно рассматриваемого режима и для ветвей режимов вблизи точек бифуркаций с потерей сим-метрий;

- расчет конвективных гидромагнитных режимов во вращающемся относительно вертикальной оси слое жидкости, устойчивых к корот-комасштабным возмущениям и симметричных относительно вертикальной оси, к которым применима построенная в диссертации теория слабо нелинейных длинномасштабных возмущений.

Актуальность темы. Теория гидромагнитного динамо - фундамент теории магнитных полей планет и других астрофизических объектов. Однако чисто вычислительный подход к решению задач в этой области знаний для величин параметров, характерных для астрофизики, невозможен в силу необходимости проведения огромного объема вычислений. Таким образом, актуальны попытки применения к основополагающим уравнениям, описывающим естественные процессы генерации магнитного поля, гибридных аналитико-вычислительных методов на примере анализа модельных задач магнитной гидродинамики и гидромагнитной конвекции в областях с простой геометрией. Наличие в природных астрофизических динамо и в данных, полученных на экспериментальных установках, иерархии пространственных и временных масштабов предполагает приложение асимптотических методов теории осреднения эллиптических операторов в системах со многими масштабами.

Научная новизна. В настоящей работе впервые:

- в задачах линейной и слабо нелинейной устойчивости различных магнитогидродинамических систем выведены уравнения средних полей для возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, и построено решение задач о линейной устойчивости во всех порядках;

- численно показано, что в значительной доли модельных МГД систем развивается длинномасштабная неустойчивость в результате действия механизма отрицательной комбинированной вихревой диффузии, наличие мелких масштабов благоприятно для генерации магнитного поля, а появлению отрицательной магнитной вихревой диффузии способствует стационарность потока проводящей жидкости;

- найдено, что при рассмотрении возмущений МГД режимов, симметричных относительно вертикальной оси, се—эффект несущественен в главном порядке;

- выведены замкнутые системы уравнений средних полей и амплитудных уравнений в задаче о слабо нелинейной устойчивости к возмущениям, имеющим большие пространственные масштабы, вынужденных и свободных конвективных гидромагнитных режимов проводящей жидкости в слое, вращающемся относительно вертикальной оси;

- показано, что, в отсутствие существенного се—эффекта в главном порядке, уравнения средних полей возмущений обобщают обычные уравнения магнитогидродинамики: кроме обычных, в них присутствуют операторы, отвечающие как ранее известным физическим эффектам (вихревой диффузии и адвекции, вблизи точки потери симметрии возмущаемого поля - а—эффекту), так и не рассматривавшимся ранее (описываемым нелокальными операторами); при рассмотрении вилочной бифуркации с потерей симметрии уравнения средних полей дополняются уравнением для амплитуды короткомасштабной моды, имеющей кубическую нелинейность; кубическая нелинейность присутствует также в системе амплитудных уравнений, описывающих эволюцию длинномасштабных возмущений стационарных режимов, симметричных относительно вертикальной оси или центра, свободной тепловой гидромагнитной конвекции.

Практическая значимость работы. Полученные в ходе проведенных исследований результаты существенно развивают теорию маг-нитогидродинамической устойчивости, и, в частности, теорию генерации магнитного поля, что может быть охарактеризовано как новое крупное научное достижение. Идентификация в настоящей работе новых типов' физических эффектов, действующих на средние поля возмущений, расширяет представления о процессах развития длинномасштаб-ной гидродинамической и МГД неустойчивости и предоставляет возможность понять их механику. Результаты работы будут использованы при построении моделей процессов внутри астрофизических объектов (например, в расплавленном внешнем ядре Земли), и, в частности, земного и солнечного магнетизма, а также для анализа устойчивости процессов в различных экспериментальных и технологических установках, - где, например, используются конвективные течения в слое жидкости с возможным присутствием магнитных полей и вращения. Методы, развитые в диссертации, и полученные результаты имеют большую степень общности и применимы для решения широкого спектра задач определения "эффективных" величин параметров, описывающих свойства композитных материалов, что особенно практически важно в применении к моделированию поведения многокомпонентных материалов, являющихся продуктом нанотехнологий.

Выведенные в работе точные аналитические выражения для операторов, описывающих а—эффект и комбинированную вихревую диффузию, должны воспроизводиться при приложении к рассмотренным задачам алгоритмов, предлагаемых в рамках метода крупных вихрей, и, тем самым, их можно использовать для тестирования этих новых алгоритмов.

Предложенные методы экономного вычисления коэффициентов вихревой (турбулентной) диффузии и адвекции в МГД системах также приложимы для вычисления коэффициентов других слагаемых, возникающих в уравнениях средних полей для усредненного линейного или слабо нелинейного возмущения. Они позволяют в несколько раз снизить объем вычислений, необходимых для определения этих коэффициентов.

Эти методы реализованы в виде программ расчета магнитной и комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии. Программы написаны на ядре нормативного диалекта языка ФОРТРАН-95, благодаря чему легко переносимы и эффективны. Они экономно используют ресурсы, обладают большим быстродействием вследствие как использования разработанных математических алгоритмов, так и тщательной оптимизации на уровне программирования.

Личный вклад автора. Постановка задач, решенных в диссертации, за исключением задачи, рассмотренной в главе 1, принадлежит автору диссертации. В решении задач, представленных в главах 1 и 2 [294, 293], (также как в статьях с соавторами [76, 237,148, 292] на связанные с диссертационной работой темы) математический анализ (построение решений в виде асимптотических разложений), разработка алгоритмов численного решения (вычисления решений вспомогательных задач и коэффициентов тензора вихревой магнитной вязкости), и часть программирования выполнены автором диссертации. Результаты, изложенные в главах 3-7 и приложении, получены автором диссертации единолично.

Структура работы. Диссертация объемом 339 стр. состоит из оглавления, введения, 7 глав, заключения, списка литературы (294 работы) и приложения. В диссертации 3 таблицы и 28 рисунков.

Главы 1-3 посвящены рассмотрению задачи о генерации длинно-масштабного магнитного поля в кинематической постановке, главы 4 и 5 - задач о линейной и слабо нелинейной устойчивости трехмерных МГД режимов в пространстве, главы 6 и 7 — задач о линейной и слабо нелинейной устойчивости процессов генерации магнитного поля вынужденной и свободной тепловой конвекцией в горизонтальном слое жидкости, вращающейся относительно вертикальной оси.

Выполнение работы. Работа над диссертацией проводилась в Лаборатории геодинамики Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН. Основные расчеты были выполнены автором во время научных визитов автора в Обсерваторию Лазурного берега (Ницца, Франция), Университет Эксетера (Великобритания) и Университет Порто (Португалия).

Апробация результатов. Основные результаты исследований по теме диссертационной работы изложены в 34 публикациях на русском и английском языках, в т.ч. в 15 статьях в реферируемых международных и российских журналах. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, Института механики МГУ, Института математических наук им. Исаака Ньютона (Кембридж, Великобритания), Школы инженерных наук, вычислений и математики Университета Эксетера (Великобритания), Обсерватории Лазурного берега (Франция) и Отделения прикладной математики Факультета естественных наук Университета Порто (Португалия), а также представлялись на отечественных и международных конференциях: Международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1998-2006 гг.); Международном семинаре "Динамо в лаборатории, на компьютерах и в небесах" (Нордита, Копенгаген, Дания, 2001 г.); Симпозиуме Лондонского Математического общества "Астрофизическая гидродинамика" (Университет Дарэма, Великобритания, 2002 г.); Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Секция механики, МГУ, Москва, 2003, 2005, 2006 гг.); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.); XII Школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2004 г.); Конференции "Современные проблемы механики", посвященной 40-летию Института механики МГУ (1999 г.).

Благодарности. Автор диссертации выражает благодарности академику РАН В.И.Кейлису-Бороку и члену-корреспонденту РАН А.А.Соловьеву за их постоянную поддержку в работе; члену-корреспонденту АН Франции профессору У.Фришу и члену Королевского Общества Великобритании профессору Э.Соуорду за многолетнее научное общение и помощь; члену Королевского Общества Великобритании М.Проктору, профессорам Э.Гильберту, К.Джонсу и К.Жангу за многочисленные обсуждения; доктору С.Гама за плодотворное сотрудничество; своим аспирантам в Университете Порто М.Баптиста и Р.Чертовских за неиссякающий энтузиазм; коллективу Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН за творческую атмосферу и постоянную поддержку; наконец, в последнюю очередь по порядку, но не по значимости, своей жене к.ф.-м.н. О.М.Подви-гиной за постоянное содействие. Автор также благодарен Министерству научных исследований и технологий Франции и Королевскому Обществу Великобритании за финансирование его неоднократных визитов в научные центры этих стран. Основная часть вычислений сделана автором диссертации в Обсерватории Лазурного берега с использованием вычислительных средств, предоставленных в рамках Программы "Simulations Interactives et Visualisation en Astronomie et Mecanique (SIVAM)" (Интерактивное моделирование и визуализация в астрономии и механике) и следующей фазы этой Программы "Mesocentre SIGAMM". Работа частично финансировалась РФФИ (грант 04-05-64699).

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Желиговский, Владислав Александрович

7.7 Выводы

1) В этой главе исследована, в приближении Буссинеска, слабо нелинейная устойчивость к длинномасштабным возмущениям режимов V, Н, в течения вязкой несжимаемой электропроводной жидкости в горизонтальном слое, подогреваемом снизу и вращающемся относительно вертикальной оси, в присутствии магнитного поля. Рассмотрен случай свободной конвекции, т.е. предполагалось, что в уравнениях (6.1)—(6.3), описывающих конвективное магнитное динамо, устойчивость которого мы изучали, и в краевых условиях (6.5)-(6.7) и (6.11) любые источни-ковые слагаемые отсутствуют. Такие системы трансляционно инвариантны относительно сдвигов в пространстве и времени. С помощью методов усреднения для уравнений в частных производных, в разделе (7.4) выведены выражения (7.18) и (7.24) для тензоров комбинированного вихревого се—эффекта. Если конвективное МГД состояние V, Н, 0 симметрично относительно центра или вертикальной оси, возможно, со сдвигом по времени, то операторы вихревого се—эффекта не дают вклад в амплитудные уравнения для коэффициентов старшего порядка, т.е. се—эффект несущественен в главном порядке. В предположении несущественности се—эффекта в главном порядке (из-за наличия симметрий, или по другим причинам) была также выведена замкнутая система амплитудных уравнений (7.54) и (7.55), дополненная (7.35), если исследуемый на устойчивость режим не стационарен, и условиями соленоидаль-ности в медленных переменных для среднего возмущения магнитного поля ( (6.24) при п = 0) и главного члена разложения среднего возмущения течения. В системе без се—эффекта общего положения последнее условие формулируется для потока (7.34). Если же режим V, Н, 0 стационарен и симметричен относительно центра или вертикальной оси, то ((vi))/, = 0, и оно тривиально выполнено; тогда недостающее амплитудное уравнение - условие соленоидальности для главного члена разложения среднего возмущения течения (7.60).

2) Как и в случае вынужденной тепловой МГД конвекции, изученном в предыдущей главе, в амплитудных уравнениях присутствуют линейный оператор комбинированной вихревой коррекции диффузии и квадратичный оператор коррекции адвекции. Обобщенная вихревая коррекция диффузии описывается нелокальным псевдодифференциальным оператором, формально второго порядка, как и обычная диффузия; он возникает в амплитудных уравнениях только, если возмущаемый режим нестационарен и не имеет пространственных симметрий указанного типа (без сдвига по времени). Все операторы вихревой коррекции анизотропны. На этом сходство амплитудных уравнений для усредненных возмущений в случае вынужденной и свободной конвекции заканчивается. Из-за разницы в структуре ядер операторов линеаризации в окрестности рассматриваемого режима, система амплитудных уравнений для возмущений режимов свободной конвекции, выведенная в этой главе, - смешанного типа и не содержит уравнения среднего ноля для возмущения скорости течения. Тогда как уравнения (7.55) для усредненного возмущения магнитного поля эволюционные, остальные уравнения (7.54) и (7.35) не включают в себя ни производных по (медленному) времени, ни операторов молекулярной диффузии. Если конвективное МГД состояние V, Н, в стационарно и имеет симметрию, гарантирующую несущественность см—эффекта, то условие соленоидальности потока (7.60) оказывается неэволюционным дифференциальным уравнением третьего порядка с кубической нелинейностью.

3) Вследствие пространственной и временной инвариантности свободных конвективных МГД состояний нейтральные моды линейной устойчивости S^ и S''1 - решения уравнений (7.1)-(7.3). Они удовлетворяют краевым условиям, какую бы их физически осмысленную комбинацию для скорости потока, магнитного поля и температуры ни рассматривали (отсутствие напряжений или прилипание, границы из совершенного проводника или диэлектрика, изотермические или пропускающие постоянный тепловой поток сквозь слой леидкости). Существование других решений задачи (7.1)-(7.3) зависит от выбора граничных условий и значений параметров. Например, для конвективных МГД режимов потока электропроводной жидкости во вращающемся слое, заключенном между полупространствами из диэлектрика с изотермическими горизонтальными границами с прилипанием, для значений параметров, отвечающих ситуации общего положения, набор нейтральных мод минимален - он исчерпывается тремя перечисленными выше модами. Наличие нейтральных мод открывает возможность проведения аналогичного анализа линейной или слабо нелинейной устойчивости конвективных МГД режимов к длинномасштабным возмущениям для условий на горизонтальных границах, отличных от рассмотренных в этой главе, тогда как при наборе краевых условиях как в приведенном примере подобный анализ устойчивости для режимов вынужденной конвекции невозможен.

4) Подобно тому, как это было сделано в главе 6 для случая вынужденной конвекции, вывод амплитудных уравнений, описывающих слабо нелинейную устойчивость к длинномасштабным возмущениям, можно выполнить для ветвей конвективных МГД режимов, возникающих в бифуркациях типа Хопфа и вилки с потерей симметрии. В первом случае тогда в амплитудных уравнениях возникают новые слагаемые, аналогичные оператору а—эффекта, а во втором появляется дополнительное амплитудное уравнение с кубической нелинейностью. Хотя соответствующие алгебраические вычисления не требуют разработки новых подходов, технически они весьма громоздки, и поэтому здесь не сделаны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены три задачи теории магнитогидроди-намической устойчивости - о кинематическом динамо (главы 1-3), о линейной и слабо нелинейной устойчивости МГД состояний в пространстве (главы 4 и 5), и о линейной и слабо нелинейной устойчивости процессов генерации магнитного поля конвективными течениями (главы б и 7). Предполагается, что возмущаемые состояния короткомасштабны, а возмущения имеют большие пространственные и временные масштабы. Соответственно, для изучения этих задач использованы асимптотические методы, и построены решения в форме степенных рядов по малому параметру е - отношению характерных пространственных масштабов.

Детали постановок этих задач варьируются. В задаче о динамо рассмотрены стационарные или периодические во времени течения, периодические в трехмерном пространстве, и конвективные план-формы в слое. В задаче о линейной устойчивости МГД состояний предполагается периодичность этих состояний в пространстве, но при изучении слабо нелинейной устойчивости в процессе дальнейшего рассмотрения задачи показано, что условие периодичности излишне ограничительно - его роль сводится к обеспечению существования решений вспомогательных задач при отсутствии в ядре оператора линеаризации системы короткомасштабных нейтральных мод, - и, соответственно, его можно снять. Наконец, в задаче о слабо нелинейной устойчивости процессов генерации магнитного поля конвективными течениями в горизонтальном слое рассмотрены случаи вынужденной и свободной конвекции, и дополнительно предполагается возможность вращения жидкости вокруг вертикальной оси.

Несмотря на эти различия в постановках рассматриваемых задач, построенные решения имеют ряд существенных общих структурных свойств. Поведение возмущения как в линейной, так и в слабо нелинейной фазе эволюции описывается амплитудными уравнениями (которые в ряде случаев имеют смысл уравнений средних полей возмущения) для главных членов разложения возмущения. Эти уравнения — условия разрешимости линейных систем уравнений в частных производных по быстрым переменным, последовательно определяющих члены разных порядков разложения возмущения в ряд по е. Для МГД систем общего положения отношение временных характерных масштабов порядка отношения пространственных масштабов £, а амплитудные уравнения задаются линейными операторами первого порядка в частных производных по медленным пространственным переменным. Такая структура позволяет считать эти операторы описывающими анизотропный комбинированный а—эффект (в котором одновременно представлены и магнитный, и кинематический а;—эффекты); в этой работе он назван существенным а—эффектом в главном порядке. Операторы, описывающие любые другие эффекты, например, диффузию, отсутствуют, также как при рассмотрении слабо нелинейной устойчивости - какая-либо нелинейность. Такие уравнения в неисключительных случаях всегда имеют неограниченно экспоненциально (и даже сверхэкспоненциально) растущие в медленном времени решения, пока амплитуда возмущений не становится настолько большой, что предположения, при которых выведены амплитудные уравнения для возмущения, оказываются нарушены (а в исключительных случаях характер поведения в медленном времени любой длинномасштабной моды — гармонические колебания).

Коэффициенты а—тензоров в амплитудных уравнениях могут оказаться равны нулю - тогда в нашей терминологии а—эффект несущественен в главном порядке. Эта ситуация характерна для МГД систем с симметриями. Для МГД систем, заданных во всем пространстве, несущественность а—эффекта в главном порядке гарантируется наличием симметрии относительно центра, а для МГД систем в слое - также симметрии относительно вертикальной оси, причем для МГД режимов, имеющих временную периодичность, эти симметрии могут быть со сдвигом во времени (определения даны в разделе 6.7). Если с*—эффект несущественен в главном порядке, принимается отношение характерных масштабов медленного и быстрого времени порядка е2. В уравнениях для возмущений таких МГД систем наблюдается большее разнообразие вихревых эффектов, т.е. эффектов, вызванных усредненным воздействием короткомасштабных деталей возмущения на зависящие только от медленных переменных амплитуды нейтральных мод оператора линеаризации уравнений магнитогидродинамики в окрестности режима, устойчивость которого изучается.

Один из таких эффектов - комбинированная анизотропная вихревая коррекция диффузии. Как и в случае комбинированного а—эффекта, считается, что соответствующий оператор описывает вихревую коррекцию диффузии, поскольку его структура не противоречит такой идентификации, - это дифференциальный оператор второго порядка. Оператор вихревой диффузии (сумма операторов молекулярной диффузии и вихревой коррекции), однако, не знакоопределен, он может иметь положительные собственные значения; им отвечают экспоненциально растущие (в линейном режиме) моды неустойчивости. В этом случае говорят об эффекте отрицательной вихревой диффузии. В диссертации выведены формулы, определяющие коэффициенты оператора вихревой коррекции диффузии как средние от произведений, в которые входят решения вспомогательных задач, и разработан метод, позволяющий минимизировать число подлежащих численному решению вспомогательных задач для вычисления полного набора его коэффициентов. Свойства оператора магнитной вихревой диффузии для искусственно сконструированных потоков и МГД состояний, моделирующих короткомасштабную турбулентность, детально численно исследованы в главах 1-3, комбинированной МГД вихревой диффузии - в главе 4. Найдено, что в большой доле случаев эффект отрицательной вихревой диффузии действительно имеет место, причем, как и следует ожидать, неустойчивость МГД режимов к длинномасштабным возмущениям, имеющим ненулевые составляющие как течения, так и магнитного поля, возбуждается посредством механизма отрицательной вихревой диффузии легче, чем в кинематическом динамо, когда только магнитное поле (нулевое в невозмущенном состоянии) подвергается возмущению.

В амплитудных уравнениях для длинномасштабных возмущений МГД режимов с несущественным в главном порядке о;—эффектом возникают также операторы другой природы - анизотропные нелокальные псевдодифференциальные операторы второго порядка в медленных пространственных переменных; такая структура, видимо, позволяет рассматривать их как операторы, описывающие нестандартные нелокальные вихревые диффузионные процессы. Они возникают, если возмущаемое короткомасштабное МГД состояние нестационарно и не имеет пространственной симметрии относительно центра или вертикальной оси (однако может иметь пространственно-временную симметрию такого вида с ненулевым сдвигом по времени). Первоначально псевдодифференциальный оператор в медленных переменных возникает в процессе конструирования разложения при рассмотрении условия соленоидальности в медленных переменных второго члена разложения поля возмущения скорости течения жидкости, усредненного по быстрым пространственным переменным; таким образом, физически он связан с действием компоненты давления, обеспечивающей несжимаемость возмущения потока в среднем по медленным пространственным переменным. Оператор нелокальной диффузии имеет природу а—эффекта, вызванного наличием флуктуирующей в быстром времени компоненты второго члена разложения возмущения скорости, которая описывается указанным псевдодифференциальным оператором. Насколько нам известно, впервые этот эффект рассмотрен автором диссертации. При рассмотрении слабо нелинейной устойчивости индивидуальных МГД состояний при условии несущественности о;—эффекта в главном порядке в амплитудных уравнениях появляются квадратичные операторы в частных производных первого порядка по медленным пространственным переменным. Они возникают при усреднении адвективных слагаемых, и потому идентифицированы как операторы анизотропной вихревой адвекции. Операторы а—эффекта в этих уравнениях отсутствуют, что алгебраически связано с исходным предположением о несущественности се—эффекта в главном порядке (хотя амплитудные уравнения - результат усреднения уравнений, описывающих поведение членов разложения возмущения второго или третьего порядков малости).

Сосуществование а—эффекта с диффузионными операторами в амплитудных уравнениях имеет место при рассмотрении устойчивости к длинномасштабным возмущениям МГД* режимов; зависящих от параметрам, если они слабо несимметричны (имеются в виду симметрии, гарантирующие несущественность а—эффекта в главном порядке, перечисленные выше), и несимметричная часть порядка е. Это происходит, если силы и/или источники, действующие в МГД системе, поведение возмущений которой исследуют, имеют несимметричную часть порядка е, или если в ней происходит бифуркация с потерей симметрии типа Хопфа или вилки. В случае бифуркации типа вилки число амплитудных уравнений увеличивается на одно, и в новом уравнении присутствует кубическая нелинейность. Это естественно, т.к. возникновение нелинейности в амплитудных уравнениях вблизи точки бифуркации - известное явление. (Сосуществование а—эффекта в амплитудных уравнениях с оператором молекулярной диффузии также имеет место, если амплитуда исследуемого на устойчивость МГД состояния порядка -у/ё, см. исследования [16, 24, 25] задач кинематического динамо с разделением масштабов.)

Во всех рассмотренных выше случаях амплитудные уравнения эволюционные, т.е. задают выражения для частных производных каждой амплитуды по медленному времени. При изучении устойчивости режимов свободной тепловой МГД конвекции в горизонтальном слое жидкости (когда отсутствуют какие-либо источниковые слагаемые, и на жидкость не действуют никакие силы, отличные от сил Архимеда, Лоренца и Кориолиса) это свойство системы амплитудных уравнений пропадает: эволюционными остаются только уравнения, описывающие поведение среднего возмущения магнитного поля. Если возмущаемый режим свободной тепловой МГД конвекции стационарен и имеет симметрию, гарантирующую несущественность а—эффекта в главном порядке, то одно из амплитудных уравнений оказывается уравнением в частных производных третьего порядка по медленным пространственным переменным и имеет кубическую нелинейность (несмотря на то, что рассматривается возмущение индивидуального конвективного МГД режима, а не параметризованная отношением масштабов е ветвь режимов, рождающихся в какой-либо бифуркации). Можно ожидать, что из-за присутствия кубической нелинейности поведение возмущений стационарных симметричных режимов свободной МГД конвекции, как и возмущений режимов вынужденной МГД конвекции, появляющихся в вилочной бифуркации, демонстрирует наибольшее многообразие типов поведения. Численно найдены примеры стационарных и периодических по времени симметричных относительно вертикальной оси пространственно-периодических по горизонтальным направлениям короткомасштаб-ных режимов свободной тепловой МГД конвекции, устойчивых по отношению к короткомасштабным возмущениям (см. приложение). Автор диссертации планирует провести численный анализ решений системы амплитудных уравнений для этих режимов в непосредственном будущем.

Аналитические результаты, полученные в диссертации, имеют непосредственное значение для практики астрофизического и геофизического моделирования. Они, в частности, показывают, что выбор набора вихревых эффектов (cv—эффекта, вихревых диффузии, нелокальной диффузии и адвекции), используемых в модели, необходимо начинать с рассмотрения предполагаемых свойств короткомасштабной турбулентности, ответственных за наличие этих эффектов в модели. В частности, широко распространенное обоснование использования в вычислениях завышенных коэффициентов молекулярной вязкости тем аргументом, что используется не молекулярная, а турбулентная вязкость, корректно только, если объяснено, почему в рассматриваемой МГД системе отсутствует а—эффект в главном порядке. Отметим, что ни одно из выведенных в диссертации выражений для коэффициентов вихревых операторов, в частности, cv—тензора, не содержит спиральности потока или магнитного поля, как предложено, например, в [83-85, 128]. Равным образом, они не имеют формы эвристических выражений, рассмотренных разными авторами (см. [277, 164, 101, 102, 121]), хотя нельзя исключить, что асимптотический анализ решений вспомогательных задач может привести к подобным формулам в пределах больших магнитных чисел Рейнольдса и/или других параметров.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Желиговский, Владислав Александрович, 2008 год

1. Ануфриев А.П., Брагинский С.И. О влиянии неровностей границы земного ядра на скорость жидкости и магнитное поле // Геомагнетизм и аэрономия. - 1975. - Т. 15. - Мб. - С. 1075-1082.

2. Ануфриев А.П., Брагинский С.И. О влиянии неровностей границы земного ядра на скорость жидкости и магнитное поле. II // Геомагнетизм и аэрономия. 1977. - Т. 17. -Ml.- С. 122-129.

3. Ануфриев А.П., Брагинский С.И. О влиянии неровностей границ земного ядра на скорость жидкости и магнитное поле. III // Геомагнетизм и аэрономия. 1977. Т. 17. - Af° 4. - С. 742-750.

4. Арнольд В.И. Несколько замечаний об антидинамо-теореме // Вестн. МГУ. Сер. матем. 1982, М 6. - С. 50-57.

5. Арнольд В.И. Об эволюции магнитного поля под действием переноса и диффузии // Некоторые вопросы современного анализа. -Изд-во МГУ, 1984. С. 8-21.

6. Арнольд В.И., Коркина Е.И. Рост магнитного поля в трехмерном стационарном потоке несжимаемой жидкости // Вестн. МГУ. Сер. матем. 1983, МЗ. - С. 43-46.

7. Брагинский С.И. О самовозбуждении магнитного поля при движении хорошо проводящей жидкости // ЖЭТФ. 1964. - Т. 47. -Вып. 3. - С. 1084-1098.

8. Брагинский С.И. К теории гидромагнитного динамо // ЖЭТФ. -1964. Т. 47. - Вып. 6. - С. 2178-2193.

9. Брагинский С.И. Кинематические модели гидромагнитного динамо Земли // Геомагнетизм и аэрономия. 1964. - Т. 4. - М 4. - С. 732747.

10. Брагинский С.И. Магнитогидродинамика земного ядра // Геомагнетизм и аэрономия. 1964. - Т. 4. - Л/° 5. - С. 898-916.

11. Брагинский С.И. Магнитные волны в ядре Земли // Геомагнетизм и аэрономия. 1967. - Т. 7. - Л&6. - С. 1050-1060.

12. Брагинский С.И. Почти аксиально-симметричная модель гидромагнитного динамо Земли. I // Геомагнетизм и аэрономия. 1975. -Т. 15. -Л/а 1. - С. 149-156.

13. Брагинский С.И. Теоретические исследования геомагнитного динамо / / Итоги науки и техники. Геомагнетизм и верхние слои атмосферы. М.: ВИНИТИ, 1980. - Вып. 5. - С. 96-130.

14. Вайнштейн С.И. Магнитные поля в космосе. М.: Наука, 1983. -237 с.

15. Вайнштейн С.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Турбулентное динамо в астрофизике. М.: Наука, 1980. - 352 с.

16. Вишик М.М. Периодическое динамо // Математические методы в сейсмологии и геодинамике. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1986. - Вып. 19. - С. 186-215.

17. Вишик М.М. Периодическое динамо. II // Численное моделирование и анализ геофизических процессов. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1987. - Вып. 20. - С. 12-22.

18. Вишик М.М., Резников E.JI. О возбуждении магнитного поля мелкомасштабным потоком несжимаемой жидкости // Численное моделирование и анализ геофизических процессов. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1987. - Вып. 20. - С. 23-25.

19. Гайлитис А.К., Карасев Б.Г., Кириллов И.Р., Лиелаусис О.A., Jly-жанский С.М., Огородников А.П., Преслицкий Г.В. Эксперимент с жидкометаллической моделью МГД-динамо // Магнитная гидродинамика. 1987, Л/а 4. - С. 3-7.

20. Граева Е.М., Соловьев А. А. Асимптотика проведения процесса возбуждения магнитного поля течением Куэтта-Пуазейля проводящейжидкости // Теория и алгоритмы интерпретации геофизических данных. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1989. - Вып. 22. - С. 8492.

21. Денисов С.А., Носков В.И., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Хрипченко С.Ю. О возможности лабораторной реализации нестационарного МГД-динамо // ДАН 1999. - Т. 365. - M4. - С. 478-480.

22. Долгинов А.З. О происхождении магнитных полей Земли и небесных тел // Успехи физ. наук. 1987. - Т. 152. - Вып. 2. - С. 231-262.

23. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. М.: Наука, 1983. - 416 с.

24. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля движением проводящей среды, имеющим внутренний масштаб' // Компьютерный анализ геофизических полей. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1990. - Вып. 23. - С. 161-181.

25. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля движением проводящей среды, имеющим внутренний масштаб. II // Современные методы обработки сейсмологических данных. Вычисл. сейсмология.- М.: Наука, 1991. Вып. 24. - С. 205-217.

26. Желиговский В.А. О линейной устойчивости стационарных пространственно-периодических магнитогидродинамических систем к длиннопериодным возмущениям // Физика Земли. 2003. N° 5. -С. 65-74.

27. Желиговский В.А. Слабо нелинейная устойчивость магнитогидро-динамических систем, имеющих центр симметрии, к возмущениям с большими масштабами // Физика Земли. 2006. Af° 3. - С. 69-78.

28. Желиговский В.А. Слабо нелинейная устойчивость конвективных магнитогидродинамических систем без а—эффекта к возмущениям с большими масштабами // Физика Земли. 2006. Л/а 12. - С. 92108.

29. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А., Ха Тьен Нгоан. Осреднение и G—сходимость дифференциальных операторов j j Успехи мат. наук. 1979. Т. 34. - М&5. - С. 63-133.

30. Зельдович Я.Б. Магнитное поле при двумерном движении проводящей турбулентной жидкости // ЖЭТФ. 1956. - Т. 31. - Вып. 1. - С. 154-156.

31. Зельдович Я.В., Рузмайкин А.А. Магнитное поле проводящей жидкости, движущейся в двух измерениях // ЖЭТФ. 1980. - Т. 78. -Вып. 3. - С. 980-986.

32. Зельдович Я.В., Рузмайкин А.А. Гидромагнитное динамо как источник планетарного, солнечного и галактического магнетизма // Успехи физ. наук. 1987. - Т. 152. - Вып. 2. - С. 263-284.

33. Като. Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

34. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. М.: ИЛ, 1959. - 132 с.

35. Козлов С.М. Осреднение дифференциальных операторов с почти периодическими быстро осциллирующими коэффициентами // Мат. сб. 1978. - Т. 107. - М2. - С. 199-217.

36. Кокс А., Харт Р. Тектоника плит. М.: Мир, 1989. - 427 с.

37. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 544 с.

38. Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. М.: Мир, 1984. - 320 с.

39. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 371 с.

40. Любимова Е.А. Термика Земли и Луны. М.: Наука, 1968. - 279 с.

41. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 520 с.

42. Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. -415 с.

43. Монин А. С., Яг лом A.M. Статистическая гидромеханика. Т. 1. -М.: Наука, 1965. - 695 с. - Т. 2. - М.: Наука, 1967. - 720 с.

44. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. -М.: Мир, 1980. 339 с.

45. Непомнящий А.А. Об устойчивости вторичных течений вязкой жидкости в неограниченном пространстве // ПММ. 1976. - Т. 40. - С. 886-891.

46. Паркер Е. Космические магнитные поля. М.: Мир, 1982. - Т. 1. -608 с. - Т. 2. - 480 с.

47. Паркинсон У. Введение в геомагнетизм. М.: Мир, 1986. - 528 с.

48. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

49. Пономаренко Ю.Б. К теории гидромагнитного динамо // Прикл. мех. техн. физика. 1973, Л/ёб. - С. 47-51.

50. Прист Э.Р. Солнечная магнитогидродинамика. М.: Мир, 1985. -560 с.

51. Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д., Соловьев А.А., Шукуров A.M. Течение Куэтта-Пуазейля как винтовое динамо // Магнитная гидродинамика. 1989, Л/° 1. - С. 9-14.

52. Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д., Шукуров A.M. Магнитные поля галактик. М.: Наука, 1989. - 280 с.

53. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. - 472 с.

54. Серебряная П.М. Об эффективности генерации магнитного поля ламинарными движениями в сфере // Геомагнетизм и аэрономия. — 1986. Т. 26. - Л£ 5. - С. 822-826.

55. Серебряная П.М., Кропачев Э.П. Кинематическая модель динамо в сфере с частичной стратификацией // Геомагнетизм и аэрономия. 1985. - Т. 25. - Л/а 2. - С. 289-296.

56. Соловьев А.А. Возбуждение магнитного поля осесимметричным движением проводящей жидкости // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1985, Л/° 4. - С. 101-103.

57. Соловьев А. А. Описание области значений параметров спирального течения Куэтта-Пуазейля проводящей жидкости, при которых возможно возбуждение магнитного поля // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1985, Л/П2. - С. 40-47.

58. Соловьев А. А. Существование магнитного динамо для динамически возможного течения проводящей жидкости // ДАН СССР. 1985. -Т. 282. -Л/"а1. - С. 44-48.

59. Соловьев А. А. Возбуждение магнитного поля спиральным течением проводящей жидкости. М.: ИФЗ АН СССР, 1987. - 132 с.

60. Соловьев А.А. Возбуждение магнитного поля движением проводящей жидкости при больших значениях магнитного числа Рей-нольдса // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1987, Л/"а 5. - С. 77-80.

61. Соловьев А.А. Пороговые значения магнитного числа Рейнольдса для возбуждения магнитного поля // Теория и алгоритмы интерпретации геофизических данных. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1989. - Вып. 22. - С. 80-83.

62. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.- 471 с.

63. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1977. 736 с.

64. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. - 664 с.

65. Уеда С. Новый взгляд на Землю. М.: Мир, 1980. - 214 с.

66. Фридрихе К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969. - 232 с.

67. Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н.Колмогорова. М.: Фазис, 1998. - 346 с.

68. Adams R.A. Sobolev Spaces. N.Y.: Academic Press, 1975. - 268 p.

69. Alfven H. On the existence of electromagnetic hydrodynamic waves // Ark. mat., astron., fys. 1942. - Bd. 29B. - №>2. - 7 p.

70. Alemany A., Marty Ph., Plunian F., Soto J. Experimental investigations of dynamo action in the secondary pumps of the FBR Superphenix // J. Fluid Mech. 2000. - Vol. 403. - P. 263-276.

71. Arnold V.I. Sur la topologie des ecoulements stationnaires des fluides parfaits // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1965. - Vol. 261. -P. 17-20.

72. Axelsson O. Iterative solution methods. Cambridge Univ. Press, 1996.- 654 p.

73. Baptista M., Gama S.M.A., Zheligovsky V. Eddy diffusivity in convec-tive hydromagnetic systems // Eur. Phys. J. B. 2007. - Vol. 60. -P. 337-352.

74. Bassom A.P., Zhang K. Strongly nonlinear convection cells in a rapidly rotating fluid layer. Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1994. -Vol. 76. - P. 223-238.

75. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North Holland, 1978. - 700 p.

76. Bevir M.K. Self-excitation of magnetic fields in the liquid metal // J. Brit. Nucl. Eng. Soc. 1973. - Vol. 12. - P. 455-462.

77. Biferale L., Crisanti A., Vergassola M., Vulpiani A. Eddy viscosity in scalar transport // Phys. Fluids. 1995. - Vol. 7. - P. 2725-2734.

78. Bisshopp F.E. On two-dimensional cell patterns // J. Math. Analysis and Applications. 1960. Vol. 1. - P. 373-385.

79. Blackman E.G., Chou T. A vorticity-magnetic field dynamo instability // Astrophys. J. 1997. - Vol. 489. - P. L95-L98.

80. Blackman E.G., Field G.B. Resolution of an ambiguity in dynamo theory and its consequences for back-reaction studies // Astrophys. J. 1999. Vol. 521 - P. 597-601.

81. Blackman E.G., Field G.B. Constraints on the magnitude of a in dynamo theory // Astrophys. J. 2000. - Vol. 534. - P. 984-988.

82. Bodenschatz E., Pesch W., Ahlers G. Recent developments in Rayleigh-Benard convection // Ann. Rev. Fluid Mech. 2000. - Vol. 32. - P. 709778.

83. Bosh-Vivancos I., Chossat P., Oprea J. Bifurcations of self-sustained magnetic fields in planar convective flows. // Eur. J. Mech. В / Fluids.- 1995. Vol. 14. - P. 115-142.

84. Bourgoin M., Marie L., Petrelis F., Burguete J., Chiffaudel A., Davi-aud F., Fauve S., Odier P., Pinton J.-F. MHD measurements in the von Karman sodium experiment // Phys. Fluids. 2001. - Vol. 14. -P. 3046-3058.

85. Bourgoin M., Volk R., Frick P., Khripechenko S., Odier P., Pinton J.-F. Induction mechanisms in von Karman swirling flows of liquid gallium // Magnetohydrodynamics. 2004. - Vol. 40. - P. 3-21.

86. Bowin C. Topography at the core-mantle boundary // Geophys. Res. Lett. 1986. - Vol. 13. - P. 1513-1516.

87. Boyd J.P. Chebyshev and Fourier spectral methods. N.Y.: Dover Publ., 2000. - 662 p.

88. Brummell N.H., Cattaneo F., Tobias S.M. Linear and nonlinear dynamo properties of time-dependent ABC flows // Fluid Dynamics Res. 2001.- Vol. 28. P. 237-265.

89. Bullard E.C. Reversals of the Earth's magnetic field // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1968. - Vol. A263. - P. 481-524.

90. Bullard E.C., Gellman H. Homogeneous dynamos and terrestrial magnetism // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1954. - Vol. A247. - P. 213278.

91. Bullard E.C., Gubbins D. Generation of magnetic fields by fluid motions of global scale // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1977. - Vol. 8.- P. 43-56.

92. Busse F.H. Dynamics of the Earth's core and the geodynamo // Evolv. Earth. Washington D.C., Boulder Colo., 1981. - P. 53-58.

93. Busse F.H. Recent developments in the dynamo theory of planetary magnetism // Ann. Rev. Earth and Planet. Sci. Vol. 11. - Paolo Alto Calif., 1983. - P. 241-268.

94. Busse F.H. Homogenous dynamos in planetary cores and in the laboratory // Ann. Rev. Fluid Mech. 2000. - Vol. 32. - P. 383-408.

95. Canuto C., Hussaini M.You., Quarteroni A., Zang Th.A. Spectral methods in fluid dynamics. Berlin: Springer-Verlag, 1988. - 557 p.

96. Cattaneo F., Hughes D.W. Nonlinear saturation of the turbulent a-effect // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - P. R4532-R4535.

97. Cattaneo F., Hughes D.W., Thelen J.C. The nonlinear properties of a large-scale dynamo driven by helical forcing // J. Fluid Mech. 2002.- Vol. 456. P. 219-237.

98. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. N.Y.: Dover, 1961. - 654 p.

99. Chatterjee J.S. Induction in the core by magnetic storms and Earth's magnetism // Sci. Culture. Vol. 21. - Calcutta, 1956. - P. 623.

100. Childress S. The macro dynamics of spherical dynamos // Stellar and planetary magnetism / Ed. A.M. Soward. N.Y.: Gordon and Breach, 1983. - P. 245-257.

101. Childress S., Gilbert A.D. Stretch, twist, fold: the fast dynamo. -Berlin: Springer-Verlag, 1995. 406 p.

102. Childress S., Soward A.M. On the rapid generation of magnetic field // Chaos in astrophysics / Ed. J.R. Buchler. 1985. - P. 233-244.

103. Christensen U.R. Mantle rheology, constitution, and convection // Mantle convection. Plate tectonics and global dynamics / Ed. W.R. Peltier. N.Y.: Gordon and Breach, 1989. - P. 595-656.

104. Christensen U., Olson P., Glatzmaier G.A. Numerical modeling of the geodynamo: A systematic parameter study // Geophys. J. Int. 1999. - Vol. 138. - P. 393-409.

105. Christopherson D.G. Note on the vibration of membranes // Quart. J. of Math. (Oxford series). 1940. - Vol. 11. - P. 63-65.

106. Cioranescu D., Donato P. An introduction to homogenization. Oxford Univ. Press, 1999. - 262 p.

107. Constable C.G. Geomagnetic reversals: rates, timescales, preferred paths, statistical models, and simulations // Earth's core and lower mantle / Eds. C.A. Jones, A.M. Soward, K. Zhang. L.: Taylor and Francis, 2003. - P. 77-99.

108. Coulomb J. Sea floor spreading and continental drift. Dordrecht: D. Reidel Publishing Co., 1972. - 184 p.

109. Cowling T.G. The magnetic field of sunspots // Month. Not. Roy. Astr. Soc. 1934. - Vol. 94. - P. 39-48.

110. Cowling T.G. The dynamo maintenance of steady magnetic fields // Quart. J. Mech. App. Math. 1957. - Vol. X. - P. 129-136.

111. Cox A. Geomagnetic reversals // Science. 1969. - Vol. 163. - P. 237245.

112. Cox S.M., Matthews P.C. Exponential time differencing for stiff systems // J. Comput. Phys. 2002. - Vol. 176. - P. 430-455.

113. Cross M.C., Newell A.C. Convection patterns in large aspect ratio systems // Physica D. 1984. - Vol. 10. - P. 299-328.

114. Demircan A., Seehafer N. Dynamo in asymmetric square convection // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2002. - Vol. 96. - P. 461-479.

115. Desjardins В., Dormy E., Grenier E. Instability of Ekman-Hartmann boundary layers, with application to the fluid flow near the core-mantle boundary // Phys. Earth Planet. Interiors. 2001. - Vol. 124. - P. 283294.

116. Dombre Т., Frisch U., Greene J.M., Henon M., Mehr A., Soward A.M. Chaotic streamlines and Lagrangian turbulence: the ABC-flows // J. Fluid Mech. 1986. - Vol. 167. - P. 353-391.

117. Dorch S.B.F. On the structure of the magnetic field in a kinematic ABC flow dynamo // Physica Scripta. 2000. - Vol. 61. - P. 717-722.

118. Dubrulle В., Frisch U. Eddy viscosity of parity-invariant flow // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. - P. 5355-5364.

119. E W., Shu C.-W. Effective equations and the inverse cascade theory for Kolmogorov flows // Phys. Fluids A. 1993. - Vol. 5. - P. 998-1010.

120. Elsasser W.M. Induction effects in terrestrial magnetism // Phys. Rev. 1946, Л/а 69. - P. 106-116.

121. Field G.B., Blackman E.G., Chou H. Nonlinear a—effect in dynamo theory // Astrophys. J. 1999. - Vol. 513. - P. 638-651.

122. Fluid dynamics and dynamos in astrophysics and geophysics / Eds. A.M. Soward, C.A. Jones, D.W. Hughes, N.O. Weiss. L.: CRC Press, 2005. - 442 p.

123. Frick P., Noskov V., Denisov S., Khripchenko S., SokoloffD., Stepanov R., Sukhanovsky A. Non-stationary screw flow in a toroidal channel: way to a laboratory dynamo experiment // Magnetohydrodynamics. -Vol. 38, 2002. P. 143-162.

124. Frisch U., Legras В., Villone B. Large-scale Kolmogorov flow on the beta-plane and resonant wave interactions // Physica D. 1996. -Vol. 94. - P. 36-56.

125. Frisch U., She Zh.S., Sulem P.L. Large-scale flow driven by the anisotropic kinetic alpha effect // Physica D. 1987. - Vol. 28. - P. 382392.

126. Frisch U., She Zh.S., Thual O. Viscoelastic behaviour of cellular solutions to the Kuramoto-Sivashinsky model // J. Fluid Mech. 1986. -Vol. 168. - P. 221-240.

127. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. On the results of the Riga dynamo experiments // Magnetohydrodynamics. -2001. Vol. 37. - P. 71-79.

128. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Dement'ev S., Cifersons A., Ger-beth G., Gundrum Т., Stefani F., Christen M., Will G. Magnetic field saturation in the Riga dynamo experiment // Phys. Rev. Lett. 2001.- Vol. 86. P. 3024-3027.

129. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. Laboratory experiments on hydromagnetic dynamos // Rev. Modern Phys. 2002.- Vol. 74. P. 973-990.

130. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Dement'ev S., Cifersons A., Gerbeth G., Gundrum Т., Stefani F., Christen M., Will G. Dynamo experiments at the Riga sodium facility // Magnetohydrodynamics. 2002.- Vol. 38. P. 5-14.

131. Gailitis A., Lieleausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. On back-reaction effects in the Riga dynamo experiment // Magnetohydrodynamics. 2002. - Vol. 38. - P. 15-26.

132. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. The Riga dynamo experiment // Surveys in Geophysics. 2003. - Vol. 24. -P. 247-267.

133. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. Riga dynamo experiment and its theoretical background // Phys. Plasmas. -2004. Vol. 11. - P. 2828-2843.

134. Galanti В., Pouquet A., Sulem P.L. Influence of the period of an ABC flow on its dynamo action // Solar and planetary dynamos / Eds. M.R.E. Proctor, P.C. Matthews, A.M. Rucklidge. Cambridge Univ. Press, 1993. - P. 99-103.

135. Galanti В., Sulem P.L., Pouquet A. Linear and non-linear dynamos associated with ABC flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. -1992. Vol. 66. - P. 183-208.

136. Galloway D.J., O'Brian N.R. Numerical calculations of dynamos for ABC and related flows // Solar and planetary dynamos / Eds. M.R.E.

137. Proctor, P.C. Matthews, A.M. Rucklidge. Cambridge Univ. Press, 1993. - P. 105-113.

138. Galloway D.J., Frisch U. A numerical investigation of magnetic field generation in a flow with chaotic streamlines // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1984. - Vol. 29. - P. 13-18.

139. Galloway D.J., Frisch U. Dynamo action in a family of flows with chaotic streamlines // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1986. -Vol. 36. - P. 53-83.

140. Galloway D.J., Proctor M.R.E. Numerical calculations of fast dynamos for smooth velocity fields with realistic diffusion // Nature. 1992. -Vol.356. - P. 691-693.

141. Galloway D.J., Zheligovsky V.A. On a class of non-axisymmetric flux rope solutions to the electromagnetic induction equation // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1994. - Vol. 76. - P. 253-264.

142. Gama S., Chaves M. Time evolution of the eddy viscosity in two-dimensional Navier-Stokes flow // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 61.- P. 2118-2120.

143. Gama S., Vergassola M., Frisch U. Negative eddy viscosity in isotrop-ically forced two-dimensional flow: linear and nonlinear dynamics // J. Fluid Mech. 1994. - Vol. 260. - P. 95-126.

144. Gerard-Varet D. Oscillating solutions of incompressible magnetohydro-dynamics and dynamo effect // SIAM J. Math. Anal. 2005. - Vol. 37.- P. 815-840.

145. Gerard-Varet D. Weakly non-linear analysis of the a effect // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2007. - Vol. 101. - P. 171-184.

146. Gibson R.D., Roberts P.H. Some comments on the theory of homogeneous dynamos // Magnetism and the cosmos / Eds. W.R. Hindmarsh, F.G. Lowes, P.H. Roberts, S.K.Runcorn. Edinburgh: Oliver &; Boyd Ltd., 1967. - P. 108-120.

147. Gibson R.D., Roberts P.H. The Bullard Gellman dynamo // Application of modern physics to the Earth and planetary interiors / Ed. S.K. Runcorn. - Wiley, Interscience, 1969. - P. 577-601.

148. Gilbert A.D., Frisch U., Pouquet A. Helicity is unnecessary for alpha effect dynamos, but it helps // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. -1988. Vol. 42, p. 151-161.

149. Gilbert W. De magnete. Gilbert club revised English translation. L.: Chiswick Press, 1900 (1600).

150. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. A three-dimensional convective dynamo solution with rotating and finitely conducting inner core and mantle // Phys. Earth Planet. Inter. 1995. - Vol. 91. - P. 63-75.

151. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. A three-dimensional self-consistent computer simulation of a geomagnetic field reversal // Nature. 1995.- Vol. 377. P. 203-209.

152. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. An anelastic geodynamo simulation driven by compositional and thermal convection // Physica D. 1996.- Vol. 97. P. 81-94.

153. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. Rotation and magnetism of Earth's inner core // Science. 1996. - Vol. 274. - P. 1887-1891.

154. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. Simulating the geodynamo // Contemporary physics. 1997. - Vol. 38. - P. 269-288.

155. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. Computer simulations of the Earth's magnetic field // Geowissenschaften. 1997. - Vol. 15. - P. 95-99.

156. Glatzmaier G.A., Сое R.S., Hongre L., Roberts P.H. The role of the Earth's mantle in controlling the frequency of geomagnetic reversals // Nature. 1999. - Vol. 401. - P. 885-890.

157. Gruzinov A. V., Diamond P.H. Self-consistent theory of mean field electrodynamics // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 72. - P. 1651-1654.

158. Gubbins D. Numerical solutions of the kinematic dynamo problem / / Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1973. - Vol. A274. - P. 493-521.

159. Gubbins D. The Earth's magnetic field // Contemp. Phys. 1984. -Vol. 23. - P. 269-290.

160. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. N.Y.: Springer-Verlag, 1990. - 453 P

161. Hide R. Self-exciting dynamos and geomagnetic polarity changes // Nature. 1981. - Vol. 293. - Л/^5835. - P. 728-729.

162. Hollerbach R., Galloway D.J., Proctor M.R.E. Numerical evidence of fast dynamo action in a spherical shell // Phys. Rev. Lett. 1995. -Vol. 74. - P. 3145-3148.

163. Jault D. Electromagnetic and topographic coupling, and LOD variations // Earth's core and lower mantle / Eds. C.A. Jones, A.M. Soward, K. Zhang. L.: Taylor and Francis, 2003. - P. 56-76.

164. Jikov V.V., Kozlov S.M., Oleinik O.A. Homogenization of differential operators and integral functionals. Berlin: Springer-Verlag, 1994. -570 p.

165. Jones C.A. Convection-driven geodynamo models // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 2000. - Vol. A358. - P. 873-897.

166. Jones C.A., Roberts P.H. Convection-driven dynamos in a rotating plane layer // J. Fluid Mech. 2000. - Vol. 404. - P. 311-343.

167. Julien K., Knobloch E. Fully nonlinear oscillatory convection in a rotating layer // Phys. Fluids. 1997. - Vol. 9. - P. 1906-1913.

168. Julien K., Knobloch E. Strongly nonlinear convection cells in a rapidly rotating layer: the tilted f-plane // J. Fluid Mech. 1998. - Vol. 360. - P. 141-178.

169. Julien К., Knobloch E., Weme J. A new class of equations for rotation-ally constrained flows // Tlieoret. Comput. Fluid Dynamics. 1998. -Vol. 11. - P. 251-261.

170. Julien K., Knobloch E. Fully nonlinear three-dimensional convection in a rapidly rotating layer // Phys. Fluids. 1999. - Vol. 11. - P. 14691483.

171. Julien K., Knobloch E., Tobias S.M. Strongly nonlinear magneto convection in three dimensions // Physica D. 1999. - Vol. 128'. - P. 105129.

172. Julien K., Knobloch E., Tobias S.M. Strongly nonlinear magnetocon-vection in the presence of oblique fields // J. Fluid Mech. 2000. -Vol. 410. - P. 285-322.

173. Julien K., Knobloch E., Tobias S.M. Highly supercritical convection in strong magnetic fields // Advances in nonlinear dynamos / Eds. A. Ferriz-Mas, M. Nunez. L.: Taylor and Francis, 2003. - P. 195-223.

174. Kumar S., Roberts P.H. A three-dimensional kinematic dynamo // Proc. Roy. Soc. Lond. 1975. - Vol. A344. - P. 235-258.

175. Lanotte A., Noullez A., Vergassola M., Wirth A. Large-scale dynamo by negative magnetic eddy diffusivities // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1999. - Vol. 91. - P. 131-146.

176. Larmor J. How could a rotating body such as the Sun become a magnet? // Rep. Brit. Assoc. Adv. Sci. 1919. - P. 159-160 (воспроизведено репринтным образом в 53.).

177. Larmor J. Possible rotational origin of magnetic fields of Sun and Earth // Electr. Rev. 1919. - Vol. 85. - P. 412.

178. Lathrop D.P., Shew W.L., Sisan D.R. Laboratory experiments on the transition to MHD dynamos // Plasma Phys. Cont. Fusion. 2003. -Vol. 43. - P. 151-160.

179. Lectures on solar and planetary dynamos / Eds. M.R.E. Proctor, A.D. Gilbert. Cambridge Univ. Press, 1994. - 389 p.

180. Lehnert B. An experiment on axisymmetric flow of liquid sodium in a magnetic field // Ark. Fysik. 1957. - Vol. 13. - M> 10. - P. 109-116.

181. Leighton R.B. A magneto-kinematic model of the Solar cycle // Astrophys. J. 1969. - Vol. 156. -JVsl.-P. 1-26.

182. Libin A., Sivashinsky G.I. Long wavelength instability of the ABC-flows // Quarterly of applied mathematics. 1990. - Vol. 48 (4). -P. 611-623.

183. Libin A., Sivashinsky G.I., Levich E. Long-wave instability of periodic flows at large Reynolds numbers // Phys. Fluids. 1987. - Vol. 30. -P. 2984-2986.

184. Lilley F.E.M. On kinematic dynamos // Proc. Roy. Soc. 1970. -Vol. A316. - P. 153-167.

185. Lowes F.J., Wilkinson I. Geomagnetic dynamo: A laboratory model // Nature. 1963. - Vol. 198. - P. 1158-1160.

186. Lowes F.J., Wilkinson I. Geomagnetic dynamo: An improved laboratory model // Nature. 1968. - Vol. 219. - P. 717-718.

187. Majda A.J., Kramer P.R. Simplified models for turbulent diffusion: theory, numerical modelling, and physical phenomena // Phys. Rep. -1999 Vol. 314. - P. 237-574.

188. Marie L., Petrelis F., Bourgoin M., Burguete J., Chiffaudel A., Davi-aud F., Fauve S., Odier P., Pinton J.-F. Open questions about homogeneous fluid dynamos: the VKS experiment // Magnetohydrodynamics. 2002. - Vol. 38. - P. 163-176.

189. Matthews P.C. Dynamo action in convection // Workshop on stellar dynamos. Eds. M. Nunez, A. Ferriz-Mas. ASP Conference Series. -1999. - Vol. 178. - P. 107-117.

190. Matthews P.C. Dynamo action in convection // Proc. R. Soc. Lond. -1999. Vol. A455. - P. 1829-1840.

191. Matthews P.C. Asymptotic solutions for nonlinear magneto convection // J. Fluid Mech. 1999. - Vol. 387. - P. 397-409.

192. Maunder E.W. Note on the distribution of sunspots in heliographic latitude, 1874-1902 // Month. Not. Roy. Astr. Soc. 1904. - Vol. 64. - P. 747-761.

193. Maunder E.W. Distribution of sunspots in heliographic latitude, 18741913 // Month. Not. Roy. Astr. Soc. 1913. - Vol. 74. - P. 112-116.

194. Merrill R.T., McEllhiny M.W., McFadden Ph.L. The magnetic field of the Earth. Paleomagnetism, the core and the deep mantle. San Diego: Academic Press, 1996. - 527 p.

195. Mestel L. Stellar magnetism. Oxford Univ. Press, 2003. - 636 p.

196. Mfiller U., Stieglitz R. The Karlsruhe dynamo experiment // Nonlinear Processes in Geophysics. ^ 2002. Vol. 9. - P. 165-170.

197. Murakami Y., Murakami M., Gotoh K. Three-dimensional negative eddy viscosity effect on the onset of instability in some planar flows / / Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 51. - P. 5128-5131.

198. Nataf H.-C. Dynamo and convection experiments // Earth's core and lower mantle / Eds. C.A. Jones, A.M. Soward, K. Zhang. L.: Taylor and Francis, 2003. - P. 153-179.

199. Newell A.C. Two-dimensional convection patterns in large aspect ratio systems // Nonlinear partial differential equations in applied science / Ed. H. Fujita. Amsterdam: North-Holland, 1983. - P. 202-231.

200. Newell A.C., Passot Т., Lega J. Order parameter equations for patterns // Ann. Rev. Fluid Mech. 1993. - Vol. 25. - P. 399-453.

201. Newell A.C., Passot Т., Bowman C., Ercolani N., Indik R. Defects are weak and self-dual solutions of the Cross-Newell phase diffusion equation for natural patterns // Physica D. 1996. - Vol. 97. - P. 185205.

202. Newell A.C., Passot Т., Souli M. Convection at finite Rayleigh numbers in large-aspect-ratio containers // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64.- P. 2378-2381.

203. Newell A.C., Passot Т., Souli M. The phase diffusion and mean drift equations for convection at finite Rayleigh numbers in large containers // J. Fluid Mech. 1990. - Vol. 220. - P. 187-552.

204. Nikitin N.V. A spectral finite-difference method of calculating turbulent flows of an incompressible fluid in pipes and channels // Сотр. Maths Math. Phys. 1994. - Vol. 34. - P. 785-798.

205. Nikitin N. Third-order-accurate semi-implicit Runge-Kutta scheme for incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Meth. Fluids.- 2006. Vol. 51. - P. 221-233.

206. Nikitin N. Finite-difference method for incompressible Navier-Stokes equations in arbitrary orthogonal curvilinear coordinates // J. Сотр. Phys. 2006. - Vol. 217. - P. 759-781.

207. Nore C., Brachet M.E., Politano H., Pouquet A. Dynamo action in the Taylor-Green vortex near threshold // Phys. Plasmas. 1997. - Vol. 4.- P. 1-3.

208. Nornberg M.D., Spence E.J., Kendrick R.D., Jacobson C.M., Forest C.B. Intermittent magnetic field excitation by a turbulent flow of liquid sodium // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 97. - 044503.

209. Novikov A. Eddy viscosity of cellular flows by upscaling J J J. Сотр. Phys. 2004. - Vol. 195. - P. 341-354.

210. Novikov A., Papanicolaou G. Eddy viscosity of cellular flows // J. Fluid Mech. 2001. - Vol. 446. - P. 173-198.

211. Oleinik O.A., Shamaev A.S., Yosifian G.A. Mathematical problems in elasticity and homogenization. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 1992. - 398 p.

212. Olson P., Christensen U., Glatzmaier G.A. Numerical modeling of the geodynamo: mechanisms of field generation and equilibration // J. Geophys. Res. 1999. - Vol. 104. - P. 10383-10404.

213. Otani N.F. A fast kinematic dynamo in two-dimensional time-dependent flows // J. Fluid Mech. 1993. - Vol. 253: - P. 327-340.

214. Parker E.N. The solar hydrodynamic dynamo // Proc. Nat. Acad. Sci. US. 1957. - Vol. 43. - P. 8-13.

215. Parker E.N. Magnetic fields in the cosmos // Sci. Amer. 1983. -Vol. 249. -M2.- P. 36-46.

216. Pavliotis G.A., Stuart A.M. Multiscale methods. Averaging and homogenization. Texts in applied mathematics. Vol. 53. - N.Y.: Springer. - 307 pp.

217. Pekeris C.L., Accad Y., Shkoller B. Kinematic dynamos and the Earth's magnetic field // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1973. - Vol. A275. -P. 425-461.

218. Peltier W.R. Mantle viscosity // Mantle convection. Plate tectonics and global dynamics / Ed. W.R. Peltier. N.Y.: Gordon and Breach, 1989. - P. 389-478.

219. Petrelis F., Bourgoin M., Marie L., Chiffaudel A., Fauve S., Daviaud F., Odier P., Pinton J.-F. Non linear induction in a swirling flow of liquid sodium // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 90. - 174501.

220. Peyret R. Spectral methods for incompressible viscous flow. Berlin: Springer Verlag, 2002. - 432 p.

221. Plunian F. An optimal scale-separation for a dynamo experiment // Phys. Fluids. 2005. - Vol. 17. - 048106 - 2 p.

222. Plunian F., Alemany A., Marty Ph. Influence of MHD parameters on electromagnetic self-excitation in the core of a FBR // Magnetohydro-dynamics. 1995. - Vol. 31. - P. 382-390.

223. Plunian F., Marty Ph., Alemany A. Kinematic dynamo action, in a network of screw motions. Application to the core of a fast breeder reactor // J. Fluid Mech. 1999. - Vol. 382. - P. 137-154.

224. Plunian F., Radler K.-H. Subharmonic dynamo action in the Roberts flow // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2002. - Vol. 96. - P. 115133.

225. Plunian F., Radler K.-H. Harmonic and subharmonic solutions of the Roberts dynamo problem. Application to the Karlsruhe experiment // Magnetohydrodynamics. 2002. - Vol. 38. - P. 95-106.

226. Podvigina O.M. Magnetic field generation by convective flows in a plane layer // Eur. Phys. J. B. 2006. - Vol. 50. - P. 639-652.

227. Podvigina O.M. Instability of flows near the onset of convection in a rotating layer with stress-free horizontal boundaries // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2008. - Vol. 102. - P. 299-326.

228. Podvigina O.M. Magnetic field generation by convective flows in a plane layer: the dependence on the Prandtl number // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2008. - Vol. 102. - P. 409-433.

229. Podvigina O.M., Zheligovsky V.A. An optimized iterative method for numerical solution of large systems of equations based on the extremal property of zeroes of Chebyshev polynomials // J. Sci. Computing. -1997. Vol. 12. - P. 433-464.

230. Ponty Y., Pouquet A., Rom-Kedar A., Sulem P.L. Dynamo action in a nearly integrable chaotic flow // Solar and planetary dynamos / Eds. M.R.E. Proctor, P.C. Matthews, A.M. Rucklidge. Cambridge Univ. Press, 1993. - P. 241-248.

231. Ponty Y., Pouquet A., Sulem P.L. Dynamos in weakly chaotic two-dimensional flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1995. -Vol. 79. - P. 239-257.

232. Ponty Y., Passot Т., Sulem P.L. Pattern dynamics in rotating convection at finite Prandtl number // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 56. -P. 4162-4178.

233. Ponty Y., Gilbert A.D., Soward A.M. Kinematic dynamo action in flows driven by shear and convection // J. Fluid Mech. 2001. -Vol. 435. - P. 261-287.

234. Ponty Y., Gilbert A.D., Soward A.M. Dynamo action due to Ekman layer instability // Dynamo and dynamics, a mathematical challenge / Eds. P. Chossat, D. Armbruster, I. Oprea. Boston: Kluwer, 2001. -P. 75-82.

235. Ponty Y., Gilbert A.D., Soward A.M. The onset of thermal convection in Ekman-Couette shear flow with oblique rotation // J. Fluid Mech. 2003. - Vol. 487. - P. 91-123.

236. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical recipes. Cambridge Univ. Press, 1992. - 973 p.

237. Radler K.-H., Apstein E., Rheinhardt M., Schiiler M. The Karlsruhe dynamo experiment. A mean field approach // Studia Geophysica et Geodaetica. 1998. - Vol. 42 (3). - P. 224-231.

238. Roberts G.O. Dynamo action of fluid motions with two-dimensional periodicity // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1972. - Vol. A271. -P. 411-454.

239. Roberts P.H., Glatzmaier G.A. The geodynamo, past, present and future // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2001. - Vol. 94. - P. 47-84.

240. Roberts P.H., Zhang K. Thermal generation of Alfven waves in oscillatory magneto convection // J. Fluid Mech. 2000. - Vol. 420. -P. 201-223.

241. Rotvig J., Jones C.A. Rotating convection driven dynamos at low Ek-man number // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 66 - 056308. - 15 p.

242. Riidiger G., Feudel F., Seehafer N. Dynamo bifurcations in an array of driven convectionlike rolls // Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 57. -P. 5533-5538.

243. Riidiger G., Hollerbach R. The magnetic universe. Geophysical and astrophysical dynamo theory. Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH, 2004. - 332 p.

244. Sagaut P. Large eddy simulation for incomressible flows. Berlin: Springer-Verlag, 2006. - 556 p.

245. Sarson G.R., Jones C.A. A convection driven geodynamo reversal model // Phys. Earth Planet. Inter. 1999. - Vol. 111. - P. 3-20.

246. Schuster A. A critical examination of the possible causes of terrestrial magnetism // Proc. Phil. Soc. Lond. 1912. - Vol. 24. - P. 121-137.

247. Serebrianaya P.M. Kinematic stationary geodynamo models with separated toroidal and poloidal motions // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1986. - Vol. 44. - P. 141-164.

248. She Z.S. Metastability and vortex pairing in the Kolmogorov flow // Phys. Lett. A. 1987. - Vol. 124. - P. 161-164.

249. Shew W.L., Lathrop D.P. Liquid sodium model of geophysical core convection // Phys. Earth Planet. Interiors. 2005. - Vol. 153. - P. 136149.

250. Simitev R., Busse F.H. Prandtl-number dependence of convection-driven dynamos in rotating spherical fluid shell // J. Fluid Mech. -2005. Vol. 532. - P. 365-388.

251. Sisan D.R., Mujica N., Tillotson W.A., Huang Y.M., Dorland W., Hassam A.B., Antonsen T.M., Lathrop D.P. Experimental observation and characterization of the magnetorotational instability // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - 114502.

252. Sivashinsky G.I., Yakhot V. Negative viscosity effect in large-scale flows // Phys. Fluids. 1985. - Vol. 28. - P. 1040-1042.

253. Sivashinsky G.I., Frenkel A.L. On negative eddy viscosity under conditions of isotropy // Phys. Fluids A. 1992. - Vol. 4. - P. 1608-1610.

254. Soward A.M. A kinematic theory of large magnetic Reynolds number dynamos // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1972. - Vol. A272. - P. 431462.

255. Soward A.M. A convection driven dynamo I. The weak field case // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1974. - Vol. A275. - P. 611-651.

256. St. Pierre M.G. The strong field branch of the Childress-Soward dynamo // Solar and Planetary Dynamos / Eds. M.R.E. Proctor, P.C. Matthews, A.M. Rucklidge. Cambridge Univ. Press, 1993. - P. 295302.

257. Starr V.P. Physics of negative viscosity phenomena. N.Y.: McGraw-Hill, 1968. - 256 p.

258. Steenbeck M., Krause F., Radler K.-H. A calculation of the mean electromotive force in an electrically conducting fluid in turbulent motion, under the influence of Coriolis forces // Z. Naturforsch. 1966. -Vol. 21a. - P. 369-376.

259. Stellmach S., Hansen U. Cartesian convection driven dynamos at low Ekman number // Phys. Rev. E. 2004. - Vol. 70. - 056312.

260. Stieglitz R., Miiller U. Experimental demonstration of a homogeneous two-scale dynamo // Phys. Fluids. 2001. - Vol. 13. - P. 561-564.

261. Stieglitz R., Miiller U. Experimental demonstration of a homogeneous two-scale dynamo // Magnetohydrodynamics. 2002. - Vol. 38. - P. 2734.

262. Stix M. Differential rotation and the solar dynamo // Astron. and Astrophys. 1977. - Vol. 47. - P. 243-254.

263. Stix M. Solar type dynamos in late main sequence stars // Stellar and planetary magnetism / Ed. A.M. Soward. N.Y.: Gordon and Breach, 1983. - P. 197-203.

264. Stix M. The Sun. An introduction. Berlin: Springer-Verlag, 2002. -506 p.

265. Sulem P.L., She Zh.S., Scholl H., Frisch U. Generation of large-scale structures in three-dimensional flow lacking parity-invariace // J. Fluid Mech. 1989. - Vol. 205. - P. 341-358.

266. Thelen J.C., Cattaneo F. Dynamo action driven by convection: the influence of magnetic boundary conditions // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2000. - Vol. 315. - P. L13-L17.

267. Tilgner A. A kinematic dynamo with a small scale velocity field // Phys. Lett. A. 1997. - Vol. 226. - P. 75-79.

268. Tilgner A., Busse F.H. Simulation of the bifurcation diagram of the Karlsruhe dynamo // Magnetohydrodynamics. 2002. - Vol. 38. -P. 35-40.

269. Vainshtein S.I., Cattaneo F. Nonlinear restrictions on dynamo action // Astrophys. J. 1992. - Vol. 393. - P. 165-171.

270. Vergassola M., Avellaneda M. Scalar transport in compressible flow // Physica D. 1997. - Vol. 106. - P. 148-166.

271. Volk R., Ravelet F., Monchaux R., Berhanu M., Chiffaudel A., Daviaud F., Fauve S., Mordant N., Odier Ph., Petrelis F., Pinton J.-F. Transport of magnetic field by a turbulent flow of liquid sodium // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 97. - 074501.

272. Weiss N.O. Solar magnetism // Stellar and planetary magnetism / Ed. A.M. Soward. N.Y.: Gordon and Breach, 1983. - P. 115-131.

273. Wirth A. Complex eddy-viscosity: a three-dimensional effect // Physica D. 1994. - Vol. 76. - P. 312-317.

274. Wirth A., Gama S., Frisch U. Eddy viscosity of three-dimensional flow // J. Fluid Mech. 1995. - Vol. 288. - P. 249-264.

275. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. Magnetic fields in astrophysics. N.Y.: Gordon and Breach, 1983. - 365 p.

276. Zhang K., Jones C.A. The effect of hyperviscosity on geodynamo models // Geophys. Res. Lett. 1997. - Vol. 24. - P. 2869-2872.

277. Zhang K., Schubert G. Magnetohydrodynamics in rapidly rotating spherical systems // Ann. Rev. Fluid Mech. 2000. - Vol. 32. - P. 409443.

278. Zheligovsky V.A. or—effect in generation of magnetic field by a flow of conducting fluid with internal scale in an axisymmetric volume / / Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1991. - Vol. 59. - P. 235-251.

279. Zheligovsky V.A. A kinematic magnetic dynamo sustained by a Beltrami flow in a sphere // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1993. -Vol. 73. - P. 217-254.

280. Zheligovsky V. Numerical solution of the kinematic dynamo problem for Beltrami flows in a sphere // J. Scientific Computing. 1993. -Vol. 8. - P. 41-68.

281. Zheligovsky V.A. Convective plan-form two-scale dynamos in a plane layer. Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2005. - Vol. 99. - P. 151175.

282. Zheligovsky V.A. Mean-field equations for weakly non-linear multiscale perturbations of forced hydro magnetic convection in a rotating layer. Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2008. - Vol. 102. - P. 489-540. http: //arxiv.org/abs/0804.2326vl

283. Zheligovsky V. Amplitude equations for weakly nonlinear two-scale perturbations of free hydromagnetic convective regimes in a rotating layer. Подано в Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2008. http://arxiv.org/abs/0809.1195vl

284. Zheligovsky V.A., Galloway D.J. Dynamo action in Christopherson hexagonal flow // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1998. - Vol. 88. - P. 277-293.

285. Zheligovsky V.A., Podvigina O.M. Generation of multiscale magnetic field by parity-invariant time-periodic flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2003. - Vol. 97. - P. 225-248.

286. Zheligovsky V.A., Podvigina O.M., Frisch U. Dynamo effect in parity-invariant flow with large and moderate separation of scales // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2001. - Vol. 95. - P. 227-268.