Модели солнечного динамо тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.03, кандидат физико-математических наук Мазур, Михаил Витальевич

• Мазур, Михаил Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мазур, Михаил Витальевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Выход магнитных полей из конвективной зоны Солнца и граничные условия на ее внешней поверхности

1.1. Проблемы периода цикла и динамо-числа

1.2. «Открытая» и «закрытая» формулировки граничных условий

1.3. Граничные условия на внешней поверхности конвективной зоны

1.3.1. Общие замечания

1.3.2. Тороидальное поле

1.3.3. Полоидальное поле

1.4. Граничные условия у основания конвективной зоны

Глава 2. Одномерная модель

2.1. Вводные замечания

2.2. Описание модели

2.3. Кинематический и нелинейный режимы

2.4. Граничные условия в одномерной модели

2.5. Результаты и обсуждение

2.5.1. Кинематическое динамо

2.5.2. Нелинейное динамо

2.6. Выводы

Глава 3. Основная модель

3.1. Вводные замечания

3.2. Описание модели

3.3. Результаты и обсуждение

3.4. Выводы

Глава 4. Равновесие и устойчивость магнитного поля в подфотосферном слое

4.1. Вводные замечания

4.2. Описание модели и основные уравнения

4.3. Задача на устойчивость

4.4. Равновесные магнитные структуры в подфотосферном слое

4.5. Выводы 102 Заключение 103 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели солнечного динамо»

Первые модели солнечного динамо, построенные уже больше 30 лет назад, принесли впечатляющие результаты. Они воспроизвели циклическое во времени поведение магнитного поля, объяснили, каким образом полоидальное (меридиональное) поле закручивается дифференциальным вращением в тороидальное (азимутальное), а затем вновь генерируется из последнего благодаря так называемому альфа-эффекту, возникающему в электропроводящей жидкости, находящейся в состоянии циклонической турбулентности. Они воспроизвели в общих чертах и характерную широтную миграцию полей, в том числе так называемую «бабочку Маундера» - диаграмму активности солнечных пятен в координатах широта-время (в качестве индикатора активности здесь выступило тороидальное поле).

Однако уже эти первые модели динамо столкнулись с рядом существенных трудностей, среди которых можно отметить следующие:

1) Расчетные значения периода цикла солнечной активности (т.е. периода циклических решений для магнитного поля, которые были получены в моделях) оказались слишком малы. По порядку величины они не превышали года. Только отдельные, «экстраординарные», модели выдавали более-менее близкие к наблюдаемому значения периода, но посылки, из которых исходили эти модели, всякий раз вызывали большие сомнения.

2) Наоборот, расчетные значения отношения амплитуд полоидальных и тороидальных полей оказались слишком большими - как минимум на порядок больше наблюдаемого. На поверхности Солнца полоидальные поля можно наблюдать в полярных областях. Тороидальные поля проявляются в активных областях. Само существование этих областей, появляющихся в средних и низких широтах, связывают с выносом тороидальных полей на поверхность Солнца. Напряженность полярных полей - порядка 1 Гс, а полей активных областей - порядка 100 Гс. Таким образом, наблюдаемое отношение амплитуд полоидальных и тороидальных полей - порядка (или даже меньше) 0,01. Традиционные модели солнечного динамо дают существенно большее отношение.

3) Хотя модели и воспроизвели характерную широтную миграцию полей, картина этой миграции все же оказалась очень далекой от наблюдаемой. Так, «крылья» «бабочки Маундера» оказались слишком широкими -сильные тороидальные поля появлялись и на очень высоких широтах, хотя из наблюдений известно, что зона их активности ограничена широтами ±45 градусов. Расчетная скорость миграции полей оказалась слишком низкой (малый наклон «крыльев» на диаграмме).

Модели, последовавшие после первых, пытались, так или иначе, преодолеть эти трудности. Предлагались самые разные варианты, в том числе и самые невероятные. Однако, по большому счету, упомянутые три проблемы до настоящего времени так и оставались нерешенными.

В работах, положенных в основу этой диссертации, предложено решение первых двух проблем - проблемы периода и проблемы соотношения амплитуд. Делается предположение, что само возникновение этих трудностей связано с неверным учетом условий для выхода магнитных полей через внешнюю поверхность конвективной зоны. Мы пересматриваем формулировку этих условий, исходя из более реалистичного подхода, предусматривающего ограниченную возможность для выхода магнитных полей из области генерации. Для проверки новых условий строятся две модели динамо.

Первая модель - одномерная - учитывает лишь самые основные свойства конвективной зоны в рамках интересующей нас проблемы. Исследование этой модели полностью оправдывает введение новых условий.

После этого мы переходим к рассмотрению более реалистичной двухмерной модели, охватывающей уже самые разнообразные свойства конвективной зоны и использующей минимальное количество свободных параметров. Это рассмотрение также полностью подтверждает обоснованность введения новых условий для выхода магнитных полей через внешнюю поверхность конвективной зоны. Построенная модель, в частности, воспроизводит магнитный цикл с периодом 22 года для солнечных значений входящих параметров. Соотношение амплитуд полоидального и тороидального полей также оказывается близким к солнечному значению.

Хотя наша двухмерная модель оставляет нерешенной третью из упомянутых выше проблем, можно надеяться, что и она может быть решена после некоторого усовершенствования модели, например, после включения меридиональной циркуляции (в рамках этой модели все крупномасштабное движение в конвективной зоне сводилось только к дифференциальному вращению).

Суть новых граничных условий для внешней поверхности конвективной зоны, формулировка которых предложена в этой работе, состоит в том, что выход магнитных полей через указанную поверхность возможен только благодаря так называемой паркеровской неустойчивости тороидального магнитного поля к образованию петель. Первые три главы диссертации посвящены, по сути, изучению влияния этой неустойчивости на поведение магнитного поля в глобальном масштабе, охватывающем всю конвективную зону (то есть на поведение крупномасштабного магнитного поля). Разумеется, интерес представляет и то, как этот механизм действует на локальном масштабе (например, на масштабе активной области). Этому вопросу посвящена глава 4 диссертации. Предметом исследования здесь стал анализ равновесия и устойчивости вертикального магнитного поля, находящегося в подфотосферном слое. По сути, был исследован возможный механизм формирования солнечного пятна вследствие вторичной неустойчивости, возникающей в результате подавления турбулентной теплопроводности магнитным полем. Суть этой неустойчивости такова. В слое имеется малая неоднородность магнитного поля. В тех областях, где поле сильнее, турбулентная теплопроводность меньше, чем в тех областях, где оно слабее. Уменьшение теплопроводности приводит к тому, что поток тепла от основания слоя уже не может сбалансировать излучение с его поверхности, и области с усиленным полем охлаждаются. Соответственно, в них увеличивается удельный вес вещества, и оно начинает погружаться. Возникает сходящееся течение, которое, вследствие вмороженности поля в вещество, увлекает магнитное поле, еще больше увеличивая его неоднородность. Так возникает неустойчивость.

Мы построили модель, описывающую развитие этой неустойчивости как в линейном, так и в нелинейном режимах. Важной особенностью этой модели (и в этом ее новизна) стал учет гидродинамических движений, имеющих, как выяснилось, принципиальное значение в описанном механизме. Модель воспроизвела в хороших деталях ряд основных особенностей солнечного пятна -уменьшение теплового потока и усиление поля, а также связанные с пятнами подфотосферные течения.

Прежде чем переходить к изложению результатов исследований, дадим краткий обзор тех вопросов солнечной физики и магнитной гидродинамики средних полей, которые имеют к этим исследованиям непосредственное отношение.

Крупномасштабное магнитное поле Солнца

Существование крупномасштабного магнитного поля Солнца подтверждается, например, законом полярности Хэйла: магнитные поля в парах солнечных пятен в северном и южном полушариях ориентированы противоположно, и эта ориентация меняется каждые 11 лет, по истечении половины солнечного цикла. Цикличность пятнообразования на Солнце тесно связана с общим циклом крупномасштабного солнечного магнитного поля (хотя вопрос о том, как слабое крупномасштабное магнитное поле связано с сильными полями активных областей, остается предметом обсуждений, см., например, [1]). Сами солнечные пятна интерпретируются как проявление азимутальной составляющей крупномасштабного магнитного поля Солнца [2,3]. Интенсивность солнечных пятен принято изображать в виде так называемой «бабочки Маундера» (см. рис. 1) -диаграммы, на которой в координатах широта-время показана относительная площадь пятен (на данной широте в данный момент времени). Как видно из рисунка, пятна появляются, в основном на широтах между ± 45 градусов. По диаграмме Маундера можно судить не только об интенсивности пятен, но и о характере широтной миграции полей. Видно, что в течение цикла пояса активных областей, ассоциируемых с тороидальными полями, дрейфуют от полюсов к экватору.

Систематические изменения показывает и радиальная составляющая крупномасштабного поля. Стенфло и Вогель [4,5] показали, что примерно 90 процентов магнитного потока на поверхности Солнца соответствуют дипольной (то есть антисимметричной относительно экваториальной плоскости) компоненте поля, причем эта компонента осциллирует с периодом около 22 лет. Оставшиеся 10 процентов соответствуют набору квадрупольных (симметричных относительно экватора) мод с разными волновыми по меридиану числами, которые имеют различные периоды - все существенно (как минимум, на порядок) меньше 22 лет. Преимущественно антисимметричный относительно экваториальной плоскости характер магнитного поля Солнца хорошо виден из рис. 2, на котором показана диаграмма для распределения радиальной компоненты магнитного поля на солнечной поверхности, построенная на основе суперпозиции

90S1------------

1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

ГОДЫ

Рис.1. Диаграмма Маундера относительной площади солнечных пятен в координатах широта - время. Поверхность Солнца делится на ограниченные параллелями полосы равной ширины. Рассчитывается относительная площадь пятен (от общей площади полосы). Чем больше относительная площадь, тем темнее прямоугольник на диаграмме для данного отрезка по широте и данного промежутка времени. Светлые участки соответствуют свободным от пятен областям. s'Ui\! \ I / \ v / \ ' 1

I960

• t JZZLi. 1 1 * 1 ' ' ■ 'ill

Время, годы

Рис. 2. Диаграмма радиальной составляющей магнитного поля Солнца, восстановленная по 14-ти первым гармоникам в разложении поля по сферическим функциям. Диаграмма построена в координатах синус гелиографической широты - время. Положительные уровни показаны сплошными линиями, отрицательные - пунктиром. Рисунок взят из статьи [5]. первых 14 гармоник в разложении поля по сферическим функциям (рисунок взят из статьи [5]).

Большую часть цикла радиальная и азимутальная составляющие крупномасштабного поля Солнца имеют противоположные знаки. Этот наблюдательный результат подробно обсуждается в работах Штикса [6] и Иошимуры [7]. На низких широтах пояса этих полей мигрируют в течение цикла по направлению к экватору. На высоких широтах присутствуют, в основном, пояса радиального поля, они в течение цикла мигрируют к полюсам. Обращение полярных полей происходит примерно в момент максимума солнечных пятен.

Мы будем часто пользоваться разложением крупномасштабного поля на полоидальную и тороидальную составляющие. В случае осевой симметрии (а именно с этим случаем мы, как правило, и будем иметь дело) тороидальное поле - это просто азимутальное поле, а полоидальное - меридиональное. В неосе-симметричном случае разделение на эти компоненты - несколько более сложное, требующее привлечение математического аппарата (подобное разделение было впервые проведено Чандрасекаром [8].

По современным представлениям, крупномасштабное магнитное поле Солнца является продуктом динамо - механизма генерации и поддержания поля (см. ниже). Однако, первичное магнитное поле Солнца, захваченное им в процессе своего формирования, также может играть существенную роль в эволюции общего солнечного магнитного поля. В частности, оно может приводить к вариациям солнечного цикла [9].

Наряду с общим 22-летнем циклом обнаружены и менее продолжительные вариации крупномасштабного магнитного поля Солнца - вплоть до колебаний с периодами в несколько десятков минут [10]. Иерархия циклических изменений солнечной активности изучена в работе [11]. Структура солнечного цикла подробно рассмотрена в [12].

Теория динамо

Основная идея солнечного динамо - о совместном действии дифференциального вращения и циклонической конвекции - была сформулирована Паркером [13] и Бэбкоком [2]. В 1969 году Лейтон [14] построил первую модель солнечного динамо. Она воспроизвела, в общих чертах, миграцию полей (однако, как уже подчеркивалось, период цикла при этом был слишком мал).

Но основные результаты теории динамо были получены после того, как были сформулированы принципы электродинамики средних полей. Основы этой науки заложили Штеенбек, Краузе и Рэдлер в работе [15]. Именно они ввели понятие «альфа-эффект» и построили первую модель солнечного динамо, охватывающую всю конвективную зону (включающую, в отличие от модели Лейтона, зависимость от радиуса) и использующую правдоподобные граничные условия. Результаты исследования этой модели приведены в работе Штеенбека и Краузе [16].

В течение последующих тридцати лет было построено множество моделей, улучшающих первые модели солнечного динамо, а также развиты основные положения электродинамики средних полей и ее применения к солнечному динамо.

Модели можно условно разделить на два класса: кинематические и нелинейные. Первые интересуются только поведением среднего (крупномасштабного) магнитного поля, вторые принимают во внимание и воздействие поля на крупномасштабное движение вещества.

Основным для моделей обоих типов является уравнение индукции:

5В = rot(v х В + скВ - 77г rot В) (1) dt выведенное, например, Краузе и Рэдлером [17]. От обычного уравнения индукции уравнение (1) отличают три вещи: 1) в него входят не точные, а усредненные значения магнитного поля и поля скоростей; 2) вместо молекулярной магнитной диффузии т] появляется турбулентная магнитная диффузия г)т, которая, как показывают расчеты, на несколько порядков выше молекулярной; 3) появляется существенно новый член аВ в выражении для электродвижущей силы (так называется все, что стоит в уравнении (1) под знаком ротора), который, собственно, и обеспечивает генерацию поля. Выражение аВ - т]т rot В есть, по сути, результат усреднения турбулентной электродвижущей силы, возникающей из-за взаимодействия мелкомасштабных флуктуаций поля скорости и магнитного поля.

Уравнение индукции решается в сферическом слое, моделирующем конвективную зону. На нижней границе слоя можно использовать сверхпроводниковые граничные условия, на верхней - вакуумные. Первые модели ограничивались рассмотрением полей с простыми свойствами симметрии (например, осесимметричными и нечетными относительно экваториальной плоскости). Несколько позже были изучены и неосесимметричные модели (модель Штикса [18], модель Краузе [19], модели Робертса [20] и Робертса и Штикса [21]).

Теория альфа-эффекта была существенно развита после первой работы Штеенбека, Краузе и Рэдлера. При этом использовался, в основном, подход, который часто называют приближением первого порядка сглаживания. Этот подход основан на пренебрежении корреляциями флуктуирующих величин всех порядков выше второго (см. работы Краузе [22], Рэдлера [23,24], Краузе и Рэдлера [17], Робертса и Соварда [25], Моффата [26]).

Величина коэффициента альфа-эффекта а имеет порядок Q1, где О. - угловая скорость вращения конвективной оболочки, а / - средняя длина перемешивания. Интенсивность альфа-эффекта в моделях измеряется, как правило, безразмерным параметром

2) ц т

Соответственно, интенсивность дифференциального вращения измеряется параметром

3)

1т где AQ - неоднородность угловой скорости вдоль рассматриваемой системы.

В линейном приближении решение уравнения (1) имеет экспоненциальный характер. Оно либо растет, либо затухает со временем - все зависит от того, какой вклад оказывается сильнее - генерационный или диссипативный. Общий же характер решения такой: полоидальное поле закручивается в тороидальное дифференциальным вращением. В свою очередь, полоидальное поле генерируется из тороидального альфа-эффектом. Этот механизм называется aQ-динамо. В принципе, тороидальное поле может генерироваться из полоидального не только дифференциальным вращением, но и тем же альфа-эффектом. В солнечном динамо роль альфа-эффекта в генерации тороидального поля мала, но в некоторых системах эта роль может быть значительной. Тогда работает механизм, который называют a2Q -динамо. Если совокупная интенсивность дифференциального вращения и альфа-эффекта достаточно высока (так что эти два эффекта справляются с турбулентной диффузией), то динамо (генерация поля) имеет место.

В этом случае экспоненциальный рост амплитуды поля рано или поздно приведет к тому, что пойе сможет серьезно влиять на характер движений (Магнитная энергия сравняется с кинетической энергией движений). И тогда теория потребует учета обратного влияния поля на течение.

Это влияние обычно учитывают, вводя зависимость коэффициентов переноса (турбулентной диффузии и альфа-эффекта) от амплитуды крупномасштабного поля. Нелинейное динамо такого рода начали изучать уже в 70-х годах. Так, первые нелинейные модели были построены Штиксом [21], Рюдиге-ром [28], Ивановой и Рузмайкиным [29], Йошимурой [30].

Зависимость коэффициентов переноса от магнитного поля стала предметом детального исследования магнитной гидродинамики средних полей. В настоящей диссертации мы широко используем результаты этих исследований.

Другой нелинейный подход связан с прямым включением магнитного поля, точнее, силы Лоренца, в уравнение движения (в котором фигурирует крупномасштабное поле скоростей). Однако такой подход связан со значительным количеством вычислительных трудностей, и им стали интенсивно пользоваться уже только в последние годы, с появлением быстродействующих вычислительных машин.

Отметим в этой связи, что в последнее время появились расчетные модели, которые прямо моделируют турбулентные процессы, не прибегая к результатам магнитной гидродинамики средних полей. Начало этой отрасли исследований положила работа Пуке и Паттерсона [31].

Наряду с солнечным широко исследовались и звездные динамо. Изучение звездных динамо важно, например, с той точки зрения, что, в отличие от Солнца, они дают самые разнообразные примеры динамо, проявляющие различные свойства. Имея такой ансамбль, исследователю гораздо легче развивать теорию. Приложения к звездам до некоторой степени компенсируют отсутствие в астрофизике «активного» эксперимента.

Первая работа по изучению циклов магнитной активности звезд была выполнена Уилсоном [32]. К настоящему времени известно несколько десятков звезд, проявляющих периодическую активность. Продолжительность периода при этом оказывается зависящей от спектрального типа звезды и от угловой скорости ее вращения. Именно, более холодные звезды имеют более короткие циклы. Зависимость периода цикла активности от температуры звезды эмпирически исследовалась в работах Нойеса, Уэйса и Вогана [33], Балиунас и Вогана [34]. Попытки объяснения этой зависимости в рамках динамо-теории предпринимались Бельведере, Патерно и Штиксом [35], Клеорином и Рузмайкиным [36]. Модель, разработанная и исследованная в работе Робинсона и Дёрни [37] воспроизвела эту зависимость в численных расчетах.

Вернемся, однако, к солнечному динамо. Большое количество моделей, описывающих солнечный цикл, имеет один общий недостаток: они используют большое число свободных параметров, подходящим подбором которых можно добиться любого наперед заданного результата. Это хорошо продемонстрировали в своих моделях Гилман и Миллер [38] и Гаф [39].

Важным входящим параметром моделей aQ-динамо является дифференциальное вращение, точнее именно его дифференциальность - как в радиальном направлении, так и по широте. В качестве основных причин, вызывающих неоднородность вращения рассматривались недиффузионные вклады в рей-нольдсовское напряжение и зависимость турбулентного теплового потока от широты. Влияние рейнольдсовских напряжений было подробно изучено в работах Киппенхана [40], Келлера [41] и Рюдигера [42-44]. Второй эффект исследовался в работах Дёрни и Роксбурга [45], Бельведере, Патерно и Штикса [35], Мосса и Вилху [46]. Оба эффекта были включены в модели Шмидта [47], Рюдигера и Туоминена [48,49]. Следует отметить, что вращение Солнца испытывает и временные изменения (см., например, [27]), но в моделях динамо подобные вариации, как правило, не учитываются.

Долгое время считалось, что радиальная неоднородность угловой скорости является более существенной, чем широтная. Соответственно, модели динамо, как правило, учитывали только радиальную дифференциацию вращения, пренебрегая широтной зависимостью. Такой подход позволил с успехом получать характерную широтную миграцию полей (динамо волна распространялась вдоль изоротационных поверхностей от полюсов к экватору). Однако, как показали последние данные гелиосейсмологии (Косовичев [50]), широтная зависимость угловой скорости является все же более существенной. Миграция полей, по-видимому, должна быть следствием каких-то других факторов (может быть, меридиональной циркуляции).

Ограничения в свободном использовании параметров приводили к тому, что результаты расчетов моделей оказывались неудовлетворительными. Это касается, прежде всего, расчетного значения периода цикла солнечной активности. Он редко оказывался больше 2-3 лет. Например, упомянутая выше модель Штеенбека и Краузе дала значение периода 3 года. Проблема солнечного периода стала одной из самых острых в теории динамо. Попытки ее решения предпринимались, но, как правило, заканчивались неудачно. Изменение входящих параметров (турбулентной диффузии, угловой скорости) приводили либо к внутренним противоречиям, либо к противоречиям с наблюдениями, либо к противоречиям с очевидными результатами теории.

Остановимся подробнее на одной попытке, которая (может быть, впервые) касалась пересмотра граничных условий на внешней поверхности конвективной зоны. Она была предпринята Кудури [51]. Суть его работы состоит в следующем. Открытые вакуумные граничные условия на внешней поверхности заменяются закрытыми сверхпроводниковыми. С этими граничными условиями Кудури аналитически исследует простую одномерную модель (похожую на ту, результаты исследования которой изложены в главе 2 настоящей диссертации). Результат - период несколько (но незначительно) увеличивается. Слабость эффекта, данного моделью Кудури связана, по-видимому, с избранным им методом исследования. Он ввел ряд упрощающих предположений, которые привнесли в модель большую эффективную диффузию, уничтожившую почти весь эффект от новых граничных условий. Работа Кудури была, насколько нам известно, единственной попыткой пересмотреть построить модель солнечного динамо исходя из закрытых граничных условий на внешней поверхности конвективной зоны.

Магнитная плавучесть

Существенную роль в работах, положенных в основу настоящей диссертации, играет паркеровская неустойчивость тороидального поля по отношению к образованию петель. Она, в свою очередь, тесно связана с явлением магнитной плавучести, которую предложили В 1955 году, независимо друг от друга, Е.Н. Паркер [13] и Е. Енсен [52]. Явление магнитной плавучести заключается в подъеме изолированных магнитных трубок в стратифицированной атмосфере. Суть его достаточно проста. Если давление внутри горизонтальной трубки pi,

В2 вне ее ре, а напряженность поля в трубке В, то pt + — = ре, т.е. pi < ре. Если

8ж газ внутри и вне трубки находится в тепловом равновесии, то отсюда следует, что и pi < ре, где р - плотность газа, а значения индексов - те же. Значит, в присутствии гравитационного поля газ трубки и, в силу вмороженности поля, сама трубка будут всплывать.

Позже понятие магнитной плавучести было распространено также на механизм возбуждения неустойчивости крупномасштабного (распределенного) магнитного поля. В газовой среде, заполненной таким полем, часть общего давления определяется магнитным полем. Если напряженность этого поля уменьшается с высотой, то газ становится «тяжелее» (по сравнению с немагнитным случаем), а значит, появляется дополнительная потенциальная гравитационная энергия, которая может пойти на возбуждение неустойчивости. Впервые такого рода неустойчивости были исследованы в работе Паркера [53].

Появление на солнечной поверхности биполярных пар солнечных пятен, ориентированных примерно параллельно экватору интерпретируется как результат всплытия из глубины конвективной зоны трубок тороидального магнитного поля. Для целей нашей работы большое значение будет иметь оценка скорости такого всплытия.

Паркер [54] оценил скорость подъема горизонтальной трубки в неоднородной атмосфере исходя из предположения, что на нее действуют две уравновешивающие друг друга силы: подъемная сила, определяемая разностью внутреннего и внешнего давления и напряженностью поля в трубке, и сила аэродинамического сопротивления, определяемая особенностями среды. Согласно его оценке, трубки с напряженность 100 Гс должны покидать конвективную году за время порядка 2 лет.

В дальнейшем, рядом исследователей были выполнены расчеты, вносящие некоторые поправки в результаты, полученные Паркером. Так, Унно и Райбс [55] приняли во внимание турбулентную вязкость среды, в которой движется магнитная трубка. Это, естественно, привело к уменьшению скорости всплытия (в VA/VS раз, где VA - альфвеновская скорость в трубке, Vs - скорость звука в ней). Гораздо более существенную поправку внес Шюсслер [56], который рассмотрел случай подъема трубки, все время находящейся в состоянии теплового равновесия с внешней средой, и учел соответствующее расширение трубки. Его оценка для скорости всплытия оказалась примерно в 20 раз меньше, чем у Паркера.

Наиболее развернуто картина подъема горизонтальных магнитных трубок была рассмотрена в работе Морено-Инсертиса [57]. Согласно полученным им результатам, для трубок с достаточно большой напряженностью поля (> 104Гс) становится несущественным характер теплового взаимодействия трубки и окружающего ее вещества (т.е., например, адиабатические и изотермические трубки всплывают одинаково). Однако при малых значениях напряженности быстрее всплывают адиабатически расширяющиеся трубки (для поля 100 Гс скорость подъема адиабатической трубки в 100 раз больше, чем изотермической). Морено-Иисертис объясняет это тем, что в конвективной среде адиабатические трубки имеют плавучесть и в отсутствии магнитного поля. Далее, он нашел, что для торможения всплытия трубки сила турбулентного вязкого сопротивления является более существенной, чем сила аэродинамического сопротивления.

Кудури и Гилман [58] рассмотрели также вопрос о влиянии на процесс подъема трубки в конвективной зоне вращения Солнца. Оно действительно должно иметь некоторое значение, поскольку время всплытия даже самых «быстрых» трубок составляет не меньше месяца. Для процесса подъема осесиммет-ричных трубок существенным оказалось действие подъемной силы, силы Ко-риолиса и сопротивления среды, тогда как магнитное натяжение и центробежные силы не оказывают на этот процесс особого влияния. Согласно Кудури и Гилману, для трубок с напряженностью роля в 10 кГс компоненты подъемной силы и силы Кориолиса, перпендикулярные к оси вращения, быстро уравновешивают друг друга, и всплытие происходит по направлению, параллельному оси вращения. Из-за этого эффекта трубки выносятся на поверхность на более высоких широтах по сравнению с теми, на которых они начали всплывать. И только интенсивные трубки с очень высокой напряженностью поля сохраняют радиальное направление при подъеме. Исходя из этого, а также из того, что активные области на солнечной поверхности наблюдаются только в низких и средних широтах, Кудури и Гилман сделали вывод, что тороидальные трубки в глубоких слоях конвективной зоны существенно не осесимметричные (вывод, который многим представляется весьма сомнительным).

Все вышесказанное касалось горизонтальных трубок (т.е. трубок с одинаковым вдоль них значением гравитационного потенциала). Отказ от предположения о горизонтальности трубки неимоверно усложняет картину, хотя бы потому, что из-за возникающих градиентов потенциала вещество начинает перетекать вдоль трубки. Паркер [53] исследовал случай (обычно и имеющий место), в котором вещество перетекает по направлению от гребня трубки к ее впадине - оно как бы «стекает». При этом гребни теряют свою массу, их сечение уменьшается, напряженность поля (а с ней и плавучесть) увеличивается.

Морено-Инсертис [59] провел, пожалуй, наиболее развернутое исследование эволюции изолированных силовых трубок. Он рассмотрел, как изначально горизонтальная трубка, находящаяся в глубине конвективной зоны, находилась в состоянии устойчивого механического равновесия по отношению к смещениям ее как целого, но была неустойчивой по отношению к волновым возмущениям. Когда такое возмущение возникало, гребни начинали всплывать, причем, по предположению Морено-Инсертиса, достаточно быстро, для того чтобы считать этот процесс адиабатическим. При этом, как мы уже отмечали, плотность вещества в гребнях уменьшалась, и, значит, во впадинах увеличивалась, в результате чего последние уходили в устойчивую лучистую зону. У поверхности Солнца стратификация конвективной зоны становится еще более сверхадиабатической, в результате чего трубка расширяется и напряженность поля в ней уменьшается даже несмотря на то, что газ вдоль трубки стекает вниз, к основанию конвективной зоны.

Паркеровская неустойчивость тороидального поля к образованию петель подробно рассмотрена в монографии Паркера [3]. О ее приложении к нашей задаче будет в деталях рассказано ниже.

На этом мы заканчиваем обзор основных вопросов магнитной гидродинамики средних полей и теории динамо, имеющих отношение к обозначенным в начале Введения проблемам. Небольшой обзор по проблеме формирования солнечных пятен будет дан в начале главы 4.

В главе 1 мы рассмотрим основные проблемы теории солнечного динамо, критически оценим традиционный подход в моделях динамо к характеру условий для выхода магнитных полей через внешнюю поверхность конвективной зоны и введем для этой поверхности новые граничные условия, основанные на паркеровской неустойчивости тороидального поля к образованию петель.

В главе 2 мы апробируем новые граничные условия на примере простой одномерной модели динамо, учитывающей только самые основные свойства конвективной зоны. Как мы увидим, уже эта модель показывает, что пересмотр граничных условий на внешней поверхности конвективной зоны может привести к весьма положительным результатам.

В главе 3 мы исследуем основную - более реалистичную двухмерную модель, применив в ней новые граничные условия. И здесь исследование покажет положительный эффект от этих условий.

24

В главе 4 мы отойдем от глобального динамо, и посмотрим, как механизм, обеспечивающий условия для выхода магнитных полей из конвективной зоны, действует локально, в подфотосферном слое. Сначала будет рассмотрена описанная выше вторичная неустойчивость, которая может служить одним из механизмов формирования солнечного пятна. Затем будет рассмотрена нелинейная равновесная модель самого пятна.

В Заключении мы подведем итоги, сформулируем выводы и наметим перспективы, направления, в которых может быть продолжено исследование и усовершенствование построенных моделей.

Заключение диссертации по теме «Физика Солнца», Мазур, Михаил Витальевич

4.5. Выводы

В этой главе приведены результаты исследования вторичной неустойчивости, возникающей вследствие подавления магнитным полем турбулентной теплопроводности. В отличие от обычной ситуации, в которой магнитное поле стабилизирует систему, здесь оно выступает в роли дестабилизирующего фактора: подавляя (конвективную) неустойчивость в малых масштабах, оно приводит к вторичной неустойчивости на больших масштабах. Возможно, что механизм, связанный с действием этой неустойчивости, имеет отношение к процессу формирования солнечных пятен.

Изучены свойства равновесной гидромагнитной структуры в подфотосферном слое. Такая структура представляют собой модель солнечного пятна. Важную роль в установлении общего магнитогидродинамического равновесия в этой модели играют течения. Исследование модели позволило воспроизвести основные свойства солнечных пятен, в том числе уменьшение теплового потока, усиление магнитного поля, а также связанные с пятном подфотосферные течения.

Заключение

Во Введении было сказано о трех существенных проблемах теории солнечного динамо - слишком короткий расчетный цикл, слишком большие по-лоидальные поля и активность на высоких широтах.

Основная задача работ, положенных в основу первой части (главы 1-3) настоящей диссертации состояла в преодолении первых двух из этих проблем.

Было высказано предположение, что традиционные модели солнечного динамо дают столь малые (порядка года) расчетные значения периода цикла солнечной активности по той причине, что они оставляют внешнюю границу солнечной конвективной зоны открытой для свободного выхода магнитного поля. «Открытость» внешней границы заключается в том, что традиционные модели динамо используют для нее вакуумные граничные условия, при которых решение для поля внутри конвективного слоя сшивается с потенциальным решением во внешнем пространстве.

Мы, следуя Паркеру, предположили, что для внешней границы более уместными являются не открытые, а закрытые граничные условия. Точнее, мы предположили, что выход магнитного поля из конвективной зоны происходит только благодаря нелинейному механизму, связанному с неустойчивостью тороидального поля к образованию петель.

Основываясь на этой идее, мы сформулировали глобальные граничные условия (отдельно для тороидального и полоидального магнитного поля), которые, по сути, представляют собой некую смесь открытых вакуумных и закрытых сверхпроводниковых условий. Причем вклад каждой «составляющей» регулируется величиной магнитного поля (для тороидального поля) и его конфигурацией (для полоидального). Именно, пока поле достаточно слабо (по сравнению с величиной поля при равнораспределении магнитной энергии и энергии конвективных движений), внешняя граница закрыта для проникновения через нее тороидального поля. По мере роста амплитуды тороидального поля оно все более интенсивно выходит через внешнюю границу - последняя становится открытой для поля. Далее, пока петля полоидального поля погружена в конвективную зону (так что максимум полоидального потенциала приходится на некоторую точку внутри конвективной зоны), внешняя граница открыта для свободного выхода этой компоненты поля. Но как только максимум полоидального потенциала «всплывает» на поверхность, дальнейший выход полоидального поля невозможен, и его петля начинает распадаться по диффузионному закону - граница закрывается.

Предложенные граничные условия были проверены сначала на примере простой одномерной модели, в которой конвективная зона моделировалась бесконечным (в горизонтальном направлении) плоским слоем, причем нас интересовало только «радиальное» распределение поля (то есть распределение поперек слоя), что и делало модель одномерной. Для нужд этой модели достаточно было использовать только граничные условия для тороидального поля.

Линейный анализ построенной модели показал, что по мере перехода от открытых вакуумных к закрытым сверхпроводниковым условиям расчетный период магнитного цикла в системе неограниченно растет, а критическое значение динамо-числа существенно уменьшается. Нелинейные расчеты, проведенные с этой одномерной моделью, воспроизвели циклическое поведение поля в установившемся режиме. Таким образом, исследование этой модели подтвердило, что пересмотр граничных условий на внешней поверхности конвективной зоны может открыть дорогу к решению проблемы периода.

Затем было предпринято исследование реалистичной двухмерной (в сферической геометрии) модели солнечного динамо. Теперь конвективная зона моделировалась дифференциально вращающимся сферическим слоем. Профиль дифференциального вращения был построен на основе последних результатов гелиосейсмологии. В модели была учтена анизотропия турбулентной диффузии и альфа-эффекта, порожденная вращением, а также зависимость этих коэффициентов переноса от величины магнитного поля. Кроме того, учитывались конвективные переносы поля, порожденные действием кориолиссовых сил на конвективные ячейки. Профили различных величин, выступавших в нашей модели в качестве параметров, были заимствованы из правдоподобных и весьма подробных моделей солнечной конвективной зоны, а также из результатов теории средней длины перемешивания.

Расчет этой модели с традиционными вакуумными граничными условиями воспроизвел ожидаемый результат - период цикла оказался порядка года. Картина существенно изменилась при включении новых граничных условий. В зависимости от мощности альфа-эффекта период поля возрастал до 34 лет (при определенном значении характеризующего мощность альфа-эффекта динамо-числа Са период поля составлял 22 года). Полученное при этом решение для поля было существенно антисимметричным относительно экваториальной плоскости (как это и имеет место на Солнце). Таким образом, и реалистичная двухмерная модель показала, что пересмотр условий на внешней поверхности может разрешить проблему периода.

Хотя построенная модель сохранила ряд недостатков, свойственных традиционным моделям (например, сильные тороидальные поля опять появлялись и на высоких широтах), можно надеяться, что эти недостатки будут устранены после надлежащего усовершенствования модели (например, после включения в нее меридиональной циркуляции).

В основу новых глобальных граничных условий для магнитного поля на внешней поверхности конвективной зоны была положена паркеровская неустойчивость тороидального поля к образованию петель. Исследуя модель динамо для солнечной конвективной зоны, мы не интересовались проявлением этого явления на локальных масштабах. Тем не менее, исследование этих проявлений также представляет интерес.

Выходя на поверхность, трубки тороидального поля образуют петли, при этом локально направление трубки уже не горизонтальное, а вертикальное. Последняя глава настоящей диссертации была посвящена изучению поведения вертикального магнитного поля в подфотосферном слое.

Была построена модель, которая воспроизвела процесс формирования равновесной магнитной структуры со свойствами, близкими к свойствам солнечного пятна. Важной особенностью этой модели, отличающей ее от аналогичных ранее построенных моделей, был учет движения вещества. Механизм формирования солнечного пятна, описанный в модели, основывается на вторичной неустойчивости, вызванной подавлением эффективной турбулентной теплопроводности магнитным полем. Суть неустойчивости такова: возникает неоднородность магнитного поля, в областях с усиленным полем уменьшается турбулентная теплопроводность, вещество в этих областях охлаждается, и возникает сходящееся течение. Последнее еще больше усиливает неоднородность поля, приводя к неустойчивости.

Подробно изучены свойства равновесных гидромагнитных структур в подфотосферном слое. Построенная модель воспроизвела ряд свойств солнечных пятен - уменьшение яркости, усиление поля, характерные подфотосфер-ные течения. Структура магнитного поля и теплового потока также были воспроизведены в хороших деталях.

Приведем основные выводы настоящей диссертации:

1. I Решена проблема расхождения расчетных и наблюдаемого значений периода цикла солнечной активности в теории динамо. Построена реалистичная модель динамо, воспроизводящая солнечный цикл наблюдаемой продолжительности. Построенная модель воспроизводит также наблюдаемое отношение амплитуд полоидальных и тороидальных полей на Солнце.

2. Сформулированы более реалистичные, чем в традиционных моделях динамо, условия выхода магнитного поля через внешнюю поверхность конвективной зоны. Предполагается, что поле может покидать конвективную оболочку только благодаря действию нелинейного механизма - паркеровской неустойчивости тороидального поля к образованию петель. Предложена новая глобальная формулировка граничных условий (отличающихся от обычно используемых вакуумных условий) для крупномасштабного магнитного поля на указанной поверхности.

3. Изучена крупномасштабная вторичная неустойчивость, вызываемая подавлением турбулентной теплопроводности магнитным полем. Показано, что эта неустойчивость может служить одним из механизмов формирования солнечных пятен.

4. Исследованы равновесные структуры в подфотосферном слое. Построена модель солнечного пятна, воспроизводящая ряд его характерных черт -уменьшение яркости, усиление магнитного поля, подфотосферные течения.

В дальнейшем исследования могут быть продолжены в следующих направлениях: модель глобального динамо для КМПС может быть усовершенствована путем включения меридиональной циркуляции, а также различных дополнительных эффектов (нелинейность, анизотропия), определяющих воздействие магнитного поля и вращения на турбулентность в КЗ Солнца. Построенная в четвертой главе модель солнечного пятна может быть усовершенствована, например, включением порожденной магнитным полем анизотропии турбулентных коэффициентов переноса.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю ЛЛ Кичатинову за постановку задач, за постоянные обсуждения и руководство в выполнении этой работы.

Автор благодарит В.А. Коваленко за содействие в исследовательской работе и написании данной диссертации.

110

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мазур, Михаил Витальевич, 2001 год

1. Макаров В.И., Тлатов А.Г. Крупномасштабное магнитное поле Солнца и 11-летние циклы активности // Астрономический Журнал. 2000. - т.77. -№ 11.-С. 858-864.

2. Babcock H.W. The topology of the Sun's magnetic field and the 22-year cycle // Astrophysical Journal. 1961. - v. 133. - p. 572-587.

3. Паркер E.H. Космические магнитные поля: их образование и проявления -М.: Мир, 1982.-Т.1.-608 с.

4. Stenflo J.O., Vogel М. Global resonances in the evolution of solar magnetic fields // Nature. 1986. - v. 319. - p. 285-290.

5. Stenflo J.O. Global wave patterns in the Sun's magnetic field // Astrophysical Space Science. 1988. - v. 144. - p. 321-336.

6. Stix M. Differential rotation and the solar dynamo // Astronomy and Astrophysics. 1976. - v. 47. - p. 243-254.

7. Yoshimura H. Phase relation between the poloidal and toroidal solar-cycle general magnetic fields and location of the origin of the surface magnetic fields // Solar Physics. 1976. - v. 50. - p. 3-23.

8. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability Oxford: Clarendon Press, 1961.-1021 p.

9. Пудовкин М.И. Беневоленская E.E. Квазистационарное первичное магнитное поле Солнца и вариации интенсивности солнечного цикла // Письма в Астрономический Журнал. -1982. т. 8. - № 8. - С. 506-509.

10. Демидов М.Л., Котов В .А., Григорьев В.М. Коротко-периодические вариации глобального магнитного поля Солнца // Известия Крымской Астрофизической Обсерватории. 1990. - т. 82. - С. 147-153.

11. Mordvinov А.V., Kuklin G.V. Hierarchy of Cyclic Solar Activity Changes // Solar Physics. 1999. - v. 187. - p. 223-226.

12. Беневоленская E.E. Структура солнечного магнитного цикла // Письма в астрономический журнал. 1994. - т. 20. - № 7. - С. 551-564.

13. Parker E.N. Hydromagnetic dynamo models // Astrophysical Journal. 1955.-v. 121.-p. 491-507.

14. Leighton R.B. A magneto-kinematic model of the solar cycle // Astrophysical Journal. 1969. - v. 156. - p. 1-26.

15. Steenbeck M., Krause F., Radler K.-H. Berechnung der mittleren Lorentz-Feldstarke fur ein elektrisch leitendendes Medium in turbulenter, durch Coriolis-Krafie beeinflusster Bewegung // Zeichrift fur Naturforschung. 1969. - v. 21a. -p. 369-376.

16. Steenbeck M., Krause F. Zur Dynamotheirie stellarer und planetarer Magnet-felder I. Berechnung sonnenahnlicher Wechselfeldgeneratoren // Astronomische Nachrichten. -1969. v. 291. - p. 49-84.

17. Краузе Ф., Рэдлер K.-X. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо М.: Мир, 1984. - 320 с.

18. Stix М. A non-axisymmetric a -effect dynamo // Astronomy and Astrophysics. -1971.-v. 13.-p. 137-148.

19. Krause F. Zur Dynamotheorie magnetischer Sterne: Der "symmetrische Rotator" als Alternative zum "schiefen Rotator" // Astronomische Nachrichten. -1971.-v. 293.-p. 187-193.

20. Roberts P.H. Kinematic dynamo models. // Phyl. Trans. Roy. Soc. 1972. - v. 274.-p. 663-698.

21. Stix M. Non-linear dynamo waves // Astronomy and Astrophysics. 1972. - vol. 20.-P. 9-12.

22. Krause F. Eine Losung des Dynamoproblems auf der Grundlage einer linearen Theorie der magnetohydrodynamischen Turbulentz. // Habilitationsschrift, University of Jena. 1967. - 421 p.

23. Radler K.-H. On some electromagnetic phenomena in electrically conducting turbulently moving matter, especially in presence of Coriolis forces // Geody-namics and Geophysics. 1969. - v. 13. - p. 131-135.

24. Radler K.-H. Mean field approach to spherical dynamo models // Astronomy and Astrophysics. 1980. - v. 301. - p. 101-129.

25. Roberts P.H., Soward A.M. A unified approach to mean field electrodynamics // Astronomische Nachrichten. 1975. - v. 296. - p. 49-64.

26. Моффат Т. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде М.: Мир, 1980.-511 с.

27. Mordvinov A.V., Plyusnina L.A. Cyclic changes in solar rotation inferred from temporal changes in the mean magnetic field // Solar Physics. 2000. - v. 197. -p. 1-9.

28. Riidiger G. Behandlung eines einfachen magnetohydrodinamischen Dynamos mittels Linearisierung // Astronomische Nachrichten. 1973. - v. 294. - p. 183186.

29. Иванова T.P., Рузмайкин A.A. Нелинейная магнитогидродинамическая модель динамо Солнца // Астрономический Журнал. 1977. - № 54. - С. 846858.

30. Yoshimura Н. A model of the solar cycle driven by the dynamo action of the global convection in the solar convection zone // Astrophysical Journal Supplement Series. 1975. - v. 29. - p. 467-494.

31. Pouquet A., Patterson G.S. Numerical simulations of helical magnetohydrody-namic turbulence // Journal of Fluid Mechanics. 1978. - v. 85. - p. 305-323.

32. Wilson O.C. Chromospheric variations in main sequence stars // Astrophysical Journal. 1978. - v. 266. - p. 379-396.

33. Noyes R.W., Weiss N.O., Vaughan A.H. The relation between stellar rotation rate and activity cycle periods // Astrophysical Journal. 1984. - v. 287. - p. 769-773.

34. Baliunas S.L., Vaughan A.H. Stellar activity cycles // Annual review of astronomy and astrophysics. 1985. - v. 23. - p. 379-412.

35. Belvedere G., Paterno L., Stix M. Differential rotation along the lower main sequence: A theoretical investigation // Astronomy and Astrophysics. 1980. - v. 88.-p. 240-247.

36. Kleeorin N.I., Ruzmaikin A.A. Mean-field dynamo with cubic non-linearity // Astronomische Nachrichten. 1984. - v. 305. - p. 265-275.

37. Robinson R.D., Durney B.R. On the generation of magnetic fields in late-type stars: A local time-dependent dynamo model // Astronomy and Astrophysics. -1982.-v. 108.-p. 322-325.

38. Gilman P.A., Miller J. Dynamically consistent nonlinear dynamos driven by convection in a rotating spherical shell // Astrophysical Journal Supplement Series. 1981. - v. 46.-p. 211-238.

39. Gough D. What causes the solar cycle? // Nature. 1986. - v. 319. - p. 263-264.

40. Kippenhahn R. Differential rotation in stars with convective envelopes // Astro-physical Journal. 1963. - v. 137. - p. 664-678.

41. Kohler H. Differential rotation caused by anisotropic turbulent viscosity // Solar Physics. 1970. - v. 13. - p. 3-18.

42. Rudiger G. A theory of differential rotation based on the discussion of turbulent transport of angular momentum // Astronomische Nachrichten. — 1977. v. 298. -p. 245-252.

43. Rudiger G. Two-dimensional stochastic motions and the problem of differential rotation // Solar Physics. 1977. - v. 51. - p. 257-269.

44. Rudiger G. Reynolds Stresses and Differential Rotation I. On Recent Calculations of Zonal Fluxes in Slowly Rotating Stars // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 1980. - v. 16. - p. 239-261.

45. Durney B.R., Roxburgh I.W. Inhomogeneous convection and the equatorial acceleration of the Sun // Solar Physics. 1971. - v.16. - p. 3-20.

46. Moss D., Vilkhu O. Models of stellar differential rotation on the lower main sequence // Astronomy and Astrophysics. 1983. - v. 119. - p. 47-53.

47. Schmidt W. Models of solar differential rotation // Geophysical and Astrophysi-cal Fluid Dynamics. 1982. - v. 21. - p. 27-57.

48. Kosovichev A.G., Schou J., Scherrer P.H. et al. Structure and rotation of the solar interior: initial results from the MDI medium-L program // Solar Physics. -1997.-v. 170.-p. 43-61.

49. Choudhuri A.R. The effect of closed boundary conditions on a stationary dynamo // Astrophysical Journal. 1984. - v. 281, p. 846-853.

50. Jensen E. On tubes of magnetic forces embedded in stellar material // Annales d'Astrophysique. -1955. v. 18. - p. 127-141.

51. Parker E.N. The Dynamical State of the Interstellar Gas and Field // Astrophysical Journal. 1966. - v. 145. - p. 811-825.

52. Parker E.N. The generation of magnetic fields in astrophysical bodies. X -Magnetic buoyancy and the solar dynamo // Astrophysical Journal. 1975. - v. 198.-p. 205-209.

53. Unno W., Ribes E. On magnetic buoyancy in the convection zone // Astrophysical Journal. 1976. - v. 208. - p. 222-223.

54. Schussler M. On buoyant magnetic flux tubes in the solar convection zone // Astronomy and Astrophysics. 1977. - v. 56. - p. 439-442.

55. Moreno-Insertis F. Rise times of horizontal magnetic flux tubes in the convection zone of the sun// Astronomy and Astrophysics. 1983. - v. 122. - p. 241-250.

56. Choudhuri A.R., Gilman P.A. The influence of the Coriolis force on flux tubes rising through the solar convection zone // Astrophysical Journal. 1987. - v. 316.-p. 788-800.

57. Moreno-Insertis F. Nonlinear time-evolution of kink-unstable magnetic flux tubes in the convective zone of the sun // Astronomy and Astrophysics. 1986. -v. 166.-p. 291-305.

58. Kitehatinov, L.L., Mazur, M.V., Jardine, M. Magnetic field escape from a stellar convection zone and the dynamo-cycle period // Astronomy and Astrophysics. 2000. - v. 359.-p. 531-538.

59. Riidiger G. Dynamo theory and period of the solar cycle // Solar Magnetic Fields (eds. Shussler M., Schmidt W.). Cambridge: University Press, 1994. -p. 77-84.

60. Stix M. Solar models with convection overshot I I Workshop on Solar Modelling (eds. Bahcall J.N., Balantekin В.). World Scientific, 1995. - p. 199-224.

61. Nordlund A., Brandenburg A., Jennings R.L., et al. Dynamo action in stratified convection with overshoot // Astrophysical Journal. 1992. - v. 392. - p. 647652.

62. Kitchatinov L.L., Pipin V.V. Mean-field buoyancy // Astronomy and Astrophysics. 1993. - v. 274. - p. 647-652.

63. Donati J.-F., Cameron A.C. Differential rotation and magnetic polarity patterns on AB Doradus // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1997.-v. 291. - p. 1-19.

64. Donati J.-F. Magnetic cycles of HR 1099 and LQ Hydrae // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1999.- v. 302. - p. 457-481.

65. Alekseev I.Yu., Gershberg R.E. A probable periodicity in the activity of the red dwarf flare star EV Lac. // The Tenth Cambridge Workshop on Cool Stars, Stellar Systems and the Sun. PASPC. 1998. - v. 154. - p. 1471-1478.

66. Parker E.N. Magnetic buoyancy and the escape of magnetic fields from stars // Astrophysical Journal. 1984. - vol. 281. - P. 839-845.

67. Кичатинов JI.Д., Мазур М.В. Выход магнитных полей из конвективной оболочки звезды и период цикла активности // Письма в Астрономический Журнал.-1999. том 25.-№ 7. - С. 549-553.

68. Choudhuri A.R., Shussler М., Dikpati М. The solar dynamo with meridional circulation // Astronomy and Astrophysics. 1995. - v. 303. - p. L29-L41.

69. Кузанян К.М., Соколов Д.Д. Динамо-волна в тонком слое // Астрономический Журнал. 1996. - т. 73. - С. 469-475.

70. Kuzanyan К.М., Sokoloff D.D. Half-Width of a Solar Dynamo Wave in PARKER'S Migratory Dynamo // Solar Physics. 1997. - v. 173. - p. 1-14.

71. Rudiger G., Kitchatinov L.L. Alpha-effect and alpha-quenching // Astronomy and Astrophysics. 1993. - v. 269. - p. 581-588.

72. Kitchatinov L.L., Pipin V.V., Rudiger G. Turbulent viscosity, magnetic diffusivity, and heat conductivity under the influence of rotation and magnetic field // Astronomische Nachrichten. 1994. - v. 315. - p. 157-170.

73. Belvedere G.M., Kuzanyan K.M., Sokoloff D.D. A two-dimensional asymptotic solution for a dynamo wave in the light of the solar internal rotation // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2000. - v. 315. - p. 778-790.

74. Blackman E.G., Field G.B. Resolution of an Ambiguity in Dynamo Theory andй Its Consequences for Back-Reaction Studies // Astrophysical Journal. 1999. v. 521.-p. 597-601.

75. Kitchatinov L.L. Turbulent transport of magnetic fields in a highly conducting rotating fluid and the solar cycle // Astronomy and Astrophysics. 1991. - v. 243.-p. 484-491.

76. Stix M. and Skaley D. The equation of state and the frequencies of solar P modes // Astronomy and Astrophysics. 1990. - v. 232. - p. 234-238.

77. Radler K.-H., Wiedemann E., Meinel R., Brandenburg A., Tuominen I. Nonlinear mean-field dynamo models Stability and evolution of three-dimensionalmagnetic field configurations // Astronomy and Astrophysics. 1990. - v. 239. -p. 413-423.

78. Riidiger G., Elstner D. Non-axisymmetry vs. axisymmetry in dynamo-excited stellar magnetic fields // Astronomy and Astrophysics. 1994. - v. 281. - p. 4650.

79. Brandenburg A., Krause F., Meinel R., Moss D., Tuominen I. The stability of nonlinear dynamos and the limited role of kinematic growth rates // Astronomy and Astrophysics. 1989. - v. 213. - p. 411-422.

80. Stenflo J.O., Giidel M. Evolution of solar magnetic fields Modal structure // Astronomy and Astrophysics. - 1988. - v. 191. - p. 137-148.

81. Dikpati M., Charbonneau P. A Babcock-Leighton Flux Transport Dynamo with Solar-like Differential Rotation // Astrophysical Journal. 1999. - v. 518. - p. 508-520. '

82. Kitchatinov L.L , Riidiger G. Differential rotation models for late-type dwarfs and giants // Astronomy and Astrophysics. 1999. - v. 344. - p. 911 -917.

83. Saar S.H., Brandenburg A. Time Evolution of the Magnetic Activity Cycle Period. II. Results for an Expanded Stellar Sample // Astrophysical Journal. -1999.-v. 524.-p. 295-310.

84. Bray J.R., Loughhead R.E. Sunspots London: Chapman and Hall, 1964. - 212 P

85. Deinzer W. On the Magneto-Hydrostatic Theory of Sunspots // Astrophysical Journal. 1965. - v. 141.-p. 548-565.

86. Parker E.N. The nature of the sunspot phenomenon. Ill Energy consumption and energy transport. IV - The intrinsic instability of the magnetic configuration // Solar Physics. - 1975. - v. 40. - p. 275-301.

87. Petrovay K., Moreno-Insertis F. Turbulent Erosion of Magnetic Flux Tubes // Astrophysical Journal. 1997. - v. 485. - p. 398-415.

88. Petrovay K. and Driel-Gesztelyi L. Making Sense of Sunspot Decay. I. Parabolic Decay Law and Gnevyshev-Waldmeier Relation // Solar Physics. -1997.-v. 176.-p. 249-266.

89. Jahn K. and Schmidt H.U. Thick penumbra in a magnetostatic sunspot model // Astronomy and Astrophysics.- 1994.- v. 290. p. 295-317.

90. Meyer F., Schmidt H.U. and Weiss N.O. The growth and decay of sunspots // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1974. - v. 169. - p. 3557.

91. Parker E.N. Sunspots and the physics of magnetic flux tubes. I The general nature of the sunspot. II - Aerodynamic drag // Astrophysical Journal. - 1979.: v. 230.-p. 905-923.

92. Kosovichev A.G. Tomographic Imaging of the Sun's Interior // Astrophysical Journal. 1996. - v. 461. - p. L55-L61.

93. Kitchatinov L.L., Mazur M.V. Stability and equilibrium of emerged magnetic flux I I Solar Physics. 2000. - v. 191. - p. 325-340.

94. Сыроватский Р.И., Жугжда Ю.Д. Колебательная конвекция проводящего газа в сильном магнитном поле // Астрономический Журнал. 1967. - № 44.-С. 1180-1190.

95. Жугжда Ю.Д. Свойства низкочастотной колебательной конвекции в сильном магнитном поле // Астрономический Журнал. 1970. - № 47. — С. 340350.

96. Weiss N.O. Magnetic fields and convection // In: Problems of Stellar Convection. Springer-Verlag (eds. Spiegel E.A., Zahn J.-P.). Berlin: Springer-Verlag, 1977.-P. 176-187.

97. Zwaan C. The evolution of sunspots // In: Sunspots: Theory and Observations (eds. Thomas J.H., Weiss N.O.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992. -P. 75-100.