Пространственно-периодические стационарные и нестационарные решения трехмерного уравнения Навье-Стокса с АВС силой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Подвигина, Ольга Михайловна

• Подвигина, Ольга Михайловна
• 1997

Оглавление диссертации Подвигина, Ольга Михайловна

Глава 1. Введение

Глава 2. Решения, зависящие от времени

2.1. Введение

Некоторые основные определения

2.2. Некоторые аналитические результаты для течений при действии АВС сил

Единственность и устойчивость АВС потока при малых числах Рейнольдса

Энергетические оценки

2.3. Численные методы

Пространственная и временная дискретизация

Начальные условия

2.4. Симметрии

2.5. Обзор результатов

Пять основных режимов

Стационарные течения з2г(Л2д(й))

2.6. Поведение течений во времени

Режим 0: единственный аттрактор Лг

Режим I: сосуществование четырех аттракторов

Режим II: сосуществование трех аттракторов; исчезновение аттрактора, близкого к Л\

Режим ///: упорядоченное взаимодействие между аттракторами

Режим IV: бесструктурный хаос

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространственно-периодические стационарные и нестационарные решения трехмерного уравнения Навье-Стокса с АВС силой»

3.2. Стабилизация решений 62

3.3. Свойства многочленов Чебышева 63

3.4. Множество оптимальных шагов 67

3.5. Практические аспекты вычислений с использованием последовательностей Чебышева 71

3.6. Использование двучленных рекуррентных соотношений 78

3.7. Адаптивные алгоритмы оптимизации одночленных итераций 79

3.8. Оптимальный выбор операторов А* 83

3.9. Итеративная процедура для вычисления доминирующего собственного значения самосопряженного оператора 86

3.10 Заключение 88

Глава 4. Стационарные течения 90

4.1. Введение 90

4.2. Численные методы 91

Вычисление стационарных течений 91

Вычисление размерности ядра Е' 91

Продолжение ветви стационарных течений 93

4.3. Бифуркации Л\ общего положения 94

4.4. Разложение пространства Фурье в прямую сумму изотипических компонент при действии группы симметрий 0 течения Лг 97

4.5. Результаты вычислений 104

4.6. Заключение 115

Глава 5. Заключение 118

Литература 122

ПЕРВАЯ ГЛАВА

ВВЕДЕНИЕ

Поток с полем скорости илвс = {A sin кхз + С cos кх2, В sin кх\ + A cos кхз, С sin кх2 + В cos кх\) называется АВС потоком. Здесь к > 0 - волновое число потока, А, В и С - произвольные постоянные коэффициенты. Линейная комбинация АВС потоков с одинаковыми волновыми числами к - также АВС поток.

АВС поток является собственной функцией оператора ротора с собственным значением к: периодической по каждой из трех пространственных переменных. Применение оператора дивергенции к (1.2) показывает, что (1.1) является полем скорости несжимаемой жидкости:

АВС поток можно рассматривать как суперпозицию трех спиральных волн с гармониками Фурье (0, 0, ±1), (±1,0, 0) и (0, ±1,0) с энергиями |А2, \В2 и \С2, соответственно.

Этот поток является стационарным решением уравнения Эйлера при периодических граничных условиях для поля скорости V и давления р и условии несжимаемости данной диссертации принято R = v~l, где v - вязкость. Это соответствует стандартному определению числа Рейнольдса, когда к = 1 и А2 + В2 + С2 = 0(1) (см. (1.8) ). См., однако, сноску на с.бО.

1.1)

V X UABC — kxiABC,

1.2)

V • UABC = 0.

1.3) и уравнения Навье-Стокса

1.4а) где R - число Рейнольдса1 и

1-46)

V-v = 0.

1.4с)

Интегрирование (1.4а) по кубу периодичности Çl дает d [

V dx = О, at Jn позволяя наложить дополнительное ограничение

I V dx — 0.

Jn

1.4 i)

Arnold (1965) доказал, что стационарное решение уравнения Эйлера

1.3) может иметь хаотические линии тока только, если оно обладает свойством Бельтрами

Он отметил, что, поскольку ABC потоки удовлетворяют этому условию, (1.1) задает разнообразные течения с возможно хаотическими линиями тока.

Различные типы течений Бельтрами изучали Bj0rgum & Godai (1952). Было доказано, что любое течение, удовлетворяющее (1.5) при постоянном /с, может быть представлено в виде где Н - любая скалярная функция, удовлетворяющая спектральному уравнению

Очевидно, АВС потоки являются частным случаем полей (1.6). Однако (1.6) определяет и другие классы периодических по пространству функций, которые также могут иметь хаотические линии тока.

Нёпоп (1966) численно показал, что при А = л/З, В = у/2, С — 1 и к = 1 АВС поток (1.1) хаотичен. БотЬге и др. (1986) изучали траектории частиц в различных АВС потоках с волновым числом к = 1 . Если

V х V = h

1.5), где к - константа, откуда

V- v = 0. дН д2Н и = к------h -—— дх2 dx3dxi ’

2 , дН д2Н -k-z-----h 7^—тdxi дхздх2 ’

1.6а)

W2H + к2Н = 0.

1.66) хотя бы один коэффициент в (1.1) обращается в ноль, течение интегрируемо. Используя тест Пенлеве, Dombre и др. (1986) утверждали, что это условие является также необходимым для интегрируемости ABC потоков. Сечения Пуанкаре, рассчитанные для некоторых течений такого вида, показывают, что эти течения имеют хаотические линии тока. Если можно построить треугольник со сторонами, равными А2, В2 и С2, течение имеет 8 стационарных точек2; в противном случае стационарных точек нет. В случае А = В = С = 1 стационарные точки соединены гете-роклинными траекториями, являющимися прямыми линиями (Childress & Soward, 1985). Максимальные показатели Ляпунова для некоторых ABC потоков были вычислены Galanti и др. (1992). Для множеств коэффициентов, которые они рассматривали, максимальный показатель равен ~ 0.2; для ABC ф 0 показатели положительны.

Наличие неустойчивых траекторий влечет, что, как стационарное решение уравнения Навье-Стокса. (1.4) в пределе больших чисел Рейнольдса, и как стационарное решение уравнения Эйлера (1.3), поток (1.1) неустойчив относительно 27г-периодических возмущений (Арнольд, 1972; Yakhot & Pelz, 1991; Friedlander & Vishik, 1991a,b , 1992; Friedlander, Gilbert & Vishik, 1993; Vishik & Friedlander, 1993, 1995).

Для к = 1 и произвольных коэффициентов А, В и С поток имеет группу симметрий из 8 элементов. В группе 16 элементов, если два коэффициента равны, и 48, если А = В = С. В половине симметрий обращается время (Арнольд, 1984; Dombre и др., 1986). Любая симметрия потока является симметрией уравнения Эйлера (1.3) и любая симметрия без обращения времени является также симметрией уравнения Навье-Стокса (1.4). Для натуральных к > 1 группы больше: они также включают параллельный

О-тг •-> W перенос на по каждой пространственной координате.

ABC потоки были предложены как прототип для изучения развития турбулентности и широко используются в магнитогидродинамике как поле скорости V проводящей жидкости в теории кинематического динамо. Задача кинематического динамо - это задача на собственные значения для оператора

MB = V х (v х В) + ДВ, (1.7а)

Чп

2 В кубе периодичности П. действующего на пространстве соленоидальных полей

V-B = 0 (1.76) при соответствующих граничных условиях. Говорят, что при некотором магнитном числе Рейнольдса Rm есть динамо, если оператор (1.7) имеет собственное значение с положительной действительной частью (см. Moffat t, 1978). Если наибольшая действительная часть имеет положительный верхний предел при Rm —> оо, динамо называется быстрым. Вишик (1988) доказал, что только хаотические потоки допускают быструю генерацию магнитного поля (см. также Vishik, 1989; Klapper & Young, 1995).

В контексте задачи кинематического динамо ABC потоки впервые рассмотрел Childress (1970). Эта задача была широко исследована численно (см. Арнольд и Коркина, 1983; Galloway & Frisch, 1984, 1986; Gilbert, 1991, 1992; Galanti и др., 1992; Childress & Gilbert, 1995). Было показано, что ABC потоки могут действовать как динамо. Вычисления указывают на то, что для некоторых наборов коэффициентов эти динамо быстрые.

Данная диссертация посвящена исследованию решений уравнения Навье-Стокса (1.4) при

А = В = С = 1, к = 1. (1.8)

ABC поток (1.8) часто называют 1:1:1 ABC потоком. (Его энергия равна

1.5 , а наибольший показатель Ляпунова равен 0.055 (Galanti и др., 1992). ) Одной из целей настоящего исследования было изучение развития нелинейных режимов пространственно-временной турбулентности при возмущении ABC потока. Хотя доступные вычислительные ресурсы наложили значительные ограничения на верхнюю границу достижимых чисел Рейнольдса, численное исследование имеет то преимущество, что оно предоставляет подробную информацию о пространственно-временном поведении течений. Оно позволяет идентифицировать бифуркации, происходящие в системе, а также тип возникающих аттракторов. Поскольку ABC потоки являются течениями Бельтрами и описываются малым числом гармоник Фурье, они хорошо подходят для изучения возникновения турбулентности и возможной взаимосвязи между временным хаосом и развитием мелкомасштабных пространственных структур.

Другой повод для настоящего исследования относится к магнитогидродинамике. Быстрые кинематические динамо основаны на хаотических свойствах течений; вместе с тем, те же самые свойства ответственны за то, что эти течения сами становятся неустойчивыми при относительно малых числах Рейнольдса. Таким образом, изучение временной эволюции возмущенного ABC потока потенциально может предъявить лучшего кандидата на роль генератора магнитного поля в нелинейной некинематической постановке.

Наши исследования показали, что при численном моделировании зависящих от времени решений уравнения Навье-Стокса (1.4) необходимо выполнять вычисления с относительно большим разрешением (т.е. с большим числом гармоник Фурье в случае периодических по пространству граничных условий) уже для таких небольших чисел Рейнольдса как R = 15. Это происходит из-за возникновения в процессе эволюции течения мелкомасштабных пространственных структур, существенных для глобального поведения течения.

Гомоклинные и гетероклинные траектории часто ответственны за поведение зависящих от времени решений. Хорошо известные примеры включают аттрактор Лоренца (Lorenz, 1963; Sparrow, 1982; Silnikov, 1993) и аттрактор Шильникова (Silnikov, 1965). Наши вычисления показывают, что при небольших числах Рейнольдса эволюция зависящих от времени течений определяется стационарными состояниями системы. Стационарные течения продолжают контролировать динамику системы после того, как они теряют устойчивость, и (при дальнейшем увеличении R) даже, когда начальные этапы перехода системы к турбулентности пройдены. В качестве первого шага для исследования структуры гетероклинного скелета системы (1.4) мы изучаем ветви стационарных течений, появляющихся при малых числах Рейнольдса. Эти ветви были прослежены до R = 2000.

Для некоторых гидродинамических систем существование нескольких стационарных течений было установлено аналитически (см. Temam, 1984, и приведенные там ссылки). Появление нового состояния равновесия при увеличении параметра системы наблюдалось в других гидродинамических системах, например в системе Тейлора-Куэтта (см. Golubitsky, 1988; Chos-sat & Iooss, 1994, и приведенные там ссылки). Однако в этих экспериментах существование нескольких стационарных состояний было установлено только на конечных интервалах параметров, там, где стационарные течения были устойчивы. Число стационарных решений уравнения Навье-Стокса, его зависимость от числа Рейнольдса, зависимость отдельного решения от Я - эти вопросы представляют интерес сами по себе, и ответы на них неизвестны. Наблюдаемое поведение некоторых ветвей стационарных течений указывает, что эти ветви могут существовать при всех больших числах Рейнольдса. Вычисление этих стационарных решений (1.4) потребовало разработки нового метода решения больших систем нелинейных уравнений, основанного на свойствах нулей полиномов Чебышева.

1:1:1 АВС поток имеет самую большую группу симметрий в классе АВС потоков с волновым числом один. Этот поток был нами выбран для того, чтобы наблюдать необычные типы бифуркаций, характерные для сильно симметричных систем. (Отметим, что природа глобальных бифуркаций редко поддается аналитическому исследованию, отсюда необходимость “экспериментального” подхода.) Действительно, на интервале 7 < Я < 25 были обнаружены двенадцать бифуркаций. Насколько нам известно, даже первая бифуркация тривиального решения, в которой оно теряет устойчивость, не была исследована аналитически; мы предполагаем провести это исследование в будущем. К настоящему моменту мы получили следующие предварительные результаты в этом направлении. Построено разложение пространства мод Фурье в прямую сумму изотипических компонент под действием группы симметрий 1:1:1 АВС потока. Аналогичное разложение было получена Арнольдом (1984); в данной диссертации построены разложения представлений на меньших пространствах, и каждая изотипическая компонента описана в терминах коэффициентов Фурье. Применяя эти формулы, можно определить, к какой изотипической компоненте пространства гармоник Фурье асимптотически принадлежит объект, появляющийся (или исчезающий) в результате бифуркации (для бифуркаций общего положения). Таким образом, можно найти размерность собственного подпространства касательного пространства, соответствующего собственным значениям, пересекающим в точке бифуркации мнимую ось (равную размерности центрального многообразия), что нужно для идентификации бифуркации. Используя эти результаты, мы установили, что первая локальная бифуркация 1:1:1 АВС потока при Яс ~ 13.044 не является обычной бифуркацией Хопфа, в которой одна пара простых собственных значений пересекает мнимую ось.

Результаты вычислений решений, зависящих от времени, представлены в Главе 2. В Главе 3 описан численный метод решения больших систем уравнений. Этот метод применялся для расчета стационарных решений уравнения Навье-Стокса (1.4), (1.8). Результаты этих расчетов приведены в Главе 4.

ВТОРАЯ ГЛАВА

РЕШЕНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ

2.1. Введение

В этой Главе приведены результаты численного исследования эволюции возмущения 1:1:1 ABC потока (1.1), (1.8). Изложение следует статье Podvigina & Pouquet (1994).

Используя энергетическое неравенство (см. Joseph, 1976), можно доказать, что при малых числах Рейнольдса ABC поток является единственным и устойчивым стационарным решением (1.4). В случае (1.8) единственность и устойчивость доказаны для R < | (см. Раздел 2.2). Было вычислено, что критическое число Рейнольдса потери линейной устойчивости для 1:1:1 ABC потока Rc ~ 13.044 (Galloway & Frisch, 1987; Podvigina & Pouquet, 1993, 1994). Аналитическое исследование линейной устойчивости течения при длинноволновых возмущениях показало, что поток устойчив при R ~ 1 (Bayly & Yakhot, 1986) и теряет устойчивость при R >> 1 (Libin & Sivashinsky, 1990; Libin и др., 1987; Moffatt, 1986). Применяя асимптотические методы, используемые в теории кинематического динамо, Friedlander & Vishik (1991) и Vishik & Friedlander (1993) доказали неустойчивость ABC потоков при всех достаточно больших R.

Мы исследуем поведение решений уравнения Навье-Стокса (1.4) с силой (1.8), когда число Рейнольдса возрастает от R = 0. Первая бифуркация, наблюдаемая в системе, - появление новых стационарных решений посредством седловой бифуркации. Это происходит при R « 7.9, до того, как 1:1:1 ABC поток теряет устойчивость. Верхняя граница детально исследованного интервала чисел Рейнольдса, R = 50, определялась доступными нам вычислительными ресурсами (в основном, временем ЦПУ): в типичном расчете интегрирование выполнялось на времена порядка 104. Были также выполнены вычисления для R — 200, чтобы изучить поведение системы при больших числах Рейнольдса.

За единицу времени принято так называемое “время оборота вихря” -величина, естественная для ABC потока, поскольку и скорость, и пространственный масштаб - порядка единицы. Другое характерное время, соответствующее максимальному показателю Ляпунова для 1:1:1 ABC потока. А ~ 0.055, t\ ~ 18 в принятых единицах.

Аналогичные исследования были проведены для трехмерного уравнения Навье-Стокса с другой силой (Kida и др., 1989) при выполнении ряда симметрий, что облегчило вычисления при больших числах Рейнольдса. Были подробно изучены численно двумерное периодическое по пространству уравнение Навье-Стокса с Колмогоровской силой (см. Chossat, 1996, и приведенные там ссылки), а также неустойчивость Колмогоровского течения относительно двумерных мелкомасштабных (от к ~ 3 до ~ 8) возмущений (She, 1988; Platt и др., 1991). .

В данном исследовании рассматриваются только несжимаемые возмущения ABC потока (1.8). Начальное возмущение потока предполагается периодическим по пространству (с тем же периодом 2тг по каждой декартовой координате хг). Основная часть наших вычислений была выполнена с малыми начальными возмущениями. Для нескольких чисел Рейнольдса рассматривались также большие начальные возмущения с энергией порядка энергии невозмущенного 1:1:1 ABC потока.

Некоторые основные определения

Обозначим через Ai 1:1:1 ABC поток (1.1), (1.8) и через О, - куб периодичности потока размером 2тт по каждой декартовой координате. Кинетическая энергия ABC потока в Ü

Е(илвс) = 2^2 В2 С2)

Соответственно, энергия Л\ = Е(Аг) = 1.5 .

Рассмотрим течение v как возмущение Л\.

V = Ai + v.

Тогда

Ет = - / V2 ¿х 2 JQ

- полная энергия, и

Ер = I/nv^x

- энергия возмущения. Это определение наиболее естественно для случая малых возмущений.

Пусть < • > обозначает усреднение по времени:

Уравнение для энергии возмущения

Ер >=< Ет > < Л\ • V о?х >

Ja показывает, что средняя энергия < Ет > может быть меньше средней полной энергии возмущения < Ер > для сильно возмущенных течений. Относительная спиральность п V • а; 6?Х где со = V х V - завихренность потока, достигает максимума (рта,х = 1) на любом АВС потоке.

Решение представляется в виде ряда Фурье

- сферический слой в пространстве волновых векторов гармоник Фурье, Е(к) = - энергия отдельной гармоники Фурье (мы также называем

Ук модой (¿1, &2, к3) ). Отметим, что энергетический спектр нестационарного поля скорости является функцией времени. Мы также рассматриваем отношение г энергии шести мод с волновым числом один (т.е. (0,0, ±1) и циклические перестановки) к полной энергии вычисляемого решения.

Под временным частотным спектром Р(/) мы понимаем спектр мощности энергии возмущения Ер{{) в области временных частот:

Частотные спектры вычислялись по значениям Ep(t) в равноотстоящих по времени точках с использованием стандартных приемов - окон, быстрого преобразования Фурье и осреднения спектра (см. Press и др., 1992). Р у = Е^,кх.

2.1) к

Энергетический спектр определен стандартным образом:

ЕК = £ £(к). к £СК

Здесь

Ск = {к | К < |к| < К + 1}

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Подвигина, Ольга Михайловна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Традиция изучения изменений в поведении решений уравнения Навье-Стокса при изменении параметра, управляющего системой, (часто числа Рейнольдса, как и в рассматриваемой задаче) уходит своими корнями в XIX век.

Уравнение Навье-Стокса можно рассматривать как динамическую систему с бесконечным числом степеней свободы (см. Тетат, 1988). Из-за сложности этой системы (напомним, что для трехмерного нестационарного уравнения Навье-Стокса еще не создана законченная теория существования и единственности решения) природа перехода от ламинарных режимов к турбулентным все еще недостаточно изучена. Неизвестно, как индивидуальный сценарий зависит от характерных особенностей системы. Исследования, относящиеся к описанию природы бифуркаций в терминах группы симметрий, составляют одно из перспективных направлений. Одной из задач данного численного исследования было расширение наших знаний относительно таких нелинейных динамических систем.

Результаты численного исследования нестационарных течений гидродинамической системы (1.4), (1.8) при Я < 200 приведены в Главе 2. При Я < 7.9 единственное, устойчивое стационарное состояние Л\ является единственным аттрактором системы. На интервале 7 < Я < 25 было найдено двенадцать бифуркаций, постепенно приводящих ко все более сложным течениям; мы наблюдали реламинаризацию течения, потерю и восстановление симметрий, хаотические осцилляции.

Симметрии действующей силы, являющиеся также симметриями системы, играют ключевую роль во всех наблюдаемых бифуркациях. Стационарные течения, появляющиеся в первой глобальной бифуркации при И & 7.9 имеют меньшие группы симметрий, чем стационарное течение Л\. Течение Л\ теряет устойчивость в следующей (первой локальной) бифуркации при Не ~ 13.044. Эта бифуркация свойственна системам с группой симметрий, изоморфной группе вращений куба О, центральное многообразие является трехмерным (т.е. изоморфным С3). Она требует детального аналитического исследования. Появляющийся в этой бифуркации аттрактор, рассматриваемый как подмножество фазового пространства, обладает всеми симметриями системы. Естественно, отсюда не следует, что каждая отдельно взятая траектория аттрактора имеет все эти симметрии в любой момент времени. В рассматриваемой системе для чисел Рейнольдса в интервале Яс < Я < 13.4 индивидуальные траектории, принадлежащие аттрактору, близкому к не обладает никакими симметриями.

После трех следующих бифуркаций при Я — 13.5 решение, в начальный момент близкое к Лг, притягивается к стационарному потоку Д2>1(.й). У этих аттракторов некоторые симметрии отсутствуют: их группа симметрий состоит из восьми элементов. Индивидуальные течения проявляют тенденцию к восстановлению каждой из этих восьми симметрий. Следующей происходит бифуркация Хопфа Д2д{Я), свойственная системам с группой симметрий В4. В ней также происходит потеря симметрий: тогда как аттракторы по-прежнему имеют ту же группу симметрий из восьми элементов, что и до бифуркации, у индивидуальных течений, составляющих аттрактор, группа симметрий состоит из четырех элементов. Эти группы симметрий сохраняются после еще одной бифуркации, но они постепенно исчезают (см. текст) при двух последующих (группа симметрий аттрактора остается неизменной). Следующая бифуркация при Я = 20 приводит к увеличению группы симметрий аттрактора: три взаимно симметричных аттрактора сливаются в один, имеющий все симметрии системы

Локальные бифуркации, происходящие в системе, идентифицированы как седловые или типа Хопфа симметрических систем; необходимо дальнейшее аналитическое исследование последних. Мы начали это исследование с построения разложения пространства Фурье в прямую сумму изо-типических компонент под действием группы симметрий А\, а каждая изотипическая компонента была охарактеризована в терминах коэффициентов Фурье. Это позволяет найти размерность центрального многообразия, что необходимо для идентификации бифуркации.

На интервале чисел Рейнольдса 7 < Я < 25, где происходит большое число бифуркаций, вычисленные эволюционные течения остаются более или менее ламинарными. Динамические режимы системы определяются взаимодействием аттракторов, расположенных вблизи стационарных течений. Тип некоторых наблюдаемых глобальных бифуркаций неизвестен, необходимо их дальнейшее аналитическое или численное исследование. Известно, что динамика системы часто определяется структурой гете-роклинных связей в фазовом пространстве (в случае, например, систем, в которых происходит бифуркация Шильникова; для системы, рассматриваемой в настоящей диссертации, это заключение следует из результатов Главы 2). Таким образом, чтобы лучше понять поведение нестационарных решений, полезно вычислить гомоклинные и гетероклинные траектории и исследовать изменение структуры гетероклинного скелета при изменении числа Рейнольдса.

При Я > 25 мы не смогли выявить никаких бифуркаций. (Конечно, вопрос о том, были ли найдены все бифуркации, происходящие в системе, или некоторые из них не были замечены из-за сложного поведения течений, остается открытым. Это тесно связано с пониманием геометрии фазового пространства; в частности, было бы желательно получить подтверждение, что в системе не существует других аттракторов, кроме обсуждаемых в Главе 2.) Однако с увеличением числа Рейнольдса происходят количественные изменения в поведении решений. В частности, уменьшается средняя энергия течений, растет относительная доля энергии, содержащаяся в гармониках Фурье с волновым числом больше единицы, и уменьшается относительная спиральность, что является признаком турбулизации течений. Переход к турбулентности виден также при визуализации течения. При дальнейшем исследовании в этом направлении желательно исследовать хаотические свойства потоков (показатели Ляпунова, топологическая энтропия, размерности аттракторов и др.) количественно.

Согласованность поведения энергии разных слоев указывает на то, что решения могут принадлежать многообразию относительно небольшой размерности. Однако единственная известная оценка Колмогоровского типа 9 числа степеней свободы дает число значащих мод порядка Я*. Для рассмотренных здесь чисел Рейнольдса это число, в пределах между 102 и ~ 105, по-видимому, сильно завышено.

В качестве предварительного шага на пути исследования гетероклин-ной структуры фазового пространства мы вычислили стационарные течения системы (Глава 4). Для вычисления этих стационарных течений оказалось необходимым разработать метод решения систем с большим числом уравнений (Глава 3). Этот метод применим для произвольной гладкой нелинейной системы. Для него не требуется устойчивости решений, и он показал себя весьма эффективным.

Две различные ветви стационарных решений (плюс четыре, получающиеся из этих применением симметрий) были рассчитаны при Я < 2000. Результаты вычислений указывают на то, что как минимум для трех полуветвей при больших R устанавливается асимптотическое поведение. Следовательно, эти полуветви, вероятно, продолжаются на все R —> оо и сходятся к непрерывному по Гельдеру решению уравнения Эйлера. Следующим естественным шагом в этом направлении было бы построить аналитически асимптотическое разложение стационарных течений, составляющих ветви, не исчезающие при больших R. Почему стационарные течения A.2,i{R) близки к ABC потокам с коэффициентами А^ В<*, = Соо = §?

Как было показано, в рассматриваемой системе число стационарных решений растет с R (отметим, что мы не ставили себе целью найти все стационарные состояния системы). Таким образом, представляет интерес оценить, численно или аналитически, как число стационарных решений зависит от числа Рейнольдса.

В заключение отметим, что все сформулированные выше вопросы сохраняются, когда в исследуемую гидродинамическую систему привносится магнитное поле. Однако это уже выходит за рамки настоящей диссертации.

Список литературы диссертационного исследования Подвигина, Ольга Михайловна, 1997 год

1. Арнольд В.И. Замечания о поведении течений трехмерной идеальной жидкости при малом возмущении начального поля скоростей, ПММ 36 255-262 (1972).

2. Арнольд В.И., Коркина Е.И. Рост магнитного поля в трехмерном стационарном потоке несжимаемой жидкости, Вести. МГУ. Сер. матем. N3 43-46 (1983).

3. Арнольд В.И. Об эволюции магнитного поля под действием переноса и диффузии. В кн.: Некоторые вопросы современного анализа. Изд-во МГУ, 8-21 (1984).

4. Вишик М.М. О возбуждении магнитного поля трехмерным стационарным потоком проводящей жидкости при больших магнитных числах Рейнольдса, Изв. АН СССР, Физика Земли N3 3-12 (1988).

5. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука (1981).

6. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, М.: Наука (1970).

7. Лебедев В.И., Финогенов С.А. Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевских итерационных методах, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 13 N1 18-33 (1973).

8. Лебедев В.И., Финогенов С.А. Об использовании упорядоченных чебышевских параметров в итерационных методах, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 16 N4 895-907 (1976).

9. Николаев Е.С., Самарский A.A. Выбор итерационных параметров в методе Ричардсона, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 12 N4 960-973 (1972).

10. Розенблюм Г.В., Шубин М.А. & Соломяк М.З. Спектральная теория дифференциальных операторов. Уравнения в частных производных 7, Итоги науки и техники. Фундаментальные направления 64. Ред. Шубин М.А. М.: ВИНИТИ (1989).

11. Чебышев, П.Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов (1854). В кн. Избранные труды. М.: Наука, 1955, 316-411.

12. Чебышев, П.Jl. Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функций (1857). В кн. Избранные труды. М.: Наука, 1955, 462-578.

13. Arnold V.l. Sur la topologie des écoulements stationnaires des fluides parfaits, Comptes Rendus Acad. Sei. Paris 261 17-20 (1965).

14. Aubry N., Holmes P., Lumley J. & Stone E. The dynamics of coherent structures in the wall region of a turbulent boundary layer, J. Fluid Mech. 192 115-173 (1988).

15. Axelsson 0. Rerative solution methods, Cambridge Univ. Press, 1994.

16. Bayly B.J. к Yakhot V. Positive- and negative-eifective-viscosity phenomena in isotropic and anisotropic Beltrami flows, Phys. Rev. A 34 N1 381-391 (1986).

17. Berkooz G., P. Holmes P. & Lumley J.L. The proper orthogonal decomposition in the analysis of turbulent flows, Ann. Rev. Fluid Mech. 25 539-575 (1993).

18. Bj0rgum 0. & Godai T. On Beltrami vector fields and flows. Part II, Univ. i Bergen Arbok. Naturvit. rekke N13 (1952).

19. Boyd J.P. Chebyshev & Fourier Spectral Methods, Springer-Verlag, Berlin (1989)

20. Calvetti D., Golub G.H. & Reichel L. An adaptive Chebyshev iterative method for nonsymmetric linear systems based on modified moments, Numerische Mathematik 67 21-40 (1994).

21. Canuto C., Hussaini M.Y., Quarteroni A. & Zang T.A. Spectral Methods in Fluid Dynamics, Springer-Verlag, Berlin (1988).

22. Childress S. New solutions of the kinematic dynamo problem, J. Math. Phys. 11 3063-3967 (1970).

23. Childress S. & Gilbert A.D. Stretch, twist, fold: the fast dynamo, SpringerVerlag, Berlin (1995).

24. Childress S. & Soward A.M. On the rapid generation of magnetic field, in Chaos in astrophysics (ed. J.R. Buchler), 233-244 (1985).

25. Chossat P. & Iooss J. The Couette-Taylor problem, Springer-Verlag, NY (1994).

26. Corless R.M. Defect-controlled numerical methods and shadowing for chaotic differential equations, Physica D 60 323-334 (1992).

27. Coxeter H.S.M. Regular polytopes, Methuen and Co., London (1948).

28. Curry J.H., Herring J.H., Loncaric J. & Orszag S.A. Order and disorder in Benard convection, J. Fluid Mech. 147 1-38 (1984).

29. Dombre T., Frisch U., Greene J.M., Henon M., Mehr A. & Soward A. Chaotic streamlines in the ABC flows, J. Fluid Mech. 167 353-391 (1986).

30. Eiermann M. On semiiterative methods generated by Faber polynomials, Numerische Mathematik 56 139-156 (1989).

31. Eiermann M. & Niethammer W. On the construction of semiiterative methods, SIAM J. Numer. Anal. 20 N6 1153-1160 (1983).

32. Eiermann M., Niethammer W. & Varga R.S. A study of semiiterative methods for nonsymmetric systems of linear equations, Numerische Mathematik 47 505-533 (1985).

33. Engeli M., Ginsburg T.H., Rutischauser H. & Stieffel E. Refined iterative methods for computation of the solution and the eigenvalues of self-adjoint boundary value problems, Birkhauser Verlag, Basel/Stuttgart (1959).

34. Finogenov S.A., Lebedev V.I. & Vlasov Yu. A. On asymptotically optimal iterative methods taking into account information on the operator spectrum and the distribution of the initial error, Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling 1 N4 277-292 (1986).

35. Fischer B. & Freund R. Chebyshev polynomials are not always optimal, J. Approximation Theory 65 261-272 (1991).

36. Friedlander S. & Vishik M.M. Dynamo theory, vorticity generation and exponential stretching, Chaos 1 N2 198-205 (1991a).

37. Friedlander S. & Vishik M.M. Instability criteria for the flow of an inviscid incompressible fluid, Phys. Review Letters 66 2204-2206 (1991b).

38. Friedlander S. & Vishik M.M. Instability criteria for steady flows of a perfect fluid, Chaos 2 N3 455-460 (1992).

39. Friedlander S., Gilbert A.D. &: Vishik M. Hydrodynamic instability for certain ABC flows, Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics 73 97-107 (1993).

40. Galanti B., Sulem P.L. & Pouquet A. Linear and non-linear dynamos associated with ABC flows, Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics 66 183-208 (1992).

41. Galloway D.J. & Frisch U. A numerical investigation of magnetic field generation in a flow with chaotic streamlines, Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics 29 13-18 (1984).

42. Galloway D.J. & Frisch U. Dynamo action in a family of flows with chaotic streamlines, Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics 36 53-83 (1986).

43. Galloway D.J. & Frisch U. A note on the stability of a family of space-periodic Beltrami flows, J. Fluid Mech. 180 557-564 (1987).

44. Gear C.W. Invariants and numerical methods for ODEs, Physica D 60 303-310 (1992).

45. Gilbert A.D. Fast dynamo action in a steady chaotic flow, Nature 350 483-485 (1991).

46. Gilbert A.D. Magnetic field evolution in steady chaotic flows, Phil. Trans. Roy. Soc. London 339 627-656 (1992).

47. Gollub J.P. & Benson S.V. Many routes to turbulent convection, J. Fluid Mech. 100 449-470 (1980).

48. Golub G.H. & Kent M.D. Estimates of eigenvalues for iterative methods, Mathematics of Computation 53 N188 619-626 (1989).

49. Golub G.H. & Van Loan C.F. Matrix computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore (1989).

50. Golub G.H. Sz Varga R.S. Chebyshev semi-iterative methods, successive overrelaxation iterative methods, and second order Richardson iterative methods, Numerische Mathematik 3 147-156 (part I) and 157-168 (part II) (1961).

51. Golubitsky M., Stewart I. & Schaeffer D.G. Singularities and groups in Bifurcation Theory, vol.2 (Applied Mathematical Sciences 69), Springer-Verlag (1988).

52. Gorman M., Reith L.A. & Swinney H.L. Modulation patterns, multiple frequencies, and other phenomena in circular Couette flow, Ann. N. Y. Acad. Sei. 357 10-21 (1980).

53. Gottlieb D. & Orszag S.A. Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications, SIAM, Philadelphia (1977).

54. Gragg W.B. & Reichel L. On the application of orthogonal polynomials to the iterative solution of linear systems of equations with indefinite or non-hermitian matrices, Linear algebra and its applications 88-89 349-371 (1987).

55. Hall M. The Theory of Groups, The Macmillan Company, NY (1959).

56. Henon M. Sur la topologie des lignes de courant dans un cas particulier, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 262 312-314 (1966).

57. Ho D. Tchebychev acceleration technique for large scale nonsymmetric matrices, Numerische Mathematik 56 721-734 (1990).

58. Holm D.D. & Kimura Y. Zero-helicity Lagrangian kinematics of three-dimensional advection, Phys. Fluids A 3 1033-1038 (1991).

59. Hyman M.J. & Nicolaenko B. The Kuramoto-Sivashinsky equation: a bridge between PDE’s and dynamical systems, Physica D 18 113-126 (1986).

60. Hyman M.J., Nicolaenko B. & Zaleski S. Order and complexity in the Kuramoto-Sivashinsky model of weakly turbulent interfaces, Physica D 23 265-292 (1986).

61. Jaric M.V., Michel L. & Sharp R.T. Zeros of covariant vector fields for the point groups: invariant formulation. J. Physique 45 1-47 (1984).

62. Joseph D.D. Stability of fluid motions. Springer-Verlag, Berlin (1976). (Пер.: Джозеф Д. Устойчивость течений жидкости. М.: Мир, 1981.)

63. Kaniel S. Estimates for some computational techniques in linear algebra, Math. Comp. 20 369-378 (1966).

64. Kida S., Yamada M. & Ohkitani K. A route to chaos and turbulence, Physica D 37 116-125 (1989).

65. Klapper I. & Young L.S. Rigorous bounds on the fast dynamo growth rate involving topological entropy, Comm. Math. Phys. 173 623-646 (1995).

66. Manteuffel Т.A. The Tchebychev iteration for nonsymmetric linear systems, Numerische Mathematik 28 307-327 (1977).

67. Manteuffel T.A. Adaptive procedure for estimating parameters for the nonsymmetric Tchebychev iteration, Numerische Mathematik 31 183-208 (1978).

68. Moffatt H.K. Magnetic Field Generation in Electrically Conducting Fluids, Cambridge Univ. Press (1978). (Пер.: Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир, 1980)

69. Moffatt H.K. Magnetostatic equilibria and analogous Euler flows of arbitrary complex topology. Part 2. Stability considerations, J. Fluid Mech. 166 359-378 (1986).

70. Newhouse D., Ruelle D. & Takens F. Occurrence of Strange Axiom A attractors near quasi periodic flows on Tm, m > 3, Commun. Math. Phys. 64 35-40 (1978).

71. Niethammer W. h Varga R.S. The analysis of ¿-step iterative methods for linear systems from summability theory, Numerische Mathematik 41 177-206 (1983).

72. Opfer G. & Schober G. Richardson’s iteration for nonsymmetric matrices, Linear algebra and its applications 58 343-361 (1984).

73. Patterson G.S. & Orszag S.A. Spectral calculations of isotropic turbulence: efficient removal of aliasing interactions, Phys. Fluids 14 2538-2541 (1971).

74. Platt N., Sirovich L. & Fitzmaurice N. An investigation of chaotic Kolmogorov flows, Phys. Fluids A 3 N4 681-696 (1991).

75. Podvigina 0.M. Spatially-periodic steady solutions to the three-dimensional Navier-Stokes equation with the ABC-force, submitted to Physica D. Preprint: Sydney Univ., School of Mathematics and Statistics, Report 97-8.

76. Podvigina 0. & Pouquet A. On the non-linear stability of the 1:1:1 ABC flow, Physica D 75 471-508 (1994).

77. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T. & Flannery B.P. Numerical Recipes, Cambridge Univ. Press (1992).

78. Reichel L. Polynomials by conformal mapping for the Richardson iteration method for complex linear systems, SIAM J. Numer. Anal. 25 N6 1359-1368 (1988).

79. Reichel L. The application of Leja points to Richardson iteration and polynomial preconditioning, Linear algebra and its applications 154-156 389-414 (1991).

80. Richardson L.F. The approximate solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam, Roy. Soc. Phil. Trans. 210A 307-357 (1910).

81. Rivlin T.J. The Chebyshev polynomials, Wiley-Interscience, NY (1974).

82. Rogosinski W.W. Some elementary inequalities for polynomials, Math. Gaz. 39 7-12 (1955).

83. Romanelli M.J. Runge-Kutta methods for the solution of ordinary differential equations”, in Mathematical methods for digital computers, vol.I (eds. R.Anthony h H.Wilf), Wiley, NY (1960).

84. Ruelle D. & Takens F. On the nature of turbulence, Commun. Math. Phys. 20 167-192 (1971). (Пер.: Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. В кн. Странные аттракторы, М:. Мир, 117-151 (1981).)

85. Saad Y. Chebyshev acceleration techniques for solving nonsymmetric eigenvalue problems, Mathematics of Computation 42 567-588 (1984).

86. She Z.S. Large-scale dynamics and transition to turbulence in the two-dimensional Kolmogorov flow, Proceedings on current trends in turbulence research, AIAA series 374-400 (1988).

87. Silnikov A.L. Bifurcations of the Lorenz attractor in Shimuzu-Morioka model, Physica D 63 338-346 (1993).

88. Silnikov L.P. A case of the existence of a denumerable set of periodic motions, Sov. Math. Dokl. 6 163-166 (1965).

89. Sparrow C. The Lorenz equations: bifurcations, chaos and strange attractors, Springer Series in Applied Mathematics 41, Springer, Berlin (1982).

90. Taylor M.E. Pseudodifferential operators, Princeton Univ. Press (1981). (Пер. Тейлор М. Псевдодифференциалъные операторы. М.: Мир, 1985.)

91. Temam R. Navier-Stokes equations (Studies in Mathematics and its Applications 2), Elsevier Science Publishing Co., NY (1984).

92. Temam R. Infinite-dimensional systems in mechanics and physics (Applied Mathematical Sciences 68), Springer-Verlag, Berlin (1988).

93. Varga R.S. Matrix iterative analysis, Prentice Hall, New Jersey (1962).

94. Vishik M.M. Magnetic field generation by the motion of a highly conducting fluid, Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics 48 151-167 (1989).

95. Vishik M.M. & Friedlander S. Dynamo theory methods for hydrodynamic stability, J. Maths. Pures Appl. 72 145-180 (1993).

96. Vishik M.M. & Friedlander S. On stability and instability criteria for magne-tohydrodynamics, Chaos 5 N2 416-423 (1995).

97. Voronovskaja E.V. The functional method and its applications. Translations of mathematical monographs 28, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island (1970).

98. Walden R.W., Kolodner P., Passner A. & Surko C.M. Nonchaotic Rayleigh-Benard convection with four and five incommensurate frequencies”, Phys. Rev. Lett. 53 242-245 (1984).

99. Wilkinson J.H. The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford Univ. Press (1965). (Пер.: Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970)

100. Wrigley H.E. Accelerating the Jacobi method for solving simultaneous equations by Chebyshev extrapolation when the eigenvalues of the iteration matrix are complex, Computer J. 6 169-176 (1963).

101. Yahata H. Temporal development of the Taylor vortices in a rotating fluid.1.l, Progr. Theor. Phys. 64 N3, 782-793 (1980); V, 69 N2 396-402 (1983).

102. Yakhot V. & Pelz R. Large-scale structure generation by anisotropic small-scale flows, Phys. Fluids A 3 1272-1277 (1991).

103. Young D. On Richardson’s method for solving linear systems with positive definite matrices, J. of Mathematics and Physics 32 243-255 (1953).

104. Zheligovsky V.A. Numerical solution of the kinematic dynamo problem for Beltrami flows in a sphere, J. Scientific Computing 8 N1 41-68 (1993).