Управление инвариантами в сетевых динамических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Пчелкина, Ирина Владимировна

• Пчелкина, Ирина Владимировна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Пчелкина, Ирина Владимировна

Оглавление

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Метод скоростного градиента

1.2 Квази-полиномиальные системы

2 Управление раскачкой робота-акробота

2.1 Постановка задачи

2.2 Синтез алгоритма управления

2.3 Исследование замкнутой системы

3 Управление синхронизацией многомашинной энергосистемы

3.1 Постановка задачи

3.2 Синтез алгоритма управления

3.3 Исследование динамики замкнутой системы

4 Управление инвариантами квази-полиномиальных систем

4.1 Квази-полиномиальные управляемые системы

4.2 Управление инвариантами многомерных вольтерровских моделей

4.3 Управление инвариантами при наличии возмущений

4.4 Пример 1: управление процессом ферментации

4.5 Пример 2: управление многовидовой экологической системой

Литература

96

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление инвариантами в сетевых динамических системах»

Введение

На современном этапе развития систем автоматического управления все более остро встает проблема управления в реальном времени сложными объектами, взаимодействующими между собой в процессе достижения общей цели. Важным классом таких систем являются сетевые динамические системы, понимаемые как совокупность однотипных динамических подсистем (узлов), соединенных физическими или информационными связями. Примерами таких систем являются многопроцессорные системы обработки и передачи информации, различные производственные сети, системы управления движением подвижных роботов, транспортные сети, электроэнергетические сети с распределенными системами управления.

Задачам управления сетевыми динамическими системами посвящены многочисленные работы (например, работы A.A. Воронова, И.А. Каляева, Б.М. Миркина, P.M. Мюррея, Е.А. Паршевой, A.JI. Фрадкова, A.M. Цыкунова, Г. Чена, Д.Д. Шильяка и других), однако проблема построения систем управления сетевыми системами остается востребованной, поскольку решение предложено только для ограниченного класса таких задач.

Как правило, сетевые динамические системы характеризуются пространственной распределенностью узлов (объектов сетей) и ограниченностью связей между узлами, поэтому решение задач управления сетевыми системами требует построения мощных вычислительных средств для реализации централизованного управления, или разработки специальных

распределенных алгоритмов управления. Хотя в настоящее время в основном уже определены принципы, на которых могут быть построены такие системы управления, и есть действующие прототипы, в целом проблема разработки эффективных, и в то же время простых в исполнении, управляющих алгоритмов остается актуальной.

Задачи управления сетевыми системами могут быть значительно упрощены, если в системе имеется функция инвариант, являющаяся аналогом энергии механической системы. Задачи управления инвариантами динамических систем ранее рассматривались (например, в работах A.JI. Фрадкова, A.C. Ширяева, A.A. Колесникова и др. [10], [11], [12]), однако задачи управления инвариантами сетевых динамических систем систематически рассмотрены не были.

Целью диссертационной работы является исследование и разработка алгоритмов управления инвариантами в сетевых технических системах (на примере модели электроэнергетической сети и квази-полиномиальных систем), обеспечивающих сходимость процессов к желаемым режимам.

Задачи диссертационной работы:

1. Развить метод скоростного градиента применительно к задачам управления инвариантами в сетевых динамических системах.

2. Разработать алгоритм управления раскачкой робота-акробота. Установить условия достижения цели управления.

3. Разработать алгоритм управления синхронизацией многомашинной энергосистемы. Установить условия достижения цели управления.

4. Разработать алгоритмы управления инвариантами квази-полиномиальных технических систем Установить условия достижения цели управления.

Методы исследований: Для решения перечисленных задач в работе использованы методы теории автоматического управления (метод ско-

ростного градиента), метод функций Ляпунова, компьютерное моделирование.

Основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

• Предложена постановка задачи синхронизации электроэнергетической сети как задачи стабилизации вспомогательного инвариантного функционала.

• Разработан алгоритм управления синхронизацией электроэнергетической сети на основе управления вспомогательным инвариантным функционалом. Установлены условия достижения цели управления.

• Разработаны новые алгоритмы управления инвариантами квазиполиномиальных систем на основе метода скоростного градиента. Установлены условия достижения цели управления при наличии возмущений.

• Разработан новый алгоритм управления раскачкой робота-акробота. Установлены условия достижения цели управления.

• Установлена возможность применения предложенного метода для стабилизации обобщенных моделей Лотки-Вольтерра ири помощи сколь угодно малого управления при отсутствии возмущений.

• Компьютерным моделированием получены количественные характеристики процессов управления. В частности, установлена достаточно быстрая сходимость процессов к синхронному режиму в замкнутых системах и их робастность по отношению к начальным условиям и параметрам объекта управления.

Достоверность результатов работы подтверждается корректным применением математических методов и репрезентативным компьютерным моделированием.

Теоретическая и практическая ценность. Для сетевых технических систем на примере энергетических и квази-полиномиальных сетей с помощью метода скоростного градиента разработаны алгоритмы управления квази-энергетическими функциями. Для различных случаев получены условия достижения цели управления в замкнутых системах, отличающиеся от известных. Полученные результаты могут быть использованы на практике: для анализа и построения систем управления энергетическими и биологическими системами.

Результаты работы использованы в НИР «Создание адаптивных муль-тиагентных систем управления сетями динамических объектов при коммуникационных ограничениях», выполненой в ИПМаш РАН по Государственному контракту №16.740.11.0042 от 01.09.2010 (№Госрсгистрации 01201062033), и также в НИР «Геометрические методы планирования и управления движениями механических систем в условиях неопределенности и дефицита управляющих воздействий», выполненной в ИПМаш РАН по Государственному контракту №02.740.11.5056 от 20.06.2009 (Жо-срегистрации 01200964833).

Автор имеет свидетельства о регистрации программ для ЭВМ «Синхронизация сети электрических генераторов (Synchronization of multimachine power system)» и «Управление двухзвенным маятником (Control of Acrobot)» в отделе регистрации программ для ЭВМ, баз данных и топологий ИМС Федерального института промышленной собственности РОСПАТЕНТа

[13], [14].

Алгоритм управления раскачкой робота-акробота был реализован па роботе, собранном на кафедре теоретической кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета и используемом в учебных целях.

Апробация. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теоретической кибернетики СПбГУ, а также на российских и международных конференциях: XII конференция молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, 2010 г. (лучший доклад аспиранта на секции «Элек-

тронные и электромеханические устройства систем навигации и управления»), Балтийской олимпиаде по автоматическому управлению, Санкт-Петербург, 2010 г., Workshop Periodic Control Systems - PSYCO, Antalya, 2010 г., 4-й Мультиконференция по проблемам управления, Дивномор-ское, 2011 г., X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Нижний Новгород, 2011г., 5th Intern. Conf. «Physics and Control», Leon, Spain, 2011 г., HYCON2 Workshop on Energy, Bruxelles, 2012 г., 5-й Мультиконференция по проблемам управления, Санкт-Петербург, 2012 г, Workshop on Periodic Control Systems -PSYCO 2013, Caen, 2013 r.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 105 страниц. Список литературы включает 74 наименования. Работа содержит 36 рисунков и шесть таблиц.

Во введении обосновывается актуальность тематики диссертационной работы, ставятся задачи исследования и кратко излагаются ее основные результаты.

В первой главе содержится вспомогательный материал, необходимый для чтения диссертации. Приводятся сведения о сетевых и квазиполиномиальных системах, а также краткое изложеиие метода скоростного градиента, предложенного в работах Фрадкова A.JT. [18], [21].

Во второй главе рассматривается типичная задача управления инвариантом: задача управления раскачкой робота-акробота до заданной амплитуды колебаний. Основная идея подхода, предлагаемого в данной работе, заключается в том, что задача управления акроботом сводится к задаче управления маятником переменной длины.

В третьей главе рассматривается задача управления синхронизацией многомашинной электроэнергетической сети. В качестве примера рассматривается модель энергетической системы, состоящей из пяти синхронных генераторов. Приведены соответствующие результаты имитационного моделирования.

В четвертой главе изложены основные теоретические результаты ра-

боты по квази-полиномиальным системам. Рассматриваются практические примеры приложений описанных теоретических результатов и приведены соответствующие результаты имитационного моделирования.

В заключении диссертации приводятся итоги диссертационных исследований и формулируются основные результаты работы.

В диссертационной работе рассматриваются сетевые динамические системы, понимаемые как совокупность подсистем (узлов), соединенных физическими или информационными связями [9], и описываемые уравнениями

N

Хг = Г (Хг, Щ) + ^^ (ж*> хз)> г = 1, ■ - • , -/V, (1)

¿=1

где Х{ - векторы состояния узлов, щ - управления, постоянные а^ задают граф связей в сети, функции ^ (-) характеризуют локальную динамику г-го узла сети, функции ф (•) показывают взаимодействия между г-ой и _;-ой подсистемами сети.

Пусть у системы (1) есть функция-инвариант Уо(х(£)) = У0 (х^),... , ждг(£)), сохраняющая свои значения вдоль траекторий свободной системы (1) (щ (¿) = 0, г = 1,..., И). Задача управления ставится следующим образом: найти такие законы управления щ (¿), г = 1,..., N, при которых в системе достигается желаемое значение инварианта Ул

Уъ(х{1)) -> Уа, при* оо. (2)

Таким образом могут быть сформулированы многие задачи управления колебательными режимами технических систем. В качестве инварианта может выступать, например, энергия механической системы.

Глава 1

Предварительные сведения

1.1 Метод скоростного градиента

В этом разделе описывается синтез нелинейных систем управления на основе метода скоростного градиента, разработанный А.Л. Фрадковым для решения задач адаптивного управления [17], [18]. Для построения метода вводится конечная или интегральная целевая функция (функционал) и цель управления ставится как уменьшение значений целевой функции (функционала) до заданной величины. Метод базируется на использовании функций Ляпунова. Здесь приводятся различные типы алгоритмов скоростного градиента, в дифференциальной и конечной формах, построенные с использованием локальной, интегральной или комбинированной целевой функции (функционала). Устанавливаются сходимость и робастность алгоритмов, а также условия достижения цели.

Также рассматривается случай, когда целевая функция (функционал) не является положительно определенной; этот случай относится к задачам неполной или частичной стабилизации, которые встречаются в задачах управления колебаниями в механических, экономических, экологических системах.

1.1.1 Метод скоростного градиента

Рассмотрим объект управления, описываемый уравнением

х — Р(х, и, ¿)

(1.1)

где I > 0, х € Я,п - вектор состояния объекта, и £ Ят - вектор управлений или вектор настраиваемых параметров. Считаем, что вектор-функция

определена для всех I > 0, х £ В!\ и £ К112, непрерывно дифференцируема по х и и и кусочно-непрерывна по I.

Для построения алгоритма скоростного градиента вводится целевая функция (функционал) С^^ зависящий от вектора состояния объекта управления (1-1). Цель управления ставится как уменьшение значений целевой функции (функционала) до заданной величины:

где постоянные ^ > 0 задаются (или не задаются) в зависимости от задачи. Здесь рассматриваются два основных вида целевой функции (функционала):

1. Локальная функция (функционал), являющаяся скалярной функцией п+ 1 переменных (п-мерный вектор состояния объекта управления и время):

2. Интегральная функция (функционал), зависящая от заданной скалярной функции Я(х, и, £) и включающая п + т + 1 переменных (га-мерный вектор состояния объекта управления, ш-мерный вектор управлений и время):

<3(г) < I > Г,

(1.2)

о

Будем искать управления как функции

и(г) = и [ж(т), и(т)]; 0 < г < г

(1.3)

Задача управления ставится как поиск таких функций (1.3), чтобы в системе (1.1), (1.3) достигалась цель управления (1.2), при этом траектории замкнутой системы оставались ограниченными.

Цель управления (1.2) может выражать и исходную цель управления, и какие-либо требования к системе (т.е. выражать вспомогательную цель). Кроме того, объект управления (1.1) может описывать различные системы или в одной и той же системе описывать разные части системы (переменные х, и могут, например, иметь различный физический смысл). Поэтому сформулированная задача имеет общий характер и может использоваться для постановки разных задач синтеза управления и адаптации.

Рассмотрим объект управления, описываемый уравнением (т.е. п =

где х - состояние объекта, Ь параметр, <Е Я1 - управление, которое требуется найти.

Задание объекта управление в виде (1.4) соответствует передаточной функции \¥(р) = Ь/(тр + 1). Уравнение (1.4) можно записать как (1.1), если взять

Рассмотрим пропорциональный регулятора = 9(х —ж*(£)), гдеж+(£) £ Я1 определяет желаемый режим. Поставим следующую задачу - определить коэффициент усиления в = #(£). В этом случае уравнение объекта управления (1.1) будет иметь другой вид; для его вывода подставим

т = 1):

тх + х =

(1.4)

и = у, Р(х, и, £) =---1- Ъ—.

V = в(х-х^)) и (1.4):

х = — +

х 9Ь[х — ж*(£)]

(1.5)

т

т

)

В (1.5) входным воздействием будет коэффициент усиления 9. Уравнение (1.5) можно привести к виду (1.1), если обозначить в как новое управление и; но полученное уравнение будет описывать билинейную систему, в которой задача поиска управления соответствует задаче адаптации объекта управления (1.4).

Уравнения (1.4), (1.5) описывают объекты управления, линейные по входам, которые в общем виде записываются как

x = A(x,t) + B{x,t)u, (1.6)

где А(х, t) - n-мерный вектор, В(х, t) - пх ш-матрица. Последнее уравнение (1.6) можно записать в виде

т

х = A(x,t) + (1.7)

i=1

где щ - элементы вектора и = (щ,..., ит)Т € Rm, столбцы В{(х, t) Е Rn составляют матрицу B(x,t).

1.1.2 Метод скоростного градиента при использовании локального целевого функционала

Выпишем алгоритм скоростного градиента для случая, когда цель управления записывается с помощью локального целевого функционала Qt = Q(x(t),t). Для этого сначала вычислим скорость изменения целевого функционала Qt(-) вдоль решений системы (1.1), обозначив эту функцию как Qt = cu(x,u,t), и рассчитаем градиент функции w(x/u,t) по управлениям:

и(хг и, £) = + [VxQ{x, t)]T F(x, и, £),

Vuu(x, и, t) =

доо j. dF~

ди _du

VxQ(x,t).

Алгоритм скоростного градиента изменяет управляющие воздействия в направлении, противоположном градиенту скорости изменения целевого функционала, и в дифференциальной форме задается следующим уравнением:

^ = -TVuu(x,u,t), (1.8)

где Г = Гт > 0 - симметрическая положительно определенная матрица (можно выбрать, например, диагональную матрицу Г с положительными диагональными элементами 7¿ > 0, или скалярную матрицу (Г = 7I) с положительным числом 7).

Рассмотрим синтез алгоритма управления на основе описанного метода для объекта управления (1.6). Будем использовать целевую функцию

Q(x, t) = \[у - уМтЩу - уШ (1-9)

где y*{t) <Е Rl - желаемая траектория выхода у = G(x. t) R1, вектор-функция G(x, t) гладкая и Н является матрицей размера I х I.

Вычислим скорость изменения целевой функции (1.9) вдоль траекторий объекта управления (1.6):

co(x,u,t) = [у ~ y,{L)}TH[CA{x,t) + CB{x,t)u-y,{t)}, (1.10) где С = C(x,t) = dG(x,t)/dx. Выпишем градиент функции (1.10):

Vucu(x,v,t) = В(х, t)TCTH[y - y*(t)]. (1.11)

Алгоритм скоростного градиента имеет вид (при B(x,t) = const, C(x,t) = const интегральный регулятор):

^ = B(x,t)TCTH[y-y*(t)}. (1.12)

1.1.3 Метод скоростного градиента при использовании интегрального целевого функционала

Выпишем алгоритм скоростного градиента для случая, когда цель управления записывается с помощью интегрального целевого функционала:

I

Qt = J Я(х(т),и(т),т)(1т, о

Скорость изменения целевого функционала (Зг(-) для любого объекта управления будет Я(х,и, £). Соответственно, алгоритм скоростного градиента в дифференциальной форме имеет вид

(1и

— =(1.13)

где матрица Г = Гт > 0 - симметричная и положительно определенная.

Здесь цель управления заключается в уменьшении функции Я(.т, и, £), а полученный алгоритм (1.13) представляет собой алгоритм наискорейшего спуска для функции Я(х,и^). Если функция Я{х,и,{) явно зависит от управления, то этот алгоритм будет нетривиальным; иначе можно использовать локальный функционал фг = /2(сс(£),£) и соответственно выписать алгоритм скоростного градиента (1.8).

Рассмотрим синтез алгоритма на основе метода скоростного градиента при использовании квадратичной целевой функцией

Я(х,и,£) = и, £), (1-14)

где 5(х,и, £) = итг(х^) — представляет собой ошибку меж-

ду некоторой функцией у(£) = итг(х^,), £) и ее желаемым значением ?/*(£) = £). Такая целевая функция удобна в задачах иденти-

фикации, где наблюдению доступен вектор £), векторы и, и* показывают оценки и настоящие значения параметров объекта управления соответственно. Алгоритм скоростного градиента для квадратичной целевой функции:

^ = -5(х(1),и(Ь),г) Г^(£),£). (1.15)

1.1.4 Алгоритм скоростного градиента в конечной форме. Алгоритм скоростного псевдоградиента

Запишем алгоритм скоростного градиента в конечной форме:

u{t)=u0-rS?uL}{x{t),u{t),t), (1.16)

где щ является начальным значением управления (в качестве которого можем выбрать, например, нулевое значение).

Алгоритм скоростного псевдоградиента имеет вид

u{t)=uQ-1iP(x(t),u(t):t), (1.17)

где 7 - положительный коэффициент усиления, и вектор-функция яр(-) удовлетворяет условию (которое назовем условием псевдоградиентности)

ф(х, и, t)TVuüü(x, и, t) > 0, (1.18)

Будем считать, что уравнение (1.17) однозначно разрешимо относительно u(t) для любых щ, х и t. Это будет выполняться, если функция i¡j(x,u,t) не зависит явно от u(t) или удовлетворяет условию Липшица:

\if)(x, и, t) — ip(x, ñ,t)\ < L\u — ñ\ , L < 1.

Так как ф(-) = ГУыо;(-) удовлетворяет условию Липшица (1.18), алгоритм (1.17) будет включать алгоритм (1.16). Также частным случаем алгоритма (1.17) является релейный алгоритм

u{t) =и0 ~ 7sign Vuuj(x(t),u(t),t), (1.19)

где функция sign от векторного аргумента вычисляется покомпонентно:

sign X = col (sign Xi, ... , sign X m).

где x = col (жь ..., xm).

Рассмотрим синтез алгоритма скоростного градиента в конечной форме для объекта управления (1.4) при использовании квадратичной целевой функции Q{x) = 0, Ъ{у — у*)2. Пусть щ = 0, а и и у - скалярные

функции. Тогда алгоритм (1.16) будет иметь вид пропорционального регулятора:

= -7(у(г) - у*),

Релейный алгоритм для объекта управления (1.4) при тех же условиях запишется как

и(г) = —7sign (у{£) - у*),

1.1.5 Алгоритм скоростного градиента при использовании комбинированного целевого функционала

При решении некоторых задач управления может оказаться целесообразным использование комбинированных целевых функций (функци-налов), например, сумма локальной и интегральной функций (функционалов):

£

О

Алгоритм скоростного градиента в дифференциальной форме для такой целевой функции (функционала) будет иметь вид

Ли

— = -ГУи[ш(ж,и,£) +аЯ{х,и,г)]. (1.20)

Алгоритм скоростного градиента в конечно-дифференциальной форме для комбинированной целевой функции (функционала) будет иметь вид

^-^ П = -ТЧии{х, и, £). (1.21)

Алгоритм скоростного градиента в общей форме для комбинированной целевой функции (функционала) будет иметь вид

а\и + 1Ф{х,и,г)] = + (1.22)

(ЛЬ

Алгоритм (1.22) можно представить в виде

d[u-ü + а(и - ц)] _ ld(Vuuj)

- - -ßVuu —. (1.23)

при VuR(x, и, t) = и—й, постоянном векторе й, функциях ф(х, и, t) = Vuw(x, и, t), R(x, и, t) — — й\2 и Г = ßl.

1.1.6 Пример: алгоритм управления синхронизацией двух осцилляторов

Выпишем алгоритм управления синхронизацией двух взаимодействующих осцилляторов, где каждый осциллятор имеет одну степень свободы [25]. Эта модель может использоваться для описании различных физических и механических систем, в частности, она описывает поведение двух связанных плоских маятников.

Данная модель при учете диссипации (сил трения) записывается как

фх + оф\ + С^п' (<^(г)) = к ((/?!(г) - <^2(г)) +

ф2 + аф2 + си02п' (^(¿)) = к (^(г) - ^(¿)), (1.24)

где = 1,2) представляет собой обобщенную координату соответ-

ствующего осциллятора и в случае двух маятников это угол поворота маятника, управление (момент) -и({), к - коэффициент связи, сио - частота колебаний осцилляторов в случае, когда они не связаны, т.е. собственная частота колебаний маятников; а определяет диссипацию в системе.

Вектор состояния системы связанных осцилляторов обозначим как х(Ь) = со1{(р1, ф\, <¿>2, Ф2} € R4 и выпишем полную энергия системы 1.24:

Н{х) = 0.5 (</>! + ф2) + (1%!) - Г%2)) + 0.5fc ((/?i - <Ы2 - (1.25)

Пусть требуется возбудить такие колебания в системе при использовании ограниченной обратной связи, чтобы осцилляторы колебались

в противофазе с заданной амплитудой; эта задача соответствует достижению заданного уровня функции энергии. Алгоритм управления синхронизацией выпишем по схеме скоростного градиента с использованием целевых функций

Яч>{Фъ Ф2) = 0.5^,

<1п{х) = ЪЪ{Н{х)-Н*),

где величина — ф\ — Н* - желаемое значение энергии системы. Минимизация целевых функций и означает, что осцилляторы будут колебаться в противофазе с заданной амплитудой.

Алгоритм управления строится на основе вспомогательной целевую функции (коэффициент а (0 < а <))

<2(х) = о^ (фиф2) + (1-а) дн(х), (1.26)

Окончательно алгоритм управления синхронизацией имеет вид

и(г) = -7 (абуф + (1 - а) 6н{г)) фъ (1-27)

где 7 > 0 - коэффициент усиления, 5н = Щ — Н*, а

= Ф\ + ф2-

В [25] приводятся подробные результаты моделирования системы для случая, когда система включает два одинаковых маятника, при использовании алгоритма (1.27). Данные результаты иллюстрируют достижение цели управления при наличии и отсутствии сил диссипации.

1.1.7 Пример: алгоритм управления волновым движением системы маятников

Рассмотрим систему из N последовательно соединенных маятников, и поставим задачу управления колебаниями системы. При этом будем

считать, что модель системы включает упругую связь между первым и последним маятником [25].

Модель описывается следующей системой

<р1 + ц5зт(р^) = -2<р1(Ь) +<рм(г)) +и(г),

фг + ш^т^г^) = к(рг+х(£) - 2ч>г{€) + <рг+1(£)), (г = 2,3,..., N - 1),

уЗлг + иовтрлгОО = к&м-- 2(рм(г) + . (1.28)

Здесь переменными системы являются углы поворота маятников(рг(1), г = 1,2,..., АГ, управляющий момент прикладывается к первому маятнику и(С), собственная частота колебаний маятников и>о, параметр к характеризует связь между маятниками. Вектор состояния системы х(1,) £ В21*: ж(£) = со1{(р1,ф1, ф2т--, фи-Фи}-Запишем энергию системы (1.28) Н(х)\

N

н{х) = ^2нг(х),

%=1

где г = 1,..., N — 1, а функция Нг(х) определяет энергию г-го узла системы (маятника):

Нг(х) = 0.5ф2г + (1 - соэ ^(¿)) + 0.5к (срг+- ^г(£))2 .

Тогда полная энергия системы определяется выражением

Ялг(ж) = 0.5^ + ш^(1-со8^дг(£))+0.5А;(^1(£) -^(£))2. (1.29)

Будем считать, что волновое движение связанных маятников соответствует такому движению системы с некоторым заданным значением полной энергии, когда маятники колеблются в противофазе. Алгоритм управления волновым движением системы синтезируем по схеме скоростного градиента с использованием следующих целевых функций:

Я<р {фъф2) = 0.5^, (х) = 0.5 (Н(х) - Я*)2 , (1.30)

где введена функция <5^ = ф\ + ф2, Н* - это желаемое значение полной энергии системы. Минимизация целевых функций и (^я означает, что маятники будут колебаться в противофазе с заданной амплитудой. Для того, чтобы вывести алгоритм скоростного градиента, используем вспомогательную целевую функцию

д(х) = с^ (<¿1, ф2) + (1 - а) <Эн{х), (1.31)

в котором задается весовой коэффициент а (0 < а < 1).

Окончательно алгоритм скоростного градиента в конечной форме имеет вид

и{1) = -7 ИДг) + (1 - а) 5н(г)) Фи (1-32)

где 7 > 0 - коэффициент усиления, а = ф\ + (¿2, 5н = ~ Н*. Для использования синтезированного алгоритма управления придется рассчитывать полную энергию системы.

В [25] приводятся результаты моделирования системы (1.29) при использовании алгоритма (1.27), которые иллюстрируют достижение поставленной цели управления.

1.2 Квази-полиномиальные системы

Квази-полиномиальные системы играют важную роль в моделировании динамических систем, т.к. широкий класс гладких нелинейных систем можно преобразовать к квази-полиномиальному виду.

Квази-полиномиальные модели представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений

/ т Ii \

yj=yj( + , j = l,...,n, (1.33)

\ г=1 к=1 )

где у G int (Rn+), А е Rnxm, В е Rmxn: Ьг е R, j = 1,..., П. Кроме того, L = (Li,..., Ln)T. Предположим гакже, что rankB = п и т > п.

В работе [15] показано, что квази-полиномиальная система может быть сведена к классической многовидовой модели Лотки-Вольтерра

¿г = хг + ■ г = 1,..., rri, (1.34)

где

М = В-А, N = B-L, (1.35)

и каждый хг представляет собой произведение

Цу^, г = 1,..., т. (1.36)

п

Хг —

Рассмотрим аффинную по управлению систему с вектором состояния у, вектором входов и и вектором выходов ту.

У = I (у) + 9 (у) и,г] = к (у). (1.37)

Модель (1.37) можно записать в квази-полиномиальной форме, если все вектор-функции /, д, Л, представляют собой квази-полиномы. Общая модель квази-полиномиальной аффинной по входу системы с р входами имеет вид

(т п \ р / ?п п

ч+Е ч, Пу?к + Е% ч + Еч Пу^ I ч,

г=1 к=1 ) 1=1 \ г=1 к=1

(1.38)

где 2 = 1,... ,п, А0,А1 6 5 е ¿0>Ь/ е ЯТ\ I = 1,...,р.

Соответствующая вольтерровская аффинная по входу модель имеет вид

¿г = я, К + Е М"*Хк + Е ^ ^ + Е М^Хк

V к=1 / 1=1 V к=1 /

где г = 1,..., т, М0, М/ е Ятхт, Л^ £ / = 1, и параметры

квази-полиномиальной системы можно получить следующим образом:

М0 = В-А0, М0 = В'Ь0, М1 = В-А1,т = В-Ьь (1.40)

и I = 1,... ,р.

Широкий класс нелинейных автономных систем с гладкими нелиней-ностями может быть приведен к квази-полиномиальному виду [16], при условии, что выполняются два требования.

• Систему нелинейных дифференциальных уравнений можно записать в виде

У,= Е аг^п,гА31-'-У{пП1(уУ% У*(к)=У°8., (1-41) где я = 1,..., п, / (у) - скалярная функция, которую нельзя приве-

п ^

сти к квази-полиномиальной форме, содержащей члены вида П ук1к,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пчелкина, Ирина Владимировна, 2013 год

Литература

[1] Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. -М.: Наука, 1985.

[2] Каляев И.А., Гайдук А.Р., Капустян С.Г. Распределенные системы планирования действий коллективов роботов. - М.: Янус-К, 2002.

[3] Миркин Б.М. Адаптивное децентрализованное управление с модельной координацией // Автоматика и Телемеханика, 1999. - №1. - С. 90-100.

[4] Chen G., Lewis F.L. Robust consensus of multiple inertial agents with coupling delays and variable topologies // Int. Journal of Robust and Nonlinear Control, 2010. - Vol. 21. - №6. - P. 666-685.

[5] Olfati-Saber R. , Fax J. A., Murray R. M. Consensus and Cooperation in Networked Multi-Agent Systems // Proceedings of the IEEE, Special Issue on Networked Control Systems, 2007. - Vol. 95. - №1. - P. 215-233.

[6] Ren W. Formation keeping and attitude alignment for multiple spacecraft through local interactions //J. Guid. Control Dynam., V. 30, no.2, pp. 633 638, 2007.

[7] Джунусов И.А., Фрадков A.JI. Адаптивная синхронизация сети взаимосвязанных нелинейных систем Лурье // Автоматика и Телемеханика, 2009. - №7. - С. 111-126.

[8] Li Z., Duan Z., Chen G., Huang L. Consensus of multiagent systems

and synchronization of complex networks: an unified viewpoint // IEEE Transactions on Circuits and Systems, 2010. - Vol. 57. - №1. - P. 213-224.

[9] Fradkov A.L. Adaptive control and synchronization of complex networks // LCCC: Thematic Program of Spring 2010: Distributed Decision-Making and Control, 2010.

[10] Shiriaev A.S., Fradkov A.L. Stabilization of invariant sets for nonlinear systems with applications to control of oscillations // Intern. J. Robust Nonlinear Control, 2001. - Vol.11. - P. 215-240.

[11] Shiriaev A.S., Fradkov A.L. Stabilization of invariant sets for nonlinear non-affine systems // Automatica, 2000. - №36. - P. 1709-1715.

[12] Колесников А. А. Синергетическая теория управления. - Таганрог: ТРТУ, М.: Энергоатомиздат, 1994. - 344 с.

[13] Ашихмина И.В., Фрадков A.JI. Регистрация программы для ЭВМ "Управление двухзвенным маятником (Control of Acrobot)"B отделе регистрации программ для ЭВМ, баз данных и топологий ИМС Федерального института промышленной собственности РОСПАТЕНТа, Инв. н. ВНТИЦ: 50201050020, дата регистрации: 1 окт. 2010.

[14] Ашихмина И.В., Фрадков A.JI. Регистрация программы для ЭВМ "Синхронизация сети электрических генераторов (Synchronization of multimachine power system) "в отделе регистрации программ для ЭВМ, баз данных и топологий ИМС Федерального института промышленной собственности РОСПАТЕНТа, Инв. н. ВНТИЦ: 50201150886, дата регистрации: 27 июня 2011г.

[15] A. Magyar, G. Szederkenyi, К.М. Hangos. Globally stabilizing feedback control of process systems in generalized Lotka-Volterra form // Journal of Process Control, 2008. - №18. - P. 80-91.

[16] Hernández-Bermejo В., Fairen V. Local Stability and Lyapunov

Functionals for 11-Dimensional Quasipolynomial Conservative Systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2001. - P.242-256.

[17] Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000.

[18] Фрадков А.Л., Схема скоростного градиента в задачах адаптивного управления // Автоматика и телемеханика, 1979. - №9. - С. 90-101.

[19] Деревицкий Д.П., Фрадков А.Л. Прикладная теория дискретных адаптивных систем управления. - М.: Наука, 1981.

[20] Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М.: Наука, 1985.

[21] Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. - М.: Наука, 1990.

[22] Shiriaev A.S., Fradkov A.L. Stabilization of invariant manifold for nonaffine nonlinear systems // IFAC Symp. on Nonlinear Control Systems Design. Enschede, Netherlands, 1998. P.215-220.

[23] Byrnes C.I., Isidori A., Willems J.С. Passivity, feedback equivalence and the global stabilization of minimum phase nonlinear systems // IEEE Trans, on Autom. Control. 1991. Vol.10. P.1122-1137.

[24] Фрадков А.Л. Исследование физических систем при помощи обратных связей // Автоматика и телемеханика, 1999. №3. - С.213-229.

[25] Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. -СПб.: Наука, 2003.

[26] R. Ortega, M.W. Spong, F. Gomez and G. Blankenstein Stabilization of a class of underactuated mechanical systems via interconnection and damping assignment // IEEE Transaction on Automatic Control, 2002. -47(8). - P. 1218-1233.

[27] J.A. Acosta, R. Ortega and A. Astolfi Positional feedback stabilization of mechanical systems with underactuation degree one // Proc. of the 6th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems, NALCOS 03, Stuttgart, Germany, 2004.

[28] R. Olfati-Saber Normal forms for underactuated mechanical systems with symmetry // IEEE Transaction on Automatic Control, 2002. - 47(2).

- P. 305-308.

[29] A.S. Shiriaev. Motion Planning and Feedback Stabilization of Periodic Orbits for an Acrobot // Proc. of 43rd IEEE Conference on Decision and Control, 14-17 Dec. 2004, Vol.1, 290-295.

[30] Т. Леви-Чивита, У. Амальди, Курс теоретической механики. Том 1. Кинематика. Принципы Механики. - Объединенное научно-техническое изд-во НКТЛ СССР, Москва 1935.

[31] Формальский A.M. О стабилизации двойного перевернутого маятника при помощи одного управляющего момента // Изв. РАН. ТиСУ.

- 2006. - № 3.

[32] Формальский A.M. О глобальной стабилизации двойного перевернутого маятника с управлением в межзвенном шарнире // Изв. РАН. МТТ. - 2008. - № 5.

[33] Aoustin Ya., Formalskii A.M., Martynenko Yu. Stabilisation of unstable equilibrium postures of a two-link pendulum using a flywheel // J. Comput. Syst. Sci. Int. - 2006. - V. 45. - № 2.

[34] Schaefer I.F., Cannon R.F. On the Control of Unstable Mechanical Systems // IFAC 3rd Congress, London. - 1996.

[35] Formalskii A.M. Stabilization of Unstable Mechanical Systems // JOTA, 2010. - V. 144. - № 2.

[36] Aoustin Ya., Formalskii A., Martynenko Yu. Pendubot: combining of energy and intuitive approaches to swing up, stabilization in erected pose // Multibody Syst. Dyn., 2011. - V. 25. - № 1.

[37] J. Hauser and R.M. Murray Nonlinear controllers for nonintegrable systems: the acrobot example // Proc. of the American Control Conference, San Diego, CA, 1990. - P. 669-671.

[38] Arun D. Mahindrakar, Ravi N. Banavar A swing-up of the acrobot based on a simple pendulum strategy // International Journal of Control, 2005. - Vol. 78. - No. 6. - P. 424-429.

[39] M.W. Spong The swing up control problem for the acrobat // IEEE Control Systems Magazine, 1995. - 15(5). - P. 49-55.

[40] X. Xin and M. Kaneda The swing-up control of the acrobot based on energy control approach // Proc. of the 41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, Nevada, USA, 2002. - P. 3261-3266.

[41] Лавровский Э.К., Формальский A.M. Оптимальное управление раскачиванием и торможением качелей // Прикладная математика и механика, Т. 57. Вып. 2, 1993. - С. 92-101.

[42] Акчурин Э.Г. Управление колебаниями маятника с переменными параметрами // Вестник Санкт-Петербургского университета, 2011. -Сер.1. - Вып.2. - С.79-85.

[43] Fllippov S.A., Fradkov A.L., Ashikhmina (Pchelkina) I.V., Seifullaev R.E. LEGO Mindstorms NXT Robots and Oscillators in Control Education. // Adaptation and Learn-ing in Control and Signal Processing, IFAC Workshops, Antalya, Turkey, 2010, V.4. P. 1146-1152.

[44] Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. - М.: Высшая школа, 1985.

[45] Y. Cao, L. Jiang, S. Cheng, 0. Malik, and G. Hope. A nonlinear variable structure stabilizer for power system stability // IEEE Trans, on Energy Conversion, 1994. - Vol. 9, №3.

[46] Anderson P.M., Fouad A.A. Power system control and stability. - Iowa: Iowa State University Press, 1977.

[47] Guo Y., Hill D.J., Wang Y. Global transient stability and voltage regulation for power systems // IEEE Trans, on Power Systems, 2001. - V. 16. - №4. - P. 678-688.

[48] Gordon M., Hill D.J. On Structure Preserving Control of Power Systems // Proc. of the 2006 IEEE International Conference on Control Applications Munich, Germany, October 4-6, 2006.

[49] W. Dib et al. A globally convergent controller for multi-machine power systems using structure-preserving models // IEEE Trans, on Automatic Control, 1999. - Vol. 54. - №9. - P. 2179-2185.

[50] Ortega R. et al. Transient stabilization of multimachine power systems with nontrivial transfer conductances // IEEE Trans, on Automatic Control, 2005. - Vol. 50. - №1. - P. 60-75.

[51] Pogromsky A.Yu., Fradkov A.L., Hill D.J. Passivity based damping of power system oscillations // Proc. of the 35th Confer, on Decision and Control. Kobe, Japan, 1996. - P. 3876-3881.

[52] Bergan A. R. Power Systems Analysis. - Prentice-Hall, New Jersey, 1986.

[53] Pai M.A. Power system stability. - New York: North Holand, 1981.

[54] Willems J.L. A partial stability approach to the problem of transient power system stability // Int. J. Control, 1974. - V. 19. - P. 1-14.

[55] Вольдек А.И. Электрические машины. - M.: Энергия, 1978.

[56] Пчелкина И.В., Фрадков А.Л. Моделирование процесса управления синхронизацией многомашинной энергосистемы. // Информатика и системы управления, №4(24). - Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет, 2012 г. С. 18-26.

[57] Ашихмина (Пчелкина) И.В. Определение характеристик электродвигателя LEGO Mindstorms NXT. // Материалы XII конференции молодых ученых, Навигация и управление движением, Санкт-Петербург, март 2010. С.285-291.

[58] Ашихмина (Пчелкина) И.В, Фрадков А.Л. Синхронизация сети электрических генераторов. // Материалы 4-й Мультиконференции по проблемам управления, Дивноморское, 3-7 сент. 2011. Т.1, С.340-342.

[59] Pchelkina I.V., Fradkov A.L. Speed-gradient control of an invariant for multispecies populations. // 5th Intern. Conf. Physics and Control, Leon, Spain, 5-8 Sept. 2011. P. 85-91.

[60] Fradkov A.L., Furtat I., Pchelkina I.V., Robust transient synchronization of power networks. // Proceedings of HYCON2-AD2-WKS (HYCON2 Workshop on Energy), Bruxelles, Belgium, 3-4 Sept. 2012. P. 201-204.

[61] Пчелкина И.В, Фрадков А.Л. Синхронизация многомашинной энергосистемы с помощью управления инвариантом. // Материалы 5-й Мультиконференции по проблемам управления, Санкт-Петербург, 911 окт. 2012. С.211-214.

[62] Pchelkina Irina V., Fradkov A. Combined Speed-Gradient Controlled Synchronization of Multimachine Power Systems. / / 5th IFAC International Workshop on Periodic Control Systems - PSYCO 2013, July 3-5, 2013, University of Caen Basse-Normandie, Caen, France. P. 59-63.

[63] Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.

[64] Lotka A. J. Elements of Mathematical Biology. - Dover, New York, 1956.

[65] Ашихмина (Пчелкина) И.В., Управление многовидовыми экологическими системами. // Информатика и системы управления, №3(29). - Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет, 2011 г. С. 133-141.

[66] Pchelkina I.V., Fradkov A.L., Control of oscillatory behavior of multispecies populations. // Ecological Modelling. - Elsevier, Volume 227, January 2012. P. 1-6.

[67] Chakrabarti C.G., Koyel G. Non-equilibrium thermodynamics of ecosystems: Entropic analysis of stability and diversity. - Ecological Modeling. 2009. - №220. - P. 1950-1956.

[68] Мерзляков Ю.И. О существовании положительных решений у систем линейных уравнений. - Успехи матем. наук, 1963. - Том XVIII, вып. 3(111). - С. 179-186.

[69] Peschel М., Mende W. The Predator-Prey Model: Do We Live in a Volterra World? - Springer-Verlag, Vienna, 1986.

[70] Руш H., Абетс П., Лалуа M. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. - М.: Мир, 1980.

[71] Вшивков О.А., Хлебопрос Р.Г. Модель управления численностью популяции иксодовых клещей в экосистеме. - Материалы Национальной конференции "Математическое моделирование в экологии г.Пущино, 2009 г. - С. 70-71

[72] Криксунова Е.А. и др. Математическое моделирование в системе промыслово-биологических и экологических исследований. - Материалы Национальной конференции "Математическое моделирование в экологии г.Пущино, 2009 г. - С. 147-148.

[73] Pchelkina I.V., Fradkov A.L., Control of oscillatory behavior of multispecies populations. // Proceedings of the 13th International Student Olympiad on Automatic Control, Saint Petersburg, 2010. P. 141-145.

[74] Pchelkina I.V., Fradkov A.L. Speed-gradient control of an invariant for multispecies populations. // 5th Intern. Conf. Physics and Control, Leon, Spain, 5-8 Sept. 2011. P. 85-91.