Полиномиальный метод синтеза регуляторов для многоканальных объектов с неквадратной матричной передаточной функцией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Филюшов Владислав Юрьевич

• Филюшов Владислав Юрьевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Филюшов Владислав Юрьевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ МОДАЛЬНЫМ МЕТОДОМ

1.1. Модальный метод синтеза линейных систем управления

1.2. Полиномиальный матричный метод синтеза многоканальных регуляторов для объектов с равным количеством входных и выходных переменных

1.3. Объекты с неквадратной матричной передаточной функцией

1.4. Задание ограничения на структуру регулятора

1.5. Сохранение некоторых устойчивых полюсов объекта в замкнутой системе

1.6. Постановка задачи диссертационного исследования

2. ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОВ С

НЕКВАДРАТНОЙ МАТРИЧНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ

2.1. Приведение к взаимно простому виду через двойное взаимно простое разложение полиномиального представления объекта

2.2. Полиномиальное матричное разложение для четырех вариантов представления системы

2.3. Решение диофантова уравнения для различных вариантов полиномиального

матричного разложения

2.4. Задание ограничения на структуру регулятора: квадратная матричная передаточная функция

Выводы по главе

3. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА: ОБЪЕКТ С НЕКВАДРАТНОЙ

МАТРИЧНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ

3.1. Алгоритм синтеза регуляторов для объектов с неквадратной матричной передаточной функцией

3.2. Алгоритм расчета для объекта с большим количеством входных переменных

по сравнению с выходными

3.3. Алгоритм расчета для объекта с меньшим количеством входных переменных

по сравнению с выходными

3.4. Задание ограничения на структуру регулятора: неквадратная матричная передаточная функция

Выводы по главе

4. СИСТЕМА ПОДЧИНЕННОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ КАК

МНОГОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ

4.1. Многоконтурные системы подчиненного регулирования

4.2. Представление системы подчиненного регулирования многоканальной системой управления

4.3. Расчет системы стабилизации двигателя постоянного тока полиномиальным

матричным методом

4.4. Компенсация нелинейных звеньев по обратной связи

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А: Акты внедрения

ПРИЛОЖЕНИЕ Б: Линеаризация обратной связью

Б1. Линеаризация некоторых видов нелинейностей по обратной связи

Б2. Стабилизация нулевого положения перевернутого маятника на тележке для

нелинейной модели

Б3. Линеаризация обратной связью

ПРИЛОЖЕНИЕ В: САУ подъемно-транспортной системы «кран-штабелер»

ПРИЛОЖЕНИЕ Г: Алгоритм расчета регуляторов полиномиальным матричным методом для двигателя постоянного тока в пакете МаШСаё

ПРИЛОЖЕНИЕ Д: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ И ТЕРМИНОВ,

ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ДИССЕРТАЦИИ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полиномиальный метод синтеза регуляторов для многоканальных объектов с неквадратной матричной передаточной функцией»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Различные области промышленности: робототехническая, авиастроительная, кораблестроительная, химическая и другие нуждаются в удовлетворяющей возрастающим требованиям точности, скорости и устойчивости системе автоматического управления (САУ). Объектом управления в САУ является устройство (агрегат, технологический процесс), например система кругового обзора, дистилляционная колонна, подъемно-транспортная система, шагающий робот, которые могут иметь несколько входных воздействий (входной вектор - вход, input) и несколько выходных величин (выходной вектор - выход, output). Объекты управления с перекрестной связью между входами и выходами (многосвязные) называется многоканальными (multi input -multi output, MIMO). Если количество входов и выходов различно, то объекты являются неквадратными (non-square object) или многоканальными объектами с неквадратной матричной передаточной функцией (МПФ). Решения для многоканальных объектов позволяют удовлетворить повышенным требованиям к САУ (за счет учета многосвязности), что достигается применением методик синтеза многоканальных регуляторов.

Встречается значительное число таких технических процессов, описываемых моделями многоканальных объектов, для которых система управления рассчитана однока-нальными методами синтеза, что в некоторых случаях делает расчет проще, но не позволяет удовлетворить повышенные требования к САУ. Несмотря на широкое развитие методик синтеза многоканальных регуляторов, из-за недостаточного развития методик синтеза регуляторов для неквадратных объектов, при расчете стараются привести модель объекта к равному количеству входов выходов, например, путем их добавления или удаления. Добавление входов/выходов не всегда технически и экономически реализуемо, поэтому разработка алгоритма синтеза регуляторов для объектов с неравным количеством входов/выходов актуальна в задачах проектирования систем автоматического управления.

Одним из вариантов модели неквадратного объекта являются модели с одним входом и несколькими выходами (single input - multi output, SIMO), которые обычно рассматривают как последовательное (многоконтурное, каскадное) соединение нескольких одно-канальных (single input - single output, SISO) подсистем. Для таких моделей последовательно рассчитываются одноканальные регуляторы каждой подсистемы в соответствии с принципами подчиненного регулирования, что связано с недостаточной разработанностью методик синтеза для многоканальных неквадратных объектов. Расчет параметров

многоканальных регуляторов - обычно сложная задача, но при освоении необходимых понятий и алгоритмов становится наглядной и простой.

Освоение теории синтеза многоканальных регуляторов интенсивно развивается начиная со второй половины ХХ века, и неоспоримый вклад в развитие этого направления внесли многие отечественные и зарубежные ученые: А.А. Александров, В. Н. Буков, В.А. Бесекерский, Л.Н. Волгин, А.А. Воевода, А.Р. Гайдук, Л.С. Гольдфарб, П. Деруссо, А.В. Дылевский, Д.П. Ким, А.В. Михайлов, М.В. Мееров, А.М. Малышенко, Г. Найквист, А.И. Рубан, Е.М. Смагина, В. В. Тютиков, У.М. Уонэм, B. Kouvaritakis, M. Vidyasagar, P.J. Antsaklis, K.J. Äström, C.T. Chen, M. Dahleh, J.C. Doyle, Q.G. Wang и др. В частности, задача синтеза многоканальных регуляторов для линейных многоканальных объектов с равным числом входов и выходов рассматривалась в диссертационных работах А.В. Че-хонадских, Е.В. Шобы, В.В. Вороного, К.М. Бобобекова и др., в которых использовался аппарат полиномиального матричного разложения матричных передаточных функций.

Диссертационная работа посвящена анализу и синтезу многоканальных регуляторов для объектов с неравным количеством входов и выходов с использованием полиномиальных матриц, что является основной частью приводимого исследования, заключающегося в разработке алгоритма синтеза регуляторов для объекта с неквадратной матричной передаточной функцией с использованием полиномиального разложения.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью диссертационного исследования является разработка метода синтеза регуляторов для объектов с неквадратной матричной передаточной функцией в полиномиальном матричном представлении.

Для достижения поставленной цели необходимо исследовать и решить следующие задачи:

- разработать алгоритм синтеза многоканальных регуляторов для объектов, описываемых неквадратной матричной передаточной функцией;

- модифицировать предлагаемый алгоритм для расчета регуляторов системы, построенной по принципу подчиненного регулирования;

- адаптировать предложенный алгоритм для расчета регуляторов с заданными ограничениями на структуру;

- разработать процедуру синтеза регуляторов в рамках полиномиального подхода для объектов с звеном запаздывания;

- для моделей объектов управления, содержащих нелинейные элементы, описываемые гладкими функциями1, предложить компенсацию нелинейности по обратной связи для применения разрабатываемого алгоритма.

Объектом исследований являются объекты управления, имеющие неравное количество входных и выходных переменных (например: кран-штабелер, перемещающийся в пространстве, электромеханические колебательные системы, гидравлические цилиндры с сервоприводами), где требуется обеспечивать целевое управление одной или несколькими выходными величинами.

Предметом исследований являются многоканальные системы управления с неквадратной матричной передаточной функцией объекта, приемы задания нулей системы управления, полиномиальный матричный метод синтеза.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационном исследовании задач использовались: методы теории автоматического управления, теории матриц, некоторые разделы линейной алгебры, аппарат полиномиального матричного разложения. Для выполнения вычислительных экспериментов использовались математические программы MathCAD и Ма^АВ.

Научная новизна. Следующие результаты диссертационного исследования характеризуют научную новизну работы:

- разработан алгоритм синтеза многоканальных регуляторов для объектов с неравным количеством входов и выходов с использованием полиномиального матричного описания объекта и регулятора, позволяющий задавать требуемое расположение полюсов и некоторых нулей замкнутой системы, отличающейся от случая равного количества входов и выходов объекта необходимостью использования двух вариантов полиномиального матричного описания системы «объект-регулятор»;

- предложено преобразование системы подчиненного регулирования к многоканальному виду (матричному виду), что дает возможность синтезировать регуляторы по разработанному в диссертационном исследовании алгоритму, учитывая динамические свойства объекта более полно, а именно появляется возможность задания требуемого расположения полюсов и некоторых нулей замкнутой системы;

- при необходимости синтеза системы управления с ограничениями на структуру регуляторов, предложено задавать при расчете определенные элементы полиномиальных матриц «числителя» и «знаменателя» регулятора нулевыми;

1Под гладкостью подразумевается дифференцируемость необходимое количество раз

- для объектов, включающих элемент запаздывания управляющего сигнала, предложена процедура синтеза регуляторов, при которой не выполняется устранение запаздывания. Для этого звено запаздывания аппроксимируется рядом Паде с ограниченным количеством членов, что добавляет устойчивые полюса к передаточной функции (ПФ) объекта, которые сохраняем в замкнутой системе;

- для моделей объектов, включающих нелинейности типа гладких функций, предложено осуществлять линеаризацию посредством введения в обратную связь компенсирующих нелинейностей, что позволяет использовать для данного класса объектов разработанный алгоритм.

Практическая значимость и реализация результатов. Разработаны методики синтеза регуляторов для моделей объектов с неквадратной матричной передаточной функцией, которой описывается более широкий класс объектов по сравнению с объектами с квадратной матричной передаточной функцией. В пакетах MathCAD/MatLAB разработаны программы для автоматизации процесса расчета многомерных регуляторов, основанные на использовании предложенных алгоритмов.

Результаты диссертационной работы использованы для модернизации САУ «кран-штабелер» разработанной на предприятии АО «Синетик», которая позволила повысить точность позиционирования и плавность работы, особенно в режимах пуска и останова, а также для построения системы стабилизации многоспектрального оптического устройства кругового обзора на предприятии АО «Новосибирский приборостроительный завод». Результаты исследований использованы в рамках учебного процесса на кафедре «Автоматика» Новосибирского государственного технического университета по дисциплине «Многоканальные системы управления» и на факультете «Электротехники и автоматики» по дисциплине «Электропривод производственных механизмов» Сибирского государственного университета водного транспорта.

Личный вклад автора. Под научным руководством доктора технических наук профессора А.А. Воеводы выполнялась постановка задач диссертационного исследования. Результаты, составляющие основное содержание исследования, получены самостоятельно в процессе научной деятельности.

Соответствие паспорту специальности. Диссертационная работа выполнена в соответствии с паспортом специальности 2.3.1 «Системный анализ, управление и обработка информации (технические системы)».

На защиту выносятся следующие положения:

- алгоритм синтеза регуляторов для объектов с неквадратной матричной передаточной функцией, основывающийся на использовании полиномиального матричного описания объекта и регулятора, позволяющий задавать требуемое расположение полюсов и некоторых нулей замкнутой системы;

- процедура расчета регуляторов для объектов с неквадратной матричной передаточной функцией, позволяющая задавать ограничение на структуру регуляторов, заключающееся в построении системы управления, где некоторые каналы управления зависят не от всего вектора выхода;

- алгоритм синтеза регуляторов для объектов с запаздыванием, позволяющий не устранять запаздывание, но учитывать его за счет сохранения устойчивых полюсов, образованных аппроксимацией звена задержки рядом Паде с ограниченным количеством членов;

- преобразование системы, построенной по принципу подчиненного регулирования, к многоканальному полиномиальному матричному виду, которое позволяет адаптировать предложенный алгоритм на случай многоконтурного описания моделей объекта, для возможности задавать требуемое расположение полюсов и некоторых нулей замкнутой системы;

- модифицирование модели объекта, содержащей нелинейные элементы вида гладких функций, к линейному виду за счет линеаризации обратной связью, что позволяет распространить разработанный алгоритм синтеза регуляторов для объектов с неравным количеством входов и выходов на некоторый класс нелинейных объектов управления.

Достоверность и обоснованность результатов. С использованием разработанного алгоритма решены задачи синтеза для ряда иллюстративных примеров, а также для реальных объектов, что подтверждается численным моделированием в пакетах MatLAB SIMULINK и MathCAD, а также реализацией на готовых изделиях. Достоверность результатов проведенных исследований подтверждается апробацией на всероссийских и международных научно-технических конференциях и семинарах.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены на Всемирном конгрессе по искусственному интеллекту и интернету вещей - 2021 «IEEE World AI IoT Congress 2021» (Сиэтл, США, 2021 г.); Международной научной-технической конференции «International Russian Automation conference, RusAutoCon-2021» (Сочи, Россия, 2021 г.); XIV Международной научной технической конференции «Actual Issues of Architecture and Civil Engineering», (Новосибирск, НГАСУ

(Сибстрин), 2021 г.); XVII международной научно-технической конференции «Электроприводы переменного тока», (Екатеринбург, УФУ, 2018 г); XVIII Международной конференции «International Conference of young specialists on micro-nanotechnologies and electron devices, EDM-2017» (Новосибирск, НГТУ, 2017 г.); IX Международной конференции по автоматизированному электроприводу АЭП-2016 (Пермь, ПНИПУ, 2016 г.); XI Международном форуме по стратегическим технологиям «International Forum on Strategic Technology, IF0ST-2016» (Новосибирск, 2016 г.); XIII Международной научно-технической конференции «Actual problems of electronic instrument engineering APEIE» (Новосибирск, НГТУ, 2016 гг.); VII Международной конференции молодых ученых «Электротехника. Электротехнология. Энергетика» (Новосибирск, НГТУ, 2015 г).; XI Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные вопросы строительства» (НГАСУ (Сибстрин), Новосибирск, 2019 г.); Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Интеллектуальный анализ сигналов, данных и знаний: методы и средства» (Новосибирск, НГТУ, 2017 г.); Научно технической конференции «Наука. Промышленность. Оборона - 2020» (Новосибирск, НГТУ, 2020 г.); а также на ежегодных семинарах факультета автоматики и вычислительной техники и кафедры автоматики НГТУ.

Публикации. Материалы диссертационной работы отражены в 31 печатных работах. Количество публикаций, входящих в перечень ВАК по специальности диссертации 2.3.1 - 2, по смежным специальностям - 2; 7 статей в изданиях, проиндексированных в Scopus или Web of Science; 12 статей в материалах сборников международных и всероссийских конференций;

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников, включающего 148 наименований, и пяти приложений. Внедрение результатов диссертационной работы подтверждено четырьмя актами: два акта об использовании на производстве, и два акта внедрения в учебный процесс двух университетов. Общий объем диссертации составляет 177 страницы, включая 65 рисунков и 2 таблицы.

В первой главе приводится обзор математических описаний, подходящих для модального метода синтеза, из которых выбрано полиномиальное матичное описание, лежащее в основе направления полиномиального матричного метода синтеза, включающего регуляторы пониженного, полного, повышенного порядков, а также регуляторы для объектов с интервальными параметрами и другие. Объединяющим свойством для этих методик является то, что они разработаны для многоканальных объектов с равным

количеством входных и выходных величин, что равносильно описанию объекта квадратной матричной передаточной функцией (МПФ). Приведен обширный обзор моделей объектов с не равным количеством входов и выходов, что равносильно описанию объекта неквадратной МПФ, которые встречаются в различных областях инженерной деятельности: авиастроении (самолеты, вертолеты, квадрокоптеры), робототехнике (маятники, перевернутые маятники, колесные балансирующие системы), в химической промышленности часто встречаются модели объектов со звеньями запаздывания (ректификационные колонны) и так далее. Такое множество примеров объектов с неквадратной МПФ раскрывает актуальность разработки методики для синтеза регуляторов, позволяющей решать задачу синтеза без приведения неквадратной МПФ к квадратной.

Во второй главе приводятся основные понятия необходимые для синтеза регуляторов в полиномиальном матричном описании, к ним относятся: взаимная простота двух полиномиальных матриц, Эрмитова форма, строчная/столбцовая приведенность, алгоритмы перехода от левого полиномиального матричного описания (ПМО) к правому и наоборот с использованием двойного взаимно простого разложения. Замкнутая система управления для объекта с регулятором в прямой связи имеет четыре варианта записи в виде полиномиального матричного описания, левое ПМО объекта и правое ПМО регулятора, левое ПМО объекта и левое ПМО регулятора и так далее. Эти варианты записи замкнутой системы получены в полиномиальном матричном виде так, чтобы «знаменатель» замкнутой системы, который является характеристической матрицей замкнутой системы, был записан в явном виде. Показано, что четыре варианта записи характеристической матрицы можно привести к двум вариантам, которые являются разновидностью диофан-тового уравнения: левое ПМО объекта и правое ПМО регулятора, правое ПМО объекта и левое ПМО регулятора. Разрабатываемый алгоритм синтеза заключается в задании полюсов замкнутой системы, в процессе решения диофантова уравнения, где неизвестными элементами являются полиномиальные матрицы регулятора, а известными полиномиальные матрицы объекта и желаемой характеристической матрицы. Приводятся примеры решения для двух вариантов диофантова уравнения через составление матрицы Сильвестра. Ставится задача задания определенной структуры регулятора, заключающаяся в задании некоторых элементов МПФ регулятора нулевыми, за счет определенного выбора свободных параметров «числителя» и «знаменателя» ПМО регулятора.

В третьей главе приводится разрабатываемый алгоритм синтеза регуляторов для объектов с неквадратной МПФ, включающий в себя объекты с большим или меньшим количеством входов по сравнению с выходами. Приведено два примера синтеза

регуляторов для объектов с большим количеством входов. Пример 3.1 является иллюстративным примером не строго правильной модели объекта с тремя входами и двумя выходами, для которого применен разработанный алгоритм синтеза и показаны различные варианты выбора свободных параметров регулятора. В примере 3.3 рассматривается процесс полимерной покраски, заключающийся в поддержании различной температуры в четырех камерах, соединенных между собой, и компенсации возмущений температуры, возникающих в результате перемещения детали между камерами. Входами объекта являются нагревательные элементы каждой из камер, а выходами - температура воздуха в камерах. Рассмотрен случай отсутствия датчика температуры в четвертой камере, что приводит МПФ объекта к виду четыре входа и три выхода. В примере 3.4 рассмотрена линеаризованная модель перевернутого маятника на тележке, в которой в качестве входа выступает сила, приложенная к тележке, а в качестве выходов угол отклонения маятника и координата тележки. Задачей синтеза для такого объекта ставится поддержание вертикального положения маятника при задании произвольной координаты тележке, что успешно выполняется предложенным алгоритмом. В примере 3.5 рассмотрена модель двух перевернутых маятников на тележке, где входом является сила, приложенная к тележке, а выходами углы отклонения маятников и координата тележки. При условии, что длины или массы маятников различны удается решить задачу синтеза, заключающуюся в поддержании вертикального положения маятников при задании произвольного положения тележки разработанным алгоритмом синтеза. Рассмотрен случай модели объекта с тремя входами и двумя выходами, для которой показана возможность задания определенной структуры регулятора, заключающаяся в выборе таких значений свободных параметров, чтобы определенные элементы «числителя» и «знаменателя» ПМО регулятора становились нулевыми, что влечет за собой нулевые элементы МПФ замкнутой системы.

Четвертая глава посвящена применению предложенного алгоритма на многоконтурные объекты управления, для которых обычно используют регуляторы, построенные по принципу подчиненного регулирования, заключающийся в разбиении модели на контуры, выходы которых измеряются датчиками. Регулятор для каждого контура рассчитывается поочередно, начиная с внутреннего контура, таким образом выход регулятора внешнего контура является заданием на внутренний контур. Такой принцип регулирования распространн для расчета систем управления различными электродвигателями, где можно выделить контуры тока, скорости и положения.

Предлагается другой подход к синтезу таких систем управления, заключающийся в матричном представлении объекта, позволяющее применить разработанную методику

синтеза регуляторов для объектов с неквадратной МПФ. Приведены формулы позволяющие выполнить переход от матричного описания регулятора к подчиненному и наоборот, что позволяет рассчитать систему подчиненного регулирования разработанным алгоритмом синтеза. Для обоснования предложенного подхода выполнен синтез по разработанному алгоритму системы подчиненного регулирования с теми же регуляторами, что и система подчиненного регулирования, рассчитанная по стандартной методике синтеза для двигателя постоянного тока. Далее рассмотрено влияние возмущения на замкнутую систему, где за счет задания некоторых нулей удалось повысить порядок астатизма по возмущению, при сохранении тех же переходных процессов по заданию на угол ротора, что является значительным преимуществом предложенного подхода.

Для многоканальных объектов с нелинейной связью выходных величин предложен подход компенсации нелинейности за счет поиска такого управляющего сигнала по обратной связи, что система принимает линейный вид. Линеаризующее управление находится путем поиска зависимости между нелинейными элементами и управляющим сигналом, что позволяет за счет обращения полученной зависимости линеаризовать систему управления, для последующего расчета регуляторов предложенным алгоритмом.

1. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ МОДАЛЬНЫМ МЕТОДОМ

Одно из важнейших направлений в теории автоматического управления занимает расчет регуляторов для систем автоматического управления (САУ), обеспечивающих заданные характеристики замкнутой системы. Задача регулятора состоит в выработке целенаправленных воздействий на объект управления, при котором обеспечивается достижение желаемого характера протекающих в нем процессов. Поиск такого регулятора называется синтезом системы управления, методы решения которого зависят от математического описания модели объекта, во временной области или в частотной области. В исследовании рассматривается частотная область, к которой относится операторная форма записи и использование преобразования Лапласа.

Существует множество методов синтеза для линейных стационарных систем, например: модальные, оптимальные, оптимизационные, нечеткие, нейросетевые и другие. Далее речь пойдет о модальном методе синтеза, который заключается в расположении полюсов замкнутой системы в желаемой области комплексной полуплоскости. Полюса замкнутой системы - это корни характеристического полинома (собственные числа характеристической матрицы), которые в операторном виде задаются методиками, основанными на использовании передаточных функций или полиномиального матричного описания. Эти методики разработаны для объектов с равным количеством входов и выходов.

В разделе 1.1 приводятся основные направления для синтеза линейных многоканальных систем: через матричные передаточные функции, в пространстве состояний и с использованием полиномиального матричного описания. В разделе 1.2 описываются различные способы синтеза системы управления в полиномиальном матричном описании для равного количества входных и выходных величин у объекта. В разделе 1.3 предлагается обширный обзор примеров объектов с неквадратной передаточной матрицей. В разделе 1.4 показывается возможность задания ограничения на структуру регулятора, в разделе 1.5 - возможность сохранения некоторых полюсов характеристического полинома объекта в замкнутой системе. В разделе 1.6 ставится задача диссертационного исследования, заключающаяся в распространении полиномиальной матричной методики синтеза (Вороной [28], Мелешкин [42], Плохотников [47], Чехонадских [84], Шоба [88]) на объекты с неравным количеством входов и выходов.

1.1. Модальный метод синтеза линейных систем управления

Синтез системы автоматического управления заключается в формировании необходимого управляющего сигнала для обеспечения заданных требований. Требованиями, предъявляемыми к системе автоматического управления, обычно являются время переходного процесса, перерегулирование или ошибка регулирования, в некоторых случаях требование к системе задается в виде критерия оптимальности [11]. Эти требования формулируются в виде характеристик, соответствующих выбранному методу синтеза, которые можно разделить на модальные и частотные.

При синтезе частотными методами переходят от оценок быстродействия и перерегулирования к желаемым свойствам разомкнутой или замкнутой системы.

а)

в)

Рисунок 1.1 - Структурная схема замкнутой системы

Модальный метод [29, 36, 43, 58, 99, 111, 113], в свою очередь, заключается в задании желаемых полюсов замкнутой системы. Управление по рассогласованию является основной структурой проектирования САУ (рисунок 1.1), при которой на регулятор поступает сигнал ошибки между заданием на регулируемую величину и ее значением. Формирование закона управления u = r(y, v), обеспечивающего необходимые требования к системе управления, выраженные через область расположения корней характеристического полинома или матрицы, является целью синтеза. Если объект управления имеет одну входную переменную u е R(s)1 и одну выходную величину y е R(s)1, то он называется одноканальным. Если объект управления имеет m входных и p выходных величин при m Ф p, то он называется неквадратным (non-square) [127, 133-137, 148] и имеет размерности входного и выходного векторов u е R(s)m, y е R(s)p.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Филюшов Владислав Юрьевич, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров, А. Г. Синтез регуляторов многомерных систем [Текст]: учебник /

A. Г. Александров. - Москва: Машиностроение, 1986. - 271 с.

2. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления [Текст]: учебник / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. - 4-е изд., перераб. и доп. - Санкт-Петербург: Профессия, 2003. - 752 с.

3. Бобобеков, К. М. Полиномиальный метод синтеза многоканальных регуляторов с использованием матрицы Сильвестра [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / К. М. Бобобеков. - С-Петербург, 2019. - 168 с.

4. Бобобеков, К. М. Полиномиальный метод синтеза для объекта с двумя входами и одним выходом [Текст] / К. М. Бобобеков, А. А. Воевода, В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2019. - № 3-4(96). - С. 17-32.

5. Буков, В. Н. Вложения систем. Полиномиальные уравнения [Текст] / В. Н. Буков, В. В. Косьянчук, В. Н. Рябченко // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 7. -С. 12-23.

6. Буков, В. Н. Вложения систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем [Текст]: учебное пособие - Изд. науч. лит. Н. Ф. Бочкаревой - 2006. - 800с.

7. Буков, В. Н. Вложения систем. [Текст] / В. Н. Буков, В.С. Калабухов, И.М. Мак-сименко, В. Н. Рябченко // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 8. - С. 61-73.

8. Буков, В. Н. Вложения систем. Синтез регуляторов [Текст] / В. Н. Буков,

B. Н. Рябченко // Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 7. - С. 3-14.

9. Буков, В. Н. Вложения систем. Линейное наблюдение [Текст] / В. Н. Буков, В. В. Косьянчук // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 7. - С. 12-23.

10. Буков, В. Н. Вложения систем. Линейное управление [Текст] / В. Н. Буков, В. Н. Рябченко // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 2. - С. 169-180.

11. Васильев, В. А. Цифровые регуляторы: целевые функции настройки, выбор метода интегрирования, аппаратная реализация [Текст]. /А. А. Воевода, В. А. Жмудь, В. А. Хассуонех/ Сб. науч. тр. НГТУ. - 2006. - № 4. - С. 3-10.

12. Власов, К. П. Теория автоматического управления [Текст]: учебное пособие / К. П. Власов. - Харьков: Гуманитарный центр, 2007. - 526 с.

13. Воевода, А. А. Матричные передаточные функции. (Основные понятия) [Текст]: конспект лекций по курсу «Проектирование систем управления» для 4-5 курсов АВТФ (спец. 2101) / А. А. Воевода. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1994. - 94 с.

14. Воевода, А. А. Стабилизация двухмассовой системы: полиномиальный метод синтеза двухканальной системы [Текст] / А. А. Воевода // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2009. -№ 4(58). - С. 121-124.

15. Воевода, А. А. О методике синтеза регуляторов для объектов с интервальными параметрами [Текст] / А. А. Воевода, В. В. Плохотников // Сб. науч. тр. НГТУ. - 1998. -№ 3. - С. 157-160.

16. Воевода, А. А. Об устойчивости производной устойчивого многочлена [Текст] / А. А. Воевода, К. Н. Пономарев, А. В. Чехонадских // Науч. вестник НГТУ. -1998. - № 1(4). - С. 185-186.

17. Воевода, А. А. О понижении порядка стабилизирующего управления на примере двойного перевернутого маятника [Текст] / А. А. Воевода, А. Н. Корюкин, А. В. Чехонадских // Автометрия. - 2012. - № 6(48). - С. 69-83.

18. Воевода, А. А. О «Строгой правильности» передаточной функции разомкнутой системы [Текст] / А. А. Воевода, Е. В. Шоба // Сб. науч. тр. НГТУ. -2010. - № 2(60). -С.175-180.

19. Воевода, А. А. О модели перевернутого маятника [Текст] / А. А. Воевода, Е. В. Шоба // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2012. - № 1 (67). - С. 3-14.

20. Воевода, А. А. Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза [Текст] / А. А. Воевода, Е. А. Ижицкая // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2009. - № 2 (56). -С. 3-10.

21. Воевода, А. А. Система автоматического управления процессом синтеза аммиака [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Вестник РГРТУ. -2019. - №1 (67). - С. 99108.

22. Воевода, А. А. Преобразование полиномиального представления многоканального объекта к взаимно простому виду [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Сб. науч. тр. НГТУ. -2018. - № 2 (92). - С. 7-35.

23. Воевода, А. А. Автономность и астатизм в многоканальной системе с двухпа-раметрическим регулятором [Текст] / А. А. Воевода, К. М. Бобобеков // Интеллектуальный анализ сигналов, данных и знаний: методы и средства: сб. тр. II всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием, Новосибирск, 11-13 дек., 2018 г. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. - С. 337-347.

24. Воевода, А. А. Синтез регулятора для системы «Перевернутый маятник - тележка» [Текст]/ А. А. Воевода, В. В. Вороной, Е. В. Шоба // Науч. вестник НГТУ. - 2012. - № 4(49). - С. 161-165.

25. Воевода, А. А. Линеаризация двухканальной системы с нелинейным выходом при помощи обратной связи [Текст] / А.А. Воевода, В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ.

- 2016. - № 4(86). - С. 49-61.

26. Волков, М. А. Полиномиальный подход к синтезу и анализу систем управления электроприводом [Текст]/ М. А. Волков, Е. А. Гурентьев, З. Ш. Ишматов, Ю. В. Плотников // Тр. V междунар. конф. по автоматизированному электроприводу.

- Санкт-Петербург, 2007. -С. 141-144.

27. Воронов, А. А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем [Текст]: учебное пособие / А. А. Воронов.

- Москва: Энергия, 1980. - 312 с.

28. Вороной, В. В. Полиномиальный метод расчета многоканальных регуляторов пониженного порядка [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / В. В. Вороной. -Новосибирск, 2013. - 173 с.

29. Востриков, А. С. Теории автоматического регулирования [Текст]: учебник / А. С. Востриков, Г. А. Французова. - Москва: Высшая школа, 2006. - 365 с.

30. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц [Текст]: монография / Ф. Р. Гантмахер. -Москва: Наука, 1967. - 576 с.

31. Гайдук, А. Р. Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в ЫЛТЬЛВ [Текст]: учебник / А. Р. Гайдук, В. Е. Беляев, Т. А. Пьявченко. - 2-е изд., испр. - Санкт-Петербург: Лань, 2011. - 464 с.

32. Гайдук, А. Р. Синтез автономных и связных многомерных систем управления [Текст] / А.Р. Гайдук // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2012. - № 1. - С. 1320.

33. Гайдук, А. Р. Синтез систем автоматического управления неустойчивыми многомерными объектами [Текст] / А. Р. Гайдук, К. В. Колоколова // Науч. вестник НГТУ. -2017. - № 1(66). - С. 26-40.

34. Гайдук, А. Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход) [Текст] / А. Р. Гайдук; под ред. Е. И. Ворошиловой. - Москва: Физматлит, 2012. - 360 с.

35. Гайдук, А. Р. Условия разрешимости задачи синтеза инвариантных систем управления [Текст] / А. Р. Гайдук // Известия ЮФУ. - 2012. - № 1. - С. 116-122.

36. Дылевский, А. В. Синтез линейных систем управления с заданным характеристическим полиномом [Текст] / А. В. Дылевский, Г. И. Лозгачёв // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. - 2003. - № 4. - С. 17-20.

37. Ким, Д. П. Теория автоматического управления Т.1. Линейные системы [Текст]: учебное пособие / Д. П. Ким // М: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 288 с.

38. Ким, Д. П. Теория автоматического управления Т.2. Многомерные, нелинейные и оптимальные системы [Текст]: учебное пособие / Д. П. Ким // М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464с.

39. Крищенко, А. П. Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем (Обзор) [Текст] / А. П. Крищенко, С. Б. Ткачев // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 7. - С. 3-42.

40. Малышенко, А. М. Применение избыточного управления для управления многомерными объектами [Текст] / - Вестник ТПУ, - 2006. - № 7. - С. 169-172.

41. Мееров, М. В. Исследование и оптимизация многосвязных систем управления [Текст]: учебное пособие / М. В. Мееров. - Москва: Наука, 1986. - 233 с.

42. Мелешкин, А. И. Модальный синтез регуляторов пониженного порядка [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / А. И. Мелешкин. - Новосибирск, 1999. -166 с.

43. Мирошник, И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы [Текст]: учебное пособие / И. В. Мирошник. - Санкт-Петербург: Питер, 2005. - 336 с.

44. Нейман, Л. А. Линейные синхронные электромагнитные машины для низкочастотных ударных технологий [Текст]: дис. ... д-ра техн. наук: 05.09.01 / Л. А. Нейман. -Новосибирск, 2018. - 400 с.

45. Нгуен, В. Х. Применение прогностических регуляторов для управления установками распределенной генерации в системах электроснабжения железных дорог [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.06 / Нгуен Ван Хуан. - Иркутск, 2020. - 191 с.

46. Панкратов, В. В. Автоматическое управление электроприводами ч.1 Регулирование координат электроприводов постоянного тока. [Текст]: учебное пособие / В. В. Панкратов. - Новосибирск: изд. НГТУ, 2013. - 200 с.

47. Плохотников, В. В. Модальный синтез систем управления с интервальными параметрами [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / В. В. Плохотников. - Новосибирск, 2002. - 182 с.

48. Поляков, С. В. Математическое моделирование виброактивной системы мостового крана-штабелера с переменными параметрами [Текст]. Математические методы и модели: теория, приложения и роль в образовании. №1-2009, с. 154-160.

49. Симаков, Г.М. Многомерное управление синхронной машиной электромагнитного возбуждения быстродействующего электропривода [Текст] / Г. М. Симаков, Ю. П.

Филюшов, В. Ю. Филюшов // Электротехника - сетевой электронный журнал. - 2018. -Т. 5, № 1(96). - С. 50-54.

50. Симаков, Г.М. Многокритериальная оптимизация электропривода переменного тока [Текст] / Г. М. Симаков, Ю. П. Филюшов, В. Ю. Филюшов // Электротехнические комплексы и системы. - 2018. - № 2. - С. 26-38.

51. Симаков, Г. М. Управление асинхронной машиной без предварительного намагничивания [Text] / Г. M. Симаков, Ю. П. Филюшов, В. Ю. Филюшов // 18th Международная конференция молодых специалистов по микро/нанотехнологиям, EDM 2017: Алтай, Эрлагол, 29 июня-3 июля. - Новосибирск: НГТУ, 2017. - с. 525-528.

52. Симаков, Г. М. Комбинированное управление асинхронной машиной с корот-козамкнутым ротором [Text] / Г. M. Симаков, Ю. П. Филюшов, В. Ю. Филюшов // 13ая международная научная конференция актуальные проблемы электронного приборостроения , АПЭП 2016: Новосибирск: НГТУ, 2017. - с. 525-528.

53. Смагина, Е. М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы [Текст]: учебное пособие / Е. М. Смагина. - Москва: Изд-во МГУ, 1990. - 160 с.

54. Степаненко, С. В. Методика синтеза многоканальных ПИД-регуляторов для объектов с монотонными переходными характеристиками [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / С. В. Степаненко. - Новосибирск, 2003. - 166 с.

55. Тарарыкин, С. В. Понижение порядка полиномиальных регуляторов динамических систем [Текст] / С. В. Тарарыкин, В. В. Аполонский // Вестник науки Сибири. -2013. - № 3(9). - C. 96-100.

56. Ткачев, С. Б. Стабилизация программных движений нелинейных систем с использованием виртуальных выходов [Текст] / С. Б. Ткачев // Системный анализ и информационные технологии (САИТ-2005): Труды I Межд. конф. М., 2005. Т. 1. С. 135 - 138

57. Тютиков, В. В. Редукция управляющего устройства при синтезе САУ [Текст] / В. В. Тютиков, Е. М. Шляцкая // Изв. ЮФУ. - 2017. - № 9(194). - C. 64-74.

58. Тютиков, В. В. Развитие теории модального управления для решения задач автоматизации технологических объектов [Текст]: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.06 / В. В. Тютиков. - Иваново, 2006. - 32 с.

59. Уонэм, У. М. Линейные многомерные системы управления [Текст]: учебное пособие / У. М. Уонэм. - Москва: Наука, 1980. - 375 с.

60. Филюшов, В.Ю. Линеаризация нелинейного трехканального динамического объекта обратной связью [Текст] / В. Ю. Филюшов // Научный вестник НГТУ. - 2017. -№ 1 (66). - С. 74-85.

61. Филюшов, В.Ю. Полиномиальное матричное разложение при синтезе неквадратных САУ [Текст] / А. А. Воевода, В. Ю. Филюшов // Системы анализа и обработки данных. - 2021. - № 1 (81). - С. 9-20.

62. Филюшов, В.Ю. Полиномиальный метод синтеза регуляторов для частного случая многоканальных объектов с одной входной переменной и несколькими выходными [Текст] / А. А. Воевода, В. Ю. Филюшов, В. И. Шипагин// Безопасность цифровых технологий. - 2021. - № 2 (102). - С. 21-42.

63. Филюшов, В.Ю. Многоконтурная система подчиненного регулирования в многоканальном неквадратном представлении [Текст] / А. А. Воевода, В. Ю. Филюшов // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. - 2021. -№ 3 (83). - С. 21-38.

64. Филюшов, В. Ю. Полиномиальный матричный синтез подчиненного регулятора [Text] / A. A. Воевода, В. Ю. Филюшов // Актуальные вопросы архитектуры и строительства 2021, Новосибирск, НГАСУ (Сибстрин), с. 525-528.

65. Филюшов, В.Ю. Нелинейный объект: линеаризация обратными связями. [Текст] / В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2018. - № 2(92). - С. 36-80.

66. Филюшов, В.Ю. Эквивалентные преобразования определенного класса нелинейных систем с перехода от интеграла по времени к интегралу по параметру. [Текст] / А.А. Воевода, В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2017. - № 1(87). - С. 38-52.

67. Филюшов, В.Ю. Линеаризация обратной связью: эвристический подход [Текст] / В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 1(83). - С. 37-46.

68. Филюшов, В.Ю. Линеаризация обратной связью [Текст] / А.А. Воевода, В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 2(84). - С. 68-76.

69. Филюшов, В.Ю. Линеаризация обратной связью: перевернутый маятник [Текст] / А.А. Воевода, В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 3(85). - С. 4960.

70. Филюшов, В.Ю. Примеры использования нелинейных обратных связей для нелинейных объектов [Текст] /В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 3(85). -С. 61-70.

71. Филюшов, В.Ю. Линеаризация обратной связью: перевернутый маятник [Текст] / А.А. Воевода, В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 4(86). - С. 6271.

72. Филюшов, В.Ю. Примеры структурных преобразований нелинейного объекта [Текст] / А.А. Воевода, В.Ю. Филюшов // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2016. - № 4(86). - С. 7282.

73. Филюшов, В.Ю. Линеаризация обратной связью [Текст] / В.Ю. Филюшов // В сборнике Интеллектуальный анализ сигналов, данных и знаний: методы и средства. -2017. - С. 288-292.

74. Филюшов, В.Ю. Синтез нелинейного двухканального объекта с использованием нелинейных обратных связей [Текст] / В.Ю. Филюшов // В сборнике Интеллектуальный анализ сигналов, данных и знаний: методы и средства. - 2017. - С. 255-260.

75. Филюшов, В.Ю. Управление неквадратным объектом полиномиальным методом [Текст] / В.Ю. Филюшов // В сборнике Наука. Промышленность. Оборона. - 2020. -Т.3. С. 35-40.

76. Филюшов В.Ю. Управление быстродействующим электроприводом с синхронной машиной электромагнитного возбуждения / Г. М. Симаков, Ю. П. Филюшов, В. Ю. Филюшов // Электроприводы переменного тока ЭППТ-2018. - 2018. - С. 40-44.

77. Филюшов В.Ю. Исследование энергоэффективного управления быстродействующим асинхронным электроприводом / Г. М. Симаков, Ю. П. Филюшов, В. Ю. Фи-люшов // Международная конференция по автоматизированному электроприводу АЭП-2016. - 2016. - С. 205-209

78. Филюшов, Ю.П. Оптимизация электромагнитных процессов в синхронной машине [Текст] / Ю. П. Филюшов, В. Ю. Филюшов // Электричество. 2011. № 8. С. 57-62.

79. Филюшов, Ю. П. Управление асинхронной машиной в условии минимума реактивной мощности [Text] / Ю. П. Филюшов, В. Ю. Филюшов // Электротехника №2, 2014. - с. 15-20.

80. Филюшов, Ю.П. Управление синхронной машиной при минимизации тепловых потерь в условиях минимума реактивной мощности [Текст] / Ю. П. Филюшов, В. Ю. Филюшов // Электротехника. 2013. № 12. С. 57-63.

81. Филюшов, Ю.П. Линеаризация системы управления явнополюсной синхронной машиной с постоянными магнитами при регулировании энергетических характеристик [Текст] /Ю. П. Филюшов, А. А. Воевода, Б. В. Палагушкин, В. Ю. Филюшов // Горное оборудование и электромеханика. - 2019. - №5 (145). С. 44-51.

82. Цзянь, В. Компенсация мультисинусоидального возмущения на основе параметризации Юлы-Кучеры [Текст] / В. Цзянь, С. В. Арановский, А. А. Бобцов, А. А. Пыр-кин // Автоматика и телемеханика. - 2017. - № 9. - С. 19-33.

83. Чан, З. Х. Управление режимами систем электроснабжения железных дорог на основе технологий сетевых кластеров [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / Ч. З. Хынг. - Иркутск, 2015. - 180 с.

84. Чехонадских, А. В. Алгебраический метод синтеза алгоритмов автоматического управления пониженного порядка [Текст]: дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.01 / А. В. Чехонадских. - Новосибирск, 2013. - 341 с.

85. Чехонадских А. В. Общее решение в полиномах матричного Диофантова уравнения / А. В. Чехонадских, А. А. Воевода // Сборник научных трудов Новосибирского государственного технического университета. - 1995. - № 1. - С. 59-63

86. Чехонадских А. В. Общее решение задачи синтеза многоканальной системы автоматического управления с условием грубости / А. В. Чехонадских // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. -2009. - № 2 (35). - С. 139-148.

87. Шипагин, В.И. Расчет регулятора для объекта с запаздыванием [Текст] / А. А. Воевода, В. И. Шипагин, В. Ю. Филюшов // Системы анализа и обработки данных. - 2021. - № 2 (102). - С. 21-38.

88. Шоба, Е. В. Модальный метод синтеза многоканальных динамических систем с использованием полиномиального разложения [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.01 / Е. В. Шоба. - Новосибирск, 2013. - 192 с.

89. Шоба, Е. В. Метод модального синтеза для многоканальных систем с использованием полиномиального разложения [Текст] / Е. В. Шоба // Науч. вестник НГТУ. -2011. - № 4(45). - C. 186-190.

90. Шрейнер, Р. Т. Системы подчиненного регулирования электроприводов ч. 1 электроприводы постоянного тока с подчиненным регулированием координат [Текст]: учебное пособие / Р. Т. Шрейнер. - Екб.: Изд. Урал, 1997. - 279 с.

91. Юркевич, В. Д. Многоканальные системы управления. Синтез линейных систем с разнотемповыми процессами [Текст]: учебное пособие / В. Д. Юркевич. - Новосибирск: Изд. НГТУ, 2016. - 183 с.

92. Anderson, B. D. O. On robust Hurwitz Polynomials [Text] / B. D. O. Anderson, E. I. Jury, M. Mansour // IEEE Trans. Aut. Control. - 1987. - AC-32, № 10. - P. 18-28.

93. Albertos, P. Multivariable control systems: an engineering approach [Text] / P. Albertos, A. Sala. - London: Springer, 2004. - 340 p.

94. Astrem, K. J. Feedback systems: an introduction for scientists and engineers [Text] / K. J. Astrem, R. M. Murray. - United Kingdom: Princeton University Press, 2008. - 409 p.

95. Ambrose, H. Model reference robust control for MIMO systems [Text] / H. Ambrose, Z. Qu // International Journal of Control. - 1997. - Vol. 68, № 3. - P. 599-623.

96. Antsaklis, P. J. Polynomial and rational matrix interpolation: theory and control applications [Text] / P. J. Antsaklis, G. Zhiqiang // International Journal of Control. - 1993. -Vol. 58, № 2. - P. 349-404.

97. Antsaklis, P. J. Linear systems [Text] / P. J. Antsaklis, A. N. Michel. - Switzerland: Birkhauser, 1997.- 669 p.

98. Antsaklis, P. J. Some relations satisfied by prime polynomial matrices and their role in linear multivariable system theory [Text] / P. J. Antsaklis, G. Zhiqiang // International Journal of Control. - 1979. -Vol. 24, № 4. - P. 611-616.

99. Bishop, R. H. Modern control systems analysis and design using MATLAB [Text] / R. H. Bishop. - Massachusetts; New York, 2006. - 160 p.

100. Bian, Z. Kinematic analysis and simulation of 6-DOF industrial robot capable of picking up die-casting products [Text] //Z. Bian, Z. Ye and W. Mu/ 2016 IEEE International Conference on Aircraft Utility Systems (AUS), 2016, 41-44 pp.

101. Bonivento, C. Advances in control theory and application [Text] / C. Bonivento, A. Isidori, L. Marconi, C. Rossi. - London: Springer, 2007. - 306 p.

102. Bobobekov, K. M. A polynomial method for synthesizing a two-channel regulator stabilizing a three-mass system [Text] / K. M. Bobobekov // Proc. of the XIV Intern. Conf. "Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2018)"; Novosibirsk. Novosibirsk State Technical University. - Novosibirsk: NSTU, 2018. - P. 184-189.

103. Bobobekov, K. M. Polynomial method for the synthesis of multichannel systems by transition to matrix polynomial representation [Text] / K. M. Bobobekov // Vestn. Astrakhan State Technical Univ. Ser. Management, Computer Sciences and Informatics 2019, №. 1, 7-25.

104. Castillio, P. Modelling and control of miniflying machines [Text] / P. Cas-tillio,R. Lozano, A. E. Dzul //Springer, 2005. - 251 p.

105. Chen, C. T. Linear System Theory and Design [Text] / C. T. Chen. - 2ed. -New York: Oxford, 1999. - 334 p.

106. Chen, Zh. Balancing control of a cubical robot balancing on its corner [Text] / Zhigang Chen, Xiaogang Ruan, Yuan Li // 2018 IEEE 15th International Workshop on Advanced Motion Control (AMC), 2018, 631-636 pp.

107. Costa, N. Multiple-input multiple-output channel models: theory and practice [Text] / N. Costa, S. Haykin. - New Jersey: IEEE; WILEY, 2010. - 230 p.

108. Dai, H. Whole-body motion planning with centroidal dynamics and full kinematics [Text] //H. Dai, A. Valenzuela, R. Tedrake / 2014 IEEE-RAS International Conference on Hu-manoid Robots, 2014, 295-302 pp.

109. Dai, H. Planning robust walking motion on uneven terrain via convex optimization [Text]//H. Dai, R. Tedrake / 2016 IEEE-RAS 16th International Conference on Humanoid Robots (Humanoids), 2016, 579-586 pp.

110. Dahleh, M. A. Lecture on dynamic systems and control [Text] / M. A. Dahleh, M. Dahleh, G. Verghese. - Cambridge: Massachuasetts Institute of Technology, 2003. - 600 p.

111. D'azzo, J. J. Linear control system analysis and design with MATLAB [Text] / J. J. D'azzo, C. H. Houpis, S. H. Sheldon. - New York: Basel, 2003. - 450 p.

112. Doyle, J. C. Feedback control theory [Text] / J. C. Doyle, B. Francis, A. Tannenbaum. - London : Macmillan Publishing, 1990. - 198 p.

113. Dorf, R. C. Modern control systems [Text] / R. C. Dorf. - Twelfth Edition Harlow: PIARSON, 2011. - 1111 p.

114. Falb, P. L. Decoupling in the design and synthesis of multi-variable systems [Text] / P. L. Falb, W. Wolovich // IEEE Trans. Aut. Control. - 1967. - AC-12, № 4. - P. 651-669.

115. Feinstein, J. The solution of the matrix polynomial equation A(s)X(s)+B(s)Y(s)=C(s) [Text] / J. Feinstein, Y. Bar-Ness // IEEE Trans. Aut. Control. -1984. - Vol. 29. - P. 754-77.

116. Filiushov, V. Yu. Multichannel control synthesis for the plant with three input and two output channels using polynomial matrix decomposition [Text] / A. A. Voevoda, V. I. Shipagin, V. Yu. Filiushov // IEEE World AI IoT Congress 2021: proc., USA, Seatle, P. 525528.

117. Filiushov, V. Yu. Polynomial matrix and multiloop control methods synthesis comparation for a DC drive [Text] / A. A. Voevoda, V. Yu. Filiushov, K. M. Bobobekob // 2021 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), 2021, pp. 917-923.

118. Filiushov, Yu. P. The formation of energy-efficient control of a high-speed AC electric drive [Text] / G. M. Simakov, Yu. P. Filiushov, V. Yu. Filiushov // International Forum on Strategic Technology, IFOST 2016: Novosibirsk: NSTU, 2017. - P. 118-120.

119. Franklin, G. F. Feedback Control of Dynamic Systems [Text] / G. F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami-Naeini. - 7th ed. - Boston :PEARSON, 2014. - 887 p.

120. Froisy, J. Model predictive control: Past, present and future [Text] /J. Froisy, ISA Trans., vol. 33, 1994, pp. 235-243.

121. Golnaraghi, F. Automatic control systems [Text] / F. Golnaraghi, B. C. Kuo. -10th ed. - New York: McGraw-Hill, 2017. - 1160 p.

122. Iida, F. Motor control optimization of compliant one-legged locomotion in rough terrain [Text] / F. Iida and R. Tedrake // 2007 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems /, 2007, 2230-2235 pp.

123. Isidori, A. Lectures in Feedback Design for Multivariable Systems, Advanced Textbooks in Control and Signal Processing [Text] / A. Isidori. - London: Springer, 2016. -414 p.

124. Jelali, M. Hydraulic servo systems: modelling, identifications and control [Text ] M. Jelali, A. Kroll -Springer, 2004. - 380 p.

125. Kailath, T. Linear Systems [Text] / T. Kailath. - Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, 1980. - 350 p.

126. Kouvaritakis, B. Geometrical approach to analysis and synthesis of system zeros part 2. Non-square systems [Text] / B. Kouvaritakis, A.G.J. Macfarlane. Int. J. Control, 1976, Vol. 23, № 2. - P. 167-181.

127. Loh, E.J. Robust decentralized control of nonsquare systems [Text] / E.J. Loh, M.S. Chiu. Chemical Engineering Communications, 1997, 158:1. - P. 157-180.

128. Macfarlane, A. G. Geometric approach to analysis and synthesis of system zeros. Pt 1. Square systems. Pt 2. Non-square systems [Text] / A. G. Macfarlane // Int. J. Control, 1976. - Vol. 23, № 2. - P. 149-181.

129. Matouk, D. Quadrotor position and attitude control via backstepping approach [Text] / D. Matouk, O. Gherouat, F. Abdessemed, A. Hassam// 2016 8th International Conference on Modelling, Identification and Control (ICMIC), 2016, pp. 73-79.

130. Morari, M., Grimm, W., Oglesby, M., Prosser, I. Design of resilient processing plants - VII. Design of energy management system for unstable reactors - new insights [Text] / M. Morari,W. Grimm, M. Oglesby, I. Prosser. // Chem. Eng. Sci., vol. 40, 1987, P. 187.

131. Morse, A. S. Structural invariants of linear multivariable systems [Text] / A. S. Morse // SIAM J. Control. - 1973. - № 11. - P. 446-465.

132. Palanki, S. Robust state feedback synthesis for control of non-square multivariable nonlinear systems [Text] / S. Palanki, J.C. Cockburn, S.N. Kolavennu // J. of process control -2003. - Vol. 13, № 85. - P. 623-631.

133. Qibing, J. Decoupling Internal Model Control for Non-square Process with Time Delays[Text] / J. Quibing, G. Yan, L. Ziyi, S. Anan// International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation - 2010. pp. 898-901.

134. Sarma, K.L.N. Centralized PI/PID controllers for non-square systems with RHP zeros [Text]. / K.L.N. Sarma, M. Chidambaram // Indian Inst. Sci.. - 2005. - № 85. - P. 201214.

135. Sarimveis, H., Genceli, H., Nikolaou, M. Design of robust nonsquare constrained model-predictive control [Text]. / H. Sarimveis, H. Genceli, M. Nikolaou// AIChemE, 1996.

136. Spong, M. W. Robot modelling and control [Text] / M. W. Spong, S. Hutchinson, M Vidyasagar //John Willey and Sons inc., 2005. - 496 p.

137. Shead, L. R. E. Review of linear non-square MPC: Tracking [Text] / L. R. E. Shead, J. A. Rossiter // Proceedings of the European control conference - 2007. -pp. 454-459.

138. Tagawa, Y. Characteristic transfer function matrix-based linear feedback control system analysis and synthesis [Text] / Y. Tagawa, R. Tagawa, D. Stoten // International Journal of Control. - 2009. - Vol. 82, № 2. - P. 585-602.

139. Transeth, A.A. Snake Robot Obstacle-Aided Locomotion: Modeling, Simulations, and Experiments [Text]/ A. A. Transeth, R. I. Leine, C. Glocker, K. Y. Pettersen and P. Liljeb-Äck// IEEE Transactions on Robotics - 2008. - vol. 24, №. 1, pp. 88-104.

140. Voevoda, A. A. Reduction of the matrix polynomial decomposition of the transfer function to a coprime form using the Sylvester matrix [Text] / A. A. Voevoda, K. M. Bobobekov // Proc. of the XIV Intern. Conf. "Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2018)", Novosibirsk State Technical University. - Novosibirsk: NSTU, 2018. - P. 290-294.

141. Vidyasagar, M. Control system synthesis: A factorization approach (Part 1). [Text] / M. Vidyasagar// Synthesis lectures on control and mechatronics: Morgan & Claypool. -Dallas: University of Texas, 2011. - 186 p.

142. Vidyasagar, M. Control system synthesis: A factorization approach (Part 2). [Text] / M. Vidyasagar// Synthesis lectures on control and mechatronics: Morgan & Claypool. -Dallas: University of Texas, 2011. - 229 p.

143. Voevoda, A. A. Method of Division of Motion for Control of Multi-Channel Linear Dynamic Object [Text] / A. A. Voevoda, V. A. Zhmud, A. S. Vostrikov // Automation and Software Engineering. - 2017. - № 3 (21). - P. 104-111.

144. Voevoda, A. A. Low order controllers synthesis using the "reverse deriva-tive"[Electronic resource] / A. A. Voevoda, V. V. Voronoj, E. V. Shoba // The 2nd Russian-Indian Joint Workshop on Computational Intelligence and Modern Heuristics in Automation and Robotics: Proceedings of RFBR and DST Sponsored, 10-13 Sept., 2011, Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk. - P. 38-41. - Access mode: http://ait.cs.nstu.ru/sites/de-fault/files/Proceedings-CIMHAR-2011.pdf. - Screen title.

145. Vurdalakis, A. Wei, C. Balance Control of the Pendubot via the Polynomial Matrix Approach [Text] / A. Vurdalakis, C. Wei// 2018 International conference of control , Decision and Information technologies (CoDIT). - 2018. - № 14 (8), 19-24 pp.

146. Wang, Q. G. Decoupling Control [Text] / Q. G. Wang // Lecture Notes in Control and information Scienes: Springer. - Berlin: Verlag, 2003. - 285 p.

147. Wolovich, W. A. Linear multivariable systems [Text] / W. A. Wolovich. - New York: Springer-Verlag, 1974. - 358 p.

148. Xu, Y. H2 analytical decoupling control design for non-square systems with time delays [Text] / Y. Xu, S. Lin, Z. Zhou and W. Zhang. // 2017 11th Asian Control Conference (ASCC), 2017, pp. 1900-1905.

154

ПРИЛОЖЕНИЕ А: Акты внедрения

йШ СИНЕТИК

^J^^J эксперт > автоматизации

АО «СИНЕТИК», адрес центрального офиса: 630009, г. Новосибирск, ул. 3 Интернационала. 127 тел.: [phone], факс [phone] e-mail: [e-mail], http://www.sinetic.ru

/

АКТ

о внедрении результатов кандидатской диссертационной работы Филюшова Владислава Юрьевича

Комиссия в составе:

Председатель комиссии: главный инженер к.т.н. - Голодных Геннадий Петрович Члены комиссии: директор по развитию, к.т.н. - Ефременко Антон Эдуардович заместитель директора по развитию, к.т.н. - Вороной Вадим Владимирович

Составили настоящий акт о том, что результаты диссертационной работы В.Ю. Филюшова «Полиномиальный метод синтеза регуляторов для многоканальных объектов с неквадратной матричной передаточной функцией», представленной на соискание ученой степени кандидата технических наук, использованы для модернизации системы управления краном-штабелером, что позволило улучшить динамические характеристики крана в режимах пуска и останова, повысить точность позиционирования за счет уменьшения влияния возмущающих воздействий.

Председатель комиссии

Г.П. Голодных

Члены комиссии

А.Э. Ефременко

В.В. Вороной

Юридический адрес: 630009, г. Новосибирск, ул. 3 Интернационала, 127, ИНН 5410119182, КПП 540501001, р/с 40702810811000010283 в Филиал «Новосибирский» Акционерного общества коммерческого банка «ГЛОБЭКС» БИК 045004747, к/с 30101810150040000747, коды ОГРН 1025403908100, ОКПО 23584736

Акты внедрения в учебный процесс

УТВЕРЖДАЮ:

Материалы диссертационных исследований аспиранта кафедры «Автоматика» ИГТУ Филюшова В.Ю. «Полиномиальный метод синтеза регуляторов для многоканальных систем с неквадратной матричной передаточной функцией» используются в учебном процессе 111 ТУ н рамках дисциплины «Многоканальные системы управления», а также в процессе подготовки бакалавров по специальности 27.03.04 и магистров по специальности 27.04.04 «Управление в технических системах».

Декан АВТФ, к.т.н., доцент

Заведующий кафедрой Автоматики д.т.н., профессор

Ученый секретарь кафедры Автоматики, к.т.н., доцент

.В. Саблина

Л

ПРИЛОЖЕНИЕ Б: Линеаризация обратной связью

Рассмотрим способ линеаризации математического описания объекта управления, который заключается в формировании компенсирующего управления нелинейных элементов. Для нахождения такого управления необходимо продифференцировать или проинтегрировать вектор выходных величин для нахождения зависимости между управляющим воздействием и нелинейными элементами. При известной зависимости между управляющим воздействием и нелинейными элементами их не трудно скомпенсировать путем перехода к новым переменным состояния, в которых математическое описание объекта управления линейно, что продемонстрировано в работах [60, 65-74, 81].

Б1. Линеаризация некоторых видов нелинейностей по обратной связи

Синтез регуляторов для объектов, содержащих различные нелинейные элементы, может отличаться. Этими элементами могут быть тригонометрические функции, деление, умножение и т. д. [70]. Приведем примеры линеаризации объектов, содержащих умножение переменных и тригонометрическую зависимость. Рассмотрим нелинейный объект у{ 1 + у) = и ( структурная схема на рисунке Б1).

Как видно из рисунка Б1, нелинейная часть типа деление (у +1)-1, имеет явную зависимость от управления и. Это позволяет, не применяя никаких преобразований, компенсировать ее за счет нелинейной обратной связи. Очевидно, что компенсация деления будет производиться умножением. Тогда, выбрав управление вида и = (у + 1)у, получим замкнутую систему вида интегратор у — V. Структурная схема замкнутой системы представлена на рисунке Б.2.

Рисунок Б.1 - Структурная схема объекта управления

Звено компенсации Объект

Рисунок Б.2 - Структурная схема замкнутой системы

Заметим, что в модели объекта имеется деление, и при значении выхода у=-1 происходит деление на ноль, что говорит о неработоспособности модели в этой точке, которая заключается в бесконечно большом сигнале управления на входе объекта. Обычно такие ситуации возникают вследствие физических свойств объекта, при которых их математическое

описание не зависит от управления. Например, перевернутый маятник на тележке не способен подняться в вертикальное положение при условии, что крайнее положение маятника равно 9 = ±90°, и он в нем находится в покое.

Пример компенсации нелинейных элементов модели объекта за счет обратных связей. Математическое описание объекта описывается выражением

у + ($ту)' = и. (Б1)

Управление (Б1) использовано в работе [70], но в данном случае рассмотрим линеаризацию на основе структурных преобразований. Также выражение (Б1) можно представить в следующем виде: у + бш у = |иск. Структурная схема объекта представлена на рисунке Б.3.

Компенсируем нелинейности по обратной связи. Для этого найдем такое управляющее воздействие, которое приведет замкнутую систему к линейному виду. Для этого

приведем более удобную эквивалентную структурную схему объекта, полученную переносом синуса через интегратор.

1 1

1W 1 s

Step

О

1 s 1 1

1 ™

Scope

Рисунок Б.3 - Структурная схема объекта управления

Рисунок Б.4 - Эквивалентная схема объекта управления

Данную структурную схему описывает дифференциальное уравнение у + cos у-у-и.

На структурной схеме рисунка Б.4 видно, что, после прибавления косинуса и производной выхода у +{smy)' = и,

Объект

Step

1 ,vk 1—1

s 1

и = соъу у замкнутая система станет линейной. Ниже приведена структурная схема результирующей системы (рисунок Б.5).

На структурной схеме (рисунок Б.5) имеются тригонометрические функции, которые, как известно периодические. Поэтому интересны случаи, когда попадаем на их период. Это может возникнуть при выборе определенных начальных условий, или при выходе значения у за какие-то пре-

Scope

Рисунок Б.5 - Структурная схема результирующей системы

делы. Этот аспект линеаризации периодических функций рассматриваться не будет.

Б2. Стабилизация нулевого положения перевернутого маятника на тележке для нелинейной модели

Рассмотрим пример синтеза регулятора для управления перевернутым маятником на тележке, описываемым нелинейной моделью. Задачей ставим стабилизацию нулевого положения угла наклона маятника. Для расчета регулятора выполним предварительную линеаризацию подсистемы маятника за счет введения нелинейного компенсирующего управления.

Исходный объект описывается двумя нелинейными дифференциальными уравнениями [19, 69, 71]:

л ml 2 1--cos О

. ml ,

ml2

1--cos О

. ml ,

о* ffll • 1

0 - sin 0 +-cos 0 sin 0(0)2 =-COS 0 u,

L ML ML

- ■ n/A\2 111 Ы A * A U

s--sin 0(0) + —— cos 0 sm 0 = —,

M. ML M.

(Б2)

где m - масса маятника, mg - вес маятника, M - масса тележки, Mt=m+M, - отклонение маятника от вертикали, l - длина звена маятника, L = (I + ml2) / ml, I - момент инерции, s - перемещение тележки. Рассмотрим частный случай, когда M Ф 0, L = 0. Тогда выражение (Б2) запишем в виде:

- (М + m)gsin(9) — mlcos(9)sin(0)02 + иcos(9) .. mg-cos(9)sin(9)-w/sin(9)92 + и

У =-~-, s =-r-. (bj)

(M + wsin (9))/ M + m sin (9)

Для управления перевернутым маятником, часто используют его линейное представление

в нулевой окрестности угла отклонения 0 = 0. В этом случае 92 = 0, sin 9 = 9, eos 0 = 1.

Мы будем рассматривать задачу стабилизации только угла отклонения маятника, тогда

исходное нелинейное уравнение будет иметь вид

(М + тsin2(0))/-Q + mlcos(0)sin(jq)02 -(M + m)gsin(0) = иcos(0), а в окрестности нуля

Ml • 0 - (M + m)gQ - и. (Б4)

Координата тележки s не рассматривалась, так как ставилась задача стабилизации

самого маятника по углу отклонения 0. Построим линеаризующую добавку, но при помощи визуального структурного подхода, который позволяет наглядно увидеть идею линеаризации обратной связью. Удалось составить управление без использования второй производной, что позволяет в полной мере воспользоваться наблюдателем состояния полного порядка.

Уравнение (Б3) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение, выраженное через старшую производную. Управление в него входит аддитивно, что позволяет произвести линеаризацию без преобразования координат. Канал угла отклонения маятника можно записать в более удобном виде:

0 = (a1(0) + cos(0))/a2(0)M, (Б5)

где ах (0) = (M + m)g sin(0) - ml cos(0) sin(0)02, a2 (0) = (M + m sin2 (0))/.

Найдем управляющий сигнал, который приводит (Б5) к линейному виду 0 = иг. Для этого приравняем правую часть (Б5) к иг, тогда ur = a (0) / a (®) + cos(9) / a (®)'и, откуда найдем искомое компенсирующее управление и ={иа2 (0) - a (0)) / cos 0. Такое управление не имеет решения 0 = п /2 ±nn, где n = 1,2,..., так как происходит деление на

ноль и управляющий сигнал принимает бесконечные значения. Но заметим, что движение маятника при углах, приближающихся к его горизонтальному положению, требует всё больших усилий для придания ему вертикального положения. В нашем случае не будем рассматривать стабилизацию угла из горизонтального положения или близкого к нему.

Ниже представлена структурная схема полученной системы «объект-линеаризующая добавка».

иГ

Линеаризующая добавка

Рисунок Б.6 - Структурная схема объекта (Б3) с компенсирующим управлением

На рисунке Б.6 жирными линиями показаны компоненты объекта и линеаризующей добавки, компенсирующие друг друга. Результатом этой компенсации является преобразование уравнения объекта (БЗ) к эквивалентному виду 9 - иг. В работе [69] использовалась вторая производная выхода для вычисления компенсирующего управления, а в работе [71] использовалась первая производная выхода, что благотворно влияет на помехозащищенность синтезированной САУ.

Синтез регулятора [69, 71]. Для вычисления значения производной угла используем наблюдатель состояния полного порядка, который описывается уравнением х = Ах + Ви + Ь(у - Сх).

Матрица коэффициентов Ь смещает корни характеристического полинома скорости убывания ошибки. Они равны ^ 2 = -20. Управление сформируем в следующем виде:

иг = —Кх + V. Матрица коэффициентов К рассчитана так, что замкнутая управлением система имеет корни характеристического полинома, равные ^ 2 = -4. Ниже приведены графики переходных процессов САУ [69, 71] при М = 30, т = 70, I = 1, g = 10.

Рисунок Б.7 - Графики переходных процессов Рисунок Б.8 - Структурная схема

синтезированной системы без старшей замкнутой системы с наблюдателем

производной у1(г) и системы со и линеаризующей добавкой старшей производной у2

Как видно из рисунка Б.7, при сравнительно небольших углах отклонения графики переходных процессов САУ на рисунке Б.8 и САУ в работе [71] близки, но при увеличении начального угла система, синтезированная в [71], работает лучше, чем система, описанная в [69]. В работе [69] линеаризующая добавка и регулятор имеют аддитивную связь и для линеаризации используется вторая производная выхода. Регулятор и линеаризующая добавка, в работе [71], не имеют линейной связи, линеаризация выполнялась без вычисления второй производной выхода (рисунок Б.8).

Б3. Линеаризация обратной связью

Применение линеаризации обратной связью для систем, представленных в каноническом виде, является одним из способов решения задачи стабилизации нелинейной системы. Но, что делать, если исходная модель объекта не приводится к каноническому виду? Для этого можно преобразовать модель объекта к другим специальным видам [68, 73], для которых решение задачи стабилизации нелинейных систем известно. Динамическая система (ДС) описывается системой уравнений:

х = А(х) + В(х)и, х е Я", и^И1, А(х) = ( аДх),..., а (х) )т, В(х) = ( ВД,..., Ъп (х) )т, а1 (х), Ъ1 (х)е С0 (О),

164

п 0 п ^

с которой связаны векторные поля: а = ^ а (х)—, В = ^ Ъ (х)— .

г=1 г=1 дхг'

Производная Ли функции /(х) е Сю (О) по векторному полю А называется глад-

п д/

кой функцией ЬА/(х) = ^ а (х) — .

г=1 дх;

Специальный квазиканонический вид имеет следующее описание

22 — 23 '

Л = Ч(г,г\),

у = к(х) = г1,

где х - исходный вектор состояния, 2 - вектор состояния новых координат, ц - вектор состояния подсистемы нулевой динамики; / (г, ц), g (г, ц), д(г, ц) - гладкие нелинейные функции, Н(х) - преобразование исходного вектора состояния в новый, р - относительная степень.

Для ДС (Б6) стабилизация подсистемы 2 возможна с использованием линеаризации обратной связью, но при неустойчивом поведении подсистемы ц решение поставленной задачи является неочевидным. Наибольший интерес для анализа ДС (Б6) представляет подсистема г\ = с/(г,г\), так как в нее управление не входит «напрямую». Если стабилизация нулевого положения равновесия для подсистемы 2 была выполнена, то при z = 0 можно рассматривать подсистему ц в следующем виде

Л = <7(0, Л)- (Б7)

Нулевой динамикой ДС (Б6) описывается уравнением (Б7).

Минимально фазовой называют ДС (Б6) в случае асимптотически устойчивой нулевой динамики для положения равновесия 2 = 0. Если же нулевая динамика неустойчива, то такая система называется неминимально фазовой.

Относительная степень ДС показывает, сколько раз нужно взять производную выхода, чтобы получить зависимость между управляющим сигналом и выходом объекта.

Пусть существует гладкая функция ф(х), удовлетворяющая в некоторой окрестности точки х0 системе нелинейных уравнений в частных производных ЬвВАф(х) = 0,

г = 0,...,р — 2. Для некоторого числа р < п, и соответствующая ей функция в точке х0 удовлетворяет условию

у(*о) = х) * 0. (Б8)

Тогда, если

ьвпАу(х0) = Ьвплф0) * о, г = 0,...,р—1, (Б9)

число р будет относительной степенью ДС (Б6). Условия (Б8) и (Б9) означают, что производные от функции ф(х) до порядка р — 1 не содержат управление, а в производную порядка р управление входит, причем отличное от нуля в точке х0 и некоторой ее окрестности.

Рассмотрим пример построения стабилизирующего управления для нулевого положения равновесия х = 0, при полностью известном векторе состояния х. Рассмотрим ДС вида

Х-^ — Х-^ + Х-^ %2 9

3

" -I- X X. .

(Б10)

+ х2+и,

( 3 Л Х1 + Х^ Х 2 ( 0 ^

, в (Х) = V1У

V Х1 + Х2

где

А( х) =

Выберем выход ДС с относительной степенью р = 1. Таким выходом будет у = х2.

ДС имеет второй порядок п = 2. Тогда используя условия (Б8) и (Б9), проверим относительную степень выхода х2:

ьвь\У = ьвУ =1,

соответственно р — 1 = 0 и р = 1. Запишем (Б10) в переменных43 (г, ц)

г] = г)3 +г\г,

г = г\ + г + и, (Б11)

2 = Х2,

где /(г,ц) = ц + 2, д(г,ц) = ц3 + цг. Проверим нулевую динамику ДС (Б 11):

д(0, ц) = ц3.

43 Запись уравнения (Б 11) в новых переменных необязательна

Положение равновесия неустойчиво, для стабилизации нулевой динамики найдем новый выход системы (Б 11), в котором нулевая динамика будет устойчива. Для этого заменим в подсистеме ц, переменную состояния ъ на некоторую функцию у(^) :

q(v(л), ц) = ц3+^(ц).

Управление у(ц), придающее уравнению нулевой динамики желаемый вид:

= -ц2+ц2со, с0 < 0.

Согласно уравнению, запишем новый выход ДС (Б 11):

у = 2 = 2 - v(ц) = 2 + Ц2 - Ц2С(

0 •

Для построения стабилизирующей обратной связи найдем производную нового выхода

2 = г| + 2 + 2(1 - с0)(т|4 + ц2г) + и. Тогда компенсировав нелинейности, получим управление:

и =-[ц + 2 + 2 (1 - с0 )(ц4 +Ц2 2)]- С ( 2+ц2 -ц2с) ,

где С1>0.

В новых переменных оно имеет вид и — — г — с, г . В исходных переменных управление

имеет вид и = V - [X + X + 2 (1 - С ) (X4 + X2X )] + С (X + X2 - X2с).

Ниже приведена структурная схема полученной системы (рисунок Б.9). Через выходы преобразователя координат Zl 1 и Z22 обозначены новые координаты гиг" соответственно. Структурная схема состоит из преобразователя координат и регулятора в обратной связи.

Ниже приведены графики переходных процессов при различных начальных условиях. Начальные условия по Х2 приняты одинаковыми и равны х2(0)=1, по Х1 начальные условия принимались различными Х1(0)= 0.1; 0.3; 0.5. Также приведены графики управляющего воздействия при

коэффициентах регулятора, равных

Рисунок Б.9 - Структурная схема _ . _ _

— 4, С^ — 5 .

замкнутой системы

х1

1

и

х2 ■

ОБЪЕКТ

Регулятор

21 х2 1 22 х1 2

О

х1

о

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ КОРДИНАТ

х2

0.7 0.6 0.5 ,0.4 : 0.3 0.2 0.1 0

Х1(Ч|

0.5

-0.5

х2(Ц|

[у х1(0)=0. х1(0) =0.3

=0.5

46

2 4 6 8 10

^с

Рисунок Б.10 - Графики переходных процессов при различных начальных условиях Х (0)

0.8 -0.60.40.2) 0 -0.2-0.4-0.6-0.8-

\ \ х1(х2)

\ \

\ \

/

/

---х1(0)= 0.5

-V

0.3 0.4

ХОД

1 1.5

и

Рисунок Б.11 -. Фазовая плоскость х1 (х2 ) и график управляющего сигнала при различных начальных условиях Х (0) Стабилизация нелинейных и не минимально фазовых ДС является сложной задачей. В данном случае рассмотрена система, имеющая относительную степень выхода р = 1, а задача управления состоит в стабилизации положения х0 = 0. Идея метода заключается в нахождении такого преобразования координат, в котором исходный объект имеет минимально фазовую структуру. Для этого рассматривается система уравнений подсистемы44 ц . В этой подсистеме нулевая динамика неустойчива, и необходимо найти такое преобразование координат, чтобы в новых координатах она была устойчивой. Нахождение новых координат основывается на том, что влиять на состояние системы ц можно только через состояния г, тогда переменную состояния г можно рассматривать как некоторое управление у(ц), стабилизирующее положение х0 = 0 нулевой динамики. На рисунке Б13 показаны графики переходных процессов переменных состояния, а также их фазовая плоскость и управляющий сигнал; можно сделать вывод, что полученная система устойчива и отрабатывает различные начальные условия.

0

2

8

0

0

0.1

0.2

0.5

0.6

0.7

0 0.5

2

2.5 3

44

44 В данном примере рассмотрена система второго порядка, в таких системах подсистема ц выражается одним уравнением.

168

ПРИЛОЖЕНИЕ В САУ подъемно-транспортной системы «кран-штабелер»

Интенсификация процессов производства требует эффективного и непрерывного использования складского пространства. Одним из способов увеличения скорости доступа к грузам и уменьшения пространства между стеллажами является использование мостовых кранов-штабелеров, одним из конкурентных преимуществ которых является быстрое и безотказное управление положением грузозахвата. В основном складское пространство обслуживается одним подъемно-транспортировочным устройством, поэтому его непреднамеренный отказ ведет к остановке внутрицехового и межцехового транспортирования сырья, полуфабрикатов и готовой продукции на всех стадиях обработки и складирования. Одним из факторов, ведущих к отказу устройства, являются рывки при трога-нии и торможении, сглаживание которых при сохранении быстродействия достигается использованием новых алгоритмов управления и адекватно составленной математической моделью.

Один из вариантов описания модели подобных транспортировочных систем [48] представлен на рисунке В1.