Исследование нелинейных гибридных систем методом матричных неравенств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Сейфуллаев, Руслан Эльманович

• Сейфуллаев, Руслан Эльманович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Сейфуллаев, Руслан Эльманович

Содержание

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 8-процедура

1.2 Метод скоростного градиента

1.3 Неравенство Йенсена

1.4 Неравенство Буняковского

2 Анализ устойчивости дискретно-непрерывных нелинейных многосвязных систем

2.1 Постановка задачи

2.2 Основные результаты

2.2.1 Случай стандартного функционала Ляпунова-Красовского

2.2.2 Случай расширенного функционала Ляпунова-Красовского

2.3 Анализ робастной устойчивости

/

3 Приложения к исследованию дискретного управления механическими системами

3.1 Управление маятником

3.2 Робастное управление маятником с трением

3.2.1 Случай неопределенного коэффициента трения

3.2.2 Случай неопределенной массы

3.2.3 Случай неопределенной длины

3.2.4 Случай неопределенных коэффициента трения, массы и длины

3.3 Синхронизация трех мобильных роботов

3.4 Маятник на тележке

3.4.1 Алгоритмы раскачки и стабилизации

3.4.2 Лабораторные установки маятниковых систем

3.5 Синхронизация систем «маятник на тележке», управляемых через сеть

4 Управление маятником с квантованием

4.1 Постановка задачи

4.2 Основной результат

4.3 Численный пример

Заключение

Список рисунков

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование нелинейных гибридных систем методом матричных неравенств»

Введение

Современные системы управления, как правило, реализуются на компьютерах, в следствие чего их математические модели включают как непрерывную так и дискретную части, т.е. являются гибридными. При расчете и реализации таких систем возникает важная задача выбора шага (интервала) дискретизации, обеспечивающего устойчивость и приемлемое качество системы. С 1950-х годов предлагались различные подходы к решению данной проблемы (см., например, [33,46,47]), которая становилась все более актуальной с началом широкой популяризации сетевого управления. Даже для линейных систем эта задача не является тривиальной, если требуется не просто доказать, что при достаточно малом шаге дискретности система сохраняет свойства непрерывной, а найти достаточно хорошие, «неконсервативные» оценки предельно допустимой величины шага дискретизации. Для нелинейных гибридных систем поставленная задача, несмотря на её важность, изучена недостаточно.

В последние годы в мировой литературе вырос интерес к подходу, основанному на преобразовании дискретно-непрерывного описания системы к виду систем с переменным (пилообразным) запаздыванием. Идея подхода не нова: он применялся в работах А. Д. Мышкиса [15], Ю. В. Михеева, Э. М. Фридман, В.А. Соболева [14,27], а метод функционалов Ляпунова-Красовского [10] широко применяется для анализа систем с запаздыванием (например, см. [8,50]). В начале 2000-х годов в работах Э.М. Фридман и ее соавторов были получены результаты с использованием обобщённого функционала Ляпунова-Красовского [42] в сочетании с дескрипторным методом исследования систем с переменным запаздыванием [40]. Подход приобрел эффективную расчетную составляющую, основанную на линейных матричных неравенствах (ЬМ1), и превратился в мощный метод расчета, позволяющий существенно снизить консервативность оценок [41-43,55]. Однако до недавних пор метод переменного запаздывания и его расширения применялись только к линейным системам [37,45,51,58,59,61]. Даже для такого хорошо исследованного класса систем как системы Лурье [5,7] с нелинейностями, удовлетворяющие секторным квадратичным связям, соответствующие результаты отсутствовали. В то же время секторным связям удовлетворяют многие важные классы нелинейности, такие как синусоидальные нели-

ценности, насыщение, реле с зоной нечувствительности, квантование, кусочно-линейные функции и др [49].

Таким образом, распространение данного подхода на нелинейные системы является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является получение оценок шага дискретизации в гибридных системах, гарантирующего их экспоненциальную устойчивость, методом переменного запаздывания для класса нелинейных систем Лурье. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. получить условия на шаг квантования для обеспечения экспоненциальной устойчивости с заданной степенью затухания нелинейных многосвязных систем Лурье с дискретным регулятором;

2. получить условия на шаг квантования для обеспечения робастной экспоненциальной устойчивости с заданной степенью затухания нелинейных многосвязных систем Лурье с дискретным регулятором;

3. применить полученные результаты к исследованию систем дискретного управления механическими объектами;

4. получить оценки точности достижения цели управления в задаче управления энергией маятника с помощью обратной связи с квантованием.

В первой главе диссертационной работы приводятся вспомогательные сведения, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов.

Во второй главе рассматриваются нелинейные системы в форме Лурье с секторными нели-нейностями. Система замкнута квантованной по времени линейной обратной связью. Согласно методу переменного запаздывания, предложенного Э.М. Фридман и ее соавторами, эффект квантования моделируется как запаздывание с последующим построением и применением функционалов Ляпунова-Красовского. На основании так называемой Б-процедуры задача оценки шага квантования сводится анализу разрешимости и решению системы линейных матричных неравенств, то есть двух задач, которые с вычислительной точки зрения поддержаны эффективными алгоритмическим и программным обеспечением. В разделе 2.3 данный подход распространяется на исследование робастной устойчивости нелинейных многосвязных систем Лурье с секторными нелинейностями.

В третьей главе полученные результаты применяются к различным задачам управления механическими объектами. В разделе 3.1 рассматривается задача стабилизации маятника в верти-

кальном положении с помощью дискретной обратной связи. В разделе 3.2 исследуется задача робастной стабилизации в вертикальном положении маятника с трением с помощью дискретного регулятора в различных случаях, когда неизвестны те или иные параметры системы. В разделе 3.3 рассмотрена задача синхронизации трех мобильных роботов в случае постоянного шага дискретизации. В разделе 3.4 изучается система «маятник на тележке», где решается задача раскачки и дискретной стабилизации маятника и тележки. Также для этой системы приводятся описания экспериментальных лабораторных установок Lego Mindstorms NXT, позволяющих проводить натурные эксперименты, наглядно демонстрирующие результаты полученных алгоритмов. В разделе 3.5 представлен пример сетевого управления синхронизацией двух систем «маятник на тележке».

В четвертой главе рассматривается задача управления энергией Гамильтоновых систем в случае квантованных измерений сигнала. Подход продемонстрирован на примере управления энергией маятника с помощью обратной связи с квантованием, содержащем в себе все трудности, характерные для нелинейных частично-устойчивых систем. В качестве номинального алгоритма используется алгоритм скоростного градиента, асимптотически стабилизирующий произвольный уровень энергии в случае отсутствия квантования. В качестве кандидата в функции Ляпунова выбирается квадратичное отклонение между текущим и желаемым уровнем энергии (которая убывает для замкнутой системы без квантования). Показано, что в случае присутствия квантования даже с достаточно малым шагом, функция Ляпунова все равно уже не является всюду убывающей, однако периоды и величины возможного возрастания ограничены, а убывающее поведение является доминирующим. Установлено, что если начальный уровень энергии достаточно отделен от уровня равновесий, то траектория за конечное время войдет в область, близкую к желаемому уровню энергии. Основной результат главы состоит в получении оценок как для границы ошибки квантизации, так и для границ области притяжения и области начальных данных.

В Заключении перечислены основные результаты работы.

По теме диссертации опубликовано 14 работ [17-22,30,53,62-66,70], в том числе 7 в изданиях из перечня научных журналов, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для публикации основных научных результатов диссертаций, 7 работ в изданиях из баз цитирования Web of Science и Scopus. Основные результаты представлены на 12 российских и международных конференциях.

Глава 1

Вспомогательные сведения

1.1 S-процедура

В нелинейной теории управления часто используется специальный прием, названный в [1] S-процедурой. Существует довольно много различных интерпретаций данного метода (например, [1,11-13] и др.), связанных со специфическими особенностями задач его использования. В частности, S-процедура используется в задаче, которая возникает при построении функции Ляпунова: одна квадратичная форма должна быть отрицательно определенной в области неотрицательности другой квадратичной формы. Опишем S-процедуру в контексте изложения в [6] и [7].

Пусть X = {х} - евклидово пространство, F(x), Gy(x), G2(a:),..., Gk(x) - произвольные

к

вещественные функции. Пусть S(x) = F(x) + ^Gi{x), где щ, • • •, Хк ~ некоторые неот-

г=1

рицательные вещественные числа. Рассмотрим два условия:

F(x) > 0 при Gi(x) ^ 0,..., Gk(x) ^ 0 для всех х G X, х ф 0, (1.1)

^ 0,..., як ^ 0 : S{x) > 0 для всех х е X, х ф 0. (1.2)

Очевидно, что из условия (1.2) следует условие (1.1). Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, в специальных случаях условие (1.2) следовать из (1.1) может. Тогда говорят, что S-процедура неущербна.

Часто условие (1.1) возникает в задачах, связанных с построением функций Ляпунова. При этом функции F(x), G\{x), G2(x),..., Gk(x) зависят от некоторых «конструктивных» параметров. В итоге, требуется найти некоторую область в пространстве этих параметров, для которых выполняется соотношение (1.1), которое само по себе является довольно сложным для проверки. Вместо этого применяется S-процедура, т.е. условие (1.1) заменяется условием (1.2), не содержащем дополнительных ограничений. Хотя данный прием и решает задачу, при этом, вообще

говоря, может произойти потеря некоторого множества в пространстве параметров. В случае неущербности S-процедуры такой потери не происходит.

В.А. Якубовичем был получен следующий результат [29]: если к = 1, a F(x) и G(x) - квадратичные формы, то S-процедура неущербна. Более формально этот результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема 1.1 (О неущербности S-процедуры для случая квадратичных форм, строгого основного неравенства и одной связи). Пусть X - евклидово пространство, F{x) и G(x) - произвольные вещественные квадратичные формы, и существует такой вектор xq, что G(xо) > 0. Следующие утверждения равносильны:

1) F(x) > 0 на множестве, где G{x) ^ 0, х ф 0/

2) существует такое число к ^ 0, что

F(x) — xG{x) > 0 для всех х £ X, х ф 0.

1.2 Метод скоростного градиента

Рассмотрим нелинейную управляемую систему, описываемую уравнением состояния

X = f{x,u), (1.3)

где х б Rn - вектор состояния, и е !Rm - управление. Требуется построить закон обратной связи

и = U(x),

обеспечивающий достижения цели управления

lim Q(x(t,xо)) = 0,

t—><ж

где Q(x) - гладкая неотрицательная целевая функция, х0 = д;(0).

Метод скоростного градиента, предложенный A.JI. Фрадковым в 1979 г. [4,25,26], заключается в следующем. Сначала требуется вычислить скорость изменения целевой функции Q вдоль траекторий системы:

из{х,и) = (VxQ(x))T f(x, и). Затем вычисляется градиент функции ш(х,и) по входным переменным:

В результате можно выписать алгоритмы скоростного градиента в дифференциальной форме

ú(t) = -rVuu;(>(í),'u(¿)), (1.4)

и в конечной форме

u(t) = -rVuüü{x(t),u(t)), (1.5)

где Г > 0 - положительно определённая матрица коэффициентов усиления. Данный алгоритм естественно называть алгоритмом скоростного градиента, так как в нём изменение u(t) происходит пропорционально градиенту скорости изменения целевой функции.

1.3 Неравенство Иенсена

Следующее интегральное неравенство известно как неравенство Йенсена, которое играет важную роль в задаче устойчивости систем с запаздыванием.

Утверждение 1.1 (Интегральная формулировка неравенства Йенсена). Для любой матрицы М £ Жпхп, М = МТ > 0, константы 7 > 0 и вектор-функции ш 6 L> [0,7] выполнено неравенство

7 /7 \

7 J ur(t) Muj(t)dt ^ í J u(t)dt I М lj ¡j(t)dt J .

Доказательство данного неравенства построено на свойствах дополнений Шура, которое можно найти в [44].

1.4 Неравенство Буняковского

Приведем одно из важнейших неравенств математического анализа, установленное В.Я. Буня-ковским.

Утверждение 1.2 (Неравенство Буняковского). Если f(x) е Ь2 [о, Ъ], g{x) G Ь2 [а, Ъ), то

rf(x)g(x)d^j ^ ^J f2(x)d^j ■ ^J g\x)d^ . Доказательство данного неравенства можно найти в [16] (глава VII, параграф 1, теорема 4).

Глава 2

Анализ устойчивости дискретно-непрерывных нелинейных многосвязных систем

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим нелинейную систему:

N

х{1) = Ах{1) + ]Г ъШ + + Д&ОО) 1=1

т (2-1)

= ггг&(*) - £), г = 1,..., ЛГ,

где 6 К" - вектор состояний, и(/,) е К7™ - управляющий вектор, А е КпХп, В е Е.пХт,

В0 Е Мпх,п - постоянные матрицы, дг б Ш71, гг е Ип, £ Е™ - постоянные векторы.

Предположим, что для всех t ^ 0 график каждой функции £г = </?г(<хг, I) (где I рассматривается как параметр, а а - как аргумент функции) расположен в двуполостном секторе между прямыми = ¡11г стг и £г = ¡и2г (Уг (рисунок 2.1), где /Лгг < /Л'2г - некоторые вещественные числа. Таким образом, выполняется неравенство

/л]га^ < <тг& ^ //2,0"?, г = 1,..., ./V. (2.2)

Предположим, что нелинейная функция £о(0 = ^о(СГо(0' 0 ограничена для всех £ > 0:

Рисунок 2.1: Секторная нелинейность

Замечание 2.1. Приведем несколько примеров секторных нелинейностей, удовлетворяющих (2.2):

• £ = 5гп(сг) (см. раздел 3.1): ~ —0.2173, = 1 (Ьи. Рмс. 2.2),

Рисунок 2.2: £ = 5гп(<т)

• £ = зт{а2): « -0.855, р2 ~ 0.855 (Ьи. Рис. 2.3),

• насыщение, реле с зоной нечувствительности, квантование, кусочно-линейная функция и др. (см. [49]).

Пусть заданы последовательность моментов времени 0 = £о < ¿1 < ■ ■ ■ < ^ < • • • и кусочно-постоянная функция управления

-',=<1п I2

!—с*,» ---Cly

Рисунок 2.3: £ = sin(a2)

где lim tk — оо.

fc—»oo

Предположим, что для некоторого Л. G IR (/г > 0) выполнены неравенства:

¿fc+i — tk ^ h 0, и рассмотрим закон управления в виде обратной связи

u(t) = Kx(tk), (2.3)

где К G Rmxn. Закон (2.3) перепишем в виде

и(£) = Ä-ar(i - r(t)), (2.4)

где т(£) = t - tk, tk < t < tk+i-

Таким образом требуется исследовать влияние величины верхней границы шага дискретизации h на устойчивость замкнутой системы:

N

x(t) = Ax(t) + (В + B0ÇQ(t)) Kx(t - r(t)) + <ЬШ,

i=1

ao(t) = r%'x(t), Êo(f) = <A)Oo (t),t), (2.5)

<Ji{t) = rjx{t), Çi{t) = <Pi{<Ti{t),t), г = 1,..., N, r(t) = t-tk, te[tk,tk+1).

2.2 Основные результаты

Пространство абсолютно непрерывных на [—h,0) функций / : [—/г, 0] —>• 1R" с интегрируемым квадратом первой производной обозначим через W.

Введем в W норму: ||/||w = max \f{9)\ +

öe[-/i,o]

f \№\2ds -h

s /

Функцию x(t) на интервале [—h, 0) доопределим не умаляя общности нулем, т.е. x(t) = 0 при t е [—h, 0). Через функцию Xt(6) : [—h, 0] —>■ IRn обозначим сужение функции x{t) на промежуток [t — h, t]:

xt(9)=x(t + 6).

Определение 2.1. Нулевое решение системы (2.5) будем называть экспоненциально устойчивым в целом с показателем затухания а, если существует ß > 1 такое, что для решения x(t) системы (2.5) с начальным условием xtQ выполнено неравенство

\x(t)\2 < ße~2a^ \\xtofw Vi^io-

Далее под экспоненциальной устойчивостью в целом с показателем затухания а системы (2.5) будем понимать устойчивость ее нулевого решения в смысле определения 2.1.

Доказательство основного результата основано на предварительной лемме 2.1, доказательство которой приведено в [42].

Лемма 2.1. Пусть существуют положительные числа ß\,ß2 и функционал V : ¡R х W х Ь2[—/г,0] —> R такой, что

ßi \ФШ2 < V(t, ф, ф) ^ ß2 U\\2W \/ф Е W. (2.6)

Пусть x(t)удовлетворяет (2.5) и функция V(t) — V(t, xt. xt) непрерывна справа not, абсолютно непрерывна для всех t ф tk и удовлетворяет условию

lim V(t) > V(tk). (2.7)

Если для заданного а > 0 неравенство

V{t) +2aV(t) < 0 (2.8)

выполнено для почти всех t, то система (2.5) экспоненциально устойчива в целом с показателем затухания а.

2.2.1 Случай стандартного функционала Ляпунова-Красовского

Введем обозначения:

B(t) = В + ВоШ, =В + В0р0, В+ = В + BQift-Пусть Р, Q - симметричные положительно определенные матрицы размера п х п, Р2, Рз -

г _ 1 N г +1ЛГ г _ ЛГ г + ■» JV

некоторые произвольные матрицы размера п х п и ¿/¿=i' l^i ¿Ji=i» l^i ¿/¿=i ~

положительные вещественные числа.

Рассмотрим следующие матрицы:

Ф

^50 =

51 *

Ф^22|г(г)=0 *

* *

ФР12

Ф^22|г(4)=0 *

Ф

-(1) 52

Ф

(1)

Ф

К23

-(1) вз

Ф Ф

(ло

52

(Ю

Ф

Г23

О

-(ЛО 53

Ф

Ф

+ (1) 52

(1) .Р23

Ф

+ (1) 53

Ф

54 *

* *

Ф^22| г(0=й

Ф

ф

52 (Ю

ф

Р23

О

,+ (Ю 5,4

ф;5'

-(1)

ф

О)

^23

ф ф

-(IV) 55

(Ю

Р23

-¡гР^В-К

Нз1 II * * * * 0 0

* * 0 • 56 0

* * 0 0

<^12 Фй4 • • Фй^

* ФК22| т(£)=/г Фйз • • Ф!й -¡гРЦВ+К

* * * * 56 0 0

* * 0 0

* * 0 0 -/г<2е-2оА

где "*" обозначает симметричный блок симметричной матрицы, а

Фгп(г) = Р?(А + B(t)K) + (А + B(t)K)TP2 + 2 аР, фР12(1) - Р ~ + (А + B(t)K)TPz,

Ф?13 = Р?Чг, Ф(&з = РзЯг, г = 1,..., N, фF22(t) = ~Рз -PÏ + (h - r(t))Q,

= $ill(i)lß(0=ß-> ФГ11 = $Fu(t)\B(t)=B~, ®F12 = Ф F12(t)\B(t)=B-, ®F12 = Фл2(*)|в(0=^>

N N

1=1 г=1

г'

ФЙг) = Р1ъ + + Ф+3(г) =

N N

®S4 = ~ Y1 НТг^г^2гГгГ1\ Ф^4 - Ф£и ~ ^ xf грир2гГгГ^

г=1 г=1

ФЗ^ = PÎ Яг + + МгУг, Ф^ =

1 г'

ФЙг) = Pi Яг + \*tx{!*U + tbfo, Ф^(г) =

Теорема 2.1. Пусть для заданного а > 0 существуют матрицы Р € (р > 0), Q G

J?"Xn (Q > 0), Р2 G jRnxn, Рз € RnXn, a также положительные вещественные числа

w такие, что следующие линейные матричные неравенства:

Ф50- < 0, Ф5о+ < 0, Фsi- < 0, Фб-1+ < 0

выполнены. Тогда система (2.5) экспоненциально устойчива в целом со скоростью затухания а.

Доказательство. Рассмотрим на пространстве R х W х L2[—h, 0] следующий функционал:

о

Vo(t,xuxt) = xt(0)TPxt(0) + {h-r(t)) J e2asxf(s)Qxt(s)ds. (2.9)

-т(0

Для доказательства теоремы 2.1 будем проверять условия леммы 2.1.

Покажем, что условие (2.6) выполнено. Так как второе слагаемое в (2.9) неотрицательно, то для проверки первого неравенства в (2.G) найдем положительный параметр ß1 такой, что

ß\ |^t(0)|2 ^ xt(0)T Pxt(0). (2.10)

Поскольку Р > 0, то все собственные значения Р положительны и, следовательно, для выполнения (2.10) достаточно выбрать /Зь равным минимальному собственному значению Р.

Аналогично (2.1.0) верно неравенство

. 6e[-h,o]

где 7j - максимальное собственное значение Р.

Принимая во внимание, что m ах e2as = 1, оценим второе слагаемое в (2.9):

se[-/i,o]

о о

(Л-г(*)) J e2as if (s) Q xt(s)ds ^ h J e2'*sxf(s)Qxt(s)ds ^

-r(0 -r(t)

< h J xj(s) Qxt{s)ds ^j2h j |±t(s)|2ds,

-t(t) -r(0

где 72 - максимальное собственное значение Q. Так как матрица Q - положительно определенная, то 72 > 0. Таким образом,

V0(t,xt,xt) < 7i ( max |®t(0)| ) / |¿í0)|2ds ^ /32 INIíb

\0е[-Л,О1 J J

-r(i)

где ß2 — max(7i,72 /i)- Следовательно, условие (2.6) выполнено.

Рассмотрим функцию Vo(t), значениями которой в каждый момент времени t будут значения функционала V0(t, xt,xt), т.е.

VQ(t)=x{t)TPx{t) + VQ(t,x(t)),

где

о

VQ{t,x{t)) = (h-T{t)) J e2asxT(i + s)Qx(t + s)ds.

-r(í)

Заметим, что Vq ^ 0 и lim Vq(í,¿(í)) = Vg(ífc, ¿(í^)) = 0 , так как r(¿)|t=tfc = 0. Поэтому Vo(t) непрерывна справа и условие (2.7) выполнено.

Принимая во внимание, что -у-ж(£ — t(¿)) = (1 — f(t))x(t — r(t)) — 0, оценим выражение

CiL

?o{t) + 2aV0{t) ^ 2xT{t)Px{t) + 2axT(t)Px(t) +

о

+ (h - r{t))xT(t)Qx(t) - e'2oh J xT(t + s)Qx{t + s)ds. (2.11)

-T (t)

Введем обозначение:

о

vi(t) = J + s)ds,

Г (t) 16

*

где под |т(<)=о будем понимать следующее: Ит = х(Ь).

т(£)—>0

Из неравенства Йенсена получаем оценку

и

(2.12)

Если х(¿) - решение (2.5), то верно равенство

0 = 2 [хт(г)р? + хт(г)рт] х Определим векторы г]}

N

(.А + В(1)К) х(£) - тфВЮКы + ьШ - *(*)

2=1

. (2.13)

= VI е К3п+лг и 771(*)

Добавим (2.13) в правую часть (2.11) и воспользуемся оценкой (2.12). В итоге получим

(2.14)

где

ФИ*)

Фр22^) Ф

* *

* *

Р13

(1) Р23

* * *

о

о о

о о

о о

Таким образом, для выполнения условия (2.8) достаточно потребовать, чтобы матица ФИО была отрицательно определенной для всех £ ^ 0. Рассмотрим следующие линейные матричные неравенства:

Фро =

Ф

рп * Фр

Ф

К12

ф(Х>

^22|т(<)=0 Ф^23

* *

* *

*Р12

о

ф

(1) ^13

* Фг22]т(4)=0 Фр23

*

* * *

о

Ф

ф

(Л0

Р13 (ЛГ) F23

0

<0,

(2.15)

Ф Ф

(ло

Р13

(ЛГ) К 23

0

<0,

(2.16)

Фрг =

ф;

Пг =

* * * * *

Определим вектор г)0 = [ж, х, Çi, Фp(t) < 0 для всех t > О, так как

h-r(t) vtf-узо(t)

F11 *

* *

Ф£и

Фр12

&F22\r(t)=h *

* * *

ф^) F13

Ф

.(1) F23

О

Ф^2

Ф

F22\t[Í)—H *

*

О

о

-F13

>(D

■ F23

О

о о

ФЙ?з -hPfB-K

ФЙ

О

о

—hQe

-2ah

<0,

(2.17)

ФЙ?з —hPjB+К

О О

—hQe

—2ah

< 0.

(2.18)

h

Vo ^fo Vo +

+

Vo - Vo

rVri-Vot&fi^ m +

,ÇN]T. Тогда из (2.15), (2.1G), (2.17) и (2.18) следует, что

h - r(¿) y0(¿) - T +

--% % +

h Vo -

VoCO - T

r/f Ф+! 77! - r/f Ф^) щ < O V771 ф 0.

7 -i- — '/i - Jf l '/i ' 7 + -

h Vo ~ Vo ^ Vo ~Vo

Определим следующие квадратичные формы:

FoiVa) = Vo Фко По, = ^ По,

Ы = нГ Vi, F+(Vi) = н'Г Пь

Таким образом, если выполнены неравенства:

РоЫ < О Ví?0 ф О, F0+(t70) < О Vt7o ф О, Ff Ы < 0 Ущф О, F+Ы < 0 Щгф О, то условие (2.8) леммы 2.1 выполнено. Введем квадратичные формы:

Со}Ы = te - irjx){ii2irjx - ¿i) Gi\vi) = fó - nurjx)(n2irjx - &) Из (2.2) следует, что следующие неравенства выполнены вдоль траекторий системы (2.5):

Gffa») 0, О, ¿ = 1,...,JV.

(2.19)

(2.20)

i — 1,..., N, i = 1,..., N.

Поэтому можно потребовать выполнения первого неравенства (2 20) только на множестве ^ 0 для всех г = 1,..,, Лг, т.е.

Р0-(т7о) < 0 при в^Ы >0 Уг = 1,..., ЛГ, Мщ ф 0. (2.21)

Аналогичным образом:

#(770) < 0 при С^о) >0 Уг = 1,..., ЛГ, У% ф 0, (2.22)

Р1-(т?1) < 0 при >0 Уг - 1,..., ЛГ, Ут/Х ф 0, (2.23)

Р+Ы < 0 при > 0 Уг = 1,..., ЛГ, V??! Ф 0. (2.24)

Преобразуем (2.21), (2.22), (2.23) и (2.24) с помощью Б-процедуры. Рассмотрим следующие формы:

N N

1=1 1=1

Л^ дг

ягы = ы + ХХ.^ы, ^гы = + Ет.^ы

г=1 г=1

и потребуем, чтобы они были отрицательно определенными для некоторых неотрицательных наборов {хь,}^, {^Гг}^! и {^1+г}г=1 соответственно:

> °}г=1 : ЯоШ <0Улоф о, (2.25) 3К > 0}^ : 50+Ы < 0 Ущф 0, (2.26)

> 0}^ : 5ГЫ < 0 Ут?1 ^ 0, (2.27)

> °}г=1 : < 0 Уг?1 ^ 0. (2.28) Таким образом, условие (2.2Г>) достаточно для выполнения (2.21) (в случае N — 1 по теореме о неущербности Б-процедуры эти условия экивалентны). Аналогично условие (2.26) достаточно для выполнения (2 22), условие (2.27) достаточно для выполнения (2.23), и условие (2.28) достаточно для выполнения (2.24). Следовательно, если условия (2.2-5)-(2.28) выполнены, то и условие (2.8) выполнено. Принимая во внимание (2.14) и (2.19), получаем следующие неравенства:

Ы ^ ?1о Ф50 Чи (г/о) «С ф+ г/о, 5Т Ы) ^ Ф^ 77!, st ы) < Пх Щ.

Следовательно, если

Ф50- < 0, Фяо+ < 0, Фя1- < 0, Ф51+ < 0,

то (2.8) выполнено.

Теорема 2.1 доказана. □

2.2.2 Случай расширенного функционала Ляпунова-Красовского

Далее рассмотрим более сложный случай, позволяющий добиться более точных результатов за счет использования "расширенного" функционала, предложенного Э.М. Фридман [42].

Пусть X € П1пХ7\ б К"Х7\ Уг в Ипхп, У2 £ У3(г) £ Кпхп (г = 1,..., Ю и Я е И"хп

- некоторые матрицы.

Рассмотрим следующие матрицы:

е =

- кХ

-НХх - кХТ + кЩ^-

Ф

я о

Ф

Я1|г(0=0 *

* * * *

ф+

Я1|т(4)=0

* * * *

ФЯ1 =

Ф12|г(1)=0 Ф22|г(1)=0

* *

Ф12|т(«)=0

Ф22|т(4)=0 *

*

Ф

Я4|г(0=/1 *

* * *

Ф12|т(4)=/г

Ф22|т(<)=/1

Ф13|т(()=0 Ф23|т(4)=0

Фзз|т(0=о *

*

^13|т(г)=о Ф+, , ч

ф

ф

-(1)

ф ф ф

Я2

(1) 24

(1) 34

-(1) яз

ф

+ (1)

Я2

33|т(1)=0

Ф Ф

Ф

(1) 24

(1) 34

+ (1) ЯЗ

ф

Я 2

(М) 24

(А') 34

О

ф

ф

-(/V)

яз

Я2

Ф

№

24

Ф

(Ю

ф

34

О

+ (Ю яз

* * * * *

Ф

(1)

ЯЕ

Ф

Ф23|т(4)=?>

ФЗЗ|Г(4)=Л Ф34 (1)

(О

24

* * *

Ф

Я6

О *

Ф

(Ю

ф ф

Я 5 (/V) 24

(М) 34

О

кят

ф

-(Л?) Я6

-2а/г

где

фЯ4|т(«)=л ф12к(г)=

* * * *

ф,

* * *

ф+ 13|г(<)=/г ф+(1) Я5 • ' 4 Я 5

ф+ ф^) ^24

ФзЗ|г(4)=/г фй • 1 34

* • 0

* * *

о

*

Х + Хт

фа(г) = Атр2 + Р%А + 2аР — У\ — У? - (1 - 2а(к - т(г)))

X 4- Хт

Ф12(*) = р - рт + АТР3 ~У2 + (А -

ф13(*) = У? + р?в{г)к - я + (1 - 2ф - т(г))){х - хг),

ф2з(0 = У2Г + тк -{к- т(Ь))(Х - XО,

Фзз(£) = Д + - (1 - 2а(Л - т(£)))

X + Хт - 2Хг - 2Х?

ф(0 _ р-1 _ у\г) ^14 — г2 41 *3 1

Ф

24

2

рт ф(0 _ уЬ)

7 3 111 и34 — 13 Ч'.

ФГз(^) = У? + Р?В-К - Я + (1 - 2а(А - т(€)))(Х - Хг),

= У? + Р1в+К - Я + (1 - 2а(Н - т(ШХ - Ха), Ф2"з(^) = У{ + Р1В-К - (л - т(г))(х - Хх), Ф&(*) - У2Т + Р[В+К -{к- т{1)){Х - хх\

N

N

Фя1^) = Фп(^) - Х0 г/^г/адг^, Ф+п (*) = Фа(£) - ]Г

'О гМ1г^2гГгГг ,

г=1

г=1

ФЯ? = ФЙ + + ф£« = Ф« + + р2г)тг

Фя? = -*о

ф

+(0

Я 3

¿V

-х-,

О г'

ДГ

Фя4 = Фп(^)-^Х0

Ци№гггг,

г, ФЯ4 = Фп (0 - X)

гГгг1\

г=1

1=1

Фя^^Ф Ы + ^ТМг + МгУг Фя? =

Ф

г>

Фяб} = -<> г = 1,..., N.

Теорема 2.2. Пусть для заданного а > 0 существуют матрицы Р 6 Щпхп (р > 0), <5 £

> о), р2 е кпхп, Рз е мпхп, X е мпхп, хх е шпхп, Я е мпхп, Ух е мпхп, У2 е впхп

и У^ £ д{пхп (г=15. ..,№), а также положительные вещественные числа {^о^}^,

{хг и такие, что следующие линейные матричные неравенства:

0 > О, Фяо < О, Ф£0 < О, Фя! < О, Ф+! < О

выполнены. Тогда система (2.5) экспоненциально устойчива в целом со скоростью затухания а.

Доказательство. Рассмотрим дискретизацию с постоянным шагом — = /г, к = 0,1,... Введем расширенный функционал

У&хихг) = У0Ц,хьхг) + У1(г,х1), (2.29)

где

Vl(t,xt) = {h-r(t)) С7

х + х

2

*

г

-х1-хТ +

Х + Хх

х + хт

С,

иС = Ы0),^_г(0(0)]т.

Для выполнения (2.6) потребуем

Действительно,

XtiQfPxtity + V^Xt) =

0 > 0.

(2.30)

}l r{t) СТ©С + ^ Ст©|л=оС ^ А Ы0)|2, (2.31)

h

h

где /?1 = т1п(^1, ?у2)> а ^ и - минимальные собственные значения Р и © соответственно. Как и ранее, рассмотрим функцию

V(t) = V(t,xt,x().

(2.32)

V(t) непрерывна справа по t, и условие (2.7) выполнено, так как Vq(L) непрерывна справа, и lim Vi(t,xt) = Vi(tk,xtk) — lim Vi(t,xt) = 0 (поскольку r(t) = h при t -> ¿¡7, а т(£) = 0 при t —ijj", а следовательно, z(i) = a;(t — r(i))). Оценим выражение

F(t) + 2aV(t) < 2xT(i)P±(i) + 2aia;r(t)Pa;(i) + (h - r(t))xT(t)Qx(t)

~ X + XT

— e

—2ah

xT(t + s)Qx(t + s)ds - СT(t)

r(i)

2

*

-X! - Xf +

X + X!

C(0

+ {h- r(t)) (xT(t)(X + XT)x(t) + 2±T(t)(-X + XMt - r(i))) + 2aVi(t, x(i)). (2.33)

Если x(t) - решение (2.5), то верны равенства: 0 = 2 [-ar(i) + x(t - r(t)) + t(î)vi] x

Г \t)Y? + xT(t)Y2T + xT(t - r(t))TT + £ bqjY

x

N

X

,TVWT 3

i=i

0 = 2 [xT{t)P* + ±T{t)lf\

N

Ax(t) + B(t)Kx(t - r(t)) + qMt) - xit)

1=1

правые части которых добавим в правую часть (2.33) и, используя неравенство Йенсена, получим, что

V(t) + 2aV(t) ^ T]T{t)4!(t) V(t), (2.34)

где r}(t) = [x(i); x(ty,x(t - r(t)); &(t);... ; ^(£)]Г , rj E JR'

An+N

4t) =

* * * *

* *

■ r(t)Y?

r(t)Y?

фМ 34 ■ r(t)TT

0 . . 0 r(t)gTY3W

*

(2.35)

0 ... 0 тЮЯУ™

* * * -т(^де~2а1г

С _ ч

Аналогично предыдущему случаю воспользуемся Б-процедурой (с параметрами {х01}г=1, {-^Гг}^! и {Х1 г}^) и, рассматривая четыре предельных случая, вместо (2.35) перейдем к следующим линейным матричным неравенствам:

Фяо < 0,

Чо < о,

*Я1 < 0»

Ф+! < 0.

(2.36)

(2.37)

(2.38)

(2.39)

Далее воспользуемся вспомогательной леммой, доказательство которой приведено в [42].

Лемма 2.2. Линейные матричные неравенства (2.30), (2.36) - (2.39) выпуклы по Н: если они разрешимы для Н, то они разрешимы для всех Н £ (0, /¿].

Таким образом, теорема 2 доказана в случае постоянного шага дискретизации: — ^ /г. Обобщим полученный результат на случай переменного шага дискретизации: — = ¡г^ ^ /г, к = 0,1,...

Рассмотрим функционал Ляпунова-Красовского

t

{t, Xt,xt) = Vvar(t) = xT{t)Px{t) + (tk+1 -t) J e2a(s_t) xT{s) Q x(s)ds +

y

v var

+ (tk+l - t) ÇT(t)

tk

-x + x,

W), ieMfc+i), (2.40)

где C(£) = [x(t)', x(tk)]T. Заметим, что в (2.40) второе и третье слагаемые равны нулю при t tk и t —> tk. Следовательно, Vvar непрерывен, так как lim Vvar(t) = Vvar(tk). Применяя к Vvar(t)

t—>rtk

рассуждения, аналогичные предыдущим, и используя лемму 2.2 получаем заключение теоремы 2. □

Замечание 2.2. Полученные результаты могут быть применены к случаю наличия запаздывания в дискретных измерениях. Пусть для некоторого fa G Ш. (fa > 0) выполнено

tk+1-tk^hu Vfc^O.

Рассмотрим закон обратной связи

u{t) = Kx{tk-Tk), tk^t<tk+1, (2.41)

где К G JR"lXn - матрица усилений, тк - постоянное на каждом интервале tk ^ t < tk+\ запаздывание такое, что

0 ^ тк ^ h2, Ук > 0. Закон (2.41) можно переписать следующим образом:

u(t) = Kx(t - т(£)),

где r(£) = t-tk + rk, tk < i < tk+1, 0 < r(t) ^ fa + h2.

В итоге получаем, что данный случай можно свести к предыдущему, положив h = fa + h2.

2.3 Анализ робастной устойчивости

Рассмотрим нелинейную систему с неопределенностями:

ki

i(t) = (А + A A) x(t) + ]Г(й + Agi) Ш + (В + ДВ|о(0) u(t),

(2.42)

ху

2=1

voit) = f^x(t), io(t) = £0(5o(i), t),

= 7~ïx(t), £i(t) = ¿Piwitt),t), i = l,...,ku

где х(г) Е К" - вектор состояния, и{Ь) Е - вектор управлений, А Е Л"х,\ В € КпХт -постоянные известные матрицы, дг Е Ш", г, е Ш™, г0 € - постоянные известные векторы.

Предположим, что £г(£) = ф^дг(1)А) нелинейные функции, удовлетворяющие для всех ^ ^ О секторному условию:

^ ^ г = 1,...,А;1, (2.43)

где /2~ ^ Дг+ - некоторые вещественные числа. Пусть как и прежде скалярная нелинейная функция £оС0 = ограничена для всех Ь ^ О

Фо < Ш (2-44)

где ^о ^ ^о" - некоторые вещественные числа.

Предположим, что неопределенности ЛЛ, Дг/г, АВ имеют следующую структуру:

к2

ДА = 53qi

1=1

Ддг = 53^ г = ^ --J^b

J=1

(2.45)

AB = В0 b,

где qi Е lRn, fi E lRn(Z = 1,...,£ ®-n, (г = 1,..., , j = 1,... ,k3) - известные постоянные векторы, BQ Е JRnxm - известная постоянная матрица, и ог, atJ, Ъ - неизвестные вещественные числа, удовлетворяющие следующим неравенствам:

О < а," < at ^ af,

О < а~ ^ av < о+ (2.46)

О < ¿Г О

где aj, af, а~, а+, b~, b+ (I = 1,..., к2, г = 1,... ,кг, j — 1,..., к3) - известные положительные вещественные числа (случай, когда они могут быть отрицательными, также может быть сведен к текущему).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сейфуллаев, Руслан Эльманович, 2015 год

Литература

1. Айзерман, М. А. Абсолютная устойчивость регулируемых систем / М. А. Айзерман, Ф. Р. Гантмахер. - М.: Изд-во АН СССР, 1963.

2. Ананьевский, М. С. Синхронизация двух маятников на тележке по каналу связи, проходящему через интернет / М. С. Ананьевский, И. Ю. Широколобов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2013. — № 1 (3). — С. 272-277.

3. Андриевский, Б. Р. Управление нелинейными колебаниями механических систем методом скоростного градиента / Б. Р. Андриевский, П. 10. Гузенко, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 1996. — № 4. — С. 4-17.

4. Андриевский, Б. Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков. - СПб.: Наука, 2000. - С. 475.

5. Баркин, А. И. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления / А. И. Баркин, А. Л. Зеленцовский, П. В. Пакшин. — М.: Изд. МАИ, 1992.

- С. 304.

6. Гантмахер, Ф. Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем / Ф. Р. Гантмахер, В. А. Якубович. — В кн.: Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Наука, 1965.

7. Гелиг, А. X. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия / А. X. Гелиг, Г. А. Леонов, В. А. Якубович. - М.: Наука, 1978. - С. 400.

8. Гелиг, А. X. Инвариантная стабилизация некоторых классов неопределенных систем с запаздывающим аргументом / А. X. Гелиг, И. Е. Зубер // Автоматика и телемеханика. — 2011.

- № 9. - С. 161-172.

9. Квакернаак, X. Линейные оптимальные системы управления / X. Квакернаак, Р. Сиван. — М.: Мир, 1977.

10. Красовский, H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. — М.: ГИФМЛ, 1959. С. 211.

11. Летов, А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем / А. М. Летов. — М.: Гостех-издат, 1955 (второе издание, 1962).

12. Лефшец, С. Устойчивость нелинейных систем автоматического регулирования / С. Лефшец. - М.: Мир, 1967.

13. Лурье, А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования /

A. И. Лурье. — М.: Гостехиздат, 1951.

14. Михеев, Ю. В. Асимптотический анализ цифровых систем управления / Ю. В. Михеев,

B. А. Соболев, Э. М. Фридман // Автоматика и телемеханика. — 1988. — № 9. — С. 83-88.

15. Мышкис, А. Д. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом / А. Д. Мыш-кис. — Математическая энциклопедия. Т. 2. М.: Советская энциклопедия, 1979. С. 294.

16. Натансон, И. П. Теория функции вещественной переменной / И. П. Натансон. — М.: Наука, 1974. - С. 480.

17. Сейфуллаев, Р. Э. Управление нелинейным осциллятором методом скоростного градиента / Р. Э. Сейфуллаев // Материалы XII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением». — 2010. — С. 220-226.

18. Сейфуллаев, Р. Э. Учебно-лабораторный комплекс для исследования систем управления нелинейными колебаниями / Р. Э. Сейфуллаев, А. С. Пятыгин // Тезисы II Междунар. науч.-практ. конф. «Научно-техническое творчество молодежи - путь к обществу, основанному на знаниях». — 2010. — С. 238-239.

19. Сейфуллаев, Р. Э. Управление колебательными системами методом скоростного градиента с реализацией на базе LEGO Mindstorms NXT / Р. Э. Сейфуллаев // Материалы 7-ой научно-технической конференции «Мехатроника, автоматизация, управление». — 2010. — С. 349352.

20. Сейфуллаев, Р. Э. Исследование устойчивости гибридных нелинейных систем с помощью S-процедуры и линейных матричных неравенств / Р. Э. Сейфуллаев // Материалы 5-ой Российской мультиконференции по проблемам управления. Управление в технических, эр-гатических, организационных и сетевых системах - УТЭОС-2012 . — 2012. — С. 223-226.

21. Сейфуллаев, Р. Э. Анализ дискретно-непрерывных нелинейных многосвязных систем на основе линейных матричных неравенств / Р. Э. Сейфуллаев, A. JI. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 2015. — № 6. — С. 57-74.

22. Сейфуллаев, Р. Э. Управление энергией маятника с помощью обратной связи с квантованием / Р. Э. Сейфуллаев // XVII конференция молодых ученых «Навигация и управление движением». — 17-20 марта 2015, Санкт-Петербург. (www.elektropribor.spb.ru/kmu2015/refs?papei=tsul26).

23. Усик, Е. В. Синхронизация нелинейных систем Лурье на основе пассификации и бэкстеп-пинга / Е. В. Усик // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 8. — С. 35-48

24. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. — М., Наука, 1985.

25. Фрадков, А. Л. Схема скоростного градиента и его применения в задачах адаптивного управления / А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 9. — С. 90101

26. Фрадков, А. Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры / А. Л. Фрадков. — СПб.: Наука, 2003. - С. 208

27. Фридман, Э. М. Использование моделей с последействием в задаче синтеза оптимальных цифровых систем управления / Э. М. Фридман // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 10. - С. 55-60

28. Чурилов, А. Н. Исследование линейных матричных неравенств. Путеводитель по программным пакетам / А. Н. Чурилов, А. В. Гессен. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. - С. 148

29. Якубович, В. А. S-процедура в нелинейной теории регулирования / В. А. Якубович // Вестник ЛГУ, сер. физ., матем., астр. — 1971. — № 1.

30. Accuracy of Fridman's Estimates for Sampling Interval: A Nonlinear System Case Study / E. Usik, R. Seifiillaev, A. Fradkov, T. Bryntseva // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). - 2014. - World Congress, Vol. 19, Part 1. - P. 11165-11170.

31. Adaptive motion control of nonholonomic vehicle / S. V. Gusev, I. E. Paromtchik , I. A. Makarov, V. A. Yakubovich // Proceedings of IEEE Int. Conf. Robot. Automat.. - 1998. - P. 32853290.

32. Angelí, D. Almost global stabilization of the inverted pendulum via continuous state feedback /

D. Angeli // Automatica. - 2001. - Vol. 37. - P. 1103-1108.

33. Ástróm, K. J. Controlled Systems-Theory and Design / K. J. Ástróm, B. W. Wittenmark — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1984.

34. Ástróm, K. J. Swinging up a pendulum by energy control / K. J. Ástróm, K. Furuta // Automatica.

- 2000. - Vol. 36. - P. 287-295.

35. Curry, R. E. Estimation and Control with Quantized Measurements / R. E. Curry — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1984.

36. Delchamps, D. F. Stabilizing a linear system with quantized state feedback / D. F. Delchamps // IEEE Trans. Automat. Control. - 1990. - Vol. 35. - P. 916-924.

37. Duan, S. Stability criteria for uncertain piecewise affine time-delay systems / S. Duan, J. Ni, A. G. Ulsoy // Proceedings of American Control Conference. — 2012. — P. 5460-5465.

38. Energy Control of One-Degree-of-Freedom Oscillators in Presence of Bounded Force Disturbances / I. G. Polushin, A. L. Fradkov, V. V. Putov, K. A. Rogov // Proceedings of the European Control Conference ECC'99. - 1999.

39. Fradkov, A. L. Swinging control of nonlinear oscillations / A. L. Fradkov // Intern. J. Control.

- 1996. - Vol. 64. - P. 1189-1202.

40. Fridman, E. New Lyapunov-Krasovskii Functionals for Stability of Linear Retarded and Neutral Type Systems / E. Fridman // Systems & Control Letters. — 2001. — Vol. 43, no. 4. — P. 309-319.

41. Fridman, E. Robust Sampled-Data Stabilization of Linear Systems: an Input Delay Approach /

E. Fridman, A. Seuret, J. P. Richard // Automatica. - 2004. - Vol. 40, no. 8. - P. 1441-1446.

42. Fridman, E. A Refined Input Delay Approach to Sampled-Data Control / E. Fridman // Automatica. - 2010. - Vol. 46, no. 2. - P. 421-427.

43. Fridman, E. Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control / E. Fridman — Birkhauser, 2014. - P. 362.

44. Gu, K. Stability of Time-Delay Systems / K. Gu, V. L. Kharitonov, J. Chen. — Boston: Birkhauser, 2003. - P. 354.

45. I-Ietel, L. Robust Sampled-Data Control of Switched AfFine Systems / L. Hetel, E. Fridman // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2013. - Vol. 58, no. 11. - P. 2922-2928.

46. Isermann, R. Digital Control Systems / R. Isermann — Berlin, Springer-Verlag, 1981.

47. Jury, E. I. Sampled-data control systems / E. I. Jury — New-York: John Wiley, 1958.

48. Kalman, R. E. Nonlinear aspects of sampled-data control systems / R. E. Kalman // Proceedings of the Symposium on Nonlinear Circuit Theory. — 1956. — P. 273-313.

49. Khalil, H. K. Nonlinear Systems / H. K. Khalil - Prentice Hall PTR, 2002.

50. Kharitonov, V. L. Lyapunov-Krasovskii Approach to the Robust Stability Analysis of Time-Delay Systems / V. L. Kharitonov, A. P. Zhabko // Automatica. - 2003. - Vol. 39, no. 1. -P. 15-20.

51. Kulkarni, V. Piecewise quadratic Lyapunov functions for piecewise affine time-delay systems / V. Kulkarni, M. Jun, J. P. Hespanha // Proceedings of American Control Conference. — 2004.

- P. 3885-3889.

52. Latombe, J. C. Robot Motion Planning / J. C. Latombe — Kluwer Academic Publishers, Boston, 1991.

53. LEGO Mindstorms NXT Robots and Oscillators in Control Education / S. A. Filippov, A. L. Fradkov, I. V. Ashikhmina, R. E. Seifullaev // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). - 2010. - Periodic Control Systems, Vol. 4, Part 1. - P. 156-160.

54. Liberzon, D. Hybrid feedback stabilization of systems with quantized signals / D. Liberzon // Automatica. - 2003. - Vol. 39. - P. 1543-1554.

55. Liu, K. Network-based Control via a Novel Analysis of Hybrid Systems with Time-varying Delays / K. Liu, E. Fridman, L. Hetel // Proceedings of the 51st IEEE Annual Conference on Decision and Control (CDC). - 2012. - P. 3886-3891.

56. Lofberg, J. YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB / J. Lofberg // Proceedings of IEEE International Symposium on Computer Aided Control Systems Design. — 2004. - P. 284-289.

57. Miller, R. K. Quantization and overflow effects in digital implementations of linear dynamic controllers / R. K. Miller, M. S. Mousa, A. N. Michel // IEEE Trans. Automat. Control. - 1988.

- Vol. 33. - P. 698-704.

58. Moarref, M. Asymptotic stability of sampled-data piecewise afFine slab systems / M. Moarref, L. Rodrigues // Automática. - 2012. - Vol. 48. - P. 2874-2881.

59. Moezzi, K. Stability of uncertain piecewise affine systems with time delay: delay-dependent Lyapunov approach / K. Moezzi, L. Rodrigues, A. G. Aghdam // International Journal of Control.

- 2009. - Vol. 82, no. 8. - P. 1423-1434.

60. Rantzer, A. Smooth blending of nonlinear controllers using density functions / A. Rantzer, F. Ceragioli // Proceedings of the European Control Conference. — 2001. — P. 2851-2853.

61. Samadi, B. Stability of sampled-data piecewise affine systems: A time-delay approach / B. Samadi,L. Rodrigues // Automática. - 2009. - Vol. 45. - P. 1995-2001.

62. Seifullaev, R. E. Energy Based Control of Cart-Pendulum System / R. E. Seifullaev // Preprints of 14th International Student Olympiad on Automatic Control. — 2011. — P. 50-54.

63. Seifullaev, R. E. Energy based and sampled-data control of the cart-pendulum system / R. E. Seifullaev // Conference Abstracts of International Student Conference "Science and Progress". — 2011. - P. 80.

64. Seifullaev, R. E. Speed Gradient Energy and Sampled-Data Control of Cart-Pendulum System / R. E. Seifullaev // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). — 2012. — Advances in Control Education, Vol. 9, Part 1. - P. 478-483.

65. Seifullaev, R. E. Sampled-Data Control of Nonlinear Oscillations Based on LMIs and Fridman's Method / R. E. Seifullaev, A. L. Fradkov // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline).

- 2013. - Periodic Control Systems, Vol. 5, Part 1. - P. 95-100.

66. Seifullaev, R. E. Robust nonlinear sampled-data system analysis based on Fridman's method and S-procedure / R. E. Seifullaev, A. L. Fradkov // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — Published online in Wiley Online Library (wileyonlinelibrary.com): 28 JAN 2015.

- DOI: 10.1002/rnc.3304

67. Sharon, Y. Input-to-state stabilizing controller for systems with coarse quantization / Y. Sharon, D. Liberzon. // IEEE Trans. Automat. Control. - 2012. - No. 57. - P. 830-844.

68. Shiriaev, A. S. Stabilization of invariant sets for nonaffine nonlinear systems / A. S. Shiriaev, A. L. Fradkov. // Automatica. - 2000. - No. 36. - P. 1709-1715.

69. Shiriaev, A. S. Stabilization of invariant sets for nonlinear systems with application to control of oscillations / A. S. Shiriaev, A. L. Fradkov. // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. — 2001. - No. 11. - P. 215-240.

70. Synchronization of Nonlinear Systems Over Intranet: Cart-pendulum Case Study / M. Ananyevskiy, R. Seifullaev, D. Nikitin, A. Fradkov // Proceedings of IEEE Conference on Control Applications. - 2014. - P. 1214-1219.

71. Teel, A. R. A nonlinear small gain theorem for the analysis of control systems with saturation / A. R. Teel. // IEEE Trans. Automat. Control. - 1996. - No. 41. - P. 1256-1270.

72. VSS-version of energy-based control for swinging up a pendulum / A. S. Shiriaev, O. Egeland, H. Ludvigsen, A. L. Fradkov. // Systems and Control Letters. - 2001. - No. 44. - P. 45-56.