Адаптивное управление сетевыми динамическими системами с возмущениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Григорьев, Григорий Константинович

• Григорьев, Григорий Константинович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Григорьев, Григорий Константинович

Содержание

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Теорема о конвективной устойчивости при неоднородных связях

1.2. Матричные неравенства

1.3. Стохастические дифференциальные уравнения

1.4. Пассивность и пассификации

1.5. Лемма Якубовича-Калмана

Глава 2. Децентрализованное адаптивное управление синхронизацией сетей динамических систем при ограниченных возмущениях

2.1. Постановка задачи управления сетями идентичных объектов

2.2. Синтез управления

2.3. Условия синхронизации

2.4. Постановка задачи управления сетями неидентичных объектов

2.5. Синтез управления

2.6. Условия достижения цели управления

2.7. Пример. Сеть цепей Чуа

Глава 3. Децентрализованное адаптивное управление сетями динамических систем с белошумной помехой

3.1. Постановка задачи управления сетями идентичных объектов

3.2. Синтез управления

3.3. Условия достижения цели управления

3.4. Постановка задачи синхронизации неидентичных систем

3.5. Синтез управления

3.6. Условия достижения цели управления

Заключение

Список иллюстраций

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивное управление сетевыми динамическими системами с возмущениями»

Введение

В последнее десятилетие наблюдается рост интереса к управлению сетями взаимосвязанных систем. Это вызвано не только относительной новизной темы, но и практической значимостью, поскольку множество физических объектов могут рассматриваться как взаимосвязанные системы. К ним можно отнести телекоммуникационные сети, молекулярные ансамбли, биологические объекты, пищевые цепочки, встраиваемые системы, коллективы роботов или транспортных средств, многоядерные процессоры. К задачам теории управления в сетях относятся следующие задачи: управление с целью синхронизации [1, 25, 40, 44, 55, 58], управление с ограничениями на информационный канал [31, 45], управление движением групп мобильных роботов (мультиа-гентные системы - Multiagent Systems) [20-22, 38, 39, 42, 43, 46, 47, 54] в том числе и предотвращения столкновений (Collision Avoidance) [24, 26, 50, 51] и т.д. Кроме того, в задачах кибернетики рассматриваются проблемы передачи шифрованных сообщений [8, 41] с помощью сетей, а также сенсорные сети. Разработка подобных систем связана со стремительным развитием информационных и коммуникационных технологий, включающих беспроводную связь, беспроводные сенсоры, многоядерные процессоры, процессорные сети и телекоммуникационные сети. Возрастает интерес к моделированию и управлению в биологических, биохимических и социальных сетях. Однако синтез регуляторов, обеспечивающих желаемое поведение объектов сети, затруднен сложностью и пространственной распределенностью этих объектов, а также ограничениями на обмен информацией между ними, что повышает интерес к построению алгоритмов децентрализованного управления.

Хотя задачи децентрализованного управления хорошо исследованы в работах Воронова, Миркина, Мюррея, а также в [15, 27, 49], постоянно возника-

ют все более сложные задачи, например, управление через канал с ограниченной пропускной способностью или управление через канал связи с наличием различных искажений. Новые задачи требуют одновременного рассмотрения аспектов теории управления, кодирования, информации и численных методов, а также некоторых областей физики (статистической механики). В большинстве существующих работ по адаптивному управлению на основе пасси-фикации, например, в [2, 7, 12-14, 28], рассматриваются лишь детерминированные системы. В то же время в практических задачах не всегда возможно задать точную математическую модель, и для учета погрешностей в уравнения объектов вводятся возмущения, которые зачастую носят случайный характер и оказывают существенное влияние на динамику системы. Решение некоторых задач адаптивного управления объектами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями, на основе пассификации изложено в книге [10]. Результаты [10] интерпретируются как решение задачи адаптивной стабилизации линейных объектов, в которых ограниченные возмущения типа белого шума действуют либо на параметры объекта, либо на его координаты. В работе [16] рассмотрена задача адаптивной стабилизации при наличии координатно-параметрических стохастических возмущений типа белого шума, а в работах [4, 5] рассмотрены задачи идентификации и адаптивного управления для объектов с различными ограниченными возмущениями, но только для одного объекта.

Несмотря на большой интерес к управлению сетями, пока решен только ограниченный класс задач управления и синхронизации. К примеру, в существующих работах по синхронизации и групповому управлению в основном рассматриваются линейные модели подсистем [45]. В работах [40, 55, 58] предполагается, что все состояния отдельной подсистемы доступны измерению, а также что управление входит во все уравнения подсистем.

Целью работы является синтез регуляторов по выходу, обеспечивающих сходимость в некоторую область решений динамических систем с возмущениями, образующих сети, при неполных измерениях и управлениях для различных случаев.

В работе рассмотрены задачи управления в сетях двух типов.

1. Управление синхронизацией в сетях взаимосвязанных динамических объектов в форме Лурье при наличии ограниченных возмущений.

2. Управление синхронизацией в сетях взаимосвязанных объектов со стохастическими возмущениями типа белого шума, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями.

В первом типе задач ограниченные возмущения считаются частью взаимосвязей между подсистемами, для достижения цели управления используется модель "ведущая-ведомые подсистемы" с неоднородными связями (leader-follower или master-slave). Во втором типе задач возмущения уже не считаются ограниченными, а принимаются белошумными с ограниченной интенсивностью. Для описания таких систем используются системы стохастических дифференциальных уравнений Ито. Задачи первого типа рассматриваются в главе 2, второго типа - в главе 3.

Диссертационная работа организована следующим образом: в первой главе приводятся вспомогательные результаты, необходимые для дальнейшего изложения: частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана), некоторые матричные неравенства, сведения из теории стохастических дифференциальных уравнений, а также предложенные A. JI. Фрадковым методы пассификации и скоростного градиента в задачах децентрализованного управления и в задачах управления объектами, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями; во второй и третьей главах изложены основные ре-

зультаты работы.

В главе 2 /диссертации рассматриваются идентичные объекты, описывающиеся уравнениями в форме Лурье (то есть системами дифференциальных уравнений первого порядка, правые части которых разбиты на линейную и нелинейную компоненты), при неполных наблюдениях и управлениях в различных случаях при наличии ограниченной помехи в уравнениях объектов. Синтез регуляторов производится с помощью метода скоростного градиента, предложенного в работах [7, 14, 15] и методов огрубления, предложенных в [27, 34]. Связи между объектами не предполагаются линейными, они могут быть нелинейными. В отличие от известных работ, например, [58], считается, что измерению доступна лишь некоторая функция состояния, а не все состояние отдельной подсистемы, а также, что управление входит не во все уравнения подсистем. Предполагается, что связи между объектами зависят от вектора неизвестных параметров. Кроме того, коэффициенты в уравнениях объектов сети в случае согласованности структур агентов со структурой лидирующей подсистемы также считаются зависящими от вектора неизвестных параметров. Выделяется ведущая (лидирующая) подсистема, являющаяся изолированной, т. е. не связанной с остальными. Функция управления ведущей подсистемы считается известной. Ставится задача нахождения функций управления взаимосвязанными подсистемами и условий, обеспечивающих синхронизацию, т. е. стремление вектора состояния каждой подсистемы в некоторую окрестность траектории ведущей подсистемы. Цель управления должна достигаться для каждого вектора неизвестных параметров из некоторого класса. Доказывается, что для достижения цели управления для некоторой, достаточно большой области достаточно потребовать гипер-мини-мально-фазовость функции некоторого вида и малость взаимосвязей. Полученные результаты демонстрируются на примере синхронизации нескольких

взаимосвязанных цепей Чуа с возмущениями, проявляющих хаотическое поведение.

В разделах 2.1-2.3 главы 2 диссертации рассматриваются два случая уравнений подсистем: случай подсистем с липшицевыми нелинейностями и случай подсистем с нелипшицевыми нелинейностями, для которых выполнено некоторое условие монотонности. Поставленные задачи решаются с помощью результатов, изложенных в [15-18, 34, 41]. Алгоритм адаптации синтезируется методом скоростного градиента с последующим огрублением.

В разделах 2.4-2.6 приводится постановка задачи управления неидентичными системами, структурно согласованными между собой, при наличии ограниченных возмущений. При предположениях о строгой пассивности лидирующей подсистемы получаются условия достижения цели управления в виде сходимости решения каждой подсистемы в некоторую окрестность ведущей подсистемы.

В разделе 2.7 полученные результаты иллюстрируются примером синхронизации нескольких взаимосвязанных цепей Чуа с ограниченными возмущениями, проявляющих сложное поведение.

В главе 3 работы рассматриваются сети динамических объектов с возмущениями типа белого шума с ограниченной интенсивностью. Снова предполагается, что связи между объектами могут быть нелинейными и что измерению доступна лишь некоторая функция состояния, а не все состояние отдельной подсистемы, а также, что управление входит не во все уравнения подсистем. Как и в главе 2, считается, что связи между объектами зависят от вектора неизвестных параметров, а в случае согласованности коэффициенты в уравнениях объектов сети также считаются зависящими от вектора неизвестных параметров. Выделяется ведущая (лидирующая) подсистема с известной функцией управления и ставится задача нахождения децентрали-

зованного алгоритма адаптивного управления и условий, обеспечивающих сходимость вектора состояния каждой подсистемы в некоторую окрестность ведущей подсистемы в среднеквадратическом. Цель управления должна достигаться для каждого вектора неизвестных параметров из некоторого класса.

В разделах 3.1-3.3 рассматриваются сети идентичных объектов с возмущениями типа белого шума с ограниченной интенсивностью, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями для подсистем с липши-цевыми нелинейностями и подсистем с нелипшицевыми нелинейностями, для которых выполнено некоторое условие монотонности.

В разделах 3.4-3.6 приводится постановка задачи управления сетями неидентичных объектов, описываемых системами стохастических дифференциальных уравнений, структурно согласованными между собой. При предположениях о строгой пассивности лидирующей подсистемы получены условия достижения цели управления в виде сходимости решения каждой подсистемы в некоторую окрестность ведущей подсистемы в среднеквадратическом.

Выбор линейных регуляторов в работе мотивируется тем, что подход к решению задач основан на использовании квадратичной функции Ляпунова в случае ограниченных возмущений и квадратичной стохастической функции Ляпунова в случае возмущений типа белого шума, и линейные регуляторы с настраиваемыми коэффициентами приводят к эффективно решаемым матричным неравенствам.

Согласно замечанию 3 из раздела 2.3.1, все теоремы глав 2 и 3 могут быть сформулированы в терминах входящих степеней вершин графа связей.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ: [6, 32, 33, 35-37, 48],- из них 5 - в соавторстве. Работы [6, 33] опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

В работах, написанных в соавторстве, Г. К. Григорьеву принадлежит в [33, 48] - формулировка и доказательство теорем про сети динамических систем с ограниченными возмущениями, остальным авторам - общая постановка задач и формулировка и доказательство теорем про сети динамических систем с задержками, в [32, 35] Г. К. Григорьеву принадлежат условия пас-сификации стохастических систем, а соавторам принадлежит общая постановка задачи, детализация алгоритмов управления и доказательство теорем, в [6] Г. К. Григорьеву принадлежит реализация описываемых методов, формулировка и доказательство теоремы, а А. Л. Фрадкову - общие постановки задач.

и

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Григорьев, Григорий Константинович

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы по выходу для сетей, состоящих из идентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье для задачи слежения за лидером при наличии ограниченных возмущений в случаях глобально липшицевых нелинейностей и монотонных нелинейностей. Предложена децентрализованная структура адаптивного регулятора с зоной нечувствительности на основе пасси-фикации и получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

2. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы по выходу для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье со структурой, согласованной со структурой лидирующей подсистемы, для задачи слежения за лидером при наличии ограниченных возмущений в случае монотонных нелинейностей. Получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

3. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из идентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье, для задач слежения за лидером при наличии стохастических возмущений типа белого шума в случаях глобально липшицевых нелинейностей и монотонных нелинейностей. Предложена децентрализованная структура адаптивного регулятора с отрицательной параметрической обратной связью на основе пассификации и получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

4. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье со структурой, согласованной со структурой лидирующей подсистемы, для задач слежения за лидером при наличии стохастических возмущений типа белого шума в случае глобально липшицевых нелинейностей. Получены условия достижения цели управления и ограниченности траекторий.

5. Синтезирован алгоритм управления сетями цепей Чуа и получены условия их работоспособности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Григорьев, Григорий Константинович, 2012 год

Литература

1. Андриевский Б. Р., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Синхронизация нелинейных непассифицируемых систем на основе адаптивных наблюдателей // Автомат,ика и телемеханика. 2007. № 7. С. 74-89.

2. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Метод пассификации в задачах адаптивного управления, оценивания и синхронизации // Автоматика и Телемеханика. 2006. № 11. С. 3-37.

3. Гихм,ан И. И., Скороход А. В. Гиперустойчивость автоматических систем. Москва: Физматгиз, 1965.

4. Граничин О. Н. Построение субоптимального регулятора линейного объекта с ограниченной помехой // Автоматика и телемеханика. 1990. № 2. С. 59-62.

5. Граничин О. Н., Поляк Б. Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. Москва: Наука, 2003. С. 291.

6. Григорьев Г. К., Фрадков А. Л. Децентрализованное адаптивное управление синхронизацией сетей динамических систем с белошумной помехой // Информатика и системы управления. 2012. № 31. С. 175-182.

7. Джунусов И. А., Фрадков А. Л. Адаптивная синхронизация сети взаимосвязанных систем Лурье // Автоматика и телемеханика. 2009. № 7. С. 111-126.

8. Дмитриев С., Панас А. П., Старков С. О. Динамический хаос как пара-

дигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. 1997. № 10. С. 4-26.

9. Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. Москва: Наука, 1970.

10. Срагович В. Г. Адаптивное управление. Москва: Наука, 1981. С. 380.

11. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Москва: Наука, 1985.

12. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. Москва: Наука, 1981.

13. Фрадков А. Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта // Автоматика и Телемеханика. 1974. № 12. С. 96-103.

14. Фрадков А. Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 2. С. 436-446.

15. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. Москва: Наука, 1990.

16. Фрадков А. Л., Разуваева И. В. Адаптивное управление линейными объектами с координатно-параметрическими возмущениями типа белого шума // Вестник Санкт-Петербургкского университета,. 2009. № 3. С. 61- 70.

17. Хасьминский Р. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. Москва: Наука, 1969.

18. Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // ДАН СССР. 1962. Т. 143, № 6. С. 1304-1307.

19. Alligood К., Sauer Т., Yorke J. Chaos: an introduction to dynamical systems. Springer, 1996.

20. Blondel V. D., Hendrickx J. M., Olshevsky A., Tsitsiklis J. N. Convergence in multiagent coordination, consensus, and flocking // 44th IEEE Conference on Decision and Control, Spain. 2005.

21. Blondel V. D., Hendrickx J. M., Tsitsiklis J. N. On Krause's multi-agent consensus model with state-dependent connectivity // IEEE Trans, on Autom. Control. 2009. Vol. 54, no. 11. P. 2586-2597.

22. Cao Y., Ren W., Sorensen N. et al. Experiments in consensus-based distributed cooperative control of multiple mobile robots // Proc. of the 2007 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation. 2007. P. 2819-2824.

23. Chai W. W., Chua L. O. Synchronization in an array of linearly coupled dynamical systems // IEEE Trans. Circuits and Syst,ems-I. 1995. Vol. 42, no. 8. P. 430-447.

24. Chang D. E., Shadden S., Marsden J., Olfati-Saber R. Collision avoidance for multiple agent systems // Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control, Hawaii. 2003. P. 539-543.

25. Chopra N., Spong M. W. Passivity-based control of multi-agent systems // Advances in robot control, from everyday physics to human-like movements, Ed. by S. Kawamura, M. Svinin. Berlin: Springer - Verlag, 2007. P. 107-134.

26. Dimarogonas D. V., Loizou S. C., Kyriakopoulos K. J., Zavlanos M. M. A feedback stabilization and collision avoidance scheme for multiple independent non-point agents // Automatica. 2006. Vol. 42. P. 229-243.

27. Druzhinina M. V., Fradkov A. L. Adaptive decentralized control of interconnected systems // Proc. of IJ^th IFAC World Congress. 1999. Vol. L. P. 175-180.

28. Dzhunusov I. A. Adaptive synchronization of nonlinear dynamical networks // Preprints 12th International Student Olympiad on Automatic Control. St.Petersburg, 2008. P. 62-66.

29. Florchinger P. A passive system approach to feedback stabilization of nonlinear control stochastic systems // SIAM J. Control Optimization. 1999. Vol. 37. P. 1848-1864.

30. Fradkov A. L. Passification of nonsquare linear systems and feedback Yakubovich-Kalman-Popov Lemma // Prepr. 8th IFAC Symposium NOL-COS 2010. 2010. Vol. 23. P. 12321-12328.

31. Fradkov A. L., Andrievsky B. R., Evans R. J. Adaptive observer-based synchronization of chaotic systems with first-order coder in the presense of information constraints // IEEE Trans. On Circuits And System,s-I: Reg. Papers. 2008. Vol. 55, no. 6. P. 1685-1694.

32. Fradkov A. L., Grigoriev G. K., Junussov I. A., Selivanov A. A. Decentralized output feedback synchronization of dynamical networks // Abstracts of International Workshop "Spatio-temporal dynamical systems'\ Moscow, Russia. August 18-20, 2011. P. 22-23.

33. Fradkov A. L., Grigoriev G. K., Selivanov A. A. Decentralized Adaptive Controller for Synchronization of Dynamical Networks with Delays and Bounded Disturbances // Proc. 50th IEEE Conf. Dec. Contr. Orlando. Dec. 2011. no. 31. P. 1110-1115.

34. Fradkov A. L., Miroshnik I. V., Nikiforov V. 0. Adaptive Control of Complex Systems. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1999.

35. Fradkov A. L., Razuvaeva I. V., Grigoriev G. K. Passification Based Adaptive Control Under Coordinate-Parametric White Noise Disturbances // Prepr. 8th IFAC Symposium NOLCOS. 2010. P. 659-664.

36. Grigoriev G. K. Decentralized adaptive synchronization of dynamical networks with white noise disturbances // G-RISC Int. Students Conference "Science and progress" Abstracts. November 14-18, 2011. P. 70.

37. Grigoriev G. K. Adaptive Synchronization of Dynamical Networks with Lip-schitz-type Nonlinearities Under Bounded Disturbances // Prepr. 14th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). September 21 - 23, 2011. P. 145-149.

38. Jadbabaie A., Lin J., Morse A. S. Coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules // IEEE Trans, on Autom. Control. 2003. Vol. 48. P. 988-1001.

39. Lin J., Morse A. S., Anderson B. D. The multi-agent rendezvous problem // Proc. of the J^nd 2003 IEEE Conference on Decision and Control. 2003. P. 1508-1513.

40. Lu J., Chen G. A time-varying complex dynamical network model and its

controlled synchronization criteria // IEEE Trans, on Autom. Control. 2005. Vol. 50, no. 6. P. 841- 846.

41. Markov A. Y., Fradkov A. L. Adaptive synchronization of chaotic systems based on speed gradient method and passification // IEEE Trans. On Circuits And Systems-I: Fundamental theory and applications. 1997. Vol. 10. P. 905-912.

42. Marshall J. A., Broucke M. E., Francis B. A. Formations of vehicles in cyclic pursuit // IEEE Trans, on Autom. Control 2004. Vol. 49, no. 11. P. 1963-1974.

43. Marshall J. A., Broucke M. E., Francis B. A. Pursuit formations of unicy-cles // Automatica. 2006. no. 1. P. 3-12.

44. Mastellone S., Lee D., Spong M. W. Master-slave synchronization with switching communication through passive model-based control design // Proceedings of the 2006 American Control Conference, Minneapolis, Minnesota, USA. 2006. P. 3203-3208.

45. Matveev A. S., Savkin A. V. Estimation and Control over Communication Networks. Birkhauser, 2008.

46. Olfati-Saber R. Flocking for multi-agent dynamic systems: Algorithms and theory // IEEE Trans, on Autom,. Control. 2006. Vol. 51. P. 401-420.

47. Ren W., Beard R. W., Atkins E. M. A survey of consensus problems in multiagent coordination // Proc. of American Control Conference, Oregon. 2005. P. 1859-1864.

48. Selivanov A., Grigoriev G., Fradkov A. Adaptive synchronization of networks with bounded disturbances or delays under incompleteness of measurement

and control // 5th Intern. Conf. Physics and ControlLeon, 5-8 Sept. 2011. URL: http://lib.physcon.ru/doc?id=2a3dddla33bb.

49. Siljak D. D. Decentralized Control of Complex Systems // ser. Mathematics in Science and Engineering. 1990. Vol. 184.

50. Stipanovic D. M., Hokay em P. F., Spong M. W., Siljak D. D. Cooperative avoidance control for multiagent systems // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2007. P. 699-705.

51. Stipanovic D. M., Srirarn S., Tomlin C. J. Multi-agent avoidance control using an m-matrix property // Electron. J. Linear Algebra. 2005. Vol. 12. P. 64-72.

52. Willems J. C. Dissipative dynamical systems. Part I: General theory // International Journal of Control. 1974. Vol. 19, no. 1. P. 1-14.

53. Yakubovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. K. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. Singapore: World Scientific, 2004.

54. Yang P., Freeman R. A., Lynch K. M. Multi-agent coordination by decentralized estimation and control // IEEE Trans, on Autom. Control. 2008. Vol. 53, no. 11. P. 2480 -2496.

55. Yao J., Hill D. J., Guan Z.-H., Wang H. Synchronization of complex dynamical networks with switching topology via adaptive control // Proceedings of the 45th IEEE Conf. Dec. Control 2006. P. 2819-2824.

56. Youla D. C., Castrola L. J., Carlin H. J. Bounded real scattering matrices and the foundations of linear passive network theory // IRE Trans. Circuit. Theory. 1959. Vol. 4, no. 1. P. 102-124.

57. Zarries G. On the stability of nonlinear, time-varying feedback systems // Proc. Nat'l Electr. C. 1964. Vol. 20. P. 725-730.

58. Zhong W.-S., Dimitrovski G. M., Zhao J. Decentralized synchronization of an uncertain complex dynamical network // Proceedings of 2007 American Control Conference. 2007. P. 1437-1442.