Адаптивное и робастное управление динамическими сетями с запаздыванием на основе пассификации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Селиванов, Антон Антонович

• Селиванов, Антон Антонович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Селиванов, Антон Антонович

Содержание

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Системы с запаздыванием

1.2 Метод пассификации

1.3 Метод скоростного градиента

1.4 Вспомогательные неравенства

2 Децентрализованное адаптивное управление взаимосвязанными системами с запаздыванием

2.1 Постановка задачи

2.2 Построение адаптивного регулятора

2.3 Условия синхронизации

2.3.1 Липшицевы нелинейности

2.3.2 Согласованные нелинейности

2.3.3 Случай линейных связей

2.4 Предельная ограниченность возмущённых систем

2.4.1 Липшицевы нелинейности

2.4.2 Согласованные нелинейности

2.5 Пример: сеть систем Чуа

3 Робастная синхронизация сетей с помощью консенсусного регулятора

3.1 Постановка задачи

3.2 Консенсусный регулятор первого типа

3.3 Консенсусный регулятор второго типа

4 Адаптивное управление с переменным запаздыванием в управлении и измерениях

4.1 Постановка задачи

4.2 Основной результат

4.3 Адаптивное управление через сеть

4.4 Пример: управление углом рыскания самолёта

5 Адаптивная синхронизация сети осцилляторов Ландау-Стюарта

5.1 Постановка задачи

5.2 Фазовая синхронизация

5.3 Кластерная и равномерно-фазовая синхронизация

Заключение

Список рисунков

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивное и робастное управление динамическими сетями с запаздыванием на основе пассификации»

Введение

В последние годы всё большее внимание исследователей привлекают задачи сетевого управления [24,29,69,90,98,104]. Это связано, прежде всего, с повсеместным распространением сетей. Например, каждый из нас является частью социальной сети [15, 16,97]. Другими примерами являются Интернет [41,50] и телекоммуникационные сети [14], транспортные и энергетические системы [32,75], промышленные ссти, молекулярные ансамбли, пищевые сети [28,101], клеточные и метаболические сети [22,49] и др. С помощью сетей моделируют биологические колебания (циркадные ритмы) [59,91, 102], предсказывают распространение болезней и инфекций [53,79]. Отдельного внимания заслуживаю! искусственные нейронные сети [30,54], которые, имитируя свойства биологических нейронных сетей, позволяют не только лучше понять и контролировать процессы, происходящие в биологических организмах, но и помогают исследователям создавать эффективные алгоритмы распознавания речи и изображений [73,87], синтезировать адаптивные регуляторы, стабилизирующие нелинейные системы [25,96]. Кроме того, снижение стоимости компьютеров сделало возможным создание сетей примитивных роботов, каждый из которых малофункционален, но сообща эти роботы способны выполнять сложные задачи. Например, группа летательных или подводных аппаратов может осуществлять захват цели или составлять карту местности. Структура многих из перечисленных сетей с каждым годом усложняется и исследовать такие системы без применения математического аппарата становится трудно.

Формально сетевую систему определяют как сложную динамическую систему, составленную из большого числа простых систем, соединенных физическими или информационными связями. Поскольку скорость передачи данных (воздействий) по коммуникационной среде ограничена, в сетях неминуемо возникают запаздывания, наличие которых может привести к дестабилизации [62]. Запаздывания могут входить в состояния, измерения или управление системы; они могут быть постоянными и переменными, известными и неизвестными. В данной работе рассмотрены многие возникающие случаи: во второй и пятой главах запаздывание присутствует в состоянии системы, в третьей - в измерениях, в четвертой - в управлении и измерениях. Во всех главах рассматривается задача синхронизации, которую определяют как «совпадение или

сближение переменных состояний двух или нескольких систем, либо согласованное изменение некоторых количественных характеристик систем» [10]. Например, задача поддержания летательными аппаратами заданной формации с помощью линейной замены переменных сводится к задаче стабилизации общего синхронного решения.

В существенной части диссертационной работы рассматриваются неопределённые системы, т. с. системы, некоторые значения параметров которых известны неточно. Неопределённости в системах возникают в силу разных причин: при проектировании регулятора могут быть неизвестны значения некоторых параметров системы, в процессе функционирования параметры могут меняться (например, уменьшается масса самолёта при сгорании топлива). Эффективным методом стабилизации таких систем является адаптивное управление на основе пассификации [1].

Несмотря на то, что уже опубликовано множество работ, посвящённых сетевому управлению, распространение сетевых систем столь обширно и спектр возникающих задач столь широк, что остаётся множество нерешённых задач, некоторые из которых рассмотрены в данной работе.

Целью диссертационной работы является построение и анализ регуляторов, обеспечивающих синхронизацию динамических сетей при наличии запаздываний в состояниях, измерениях и управлениях. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. получить условия синхронизации сетей идентичных систем Лурье с запаздываниями в связях с помощью децентрализованного адаптивного алгоритма управления;

2. исследовать децентрализованный адаптивный алгоритм управления сети идентичных систем Лурье с запаздываниями в связях при наличии ограниченных возмущений;

3. получить условия синхронизации идентичных систем Лурье с помощью консенсусного регулятора по запаздывающим измерениям;

4. получить условия стабилизации линейной стационарной системы с помощью адаптивного регулятора при наличии переменных запаздываний в измерениях и управлении;

5. результаты п. 4 применить к линейной системе, управляемой через сеть с помощью адаптивного регулятора;

6. найти целевую функцию, позволяющую с помощью метода скоростного градиента вывести алгоритмы стабилизации различных синхронных состояний сети осцилляторов Ландау-Стюарта с запаздываниями в связях.

В первой главе диссертационной работы приводятся вспомогательные сведения, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов.

Во второй главе рассматривается задача синхронизации с лидером связанных систем Лурье с мгновенными и запаздывающими нелинейными связями с помощью децентрализованного адаптивного алгоритма управления. В данной постановке предполагается, что регулятору подсистемы не доступны измерения с других узлов, влияющих на динамику данной подсистемы. Хотя задачи децентрализованного управления взаимосвязанными системами изучались ранее, в большинстве существующих работ (например, [13,55,63,110,112-114]) рассматриваются системы с линейными связями и строится обратная связь по состоянию. Более того, управление, как правило, входит во все уравнения системы. Такие модели оказываются слишком ограничительными на практике, где во внимание следует принимать неполноту измерений и управления, нелинейные переключающиеся связи. Во второй главе получены границы на постоянные Липшица нелинейных связей, при которых синхронизация достигается при использовании адаптивного регулятора по выходу. Поскольку децентрализованный регулятор не может учесть влияние связей, их воздействия должны быть достаточно малыми. Затем, для систем с ограниченными возмущениями рассмотрен модифицированный адаптивный алгоритм и получены условия предельной ограниченности разностей состояний подсистем. Условия синхронизации и предельной ограниченности сформулированы для двух типов локальной нелинейности: липшицевой и согласованной. Результаты этой главы отчасти основаны на результатах, изложенных в [2], и распространяют их на случай переменных связей с запаздываниями при ограниченных возмущениях.

В третьей главе рассматриваются идентичные системы Лурье, для которых управляющий сигнал строится как взвешенная сумма разностей выходов соседних узлов. Такой регулятор называется консенсусным [3,12,20,44,52,74,107,109] и возникает во многих областях, включая физиологию [37,86], нейробиологию [26,36,42], электрические [95,103] и механические [27,78,108] системы. В данной работе предполагается, что передача измерений между агентами происходит с некоторой задержкой, что приводит к возникновению запаздывания. Хотя проблемам консен-сусного управления с запаздыванием посвящено множество статей [23,70,92,93,105,106], в подавляющем большинстве работ рассматривается обратная связь по состоянию при полном управлении или управляемости системы. В [88, 89] рассматривается обратная связь по запаздывающим измерениям для полупассивных систем. В третьей главе диссертационной работы получены условия на локальную динамику систем и топологию сети, обеспечивающие синхронизацию при достаточно малом запаздывании и достаточно большом коэффициенте усиления в консенсусном регуляторе по выходам. В отличие от свойства полупассивности, накладываемого в [88, 89], для проверки пассифицируемости системы, рассматриваемому здесь, существует простой критерий. Кроме того, класс пассифицируемых систем включает в себя некоторые не полупассивные системы, например, хаотическую систему Чуа.

В четвёртой главе рассматривается задача адаптивной стабилизации линейной системы при наличии переменного неизвестного запаздывания в управлении и измерениях. Существует множество статей, в которых рассматриваются адаптивно управляемые системы с запаздыванием в состоянии [21,65,66, 111]. Случай запаздывания в управлении и измерениях является более сложным [11,58], поскольку регулятор лишён возможности влиять на систему сразу после получения измерений. Кроме того, в таких системах часто неприменима обратная связь с большим коэффициентом усиления. Известно не так много работ, посвящённых адаптивной стабилизации с запаздыванием в измерениях и управлении. Одной из первых является монография [11], где идеи адаптивного управления на основе пассивности естественным способом распространены на системы с постоянным запаздыванием в управлении и измерениях К недостаткам такого подхода можно отнести то, что получаемые адаптивные регуляторы являются бесконечномерными и их применение на практике может оказаться затруднительным. В [31,94] предложены и исследованы адаптивные регуляторы по состоянию с пост оянным запаздыванием в управлении. В [67] рассмотрен адаптивный регулятор по выходу на основе пассификации с постоянным запаздыванием в управлении. Важно понимать, что для линейных стационарных систем с постоянным запаздыванием нет почти никакой разницы между запаздыванием в управлении и измерениях, поскольку передаточная функция одна и та же. Гораздо более сложным случаем является переменное запаздывание, при котором запаздывания в управлении и измерениях нужно рассматривать отдельно. Для решения задачи в такой постановке можно предполагать, что разница между текущим и запаздывающим сигналами достаточно мала [19,68], но это предположение является слишком ограничительным и его трудно проверить. В отличие от перечисленных выше работ в четвёртой главе диссертации линейная стационарная система с переменным запаздыванием в измерениях и управлении стабилизируется с помощью простого адаптивного закона обратной связи по выходу. Если система без запаздывания устойчива, то приведённые здесь условия дают оценку на допустимую максимальную величину переменного запаздывания, при которой система остаётся устойчивой. Более того, для систем, адаптивно управляемых через сеть, полученные результаты позволяют найти оценку на период дискретизации и запаздывания, вызванные необходимость передачи данных через сеть. Это важное приложение демонстрируется на примере адаптивного управления через коммуникационную сеть углом рыскания летательного аппарата.

В пятой главе диссертационной работы рассматривается сеть осцилляторов Ландау-Стюарта [76,77]. Система Ландау-Стюарта описывает слабо нелинейную динамику в окрестности точки бифуркации Андронова-Хопфа. Комплексные силы связей, появляющиеся в этих системах из-за комплексных переменных состояния, возникают естественным образом в системах с оптическими связями [18,43]. Как было продемонстрировано в [35], изменяя фазу связей (coupling phase),

можно переключаться между различными синхронными состояниями сети. Для нахождения подходящего значения фазы связей необходимо решать уравнение, содержащее параметры системы, которые могут быть неизвестны. Основным результатом пятой главы является универсальная целевая функция, с помощью которой на основе метода скоростного градиента выводятся адаптивные законы подстройки фазы связей, обеспечивающие устойчивость различных синхронных состояний сети осцилляторов Ландау-Стюарта. В качестве подтверждения работоспособности получаемых алгоритмов представлены результаты численного моделирования.

В Заключении перечислены основные результаты работы.

По теме диссертации опубликовано 12 работ [6, 17,34,38,46,47,80-85], в том числе 7 в изданиях из перечня научных журналов, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для публикации основных научных результатов диссертаций, 6 работ в изданиях из баз цитирования Web of Science и Scopus. Основные результаты представлены на 9 всероссийских и международных конференциях.

Глава 1

Предварительные сведения

1.1 Системы с запаздыванием

Зафиксируем некоторое ¡1 > 0, которое в дальнейшем будет иметь смысл максимальной величины запаздывания Через ^ обозначим сужение функции ь( ) на промежуток [£ — Н, I]

/■,(«) = г(г +?), ее [-Ь 0]

Рассмотрим функциональное дифференциальное уравнение с запаздыванием

т(1) = Л1г1) о (11)

где т £ К", / [/о ~гоо) х С[—Ь 0] —» Мп Начальные данные для (1 1) зададим функцией </?( )

г,0( ) = </>(), <р() еС[/о-Мо] (12)

Теорема 1.1 (Существования и единственности). Пусть для [ выполнены условия (г) V// > 0 3М(П) > 0

Мс<П^\\Г(1 ^)ИМ(Я) (п,) Функционап / непрерывен по обоим аргументам,

(ш) Функционал / удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу V// > 0 3 (//) есчи < II, ||/'|| ^ И> то

Тогда для некоторого т > 0 на промелсутке [¿0 — Ь. 'о + т] существует единственное решение задачи Коши (1 1), (1 2)

Доказательство можно найти в [57, Георема 1 1]

Теорема 1.2 (о продолжимосш решений). Пусть для системы (11) выполнены условия Теоремы 1 1 Предположим, что f удовлетворяет неравенству

IIf{t v)ll^(Mlc),

где r¡ G С [О Ч ос) неубывающая функция такая, что Vio ^ О

1Н dr lim / —— = +оо

/í^+оо JrQ 77(7)

Тогда на [iо +оо) суилествует единственное решение задачи Коши (1 1) (12)

Доказательство можно наши в [57, Теорема 1 2]

Далее будем предпола! ат ь, что f(t 0) = 0, что гарантирует существование нулевого решения — 0 у (1 1)

Определение 1.1. Нулевое решение уравнения (1 1) равномерно асимптотически устойчиво, если

(i) для любого z > 0 и любого Iо существует п(е) > 0 такое что если ||tío||c < ¿(f), то |з (í)| < £ для t ^ t0,

(и) существует 5а > 0 такое, что для любого г/ > 0 существует Т(да rj) такое, что если ||T¿0llc < ^а то |x(f)| < r¡ для t ^ í0 + T(v) ut0eM.

Тривиапьное решение называется гпобапьно равномерно асимптотически устойчивым, если в (и) да может быть произвольно бопьшим конечным числом Система называется равномерно асимптотически устойчивой еспи ее нупевое решение равномерно асимптотически устойчиво

Эффективными методами исследования устойчивости систем с запаздыванием являются метод функционачов Ляпунова Красовского [4] и метод функция Ляпунова-Разумихина [5]

Функционалы Ляпунова-Красовского - это естественное обобщение прямого метода Ляпунова для систем, у которых состояние является функцией Пусть V R х С —)■ R непрерывный функционал и xt удовлетворяе 1 (1 1) Тогда определим производную К вдоль траектории xt

V(t [V(t + sxt^)~ V(t ZL)} (1 3)

s—»0-1- S

Теорема 1.3 (Ляпунова-Красовско!о). Пусть J 1 х С ч К" отображает Кх(ограниченные множества в С) в ограниченные множества в R" v и w [0 +ос) —[0 +эо) непрерывные неубывающие положительные дпя s > 0 функции и и(0) = и(0) = 0 Нупевое решение уравнения

(1.1) равномерно асимптотически устойчиво, если существует непрерывный функционал V: К х С —> [0, +оо), который положительно определён

и(ИО)|)< Vii.^^^lHc), (1.4)

и производная которого вдоль траекторий (1.1) отрицательна

V{t,xt)^-w{\x{t)\). (1.5)

Если к тому же lim^oo u(s) — оо, то нулевое решение глобально равномерно асимптотически устойчиво.

Доказательство можно найти в [51, Теорема 1.3].

Для непрерывной функции V:RxR"->K определим

V(t, x(t)) = Ш ^ [V(t + s. x(t + s)) - V{t, x(t))} . (1.6)

Теорема 1.4 (Ляпунова-Разумихина). Пусть /: R х С Rn отображает Ex (ограниченные множества в С) в ограниченные множества Kn, p.u.v.iu: [0, +ос) —> [0,+оо) непрерывные неубывающие положительные для s > 0 функции, p(s) > s для s > 0 и и(0) = г>(0) = 0. Нулевое решение уравнения (1.1) равномерно асимптотически устойчиво, если существует непрерывная функция V: R х М™ —> [0, +ос), которая положительно определена

u(\x\)^V(t,x)<v(\х\) (1.7)

такая, что

V(t,x(t)) ^ -w{\x{t)\),eaiu V(t + s,x(t + s)) < p(V(t,x(t))), Vs G [-М]. (1-8)

Если к тому же lim^oo u(s) = оо, то нулевое решение глобально равномерно асимптотически устойчиво.

Доказательство можно найти в [51, Теорема 1.4].

1.2 Метод пассификации

В данном разделе приводятся необходимы в дальнейшем сведения из теории пассивных систем [1].

Рассмотрим линейную стационарную систему

хП) = ЛхН) + Bv.it).

(1.9)

?/(0 = Сх(1.)

с состоянием х е К"1, управлением иеМи измерениями у еШ1. Постоянные матрицы А, В и С имеют подходящие размерности.

Определение 1.2. Для заданного вектора д € Ш1, система (1.9) называется пассивной, если существует неотрицательная функция У[х) такая, что

для любого решения х{Ь) системы (1.9).

Определение 1.3. Для заданного вектора у 6 1' система (1.9) называется строго пассивной, если существуют неотрицательная функция У(х) и положительная для х ф 0 функция р(х) такие, что

для любого решения х{1) системы (1.9).

Замечание 1.1. Пассивные системы являются частным случаем диссипативных систем [99,

Неравенства (1.10), (1.11) имеют простую физическую интерпретацию: «функция запаса У{х) является аналогом полной энергии для систем общего вида, произведение входных и выходных величин выражает измеренную мощность, поступившую в систему, а функция р(х) оценивает снизу скорость рассеяния энергии в системе» [10, стр. 57]. Таким образом, неравенства (1.10), (1.11) означают, что в системе отсутствуют внутренние источники энергии. Наличие функции р(х) в (1.11) означает, что часть энергии рассеивается (ввиду наличия в системе трения, например).

Определение 1.4. Для заданного вектора д € К' система (1.9) называется строго пассифици-руемой, если существует вектор в* £ К' такой, что подстановка и = —в^у + ь делает систему (1.9) строго пассивной по отношению к новому входу V £ К.

Свойство строгой пассифицируемости оказывается весьма полезным для построения и исследования адаптивных регуляторов. Для того, чтобы сформулировать простой критерий строгой пассифицируемости системы, введём следующее определение.

Определение 1.5. Передаточная функция дТ\'У{.з) = дтС(з1 — А)'1 В называется гипер-минимально-фазовой, если её числитель (¡^(.ч/ — А)дТ\'У (я) является устойчивым многочленом с положительным старшим коэффициентом дТСВ > 0.

(1.10)

(1.11)

100].

Лемма 1.1 (о пассификации). Пусть В ф 0 и задан некоторый вектор д € Е'. Тогда для существования матрицы Р 6 МаХп и вектора 0* £ Е' таких, что

Р>{), Р/Ц + АГР^, РВ = СТ(], (1.12)

где А* = А — Вв^С, необходимо и достаточно, чтобы передаточная функция дТИ^в) = гр С (я! — А)~Л В была гипер-минимально-фазовой.

Доказательство леммы о пассификации впервые было опубликовано в [7, Теорема 1].

Замечание 1.2. Если В -/-{) и дТИ^(.ч) является гипер-минимально-фазовой, то подходящим значением вектора вудовлетворяющим (1.12), является 0* = к*д с достаточно большим коэффициентом к*:

к* > - тИ1е{{дТЦ'(ио))-1} . (1.13)

Доказательство этого факта можно найти в [1 ].

В [100] было доказано, что для строгой пассивности системы (1.9) необходимо и достаточно существование квадратичной функции У(х) = хТРх, удовлетворяющей неравенству строгой пассивности (1.11). Соотношения (1.12) равносильны тому, что функция У(х) = хтРх удовлетворяет неравенству строгой пассивности для системы

х{1) = {А-В91С)х{Ь) + Ву{Ь), у(Ь)=Сх(1).

Таким образом, из леммы о пассификации следует, что если В ф 0, то строгая пассифицируе-мость системы (1.9) равносильна тому, что дтIV(в) является гипер-минимально-фазовой.

1.3 Метод скоростного градиента

В данном разделе описывается общая схема метода скоростного градиента, который используется для построения адаптивных регуляторов. Одно из первых описаний метода скоростного градиента было опубликовано в [8]. Более современное описание можно найти в [10, стр. 35]. Рассмотрим нелинейную систему общего вида:

х = 1-(1,х:е) (1.14)

с вектором состояния х б Е71 и вектором входных переменных в е Ет. Вектор-функция /: [0, ос) х Е" х Еш —> Е" предполагается кусочно-непрерывной по £ и непрерывно дифференцируемой по х, в. Предположим, что целью управления является стремление к нулю некоторой

гладкой неотрицательной целевой функции на траекториях системы (1 14)

lim Q(t х(t)) = О

i—>оо

Метод скоростного 1радиента заключается в следующем Сначала вычисляется скорость изменения целевой функции (} на траекториях системы

Х) в) = + х))Т/(1 / 0)

3aieM вычисляется 1радиент функции uj(t х в) по входным переменным

Vöw(/, г, 0) =

т

В результате алгоритм управления имеет вид

0 =-ГУ0Ц/ т 0) (115)

где Г > 0 - произвольная положительно определенная матрица Алгоритм (1 15) естественно называть алгоритмом скоростного градиента, поскольку в нем изменение 9{t) происходит пропорционально градиешу скорости изменения целевой функции

Описание некоторых свойств ал! оритма скоростного градиента можно найти в [9]

1.4 Вспомогательные неравенства

В данном разделе приводятся несколько ключевых неравенств, которые будут использованы позже

Утверждение 1.1. VC? £ MrtX", Q > О, V; у £

2гТу ^ xTQx+i/Q-\j

Доказательство

т - 7/)т х - д-Ьу) ^ о

1ТЯх - 2хту + утС}-Лу ^ О

□

У1верждение 1.2 (Неравенство Йенсена). Пусть В £ М'гХга, В > 0, /г £ К Ь > 0 и для вектор-функции 1 [0 /?] —^ К7" корректно определены необходимые интегральные члены Тогда

1г I г'(ъ)Вх(б)с18 ^ ^ ¿(з) с/б^ В^ х(з) с1в

Доказательство. Через дополнение Шура [51, Следствие В.2] легко показать, что для в е [О, И]

^х^з)Ях(з) .х^Л > о ^ *(5) 7?-1 ) "

Интегрируя последнее неравенство от 0 до /?,, получаем

^ ХТ(з)Ях(з) ¿8 /0/г ХТ(з) (].3

¡0 х(ё) ^

> 0.

ья

-1

Вновь используя дополнение Шура, получаем желаемое неравенство.

□

Утверждение 1.3 (Неравенство Парка). Пусть /ь /г, • • • • //V : —» К. положительны в некоторой области И С М^. Тогда на О выполнено соотношение

¿С 77 Ш = I] № +

пни

<М0

гФ1

где дг] из множества

Уг3 ■ М"

9п{Ь) = .МО;

Ш) дг1{1)

мъ ш

> о

Доказательство можно найти в [71, Теорема 1].

Глава 2

Децентрализованное адаптивное управление взаимосвязанными системами с запаздыванием

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим сеть, динамика которой описывается уравнением:

N N

хг{1) = A^xi{t) + (p0(t,xl(t)) + УЖ (*-''(*)))

7=1 (2.1)

Уг{Ь) = C^xz{t), t = ... . N.

где хг £ М'г - состояния, иг G М - входы, уг £ R' - измеряемые выходы подсистем; неизвестные матрицы Q параметризованы через £ G Е, где Е - известное множество; запаздывание

r(t) является дифференцируемой функцией такой, что для некоторых h > 0 и d G [0,1)

-/? t - r(t) ^ i, ?;(i) sC d < 1.

Функции (ргз и т/v,, описывающие связи узлов, являются кусочно-непрерывными по первому аргументу и удовлетворяют глобальному условию Липшица по второму аргументу: 3Ьгз, Мгз: \ft ^ ¿0; V.r. у G Mri

х)sC Ly||z - у||,

(2.2)

Поскольку ipl3 и фч кусочно-непрерывны по i, топология сети может иметь переключающийся характер. Ввиду присутствия функций -фгг(1.хг(Ь — r{t))), локальная динамика подсистем допускает наличие запаздывания.

Начальные условия для системы (2 1) зададим непрерывными функциями ) б С[—Л, 0]

¿г(г) = аг°(г) V« е [-к 0], г = 1 ТУ (2 3)

Выведем условие существования синхронного решения г(0 у системы (2 1) Пусть в отсутствие управления сосюяния подсистем совпадают, те -м(0 = = = 1(0 и «1(0 = = идг(0 = 0 для всех ^ ^ ¿о Подставив эти значения в (2 1) получим, что должны существовать функции Ф(/ г) и Ф(/ т) такие, что V/ ^ /0 / = 1 , N

N

.7=1 N

х(0) = Ф(^,т(0)

(2 4)

^=1

Замечание 2.1. Еспи запаздывающий член в (2 1) имеет вид 1 ~ гг]{^)))> то для су-

ществования синхронного решения х(Ь) с иг = 0 необходимо предполагать, что V/ к = 1 , ./V

УУ УУ

; = 1 7 = 1 Данное предположение может оказаться слишком формальным, поскольку его выполнение зависит от конкретного решения Т (0 в различные моменты времени Поэтому в работе рассматривается сяучай одинаковых запаздываний гг)(1) = г(/)

В данной главе предпола1 аегся, что регулятор /-той подсистемы измеряет выход только г-той подсистемы и ничего не знает о выходах других узлов При этом каждому регулятору сети известен некоторый "синхронизирующий" сигнал - выход системы-пидера, которая описывается уравнением

г/,(0 = А^г,Х0 + М* ^(0) + Ф(г а^(О) + Ф (* X/, - г(0)) + (0 5

у/ДО = о

где г/— известный управпяющий сигнал Начальные условия для этой системы заданы функцией

х(; () е с[-л о]

Х/Д0 = х° (0 V* € [-/; 0] (2 6)

О1 метим, что физически система (2 5) может не существовать, необходимо лишь знать некоторый "синхронизирующий" сшнал Ъ[ (0, который удовлетворяет уравнению (2 5) для некоторых начальных условий (2 6)

Задача заключается в построении закона обратной связи, обеспечивающего на всех траекториях системы (2 1), (2 3), (2 5), (2 6) выполнение соотношений

1п11||гг(0-т/Л011 = 0 ? = 1 N (2 7)

1—> ос

Замечание 2.2. Здесь под синхронизацией понимается выполнение (2.7), хотя существует множество других определений слова "синхронизация" (см., например, [10]).

Система (2.1) управляется не полностью: п-мерные подсистемы управляются скалярными сигналами иг. Поэтому цель управления (2.7), вообще говоря, не всегда может быть достигнута. Здесь рассматривается случай, когда линейные части подсистем являются гипер-минимально-фазовыми, а именно накладывается предположение:

Предположение 2.1. Существует вектор д £ К' такой, что £ Е функция дТС^(з1 - А^)-1/^ яв.<1яется гипер-минимально-сразовой.

В разделе 2.5 показано как можно подобрать подходящий д для неопределённой матрицы лежащей в некотором известном политопе.

2.2 Построение адаптивного регулятора

Вычитая (2.5) из (2.1), получаем уравнение для отклонений ег(Ь) = хг(Ь) — :

N

ег{1) = Лсег(0 + [р0{1.хг{С)) -ч>0{1,хь{1,))] + ^[<^(¿,1,(0) " 4>г3 -сДО)] +

7 = 1

Л' (2 Я)

?л(0 - тХ>) = С\ [хг(1.) - хь(1-)]. I > /,0, г = 1,..... N.

Цель управления (2.7) сводится к стабилизации (2.8) с помощью управления иг(1) — и^). Для стабилизации (2.8) будем использовать пропорциональный регулятор по выходу

гф) - иь(Ь) = -61 [уг(1) - угХЩ . (2.9)

Для нахождения подходящих значений векторов вг Е Мг на основе методом скоростного градиента построим адаптивный алгоритм подстройки. В условиях Предположения 2.1 для всякого £ 6 Е Лемма 1.1 гарантирует существование матрицы Р^, удовлетворяющей (1.12). По этой матрице построим целевую функцию (^(е,) = Р^ег. Поскольку Р£ > 0, <3(ег) = 0 влечёт ег = 0. По формуле (1.15) получаем алгоритмы управления

вг{1) = ГДеПОЗДМО - У,М: 1 = 1;...; N

с положительно определёнными матрицами Гг е Из (1.12) следует, что Р^В^ = С^д,

поэтому е[(Ь)Р^В^ = (уг{1) — У1М))79- Итак, получаем адаптивные законы управления, которые

нс зависят от £ :

иг{г) = -в?{ь)[У1(г) - уЖ)]

^ г = 1,.... N. (2.10)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Селиванов, Антон Антонович, 2014 год

Литература

1. Андриевский, Б. Р. Метод пассификации в задачах адаптивного управления, оценивания и синхронизации / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 2006.

- № 11. - С. 3-37.

2. Джунусов, И. А. Адаптивная синхронизация сети взаимосвязанных нелинейных систем Лурье / И. А. Джунусов, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 7. — С. 111-126.

3. Джунусов, И. А. Синхронизация в сетях линейных агентов с обратными связями по выходам / И. А. Джунусов, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 8. — С. 41-52.

4. Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. — Гос. изд-во физико-математической лит-ры, 1959. — С. 211.

5. Разумихин, Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием / Б. С. Разумихин // Прикладная математика и механика. — 1956. — Т. 20. — С. 500-512.

6. Селиванов, А. Управление синхронизацией сетей с нелинейностями и запаздывающими связями / А. Селиванов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. — 2013. - № 1(3). _ с. 265-271.

7. Фрадков, А. Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта / А. Л. Фрадков // Сибирский математический журнал. — 1976.

- Т. 17, № 2. - С. 436-445.

8. Фрадков, А. Л. Схема скоростного градиента и его применения в задачах адаптивного управления / А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 9. — С. 90-101.

9. Фрадков, А. Л. Адаптивное управление в сложных системах: Беспоисковые методы / А. Л. Фрадков. - М.: Наука, 1990. - С. 292.

10 Фрадков, A J1 Кибернетическая физика принципы и примеры /АЛ Фрадков — СПб Наука, 2003

11 Цыкунов, А М Адаптивное управление объектами с последействием / А М Цыкунов — М Наука, 1984 - С 239

12 Чеботарев, П Ю Coiласование характеристик в многоа!ентных системах и спектры лапла-совских матриц орграфов / П Ю Чеботарев, Р П Агасв // Автоматика и телемеханика — 2009 - № 3 - С 136-151

13 Abdessameud, A Adaptive synchronization of networked Lagrangian systems with irregular communication delays / A Abdessameud, I G Polushm, A Tayebi // IEEE Conference on Decision and Contiol - 2012 - P 5936-5941

14 Abello, J A Functional Approach to External Graph Algorithms / J Abello, A L Buchsbaum, J R Westbrook//European Symposium on Algorithms — 1998 — P 332-343

15 Abramson, G Social games m a social network / G Abramson, M Kuperman // Physical Review E - 2001 - Vol 63, no 3 - P 030901

16 Adamic, L A Triends and neighbois on the Web / L A Adamic, E Adai//Social Networks — 2003 - Vol 25, no 3 - P 211-230

17 Adaptive synchronization in delay-coupled networks of Stuart-Landau oscillators / A Selivanov, J Lehnert, T Dahms ct at // Physical Review E - 2012 - Vol 85, no 1 - P 016201

18 All-Optical Noninvasive Control of Unstable Steady States m a Semiconductor Laser / S Schikora, P Hovel, H -J Wunsche et al // Physical Review Letters - 2006 - Vol 97, no 21 - P 1-4

19 Balas, M New robustness theorem with application to adaptive control of nonlinear systems with mput/output delays / M Balas, J P Nelson // IEEE International Conference on Control Applications -2011 -P 1437-1442

20 Beard, R Information consensus m multivehicle cooperative control / R W Beard, E M Atkins // IEEE Control Systems Magazine - 2007 - Vol 27, no 2 - P 71-82

21 Ben Yamin, R Robust simple adaptive model following for linear time-delay systems with guaranteed H-mfinity performance / R Ben Yamm, I Yaesh, U Shakcd // IMA Journal of Mathematical Control and Information — 2010 — Vol 27, no 4 - P 475-491

22 Bhalla, U S Emergent Properties of Networks of Biological Signaling Pathways /US Bhalla, R Iyengar//Science - 1999 - Vol 283, no 5400 -P 381-387

23 Bliman, P-A Average consensus problems m networks of agents with delayed communications / P-A Bliman, G F Trecate//Automatica - 2008 - Vol 44, no 8 -P 1985-1995

24 Bullo, F Distributed Control of Robotic Networks A Mathematical Approach to Motion Coordination Algorithms / F Bullo, J Cortes, S Martinez — Pnnccton University Press, 2009 — P 336

25 Chen, L Nonlinear adaptive control using neural networks and multiple models / L Chen, K S Narendra//Automatica - 2001 - Vol 37, no 8 - P 1245-1255

26 Chow, C C Dynamics of Spiking Neurons with Electrical Coupling ICC Chow, N Kopell // Neural Computation - 2000 - Vol 12, no 7 - P 1643-1678

27 Chung, S -J Cooperative Robot Control and Concurrent Synchronization of Lagrangian Systems / S -J Chung, J -J E Slotme // IEEE Transactions on Robotics — 2009 — Vol 25, no 3 -P 686-700

28 Cohen, J Community Food Webs Data and Theory / J Cohen, F Bnand, C Newman — Springer, 1990 - P 308

29 Cohen, R Complex Networks Structure, Robustness and Function / R Cohen, S Havlin — Cambridge Univcisity Pi ess, 2010 — P 248

30 Collins, J J Stochastic resonance without tuning / J J Collins, C C Chow, T T Imhoff // Nature - 1995 - Vol 376 - P 236-238

31 Composite adaptive posicast control for a class of LTI plants with known delay / Z T Dydek, A M Annaswamy, J-J E Slotine, E Lavretsky // Automatica — 2013 — Vol 49, no 6 — P 1914-1924

32 Control of DFIG-Based Wind Generation for Power Network Support / F M Hughes, O Anaya-Lara, N Jenkins, G Strbac // IEEE Transactions on Power Systems — 2005 — Vol 20, no 4

- P 1958-1966

33 Control of spatially patterned synchrony with multisite delayed feedback / C Hauptmann, O Omcl'chcnko, O V Popovych et al // Physical Review E — 2007 — Vol 76, no 6

- P 1-6

34 Control of Synchronization m Delay-Coupled Networks / E Scholl, A Selivanov, J Lehnert et al //International Journal of Modern Physics B -2012 — Vol 26, no 25 - P 1246007

35 Controlling synchrony by delay coupling in networks From m-phase to splay and cluster states / C-U Choe, T Dahms, P Hovel, E Scholl // Physical Review E - 2010 - Vol 81, no 2 -P 025205

36 Coombes, S Neuronal Networks with Gap Junctions A Study of Piecewise Linear Planar Neuron Models / S Coombes // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems — 2008 — Vol 7, no 3

- P 1101-1129

37 De Vnes, G Diffusively Coupled Bursters Effects of Cell Heterogeneity / G De Vnes // Bulletin of Mathematical Biology - 1999 - Vol 61, no 5 -P 1017

38 Decentralized Output Feedback Synchronization of Dynamical Networks / A Fradkov, G Gng-onev, I Junussov et al // The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations - 2011 - P 22-23

39 Delay-range-dependent stability for systems with time-varying delay / Y He, Q -G Wang, C Lin, M Wu // Automatica - 2007 - Vol 43, no 2 - P 371-376

40 Erdos, P On random graphs I / P Erdos, A Renyi // Publicationes Mathematicae Dcbrcccn — 1959 - Vol 6 - P 290-297

41 Faloutsos, M On power-law relationships of the Internet topology / M Faloutsos, P Faloutsos, C Faloutsos // ACM SIGCOMM Computer Communication Review - 1999 - Vol 29, no 4

- P 251-262

42 Fiedler, B Handbook of Dynamical Systems / B Fiedler — Elseviei Science, 2002 — P 1098

43 Flunkert, V Suppressing noise-induced intensity pulsations in semiconductor lasers by means of time-delayed feedback / V Flunkert, E Scholl // Physical Review E — 2007 — Vol 76, no 6

- P 32-34

44 Fradkov, A Synchronization of Passifiable Lüne Systems Via Limited-Capacity Communication Channel / A L Fradkov, B Andnevsky, R J Evans // IEEE Transactions on Circuits and Systems I Regular Papers - 2009 - Vol 56, no 2 - P 430-439

45 Fradkov, A Passification-bascd robust flight control design / A Fradkov, B R Andnevsky // Automatica - 2011 - Vol 47, no 12 - P 2743-2748

46 Fradkov, A Decentralized adaptive controller for synchronization of dynamical networks with delays and bounded disturbances / A Fradkov, G Gngoriev, A Sehvanov // IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference — 2011 — P 1110-1115

47 Fradkov, A Passification Based Controlled Synchronization of Complex Networks / A Fradkov, I Junussov, A Sehvanov//European Conference on Complex Systems —2013 — P 993-996

48 Fudman, E Delay-dependent stability and H-mfinity control Constant and time-varying delays / E Fridman, U Shaked // International Journal of Control — 2003 - Vol 76, no 1 - P 48-60

49 From molecular to modular cell biology / L H Hartwell, J J Hopfield, S Leibler, A W Murray // Nature - 1999 - Vol 402 - P C47-C52

50 Graph structure in the Web / A Broder, R Kumar, F Maghoul et al // Computer Networks — 2000 - Vol 33, no 1-6 - P 309-320

51 Gu, K Stability of Time-Delay Systems / K Gu, V L Khantonov, J Chen — Boston Birkhauser, 2003 - P 354

52 Hale, J K Diffusive coupling, dissipation, and synchronization / J K Hale//Journal of Dynamics and Differential Equations — 1997 — Vol 9, no 1 — P 1-52

53 Hess, G Disease in Metapopulation Models Implications for Conservation / G Hess // Ecology

- 1996 - Vol 77, no 5 - P 1617

54 Hopfield, J Rapid local synchronization of action potentials toward computation with coupled integrate-and-fire neurons / J J Hopfield, A V Hertz // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America - 1995 - Vol 92, no 15 - P 6655-6662

55 Jin, X Z Adaptive synchronization of a class of uncertain complex networks against network deterioration / X Z Jin, G II Yang // IEEE Transactions on Circuits and Systems I Regular Papers - 2011 - Vol 58, no 6 - P 1396-1409

56 Khalil, H K Nonlinear Systems / H K Khalil - 3rd edition - Prentice Hall, 2002 - P 750

57 Khantonov, V Time-Delay Systems Lyapunov Functionals and Matrices / V Khantonov — Boston Birkhauser, 2012

58 Krstic, M Nonlinear and delay-adaptive systems / M Krstic // IEEE Control System Magazine

- 2010 - Vol 30, no 1 - P 22-41

59 Kuramoto, Y Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence / Y Kuramoto — Dover Publications, 2003 - P 176

60 Lmdorff, D Survey of adaptive control using Liapunov design / D P Lmdorff, R L Carroll // International Journal of Control - 1973 - Vol 18, no 5 -P 897-914

61 Liu, K Delay-dependent methods and the first delay interval / K. Liu, E Fndman // Systems & Control Letters - 2014 - Vol 64 - P 57-63

62 Logemann, H Destabilizing effects of small time delays on feedback-controlled descriptor systems / H Logemann // Linear Algebra and its Applications — 1998 — Vol 272, no 1-3 — P 131-153

63 Lu, J A time-varying complex dynamical network model and its controlled synchronization criteria / J Lu, G Chen // IEEE Transactions on Automatic Control — 2005 — Vol 50, no 6 - P 841-846

64 Matsumoto, T A chaotic attractor from Chua's circuit / T Matsumoto // IEEE Transactions on Circuits and Systems - 1984 - Vol 31, no 12 - P 1055-1058

65 Mirkm, B Adaptive control of linear time delay systems / B M Mirkin, P O Gutman // American Control Conference - 2004 - P 1241-1246

66 Mirkm, B Robust Adaptive Output-Feedback Tracking for a Class of Nonlinear Time-Delayed Plants / B Mirkin, P-0 Gutman // IEEE Transactions on Automatic Control — 2010 — Vol 55, no 10 - P 2418-2424

67 Mizumoto, I Parallel feedforward compensator design and ASPR based adaptive output feedback control for a time-delay system / I Mizumoto // Amcncan Control Conference — 2013 — P 4909-4914

68 Nelson, J P Model Reference Adaptive Control of Mildly Non-Linear Systems with Time Varying Input Delays - Part I / J P Nelson, M J Balas, R S Erwin // Advances in Aerospace Guidance, Navigation and Contiol — Springer Berlin Heidelbcig, 2013 — P 49-59

69 Newman, M The structure and function of complex networks / M E J Newman // SIAM Review - 2003 - Vol 45, no 2 - P 167-256

70 Olfati-Saber, R Consensus Problems in Networks of Agents with Switching Topology and Time-Delays / R Olfati-Saber, R M Murray // IEEE Transactions on Automatic Control — 2004 — Vol 49, no 9 - P 1520-1533

71. Park, P. Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays / P Park, J. W. Ko, C. Jeong // Automatica. - 2011. - Vol. 47, no 1 - P. 235-238.

72 Pecora, L. M Master Stability Functions for Synchronized Coupled Systems / L. M. Pecora, T L. Carroll // Physical Review Letters. - 1998. - Vol. 80, no. 10. - P. 2109-2112.

73. Phoneme recognition using time-delay neural networks / A. Waibel, T. Hanazawa, G. Hinton ct al. // IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. — 1989. — Vol. 37, no. 3. - P. 328 - 339.

74. Pogromsky, A Cooperative oscillatory behavior of mutually coupled dynamical systems / A Pogromsky, H. Nijmeijer // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. - 2001. - Vol. 48, no. 2. - P. 152-162

75. Power-electronic systems for the grid integration of renewable energy sources' A survey / J. M Carrasco, L G Franquelo, J T Bialasiewisz et al. // IEEE Transactions on Industrial Electronics. - 2006. - Vol 53, no. 4 - P. 1002-1016.

76 Ramana Reddy, D Time delay effects on coupled limit cycle oscillators at Hopf bifurcation / D. V. Ramana Reddy, A. Sen, G. L. Johnston // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1999. — Vol 129, no. 1-2 - P 15-34

77 Ramana Reddy, D. Dynamics of a limit cycle oscillator under time delayed linear and nonlinear feedbacks / D. V. Ramana Reddy, A. Sen, G. L. Johnston // Physica D Nonlinear Phenomena. — 2000. - Vol. 144, no 3-4 - P. 335-357

78. Rodriguez-Angeles, A Coordination of two robot manipulators based on position measurements only / A Rodriguez-Angeles, H Nijmeijer//International Journal of Control. — 2001. — Vol 74, no. 13 - P. 1311-1323

79 Sattenspiel, L The Spread and Persistence of Infectious Diseases in Structured Populations / L Sattenspiel //Mathematical Biosciences. - 1988. - Vol 90, no. 1-2. - P. 341-366.

80 Sehvanov, A Adaptive synchronization of networks with nonlinear delayed interconnections / A. Sehvanov // International Student Conference "Science and Progress". — 2011. — P. 81.

81. Sehvanov, A Adaptive synchronization of nonlinear networks with delayed couplings under incomplete control and incomplete measurements / A Sehvanov, A. Fradkov, E. Fridman // IFAC World Congress - 2011. - P 1249-1254

82 Selivanov, A Adaptive Control of Systems with Fast Varying Unknown Delay in Measurements / A Selivanov, E Fridman, A Fradkov//IEEE Conference on Decision and Control —2013 — P 5583-5587

83 Selivanov, A Adaptive synchronization of networks with bounded disturbances or delays under incompleteness of measurement and control / A Selivanov, G Grigoriev, A Fradkov // International Confeience "Physics and Control" — 2011 — http //lib physcon ru/doc?id=2a3dddla33bb

84 Selivanov, A Robust and Adaptive Passification Based Consensus Control of Dynamical Networks / A Selivanov, I Junussov, A Fradkov // IFAC International Workshop on Adaptation and Learning m Control and Signal Processing — 2013 — P 707-711

85 Selivanov, A Synchronization Algorithms for Dynamical Networks with Delayed Coupling / A Selivanov // International Student Olympiad on Automatic Contiol — 2011 — P 31-36

86 Sherman, A Emergence of organized bursting m clusters of pancreatic beta-cells by channel sharing / A Sherman, J Rmzel, J Keizei // Biophysical journal — 1988 — Vol 54, no 3 -P 411-425

87 Singh, M Speech recognition using neural networks / M Singh, K Verma // International Journal of Technology and Engmccimg Systems — 1995 — Vol 2, no 1 — P 108-110

88 Steur, E Synchronous Behavior m networks of coupled systems / E Steur — Eindhoven Technische Universiteit Eindhoven, 2011

89 Steur, E Synchronization in Networks of Diffusively Time-Delay Coupled Semi-Passive Systems / E Steui, H Nijmeijei // IEEE Tiansactions on Circuits and Systems I Regular Papers — 2011 - Vol 58, no 6 - P 1358-1371

90 Strogatz, S Exploring complex networks / S Strogatz//Nature — 2001 — Vol 410, no 6825

- P 268-276

91 Strogatz, S Coupled oscillators and biological synchronization / S H Strogatz, I Stewart // Scientific American - 1993 - Vol 269, no 6 - P 102-109

92 Sun, Y G Average consensus in networks of dynamic agents with switching topologies and multiple time-vaiying delays / Y G Sun, L Wang, G Xie // Systems & Control Letters — 2008

- Vol 57, no 2 - P 175-183

93 Tian, Y-P Consensus of Multi-Agent Systems With Diverse Input and Communication Delays / Y-P Tian, С -L Liu // IEEE Transactions on Automatic Control — 2008 — Vol 53, no 9 -P 2122-2128

94 Toodeshla, M H Adaptive robust control of uncertain systems with state and input delay / M H Toodeshki, S Hosseinma, J Askari // International Journal of Control, Automation, and Systems - 2011 - Vol 8, no 6 - P 1212-1220

95 vd Steen, R Partial synchronization of diffusively coupled chua systems An experimental case study / R vd Steen, H Nijmeijer // IFAC Conference on Analysis and Control of Chaotic Systems - 2006

96 Wang, D Neural network-based adaptive dynamic surface control for a class of uncertain nonlinear systems in stiict-feedback form / D Wang, J Huang // IEEE Transactions on neural networks

- 2005 - Vol 16, no 1 - P 195-202

97 Wasserman, S Social Netwoik Analysis Methods and Applications / S Wasserman — Cambridge University Press, 1994 — P 857

98 Watts, D J Collective dynamics of 'small-world' networks / D J Watts, S H Strogatz // Nature

- 1998 - Vol 393, no 6684 - P 440-442

99 Willems, J С Dissipative dynamical systems part I General theory / J С Willems // Archive foi Rational Mechanics and Analysis — 1972 — Vol 45, no 5 — P 321-351

100 Willems, J С Dissipative dynamical systems part II Linear systems with quadratic supply rates / J С Willems // Archive for Rational Mechanics and Analysis — 1972 — Vol 45, no 5 — P 352-393

101 Williams, R J Simple rules yield complex food webs / R J Williams, N D Martinez // Nature

- 2000 - Vol 404, no 6774 - P 180-183

102 Winfree, A T The Geometry of Biological Time /AT Wmfree — 2nd edition — Springer, 2001 - P 803

103 Wu, С W Synchronization m an array of linearly coupled dynamical systems / С W Wu, L О Chua // IEEE Transactions on Circuits and Systems I Fundamental Theory and Applications - 1995 - Vol 42, no 8 - P 430^147

104 Wu, C W Synchronization m Complex Networks of Nonlinear Dynamical Systems / C W Wu

- Singapore World Scientific, 2007 - P 168

105 Wu, H Decentralised adaptive robust control of uncertain large-scale interconnected systems with multiple time-varying delays / H Wu // International Journal of Systems Scicnce — 2012 — Vol 43, no 10 - P 1842-1854

106 Xiao, F Asynchronous Consensus in Continuous-Time Multi-Agent Systems With Switching Topology and Time-Varying Delays / F Xiao, L Wang // IEEE Transactions on Automatic Control - 2008 - Vol 53, no 8 - P 1804-1816

107 Yu, W Distributed adaptive control of synchronization in complex networks / W Yu, P DeLelhs // IEEE Transactions on Automatic Control — 2012 — Vol 57, no 8 — P 2153-2158

108 Zanin, M Networks of springs a practical approach / M Zamn, J M Buldu, S Boccaletti // International Journal of Bifurcation and Chaos - 2010 — Vol 20, no 03 - P 937-942

109 Zhang, F Robust synchioniztion of Lur'e networks with incremental nonlineanties / F Zhang, H L Trentelman, J M A Scherpen//IEEE Conference on Decision and Control — 2013 — P 3439-3444

110 Zhang, Q Adaptive feedback synchronization of a general complex dynamical network with delayed nodes / Q Zhang, J Lu, C K Tse // Circuits and Systems II Express Briefs — 2008

- Vol 55, no 2 - P 183-187

111 Zhang, Z Adaptive stabilisation for a class of non-linear state time-varying delay systems with unknown time-delay bound / Z Zhang, S Xu, Y Chu // IET Control Theoiy & Applications — 2010 - Vol 4, no 10 - P 1905-1913

112 Zheng, S Adaptive projective synchronization in complex networks with time-varying coupling delay/S Zheng, Q Bi, G Cai // Physics Letters A - 2009 - Vol 373, no 17 -P 1553-1559

113 Zhou, J Adaptive synchronization of an uncertain complex dynamical network / J Zhou, J Lu// IEEE Transactions on Automatic Control — 2006 — Vol 51, no 4 — P 652-656

114 Zhou, W Proportional-delay adaptive control for global synchronization of complex networks with time-delay and switching outer-coupling matrices / W Zhou, T Wang // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing - 2013 — Vol 23 — P 548-561