Адаптивное управление сетевыми динамическими системами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Джунусов, Ибрагим Алпысбаевич

• Джунусов, Ибрагим Алпысбаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Джунусов, Ибрагим Алпысбаевич

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Анализ существующих работ по управлению сетевыми динамическими системами.

1.2 Вспомогательные результаты.

1.2.1 Сведения из теории графов.

1.2.2 Свойства кронекерового произведения матриц.

1.2.3 Лемма Якубовича-Калмана.

1.2.4 Метод пассификации.

1.2.5 Метод скоростного градиента в задачах децентрализованного управления.

2 Децентрализованное управление взаимосвязанными объектами

2.1 Постановка задачи управления идентичными объектами

2.2 Синтез управления.

2.3 Условия достижения цели управления.

2.3.1 Случай липшицевых нелинейностей.

2.3.2 Случай ipofa) = ВфоЫ).

2.3.3 Синхронизация при условиях согласованности.

2.4 Постановка задачи управления неидентичными объектами

2.5 Структура адаптивного регулятора

2.6 Условия достижения цели управления.

2.7 Пример. Сеть цепей Чуа.

2.7.1 Описание и анализ системы.

2.7.2 Результаты численного моделирования

3 Сетевое управление по измерениям выходов систем

3.1 Постановка задачи.

3.2 Условия достижения цели управления в случае сбалансированного информационого графа.

3.3 Условия достижения цели управления в случае несбалансированного информационного графа.

3.4 Условия достижения цели управления в случае неориентированного информационого графа

3.5 Пример. Сеть двойных интеграторов.

3.5.1 Результаты численного моделирования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивное управление сетевыми динамическими системами»

Задачи теории управления в сетях активно исследуются в последнее десятилетие и имеют много важных направлений. К задачам такого типа относятся следующие задачи: управление с целью синхронизации [2, 23, 39, 56, 43, 58, 59], управление с ограничениями на информационный канал [32, 44], управление движением групп мобильных роботов (мультиагентные системы - Multiagent Systems) [18, 19, 21, 25, 34, 38, 41, 42, 46, 49, 55] в том числе и предотвращения столкновений (Collision Avoidance) [22, 26, 51, 52] и т.д. Кроме того, в задачах кибернетики рассматриваются проблемы передачи шифрованных сообщений [8, 40] с помощью сетей и сенсорные сети. Разработка подобных сетевых систем связана со стремительным развитием информационных и коммуникационных технологий, основанных, вчастности, на беспроводной связи и беспроводных сенсорах. Однако синтез регуляторов, обеспечивающих желаемое поведение объектов сети, затруднен сложностью и пространственной распределенностью этих объектов, а также ограничениями на обмен информацией между ними.

При описании и анализе сетевых систем часто используется теория графов, поскольку графами можно описывать связи между отдельными объектами сети либо информационные потоки в этих системах.

Хотя задачи децентрализованного управления хорошо исследованы в работах А.А. Воронова, Б.М. Миркина, A.JT. Фрадкова, Д-Д. Сильяка, P.M.

Мюррея [4, 10, 15, 27, 28, 47, 50] и многих других авторов, постоянно возникают все более сложные задачи, например управление через канал с ограниченной пропускной способностью.

Целью работы является синтез регуляторов, обеспечивающих сходимость между собой решений динамических систем, образующих сети, при неполных измерениях и управлениях для различных случаев.

В данной работе рассмотрены задачи управления в сетях двух типов:

1. Управление синхронизацией в сетях взаимосвязанных объектов в форме Лурье (идентичных и неидентичных).

2. Управление в сетях линейных объектов, не являющихся динамически связанными, т.е. не оказывающих непосредственного влияния друг на друга.

В первом типе задач взаимосвязи трактуются как возмущения, для достижения цели управления используется модель ведущая-ведомые подсистемы (leader-follower или master-slave). Во втором типе задач используется сетевое управление, называемое в существующих работах консенсусным [47, 48, 57], при этом модель ведущая-ведомые подсистемы не используется. Задачи первого типа рассматриваются в главе 2, второго типа - в главе 3.

Несмотря на большой интерес к задачам управления сетями, пока решен только ограниченный класс таких задач. В статьях о синхронизируемости и стабилизируемости сетей [39, 56, 58, 59] предполагается, что все состояние отдельной подсистемы доступно измерению, а также, что управление входит во все уравнения подсистем. В главе 2 приводятся условия достижения синхронизации в сетях систем Лурье при неполных управлениях и измерениях с помощью децентрализованных адаптивных регуляторов в различных случаях. Синтез регуляторов произведен с помощью метода скоростного градиента, предложенного в работах A.JI. Фрадкова [14, 15].

Как указывается в работе [47], синтез сетевых регуляторов, обеспечивающих синхронизацию в направленных сетях (т.е. описывающихся с помощью ориентированных графов), является более сложной и важной задачей по сравнению с такой же задачей в ненаправленных сетях, ввиду уменьшения информационного трафика.

В работе [28] рассмотрен динамический регулятор, являющийся сложным для расчета и построения сетевых систем управления. В работах [37, 57] задача решается с помощью наблюдателей, что с ростом количества агентов приводит к повышению порядка системы. В главе 3 на основе метода пас-сификации, предложенного A.JI. Фрадковым в работе [13], приводятся параметры и условия работоспособности статического регулятора по выходу в направленных сетях, состоящих из линейных объектов при неполных управлениях и измерениях без использования наблюдателей.

В первой главе делается краткий анализ существующих работ но управлению в сетях и приводятся вспомогательные результаты, необходимые для дальнейшего изложения: сведения из теории графов (включая определение лапласовской матрицы и свойства ее спектра), свойства кронекерова произведения матриц, частотная теорема (лемма Якубовича-Калмана), а также предложенные A.JI. Фрадковым методы пассификации и скоростного градиента в задачах децентрализованного управления.

Диссертационная работа организована следующим образом. Во второй главе изложены основные результаты работы. В разделах 2.1-2.3.3 главы 2 рассматриваются сети идентичных объектов, описываемых уравнениями в форме Лурье, т.е. системами дифференциальных уравнений первого порядка, правые части которых разбиты на линейные и нелинейные составляющие. Связи между объектами не предполагаются линейными, они могут быть нелинейными. В отличие от известных работ, например [59, 58], считается, что измерению доступна лишь некоторая функция состояния, а не все состояние отдельной подсистемы, а также, что управление входит не во все уравнения подсистем. Считается, что связи между объектами зависят от вектора неизвестных параметров. Кроме того, параметры объектов сети в случае согласованности также считаются зависящими от вектора неизвестных параметров. Выделяется ведущая (лидирующая) подсистема, являющаяся изолированной, т. е. не связанной с остальными. Функция управления ведущей подсистемы считается известной. Ставится задача нахождения децентрализованного алгоритма адаптивного управления и условий, обеспечивающих синхронизацию, т. е. сближение решения каждой подсистемы с решением ведущей подсистемы. Цель управления должна достигаться для каждого вектора неизвестных параметров из некоторого класса. Связи между подсистемами считаются липшицевыми.

Рассматриваются три случая уравнений подсистем: случай подсистем с липшицевыми нелинейностями, случай подсистем с нелипшицевыми нелиней-ностями, для которых выполнено некоторое условие монотонности, и случай подсистем, для которых выполнено свойство согласованности структуры объектов сети со структурой ведущей подсистемы. Поставленная задача решается с помощью результатов, изложенных в [11, 15, 16, 33]. Алгоритм адаптации синтезируется методом скоростного градиента. Получена оценка на константы Липшица взаимосвязей, обеспечивающая достижение цели управления при выполнении дополнительных условий, а именно: при гипер-минимально-фазовости некоторых передаточных функций в первых двух случаях и при строгой пассивности ведущей подсистемы в третьем случае.

В разделах 2.4-2.6 приводится постановка задачи управления неидентичными системами, структурно согласованными между собой. При предположениях о строгой пассивности лидирующей подсистемы получены условия достижения цели управления в виде синхронизации.

Согласно замечанию из раздела 2.3.1 все теоремы главы 2 могут быть сформулированы в терминах входящих степеней вершин графа связей.

В разделе 2.7 полученные результаты иллюстрируются примером синхронизации нескольких взаимосвязанных цепей Чуа, проявляющих сложное поведение. Проведено численное моделирование, подтверждающее теоретические результаты.

В главе 3 рассматривается задача управления линейными динамическими системами с помощью сетевого статического регулятора (консенсусного управления) при неполных измерениях и управлениях. Важную роль при анализе задачи о сходимости между собой траекторий подсистем сети играют лапласовские матрицы. На основе метода пассификации получены условия достижения цели управления для случаев сбалансированного и несбалансированного графов при предположении о существовании у информационного графа ориентированного остовного дерева. Такие же условия получены для случая неориентированного информационного графа. В разделе 3.4 рассматривается пример сети, состоящей из четырех двойных интеграторов. Условия достижения цели управления, полученные для случая сбалансированного графа, иллюстрируются результатами численного моделирования.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Джунусов, Ибрагим Алпысбаевич

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Синтезированы децентрализованные адаптивные регуляторы для сетей, состоящих из взаимосвязанных объектов в форме Лурье, и получены условия достижения цели управления в виде стремления траекторий всех подсистем к траектории ведущей подсистемы в в следующих случаях: случай глобально липшицевых нелинейностей, случай с обобщенно монотонными нелинейностями, случай согласованности структуры структуры подсистем сети с лидирующей подсистемой.

2. Синтезирован децентрализованный адаптивный регулятор для сетей, состоящих из неидентичных взаимосвязанных объектов в форме Лурье, и получены условия достижения цели управления в виде стремления траекторий всех подсистем к траектории ведущей подсистемы для случая согласованности структуры подсистем сети с лидирующей подсистемой.

3. При помощи метода пассификации найдены условия достижения синхронизации по выходу в сетях линейных объектов при неполных измерениях и управлениях с помощью статических регуляторов без построения наблюдателей.

4. Проведены численные эксперименты, подтверждающие теоретические результаты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Джунусов, Ибрагим Алпысбаевич, 2010 год

1. А гаев Р. П., Чеботарев П. Ю. Лапласовские спектры орграфов и их приложения // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 47-62.

2. Андриевский Б. Р., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Синхронизация нелинейных непассифицируемых систем на основе адаптивных наблюдателей // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 7. — С. 74-89.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969.

4. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. — М.: Наука, 1985.

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Физматлит, 2004.

6. Джунусов И. А., Фрадков А. Л. Адаптивная синхронизация сети взаимосвязанных систем лурье // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 7.- С. 111-126.

7. Дмитриев А. С., Панас А. И., Старков С. О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. — 1997. — № 10. С. 4-26.

8. Маркус М.} Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.: Наука, 1972.

9. Миркин Б. М. Адаптивное децентрализованное управление с модельной координацией // Автоматика и телемеханика. — 1999.— № 1.— С. 90100.

10. Мирошник И. ВНикифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. — СПб.: Наука, 2000.

11. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. — М.: Наука, 1981.

12. Фрадков А. Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта / / Сиб. мат. журн. — 1976. № 2. - С. 436-446.

13. Фрадков А. Л. Схема скоростного градиента и его применения в задачах адаптивного управления // Автоматика и телемеханика. — 1979. — №9.-С. 90-101.

14. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. — М.: Наука, 1990.

15. Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // ДАН СССР. — 1962. — Т. 143, № 6. С. 1304-1307.

16. Alligood К., Sauer Т., Yorke J. Chaos: an Introduction to Dynamical Systems. — New York: Springer-Verlag, 1996.

17. Blondei V. D., Hendrickx J. M., Olshevsky A., Tsitsiklis J. N. Convergence in multiagent coordination, consensus, and flocking // 44th IEEE Conference on Decision and Control, Spain. — 2005.

18. Blondel V. D., Hendrickx J. M., Tsitsiklis J. N. On Krause's multi-agent consensus model with state-dependent connectivity // IEEE Trans, on Autom. Control. — 2009. Vol. 54, no. 11. - Pp. 2586-2597.

19. Bullo F., Cortez J., Martinez S. Distributed control of robotic networks. — Princeton Univ. Press, 2009.

20. Chang D. E., Shadden S., Marsden J., Olfati-Saber R. Collision avoidance for multiple agent systems // Proc. 42nd IEEE Conf. on Decision and Control, Hawaii. 2003. — Pp. 539-543.

21. Chopra N., Spong M. W. Passivity-based control of multi-agent systems // in: Kawamura, Sadao, Svinin, Mikhail (Eds.), Advances in robot control, from everyday physics to human-like movements, Springer- Verlag, Berlin. — 2007. Pp. pp. 107-134.

22. Chopra N., W.Spong M. Output synchronization of nonlinear systems with time delay in communication // Proceedings of the 45th IEEE Conf. Dec. Control. 2006. — Pp. 4986 4992.

23. Dimarogonas D. V., Kyriakopoulos K. J. On the state agreement problem for unicycles // Proc. of the 2006 American Control Conference. — 2006.— Pp. 2016-2021.

24. Dimarogonas D. V., Loizou S. G., Kyriakopoulos K. J., Zavlanos M. M. A feedback stabilization and collision avoidance scheme for multiple independent non-point agents // Automatica. — 2006. — Vol. 42. — P. 229-243.

25. Druzhinina M. V., Fradkov A. L. Adaptive decentralized control of interconnected systems // Proc. 14-th IFAC World Congr. — 1999. — Vol. L. — Pp. 175-180.

26. Fax J. R., Murray R. M. Information flow and cooperative control of vehicle formations // IEEE Trans, on Autom. Control. — 2004. — Vol. 49. — Pp. 1465-1476.

27. Fradkov A., Junussov I. Adaptive synchronization in nonidentical Lurie systems with Lipschitz nonlinearities // 4th International Conference on Physics and Control (PhysCon 2009), Catania, Italy. — 2009.

28. Fradkov A. L. Passification of nonsquare linear systems and feedback Yakubovich-Kalman-Popov lemma // Eur. J. Control. — 2003. — no. 6. — Pp. 573-582.

29. Fradkov A. L., Markov A. Y. Adaptive synchronization of chaotic systems based on speed gradient method and passification // IEEE Trans. On Circuits And Systems-I: Fundamental theory and applications. — 1997. — Vol. 44, no. 10. —Pp. 905-912.

30. Jadbabaie A., Lin J., Morse A. S. Coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules // IEEE Trans, on Autom. Control. 2003. - Vol. 48. - P. 988-1001.

31. Jiang G.-P., Tang W. K.-S., Chen G. A state-observer-based approach for synchronization in complex dynamical networks // IEEE Trans. On Circuits And Systems-I: Reg. Papers. — 2006. — Vol. 53, no. 12. Pp. 2739-2745.

32. Junussov I. Adaptive synchronization of nonlinear dynamical networks // Preprints 12th International Student Olympiad on Automatic Control, St. Petersburg. — 2008. — Pp. 62-66.

33. Li Z. K., Duan Z. S., Chen G. R., Huang L. Consensus of multi-agent systems and synchronization of complex networks: A unified viewpoint // IEEE Trans. On Circuits And Systems-I: Reg. Papers. — 2010. — Vol. 57, no. 1. — Pp. 213224.

34. Lin J., Morse A. S., Anderson B. D. O. The multi-agent rendezvous problem // Proc. of the 4%nd 2003 IEEE Conference on Decision and Control. 2003. - Pp. 1508-1513.

35. Lu J., Chen G. A time-varying complex dynamical network model and its controlled synchronization criteria // IEEE Trans, on Autom. Control. — 2005. Vol. 50, no. 6. - Pp. 841-846.

36. Markov A. Y., Fradkov A. L. Adaptive synchronization of chaotic systems based on speed gradient method and passification // IEEE Trans. On Circuits And Systems-I: Fundamental theory and applications. — 1997. — Vol. 10. — Pp. 905-912.

37. Marshall J. A., Broucke M. E., Francis B. A. Formations of vehicles in cyclic pursuit // IEEE Trans, on Autom. Control — 2004.— Vol. 49, no. 11.— Pp. 1963-1974.

38. Marshall J. A., Broucke M. E., Francis B. A. Pursuit formations of unicycles // Automatica. — 2006. — no. 1. — Pp. 3-12.

39. Mastellone S., Lee D., Spong M. W. Master-slave synchronization with switching communication through passive model-based control design // Proceedings of the 2006 American Control Conference, Minneapolis, Minnesota, USA. 2006. — Pp. 3203-3208.

40. Matveev A. S., Savkin A. V. Estimation and Control over Communication Networks. — Birkhauser, 2009.

41. Mohar B. Some applications of Laplace eigenvalues of graphs // "Graph Symmetry: Algebraic Methods and Applications NATO ASI Ser. С 497.— 1997.-Pp. 225-275.

42. Olfati-Saber R. Flocking for multi-agent dynamic systems: Algorithms and theory // IEEE Trans, on Autom. Control — 2006. — Vol. 51. P. 401-420.

43. Olfati-Saber R., Murray R. M. Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays // IEEE Trans, on Autom. Control. —2004. Vol. 49, no. 9. - Pp. 1520-1533.

44. Ren W., Beard R. W. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies // IEEE Trans, on Autom. Control. 2005. - Vol. 50, no. 5. - Pp. 655-661.

45. Ren W., Beard R. W., Atkins E. M. A survey of consensus problems in multi-agent coordination // Proc. of American Control Conference, Oregon2005. Pp. 1859-1864.

46. Siljak D. D. Decentralized Control of Complex Systems. — Boston, MA: Academic, 1990. — Vol. 184 of Mathematics in Science and Engineering.

47. Stipanovic D. M., Hokayem P. F., Spong M. W., Siljak D. D. Cooperative avoidance control for multiagent systems // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control — 2007. — Vol. 129. — Pp. 699-707.

48. Stipanovic D. M., Sriram S., Tomlin C. J. Multi-agent avoidance control using an m-matrix property // Electron. J. Linear Algebra.— 2005.— Vol. 12. P. 64-72.

49. Yang P., Freeman R. A., Lynch К. M. Multi-agent coordination by decentralized estimation and control // IEEE Trans, on Autom. Control — 2008. — Vol. 53, no. 11. Pp. 2480 - 2496.

50. Yao J., Hill D. J., Guan Z.-H., Wang H. O. Synchronization of complex dynamical networks with switching topology via adaptive control // Proceedings of the 45th IEEE Conf. Dec. Control — 2006. Pp. 2819-2824.

51. Yoshioka C., Namerikawa T. Observer-based consensus control strategy for multi-agent system with communication time delay // Proceedings of IEEE MSC-2008, San-Antonio, USA. — 2008. Pp. 1037-1042.

52. Zhong W.-S., Dimirovski G. M., Zhao J. Decentralized synchronization of an uncertain complex dynamical network // Proceedings of 2007 American Control Conference. 2007. — Pp. 1437-1442.

53. Zhou J., Lu J., Lu J. Adaptive synchronization of an uncertain complex dynamical network // IEEE Trans, on Autom. Control — 2006.— Vol. 51, no. 4. — Pp. 652-656.