Учет эффектов реального газа в статистическом моделировании неравновесных разреженных течений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Бондарь, Евгений Александрович

• Бондарь, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бондарь, Евгений Александрович

Введение

1 Модели для учета эффектов реального газа в методе ПСМ

1.1 Внутренние степени свободы молекул.

1.1.1 Равновесие и детальный баланс.

1.1.2 Степени свободы частиц.

1.1.3 Энергетические уровни колебательной моды.

1.1.4 Функции распределения энергии.

1.2 Модель Ларсена-Боргнакке.

1.3 Моделирование VV-обмена.

1.3.1 Модель с одноквантовыми переходами.

1.3.2 Обобщение модели Ларсена-Боргнакке.

1.4 Тестирование моделей VV-обмена

1.4.1 Параметры численного метода.

1.4.2 Адиабатическая релаксация: постановка задачи

1.4.3 Результаты расчетов.

1.5 Анализ применимости моделей VV-обмена.

1.5.1 Параметры течения

1.5.2 Давление 670 мм рт. ст.

1.5.3 Давление 300 мм рт. ст.

1.6 Моделирование химических реакций.

1.6.1 Константа скорости реакции.

1.6.2 Модель полной столкновительной энергии ТСЕ

1.7 Химические реакции при высокой температуре и колебатель-но-диссоциационное взаимодействие.

1.8 Модель химических реакций метода ПСМ, основанная на двух-температурной константе.

1.9 Сечения диссоциации N2.

1.9.1 Отыскание функций сг'п(Е).

1.9.2 Отыскание функции /3(п).

1.9.3 Сечения диссоциации (тп(Е).

1.10 Анализ и примеры применения модели.

1.10.1 Равновесный резервуар

1.10.2 Сечения диссоциации

1.10.3 Распределения f{n\D).

1.10.4 Адиабатический резервуар

2 Анализ применимости моделей реального газа для метода

2.1 Постановка задачи.

2.2 Методы расчета.

2.2.1 Метод ПСМ

2.2.2 Уравнения Навье-Стокса.

2.3 Исследование численной сходимости.

2.3.1 Оценка точности результатов расчетов методом ПСМ

2.3.2 Оценка точности результатов численного решения уравнений Навье-Стокса.

2.4 Течение аргона.

2.5 Течение нереагирующего азота.

2.6 Течение азота с учетом химических реакций.

2.7 Влияние колебательно-диссоциационного взаимодействия

2.8 Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными

3 Структура релаксационной зоны в гиперзвуковом течении смеси C02/N

3.1 Постановка задачи и численные параметры.

3.2 Нереагирующее течение.

3.3 Химически реагирующее течение.

3.4 Оценка влияния модели упругого взаимодействия молекул

4 Моделирование струй стационарных плазменных двигателей

4.1 Физическая модель струи стационарного плазменного двигателя

4.2 Численные методы.

4.2.1 Моделирование движения частиц.

4.2.2 Моделирование столкновений.

4.2.3 Описание остаточного газа.

4.3 Геометрия двигателя, расчетная область и параметры течения

4.4 Моделирование струи, истекающей в камеру.

4.4.1 Двигатель СПД-100.

4.4.2 Двигатель "Атон".

4.5 Моделирование струи, истекающей в космическое пространство

4.5.1 Двигатель СПД-100.

4.5.2 Двигатель "Атон".

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Учет эффектов реального газа в статистическом моделировании неравновесных разреженных течений»

Исследование физических процессов и явлений в разреженных неравновесных течениях имеет непосредственное отношение к разработке новых аэрокосмических и микроэлектронных технологий. Такие течения традиционно изучаются в рамках динамики разреженного газа [1], которая охватывает большое число фундаментальных задач, таких как динамика молекулярных столкновений и эпергообмен между различными молекулярными модами в столкновениях, взаимодействие газа с поверхностью, конденсация и испарение, течения разреженных нейтральных и ионизованных струй и многие другие. Все эти задачи тесно связаны с практическими приложениями, которые могут быть условно разделены на две группы. Первая группа включает в себя вопросы, связанные с гиперзвуковой аэротермодинамикой космических аппаратов (КА) па больших высотах, а также вопросы взаимодействия струй двигателей управления с элементами конструкции спутников и орбитальных станций (в основном внешние высокоскоростные течения). Вторая группа представлена проблемами микроэлектроники, производства материалов, течениями в микроустройствах и т.п. (в основном внутренние медленные течения). Настоящая работа связана, прежде всего, с первой группой задач.

Поскольку экспериментальное моделирование разреженных неравновесных течений затруднительно как с технической, так и с экономической точки зрения (особенно в случае высокоэнтальпийных течений), то практически единственным средством для получения достоверных данных являются численные методы динамики разреженного газа. Существует целый ряд методов для решения газодинамических задач, и выбор того или иного метода зависит в существенной мере от степени разреженности исследуемого течения. Разреженность течения традиционно характеризуется числом Кпудсепа Кп, которое определяется как отношение средней длины свободного пробега молекул Л к характерной длине L. При числах Кнудсена Кп < 0,01 (в континуальном режиме) обычно пренебрегают внутренней структурой газа и применяют подходы, основанные на решении уравнений Навье-Стокса. Уравнения Навье-Стокса выводятся методом Чепмена-Эпскога из нелинейного кинетического уравнения Больцмана - основного уравнения, описывающего течения разреженного газа - в предположении малого отклонения от равновесия функции распределения скоростей. В связи с этим считается, что уравнения Навье-Стокса со стандартными для них граничными условиями прилипания пе применимы для расчета течений газа при Кп > 0,01. Можно расширить область применения уравнений Навье-Стокса до чисел Кнудсена Кп ~ 0,1, учитывая начальные эффекты разреженности использованием граничных условий скольжеиия и температурного скачка. При числах Кнудсена Кп > 0,1 (в переходном режиме) уравнения Навье-Стокса заведомо пе применимы, поскольку распределение скоростей частиц в таких разреженных течениях становится существенно неравновесным. Поэтому для численного решения задач динамики разреженного газа для чисел Кп > 0,1 необходимо рассматривать непосредственно уравнение Больцмана. Отметим, что приведенные здесь границы применимости подходов по числу Кпудсепа являются весьма условными, так как существенно зависят от типа рассматриваемого течения.

Известно [2], что аналитическое решение уравнения Больцмана возможно лишь для некоторых простейших случаев. Что же касается более сложных задач, то для их решения в основном применяются метод прямого численного интегрирования [3, 4] (ПЧИ) уравнения Больцмана и метод прямого статистического моделирования (ПСМ) [5, С].

Метод ПЧИ включает в себя два основных этапа - вычисление интеграла столкновений и интегрирование дифференциального уравнения. В работе [7] метод вычисления интеграла столкновений был существенно улучшен на основе использования специальных квадратурных формул. Основным педостатками этого подхода являются:

• существенная зависимость его трудоемкости от размерности задачи и, как следствие, весьма ограниченное использование для решения трехмерных задач;

• высокая сложность обобщения метода на течения с внутренними степенями свободы и химическими реакциями; в настоящий момент известны только примеры моделирования течений одноатомных и двухатомных газов без химических реакций [8].

Метод ПСМ в настоящее время фактически является основным инструментом для исследования сложных многомерных течений разреженного газа. Это обусловлено рядом его очевидных достоинств:

• сравнительной простотой перехода от одномерных к двух- и трехмерным задачам;

• возможностью эффективного применения метода на современных компьютерах с параллельной и векторной архитектурой;

• возможностью использования различных моделей взаимодействия частиц газа, в том числе и моделей внутренних степеней свободы молекул и химических реакций, без значительного усложнения вычислительного алгоритма.

Метод ПСМ традиционно рассматривается [5, 6, 9, 10, 11] как метод компьютерного моделирования ~ 105 — 107 частиц, представляющих реальный газ. Каждая из этих частиц (модельных молекул) в свою очередь представляет очень большое число реальных молекул. Процесс непрерывного движения и столкновений молекул на временном шаге At расщепляется на два последовательных этапа - свободномолекулярпый перенос и столкновительную релаксацию. В процессе реализации метода ПСМ расчетная область разбивается на ячейки, размеры которых должны быть меньше локальной длины свободного пробега молекул. Величина шага At выбирается таким образом, чтобы молекулы за один шаг не пересекали более одной ячейки. В течение временного шага независимо в каждой ячейке производятся столкновения молекул без учета их взаимного расположения. Затем на шаге At молекулы во всех ячейках сдвигаются на расстояние, пропорциональное их скоростям. Если в процессе свободномолекулярного движения молекула сталкивается с поверхностью обтекаемого тела, то моделируется ее отражение в соответствии с заданным законом взаимодействия газа с поверхностью. Пространственное распределение газодинамических параметров, таких как скорость, плотность, температура и т.п., а также поверхностные характеристики, такие как тепловой поток, давление и т.п. оцениваются осреднением молекулярных признаков по времени или по ансамблю.

В настоящее время существует два различных подхода к построению и обоснованию численных схем метода ПСМ. Первый подход [5, 6] основан на физических представлениях о течении разреженного газа и предположениях лежащих в основе феноменологического вывода уравнения Больцма-на. В настоящей работе используются численные схемы мажорантной частоты [9, 10, И], полученные с использованием другого, математического подхода. Эти схемы выведены из основного кинетического уравнения с учетом специфики N-частичной модели газа и обобщения известного метода максимального сечения [12] с дополнительной рандомизацией.

Все существующие на данный момент схемы реализации метода ПСМ близки по эффективности. Применимость метода ПСМ для моделирования течений простого газа неоднократно подтверждалась сравнениями с экспериментальными данными, результатами численных исследований другими методами ДРГ и аналитическими результатами. В настоящий момент основное направление в развитии метода ПСМ связано с необходимостью учета эффектов реального газа при решении задач высотной аэротермодинамики.

Отметим, что при уменьшении числа Кнудсена очень быстро возрастают требуемые вычислительные ресурсы для расчетов методом ПСМ, и поэтому моделирование течений при числах Кнудсена Кп~ 10~3 и ниже (в околоконтинуальном и континуальном режиме) долгое время находилось за пределами применения данного метода. Благодаря бурному росту производительности компьютеров и развитию технологий параллельных вычислений, в последние два десятилетия область применения метода ПСМ расширилась на двух- и трехмерные около-континуальные и даже континуальные течения. Таким образом, существует область параметров, в которой применимы одновременно уравнения Навье-Стокса и метод ПСМ. Отметим, что при моделировании около-континуальных и континуальных высокоскоростных течений корректное моделирование эффектов реального газа особо важно.

В континуальной газовой динамике под эффектами реального газа обычно понимается (см., например, [13]) влияние па картину течения возбуждения колебательных степеней свободы молекул, электронного возбуждения, ионизации и химических реакций. В приложении к методу ПСМ, который представляет собой микроскопический подход к описанию течений газа, в понятие "эффекты реального газа" удобно вкладывать более широкий смысл, подразумевая под этими эффектами влияние модели межмолекулярных столкновений в целом. Таким образом, эффекты реального газа для метода ПСМ касаются следующих аспектов, связанных со столкновениями молекул:

• потенциал межмолекулярпого взаимодействия;

• обмен энергией между поступательными, вращательными и колебательными модами молекул в столкновениях;

• химические реакции в газовой фазе, а именно реакции диссоциации и обмена (в подавляющем большинстве задач динамики разреженного газа реакции рекомбинации не существенны и поэтому не рассматриваются в настоящей работе).

• возбуждение электронных состояний атомов и молекул, ионизация и взаимодействие заряженных частиц с нейтральными и между собой.

В большинстве задач, попадающих в область применения метода ПСМ, процессы электронного возбуждения и ионизации в межмолекулярпых столкновепиях не оказывают существенного влияния на структуру течения, что связано, прежде всего, с высоким энергетическим порогом данных процессов. Однако в некоторых задачах динамики разреженного газа определяющую роль играют заряженные частицы, поступающие из внешних по отношению к исследуемой области источников. К таким задачам относится моделирование разреженных ионизованных струй электрореактивных двигателей управления, к которым особенно велик интерес в последнее время. В такой ситуации необходимо корректно моделировать как столкновения между заряженными и нейтральными частицами, так и дальнодействующее взаимодействие заряженных частиц друг с другом, которое может быть описано как их взаимодействие с самосогласованным электрическим полем. В настоящей работе мы будем включать в понятие "эффектов реального газа" и такие процессы, даже если они и не являются в строгом смысле столкновительными.

Перечисленные выше физико-химические процессы оказывают существенное влияние на высокоскоростные разреженные течения. В частности, образование высокотемпературной области за головной ударной волной и связанные с ней химические реакции и возбуждение колебательных степеней свободы, а также поступательно-вращательная неравновесность, существенно влияют на аэротермодинамику космических аппаратов на высотах полета ниже 90 км. Поэтому для исследования таких течений методом ПСМ выбор моделей для описания эффектов реального газа является принципиальным моментом.

Большое число моделей для описания эффектов реального газа было предложено в литературе за последние десятилетия (см. работу [18] и далее по списку литературы). На основе многолетнего опыта были выработаны следующие требования к моделям, используемым в методе ПСМ:

• модель должна с достаточной точностью описывать процесс (как минимум необходимо соответствие с известной температурной зависимостью экспериментальной или теоретической, макроскопической скорости процесса);

• модель пе должна быть излишне сложной для реализации в расчетной программе;

• желательно, чтобы модель была применима к многоатомным молекулам (или хотя бы допускала возможность обобщения на многоатомные молекулы);

• модель должна быть достаточно численно эффективной для применения к около-континуальным и континуальным течениям, при моделировании которых необходимо выполнять миллионы столкновений модель-пых молекул за шаг по времени на каждом процессоре.

В представленном ниже обзоре основное внимание будет уделяться моделям, которые удовлетворяют или хотя бы частично удовлетворяют этим требованиям.

В связи со сложностью строгого расчета межмолекулярного потенциала в газовой динамике традиционно используются модельные потенциалы (обратно-степенной потенциал, потенциал Леннарда-Джонса и т.п.). Использование таких потенциалов в методе ПСМ ие удовлетворяет указанным выше требованиям простоты имплементации и численной эффективности, и поэтому модельные потенциалы практически не применяются для многомерных задач и течений при низких числах Кнудсена. Обзоры и примеры расчетов с использованием таких потенциалов представлены в работах [11, 14, 15, 16, 17].

С начала 80-х годов и вплоть до настоящего времени наиболее часто используемой столкновительной моделью в методе ПСМ является модель переменных твердых сфер (Variable Hard Sphere / VHS) [18], разработанная специально для этого метода. В этой модели используется закон рассеяния твердых сфер, а диаметры сталкивающихся частиц обратно пропорциональны относительной поступательной энергии пары в степени, которая определяется из равенства вязкого сечения вязкому сечению для степенного потенциала. Отметим, что, если выполняется условие равенства вязких сечений этих моделей, то их диффузионные сечения различны (в наихудшем случае отличие составляет 50%). В связи с этим в [14] предложена модель переменных мягких сфер (Variable Soft Sphere / VSS). В пей диаметр, как и для VHS, является обратно-степенной функцией относительной поступательной энергии сталкивающейся пары, а закон рассеяния модифицирован таким образом, чтобы вязкое и диффузионное сечения для VSS модели и степенного потенциала совпадали.

При низких температурах модели VHS и VSS могут оказаться недостаточно точными, так как при их выводе не учитываются силы притяжения молекул. В модели обобщенных твердых сфер (Generalized Hard Sphere / GHS), разработанной в [19], при выводе выражения для сечения учитывается притяжение молекул, а при рассеянии используется закон твердых сфер.

Использование в расчетах методом ПСМ моделей VHS и VSS фактически является стандартом в настоящее время. Можно утверждать, что эти модели удовлетворяют указанным выше требованиям для большинства задач динамики разреженного газа. Отдельный интерес представляет вопрос об использовании диаметров, зависящих от колебательного состояния молекулы, рассмотренный в [20, 21, 22]. Из последних достижений следует отметить работу [23], где построена высокотемпературная модель упругих столкновений, использующая закон рассеяния модели VSS и выражение для сечения модели GHS. Все параметры модели определяются из температурных зависимостей столкновительиых интегралов, полученных на основе кваптовомеханических расчетов или экспериментальных данных.

Для описания энергетического обмена между поступательными и вращательными модами (RT-обмена) сталкивающихся молекул в методе ПСМ традиционно используется модель Ларсена-Боргнакке (ЛБ) [24]. В этой модели энергетический спектр вращательной моды полагается непрерывным, и некоторая доля ф = 1/Zr от полного числа столкновений производится с обменом энергией между поступательными и вращательными степенями свободы. При этом послестолкновительиые энергии моделируются в соответствии с локальными равновесными функциями распределения.

Отметим несколько работ, в которых были предложены различные улучшения модели ЛБ. Вплоть до 90-х годов в методе ПСМ использовались постоянные значения Zr (обычно Zr = 5). В то же время известно, что скорость вращательной релаксации зависит от температуры газа. В связи с этим в работах [25]-[27] были применены энергетически-зависимые формы Zr, которые были получены на основе температурно-зависимого выражения работы [28]. В дальнейшем было предложено использовать температурно-зависимые Zr непосредственно в ПСМ расчетах. В работе [29] была установлена связь между Zr, используемым в методе ПСМ и релаксационным числом, используемым в уравнении Джинса при макроскопическом описании вращательной релаксации. Использование алгоритма столкновений с "запрещением многократных релаксационных событий" (в одном столкновении может меняться вращательная энергия только одной из сталкивающихся молекул), предложенного в [30], позволило добиться точного соответствия с решением уравнения Джинса для случая однородной изотермической релаксации.

Модель ЛБ для описания вращательных степеней свободы нужно использовать с некоторой осторожностью при расчете низкотемпературных течений газа, поскольку для таких течений существенными могут оказаться квантовые эффекты вращательной моды. Поэтому более адекватными моделями для решеиия таких задач являются модели, учитывающие дискретный характер вращательной моды [31]-[34]. Модификация модели ЛБ для дискретного описания вращательной энергии была предложена в [31] для двухатомных молекул и обобщена па различные многоатомные молекулы в работе [35].

Вращательно-вращательный эпергообмен (RR-обмен) не рассматривался в ПСМ вычислениях. RR-обмен может сказаться только на форме вращательного распределения в процессе TR-релаксации. В большинстве задач динамики разреженного газа TR-обмен быстро уравновешивает функцию распределения вращательной энергии по сравнению с характерным временем других процессов (колебательная релаксация и химические реакции), и поэтому дополнительное включение RR-обмеиа в процесс моделирования не должно заметно повлиять на результат. По этой причине аккуратное моделировапие TR-обмена является достаточным в подавляющем большинстве случаев [36].

Отметим также работу [37], где метод ПСМ был использован совместно с методом классических траекторий и были рассмотрены двухатомные молекулы в приближении твердого ротатора.

Таким образом, в настоящий момент стандартом является описание в методе ПСМ вращательной энергии молекул на основе непрерывной или дискретной модели ЛБ с использованием столкповительного алгоритма [30] и выражений для температурно-зависимых релаксационных чисел, модифицированных в соответствие с [29].

Для описания обмена энергией между поступательными и колебательными степенями свободы в большинстве случаев в методе ПСМ, как и в случае молекулярного вращения, используется модель ЛБ. Доля неупругих столкновений, приводящих к изменению колебательной энергии молекул, определяется как ф = l/Zy■ При этом используются как постоянные значения Zy (обычно полагается Zy — 50), так и энергетически-зависимые выражения [25, 26]. В связи с тем, что использование этих энергетически-зависимых выражений вело к нарушению принципа равнораспределения энергии в равновесии, обычно в расчетах методом ПСМ используются непосредственно температурпо-зависимые Zy па основе выражения, основанного на экспериментальных данных [38] с высокотемпературной поправкой [39]. В работе [40] были предложены энергетически-зависимые Zy для модели ЛБ, позволяющие добиться равнораспределения энергии в равновесии. В работе [41] исследована связь температурпо-зависимого Zy с его континуальным аналогом и предложены выражения для Zy, позволяющие добиться соответствия с решением релаксационного уравнения для колебательной энергии в случае однородной колебательной релаксации. Также в работе [41] был предложен столкновительпый алгоритм с "запрещением многократных релаксационных событий". Данный алгоритм дает возможность описывать сложные релаксационные процессы с участием двух или более внутренних мод в соответствии с решением релаксационных уравнений. Важным достоинством модели ЛБ является применимость к сложным многоатомным молекулам. Например, в работе [42] она успешно применялась для описания колебательной релаксации тетрафторэтилена (C2F4).

В модели JIB делается предположение о непрерывности колебательного энергетического спектра. Для вращательной моды подобное предположение является приемлемым и вполне допустимым при достаточно высоких температурах, однако для колебаний оно представляется весьма сомнительным. Это объясняется тем, что колебательный спектр реальных молекул является дискретным и характеризуется большими промежутками между соседними энергетическими уровнями. Кроме указанных физических проблем, также существует ряд численных проблем, связанных с использованием непрерывного представления колебательной энергии в методе ПСМ [43].

В связи с этим в рамках метода ПСМ предложен ряд моделей, учитывающих дискретную природу колебательного спектра.

В работе [44] колебательная энергия молекул трактуется в рамках модели простого гармонического осциллятора (simple harmonic oscillator / SHO), и вероятность поступательно-колебательных энергетических обменов определяется с помощью обратного преобразования Лапласа. В [45] для получения энергетически зависимых вероятностей поступательно - колебательного обмена используется столкповительпая теория; молекулы рассматриваются как SHO, и учитываются только переходы между соседними колебательными уровнями. В [46, 47] подобный подход применен к молекулам, рассматриваемым как ангармонические осцилляторы. В работах [48, 40] используются выражения из работы [49] для сечений поступательно-колебательных пеупру-гих процессов в предположении SHO. В работе [50] в рамках метода ПСМ для молекул азота используются матрицы поступательно-колебательных переходов, полученные для SHO в [39] на основе SSH подхода [51]. Эта модель отличается высокой трудоемкостью. В работах [21, 22] применяются сечения VT-переходов, полученных для ангармонического осциллятора с использованием квазиклассической теории для потенциала Морзе [55]. Модель [56] основана на информационной теории [57]. В работе [58] были имплемептированы в расчетную программу ПСМ вероятности VT-переходов трехмерной квазиклассической модели [59]. Модификация модели ЛБ для дискретных вращательных и колебательных энергий была представлена в [52] для SHO, а в работах [53], [54] и [35] использовалась для ангармонического осциллятора. Заметим здесь, что все эти дискретные модели ограничиваются рассмотрением двухатомных молекул, за исключением модели [56], которая была обобщена для моделирования трехатомных молекул в работе [60] и дискретной модели ЛБ, обобщенной в работах [35, 61] на произвольные многоатомные молекулы.

Известно несколько работ, в которых проводилось моделирование колебательно-колебательных (VV) переходов для двухатомных молекул в рамках метода ПСМ. Отметим модель [62], где проводилось моделирование как VT, так и VV-обмеиа, причем рассматривались многоквантовые VT-переходы и VV-переходы на основе теоретических моделей [63, 64]. Отметим здесь также работу [65], где рассмотрены VT-переходы и VV-переходы для SHO, работу [66], где рассматривался около-резонансный VV-обмен для ангармонических осцилляторов (там же отмечалось, что модель не удовлетворяет принципу детального баланса) и простую статистическую модель [67] с од-иоквантовыми VT-переходами и VV-переходами. Модель с многоквантовыми VT-переходами и VV-переходами для ангармонического осциллятора, основанная на квазиклассической теории, была предложена в работах [21, 22]. Модель подробно анализировалась в [58], где было показано сильное влияние VV-обмена на функцию распределения колебательной энергии в гиперзвуковых около-континуальных течениях. Попытки валидации ПСМ моделей VV-обмена сравнением с экспериментальными данными до настоящего времени не предпринимались.

Таким образом, исходя из вышеуказанных требований, в настоящий момент для моделирования VT-обмепа предпочтительно использовать модель ЛБ с использованием температурпо-зависимых релаксационных чисел, модифицированных в соответствии с [41] и столкповительпого алгоритма [41]. Отметим также, что не было проведено попыток модификации модели ЛБ для моделирования VV-обмена.

Метод ПСМ применяется для расчета химически реагирующих разреженных течений уже более трех десятилетий. При построении модели химических реакций для метода ПСМ необходимо определить сечение реакции как функцию энергий различных мод сталкивающейся пары. В этом заключается принципиальное отличие от континуального подхода, где требуется существенно менее детальная информация о скоростях процессов как функциях температуры или температур различных мод. Проблема построения таких моделей также осложняется практически полным отсутствием экспериментальных данных по сечениям химических реакций.

Первые примитивные модели (см., например, [68, 69]) не имели прямой связи ни с экспериментальными, пи с аналитическими данными о химических превращениях. В начале 80-х годов была предложена модель полной столкновителыюй энергии (Total Collision Energy / ТСЕ) сначала для обратно-степенного потенциала [70], а потом и для модели VHS [18], основанная на столкновителыюй теории для химических реакций. В этой модели делается предположение о том, что сечения химических реакций являются функцией энергии Ес, которая равна сумме относительной поступательной и внутренней энергии сталкивающейся пары (или фиксированной доли внутренней энергии). Модель использует непрерывное представление внутренней энергии, а зависимость вероятности реакции от Ес находится таким образом, чтоб в равновесии зависимость скорости реакции от температуры совпадала с экспериментальной в аррениусовской форме. При этом аррениусовские константы используются в качестве входных параметров модели. Данная модель применима как для двухатомных, так и для многоатомных молекул.

Как было указано выше, применение дискретного представления внутренней энергии в методе ПСМ является предпочтительным. Однако при обобщении моделей химических реакций с непрерывной внутренней энергией на дискретный случай возникает проблема с воспроизведением равновесной скорости реакции. В частности, при использовании модели ТСЕ с дискретной внутренней энергией скорость реакции в равновесии может в несколько раз отличаться от исходной аррепиусовской. Данная проблема была решена в [43], где была предложена процедура пересчета входных параметров модели, после применения которой модель ТСЕ воспроизводит аррепиусовскую зависимость при использовании дискретной внутренней энергии.

Основным недостатком модели ТСЕ является независимость сечений реакций от энергетического вклада различных мод. Так, с точки зрения протекания реакций, не важно, имеют ли молекулы большую поступательную, колебательную или вращательную энергию. Важно лишь, чтобы энергия Ес была велика. В то же время известно [71, 72], что, например, для реакции диссоциации наибольший вклад в сечение реакции дает колебательная энергия диссоциирующей молекулы. Таким образом, в этой модели не учитывается процесс колебателыю-диссоциационного взаимодействия (КДВ).

В связи с этим в 90-х годах начали появляться новые, более сложные модели для метода ПСМ, учитывающие более точно особенности химических превращений в газе. Часть из них, как и модель ТСЕ, основаны на столкновительной теории для химических реакций, остальные строятся на других предположениях. Подробные обзоры и результаты тестирования моделей представлены в работах [73]-[76].

Среди моделей, основанных на столкновительной теории, отметим модель VFD (Vibrationaly Favored Dissociation), представленную в [77]), которая, как и модель ТСЕ, воспроизводит в равновесии аррепиусовскую зависимость. В данной модели присутствует свободный параметр, регулирующий степень КДВ, который должен определяться на основе экспериментальных данных (в [78] отмечались сложности, связанные с его определением). В работе [79] было предложено определять данный параметр из условия, что максимальное значение соответствующей вероятности реакции равно 1. В работе [80] предложено обобщение модели VFD с дополнительным учетом вращателыю-диссоциациоппого взаимодействия.

Модель [81] основана на информационной теории [57]. Данный подход затем был развит в работах [82, 61]. В работе [83] на основе аппарата квантовой механики были получены выражения для сечений реакции диссоциации в двухкомпопептпом газе в предположении, что реакции проходят через образование квазисвязанных состояний. Модель [84] строится па базе общефизических предположений. Реакция диссоциации происходит в случае превышения некоторой фиксированной долей внутренней энергии молекулы энергетического барьера реакции. Модель [85] напоминает модель [84] - реакция происходит при условии превышения колебательной энергией молекулы энергетического барьера реакции после неупругого столкновения. Энергетический обмен между модами в процессе столкновения осуществляется по модели ЛБ. В [85], помимо диссоциации, рассматриваются также реакции обмена. В работе [53] представлена модификация модели [85] для ангармонического осциллятора Морзе. В работах [47, 8G] предложена модель с учетом колебательно-диссоциационного и колебателыю-обмеппого взаимодействий, воспроизводящая в равновесии уровпевые константы химических реакций из работы [87]. В работе [88] предложено использовать сечения реакции теоретической модели [89, 90] (использована упрощенная форма сечений), в работе [74] была использована полная форма сечений. В работе [91] предложено использовать сечения диссоциации молекулы при столкновении с атомом, полученные теоретически в работах [92]. Данная модель была модифицирована в [74] (был добавлен учет вращательной энергии молекулы). Отметим, что перечисленные модели использовались только для двухатомных молекул.

Отметим также работы [80, 93, 94], в которых проводились ПСМ расчеты с использованием сечений реакций, полученных методом квазиклассических траекторий. В последние годы появляется все больше данных по таким сечениям (например, [95, 96]), но они доступны пока для недостаточного числа реакций. Данные ограничены реакциями с участием атомов и двухатомных молекул, и использование их в ПСМ расчетах сопряжено с достаточно высокими вычислительными затратами. В [74] также отмечается сложность оценки точности таких данных.

В недавних работах [76, 97, 98] предложен простой макроскопический метод для моделирования химических реакций в расчетах ПСМ. Реакции в этом методе не рассматриваются па кинетическом уровне. Число химических столкновений за шаг по времени вычисляется непосредственно с использованием макроскопических соотношений, используемых в континуальной газовой динамике (соотношения Аррениуса, двухтемпературные константы и т.п.). Оправданность данного подхода в ситуациях, когда функции распределения скоростей и внутренних энергий сильно отличаются от равновесных, является сомнительной.

Модели, учитывающие колебательпо-диссоциационное взаимодействие, подробно анализировались в [73, 74]. К недостаткам практически всех перечисленных моделей (за исключением разве что ТСЕ, VFD и модели [47, 86]) относится то, что они не воспроизводят аррениусовскую зависимость в равновесии, и нуждаются для этого в специальной калибровке [74]. Отметим также определенные сложности, возникающие при определении свободных параметров (в частности в VDF модели). Практически полное отсутствие экспериментальных данных по сечениям реакций, а также экспериментальных результатов по реагирующим разреженным течениям сильно осложняет процесс анализа применимости и валидации моделей. По перечисленным причинам, а также из-за сложности применения большинства моделей к многоатомным молекулам, в большинстве исследований в настоящий момент применяют модель ТСЕ с непрерывной или дискретной внутренними энергиями. Отметим также проблему, связанную с актуальной задачей создания гибридных расчетных программ, объединяющих метод ПСМ и континуальный подход: для такой программы необходимо наличие модели химических реакций, соответствующей макроскопической модели, используемой в рамках континуального подхода.

Процессы ионизации и возбуждения электронных состояний молекул в методе ПСМ рассматривались в [99] в однородной и одномерной постановках, и позже в работах [100, 101, 61] в приложении к двумерным задачам высотной аэротермодинамики. Эти процессы, характерные при входе в атмосферу с высокими скоростями (более 12 м/с), не рассматриваются в настоящей работе.

Процессы коллективного взаимодействия заряженных частиц традициопно рассматриваются в физике низкотемпературной плазмы и физике газового разряда. Для численного моделирования таких течений на кинетическом уровне широко используется метод частиц в ячейке (Particle in Cell/PIC). Этот метод подробно рассматривается в монографиях [102] и [103]. В работе [104] этот метод был усовершенствован для учета столкповительных процессов между заряженными и нейтральными частицами. Модифицированный метод получил название PIC-MCC (Particle in Cell / Monte Carlo Collisions). В такой формулировке метод может быть использован, когда влияние заряженных компонентов на нейтральные в результате столкновений пе является существенным. Нейтральный компонент не моделируется в виде частиц и обычно предполагается, что распределения параметров нейтрального компонента однородны.

Отметим, что для ряда задач динамики разреженного газа, таких как, например, моделирование ионизованных струй, рассматриваемое в настоящей работе, необходим учет влияния заряженных компонентов па нейтральный. Для численного решения таких задач необходимо совместное использование метода PIC с методом ПСМ. Такой комбинированный метод будем называть далее PIC-DSMC. Примеры применения такого метода представлены в работе [105], где моделировался высокочастотный разряд в двумерной постановке и в работе [106], где проведено моделирование тлеющего разряда в одномерной и двумерной постановках.

Моделирование разреженных ионизованных струй электрореактивных двигателей управления было впервые начато в работах [107, 108]. В данных работах рассматривалось течение струй ионных двигателей с высокими энергиями ионов струи (около 1000 эВ). Такие быстрые ионы движутся по прямолинейным траекториям, так как практически не подвержены воздействию электрического поля струи, что позволяет рассматривать часть компонентов струи (ионы струи и нейтральные атомы) и столкновения между ними аналитически. Течение медленных ионов, являющихся продуктом резонансной перезарядки быстрых ионов на нейтральных атомах, моделировалось методом PIC. При моделировании струй стационарных плазменных двигателей (энергия движения ионов около 200 эВ) был использован метод PIC-DSMC [109]. В работах [110]-[115] этот подход получил дальнейшее развитие. Отметим также альтернативный подход, который основан на решении кинетических уравнений методом характеристик, предложенный в работах [116, 117].

Основной целью численного моделирования ионизованных струй является предсказание их взаимодействия с поверхностью космического аппарата. Особую важность здесь приобретает задача использования экспериментальных данных, полученных в вакуумных установках, для получения параметров струи в космических условиях. Для этого необходимо численное моделирование этих струй как для орбитальных условий, так и для условий истечения в вакуумную камеру. Отметим, что в перечисленных PIC-DSMC работах, предполагалось однородное распределение остаточного газа в вакуумной камере и не учитывалось влияние струи на его течение. Этот момент имеет принципиальную важность, так как игнорирование неоднородности остаточного газа в камере может привести к существенным ошибкам в моделировании. Для оценки таких эффектов необходимо совместное моделирование струи и остаточного газа в рамках метода PIC-DSMC.

Основной целыо настоящей работы является создание моделей метода ПСМ для описания эффектов реального газа в задачах высотной аэротермодинамики. В работе проводится анализ и отбор существующих моделей, разработка новых моделей, создание эффективных численных алгоритмов для них, анализ применимости моделей па основе экспериментальных данных по неравновесным разреженным течениям, а также численное исследование задач, в которых эффекты реального газа играют определяющую роль.

Представленные модели и алгоритмы реализованы па основе программной системы SMILE (Statistical Modelling in Low-Density Environment / Статистическое моделирование в средах малой плотности) [54, 118, 119] для расчетов методом ПСМ, разработанной в ИТПМ СО РАН.

Наибольшее внимание в работе уделяется следующим аспектам:

1. Разработка модели высокотемпературной неравновесной диссоциации для метода ПСМ. Хорошо известно [71, 72], что в сильных ударных волнах, процессы колебательной релаксации и химических реакции протекают с близкими скоростями и скорость реакции не описывается одно-температурной моделью Аррениуса. Как указывалось выше, был предложен ряд моделей для метода ПСМ, которые учитывают такое колеба-тельно-диссоциационное взаимодействие, но обладают рядом недостатков, в частности отсутствием соответствия с аррениусовскими скоростями в равновесии. В настоящей работе предлагается новая модель химических реакций метода ПСМ, которая построена таким образом, чтобы

• в равновесии воспроизводить аррениусовскую зависимость;

• в случае отличия колебательной температуры от поступательной при равновесных распределениях скоростей, вращательной энергии и колебательной энергии воспроизводить макроскопическую двух-температурную константу скорости реакции.

Уровневые сечения диссоциации, используемые в данной модели, находятся как решения обратной задачи методом регуляризации Тихонова [122, 123].

2. Разработка модели для описания VV-обмена в методе ПСМ. В настоящий момент в подавляющем большинстве исследований методом ПСМ данный процесс не рассматривается, что связано с отсутствием достаточно общей простой и эффективной модели, хорошо соответствующей экспериментальным результатам. В настоящей работе проведено обобщение простой и универсальной модели Ларсена-Боргнакке (ЛБ) на моделирование резонансного VV-обмена двухатомных молекул. Проведен апробация модели сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными [121].

3. Анализ применимости моделей для описания эффектов реального газа в методе ПСМ. Существенной проблемой, связанной с разработкой моделей метода ПСМ, является отсутствие экспериментальных данных по высокоэптальпийным разреженным течениям. Большинство представленных в литературе экспериментальных результатов относятся к течениям в континуальном режиме при числах Кнудсена Ю-5 и ниже, что на данный момент выходит за пределы возможностей метода ПСМ. Этот факт сильно осложняет анализ применимости моделей для описания эффектов реального газа. Примером крайне редких экспериментальных данных при числах Кнудсена около Ю-4 являются результаты работы [120], где для различных газов измерялась величина отхода головной ударной волны на клипе, помещенном в гиперзвуковой поток. В настоящей работе впервые проводится валидация физико-химических моделей для метода ПСМ сравнением результатов численного моделирования с результатами работы [120].

4. Исследование структуры релаксационной зоны в смеси CO2/N2. Исследование аэротермодинамики КА в атмосфере Марса является актуальной задачей в связи с планируемыми в ближайшем будущем полетами КА к этой планете. В настоящей работе детально исследуется методом ПСМ структура ударной волны и релаксационной зоны за пей в химически-реагирующей смеси CO2/N2 с параметрами характерными для маневра аэроторможения КА в атмосфере Марса. Анализ структуры течения проведен как на уровне газодинамических параметров, так и на уровне функций распределения различных энергетических мод молекул.

5. Моделирование ионизованных разреженных струй электрореактивных двигателей малой тяги. Численное моделирование струй стационарных плазменных двигателей необходимо для предсказания эффектов взаимодействия струи с поверхностью космического аппарата. В работе представлена вычислительная модель струй стационарных плазменных двигателей СПД-100 и "Атон" и проведено численное моделирование истечения струй в вакуумную камеру и в космическое пространство методом PIC-DSMC. Проведено сравнение с доступными экспериментальными данными по измерению параметров струи в камере. Выполнено полное PIC-DSMC моделирование на кинетическом уровне струи совместно с остаточным газом вакуумной камеры, что позволило добиться хорошего соответствия с экспериментальными данными для двигателя "Атон".

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Ниже представлено краткое содержание работы.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Бондарь, Евгений Александрович

Выводы главы 4

Проведено численное моделирование струй стационарных плазменных двигателей СПД-100 и "Атон" для условий, соответствующих экспериментальной установке и истечению в космический вакуум. Полное моделирование струи совместно с остаточным газом в вакуумной камере позволило добиться хорошего совпадения с экспериментальными данными. Для орбитальных условий детально исследована структура струи и получены ее параметры в области возвратного течения. Разработанное программное обеспечение может быть использовано для оценки возвратного течения струй электрореактивных двигателей на поверхность спутника.

Заключение

Метод ПСМ в настоящий момент является самым широко используемым численным методом для решения задач динамики разреженного газа. Более того, в связи со сложностью получения экспериментальной информации по высокоскоростным разреженным течениям, метод ПСМ стал в последние два десятилетия основным инструментом для исследования высотной аэротермодинамики космических аппаратов в переходном и около-континуалыюм режимах. Метод с успехом применяется и в других областях динамики разреженного газа, таких, как струйные течения, течения в микроприборах и т.п. Все существующие схемы реализации метода близки по численной эффективности и для течений простого газа дают идентичные результаты. Более сложная ситуация наблюдается в моделировании высокоэнтальпийных течений в около-континуальном и континуальном режиме, когда определяющую роль играют эффекты реального газа. Основные проблемы здесь связаны с отсутствием достаточно точных и численно эффективных моделей для описания физико-химических процессов в таких течениях. В настоящей работе предпринята попытка разрешения ряда проблем этой области вычислительной динамики разреженного газа. В работе проведены отбор существующих и разработка новых моделей для описания эффектов реального газа в методе ПСМ, а также их анализ и применение для расчетов неравновесных разреженных течений.

Ниже представлены основные результаты и выводы работы.

1. Создана модель химических реакций с учетом колебательио-диссоциаци-онпого взаимодействия (КДВ) для метода ПСМ на основе решения обратной задачи для двухтемпературной константы скоростей реакций. Модель воспроизводит двухтемпературиую константу скорости реакции при близости распределений всех молекулярных мод к больцмановским и не содержит параметров, определяемых из экспериментальных данных. Проведено обобщение модели Ларсена-Боргнакке на моделирование колебательно-колебательного (W) обмена и получено хорошее совпадение с экспериментальными данными по временной эволюции заселенности колебательных уровней.

2. Проанализирована применимость моделей для описания эффектов реального газа в методе ПСМ сравнением с экспериментальными данными по величине отхода ударной волны на клине, помещенном в гиперзвуковой поток при числе Кнудсена Kn ~ 0,0005. Результаты расчетов находятся в хорошем качественном соответствии с выводами теоретических и экспериментальных исследований влияния эффектов реального газа на вид зависимости величины отхода головной ударной волны от угла клина. Использование модели химических реакций с учетом КДВ позволяет добиться лучшего совпадения с экспериментальными данными, чем при использовании стандартных моделей метода ПСМ.

3. Составлен и реализован в программной системе для прямого статистического моделирования газовых течений SMILE, разработанной в ИТПМ СО РАН, набор моделей для описания эффектов реального газа. Набор включает существующие модели и новые модели, предложенные в настоящей диссертации.

4. Исследована структура релаксационной зоны за фронтом ударной волны для условий, соответствующих входу К А в атмосферу Марса. Показана существенная термическая неравновесность течения в релаксационной зоне при числах Кнудсена 0,01 > Кп > 0,001 на уровне макропараметров и функций распределения.

5. Проведено численное исследование струй стационарных плазменных двигателей СПД-100 и "Атон" с учетом остаточного газа в вакуумной камере и для орбитальных условий. Впервые проведено совместное PIC-DSMC моделирование струи и остаточного газа, что позволило добиться лучшего совпадения с экспериментальными данными. Для орбитальных условий получены параметры струи в зоне возвратного течения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бондарь, Евгений Александрович, 2007 год

1. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.:Наука, 1967. 440с.

2. Бобылев А.В. Точные решения уравнения Больцмана и теория релаксации максвелловского газа // Теор. и матем. физ. 1984. Т.60, No.2.

3. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана // Журн. вычисл. математики и ма-тем.физики. 1980. Т.20, No.l. С.191-207.

4. Tcheremissine F.G. Fast solutions of the Boltzmann equation // Proc. XVII Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. Aachen, 1991, P.273-284.

5. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.:Мир, 1981. 320с.

6. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. Clarendon Press, Oxford, 1994. 458p.

7. Tcheremissine F.G. Conservative discrete ordinates method for solving of Boltzmann kinetic equation // Proc. XX Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. Beijing, 1997. P. 297-302.

8. Tcheremissine F.G., Kolobov V.I., Arslanbekov R.R. Simulation of Shock Wave Structure in Nitrogen with Realistic Rotational Spectrum and Molecular Interaction Potential // Proc. of 25th Int. Symp. on RGD. Novosibirsk, 2007, P. 203-208.

9. Иванов M.C., Рогазинский С.В. Экономичные схемы статистического моделирования пространственно-неоднородных течений разреженного газа. // Препринт СО АН СССР. ИТПМ. Новосибирск, 1988, С.29-88.

10. Иванов М.С., Рогазинскнй С.В. Экономичные схемы прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Мат. моделирование. 1989. T.l, No.7. С.130-145.

11. Иванов М.С. Статистическое моделирование гиперзвуковых течений разреженного газа: Дис.док.физ.-мат.наук: 01.02.05. Новосибирск, 1992. 419с.

12. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1974.

13. Park С. Calculation of real-gas effects on airfoil aerodynamic characteristics. AIAA Paper 90-1712, 1990.

14. Koura K., Matsumoto H. Variable soft sphere molecular model for inverse power - law of Lennard-Jones potential // Phys. Fluids A. Vol. 3, No.10. 1991. P.2459-2465.

15. Erwin D.A., Pham-Van-Diep, Muntz E.P. Nonequilibrium gas flows. I: A detailed validation of Monte Carlo Direct Simulation for monoatomic gases // Phys. Fluids A. Vol. 3, No. 4. 1991. P.697-705.

16. Koura K., Matsumoto H., Shimada T. A test of equivalence of the variable-hard-sphere and inverse-power law models in the direct simulation Monte Carlo method // Phys. Fluids A. Vol. 3. 1991. P.1835-1837.

17. Sugimoto H., Takata S., Kosuge S., Gas separation effect of the pump driven by the thermal edge flow // Proc. of 25th Int. Symp. on RGD. Novosibirsk, 2007, P. 1158-1163.

18. Bird G.A. Monte-Carlo simulation in an engineering context // Proc. XII Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. New-York, 1981. V.74, part.l. P.239-255.

19. Hassan H.A., Hash D.B. A generalized hard-sphere model for Monte Carlo simulation // Phis. Fluids A 1993. Vol 5, No. 3. P.738-744.

20. Gorbachev Yu.E., Gordillo-Vasquez F.J., and Kunc J.A., Diameters of rotationally and vibrationally excited diatomic molecules // Physica A: Statistical and Theoretical Physics. 1997. Vol. 247. P. 108.

21. Gimelshein S.F., Ivanov M.S., Markelov G.N., and Gorbachev Yu.E. Quasiclassical VRT transitional models in the DSMC computations of reacting flows. // Proc 20th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics, Beijing. 1997. P. 711-717

22. Gimelshein S.F., Ivanov M.S., Markelov G.N., and Gorbachev Yu.E. Statistical simulation ofnonequilibrium rarefied flows with qusiclassical energy transfer models // J. of thermophysics and Heat transfer. 1998. Vol.12, No. 4. P. 2079-2086.

23. Jae Gang Kim, Oh Joon Kwon, and Chul Park, A High Temperature Elastic Collision Model for DSMC Based on Collision Integrals. AIAA Paper 2006-3803 (9th AIAA/ASME Joint Thermophysics and Heat Transfer Conference, June 2006), 2006.

24. Borgnakke C., Larsen P.S. Statistical collision model for Monte Carlo simulation of polyatomic gas mixture // J. of Сотр. Phys. 1975. Vol.18. P.405-420.

25. Boyd I.D. Direct simulation of rotation and vibration nonequilibrium. AIAA Paper 89-1880, 1989.

26. Boyd I.D. Assessment of chemical nonequilibrium in rarefied hypersonic flow. AIAA Paper 90-0145, 1990.

27. Boyd I.D. Analysis of rotational nonequilibrium in standing shock waves of nitrogen // AIAA Journal. 1990. Vol. 28, No. 11. P. 1997-1999.

28. Parker J.G. Rotational and vibrational relaxation in diatomic gases // Phys. Fluids. 1959. Vol.2, No.4. P.449-462.

29. Lumpkin III F.E., Haas B.L., Boyd I.D. Resolution of differences between collision number definitions in particle and continuum simulations // Phys. Fluids A. 1991. Vol. 3, No. 9. P.2282-2284.

30. Haas B.L., Hash D., Bird G.A., Lumpkin F.E., Hassan H. Rates of thermal relaxation in direct simulation Monte Carlo methods // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6. No. 6. P.2191-2201.

31. Boyd I.D. Relaxation of discrete rotational energy distributions using a Monte Carlo method // Phys. Fluids A 5(9). 1993. P.2278-2286.

32. Кларк Дж., Макчесни M. Динамика реальных газов. М: Мир, 1967. 566с.

33. Koura К. Statistical inelastic cross-section model for the Monte Carlo simulation of molecules with discrete internal energy // Phys. Fluids A 4(8). 1992. P.1782-1788.

34. Willauer D.L., Varghese P.L. Direct simulation of rotational relaxation using state-to-state cross-sections // J. Therm, and Heat Transfer. 1993. Vol.7, No.l. P.49-54.

35. S. F. Gimelshein, M. S. Ivanov, and I. D. Boyd. Modeling of internal energy transfer of polyatomic molecules in rarefied plume flows. AIAA Paper 1999738 (Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, 37th, Reno, NV, Jan. 11-14, 1999), 1999.

36. Koura K. Monte Carlo direct simulation of rotational relaxation of diatomic molecules using classical trajectory calculations: Nitrogen shock wave // Physics of Fluids. 1997 Vol.9, No.ll. P. 3543-3549.

37. Millikan R.C., White D.R. Systematics of Vibrational Relaxation // J. of Chem. Phys. 1963. Vol.39, No.12. P.3209-3213.

38. Park C. Problems of Rate Chemistry in the Flight Regimes of Aeroassisted Orbital Transfer Vehicles // Progr. in Astronautics and Aeronautics. Vol. 96. AIAA, New York. 1985. P.511-537.

39. Pradeep Vijayakumar, Quanhua Sun, and Iain D. Boyd. Vibrational-translational energy exchange models for the direct simulation Monte Carlo method // Physics of Fluids. 1999. Vol.11, No.8. P.2117-2126.

40. Gimelshein, N.E., Gimelshein, S.F., and Levin, D.A., Vibrational relaxation rates in the direct simulation Monte Carlo method // Physics of Fluids. 2002. Vol.14, No.12. P.4452-4455.

41. Maltsev R.V., Morozov A.A., Rebrov A.K. Interpretation of impact and static pressure measurements in non-equilibrium supersonic flow by the DSMC method // Proc. of 25th Int. Symp. on RGD. Novosibirsk, 2007. P. 527-532.

42. S.F. Gimelshein, N.E. Gimelshein, D.A. Levin, M.S. Ivanov, and I.J. Wysong. On the use of chemical reaction rates with discrete internal energies in the direct simulation Monte Carlo method // Physics of Fluids. 2004. Vol. 16, No. 7. P. 2442-2451.

43. Choquet I. Modelisation des desequilibres thermiques dans les ecoulements de gas rarefies // Ph. D. L'universite Paris VI. 1993. 240p.

44. Boyd I.D. Analysis of vibrational-translational energy transfer using the direct simulation Monte Carlo method // Phys. Fluids A 3(7). 1991. P.1785-1791.

45. Ivanov M.S., Antonov S.G., Gimelshein S.F., Kashkovsky A.V., Markelov G.N. Statistical Simulation of hypersonic flows about concave bodies in transitional regime // Sci. Rep. of ICAR. ITAM, RAS. Novosibirsk, 1994. No. 8094. 17p.

46. Гимелыиейн С.Ф. Статистическое моделирование эффектов реального газа в разреженных течениях: Дис. канд.физ.-мат.наук: 01.02.05. Новосибирск, 1995. 191с.

47. Boyd I.D. Particle simulation of vibrational relaxation // Proc. XVIII Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Vancouver, Canada. 1992.

48. Kerner E.H. Note on the forced and damped oscillations in quantum mechanics // Canadian J. of Physics. 1958. V.36. P.371-377.

49. Olynick D., Moss J., Hassan H. Monte Carlo simulation of vibrational relaxation in nitrogen. AIAA Paper 90-1767. 1990.

50. Scwartz R.N., Slawsky Z.I., Herzfeld K.F. Calculation of vibrational relaxation times in gases //J. Chem. Physics. Vol.20. No.10. 1952. P.1591-1599.

51. Bergemann F., Boyd I.D. DSMC simulation of inelastic collisions using the Borgnakke-Larsen method extended to discrete distributions of vibrational energy // Proc. XVIII Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. Vancouver, Canada. 1992. P.174-183.

52. Lord R.G. Modeling vibrational energy exchange of diatomic molecules using the Morse interatomic potential // Phys. Fluids 10(3). 1998. P. 742746.

53. Ivanov M.S., Markelov G.N., Gimelshein S.F. Statistical Simulation of Reactive Rarefied Flows: Numerical Approach and Applications. AIAA Paper 98-2669, 1998.

54. Bogdanov A.V., Dubrovskii G.V., Gorbachev Yu.E. and Strelchenya V.M. Theory of vibrational and rotational excitation of polyatomic molecules // Physical Reports. 1989. Vol. 181, No. 3. P.121-206.

55. Marriott P.M. Non-equilibrium chemical reactions in the simulation of hypersonic rarefied flows // Ph. D. Imperial College of Science, Technology and Medicine, London. January 1994. 188p.

56. Levine R.D., Bernstein R.B. Molecular reaction dynamics. Oxford University Press (Clarendon), London and New York. 1987.

57. Gimelshein, S.F., Boyd, I.D., Sun Q., Ivanov, M.S. DSMC Modeling of Vibration-Translation Energy Transfer in Hypersonic Rarefied Flows // AIAA Paper 99-3451, 1999.

58. Adamovich I.V., and Rich, J.W. Three-Dimensional Nonperturbative Analitic Theory of Vibrational Energy Transfer in Molecule-Molecule Collisions. AIAA Paper 99-3565, 1999.

59. Marriott P.M. The Extension of the Semi Quantum Maximum Entropy Energy Method to Energy Exchange in Triatomic Molecules. AIAA Paper 95-2092, 1995.

60. M. Gallis and J. K. Harvey, The modeling of chemical reactions and thermochemical nonequilibriuin in particle simulation computations // Phys. Fluids 10(6), 1998, P.1344-1358.

61. K. Koura, Improved Null-Collision Technique in the Direct Simulation Monte Carlo Method: Application to Vibrational Relaxation of Nitrogen // Computers Math. Applic. 1998. Vol. 35, No. 1/2. P. 139-154.

62. R.I. Morse. Semiclassical transition probabilities for collinear diatom-diatom collisions // J. Chem. Phys. 1972. Vol. 56. P. 2329.

63. D. Rapp and P.E.Golden. Resonant and near-resonant vibrational-vibrational energy transfer between molecules in collisions // J. Chem. Phys. 1964. Vol. 40. P. 573.

64. Abe Т. Inelastic collision model for vibrational-translational and vibrational-vibrational energy transfer in the direct simulation Monte Carlo method // Phys. Fluids 6(9). 1994. P.3175-3179.

65. Haas B.L. Thermochemistry models applicable to a vectorized particle simulation: Ph.D. Stanford University, 1990. 262p.

66. D. Bruno, M. Capitelli, S. Longo, P. Minelli and F. Taccogna, Particle kinetic modelling of rarefied gases and plasmas // Plasma Sources Sci. Technol. 2003. Vol. 12. P.89-97

67. Koura K. Nonequilibrium velocity distributions and reaction rates in fast highly exothermic reactions // J. Chem. Physics. 1973. Vol.59. No.2. P.691-704.

68. Larsen P.S. Monte Carlo simulation of a homogeneous dissociating diatomic gas // Archives of Mechanics. 1976. V.28, No.5-6. P.719-732.

69. Bird G. A. Simulation of multi-dimensional and chemically reacting flows // XI Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. Paris, 1979. P.365-388.

70. P. V. Marrone and С. E. Treanor. Chemical relaxation with preferential dissociation from excited vibrational levels // Phys. Fluids. 1963. Vol. 6. P.1215.

71. Кузнецов H.M. Кинетика мономолекулярного распада. M: Наука. 1982. 220с.

72. I. J. Wysong, R. A. Dressier, Y. Н. Chiu, and I. D. Boyd, Direct simulation Monte Carlo dissociation model evaluation: Comparison to measured cross sections // J. Thermophys. Heat Transfer, 2002. Vol. 16. P. 83.

73. Wadsworth D.C. and Wysong I.J. Vibrational favoring effect in DSMC dissociation models // Phys. Fluids 9(12). 1997. P. 3873-3884.

74. Ivanov, M.S., Gimelshein, S.F., Computational hypersonic rarefied flows // Annual Review of Fluid Mechanics, Vol.30. Annual Reviews Inc., Palo Alto, California, USA, 1998. P. 469-505.

75. C. R. Lilley, A macroscopic chemistry method for the direct simulation of nonequilibrium gas flows // Ph.D. thesis, The University of Queensland, 2005.

76. Haas B.L., Boyd I.D. Models for vibrationally favoured dissociation applicable to a particle simulation. AIAA Paper 91-0774, 1991.

77. Boyd I.D., Karipides D.P., Candler G.V., Levin D.A. Effect of dissociation modeling in strongly nonequilibrium flows at high altitude. AIAA Paper 95-0709, 1995.

78. Hash D.B., Hassan H.A. Direct simulation with vibration-dissociation coupling. AIAA Paper 92-2875, 1992.

79. Boyd I.D., Bose D., Candler G.V. Monte Carlo modeling of nitric oxide formation based on quasi-classical trajectory calculations // Phys. Fluids 9(4). 1997. P. 1162-1170.

80. Marriott P.M., Harvey J.K. A new approach for modeling energy exchange and chemical reactions in the direct simulation Monte Carlo method // Proc. of XVIII Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Aachen, Germany. 1990.

81. M. Gallis and J. K. Harvey, Modelling of chemical reactions in hypersonic rarefied flow with the direct simulation Monte Carlo method // J. Fluid Mech. 1996. V. 312. P. 149.

82. Kuscer I. Dissociation and recombination in a inhomogenious gas // Physica A. 1991. Vol. 176. No. 3. P.542-556.

83. Nanbu К. Numerical simulation of Boltzmann flows of real gases // Hypersonic Flows for Reentry Problems. Edited by J.A. Desideri, R. Glowinski, J. Periaux. Springer Verlag, 1991.

84. Bird G.A. A new chemical reaction model for DSMC studies // Proc. XVIII Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Vancouver, Canada. 1992.

85. Warnatz J., Riedel U., Schmidt R. Different Levels of Air Dissociation Chemistry and Its Coupling with Flow Models // Proceedings of the 2nd Joint Europe/U.S. Short Course in Hypersonics. Preprint No. 4. 1991.

86. Boyd, I.D. A threshold line dissociation model for the direct simulation Monte Carlo method // Phys. Fluids A. 1996. Vol.8, No.5. P. 1293-1300.

87. S. 0. Macheret and J. W. Rich. Nonequilibriurn dissociation rates behind strong shock waves: classical model // Chem. Phys. 1993. Vol. 174. P.25.

88. S. 0. Macheret, A. A. Fridman, I. V. Adamovich, J. W. Rich, and С. E. Treanor. Mechanisms of nonequilibriurn dissociation of diatomic molecules // AIAA Paper 94-1984, 1994.

89. K. Koura. A set of model cross sections for the Monte Carlo simulation of rarefied real gases: Atom-diatom collisions // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6, No.10. P.3473-3486.

90. J. H. Kiefer and J. C. Hajduk. A vibrational bias mechanism for diatomic dissociation: Induction times and steady rates for 02, H2, and D2 dilute in Ar // Chem. Phys. 1979. Vol. 38. P. 329.

91. Т. Ozawa, D. Fedosov, D. A. Levin, and S. F. Gimelshein. Quasiclassical trajectory modeling of OH production in direct simulation Monte Carlo // J. Thermophys. Heat Transfer. 2005. Vol. 19. P. 235.

92. T. Ozawa, D. A. Levin, I. J. Wysong. Chemical reaction modeling for hypervelocity collisions between О and HC1 // Phys. Fluids. 2007. Vol. 19, No. 5, 056102.

93. Погосбекян М.Ю. Моделирование динамики молекулярных реакций на высокопроизводительных многопроцессорных кластерах: Дис. канд.физ.-мат.наук: 05.13.18. Москва, 2005. 122с.

94. F. Esposito, М. Capitelly, С. Gorse. Quasi-classical dynamics and vibrational kinetics of N + N2(v) system // Chem. Physics. 2000. Vol. 257. P.193-202.

95. C. R. Lilley and M. N. Macrossan. A macroscopic chemistry method for the direct simulation of gas flows // Phys. Fluids. 2004. Vol. 16. P.2054-2066.

96. M. J. Goldsworthy, M. N. Macrossan, and M. M. Abdel-jawad. Nonequilibrium reaction rates in the macroscopic chemistry method for direct simulation Monte Carlo calculations // Phys. Fluids. 2007. Vol. 19, No. 6, 066101.

97. Шематович В.И. Нестационарное статистическое моделирование столк-новительных физико-химических процессов в разреженном газе: Дис. канд.физ.-мат.наук: 01.02.05. Москва, 1980. 195с.

98. М. A. Gallis and J. К. Harvey, Ionisation reactions and electric fields in plane hypersonic shock waves // Progress in Astronautics and Aeronautics, Rarefied Gas Dynamics: Space Science and Engineering, AIAA, City, 1994. Vol. 160, P. 234-244.

99. M. A. Gallis, and J. K. Harvey, New ionisation model for the direct simulation Monte Carlo method. AIAA Paper 96-1849 (31st AIAA Thermophysics Conference, New Orleans, June 1996), 1996.

100. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

101. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование: Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1989.

102. Birdsall С.К. Particle-in-Cell charged particle simulations, plus Monte Carlo collisions with neutral atoms, PIC-MCC. // IEEE Transactional Plasma Scince, 1991. Vol. 19, No 2.

103. Gimelshein S.F., Schweigert V.A., Ivanov M.S. Monte Carlo Direct Simulation of RF discharge for plasma processing // Proceedings of the 21st International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Vol.2. Cepadues Editions, France. 1999. P. 401-408.

104. Vladimir V. Serikov, Shinji Kawamoto, and Kenichi Nanbu. Particle-in-Cell Plus Direct Simulation Monte Carlo (PIC-DSMC) Approach for Self-Consistent Plasma-Gas Simulations // IEEE Transactions on Plasma Science, Vol.27, No.5, 1999

105. Samanta Roy, R.I., Ph. D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1995.

106. Samanta Roy, R. I., Hastings, D. E., and Gatsonis, N. A. Ion-Thruster Plume Modeling for Backflow Contamination, // Journal of Spacecraft and Rockets. 1996. Vol. 33. P. 524-534.

107. Oh D.Y., Hastings D. Axisymmetric PIC-DSMC Simulations of SPT Plumes. IEPC Paper 95-160, 1995.

108. Oh, D. and Hastings, D. E., Experimental Verification of a PIC-DSMC Model for Hall Thruster Plumes. AIAA Paper 96-3196, 1996.

109. Oh, D. and Hastings, D. E., Three Dimensional PIC-DSMC Simulations of Hall Thruster Plumes and Analysis for Realistic Spacecraft Configurations. AIAA Paper 96-3299, 1996.

110. VanGilder D.B., Boyd I.D. Particle Simulations of the SPT-100 Plume. AIAA Paper 98-3797, 1998.

111. VanGilder, D. В., Boyd, I. D., and Keidar, M., Particle Simulations of a Hall Thruster Plume // Journal of Spacecraft and Rockets, Vol. 37, No. 1, 2000.

112. Boyd, I. D., Particle Simulation of an Anode Layer Hall Thruster Plume // Journal of Propulsion and Power, Vol. 16, No. 1, 2000.

113. Boyd, I. D. and Yim, J.T., Modelling of the Near Field Plume of a Hall Thruster // Journal of Applied Physics, Vol. 95, 2004, P. 4575-4584.

114. Бишаев A.M., Калашников В.К., Ким В. Численное исследование струи разреженной плазмы стационарного ускорителя с замкнутым дрейфом электронов (НЗДП) // Физ. Плазмы. 1992, т.18. Вып. 6, С.698-708.

115. Бишаев A.M. Применение методов кинетической теории для решения задач разреженных газов и плазмы: Дис. док.физ.-мат.наук: 01.02.05. Москва, 2006. 227с.

116. Ivanov M.S., Kashkovsky A.V., Gimelshein S.F., Markelov G.N., Alexeenko A.A., Bondar Ye.A., Zhukova G.A., Nikiforov S.B., Vashenkov P.V. SMILE System for 2D/3D DSMC computations // Proc. of 25th Int. Symp. on RGD. Novosibirsk, 2007. P. 539-544.

117. Hornung, H.G., Smith, G.H., The influence of relaxation on shock detachment // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 93, Part 2, 1979, P.225-239.

118. Т. Ahn, I. Adamovich, W. Lempert, Determination of nitrogen V-V transfer rates by stimulated Raman pumping // Chem. Phys. 298, 2004. P. 233-240.

119. A.H. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М: Наука. 1986.

120. Шелепин C.JI. Исследование уровневых сечений и констант скорости диссоциации высокотемпературных газов методом обратной задачи.: Дис. канд.физ.-мат.наук: 01.04.14. Москва, 2005. 108с.

121. Stein W., Alexeenko A., Hrbud I., and Bondar Y. Performance Modeling of a RF Coaxial Plasma Thruster. AIAA Paper 2007-5292, 2007.

122. Bondar Ye.A. and Ivanov M.S. DSMC Dissociation Model Based on Two-Temperature Chemical Rate Constant. AIAA Paper 2007-0614, 2007.

123. Chen R., Agarwal R., Cheremisin F., Bondar Ye. A Comparative Study of Navier-Stokes, Burnett, DSMC, and Boltzmann Solutions for Hypersonic Flow Past 2-D Bodies. AIAA Paper 2007-0205, 2007.

124. Бондарь E.A., Гимельшейн С.Ф., Маркелов Г.Н., Иванов М.С. Прямое статистическое моделирование структуры ударной волны в диссоциирующем газе // Теплофизика и аэромеханика. 2006. Т. 13, № 2. С. 257-274.

125. Bondar Ye.A., Gimelshein S.F., Markelov G.N., Ivanov M.S. DSMC Study of the Internal Shock-Wave Structure in a Dissociating Gas. AIAA Paper 2004-2588, 2004.

126. Bondar Ye.A., Markelov G.N., Gimelshein S.F., Ivanov M.S. DSMC modeling of near-continuum flow over a wedge with real gas effects. AIAA Paper 2004-1183, 2004.

127. Bondar Ye.A., Schweigert V.A., Ivanov M.S. Numerical assessnent of slow ion back flow in stationary plasma thruster plume // Int. Conf. on the Methods of Aerophysical Research: Proc. Pt.3. Novosibirsk, 2002. P. 25-30.

128. Бондарь E.A., Швейгерт В.А., Маркелов Г.Н., Иванов М.С. Моделирование струи стационарного плазменного двигателя методом частиц // Теплофизика и аэромеханика. 2001. Т. 8, № 3. С. 401-421.

129. Bondar Ye.A., Schweigert V.A., Markelov G.N., Ivanov M.S. Assessment of CEX ion backflow of SPT-100 thruster // Rarefied Gas Dynamics: 22 Int. Symp., AIP, New York, 2001. P. 278-285.

130. Bondar Ye.A., Markelov G.N., Schweigert V.A., Ivanov M.S. Modeling of the Plume of an ATON-Hall Thruster. AIAA Paper 2001-3357, 2001.

131. Ivanov M.S., Markelov G.N., Bondar Ye.A. Numerical simulation of thruster plumes in cryogenic vacuum facility. AIAA Paper 2000-2502, 2000.

132. Бом Д. Квантовая теория. M.: Наука, 1965.

133. Vincenti W.G., Kruger C.H. Introduction to physical gas dynamics. Wiley, New York. 1965.

134. Hinshelwood C.N. The kinetic of chemical change. Clarendon Press, Oxford. 1940.

135. Anderson J.D. Hypersonic and high temperature gas dynamics. McGraw Hill, USA. 1989.

136. Bird G.A. Direct molecular simulation of a dissociating diatomic gas //J. Comp.Phys. 1977. V.25. P.353-365.

137. Boyd I.D. Rotational and vibrational nonequilibrium effects in rarefied hypersonic flow //J. Thermophysics. Vol.4, No.4. 1990. P.478-484.

138. I.V. Adamovich, Three-Dimensional Model of Vibrational Energy Transfer in Molecule-Molecule Collisions // AIAA Journal, vol. 39, No. 10, 2001, P.1916-1925

139. Ковач Э.А., Лосев С.А.,Сергиевская А.Л. Модели двухтемпературной химической кинетики для описания диссоциации молекул в сильных ударных волнах // Хим.физика. 1995. Т. 14. № 9. С. 44-76.

140. Физико-химические процессы в газовой динамике. Компьютеризованный справочник в 3-х томах. Том I: Динамика физико-химических процессов в газе и плазме. Под ред. Г.Г. Черного и С.А. Лосева М.: Изд. Моск. ун-та, 1995. 350 с.

141. Кондратьев В.Н., Никитин Е.Е. Химические процессы в газах. М: Наука, 1981. 262с.

142. Кривоносова О.Э., Шаталов О.П. Численный анализ констант скорости диссоциации двухатомных молекул в квазистационарных условиях колебательной неравновесности // Хим. физика. 1999. Т.18. JVQ 9. С.22-26.

143. Moss, J.N., Bird, G.A., Dogra, V.K., Nonequilibrium thermal radiation for an aeroassist flight experiment vehicle // AIAA Paper 88-0081, 1988.

144. Hayes, W.D. and Probstein, R.F., Hypersonic Flow Theory, edited by F.N. Frenkiel, Academic Press, New York and London, 1959.

145. Chen, Y.K. et al. Navier-Stokes solutions with surface catalysis for Martian atmospheric entry // J. of Spacecraft and Rockets, Vol. 30, No. 1, 1992, P. 32-42.

146. V. Gromov, S. Surzhikov, Convective and radiative heating of Martian space vehicle base surface // Proc. of the 4th European Symposium on Aerothermodynamics of Space Vehicles (Capua, Italy), SP-487. European Space Agency, 2002, P. 265-269

147. J.N. Moss, R.G. Wilmoth, J.M. Price, DSMC simulation of blunt body flows for Mars entries: Mars Pathfinder and Mars Microprobe capsules // AIAA Paper, 1997, No. 97-2508.

148. Струминский В.В., Великодный В. Ю. Структура ударных волн // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266. № 1. С.28.-31.

149. Borie D., Perrin V., Khartov S., Nadiradze A. The I.S.P. software: Calculation of the SPT Jet Influence. Paper/IEPC 97-027, 1997.

150. VanGilder D.B., Keidar M., Boyd I.D., Modeling Hall Thruster Plumes Using Particle Methods. AIAA Paper 99-2294, 1999.

151. Ruytan, W.M. Density-Conserving Shape Factors for Particle Simulations in Cylindrical and Spherical Coordinates. //J. Сотр. Phys. 1993. V. 105.

152. Schneider G., Zedan M. A modified strongly implicit procedure for the numerical solution of field problem. // Numerical heat transfer. 1981. V.4 P.l.

153. Dalgarno A., McDowell M.R.C., Williams A. The mobilities of ions in unlike gases. // Proc. of the Royal Society. 1958. V. 250. P. 411-425.

154. Pullins S., Chiu Y., Levandier D.J., Dressier R.A. Ion dynamics in Hall effect and ion thrusters:Xe+ + Xe symmetric charge transfer // AIAA Paper 2000-0603, 2000.

155. King L.B., Gallimore A.D. Ionic and neutral particle transport property measurements in the plume of an SPT-100 // AIAA Paper 96-2712, 1996.

156. Manzella, D.H. Stationary Plasma Thruster Ion Velocity Distribution // AIAA Paper 94-3141, 1994.

157. Kim S.W., Foster J.E., Gallimore A.D. Very near field plume study of a 1.35 kW SPT-100. // AIAA Paper 96-2972, 1996.

158. Morozov A.I. et al., ATON-Thruster Plasma Accelerator // Plasma Physics Reports, Vol.23, No.7, 1997. P. 587-597.