Численное моделирование течений умеренно-разреженного газа на основе квазигазодинамических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Широков, Иван Анатольевич

• Широков, Иван Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Широков, Иван Анатольевич

Содержание

Введение

1. Методы расчета течений умеренно-разреженного газа

IX• Введение

1.2. Кинетические методы

1.3. Макроскопические уравнения

1.4. Квазигазодинамическая модель

1.5. Связь КГД системы и системы Навье-Стокса

2. Квазигазодинамические уравнения с пространственной температурной неравновесностью (КГДТ)

2.1. Введение

2.2. Функции распределения

2.3. Используемые системы координат

2.4. Некоторые квадратуры и выражения

2.5. Процедура построения моментных уравнений

.2.6. ,;Уравнение для р

2.7. Уравнения для иг и и2

2.8. Уравнения для Е± и Ег

2.9. Вычисление обменных членов

2.10. КГДТ уравнения с неравновесностью между степенями свободы, связанными с И^-координатами

2.11. КГДТ уравнения с неравновесностью между степенями свободы, связанными с декартовыми координатами

2.12. О неравновесности по пространственным степеням свободы

в других системах координат

3. Квазигазодинамические уравнения с поступательно-вра-

ш ,' еььрой температурной неравновесностью (КГДР)

3.1. введение

3.2. Молекулярная модель и функции распределения

3.3. Используемые системы координат и некоторые интегралы

3.4. Построение моментных уравнений

3.5. Вычисление обменных членов

3.6. КГДР уравнения для газа с двумя и тремя вращательными степенями свободы

4. Конечно-разностные методы численного решения

4.1. Явная схема для пространственно-одномерной задачи

4.2. Неявные методы для пространственно-одномерной задачи

4.3. Методы решения двумерных и трехмерных задач

4.4. Описание комплекса программ

5. Примеры численных расчетов

5.1. Одномерные задачи для КГДР уравнений

5.2. Расчет струи прямоугольного сечения в трехмерной постановке

5.3. Задача о взаимодействии струи с пластиной

5.4. Задача о взаимодействии двух струй

5.5. Таблица

Заключение

Литература

Иллюстрации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование течений умеренно-разреженного газа на основе квазигазодинамических уравнений»

Введение

Численное моделирование течений умеренно-разреженного газа является важной задачей современной аэродинамики. Такие течения связаны с многочисленными техническими приложениями: вход летательных аппаратов в атмосферу Земли и других планет, маневрирование спутниковых систем, полеты на больших высотах и др. Кроме того, изучение указанных режимов течений необходимо и для обеспечения земных технологий, таких как разработка вакуумных насосов и приборов, включающих в себя течения газа в тонких капиллярах.

Численные алгоритмы расчета течений умеренно-разреженного газа строятся либо на основе традиционных уравнений Навье-Стокса (НС) для сжимаемого газа, либо методов кинетической теории, таких, как непосредственное решение уравнения Больцмана или прямое моделирование Монте-Карло (ПММК). Однако интересующие нас режимы течений находятся на границе применимости обоих этих подходов, что приводит к значительным трудностям при их реализации.

Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов для моделирования течений умеренно-разреженного газа явяется использование квазигазодинамической (КГД) системы макроскопических уравнений, которая отличается от уравнений НС вязкими членами с малым параметром.

Цель работы состоит в разработке новых математических моделей для описания течений умеренно-разреженного газа, создании эффективных численных алгоритмов для их реализации, апробации их на характерных задачах и сравнении полученных результатов с результатами, полученными на основе системы НС и метода ПММК, и экспериментальными данными.

На основе ранее предложенных КГД уравнений в диссертации построены обобщения этих уравнений на случаи течений, обладающих температурной неравновесностью по поступательным и вращательным степеням свободы молекул. Такая неравновесность является характерной особенностью умеренно-разреженных течений.

Построены также явные и неявные разностные схемы для численной реализации указанных моделей. В отличие от традиционных разностных схем, данные алгоритмы не требуют введения дополнительной искусственной вязкости для обеспечения устойчивости счета при моделировании течений с большими скоростями. Роль регуляризирующих добавок в этих алгоритмах играют дополнительные диссипативные члены, входящие в КГД уравнения и отсутствующие в традиционных уравнениях НС. Это позволяет использовать центрально-разностную аппроксимацию второго

порядка точности для всех пространственных производных, включая конвективные слагаемые.

Построенные в диссертации алгоритмы являются удобным и эффективным способом численного расчета умеренно-разреженных течений в широком диапазоне параметров.

На основе построенных алгоритмов проведено численное моделирование характерных газодинамических течений, а также режимов, представляющих практический интерес. К последним относятся течения в струях при их взаимодействии между собой и со стенкой. Указанные расчеты проведены в двумерной и трехмерной пространственной постановке.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (содержащего 64 наименования), составляющих 86 страниц текста, и 25 иллюстраций.

Глава 1 посвящена обзору общепринятых методов решения практических задач динамики умеренно-разреженного газа (уравнения Навье-Стокса, методы прямого численного моделирования). При этом уделяется внимание принципиальным трудностям, которые возникают при численной реализации этих подходов. Также в этой главе дано краткое изложение нового подхода к описанию задач газодинамики — системы КГД уравнений. Отдельно прослежена связь КГД уравнений с уравнениями

НС.

В главе 2 изложен вывод КГД уравнений, содержащих температурную неравновесность, связанную с пространственными степенями свободы молекулы (КГДТ систем). Рассматриваются случаи неравновесности в геометрии и в декартовых координатах.

Глава 3 посвящена подобному выводу КГД уравнений, учитывающих температурную неравновесность между поступательными и вращательными степенями свободы молекулы (КГДР систем).

В главе 4 рассматриваются некоторые методы построения и решения явных и неявных разностных схем для уравнений газодинамического типа в одномерном, двумерном и трехмерном виде. Обсуждаются способы программной реализации приведенных численных алгоритмов.

В главе 5 описываются численные расчеты, проведенные с использованием ранее полученных систем уравнений. Рассматриваются как одномерные постановки (ударная волна, релаксация), так и двумерные и трехмерные, содержащие температурную неравновесность (пространственные струи). Результаты численных расчетов сравниваются с результатами, полученными методами прямого численного моделирования, а также с экспериментальными данными.

Как показывает практика расчетов, КГД уравнения и их обобщения оказываются удачной моделью для численного анализа течений умеренно-разреженного газа в широком диапазоне параметров. Возможно использование построенных численных алгоритмов для решения ряда практических задач, в частности, связанных с численным моделированием истечения струй в область низкой плотности.

Основные результаты диссертации докладывались:

— на конференции молодых ученых МГУ (семинар под рук. проф. Г.А. Тирского, Институт механики МГУ, апрель 1997 г.).

— на 21-м международном симпозиуме по проблемам разреженного газа (21th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Marseille, France, July 26-31, 1998).

— на совместном семинаре Института Математического Моделирования РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под рук. д.ф.-м.н. Е.И. Леванова (11 февраля 1999 г.).

— на научном семинаре по граничным задачам электродинамики Физического ф-та МГУ под рук. проф. А.Г. Свешникова и проф. A.C. Ильинского, (1 марта 1999 г.).

на ^научном семинаре лаборатории математического моделирования в физике ф-та ВМиК МГУ под рук. д.ф.-м.н. В.А. Трофимова (5 мая 1999 г.).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 98-01-00155 "Новые подходы и численные алгоритмы для моделирования вязких течений жидкости и газа".

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям Т. Г. Елизаровой и Ж.-К. Ленграну за большую помощь в работе над диссертацией.

1. Методы расчета течений умеренно-разреженного газа

1.1. Введение

Характеристикой разреженности газодинамического течения является число Кнудсена Кп = A/L, представляющее собой отношение средней длины свободного пробега молекул Л к характерному линейному размеру в решаемой задаче L [1]. Обычно газ рассматривается как плотный, если Кп —0 (на практике Кп < 10_3). Условия, при которых Кп оо (т. е. Кп > 100), характерны для свободномолекулярных течений, когда столкновения между частицами практически отсутствуют. При промежуточных числах Кп газ можно считать разреженным. Под умеренно-разреженным газом понимают такие течения, когда число Кнудсена лежит в диапазоне порядка от 0.01 до 1, в зависимости от рассматриваемой задачи.

Для расчетов свободномолекулярных режимов и течений разреженного газа широко применяются методы кинетической теории. Численный анализ таких течений проводится либо путем непосредственного решения уравнения Больцмана или его упрощенных вариантов ([1], [2]), либо на основе методов прямого численного моделирования ([3], [4]).

Течения плотного газа рассматриваются на основе уравнений сплошной среды, в основном на базе уравнений Навье-Стокса (НС) ([5], [7]).

Течения умеренно-разреженного газа представляют собой область, находящуюся на границе применимости обоих подходов. А именно, расчет таких течений методами кинетической теории требует неоправданно больших вычислительных ресурсов, что обусловлено высокой плотностью газа. В то же время уравнения НС, полученные в приближении Кп —У 0, теряют свою точность при анализе указанных режимов.

В диссертации для расчета указанных течений используется новый подход ., основанный на квазигазодинамических (КГД) уравнениях и сочетающий некоторые достоинства методов кинетической теории и моделей сплошной среды.

Остановимся подробнее на каждом из указанных подходов.

1.2. Кинетические методы

При расчетах течений разреженного газа часто используется метод прямого численного моделирования (DSMC — Direct Simulation Monte Carlo, ПММК — прямое моделирование Монте-Карло). В широком смысле слова методами Монте-Карло называют основанные на моделировании случай-

ных величин методы решения различных задач из таких областей, как статистическая физика, вычислительная математика, теория игр, математическая экономика и многие другие [9].

В газовой динамике нашел применение вариант метода Монте-Карло, основанный на моделировании на ЭВМ реального течения газа посредством небольшого (от тысяч до миллионов) числа молекул ([3], [4]). При этом моделируемый объем физического пространства разбивается на ячейки, причем такие, чтобы изменение параметров течения в каждой ячейке было малым. Моделирование физического движения молекул проводится посредством дискретных шагов по времени, малых по сравнению со средним временем между столкновениями молекул. Движение молекул и межмолекулярные столкновения на временном интервале проводятся последовательно.

На первом этапе все молекулы перемещаются на расстояние, определяемое их скоростями. Учитываются пересечения молекулами поверхностей твердых тел, линий и плоскостей симметрии и границ течения. При наличии потока внутрь области на соответствующих границах генерируются новые молекулы.

На втором этапе проводятся столкновения между молекулами с последующей коррекцией молекулярных скоростей. Важной частью метода прямого моделирования является вычисление числа столкновений. Выбор очередной сталкивающейся пары частиц в пределах одной ячейки производится на основе данных генератора случайных чисел.

Для учета зависимости сечения рассения от скорости молекул и других параметров может применяться так называемый метод исключения. Кратко опишем этот метод на примере моделирования случайной величины х, имеющей заданное распределение /(х). На основе генератора случайных чисел выбираются два числа х, у; при этом х распределено равномерно между своими пределами, а у распределено равномерно между О и 1. Значение х принимается при выполнении условия у < /(х)//тах, где /тах — максимум Дх), и отвергается в противном случае. Принятые значения х имеют распределение /(х).

Хотя метод исключения предполагает процесс многократного повторения, что требует вычисления большого числа функций и случайных чисел, его можно использовать почти для любой функции распределения и легко включить в программы.

На основе системы ячеек возможно вычисление макроскопических свойств газа. Важным преимуществом метода ПММК является формулировка граничных условий в терминах вероятностного описания для каж-

дой молекулы, а не в виде функции распределения в окрестности границы.

При работе с моделями сплошной среды результаты расчетов на основе методов ПММК можно считать за эталонные, практически совпадающие с экспериментальными данными.

К недостаткам метода ПММК можно отнести высокие требования к аппаратным ресурсам, сложность расчета нестационарных течений, а также большие флуктуации результатов при расчетах течений с макроскопическими скоростями, малыми по сравнению со скоростью звука. Указанные сложности возрастают с уменьшением числа Кнудсена. Кроме того, в практических задачах обычно не требуется столь подробная информация, как знание функции распределения; интерес представляют ее моменты — газодинамические величины. Их получение связано с интегрированием в пространстве скоростей, что приводит к значительным вычислительным затратам. С связи с этим понятен интерес, проявляемый к использованию макроскопических моделей течений разреженного газа.

1.3. Макроскопические уравнения

Уравнения Навье-Стокса (НС) являются моделью для описания течений вязкого сжимаемого газа. Эти уравнения более 100 лет назад были получены как на основе макроскопических представлений ([5], [7]), так, позднее, и на основе кинетического подхода, базирующегося на уравнении Больцмана ([2], [8]). Уравнения НС многие годы успешно применяются в практических расчетах при решениях задач газовой динамики. Разработаны различные численные методы их решения.

Полные нестационарные уравнения НС образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений:

+ V гРиг = 0. (1)

~рик + Ъри*ик + = (2)

от

г\

~Е + + р) = Рг-1-^-+ (3)

4д = + У'и1' - 1дг^1и1) + дЧ-фЧт1. (4)

Здесь использованы обычные обозначения. Если в этих уравнениях опустить нестационарные члены, то полученная смешанная система будет гиперболически-эллиптического типа, решать которую трудно из-за несходства метедов численного решения уравнений гиперболического и эллиптического типов. Поэтому в большинстве случаев используется нестационарная форма уравнений НС. Стационарное решение можно получить методом установления по времени. Забегая вперед, укажем, что именно такой способ применяется в данной работе для решения КГД уравнений, о чем будет сказано далее.

Для обобщения численных методов, основанных на системе НС, на область течений умеренно-разреженного газа, применяют постановку модифицированных граничных условий (условий скольжения) ([1], [8]).

Для решения полных нестационарных уравнений НС используются как явные, так и неявные схемы. Почти все эти схемы имеют второй порядок точности по пространству и либо первый, либо второй по времени. Если требуется получить точную картину развития течения по времени, то порядок схемы по времени должен быть по крайней мере вторым. Если же нас интересует только установившееся решение, то часто выгодно пользоваться не только точными по времени схемами, так как установление можно получить за меньшее число шагов по времени. Ввиду большой дополнительной сложности схемы третьего порядка и выше в расчетах на основе полных уравнений НС применяются редко.

Перечислим некоторые широко распространенные конечно-разностные методы решения полных уравнений НС, начиная с явных методов, как наиболее простых в плане численной реализации [10].

Явная схема Мак-Кормака "предиктор-корректор" имеет второй порядок точности по времени и пространству, использует направленные разности. Разности вперед и назад можно последовательно чередовать как на шагах предиктор-корректор, так и при аппроксимации производных по трем пространственным координатам. Это устраняет любое рассогласование, обусловленное дискретизацией односторонними разностями. Из-за большой сложности уравнений НС невозможно получить аналитическое выражение критерия устойчивости для схемы Мак-Кормака, примененной к этим уравнениям. Для определения шага по времени существуют эмпирические соображения.

Разработан вариант схемы Мак-Кормака с расщеплением по времени, а также сглаживающая схема четвертого порядка, содержащая дополнительные диссипативные члены. Их величина мала всюду, за исключением областей резких осцилляций давления, в которых аппроксимация без

сглаживания приводит к ошибочным результатам.

Кратко перечислим некоторые другие явные схемы [10].

Схема Дюфорта-Франкела — одношаговая, первого порядка точности по времени и второго по пространству.

Схема Браиловской " предиктор-корректор", первого порядка по времени и второго по пространству. В этой схеме вязкие члены вычисляются только на первом шаге, что является ее важным преимуществом.

Схема Аллена-Чена — модификация схемы Браиловской, позволяющая использовать существенно больший шаг по времени, поскольку в этом случае условие устойчивости не зависит от вязкости.

Двухшаговая схема Лакса-Вендроффа.

В настоящее время основным инструментом решения уравнений НС для стационарных течений являются неявные схемы. В качестве примеров таких схем укажем следующие [10].

Неявная схема переменных направлений Бима-Уорминга. Ее реализация приводит к уравнениям, имеющим блочно-диагональную структуру; в случае двумерных уравнений НС блоки являются матрицами 4x4. Для подавления высокочастотных осцилляций бывает необходимо вводить демпфирование путем добавления диссипативного члена четвертого порядка. При использовании метода установления возможно добавление сглаживающего члена второго порядка.

Неявная двухшаговая схема Мак-Кормака. На первом шаге используется первоначальный вариант схемы Мак-Кормака, на втором — неявная схема, что устраняет ограничения в связи с устойчивостью. Имеет второй порядок точности как по времени, так и по пространству. Реализация этой схемы приводит к блочной двухдиагональной системе.

Созданы и успешно применяются коммерческие пакеты прикладных программ, реализующие численные алгоритмы решения уравнений Навье-Стокса. В качестве примера можно отметить пакет INCA [45].

Предпринимались попытки расширить возможности описания течений, заложенные в системе НС, Было построено следующее по числу Кнудсе-на приближение для уравнений гидродинамики — уравнения Барнетта. Эти уравнения оказались существенно сложнеее системы NS и практически не пригодными для расчетов реальных течений. Для них так и не были построены в окончательном виде граничные условия. Расчеты, проведенные для простейших модельных задач (задача о структуре ударной волны, течение между параллельными пластинами — течение Куэтта) — не показали существенного улучшения результатов по сравнению с системой НС для задач с не очень малыми числами Кнудсена [48].

1.4. Квазигазодинамическая модель

В работах [17]—[21] была предложена оригинальная математическая модель для описания течений вязкого сжимаемого газа, сочетающая макроскопический и кинетический подходы и названная авторами системой квазигазодинамических (КГД) уравнений. Это система макроскопических уравнений, имеющая вид, сходный с видом системы НС. Она отличается от системы НС диффузионными поправками, величина которых определяется "кинетическим" параметром г, имеющим порядок времени свободного пробега молекулы.

Выпишем систему КГД уравнений в инвариантном относительно системы координат виде (в обычных обозначениях):

^р + Чгри' = У,-т( ^/ж'У + 4{р). (5)

д

—рик + Чгригик + \7кр = Х/гТЧпри1и3ик + Ы

+ Чкри{) + УктЧгриг. (6)

+ Уги\Е + р) = + 2 р)и*и* +

\у1икикр) + -И-Ът^р + Рг"1-^—УггрУ^. (7)

2 7—1 р 7—1 р

Здесь 7 — постоянная адиабаты, Рг — число Прандтля, Е = ри2/2 + р/(7 — 1) — удельная полная энергия; т = р/р — максвелловское время релаксации, р — коэффициент динамической вязкости; уравнение состояния записывается в виде р — р{%/М)Т.

При получении КГД системы была использована известная феноменологическая моде ль бесстолкновительного разлета молекул газа с последующей мгновенной максвеллизацией.

Феноменологические выводы КГД системы и ее представления в виде интегральных законов сохранения массы, импульса, момента импульса, полной энергии и энтропии для подвижного материального объема предложены в [30]. Кроме того, для этой системы получены уравнения баланса энтропии с неотрицательной диссипативной функцией, доказаны теоремы о возрастании полной термодинамической энтропии в адиабатически изолированных объемах, изучены свойства решений типа неподвижной ударной волны, построены приближения ламинарного пограничного слоя,

совпадающие с классическими уравнениями Прандтля. Показано, что в стационарном случае КГД система отличается от уравнений НС дополнительными членами, имеющими формальные порядки малости 0(Кп2) при Кп -> 0, где Кп — число Кнудсена ([21], [28], [29], [30]).

Большое количество численных расчетов показало, что КГД уравнения пригодны для расчета ряда задач газодинамики, и в частности, для моделирования течений умеренно-разреженного газа. Сравнение результатов расчетов с аналогичными результатами, полученными с помощью моделей Навье-Стокса и Больцмана, показало определенные преимущества нового подхода ([22], [23], [27]).

Параллельно проводились численные исследования газодинамических течений с использованием кинетически-согласованных разностных схем (КСРС) (см. [36]). Отметим, что квазигазодинамическая система может быть построена также на основе анализа дифференциальных приближений КСРС [35]. КГД системы отличаются от систем аналогичного вида, которые в разное время предлагались в работах других авторов ([15], [16], [40]—[44]).

Интересной и важной особенностью КГД уравнений является легкость и естественность их обобщения на некоторые случаи течений, содержащих температурную неравновесность, т. е. описываемых несколькими величинами температур. Это один из эффектов разреженности газа, проявляющийся с ростом числа Кнудсена (например, в ударной волне). Могут быть построены различные варианты обобщения для случаев неравновесности, связанных с различными степенями свободы молекул. В диссертации подробно изложены способы обобщений КГД уравнений на случаи температурной неравновесности в Я2-геометрии, а также вращательно-поступательной.

1.5. Связь КГД системы и системы Навье-Стокса

Связь КГД системы с уравнениями Навье-Стокса (НС) прослежена в работах [21], [30]. Кратко изложим соответствующие результаты.

. В соответствии с [30] уравнения (5)-(7) можно переписать в виде уравнений баланса массы, импульса и полной энергии:

+ = 0, (8)

я

-рик + Чг?ик = (9)

от

^E + VifE/p^V^Ä-q1). (10)

Здесь введен вектор плотности потока массы

f = pu1 - r(VjPWV + VV). (11)

Тепловой поток в КГД модели имеет вид:

q{ = -rpiiVpV,---rpuV Vj-- Рг~1-3—рт V*-. (12)

Р 7~1 р 7-1 Р

Выразим максвелловское время релаксации через коэффициент динамической вязкости ([1], [30]):

г = р/р (13)

и введем аппроксимацию коэффициента второй вязкости вида

ф = 1). (14)

Это простое приближение не противоречит основным свойствам коэффициента второй вязкости. Известно, что он всегда положителен и связан с наличием внутренних степеней свободы молекулы ([1], с. 188, [11], с. 97). Если газ не обладает внутренними степенями свободы, то 7 = 5/3 и ф — 0. В противном случае 7 < 5/3 и ^ > 0.

В предположениях (13) и (14) показано, что правые части уравнений (8)—(10) представляются в виде НС слагаемого и дополнительного дивергентного слагаемого порядка О(т). Для случая стационарных течений, используя результаты из [21], можно показать, что дополнительные по сравнению с моделью НС слагаемые в этих членах на гладких решениях КГД уравнений имеют порядок 0(т2). В безразмерном виде, если в качестве масштабной единицы длины используется характерный линейный размер, это эквивалентно малости с порядком 0(Кп2).

Из приведенного соотношения между двумя моделями можно заключить, что влияние добавочных членов несущественно для стационарных (и квазистационарных) течений при малых числах Кнудсена. Напротив, для сильно нестационарных течений, а также для течений при Кп ~ 1 вклад дополнительных слагаемых может быть значителен.

Далее в диссертации будут рассматриваться КГД уравнения и их обобщения для стационарных течений с умеренным числом Кнудсена.

2. Квазигазодинамические уравнения с пространственной температурной неравновесностью (КГДТ)

2.1. Введение

Известно, что одним из проявлений разреженности газа является нарушение термодинамического равновесия между различными степенями свободы ([3], [4]). Этот эффект возрастает с ростом числа Кнудсена (например, в ударной волне). Хотя методы прямого численного моделирования (ПММК) позволяют учесть такого рода неравновесность, представляет интерес рассмотрение этих вопросов и на макроскопическом уровне. Были предприняты попытки построения уравнений типа Навье-Стокса, учитывающие неравновесность между поступательными температурами [47].

Целью данной главы является построение модифицированных КГД систем, позволяющих учесть такую температурную неравновесность. Рассматриваются два случая: й^-геометрия (цилиндрическая система координат) и декартова система координат.

Подробно рассматривается первый случай. В последующих параграфах данной главы, кроме последнего, описывается построение двухтемпера-турной КГД системы в цилиндрической системе координат. При этом считается, что никакие макроскопические функции не зависят от угла ф. Кроме того, принимается, что угловая компонента макроскопической скорости равна нулю. Трудность заключается в том, что угловая компонента тепловой скорости равной нулю не полагается.

Краткому рассмотрению случая температурной неравновесности в декартовой системе координат посвящен последний параграф главы.

Необходимо заметить, что каждое обобщение КГД системы, включающее неравновесность между пространственными степенями свободы, привязано к конкретной системе координат, определяющей эти степени свободы,- и в. -этом смысле не инвариантно.

2.2. Функции распределения

Газ молекул — материальных точек может быть описан одночастичной

—* —¥ —*

функцией распределения /(£, Д, £), зависящей от времени ¿, координаты К и скорости молекулы Скорость молекулы представляется как £ = с+ м, где с — тепловая скорость, й — макроскопическая.

Будем нормировать эту функцию распределения соотношением

с1р = ,

где р — массовая плотность газа.

Введем в рассмотрение локально-равновесную двухтемпературную функцию распределения Максвелла-Больцмана:

Ы = Ц-щ^щ- - щ^щ)-

Здесь 7Z — универсальная газовая постоянная, М. — молярная масса рассматриваемого газа, с± — проекция тепловой скорости с на плоскость, перпендикулярную оси 2 (вообще говоря, индексом ± мы отмечаем проекцию какого-либо вектора на эту плоскость), Т± — температура, связанная с с±, — проекция тепловой скорости на ось Т2 — температура, связанная с с2.

Очевидно, что если Т± = Тг = Т, эта функция распределения переходит в обычную максвелловскую:

2.3. Используемые системы координат

Введем в пространстве декартову (х, у, х) и связанную с ней цилиндрическую (г, ф, г) системы координат. В каждой точке пространства построим ортонормированную тройку векторов {еГ1 ёф, е2). Запишем выражение для радиус-вектора:

—*

Я = ег ■ г + ег ■ г.

Ковариантный репер цилиндрической системы определяется следующим образом:

п дй _ д& . п дй ,

~дг = вг] ~дф~еф'Г] аг =

Контравариантный репер-¿^ -определяется как

йг = ег- М2 = —; Л3

г

е*.

Введем в рассмотрение пространство скоростей молекул По отно-

—*

шению к пространственным координатам £ может рассматриваться как постоянное векторное поле

= 0, (15)

Vj — ковариантная производная [21]. В пространстве скоростей введем цилиндрическую систему (с±,<р, cz). Можно понимать с± и cz как проекции с на ось z и плоскость ху соответственно. Вектор с является радиус-вектором в этой цилиндрической системе. Она связана с' репером R\ который неподвижен в пространстве скоростей, т. к. мы рассматриваем фиксированную точку координатного пространства. Угол <р отсчитывает-ся от R1. Ковариантный и контравариантный реперы, соответствующие цилиндрической системе координат в пространстве скоростей, обозначим

как ¿1,1/2,^3, и L , Zr, L\ соответственно. Выразим радиус-вектор:

—* —»

с = Li • с± + £3 • cz.

Отметим, что

\Ьг\ = IX1! - |Х3| - \L3\ = 1.

2.4. Некоторые квадратуры и выражения

В этом параграфе собраны некоторые квадратуры и формулы дифференцирования тензоров, используемые в дальнейшем.

e~**dx = —; f°° xe~x*dx = \\ x2e~**dx =

Jo 2 Jo 2 Jo 4

xze~^dx = xAe~x2dx = xbe~**dx = 1;

Jo 2 Jo 8 Jo

J sin2 <pd<p = 7г; cos2 <pd(p = 7r;

г2тг о /-2ТГ q

yo sin0 = 0; yo cos (pdip = 0;

г2ж у г2ж 2

sin (p cos <pd(p = 0; cos (p sin <pd(p = 0.

Формулы дифференцирования выписаны в цилиндрических координатах (г, z), причем предполагается, что никакие компоненты тензоров не зависят от угла ф. Кроме того, в некоторых случаях предполагается симметричность тензоров (см. примечания ниже).

VjT' = ifr Т1 + |-Г3.

Г Or OZ

ViTk - ~rTlk + -^Тзк + ^-(Т12 + Т21) - 8кгТ22.

Г ОГ OZ Г

В последнем выражении Т13 может быть несимметричным; 63 — 1(0), г =

ш

= + ^тЛт* +

г ог ог г ог о г

— -I- —г—Т33 - —тгТ22 - тТ22

г\ О ¿Л о о '

¿72 Г ОГ О2 02 ОГ

В последней формуле предполагается, что Т%3 — Т3%.

I АгГПт + \ ДТ31т + +

г дг дг г дг дг д2 г дг

д д грЗЗт__®_ТГ>-р11 т _ гр22т _

аг аг ог

5?[~тгТ122 + |-ггГ322 + тг~~Т212 +

ОТ и 2 ОГ

Я

; тг—Т232 + г (ЗТ212 + 2Т122 + Т221)].

•

В последней формуле предполагается, что = Т-72"1, кроме того, га ф 2.

2.5. Процедура построения моментных уравнений

Поведение функции распределения / описывается уравнением Больц-мана:

% + (IV)/ - (16)

где J — интеграл столкновений. Для построения моментных уравнений, описывающих течения вязкого газа, традиционно используются приближения для функции / в виде разложения по малому параметру вблизи равновесного значения с последующим осреднением полученного кинетического уравнения с сумматорными инвариантами ([1]-[4]).

Для построения моментных уравнений, включающих температурную неравновесность, заменим функцию распределения / ее приближенным значением fQGDRZ^ которое представляет собой разложение по малому параметру (градиентное разложение) следующего вида

Здесь т представляет собой максвелловское время релаксации г = ц/рау, где ¡1 сс — коэффициент вязкости газа, вычисляемый на основе средней

температуры частиц [26], величина ш определяется законом межмолекулярного взаимодействия (см. § 5.1), pav — среднее давление.

Формальная замена

f fQGDRZ

в конвективном слагаемом уравнения Больцмана (16) приводит к приближенному уравнению:

^ + (fr)fRZ ~ (eV)r(fV)/^ = J. (17)

Приближенное уравнение аналогичного вида использовалось ранее для построения КГД уравнений ([19], [21], [32]).

Макроскопические уравнения получаются посредством моментного осреднения этого уравнения по пространству скоростей. Процедура получения уравнений аналогична изложенной в [19].

Используя (15), перепишем уравнение (17) в индексной форме:

~ + ViCfRz - ViTVjCefRz = J. (18)

Интегрирование будем производить в цилиндрических координатах в пространстве тепловых скоростей:

оо 2ж оо

J .. = ... J c±_dc±_ j d(p J dcz.

0 0 -00

Отметим, что в этой главе мы не ставим целью получение инвариантного вида уравнений на основе введенной функции распределения. Иными словами, все тензорные индексы предполагаются относящимися к пространственной цилиндрической системе координат — (г, ф, z). Например, с1 = с • R1 = сг, с3 = с - В? = cz ж т. п. Предполагается, что и2 = и - R? = О, но, вообще говоря, с2 = с • R2 ф 0.

Считаем справедливыми следующие соотношения:

/ fdi = / fRzd£ = Р, / clfd£= О,

pjl = 2 /clfdt = 2 /pmt±1

P* = f & d£ = / c\fRZdi = p~Tz, (19)

где p±,pz — давления, связанные с c± и cz , соответственно. Средние давление и температура выражаются следующим образом:

pav = (2р± + pz)/3 = p(R,/M)Tav. (20)

2.6. Уравнение для р

Чтобы получить уравнение для плотности, проинтегрируем уравнение

(18) с сумматорным инвариантом 1 по пространству скоростей, используя

(19) и выражения из § 2.4.

rdf¿e д f fj? др

Далее,

/ ViCfRzd^ Vi [{и1 + é)fRZdÍ = Vipu1 + V4 / éfRZdl

Для вычисления последнего интеграла и, в дальнейшем, аналогичных ему, произведем следующее разложение скалярного произведения:

С* - С • К' = (с • Ьк)(К . Lk) =

(с • ¿i)(i? • L1) + (с • L2){É' ■ L2) + (с • £3)(j? • ¿3) =

Выпишем каждую компоненту:

с1 = cj_ cos<z>; с2 = c_l~ sin^; с3 = cz.

г

Имеем:

/ clfRZd£ = ... J cos = 0;

о

2тг

/ c2fRZd£ = ...J sin ipdip = 0; о

OO 2

/ czfRZdÍ = ... J c2 exp= 0.

—oo Л4 г

Итак,

/ cVazdf = 0,

следовательно,

/ füzdi — Vipu1. Воспользовавшись формулой дифференцирования из § 2.4, получаем:

Г - 1 д д

J ViCfRzdC = --T^rpUr + Переходим к интегрированию третьего слагаемого: / VirVjC^fRzd^ VítVj J (и' + + V^rV^puV + / ¿¿fRZdg).

Введем обозначение:

Рг] = /

Вычисляем каждую компоненту:

Р11 = / с2± сое2

-77 ^ V

оо „2

О

/ ехр(-

2тг

-оо

)<1с2 / со б2 (рскр.

Используя (19) и выписанные в § 2.4 значения квадратур, получаем:

11 •- гр

Р =РМТ±=Р±-

К

2тг

р12 = р21 — ... J соэ р виз. (рс1р = 0. о

2тг

р13 = р31 = ... J сое <рс1(р = 0. о

>22 = / с^зш^/д^е -

1 Т? оо 2

X

2тг

—оо

2тг /

О

р23 — р32 = ... / эш = 0.

Итак,

Имеем:

р33 = / = рг.

Р

ч

Р±

О 0 \

О ^рх О

^ о г о р2;

Применяя формулу дифференцирования и проводя тождественное преобразование, получаем:

/ v^i^df = -rl4rWr + lrpzpul

1 д д д д 1 д д д т д

+ —T—pz + -—гт—риги2 + -——rpuruz. г or or oz oz r or oz oz r or

Поскольку 1 является сумматорным инвариантом,

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Широков, Иван Анатольевич

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

Проведено обобщение КГД уравнений на случай течений, содержащих температурную неравновесность по пространственным степеням свободы. Для случая неравновесности в координатах построен обобщенный вариант КГД уравнений в цилиндрической системе координат. Для случая неравновесностей по степеням свободы, связанным с декартовыми компонентами тепловых скоростей молекул, построены КГДТ уравнения в произвольной криволинейной системе координат. В равновесном случае эти системы совпадают с КГД системой для моноатомного газа.

Показало, что изложенная методика позволяет получать системы уравнений для температурной неравновесности между пространственными степенями свободы, связанными с различными системами координат.

Построен вариант КГД системы, учитывающий неравновесность между поступательными и вращательными степенями свободы (КГДР система). Численное исследование тестовых постановок задач об ударной волне и--релаксации в широком диапазоне чисел Маха показывает очень хорошее согласование результатов с результатами, полученными методами прямого численного моделирования. В равновесном случае КГДР система, так же как и системы с пространственной температурной неравновесностью, совпадает с КГД системой для полиатомного газа.

Построены разностные алгоритмы, проведено их тестирование на принятых модельных примерах и их сравнение с существующими подходами. На основе разработанных методик создан комплекс программ для расчета трехмерных струйных течений и проведен расчет ряда задач, имеющих практическое приложение. Приведено описание программного комплекса.

Рассмотрены следующие примеры струйных течений.

• Численное моделирование прямоугольного в сечении струйного течения воспроизводит эффект "переворачивания" на 90 градусов, что соответствует экспериментальным данным.

• Результаты, полученные при моделировании задачи о взаимодействии струи с твердой пластинкой на основе двумерной и трехмерной постановок и на основе уравнений КГД и НС, хорошо соответствуют друг другу и экспериментальным данным, приведенным в цитируемых работах.

• Задача о взаимодействии двух газодинамических струй численно исследована на основе КГДР системы в двумерной постановке. Рассчитанное распределение плотности в поле течения и тепловой поток, вычисленный на твердой стенке между струями, обнаруживают хорошее качественное сходство с экспериментальными данными, полученными при исследовании аналогичной задачи.

Все вышесказанное позволяет надеяться на целесообразность и перспективность применения построенных авторами моделей для расчетов многомерных течений умеренно-разреженных полиатомных газов.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Широков, Иван Анатольевич, 1999 год

Литература

[1

[2

[3

[4 [5 [6 [7 [8

[9

[10

[И

[12

[13

[14 [15 [16 [17

Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.

Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973.

Bird G.A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. Clarendon press, Oxford, 1998.

Берд Г.А. Молекулярная газовая динамика. М., Наука, 1981.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978.

Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1965.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

Лифшиц Е.М.: Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука,

1975.

Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1991.

Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М.: Наука, 1989.

Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М.: Наука, 1965.

Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992.

Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука, 1990.

Климонтович Ю Л. Статистическая теория открытых систем. М.: Янус, 1995.

Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений. ДАН СССР, 1984, т. 279, N 1, с. 80-83.

[18] Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетические алгоритмы для расчета газодинамических течений. ЖВМиМФ, 1985, т.25, N 10, с.1526-1533.

[19] Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. Сборник "Математическое Моделирование", М.: Наука, 1986, с.261-278.

[20] Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы для моделирования течений вязкого теплопроводного газа. ЖВМ и МФ, 1988, т. 28, N 11, с.1695-1710.

[21] Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Инвариантный вид и асимптотические свойства обобщенной квазигазодинамической системы. ЖВМ и МФ, 1991, т. 31, N 7, с.1042-1050.

[22] Траур И.А., Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Расчет структуры неподвижной ударной волны на основе квазигазодинамических уравнений. Препринт N 42. М.: Всесоюзный Центр Математического Моделирования РАН, 1992, 20 с.

[23] Elizarova T.G, Graur I.A, Chpoun A, Lengrand J.C. Comparison of continuum and molecular approaches for the flow around a perpendicular disk. Proceedings of the 20th Int. Symp. on Shock Waves, Pasadena, CA 91125, USA, July 23-28, 1995, Proceedings, dir. Sturtevant B. et al., 1997, World Scientific: 795-800.

[24] Elizarova T.G. Graur I.A, Lengrand J.C, Chpoun A. Rarefied gas flow simulation based on quasigasdynamic equations, Laboratoire d'Aerother-mique du CNRS, Meudon (Fr), R 94-4, 1994.

[25] Lengrand J.C, Chpoun A, Graur I.A, Elizarova T.G. Supersonic rarefied gas flow around a perpendicular disk, Laboratoire d'Aerothermique du CNRS, Meudon (Fr), R 95-6, 1995.

[26] Graui i A, Elizarova T.G.., Lengrand J.C. Quasigasdynamic equations with multiple translational temperatures, Laboratoire d'Aerothermique du CNRS, Meudon (Fr), R 97-1, 1997.

[27] Elizarova T.G., Graur I.A., Lengrand J.C., Chpoun A. Rarefied gas flow simulation based on quasigasdynamic equations, AIAA Journal, 1995, V.33, No.12, p. 2316-2324.

[28] Елизарова Т.Т., Шеретов Ю.В. О свойствах решений типа ударной волны для квазигазодинамических уравнений. Препринт N 156. М.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, 1990, 15 с.

[29] Шеретов Ю.В. Об одной новой математической модели в гидродинамике. В сб. Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской Гос. Университет, 1996, с. 124-134.

[30] Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения как модель течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды. В сб. Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, Тверской Гос. Универсистет, 1997, с. 127-155.

[31] Graur I.A., Elizarova T.G., Lengrand J.С. (1998), Calculation of shock wave stucture based on QGD model with multiple translational temperatures, Proceedings of the 21th International Symposium on Shock Waves, dir. Houwing AFP, paper 3530.

[32] Elizarova T.G., Lengrand J.С., Graur I.A. Gradient expansions for distribution functions and derivation of moment equations. 21th Intern. Symp. on RGD, Marseille, France, July 26-30, 1998. Ed. R.Brun. Toulouse, France, Cepadues, 1999, p. 119-126.

[33] Граур И.А. Алгоритмы численного решения квазигазодинамических • уравнений. ЖВМиМФ, 1999, т. 39, N 8, с. 1356-1371.

[34] Абалакин И.В., Елизарова Т.Г., Четверушкин Б. Н. Неявные кинетически-согласованные схемы для расчета стационарных задач газовой динамики. Препринт N 36. М.: Всесоюзный Центр Математического Моделирования РАН, 1990, 24 с.

[35] Абалакин И.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений. Математическое моделирование, 1996, т. 8, N 8, с. 17-36.

[36] Антонов А.Н., Антонов М.А., Граур И.А., Косарев JI.B., Четверушкин Б.Н., Шильников Е.В. Кинетически-согласованные разностные схемы и квазигазодинамическая система уравнений как модель для описания течений вязкого газа. В сб. "Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем". Ред. Л. А. Уварова, М.: МГТУ Станкин, 1998, с. 4-36.

[37] Рыков В.А. Модельное кинетическое уравнение для газа с вращательными степенями свободы. Механика жидкости и газа, 1975, N 6, с. 107-115.

[38] Рыков В.А., Скобелкин В.Н. О макроскопическом описании движений газа с вращательными степенями свободы. Механика жидкости и газа, 1978, N 1, с. 180-183.

[39] Ларина И.Н., Рыков В.А. Подобие гиперзвуковых течений разреженного газа около тупых тел. Механика жидкости и газа, 1981, N 2, с. 130-135.

[40] Алексеев Б.В. Гидродинамические уравнения в кинетической теории реагирующих газов. ЖВМиМФ, 1987, т.27, N 5, с. 730-740.

[41] Климонтович Ю.Л. К кинетическому обоснованию уравнений гидродинамики с учетом самодиффузии. Письма в ЖТФ, 1990, т. 16, вып. 9, с. 1512.

[42] Климонтович Ю.Л. О необходимости и возможности единого описания кинетических и гидродинамических процессов. Ж. теоретическая и математическая физика, 1992, т. 92, N 2, с. 312-330.

[43] Валландер С.В. Уравнения движения вязкого газа. Докл. АН СССР, 1951, т. 58, N 1, с. 25-27.

[44] Слезкин Н.А. О дифференциальных уравнениях движения газа. Докл. АН СССР, 1951, т. 77, N 2, с. 205-208.

[45] INCA. A three-dimensional Navier-Stokes flow analysis with finite rate chemistry. Amtec Engineering, Inc. June 1992.

[46] Bird G.A. Breakdown of translational and rotational equilibrium in gaseous expansions. AIAA Journal, 1970, v.8, N11, p. 1988-2003.

[47] Candler G. V., Nijhawan S., Bose D., Boyd I. D. A multiple translational temperature gas dynamics model. Phys. Fluids, 1994, v. 6, N 11, p. 37763786.

[48] Comeaux K. A., Chapman D. R., MacCormack R. W. An analysis of the Burnett equations based on the second law of thermodynamics. AIAA paper 95-0415, January 1995.

[49j B< v 11 h A.E. Structure and applications of jets. 21th Intern, Symp. on 1 A Marseille, France, July 26-30, 1998. Ed. R.Brun. Toulouse, France, Cepadues, 1999.

[50] Wysong I.J., Wadsworth D.C. Assessment of rotational collision number of nitrogen at high temperatures and its possible effect on modeling of reacting shocks. 21th Intern. Symp. on RGD, Marseille, France, July 2630, 1998. Ed. R.Brun. Toulouse, France, Cepadues, 1999.

[51] Koura K. Monte Carlo direct simulation of rotational relaxation of diatomic molecules using classical trajectory calculations: nitrogen shock wave. Phys. Fluids, 1997, V.9, No.ll, p. 3543-3549.

[52] Lengrand J.C., Allegre J., Raffin M. Heat transfer to a surface impinged upon by a simulated underexpanded rocket exhaust plume. Rarefied Gas Dynamics, 1981, Vol. 74 of Progress in Astronautics and Aeronautics, p. 980-993.

[53] Allegre J., Raffin M., Lengrand J.C. Experimental study of the plume impingement problem associated with rocket stage separation. AIAA 20th Thermophysics Conference, 19-21 June 1985.

[54] Lengrand J.C, Allegre J., Raffin M. Dynamic aspects of rocket plume impingement. Proc. of Symp: Fluid Dynamics and Space, VKI, Rhode-Saint-Genese, 25-26 June 1986, ESA SP-265, Aug. 1986, p. 89-95.

[55] Allegre J., Bisch D., Lengrand J.C. Interaction of a simulated rocket exhaust plume with a wall: influence of singularities. Proc. Second European Spacecraft Propulsion Conference, 27-29 May 1997, ESA SP-398, Aug. 1997, p. 611-616.

[56] Allegre J., Lombardo G., Lengrand J.C. Experimental study of twin-plumes interacting with a simulated satellite wall. Proc. Third European

. Symp. on Aerothermodynamics for Space Vehicles, 24-26 November 1998, ESTEC, Noordwijk, The Netherlands, ESA SP-426, December 1998, p. 97-103.

[57] Teshima K., Nakatsuji H. Structures of freejets from slit orifices. Proc. of the 15th Intern Symp. on Rarefied Gas Dynamics, Grado, Italy, 1986, Vol.11, p. 595-604.

[58] Dupeyrat G. Two- and three dimensional aspects of a freejet issuing from a long rectangular slit. Proc. of the 12th Intern Symp. on Rarefied Gas Dynamics, Charlottesville, USA, 1980, S. S. Fisher Ed., AIAA press, New York, 1981, p. 812-819.

[59] Hyakutake T., Nishida M. DSMC simulation of normal, parallel and oblique jet impingements on a flat plate 21th Intern. Symp. on RGD. Marseille, France, July 26-30, 1998. Ed. R.Brun. Toulouse, France, Cepadues, 1999.

[60] Usami M., Teshima K. Three dimensional DSMC calculation of interacting flowfield in two parallel underexpanded jets. 21th Intern. Symp. on RGD, Marseille, France, July 26-30, 1998. Ed. R.Brun. Toulouse, France, Cepadues, 1999.

[61] Shirokov I.A., Elizarova T.G., Lengrand J.C. Numerical study of shock wave structure based on quasigasdynamic equations with rotational non-

equilibrium. 21th Intern. Symp. on RGD, Marseille, France, July 26-30, 1998. Ed. R.Brun. Toulouse, France, Cepadues, 1999, p. 175-180.

[62] Елизарова Т.Г., Широков И.А. Квазигазодинамические уравнения для описания течений разреженного газа. Тезисы 3-й Межд. конф. "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах". Тверь, 1998, с. 143.

[63] Елизарова Т.Г., Широков И.А. Макроскопическая модель газа с поступательно-вращательной неравновесностью. ЖВМиМФ, 1999, т. 39, N 1, с. 141-153.

[64] Chirokov I.A., Graur I.A., Elizarova T.G., Lengrand J.C. Equations qua-si-qazodynamiques (QGD) avec desequilibre translationnel. Application a la detente dún jet dans le vide. Lab. d'Aérothermique du CNRS, Meudon (Fr), R 99-1, 1999.

Иллюстрации

Схемы расчетных областей для задач в двумерных и трехмерных постановках (§§ 5.2-5.4).

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0.0 -10

-5 0

Рис. 1.1

Ma=1.71 Z=5

1.0

; — DSMC yi^

. —- QGDR f: /Г 0.8

¥ / 0.6

" / / 0.4

/ / Г

0.2

. . . . t ,...'.... 1 .... . 0.0 -

Ма=1.71 Z=5

5x/Xref 10

5xAref 10

Ма=1.71 Z=10

Ма=1.71 Z=10

1.2 1.0

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

1.0 - - DSMC

0.8 —- QGDR / /у' -

0.6 Jj i / ;

0.4 ! л

0.2 / У

0.0

-10 -5 0 5 1<W5

Рис. 1.3

Ма=7.0 Z=5 QGDR

1 ¡ 1

s' '» / // / / \ ; / / \ f /' V/ / : л/ / . , д / / » 1 : // il У У ' Y ' S г -р ................тт : .......Тг ^ — - Tav ------------- и :

J \

■ ... . 1 ,...!,,,, Г . .

0.0

Ma=12.9Z=5 QGDR

1<W5

-10

5x/Xref 10

5x/W 10

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Ma=3.291 Z=5

xAref

Рис. 1.7

Ma=3.291 Z=5

xAref

Level Р

F 0.57379

В 0.54758

D 0.52137

С 0.4Э51В

В 0.46895

А 0.44274

9 0.41653

а 0.39032

7 0.364109

в 0.337899

5 0.311689

4 0.285479

3 0.259269

2 0.233059

1 0.206849

z

Рис. 2.1

Рис. 3.1

Рис. 3.2

y

10 20

30 40

Phc. 3.3

Level P F 0.592477 0.564155 0.535832 0.507509 0.473187 0.450864 0.422541 0.394219 0.365896 0.337573 0.309251 0.280928 0.252605 0.224283 0.19596

X

p/p.Nref, q/q.ref

Distribution of pressure and heat transfer rate along the symmetry axis of model 0 (reference).

Phc. 3.4

У

300

Two Jets 2D Ma=4.22 QGDR

О

200

400

р 0.12

0.112857

0.105714

0.0985714

0.0914286

0.0842857

0.0771429

0.07

0.0628571 0.0557143 0.0485714 0.0414286 0.0342857 0.0271429 0.02

Two Jets 2D Ma=4.22 QGDR

-> i ...'.'¿i

О

200

400

т-

т

я

2

1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1

0.9 0.8 0.7 0.6

eg ^

ó

¡s

Си

Two Jets 2D Ma=4.22 QGDR

О

200

400

60Д

Tr

со

ó S

Рис. 4.4

Two Jets 2D Ma=4.22 QGDR Vectors jx, jy

Visualization of plume interaction (p„ = 1 Pa)

Рис. 4.6

q (W/m2) 140 120 100 80 60

40 20™

-20

pinf=1 Pa

- \ V pinf=1.5 Pa

—•—

vj^*-—*—*—*" pinf=2 Pa

i 5 -10

-5 0 5 z (mm)

10 15 20

Рис. 4.7