Исследование гиперзвуковых околоконтинуальных течений методом прямого статистического моделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Маркелов, Геннадий Николаевич

• Маркелов, Геннадий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Маркелов, Геннадий Николаевич

Содержание

Введение

1 Метод прямого статистического моделирования (ПСМ)

1.1 Общая схема метода ПСМ

1.1.1 Пространственно-однородная релаксация

1.1.2 Модели межмолекулярного взаимодействия

1.1.3 Модели взаимодействия газа с поверхностью

1.2 Модификации метода ПСМ

1.2.1 Вычислительные сетки

1.2.2 Перемещение частиц и пересечение с поверхностью тела

1.2.3 Последовательное увеличение полного числа частиц

1.2.4 Радиальные веса

1.2.5 Многозонный подход и интерфейс между зонами

1.2.6 Подобласти с разным шагом по времени

1.3 Параллелизация метода ПСМ

1.3.1 Общая схема параллелизации метода ПСМ

1.3.2 Обмен сообщениями

1.3.3 Алгоритмы балансировки загрузки

2 Обтекание вогнутых тел и течение в ближнем следе

2.1 Расчет отрывного течения при низких числах Рейнольдса

2.1.1 Плоское течение в угле сжатия

2.1.2 Осесимметричное обтекание полого цилиндра с юбкой

2.1.3 Осесимметричное обтекание гиперболоида с юбкой

2.2 Анализ обтекания затупленного 70° конуса с учетом ближнего следа

2.2.1 Влияние разреженности и угла атаки

2.2.2 Сравнение расчетных и экспериментальных данных

2.2.3 Течение в ближнем следе

2.3 Исследование аэродинамики спускаемой капсулы 'Союз'

3 Струйные течения

3.1 Течение в сопле и ближнем поле струи

3.2 Исследование дальнего поля струи

3.3 Трехмерное взаимодействие струй

3.4 Взаимодействие струи с поверхностью тела

4 Отражение сильных ударных волн в стационарном течении

4.1 Постановка задачи и численный подход

4.2 Двухмерное течение

4.2.1 Переход от регулярного отражения к маховскому и обратно и эффект гистерезиса

4.2.2 Влияние возмущений на MR и RR

4.2.3 Влияние начальных условий на стационарную конфигурацию ударных волн

4.3 Трехмерное течение

4.3.1 Задержка перехода RR MR

4.3.2 Периферийная часть течения и формирование MR конфигурации

4.3.3 Эффект гистерезиса

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование гиперзвуковых околоконтинуальных течений методом прямого статистического моделирования»

Введение

Проектирование, создание и эксплуатация современных космических аппаратов (КА) различного назначения требует детального знания их аэродинамических характеристик вдоль всей траектории полета. На больших высотах при гиперзвуковом обтекании КА определяющими становятся эффекты разреженности и сильной неравновесности течения. Экспериментальное моделирование таких разреженных и сильнонеравновесных течений довольно проблематично, и поэтому методы вычислительной аэродинамики в настоящее время являются практически единственным средством получения информации об аэродинамической обстановке около КА на больших высотах.

Вдоль траектории спуска КА проходит через различные режимы течения, характеризуемые числом Кнудсена Кп = А/£, где Л - средняя длина свободного пробега молекул, и Ь - характерный размер. Течение является континуальным, если число Кнудсена стремится к 0. При изучении таких течений можно пренебречь микроструктурой газа и использовать для расчета уравнения Эйлера или Навье-Стокса. При числах Кнудсена, стремящихся к бесконечности, режим течения можно рассматривать как свободномолекулярный. В этом случае столкновения молекул с поверхностью тела играют определяющую роль. При конечных числах Кнудсена необходимо также учитывать и столкновения молекул между собой. Такой режим течения называют переходным. Между континуальным и переходным режимом можно выделить "пограничную" область околоконтинуальных течений. Традиционно для расчета таких течений используются уравнения Навье-Стокса с граничными условиями скольжения скорости и температурного скачка для учета начальных эффектов разреженности. Однако при использовании уравнений Навье-Стокса для расчета гиперзвуковых околоконтинуальных течений встает вопрос об их применимости вследствие сильных

градиентов параметров газа внутри ударных волн и кнудсеновских слоях около поверхности обтекаемого тела.

Предполагается, что нарушение континуального описания происходит при числах Кп > Ю-2. Реально граница применимости континуального подхода зависит не только от значения числа Кнудсена, но и других факторов, например, формы обтекаемого тела. Для многих гиперзвуковых течений, представляющих практический интерес, присуща большая вариация параметров течения в окрестности обтекаемого тела. Это приводит к тому, что в некоторых областях применим континуальный подход, в то время как в других областях течения необходимо учитывать разреженность. Например, при гиперзвуковом обтекании затупленного тела в наветренной области газ сильно сжимается и нагревается, проходя через ударную волну. В этой области течение является континуальным, но в донной части и ближнем следе течение может быть разреженным. Здесь уравнения сплошной среды неприменимы и необходимо использовать уравнение Больцмана. Другим примером течения, где наблюдаются большие вариации параметров газа, является истечение газа в вакуум. Здесь течение является континуальным внутри сопла и около выходного сечения, переходным в ближнем поле струи и свободномолекулярным в дальнем поле.

Обычно число Кнудсена определяется по длине свободного пробега в набегающем потоке Aqo и характерном размере обтекаемого тела D (Кп^ = Ас0/D), то есть предполагается, что течение может быть охарактеризовано одной длиной свободного пробега А«,. При обтекании тел при умеренных числах Маха (М ~ 1) этого достаточно.

Для гиперзвуковых течений наблюдается существенное изменение длины свободного пробега в окрестности обтекаемого тела вследствие значительного изменения плотности и температуры газа. Поэтому предпочтительным является использование числа Кнудсена, определенного по локальной длине свободного пробега A¡ocai. Характерный размер можно определить по градиентам течения и тогда

dQ

ds '

где Q - параметр течения (например, плотность), s - расстояние вдоль линии тока.

Другой критерий для определения границы применимости континуального описа-

js ^local

&Щоса1 = q

ния был предложен Б ер дом

<1р

8 р

В = М< ^Л

¿в

где М - число Маха, р - плотность, 7 - отношение удельных теплоемкостей. В [1] предлагается использовать континуальное описание только при значениях В < 0.05. Этот критерий учитывает основную особенность гиперзвуковых разреженных течений заключающуюся в том, что молекулы проходят между столкновениями вдоль линий тока путь в М раз больший, чем поперек линий тока. Вследствие такой анизотропии наличие даже небольших градиентов вдоль линий тока приводит к тому, что континуальное описание становится несправедливым.

Необходимо отметить появившиеся в последнее время попытки использования вместо уравнений Навье-Стокса уравнений Барнетта для расчета гиперзвуковых разреженных течений (см., например, [2]). Однако их применение вызывает дополнительные сложности, связанные с корректной формулировкой граничных условий на обтекаемых поверхностях и линейной неустойчивостью этих уравнений к коротко-волновым возмущениям.

Очевидно, что наиболее общим подходом для изучения гиперзвуковых околоконтинуальных течений является непосредственное использование кинетического уравнения Больцмана. Естественно, что его применение для расчета течений при малых числах Кнудсена 10~3 < Кп < Ю-2 требует значительных вычислительных ресурсов. В настоящее время в основном используются два подхода для его численного решения: метод прямого численного интегрирования (ПЧИ) и метод прямого статистического моделирования (ПСМ).

Метод ПЧИ [3] уравнения Больцмана включает в себя два основных этапа - оценку интеграла столкновений с помощью метода Монте-Карло и интегрирование дифференциального уравнения. Недавно значительно был улучшен метод вычисления интеграла столкновений, основанный на использовании специальных консервативных квадратурных формул [4]. Основным недостатком ПЧИ является сильная зависимость его трудоемкости от размерности задачи и, как следствие, весьма ограниченное использование для решения двухмерных задач, не говоря уже о трехмерных задачах. Существенным ограничением этого подхода является то, что в настоящее время он разработан только для одноатомного газа. Учет эффектов вращательной и колеба-

тельной релаксации, а также химических реакций является перспективной задачей для этого подхода.

Метод ПСМ [5, 1] - метод компьютерного моделирования большого числа модельных частиц, основанный на расщеплении непрерывного движения и столкновения молекул на временном шаге на два последовательных этапа: свободномолекулярный перенос и столкновительную релаксацию. Фактически, в настоящее время этот метод стал основным инструментом для исследования сложных многомерных течений разреженного газа. Это обусловлено рядом его очевидных достоинств: сравнительной простотой перехода от одномерных к двух- и трехмерным задачам; возможностью использования различных моделей взаимодействия частиц газа, в том числе и моделей внутренних степеней свободы молекул и химических реакций, без значительного усложнения вычислительного алгоритма.

В процессе реализации метода ПСМ расчетная область разбивается на ячейки, размеры которых должны быть меньше локальной длины свободного пробега молекул. Величина шага At должна быть меньше среднего времени между столкновениями частиц. В течение временного шага независимо в каждой ячейке производятся столкновения молекул без учета их взаимного расположения. Затем на шаге At молекулы во всех ячейках сдвигаются на расстояние, пропорциональное их скоростям. Если в процессе свободно-молекулярного движения молекула сталкивается с поверхностью обтекаемого тела, то моделируется ее отражение в соответствии с заданным законом взаимодействия газа с поверхностью.

С уменьшением числа Кнудсена резко увеличивается время моделирования методом ПСМ. Стремление уменьшить время расчета для околоконтинуальных течений привело к появлению даже такого искусственного приема как использование временного шага значительно большего, чем среднее время между столкновениями частиц, с ограничением полного числа столкновений в ячейке [6].

В настоящее время численные схемы метода ПСМ для моделирования столкно-вительной релаксации (no time counter [1], null collision [7], majorant frequency [8]) обладают примерно одинаковой трудоемкостью, линейно зависящей от числа модельных частиц. Поэтому основные усилия, направленные на увеличение эффективности метода ПСМ для расчета течений с малыми числами Кнудсена, связаны с исполь-

зованием различных типов сеток, переменных временных шагов, гибридных схем и разработкой параллельных алгоритмов.

Попытки использования в методе ПСМ других сеток, разработанных для континуального подхода, не привели к положительному результату. Например, использование криволинейной (body-fitted) или монотонно-лагранжевой сеток (MLG) приводит к увеличению времени расчета, соответственно, в 2-f-lO раз [9] и в 3-г4 раза [10]. Анализ влияния сетки на структуру потока около затупленного тела показал [11], что наибольшее влияние оказывает размер ячейки по нормали к телу, а размер ячейки вдоль поверхности тела может быть порядка локальной длины пробега А, что существенно уменьшает вычислительную стоимость моделирования, чем при использовании рекомендованных значений размера ячеек А/3 [1]. Наиболее перспективным представляется использование прямоугольных многоуровневых сеток, которые позволяют обеспечить пространственное разрешение в зонах сильных градиентов параметров течения и сохранить высокую численную эффективность.

В последние годы разрабатываются гибридные методы расчета околоконтинуальных течений, основанные на использовании кинетического описания для точного учета эффектов разреженности в областях течения порядка нескольких длин свободного пробега (например, ударные волны и слои Кнудсена) и континуального описания в остальной области течения. В [12],[13] для расчета течения в подобластях с сильным отклонением от равновесия использовался метод ПСМ, в то время как в других подобластях - уравнения Эйлера [12] или Навье-Стокса [13, 14]. Однако при использовании гибридных методов возникает ряд специфических трудностей, связанных с созданием интерфейса между континуальными и кинетическими областями течения. В некоторых случаях, когда достаточно просто определить области континуального и разреженного течений, эти методы довольно эффективны. Например, последовательное моделирование течений на основе уравнений Навье-Стокса и метода ПСМ использовано для расчета как обтекания затупленного конуса с учетом течения в следе [15, 16], так и струйных течений [17, 18].

Наибольшие возможности уменьшения времени расчета методом ПСМ предоставляют современные компьютеры с параллельной архитектурой. Традиционно параллельные алгоритмы основаны на разбиении вычислительной области на подобласти,

которые назначаются соответствующим процессорам. В этом случае столкновения частиц и их перенос осуществляются каждым процессором независимо от других, и обмен информацией между процессорами состоит в передаче параметров частиц, пересекающих границы этих подобластей. Очевидно, что в процессе моделирования время счета каждой подобласти может изменяться, и поэтому необходима балансировка загрузки процессоров для эффективного использования параллельного компьютера.

Достаточно часто балансировка загрузки основана на методах развитых для континуального подхода, например, различные методы "бисекции" вычислительной области [19]. Эти методы направлены на минимизацию протяженности границы подобласти и, следовательно, на уменьшение объема информации, передаваемой между процессорами во время расчета. Однако в методе ПСМ такой информацией являются параметры частиц, пересекающих границы подобластей, и поэтому требование минимизации объема информации должно приводить к такой форме подобласти, которая соответствовала бы линиям тока. Дополнительным недостатком применения методов бисекции является большое количество информации, передаваемое между процессорами во время балансировки загрузки [20].

Существующие на сегодняшний день параллельные алгоритмы метода ПСМ [19, 21, 22, 23, 24, 25] обладают одним или несколькими из ниже перечисленных недостатков:

• эффективны только для конкретной задачи;

• применялись для ограниченного числа процессоров;

• слишком сложны для реализации;

• нарушают локальность данных и невозможно учесть время, затрачиваемое на передачу сообщений между процессорами;

• при увеличении числа процессоров число сообщений между процессорами растет пропорционально квадрату полного числа процессоров.

Эти недостатки не оказывали существенного влияния на эффективность использования параллельного компьютера с небольшим числом процессоров (не более 32). Однако появление компьютеров с массовым параллелизмом (число процессоров сотни

и тысячи) заставляет пересмотреть существующие параллельные алгоритмы метода ПСМ и разрабатывать новые алгоритмы.

В последнее десятилетие метод ПСМ был успешно применен для ряда сложных задач высотной аэротермодинамики. Отметим исследования аэродинамики КА "Шаттл" на начальном участке траектории спуска (диапазон высот 160-120 км) [26]. Получено хорошее согласие полетных данных по аэродинамическому качеству с результатами численного моделирование. Недавняя статья [27] представляет результаты по аэродинамическим характеристикам КА "Шаттл" в свободномолекулярном и переходном режимах (до 100 км), которые были получены с помощью различных кодов ПСМ, использующих различные типы сеток. Обтекание КА "Буран" было рассчитано на начальной стадии траектории спуска (от околоземной орбиты до 100 км) [28], а также было проведено исследование влияния температуры поверхности на аэродинамические характеристики [29].

Для доставки груза с орбиты на Землю и на другие планеты широко используются капсулы различной формы. Отметим недавние работы, посвященные исследованию аэродинамических характеристик капсул "OREX" [30] и "Галилео" [31] при нулевом угле атаки. Результаты численного моделирования трехмерного течения около спускаемой капсулы "Союз" в большом диапазоне высот (1304-85 км) и углов атаки (0-f360°) приведены в [32], где исследована статическая неустойчивость капсулы на больших высотах (> 100км) и показано совпадение численных и полетных данных для 85 км.

Кроме изучения разреженного гиперзвукового обтекания моделей КА, также широко исследована аэротермодинамика различных упрощенных моделей и элементов КА. Исследование течений около дельта крыла, плоской пластины, конуса и т.д. в переходном режиме выполнено, в основном, с помощью метода ПСМ. Моделирование обтекания различных затупленных конусов привлекло в последнее время много внимания, потому что такая форма тела подобна форме перспективных спускаемых капсул. Основные расчеты и эксперименты были выполнены для 70° затупленного конуса, форма которого является типичной формой спускаемых аппаратов на Марс, Юпитер и т.д. Эксперименты были выполнены в различных экспериментальных установках: SR3 (ONERA, Франция) [33, 34], LENS (CALSPAN, США) [35], HEG (DLR, Герма-

ния) [36]. С 1994 года эта модель используется в качестве тестового случая для верификации различных численных методов на рабочих совещаниях по высокоскоростным течениям (1994, Франция; 1995, США) (см., например, [37, 38, 39]).

Численный анализ аэродинамики вогнутых тел в околоконтинуальном гиперзвуковом потоке представляет значительные трудности из-за влияния разреженности на взаимодействие скачка уплотнения с пограничным слоем и наличия зоны возвратного течения. Аэродинамическая труба Я5СЬ ((ШЕ11А, Франция) позволяет моделировать течения, характеризуемые большими значениями чисел Маха и низкими значениями числа Рейнольдса, соответствующие околоконтинуальному режиму. В этой установке получены не только распределенные параметры по поверхности тела, но и поля плотности и вращательной температуры с помощью электронно-лучевой флюоресценции и БЬСАНБ методов. Такие подробные экспериментальные данные для обтекания пластины со щитком [40] и полого цилиндра с юбкой [41] представляют хороший базис для исследования границ применимости континуального подхода. Экспериментальные данные для течения около цилиндра используются в настоящее время в качестве тестового случая на рабочих совещаниях по высокоскоростным течениям (1997, Италия; 1998, Япония) (см., например, [37, 42, 43]).

Типичной областью применения метода ПСМ является также моделирование струйных течений, возникающих при работе двигательных установок, используемых для коррекции положения или орбиты КА, а также во время стыковки КА. Основные направления недавних исследований в этой области: структура ближнего и дальнего полей течения струи [44, 17], взаимодействие струи с поверхностью К А и взаимодействие струй между собой [45, 46], моделирование течения из управляющих двигательных установок и собственной атмосферы КА [18, 47].

Область эффективного применения метода ПСМ не ограничивается упомянутыми задачами и активно расширяется в область гиперзвуковых течений с предельно низкими числами Кнудсена. Отметим использование метода ПСМ для околоконтинуального гиперзвукового течения, формируемого двумя симметрично расположенными клиньями. В работе [48] впервые численно показано наличие гистерезиса при переходе от регулярного к нерегулярному (маховскому) отражению скачков уплотнения и обратно. В дальнейших работах [49, 50, 51, 52, 53] подробно исследуется влияние

различных возмущений в потоке и трехмерных эффектов на явление гистерезиса.

В диссертационной работе созданы различные модификации численного алгоритма метода ПСМ, направленные на увеличение эффективности расчетов гиперзвуковых разреженных течений при предельно низких числах Кнудсена, и исследованы особенности околоконтинуальных гиперзвуковых течений для различных задач высотной аэротермодинамики. Достоверность полученных результатов подтверждается многочисленными внутренними тестами, сравнением с результатами расчетов других авторов и имеющимися экспериментальными данными.

Ниже приведено краткое изложение содержания диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Глава первая, основные результаты которой опубликованы в работах [17, 39, 43, 54, 55], посвящена разработке модификаций численного алгоритма метода ПСМ, позволяющим существенно уменьшить время расчета гиперзвуковых околоконтинуальных течений, и разработке параллельных алгоритмов метода ПСМ для массивно-параллельных современных суперкомпьютеров. В §1 представлено краткое описание используемых для проведения расчетов: схемы мажорантной частоты метода ПСМ, моделей для межмолекулярных столкновений, моделей обмена энергией между поступательной и внутренними молекулярными модами и моделей взаимодействия газа с поверхностью тела. В следующем параграфе подробно описаны модификации численного алгоритма метода ПСМ: структура и адаптация вычислительных сеток, использование радиальных весов, многозонного подхода и т.д. В §3 представлены параллельные алгоритмы метода ПСМ, использующие два типа балансировки загрузки процессоров, и исследована их эффективность для малого (до 32) и большого (до 256) числа процессоров на примере моделирования трехмерного обтекания спускаемой капсулы "Союз".

Вторая глава посвящена статистическому моделированию околоконтинуальных гиперзвуковых течений около типичных элементов КА и модельных форм КА. В §1 исследуются отрывные ламинарные гиперзвуковые течения, и показано хорошее согласие численных результатов с экспериментальными данными для плоского течения внутри угла сжатия и для осесимметричного обтекания полого цилиндра с юбкой. В следующем параграфе рассматривается течение около затупленного 70° конуса в усло-

виях различных гиперзвуковых экспериментальных установок. Сравнение с экспериментальными данными показало, что даже при числе Кнудсена Кп^ = Ю-4 -т- Ю-5, значения локального числа Кнудсена могут достигать Ю-2 -f-10_3 в донном течении, и поэтому здесь необходимо учитывать эффекты разреженности. В §3 представлены результаты изучения аэродинамических характеристик спускаемой капсулы "Союз" вдоль начальной траектории спуска от 130 до 85 км в широком диапазоне углов атаки (0-7-360°). Показана статическая неустойчивость капсулы на больших высотах, вызванная различным вкладом сил давления и трения в момент тангажа. Расчеты для высот 90 и 85 км были выполнены на 256-процессорном параллельном компьютере Intel Paragon, что позволило выяснить влияние числа модельных частиц на результаты моделирования и получить хорошее согласие численных результатов и доступных экспериментальных данных. Основные результаты этой главы опубликованы в [32, 39, 42, 43, 56, 57, 58, 59, 60, 61].

В третьей главе основное внимание уделено моделированию методом ПСМ струйных течений, которые характеризуются наличием различных режимов течения от континуального до свободномолекулярного. Расчет таких течений требует специальных подходов. Применение алгоритма адаптивного разбиения расчетной области на подобласти с разным шагом по времени и весом модельных частиц для течений внутри сопел показано в §1. Такой подход позволяет проводить расчет течения внутри всего сопла одним методом - методом ПСМ для околоконтинуального режима течения и избежать проблем, связанных с последовательным применением двух подходов: континуального (решение уравнений Навье-Стокса для дозвуковой части сопла) и кинетического (метод ПСМ для сверхзвуковой части). Изучение собственной атмосферы КА невозможно без использования многозонного подхода, основанного на применении подходящего метода расчета в каждой зоне (§2), т.к. необходимо исследовать как ближнее поле струи, так и дальнее поле на расстоянии сотен и даже тысяч калибров от сопла. В §3 приведены результаты численного моделирования трехмерного взаимодействия двух струй и дано их сравнение с экспериментальными данными. Проводимые стыковки КА с орбитальной станцией делают важным исследование воздействия струй на чувствительные элементы космической станции. Свободно-молекулярные модели струйных течений не позволяют оценить такое воздействие на затененные

элементы поверхности, и поэтому применение метода ПСМ является единственным способом решения таких задач (§4). Основные результаты этой главы опубликованы в [18, 17, 39, 46, 62].

Четвертая глава посвящена исследованию отражения сильных ударных волн в стационарных течениях около симметрично расположенных клиньев. В §1 кратко изложена постановка задачи, критерии перехода от регулярного отражения ударных волн к маховскому отражению и обратно и явление гистерезиса. Влияние возмущений набегающего потока на конфигурацию ударных волн исследовано в §2. Показано, что с помощью возмущения определенного вида и интенсивности можно перевести регулярное отражение в маховское и обратно в области двойного решения. Влияние трехмерных эффектов на конфигурацию ударных волн при регулярном и маховском типах отражений представлено в §3. Эти эффекты вызывают задержку перехода от регулярного к маховскому типу отражения для клиньев конечной ширины, и, при соответствующей конфигурации клиньев, формирующих течение, регулярное отражение ударных волн наблюдается на углах выше критерия максимального угла поворота потока. Уменьшение ширины клиньев приводит к уменьшению высоты ножки Маха при маховском отражении, что объясняется большим растеканием потока и наблюдается в эксперименте. Основные результаты этой главы опубликованы в [49, 50, 51, 52, 53, 61, 63, 64, 65, 66, 67].

На защиту выносятся следующие разработки и результаты, составляющие научную новизну диссертации.

1. Разработаны модификации численного алгоритма метода ПСМ (адаптация сетки, переменный шаг по времени, многозонный подход и т.д.), которые позволили существенно снизить требования к компьютерным ресурсам при расчете гиперзвуковых околоконтинуальных течений.

2. Разработаны эффективные алгоритмы метода ПСМ для массивно-параллельных современных суперкомпьютеров (Intel Paragon, Cray ТЗЕ, SGI Power Challenge).

3. Изучена аэротермодинамика спускаемой капсулы "Союз" в диапазоне высот полета от 130 км до 85 км и показана ее статическая неустойчивость для высот выше 100 км.

4. Проведены расчеты струйных течений, образующихся при работе систем ориентации космических аппаратов, и их взаимодействия с поверхностью аппарата.

5. Впервые численно исследовано влияние возмущений потока на переход от регулярного к маховскому типу и обратно при отражении сильных ударных волн в стационарных течениях.

6. Впервые выполнены расчеты трехмерного отражения ударных волн и показано влияние трехмерных эффектов на переход от регулярного к маховскому типу отражения и размер ножек Маха.

Основные результаты диссертации докладывались и представлены в трудах:

- XX (1996, Китай), XXI (1998, Франция) международных симпозиумах по динамике разреженного газа;

- XX (1995, США), XXI (1997, Австралия) международных симпозиумах по ударным волнам;

- AIAA конференциях (1997, Рино; 1997, Атланта), (1998, Рино; 1998, Альбукерк);

- международной конференции по параллельной вычислительной динамике жидкости (1996, Италия);

- III (1996, Франция), IV (1998, Греция) европейской конференции по вычислительной динамике жидкости;

- II европейской конференции по двигателям космических аппаратов (1997, Нидерланды) ;

- совещаниях по высокоскоростным течениям (1994, Нидерланды; 1995, США; 1997, Италия);

- конференции по методам аэрофизического исследования (1996, Россия);

а также на семинарах ИТПМ СО РАН и ИТ СО РАН.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Маркелов, Геннадий Николаевич

Заключение

В настоящее время метод ПСМ является основным инструментом для исследования сложных многомерных течений разреженного газа в переходном режиме. В диссертации сделана попытка расширить область его применения для анализа аэротермодинамики КА в околоконтинуальном режиме.

Отметим основные результаты работы:

• разработаны модификации численного алгоритма метода ПСМ (адаптация сетки, переменный шаг по времени, многозонный подход и т.д.), которые позволили существенно снизить требования к компьютерным ресурсам при расчете гиперзвуковых течений при малых числах Кнудсена;

• разработаны и реализованы эффективные алгоритмы метода ПСМ для массивно-параллельных современных суперкомпьютеров (Intel Paragon, Cray ТЗЕ, SGI Power Challenge); исследована эффективность различных стратегий (статической и динамической) балансировки загрузки процессоров для задач высотной аэродинамики;

• проведена верификация созданных алгоритмов метода ПСМ на различных задачах гиперзвуковой аэродинамики (ламинарные отрывные течения около вогнутых тел, обтекание модельных форм космических аппаратов) путем сравнения с экспериментальными данными;

• изучена аэротермодинамика спускаемой капсулы "Союз" в свободномолекуляр-ном, переходном и околоконтинуальном режимах течения (высоты полета от 130 км до 85 км); показана ее статическая неустойчивость для высот выше 100 км и устойчивость для меньших высот;

• с помощью многозонного подхода проведены исследования струйных течений в околоконтинуальном режиме - внутри сопла, в переходном режиме - в ближнем поле струи и в свободномолекулярном режиме - в дальнем поле струи;

• проведено исследование влияния числа Кнудсена на процесс перехода от регулярного к маховскому отражению сильных ударных волн и величину ножки Маха;

• численно исследовано влияние возмущений потока на переход от регулярного к маховскому типу и обратно при отражении сильных ударных волн в стационарных течениях; показано, что возмущение определенной интенсивности позволяет перевести один тип отражения в другой внутри области двойного решения;

• выполнены расчеты трехмерного отражения ударных волн; показано существование гистерезиса при переходе от регулярного к маховскому типу отражения и обратно при обтекании клиньев конечной ширины;

• выявлено влияние трехмерных эффектов, приводящих к задержке перехода от регулярного к маховскому типу отражения и к уменьшению высоты ножек Маха по сравнению с двухмерным течением.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Маркелов, Геннадий Николаевич, 1998 год

Литература

[1] Bird G.A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. - Clarendon Press, Oxford, 1994.

[2] Cheng H.K., Emanuel G. Perspective on hypersonic nonequilibrium flows// AIAA Journal. - 1996. - Vol. 33. - No.3. - P. 385-400.

[3] Аристов В.В., Черемисии Ф.Г. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана// Журн. вычисл. математики и матем.физики. -1980. -Т.20. - No.l. - С.191-207.

[4] Tcheremissine F.G. Conservative discrete ordinates method for solving of Boltzmann kinetic equation// Proc. XX Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. - Beijing, 1997. - P. 297-302.

[5] Берд Г. Молекулярная газовая динамика. - М.:Мир, 1981. - 320 с.

[6] Lohn P.D., Haflinger D.E. Modelling of near-continuum flows using the direct simulation Monte Carlo method. - AIAA Paper. - NO. 90-1663, 1990.

[7] Koura K. Null-collison technique in the direct-simulation Monte-Carlo method// Phys. Fluids. - 1986. - Vol. 29, - No.ll. - P.3509-3511.

[8] Иванов M.C., Рогазинский С.В. Сравнительный анализ алгоритмов метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа // Журн.вычисл.математики и матем.физики. - 1988. - Т.23. - No.7. - С.1058-1070.

[9] Wilmoth R.G., LeBeau G.J., Carlson А.В. DSMC grid methodologies for computing low-density, hypersonic flows about reusable launch vehicles. - AIAA Paper. - No. 96-1812, 1996.

[10] Cybyk B.Z., Oran E.S., Boris J.P., Anderson J.D.Jr. Combining the monotonic lagrangian grid with a direct simulation Monte Carlo model// J. of Comp. Phys. - 1995. - Vol. 122. - P. 323-334.

[11] Moss J.N.,. Dogra V.K, Wilmoth R.G. DSMC simulations of Mach 20 nitrogen flows about a 70° blunted cone and its wake. - NASA, 1993. - TM 107762.

[12] Eggers J., Beylich A.E. New algorithms for application in the direct simulation Monte Carlo method//Rarefied Gas Dynamics: Theory and Simulations. - Prog. Astronaut. Aeronaut., 1994. - Vol.159. - P.166-173.

[13] Eggers J., Beylich A.E. Development of a hybrid scheme and its application to a flat plate flow// Proc. XIX Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - Oxford University Press, 1995. - Vol.2. - P.1216-1222.

[14] Le Tallec P, Mallinger F. Coupling Boltzmann and Navier-Stokes equations by Half Fluxes// J. Comp. Phys. - 1997. - Vol. 136. - P. 51-67.

[15] Wilmoth R.G., Mitcheltree R.A., Moss J.N., Dogra V.K. Zonally-decoupled DSMC solutions of hypersonic blunt body wake flows. - AIAA Paper. - No. 93-2808, 1993.

[16] Muylaert J., Walpot L., Steijl R., Spel M., Ivanov M., Markelov G., Devezeaux D., Holden M., Horvath T. Blunt Cone Near Wake Analysis in F4 and LENS// Proc. XXI Intern. Symp. on Shock Waves. - Australia, 1997. - P.691-696.

[17] Ivanov M., Markelov G., Kashkovsky A., Giordano D. Numerical analysis ofthruster plume interaction problems//Proc. II Europian Spacecraft Propulsion Conf. - ESA SP-398, 1997. - P. 603-610.

[18] Ivanov M.S., Markelov G.N., Gerasimov Yu.I., Krylov A.N., Mishina L.V., Sokolov E.I. Free-flight Experiment and Numerical Simulation for Cold Thruster Plume. -AIAA Paper. - No. 98-0898, 1998.

[19] Nance R.P., Wilmoth R.G., Moon B., Hassan H.A., Saltz J. Parallel DSMC Solution of the three-dimensional flow over a finite flat plate. - AIAA Paper. - No. 94-2019, 1994.

[20] Taylor S., Watts J., Rieffel M., and Palmer M. The Concurrent Graph: Basic Technology for Irregular Problems// IEEE Parallel and Distributed Technology. -1996. - Vol. 4. - No. 2. - P.15-25.

[21] Furlani T.R., Lordi J.A. Comparison of Parallel Algorithms for the Direct Simulation Monte Carlo Method II: Application to Exhaust Plume Flowfields. - AIAA Paper. -No. 89-1667, 1989.

[22] Wilmoth R.G., Direct Simulation Monte Carlo analysis on parallel processors. - AIAA Paper. - No. 89-1666, 1989.

[23] Dagum L. Three Dimensional Direct Particle Simulation on the Connection Machine.

- AIAA Paper. - No. 91-1365, 1991.

[24] Wilmoth R.G., Application of a parallel direct simulation Monte Carlo method to hypersonic rarefied flows// AIAA Journal. - 1992. - Vol.30. - No.10. - P. 2447-2452.

[25] Dietrich S., Boyd I.D. Scalar and Parallel Optimized Implementation of the Direct Simulation Monte Carlo Method// J. of Comput. Phys. - 1996. - Vol. 126. - P. 328342.

[26] Bird G.A. Application of the direct simulation Monte Carlo method to the full Shuttle geometry. - AIAA Paper. - No. 90-162, 1990.

[27] Blanchard R.C., Wilmoth R.G., LeBeau G.J. Rarefied-flow transitional regime orbiter aerodynamics acceleration flight measurements// J. Spacecraft and Rockets. - 1997.

- Vol.34. - N.l. - P.8-15.

[28] Antonov S.G., Ivanov M.S., Kashkovsky A.V., Chistolinov V.G. Influence of atmospheric rarefaction on aerodynamic characteristics of flying vehicles// Proc. XVII Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - Aachen, 1991. - P. 552-530.

[29] Erofeev A.I., Nikolaev K.V., Perminov V.D. Some features of hypersonic rarefied gas 3D-flows// Proc. XIX Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - Oxford University Press, 1995. - Vol.2. - P.1258-1263.

[30] Moss J.N., Gupta R.N., Price J.M. DSMC simulation of OREX entry conditions// Proc. XX Int. Symp. Rarefied Gas Dynamics. - Beijing, 1997. - P. 459-464.

[31] Moss J.N., LeBeau G.J., Blanchard R.C., Price J.M. Rarefaction effects on Galileo Probe aerodynamics// Proc. XX Int. Symp. Rarefied Gas Dynamics. - Beijing, 1997.

- P. 495-500.

[32] Ivanov M.S., Markelov G.N., Gimelshein S.F., Mishina L.V., Krylov A.N., Grechko N.V. Capsule aerodynamics with real gas effects from free-molecular to near-continuum regimes. - AIAA Paper. - No. 97-0476, 1997.

[33] Allegre J., Bisch D. Experimental study of a blunted cone at rarefied hypersonic conditions. - CNRS, 1994. - Report RC 94-7.

[34] Allegre J., Bisch D. Blunted cone at rarefied hypersonic conditions. Experimental density flowfields, heating rates and aerodynamic forces. - CNRS, 1995. - Report RC 95-2.

[35] Holden M., Harvey J., Boyd I., George J., Horvath T. Experimental and computational studies of the flow over a sting mounted planetary probe configuration. - AIAA Paper.

- No. 97-0768, 1997.

[36] Danckert A., Legge H. Wake strusture of a 70 degree blunted cone, DSMC results and patterson probe measurents. - AIAA Paper. - No. 95-2141, 1995.

[37] Moss J.N., Price J.M., Dogra V.K., Hash D.B. Comparison of DSMC and experimental results for hypersonic external flows. - AIAA Paper. - No. 95-2028, 1995.

[38] Gallis M.A., Harvey J.K. Comparison of maximum entropy direct simulation Monte Carlo code with flowfield measurements. - AIAA Journal, 1996. - Vol. 34. - N.7.

[39] Ivanov M.S., Markelov G.N., Gimelshein S.F. Statistical Simulation of Reactive Rarefied Flows: Numerical Approach and Applications. - AIAA Paper. - No. 98-2669, 1998.

[40] Chanetz B., Coet M.-C., Nicout D., Pot T. Shock wave - boundary layer interaction in hypersonic two dimensional laminar flow// Colloque sur les Ecoulements Hypersoniques. - ONERA, 1992. - No. 1992-182.

[41] Chanetz B., Study of axisymmetric shock wave/boundary layer interaction in hypersonic laminar flow. - ONERA, 1995. - TR RT 42/4362 AN.

[42] Ivanov M.S., Markelov G.N., Kudryavtsev A.N., Gimelshein S.F. Numerical Investigation of Shock Wave Boundary Layer Interaction in the Near-Continuum Hypersonic Flow over Concave Bodies// Proc. Ill European Comp. Fluid Dynamics Conf.. - Wiley, 1996. - P. 656-661.

[43] Markelov G.N., Ivanov M.S. Statistical Simulation of Laminar Hypersonic Flow About a Hollow Cylinder Flare// First Europe-US Hidh Speed Flow Field DAtabase Workshop. - Italy, 1997.

[44] Bartel T.J., Sterk T.M., Payne J.L., and Preppernau B. DSMC simulation of nozzle expansion flow fields. - AIAA Paper. - No. 94-2047, 1994.

[45] Dagum L, Zhu S.K. Direct Simulation Monte Carlo simulation of the interaction between rarefied free jets// J. Spacecraft and Rockets. - 1994. - Vol. 31. - No. 6. - P. 960-964.

[46] Giordano D., Ivanov M., Kashkovsky A., Markelov G., Tumino G., Koppenwallner G. Application of DSMC to the Study of Satellite Thruster Plumes. - AIAA Paper. -No. 97-2538, 1997.

[47] Woronowicz M.S., Rault D.F.G. On plume flowfield analysis and simulation techniques. - AIAA Paper. - No. 94-2048, 1994.

[48] Ivanov M.S., Gimelshein S.F., Beylich A.E. Hysteresis effect in stationary reflection of shock waves// Physics of Fluids. - 1995. - Vol. 7. - No. 4. - P.685-687.

[49] Ivanov M., Zeitoun D., Vuilon J., Gimelshein S., Markelov G. Investigation of the hysteresis phenomena in steady shock reflection using kinetic and continuum methods// Shock Waves. - 1996. - Vol 5. - No. 6. - P. 341-346.

[50] Ivanov M.S., Beylich A.E., Gimelshein S.F., Markelov G.N. Numerical Investigation of Shock Wave Reflection Problems in Steady Flows// Proc. XX Intern. Symp. on Shock Waves. - World Scientific,1996. - P. 471-476.

[51] Ivanov M.S., Gimelshein S.F., Markelov G.N. Statistical simulation of the transition between regular and Mach reflection in steady flows// Computers and Mathematics with Applications. - 1998. - Vol.35. - No. 1/2. - P.113-125.

[52] Ivanov M.S., Gimelshein S.F., Kudryavtsev A.N., Markelov G.N. Numerical study of the transition from regular to mach reflection in steady supersonic flows// Lecture Notes in Physics 490, 15th Intern. Conf. on Numerical Methods in Fluid Dynamics. -Springer, 1997. - P. 394-399.

[53] Ivanov M., Gimelshein S., Kudryavtsev A., Markelov G. Transition from regular to Mach reflection in two- and three-dimensional flows// Proc. XXI Intern. Symp. on Shock Waves. - Australia, 1997. - P.813-818.

[54] Ivanov M., Markelov G., Taylor S., Watts J. Parallel DSMC strategies for 3D computations// Proc. Parallel CFD'96. - North Holland, Amsterdam, 1997. - P. 485492.

[55] Ivanov M.S., Markelov G.N. Efficient Algorithms of Statistical Simulation of Rarefied Flows on Parallel Computers// Proc. 8 Intern. Conf. on the Methods of Aerophysical Research. Novosibirsk, 1996. - Vol. 3. - P. 103-108.

[56] Muylaert J., Walpot L., Spel M., Tumino G., Steijl R. Non equilibrium computational analysis of blunt-cone experiments performed in the LENS and HEG facilities. - AIAA Paper. - NO. 96-2436, 1996.

[57] Ivanov M.S., Markelov G.N., Gimelshein S.F., Mishina L.V., Krylov A.N., Grechko N.V. High-altitude Capsule aerodynamics with real gas effects// J. of Spacecraft and Rockets. - 1998. - Vol.35. - No.l. - P. 16-22.

[58] Ivanov M.S., Markelov G.N., Kashkovsky A.V., Kotov V.M., Krylov A.N., Mishina L.V. Numerical Investigation of Hypersonic Flows Around Reentry Capsules in the Transitional Regime// Proc. 8 Intern. Conf. on the Methods of Aerophysical Research. - Novosibirsk, 1996. - Vol. 3. - P. 109-114.

[59] Ivanov M.S., Markelov G.N., Gimelshein S.F., Antonov S.G. DSMC studies of high-altitude aerodynamics of reentry capsule// Proc. XX Intern. Symp. on RGD. - Beijing, China, 1997. - P. 453-458.

[60] Иванов М.С., Гимельшейн С.Ф., Маркелов Г.Н., Антонов С.Г., Титов Е.В. Разреженное обтекание простых вогнутых тел с учетом эффектов реального газа // Теплофизика и аэромеханика. - 1994. - Т. 1. - N. 1. - С.19-34.

[61] Иванов М.С., Кашковский А.В., Гимельшейн С.Ф., Маркелов Г.Н. Статистическое моделирование гиперзвуковых течений газа в режимах от свободномолеку-лярного до континуального// Теплофизика и аэромеханика. - 1997. - Т. 4. - N.3. - С.263-282.

[62] Markelov G.N., Ivanov M.S. Statistical Simulation of Rarefied Cylinder Wake// First Europe-US Hidh Speed Flow Field DAtabase Workshop. - Italy, 1997.

[63] Markelov G. N., Ivanov M.S., Kudryavtsev A.N., Gimelshein S.F.Numerical Investigation of Transition from Regular to Mach Reflection to Steady Flow// Proc. 8 Intern. Conf. on the Methods of Aerophysical Research. - Novosibirsk, 1996. - Vol. 3. - P. 206-211.

[64] Ivanov M., Markelov G., Kudryavtsev A., and Gimelshein S. Transition Between Regular and Mach Reflection of Shock Waves in Steady Flows. - AIAA Paper. -No. 97-2511, 1997.

[65] Ivanov M.S., Markelov G.N., Kudryavtsev A.N., and Gimelshein S.F. Numerical Analysis of Shock Wave Reflection Transition in Steady Flows// AIAA Journal. -1998. - Vol.36. - No.11.

[66] Ivanov M.S., Markelov G.N., Gimelshein S.F. Study of shock wave reflection and hysteresis phenomena in steady flows by the DSMC method// Proc. XX Intern. Symp. on RGD. - Beijing, China, 1997. - P. 131-136.

[67] Fomin V.M., Ivanov M.S., Kharitonov A.M., Gimelshein S. F., Klemenkov G.P., Kudryavtsev A.N., Markelov G. N., Pavlov A.A., Hornung H.G.Analysis of Hysteresis Phenomenon in Steady Interaction of Strong Shock Waves// Proc.Intern. Conf. on the Methods of Aerophysical Research (ICMAR). - Novosibirsk, 1996. - Vol. 3. - P. 53-61.

[68] Белоцерковский О.M., Яницкий В.Е. Статистический метод "частиц в ячейках" для решения задач динамики разреженного газа, I // Журн. вычисл. математики и матем.физики. - 1975. - Т.15. - No.5.

[69] Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод "частиц в ячейках" для решения задач динамики разреженного газа, II // Журн.вычисл. математики и матем.физики. - 1975. - Т.15. - No.6.

[70] Яницкий В.Е. Теоретико-вероятностный анализ прямого статистического моделирования столкновительных процессов в разреженном газе// Дополнение 1: Берд Г. Молекулярная газовая динамика. - М., 1981. - С.279-302.

[71] Deshpande S.M. The statistical particle-in-cell method for multicomponent gases// Журн.вычисл.математики и матем. физики. - 1983. - Т.23. - No.l. - С.170-177.

[72] Deshpande S.M. An unbiased and consistent Monte-Carlo game simulating the Boltz-mann equation. -Indian Inst. Sience, 1978.-(Report 78 FM4).

[73] Кондюрин Ю.Н. Новые подходы к решению задач гидродинамики методом Монте-Карло// Числ. и аналитич. методы решения задач механики сплошной среды. -Свердловск, 1981. - С.83-90.

[74] Кондюрин Ю.Н. О методе прямого статистического моделирования уравнений гидродинамики// Анал. и числ. методы исслед. задач мех. сплошной среды. -Свердловск, Уральский НЦ АН СССР, 1987. - С.75-89.

[75] Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. - Новосибирск, Наука, 1974.

[76] Иванов М.С., Рогазинский C.B. Экономичные схемы статистического моделирования пространственно-неоднородных течений разреженного газа. - Новосибирск, 1988. - 34 с. - (Препринт/АН СССР. Сиб.отд-ние. ИТПМ; 29-88).

[77] Иванов М.С., Рогазинский C.B. Экономичные схемы прямого статистического моделирования течений разреженного газа// Мат. моделирование. - 1989. - Т.1. - No.7. - С.130-145.

[78] Климонтович Ю.Л. Диссипативные уравнения для многочастичных функций распределения// Успехи физ. наук. -1983. -Т.139. - вып.4. -С.689-700.151.

[79] Ivanov M.S., Rogasinsky S.V., Theoretical analysis of traditional and modern schemes of the DSMC method// Proc. XVII Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. -Aachen. - 1991. - P. 629-642.

[80] Ivanov M.S., Antonov S.G., Gimelshein S.F., Kashkovsky A.V. Rarefied numerical aerodynamic tools for reentry problems// Proc. I European Computational Fluid Dynamics Conference. - Elsevier, 1992. - P.1121-1128.

[81] Bird G.A. Monte-Carlo simulation in an engineering context// Proc. XII Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. - New-York. - 1981. - V.74. - Part.l. - P.239-255.

[82] Koura K., Matsumoto H. Variable soft sphere molecular model for inverse - power - law of Lennard-Jones potential// Phys. Fluids A. - 1991. - Vol. 3, - No.10. - P.2459-2465.

[83] Borgnakke C., Larsen P.S. Statistical collision model for Monte Carlo simulation of polyatomic gas mixture// J. Comp. Phys. - 1975. - V.18. - P.405-420.

[84] Bird G.A. Direct molecular simulation of a dissociating diatomic gas// J. Comp.Phys. - 1977. - V.25. - P.353-365.

[85] Lumpkin III F.E., Haas B.L. , Boyd I.D. Resolution of differences between collision number definitions in particle and continuum simulations// Phys. Fluids A. - 1991. -Vol. 3. - No. 9. - P.2282-2284.

[86] Parker J.G. Rotational and vibrational relaxation in diatomic gases// Phys.Fluids. -1959. - V.2. - No.4. - P.449-462.

[87] Boyd I.D. Assessment of chemical nonequilibrium in rarefied hypersonic flow. - AIAA Paper. - No. 90-0145, 1990.

[88] Pham-Van-Diep G.C., Erwin D.A. Validation of MCDS by comparison of predicted with experimental velocity distribution functions in rarefied normal shocks// Proc. XVI Intern, symp. on Rarefied Gas Dynamics. - Pasadena,1989. - V.118. - P.271-283.

[89] Millikan R.C., White D.R. Systematics of Vibrational Relaxation / J. of Chem. Phys.

- Vol.39. - No.12. - 1963. - P.3209-3213.

[90] Park C. Problems of Rate Chemistry in the Flight Regimes of Aeroassisted Orbital Transfer Vehicles// Progr. in Astronautics and Aeronautics. - Vol. 96. - AIAA, New York. - 1985. - P.511-537.

[91] Maxwell JC. The scientific papers of Janes Clerk Maxwell. - Cambridge Univ. Press. 1890. - Vol. 2,

[92] Nocilla S. The surface re-emission law in free molecule flow, Rarefied Gas Dynamics.

- NY-L, 1963. - Vol. 1. - P. 327-346.

[93] Lord RG. Some further extensions of the Cercignani-Lampis gas-surface interaction model// Phys. Fluids. - 1995. - Vol. 7. - No. 5. - P. 1159-1161.

[94] Коган M.H. Динамика разреженного газа. - М.:Наука, 1967.

[95] Koppenwallner G., Johannsmeier D., Klinkard H., Ivanov M.S., Kashkovsky A.V. A Rarefied Aerodynamics Modelling System for Earth Satellites (RAMSES)// Proc. XIX Symp. on Rarefied gas dynamics. - Oxford University Press. - 1995. - P. 1366-1372.

[96] Мусанов С.В., Омелик А.И., Фридлендер О.Г. Определение аэродинамических характеристик выпуклых тел в свободномолекулярной области на основе импе-рических коэффициентов передачи импульса// Сб. Динамика разреженного газа и молекулярная газовал динамика. - Труды ЦАГИ, 1985. - вып.2269. - С. 67-76.

[97] Musanov S.V., Nikiforov А.P., Omelik A.I., Freedlender O.G. Experimental determination of momentum transfer coefficient in hypersonic free molecular flow and distribution function recovery of reflected molecules// Proc. Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - Novosibirsk, 1982. - V.l. - P. 669-676.

[98] Nance R.P., Wilmoth R.G., Hassan H.A. A comparison of grid-definition schemes for DSMC. - AIAA Paper. - NO. 96-0604, 1996.

[99] Bartel T.J., Plimpton S.J. DSMC simulation of rarefied gas dynamics on large hypercube supercomputer. - AIAA Paper. - No. 92-2860, 1992.

[100] Dietrich S. Efficient computation of particle movement in 3-D DSMC calculations on structured body-fitted grids// Proc. XVII Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. -Aachen, 1991. - P. 745-752.

[101] Карманов В.Г. Математическое программирование. - М:Наука, 1986.

[102] Николаев К.В. Аэродинамические и тепловые характеристики обтекания затупленных тел разреженным газом: Дис.канд.физ.-мат.наук. Москва, 1991. - 190 с.

[103] Prisco G. Optimization of Direct Simulation Monte Carlo (DSMC) Codes for Vector Processing// J. of Comput. Phys. - 1991. - Vol. 94. - P.454-466.

[104] Boyd I.D. Vectorization of a Monte Carlo Simulation Scheme for Nonequilibrium Gas Dynamics// J. of Comput. Phys. - 1991. - Vol. 96. - P. 411-427.

[105] Foster I. Designing and building parallel programs. - Addison-Wesley Publishing Company, 1995.

[106] Bonnet J., Chanetz В., Henry D., Larigaldie S., Lefebvre M., Mohamed A.K., Pigache D., Pot Т., Rosier В., Taran J.P. Optical diagnostics for hypersonic flows// Proc. 8 Intern. Conf. on the Methods of Aerophysical Research. - Novosibirsk, 1996. - Part I.

- P. 46-53.

[107] Егоров И.В., Ерофеев А.И. Сопоставление моделирования гиперзвукового обтекания плоской пластины на основе метода Монте-Карло и уравнений Навье-Стокса// Изв. АН СССР, МЖГ. - 1978. - No.l. С. 133-145.

[108] Moss J.N., LeBeau G.J., Blanchard R.C., Price J.M. Rarefaction effects on Galileo probe aerodynamics// Proc. XX Intern. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - Beijing, 1997. - P.495-500.

[109] Verant J.L. Numerical enthalpies rebuilding for perfect gas and nonequilibrium flows

- application to high-enthalpy wind tunnels. - ONERA, 1994. - RT 69/6121 SY.

[110] Решетин А.Г., Семенов Ю.П. Исследование аэродинамических характеристик космического аппарата// Труды III Всес. школы по методам аэрофизических исследований. - Новосибирск, 1982. - С. 10-14.

[111] Rothe D.E. Electron-beam studies of viscous flow in supersonic nozzles// AIAA Journal. - 1071. - Vol. 9. - No.5. - P. 804-811.

[112] Chung C.-H., Kim S.C., Stubbs R.M., De Witt K.J. Low-density nozzle flow by the direct simulation Monte Carlo and continuum methods// J. Prop. Power. - 1995. -Vol. 11. - No. 1. - P. 64-70.

[113] Герасимов Ю.И. Параметры подобия в проблеме взаимодействия свободно расширяющейся струи с пластиной// Изв. АН СССР, МЖГ. - 1981. - No.2.

[114] Simons G.A. Effect of nozzle boundary layers on rocket exhaust plumes// AIAA Journal. - 1972. - Vol.10. - No.ll. - P. 1534-1535.

[115] Narasimha R. Collisionless expansion of gases into vacuum// J. of Fluid Mechanics. - 1962. - Vol. 12. - No. 1. - P. 294-308.

[116] Rault D.F.G. Methodology for thruster plume simulation and impingement effects characterized using DSMC. - AIAA Paper. - No. 95-2032, 1995.

[117] Soga Т., Takanishi M., Yasuhara M. Experimental study of underexpanded free jets// Proc. XIV Inter. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. - Tsukuba Science City, Japan, 1984. - P. 485-493.

[118] Test case description, The First Europe-US Hidh Speed Flow Field Database Workshop, Part II. - Naples, Italy, 1997.

[119] Hedahl M.O., Wilmoth R.G. Comparisons of the Maxwell and CLL Gas/Surface Interaction Models Using DSMC. - NASA TM-110205, 1995. - 15 p.

[120] Wachman H.Y. The role of the surface in the thermal accomodation, Dynamics of Manned Lifting Planetary Entry. - Wiley, N.-Y.-L,1963. - P. 778-779.

[121] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, -М.:Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1988, -736 с.

[122] Hornung H.G., Oertel Н., Sandeman R.J. Transition to Mach reflection of shock waves in steady and pseudosteady flow with and without relaxation// J. Fluid Mechanics. - 1979. - V.90. - P.541-560.

[123] Ben-Dor G., Takayama K., Kawanch T. The transition from regular to Mach reflection and from Mach to regular reflection in truly non-stationary flows// Fluid Mechanics. - 1980. - Vol.100. - P.147-160.

[124] Hornung H.G. and Robinson M.L. Transition from regular to Mach reflection of shock waves. Part 2. The steady-flow criterion// J. Fluid Mech. - 1982. - V.123. - P.155.

[125] Henderson L.F., Lozzi A. Experiments on transition to Mach reflection// J.Fluid Mechanics. - 1975. - Vol. 68. - P.139-155.

[126] Henderson L.F., Lozzi A. Further experiments on transition to Mach reflexion// J.Fluid Mechanics. - 1979. - Vol. 94. - P.541-559.

[127] Chpoun A., Passerel D., Li H., Ben-Dor G. Reconsideration of oblique shock wave reflections in steady flows. Part 1. Experimental investigations// J. Fluid Mech. -1995. - V.301. - P. 19-35.

[128] Иванов M.C., Клеменков Г.П., Кудрявцев A.H., Фомин В.М., Харитонов A.M. Экспериментальное исследование перехода к маховскому отражению стационарных ударных волн// Докл. АН СССР. - 1997. - Т.357. - N.5. - С.623-627.

[129] M.S. Ivanov, G.P. Klemenkov, A.N. Kudryavtsev, S.B. Nikiforov, A.A. Pavlov, V.M. Fomin, A.M. Kharitonov, D.V. Khotyanovsky, H.G. Hornung. Experimental and numerical study of the transition between regular and Mach reflections of shock waves in steady flows// Proc. XXI Intern. Symp. on Shock Waves. - Australia, 1997.

- P.819-824.

[130] Azevedo D.J., Liu S.L. Engineering approach to the prediction of shock patterns in bounded hidh-speed flows// AIAA Journal. - 1993. - Vol.31. - No.l. - P.83-90.

[131] Li H., Ben-Dor G. A parametric study of Mach reflection in steady flows// J. Fluid Mechanics. - 1997. - Vol.341. - P. 101-125.

[132] Медведев A.E., Фомин B.M. Приближенно-аналитический расчет маховской конфигурации стационарных ударных волн в плоском сужающемся канале// ПМТФ.

- 1998. - Т.39. - N.3. - С.52-58.

[133] Ben-Dor G., Elperin T., Li H., Vasiliev E., Chpoun A., Zeitoun D. Dependance of steady Mach reflections on the reflecting-wedge trailing-edge angle// AIAA Journal. - 1997. - Vol.35. - No.11. - P.1780-1782.

[134] Chpoun A., Passerei D., Ben-Dor G. Stability of regular and Mach reflection wave configuration in steady flows// AIAA Journal. - 1996. - Vol.34. - No. 10. - P.2196-2198.

[135] Skews B.W. Aspect ratio effects in wind tunnel studies of shock wave reflection transition// Shock Waves. - 1997. - Vol. 7. - No.7. - P.373-383.

[136] Skews B.W. Oblique shadowgraph study of shock wave reflection between two wedges in supersonic flow// Book of abstracts XIIV Intern. Mach Reflection Symp. - Beer-Sheva, Israel, 1998. - P. 63.