Моделирование течений газа в переходном режиме на основе решения модельных кинетических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Шершнёв, Антон Алексеевич

• Шершнёв, Антон Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шершнёв, Антон Алексеевич

Содержание

Введение

Глава 1. Основные уравнения

1.1. Кинетическое уравнение для функции распределения

1.2. Приведение к безразмерному виду

1.3. Укороченные функции распределения

1.4. Модели столкновительного члена

1.4.1. Уравнение БГК

1.4.2. Эллипсоидальная статистическая модель

1.4.3. Модель Шахова

Глава 2. Численный метод и программная реализация

2.1. Дискретизация в пространстве скоростей

2.1.1. Метод Симпсона

2.1.2. Квадратурная формула Гаусса-Эрмита

2.1.3. Сравнение двух методов интегрирования

2.1.4. Дискретизация источникового члена

2.2. Дискретизация в координатном пространстве

2.2.1. Обобщенные криволинейные координаты

2.3. Интегрирование по времени

2.4. Граничные условия

2.4.1. Свободная граница

2.4.2. Диффузное отражение

2.4.3. Зеркальное отражение

2.4.4. Условия на дозвуковой входной границе

2.5. Параллельная реализация алгоритма

2.6. Уравнения Навье-Стокса и ПСМ

Глава 3. Моделирование одномерных задач динамики разреженного газа

3.1. Задача об одномерной ударной трубе

3.2. Отражение ударной волны от стенки

3.3. Распространение акустической волны

3.4. Теплопередача между пластинами

3.5. Структура ударной волны

Глава 4. Моделирование двумерных задач динамики разреженного газа

4.1. Конвекция изэнтропического вихря

4.2. Конечная плоская пластина

4.3. Цилиндрически затупленная пластина

4.4. Распространение ударной волны в микроканале

4.5. Микросопло

4.5.1. Стационарное течение в сопле

4.5.2. Стартовый процесс в сопле

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование течений газа в переходном режиме на основе решения модельных кинетических уравнений»

Введение

Быстрое развитие микротехнологий в течение двух последних десятилетий создало предпосылки к разработке и широкому распространению микро- и на-ноэлектромеханических устройств (NEMS и MEMS). Широкий спектр различных микромашин внедрен и успешно применяется в электронике, космонавтике, в различных отраслях промышленности, в том числе и медицинской. В силу малых размеров устройств, характерные свойства газовых микротечений в них могут существенно отличаться от течений в макроустройствах. Детальное понимание природы течений в микросистемах является одной из наиболее актуальных задач современной механики жидкостей и газов [1,2].

Модель дискретных частиц

Динамика сплошной среды

Уравнение Больцмана

Бесстолкновительное уравнение Больцмана

Уравнения Эйлера

Уравнения Навье-Стокса

Приближения высших порядков

|-^-1-1-1-1-1-

О --0.01 0.1 1 10 100 -»-00

Невязкий Локальное число Кнудсена кп Свободно-

предел молекулярный предел

Рис. 1: Области применимости математических моделей описания течения газа.

Обычно в микроустройствах встречаются течения в околоконтинуальном или переходном режимах, что подразумевает учет эффектов разреженности, поскольку средняя длина свободного пробега молекул Я в этом случае не может считаться пренебрежимо малой по сравнению с характерным размером задачи Ь. Хорошо известно [3], что континуальный подход, основанный на решении уравнений Навье-Стокса с граничными условиями прилипания на твердой стенке, применим для случаев, когда параметр Кп = Х/Ь, называемый числом Кнудсена, удовлетворяет условию Кп < 0.01. Использование условий скольжения и скачка температуры позволяет расширить область применимости до Кп = 0.1. Численное моделирование течений в микроустройствах в данном режиме со скольжением подробно обсуждается в [4]. Однако в переходном режиме (0.1 < Кп <10) уравне-

ния Навье-Стокса не способны описать течения с достаточной точностью даже при использовании граничных условий скольжения.

Одним из возможных способов решения данной проблемы может быть использование континуальных (гидродинамических) уравнений, являющихся приближениями более высоких порядков по числу Кнудсена, чем уравнения На-вье-Стокса. В англоязычной литературе подобные уравнения известны под общим названием «Extended Hydrodynamic Equations». Известно [5], что уравнения Навье-Стокса могут быть выведены из уравнения Больцмана, описывающего эволюцию функции распределения молекул газа по скорости, путем разложения ее по степеням Кп {разложение Чепмена-Энскога) до величин первого порядка малости. Если же рассмотреть члены до второго порядка малости 0(Кп2), то такое разложение приводит к так называемым уравнениям Барнетта, включающим пространственные производные более высоких (выше второго) порядков. Было, однако, показано, что уравнения Барнетта неустойчивы к коротковолновым возмущениям и, при больших числах Кнудсена, могут приводить к нарушению второго начала термодинамики.

Альтернативным разложению Чепмена-Энскога подходом является момент-ный метод, при котором выводятся уравнения для моментов функции распределения. Используя определенные предположения, такую систему уравнений можно замкнуть. Наиболее известной системой моментных уравнений является 13-моментная система уравнений Грэда [5], включающая, кроме уравнений для обычных гидродинамических величин, еще уравнения для компонент тензора вязких напряжений и вектора теплового потока. К сожалению, попытка использования уравнений Грэда также наталкивается на значительные трудности. Эта система уравнений является гиперболической, в результате в ней появляются физически бессмысленные разрывные решения, в частности при расчете внутренней структуры ударных волн.

Указанные трудности послужили причиной скептического отношения многих специалистов к уравнениям Барнетта и Грэда. Тем не менее, в последние

годы были предложены методы регуляризации данных уравнений, позволяющие избавиться от тех нефизических следствий, к которым приводят оригинальные уравнения. Так, уравнения Барнетта можно стабилизировать и согласовать со вторым началом термодинамики, если ввести в них некоторые дополнительные члены из следующего, так называемого супербарнеттовского приближения. Полученные подобным образом «дополненные» (augmented) уравнения Барнетта и т. н. уравнения БГК-Барнетта были довольно успешно использованы для описания некоторых разреженных течений [6, 7].

Подобные методы были также использованы для регуляризации уравнений Трэда, что привело к системе уравнений, известных как уравнения R13 [8]. Было продемонстрировано [9], что полученные на их основе решения согласуются с результатами решения уравнения Больцмана лучше решений уравнений На-вье-Стокса.

Еще одним оригинальным подходом к континуальному описанию разреженных течений является использование так называемых квазигазодинамических уравнений (КГД) [10, 11], которые, в отличие от уравнений Навье-Стокса, выводятся не для мгновенных пространственных средних по малому объему газа, а для величин, полученных пространственно-временным осреднением. То есть, к обычному определению газодинамических величин добавляется сглаживание по некоторому малому временному интервалу. Система КГД уравнений отличается от уравнений Навье-Стокса наличием дополнительных диссипативных членов, имеющих порядок малости (9(Кп2). Вклад этих поправок мал для стационарных и квазистационарных течений при малых числах Кнудсена, но становится значительным для сильно нестационарных течений и течений с числом Кнудсена Kn ~ 1. Как показывают результаты расчетов [12], использование КГД уравнений также позволяет расширить область применения континуального подхода.

(вписанные выше современные континуальные модели представляются весьма перспективными для моделирования течений разреженного газа, поскольку они заведомо более экономичны, чем любые подходы, основанные на решении кинети-

ческих уравнений для функции распределения. Тем не менее, насколько именно они позволяют расширить диапазон чисел Кнудсена, при которых возможно адекватное моделирование разреженных течений — этот вопрос должен еще быть выяснен в ходе дальнейших исследований. Вряд ли, однако, континуальные подходы могут быть использованы для всех течений в переходном режиме.

Несомненно, наиболее универсальным решением является использование кинетического подхода, который основан на представлении газа в виде ансамбля частиц, чья функция распределения по скоростям подчиняется уравнению Больц-мана. Как видно из рис. 1, оно применимо во всем диапазоне чисел Кнудсена. Этот подход, однако, требует больших затрат компьютерных ресурсов.

В настоящее время наиболее эффективным численным методом решения уравнения Больцмана является метод прямого статистического моделирования (ПСМ) [13]. Являясь мощным инструментом для моделирования стационарных сверх- и гиперзвуковых течений [14], метод ПСМ становится существенно более дорогим в вычислительном плане при расчете медленных дозвуковых течений, когда скорость движения газа много меньше средней скорости молекул. Еще менее эффективен данный метод при моделировании нестационарных течений, для которых статистические ошибки не могут быть уменьшены осреднением по достаточно большому временному интервалу.

От этих трудностей свободен подход, основанный на прямом детерминистическом решении кинетических уравнений для функции распределения. Подобные методы существуют достаточно давно и продолжают активно развиваться [15]. В качестве важных достижений в этой области можно указать применение спектральных методов в пространстве скоростей [16-18], консервативные схемы для аппроксимации интеграла столкновений [19-21], а также использование дивергентной формы уравнения Больцмана [22, 23].

Несмотря на это, прямое решение уравнения Больцмана все еще требует очень больших вычислительных ресурсов, что связано с необходимостью вычисления многомерных интегралов в члене, описывающем столкновения.

Более практичным представляется использование подхода, основанного на детерминистическом решении модельных кинетических уравнений, в которых интеграл столкновений заменен членом релаксационного типа. Впервые уравнение подобного типа было рассмотрено Бхатнагаром, Гроссом и Круком [24] и, независимо, Веландером [25], и общеизвестно как уравнение БГК. Уравнение БГК описывает релаксацию к локально-максвелловскому равновесному распределению. Заметим, что уравнения Навье-Стокса могут выведены из уравнения БГК так же, как и из уравнения Больцмана. Однако это приводит к значению числа Прандт-ля Рг равному 1 [5], в то время как правильное значение для одноатомного газа Рг = 2/3. Для того чтобы устранить этот недостаток, было предложено несколько обобщений оригинального уравнения БГК, таких как эллипсоидальная статистическая модель (ЭС модель) [26] и модель Шахова [27]. Оба уравнения имеют ту же форму, что и исходное уравнение БГК, за исключением того, что равновесная функция распределения отлична от максвелловской. Стоит отметить, что частота столкновений в этих моделях, в отличие от уравнения Больцмана, не зависит от относительной скорости сталкивающихся молекул. Поэтому также были предложены модельные кинетические уравнения с частотой, зависящей от относительной скорости, которые обеспечивают правильное значение числа Прандтля [28, 29].

Использование модельных кинетических уравнений для численного моделирования течений в переходном режиме было подробно рассмотрено Е.М. Шаховым в его хорошо известной книге [30]. В последнее десятилетие вновь возник интерес к этому подходу в связи с появлением такой области применения как моделирование микротечений. Как следствие, в последние годы появилось большое число работ, посвященных модельным кинетическим уравнениям. В [31] для решения модельных кинетических уравнений впервые были использованы современные квазимонотонные схемы сквозного счета. В [32, 33] этот подход был улучшен путем введения процедуры коррекции равновесной функции распределения, которая гарантирует выполнение законов сохранения. Численные эксперименты, проведенные в [33], свидетельствуют о том, что данная процедура позволяет полу-

чить достаточно точные решения на относительно грубых сетках в пространстве скоростей. В [34] с помощью модельных кинетических уравнений были решены некоторые трехмерные задачи. В [35] и [36] были предложены гибридные схемы, основанные на сопряжении модельных кинетических и континуальных уравнений. Метод для решения модельных кинетических уравнений на неструктурированных сетках был разработан в [37]. В [38] подход, основанный на детерминистическом решении модельных кинетических уравнений с помощью схем высокого порядка точности, был применен для исследования скорости генерации энтропии и анализа неравновесности течений разреженного газа. В последние годы В.А. Титаревым с соавторами было опубликовано большое количество работ, посвященных моделированию различных течений разреженного газа на основе модельных кинетических уравнений (в основном, модели Шахова) и TVD схем (см., например, [39-41]).

В настоящей работе для численного решения модельных кинетических уравнений используются так называемые WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory) схемы [42]. WENO схемы, хорошо себя зарекомендовавшие при решении газодинамических уравнений, обеспечивают очень высокий (на гладких решениях — до пятого) порядок аппроксимации, что позволяет уменьшить число точек разностной сетки и повысить экономичность решения сложных многомерных задач. Это свойство становится особенно желательным при решении кинетических уравнений, которые приходится решать в многомерном фазовом пространстве.

Целями диссертационной работы являются:

— Разработка алгоритма прямого численного решения модельных кинетических уравнений на основе метода дискретных ординат и схем сквозного счета высокого порядка точности.

— Создание вычислительного кода, позволяющего проводить расчеты на многопроцессорных ЭВМ, его верификация, исследование точности метода и определение границ его применимости на примере хорошо изученных классических задач динамики разреженного газа.

— Демонстрация работы метода в различных ситуациях на примере ряда актуальных задач динамики разреженного газа, включая течения в ударной трубе и микросопле.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан алгоритм прямого конечно-разностного решения модельных кинетических уравнений на основе метода дискретных ординат и WENO схем высокого порядка точности.

2. На основе разработанного алгоритма создан программный код для расчетов на многопроцессорных ЭВМ, параллелизованный с помощью геометрической декомпозиции расчетной области и протокола MPI; с помощью численных экспериментов получены оценки точности квадратурных формул в методе дискретных ординат, позволяющие выбрать параметры дискретизации, необходимые для достижения требуемой точности вычислений.

3. С помощью расчетного кода проведено численное моделирование ряда задач динамики разреженного газа, включая как классические задачи (задача о структуре ударной волны, обтекание плоской пластины под нулевым углом атаки и д.р.), так и актуальные в настоящее время задачи, связанные с течениями в микроустройствах (в частности, течения в ударной трубе и микросопле).

4. Путем сравнения с другими походами (решением уравнений Навье-Стокса, методом ПСМ) получены данные о точности и границах применимости модельных кинетических уравнений при моделировании течений в переходном режиме.

Полученные результаты способствуют углублению понимания природы течений в переходном режиме. Результаты исследований могут иметь значение для широкого круга приложений, в которых встречаются течения в переходном режиме: в аэрокосмической технике, при разработке МЭМС.

и

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

— Международная конференция по методам аэрофизических исследований (ICMAR), Новосибирск, 2008, 2011;

— Международный симпозиум по динамике разреженного газа (RGD), Киото, Япония, 2008, Пасифик Гроув, США, 2010;

— Всероссийская конференция молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии», Новосибирск, 2009;

— Европейская конференция по микротечениям (GASMEMS), Эйндховен, Нидерланды, 2009.

— Международная конференция ASME по тепло- и массообмену на микро- и наномасштабах, Шанхай, Китай, 2009;

— Всероссийский семинар «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехноло-гий», Новосибирск, 2010;

— Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики», Новосибирск, 2010;

— Международный симпозиум по ударным волнам (ISSW), Манчестер, Великобритания, 2011,

— Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ 2012), Алушта, 2012,

а также на научном семинаре ИТПМ СО РАН под руководством академика В.М. Фомина, объединенном научнём семинаре ИВТ СО РАН, кафедры математического моделирования НГУ и кафедры вычислительных технологий НГ-ТУ «Информационно-вычислительные технологии» под руководством академика Ю.И. Шокина и проф. В.М. Ковени й на семинаре отдела разреженных газов ИТ СО РАН под руководством академика А.К. Реброва.

По материалам диссертации опубликовано 15 работ [43-57], в том числе 3 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для для представления основных результатов диссертации:

1. Иванов, М.С. Эффекты разреженности при обтекании затупленной передней кромки гиперзвуковым потоком / М.С. Иванов, Д.В. Хотяновский, A.A. Шершнёв, А.Н. Кудрявцев, A.A. Шевырин, Ш. Ёнемура, Е.А. Бондарь // Теплофизика и аэромеханика. — 2011. — Т. 18, № 4. — С. 543-554.

2. Шершнёв, A.A. Численное моделирование сверхзвукового течения газа около плоской пластины на основе кинетических и континуальных моделей / A.A. Шершнёв, А.Н. Кудрявцев, Е.А. Бондарь // Вычислительные Технологии. — 2011. — Т.16, № 6. — С. 93-104.

3. Kudryavtsev, A.N. A numerical method for simulation of microflows by solving directly kinetic equations with WENO schemes / A.N. Kudryavtsev, A.A. Shershnev // Journal of Scientific Computing. — 2013. — DOI: 10.1007/sl0915-013-9694-z, 32 p.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 129 наименований. Общий объем диссертации составляет 119 страниц, включая 57 рисунков и 3 таблицы.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность и положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

Глава 1 носит методический характер. В ней представлена математическая модель течения на основе кинетических уравнений релаксационного типа, описаны основные модели столкновительного члена, рассмотрен переход к безразмерным переменным, введены укороченные функции распределения, а также описана постановка граничных условий.

В главе 2 описан детерминистический метод численного решения и особенности его программной реализации. Для дискретизации в пространстве скоростей используется метод дискретных ординат, интегралы вычисляются с помощью метода Симпсона и квадратур Гаусса-Эрмита. В обоих случаях с помощью численных экспериментов для функций максвелловского типа получены оценки точности интегрирования, предложены процедуры выбора параметров сетки обеспечивающие вычисление газодинамических величин с требуемой точностью. Используются конечно-разностные схемы сквозного счета высокого порядка точности, для пространственной дискретизации применяются \VENO схемы 3-го и 5-го порядков, интегрирование по времени проводится с помощью т. н. ТУБ схем Рунге-Кутты 2-го и 3-го порядка. Также в этой главе обсуждаются условия на входных и выходных границах, твердых стенках (диффузное и зеркальное отражение), описаны характеристические граничные условия, используемые на дозвуковых границах. Описана параллелизация расчетного кода, основанная на геометрической декомпозиции расчетной области. В серии расчетов измерено параллельное ускорение, показано, что на достаточно большом числе процессоров эффективность параллелизации достигает 86%. В конце главы кратко описываются метод решения уравнений Навье-Стокса и метод ПСМ; полученные с их помощью данные сравниваются в диссертации с результатами расчетов, выполненных на основе модельных кинетических уравнений.

Глава 3 посвящена численным исследованиям одномерных задач динамики разреженного газа. На примере простых задач, таких как задача об одномерной ударной трубе и задача об отражении ударной волны от стенки, проведена верификация численного метода. Показано хорошее согласие численного решения модельных кинетических уравнений с аналитическим решением уравнений Навье-Стокса в задаче о распространении акустической волны. В задаче о теплопередаче между параллельными пластинами наблюдается удовлетворительное согласие с экспериментальными данными, полученными Овадой. Также рассмотрена задача о структуре ударной волны, расчеты проведены для широкого диапазона

чисел Маха, результаты сравниваются с экспериментальными данными Альсмей-ера. Показано, что из трех модельных кинетических уравнений наилучшее совпадение с измерениями показывает ЭС модель. Также численные эксперименты свидетельствуют о том, модельные кинетические уравнения описывают особенности структуры ударной волны, не учитываемые континуальным подходом — такие, как максимум в профиле продольной температуры и бимодальность функции распределения.

Глава 4 посвящена двумерным задачам динамики разреженного газа. На примере задачи о конвекции изэнтропического вихря в области с периодическими по обеим координатам граничными условиями показано, в процессе расчета масса, импульс и энергия в расчетной области сохраняются с приемлемой точностью — до третьей цифры после запятой. Выполнено численное моделирование классической задачи обтекания конечной плоской пластины сверх- и гиперзвуковым потоком разреженного газа. Проведено сравение полученных результатов с данными ПСМ и решениями уравнений Навье-Стокса. Показано, что модельные кинетические уравнения существенно точнее, чем уравнения Навье-Стокса описывают неравновесные разреженные течения, такие, в частности, как гиперзвуковое обтекание тел с острой передней кромкой. Исследовалось обтекание цилиндрически затупленной пластины сверхзвуковым потоком. Моделирование проводилось на основе трех различных подходов: модельных кинетических уравнений, уравнений Навье-Стокса и метода ПСМ. Показано, что при числе Кнудсена, вычисленного по радиусу затупления пластины, Кпд ^ 0.5 наблюдается заметное отличие континуального и кинетического подходов, как в распределениях поверхностных коэффициентов, так и в поперечных профилях газодинамических величин. Промоделирован процесс распространения ударной волны в длинном микроканале. Продемонстрировано, что хотя оба подхода корректно описывают процесс замедления ударной волны, кинетический подход более точно предсказывает распределения макровеличин поперек канала в области непосредственно за фронтом ударной волны и вдоль центральной линии канала. На основе эллипсоидальной

статистической модели и уравнений Навье-Стокса проведены расчеты течения в плоском клиновидном микросопле, промоделирован процесс запуска сопла. Сравнение показало, что наблюдается разумное согласие между континуальным и кинетическим расчетами. Разница становится более выраженной по мере того, как течение внутри сопла расширяется и становится более разреженным. Наибольшее различие наблюдается в в окрестности стенки.

В заключении изложены основные результаты работы.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю А.Н. Кудрявцеву за его всестороннюю поддержку. Также автор хотел бы поблагодарить Е.А. Бондаря за предоставленные результаты расчетов методом ПСМ, Д.В. Хотяновского за предоставленные результаты моделирования затупленной пластины с помощью уравнений Навье-Стокса и профессора М.С. Иванова за неоднократные полезные обсуждения полученных результатов.

Глава 1 Основные уравнения

1.1. Кинетическое уравнение для функции распределения

Пусть х = {х,у,г) — вектор пространственных координат, у = =

— вектор молекулярных скоростей, а Д?,х,у) — функция распределения молекул по скоростям, нормированная таким образом, что / ёх ёу с1г = /V, где N — число молекул в элементе объема йх йу с1ух с1уу (IVг вокруг точки х,у в фазовом пространстве. Предполагается, что газ одноатомный. Тогда основное уравнение кинетической теории газов {уравнение Болъцмана) имеет вид

^+т.£=ослл. о-')

Оператор 0 (/,/), стоящий в правой части уравнения, это интеграл столкновений, который описывает изменение функции распределения за счет бинарных столкновений между молекулами. Интеграл столкновения обычно записывается в виде

0(/, /) = /// //с(У,со5^(//:-//*)|УИп^, (1.2)

§2

где

/ = /(г,х, v), /' = Д*,Х, у'), /* ЕЕ Д?,Х, У*), & = Д*,х, О

1 1 (!-3)

у' = -(у + у* + |у|п), у* = -(у + у*-|у|п), v = у — у*.

Через обозначена сфера единичного радиуса, п € это единичныи вектор, соответствующий направлению Относительной скорости после столкновения, ст(У,со8 у/) — это дифференциальное сечение рассеяния, а у/ — угол между векторами относительной скорости до и после столкновения.

Рассматривается класс модельных кинетических уравнений, которые могут быть получены из уравнения Больцмана путем замены интеграла столкновений на

простои член релаксационного типа

§7(1-4)

Здесь — равновесная функция распределения, а V — частота столкновений, величина обратная к среднему времени между молекулярными столкновениями. И и у зависят от используемой модели. В частности, в оригинальной модели БГК является локально-максвелловской функцией, у — р/[1, где р это давление газа, а /I — вязкость, являющаяся функцией температуры газа Т.

Всюду в работе предполагается, что [1 где % это константа, зависящая

от потенциала межмолекулярного взаимодействия. Так, для степенного потенци-

1 5 + 3

ала (потенциальная энергия % ~ —г) зависимость имеет вид у = —--г [13].

Г5 1 2(5—1)

Значения э — 5, X = 1 соответствуют максвелловским молекулам, 5 = °°, .£ = 1/2 — твердым сферам.

Числовая плотность п и макропараметры, такие как плотность р, скорость газа и, температура Г, вектор теплового потока д и тензор вязких напряжений тгу, вычисляются как моменты функции распределения /:

п = /с1\, р = пт, пи = Ш\fclx, ^пШ = ^ у/^,

е3 кз кз

Ч = у с2с/й?у, = тШа Cjfdу, ти = р/у - 0-5)

К3 м3

г',;' е {■*,)>,£}•

Здесь ¿/у = с = V — и это тепловая скорость, т — масса молекулы газа,

Р1у — тензор давления, р = ^ + + /?гг) = рКГ гидродинамическое давление, а Я — удельная газовая постоянная, равная отношению универсальной газовой постоянной & к молярной массе газа.

1.2. Приведение к безразмерному виду

При переходе к безразмерным переменным все пространственные координаты нормируются на некоторый характерный размер Ь, все скорости — на наи-

более вероятную молекулярную скорость Со = в некотором состоянии,

например в свободном потоке, обозначаемом индексом Числовая плотность, температура и вязкость нормируются на соответствующие значения п^, Т^ и Доо, плотность — на га«со, давление — на ^гаПооС2, вязкие напряжения — на тпооС^,

тепловые потоки — на ^гаПооС^,, время — на L/Coo, функция распределения — на

Поо/Cl.

Тогда в модели БГК формула для частоты столкновений принимает вид

1 mriooCiL р

у = ---• (1.6)

2 Цсо fl

Вязкость ¿и«, можно выразить через среднюю длину свободного пробега Аоо [89]:

/loo = (1.7)

16

Таким образом безразмерная частота столкновений определяется как

8 р

у — —т=—(1.8) бл/тсКпд'

где Кп = Яоо/L — число Кнудсена.

Ниже все величины будут использоваться только в безразмерной форме. В частности, макроскопические величины вычисляются по следующим формулам

р = ///**, PU = ///,/<*», \pT = jjj ¿fév,

м3 м3 к3

Р = рт, Pij = JIJCi Cjfdv, тij = Pij - -pdij, (1 9)

M3

q = /// тгсfd\, ij e

1.3. Укороченные функции распределения

При решении двумерных задач функция распределения / не зависит от пространственной координаты г. Однако она остается функцией молекулярной ско-

рости иг. К счастью, вычислительные затраты на кинетические расчеты можно существенно уменьшить, введя так называемые укороченные функции распределения [58]

g{t,x,y,vx,vy) = J f{t,x,y,v)dvz,

r

h{t,x,y,vx,vy) = J v2zf{t,x,y,\)dvz

(1.10)

Система из двух уравнений для укороченных функций распределения

дН дН дg /1М

(1.11)

легко выводится из (1.4). В (1.11) равновесные функции распределения имеют вид

gN = JfNdvz, hN = jv\fNdvz. (1.12)

r r

Знания укороченных функций распределения достаточно для вычисления большинства макропараметров:

Р = // gdvxdVy, рщ= // vxgdvxdvy, uz = 0

^рГ = I/ hdvxdvy +11 (с2х + c2)gdvxdvy,

Pij = Jf CiCjgdvxdvy, Pzz = JJhdvxdvy, pxz = pyz = 0,

r2 r2

4i= // Ci[h + g(c2x + c2y)]dvxdvy, qz = 0, ije{x,y}.

(1.13)

В одномерном случае редукция может быть проведена схожим образом

g(t,x,vx) = JJ f{t,x,\)dvydvz,

r2

h(t,x,vx) = JJ {v2 + v2z)f(t,x,\)dvydvz

(1.14)

(1.15)

(1.16)

Система уравнений для укороченных функций принимает вид

а макропараметры вычисляются по формулам

р = J gdvx, рих = J vxgdvx иу = иг = 0,

е к

= I Мюх +1 Рж = !

ее е

Руу = Ргг = ^ / Р*У = ^ = Руг = 0.

е

= I сх(к + gc2x)dvx, цу = ц7 = 0.

1.4. Модели столкновительного члена

В данной работе рассматриваются три модели: уравнение Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК), модель Шахова и эллипсоидальная статистическая модель.

1.4.1. Уравнение БГК

В оригинальной модели БГК [24, 25] равновесная функция распределения является локально-максвелловской функцией, которая в безразмерной форме записывается как

Частота столкновений в данной модели определяется по формуле (1.8). Укороченные равновесные функции могут быть легко найдены интегрированием:

«2> = (1.18) «й. р(-|)> *" = *{{. = Гей, (1.19)

Уравнение БГК является наиболее простой и наиболее широко используемой кинетической моделью. Для нее, как и для оригинального уравнения Больцмана, справедлива Н-теорема Больцмана, говорящая о том, что в замкнутой системе, эволюция которой описывается некоторым кинетическим уравнением, величина Я = / /1п/<1хс1х никогда не возрастает во времени, т. е. ^ 0 [60]. Однако

при выводе континуальных уравнений (Навье-Стокса) с использованием процедуры Чепмена-Энскога модель БГК приводит к значению числа Прандтля Рг = 1, в то время как правильное (для одноатомных газов) значение 2/3 [5]. Этот недостаток может быть устранен изменением равновесной функции распределения. Две наиболее известных модификации уравнения БГК это эллипсоидальная статистическая модель, предложенная Холуэем [26], и модель Шахова [27].

1.4.2. Эллипсоидальная статистическая модель

В эллипсоидальной статистической модели равновесная функция ищется как наиболее вероятное распределение, у которого заданы моменты до второго порядка включительно. Результат представляется анизотропным гауссианом вида

3

(1.20)

где матрица В = (/?//) = А а элементы матрицы А = равны

Т 2(1 — Рг) р1] Рг 1] Рг р

(1.21)

Частота столкновений в ЭС модели отличается от описанных ранее моделей на множитель Рг:

у = (1.22)

ЭС модель приводит к правильным уравнениям сплошной среды, если положить число Прандтля Рг = 2/3. Доказательство Н-теоремы Больцмана для ЭС модели нетривиально й было получено лишь недавно [61].

Укороченные равновесные функции определяются формулами

п2Т> — 2 £2Б>

(1.23)

(1.24)

1.4.3. Модель Шахова

Равновесная функция распределения в модели Шахова определяется следующим образом:

Таким образом, она зависит от вектора теплового потока q, являющегося третьим моментом функции распределения. Частота, так же как в оригинальной модели БГК, вычисляется по формуле (1.8). Для числа Прандтля Рг = 2/3 модель приводит к корректным континуальным уравнениям для одноатомного газа. Соответствующие укороченные равновесные функции распределения имеют вид

(1.25)

4

рТ

(1.26)

^ _ км 1 , 4 П2В ~п70 1 + ^

РТ

- рм

1 + 5

рТ

ЛЮ — пю

1 + ----:

5 рТ

(1.27)

Одним из недостатков модели Шахова является то, что функция может стать отрицательной на хвостах распределения. Кроме того, Н-теорема для этой модели доказана лишь для течений с малыми отклонениями от равновесия [30].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шершнёв, Антон Алексеевич

Основные результаты работы:

1. На основе метода дискретных ординат и современных методов сквозного счета (WENO схем 3-го и 5-го порядков, МР схемы 5-го порядка) разработан алгоритм прямого численного решения модельных кинетических уравнений (уравнения БГК, модели Шахова и ЭС модели). Получены оценки точности интегрирования в методе дискретных ординат для квадратур Симп-сона и Гаусса-Эрмита. Даны рекомендации по выбору параметров дискретизации, обеспечивающие нужную точность вычисления газодинамических величин.

2. Создан программный код, решающий кинетические уравнения релаксационного типа с тремя моделями столкновительного члена. Проведена верификация программы, на тестовых примерах показана высокая точность численного метода. Программа распараллелена с помощью геометрической декомпозиции расчетной области и протокола MPI. Продемонстрирована достаточно высоркая эффективность параллелизации (~ 86% от идеального ускорения при расчете на 64 процессорах).

3. Показано, что при моделировании внутренней структуры ударных волн из трех кинетических моделей ЭС модель описывает толщину наиболее точно и близко к экспериментальным данным. Модельные кинетические уравнения воспроизводят многие особенности, не учитываемые при континуальном подходе, такие как максимум в профиле продольной температуры и бимодальность функции распределения внутри ударной волны.

4. Продемонстрировано, что в задачах внешнего обтекания тел сверхзвуковым потоком разреженного газа в переходном режиме подход, основанный на решении модельных кинетических уравнений, дает результаты, хорошо согласующиеся с данными ПСМ и существенно более точные, чем получаемые из уравнений Навье-Стокса. Это особенно справедливо при гиперзвуковых скоростях. Причина заключается в том, что данный подход позволяет учесть отсутствие равновесия между различными поступательными степенями свободы.

5. Результаты расчетов течений в микроканалах и микросоплах свидетельствуют, что численное решение модельных кинетических уравнений может быть успешно использовано для моделирования стационарных и нестационарных внутренних течений. Оно позволяет предсказывать характеристики таких течений точнее, чем уравнения Навье-Стокса, и, в отличие от метода ПСМ, не страдает от статистического шума при моделировании нестационарных процессов.

6. Таким образом, подход, основанный на решении модельных кинетических уравнений может рассматриваться как достаточно точный и эффективный численный инструмент для моделирования как стационарных, так и нестационарных газовых течений в переходном режиме.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шершнёв, Антон Алексеевич, 2013 год

Литература

1. Ho, C.-M. Micro-electro-mechanical systems (MEMS) and fluid flows / C.-M. Ho, Y.-C. Tai // Annual Review of Fluid Mechanics. — 1998. — V. 30. — P. 579-612.

2. Gad-el-Hak, M. The fluid mechanics of microdevices. The Freeman scholar lecture / M. Gad-el-Hak // Journal of Fluids Engineering. — 1999. — V. 121. — P. 5-33.

3. Shen, C. Rarefied gas dynamics. Fundamentals, simulations and microflows. / C. Shen. — Springer: Berlin, Heidelberg, 2005. — 430 p.

4. Karniadakis, G. Microflows and nanoflows. Fundamentals and simulation. /

G. Karniadakis, A. Beskok, N. Aluru. — Springer: New York, 2005. — 818 p.

5. Struchtrup, H. Macroscopic transport equations for rarefied gas flows. /

H. Struchtrup. — Springer: Berlin et al., 2005. — 272 p.

6. Zhong, X. Stabilization of Burnett equations and applications to hypersonic flows / X. Zhong, R. W. MacCormack, D. R. Chapman // AIAA J. — 1993. — V. 31. — P. 1036-1043.

7. Agarwal, R. K. Beyond Navier-Stokes: Burnett equations for flows in the continuum-transition regime / R. K. Agarwal, K.-Y. Yun, R. Balakrishnan // Phys. Fluids. — 2001. — V. 13. — P. 3061-3085.

8. Struchtrup, H. Regularization of Grad's 13 moment equations: derivation and linear analysis / H. Struchtrup, M. Torrilhon // Phys. Fluids. — 2003. — V. 15. — P. 2668-2680.

9. Ivanov, I. E. Study of shock wave structure by regularized Grad's set of equations / I. E. Ivanov, I. A. Kryukov, M. Yu. Timokhin, Ye. A. Bondar, A. A. Kokhanchik, M. S. Ivanov // Proc. of 28th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. — Mellville, New York, 2012. — P. 215-222.

10. Четверушкин, Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. / Б. Н. Четверушкин. — Москва: МАКС Пресс, 2004. — 332 с.

11. Елизарова, Т. Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. / Т. Г. Елизарова. — Москва: Научный мир, 2007. — 352 с.

12. Elizarova, Т. G. Rarefied gas flow simulation based on quasigasdynamic equations / T. G. Elizarova, I. A. Graur, J. C. Lengrand, A. Chpoun // AIAA J. — 1995. — V. 33. — P. 2316-2324.

13. Bird, G. A. Molecular gas dynamics and direct simulation of gas flows. / G. A. Bird.

— Clarendon Press: Oxford, 1994. — 458 p.

14. Ivanov, M. S. Computational hypersonic rarefied flows / M. S. Ivanov, S.F. Gimelshein // Annual Review of Fluid Mechanics. — 1998. — V. 30. — P. 469-505.

15. Aristov, V. V. Direct methods for solving the Boltzmann equation and study of nonequilibrium flows. / V. V. Aristov. — Kluwer: Dordrecht, 2001. — 294 p.

16. Григорьев, Ю. H. Спектральный метод численного решения кинетического уравнения Больцмана / Ю. Н. Григорьев, А. Н. Михалицын // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. — 1983. — Т. 23, № 6. — С. 1453-1463.

17. Григорьев, Ю.Н. Численное исследование изотропной релаксации в газе с максвелловским взаимодействием / Ю. Н. Григорьев, А. Н. Михалицын // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1985. — Т. 25, № 5. — С. 742-756.

18. Filbet, F. High order numerical methods for the space non-homogeneous Boltzmann equation / F. Filbet, G. Russo // J. Comput. Phys. — 2003. — V. 186.

— P. 457-480.

19. Tcheremissine, F. G. Conservative evaluation of Boltzmann collision integral in

discrete coordinates approximation / F. G. Tcheremissine // Comput. Math. Applic.

— 1998. — V. 35. — P. 215-221.

20. Черемисин, Ф. Г. Решение кинетического уравнения Больцмана для высокоскоростных течений / Ф. Г. Черемисин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2006. — Т. 46. — С. 315-329.

21. Varghese, P. Monte Carlo solution of the Boltzmann equation via a discrete velocity model / P. Varghese // J. Сотр. Phys. — 2011. — V. 230. — P. 1265-1280.

22. Saveliev, V.N. Collision group and renormalization of the Boltzmann collision integral / V. N. Saveliev, K. Nanbu // Phys. Rev. E. — 2002. — V. 65. — P. 1-9.

23. Малков, E. А. Детерминированный метод частиц-в-ячейках для решения задач динамики разреженного газа. Часть I / Е. А. Малков, М. С. Иванов // Вычислительные методы и программирование. — 2011. — Т. 12. — С. 368-374.

24. Bhatnagar, PL. A model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component systems / PL. Bhatnagar, E. P. Gross, M. Krook // Phys. Rev. — 1954. — V. 94. — P. 511-525.

25. Welander, P. On the temperature jump in a rarefied gas / P. Welander // Ark. Fys.

— 1954. — V. 7. — P. 507-553.

26. Holway, L. H. New statistical models for kinetic theory: methods of construction / L. H. Holway // Phys. Fluids. — 1966. — V. 9. — P. 1658-1673.

27. Шахов, E. M. Об обобщении релаксационного кинетического уравнения Кру-ка / Е. М. Шахов // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1968.

— Т. 3, —С. 142-145.

28. Mieussens, L. Numerical comparison of Bhatnagar-Gross-Krook models with proper Prandtl number / L. Mieussens, H. Struchtrup // Phys. Fluids. — 2004.

— V. 16. — P. 2797.

29. Zheng, Y. Ellipsoidal statistical Bhatnagar-Gross-Krook model with velocity-dependent collision frequency / Y. Zheng, H. Struchtrup // Phys. Fluids. — 2005. — V. 17. — 127103, 17 p.

30. Шахов, E. M. Метод исследования разреженного газа. / Е. М. Шахов. — Москва: Наука, 1974. — 208 с.

31. Yang, J. Y. Rarefied flow computations using nonlinear model Boltzmann equations / J. Y. Yang, J. C. Huang // J. Comput. Phys. — 1995. — V. 120. — P. 323-339.

32. Mieussens, L. Discrete velocity models and numerical schemes for the Boltzmann-BGK equation in plane and axisymmetric geometries / L. Mieussens // J. Comput. Phys. — 2000. — V. 162. — P. 429-466.

33. Titarev, V. A. Conservative numerical methods for model kinetic equations / V. A. Titarev // Computers and Fluids 2007. — V. 36. — P. 1446-1459.

34. Li, Z.-H. Study on gas kinetic unified algorithm for flows from rarefied transition to continuum / Z.-H. Li, H.-X. Zhang // J. Comput. Phys. — 2004. — V. 193. — P. 708-738.

35. Morinishi, K. Numerical simulation for gas microflows using Boltzmann equation / K. Morinishi // Computers and Fluids. — 2006. — V. 35. — P. 978-985.

36. Kolobov, V. I. Unified solver for rarefied and continuum flows with adaptive mesh and algorithm refinement / V. I. Kolobov, R. R. Arslanbekov, V. V. Aristov, A. A. Frolova, S. A. Zabelok // J. Сотр. Phys. — 2007. — V. 223. — P. 589-608.

37. Титарев, В. А. Численный метод расчета двухмерных нестационарных течений разреженного газа в областях произвольной формы / В. А. Титарев // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2009. — Т. 49, № 7. — С. 1255-1270.

38. Chigullapalli, S. Entropy considerations in numerical simulations of non-equilibrium rarefied flows / S. Chigullapalli, A. Venkattraman, M. S. Ivanov, A. A. Alexeenko // J. Comput. Phys. — 2010. — V. 229. — P. 2139-2158.

39. Титарев, В. А. Численный анализ винтового течения Куэтта разреженного газа между коаксиальными цилиндрами / В. А. Титарев, Е. М. Шахов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2006. — Т. 46. — С. 527-535

40. Титарев, В.А. Неизотермическое течение газа в длинном канале на основе кинетической S-модели / В. А. Титарев, Е. М. Шахов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2010. — Т. 49. — С. 2246-2260.

41. Рыков, В. А. Разреженное течение Пуазейля в трубе эллиптического или прямоугольного поперечного сечения / В. А. Рыков, В. А. Титарев, Е. М. Шахов // Изв. РАН. МЖГ. — 2011. — Т. 46. — С. 132-144.

42. Shu, C.-W. High order ENO and WENO schemes for computational fluid dynamics / C.-W. Shu // Lecture Notes in Computational Science and Engineering. — 1999. — V. 9. — P. 439-582.

43. Иванов, M. С. Эффекты разреженности при обтекании затупленной передней кромки гиперзвуковым потоком / М. С. Иванов, Д. В. Хотяновский, А. А. Шершнёв, А. Н. Кудрявцев, А. А. Шевырин, Ш. Ёнемура, Е. А. Бондарь // Теплофизика и аэромеханика. — 2011. — Т. 18, № 4. — С. 543-554.

44. Шершнёв, А.А. Численное моделирование сверхзвукового течения газа около плоской пластины на основе кинетических и континуальных моделей / А. А. Шершнёв, А. Н. Кудрявцев, Е. А. Бондарь // Вычислительные Технологии. — 2011. — Т.16, № 6. — С. 93-104.

45. Kudryavtsev, A.N. A numerical method for simulation of microflows by solving directly kinetic equations with WENO schemes / A.N. Kudryavtsev,

A.A. Shershnev // Journal of Scientific Computing. — 2013. — DOI: 10.1007/sl0915-013-9694-z, 32 p.

46. Kudryavtsev, A.N. Numerical simulation of the shock-wave structure with different kinetic and continuum models / A. N. Kudryavtsev, A. A. Shershnev, M. S. Ivanov // Proc. of 14th Int. Conf. on Methods of Aerophysical Research. — 2008. — 1 CD-ROM. — paper № 14, 7 p.

47. Kudryavtsev, A.N. Comparison of different kinetic and continuum models applied to the shock-wave structure problem / A.N. Kudryavtsev, A.A. Shershnev, M. S. Ivanov // Proc. of 26th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. — Mellville, New York, 2009. — P. 507-512.

48. Шершнёв, А. А. Метод прямого численного решения кинетических уравнений для моделирования течений газа в переходном режиме / А. А. Шершнёв // Труды 7-ой всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии». — 2009. — С. 241-243.

49. Shershnev, A.A. Study of rarefaction and non-equilibrium effects using model kinetic equations / A. A. Shershnev, A. N. Kudryavtsev, I. A. Graour // Proc. of 1st GASMEMS Workshop. — 2009. — 1 CD-ROM. — paper № 10, 8 p.

50. Kudryavtsev, A.N. Numerical simulation of gas microflows by solving relaxationtype kinetic equations / A. N. Kudryavtsev, A. A. Shershnev, M. S. Ivanov // Proc. of the ASME 2nd Micro/Nanoscale Heat & Mass Transfer Int. Conf. — ASME, New York, 2009. — V. 1 — paper № 18520, P. 357-366.

51. Kudryavtsev, A. N. A study of the finite flat plate problem using various kinetic and continuum models. / A. N. Kudryavtsev, A. A. Shershnev, Ye. A. Bondar // Proc. of 27th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. — Mellville, New York, 2011. — V. 2. — P. 934-940.

52. Ivanov, Mikhail. Rarefaction and non-equilibrium effects in hypersonic flows about leading edges of small bluntness / Mikhail Ivanov, Dmitry Khotyanovsky, Alexey Kudryavtsev, Anton Shershnev, Yevgeniy Bondar, Shigeru Yonemura // Proc. of the 27th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. — Mellville, New York, 2011. — V. 2. — P. 1295-1301.

53. Shershnev, A.A. Kinetic approach to numerical simulation of gas flows in the transitional regime / A. A. Shershnev, A. N. Kudryavtsev // Proc. of 15th Int. Conf. on the Methods of Aerophysical Research. — 2010. — 1 CD-ROM. — 9 p.

54. Ivanov, M.S. Numerical study of rarefied hypersonic flows about blunted leading edges / M. S. Ivanov, S. Yonemura, D. Khotyanovsky, A. Kudryavtsev, A. Shershnev, Ye. Bondar // Proc. of 15th Int. Conf. on Methods of Aerophysical Research. — 1 CD-ROM. — 2010.

55. Шершнёв, А. А. Метод численного моделирования микротечений на основе модельных кинетических уравнений релаксационного типа / А. А. Шершнёв, А. Н. Кудрявцев // XI Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики». — 2010. — С. 102.

56. Bondar, Ye. A. Numerical study of hypersonic rarefied flows about leading edges of small bluntness / Ye. A. Bondar, A. A. Shershnev, A.N. Kudryavtsev, D. V. Khotyanovsky, S. Yonemura, M. S. Ivanov // Proc. of 28th Int. Symp. on Shock Waves. — 2011. — 1 USB flash drive — paper № 2561, 6 p.

57. Кудрявцев, A.H. Численное моделирование нестационарных течений разреженного газа путем прямого конечно-разностного решения кинетических уравнений / А. Н. Кудрявцев, А. А. Шершнёв // Материалы IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. — Москва: изд-во МАИ, 2012. — С. 226-228.

58. Chu, С. К. A kinetic-theoretic description of shock wave formation / С. K. Chu // Phys. Fluids. — 1965. — V. 8. — P. 12-22.

59. Chu, С. К. A kinetic-theoretic description of shock wave formation. II / С. K. Chu // Phys. Fluids. — 1965. — V. 8. — P. 1450-1455.

60. Черчиньяни, К. Теория и приложения уравнения Больцмана / К. Черчиньяни.

— Пер. с англ. — Москва: Мир, 1978. — 496 с.

61. Andries, P. The Gaussian-BGK model of Boltzmann equation with small Prandtl numbers / P. Andries, P. Le Tallec, J. Perlât, B. Perthame // Euro. J. of Mech.: B. Fluids. — 2000. — V. 19. — P. 813-830.

62. Richter, G. On the convergence of the discrete ordinate method in kinetic theory / G. Richter // SIAM J. Appl. Math. — 1973. — V. 25, № 2. — P. 149-157.

63. Palczewski, A. Existence, stability, and convergence of solutions of siscrete velocity models to the Boltzmann equation / A. Palczewski, J. Schneider // J. Statist. Phys. — 1998. — V. 91. — P. 307-326.

64. Alekseenko, A. M. Numerical properties of high order discrete velocity solutions to the BGK kinetic equation / A. M. Alekseenko // Appl. Numer. Math. — 2011. — V. 61. — P. 410-427.

65. Stoer, J. Introduction to numerical analysis / J. Stoer, R. Bulirsch. — 3rd Edition

— Springer: New York et al., 2002. — 744 p.

66. Калиткин, H. H. Численные методы. / H. H. Калиткин — Москва: Наука, 1978.

— 508 с.

67. Jiang, G.-S. Efficient implementation of weighted ENO schemes' / G.-S. Jiang, C.-W. Shu // J. Сотр. Phys. — 1996. — V. 126. — P.202-228.

68. Кудрявцев, А. Н. Применение схем высокого порядка точности при моделировании нестационарных сверхзвуковых течений / А. Н. Кудрявцев, Т. В. По-плавская, Д. В. Хотяновский // Матем. моделирование. — 2007. — Т. 19, № 7. — С. 39-55

69. Suresh, A. Accurate monotonicity-preserving schemes with Runge-Kutta stepping / A. Suresh, H. T. Hyunh // J. Comput. Phys. — 1997. — V. 136. — P. 83-99.

70. Shu, C.-W. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes C.-W. Shu, S. Osher // J. Сотр. Phys. — 1988. — V. 77. — P. 439-471.

71. Shu, C.-W. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes, II / C.-W. Shu, S. Osher // J. Сотр. Phys. — 1989. — V. 83. — P. 32-78.

72. MPI: A message passing interface standard. — University of Tennessee, Knoxville, Tennessee, 1994. — 228 p.

73. Titarev, V. A. Efficient deterministic modelling of three-dimensional rarefied gas flows / V. A. Titarev // Communications in Computational Physics. — 2012. — V. 12. — P. 162-192.

74. Ivanov, M. S. Statistical Simulation of Reactive Rarefied Flows: Numerical Approach and Applications. / M.S. Ivanov, G.N. Markelov, S.F. Gimelshein // AIAA Paper № 98-2669. — 1998. — 19 p.

75. Sod, G. A. A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws / G. A. Sod // J. Comput. Phys. — 1978. — V. 27. — P. 1-31.

76. Sound propagation according to kinetic models: AEC Research and Development Report (NYO-9757) / L. Sirovich, J. Thurber — New York Univ., 1961. — 96 p.

77. Гринспан, M. Распространение звуковых волн в газхах при очень низких давлениях / М. Гринспан // Физическая акустика, под редакцией У. Мэзона, том

II, часть А, свойства газов, жидкостей и растворов. — Москва: Мир, 1968. — 488 с.

78. Teagan, W. P. Heat-transfer and density distribution measurements between parallel plates in the transition regime / W. P. Teagan, G. S. Springer // Phys. Fluids. — 1968. — V. 11. — P. 497-506.

79. Ohwada, T. Heat flow and temperature and density distributions in a rarefied gas between parallel plates with different temperatures. Finite-difference analysis of the nonlinear Boltzmann equation for hard-sphere molecules / T. Ohwada // Phys. Fluids. — 1996. — V. 8. — P. 2153-2160.

80. Когаи, M. H. Динамика разреженного газа / M. Н. Коган — Москва: Наука, 1967. — 440 с.

81. Graur, I. A. Comparison of different kinetic models for the heat transfer problem /1. A. Graur, A. P. Polikarpov // Heat and Mass Transfer. — 2009. — V. 46. — P. 237-244.

82. Gilbarg, D. The structure of shock waves in the continuum theory of fluids / D. Gilbarg, D. Paolucci // J. Rat. Mech. Anal. — 1953. — V. 2. — P. 617-642.

83. Alsmeyer, H. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorbtion of an electron beam / H. Alsmeyer // J. Fluid Mech. — 1976. — V. 74. — P. 497-513.

84. Robben, F. Measurement of shock wave thickness by electron beam fluorescence method / F. Robben, L. Talbot // Phys. Fluids. — 1966. — V. 9. — P. 633-643.

85. Segal, B.M. Shock wave structure using nonlinear model Boltzmann equations / Ben Maurice Segal. — Stanford University, 1971. — 114 p.

86. Elizarova, T. G. Numerical simulation of shock-wave structure for argon and

helium / Т. G. Elizarova, I. A. Shirokov, S. Montero // Phys. Fluids. — 2005. — V. 17. — 068101.

87. Елизарова, Т. Г. Численное моделирование структуры ударной волны путем решения стационарных решений уравнений Навье-Стокса. / Т. Г. Елизарова, А. А. Хохлов // Вестник Московского универститета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2006. — № 3. — С. 28-32.

88. Yen, S.-M. Temperature overshoot in shock waves / S.-M. Yen // Phys. Fluids. — 1966. — V. 9. — P. 1417-1418.

89. Бёрд, Г. Молекулярная газовая динамика / Г. Бёрд. — Москва: Мир, 1981. — 320 с.

90. Mott-Smith, Н. М. The solution of the Boltzmann equation for a shock wave / H. M. Mott-Smith // Phys. Rev. — 1951. — V. 82. — P. 885-892.

91. Pullin, D. I. Anumerical simulation of the rarefied hypersonic flat-plate problem /

D. I. Pullin, J. K. Harvey // J. Fluid Mech. — 1976. — V. 78. — P. 689-707.

92. Huang, A. B. Kinetic theory of the sharp leading edge problem in supersonic flow / A. B. Huang, D. L. Hartley // Phys. Fluids. — 1969. — V. 12. — P. 96-108.

93. Huang, A. B. Supersonic leading edge problem according to the ellipsoidal model / A. B. Huang, P. F. Hwangs // Phys. Fluids. — 1970. — V. 13. — P. 309-317.

94. Шахов, E. M. Продольное обтекание пластины потоком разреженного газа /

E.М. Шахов // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. — 1973. — Т. 2. — С. 119-126.

95. Vogenitz, F. W. Leading edge flow by Monte Carlo direct simulation technique /

F. W. Vogenitz, J. E. Broadwell, G. A. Bird // AIAA J. — 1970. — V. 8, № 3. — P. 504-510.

96. Elizarova, Т. G. Comparition of continuum and molecular approaches for rarefied gas flows / T. G. Elizarova, I. A. Graur, A. Chpoun, J. C. Lengrand // Proc. of 19th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. — Oxford Univ. Press, 1995. — V. 2. — P. 780-786.

97. Егоров, И. В. Исследование гиперзвукового обтекания плоской пластины на основе сплошносредного и кинетического подходов / И. В. Егоров, А. Н. Ерофеев // Ученые записки ЦАГИ. — 1997. — № 2. — С. 23^0.

98. Erofeev, А. I. Macroscopic models for non-equilibrium flows of monatomic gas and normal solutions / A. I. Erofeev, O. G. Friedlander // Proc. of 25th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. — Publishing House of the SB RAS, Novosibirsk, 2007.

— P. 117-124.

99. Кузнецов, M. M. Асимптотический анализ эффектов поступательной неравновесности в гиперзвуковом течении около плоской поверхности с острой передней кромкой / М. М. Кузнецов, И. И. Липатов, В. С. Никольский // Письма в ЖТФ. — 2008. — Т. 34, вып. 8. — С. 21-28.

100. Aoki, К. Numerical analysis of a supersonic rarefied gas flow past a flat plate / K. Aoki, K. Kanba, S. Takata // Phys. Fluids. — 1997. — V. 9. — P. 1144-1161.

101. Duff, R. Shock-tube performance at low initial pressure / R. Duff // Phys. Fluids.

— 1959. — V. 2. — P. 207-216.

102. Roshko, A. On flow duration in low pressure shock tube / A. Roshko // Phys. Fluids. — 1960. — V. 3. — P. 835-842.

103. Mirels, H. Test time in low pressure shock tube / H. Mirels // Phys. Fluids. — 1963. — V. 6. — P. 1201-1214.

104. Sun, M. Shock propagation in narrow channel / M. Sun, T. Ogawa, K. Takayama // Proc. of 23rd Int. Symp. on Shock Waves. — 2002. — paper 5610.

105. Brouillette, M. Shock waves at microscales / M. Brouillette // Shock Waves. — 2004. —V. 13. —P. 3-12.

106. Zeitoun, D. Navier-Stokes computations in micro shock tubes / D. Zeitoun, Y. Burtschell // Shock Waves. — 2006. — V. 15. — P. 241-246.

107. Udagawa, S. Interferometric signal measurement of shock waves and contact surfaces in small scale shock tube / S. Udagawa, К. Maeno, I. Golubeva, W. Garen // Proc. of 26th Int. Symp. on Shock Waves. — 2007. — paper 2060.

108. London, A. P. High-pressure bipropellant microrocket engine / A. P. London, A. H. Epstein, J. L. Kerrebrock // J. Propulsion and Power. — 1999. — V. 17, № 4.

— P. 780-787.

109. Micci, M. M. Micropropulsion for small spacecraft. Progress in Astronautics and Astronautics Series / M. M. Micci, A. D. Ketsdever // AIAA. — 2000. — V. 187.

— 477 p.

110. Akhatov, I. S. Aerosol flow through microcapillary. / I. S. Akhatov, J. Hoey, D. Thompson, A. Lutfurakhmanov, Z. Mahmud, О. F. Swenson, D.L. Schulz, A. N. Osiptsov // Proc. of ASME Micro/Nanoscale Heat and Mass Transfer Int. Conf. — ASME, New York, 2009. — V. 1. — P. 223-232.

111. Адамяк, Б.Ю. Плазменный скальпель на основе плазменной микроструи / Б. Ю. Адамяк, А. Е. Степанов, К. Н. Макаров, В. И. Сень, В. В. Пичугин // Перспективные материалы. — 2010. — № 8. — С. 119-124.

112. Scroggs, S.D. An experimental study of supersonic microjets / S.D. Scroggs, G. S. Settles // Exp. Fluids. — 1996. — V. 21, № 6. — P. 401-409.

113. Skovorodko, P. A. Nonequilibrium flow of gas mixtures in supersonic nozzle and in free jet behind it / P. A. Skovorodko // Proc. of 20th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. — Peking Univ. Press, Beijing, 1997. — P. 579-584.

114. Ivanov, M. S. Numerical study of cold gas micronozzle flow. / M. S. Ivanov, G. N. Markelov, A. Ketsdever, D. C. Wadsworth // AIAA Paper № 99-0166. — lip.

115. Ketsdever, A. Fabrication and predicted performance of conical DeLavale micronozzles. / A. Ketsdever, D.C. Wadsworth, Ph.G. Wapner, M.S. Ivanov, G. N. Markelov // AIAA Paper № 99-2724. — 12 p.

116. Mate, B. Experimental and numerical investigation of an axisymmetric supersonic jet / B. Mate, I. A. Graur, T. Elizarova, I. Chirokov, G. Tejeda, J. M. Fernandez, S. Montero // J. Fluid Mech. — 2001. — V. 426. — P. 177-197.

117. Alexeenko, A. A. Numerical modeling of axisymmetric and three-dimensional flows in microelectromechanical systems nozzles / A. A. Alexeenko, D. A. Levin, S. F. Gimelshein, R. J. Collins, B. D. Reed // AIAA J. — 2002. — V. 40, № 5. — P. 897-904.

118. Broc, A. Experimental and numerical investigation of an O2/NO supersonic free jet expansion / A. Broc, S. De Benedctis, G. Dilecce, M. Vigliotti, R. G. Sharafutdinov, P. A. Skovordko // J. Fluid Mech. — 2004. — V. 500. — P. 211-237.

119. Chong, Xie. Characteristics of micronozzle gas flows / Xie Chong // Phys. Fluids.

— 2007. — V. 19. — 037102, 7 p.

120. Phalnikar, K. A. Experiments on free and impinging supersonic microjets / K. A. Phalnikar, R. Kumar, F. S. Avi // Exp. Fluids. — 2008. — V. 44, № 5. — P. 819-830.

121. Анискин, В. M. Влияние размера сопла на дальнобойность сверхзвуковой микроструи / В. М. Анискин, А. А. Маслов, С. Г. Миронов // Письма в ЖТФ.

— 2011. — Т. 37, вып. 22. — С. 10-15.

122. Smith, E. The starting process in a hypersonic nozzle / E. Smith // J. Fluid Mech. — 1966. — V. 24, Pt. 4. — P. 625-640.

123. Amann, H. O. Experimental study of the starting process in a reflection nozzle / H. O. Amann // Phys. Fluids. — 1969. — V. 12, № 5. — P. I-150-I-153.

124. Григоренко, В. JI. Численное исследование ударного запуска сверхзвуковых сопел и сравнение с экспериментальными данными / В. Л. Григоренко // Известия АН ССС. МЖГ. — 1980. — № 1. — С. 97-104.

125. Saito, Т. Numerical simulations of nozzle starting process / T. Saito, K. Takayama // Shock Waves. — 1999. — V. 9, № 2. — P. 73-79.

126. Mouronval, A.-S. Numerical investigation of transient nozlle flow /

A.-S. Mouronval, A. Hadjadj, A.N. Kudryavtsev, D. Vandromme // Shock Waves. — 2002. — V. 12, № 5. — P. 403-411.

127. Hastings, D. Spacecraft-environment interactions. / D. Hastings, H. Garrett. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1996. — 320 p.

128. Ivanov, M. S. Numerical study of backflow for nozzle plumes expanding into vacuum. / M. S. Ivanov, D. V. Khotyanovsky, A. N. Kudryavtsev, P. V. Vashenkov, G. N. Markelov, A. A. Schmidt // AIAA Paper № 2687. — 2004. — 15 p.

129. Ярыгин, В. H. Газодинамика космических кораблей и орбитальных станций /

B. Н. Ярыгин, Ю. И. Герасимов, А. Н. Крылов, Л. В. Мишина, В. Г. Приходько, И. В. Ярыгин // Теплофизика и аэромеханика. — 2011. — № 3. — С. 345-372.