Три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Пиджакова, Любовь Михайловна

• Пиджакова, Любовь Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пиджакова, Любовь Михайловна

Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.2 Краткое содержание диссертации

1 Структурные уравнения и основные свойства три-тканей с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения

1.1 Структурные уравнения многомерной три-ткани W

1.2 Некоторые специальные классы многомерных три-тканей

1.3 Структурные уравнения ткани Wv

1.4 Редуктивная структура, связанная с три-тканью Wv

2 Четырехмерные изоклинно-геодезические три-ткани Wv

2.1 Структурные и конечные уравнения четырехмерной изоклинно-геодезической три-ткани Wv

2.2 Изоклинная структура три-ткани W4V

2.3 Строение группы G, определяющей три-ткапь W

2.4 Симметрическая структура многообразия три-ткани W

2.5 Л-свойства три-ткани W^

3 Некоторые специальные классы многомерных тканей Wv

3.1 Три-ткани Wv с тензором кривизны мршимального ранга

3.2 Изоклинные три-ткани Wv

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения»

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Теория три-тканей — сравнительно молодой раздел дифференциальной геометрии. Впервые три-ткани начали изучать и 1926-1928 годах участники гамбургского геометрического семинара под руководством известного математика 20 века Вильгельма Бляшке. Они определили различные типы конфигураций на криволинейной ткани и показали, что каждой конфигурации соответствует некоторое алгебраическое тождество. Результаты этих исследований были опубликованы в [8], библиографию см. в [6]. В 1936 году появилась работа Черна [24J, в которой он методом внешних форм Э. Картана изучает геометрию многомерных три-тканей, образованных тремя семействами г-мерных поверхностей в 27-мерном пространстве.

Следующий этап в исследовании многомерных три-тканей связан с развитием метода внешних форм в работах С.П. Финикова, Г.Ф. Лаптева, А.В. Васильева и других российских математиков [10], [17], [23]. В 1969 году была опубликована работа М.А. Акивиса [1], в которой записаны структурные уравнения многомерной три-тка.ни и определены важнейшие специальные классы тканей. Далее последовала серия работ по теории тканей как самого М.А. Акивиса, так и его коллег и учеников: В.В. Гольдберга, A.M. Шелехова., А.Д. Иванова, ГА. Клеков-кина, В.В. Тимошенко, B.C. Болодурипа, Г.А. Толстихиной и многих других. К настоящему времени в данной области получен целый ряд фундаментальных результатов, которые отражены в обзорах и монографиях [2] - [6], [21], [25], [26].

Основные исследования ведутся по трем направлениям:

1) изучение специальных классов тканей, определяемых специальными соотношениями на тензоры кривизны и кручения;

2) исследование дифференциально-геометрических структур и аффинных связностей, определяемых тканями;

3) изучение локальных свойств тканей с помощью ее локальных координатных луп.

Одной из основных проблем теории тканей является проблема классификации. Каждый класс тканей характеризуется особым типом канонически присоединенной к ткани аффинной связности (связности Черна) [6]. В терминах связности Черна были даны тензорные характеристики известных тканей: трансверсально-геодезических, изоклинньтх, Томсена (Т), Рейдемейстера (i?), Бола (J5), Муфапг (М), шестиугольных (Н) и других.

Исследование специальных классов тканей, одному из которых посвящена настоящая работа, имеет важное прикладное значение. Так, физические приложения теории тканей связаны с тем обстоятельством, что три-ткань представляет собой геометрический аналог локальной гладкой квазигруппы или лупы, вообще говоря, неассоциативиой. Возможности применения квазигрупповых идей в различных областях теоретической физики (теория поля, общая теория относительности и др.) проанализированы, в частности, в [19]. Оказывается, что практически все возникающие в физике структуры, связанные с квазигруппами и лупами, в определенном смысле близки к группам Ли. Поэтому представляет интерес изучение многомерных тканей, наиболее близких по своим свойствам к групповым тканям. Такими являются и три-ткани с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения, изучаемые в настоящей работе. Таким образом, тема исследования является актуальной.

Цель работы. В настоящей работе рассматриваются три-ткани, образованные на 2г-мерном дифференцируемом многообразии тремя гладкими слоениями размерности г, каждые два из которых находятся в общем положении. Тензоры кривизны и кручения рассматриваемых три-тканей ковариантно постоянны в связности Черна. Такие ткани мы обозначаем Цель работы состоит в исследовании алгебраических и геометрических свойств три-тканей Wv.

Основные задачи исследования:

- найти обилий вид структурных уравнений тканей Wv и характеризующие их тензорные соотношения;

- исследовать дифференциально-геометрические структуры, индуцируемые тканью Wv на многообразии М;

- найти структурные и конечные уравнения некоторых специальных многомерных тканей

- описать основные свойства и исследовать геометрическое строение четырехмерных тканей Wv.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Найдены структурные уравнения 2?-мерпых тканей Wv и соотношения, связывающие компоненты тензоров кривизны и кручения таких тканей.

2. Доказано, что многообразие, несущее ткань PFV, является (локальным) однородным пространством, а ткань Wv — G-тканью. Описана структура этого однородного пространства.

3. Найдены структурные и конечные уравнения единственной негрупповой четырехмерной ткани Wv, описаны ее алгебраические и геометрические свойства.

4. Найдены структурные и конечные уравнения единственной изоклин ной ткани

5. Исследованы три-ткани Wv с тензором криврхзны минимального ранга. Найдены уравнения некоторых специальных три-тканей Wv с тензором кривизны минимального ранга.

Методы исследования. Теория тканей тесно связана со многими областями современной математики (теорией связностей, теорией расслоенных пространств, классической и проективной геометрией, алгебраической теорией групп, теоррхей групп Ли и т.д.), потому в ней используются разнообразные методы, применяемые в этргх областях. Болышшство основных результатов в этой теорирх получены методом внешних форм и подвижного репера Картана. Этот метод используется и в настоящей работе. Рассмотрения имеют, в основном, локальный характер.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в др1ссертацир1, являются теоретршескимрг Они могут быть ргсполь-зованы при чтении спецкурсов в рамках специализацирг по геометррш тканей pi по некоторым разделам физрнш.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на геометрических семинарах кафедры функционального анализа и геометрир! ТвГУ (рук. проф. A.M. Шелехов), кафедры геомет-рирг МПГУ (рук. проф. В.Ф. Кр1рР1ченко), на Международной конференции "Геометрия в 0дессе-2008"(19-24 мая 2008 г., Одесса).

По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 104 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, включающих 11 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 27 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пиджакова, Любовь Михайловна, 2009 год

1. Акивис М.А. О три-тканях многомерных поверхностей/ М.А. Акивис// Тр.геом.сем. ВИНИТИ АН СССР.- 1969.- Т. 2.- С. 7-31.

2. Акивис М.А. Дифференциальная геометрия тканей/ М.А. Акивис// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом.— 1983 — Т. 15 — С. 187-213.

3. Акивис М.А., Гольдберг В.В. (Akivis М.А., Goldberg V.V.) Algebraic aspects of web geometry/ М.А. Акивис, В.В. Гольдберг// Comment. Math. Univ. Carolin.— 41(2).- 2000,— p. 205-23G.

4. Акивис M.A., Гольдберг В.В. (Akivis M.A., Goldberg V.V.) Differential geometry of web, Chapter 1 in Handbook of Differential Geometry/ М.А. Акивис, В.В. Гольдберг// Elsevier Science B.V.— 2000.— p. 1-152.

5. Акивис M.A., Шелехов A. M. Основы теории тканей/ М.А. Акивис, A.M. Шелехов// Калинин.— 1981.— 88 с.

6. Akivis М.А., Shelekhov А. М. Algebra and Geometry of Multidimensional Three-Webs/ M.A. Akivis, A.M. Shelekhov// Kluwer Academic Publishers.— Dordrecht/ Boston/ London.— 1992.— xvii+358 pp.

7. Белоусов В.Д., Рыжков В.В. Геометрия тканей/ И.Д. Белоусов, В.В. Рыжков// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия.— 1972.- Т. 10.- С. 159-188.

8. Бляшке В. (Blaschke W.) Введение в геометрию тканей/ В. Бляшке// М.: ГИФМЛ — 1959,- 144 с.

9. Bruck R.H., Paige L.J. Loops whose inner mappings are automorphisms/ R.H. Bruck, L.J. Paige// Ann. Math.— 63(2).— 1956,— p. 308-323.

10. Васильев A.M. Теория дифференциально-геометрических структур/ A.M. Васильев// M.: Изд-во МГУ.— 1987.— 190 с.

11. Васильева М.В. Группы Ли преобразований/ М.В. Васильева// Москва.— Моск. гос. пед. ин-т.— 1969.— 175 с.

12. Гольдберг В.В. (Goldberg V.V.) A classification and examples of four-dimensional isoclinic three-webs/ B.B. Гольдберг// Webs and Quasi-groups — Tver.— 1998-1999 — p. 32-66.

13. Goodaire E.G., Robinson D.A. A class of loops which are isomorphic to all loop isotopes/ E.G. Goodaire, D.A. Robinson// Canad.J.Math.— 34(3).- 1982.- p. 662-672.

14. Клековкин Г.А. Четырехмерные ткани с ковариантно постоянным тензором кривизны/ Г.А. Клековкин// Ткани и квазигруппы.— Калинин,— 1984.— С. 56-63.

15. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии/ III. Кобаяси, К. Номидзу// М.: Наука.— 1981,- Т. 2,— 416 с.

16. Ковальский О. Обобщенные симметрические пространства/ О. Ковальский// М.- 1984.— с. 240.

17. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитизимальные структуры высших порядков на гладком многобразии/ Г.Ф. Лаптев// Труды геометрического семинара.— М,— Т. 1.— 1966.— с. 139-189.

18. Мубаракзянов Г.М. Классификация вещественных пятимерных алгебр Ли/ Г.М. Мубаракзянов// Изв. вузов.— № 3.— 1963.

19. Нестеров А.И. Квазигрупповые идеи в физике/ А.И. Нестеров// В сб. Квазигруппы и неассоциативиые алгебры в физике. Труды института физики Тарту,— 1990.— Т. 66,— С. 107-120.

20. Толстихина Г.А. О четырехмерных тканях с симметричным тензором кривизны/ Г.А. Толстихина// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1981.— С. 12-22.

21. Толстихина. Г.А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей/ Г.А. Толстихина// Современная математика и ее приложения.— Т. 32(2005).— С. 29-116.

22. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симмет-риями/ В.В. Трофимов// М.: Изд-во МГУ.— 1989.— с. 359.

23. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана/ С.П. Фиников// М.- 1947.

24. Черн С.С. (Chern S.S.) Erne Invariantentheorie der Dreigewebe aus г-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R2rj C.C. Черн// Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg.— 11(1,2).— 1936.— p. 333-358. (Zbl. 13., p. 418.)

25. Шелехов A.M. Дифференциально-геометрические объекты высших порядков многомерной три-ткани/ A.M. Шелехов// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом.— 1987.— Т. 19.— С. 101-154.

26. Шелехов A.M. Классификация многомерных три-тканей по условиям замыкания/ A.M. Шелехов// Итоги науки pi техн. ВИНИТИ. Пробл. геом.- 1989.- Т. 21.- С. 109-154.

27. Шелехов A.M. О три-тканях с симметричным тензором кривизны/ A.M. Шелехов// Сиб. мат. ж.— 1981,— С. 210-219.Список публикаций автора по теме диссертации

28. Пиджакова Л.М., Шелохов A.M. (Pidzhakova L.M., Shelekhov A.M.) On properties of four-dimensional torsion-free three-webs with covariantly constant curvature tensor/ Л.М. Пиджакова, A.M. Шелехов// Webs and Quasigroups.— Tver.— 2000.— c. 77-84.

29. Пиджакова Л.М. Об одном классе изоклинных три-ткапей/ Л.М. Пиджакова// Изв. вузов. Математика.— №11.— 2008.— с. 60-67.

30. Пиджакова Л.М. Редуктивная структура, связанная с тканью W4/ Л.М. Пиджакова// Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в 0дессе-2008".— Одесса, с 19 мая по 24 мая 2008.— с.

31. Шелехов A.M., Пиджакова Л.М. (Shelekhov A.M., Pidzhakova L.M.) A remark on А-webs/ A.M. Шелехов, Л.М. Пиджакова// Webs and Quasigroups.— Tver.- 1998-1999.— c. 71-75.

32. Шелехов A.M., Пиджакова, Л.М. (Shelekhov A.M., Pidzhakova L.M.) On three-webs with covariantly constant torsion and curvature tensors/A.M. Шелехов, Л.М. Пиджакова // Webs and Quasigroups.— Tver.— 19981999,- c. 92-103.114.