Три-ткани Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Оноприенко, Екатерина Андреевна

• Оноприенко, Екатерина Андреевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Оноприенко, Екатерина Андреевна

2.1 Три-ткани Bm........................................ 35

2.2 Некоторые свойства W-алгебры IV..................... 38

2.3 Классификация тканей Вт по рангу тензора кручения .... 40

2.4 Три-ткани Вт ранга 1................................ 45

2.5 Три-ткани Вт ранга р................................ 48

2.6 Тождества в алгебре A, определяемой тензором кручения, для

три-ткани Вт ранга р в адаптированном репере........ 54

2.7 Строение три-ткани Вт ранга р ...................... 58

3 Некоторые специальные классы три-тканей Вт ранга р 60

3.1 Классы три-тканей Вт ранга р, выделяемые соотношениями

на тензор кручения ................................. 60

2

3.2 Коммутативные три-ткани B^ ранга р.................. 63

3.3 Ткани CBm(0)........................................ 66

3.4 Симметрическая структура на три-ткани CB^(0)........ 72

3.5 Ткани CBm(1)........................................ 75

3.6 Конечные уравнения три-ткани CB^(1)................. 77

3.7 Некоторые подклассы три-тканей CB^(1) ранга р........91

3.8 Структурные уравнения три-ткани TB^ ранга р......... 94

3.9 Три-ткани MB^ ранга р............................... 99

Литература 104

3

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Три-ткани Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны»

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Дифференциально-топологическая теория три-тканей зародилась в конце 20-х годов XX века в работах В. Бляшке, Г. Томсена, К. Рейдемейстера и Г. Бола, которые первыми заметили соответствие между условиями замыкания конфигураций, образованных слоями ткани, и тождествами, выполняемыми в ее координатных лупах. Это означало, что инцидентностные геометрические свойства три-тканей допускали адекватное алгебраическое описание в терминах соответствующих бинарных операций. Поэтому в первых работах по теории тканей описывались условия замыкания различных конфигураций на тканях, проводилась классификация тканей по условиям замыкания. Рассматривались условия шестиугольности (H) [36], [18], условия Томсена и Рейдемейстера [31]. Как оказалось, эти условия связаны со свойствами групп. Три условия Бола появились в работе [19].

Как оказалось, для криволинейных три-тканей на плоскости классификация по условиям замыкания является "грубой" , если на некоторой триткани замыкаются все конфигурации одного какого-то вида, то замыкаются и все остальные известные конфигурации. Это обстоятельство побудило исследовать многомерные три-ткани, образованные на гладком многообразии размерности 2г слоениями размерности г. На таких тканях все условия замыкания различаются, каждая конфигурация определяет, вообще говоря, свой подкласс три-тканей.

4

Черн был первым, кто нашел уравнения три-ткани W общего вида, он же нашел характеристики некоторых специальных классов тканей [45]. В настоящей диссертации используются структурные уравнения три-ткани в инваририантной форме, найденные М.А. Акивисом [1]. С их помощью были изучены различные аспекты теории многомерных три-тканей [5], [6].

В локальных координатах три-ткань задается уравнением вида z = f (x, y), x,y,z G R, которое связывает параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Это простое обстоятельство дает возможность применять методы теории три-тканей в различных разделах математики и физики , см. об этом в [17], [6]. Например, в [43] Е. В. Ферапонтов доказал, что характеристики некоторой системы дифференциальных уравнений гидродинамического типа образуют на всяком решении шестиугольную три-ткань. Этот геометрический факт характеризует так называемые слабо нелинейные и полугамильтоновы системы.

С алгебраической точки зрения уравнение три-ткани представляет собой бинарную операцию — локальную квазигруппу (в частности, лупу). Это обстоятельство позволяет расширить область применения теории три-тканей, использовать методы теории три-тканей для изучения свойств многообразий с гладкими локальными бинарными операциями, см., например, работу [29], где "анализируются возможности применения квазигрупповых идей в различных областях теоретической физики (теория поля, общая теория относительности, динамические симметрии и т.д.)"[29].

В теории три-тканей представляют наибольший интерес такие специальные классы тканей, координатные лупы которых в каком-то смысле близки к группам Ли. Прежде всего это лупы, в которых выполняется некоторое тождество, более слабое, чем ассоциативность. Впервые гладкие лупы такого рода (сами по себе, безотносительно к теории тканей) начал изучать А. И. Мальцев. Им было доказано [28], что "аналитические локаль

5

ные альтернативные лупы, как и группы Ли, определяются своей касательной алгеброй"(она названа бинарно-лиевой). Он показал, "что классическое соответствие между аналитическими локальными группами и алгебрами Ли, устанавливаемое тремя основными теоремами Ли, в полной мере имеет место между аналитическими альтернативными локальными лупами и бинарно-лиевыми алгебрами". А. И. Мальцев доказал также, что для аналитических альтернативных луп, как и для групп Ли, справедлива формула Кэмпбелла—Хаусдорфа, коммутатор которой удовлетворяет (в отличие от групп Ли) кубическому соотношению (тождеству Сейгла)[35]. Гладким лупам Муфанг соответствуют три-ткани Муфанг, которые изучались разными авторами. Их детальное описание см. в [6].

Ткани Бола, которые изучаются в настоящей диссертации, образуют более широкий класс, включающий в себя ткани Муфанг. Им соответствуют гладкие лупы Бола, которые изучались многими авторами. Как показали [34] Л. В. Сабинин и П.О. Михеев, с гладкой лупой Бола связана ее касательная алгебра Бола с тернарной и бинарной операциями, которая устроена существенно сложнее, чем алгебра Ли или алгебра Мальцева. Тем не менее для алгебр Бола удается обобщить некоторые понятия из теории алгебр Ли, например, в [20] "проведена классификация разрешимых тройных систем Ли размерности три, которые представляют собой частный случай алгебр Бола". Там же приведен пример алгебр Бола с тернарными операциями разрешимого типа.

Многомерные три-ткани Бола характеризуются тем, что на них замыкаются так называемые конфигурации Бола. Необходимые условия замыкания конфигураций Бола найдены в [11] и [12] - тензор кривизны такой ткани кососимметричен по какой-либо паре нижних индексов. Достаточность этих условий была доказана В. И. Федоровой [40] для тканей произвольной размерности. Несколько ранее достаточность для четырехмерных тканей была

6

доказана А. Д. Ивановым. Этими же авторами была проведена и классификация четырехмерных и шестимерных три-тканей Бола [41].

Как оказалось, методы теории тканей позволяют эффективно описывать свойства гладких луп Бола и алгебр Бола, получать примеры таких луп. В частности, некоторые соотношения, определяющие алгебры Бола, были указаны В.И. Федоровой.

Как показал Акивис, на базе одного из слоений три-ткани Бола возникает симметрическая структура, которая называется сердцевиной. 1 Еще ранее Л. В. Сабинин и П.О. Михеев доказали [32], что "геодезическая лупа локально симметрического пространства аффинной связности удовлетворяет левому тождеству Бола, и, более того, левая лупа Бола, удовлетворяющая тождеству автоморфной обратимости (ab)-1 = a-1b-1, является алгебраическим аналогом симметрического пространства". Связь между локально симметрическими пространствами и тройными системами Ли изучалась в работах [27], [37].

В настоящей диссертации неоднократно используется понятие эластичной три-ткани или ткани E. Эти ткани образуют собственный подкласс средних тканей Бола и характеризуются тем, что в их координатных лупах выполняется тождество эластичности x(yx) = (xy)x [46]. В работе [46] доказано, что нетривиальные (негрупповые) три-ткани E существуют на многообразиях размерности выше четырех, в частности, в шестимерном случае их всего две, E1 и E2. Г.А. Баландина исследовала дифференциальную окрестность пятого порядка тканей E [14]. М.В. Антипова указала в [9] некоторые примеры нетривиальных восьмимерных эластичных тканей. Некоторые эластичные три-ткани были найдены в [22].

Три-ткани Бола задаются сложной системой дифференциальных (структурных) уравнений, поэтому даже их локальное изучение является непро

^Понятие сердцевины ткани Бола было введено В.Д. Белоусовым в [15] для абстрактных три-тканей, являющихся аналогом квазигруппы или лупы Бола без топологической или гладкой структуры.

7

стой задачей. В настоящей диссертации исследуются геометрические свойства три-тканей Бола и проводится их классификация.

Отсюда вытекает актуальность изучения три-тканей Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны.

Цель работы: изучить средние три-ткани Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны, описать их геометрические свойства, выделить и исследовать основные классы таких тканей.

Основные задачи исследования:

— определить класс многомерных средних три-тканей Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны (ткани В^), найти структурные уравнения таких тканей, исследовать их касательную алгебру;

— описать алгебраические и геометрические свойства три-тканей В^;

— провести классификацию тканей В^ по рангу тензора кручения, исследовать некоторые специальные классы;

— найти уравнения исследуемых тканей в локальных координатах.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Определен класс многомерных средних три-тканей Бола с ковариант-но постоянным тензором кривизны (три-ткани В^), найдены структурные уравнения три-ткани В^, исследован соответствующий инфинитезимальный объект — W-алгебра Акивиса.

2. Заложены основы классификации тканей три-тканей В^, по рангу тензора кручения, описаны три-ткани В^ размерности 4 и 6, три-ткани В^ ранга 1, коммутативные ткани В^ ранга р.

3. Построен адаптированный репер для три-тканей В^, произвольного ран-

8

га р, описано их строение.

4. Детально описаны коммутативные три-ткани GB^ ранга р с коммутирующими операторами (три-ткани GB^(0) и GB^(1)), три-ткани TB^ и MBm, найдены их уравнения в локальных координатах.

Методы исследования. Основной метод исследования в диссертации

— метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана, адаптированный М.А. Акивисом, В.В. Гольдбергом и А.М. Шелеховым для изучения многомерных три-тканей. Мы применяем также тензорный анализ, теорию связностей и G-структур, элементы теории групп Ли и симметрических пространств. Полученные в работе результаты, имеют, в основном, локальный характер.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов в рамках специализации по дифференциальной геометрии и геометрии тканей. Как сами результаты, так и методика их получения могут быть эффективно применены для исследования методом Картана других дифференциально-геометрических структур.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях (в хронологическом порядке):

— международная конференция ^Геометрия в Одессе^ (Украина, Одесса, май 2013 г.);

— международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения М.Т. Калапсо ^Дельта-геометрия^ (Астрахань, май 2014 г.);

— международная конференция ^Differential Equations^ (Москва, август 2014 г.);

—международная школа-конференция ^Вторая зимняя геометрическая школам (Переславль-Залесский, февраль 2015 г.);

9

— международный геометрический семинар имени Г. Ф. Лаптева ^Лаптев-ские чтениям (Пенза, сентябрь 2015 г.);

—международная школа-конференция ^Третья зимняя геометрическая школам (Переславль-Залесский, февраль 2016 г.);

— международная конференция ^DFDE> (Москва, август 2017 г.);

— международный геометрический семинар имени Г. Ф. Лаптева ^Лаптев-ские чтениям (Пенза, сентябрь 2017 г.);

— XVI Всероссийская молодежная школа-конференция ^Лобачевские чтения— 2017м (Казань, 24 — 29 ноября 2017 г.);

— международная конференция ^Современная геометрия и её приложениям (Казань, 27 ноября — 3 декабря 2017);

— международная школа-конференция ^Зимняя геометрическая школам (Переславль-Залесский, 22 — 27 января 2018 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них 2 статьи из списка ВАК, 5 тезисов докладов.

1. Оноприенко Е. А. О три-тканях Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны. Тезисы докладов международной научной конференции ^Геометрия в Одессем. Одесса, 2013. C. 90.

2. Оноприенко Е. А.О существовании средних три-тканей Бола с канонической почти редуктивной структурой. Тезисы докладов международной конференции ^Дельта-геометриям. Астрахань, 2014. С.12.

3. Оноприенко Е. А. Об аналитических решениях уравнения (x/y)(z/x)=x((zy)x). Тезисы конференции DFDE. Москва, 2014.

4. Оноприенко Е. А., Шелехов А. М. Три-ткани Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны. Известия ВУЗов. Математика. 2016. № 3. С. 82-92 (журнал из списка ВАК).

10

5. Оноприенко Е. А., Шелехов А. М. On Integration of Smooth Multidimensional Bol Loop Structure Equations. Тезисы восьмой международной конференции DFDE. Москва, 17-19 августа 2017 г. С.130-131.

6. Оноприенко Е. А., Шелехов А. М. Три-ткани Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны. Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского, том 55. ^Лобачевские чтения-2017^: материалы шестнадцатой молодежной научной школы-конференции, Казань, 24 — 29 ноября 2017 г., стр. 91-95. Казань, 2017.

7. Оноприенко Е. А. Об одном классе средних три-тканей Бола. Известия ВУЗов. Поволжский регион. Математика. №2, 2018 г., стр. 31-38 (журнал из списка ВАК).

Структура диссертации. Диссертация изложена на 108 страницах печатного текста, состоит из введения, трех глав, включающих 20 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 47 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

0.2 Краткое содержание диссертации

Первая глава ^Три-ткани Бола> содержит необходимый для дальнейшего теоретический материал.

В § 1.1 дано определение три-ткани, приведены структурные уравнения многомерной три-ткани, записаны соотношения между тензорами кручения и кривизны. Вводится отношение эквивалентности для три-тканей, понятия координатной квазигруппы и лупы, каноническая связность (Черна); определяется W-алгебра три-ткани (алгебра Акивиса), операции в которой задаются тензорами кручения и кривизны три-ткани. Здесь же рассмотрены два важнейших класса три-тканей, часто используемые в дальнейшем: регулярные три-ткани, эквивалентные параллельной ткани (они называют

11

ся также параллелизуемыми); групповые ткани, координатная квазигруппа которых является группой Ли. Такие три-ткани характеризуются обращением в нуль тензоров кривизны и кручения или одного тензора кривизны соответственно. В §1.2 подробно рассмаривается понятие подткани многомерной три-ткани. Подткань высекается слоями исходной три-ткани W на ее трансверсальных подмногообразиях. В §1.3 рассматриваются конфигурации на три-ткани: H (шестиугольные), T (конфигурации Томсена), R (Рейдемейстера), В (Бола). Соответствующие классы тканей характеризуются замыканием всех достаточно малых конфигураций одного типа (теоремы 1.4 — 1.5). Записаны условия замыкания в терминах координатных квазигрупп. Средняя конфигурация Бола описана более детально. Условия замыкания средней конфигурации Вт описаны как с помощью условных тождеств (1.36), так и с помощью универсального тождества (1.38)(теорема 1.6). Три-ткани, на которых замыкаются конфигурации E, образуют специальный подкласс тканей Вт (теорема 1.7).

В § 1.4 дана тензорная характеристика средних тканей Бола (теорема 1.8). Показано, как на третьем слоении три-ткани Бола возникает симметрическая структура. С ее помощью структурные уравнения три-ткани Вт записываются таким образом, что их ограничение на базу третьего слоения ткани представляет собой структурные уравнения многообразия с заданной на нем симметрической структурой (теоремы 1.9 - 1.11). Показано, G-структура, возникающая на средней три-ткани Бола, является замкнутой G-структурой порядка три. Здесь же дано выражение ковариантных производных тензора кривизны ткани Вт через тензоры кручения и кривизны. Описана касательная W-алгебра ткани Вт, задание которой вполне определяет соответствующую три-ткань Бола Вт (теорема 1.12).

Во второй главе ^Три-ткани Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны^ проводится исследование средних три-тканей Бола, тензор кри

12

визны которых ковариантно постоянен относительно канонической связности Черна (ткани В^).

В §§ 2.1 и 2.2 найдена полная система соотношений на тензоры кривизны и кручения таких тканей (предложение 2.1, теорема 2.1), выяснен их алгебраический смысл.

В § 2.3 описываются все ткани В^ с тензором кручения ранга 0,г, г — 1 (Предложение 2.2), три-ткани В^ размерности 4 и 6 (теорема 2.2).

В § 2.4 доказывается, что ткани В^ ранга 1 совпадают с найденными ранее в [22] эластичными тканями В[ (теорема 2.3).

В § 2.5 для тканей В^ ранга р строится адаптированный репер, в котором система определяющих структурных уравнений принимает простой вид (теорема 2.4).

В §§ 2.5 и 2.6 доказано, что в построенном адаптированном репере тензор кручения ткани В^ ранга р удовлетворяет, помимо обобщенного тождества Якоби, еще некоторым соотношениям третьей и четвертой степени (теорема 2.5).

В § 2.7 показано, что ткань В^ ранга р несет нормальную 2р-мерную подткань, которая является групповой (соответствующая группа Ли обозначена (7), причем соответствующая фактор-ткань является регулярной три-тканью, определяемой коммутативной группой Ли G1 (теорема 2.6).

В третей главе ^Некоторые специальные классы три-тканей В^, ранга р> рассматриваются 1) три-ткани В^, для которых группа (7 является коммутативной (три-ткани СВ^); 2) три-ткани ТВ^, которые характеризуются обращением в нуль одной из компонент тензора кривизны; 3) ткани МВ^, лежащие в пересечении указанных двух классов.

В § 3.1 выделены 4 класса тканей В^, ранга р соотношениями на тензоры кручения и кривизны, в том числе классы СВ^, ТВ^ и МВ^, которые исследуются в дальнейшем.

13

В § 3.2 показано, что у тканей CB^ одна из компонент тензора кручения распадается на r — р инвариантных операторов Аи, определенных на группе G1. Операторы Au порождают линейную алгебру Ли [А]. Доказано, что эта алгебра является нильпотентной высоты 2. Подробно исследуются ткани, у которых алгебра [А] является тривиальной, то есть все операторы Аи попарно коммутируют (три-ткани CB^(1)).

Вначале рассматриваются случай, когда все операторы Аи имеют простую структуру. Такие ткани обозначены CB^(0). Доказывается (лемма 3.1), что для тканей CB^(0) существует семейство адаптированных реперов, в которых все операторы Аи становятся скалярными.

В § 3.3 система структурных уравнений три-ткани CB^(0) проинтегрирована, найдены конечные уравнения ткани в локальных координатах (теорема 3.1). Здесь же доказано, что ткани CB^(0) являются G-тканями, то есть допускают транзитивную группу автоморфизмов (теорема 3.2).

В § 3.4 найдена сердцевина ткани CB^(0), и доказано, что она допускает однопараметрическую группу автоморфизмов (теорема 3.3).

В § 3.5 найдены структурные уравнения три-ткани CB^(1)) общего вида (теорема 3.4).

В § 3.6 эти уравнения исследуются (леммы 3.2-3.5, предложения 3.23.4), что дает возможность проинтегрировать структурные уравнения ткани CBm(1) и найти ее уравнения в локальных координатах (теорема 3.5).

В § 3.7 рассмотрены некоторые подклассы три-тканей CB^(1), один из которых обобщает ткани CB^(0) (для него также выполняется теорема 3.2). Показано, что ткани этого типа являются эластичными тканями, то есть в их координатных лупах выполняется тождество эластичности x(yx) = (xy)x (теоремы 3.6 и 3.7). Отмечается, что все найденные в работе лупы Бола представляют собой обобщение понятия расширения одной абелевой группы с помощью другой абелевой группы.

14

В § 3.8 найдены структурные уравнения три-ткани ТВ^ ранга р. Доказано, что многообразие ткани ТВ^ представляет собой прямое произведение двух изоморфных главных расслоенных пространств (предложения 3.10 и 3.11).

В § 3.9 найдены структурные уравнения три-ткани МВ^ ранга р. Система проинтегрирована и найдены уравнения этой три-ткани и ее координатной лупы в локальных координатах (теорема 3.8). Показано, что эта лупа является эластичной (предложение 3.12).

Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук, профессору А. М. Шелехову за постановку проблемы, оказанное внимание и постоянную помощь в работе.

15

Глава 1

Три-ткани Бола

1.1 Структурные уравнения многомерной три-ткани W

Глава содержит основные понятия теории многомерных три-тканей, приведенные в монографии [6].

1. Пусть M — гладкое многообразие размерности 2r , r > 1. Говорят, что два гладких слоения размерности r на многообразии M находятся в общем положении, если их слои трансверсальны в каждой точке многообразия.

Определение 1.1. Три-тканью W = (M, Аа) , а = 1,2,3, на гладком многообразии M размерности 2r называется совокупность трех гладких слоений размерности г, каждые два из которых находятся в общем положении.

В силу определения в окрестности Up любой точки p многообразия M существуют локальные координаты X и такие, что в некоторой окрестности точки p слоения ткани могут быть заданы уравнениями

A1 : X = const, A2 : У = const, A3 : рряГ, = const; (1.1)

здесь и далее i,j,к,... = 1,2,..., r; f- гладкие функции. При этом в каждой точке области определения определения ткани W выполняются условия

Переменные X и в уравнениях (1.1) являются, с одной стороны, локальными координатами на многобразии M, а с другой - параметрами слоев

16

первого и второго слоений ткани W соответственно. Переменные z^ являются параметрами третьего слоения. Уравнения z^ = fi(xj,yk), связывающие параметры слоев разных слоений три-ткани W, проходящих через одну точку многообразия M, называют уравнениями три-ткани W и записывают кратко в виде

z = f (х,Уһ (1-2)

где x = (x1, ...,xr) и т. д. Функция f называется функцией ткани.

2. Пусть W и W -две три-ткани, образованные слоениями Za и Za, а = 1, 2, 3, на многообразиях M и M размерности 2r соответственно.

Определение 1.2. Три-ткани W и W называются экөиөалентными, если существует локальный диффеоморфизм Ф : M — M, при котором слоения Za три-ткани W отображаются в слоения Za три-ткани W.

Пусть три-ткани W и W заданы уравнениями z = f (x,y) и z = f*(x, у). Так как Ф переводит слоение Za в Аа, то существует три локальных диффеоморфизма Ji : Zi —— zi, J2 : Z2 —— Z2 и J3 : Z3 —— Z3,

z = Ji(x), z = J2 (у), z = J3(z). (1.3)

Так как три слоя x, у и z ткани W, проходящие через одну точку, переходят в три слоя z, у и z ткани W, также проходящие через одну точку, то при отображении уравнение три-ткани W переходит в уравнение z = J(z, у) три-ткани W, то есть выполняется

J3(f (x,У)) = .Z(J1(x),J2(У)). (1.4)

Отношение эквивалентности на множестве три-тканей имеет локальный характер — при локальных диффеоморфизмах сохраняются локальные свойства три-тканей.

3. Уравнение три-ткани (1.2) можно рассматривать как операцию в некоторой гладкой локальной квазигруппе1, которая называется координатной

^Г^уппоид Q с бинаpной опеpацией q(x,y) = x - у называется квазигpуппой, если пpи любых a, b, c из Q однозначно

17

квазигруппой три-ткани W и обозначается q. Операция в координатной квазигруппе обозначается также xy.

Отношением эквивалентности на множестве квазигрупп является изотопия.

Определение 1.3. Две локальные квазигруппы z = f (x,y) и z = /(z, y) называются изотопными, если существует тройка локальных биекций (J1, J2, J3) вида (1.3), удовлетворяющих равенству (1.4). Изотопии вида (J1, J2,id) называются главными.

Как показано в [6], три-ткани W и W экзизалентны тогДа и только тогДа, когДа соответствующие им локальные координатные квазигруппы изотопны.

С каждой точкой многообразия М три-ткани связана координатная лупа этой ткани. Пусть F G А1 и Fb G Л2 - два фиксированных слоя ткани, проходящие через точку p G М, и пусть f (a, b) = c. Рассмотрим отображение

u = f (x,b), v = f (a,У), z = z (!-5)

слоений A1, Л2, A3 в A3. Определим операцию умножения о в А3 в окрестности слоя e = f (a, b) следующим образом:

u = f (x,y) = f (-1f (u,b),f-1(a,v)).

Эта операция обладает единицей e = f (a, b), следовательно, является r-мерной локальной лупой. Она обозначается Ьф, b) и называется координатной лупой ткани W. В достаточно малой окрестности точки p тройка отображений (1.5) образует главную изотопию координатной квазигруппы f на лупу ^(a,b).

Таким образом, с каждой точкой (a, b) многообразия М, на котором зада-разрешимы уравнения ay = c, xb = c. Квазигруппа с единицей называется лупой. Пусть X, Y, Z — три гладких r-мерных многообразия (которые, в частности, могут и совпадать). Гладкое отображение q : X х Y Z называется локальной гладкой квазигруппой (короче, локальной квазигруппой), если оно является локальным диффеоморфизмом а) при фиксированном x и б) при фиксированном у. Локальной гладкой лупой называется r-мерное дифференцируемое многообразие Q с фиксированной точкой е, ее окрестностью U и функцией q : U х U Q, такой что а) q является локальной гладкой квазигруппой и б) q(x,e) = q(e,x) = x для любого x из U. Элемент е называется единицей.

18

на ткань W, связана гладкая r-мерная локальная лупа g(a,&). Координатные лупы три-ткани в различных точках изотопны друг другу, поскольку каждая из них изтопна координатной квазигруппе. Касательное пространство к координатной лупе в единице е обозначим Тр.

4. Слоение Аа ткани W задается на М вполне интегрируемой системой форм Пфаффа т', а = 1, 2,3, которые аннулируются на слоении Аа.

а

Эти формы нормируют так [6], чтобы выполнялись условия

Т + Т + Т = 0.

1 2 3

(1.6)

Следуя [6], касательное пространство к многообразию М в точке р обозначим через Tp, а касательные пространства к слоям ткани W в этой точке - Tp, а = 1, 2, 3. Пусть - касательный вектор к многообразию М в точке р. Так как каждая из систем < т',

а

т' > образует корепер в Tp, то вектор в J

может быть записан в одной из следующих форм:

= Т'(^ )ei — '(^)е^ = Т '(^ )ei — )ei = '(^ )ei — (^)е^. (1.7)

Здесь ej — базисные векторы, удовлетворяющие условиям [6]: а

а

Базисные формы т'

а

T'(ej) = 0, ) = —Т (6j) = .

а а в в а

определены

в в а-^

с точностью до преобразований

а

Т' = Aj а j а

, det(Aj) = 0,

не изменяющих вид уравнений (1.6). Такие преобразования в дальнейшем будем называть допустимыми. При этом базисные векторы е^ преобразуют-а

ся также согласованно в каждом из касательных пространств Та к слоям ткани:

С = Aj ej. аа

В силу (1.6) базисные векторы е^ связаны соотношениями

а

е^ + е^ + е^ — 0,

1' 2' з'

19

а векторы < , еф> образуют базис касательного пространства T.

ej

Таким образом, группа допустимых преобразований репера {е^,е^-} про-

1 2 странства Tp, оставляющих инвариантными уравнения (1.6), представляет собой r-мерную полную линейную группу GL(r). Поэтому на 2г-мерном многообразии M, несущем три-ткань W, определена G-структура со струк

турной группой GL(r) [3].

5. Условия полной интегрируемости каждой из систем форм Пфаффа

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Оноприенко, Екатерина Андреевна, 2018 год

Литература

[1] Акивис М. А. О три-тканях многомерных поверхностей // Тр. геометр. сем. ВИНИТИ АН СССР. 1969. Т. 2. C. 7-31.

[2] Акивис М. А. Дифференциально-геометрические структуры, связанные с три-тканью // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. унив. 1982. C. 3-6.

[3] Акивис М. А. О замкнутых G-структурах на дифференцируемом многообразии // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Пробл. геом. № 7 . C. 1975, 69-79

[4] Акивис М.А. О локальных алгебрах многомерной три-ткани // Сиб. мат. ж. 1976. № 1. С. 5-11.

[5] Акивис М. А. Шелехов А. М. Geometry and Algebra of Multidimensional Three-Webs // Kluwer Academic Publishers. Dordrecht/Boston/London, 1992. xvii+358 pp.

[6] Акивис М. А. Шелехов А. М. Многомерные три-ткани и их приложения: Монография // Тверь. Твер. гос. ун-т, 2010. 308 с.

[7] Акивис, М.А.; Шелехов, А.М.:Оп subwebs of 3-webs and subalgebras of local W-algebras. Acta Math. Hungar. 52 (1988), N3-4, 265-271.

[8] Антипова М. В. О тканях Бола с почти нулевым тензором кривизны // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2011. № 26. С. 28-34.

104

[9] Антипова М. В. Восьмимерные ткани Бола с почти нулевым тензором кривизны // Изв. ВУЗов. Математика. 2013. № 2. С. 43-56.

[10] Антипова М. В. Об одном приложении теории многомерных три-тканей // Вестник Тверского государственного университета. Серия ^Прикладная математикам. Тверь: Твер. гос.ун-т, 2012. № 32. С. 81-89.

[11] Акивис М.А. Шелехов А. М. О вычислении тензоров кривизны и кручения многомерной три-ткани и ассоциатора связанной с ней локальной квазигруппы // Сиб. мат. журнал. 1971. № 5. C. 953-966.

[12] Акивис М. А. Шелехов А. М. О локальных дифференцируемых квазигруппах и связностях, присоединенных к три-ткани // Сиб. мат. журнал. 1971. № 6. C. 1181-1191.

[13] Акивис М. А. Шелехов А. М. О подтканях многомерных три-тканей // Сиб. мат. журнал. 1985. Деп. в ВИНИТИ 9.10 1985Б № 7130-В85 ДЕП.

[14] Баландина, Г.А.; Шелехов, А.М. On general theory of elastic webs. Webs and Quasigroups, 1995, Tver, Tver State Univ., 62-74.

[15] Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Наука, 1967. 223 с.

[16] Белоусов В.Д. Рыжков В. В. Геометрия тканей // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Геометрия. Топология. 1972. T. 10. C. 159-188.

[17] Бляшке В. Введение в геометрию тканей. М.: Физматгиз, 1959. 144 с.

[18] Blaschke W. Thomsens sechseckgewebe zueinander diagonale Netze. // Math. Z. 1927. 28. S. 150—157.

[19] Bol G. Gewebe und Gruppen. // Math. Ann. 1937. 114. S. 414—431.

[20] Bouetou T. B. Классификация разрешимых тройных систем Ли размерности 3. //Деп. ВИНИТИ. 17.12.1993. № 3101.

105

[21] Васильева М.В. Группы Ли преобразований // М.: МГПИ, 1969. 175 c.

[22] К.Р. Джукашев, А.М. Шелехов, Многомерные гладкие лупы с универсальным свойством эластичности.Матем. сб., 206:5 (2015), 35-60.

[23] Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А. П., Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Проблемы геометрии (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) 9 (1979), c. 5-246.

[24] Иванов А. Д. Конечные уравнения четырехмерных тканей Боля // Сборник статей по дифференциальной геометрии. Калинин. Калининский гос. унив. 1974. C. 70-78.

[25] Иванов А. Д. О четырехмерных тканях Боля эллиптического и гиперболического типов // Изв. вузов. Матем. 1975. № 9. C. 25-34.

[26] Иванов А. Д. О четырехмерных тканях Боля параболического типа // Изв. вузов. Матем. 1976. № 1. C. 42-47.

[27] Лоос О. Симметрические пространства // М.: Наука, 1985.

[28] Мальцев А.И. Аналитические лупы // Сиб. мат. журнал. 1955. № 3. C. 569-575.

[29] Нестеров А. И. Квазигрупповые идеи в физике // Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике. Труды института физики. Тарту. 1990. Т. 66. С. 107-120.

[30] Оноприенко Е. А. Об одном классе средних три-тканей Бола // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Математика, механика, физика.-2018.-№ 2. с. 31-38.

[31] Reidemeiste С. Gewebe und Gruppen. // Math. Z. 1928. 29. S. 427—435.

[32] Сабинин Л. В., Михеев П. О. Об аналитических лупах Бола // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. унив. 1982. C. 102-109.

106

[33] Сабинин Л. В., Михеев П.О. О геометрии гладких луп Бола // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. унив. 1984. C. 144-154.

[34] Сабинин Л. В., Михеев П.О. Теория гладких луп Бола // М.: Ун-т Дружбы народов, 1985. 80 с.

[35] Сейгл А. А. Mal'cev algebras // Trans. Amer. Math. 1961. № 3. p. 426-458.

[36] Thomsen G. Un teorema topologico sulle shiere di curve e una caratterizzazione geometrica delle superficie isotermo-asintotiche. // Unione mat. ital. 1927. 6. S. 80—85.

[37] Трофимов В. В. Введение в геометрию многообразий с симметриями // М.: МГУ, 1989.

[38] Федорова В. И. О три-тканях с частично-кососимметричным тензором кривизны // Изв. вузов. Матем. 1976. № 11. C. 114-117.

[39] Федорова В. И. Об одном классе три-тканей W с частичнокососимметричным тензором кривизны // Укр. геом. сб. 1977. № 20. C. 115-124.

[40] Федорова В. И. Об условии, определяющем многомерные три-ткани Боля // Сиб. мат. журнал. 1978. № 19. C. 922-928.

[41] Федорова В. И. Шестимерные три-ткани Боля с симметричным тензором aj // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. ун-т. 1981. С. 110-123.

[42] Федорова В. И. О классификации шестимерных три-тканей Боля // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. ун-т. 1984. С. 124132.

[43] Ферапонтов Е. В. Геометрия тканей и математическая физика //В кн.: Акивис М. А., Шелехов А. М. Многомерные три-ткани и их приложения: Монография. Тверь. Твер. гос. ун-т, 2010. C. 264-300.

107

[44] Hofmann K.H., Strambach K. Lie's fundamental theorems for local analytical loops // Pacific J. Math. 123. 1986. № 2. p. 301-327.

[45] Chern S. S. Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R2r // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1936. V. 11. № 1-2. p. 333-358.

[46] Шелехов А. М. Об аналитических решениях уравнения x(yx) = (xy)x // Матем. заметки. 1991. № 4. C. 132-140.

[47] Шелехов А. М., Оноприенко Е.А. Три-ткани Бола с ковариантно постоянным тензором кривизны // Известия ВУЗов. Математика. 2016.-№3. С. 82-92.

108