Три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Антипова, Мария Владимировна

• Антипова, Мария Владимировна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Антипова, Мария Владимировна

Оглавление

Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.2 Краткое содержание диссертации

1 Три-ткани Бола

1.1 Структурные уравнения многомерной три-ткани У/

1.2 Структурные уравнения средней ткани Бола

1.3 Шестимерные три-ткани Бола

2 Три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга

2.1 Многомерные три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга

2.2 Восьмимерные гиперболические ткани БВ^ первого типа

2.3 Некоторые свойства гиперболических три-тканей Бола БВ^ первого типа

2.4 Восьмимерные ткани ЗВ^ второго типа

2.5 Некоторые свойства восьмимерной три-ткани Бола БВ^ второго типа

2.6 Восьмимерные параболические ткани БВ^ первого типа

2.7 Некоторые свойства восьмимерных параболических тканей

первого типа

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга»

Введение

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В теории многомерных три-тканей большую роль играют условия замыкания различных конфигураций, которые позволяют провести классификацию тканей. В конце 20-х годов XX века В. Бляшке и его ученики — Г. Томсен, К. Рейдемейстер, Г. Бол показали, что условиям замыкания на криволинейной три-ткани W конфигураций определенного вида, образованных линиями этой ткани, соответствуют некоторые тождества, выполняемые в координатной квазигруппе этой ткани и в её координатных лупах. В работах [40] и [18], посвященных этой теории, появилось условие шестиугольности (Н). Затем в работе [35] были рассмотрены новые условия замыкания, названные впоследствии условиями Томсена и Рейдемейстера, и показано, что эти условия связаны с групповыми свойствами три-ткани. Наконец, в работе [19] были введены еще три условия замыкания — условия Бола.

Дифференциальные уравнения три-ткани W(r,r,r) общего вида, образованной тремя слоениями коразмерности г на гладком многообразии размерности 2г, и некоторых специальных классов таких три-тканей были впервые найдены в середине тридцатых годов XX века в работе [52] С. Черна. М.А. Акивис в [1] нашел вид структурных записал структурные уравнения ткани W(r,r,r) в современной инвариантной форме, что позволило записать результаты Черна в более лаконичном виде, и эффективно исследовать некоторые специальные классы тканей

(трансверсально-геодезические, изоклинные и др). Методами, разработанными в [1], получены все существенные результаты по теории многомерных тканей, см. монографию [6].

В [8], [9] найдены необходимые условия замыкания фигур Бола Ве, Вг и Вт на многомерной три-ткани. Они заключаются в том, что тензор кривизны ткани является симметричным по каким-либо двум нижним индексам. В работах [25], [26] А. Д. Иванов доказал достаточность этих условий для четырехмерных тканей Бола, а также провел их классификацию. В. И. Федорова в [45] доказала достаточность этих условий для произвольной размерности и провела в [46] классификацию шестимерных тканей Бола.

Теория многомерных три-тканей имеет многочисленные приложения в разных разделах математики и физики, см. об этом в [17], [6]. Это важное обстоятельство объясняется тем фактом, что три-ткань вполне определяется своим уравнением г = ¡(х,у), связывающим параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Другими словами, три-ткань есть геометрическая модель функции двух переменных г = ¡(х,у). Например, в [49] Е. В. Ферапонтов описал систему трех дифференциальных уравнений гидродинамического типа, характеристики которой образуют на любом решении шестиугольную три-ткань. В этом случае система будет слабо нелинейной и полугамильтоновой.

Уравнение три-ткани можно рассматривать как бинарную операцию, квазигруппу или лупу. Это дает возможность применять методы теории тканей при изучении свойств гладких квазигрупп и луп, что расширяет область применения теории три-тканей. Например, в работе [34] А. И. Нестеров проанализировал возможности применения квазигрупповых идей в различных областях теоретической физики (теория поля, общая теория относительности, динамические симметрии и т.д.).

Наибольший интерес представляют квазигруппы и лупы, близкие, в определенном смысле, к группам Ли. Впервые гладкие лупы такого рода начал изучать А. И. Мальцев. В работе [31] он рассмотрел аналитические локальные альтернативные лупы. Он показал, что эти лупы вполне определяются инфинитезимальным объектом - бинарно-лиевой алгеброй, и "что классическое соответствие между аналитическими локальными группами и алгебрами Ли, устанавливаемое тремя основными теоремами Ли, в полной мере имеет место между аналитическими альтернативными локальными лупами и бинарно-лиевыми алгебрами". Как установил А. И. Мальцев, для аналитических альтернативных луп и, в частности, для луп Муфанг справедлива формула Кэмпбелла—Хаусдорфа, причем коммутатор в ней удовлетворяет некоторому кубическому соотношению, называемому тождеством Сейгла [39]. Лупам Муфанг соответствуют ткани Муфанг, геометрия которых описана в работе М. А. Акивиса и

A.M. Шелехова [6].

Обобщением луп Муфанг являются лупы Бола (левые, правые и средние), которые являются алгебраическим аналогом тканей Бола соответствующего типа. Известно, например, пространство скоростей С.Т.О. является лупой Бола относительно закона сложения скоростей. В работе [38] Л. В. Сабинин и П. О. Михеев показали, что гладким лупам Бола соответствует инфинитезимальный объект - алгебра Бола, в которой помимо бинарной операции есть и тернарная операция, причем эти операции связаны весьма сложными соотношениями. Отметим, что в теории тканей Бола эти соотношения (в несколько ином виде) были найдены

B.И. Федоровой. В работе [21] Т. Б. Буэту классифицировал разрешимые трехмерные тройные системы Ли (частный случай алгебр Бола), а также привел примеры алгебр Бола с трилинейными операциями разрешимого типа. Для каждого типа алгебр он нашел соответствующие три-ткани.

Вследствие сложного строения алгебр Бола изучение геометрических свойств тканей Бола и их локальная классификация также весьма сложны. В частности, не до конца классифицированы даже шестимерные ткани Бола. В настоящей работе дается подход к классификации многомерных средних тканей Бола с тензором кривизны минимального ранга. Описываются некоторые геометрические свойства таких тканей и подробно изучаются восьмимерные ткани.

Теория тканей Бола тесно связана с теорией симметрических пространств. В 1926 г. в своей работе [27] Э. Картан положил начало исследованию симметрических пространств, которые играют важную роль в дифференциальной геометрии и её приложениях. В [36] Л. В. Сабинин и И.О. Михеев показали, что геодезическая лупа локально симметрического пространства аффинной связности удовлетворяет левому тождеству Бола, и что лупа, удовлетворяющая левому тождеству Бола и тождеству автоморфной обратимости (аЬ)-1 = является алгебраическим ана-

логом симметрического пространства. Хорошо известна связь локально симметрических пространств с тройными системами Ли, см. работы [30], [42].

Указанная симметрическая структура описывается на тканях Бола так называемой сердцевиной. Понятие сердцевины ткани Бола было введено В.Д. Белоусовым в [14] для абстрактных тканей, являющихся аналогом квазигруппы или лупы Бола без топологической или гладкой структуры. Для многомерных тканей Бола сердцевина полностью задает структуру симметрического пространства, возникающего на базе одного из слоений этой ткани [6]. Поэтому, нахождение сердцевины является важной частью изучения геометрии тканей Бола. В диссертации мы находим сердцевины для трех классов восьмимерных тканей Бола с тензором кривизны минимального ранга.

Как показано в [53], ткани Бола содержат подкласс эластичных тканей (ткани Е), в координатных лупах которых выполняется тождество эластичности х(ух) = (ху)х. Там же показано, что четырехмерные эластичные ткани являются групповыми (тривиальный случай), а шестимерных не групповых тканей Е всего две. Примеров эластичных тканей большей размерности в математической литературе нам не встречалось. В настоящей работе найдены некоторые классы восьмимерных тканей Бола и показано, что все они являются тканями Е.

Из вышеизложенного вытекает актуальность выбранного направления исследований — изучения тканей Бола специального вида.

Цель работы: изучить средние три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга, описать их геометрические свойства и провести классификацию. Более подробно изучить восьмимерные ткани указанного вида.

Основные задачи исследования:

— определить класс многомерных средних три-тканей Бола с тензором кривизны минимального ранга (ткани 8Вт), найти структурные уравнения таких тканей;

— с помощью структурных уравнений описать основные классы три-тканей 8Вт\

— классифицировать восьмимерные ткани 8Вт, найти структурные и конечные уравнения каждого из классов тканей основного типа

— описать основные свойства каждого из классов тканей БВ^, в частности, найти их сердцевины и доказать, что ткани БВ^ являются тканями Е.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Определен класс многомерных средних три-тканей Бола с тензором кривизны минимального ранга, найдены и исследованы структурные уравнения тканей SBm, выделены основные классы таких тканей.

2. Показано, что существует три основных класса восьмимерных тканей SBm, найдены структурные и конечные уравнения каждого из классов тканей SB^.

3. Исследованы основные свойства каждого из классов тканей SBв частности, найдены их сердцевины и доказано, что ткани SB^ являются тканями Е.

Методы исследования. В теории многомерных три-тканей Бола применяются методы тензорного анализа, внешнее дифференциальное исчисление, теория связностей, теория групп Ли, теория симметрических пространств, методы проективной и аффинной геометрии и т.д. Основным методом исследования является метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана, адаптированный М. А. Акивисом, В.В. Гольдбергом, A.M. Шелеховым и др. для изучения теории многомерных три-тканей. Результаты, полученные в работе, имеют, в основном, локальный характер.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов в рамках специализации по геометрии тканей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях (в хронологическом порядке):

— вторая Российская школа-конференция с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, декабрь 2010 г.);

— геометрический семинар кафедры геометрии Московского педагоги-

ческого государственного университета, рук. В. Ф. Кириченко (апрель 2011 г.);

— международная конференция «Геометрия в Одессе — 2011» (Украина, Одесса, май 2011 г.);

— международный геометрический семинар имени Г. Ф. Лаптева «Лап-тевские чтения — 2011» (Пенза, сентябрь 2011 г.);

— геометрический семинар кафедры функционального анализа и геометрии Тверского государственного университета, рук. А. М. Шелехов (апрель, октябрь 2011 г.);

— международная конференция «Геометрия в Одессе — 2012» (Украина, Одесса, май 2012 г.);

— XI молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2012» (Казань, ноябрь 2012 г.);

— международная школа-конференция «Геометрия. Управление. Инварианты» (Москва, декабрь 2012 г.);

— третья Российская школа-конференция с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, февраль 2013 г.);

— международная конференция «Геометрия в Одессе — 2013» (Украина, Одесса, май 2013 г.)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах, 4 тезиса докладов:

1. Хныкина М. В. Об одном классе шестимерных тканей Бола // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании: Материалы второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых: статьи, обзоры, тезисы докладов. Тверь: ТвГУ. 2010. С. 305-309.

2. Хныкина М. В. О тканях Бола с почти нулевым тензором кривизны

// Тезисы докладов международной научной конференции «Геометрия в Одессе - 2011». Одесса, 2011. С. 65.

3. Антипова М. В. О тканях Бола с почти нулевым тензором кривизны // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2011. № 26. С. 28-34. (журнал из списка ВАК)

4. Антипова М. В. О восьмимерных средних тканях Бола с единственной ненулевой компонентой тензора кривизны // Тезисы докладов международной научной конференции «Геометрия в Одессе — 2012». Одесса, 2012. С. 36.

5. Антипова М. В. Параболические ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. Лобачевские чтения — 2012: материалы XI молодежной школы-конференции. Казань, 2012. Т. 45. С. 8.

6. Антипова М. В. Об одном приложении теории многомерных три-тканей // Вестник Тверского государственного университета. Серия «Прикладная математика». Тверь: Твер. гос.ун-т, 2012. № 32. С. 81-89. (журнал из списка ВАК)

7. Антипова М. В., Шелехов А. М.Восьмимерные ткани Бола с почти нулевым тензором кривизны// Изв. ВУЗов. Математика. 2013. № 2. С. 3-15. (журнал из списка ВАК)

8. Антипова М. В. Об одном примере восьмимерной эластичной три-ткани // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании. Третья Российская школа-конференция для молодых ученых: Тезисы докладов. Тверь: Твер. гос.ун-т, 2013. С. 8.

9. Антипова М. В. Примеры эластичных восьмимерных тканей Бола с тензором кривизны минимального ранга // Тезисы докладов между-

народной научной конференции «Геометрия в Одессе — 2013». Одесса, 2013. С. 31.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 126 страницах печатного текста, состоит из введения, двух глав, включающих 10 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 53 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

0.2 Краткое содержание диссертации

Первая глава «Три-ткани Бола» содержит необходимый для дальнейшего теоретический материал из монографии [6] и некоторые предварительные исследования шестимерных тканей Бола.

В § 1.1 «Структурные уравнения многомерной три-ткани У/» приводится определение многомерной три-ткани, выводятся ее структурные уравнения и находятся соотношения между тензорами кручения и кривизны. Определяется эквивалентность тканей, вводятся понятия координатной квазигруппы и лупы ткани, канонической связности (связности Черна), УК-алгебры (алгебры Акивиса), определяемой тензорами кручения и кривизны ткани. Рассмотрены два важнейших класса тканей, которые неоднократно будут встречаться в работе: регулярные или параллелизуемые ткани, эквивалентные параллельной ткани, и групповые ткани, определяемые группой Ли. Эти ткани характеризуются обращением в нуль тензоров кривизны и кручения или одного тензора кривизны соответственно. Детально рассмотрен вопрос о подтканях многомерных тканей, высекаемых на слоями ткани IV на ее трансверсальных подмногообразиях. Наконец, рассмотрены условия замыкания на три-ткани некоторых конфигураций, образованных слоями ткани, а именно, конфигураций Н (шестиугольных), Т (конфигураций Томсена), Л (Рейдемейстера), левых, правых и средних конфигураций Бола. С помощью условий замыкания опреде-

ляются основные классы тканей: соответственно, ткани шестиугольные, регулярные, групповые, левые, правые и средние Бола.

В § 1.2 «Структурные уравнения средней ткани Бола» рассматриваются средние ткани Бола — основной объект изучения в диссертации. Приведено подробное описание средней конфигурации Бола Вт, условия замыкания конфигурации Вт описаны с помощью соотношений в координатой квазигруппе ткани (условные тождества (1.40)) и с помощью универсального тождества (1.41), выполняемого в координатных лупах ткани. Тензорная характеристика средних тканей Бола, найденная В.И. Федоровой, состоит в том, что тензор кривизны этой ткани кососимметричен по двум последним нижним индексам: = 0 (теорема 1.5). Структурные уравнения ткани Вт записаны специальным образом (уравнения (1.44)). С их помощью доказывается (теоремы 1.9 и 1.10), что на базе третьего слоения средней ткани Бола возникает структура симметрического пространства. Здесь же доказывается, что С-структура, определяемая средней тканью Бола, является замкнутой, и приведено выражение ковариантных производных тензора кривизны ткани Вт через тензоры кручения и кривизны. Полная тензорная характеристика ткани Вт и ее касательной алгебры дается теоремами 1.7 и 1.8.

Далее определяется сердцевина ткани Бола, которая описывает симметрическую структуру, связанную с тканью Вт. В заключение параграфа определяется специальный подкласс тканей Вт — ткани Е, на которых замыкаются конфигурации Е. Дано описание условий замыкания Е с помощью условного тождества (1.62), указаны соотношения, связывающие тензоры кручения и кривизны ткани Е (теорема 1.13).

В § 1.3 «Шестимерные три-ткани Бола» сначала излагаются результаты В.И. Федоровой, которая с помощью дискриминатных тензоров заменяет тензоры кручения и кривизны ткани Бола на новые тензоры, валентность

которых на единицу меньше. Это позволяет классифицировать шестимерных ткани Бола по типу двухвалентного тензора агз. Результаты В. И. Федоровой изложены в теоремах 1.9 — 1.12.

Далее приводятся результаты А. М. Шелехова о шестимерных тканях Е. Согласно [53], существует всего две такие ткани: ткань Е\ с симметричным тензором аг° ранга 1, которая найдена В. И. Федоровой в [46], и ткань Е2 с несимметричным тензором агз ранга 1, которая найдена в [53]. Мы записываем структурные уравнения ткани Еч и находим ее уравнения в некоторых локальных координатах. Затем мы доказываем следующее утверждение (теорема 1.20.): Если тензор кривизны шестимерной средней ткани Бола имеет в некотором базисе единственную существенную ненулевую компоненту, то эта компонента имеет вид Ъгпк, где индексы г,^, к все различны. Этот факт дает основание ввести понятие тензора кривизны минимального ранга.

Во второй главе «Три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга» определены средние три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга, описаны их геометрические свойства, и проведена классификация восьмимерных тканей указанного вида.

В § 2.1 «Многомерные три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга» дано определение многомерной средней три-ткани Бола 5БТО с тензором кривизны минимального ранга.

Тензор Ь типа (1,3) вида Ь = А(8>а!<8>/?®7, где А — вектор, а а, /3, 7 — ковекторы, назван тензором минимального ранга; в частности, если выполняются соотношения а (А) = 0,/3(А) = 0,7(А) = 0, — специальным тензором минимального ранга.

Доказано (теорема 2.1) что существует базис, в котором тензор минимального ранга имеет единственную ненулевую компоненту Ьгк£, где г ф

Кососимметричный тензор b типа (1,3) вида Ъ = \<g>a(/3®7 — 7<S>/3), где Л, а, ¡3, 7 имеют значения как и выше, назван кососимметричным тензором минимального ранга; в частности, если выполняются соотношения а(А) = О, /3(Х) = О, 7(A) = 0, — кососимметричным специальным тензором минимального ранга. Существует базис, в котором кососимметричный тензор минимального ранга имеет всего две ненулевые компоненты.

В диссертации рассматриваются средние ткани Бола, у которых тензор кривизны есть кососимметричный специальный тензор минимального ранга с дополнительным свойством а = /3: 6 = А фа (а (8)7 — 7® а;). Такие ткани обозначены символом SBm.

Рассматривается базис, в котором тензор кривизны ткани имеет единственную ненулевую компоненту 6323 — Ь — const.

В этом базисе ткань SBm определяется следующей замкнутой системой структурных уравнений (теорема 2.3):

dwl = w2 Л Wo + 2ai9c^1 Л ы2 + 2aLu2 А и3 + 2ciLuj2 А ши+

1 1 z iZ 1 1 zci 1 1 zw 1 1

+ 2aLu3 АшЧ alvuu A uv, du2 = 0, du3 = 0, 1 uvi 1 1 1

dwu = 2a^co1 Aw2 + 2<w2 Aw4 2а^ы3 Л а/Ч

1 121 1 1 1 6V1 1

1 vwi 1

(¿ш1 = ы2 Л Ыо - га^а;1 Л w2 - 2aLw2 Лш3- 2aLcu2 Л

2 2 22 2 2 2 2

— Лш" - а^сУ Л u/\ doj2 = 0, dw3 = 0,

2 2 2 2 2 2

= -га^1 Л ы2 - 2al,LU2 А иf - 2<w3 AUJv — 2 x 2 2 22 0 2 2

- 2dooU2 Au3- auvwuv A UJw, 2 2 u№2 2

= K^2 Лш3-ш3А w2), da\z = - u2),

X 2 1 2 1 2

Здесь и далее i,j,k = 1,2,3, t,u,v,w,z = 4, ...г, а величины кроме Й23, постоянны.

Доказана

Теорема 2.4. Рассматриваемая ткань ЗВт с единственной ненулевой компонентой тензора кривизны Ь223 7^ 0 расслаивается на оо4 (2г — 4) -мерных нормальных групповых подтканей а ткань

БВт представляет собой полупрямое произведение ткани ЗВт{Сх\) на четырехмерную регулярную подткань \¥\. Кроме того, ткань ЗВт(С\) расслаивается на оо2г_6 двумерных нормальных регулярных подтканей ЗВт{Н{), причем ткань 5ВТО(С 1) представляет собой полупрямое произведение регулярной двумерной ткани 3 Вт(кН\) на групповую ткань

звт(С).

Подкласс тканей 5Бт, для которых выполняются соотношения а\2 — О, «23 = 0, мы обозначили 3\Вт. Найдены структурные уравнения тканей ¿хДп. Доказана

Теорема 2.5. Всякая три-ткань 3\Вт расслаивается на оо2г_6 шестимерных подтканей В^. Это свойство характеризует подкласс тканей 3\Вт в классе тканей ЗВт.

Подкласс три-тканей 3\Вт, определяемых соотношениями а\2 = О, а23 = 0. аиУ = 0, мы обозначили ¿^Дп- Найдены структурные уравнения тканей 52Вт. Доказана

Теорема 2.6. Многоообразие М три-ткани ¿гД« представляет собой прямое произведение трансверсально-геодезических многообразий М2 и Мч, а сама ткань бгДп расслаивается на оо2г_6 шестимерных подтканей В^ расположенных на многообразиях М2, и на оо6 (2г —6)-мерных групповых подтканей, определяемых группой С, расположенных на многообразиях Мъ- Указанные свойства характеризуют подкласс тканей ¿гДп в классе тканей ЗВт.

Подкласс три-тканей ^гДп, определяемых соотношениями а\2 = 0, а23 = 0, а^ = 0, а2и = 0, а\и = 0, мы обозначили 33Вт. Найдены структурные уравнения тканей ¿зДп. Для тканей З^Вт справедлива Теорема

2.6 с добавочным условием, что ткань БВт(С) является нормальной под-тканью.

Подкласс три-тканей 52Вт, определяемых соотношениями а"2 = О, ^23 = 0. аиь = 0> а2у = О- а3ь = мы обозначили Б±Вт. Найдены структурные уравнения тканей Б±Вт. Для тканей БьВт справедлива Теорема 2.6 с добавочным условием, что ткань В^ является нормальной подтканью.

Подкласс три-тканей 8Вт, определяемых соотношениями а\и = а\и = = а^ = 0, а"2 = а2г; = а^ = а23 = 0, мы обозначили Б^Вт. Найдены структурные уравнения тканей Б^Вт. Для тканей ¿5Вт доказана

Теорема 2.7 Ткань БьВт представляет собой прямое произведение шестимерной ткани Бола В^ и групповой ткани, порожденной группой Ли. Это свойство характеризует подкласс тканей Б^Вт в классе тканей БВт-

В § 2.2 «Восьмимерные гиперболические ткани БВ^ первого типа» рассмотрены ткани БВт на многообразии размерности 8, мы обозначаем их БВВ случае г = 4 величины аг-к связаны соотношениями

а12а43 = а34а12 + а34а42 + а42а43 = а12а43 = 0'

Возможны два случая: а\2 ф 0 и а\2 = 0. Ткани БВдля которых

0-12 Ф °> а43 = а43 =

мы назвали тканями БВ^ первого типа, а ткани БВдля которых

а12 = Йз4а}2 + 4^42 + а42а43 =

назвали тканями БВ^ второго типа.

С тканями первого типа связано некоторое характеристическое уравнение а24Л2+Л(а24+а}2)+а|2 = 0. Ткани, для которых корни этого уравнения вещественные и различные, мы назвали гиперболическими, для которых корни совпадают — параболическими. Найдены структурные и конечные уравнения гиперболических тканей БВ^, исследована соответствующая

16

этой ткани алгебра Ли А\, определяемой тензором кручения агк. Верны следующие утверждения.

Теорема 2.8. Существует двупараметрическое семейство тканей вВ^ первого типа. В некоторых локальных координатах их уравнения имеют вид:

21 + е-^У + т(Л1) • (х2у3 - х3у% г2 =х2 + г/2, г3 =хъ + у3,

=а;4 + е~к^[уА + т(Л2) • (х2у3 - х3у% где обозначено т{\ 1) = /с^1ЬЛ1,т(Л2) = к21Ь\2.

Теорема 2.9. Алгебра Ах является разложимой алгеброй вида рзд+дъ где дзд - трехмерная алгебра Ли с умножением [ёьёг] = ё\, [¿4,82] = кё^ — 1<к<1,ад1~ одномерная алгебра Ли с базисом {ез}.

В § 2.3 «Некоторые свойства гиперболических три-тканей Бола вВ^ первого типа» 1) доказана эластичность гиперболических три-тканей Бола БВ^ первого типа путем непосредственной проверки условий (1.62), означающих замыкание произвольной фигуры Е\ 2) исходя из уравнений, указанных выше в теореме 2.8, найдены компоненты тензоров кручения и кривизны; 3) найдены уравнения сердцевины гиперболической ткани БВ^ первого основного типа:

4 =4 - - 4),

4 — г2, г\ = 2^3 — г^,

=4 - - 4).

В § 2.4 «Восьмимерные ткани БВ^ второго типа» рассматриваются восьмимерные ткани ЗД^ второго типа, для которых выполняются соотношения а\2 = 0, 0*34<2.12 + аз4а42 + а42а43 = О- Найдены структурные и конечные уравнения этих тканей, исследована соответствующая этой ткани алгебра Ли А2. Верны следующие утверждения.

Теорема 2.10. Существует двупараметрическое семейство тканей БВ^ второго типа. В некоторых локальных координатах их уравнения имеют вид

г1 =х1 + е2х\у1 + х3у2 - у3х2), =х2 + у2,

г3 =х3 + у3, г4 =е2^2+^хА + у\

где а= -т~.

а12

Теорема 2.11. Алгебра А2 является алгеброй вида 1д2, где д2 -ненильпотентная алгебра Ли второго порядка с умножением [е^ е2] = е\, а д\ - одномерная алгебра Ли с базисом {ез}.

В § 2.5 «Некоторые свойства восьмимерной три-ткани Бола БВ^ второго типа» доказана эластичность восьмимерных тканей Бола БВ^ второго типа. Найдены компоненты тензоров кручения и кривизны, исходя из уравнений, записанных выше:

п1 - 1 п1 - р2х2 пА - а п4 - г Ь1 - -Л1 - ?р2х2 "12 — -"ч а23 ~ е 5 24 ~~ а1 а34 ~ С1 и223 ~ и232 ~

Здесь постоянные а и с могут быть любыми вещественными числами.

Устремляя их к нулю, получаем, что ткань БВ^ второго типа может

----8

быть деформирована в ткань БВт, которая представляет собой прямое произведение шестимерной ткани Бола В^ и двумерной регулярной ткани (ткань типа БъВт).

Здесь же найдены уравнения сердцевины ткани Б В^ второго основного типа.

В § 2.6 «Восьмимерные параболические ткани БВ^ первого типа» рассматривались ткани БВт, для которых корни характеристического уравнения совпадают (ткани параболического типа). Рассматриваемый класс тканей выделяется условием (а24 + а^)2 — ^а24а12 = Найдены структурные и конечные уравнения восьмимерных параболических тканей БВ^

первого типа, исследована соответствующая этой ткани алгебра Ли А3. Верны следующие утверждения.

Теорема 2.12. Существует однопараметрическое семейство параболических тканей SB^ первого основного типа. В некоторых локальных координатах их уравнения имеют вид:

z1 =х1 + ех\у1 + х2уъ - х3у2),

г2 =х2 + у2,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Антипова, Мария Владимировна, 2013 год

Литература

[1] Акивис, М. А. О три-тканях многомерных поверхностей / М. А. Аки-вис // Тр. геометр, сем. ВИНИТИ АН СССР. - 1969. - Т. 2. -С. 7-31.

[2] Акивис, М. А. Дифференциально-геометрические структуры, связанные с три-тканью / М. А. Акивис // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. унив. - 1982. - С. 3-6.

[3] Акивис, М. А. О замкнутых G-структурах на дифференцируемом многообразии / М.А. Акивис // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Пробл. геом. - 1975. - № 7. - С. 69-79

[4] Акивис, М. А. О локальных алгебрах многомерной три-ткани / М.А. Акивис // Сиб. мат. журнал. - 1976. - № 1. - С. 5-11.

[5] Акивис, М. A. Geometry and Algebra of Multidimensional Three-Webs / М.А. Акивис, A.M. Шелехов // Kluwer Academic Publishers. Dordrecht/Boston/London. - 1992. - P. 358.

[6] Акивис, М.А. Многомерные три-ткани и их приложения: Монография / М.А. Акивис, A.M. Шелехов. - Тверь. Твер. гос. ун-т. - 2010. - 308 с.

[7] Акивис, М.А. On subwebs of 3-webs and subalgebras of local Wk-algebras / M. А. Акивис, A. M. Шелехов. - Acta Math. Hungar. -1988. - № 3-4. - P. 265-271.

[8] Акивис, М. А. О вычислении тензоров кривизны и кручения многомерной три-ткани и ассоциатора связанной с ней локальной квазигруппы / М. А. Акивис, A.M. Шелехов // Сиб. мат. журнал. - 1971.

- № 5. - С. 953-966.

[9] Акивис, М. А. О локальных дифференцируемых квазигруппах и связностях, присоединенных к три-ткани / М. А. Акивис, А. М. Шелехов // Сиб. мат. журнал. - 1971. - № 6. - С. 1181-1191.

[10] Акивис М.А. Шелехов A.M. О подтканях многомерных три-тканей / М.А. Акивис, A.M. Шелехов // Сиб. мат. журнал. - 1985. - Деп. в ВИНИТИ 9.10 1985Б № 7130-В85.

[11] Антипова, М. В. О тканях Бола с почти нулевым тензором кривизны / М. В. Антипова // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. - 2011. - № 26. - С. 28-34.

[12] Антипова, М. В. Восьмимерные ткани Бола с почти нулевым тензором кривизны / М. В. Антипова // Изв. ВУЗов. Математика. - 2013.

- № 2. - С. 43-56.

[13] Антипова, М. В. Об одном приложении теории многомерных три-тканей / М.В. Антипова // Вестник Тверского государственного университета. Серия «Прикладная математика». - Тверь: Твер. гос.ун-т. - 2012. - № 32,- С. 81-89.

[14] Белоусов, В. Д. Основы теории квазигрупп и луп / В. Д. Белоусов. -М.: Наука, 1967. - 223 с.

[15] Базылев, В. Т. Геометрия дифференцируемых многообразий / В. Т. Базылев. - М.: Высш. шк., 1989. - 221 с.

[16] Белоусов, В. Д. Геометрия тканей / В. Д. Белоусов, В. В. Рыжков // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Геометрия. Топология. - 1972. - Т. 10. - С. 159-188.

[17] Бляшке, В. Введение в геометрию тканей / В. Бляшке. - М.: Физ-матгиз, 1959. - 144 с.

[18] Blaschke, W. Thomsens sechseckgewebe zueinander diagonale Netze / W. Blaschke // Math. Z. - 1927. - № 28. - S. 150-157.

[19] Bol, G. Gewebe und Gruppen / G. Bol // Math. Ann. - 1937. - № 114.

- S. 414-431.

[20] Bouetou, T.B. On Bol algebras / T.B. Bouetou // Webs and Quasigroups. Tver. Tver State Univ. - 1995. - p. 75-83.

[21] Bouetou, T.B. Классификация разрешимых тройных систем Ли размерности 3 / Т. В. Bouetou. - Деп. ВИНИТИ. 17.12.1993, № 3101.

[22] Bouetou, Т. В. On isotopy of Bol algebras / Т. В. Bouetou, P. O. Mikheev // Webs and Quasigroups. Tver. Tver State Univ. -1994. - p. 47-49.

[23] Васильева, M. В. Группы Ли преобразований / М. В. Васильева. -М.: МГПИ, 1969. - 175 с.

[24] Иванов, А. Д. Конечные уравнения четырехмерных тканей Боля / А. Д. Иванов // Сборник статей по дифференциальной геометрии. Калинин. Калининский гос. унив. - 1974. - С. 70-78.

[25] Иванов, А. Д. О четырехмерных тканях Боля эллиптического и гиперболического типов / А. Д. Иванов // Изв. вузов. Матем. - 1975.

- № 9. - С. 25-34.

[26] Иванов, А. Д. О четырехмерных тканях Боля параболического типа / А. Д. Иванов // Изв. вузов. Матем. - 1976. - № 1. - С. 42-47.

[27] Cartan, Е. Les groupes d'holonomie des espaces generalises / E. Cartan // Acta. math. - 1926. - 48. - P. 1-42.

[28] Кириченко, В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / В. Ф. Кириченко. - М.: Моск. педагогич. гос. ун-т, 2003. - 495 с.

[29] Лаптев, Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии / Г.Ф. Лаптев // Тр. геометр, сем. ВИНИТИ АН СССР. - 1966. - Т. 1. - С. 139-189.

[30] Лоос, О. Симметрические пространства О. Лоос. - М.: Наука, 1985.

[31] Мальцев, А. И. Аналитические лупы / А. И. Мальцев // Сиб. мат. журнал. - 1955. - № 3. - С. 569-575.

[32] Сабинин, Л. В. Гладкие квазигруппы и геометрия Л. В. Сабинин, П. О. Михеев // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. - 1988. - Т. 20. - С. 75-110.

[33] Мубаракзянов, Г. М. О разрешимых алгебрах Ли / Г. М. Мубарак-зянов // Изв. вузов. Матем. - 1963,- № 1. - С. 114-123.

[34] Нестеров, А. И. Квазигрупповые идеи в физике / А. И. Нестеров // Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике. Труды института физики. - Тарту. - 1990. - Т. 66. - С. 107-120.

[35] Reidemeiste, С. Gewebe und Gruppen / С. Reidemeiste // Math. Z. -1928. - № 29. - S. 427-435.

[36] Сабинин, Л. В. Об аналитических лупах Бола / Л. В. Сабинин, П. О. Михеев // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. унив. - 1982. - С. 102-109.

[37] Сабинин, Л. В. О геометрии гладких луп Бола / Л. В. Сабинин, П. О. Михеев // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. унив. - 1984. - С. 144-154.

[38] Сабинин, JI. В. Теория гладких луп Бола / Л. В. Сабинин, И.О. Михеев. - М.: Ун-т Дружбы народов, 1985. - 80 с.

[39] Сейгл, A.A. Mal'cev algebras / A.A. Сейгл // Trans. Amer. Math. -1961. - № 3. - P. 426-458.

[40] Thomsen, G. Un teorema topologico sulle shiere di curve e una caratterizzazione geometrica delle superficie isotermo-asintotiche / G. Thomsen // Unione mat. ital. - 1927. - № 6. - S. 80-85.

[41] Толстихина, Г. A. О сердцевине координатной квазигруппы некоторой шестимерной три-ткани Боля / Г. А. Толстихина // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. ун-т. - 1990. - С. 18-22.

[42] Трофимов, В. В. Введение в геометрию многообразий с симметриями / В. В. Трофимов. - М.: МГУ, 1989.

[43] Федорова, В. И. О три-тканях с частично-кососимметричным тензором кривизны / В. И. Федорова // Изв. вузов. Матем. - 1976. -№ 11. - С. 114-117.

[44] Федорова, В. И. Об одном классе три-тканей Wq с частично-кососимметричным тензором кривизны / В. И. Федорова // Укр. геом. сб. - 1977. - № 20. - С. 115-124.

[45] Федорова, В. И. Об условии, определяющем многомерные три-ткани Боля / В. И. Федорова // Сиб. мат. журнал. - 1978. - № 19. -С. 922-928.

[46] Федорова В. И. Шестимерные три-ткани Боля с симметричным тензором aij / В. И. Федорова // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. ун-т. - 1981. - С. 110-123.

[47] Федорова В. И. Об интерпретации шестимерной три-ткани Боля в трехмерном проективном пространстве / В. И. Федорова // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. ун-т. - 1982. - С. 142-148.

[48] Федорова, В. И. О классификации шестимерных три-тканей Боля / В. И. Федорова // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. ун-т. - 1984. - С. 124-132.

[49] Ферапонтов, Е. В. Геометрия тканей и математическая физика / Е. В. Ферапонтов // В кн.: Акивис М. А., Шелехов A.M. Многомерные три-ткани и их приложения: Монография. - Тверь. Твер. гос. ун-т, 2010. - С. 264-300.

[50] Хныкина, М. В. Об одном классе шестимерных тканей Бола / М. В. Хныкина // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании: Материалы второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых: статьи, обзоры, тезисы докладов. - Тверь: ТвГУ, 2010. - С. 305-309.

[51] Hofmann, К. Н. Lie's fundamental theorems for local analytical loops / K.H. Hofmann, K. Strambach // Pacific J. Math. - 1986. - № 2. -p. 301-327

[52] Chern, S. S. Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R2r / S. S. Chern // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. - 1936. - V. 11. - № 1-2. -P. 333-358.

[53] Шелехов, А. M. Об аналитических решениях уравнения х(ух) = (а:у)х / A.M. Шелехов // Матем. заметки. - 1991. -№ 4. - С. 132-140.