Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Толстихина, Галина Аркадьевна

• Толстихина, Галина Аркадьевна
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Толстихина, Галина Аркадьевна

Введение

0.1 Общая характеристика работы.

0.2 Обзор содержания диссертации.

1 Основные понятия теории три-тканей W(p,q,p -f q — 1)

1.1 Изотопия координатных группоидов три-ткани W(p,q, г)

1.2 Координатный моноид три-ткани W(p,q,p -f q — 1) • • • •

1.3 Обобщенные конфигурации Рейдемейстера на три-ткани W(p,q,p + q- 1).

1.4 Сердцевина три-ткани Рейдемейстера WR(p, q).

1.5 Тождество обобщенной ассоциативности.

2 Геометрические и алгебраические структуры, порождаемые три-тканью W(p, q,p + q — 1)

2.1 (р + 1)-ткани W(a,х) и (q + 1)-ткани W(b,у), индуцируемые три-тканью W(p, q,p + q — 1).

2.2 Отображения ф\ и fo.

2.3 Автоморфизмы три-ткани WR(p, <?)

2.4 Параллелизуемость тканей W(a,x) и W(b:у), индуцируемых три-тканью WR(p, q).

2.5 Три-ткани WR(l,q).

2.6 Три-ткань W(6,у), индуцированная три-тканью 2).

2.7 4-ткань W(b, у), индуцированная три-тканью WR(1,3)

3 Структурные уравнения три-ткани W(p, q,p + q - 1)

3.1 Структурные уравнения три-ткани W(p, q, г).

3.2 Структурные уравнения три-ткани

W(P,qlP + q- 1).

3.3 Три-ткани W(p,q,p + q—l) с нулевыми формами кривизны

3.4 Структурные уравнения тканей W(b, у) и W{a, ж)

3.5 Структурные уравнения три-ткани WR(p,q) и их интегрирование

4 Три-ткани Am, А(/ + m - 1))

4.1 Координатый моноид три-ткани W(Xl, Am, А(/ + m — 1))

4.2 Обобщенные конфигурации Рейдемейстера на три-ткани W(\l, Am, А(/ + m — 1)).

4.3 Сердцевина три-ткани WR(Xl, Am, А(/ + m — 1))

4.4 Обобщенная ассоциативность в координатных моноидах три-ткани WR(Xl, Am, X(l + m — l)).

5 Три-ткани GW(p,q,q), порождаемые группами Ли преобразований

5.1 Три-ткани, порождаемые группами Ли

5.2 Конфигурации Рейдемейстера на три-ткани GW(p, q, q)

5.3 Сердцевина три-ткани GW(p, q, q) и инварианты группы преобразований.

5.4 Координатный моноид три-ткани W(p, mp, rap).

5.5 Три-ткани, порождаемые аффинной и проективной группами

5.6 Вложение три-ткани GW(p, q, q) в групповую три-ткань

5.7 Структурные уравнения три-ткани GW(p,q,q).

6 Три-ткани Бола Bi(p,q,q)

6.1 Квазигруппы Бола преобразований и определяемые ими три-ткани

6.2 Обобщенные левые конфигурации Бола на три-ткани W(p,q,q).

6.3 Тождество обобщенной альтернативности.

6.4 Структурные уравнения три-ткани W(p, q,q).

6.5 Структурные уравнения три-ткани Бола Б/ (p,q,q)

6.6 Пример три-ткани Бола 5/(2,3,3).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей»

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Основы дифференциально-геометрической теории три-тканей были заложены участниками гамбургского геометрического семинара, руководимого Вильгельмом Бляшке (1926-1928 годы). Бляшке, его ученики и коллеги, среди которых наиболее известны имена Бола, Рейдемейстера и Томсена, изучали, в основном, криволинейные три-ткани на плоскости, которые в некоторой области N С R2 могут быть заданы уравнениями х = const, у = const и линиями уровня гладкой функции f{x,y), z = f(x,y) = const. Они определили различные типы конфигураций на криволинейной ткани и выделили классы тканей, на которых замыкаются конфигурации того или иного типа. Оказалось, что каждый класс тканей характеризуется выполнением некоторого тождества в так называемых координатных лупах ткани. Основные результаты этих исследований были опубликованы в монографии [29], в книге [28], а также в многочисленных обзорах, см., например, [27] и [7]. Указанные геометрические и алгебраические конструкции были позже обобщены С. Черном и М.А. Акивисом для многомерных три-тканей W(r,r,r), образованных тремя r-мерными слоениями на дифференцируемом многоообразии размерности 2г [103], [4].

Дифференциально-геометрическую теорию тканей W(p,q,r), образованных слоениями разных размерностей, начали развивать М.А. Аки-вис и В.В. Гольдберг [10], [11]. Для каждого из трех возможных случаев {р < q < г, q < г < р, г < р < q) они нашли структурные уравнения ткани, определили тензоры кручения и кривизны, выяснили геометрический смысл обращения в нуль тензора кручения и некоторых его подтеизоров. В.В. Гольдберг в [37] определил некоторые специальные классы три-тканей W(p,q,r), названные им траисверсально-геодезическими, шестиугольными и групповыми, и нашел соответствующие тензорные характеристики для каждого из трех указанных выше соотношений между размерностями. В работах других авторов изучались некоторые дифференциально-геометрические свойства многомерных (р, q, г)-тканей, см. об этом в [27], [33] и [86]. Однако, вследствие разной размерности слоев, образующих ткань, оказалось невозможным непосредственно обобщить для тканей W(p, q, г) основные понятия классической теории три-тканей (координатная лупа, конфигурация, ассоциативность и т.д.) и, следовательно, реализовать в полной мере идеи Бляшке и Бола о взаимосвязи алгебраических и геометрических свойств тканей. Таким образом, возникла проблема обобщения основных алгебраических и геометрических понятий классической теории тканей для тканей, образованных слоениями разных размерностей.

Актуальность этой проблемы определяется не только внутренними потребностями теории тканей, стремлением к завершенности и полноте, но и многочисленными приложениями теории многомерных три-тканей в разных разделах математики и физики, см. об этом в [28], [16], [86]. Наиболее важные приложения связаны с тем обстоятельством, что три-ткань W(r, г, г) представляет собой геометрический аналог локальной гладкой квазигруппы или лупы, вообще говоря, неассоциативной. Это позволило применить полученные методами теории тканей результаты в тех разделах математики и физики, где активно используются неассоциативные методы [46], [50], [51], [60]-[62], [96]-[98]. Заметим в связи с этим, что в работе [17] уравнения ткани W(r, г, г) общего вида были записаны в контравариантной форме, наиболее удобной для физических приложений.

Однако приложения классической теории тканей ограничены тем, что в уравнении ткани z = f{x,y) переменные имеют одинаковую размерность. Очевидно, что построение аналогичной теории для гладких функций с разной размерностью переменных значительно расширяет область приложения результатов.

Цель работы. В настоящей работе рассматриваются гладкие функции / : X х Y —> Z, где Х,У, Z — дифференцируемые многообразия, вообще говоря, разной размерности,

XcR\ YCRP, ZcRp+q~r, p,q,reN, r<p + q, p < q < такие, что в каждой точке области определения ранги матриц Якоби f ^ J~

-) и (—) максимальны. С уравнением z — f(x,y) связывается адек JU С/ U ватный геометрический объект — многомерная три-ткань W(p,q,r), образованная иа многообразии М = X х Y размерности р + q тремя слоениями Xw общего положения, w = 1,2,3, [10]. Здесь Ai — q-параметрическое слоение р-мерных подмногообразий х = const, Л2 — р-параметрическое слоение g-мерных подмногообразий у — const, A3 — (р + q — г)-параметрическое слоение r-мерных подмногообразий 2 = const. При этом через каждую точку А из М проходит один и только один слой каждого слоения; любые два слоя Т\ С Ai и Т2 С А2 имеют не более одной общей точки; слои С A3 и Т\ С Ai, имеющие общую точку, пересекаются по подмногообразию размерности г — q, а слои f3cA3Hf2C А2, имеющие общую точку, пересекаются по подмногообразию размерности г — р. Цель работы состоит в исследовании алгебраических и геометрических свойствтри-тканей PF(р, q, г).--------------------

Основные понятия классической теории три-тканей и задачи исследования.

В классической теории различают плоские три-ткани (р = q = г = 1) и многомерные три-ткани (р = q = г > 1). Изучение многомерных три-тканей W(r, г, г), образованных слоениями одинаковой размерности г на 2г-мерном многообразии, было начато Г. Болом [31] и С. Черном [103]. Дальнейшее развитие этой теории связано с выходом в свет в 1955 г. книги В. Бляшке [28] (русский перевод М.А. Акивиса, 1959 год) и работ М.А. Акивиса [3], [4]. С этого периода началось активное исследование три-тканей в России. Изложение полученных результатов и библиографию см. в обзорах [27], [7], [104], [105], [39], [12], [13] и в монографии [16]. Приведем основные понятия и результаты классической теории, которые обобщаются в настоящей работе для три-тканей W(p,q, г). df df

Уравнение ткани z = fix,у), где 1 — 1 ф 0 и 1 — 1 ф 0, с одной стороох оу ны, связывает параметры слоев, проходящих через одну точку области

N С X х Y: а с другой стороны, определяет трехбазисную бинарную

9/ операцию (•) : X х Y ->• Z, z = х • у = f(x,y). Условия | —| / 0 и

С/ Ju д*\-/п Ф (J означают, что уравнение z = х ■ у локально однозначно разрешу шимо относительно каждого из своих аргументов, а потому определяет в области JV С X х Y локальную дифференцируемую квазигруппу, называемую локальной координатной квазигруппой три-ткани [3]. Продолжая идеи Ф. Клейна, предложившего классифицировать геометрии по группам Ли [45], В. Бляшке и его сотрудники изучали дифферен-циалыю-геометрические (локальные!) свойства три-тканей, инвариантные относительно локальных диффеоморфизмов х ->• а(х) = х, у-* Р(у) = у, z 7 (z) = z.

Локальные биекции а, /3 и 7 определяют замену параметров на соответствующих базах X, У и Z слоений Ai, А2 и A3 ткани. При этом уравнение z = f(x,y) ткани преобразуется к виду

Тройка локальных биекций (а,/3,7) называется изотопическим преобразованием и задает изотопическое преобразование локальной координатной квазигруппы z — х-у ткани W(r,г,г) на локальную координатную квазигруппу z = х-у = f(x,y) ткани W(r,r,r). Ткани W(r,r:r) и Ж (г, г, г) называются эквивалентными.

Отношение эквивалентности три-тканей имеет следующий геометрический смысл: при изотопических преобразованиях слои ткани W(r,r,r) переходят в слои эквивалентой ей ткапи W(r,r,r), а точки пересечения слоев ткани W(r, г, г) — в точки пересечения соответствующих слоев ткани W(r,r,r). Поэтому изотопические преобразования сохраняют инцидентность точек и слоев ткани, следовательно, сохраняют свойство конфигураций, образованных слоями ткани и их точками пересечения, быть замкнутыми. На рис. 1-6 изображены основные типы конфигураций: Я — шестиугольная конфигурация, Т — конфигурация Томсена, R — конфигурации Рейдемейстера, Bi — левая конфигурация Бола, Вг — правая конфигурация Бола, Вт — средняя конфигурация Бола. На этих и всех последующих рисунках слои первого, второго и третьего слоений ткани изображаются соответственно вертикальными, горизонтальными и наклонными линиями.

Рис. 5 Рис. 6

Опишем, например, построение конфигурации Рейдемейстера R (рис. 3), которая нам понадобится в дальнейшем. Пусть xi, Ж2 и у\, У2 — произвольные достаточно близкие слои первого и второго слоений соответственно, Mij — точка пересечения слоев Х{ и yj, i,j — 1,2, Zij — слой третьего слоения, проходящий через точку М^-, Zjj = • yj. Здесь и далее мы отождествляем слои ткани с параметрами, их определяющими. Пусть х\ еще один вертикальный слой, достаточно близкий к слою х\. Он пересекает слои 2ц и 212 соответственно в точках Мц и М\2, через каждую из которых проходит единственный горизонтальный слой, обозначим их у\ и г/2 соответственно. Слой у\ пересекает наклонный слой 221 в некоторой точке Мгъ через которую проходит единственный вертикальный слой Х2- Последний, в свою очередь, пересекает горизонтальный слой у2 в некоторой точке М22, а через нее проходит единственный наклонный слой ж 2 • у2- На произвольной три-ткани слои Х2 • У2 КХ2-У2, вообще говоря, не совпадают.

Построенная конфигурация называется конфигурацией Рейдемейстера. Если точки М22 и М-22 лежат на одном наклонном слое, то говорят, что конфигурация Рейдемейстера замыкается. Три-ткань W(r, г, г) называется тканью Рейдемейстера, если на ней замыкаются все достаточно малые конфигурации Рейдемейстера [28]. В этом случае говорят, что на ткани выполняется условие замыкания (Я), которое записывается в виде так называемого условного тождества [25]: х\ ■ у 1 = xi • у 1, Х\ • У2 = XI ■ У2, Х2 ■ У2 = Х2 • У2.

Х2 ■ У1 = Х2 • У1

Аналогичным образом определяются и другие конфигурации, изображенные на рис. 1-6. Ткани, на которых указанные конфигурации являются замкнутыми, называются, соответственно, шестиугольными тканями или тканями (Я), тканями Томсена или (Т), тканями Бола (левыми или (Bi), правыми или (Бг) и средними или (Вт)). Условия замыкания Bi, Вг и Вт не являются независимыми. В [26] доказано, что выполнение двух из этих условий влечет третье. Ткани, на которых замыкаются фигуры всех трех указанных типов, называются тканями Муфанг (М) [4].

Условию замыкания конфигураций определенного вида на три-ткани соответствует некоторое тождество, выполняемое в так называемых координатных лупах ткани. Операция (о) в координатной лупе £(a,b){°)i где а и Ъ — фиксированные слои, а 6 Ai, b G Л2, определяется на третьем слоении A3 ткани следующим образом [14]: о) : A3 х A3 —>• А3, uo^"1 f(u,b) ■ /1(а,г;), где и и v — произвольные слои третьего слоения A3, достаточно близкие к слою е = а • Ь, который, как нетрудно проверить по определению, является единичным элементом лупы (°)? т0 есть uoe — ui eov = v

Геометрический смысл операции (о) показан на рис. 7.

Рис. 7 Рис. 8

Соответствие между условиями замыкания и тождествами в координатных лупах приведено в Таблице 1. Здесь через "\"и "/"обозначены, соответственно, левая и правая обратные операции для операции (о). Таблица 1

Ткань Тождество Тензорная характеристика

T и о v = v о и а = 6 = 0

R (и о г*) о w = и о {у о w) 6 = 0

Bi (и о и) о v = и о (и о v) = 0

Br и о (v о v) = {и о v) о v *01ВД = 0

Bm и о (v \ и) = (u/v) о и <-;-<«> = о

H (и о и) о и — и о [и о и) ь1т =0

На рис. 8 проиллюстрировано доказательство для условия замыкания (R). Здесь и\ — иov,vi = vow, щ ow = (uov) ow, uov\ = uo(vow).

Перечисленные выше понятия и результаты, возникшие первоначально в теории криволинейных три-тканей, были обобщены М.А. Аки-висом для многомерных три-тканей W(r, г, г) [4]. Он же записал структурные уравнения ткани W(r, г, г) в терминах внешних форм и внешнего дифференциального исчисления [4]: dwl 1 и>3 Л и) + al-hu3 Л du){ = to3 Л 1 3 JK1 1 2 2 3 dujj = ujj A u)[ + Цк1шк A аУ i,j,k,l,. — 1,г. Здесь величины и bljkl являются тензорами и называются соответственно тензорами кручения и кривизны три-ткани. Поля тензоров аг-к и Ьг-к1 определяют три-ткань с точностью до эквивалентности [16]. Слоения Ai, Л2 и Аз ткани W(r,r,r) задаются соответственно уравнениями

Ai : = О, А2 : = О, А3 : и* + и* = 0. 1 2 12

С помощью структурных уравнений ткани можно описывать ее дифференциально-геометрические свойства в терминах канонической аффинной связности Г, определяемой на многообразии М. формами

L01 = (и>г,СОг) И V1 2

LVj =

Ш) 0 V

0 и)

I,J,K,L,. = 1,2г. Тензоры кручения RjK и кривизны Rjkl связности Г выражаются соответственно через тензоры aljk и Ьг-к1\ (

Rjk :

I V о о о \ 1 о о

О -ajfc , J

Я7 о

2 jkl

JKL <

V 2° jkl \

0 0 0 \ о 0 о 0 V о 0 0 -h1 2° jkl

2° jkl 0

Связность Г введена Черном в [103], где он нашел также тензорные характеристики многомерных три-тканей Г, R и Н. Эти результаты, а также тензорные характеристики других классов три-тканей приведены в Таблице 1. Перечисленные классы тканей описаны также в терминах касательной VF-алгебры (алгебры Акивиса) [5], обобщающей понятие алгебры Ли группы Ли. Свойства алгебры Акивиса изучались в работах [15], [32], [87], [102], [108], [109]. По заданным Ж-алгебрам путем интегрирования соответствующих структурных уравнений были найдены многочисленные примеры три-тканей различных классов: Му-фанг, Бола, шестиугольные и т.д. Этот метод впервые применен Аки-висом в работе [6] для нахождения конечных уравнений ткани Муфанг минимальной размерности.

С тканями Бола связано понятие сердцевины, введенное В.Д. Бе-лоусовым [24], [25]. В силу замыкания конфигурации Вт (см. рис. 6) положение слоя 222 не зависит от выбора вертикального слоя х\ и определяется только слоями 2ii и zi2, то есть 222 = ^(211,212). При этом функция С определяется так: 222 = 212 о (211/212) [25]. Согласно [61], сердцевина С индуцирует на базе третьего слоения ткани Вт локально симметрическую структуру, определяемую локальными симметриями sz±2- sZl2{z\i) = C{z\\,z\2). Свойства этой структуры исследовались в [100], [75], [78], см. также [9].

Различные дифференциально-геометрические свойства многомерных (р, q, г)-тканей изучались в работах [1], [2], [8], [18]-[21], [30], [41]-[43], [58], [59], обзор результатов и библиографию см. также в [27], [33] и [86]. Однако в теории три-тканей W(p,q,r) оставался существенный пробел — отсутствие понятий, аналогичных понятиям координатной лупы, конфигурации и т.д., не позволяло получить результаты, связывающие, как и в классическом случае, алгебраические и геометрические свойства (р, q, г)-тканей. Отсюда вытекают основные задачи исследования.

1. Обобщить для три-тканей W(p,q,r), образованных слоениями разных размерностей, основные понятия классической теории три-тканей, образованных слоениями одинаковой размерности (изотопия, координатная лупа, конфигурации Рейдемейстера и Бола, сердцевина и т.д.).

2. Найти алгебраические условия (тождества), эквивалентные замыканию на три-тканях W{p,q,r) обобщенных конфигураций Рейдемейстера и Бола.

3. Исследовать свойства обобщенных три-тканей Рейдемейстера и Бола.

4. Исследовать геометрические и алгебраические объекты, порождаемые три-тканью W(p,q,r).

5. Исследовать свойства три-тканей, порождаемых локальными гладкими группами Ли преобразований и гладкими квазигруппами Бола преобразований.

Научная новизна. В диссертации получены новые результаты, основными из которых являются следующие. (Здесь номер группы результатов соответствует номеру главы).

1. Для тканей W(p,q,p + q — 1), р < q, определены понятия координатного моноида, обобщенной конфигурации Рейдемейстера и сердцевины. Доказано, что координатный группоид ткани W(p,q,p -f q — 1), на которой замыкаются обобщенные конфигурации Рейдемейстера (ткани WR(p, q)), вполне определяется ее сердцевиной (Теорема 2), а существование сердцевины является характеристическим свойством три-тканей WR(p,q) (Теорема 3). Найдено тождество обобщенной ассоциативности, выполнение которого в каждом координатном моноиде три-ткани W{p,q,p + q — 1) эквивалентно замыканию на этой ткани обобщенных конфигураций Рейдемейстера (Теорема 4).

2. Показано, что три-ткань W(p, q,p+q — 1) индуцирует на своих вертикальных и горизонтальных слоях соответственно (р + 1)-ткани и {q + l)~ ткани, образованные слоениями одинаковой размерности. Для каждой из этих тканей построено семейство отображений. Доказано, что это семейство образует группу автоморфизмов соответствующей ткани в том и только том случае, если на ткани W(p,q,p + q — 1) замыкаются обобщенные конфигурации Рейдемейстера (Теорема 7 и Теорема 8). Доказано, что (р + 1)-ткани и (q + 1)-ткани, индуцируемые три-тканью WR(p,q), параллелизуемы (Теорема 9 и Теорема 10).

3. Найдены структурные уравнения три-ткани WR(p,q) (Теорема 14). Путем интегрирования последних найдены конечные уравнения тканей WR(p,q) (Таблица 2).

4. Для тканей W(p, g,r), р < q < г определено понятие координатного моноида и доказано, что он существует только для тканей вида W(Xl, Am, Х(1 + т-1)) (Теорема 15). Для тканей W(Xl, Am, X(l-\-m-l)) определены понятия обобщенной конфигурации Рейдемейстера и сердцевины. Найдено тождество обобщенной ассоциативности, выполнение которого в каждом координатном моноиде три-ткани W(Xl, Am, X(l + m — 1)) эквивалентно замыканию на этой ткани обобщенных конфигураций Рейдемейстера (Теорема 18).

5. Доказано, что ткань GW(p,q,q), порождаемая действием локальной гладкой ^-параметрической группы Ли G на гладком р-мерном многообразии, характеризуется замыканием на ткани некоторых обобщенных конфигураций Рейдемейстера (Теорема 21). Доказано, что сердцевина ткани GW(p, q, q) может быть записана в виде равенства инвариантов группы преобразований (Теорема 22). Найдены структурные уравнения три-ткани GW(p,q,q) по уравнениям Маурера-Картана группы G.

6. Для ткани W(p, q, q) определено понятие обобщенной левой конфигурации Бола. Доказано, что на три-ткани Bi(p,q,q), порождаемой локальной гладкой квазигруппой Бола преобразований (и только на такой ткани), замыкаются обобщенные левые конфигурации Бола (Теорема 28). В координатных моноидах три-ткани Бола Bi(p, mp,тр) (для других размерностей моноид не существует) найдено тождество обобщенной альтернативности, соответствующее замыканию на этой ткани обобщенных левых конфигураций Бола (Теорема 29). Найдены структурные уравнения три-ткани Бола Bi(p, q, q) (Теорема 32). Путем интегрирования соответствующих структурных уравнений найдены конечные уравнения некоторой ткани В/(2,3,3), тензор кривизны которой имеет единственную ненулевую компоненту.

Методы исследования. Теория тканей тесно связана со многими областями современной математики (теорией функций, внешним дифференциальным исчислением, теорией связностей, теорией расслоенных пространств, классической и проективной геометрией, алгебраической теорией групп, теорией групп Ли и т.д.), а потому в ней используются разнообразные методы, применяемые в этих областях. Наиболее эффективно используется метод внешних форм и подвижного репера Картана, развитый в работах российских математиков С.П. Финикова, Г.Ф. Лаптева, A.M. Васильева и с успехом примененный М.А. Акиви-сом в теории многомерных три-тканей. Этот метод используется и в настоящей работе. Все рассмотрения имеют локальный характер.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы специалистами-математиками и физиками в дальнейших исследованиях гладких группоидов общего вида г = f(x,y) и определяемых ими алгебраических и геометрических структур, а также неассоциативных алгебр и их физических приложений. Эти результаты позволяют по-новому оценить многие факты из классической теории тканей. Они применяются при чтении спецкурсов в Тверском госуниверситете, Московском государственном педагогическом университете, Орском педагогическом институте и других.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях: на международной сессии геометрического семинара МГУ и РАН им. Г.Ф. Лаптева (Лаптевские чтения —2001, Москва, июнь 2001 г.); на 8-ой международной конференции по дифференциальной геометрии и ее приложениям в математическом институте Силезского университета (Опава, Чехия, август 2001 г.); на семинаре по геометрии и анализу в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, декабрь 2001 г.); на международном семинаре по геометрии и анализу памяти Н.Ф. Ефимова в Ростовском госуниверситете (сентябрь 2002 г.); на международном семинаре им. Н.И. Лобачевского в Казанском госуниверситете (ноябрь 2002 г.), на международной конференции по геометрии "Loops —2003"(Прага, Чехия, август 2003 г.); на семинаре по геометрии в Московском городском педагогическом университете (сентябрь 2004 г.); на семинаре "Дифференциальная геометрия и приложения "в МГУ им. М.В. Ломоносова, рук. А.Т. Фоменко (апрель, декабрь 2005 г.); на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов"в МГУ им. М.В. Ломоносова, рук. Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик (апрель 2005 г.); на геометрическом семинаре в Московском педагогическом государственном университете, рук. В.Ф. Кириченко (апрель 2005 г.); на международной сессии геометрического семинара МГУ и РАН им. Г.Ф. Лаптева (Лаптевские чтения —2006, Москва, июль 2006 г.).

По теме диссертации автором опубликовано 14 работ. Кроме того, в работах [65]-[84] автором рассматривались различные классы многомерных три-тканей, образованных слоениями одинаковых размерностей (с симметричным тензором кривизны, групповые, Бола, грассма-низуемые и т. д.), и связанные с ними алгебраические и дифференциально-геометрические структуры (группы и алгебры Ли, идемпотентные квазигруппы, правильные s-структуры, локально симметрические пространства и др.).

Структура диссертации. Диссертация изложена на 256 страницах, состоит из Введения, шести глав и списка литературы, содержащего 109 наименований. Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация пунктов — тремя. Например, номером 3.2 обозначен второй параграф третьей главы, а номером 5.2.1 — первый пункт второго параграфа пятой главы. Нумерация рисунков и теорем в тексте диссертации сквозная, а нумерация формул в каждой главе своя. Например, ссылка (2.6) указывает на формулу с этим номером во второй главе.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Толстихина, Галина Аркадьевна, 2006 год

1. Азизова Н. X. О три-тканях кривых и поверхностей// Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В.И.Ленина.— 1970 — № 374.— С. 7-17.

2. Азизова Н. X. Интранзитивные семейства преобразований// Изв. Вузов. Мат.- 1984.- № 12 (28).- С. 69-71.

3. Акивис М. А. О канонических разложениях уравнений локальной аналитической квазигруппы// Докл. АН СССР.— 1969.— Т. 188,- № 5.- С. 967-970.

4. Акивис М. А. О три-тканях многомерных поверхностей// Тр.геом.сем. ВИНИТИ АН СССР.- 1969.- Т. 2,- С. 7-31.

5. Акивис М. А. О локальных алгебрах многомерных три-тканей// Сиб. мат. ж.- 1976.- Т. 17.- № 1.- С. 5-11.

6. Акивис М. А. Об интегрировании структурных уравнений три-ткани Муфанг минимальной размерности// Дифференциальная геометрия.— Калинин.— 1977.— С. 3-9.

7. Акивис М. А. Дифференциальная геометрия тканей// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом 1983.- Т. 15.- С. 187-213.

8. Акивис М. А., Апресян Ю. А. О три-тканях W(n + l,n + 1,п) на многообразии размерности 2п + 1// Ткани и квазигруппы.— Калинин.- 1990.- С. 4-10.

9. Акивис М. А., Герасименко С. А. О некоторых фигурах замыкания на многообразиях с симметрией// Ткани и квазигруппы.— Калинин,- 1982,- С. 7-11.

10. Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей// Докл. АН СССР.- 1972.- Т. 203.- № 2.- С. 263-266.

11. Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей// Тр.геом.сем. ВИНИТИ.- 1973.- Т. 4.- С. 179-204.

12. Akivis M. A., Goldberg V. V. Differential geometry of webs, Chapter 1 in Handbook of Differential Geometry.— Elsevier Science B.V.— 2000.- p. 1-152.

13. Akivis M. A., Goldberg V. V. Algebraic aspects of web geometry// Comment. Math. Univ. Carolinae.- 41(2).- 2000.- p. 205-236.

14. Акивис M. А., Шелехов A. M. Основы теории тканей.— Калинин.- 1981.- 88 с.

15. Akivis М. A., Shelekhov А. М. On subwebs of 3-webs and subalgebras of local И^-algebras/ / Acta Math. Hungar- 52.- 1988.- № 3-4-p. 265-271.

16. Akivis M. A., Shelekhov A. M. Algebra and Geometry of Multidimensional Three-Webs// Kluwer Academic Publishers.— Dordrecht/ Boston/ London.— 1992.— xvii+358 pp.

17. Akivis M. A., Shelekhov A. M. Contravariant theory of multidimensional three-webs// Webs and Quasigroups.— Tver.— 1993.- p. 20-32.

18. Апресян Ю. А. Три-ткани кривых и гиперповерхностей и семейства диффеоморфизмов одномерных многообразий// Дифференциальная геометрия.— Калинин.— 1977.— С. 10-22.

19. Апресян Ю. А. О многомерных три-тканях, образованных двумя семействами гиперповерхностей и одним семейством кривых// Изв. Вузов. Мат.- 1977.- № 4 (179).- С. 132-135.

20. Апресян Ю. А. Трехпараметрические семействадиффеоморфиз-мов прямой на прямую, содержащие два линейных комплекса однопараметрических подсемейств специального типа// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1984.— С. 8-15.

21. Аракелян Г. С. Некоторые классы многомерных три-тканей, у которых поверхности одного из семейств принадлежат поверхностям другого семейства// Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ.- 1981.- № 2.- С. 3-7.

22. Barlotti A., Strambach К. The geometry of binary systems// Adv. Math.- 1983.- V. 49.- № 1.- p. 1-105.

23. Batalin I. A. Quasigroup construction and first class constraints// J. Math. Phys.- 22 (9).- Sept.- 1981.- p. 1837-1849.

24. Белоусов В. Д. Сердцевина лупы Бола// В сб. Исследования по общей алгебре.— Кишинев.— 1965.— С 53-65.

25. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп.— М.: Наука.— 1967.- 223 с.

26. Белоусов В. Д. Алгебраические сети и квазигруппы.— Кишинев.: Штиинца 1971.- 168 с.

27. Белоусов В. Д., Рыжков В. В. Геометрия тканей// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия — 1972.— Т. 10.- С. 159-188.

28. Бляшке В. Введение в геометрию тканей.— М.: ГИФМЛ.— 1959 144 с.

29. Blaschke W., Bol G. Geometrie der Gewebe// Springer-Verlag.— Berlin.- 1938.- viii+339 pp.

30. Bol. G. Uber zwei Kurvenscharen and eine Flachenschar// Abh. Math. Sem. Univ.- Hamburg.- 1932.- p. 93-94.

31. Bol G. Uber 3-Gewebe in vierdimensionalen Raum.// Math. Ann.— 1935.- p. 431-463.

32. Burdujan I. On binary triple algebras// Analele stiintifice ale universitatii "AL.I.CUZA"IASI XXXIX.- 1993.- s.l.a. Mathematica- F.I.— p. 49-56.

33. Васильев A. M. Теория дифференциально-геометрических структур.- M.: Изд-во МГУ,- 1987.- 190 с.

34. Васильева М. В. Группы Ли преобразований.— Москва.— Моск. гос. пед. ин-т.— 1969.— 175 с.

35. Винберг Э. Б., Онищик A. JI. Основы теории групп Ли// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.— 1988.— Т. 20.— С. 5-101.

36. Гельмгольц Г. О фактах, лежащих в основании геометрии// Об основаниях геометрии.— Москва.— 1956.— С. 366-388.

37. Гольдберг В. В. Трансверсально-геодезические, шестиугольные и групповые три-ткани, образованные поверхностями разных размерностей// Сб. статей по дифферен. геом.— Калинин.—1974.- С. 52-64.

38. Гольдберг В. В. О приводимых, групповых и (2п + 2)-эдричных (п + 1)-тканях многомерных поверхностей// Сиб. мат. ж.— 1976.— № 1 С. 44-57.

39. Goldberg V. V. Local differentiable quasigroups and webs// Chapter X in the book Quasigroups and Loops: Theory and Applications.— Heldermann-Verlag.— Berlin.- 1990.- p. 263-311.

40. Горбацевич В. В., Онищик A. JI. Группы Ли преобразований// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.— 1988.— Т. 20.— С. 103-240.

41. Иванов В. Г. Пространства с обобщенным параллелизмом// Геометрия погруженных многообразий.— Сб. научных трудов.— Моск. гос.пед. ин-т им. В. И. Ленина.— Москва.— 1978.— С. 47-54.

42. Иванов В. Г. Линейный обобщенный параллелизм // Геометрия погруженных многообразий.— Сб. научных трудов.— Моск. гос. пед. ин-т им. В. И. Ленина.- М 1979.- С. 51-56.

43. Иванов В. Г. Обобщенный параллелизм в проективном пространстве// Изв. Вузов. Мат.- 1980.- № 8 (219).- С. 27-31.

44. Karanda Н. М. ф-cores of ф-Во\ loops// Far East J. Math. Sci.— 1998.- V. 6(2).- p. 229-240.

45. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований ("Эрлангенская программа")// Об основаниях геометрии.- М.: Наука.- 1956.- С. 402-434.

46. Кузьмин Е. Н. О связи между алгебрами Мальцева и аналитическими лупами Муфаиг// Алгебра и логика.— 1971.— Т. 10.— № 1,- С. 3-22.

47. Кулаков Ю. И. Элементы теории физических структур// С добавлением Г.Г.Михайличенко/ Новосибирск.— 1968.— 227 с.

48. Кулаков Ю. И., Владимиров Ю. С., Карнаухов А. В. Введение в теорию физических структур и бинарную геометрофизику// М.: Архимед.- 1992.- 183 с.

49. JIooc О. Симметрические пространства// М.: Наука.— 1985.

50. Лыхмус Я., Паал Э., Соргсепп Л. Неассоциативность в математике и физике// В сб. Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике. Труды института физики.— Тарту.— 1990.— Т. 66.— С. 8-22.

51. Мальцев А. И. Аналитические лупы// Мат. сб.— 1955.— Т. 36.— № 3.- С. 569-575.

52. Михайличенко Г. Г. Решение функциональных уравнений в теории физических структур// Докл. АН СССР.— 1972.— Т. 206.- № 5.- С. 1056-1058.

53. Михайличенко Г. Г. Об одной задаче в теории физических структур// Сиб. мат. журн.- 1977,- Т. 18.- № 6.- С. 1342-1355.

54. Михайличенко Г. Г. Математический аппарат теории физических структур.— Горио-Алтайск: изд-во Горно-Алтайского ун-та.— 1997.- 144 с.

55. Михайличенко Г. Г. Групповая симметрия физических структур.— Барнаул.- Барн. гос. пед. ун-т.- 2003.- 204 с.

56. Михеев П. О. О лупах преобразований// Деп. в ВИНИТИ 1985. № 4531-85.

57. Miheev Р. О. Quasigroups of transformations// В сб. Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике. Труды института физики.- Тарту.- 1990.- Т. 66.- С. 54-66.

58. Нгуен Зоан Туан. О многомерных три-тканях типа W(p,p,q)// Геометрия погруженных многообразий.— Москва.— МГПИ.— 1986.- С. 101-112.

59. Нгуен Зоан Туан. Некоторые подклассы три-тканей типа W(p,p,q) с постоянными компонентами основного тензора// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1987.— С. 82-87.

60. Нестеров А. И. Квазигрупповые идеи в физике// В сб. Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике. Труды института физики.- Тарту.- 1990.- Т. 66.- С. 107-120.

61. Сабинин JL В. Методы неассоциативной алгебры в дифференциальной геометрии// Добавление к книге Ш.Кобаяси и К.Номидзу "Основы дифференциальной геометрии".— М.: Наука.— 1981.— С. 293-339.

62. Sabinin L. V. Smooth Quasigroups and Loops Mathematics and Its Applications// Kluwer Academie Publishers.— Dordrecht/ Boston/ London.- 1999.- xvi+245.

63. Сабинин Л. В., Михеев П. О. Теория гладких луп Бола// Москва.— Ун-т дружбы народов.— 1985.— 80 с.

64. Sagle A. A. Mal'cev algebras// Trans. Amer. Math. Soc.- 1961-V. 101.- № 3.- p. 426-458.

65. Толстихина Г. А. О четырехмерных тканях с симметричным тензором кривизны// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1981.— С. 12-22.

66. Толстихина Г. А. Об инвариантных трансверсальных распределениях четырехмерных три-тканей Ws// Ткани и квазигруппы.— Калинин.- 1982.- С. 115-120.

67. Толстихина Г. А. Классификация четырехмерных три-тканей Wsf / Материалы 5 конф. мол. ученых Ун-та дружбы народов.— Москва Март 1982 г.- Ун-т дружбы народов.- М - 1982 - Ч. 1,- С. 43-46.- Деп. в ВИНИТИ 15.07.82.- № 3814-82 Деп.

68. Толстихина Г. А. Об одном свойстве 4-ткани, имеющей групповую три-подткань// Проблемы теории тканей и квазигрупп.— Калинин.- 1985.- С. 121-128.

69. Толстихина Г. А. О три-тканях Муфанг, присоединенных к групповой ткани// Материалы 8 конф. мол. ученых Ун-та дружбы народов.— Москва.— 19-23 февр. 1985 г.— Ун-т дружбы народов.- М 1985.- Ч. 2.- С. 199-202.- Деп. в ВИНИТИ 29.05.85.- № 3714-85 Деп.

70. Толстихина Г. А. О главных направлениях на r-мерной поверхности,, определяемых 2г-мерной три-тканью// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1987.— С. 99-107.

71. Толстихина Г. А. Об однопараметрических подквазигруппах идемпотентной квазигруппы, индуцируемой три-тканью на гладком подмногообразии// Деп.в ВИНИТИ 29.12.1987. №9153В-87.

72. Толстихина Г. А. О связности, индуцируемой идемпотентной квазигруппой на гладком подмногообразии многомерной три-ткани// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1988.— С. 16-23.

73. Толстихина Г. А. Геометрия r-мерных подмногообразий на 2г-мерной три-ткани// Материалы 9 Всесоюзной геом. конф.— Кишинев.— 20-22 сент. 1988 г.— Кишинев.— Штиинца.— 1988.— С. 314.

74. Толстихина Г. А. Три-ткани и локальные идемпотентные квазигруппы: Дисс. . канд. физ.-мат. наук.— Калинин.— 1988 г.

75. Толстихина Г. А. О сердцевине координатной квазигруппы некоторой шестимерной три-ткани Боля// Ткани и квазигруппы.— Калинин.- 1990.- С. 18-22.

76. Толстихина Г. А. Сеть линий, определяемая грассманизуемой три-тканыо на гладком подмногообразии// Изв. Вузов. Мат.— 1990.- № 7.- С. 83-87.

77. Tolstikhina G. A. The locally symmetric s-structure determined by a Bol web// Webs and Quasigroups.— Tver.— 1991 — p. 147-155.

78. Толстихина Г. А. О локально плоской структуре, связанной с тканью Боля// Алгебраические методы в геометрии.— Москва. РУДН.- 1992.- С. 56-61.

79. Tolstikhina G. A. On subquasigroups of an idempotent quasigroup defined bu a three-web// Webs and Quasigroups.— Tver.— 1993.— p. 51-55.

80. Tolstikhina G. A. On subquasigroups of an idempotent quasigroup defined bu a three-web, 2// Webs and Quasigroups — Tver.— 1994.— p. 57-59.

81. Толстихина Г. А. О сердцевине координатной квазигруппы три-ткани Боля// Фундам. пробл. мат. и мех.: Мат.— Ч. 1.— МГУ.- Москва.- 1994.- С. 63-64.

82. Tolstikhina G. A. On deformation of multidimensional 3-webs// Webs and Quasigroups.- Tver.- 1995 p. 127-134.

83. Толстихина Г. А. О деформации три-тканей с симметричным тензором кривизны// Материалы научн. конф., поев. 25-летию ТвГУ.— Ученые записки.— Т. 1: Матем., прикл. матем., физ., хим.- Тверь.- ТвГУ.- 1996.- С. 41.

84. Tolstikhina G. A. On associative smooth monoids// Webs and Quasigroups.- Tver.- 2002.- p. 53-59.

85. Толстихина Г. А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей// Современная математика и ее приложения.- Т. 32(2005).- С. 29-116.

86. Tolstikhina G. A., Shelekhov А. М. On normal subwebs of multidimensional three-web and ideals of its tangent W-algebra// Webs and Quasigroups/ Tver.- 1999.- p. 85-910.

87. Толстихина Г. А., Шелехов A. M. О три-тканях W(p,q,p + q — 1), на которых замыкаются обобщенные конфигурации Рейдемейстера// Деп. в ВИНИТИ 13.08.2001. М869-В2001.

88. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Обобщенная ассоциативность в гладких группоидах// Докл. РАН 2002 - Т. 383 - №1 - С. 32-33.

89. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Три -ткани, определяемые группами преобразований// Докл. РАН 2002 - Т. 385 - № 4 -С. 1-3.

90. Tolstikhina G. A., Shelekhov А. М. The three-web determined by affine transformation group// Webs and Quasigroups, Tver, 2002,p. 46-49.

91. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Вложение три-ткани, определяемой группой преобразований, в групповую три-ткань// Деп. в ВИНИТИ 2003. № 880-В2003.

92. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. Многоточечные инварианты групп преобразований и определяемые ими три-ткани// Изв. Вузов. Мат.- 2003.- № 11(498).- С. 82-87.

93. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. О квазигруппах Бола преобразований// Докл. РАН,- 2005.- Т. 401.- № 2.- С. 166-168.

94. Толстихина Г. А., Шелехов А. М. О три-ткани Бола, образованной слоениями разных размерностей// Изв. Вузов. Мат.— 2005.— № 5(516).- С. 56-62.

95. Ферапонтов Е. В. Системы трех дифференциальных уравнений гидродинамического типа с шестимерной три-тканью характеристик// Функционал. Анал. и приложения.— 1989.— Т. 23.— 2.- С. 79-80.

96. Ферапонтов Е. В. Интегрирование слабо нелинейной и по-лугамильтоновой системы гидродинамического типа методамигеометрии тканей// Мат. сб.- 1990 Т. 181- № 9.- С. 1220-1235.

97. Ферапонтов Е. В. Уравнения гидродинамического типа с точки зрения геометрии тканей// Мат. заметки, 1991, Т. 50.— № 5.— С. 97-108.

98. Федорова В. И. Шестимерные три-ткани Боля с симметричным тензором ощ// Ткани и квазигруппы, Калинин, 1981, С. 10-123.

99. Федорова В. И. Об условии, определяющем многомерные три-ткани Боля// Сиб. мат. ж 1987.- Т. 19.- № 4.- С. 922-926.

100. Фиников С. П. Теория пар конгруэнций.— М.: изд-во техн.-теор. лит-ры.— 1956.— 443 с.

101. Hofmann К. Н., Strambach К. The Akivis algebra of a homogeneous loop// Mathematika.- 1986.- V. 33.- № 1 p. 87-95.

102. Chern S. S. Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimen-sionalen Mannigfaltigkeiten in RirU Abh. Math. Sem. Univ.— Hamburg.- 1936.- V. 11.- № 1-2.- p. 336-358.

103. Шелехов A. M. Дифференциально-геометрические объекты высших порядков многомерной три-ткани// Итоги науки и техн.ВИНИТИ. Пробл. геом.- 1987.- Т. 19,- С. 101-154.

104. Шелехов А. М. Классификация многомерных три-тканей по условиям замыкания// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом,- 1989.- Т. 21- С. 109-154.

105. Шелехов А. М. Об аналитических решениях функционального уравнения (ху)х = х(ух)// Мат. заметки.— 1991.— Т. 50.— № 4.— С. 132-140.

106. Шелехов А. М., Шестакова М. А. О тождествах в лупах со слабой ассоциативностью// Ткани и квазигруппы.— Калинин.— 1985.- С. 115-121.

107. Шестаков И. П. Линейные представления алгебр Акивиса// Докл. РАН.- 1999.- Т. 368.- № 1.- С. 21-23.

108. Shestakov I. P. Every Akivis algebra is linear// Geom. Dedicata.— 1999.- V. 77.- p. 215-223.