Эластичные три-ткани тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Джукашев Камиль Рамилевич

• Джукашев Камиль Рамилевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Джукашев Камиль Рамилевич

Оглавление

Введение

Общая характеристика работы

Краткое содержание диссертации

1 Эластичные три-ткани

1.1 Многомерные три-ткани

1.2 Структурные уравнения многомерной

три-ткани

1.3 Эластичные три-ткани

1.4 Дифференциальная окрестность пятого порядка эластичной три-

ткани

2 Эластичные ткани ранга

2.1 W-алгебра эластичной ткани ранга

2.2 Структурные уравнения эластичной три-ткани ранга

2.3 Три-ткани E1r

2.4 Уравнение три-ткани E1r в локальных координатах

2.5 Доказательство эластичности ткани E1r

2.6 Три-ткани E2r

2.7 Доказательство эластичности ткани E2r

2.8 Тензоры кручения и кривизны тканей E1r и E2r

2.9 Об A-свойствах три-тканей E1r и E2r

2

2.10 Сердцевины эластичных три-тканей ранга

3 Эластичные ткани ранга

3.1 Структурные уравнения основного класса эластичных три-тканей

ранга

3.2 Уравнение три-ткани E2r (2) в локальных координатах

3.3 Доказательство эластичности три-ткани E2r (2)

3.4 Пример эластичной ткани ранга ρ

3

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эластичные три-ткани»

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Интерес к многомерным три-тканям

возник в 20-е годы XX века. В 1927 году появились работы В. Бляшке и его уче-

ника Г. Томсена, посвященные новому разделу дифференциальной геометрии.

Уже в первых работах было отмечено, что особую роль в теории три-тканей

имеют условия замыкания конфигураций, образованных слоями криволиней-

ной ткани. Кроме того было установлено, что теория три-тканей тесно связана

с алгебраической теорией квазигрупп и луп. В 1928 году была опубликована

работа К. Рейдемейстера [11], а в 1932 году - работа Х. Кнессера [6], в которых

было показано, что с помощью произвольной группы можно построить полную

три-ткань. А позже в работе Г. Бола [3] было отмечено, что полную ткань мож-

но построить с помощью группоида более общего вида, а именно - с помощью

квазигруппы. С другой стороны, каждая три-ткань с точностью до изотопии

определяет единственную квазигруппу, которая называется координатной ква-

зигруппой этой три-ткани.

В своих работах В. Бляшке и его ученики - Г. Томсен, К. Рейдемейстер

и Г. Бол рассмотрели условия замыкания некоторых конфигураций, образо-

ванных слоями ткани, и показали, что им соответствует некоторые тождества,

выполняемые в координатных квазигруппах и координатных лупах ткани. В

работах [1] и [12] появилось условие шестиугольности (H), в работе [11] - усло-

вия замыкания Рейдемейстера и Томсена, а в работе [2] - три условия Бола.

4

 Дифференциальные уравнения три-ткани, образованной тремя r-мерными

слоениями на 2r-мерном многообразии, впервые получил С. Черн [4]. М.А. Аки-

вис [13] записал структурные уравнения тканей в современной компактной ин-

вариантной форме. Это позволило ему и его ученикам эффективно изучать об-

щую теорию тканей и исследовать отдельные классы тканей, см. [14]. В частно-

сти, М. Акивис ввел понятие касательной W -алгебры многомерной три-ткани,

обобщающей алгебру Ли. В терминах этой W -алгебры были охарактеризованы

основные классы многомерных три-тканей.

Исследования специальных классов тканей имеет прикладное значение:

как уже отмечалось выше, теория три-тканей тесно связана с теорией ква-

зигрупп, а вследствии этого, с разделами физики, в которых используются

неассоциативные структуры [22]. Неассоциативные структуры, не являющие-

ся, вообще говоря, алгебрами, и в некотором смысле близкие к группам, начала

изучать Рут Муфанг [8]. Она рассмотрела группоид со свойством однозначной

разрешимости и с двусторонней единицей, в котором выполняется тождество

(xy)(zx) = x((yz)x) (теперь он называется лупой Муфанг). Тождество Муфанг

вытекает из тождества ассоциативности, но обратное, вообще говоря, неверно.

Муфанг доказала, что лупа Муфанг диассоциативна – любые два ее элемента

порождают ассоциативную подлупу. Три-ткани, в координатных квазигруппах

которых выполняется тождество Муфанг, называются соответственно тканями

Муфанг (M ).

Аналитические лупы, близкие у группам Ли, начал рассматривать А.И. Маль-

цев. В [21] он ввел понятие локальной аналитической лупы, ее касательной

алгебры, показал, что теория аналитических луп Муфанг во многом повто-

ряет теорию групп Ли. Например, для первых также имеет место формула

Кэмпбелла-Хаусдорфа, а их касательная алгебра (теперь она называется ал-

геброй Мальцева) определяется некоторым кубическим тождеством на струк-

турный тензор (тождество Сейгла) — аналогом тождества Якоби.

Следующие (по сложности) за тканями Муфанг многообразия тканей —

5

левые, правые и средние ткани Бола, введенные в [2]. Левые и правые тка-

ни определяются соответственно тождествами (x(yx))z = x(y(xz)), x((yz)y) =

((xy)z)y, выполняемыми в координатных лупах этих тканей. Ткани Бола инте-

ресны, в частности, тем, что на них естественным образом возникает структура

симметрического пространства [23]. Любая ткань Муфанг является правой, ле-

вой и средней тканью Бола, но обратное, вообще говоря, неверно.

Ткани Бола характеризуются тем, что их тензор кососимметричен по какой-

либо паре нижних индексов. Класс четырехмерных тканей Бола был подробно

изучен в работах А.Д. Иванова [19], [20]. В частности, он доказал, что четы-

рехмерные ткани Бола алгебраизуемы и могут быть заданы с помощью поверх-

ности второго порядка и плоскости. Это позволило ему провести их полную

классификацию. Достаточность тензорных условий, характеризующих ткани

Бола произвольной размерности, получены В.И. Федоровой [24]. В частности,

она рассмотрела основные классы шестимерных тканей Бола [25].

Настоящая работа посвящена классу тканей E, в координатных лупах ко-

торых выполняется тождество эластичности x(yx) = (xy)x. Несмотря на более

простой вид тождества эластичности (по сравнению с тождествами Муфанг

или Бола), класс тканей E изучен мало. Впервые данный класс тканей описан

в работе А.М. Шелехова [27]. В [27] было доказано, что класс эластичных тка-

ней (ткани E) содержится в классе средних тканей Бола. В настоящее время

неизвестно других классов тканей (или луп) промежуточных между тканями

(лупами) Бола и Муфанг. В [27] также проведена классификация шестимерных

эластичных тканей и доказано, что существует всего два неэквивалентых класса

таких тканей: ткани E1 и E2 , а нетривиальных (немуфанговых и негрупповых)

эластичных тканей меньшей размерности не существует. В [17] было начато

исследование дифференциальной окрестности пятого порядка эластичной три-

ткани. Примеры нетривиальных восьмимерных эластичных тканей были найде-

ны М.В. Антиповой, которая изучала средние ткани Бола с тензором кривизны

минимального ранга [15].

6

 Цель работы. Изучить эластичные три-ткани, описать их геометриче-

ские свойства и провести их классификацию. Более подробно изучить эластич-

ные три-ткани с тензором кручения минимального ранга.

Основные задачи исследования. В ходе диссертационного исследова-

ния были поставлены следующие задачи:

− найти тензорные соотношения для класса эластичных тканей до пятого по-

рядка включительно;

− построить адаптированный репер для тканей ранга 1, записать в этом ре-

пер структурные уравнения ткани, проинтегрировать их и найти конечные

уравнения;

− описать основные свойства тканей E r (1), в частности, A-свойства, найти

сердцевину тканей E r (1);

− построить адаптированный репер для тканей ранга 2, записать в этом ре-

пер структурные уравнения ткани, проинтегрировать их и найти конечные

уравнения;

− описать основные свойства тканей E r (2), в частности, A-свойства, найти

сердцевину тканей E r (2);

− определить класс эластичных тканей с тензором кручения произвольная

ранга - E2r (ρ), описать их свойства.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в ходе диссерта-

ционного исследования, являются новыми. На защиту выносятся следующие

результаты.

1. Исследованы дифференциальные окрестности ткани E до пятого порядка

включительно; показано, что все тензорные соотношения в дифференциаль-

ной окрестности пятого порядка получаются в результате дифференциаль-

7

 ных продолжений соотношений, найденных в дифференциальной окрестно-

сти четвертого порядка.

2. Определен класс эластичных три-тканей с тензором кручения минимально-

го ранга (ткани E r (1)), найдены и исследованы их структурные уравнения.

3. Показано, что существует два основных класса тканей E r (1), найдены струк-

турные и конечные уравнения каждого из этих классов.

4. Исследованы свойства каждого из классов E r (1), в частности, найдены их

сердцевины и доказано, что ткани E1r (1) являются Am -тканями, а ткани

E2r (1) - A-тканями.

5. Определен один из классов эластичных тканей с тензором кручения ранга 2

- E2r (2), найдены структурные уравнения таких тканей.

6. Исследованы свойства тканей E2r (2), в частности, найдены их сердцевины

и доказано, что они являются A-тканями.

7. Определен класс эластичных тканей ранга ρ E2r (ρ) и исследованы его ос-

новные свойства.

Методы исследования. В теории многомерных эластичных три-тканей

применяются методы тензорного анализа, внешнее дифференциальное исчисле-

ние, теория связностей, теория групп Ли, теория симметрических пространств,

методы проективной и аффинной геометрии и т.д. Основным методом исследо-

вания является метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана, адапти-

рованный М.А. Акивисом, В.В. Гольдбергом, А.М. Шелеховым и др. для изуче-

ния теории многомерных три-тканей. Результаты, полученные в работе, имеют

локальный характер.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в

диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы при

чтении спецкурсов в рамках специализации по геометрии тканей.

8

 Апробация работы. Основные результаты были доложены на следую-

щих конференциях и семинарах:

− третья Российская школа-конференция для молодых ученых с междуна-

родным участием "Математика, информатика, их приложения и роль в об-

разовании" (Тверь, февраль 2013 г.);

− международная конференция "Геометрия в Одессе - 2013" (Одесса, май

2013 г.);

− международный геометрический семинар имени Г.Ф. Лаптева "Лаптевские

чтения - 2013" (Пенза, сентябрь 2013 г.);

− международная научно-техническая конференция "Математические мето-

ды и модели: теория, приложения и роль в образовании" (г. Ульяновск,

апрель 2014 г.);

− международная конференция "∆-геометрия" (Астрахань, май 2014 г.);

− международная конференция "Геометрия в Одессе - 2014" (Одесса, май

2014 г.);

− седьмая международная конференция по дифференциальным и функционально-

дифференциальным уравнениям "DFDE-2014" (Москва, август 2014 г.);

− международная конференция "Бесконечномерный анализ, стохастика, ма-

тематическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы матема-

тического и естественнонаучного образования" (Москва, декабрь 2014 г.);

− международная конференция "Геометрия в Одессе - 2015" (Одесса, май

2015 г.);

− международный геометрический семинар имени Г.Ф. Лаптева "Лаптевские

чтения - 2015" (Пенза, сентябрь 2015 г.).

9

 Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных ра-

ботах, из них 5 статьи и 6 тезисов докладов:

1. Джукашев К.Р. Эластичные три-ткани // Математика, информатика, их

приложения и роль в образовании. Третья Российская школа-конференция

для молодых ученых. Тезисы докладов. Тверь, 15-16 февраля 2013. с. 27

2. Джукашев К.Р. О три-тканях с эластичными координатными лупами //

Труды международного геометрического центра. Одесса, 2013. с. 52-80.

3. Джукашев К.Р. Об эластичных три-тканях с тензором кручения ранга

1 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-

математические науки. – 2013. – № 4 (28). – С. 61–70.

4. К. Р. Джукашев, А. М. Шелехов. Об одном классе эластичных три-тканей

с тензором кручения ранга 1 // Сборник научных трудов. Математические

методы и модели: теория, приложения и роль в образовании. Ульяновск,

2014. с. 59-71

5. Джукашев К.Р. Классификация многомерных эластичных тканей с тен-

зором кручения ранга 1 // Тезисы международной конференции "Геомет-

рия в Одессе - 2014" - с.30

6. Джукашев К.Р. Об одном классе эластичных три-тканей // Тезисы меж-

дународной конференции "∆-геометрия". Астрахань, 2014. - с. 8

7. Джукашев К.Р. О многомерных решениях уравнения (xy)x = x(yx) со свой-

ством универсальности // Тезисы седьмой международной конференции

по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям

"DFDE-2014". Москва, 2014. с. vi

8. Джукашев К.Р. Об A-свойствах тканей E1r и E2r // Тезисы международ-

ной конференции "Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое

10

 моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и есте-

ственнонаучного образования". Москва, 2014.

9. Джукашев К.Р., Шелехов А.М. Многомерные гладкие лупы с универсаль-

ным свойством эластичности // Матем. сб., 206:5 (2015), 35–60

10. Джукашев К.Р. Об одном классе эластичных тканей ранга ρ // Тезисы

международной конференции "Геометрия в Одессе - 2015". - с. 73

11. Джукашев, К.Р. Об A-свойствах некоторых эластичных три-тканей / К.Р. Джу-

кашев // Известия вузов. Математика - 2016. - № 7. - c. 23–33

Структура диссертации.Диссертация изложена на 125 страницах пе-

чатного текста, состоит из введения, 3 глав, включающих 18 параграфов, и

списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 30 наименова-

ния работ отечественных и зарубежных авторов.

Краткое содержание диссертации

Первая глава "Эластичные три-ткани" содержит необходимый для даль-

нейшего теоретический материал. В ней исследуются тензорные соотношения

эластичных тканей до дифференциальной окрестности пятого порядка вклю-

чительно.

В §1.1 "Многомерные три-ткани" дается определение многомерной три-

ткани, функции три-ткани и фигур, образованных слоями ткани, формули-

руются условия замыкания фигур. Определяется эквивалентность три-тканей,

вводятся понятия координатной квазигруппы и лупы. С помощью условий за-

мыкания определяются классы три-тканей: шестиугольные, регулярные (парал-

лелизуемые), групповые, левые, средние и правые ткани Бола. Эти классы тка-

ней охарактеризованы тождествами, выполняемыми в их координатных лупах

(теорема 1).

11

 В §1.2 "Структурные уравнения многомерной три-ткани" рассматривают-

ся структурные уравнения три-ткани и основные тензоры ткани, в частности,

тензоры кручения и кривизны. Приводятся соотношения, связывающие основ-

ные тензоры, и формулируется теорема об однозначном задании три-ткани ее

тензорами (теорема 2). В этом же параграфе приводятся формулы для вычисле-

ния основных тензоров три-ткани через производные от функции ткани. При-

водятся тензорные условия, характеризующие основные классы тканей. Рас-

сматривается наиболее важный для дальнейшего класс средних тканей Бола.

Приводятся соотношения, связывающие основные тензоры тканей Бола. Как

будет показано далее, класс эластичных тканей образует подкласс тканей Бо-

ла.

В §1.3 "Эластичные три-ткани" дается определение эластичных три-тканей,

в координатных лупах которых выполняется тождество эластичности. Находят-

ся тензорные соотношения, описывающие эластичные три-ткани, до четвертого

порядка включительно. Для этого мы используем разложение в ряд Тейлора

операции умножения в координатной лупе, с помощью него расписываем тож-

дество эластичности, приравниваем соответствующие члены и получаем соот-

ношения на коэффициенты ряда. Далее используем соотношения, связывающие

коэффициенты ряда с тензорами три-ткани, найденные в [14] и [28], и находим

соотношения на основные тензоры. Вычисления в первой и второй дифферен-

циальной окрестности не дают соотношений, кроме тождественных. Рассмат-

ривая третью дифференциальную окрестность, находим, что тензор кривизны

эластичной три-ткани кососимметричен по двум последним нижними индексам.

Таким образом, эластичные три-ткани являются тканями Бола, а так как су-

ществуют ткани Бола, не являющиеся эластичными, то эластичные три-ткани

образуют собственный подкласс тканей Бола. Рассматривая четвертую диффе-

ренциальную окрестность, находим единственное нетривиальное соотношение,

12

связывающие основные тензоры ткани,

b(x, y, a(x, y)) = 0.

Дифференцируя тензорные соотношения четвертой дифференциальной окрест-

ности находим тензорные соотношения в пятой дифференциальной окрестно-

сти.

В §1.4 "Дифференциальная окрестность пятого порядка эластичной три-

ткани" проводится сравнение членов пятого порядка в разложении тождества

эластичности, описывающего класс эластичных тканей. В результате получает-

ся три новых соотношения на коэффициенты разложения. Затем доказывается,

что они являются следствием соотношений, найденных ранее путем дифферен-

цирования в §1.3.

В главе 2 "Эластичные ткани ранга 1" описывается класс эластичных тка-

ней с тензором кручения ранга 1. Мы находим их структурные и конечные

уравнения, исследуем свойства данного класса тканей.

В §2.1 "W-алгебра эластичных тканей ранга 1" вводится понятие ранга

ткани, рассматривается W-алгебра тканей ранга 1. Доказано, что у тензора

кривизны тканей ранга 1 снижается ранг, и тензор кривизны является ковари-

антно постоянным относительно связности Черна.

В §2.2 "Структурные уравнения эластичной три-ткани ранга 1" найдены

структурные уравнения эластичных тканей ранга 1 и доказано, что тензор кри-

визны этих тканей также имеет ранг, равный единице. Далее найден такой адап-

тированный репер, в котором все компоненты тензора кривизны являются кон-

стантами. Показано, что все ткани E r (1) можно разбить на два класса, которые

обозначены E1r и E2r .

В §2.3 "Ткани E1r " рассматривается один из выделенных классов эластич-

ных тканей ранга 1 и доказывается, что система структурных уравнений, опи-

сывающих данный класс, является замкнутой относительно операции внешнего

дифференцирования.

13

 В §2.4 "Уравнение три-ткани E1r в локальных координатах" проинтегри-

рована система структурных уравнений ткани E1r и найдены ее уравнения в

локальных координатах. Доказано, что в случае r = 3 ткань E13 совпадает с

шестимерной эластичной тканью E1 , найденной в [27].

При нахождении уравнений ткани использовались необходимые, но не до-

статочные тензорные условия. Поэтому в §2.5 "Доказательство эластичности

E1r " доказывается, что три-ткань, найденная в предыдущем параграфе, дей-

ствительно является эластичной тканью.

В §2.6 "Три-ткани E2r " рассматривается второй из классов эластичных тка-

ней ранга 1 и доказывается, что система структурных уравнений, описывающих

данный класс, является замкнутой относительно операции внешнего диффе-

ренцирования; проинтегрирована система структурных уравнений ткани E2r и

найдены ее уравнения в локальных координатах. Доказывается, что три-ткань

E2r при r = 3 совпадает с шестимерной эластичной тканью E2 , найденной в [27].

В §2.7 "Доказательство эластичности три-ткани E2r " доказывается, что

три-ткань, полученная в предыдущем параграфе, является эластичной три-

тканью.

При нахождении уравнений три-ткани использовались изотопические пре-

образования, поэтому первоначальные значение компонент тензоров кручения

и кривизны изменились. В §2.8 "Тензоры кручения и кривизны тканей E1r и

E2r " по найденным конечным соотношениям вычислены компоненты основных

тензоров тканей E1r и E2r .

В §2.9 "Об A-свойствах три-тканей E1r и E2r " доказывается, что три-ткань

E1r является средней специальной тканью (Am -тканью), а три-ткань E1r - спе-

циальной тканью (A-тканью).

В §2.10 "Сердцевина эластичных три-тканей ранга 1" находятся уравнение

сердцевины - бинарной операции на базе третьего слоения.

В главе 3 "Эластичные ткани ранга 2" производится исследование эластич-

ных три-тканей с тензором кручения ранга 2, находятся структурные уравнения

14

таких тканей и уравнения в локальных координатах класса E2r (2).

В §3.1 "Структурные уравнения основного класса эластичных три-тканей

ранга 2" исследуется W -алгебра эластичных тканей ранга 2, определяются два

класса таких тканей, названных основными, и находится система структурных

уравнений ткани E2r (2). Доказывается, что ткань E2r (2) представляет собой по-

лупрямое произведение двух регулярных (параллелизуемых) тканей.

В §3.2 "Уравнение три-ткани E2r (2) в локальных координатах" интегриру-

ется система структурных уравнений, найденных в предыдущем параграфе, и

находятся уравнения ткани E2r (2) в локальных координатах.

В §3.3 "Доказательство эластичности три-ткани E2r (2)" доказывается, что

ткани E2r (2) являются эластичными тканями.

В §3.4 "Пример эластичной ткани ранга ρ" обобщаются классы тканей E2r

и E2r (2) до ткани произвольного ранга. Рассматриваются свойства этого клас-

са тканей, в частности, доказывается, что ткани E2r (ρ) являются A-тканями и

находятся их сердцевины.

15

Глава 1

Эластичные три-ткани

1.1 Многомерные три-ткани

Определение 1. Пусть M - гладкое многообразие размерности 2r, r ≥ 1.

Говорят, что на M задана три-ткань W = (M, λα ), α = 1, 2, 3 размерности

2r, если

1) на M заданы три гладких слоения λα коразмерности r;

2) в каждой точке p многообразия M любые два слоя находятся в об-

щем положении, т.е. их касательные пространства пересекаются по подпро-

странству нулевой размерности.

Мы будем рассматривать локальную геометрию три-тканей. Поэтому мож-

но считать, что три-ткань образована тремя семействами расслоений, находя-

щихся в общем положении.

Примеры. 1) Рассмотрим три семейства параллельных гиперплоскостей

размерности r в аффинном пространстве A2r , находящиеся в общем положении.

Они образуют три-ткань, которая называется параллельной тканью и обозна-

чается W0 .

2) Пусть G(·) - группа Ли размерности r, X - прямое произведение G ×

G. Через произвольную точку (a, b) из X проходит три слоя: (x, y) : x = a,

(x, y) : y = b и (x, y) : x · y = a · b, которые находятся в общем положении. По-

16

этому слоения x = const, y = const и x · y = const образуют три-ткань W (G),

называемой групповой три-тканью.

На три-ткани можно ввести локальную систему координат. Как уже отме-

чалось, можно считать, что три-ткань образована тремя расслоениями в окрест-

ности U (p), поэтому окрестность диффеоморфна прямому произведению баз

каких-нибудь двух расслоений, например, U ∼ X1 × X2 (Xα - база слоения λα ).

Тогда любая точка q ∈ U (p) получит координаты q(xi , y j ), где xi и y j - локаль-

ные координаты на базах X1 и X2 соответственно. Таким образом, слои первого

и второго семейства будут задаваться уравнениями xi = const и y j = const.

Третье слоение будет задаваться уравнением f i (x1 , .., xr , y 1 , ..., y r ) = const или,

в более краткой записи, f i (xj , y k ) = ci , где f i - некоторые гладкие функции.

Так как слои находятся в общем положении, то в каждой точки окрестности

U (p) будут выполнятся условия:

 i  i

∂f ∂f

det j

6= 0, det 6= 0. (1.1)

∂x ∂y k

Векторнозначную функцию f i (xj , y k ) называют функцией три-ткани W , а

уравнение -

z i = f i (xj , y k ) (1.2)

или, в более краткой записи, z = f (x, y) - уравнением три-ткани W . Геометри-

ческий смысл этого уравнения состоит в том, что оно связывает параметры x,

y и z трех слоев три-ткани, проходящих через точку q(xi , y j ) окрестности U (p).

С другой стороны, функцию f (x, y) ≡ xy можно рассматривать как бинар-

ную операцию, которая является гладкой локальной квазигруппой и называется

координатной квазигруппой три-ткани W .

Уравнение три-ткани определено с точностью до локальных диффеомор-

физмов:

x̃ = J1 (x), ỹ = J2 (y), z̃ = J3 (z), (1.3)

которые обозначают преобразования локальных координат на базах Xα слоений

λα . Функции f i , заданные в разных окрестностях, естественно согласованы на

17

пересечениях, но глобально определенной функции ткани, вообще говоря, не

существует.

Определение 2. Две три-ткани W и W

f одинаковой размерности называ-

ются эквивалентными, если существует тройка J = (J1 , J2 , J3 ) локальных

диффеоморфизмов Jα : Xα → Xα , таких, что функции три-тканей f и f˜

связаны соотношением:

f˜(J1 (x), J2 (y)) = J3 (f (x, y)). (1.4)

В теории квазигрупп такая тройка функции Jα называется изотопией. В

частности, три-ткани эквивалентные параллельной ткани W0 , называются па-

раллелизуемыми или регулярными.

Классификация три-тканей тесно связана с условиями замыкания конфи-

гураций, образованных слоями три-ткани. На рис.1.1 изображена шестиуголь-

ная конфигурация или фигура H, при этом слои первого, второго и третьего

семейств ткани изображаются вертикальными, горизонтальными и наклонны-

ми линиями соответственно. Фигура H получается следующим образом. Пусть

p - произвольная точка в области определения три-ткани W . Через нее прохо-

дят три слоя этой ткани. Возьмем на одном из них точку a, и проведем через

нее вертикальный слой ткани, который пересекает наклонный слой в точке b.

Аналогичным образом получаем точки c, d, e и f . В общем случае точки a и f

не лежат на одном наклонном слое ткани. Если же эти точки лежат на одном

слое, то говорят, что шестиугольная фигура (abcdef ) замыкается. Если на три-

ткани замыкаются все фигуры H, то такую три-ткань называют шестиугольной

или тканью H.

Условие замыкания фигуры H может быть записано с помощью умноже-

ния в координатной квазигруппе. Обозначим параметры и слои как указано на

рисунке 1.1. Равенство z = f (x, y) = xy означает, что наклонный слой z прохо-

дит через точку пересечения слоев x и y. Поэтому условия замыкания фигуры

18

 Фигура H

e f y

y3

v u°v

d

a

x=a x

y2 p

u

p=(a,b)

y1 y=b

e

c b

x1 x2 x3

Рис. 1.2: Операция умножения в ло-

Рис. 1.1: Шестиугольная конфигура-

кальной лупе.

ция.

H запишется в виде системы:

x 1 y2 = x 2 y 1 ,

x1 y3 = x2 y2 = x3 y1 , (1.11)

x 2 y3 = x 3 y2 .

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Джукашев Камиль Рамилевич, 2016 год

Литература

[1] Blaschke W. Thomsens sechseckgewebe zueinander diagonale Netze. // Math.

Z. 1927. 28. S. 150—157.

[2] Bol G. Gewebe und Gruppen. // Math. Ann. 1937. 114. S. 414—431.

[3] Bol G., Uber ein bemerkenswertes 5-Gewebe in der Ebene// Abh. Math. Sem.

Univ. Hamburg, 11. 1936, 387–393.

[4] Chern S. S. Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimensionalen

Mannigfaltigkeiten in R2r // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1936. V. 11.

No 1–2. p. 333–358.

[5] Drapal, Ales, A-loops close to code loops are groups// Comment. Math. Univ.

Carolinae 41,2 (2000), 245-249

[6] Kneser H., Gewebe und Gruppen// Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 9 (1932),

147–151.

[7] D.G. Murdoch Quasigroups which satisfy certain generalized associative laws.

// Amer. J. Math., 1939, 61, 509—522.

[8] Moufang R., Zur Struktur von Alternativ Korpern. Math. Ann. 110 (1935),

416–430.

[9] Osborn M.J., A theorem on A-loops// Proc. Amer. Math. Soc.9 (1958), 347-349

123

[10] Phillips J.D., On Moufang A-loops// Comment. Math. Univ. Carolinae 41

(2000), 371-349

[11] Reidemeister, Kurt. Topologische Fragen der Differentialgeometrie. V. - Gewebe

und Gruppen.. // Mathematische Zeitschrift 29 (1929): 427-435.

[12] Thomsen G. Un teorema topologico sulle shiere di curve e una caratterizzazione

geometrica delle superficie isotermo-asintotiche. // Unione mat. ital. 1927. 6.

S. 80—85.

[13] Акивис М. А. О три-тканях многомерных поверхностей // Тр. геометр.

сем. ВИНИТИ АН СССР. 1969. Т. 2. C. 7–31.

[14] Акивис М. А. Шелехов А. М. Многомерные три-ткани и их приложения:

Монография // Тверь. Твер. гос. ун-т, 2010. 308 с.

[15] Антипова М. В. Восьмимерные ткани Бола с почти нулевым тензором

кривизны // Изв. ВУЗов. Математика. 2013. No 2. С. 43–56.

[16] Антипова М. В. О тканях Бола с почти нулевым тензором кривизны //

Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и техниче-

ские науки. 2011. No 26. С. 28–34.

[17] Баландина Г.А., Шелехов А.М. On general theory of elastic webs.// Webs and

Quasigroups, 1995, Tver, Tver State University, 62–74

[18] Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп — М.: Наука, 1967. — 224с.

[19] Иванов А. Д. Конечные уравнения четырехмерных тканей Боля // Сбор-

ник статей по дифференциальной геометрии. Калинин. Калининский гос.

унив. 1974. C. 70–78.

[20] Иванов А. Д. О четырехмерных тканях Боля эллиптического и гипербо-

лического типов // Изв. вузов. Матем. 1975. No 9. C. 25–34.

124

[21] Мальцев А.И. Аналитические лупы. Мат. сб. 36 (1955), N 3, 569–575.

[22] Нестеров А.И. Квазигрупповые идеи в физике. В сб.: Квазигруппы и неас-

социативные алгебры в физике. Труды института физики. Тарту, 1990, Т.

66, 107–120.

[23] Сабинин Л.В., Михеев П.О. Теория гладких луп Бола. М., Ун-т Дружбы

народов, 1985, 80 с.

[24] Федорова В. И. Об условии, определяющем многомерные три-ткани Боля

// Сиб. мат. журнал. 1978. No 19. C. 922–928.

[25] Федорова В. И. Шестимерные три-ткани Боля с симметричным тензо-

ром aij // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. ун-т. 1981. С.

110–123.

[26] Шелехов А.М. Классификация многомеpных тpи-тканей по условиям за-

мыкания. Пpоблемы геом. Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР,

1989, т.21, 109–154.

[27] Шелехов А.М. Об аналитических pешениях уpавнения x(yx) = (xy)x. Ма-

тем. заметки 50 (1991), N 4, 132–140.

[28] Шелехов А.М. О вычислении вторых ковариантных производных тензо-

ра кривизны многомерной три-ткани // Ткани и квазигруппы. Калинин:

Калининский государственный университет, 1990. с. 10-18

[29] Шелехов А.М. О дифференциально-геометрических объектах высших по-

рядков многомерной три-ткани Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 19,

ВИНИТИ, М., 1987, 101–154

[30] Шелехов А.М. О тpи-тканях с эластичными кооpдинатными лупами. Ка-

линин, Калининский гос. ун-т. Деп.в ВИНИТИ 2.12.1987, N 8465-В87.

125