Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Дуюнова, Анна Андреевна

• Дуюнова, Анна Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дуюнова, Анна Андреевна

Оглавление

Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.2 Краткое содержание диссертации

1 Три-ткани 1^(1, п, 1)

1.1 Структурные уравнения ткани 1)

1.2 Продолжение структурных уравнений три-ткани 1)

1.3 Вычисление первого структурного тензора ткани та, 1)

1.4 Аффинная связность, присоединенная к ткани 1^(1,71,1)

1.5 Параллелизуемые три-ткани та, 1)

1.6 Групповые три-ткани \¥(1,п,1)

1.7 Некоторые специальные классы три-тканей \¥(1, та, 1)

2 Системы ОДУ и определяемые ими три-ткани \¥(1,п, 1)

2.1 Три-ткань, определяемая системой ОДУ

2.2 Вычисление второго структурного тензора системы ОДУ

2.3 Системы ОДУ, определяемые некоторыми специальными классами три-тканей п, 1)

2.4 Системы ОДУ с нулевым тензором кривизны

2.5 Три-ткани, определяемые дифференциальным уравнением порядка п

2.6 О приведении системы ОДУ к каноническому виду

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений»

Введение

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования, ^-тканью в геометрии называют совокупность к гладких слоений. Два-ткани или сети кривых интенсивно изучаются примерно с середины XIX века, хорошо изучены их метрические, аффинные и проективные свойства. Позже стали рассматривать ткани, составленные из большего числа слоений, и более сложные объекты — ткани, образованные на гладких многообразиях слоениями различной размерности.

Три-ткани с точностью до локальных диффеоморфизмов начали изучать в двадцатых годах прошлого века на гамбургском геометрическом семинаре Вильгельм Бляшке и его коллеги и ученики: К. Рейдемейстер, Г. Томсен, Г. Бол и др. Они показали, что условие замыкания на криволинейной три-ткани Ш конфигураций определенного вида, образованных линиями этой ткани, отвечает некоторым тождествам, выполняемым в ее координатной квазигруппе и координатных лупах. Основные результаты этих исследований были опубликованы в [17] и [18]. В середине тридцатых годов появилась работа [43] С. Черна, в которой он методом внешних форм Э. Картана изучает многомерные три-ткани \¥(г,г:г), образованные тремя семействами г-мерных поверхностей в 2г-мерном пространстве (далее классическая теория тканей). Современный вид классическая теория тканей приобрела в работах М. А. Акивиса, его коллег и учеников [8].

Ткани образованные слоениями разных размерностей, на-

чал и рассматривать В. Бляшке [15], [16] и Г. Бол [18]. Общая теория тканей, образованных слоениями разных размерностей, построена М. А. Акивисом и В. В. Гольдбергом в работах [5], [6]. Они нашли структурные уравнения три-ткани д,г), определили ее первый и второй структурные тензоры, выяснили геометрический смысл обращения нуль первого структурного тензора и его некоторых подтензоров. В работе [22] В. В. Гольдберг определил некоторые специальные классы три-тканей Ш(р, г), названные им трансверсально-геодезическими, шестиугольными и групповыми, и нашел соответствующие тензорные характеристики. Изучение три-тканей, образованных слоениями разных размерностей, продолжилось в работах других авторов, см. например [14], [19] и [35]. Однако, вследствие разной размерности слоев, образующих ткань, долгое время не удавалось получить обобщения основных алгебраических и геометрических понятий классической теории тканей для тканей Ш(р, д, г). Это было сделано сравнительно недавно Г. А. Толстихиной, результаты которой можно найти в [8].

Ткани \¥(р,д,г) при различных значениях р, д и г более детально изучали Ю. А. Апресян [9] - [12], Нгуен Зоан Туан [29] - [30].

Три-ткани, образованные двумя семействами кривых и одним семейством поверхностей, изучала Н.Х. Азизова [1] - [3]. Она рассматривает три-ткань как эквивалент другого геометрического объекта — однопара-метрического семейства локальных диффеоморфизмов одной поверхности на другую.

Теория многомерных три-тканей имеет многочисленные приложения в разных разделах математики и физики, см. об этом в [17], [7], [35]. Это важное обстоятельство объясняется тем фактом, что ткань вполне определяется своим уравнением 2 = /(х,у), связывающим параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Другими словами, три-ткань есть

геометрическая модель функции двух переменных, и поэтому теория тканей приложима там, где исследуются функции двух переменных. Например, Е. В. Ферапонтов применяет три-ткани для исследования дифференциальных уравнений гидродинамического типа [38] - [42]; X. О. Кильп

— для исследования некоторых квазилинейных систем, в частности, из механики, а также при изучении преобразований Бэклунда [24] - [26].

В работах [36], [37] показано, как применять аппарат теории тканей для исследования и классификации обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В частности, с помощью дифференциальных инвариантов ткани охарактеризованы линейные уравнения и уравнения Риккати.

В перечисленных выше приложениях авторы рассматривали классическую ткань, образованную слоениями одинаковой размерности. Однако, с более сложными объектами, такими как системы обыкновенных дифференциальных уравнений, связаны ткани, образованные слоениями разных размерностей. Наш подход основывается на том, что система ОДУ имеет геометрически эквивалентный объект — три-ткань \¥(1,п, 1), образованную двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей. Это обстоятельство дает возможность применить теорию тканей и соответствующие дифференциально-геометрические методы для изучения свойств систем ОДУ.

Заметим, что геометрия дифференциальных уравнений исследовалась очень широко и разными методами, см., например, обзоры [31], [32]. Но систематического исследования систем ОДУ с помощью теории тканей не проводилось.

Цель работы. В настоящей работе с системой обыкновенных дифференциальных уравнений связывается адекватный геометрический объект

— три-ткань \¥(1:п,1), образованная двумя семействами кривых и од-

ним семейством гиперповерхностей. Цель работы состоит в исследовании свойств систем дифференциальных уравнений с помощью методов теории тканей.

Основные задачи исследования:

— найти структурные уравнения три-ткани \У(1,п,1), их дифференциальные продолжения;

— с помощью структурных уравнений описать некоторые классы три-тканей Ц[{\ , п, 1);

— уточнить и дополнить некоторые результаты, сформулированные в работах [6], [22];

— исследовать три-ткани 1), определяемые системами ОДУ, выразить инварианты этой ткани через функции, определяющие систему ОДУ;

— охарактеризовать некоторые специальные системы ОДУ в терминах соответствующей три-ткани.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Найдены и исследованы структурные уравнения три-ткани ]№{1,п,1) и их дифференциальные продолжения.

2. Для основных специальных классов три-тканей И^(1,п, 1) (параллели-зуемых, групповых, трансверсально-геодезических, допускающих аффинную связность) доказана достаточность соответствующих тензорных условий.

3. Для системы ОДУ определена три-ткань п, 1), и инварианты этой ткани выражены через функции, определяющие систему ОДУ.

4. Найдены характеристики в терминах соответствующей ткани для неко-

торых систем ОДУ специального вида: автономных, почти автономных, с нулевым тензором кривизны и т. д.

Методы исследования. В теории тканей применяются методы современной математики: тензорный анализ, внешнее дифференциальное исчисление, теория связностей, теория групп Ли, теория расслоенных пространств, методы проективной и аффинной геометрии и т.д. В работе широко используется метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана, развитый в работах российских математиков С. П. Финикова, Г. Ф. Лаптева, А. М. Васильева и с успехом примененный М. А. Акивисом и его учениками в теории многомерных три-тканей. Все рассмотрения имеют локальный характер.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов в рамках специализации по геометрии тканей и дифференциальным уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях (в хронологическом порядке):

— международная конференция «Геометрия в Кисловодске — 2010» (Кисловодск, сентябрь 2010 г.);

— вторая Российская школа-конференция с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, декабрь 2010 г.);

— геометрический семинар кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета, рук. В.Ф. Кириченко (апрель 2011 г.);

— международная конференция «Геометрия в Одессе — 2011» (Украина, Одесса, май 2011 г.);

— геометрический семинар кафедры функционального анализа и геометрии Тверского государственного университета, рук. А. М. Шелехов (апрель, октябрь 2011 г.);

— The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equation (Москва, август 2011 г.);

— международная школа-конференция для молодежи «Геометрия. Управление. Экономика» (Астрахань, август 2011 г.);

— международный геометрический семинар имени Г. Ф. Лаптева «Лап-тевские чтения — 2011» (Пенза, сентябрь 2011 г.);

— геометрический семинар им. Г. Ф. Лаптева кафедры математического анализа МГУ им. М. В. Ломоносова, рук. Л. Е. Евтушик (сентябрь, декабрь 2011).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах, 4 тезиса докладов:

1. Дуюнова А. А. О три-тканях W(l,n,l) // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Кисловодске — 2010». Кисловодск, 2010. С. 25.

2. Дуюнова А. А. Вычисление инвариантов ткани W(l,n, 1) // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании: Материалы второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых: статьи, обзоры, тезисы докладов. Тверь: ТвГУ. 2010. С. 91-95.

3. Дуюнова А. А. Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16. В. 2. С. 13-31.

4. Дуюнова А. А. Три-ткани W(l,n, 1) и системы ОДУ // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Одессе — 2011».

Одесса, 2011. С. 39.

5. Дуюнова А. А. Три-ткани, определяемые системами ОДУ // Abstracts The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equation. Москва, 2011. С. 92-93.

6. Дуюнова А. А., Шелехов A. M. О три-тканях W( 1, n, 1) с нулевым первым структурным тензором // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2011. № 26. С. 82-88. (журнал из списка ВАК)

7. Дуюнова А. А. О приведении системы ОДУ к каноническому виду // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. 2011. № 26. С. 76-81. (журнал из списка ВАК)

8. Дуюнова А. А. Три-ткани W(l,n, 1) и ассоциированные системы ОДУ // Изв. ВУЗов. Математика. 2012. № 2. С. 43-56. (журнал из списка ВАК)

9. Дуюнова А. А. Три-ткани W(l,n, 1) и динамические системы // Тезисы международной научной конференции «Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство». Ереван, 2011. С. 56-58.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 95 страницах печатного текста, состоит из введения, двух глав, включающих 13 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 44 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

0.2 Краткое содержание диссертации

Во введении дается общая характеристика работы, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, приводятся основные ре-

зультаты.

В первой главе «Три-ткани W(l,n, 1)» излагаются основные сведения из теории тканей W(l, гг, 1), образованных двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей.

В § 1.1 приводится определение три-ткани W(l,n, 1), образованной двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей на гладком многообразии размерности п + 1. Две ткани считаются эквивалентными, если существует локальный диффеоморфизм, переводящий слоения одной ткани в слоения другой. К три-ткани W(l,n, 1) присоединяется семейство адаптированных реперов TZ(W), в которых слоения этой ткани имеют вид

Ai : ши = 0, шп = 0; Л2 : соп+1 = 0; Л3 : üju = 0, шп + шп+1 = 0,

где u,v,... = 1,2,... ,п — 1. Группа допустимых преобразований, сохраняющих вид этих уравнений, определяет G-структуру на многообразии три-ткани W(l,n, 1).

Найдены структурные уравнения ткани W(l,n, 1) (теоремы 1.1 и 1.2):

duu = ш" А ш" + ¡Iйшп А сип+\

du11 = сии А < + шп А (1)

dtün+1 = cun+1 А

duj% = ш™ А < + А cün+1 + fc>n Л шп+1 - cow А

= wJA<+wunAwS + Л wn+1 - uv А ипию (2)

dul = ришп+1 А си% + tuuu А шп+1 + tncün А шп+1

dpu = -¿¿X + 2/iX + + + (3)

где формы u™v и симметричны по нижним индексам.

Показано, что семейство адаптированных реперов 1Z(W) порождает G-структуру, на которой величины ри образуют тензор (предложение 1.1). Он называется первым структурным тензором три-ткани W(l,n, 1).

В § 1.2 найдено дифференциальное продолжение структурных уравнений ткани \¥(1,п, 1) (теорема 1.3):

+ ши3 Л 04, — о;® Л - < Л - /¿X™ Л шп+1 =

-АМ А - Л и/1"*"1 - Л бс;п+1 + Л о;5

- иС Л < - < Л - Л ^ + Л <

= Л шп+г - Л - тиьшп Л о;п+1 + Л о;"7,

(Ии - - гиш1 - + = + +

<йп - 2гпси™ + = тмпа;и + т^о;" + гапп+1а;п+1, + - - А« - 2*;>» = + Кпшп +

^ + А;Х - ЗВД = /С"" + Кпшп + Кп+1ип+\

+ - = зм>Хп +

+ {Кп+1 - 2+ - 2/х«*п) а/* +

п+1

а;

,п+1

При этом величины /г^,, га^, и симметричны по нижним индексам.

Показано, что совокупность величин £п, А^+1} образует тен-

зор на некоторой С-структуре (предложение 1.2). Он называется вторым структурным тензором три-ткани \¥(1 , п, 1).

В § 1.3 три-ткань ]¥(1 ,гг, 1) задается уравнением гг = .Рг(£, х-?), г^,... = 1,2,... ,п, связывающим параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Компоненты первого структурного тензора ри и формы Ц выражены через частные производные от функций .Р, например:

/ трп ри три рп \

,.и _ [ три _ г ри _ Ь трп , I г трп 1 туг ~ \ рпГи рпГй ' у

В § 1.4 рассматриваются аффинные связности без кручения, присоединенные к три-ткани 1). Доказана

Теорема 1.4. Уравнения (1) и (2) определяют на многообразии М аффинную связность без кручения тогда и только тогда, когда фор-

мы ш™, шпа,и и являются главными, то есть выражаются через базисные формы ши, ип и шп+1.

Такие связности называются совместимыми. Доказана Теорема 1.5. Во всех совместимых с три-тканью Ж(1,п, 1) аффинных связностях Г и только таких связностях слои ткани будут вполне геодезическими.

В теоремах 1.4 - 1.8 мы уточняем и приводим доказательства некоторых результатов, сформулированных в работах [6], [22].

В § 1.5 рассмотрены параллелизуемые ткани Ж(1,п, 1) (т.е. ткани, эквивалентные три-ткани ^(1,71,1), образованной в аффинном пространстве Ап+1 двумя семействами параллельных прямых и одним семейством параллельных п-мерных плоскостей). Доказана

Теорема 1.6. Три-ткань И^(1,п, 1) является параллелизуемой тогда и только тогда, когда ее первый и второй структурные тензоры равны нулю.

В § 1.6 рассматривается групповая ткань, обобщающая понятие групповой ткани из классической теории тканей. Структуру этой ткани описывает следующая

Теорема 1.7. Пусть — группа Ли с фиксированными одномерными подгруппами и для которой выполняются следующие условия.

1. В <2П+1 имеется абелева подгруппа С"-1 размерности п—1 транс-версальная и (?2-

2. В Сп+1 имеются две абелевы подгруппы С" и С^ размерности п, пересекающиеся по подгруппе причем С^ содержит содержит Сг-

3. С™ и С*2 являются нормальными подгруппами в Сп+1.

Тогда структурные уравнения группы (?п+1 имеют вид:

(1ыи = -Сипп+1шп Л (Ьп = 0, (коп+1 - 0.

В группе Сп+г имеется семейство п-мерных абелевых подгрупп, пересекающихся по подгруппе С1-1, а групповая ткань образована на группе дп+г смежньши классами по подгруппам ба и и по одной из абелевых п-мерных подгрупп этого семейства.

Доказана

Теорема 1.8. Для того, чтобы три-ткань 1/7(1, п, 1) была групповой, необходимо и достаточно, чтобы ее второй структурный тензор был равен нулю.

В § 1.7 рассмотрены некоторые специальные классы тканей \¥(1,п,1). Показано, что первый структурный тензор три-ткани 1) является

тензором неголономности неголономной криволинейной три-ткани ИУ/, определямой распределением = 0, а три-ткань является голо-

номной тогда и только тогда, когда ¡Iй = 0. В этом случае многообразие М расслаивается на оо™""1 двумерных многообразий V, на каждом из которых возникает криволинейная три-ткань два слоения которой состоят из линий первого и третьего слоений ткани 1). Для этой ткани относительный инвариант входящий в структурные уравнения (2), является кривизной, а величины тпп и тпп+х — ковариантными производными кривизны (теорема 1.10).

Ткани последнего типа названы трансверсально-геодезическими, так как двумерные поверхности V, определяемые уравнениями сии = 0, являются вполне геодезическими поверхностями во всех совместимых с три-тканью \¥(1:п,1) аффинных связностях. Двумерная три-ткань Ж, определенная на V, состоит из геодезических линий многообразия Мп+1 (теорема 1.11).

Здесь доказаны также следующие утверждения.

Теорема 1.12. Для того, чтобы двумерная три-ткань IV на каждой трансверсально-геодезической поверхности V трансверсалъно-геодезической ткани И^(1,тг, 1) была шестиугольной, необходимо и достаточно, чтобы относительный инвариант равнялся нулю:

ьп

0.

Такие ткани W(l,n, 1) называются шестиугольными [6].

Теорема 1.13. Для того, чтобы ткань W(l,n, 1) была шестиугольной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

ри = 0, tn = 0.

Теорема 1.14. Шестиугольная ткань W(l,n, 1) является параллели-зуемой тогда и только тогда, когда выполняется условие

4 = 0.

Во второй главе «Системы ОДУ и определяемые ими три-ткани W(l,n, 1)» определена ткань, соответствующая заданной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, и в терминах этой ткани охарактеризованы некоторые специальные системы ОДУ. В § 2.1 с системой дифференциальных уравнений

^ = f(t,x\...,x") (4)

связана три-ткань W(l,тг, 1), заданная на многообразии переменных x\t, и состоящая из семейств Аа, где

Ai : хг = const, А2 : t = const, A3 : Fl{t,x3) = сг = const,

причем последнее семейство состоит из интегральных кривых системы (4). Компоненты первого структурного тензора этой ткани выражены через функции /\ определяющие систему ОДУ:

dfn df jjU _ fU _ fn

dt J dt 14

Найдены также выражения для форм со", входящих в

структурные уравнения (1), (2). Доказана

Теорема 2.1. Система обыкновенных дифференциальных уравнений автономна в том и только том случае, если ри и ш™ равны нулю.

В § 2.2 компоненты второго структурного тензора ткани п, 1) вычислены через функции, определяющие соответствующую систему ОДУ: 1 д/п дР 1 д2Р

и

(¡п^дхи дЬ (¡п)2дхидГ

г = _1 _ г 92Г \ д2Г

ТЬ -Сп I О__г) О__7 / *

/п \дхп дг дхи дЬ дхадг) дхпдЬ'

ки = 1_ (дГд^ , г д21п др дГ

V £чп I О./. •>

V I ;

/п \дху д1 " дхид1 дху д1

1 дхуд1 ¡п дЬ дхш у дЬ дх™ и

£п я2 £и п2 £п Л2 £и 7,и _ £П XV__£71 * I £и £П и ^__/ £П\2 I

^п-зз дхут 3 з дх„т ^ з з дхпд1 и ; дхпд1 ^

+ гдГдГ + гдр_др _ гдРдР _ /идГ д?

дхп дЬ <9£ дху д1 дхп дЬ дху'

_ £Пд2Р £Пд2Г Р (дг\2 -дГдГ Кп+1 ~1 дг2 1 т2 /» V ) дь т ■

В § 2.3 рассмотрены некоторые специальные системы ОДУ: почти автономные системы, определяемые условием ри = 0, в частности, системы, соответствующие шестиугольным три-тканям. Доказаны

Теорема 2.2. Почти автономная система ОДУ, соответствующая трансверсально-геодезической три-ткани 1), локально эквива-

лентна системе вида

(1.хи =0, ¿хп

в которой только одно уравнение содержит переменную I. При этом многообразие М соответствующей три-ткани ]¥(1,п,1) (или расширенное фазовое пространство системы ОДУ) локально эквивалентно

прямому произведению ]Rn-1 х М?, двумерные слои которого несут криволинейные три-ткани W{cu), си £ образованные координатными линиями t = const, хп — const и интегральными кривыми рассматриваемой почти автономной системы ОДУ.

Теорема 2.3. Почти автономная система ОДУ, соответствующая шестиугольной три-ткани W(l,n, 1), имеет общие интегралы вида

хи(х*) = си, А(хи(х% хп) + В(хи(хг): t) = сп.

Теорема 2.4. Почти автономная система ОДУ, соответствующая параллелизуемой три-ткани W( 1, n, 1), имеет общие интегралы вида

хи{х1) = си, А(хи(х%аГ) + B(t(t)) = сп.

В § 2.4 к системе дифференциальных уравнений (4) присоединяется совместимая аффинная связность, названная канонической связностью этой системы. Тензор кривизны этой связности назван тензором кривизны системы ОДУ. Компоненты тензора кривизны вычислены через функции, определяющие систему дифференциальных уравнений, и доказана

Теорема 2.5. Система ОДУ (4) с нулевым тензором кривизны имеет вид:

— = cuv(xn)q(xn)g(t)xv + bu{x\ t),

drn

a - =

причем функции bu(xn,t) удовлетворяют уравнению

Bhu(rn t)

дхп = bV(xn' WW) + 9(t)r\xn\

где ru(xn) — некоторая произвольная гладкая функция.

В § 2.5 рассмотрены обыкновенное дифференциальное уравнение гг-го порядка

разрешенное относительно старшей производной, и эквивалентная ему система ОДУ

(1.х1 2

00 2

(И

(1х

(5)

- «X/ 4

М

^ = /(£, х 1 X , . . . , X ).

Показано (предложение 2.1), что система ОДУ может быть приведена к виду (5) допустимой заменой переменных (х = х(х), t = ¿(¿)) в том и только в том случае, если какая-либо из функций /г не зависит от переменной Для таких систем найдены компоненты основных тензоров соответствующей три-ткани 1¥(1,п,1).

В § 2.6 рассматривается вопрос о приведении системы ОДУ к некоторому (каноническому) виду в случае, если функции /г, вообще говоря, зависят от но компоненты первого основного вектора ¡ли от переменной £ не зависят. В этом случае (лемма 2.2) существуют локальные координаты хг и в которых первый структурный вектор имеет следующие компоненты:

^ = 1, = 0 й = 2,3,... ,п — 1.

Такие системы ОДУ названы пред автономными, а переменные хг и в которых первый структурный вектор системы имеет указанный вид, названы каноническими. Доказано

Предложение 2.2. Система ОДУ (4) является предавтономной в том и только том случае, если все функции /г являются решениями дифференциального уравнения вида

/й =рОМ)/,

где р(х, ¿) — произвольная гладкая функция. В этом и только в этом случае каждая из переменных хг системы (4) удовлетворяет диффе-

17

ренциальному уравнению третьего порядка

сРхг , , dxl

р(х, t)-

dt3 v ' 7 dt'

Далее записан вид предавтономной системы ОДУ в канонических переменных (предложение 2.3):

dx1 cos ip dt ^pt'

<6>

dxn * y J dxn sin ip

Показано (лемма 2.3) что, если пространство переменных хг и t является евклидовым с некоторым фиксированным ортонормированным базисом £г,£п+ъ Т">3 = 1,2, ...п, то векторы фиксированного и подвижного репера связаны соотношениями

Г

В этом случае выяснен геометрический смысл величины <р, входящей в уравнения (6) (предложение 2.4).

Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук, профессору А. М. Шелехову за постановку проблемы, оказанное внимание и постоянную помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дуюнова, Анна Андреевна, 2012 год

Литература

[1] Азизова (Селиванова) Н.Х. О тканях из кривых и поверхностей // Ученые зап. МГПИ. Вопросы дифференциальной геометрии. 1970. Т. 374. № 1. С. 7-17.

[2] Азизова (Селиванова) Н. X. Интранзитивные семейства преобразований // Изв. вузов. Матем. 1984. № 12. С. 69-71.

[3] Азизова (Селиванова) Н.Х. О три-ткани из кривых и гиперповерхностей и однопараметрическом семействе диффеоморфизмов // Горь-ковский инж.-строит, ин-т. Горький. 1988. Деп. в ВИНИТИ АН СССР 6.06.1988. № 4448-В88.

[4] Акивис М. А. О три-тканях многомерных поверхностей // Тр. геометр. сем. ВИНИТИ АН СССР. 1969. Т. 2. С. 7-31.

[5] Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей // Докл. АН СССР. 1972. Т. 203. № 2. С. 263-266.

[6] Акивис М. А., Гольдберг В. В. О многомерных три-тканях, образованных поверхностями разных размерностей // Тр. геометр, сем. ВИНИТИ АН СССР. 1973. Т. 4. С. 179-204.

[7] Акивис М. А. Шелехов А. М. Geometry and Algebra of Multidimensional Three-Webs // Kluwer Academic Publishers. Dordrecht/Boston/London, 1992. xvii+358 pp.

[8] Акивис М. А. Шелехов А. М. Многомерные три-ткани и их приложения: Монография // Тверь. Твер. гос. ун-т, 2010. 308 с.

[9] Апресян Ю. А. Три-ткани из кривых и гиперповерхностей и семейства диффеоморфизмов одномерных многообразий // Дифференциальная геометрия. Калинин. Калининский гос. ун-т. 1977. С. 10-12.

[10] Апресян Ю.А. О многомерных три-тканях, образованных двумя семействами гиперповерхностей и одним семейством кривых // Изв. вузов. Матем. 1977. № 4. С. 132-135.

[11] Апресян Ю.А. Трехпараметрическое семейство диффеоморфизмов кривой на кривую, содержащее два линейных комплекса однопара-метрических подсемейств специального типа // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. унив. 1984. С. 8-15.

[12] Апресян Ю. А. Об одном классе три-тканей на четырехмерном многообразии и соответствующем дифференциальном уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Матем. 1985. № 1. С. 3-8.

[13] Базылев В. Т. Геометрия дифференцируемых многообразий. М.: Высш. шк„ 1989. 221 с.

[14] Белоусов В. Д. Рыжков В. В. Геометрия тканей // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Геометрия. Топология. 1972. Т. 10. С. 159-188.

[15] Blaschke W. Zwei Kurvenscharen und eine Flächenschar // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1931. № 9. p. 48-63.

[16] Blaschke W. Abzahlungen für Kurvengewebe und Flächengewebe // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1933. № 9. p. 239-312.

[17] Бляшке В. Введение в геометрию тканей. М.: Физматгиз, 1959. 144 с.

[18] Blaschke W., Bol G. Geometrie der Gewebe // Springer-Verlag. Berlin. 1938. viii+339 pp.

[19] Васильев A.M. Теория дифференциально геометрических структур. М.: Изд-во МГУ, 1987. 190 с.

[20] Васильева М. В. Группы Ли преобразований // М.: МГПИ, 1969. 175 с.

[21] Верба Е. И. Неголономные три-ткани // Сборник трудов Геометрия погруженных многообразий. М.: МГПИ. 1978. С. 18-25.

[22] Гольдберг В. В. Трансверсально-геодезические, шестиугольные и групповые три-ткани, образованные поверхностями разных размерностей // Сборник статей по дифференциальной геометрии. Калинин. Калининский гос. ун-т. 1974. С. 52-69.

[23] Евтушик JI.E., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. 1979. Т. 9. С. 5-246.

[24] Кильп X. О. Две квазилинейные системы 5|2 из механики с шестиугольной три-тканью характеристик (геометрическая теория) // Уч. зап. Тартусского гос. ун-та. 1975. Т. 374. С. 63-78.

[25] Кильп Х.О. Геометрия квазилинейных систем дифференциальных уравнений и m-ткани // Уч. зап. Тартусского гос. ун-та. 1984. Т. 665. С. 14-22.

[26] Кильп Х.О. Bäcklund transformations and geometry of multidimensional three-webs // Topological Phases in Quantum Theory (Dubna, 1988), 425-436, World Sei. Publishing, Teaneck, NJ, 1989.

[27] Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М.: Моск. педагогич. гос. ун-т, 2003. 495 с.

[28] Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геометр, сем. ВИНИТИ АН СССР. 1966. Т. 1. С. 139-189.

[29] Нгуен Зоан Туан О многомерных три-тканях типа W(P, Р, Q) // Геометрия погруженных многообразий. М. Моск. гос. пед. ин-т. 1986. С.101-112.

[30] Нгуен Зоан Туан Некоторые подклассы три-тканей W(P, Р, Q) с постоянными компонентами основного тензора // Ткани и квазигруппы. Калинин. Калининский гос. ун-т. 1987. С. 82-87.

[31] Степанов Н. В. Дифференциально-геометрическая теория уравнения у(п) = f(x,y,yr,... // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Проблемы геометрии. 1977. Т. 8. С. 47-67.

[32] Степанов Н.В. Геометрия дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Проблемы геометрии. 1981. Т. 12. С. 127-165.

[33] Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Мышкиса А.Д., Олейник O.A. М.: МГУ, 1984. 296 с.

[34] Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производным. М.: МГУ, 1961. 401 с.

[35] Толстихина Г. А. Алгебра и геометрия три-тканей, образованных слоениями разных размерностей // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современная математика и ее приложения. 2005. Т. 32. С. 29-116.

[36] Уткин А. А., Шелехов А. М. О три-тканях, определяемых линейным дифференциальным уравнением первого порядка // Изв. вузов. Ма-тем. 2001. № 11. С. 54-57.

[37] Уткин A.A., Шелехов A.M. Три-ткани, определяемые уравнением Риккати // Изв. Вузов. Матем. 2004. № 11. С. 87-90.

[38] Ферапонтов Е. В. Слабо нелинейные полугамильтоновы системы дифференциальных уравнений с точки зрения теории тканей // Уч. зап. Тартусского ун-та. 1988. Т. 803. С. 103-114.

[39] Ферапонтов Е. В. Системы трех дифференциальных уравнений гидродинамического типа с шестиугольной три-тканью из характеристик на решениях // Функцион. анализ и его прил. 1989. Т. 23. № 2. С. 79-80.

[40] Ферапонтов Е. В. Интегрирование слабо нелинейных полугамильто-новых систем гидродинамического типа методами теории тканей // Мат. сб. 1990. Т. 181. № 9. С. 1220-1235.

[41] Ферапонтов Е. В. Уравнения гидродинамического типа с точки зрения теории тканей // Мат. заметки. 1991. Т. 50. № 5. С. 97-108.

[42] Ферапонтов Е. В. Геометрия тканей и математическая физика // В кн.: Акивис М.А., Шелехов A.M. Многомерные три-ткани и их приложения: Монография. Тверь. Твер. гос. ун-т, 2010. С. 264-300.

[43] Chern S. S. Eine Invariantentheorie der Dreigewebe aus r-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R2r // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1936. V. 11. № 1-2. p. 333-358.

[44] Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения: Учебник. Изд. 7-е. М.: Издательство ЛКИ, 2008. 320 с.