Многообразия Римана-Картана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Гордеева, Ирина Александровна

• Гордеева, Ирина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гордеева, Ирина Александровна

Введение

1. Многообразия и линейные связности

§1. Многообразия и связности.

§2. Метрически-аффинные пространства. Теорема Грина

§3. Представление ортогональной группы и теорема Ж.-П. Бургиньена.

2. Многообразие Римана-Картана

§1. Классификация многообразий Римана-Картана.

§2. Примеры многообразий Римана-Картана.

§3. Скалярная и полная скалярная кривизны многообразия

Римана-Картана.

§4. Характеристики многообразий Римана-Картана выделенных классов и теоремы исчезновения.

3. Векторные и тензорные поля на многообразии Римана-Картана

§1. Псевдокиллинговы векторные поля на многообразии

Римана-Картана.

§2. Псевдогармонические векторные поля на многообразии

Римана-Картана.

§3. Поля симметрических тензоров на многообразии Римана

Картана

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многообразия Римана-Картана»

Актуальность темы исследования. Метрически-аффинным пространством называется тройка (М, д, V), где М - дифференцируемое многообразие размерности п > 2 с метрикой д некоторой сигнатуры и линейной связностью V с ненулевым кручением S, которая, вообще говоря, не зависит от д. Именно эти пространства в последние полвека стали объектом интенсивного изучения в теоретической физике, свидетельством чему сотни опубликованных статей. Напротив, в дифференциальной геометрии только частные виды метрически-аффинных пространств (М, д, V) время от времени попадали в поле зрения ученых, о чем мы скажем ниже, но в целом геометрия (М, д, V) никогда не вызывала их активного интереса.

Начало теории метрически-аффинных пространств было положено Э. Картаном в 1922 году (см. [11]), который предложил вместо связности Леви-Чивита V в GRT (сокращенное от General Relativity Theory) рассматривать несимметричную линейную связность V, обладающую свойством метричности Vg = 0. В результате пространство-время получало в дополнение к кривизне еще и ненулевое кручение S. Впоследствии в 1924 и 1925 годах им было опубликовано еще две работы (см. [12] и [13]) в развитие своей теории. Кроме того, им была выдвинута идея пространства абсолютного параллелизма. Позднее Э. Картан указал, что эта идея была переоткрыта А. Эйнштейном в 1928 г., положившим ее в основу единой теории поля, в которой тензор электромагнитного поля совпадает с тензором кручения пространства абсолютного параллелизма [9], [10], [67]. Данная теория получила в дальнейшем название Einstein-Cartan Theory of Gravity или сокращенно ЕСТ (см., напр., [4]; [59]). Идея Э. Картана о несимметрической метрической связности почти сразу нашла отражение в известных монографиях по дифференциальной геометрии первой половины прошлого века (см. [15]; [16]; [84] и др.).

Вплоть до начала 60-х годов предложение Э. Картана о применении несимметрической метрической связности в GRT не находила широкой поддержки у физиков-теоретиков. Толчком к изучению ЕСТ послужили работы Т. Кибла (см. [33]) и Д. Сциямы (см. [48]), которые независимо друг от друга установили связь между кручением S связности V и спин тензором материи s. Впоследствии были найдены и другие физические приложения ЕСТ (см., напр., [41] и [47] и др.). Так, например, установлено (см., [37]), что кручение S зависит от квантовых свойств материи и поскольку кручение является частью метрической связности V, то и сама связность V, следовательно, зависит от квантовых свойств материи. До последнего времени не стихают дискуссии о необходимости включения кручения в теорию гравитации (см. [18]; [19]).

Впоследствии теория Эйнштейна-Картана была обобщена (см. [26]) за счет введения требования неметричности Q := —Х7д Ф 0 для линейной связности V. Новая теория получила название Metric-Affine Gauge Theory of Gravity или сокращенно MAG (см. [28]; [59]). Классификация различных типов изучаемых сейчас метрически-аффинных пространств в рамках MAG представлена составленной нами следующей диаграммой.

Metric-affine spaces

Число работ, опубликованных в рамках ЕСТ и MAG исчисляется уже сотнями, причем опубликованные результаты имеют в большей степени прикладной физический характер (см. обзоры [25]; [28]; [30]; [44]). Все исходные формулы новой теории были позаимствованы физиками из работ Э. Картана вместе с его методом, который сейчас так и называется "метод внешних форм Картана" (см. [88]). Так же нетрудно проследить заимствования и из монографий по дифференциальной геометрии, например, из классических монографий И. Схоутена и Д. Стройка (см. [84]; [85]) изложение в которых ведется на тензорном языке. В итоге, современные теории ЕСТ и MAG излагаются на довольно причудливом языке, который соединяет в себе методы внешних форм и тензорного анализа одновременно.

В этом контексте характерна работа Мак Креа (см. [36]), где были выведены неприводимые относительно действия псевдоортогональной группы 0{q) разложения тензоров неметричности Q = —V д, кручения S и кривизны R связности V, основные соотношения на которые были приведены еще в монографии И. Схоутена и Д. Стройка (см. [84]). Более того, идею своей статьи Мак Креа также позаимствовал из дифференциальной геометрии, где уже давно и хорошо известны неприводимые разложения тензоров кривизны R риманова и кэлерова многообразий, что нашло отражение уже и в монографиях (см. [27]; [76]; [69] и др.).

Другой результат Мак Креа о неприводимом разложении тензора кручения S является простым следствием более общего результата (см. [69], доклад XVI) о поточечно 0(д)-неприводимом разложении соответствующего тензорного расслоения Т*М ® А2М, гладким сечением которого и является S.

Воспользовавшись результатом Мак Креа, целый коллектив авторов (см. [8]) так же как это делалось не раз в римановой геометрии, но по другим поводам (см. [23]; [24]; [60]; [68] стр. 585-620 и др.), за счет последовательного попарного обращения в нуль неприводимых компонент разложения тензора кручения S выделил 4 класса пространств (М, д, V) и провел систематизацию результатов, полученных в рамках ЕСТ для четырехмерного пространства (М, V). При этом авторами был учтен тот факт, что при задании локальной ориентации многообразия оператор Ходжа * : АРМ —> ЛПРМ, который на многообразии в размерности п переводит внешние р-формы во внешние (га — р)-формы, действует в размерности 4 на внешних 2-формах, определяя естественное разложение Л2М = А.2М 0 А2+М для представления группы SO(q), где А±М - пространства собственных 2-форм оператора Ходжа, соответствующие собственным значениям +1 или - 1. В итоге, вместо трех неприводимых компонент разложения, которые имеются у тензора S в размерностях га не равных 4, в размерности га = 4 их уже четыре.

Заметим здесь, что если последовательно применять отработанную в геометрии методику классификации (см. [23]; [24]; [60]; [68] стр. 585-620 и др.), то вместо выделенных трех классов, в реальности получается 14 классов пространств (М, g, V).

На контрасте со все увеличивающимся потоком работ физиков, геометры к настоящему времени почти потеряли интерес к теории, основы которой заложил Э. Картан. Наиболее яркими и, к сожалению, последними результатами геометрии пространств (М, д, V) являются результаты JI. Ванхекке и Ф. Тричерри начала восьмидесятых годов прошлого века по геометрии многообразий с однородной структурой (см. [60]). В принятой современной физикой терминологии (см. [27]; [59]) эта теория относится к Riemann-Cartan Theory или сокращенно RCT. Геометрия Римана-Картана это геометрия метрически-аффинного пространства (М, д, V), с (псевдо)римановой метрикой д и линейной связностью V с ненулевым кручением S такой, что Q = 0. Но в отличие от общей теории метрически-аффинных пространств JI. Ванхекке и Ф. Тричерри (см. [60]) накладывали на (М, д, V) дополнительные условия в виде S7R = 0 и VT = 0, которые согласно теореме Амброуза-Зингера (см. [3]) вместе с условием Vg = 0 дают критерий однородности риманова многообразия (М, д). Доказав теорему о неприводимом относительно действия ортогональной группы разложении тензора деформации Т — V — V, они так же как и в работах [23]; [24]; [60] и др. перешли к классификации многообразий (М, д, V) с однородной структурой (см. [61]). В этой и последующих работах ими была изучена геометрия пространств из выделенных классов. Итоги исследований авторы подвели в монографии [60]. Отметим, что J1. Ванхекке и Ф. Тричерри как особый случай рассмотрели классификацию в размерности п = 4 (см. [62]).

Следует заметить, что результат JI. Ванхекке и Ф. Тричерри о неприводимом разложении тензора деформации Т = V — V является простым следствием более общего результата (см. [69], доклад XVI) о поточечно 0(д)-неприводимом разложении соответствующего тензорного расслоения Л2М <g) Т*М, гладким сечением которого и является тензор Т.

Как это показано автором (см. [100]), классификация J1. Ванхекке и Ф. Тричерри равносильна классификации, полученной на основе неприводимого разложения тензора кручения 5, притом, что последняя не предполагает обращения в нуль тензора неметричности Q, а потому является более общей и, следовательно, включает классификацию J1. Ванхекке и Ф. Тричерри.

Из всех видов метрически-аффинных пространств (М, д, V) в геометрии последовательно в течение длительного времени изучались только четверть-симметрические метрические пространства и их частный вид полусимметрические метрические пространства (см. [6]; [38]; [39]; [49]; [57]; [65] и др.). Четверть-симметрические метрические пространства существуют в рамках RCT и ЕСТ и выделяются дополнительным условием T(X,Y) := U{X)p(Y) - V(Y)p{X) - g(U{X),Y)Z, где g(U(X),Y) = (Sym F){X,Y)} g(V(X),Y) = (Alt F)(X,Y) для некоторого ковариантного 2-тензора F и р(Х) := g(Z,X). Полусимметрические метрические пространства определяются, в свою очередь, условием T(X,Y) := U(Y)X — U(X)Y для любых векторных полей X, Y и Z на М. Они были введены в рассмотрение К. Яно (см. [65]) и продолжают вызывать интерес исследователей вплоть до последнего времени (см., например, [63]; [66]).

Геометрия "в целом "метрически-аффинных пространств застыла на результатах К. Яно, С. Бохнера и С. Гольдберга (см. [7]; [22]; [92]) середины прошлого века. В их работах в рамках RCT доказывались "теоремы исчезновения" (vanishing theorems) для псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей и тензоров на компактных многообразиях Римана-Картана (М, д, V) с положительно определенным метрическим тензором д, выделяемых следующим условием trace S = 0 на тензор кручения S связности V. Даже не смотря на последующие попытки обобщения их результатов за счет введения в рассмотрение компактных метрически-аффинных пространств с границей (см. [34]; [45]) это, по-прежнему, было доказательство тех же теорем исчезновения для тех же векторных полей и тензоров.

При этом сформулированные в "теоремах исчезновения" (vanishing theorems) условия препятствия существованию псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей и тензоров поражают своей громоздкостью, в отличие от аналогичных теорем для киллинговых и гармонических векторных полей и тензоров на римановых многообразиях (см. [92]). Упрощения условий препятствия удавалось достичь только для случая многообразий Римана-Картана (М, д, V) с антисимметричным тензором кручения S связности V. Метрической связности с антисимметричным тензором кручения посвящена докторская диссертация, защищенная в Оксфорде в 2010 году, и работа [17] того же автора.

Симметрические тензоры, изучаемые нами, часто используются в ОТО (см., например, [86], стр. 339). При этом следует особо отметить, что геометрия таких векторов и тензоров ни до, ни после цитируемых нами работ никем не изучалась. Хотя аналогичные кососимметрические псевдокил-линговы тензоры были хорошо изучены (см. [7]; [92], стр. 86). Поэтому мы уделили симметрическим псевдокиллинговым и псевдокодацциевым тензорным полям отдельный параграф.

Цель настоящей работы - исследование пространств Римана-Картана.

Основные задачи диссертационной работы:

1) установить основные свойства многообразий Римана-Картана;

2) провести классификацию многообразий Римана-Картана;

3) установить основные инвариантные характеристики выделенных классов многообразий Римана-Картана;

4) исследовать геометрию псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей, а также псевдокиллинговых и псевдокодацциевых симметрических тензорных полей на выделенных классах многообразий.

Научная новизна исследования. Все основные результаты, представленные в настоящей работе и выносимые на защиту являются новыми.

Методы исследования. Изучение многообразий Римана-Картана проведено классическими методами дифференциальной геометрии, почерпнутыми нами из монографий [68]; [69]; [74]; [75] и [92]. Классификация многообразий Римана-Картана проведена с использованием теории представлений групп, изложенной в классической монографии Г. Вейля (см. [70]), а также с помощью некоторых модификаций этой теории, содержащихся в статьях сборника [69]. Глобальный аспект геометрической теории многообразий Римана-Картана изучен с помощью "техники Бохнера"(см.

43], стр. 187-234; [64]; [68], стр. 77-83) - аналитического метода, основанного на применении интегральных формул Вайценбека.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.

1) Проведена алгебраическая классификация многообразий Римана-Картана и установлена связь с классификацией почти эрмитовых многообразий Грея-Хервеллы.

2) Даны определения скалярной и полной скалярной кривизн многообразия Римана-Картана и установлена их связь со скалярной и полной скалярной кривизнами риманова многообразия.

3) Найдены условия препятствия существованию некоторых из выделенных классов многообразия Римана-Картана.

4) Изучена локальная и глобальная геометрии псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана.

5) Изучена геометрия симметрических тензорных полей на многообразии Римана-Картана двух выделенных нами классов.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что:

- применяются проверенные, точные и строго обоснованные методы исследования;

- многие результаты диссертации являются обобщением полученных ранее результатов и совпадают с этими результатами в частных случаях;

- все основные результаты диссертации доказаны и опубликованы.

Теоретическое и прикладное значение исследования. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейших исследований метрически-аффинных пространств и пространств Римана-Картана. Часть результатов может быть использована в теоретической физике при изучении свойств гравитации с кручением.

Апробация работы. Основные результаты были анонсированы в докладах на следующих семинарах и конференциях:

- Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10 - 15 июля 2006 г.);

- Пятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2006"(Казань, 1 - 6 ноября 2006 г.);

- Шестая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2007"(Казань, 16 - 19 декабря 2007 г.);

- Международный геометрический семинар им. Г.Ф. Лаптева (Пенза, 2007 г.);

- XIX Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга-2007"(Казань, 22 июня - 3 июля 2007 г.);

- Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 27 июня - 2 июля 2008 г.);

- Международная конференция "Геометрия в Одессе - 2008"(Одесса, 19 мая - 24 мая 2008 г.);

- Международная конференция "Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation" (Казань, 1-6 ноября 2010).

Публикации и вклад автора в разработку исследованных проблем. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 17 работах, общим объемом 8,5 печатных листов, в том числе 4 из них [94] - [93] в журналах Известия ВУЗов, Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского, Вестник КемГУ, Математические заметки, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований. В работах, написанных в соавторстве с научным руководителем, С.Е. Степанову принадлежат постановка задачи и историческая часть введения, И.А. Гордеевой принадлежит доказательство основных и вспомогательных утверждений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация результатов производится тремя символами. Например, теорема 1.2.3 означает теорему 3 из второго параграфа главы 1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гордеева, Ирина Александровна, 2012 год

1. Amari, S.-I. Differential geometry in statistical inference / S.-I. Amari, O. E. Barndorff-Nielsen, R. E. Kass, S. L. Lauritzen, C. Rao Institute of Mathematical Statistics: Hayward. - 1987.

2. Ambrose W. On homogeneous Riemannian manifolds / W. Ambrose, I.M. Singer // Duke Math. J. 1958. - V. 25. - P. 647-669.

3. Arkuszewski W. On the linearized Einstein-Cartan theory / W. Arkuszewski, W. Korczynski, V. Ponomariev // Ann. Inst. Henri Poincare. 1974. - V. 21. - P. 89-95.

4. Baekler P. Rotating black holes in metric-affine gravity / P. Baekler, F.W. Hehl //International Journal of Modern Physics D. 2006. - V. 15. - № 5. - P. 635-668.

5. Barua B. Some properties of semi-symmetric connection in Riemannian manifold / B. Barua, A.K. Ray // Ind. J. Pure Appl. Math. 1985. - V. 16. - № 7. - P. 726-740.

6. Bochner S. Tensor-fields in non-symmetric connections / S. Bochner, K. Yano //The Annals of Mathematics, 2nd Ser. 1952. - V. 56. - № 3 - P. 504 -519.

7. Capozziello S. Geometric classification of the torsion tensor in space-time. / S. Capozziello, G. Lambiase, C. Stornaiolo //Annalen Phys. 2001. -V. 10. - P. 713-727.

8. Cartan E. Notice historique sur la notion de parall'elisme absolu / E. Cartan // MA.Bd. 1930. - V. 3. - P. 1121-1129.

9. Cartan E. Le parallélisme absolu et la théorie unitaire du champ / E. Cartan // Revue Métath. Morale. 1932. - V. 3. - P. 1167-1185.

10. Cartan E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativé généralisée. Part I / E. Cartan // Ann. Éc. Norm. 1923. - V. 40. - P. 325-412.

11. Cartan E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativé généralisée. Part I. / E. Cartan // Ann. Éc. Norm. 1924. - V. 41. - P. 1-25.

12. Cartan E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativé généralisée. Part II. / E. Cartan // Ann. Éc. Norm. 1925. - Vol. 42. -P. 17-88.

13. Deszcz R. Differential geometry in statistics and econometrics / R. Deszcz, K. Sawicz //Electronic Modeling. 2005. - V. 27. - № 2. - P. 139-143.

14. Eisenhart L.P. Continuous groups of transformations / L.P. Eisenhart. -Prinseton: Prinseton Univ. Press. 1933.

15. Eisenhart L.P. Non Riemannian geometry / L.P. Eisenhart. New York: Amer. Math. Soc. Coll. Publ. - 1927.

16. Ferreira A. Einstein Four-manifolds with skew torsion / A. Ferreira. // Journal of Geometry and Physics. 2011. - V. 61. - P. 2341-2351

17. Garecki J. Is torsion needed in a theory of gravity? A reappraisal I. / J. Garecki // Bulletin de la sosiété des sciences et des lettres de LckTz. -2011. V. 61. - № 2. - P. 57-67.

18. Garecki J. Is torsion needed in a theory of gravity? A reappraisal II. / J. Garecki // Bulletin de la sosiété des sciences et des lettres de Lodz. -2011. V. 61. - №. 3. - P. 23-37.

19. Garecki J. Teleparallel equivalent of general relativity: a critical review Janusz Garecki. arXiv:1010.2654v2 gr-qc] 25 Oct 2010.

20. Garcia A. Colliding waves in metric-affine gravity / A. Garcia , C. Lâmmerzahl, A. Macias , E.W. Mielke, J. Socorro //Physical Review D. 1998. - V. 57. - Issue 6. - P. 3457-3462.

21. Goldberg S.I. On pseudo-harmonic and pseudo-Killing vector in metric manifolds with torsion / S.I. Goldberg // The Annals of Mathematics, 2nd Ser. 1956. - V. 64. - № 2. - P. 364-373.

22. Gray A. Einstein-like manifolds which are not Einstein. / A. Gray //Geometriae deicata. 1978. - V. 7. - P. 259-280.

23. Gray A. The sixteen class of almost Hermitean manifolds / A. Gray, L. Hervella // Ann. Math. Pura Appl. 1980. - V. 123. - P. 35-58.

24. Hamond R.T. Torsion gravity / R.T. Hamond // Rep. Prog. Phys. 2002. - Vol. 65. - P. 599-649.

25. Hehl F.W. On a New Metric-Affine Theory of Gravitation / F.W. Hehl, P. Heyde // Physics Letters B. 1976. - V. 63. - № 4. - P. 446-448.

26. Hehl F.W. Metric-affine gauge theory of gravity: field equations, Noether identities, word spinors, and breaking of dilation invariance / F.W. Hehl, J.D. McCrea, E.W. Mielke, Y. Ne'eman // Physics Reports. 1995. - V. 258. - P. 1-171.

27. Hehl F.W. General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects / F.W. Hehl, P. Heyde, G.D. Kerlick, J.M. Nester // Rev. Mod. Phys. 1976. - V. 48. - № 3. - P. 393-416.

28. Hehl F.W. Metric-affine gauge theory of gravity: II. Exact solutions / F.W. Hehl, A. Macias (15 Apl. 1999) 27 pages, arXiv:gr-qc/9902076v2.

29. Hehl F.W. Elie Cartan's torsion in geometry and in field theory, an essay / F.W. Hehl, Y.N. Obukhov // 2007. - arXiv:0711.1535vl gr-qc] 9Nov 2007.

30. Heinicke C., Baekler P., Hehl F.W. Einstein-aether theory, violation of Lorentz invariance, and metric-affine gravity / C. Heinicke, P. Baekler, F.W. Hehl (1 Apr 2005) 36 pages, arXiv:gr-qc/0504005vl.

31. Ho J.K. Some spherically symmetric exact solutions of the metric affine gravity theory / J.K. Ho, D.-C. Chern, M.J. Nester //Chiness Journal of Physics. 1997. - V. 35. - № 6-1. - P. 640-650.

32. Kibble T.W.B. Lorenz invariance and the gravitational field / T.W.B. Kibble // J. Math. Phys. 1961. - V. 2. - P. 212-221.

33. Kubo Y. Vector fields in a metric manifold with torsion and boundary / Y. Kubo // Kodai Math. Sem. Rep. 1972. - V. 24. - P. 383-395.

34. Macias A. Matching conditions in metric-affine gravity / A. Macias, C. Lammerzahl, L.O. Pimentel //Physical Review D. 2002. - V. 66 - Issue 6. - P. 104013-104021.

35. McCrea J.D. Irreducible decompositions of non-metricity, torsion, curvature and Bianchi identities in metric-affine spacetimes / J.D. McCrea // Class. Quantum. Grav. 1992. - V.9. - P. 553-568.

36. Megged O. Post-Riemannian Merger of Yang-Mills interactions with gravity / O. Megged //- 2001. arXiv:hep-th/0008135 - 54 p.

37. Muniraja G. Manifolds admitting a semi-symmetric metric connection and a generalization of Shur's theorem / G. Muniraja // Int. J. Contemp. Math. Sciences. 2008. - V. 3, № 25. - P. 1223-1232.

38. Nakao Z. Submanifolds of a Riemannian manifold semi-symmetric metric connections. / Z. Nakao //Proc. Amer. Math. Soc. 1976. - V. 54. - P. 261-266.

39. Obukhov Yu. Irreducible decompositions in metric-affine models / Yu. Obukhov, E.J. Vlachynsky, W. Esser, F.W. Hehl (14 May 1997) 27 pages, arXiv:gr-qc /9705039vl.

40. Penrose R. Spinors and torsion in General Relativity / R. Penrose // Fond. Of Phys. 1983. - V. 13. - P. - 325-339.

41. Pestov I.B. Kahler fermions on the Weitzenbok space-time / I.B. Pestov 1999. - arXiv:hep-th/9911247vl 30 Nov 1999.

42. Petersen P. Riemannian geometry / P. Petersen. New York: Springer. -1997.

43. Puetzfeld D. Prospects of non-Riemannian cosmology / D. Puetzfeld //Proceeding of the of 22nd. Texas Symposium on Relativistic Astrophysics at Stanford University (Dec. 13-17, 2004). California: Stanford Univ. Press, 2004. - P. 1-5.

44. Reinhart B.L. Differential geometry of foliations / B.L. Reinhart. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1983.

45. Ruggiero M.L. Einstein-Cartan theory as a theory of defects in spacetime / M.L. Ruggiero, A. Tartaglia //Amer. J. Phys. 2003. - V. 71. -P. 1303-1313.

46. Sciama D.W. On the analogy between change and spin in general relativity / D.W. Sciama // Recent developments in General Relativity. 1962. -P. 415-439.

47. Segupta J. On a type of semi-symmetric connection on a Riemannian manifold / J. Segupta, U.C. De, T.Q. Binh //Ind. J. Pure Appl. Math. -2000. V. 31. - № 12. - P. 1650-1670.

48. Sert O. A solution to symmetric teleparallel gravity / O. Sert, M. Adak //Turk J. Phys. 2005. - V. 29. - P. 1-7.

49. Shouten J.A. Ricci-calculus / J.A. Shouten. Berlin: Springer Verlag, 1954.

50. Socorro J. Computer algebra in gravity: Programs for (non-)Riemannian spacetimes / J. Socorro, A. Macias, F.W. Hehl //Comput. Phys. Commun. 1998. - V. 115. - № 2-3. - P. 264-283.

51. Stepanov S.E. An integral formula for a Riemannian almost-product manifold / S.E. Stepanov // Tensor, N.S. 1994. - Vol. 55. - №3.-P. 209 213.

52. Stepanov S.E. On a conformal Killing 2-form of the electromagnetic field / S.E. Stepanov // Journal Geom. and Phys. 2000. - V. 33. - P. 191-209.

53. Tanno S. Partially conformal transformations with respect to (m — 1)-dimensional distributions of m-dimensional Riemannian manifolds / S. Tanno // Tohoku Math. J. 1965. - V. 17. - № 17. - P. 358-409.

54. Tarafdar D. On pseudo concircular symmetric manifold admitting a type quarter symmetric metric connection. / D. Tarafdar //Istambul Univ. Fen. Fak. Mat. Dergisi. 1996-1997. - V. 55-56. - P. 237-243.

55. Thompson G. Killing tensor in spaces of constant curvature / G. Thompson // Journal of Mathematical Physics. 1986. - V. 27. - № 11. - P. 2693-2699.

56. Trautman A. The Einstein-Cartan theory / A. Trautman // Encyclopedia of Mathematical Physics / Edited by Françoise J.-P., Naber G.L., Tsou S.T. Oxford: Elsevier. 2006. - V. 2. - P. 189-195.

57. Tricerri F. Homogeneous structures on Riemannian manifolds / F. Tricerri, L. Vanhecke // London Math. Soc.: Lecture Note Series. V. 83. - London: Cambridge University Press. - 1983.

58. Tricerri F. Homogeneous structures. Progress in mathematics / F. Tricerri, L. Vanhecke //Differential geometry. 1983. - V. 32. - P. 234-246.

59. Tricerri F. Self-dual and anti-self-dual homogeneous structures / F. Tricerri , L. Vanhecke //Lecture notes in mathematics. 1984. - JVQ 1045. - P. 186-194.

60. Vysal S.A. On weakly symmetric spaces with semi-symmetric metric connection / S.A. Vysal, R.O. Laleoglu // Publ.Math. 2005. - V. 67. -№ 1-2. - P. 145-154.

61. Wu H. The Bochner technique in differential geomtry. / H. Wu // Mathematical Reports. 1988. - Vol. 3, - Part 2.

62. Yano K. On semi-symmetric metric connection / K. Yano // Rev. Roum. Math. Pure Appl. 1970. - V. 15. - P. 1579-1586.

63. Yasar E. Totally umbilical lightlike hypersurfaces in semi-Riemannian manifold with semi-symmetric metric connection / E. Yasar, A.C. Côken, A. Yucesan // Int. J. Pure Appl. Math. 2005. - V. 23. - № 3. - P. 379-391.

64. Акивис M.А. Эли Картан / M.А. Акивис, Б.А. Розенфельд М: МЦ-НМО, 2007.

65. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. Т. 1 / А. Бессе М.: Мир, 1990. 318с.

66. Бессе А. Четырехмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/1979 / А. Бессе М.: Мир, 1985.

67. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления / Г. Вейль. М.: ИЛ, 1947.

68. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / Ж. Де Рам М.: ИЛ, 1956.

69. Дубинкин A.B. К вопросу об инфинитезимальных обобщенно-конформных преобразованиях / A.B. Дубинкин, А.П. Широков // Труды геометрического семинара (КГУ, Казань). 1983. - Т. 15. -С. 26-34.

70. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси М: Наука. - 1986.

71. Кобаяси. Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. Т. 1. /Ш. Кобаяси, К. Номидзу. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.

72. Кобаяси. Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. Т. 2. /Ш. Кобаяси, К. Номидзу М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.

73. Крамер Д. Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер, X. Штефанн, М. Мак-Каллум, Э. Херльт. М.: Энергоиздат, 1982.

74. Норден А.П. Пространства аффинной связности / А.П. Норден М: Наука. - 1976.

75. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия / М.М. Постников М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

76. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия / М.М. Постников М.: Изд-во "Факториал", 1998.

77. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Ра-шевский М.: Наука. - 1967. - 664 с.

78. Смольникова М.В. О глобальной геометрии гармонических симметрических билинейных дифференциальных форм, / М.В. Смольникова // Тр. МИАН. 2002. - Т. 236. - С. 328-331.

79. Степанов С.Е. Поля симметрических тензоров на компактном рима-новом многообразии / С.Е. Степанов // Математические заметки. -1992. Т. 52 № 4. - С. 85-88.

80. Степанов С.Е. Аффинная дифференциальная геометрия тензоров Киллинга / С.Е. Степанов, М.В. Смольникова // Изв. вузов. М-ка. 2004. - № 11. - С. 82-86.

81. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии, Т.1.: / И.А. Схоутен, Д.Дж. Стройк М.:ИЛ. - 1948.

82. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков / Я.А. Схоутен М.: Наука. - 1965).

83. Точные решения уравнений Эйнштейна /Д. Крамер, X. Штефани, Э. Херльт, М. Мак-Каллум. Под ред. Э. Шмутцера: Пер. с англ. М.: Энергоиздат, 1982. - 416 с.

84. Трофимов В.В. Римаиова геометрия / В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2002. - Т. 76. - С. 5-262.

85. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана дифференциальной геометрии / С.П. Фиников М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

86. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства / С. Хелгасон М.: Мир, 1964.

87. Шапиро ЯЛ. О некоторых полях геодезических конусов /ЯЛ. Шапиро // Доклады АН СССР. 1943. - Т. 39. - № 1. - С.6-10.

88. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия / Л.П. Эйзенхарт М.: ИЛ, 1948.

89. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С. Бохнер. М.: ИЛ, 1957.Публикации автора по теме диссертации

90. Гордеева И.А. Псевдокиллинговы и псевдогармонические векторные поля на многообразии Римана-Картана / И.А. Гордеева, С.Е. Степанов // Математические заметки. 2010. - Т. 87. - № 2. - С. 267—279. (диссертанта - 0,5 п.л.)

91. Гордеева И.А. Геометрия многообразий Римана-Картана / И.А. Гордеева, С.Е. Степанов // Вестник КемГУ. 2011. - Т. 47. - № 3/1. - С. 168-181. (диссертанта - 0,6 п.л.)

92. Гордеева И.А. О некоторых классах пространств Вайценбека / И.А. Гордеева // Изв. Пенз. гос. ун-та им. В.Г. Белинского, Физ.-мат. и техн. науки. 2011. - № 26. - С. 70-75. (0,4 п.л.)

93. Гордеева И.А. Теоремы исчезновения некоторых классов многообразий Римана-Картана / И.А. Гордеева // Фундамент, и прикл. матем.- 2011. Т. 16. - № 2. - С. 7-12. (0,4 п.л.)

94. Гордеева И.А. Многообразия Римана-Картана / И.А. Гордеева, В.И. Паньженский, С.Е. Степанов // Итоги науки и техники (совр. мат-ка и ее прил-я)2009. Т. 123. - С. 110-141. (диссертанта - 1 п.л.)

95. Gordeeva I.A. On existence of pseudo-Killing and pseudo-harmonic vector fields on Riemannian-Cartan manifolds. / I.A. Gordeeva, S.E.Stepanov

96. Zb. Pr. Inst. Mat. NaN Ukr. 2009. - V. 6. - №. 2. - P. 207-222. (диссертанта - 0,75 п.л.)

97. Гордеева И.А. О классификации несимметрических метрических связностей / И.А. Гордеева // Сборник трудов Международного геометрического семинара им. Г.Ф. Лаптева. 2007. - С. 30-37. (0,4 п.л.)

98. Гордеева И.А. Две теоремы исчезновения для симметрических тензоров на многообразии Римана-Картана / И.А. Гордеева, A.A. Рылов // Диф. геом. мног. фиг.: Межвуз. темат. сб. науч. тр. 2008. - Вып. 39. - - С. 27-31. (диссертанта - 0,3 п.л.)

99. Гордеева И.А. Нули псевдокиллингова векторного поля / И.А. Гордеева, С.Е. Степанов // Диф. геом. мног. фиг.: Межвуз. темат. сб. науч. тр. 2009. - Вып. 40. - С. 47-53. (диссертанта - 0,2 п.л.)

100. Гордеева H.A. Шесть классов несимметрических метрических связностей / И.А. Гордеева // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. 2007. - Вып. 38. - С. 33-38. (0,3 п.л.)

101. Гордеева И.А. Псевдокиллинговы векторные поля на многообразиях Римана-Картана / И. А. Гордеева // Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия в Одессе 2008", 19-24 мая 2008 г. - Одесса: Фонд "Наука", 2008. - С. 73-75. (0,2 п.л.)