Параллельные перенесения на поверхности проективного пространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Полякова, Катерина Валентиновна

• Полякова, Катерина Валентиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Полякова, Катерина Валентиновна

ВВЕДЕНИЕ

А. Исторический обзор.

Б. Описание работы и результатов.

ГЛАВА 1. Поверхность проективного пространства в репере нулевого порядка

§ 1. Структурные уравнения.

§2. Фундаментальный объект высшего порядка.

§3. Центропроективная связность.

§4. Оснащение Бортолотти и индуцированные связности.

§5. Объект деформации.

§6. Вырожденные параллельные перенесения.

§7. Параллельные перенесения произвольного направления.

§8. Параллельные перенесения нормали 2-го рода.

§9. Протосвязность.

§10. Параллельные перенесения касательного направления.

ГЛАВА 2. Поверхность проективного пространства в репере первого порядка

§ 1. Расслоение, ассоциированное с поверхностью.

§2. Расслоение голономных линейных реперов.

§3. Связность в ассоциированном расслоении.

§4. Оснащение Э.Картана, нормализация А.П.Нордена и композиционное оснащение.

§5. Индуцированные связности трех типов.

§6. Тензоры деформации.

§7. О неподвижности гиперплоскости Бортолотти.

§8. Тензор параллельности.

§9. Абсолютные параллельные перенесения нормали

2-го рода и плоскости Картана.

§10. Перенесение А.П.Нордена.

§11. Перенесение А.В.Чакмазяна.

§12. Перенесение направления общего положения.

§13. Коаффинное параллельное перенесение.

§14. Сильное перенесение нормального направления.

ГЛАВА 3. Поверхность проективного пространства в репере второго порядка

§1. Ассоциированное расслоение.

§2. Объекты связности и кривизны.

§3. Композиционное оснащение и индуцированные связности.

§4. Тензор деформации.

§5. Условия совпадения индуцированных связностей.

§6. Тензор параллельности.

§7. Параллельные перенесения оснащающих плоскостей.

§8. Линейные параллельные перенесения.

§9. Нелинейные параллельные перенесения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параллельные перенесения на поверхности проективного пространства»

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связ-ностей в различных расслоенных пространствах, а также применение этой теории при исследовании погруженных многообразий. Теории связностей положила начало в 1917 г. работа Леви-Чивита [58] о параллельном перенесении касательного к поверхности вектора в римановом пространстве. Эта идея сразу нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. В частности, сформировалось понятие аффинной связности. Э.Картан касательные векторные пространства дифференцируемого многообразия заменяет аффинными или проективными пространствами и задает отображения соседних пространств друг на друга, что приводит к пространствам аффинной и проективной связностей. В.В.Вагнер [1] и Ш.Эресман [56] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

Дальнейшее развитие теории связностей с привлечением методов Э.Картана и теории геометрических объектов дано в работах Г.Ф.Лаптева [8]. В своих исследованиях Г.Ф.Лаптев придерживался локальной точки зрения, однако, благодаря применяемому методу, полученные результаты фактически приобретают глобальный характер. Одновременно с развитием общей теории погруженных многообразий Лаптев изучал пространства с фундаментально групповой связностью. Им было введено и развито понятие многообразия геометрических объектов, т.е. многообразия расслоенной структуры, снабженного полем образующего элемента, и изложены основы теории дифференциальной связности в многообразиях геометрических элементов, созданной с помощью введения определяющих связность отображений. В дальнейшем связность в расслоенных пространствах вводилась Лаптевым также как поле некоторого объекта, называемого объектом связности [9]. Понятие связности, возникшее в дифференциальной геометрии как обобщение понятия параллельного перенесения, в дальнейшем стало отождествляться с понятием геометрического объекта специального вида. Объект связности (того или иного порядка) является геометрическим объектом относительно дифференциальной группы (соответствующего порядка), либо обобщенной (в каком-то смысле) дифференциальной группы (напр., проективной дифференциальной группы) [10].

Начинает применяться другая трактовка [37] понятия связности, при которой над многообразием как над базой рассматривается последовательность расслоений, слои которых являются линейными представлениями дифференциальных групп, а связность ассоциируется с полями плоскостей, располагающихся в слоях этих расслоений. При этой трактовке понятие связности получает наглядную геометрическую интерпретацию, наблюдается аналогия с конструкциями, рассматриваемыми в классической дифференциальной геометрии. С этой точки зрения изучены аффинные связности и проективные связности.

Наряду с теорией связностей в главных расслоениях создается теория связностей в более общих однородных расслоениях. Связность в однородном расслоении вводится как дифференцируемое распределение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Так ее определил Ю.Г.Лумисте [11,12]. Вагнер рассматривал не только однородные расслоения, но также расслоения, типовыми слоями которых являются общие пространства Веблена-Уайтхеда, т.е. гладкие многообразия, и вводит в них связности (как линейные, так и нелинейные) при помощи систем дифференциальных уравнений определенного вида в локальных координатах. Лаптев ограничивается линейными связностями, определяя их как множесгва отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющих определенным условиям. Нелинейные связности в широком смысле аппаратом, разработанным Лаптевым, исследовал Л.Е.Евтушик [2].

Многие исследователи применяли связности в касательных расслоениях при изучении геометрии подмногообразий, вложенных в риманово пространство, в частности, в пространство постоянной кривизны. Первые применения понятия связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э.Картан. Г.Ф.Лаптев, следуя идеям Картана, выделил естественным образом комплекс внутренних геометрий на многомерной поверхности пространства аффинной связности. А.П.Норденом [16] разработан метод нормализации, позволяющий на подмногообразиях проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. А.В.Столяров [38] вводил аффинные связности на гиперполосном распределении и двойственные им линейные связности на оснащенных многообразиях пространства проективной связности. В работе [39] показано, что в случае гиперполосы n-мерного проективного пространства поле характеристик является параллельным в нормальной связности.

Э.Картан [5] вводил внутренне нормальное дифференцирование и гауссово кручение подмногообразия. В настоящее время эти понятия можно истолковать с помощью связности в нормальном расслоении и ее форм кривизны. Подмногообразия с общим параллельным нормальным векторным полем в пространствах постоянной кривизны рассматривались Ю.Г.Лумисте и А.В.Чакмазяном [13]. Детальное исследование локального строения подмногообразий в пространствах постоянной кривизны, допускающих параллельное поле р-мерных нормальных направлений дано А.В.Чакмазяном в [41]. В работах [42,43] исследовано локальное строение подмногообразия проективного пространства, нормализованного по Нордену, допускающего параллельное поле р-мерных нормальных направлений. Уравнения параллельного перенесения А-струи получены В.В.Шурыгиным в [54]. В работе [14] М.А.Малахальцев рассматривает внутреннюю геометрию связности Нейфельда и ее связь с нормализацией, задающей эту связность. Доказано, что задание нормализации эквивалентно заданию ковекторного поля, найдены условия на этот ковектор, при которых связность допускает поле абсолютно параллельного ковектора. Н.В.Талантовой в [40] дано геометрическое истолкование параллельного переноса вектора во внутренней геометрии нормализованной поверхности.

Для исследования многообразий, погруженных в какое-либо пространство представления Лаптев предлагает следующее [9]: 1) в исходном пространстве представления задается какое-либо погруженное многообразие системой линейных зависимостей между формами, определяющими это пространство представления; 2) система уравнений погруженного многообразия продолжается путем последовательного внешнего дифференцирования, сопровождаемого применением леммы Картана, в результате чего получается последовательность представлений, определяемая вполне интегрируемой системой форм (фундаментальные представления); 3) строятся всевозможные представления, охватываемые фундаментальными; 4) изучаются полученные представления и связи между ними. Эта схема исследования погруженных многообразий названа методом продолжений и охватов.

Большое внимание оснащениям уделено в работах Ю.И.Шевченко [50,52]. Введена обобщенная нормализация [44], позволяющая задать связность в главном расслоении, ассоциированном с поверхностью проективного пространства, представленной как многообразие соприкасающихся плоскостей, и состоящая в задании полей нормалей 1-го, 2-го и 3-го рода. С помощью удачного изложения понятия ковариантного дифференциала геометрического объекта относительно связности главного расслоения [46,48] удалось дать геометрические интерпретации нелинейным связ-ностям в узком смысле, а также линейной комбинации групповой связности на поверхности проективного пространства.

Б. Описание работы

Работа посвящена изучению параллельных перенесений направлений и плоскостей в линейных и нелинейных связностях в узком смысле вдоль линий поверхности проективного пространства, рассматриваемой в реперах 0-го, 1-го и 2-го порядков. Параллельные перенесения задаются вполне и не вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений и описываются с помощью ковариантных дифференциалов квазитензоров в случае нелинейных связностей и проективно-ковариантных дифференциалов в линейных связностях.

Методика исследований основана на применении способа Г.Ф.Лаптева задания связности в главных расслоениях и разработанного им метода продолжений и охватов.

В каждой главе все рассуждения проводятся по одной схеме.

1) В проективном пространстве Рп рассматривается поверхность Хт (0<т<п) как т-мерное многообразие (точек, касательных плоскостей, соприкасающихся плоскостей).

2) Подвижной репер адаптируется образующему элементу так, чтобы при его фиксации вторичные формы являлись инвариантными формами подгруппы в стационарности образующего элемента.

3) С поверхностью Хт в данном репере ассоциируется главное расслоение 0(Хт), базой которого является сама поверхность Хт, а типовым слоем - группа О.

4) В главном расслоении 0(Хт) задается фундаментально-групповая связность способом Г.Ф.Лаптева с помощью поля объекта связности Г на базе Хт.

5) Вводится композиционное оснащение поверхности Хт.

6) Объект связности Г охватывается разными способами фундаментальным объектом 1-го порядка поверхности Хт, оснащающим объектом и его пфаффовыми производными.

7) Строятся тензоры деформации индуцированных связностей, находятся аналитические и геометрические условия совпадения индуцированных связностей.

8) Описываются параллельные перенесения оснащающих плоскостей и направлений (в том числе абсолютные) в групповых связностях, заданных объектом связности Г и его подобъектами.

9) Вводится проективно-ковариантный дифференциал, позволяющий интерпретировать линейные связности с помощью параллельных перенесений направлений.

В главе 1 поверхность проективного пространства Рп изучается в репере 0-го порядка и обозначается Х^ [5,9,10,13]. В §§1,2 находятся дифференциальные уравнения фундаментального объекта р-го порядка { А^, А^,., А^ { } поверхности. Строится последовательность форм, получающихся при продолжении структурных уравнений базисных форм поверхности. Эти формы оказываются симметричными по нижним индексам. Таким образом, над поверхностью Х° , построено расслоение голо-номных линейных реперов произвольного порядка, типовым слоем которого является голономная дифференциальная группа Вагнера-Лаптева.

В главном расслоении центропроективных реперов 1-го порядка, ассоциированном с поверхностью, задается способом Лаптева центропроективная связность Г={ГЛ\, Гн}. Компоненты центропроективной кривизны 11= { , } удовлетворяют уравнениям

-Я^ю?-КМ =

Центропроективная кривизна является псевдотензором, т.е. объектом, обращение которого в нуль инвариантно. Псевдотензором является также подобъект линейной кривизны .

В §§4,5 производится оснащение Бортолотти, состоящее в присоединении к каждой точке поверхности гиперплоскости Бортолотти Рп15 задаваемой квазитензором Оно индуцирует центропроективные связности двух типов в ассоциированном расслоении. Доказаны теоремы (4.1; Б)1Связности двух типов совпадают тогда и только тогда, когда неподвижна гиперплоскость Бортолотти;

2) необходимым и достаточным условием обращения кривизны центропроективной связности (1-го и 2-го типов) в нуль является неподвижность гиперплоскости Бортолотти.

В §6 при изучении параллельных перенесений гиперплоскости Бортолотти в двух связностях исследуются вырожденные параллельные перенесения 1 -го типа (гиперплоскость неподвижна) и 2-го типа (гиперплоскость произвольно смещается во всем пространстве).

Строится проективно-ковариантный дифференциал оснащающего квазитензора Х\, с помощью которого дается геометрическая интерпретация линейной связности Гл\ с помощью параллельного перенесения направления. Также изучены параллельные перенесения направления в центропроективной связности 1-го и 2-го типов с помощью ковариантного дифференциала С использованием внешнего дифференциала от ковариантного дифференциала строится псевдотензор, при обращении которого в нуль перенесение является абсолютным. В §§7,8 параллельные перенесения нормали 2-го рода Нордена описаны в линейной связности Г^.

В §§9,10 построены объект касательной линейной протосвязности П]й и объект центропроективной протосвязности П^ , ITjk, которые геометрически охарактеризованы параллельными перенесениями касательного направления, определенными с помощью проективно-ковариантного и ковариантного дифференциалов. Доказано, что кручение индуцированной касательной линейной протосвязности равно нулю.

В главе 2 поверхность проективного пространства Рп изучается в репере 1-го порядка и обозначается Х]т [1,2,6,7,11,12,14-19]. В §§1,2 над поверхностью строится расслоение голономных линейных реперов произвольного порядка. С поверхностью ассоциируется главное расслоение 1-го порядка GCXj,,), в котором задается групповая связность Г={Г|к,

Гу 5 ^ы, raj, rai}, объект кривизны R={ Rjkl, Rijk, R^, R^jk, Raij} которой является тензором, содержащим, в частности, подтензор линейной кривизны Rjkl. Ассоциированное расслоение G(xJn) содержит в частности подрасс-лоение линейных реперов с уравнениями

DO)j=COkA(r»\, DCO^CO^ACOI +CÖ1 ACÖ^ (©Ь =Аи - -5jcok), в котором связность задается с помощью форм оРк= со]к- Г^со1 . Объект rjj является объектом касательной линейной связности и удовлетворяет уравнениям drjj + = Г]к1 со1. Тензор групповой кривизны R содержит подтензор касательной линейной кривизны.

В §4 производится композиционное оснащение, состоящее в задании плоскостей Картана Cn.m-i и нормалей 2-го рода Нордена Nm.j. Оно задается квазитензором Х={Л,;Д]ь,Л,а}. Доказано, если плоскость Картана смещается в нормали 1-го рода Нордена, натянутой на точку касания и соответствующую плоскость Картана, то нормализация 1-го рода порождает оснащение Картана-Остиану, совпадающее с исходным оснащением Картана. В §5 получены и рассмотрены три типа охвата компонент объекта групповой связности. Приведен способ нахождения охватов и примеры его применения. В §6 исследуются тензоры деформации связностей всех грех типов. Доказано, что условиями совпадения типов связностей является неподвижность гиперплоскости Бортолотти Pni, натянутой на плоскость Картана Cn.mi и нормаль 2-го рода Nmi. Установлено, что при этом кривизна индуцированной связности равна нулю.

В §8 построен тензор параллельности M={Mijk,MlJK, Maij}, компоненты которого есть комбинации компонент объекта кривизны R с коэффициентами - компонентами композиционно оснащающего квазитензора X, при обращении которого в нуль параллельное перенесение становится абсолютным. Подтензор Мук, например, выражается следующим образом £

Myk=Rijk-A,Y В §9 определены параллельные перенесения плоскости

Картана и нормали 2-го рода Нордена в связностях 1 -го и 2-го типа.

В §§10,11 с помощью проективно-ковариантных дифференциалов VjiJ -V|i,b квазитензоров ц',|/, задающих касательное и нормальное направления, получены геометрические характеристики касательной Г^ и нормальной Г^ линейных связностей, которые совпадают с перенесениями А.П.Нордена и А.В.Чакмазяна. С помощью ковариантных дифференциалов в §§13,14 изучены параллельное перенесение касательного направления в коаффинной связности и параллельные перенесения нормального направления, заданные вполне и не вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений.

В главе 3 поверхность рассматривается в репере 2-го порядка и обозначается Х^ [3,4,8]. Найдены уравнения главного расслоения, ассоциированного с поверхностью, типовым слоем которого является подгруппа стационарности соприкасающейся плоскости. Показывается двойственный характер действия некоторых групп, являющихся типовыми слоями под-расслоений главного расслоения. В §2 в ассоциированном расслоении задается групповая связность Г= {Г^ ,Гу,Гь*,Г V,Га1,Г^,Г*,Г'ц,Ги1}, объект кривизны Л= у'-^иу'^^к'-^иу} которой является тензором, содержащим ряд подтензоров.

Произведено композиционное оснащение поверхности состоящее в присоединении к каждой точке поверхности нормали 2-го рода Нордена и двух плоскостей, которые в прямой сумме с касательной и соприкасающейся плоскостями дают соответственно соприкасающуюся плоскость и все пространство. Композиционное оснащение индуцирует групповые связности двух типов в ассоциированном расслоении. В §4 изучается тензор деформации связностей и даются геометрические условия совпадения связностей двух типов и некоторых их подсвязностей. Доказана теорема: если оснащающая плоскость, дополняющая соприкасающуюся плоскость до всего пространства, смещается в нормали 1 -го рода, то композиционное оснащение порождает обобщенную нормализацию, состоящую в задании нормалей 1-го, 2-го и 3-го рода.

В §7 определены и изучены параллельные перенесения оснащающих плоскостей. В линейных связностях Г^ , Г^, Г ^ охарактеризованы параллельные перенесения касательного и двух нормальных направлений (принадлежащего и не принадлежащего соприкасающейся плоскости) с помощью проективно-ковариантных дифференциалов.Введены и геометрически охарактеризованы пучки групповых связностей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Полякова, Катерина Валентиновна, 2003 год

1. Вагнер В. В. Теория составного многообразия // Тр. семин. по вект. итенз. анализу. -М.; Л., 1950. -Вып.8. -С. 11-72.

2. Евтушик Л.Е. Дифференциальные связности и инфинитезимальные преобразования продолженной псевдогруппы // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1963. -Т.2. -С.119-150.

3. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. /ВИНИТИ. -М., 1979. -Т.9. -С.5-247.

4. Картан Э. Пространства проективной связности // Тр. семин. по вект. итенз. анализу, 1937. -Вып.4. -С.160-173.

5. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. -М., Моск. ун-т,1960. -307с.

6. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии.-М.: Наука, 1986. -224с.

7. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, пер. сангл. -М, 1981.-Т. 1.-344с.

8. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразийТр. Моск. мат. о-ва. 1953. -Т.2. -С.275-382.

9. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства //Тр. 4-го Всесоюз. мат. съезда (1961). -Л., 1964. -Т.2. -С.226-233.

10. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. -Т.1. -С.139-189.

11. Лумисте Ю.Г. Связности в однородных расслоениях // Мат. сб. 1966. -Т.69. -С. 434-469.

12. Лумисте Ю.Г. Однородные расслоения со связностью и их погружения //Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. -Т.1. -С. 191-237.

13. Лумисте Ю.Г., Чакмазян A.B. Подмногообразия с параллельным нормальным векторным полем// Известия вузов. Математика. 1974. -№5. -С.148-157.

14. Малахальцев М.А. О внутренней геометрии связности Нейфельда // Известия вузов. Математика. 1986. -№2. -С.67-69.

15. Малаховский B.C. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978. 84с.

16. Норден А. П. Пространства аффинной связности. -М., 1976. -432с.

17. Остиану Н.М. Геометрических объектов теория // Мат. энц. М.,1984. Т.1. С.937.

18. Полякова К. В. Параллельные перенесения направлений вдоль поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1996. -Вып.27. -С.63-70.

19. Полякова К. В. О параллельных перенесениях направлений вдоль поверхности проективного пространства // XXVII науч. конф. Калинингр. ун-та: Тез. докл. Часть 6. -Калининград, 1996. -С. 13-14.

20. Полякова К. В. Параллельные перенесения на многообразии соприкасающихся плоскостей поверхности // Там же. 1997. -Вып.28. -С.59-64.

21. Полякова К. В. Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием пар касательной и соприкасающейся плоскостей поверхности// Тр. геом. семин. -Казань, 1997. -Вып.23. -С.99-112.

22. Полякова К. В. Вырожденные параллельные перенесения на поверхности как точечном многообразии // XXVIII науч. конф. Калинингр. унта: Тез. докл. Часть 6. -Калининград, 1997. -С.7.

23. Полякова К. В. Параллельные перенесения, заданные не вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений // Диф. геом. многообр. фигур. -Калининград, 1998. -Вып.29. -С.48-53.

24. Полякова К. В. Не вполне интегрируемые параллельные перенесения на многообразии касательных плоскостей // XXIX науч. конф. Кали-нингр. ун-та: Тез. докл. Часть 6. -Калининград, 1998. -С.7.

25. Полякова К. В. Parallel displacements along manifold of osculating planes of a surface // International congress of mathematicians, Berlin, 1998. Abstracts of short communications and poster sessions. -P.78-79.

26. Полякова К. В. О голономности поверхности проективного пространства // XXX науч. конф. Калинингр. ун-та: Тез. докл. Часть 6. -Калининград, 1999. -С.7-8.

27. Полякова К. В. Вырожденные параллельные перенесения на поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. -Калининград, 1999. -Вып.29. -С.64-68.

28. Полякова К. В. Три типа связностей на поверхности проективного пространства // материалы школы-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". -Казань, 1999. Тез. докл. -С.179-180.

29. Полякова К. В. Понятие протосвязности на поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. -Вып.31. -С.58-65.

30. Полякова К. В. Тензор параллельности // Тр. мат. центра им. Н.И.Лобачевского. -Казань, 2000. -Т.5. -С. 174.

31. Полякова К. В. Касательная линейная и коаффинная связности на поверхности проективного пространства // Матер, науч. семин. Кали-нингр. госуниверситета. -Калининград, 2000. -С.30-33.

32. Полякова К.В. Индуцированные центропроективная и линейная связности на поверхности // Тр. мат. центра им. Н.И.Лобачевского. -Казань, 2001. -Т. 12. -С.52-53.

33. Полякова К.В. Тензор параллельности и абсолютные параллельные перенесения // Диф. геом. многообр. фигур. -Калининград, 2001. -Вып.32. -С.80-83.

34. Полякова К.В. Псевдосвязность как специальная геометрическая связность // Тр. мат. центра им. Н.И.Лобачевского. -Казань, 2002. -Т. 18. -С.71-72.

35. Polyakova K.V. Pseudoconnection as special geometric connection // Докл. межд. мат. семин.: к 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета. -Калининград, 2002. -С.138-144.

36. Рыбников А. К. Соприкасающиеся пространства и связности. 1 // Вестн. МГУ. Мат. мех. 1979. -№6. -С.44-48.

37. Столяров A.B. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1975. -Т.7. -С. 117-151.

38. Столяров A.B. Двойственные нормальные связности на регулярной гиперполосе // Известия вузов. Математика. 1985. -№9. -С.7275.

39. Талантова Н.В. Геометрический смысл параллельного переноса вектора в методе нормализации Нордена // Тр. геом. семин. -Казань, 1981. -Вып. 13. -С.70-72.

40. Чакмазян А. В. Подмногообразия с параллельным р-мерным подрасс-лоением нормального расслоения// Известия вузов. Математика. -1976. -№8. -С. 107-110.

41. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Ут в Рп// Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1978. -Т. 10. -С.55-74.

42. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990. 116с.

43. Шевченко Ю. И. Об оснащении многомерной поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1977. -Вып.8. -С. 135-150.

44. Шевченко Ю. И. Параллельные перенесения на поверхности// Там же. 1979. -Вып. 10. -С.154-158.

45. Шевченко Ю. И. Геометрическая характеристика некоторых индуцированных связностей поверхности // Там же. 1981. -Вып. 12. -С. 126130.

46. Шевченко Ю. И. Структура оснащения многообразия линейных фигур // Тез. докл. VI прибалт, геом. конф. Таллин, 1984. -С. 137-138.

47. Шевченко Ю. И. Параллельный перенос фигуры в линейной комбинации связности// Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1987. -Вып. 18. -С.115-120.

48. Шевченко Ю. И. Об основной задаче проективно-дифференциальной геометрии поверхности// Там же. 1989. -Вып.20. -С.122-128.

49. Шевченко Ю. И. Связность в продолжении главного расслоения // Там же. 1991. -Вып.22. -С.117-127.

50. Шевченко Ю. И. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий // Там же. 1994. -Вып. 25. -С. 110-121.105

51. Шевченко Ю. И. Оснащения подмногообразий голономного и неголо-номного дифференцируемых многообразий // Там же. 1995. -Вып.26. -С.113-126.

52. Шевченко Ю. И. Оснащения голономного и неголономного гладких многообразий. Калининград, 1998. -82с.

53. Шурыгин В.В. Уравнения параллельного переноса А-струи // Известия вузов. Математика. 1987. -№9. -С.78-80.

54. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 1937. №3. P.81-89.

55. Ehresmann C. Les connexions infinitésimales das un espace fibré differen-tiable // Colloque de Topologic. Bruxelles, 1950. -P.29-55.

56. Golab St. Tensor calculus. Warszava, 1974. -371p.

57. Levi-Civita T. Nozione di parallelismo in una varieta qualunque e conséquente specificazione geométrica délia curvatura Riemanniana // Rend. Cir-colo math. Palermo. 1917. -№42. -P. 173-205.