Двойственная геометрия сетей и тканей на подмногообразиях в пространствах с проективной структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Кондратьева, Надежда Викторовна

• Кондратьева, Надежда Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кондратьева, Надежда Викторовна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Исторический обзор

2. Общая характеристика диссертации

1. Постановка вопроса и актуальность темы

2. Цели и задачи работы

3. Методы исследования

4. Научная новизна

5. Теоретическая и практическая ценность результатов

6. Апробация и внедрение результатов

7. Публикации

8. Вклад автора в разработку избранных проблем

9. Структура и объем работы

10. Некоторые замечания

3. Содержание диссертации

Глава I. ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ МНОГОМЕРНЫХ СЕТЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ С ПРОЕКТИВНОЙ СТРУКТУРОЙ

§1. Нормализованное проективное пространство Рп

§2. Двойственные аффинные связности в нормализованном

пространстве Рп

§3. Приложения двойственных аффинных связностей к изучению плоских сетей Е в Рл

1. Дифференциальные уравнения сети Е и инвариантные геометрические образы, порождаемые ею

2. Чебышевские и геодезические сети первого и второго рода

3. Двойственный образ сети Е в Рп

§4. Нормализация проективного пространства Рп, определяемая сетью

1. Взаимногармоническая нормализация пространства Рп

2. Нормализация проективного пространства Рп, гармоничная

сети Е

§5. Приложения нормализации проективно-метрического пространства Кп к изучению плоских сетей Е

1. Полярная нормализация пространства Кп

2. Сеть сопряженная относительно поля конусов направлений а5тО)д(Од =0

3. Чебышевские и геодезические сети в пространстве

Глава II. ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕТЕЙ НА МНОГОМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

§1. Внутренняя геометрия сопряженных сетей £ на гиперповерхности в проективном пространстве Рп

1. Двойственные аффинные связности на гиперповерхности

Уп_, в пространстве Рп

2. Дифференциальные уравнения сети £ и некоторые ее геометрические образы

3. Чебышевские и геодезические сопряженные сети первого и второго рода

4. Сеть главных линий на гиперповерхности Уп_х в проективном пространстве Рп

5. Голономная сопряженная сеть £ на гиперповерхности Уп-1 в

пространстве Рп

§2. Сети и аффинные связности на многомерной поверхности Ут в проективном пространстве Рп

1. Гиперполоса Нт, ассоциированная с поверхностью Ут

2. Двойственный образ регулярной гиперполосы Нт

3. Двойственные аффинные связности на нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна поверхности Ут

4. Поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик

5. Внутренняя геометрия некоторых классов сетей £ на поверхности Ут в пространстве Рп

§3. Двойственная геометрия сетей £ на невырожденном абсолюте в проективно-метрическом пространстве Кп

1. Двойственный образ абсолюта <2Л_, проективно-метрического пространства Кп

2. Сопряженная сеть £ на абсолюте <2^-1 в пространстве Кп

3. Поля гармонических прямых ^^ и гиперпрямых сопряженной сети £

'Л

4. Инвариантные оснащения абсолюта в Кп

5. Связности, индуцируемые нормализацией абсолюта

Й-. <= Кп

6. Сеть главных линий на абсолюте £>в Кп

Глава III. ДВОЙСТВЕННЫЕ СВЯЗНОСТИ И ТКАНИ НА ОСНАЩЕННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИПЕРПЛСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В К„

§1. Распределение гиперплоскостных элементов М в Кп и его

двойственный образ

§2. Инвариантное оснащение распределения гиперплоскостных

элементов М в смысле Э. Картана

§3. Инвариантное оснащение распределения гиперплоскостных

элементов М в смысле А. П. Нордена

§4. Двойственная геометрия сопряженных тканей на распределении гиперплоскостных элементов !М

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двойственная геометрия сетей и тканей на подмногообразиях в пространствах с проективной структурой»

ВВЕДЕНИЕ

1. Исторический обзор

Начала теории многомерных сетей были положены исследованиями ^ по геометрии гс-сопряженных систем (работы Э. Картана [127], Чжень Шэн-шэня [130], В. Т. Базылева [10], [12]).

Можно сказать, что многообразие Картана [127] особого проективного типа - это есть поверхность Ут<^Рп (п > 2т) с 2га-мерной соприкасающейся плоскостью, несущая сопряженную сеть. Эта сеть, как было отмечено Картаном, является голономной.

Чжень Шэн-шэнь [130] показал, что для поверхности Картана Ут можно построить преобразования, которые конструктивно выполняются так же, как и преобразования Лапласа поверхности У2с^Р3, осуществляемые с помощью конгруэнции касательных к двум семействам линий сопряженной сети на поверхности У2. Именно, он установил, что на каждой касательной АА1 к линиям сопряженной сети поверхности Картана Ут существует га-1 точек Р/ (г Ф ]) таких, что когда точка А описывает поверхность Ут, каждая из точек Р* описывает в общем случае га-мерную поверхность (Р/), причем прямая АА1 касается каждой из поверхностей (Р/) в точке Р{]. Поверхность {Р,]) в общем случае (когда ее размерность равна га) также является поверхностью Картана и, следовательно, ее можно подвергнуть тому же преобразованию и т. д. Переход от поверхности Ут к поверхности (Р/) и называется преобразованием Лапласа. Получается последовательность Лапласа из поверхностей Картана Ут в проективном пространстве Рп (п>2т), аналогичная последовательности Лапласа из поверхностей У2аРъ, построенная с помощью сопряженной сети исходной V2. Этому результату Чжень Шэн-шэня дал значительное обобщение Р. В. Смирнов [99], построив преобразования Лапласа для произвольных га-сопряженных систем. При этом га-сопряженная система определяется как такая га-мерная поверхность Ут аРп, на которой существует сеть £, обладающая тем свойством, что касательные к линиям г-го семейства, взятые вдоль любой линии у'-го семейства, образуют развертывающуюся поверхность (г ^ _/).

Вопросы внутренней геометрии сетей Ес/^, относительно нормализации пространства Рп полем гармонических плоскостей сети, изучаются в работах В. Т. Базылева [11], А. В. Столярова [104], [108],

А. И. Чахтаури [121]; к этому направлению примыкает также работа М. М. Аксирова [6].

Различным вопросам инвариантного оснащения (в смысле

A. П. Нордена или Э. Картана) поверхности Vm а Рп, определяемого заданной сетью LaPn, посвящены работы М. А. Акивиса [2], [4], В. Т. Ба-зылева [12], Н. М. Остиану [83], А. В. Столярова [105]—[108], [111].

В работах Ж. Н. Багдасаряна [9], А. К. Рыбникова [94] находятся критерии реализации линейных связностей в касательных и нормальных расслоениях подмногообразия Vmcz Рп, несущего сеть того или иного строения. В статье В. Т. Базылева [12] определены чебышевские сети на поверхностях Vm а Рп. Некоторые вопросы геометрии поверхностей Vma Рп, несущих чебышевские и геодезические сети, изучаются в работах А. В. Столярова [105]-[108], [111].

Чебышевские и геодезические сети Еш в пространствах аффинной связности Апп рассматриваются в работах А. Е. Либера [74], [75].

С.Е.Степанов [101 ]—[ 103] в пространстве аффинной связности Апп(п> 2) изучает геометрию оснащений поверхности (гиперповерхности), ассоциированных с чебышевской сетью. В работах В. И. Ведерникова [22], [23] рассмотрены некоторые глобальные вопросы теории плоских сетей в аффинном пространстве Ап; в частности, в работе [22] для выяснения геометрии сети используются полиномиальные морфизмы, вводится индуцированная связность плоской сети, относительно которой направления сети переносятся параллельно.

Отметим некоторые другие исследования по проективной и аффинной теории поверхностей, несущих сети (или их обобщения) того или иного класса. В работе М. А. Акивиса [4] изучается строение многомерных сопряженных систем на тангенциально невырожденных поверхностях Vm а Ап; при т - 2 строение двухкомпонентных неприводимых сопряженных систем на Vm с Рп изучается в работе М. А. Акивиса [3]. В случае голономных двухкомпонентных сопряженных систем на Vm а Рп в работе Degen W. [131] найдены обобщенное уравнение Лапласа и тензоры Дарбу системы.

В работе В. Т. Базылева [15] на поверхности Vm а Рп полного ранга рассмотрены поля сопряженных и фокальных направлений, голономные сопряженные сети и преобразования Лапласа поверхности. В работе [17]

B. Т. Базылев вводит в рассмотрение V-сопряженные сети в пространстве аффинной связности Ап п.

В работах Г. Н. Линьковой [76], [77] исследуются различные классы сетей на гиперповерхности Vnч с Ап: сети линий кривизны, геодезиче-

ские и чебышевские сети и т. д.; для геометрической характеристики их использованы опорные /с-плоскости. В работе В. Т. Базылева [13] изучаются чебышевские сети и сети линий кривизны на поверхностях Ут евклидова пространства Еп.

Отметим, что в работах В. Т. Базылева [16], В. И. Грачевой [31]* [32], М. Р. Сокушевой [100] исследуются некоторые приложения теории многомерных сетей к теории дифференцируемых отображений п-мерных евклидовых пространств и гиперповерхностей в них.

Изучению геометрии плоских ромбоэдрических и ромбических сетей в трехмерном и «-мерном евклидовом пространствах посвящены, работы В. В. Падервинскаса [85]—[90]. В частности, в работах[88], [89] исследованы преобразования п-мерного евклидова пространства Еп, преобразующие любую л-мерную ромбоэдрическую (ромбическую) сеть в ромбоэдрическую (ромбическую); такими преобразованиями являются конформные преобразования и только они. В [90] исследуются я-мерные ромбоэдрические изогональные сети в Еп множество таких сетей разбивается на классы конформных сетей и в конечном виде найден представитель каждого класса. В работе В. М. Пылаева [90] найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых сеть Е в гс-мерном римановом пространстве становится ромбической.

Исследованию некоторых подклассов голономных сетей посвящены работы О. М. Веселовой [24], [25].

В работе СЬегп Б. 8. [131] решена задача отыскания сетей с максимальной подвижностью (М-сети) в римановом «-пространстве; эта задача сводится к случаю неприводимых М-сетей, дается полная их классификация.

В работе А. Е. Хачатряна [116] с ортогональной сетью в римановом 4-пространстве связываются поля четырех чебышевских векторов и рассматриваются случаи, когда некоторые из них градиенты. В статье [117] А. Е. Хачатряном дается инвариантная аналитическая характеристика голономных и чебышевских сетей в римановом 3-пространстве, а также обобщается понятие равнопутной сети в этом пространстве.

В работах В. И. Шуликовского [123], [124] дается систематическое изложение теории сетей двумерного пространства Х2 методом тензорного анализа.

В статье О. А. Сдвижкова [96] рассмотрена поверхность Ут в Еп, несущая чебышевскую сеть III рода. В работе Е. К. Сельдюкова [98] исследованы геометрические свойства поверхностей и , инвариантно присоединенных к г-ой линии ортогональной сети на поверхности Ут в Еп. В работе С. И. Билчева и Д. Т. Дочева [20] дана классификация

гиперповерхностей пространства Е5, несущих голономную сеть линий кривизны по наличию равенств между их главными кривизнами.

В работах [112], [113] А. В. Столяровым положено начало в изучении двойственной геометрии m-тканей на регулярном гиперполосном распределении Н га-мерных линейных элементов, вложенном в пространство проективной связности Рп п (т < п -1).

В работах Г. П. Иванова [34], [35] рассмотрены поверхности V3 в Е5, несущие одно или два семейства сдвоенных асимптотических линий; изучены геометрические свойства некоторых сетей, инвариантно присоединенных к этим семействам линий сопряженной сетью этой поверхности.

Вопросам классификации многомерных ортогональных сетей с помощью распределений, изучению свойств полученных классов и применению этих сетей к исследованию геометрии распределений и поверхностей евклидова пространства посвящены работы М. К. Кузьмина [67]-[70].

В статье [67] введены так называемые канонические сети распределений в евклидовом пространстве Еп. В работах [67], [69], [70] исследована также зависимость между свойствами различных классов плоских сетей и распределений в Еп.

2. Общая характеристика диссертации

1. Постановка вопроса и актуальность темы. Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [71], если на нем определено поле некоторого геометрического объекта ga (поле оснащающего объекта многообразия):

dga=(paKi{g)co^+(paKy\

где со*1 - главные (первичные) формы, со*2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций paK2(g), определяющих оснащающий объект ga; в зависимости от их строения имеем различные оснащения многообразия. Заметим, что задание оснащения многообразия определяет на нем соответствующую дифференциально-геометрическую структуру (см. [33], [122]).

Отметим, что задачи, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погруженного многообразия, оказываются

весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных многообразий неисчерпаемой.

Подмногообразие (поверхность, распределение и т. д.) с заданной на нем сетью (тканью) является одним из примеров касательно осна-3 щенных [79] многообразий. В этом направлении получены многочисленные результаты по изучению внутренней геометрии различных многообразий, несущих сети (ткани) того или иного класса. Однако, следует заметить, что практически все исследования по теории сетей и тканей проводились без привлечения теории двойственности; исключение составляют работы А. И. Чахтаури - по двумерным сетям и некоторые работы А. В. Столярова по многомерным сетям (тканям).

Объектом исследования настоящей работы являются плоские многомерные сети Е, сети на различных многомерных поверхностях, вложенных в проективное Рп или проективно-метрическое Кп пространства, ткани Г на распределении гиперплоскостных элементов 5М, а также линейные связности (аффинные, проективные), индуцируемые различными оснащениями изучаемых подмногообразий в пространствах с проективной структурой (в проективном Рп или проективно-метрическом Кп ).

2. Цели и задачи работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение двойственной теории сетей £, а именно:

1) получение новых результатов по исследованию внутренней геометрии различных многообразий, несущих сети (ткани) того или иного класса;

2) разработка основ теории двойственных аффинных связностей, определяемых нормализацией рассматриваемых подмногообразий;

3) приложение аффинных связностей, индуцируемых нормализацией различных подмногообразий проективного Рп и проективно-метрического Кп пространств, к изучению двойственной геометрии сетей и тканей на них.

3. Методы исследования. Теория многомерных пространств, поверхностей и сетей (тканей) на них развивается инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [71], методом внешних дифференциальных форм Э. Картана [115] и методом нормализации А. П. Нордена [80].

Следует отметить, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [71], [72].

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Все рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования - аналитическими.

4. Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач (см. цель работы), являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что изучением двойственной геометрии многомерных сетей и тканей геометры ранее почти не занимались.

В диссертационной работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

5. Теоретическая и практическая ценность результатов. Диссертационная работа имеет теоретическое значение, полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании многомерных сетей и тканей на многообразиях, вложенных в пространства со связностью проективной структуры (например, в пространства Рпп и Апп соответственно

проективной и аффинной связности).

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

6. Апробация и внедрение результатов. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2008-2011 гг.), на научно-практических конференциях преподавателей, докторантов и аспирантов Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2008-2011 гг.), на ХЬУШ и Х1ЛХ Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2010г. и 2011 г.), в II Всероссийской научной конференции «Научное творчество XXI века» с международным участием (г. Красноярск, 2010 г.) (работа была признана лучшей в секции «Физико-математические науки»); в научной конференции с международным участием «Геометрия многообразий и ее приложения» (г. Улан-Удэ, 2010 г.); в Девятой молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2010» (г. Казань, 2010 г.), на II Международной научно-практической конференции «Наука и современность - 2010» (г. Новосибирск, 2010 г.); на Международной конференции «Геометрия в Одес-

се-2010»; во Второй Российской школе-конференции для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (г. Тверь, 2010 г.); во II Международной научной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы науки и техники» (г. Уфа, 2010 г.).

7. Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 26 печатных работах автора (см. [41]—[66]), в том числе в изданиях, рекомендованных ВАК РФ (журналы «Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева» (см. [57], [61], [62]), «В мире научных открытий» (см. [66]).

8. Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

9. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика диссертации, содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 134 наименования. Полный объем диссертации составляет 125 страниц машинописного текста.

10. Некоторые замечания. Все рассмотренные в настоящей работе исследования проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования - аналитическими.

Для теорем и формул в диссертации принята двойная нумерация: первое число указывает на номер главы, а второе (после точки) - на порядковый номер теоремы или формулы в этой главе.

Исследование сетей на оснащенной многомерной поверхности Ут (т<п-1) проективного пространства Рп проводится с использованием ассоциированной с ней гиперполосы Нт с Рп, для которой исходная поверхность Ут является базисной.

Во всей работе индексы принимают следующие значения:

I— ; 1,К,Ь = Ъп ;

= 1 ,т; г, ],к = 0,п — 1; сх,/3,у=т + \,п ; = т + 1,и —1.

Операция внешнего дифференцирования обозначена буквой £), а внешнего умножения - символом «л».

В работе по индексам, заключенным в квадратные скобки, производится операция альтернирования:

л",1=)' Кт=л"*<}'

а по индексам, заключенным в круглые скобки, производится операция циклирования:

Операция обычного дифференцирования обозначается буквой а при фиксированных главных параметрах - буквой 5; при этом формы со^ обозначаются через п^.

Ссылки на литературу даются в квадратных скобках.

3. Содержание диссертации

Диссертационная работа состоит из трех глав.

В главе I изучается двойственная геометрия плоских многомерных сетей в проективном и в проективно-метрическом пространствах; результаты этой главы отражены в публикациях [41] - [44], [48], [56], [62].

В §§ 1, 2 главы I доказаны следующие предложения (теорема 1.1,

1.2):

- При невырожденной нормализации проективного пространства

Рп индуцируется нормализованное проективное пространство Рп двойственное исходному в смысле А. В. Столярова [113];

- Невырожденная нормализация проективного пространства Рп индуцирует двойственные пространства аффинной связности Апп и Апп

без кручения, которые соответствуют двойственным друг другу проективным пространствам Рп и Рп.

В § 3 найдены приложения двойственных аффинных связностей V и V пространств Апп и Ап п к изучению плоских сетей ЕсРп.

П. 1 § 3 содержит, в основном, реферативный материал, здесь приводится определение плоской сети £ и некоторых инвариантных геометрических образов - псевдофокусов р/ и гармонических полюсов Р1, порождаемых этой сетью, записываются ее дифференциальные уравнения.

Сети ЕсР„ существуют с произволом в п(п -1) функций в п аргументов [10].

В п. 2 § 3 записаны условия параллельного перенесения направления касательной \А1 сети Т,аРп вдоль ее К -ой линии в первой и во второй аффинной связности. Приведены определения чебышевской и геодезической сети первого и второго рода; найдены равенства, которыми характеризуются указанные классы сетей.

Чебышевские сети первого рода £ с Рп {п > 2) существуют с произволом в п2 функций одного аргумента [11]. Геодезическая сеть первого

рода Ее: Ри характеризуется неопределенностью соприкасающихся плоскостей П2, в силу чего она является сетью из прямых линий.

В п. 3 § 3 вводится понятие двойственного образа сети £ - тангенциальная плоская сеть Ев Рп. Записаны дифференциальные уравнения указанной сети, приведены инвариантные геометрические образы этой сети — псевдофокальные гиперплоскости 77/ и гармонические полюса г], (гиперплоскости), двойственные соответствующим образам Т7/ , сети Е сг Рп. Одним из примеров тангенциальной плоской сети Е с: Рп является тангенциальная «-сопряженная система. Произвол существования тангенциальной «-сопряженной системы составляет «(« -1) функций двух аргументов.

В § 4 изучается нормализация проективного пространства Рп, определяемая сетью Е, в частности, взаимногармоническая нормализация (при п- 2 взаимногармоническая нормализация является взаимнолапла-совой относительно сети ЕсР2 [119]) и нормализация пространства, гармоничная [30] сети Е. Найдены аналитические условия указанных нормализаций.

К основным результатам этого параграфа необходимо отнести следующие предложения (теоремы 1.5, 1.6):

1) Геометрии аффинных связностей первого и второго родов, индуцируемых невырожденной нормализацией проективного пространства Рп, гармоничной сети являются эквиаффинными, а их средняя геометрия - риманова.

2) Невырожденная нормализация Д, —> проективного пространства Рп (п > 2), относительно которой сеть чебышевская первого (второго) рода, является гармоничной сети, причем полем нормализующих гиперплоскостей (точек служит поле гармонических гиперплоскостей [У,] (гармонических точек /О сети.

Из этих двух теорем вытекает следствие: чебышевская сеть первого или второго рода Е с Рп при п > 2 индуцирует эквиаффинные связности первого и второго родов, а их средняя геометрия является римановой.

В этом параграфе приведены также геометрические характеристики чебышевской и геодезической сети (теоремы 1.7, 1.8):

- в невырожденной нормализации —> проективного пространства Рп, гармоничной сети Е с Рп, рассматриваемая сеть есть геодезическая второго (первого) рода тогда и только тогда, когда она является сетью с совпавшими псевдофокусами первого (второго) рода и поле гиперплоскостей (точек А0) совпадает с полем ее гармонических гиперплоскостей [р,] (гармонических точек Р);

- чебышевская сеть первого (второго) рода Е с Рп при п > 2 есть п -сопряженная система, являющаяся геодезической сетью второго (первого) рода относительно данной нормализации проективного пространства Рп.

В § 5 рассматриваются приложения геометрии нормализованного проективно-метрического пространства Кп к изучению плоских сетей. В частности, доказаны следующие предложения:

- В случае сети Е с: Кп, сопряженной относительно поля конусов

направлений cistcúqú)q =0, полярная нормализация пространства Кп является нормализацией, гармоничной сети (теорема 1.13).

- Сопряженная относительно поля конусов направлений а5тщ>q(Oq — 0 сеть Ее: Кп при п> 2 голономна тогда и только тогда, когда она является n-сопряженной системой в смысле Р. В. Смирнова [99] (теорема 1.14).

- Чебышевская сеть £<z Кп первого рода является сетью с совпавшими псевдофокусами и при п > 2 есть «-сопряженная система, причем при любом п > 2 поле нормализующих гиперплоскостей совпадает с полем ее гармонических гиперплоскостей (теорема 1.16).

- Если сопряженная относительно поля невырожденного тензора a/s сеть Ее Кп, п> 2 при некоторой нормализации пространства Кп есть чебышевская первого рода, то она не может быть геодезической первого рода, что равносильно тому, что нормализация пространства Кп не может быть полярной (теорема 1.18).

- Если относительно невырожденной нормализации пространства Кп (¡í/kI^O), гармоничной сети ИаКп, п> 2 (tIK =0, / * К), сеть Е является геодезической второго рода, то Е есть сеть с совпавшими псевдофокусами и пространство Кп нормализовано полем ее гармонических гиперплоскостей (теорема 1.19).

- Если относительно невырожденной нормализации пространства Кп (|0л:|^0), гармоничной сети ZaKn, п> 2 (tIK -0,1 ^ К), сеть Е является чебышевской второго рода, то Е есть геодезическая сеть первого рода и при п> 2 она является геодезической первого рода и п-сопряженной системой одновременно (теорема 1.20).

- Пространство аффинной связности Ап п, индуцируемое полем

гармонических гиперплоскостей чебышевской сети Ее Кп первого рода, при п> 2 является эквиаффинным; при этом нормализация исходного проективно-метрического пространства Кп гармонична сети Е (теорема 1.21).

В главе II изучается геометрия сетей на многомерных поверхностях в пространствах с проективной структурой, а именно, в проективном Рп и в

проективно-метрическом Кп; результаты главы отражены в публикациях [45]—[47], [49]—[55], [57]-[60], [65].

В § 1 изучаются двойственные аффинные связности V и V на гиперповерхности в пространстве Рп (теоремы 2.1, 2.2), найдены приложения этих связностей к-.изучению внутренней геометрии сопряженных, сетей ЕсУи (теоремы 2.3-2.5). Найден произвол существования гиперповерхности Уп_х, несущей сопряженную чебышевскую сеть первого и второго рода £ с Уп_х (п > 3) (теорема 2.6).

Доказано следующее предложение (теорема 2.7): внутренняя геометрия пространства аффинной связности Ап_х п_х без кручения, индуцируемого нормализацией регулярной гиперповерхности Уп_х с Рп, п > 3 полями гармонических гиперпрямых и гармонических прямых сопряженной сети являющейся чебышевской первого и второго родов одновременно, есть аффинная (локально).

Справедлива теорема 2.8: регулярная гиперповерхность <=/>„, несущая сопряженную сеть, являющуюся чебышевской первого и второго рода одновременно, вырождается в гиперквадрику <2Л2Ч тогда и только тогда, когда поля гармонических прямых и гиперпрямых сети £ с Уп_х нормализуют гиперповерхность взаимно.

В п.п. 4 и 5 § 1 доказаны следующие предложения:

- Если сопряженная сеть £, заданная на регулярной гиперповерхности Уп_х Рп,п>3, относительно некоторой нормализации гиперповерхности является чебышевской второго рода, то поле нормалей первого рода есть поле гармонических прямых сети и ее линии - плоские (теорема 2.9).

- Если гиперповерхность Уп_х Рп,п> 3, несущая голономную сопряженную сеть с совпавшими псевдофокусами и совпавшими псевдофокальными гиперплоскостями, нормализована полями гармонических прямых и гиперпрямых сети, то индуцируемые двойственные аффинные связности V и V являются эквиаффинными, а их средняя геометрия -риманова (теорема 2.10).

В § 2 исследование сетей на оснащенной многомерной поверхности Ут {2<т<п-\) проективного пространства Рп проводится с использованием ассоциированной с ней гиперполосы Нт в Рп, для которой исходная поверхность Ут является базисной (см. теоремы 2.11 и 2.12).

В п. 3 § 2 найдены и изучаются (теоремы 2.14-2.17) две двойственные аффинные связности на нормализованной в смысле Нордена - Чак-мазяна поверхности Ут.

Внутренним образом присоединенная к поверхности Ут с Рп (2<т<п-\) регулярная гиперполоса Нт позволяет изучать двойствен-

ную геометрию сетей на рассматриваемой поверхности; в частности, это приводит к построению инвариантной нормализации Ут с помощью полей гармонических плоскостей сети ЕеУт, слабо сопряженной относительно поля симметричного тензора ЬаА" (теорема 2.18), а также позволяет изучать различные подклассы сетей Е с?Ут (геодезические и че-бышевские сети первого и второго рода).

Для слабо сопряженной сети, в частности, доказаны следующие предложения (теоремы 2.18, 2.19):

- Поля гармонических плоскостей и слабо сопряженной

сети ЕсУт(2</и<и-1), задаваемые полями квазитензоров д1п и д,0, определяют инвариантную нормализацию поверхности Ут а Рп.

- Для ассоциированной регулярной гиперполосы Нт а Рп, несущей слабо сопряженную сеть ЕсУт, поля ее гармонических плоскостей д'п и ц1 нормализуют гиперполосу (а следовательно, ее базисную поверхность Ут) взаимно тогда и только тогда, когда данная сеть есть сеть Дарбу.

Приведены геометрические характеристики аналитических условий параллельного перенесения допустимых [80] направлений в аффинных связностях пространств Атт и Атт вдоль кривой, принадлежащей базисной поверхности Ут гиперполосы Нт а Рп, определения геодезических и чебышевских сетей. Изучаются некоторые вопросы геометрии слабо и сильно сопряженных геодезических и чебышевских сетей на Ут с Рп (теоремы 2.20, 2.21).

§ 3 посвящен изучению двойственной геометрии сетей Еп_, на невырожденном абсолюте в проективно-метрическом пространстве Кп.

В п.1 получен один из центральных результатов § 3 (теорема 2.22): проективно-метрическое пространство Кп с невырожденным абсолютом в первой дифференциальной окрестности индуцирует двойственное относительно инволютивного преобразования структурных форм проективно-метрическое пространство Кп с невырожденным абсолютом {2п2_! ; абсолют пространства Кп есть семейство касательных гиперплоскостей второго порядка к абсолюту пространства Кп. В тангенциальном репере найдено уравнение абсолюта (2„-1 •

В п. 2:

1) при п> 4 найдено условие голономности сопряженной относительно поля конусов направлений =0 сети Есбя2_,; геометри-

чески это условие эквивалентно тому, что абсолют 0.1_х пространства Кп является гиперсопряженной системой (теорема 2.23);

2) доказана теорема существования абсолюта 0^_х а Кп (п > 4), являющегося гиперсопряженной системой относительно сопряженной се-

В п. 3 найдены поля гармонических прямых д'п и гиперпрямых

сети Е с 1, определяемые внутренним образом. Доказаны следующие предложения (теорема 2.25, 2.26):

- поля гармонических прямых д]п и гиперпрямых д® сопряженной сети Е, заданной на абсолюте 0^_х проективно-метрического пространства Кп (п > 3), нормализуют гиперквадрику <2„-1 взаимно;

- для сопряженной сети Е, заданной на невырожденном абсолюте проективно-метрического пространства Кп (п > 3), поля ее гармонических прямых д]п и гармонических гиперпрямых д» двойственны по отношению друг к другу.

В п. 4 изучаются различные инвариантные оснащения абсолюта <2„2_1 с Кп. Вводятся понятие сильно оснащенного и согласованно оснащенного абсолюта <^Кп. К основному результату этого пункта можно отнести теорему 2.27: нормализация невырожденного

абсолюта 0,1_х проективно-метрического пространства Кп является взаимной тогда и только тогда, когда гиперквадрика (¿1_х согласованно оснащена полями геометрических объектов \у'п, V®} и , /10п } в смысле соответственно Э. Картана и Э. Бортолотти.

Доказано, что пространство проективной связности Рп_х п_х, индуцируемое оснащением в смысле Э. Картана невырожденного абсолюта 0,1_х а Кп, вырождается в проективное пространство тогда и только тогда, когда оснащающая точка Картана неподвижна (теорема 2.28).

вырожденном абсолюте проективно-метрического пространства

Кп, определяемые сопряженной сетью Е а , которые задают согласованное оснащение гиперквадрики (теорема 2.9).

П. 5 посвящен изучению связностей, индуцируемых нормализацией абсолюта 0,1_х а Кп полями гармонических прямых д'п и гиперпрямых

ти Е с <2І_Х (теорема 2.24)

Найдены поля геометрических объектов

сопряженной сети Е с . Получен ряд результатов (теоремы 2.302.32):

1 2

- Аффинные связности V и V без кручения, индуцируемые нормализацией абсолюта проективно-метрического пространства Кп полями гармонических прямых д'п и гиперпрямых сопряженной сети Е с <2^, совпадают (то есть вырождаются в одну связность).

- Аффинная связность без кручения V, индуцируемая нормализацией абсолюта с Кп, полями гармонических прямых д'п и гиперпрямых д? сопряженной сети Е с , является вейлевой с полем метрического тензора g¡j и с дополнительной формой [80]

(1е/

- Нормализация невырожденного абсолюта 0?п_х проективно-метрического пространства Кп полями гармонических прямых д'п и гиперпрямых д° сопряженной сети Ес^2., может быть гармонической

и сопряженной =0) лишь одновременно; в случае ее

гармоничности (или сопряженности) аффинная связность V, индуцируемая этой нормализацией, является римановой с полем метрического тензора gik.

В п. 6 для сети главных линий на абсолюте О1^ а Кп доказано утверждение (теорема 2.33): если сопряженная сеть Е с , с Кп есть сеть главных линий первого рода конгруэнции ее гармонических прямых, то линии сети Е суть кривые второго порядка.

Глава III посвящена изучению геометрии двойственных связностей и тканей на распределении гиперплоскостных элементов Ж первого рода [84] в проективно-метрическом пространстве Кп \ результаты этой главы отражены в публикациях [61], [63], [64], [66].

В § 1 приводится необходимый в дальнейшем изложении материал, носящий, в основном, реферативный характер. Здесь даются основные определения, приводятся дифференциальные уравнения многообразия !М и его двойственного образа М , а также дифференциальные уравнения полей фундаментальных и охваченных геометрических объектов на 94..

В § 2 изучается распределение гиперплоскостных элементов М, внутренним образом оснащенное в смысле Э. Картана [128] полем геометрического объекта {н'п, Нп}.

Найдена система форм Пфаффа Щ ), определяющая на !М пространство проективной связности Рп п_{, приведено строение тензора кривизны-кручения Щ5Т этого пространства.

Основным результатом § 2 является теорема 3.2: пространство проективной связности Рп л-1, индуцируемое оснащением в смысле Э. Кар-

тана регулярного распределения гиперплоскостных элементов Ж в про-ективно-метрическом пространстве Кп полем геометрического объекта

{Н'п,Нп}, вырождается в плоское пространство тогда и только тогда, когда оснащающая точка Бп неподвижна.

Доказано предложение, определяющее геометрическую характеристику оснащающей точки распределения: оснащающая точка 5„ распределения гиперплоскостных элементов М в проективно-метрическом пространстве Кп совпадает с полюсом текущего элемента ^[АоД]

этого распределения относительно абсолюта .

В § 3 внутренним образом построено двойственное инвариантное оснащение распределения гиперплоскостных элементов 94. в смысле А. П.

Нордена полями квазитензоров {н'п,н,}, взаимное относительно абсолюта б„2_, •

К основным результатам этого параграфа необходимо отнести следующие утверждения:

1) Если центр распределения !М в Кп смещается вдоль кривой, принадлежащей подмногообразию !М, то нормализация (н'п, Н1) распределения индуцирует риманову связность с полем невырожденного тензора а1} (теорема 3.5 и следствие).

2) Нормализация распределения гиперплоскостных элементов СМ в проективно-метрическом пространстве Кп полями квазитензоров Н'п и Н1 индуцирует риманово пространство /?„_, постоянной кривизны К, когда поле нормалей первого рода Н'п есть связка прямых с центром в

точке ; при этом К = -— (теорема 3.6).

с

В § 4 найдены приложения двойственных аффинных связностей пространств Ап п_х и Ап к изучению геометрии сопряженной ткани Е на

распределении гиперплоскостных элементов Ж в Кп.

Показано, что нормализация в смысле А. П. Нордена регулярного распределения гиперплоскостных элементов Ж в Кп индуцирует две двойственные аффинные связности без кручения. Доказано, что двойственные аффинные связности обобщенно сопряжены [80] относительно

поля тензора А" вдоль любой кривой /, принадлежащей [84] распределению 94 в Кп.

В § 4 приведены дифференциальные уравнения ткани Ес^ и ее двойственного образа - «тангенциальной ткани» ЕсМ, построены инвариантные образы, псевдофокусы и псевдофокальные гиперплоскости, определяемые тканью Е с !М, а также поля гармонических прямых и гиперпрямых ц] (в случае сопряженной ткани).

Доказано следующие предложение (теорема 3.8): для сопряженной ткани Е с М поле нормалей д,0 относится к первой дифференциальной окрестности элемента распределения 94 и совпадает с полем ее гармонических гиперпрямых; при этом двойственные поля квазитензоров и

<7(° определяют инвариантную нормализацию многообразия 94.

Найдены условия параллельного перенесения направления касательной А0А1 к /-ой линии ткани Е с 94 вдоль ее линии а^ в аффинной связности пространства Ап п_х или Ап л_,, индуцируемого нормализацией А.

П. Нордена регулярного распределения гиперплоскостных элементов 94. Дано определение геодезической и чебышевской тканей первого и второго рода, записаны необходимые и достаточные условия указанных тканей.

Основным результатом § 4 является предложение (теорема 3.9): сопряженная ткань Е на регулярном распределении гиперплоскостных элементов 94 в проективно-метрическом пространстве Кп является тканью с совпавшими псевдофокусами Т7,* (псевдофокальными гиперплоскостями 77,*) тогда и только тогда, когда относительно поля гармонических гиперпрямых (гармонических прямых ц1п) данная ткань является геодезической второго (первого) рода.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кондратьева, Надежда Викторовна, 2012 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абруков Д. А. Внутренняя геометрия поверхностей и распределений в проективно-метрическом пространстве / Д, А. Абруков. - Чебоксары : Чуваш, гос. пед. ун-т, 2003. - 140 с.

2. Акивис М. А. О нормалях Фосса поверхности, несущей сеть сопряженных линий / М. А. Акивис // Матем. сб. - 1962. - Т. 58(100). - № 2. - С. 695-706.

3. Акивис М. А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем / М. А. Акивис // Тр. Геометр. Семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1966. - № 1. - С. 7-31.

4. Акивис М. А О строении сопряженных систем на многомерных поверхностях / М. А. Акивис // Известия вузов. Матем. - 1970. - № 10. -С. 3-11.

5. Акивис М. А. Об инвариантном оснащении поверхности, несущей сеть сопряженных линий / М. А. Акивис // Уч. зап. Моск. гос. пед, ин-та им. В. И. Ленина. - 1970. - № 374. - С. 18-27.

6. Аксиров М. М. О внутренних сопряженных перенесениях трехмерных сетей / М. М. Аксиров // Уч. зап. Кабардино-Балкарск- ун-т. Сер. физ.-мат- н. - 1963. - Вып. 19. - С. 376-379.

7. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э. Д. Алшибая // Тр. Геом. Сми-нара /Ин-т научн. иинф. АН СССР. - 1974. - Т. 5. - С. 169-193.

8. Бабич В. В., Ведерников В. И. Глобальная теория сетей / В. В. Бабич,

B. И. Ведерников // Материалы 4-й Прибалт, геом. конференции. -Тарту, 1973.-С. 11.

9. Багдасарян Ж. Н. Об инвариантных аффинных связностях на гиперповерхности в Рп, оснащенной семейством конусов / Ж. Н. Багдасарян // Соврем. Геометрия. - Л., 1978, - С. 7-18.

10. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Базы-лев // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина, 1965. - №243. -

C. 29-37.

11. Базылев В. Т. О нормализациях проективного пространства, порождаемых заданной в нем сетью / В. Т. Базылев // Лит. мат. сб., 1966. -Т. 6.- №3. - С. 313-322.

12. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. - 1966. - № 2. -С. 9-19.

13. Базылев В. Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве / В. Т. Базылев // Лит. мат. сб. - 1966. - Т. 6,- №4. - С. 475^491.

14. Базылев В. Т. О фундаментальных объектах плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. - 1967. - № 9. - С. 315.

15. Базылев В. Т. О полях сопряженных направлений на многомерных поверхностях полного ранга / В. Т. Базылев // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. - 1967. - № 271. С. 7-33.

16. Базылев В. Т. К геометрии дифференцируемых отображений евклидовых пространств / В. Т. Базылев // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина-, г-1970. - № 374. - С. 1-51.

17. Базылев В. Т. О V-сопряженных сетях в пространстве аффинной связности / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. - 1974. - № 5. -С. 25-30.

18. Базылев В. Т. Сети на многообразиях // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1974. - Т. 6. - С. 189-205.

19. Базылев В. Т. Многомерные сети двойных линий / В. Т. Базылев // Диф. геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. -Калининград: Калинингр. ун-т, 1975. - Вып. 6. - С. 19-25.

20. Бшчев С. И., Дочев Д. Т. Четырехмерные поверхности пятимерного евклидова пространства, несущие вполне голономную 4-ткань линий кривизны / С. И. Билчев, Д. Т. Дочев // Изв. Мат. ин-т. Бълг. АН. -1973. - 14. - С. 287-305.

21. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. - М. : МГУ, 1950. - Вып. 8. - С. 197-272.

22. Ведерников В. И. Пространство псевдореперов / В. И. Ведерников // Диф. геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. -Калининград: Калинингр-й ун-т, 1979. - Вып. 10. - С. 16-21.

23. Ведерников В. И., Ведерников С. В. Однородные аффинорные пространства и плоские сети в аффинном пространстве / В. И. Ведерников, С. В. Ведерников // Тезисы докл. 5-й Прибалт, геом. конф. -Друскининкай, 1978. -С. 19.

24. Веселова О. М. Некоторые специальные случаи голономных сетей в пространстве Еъ / О. М. Веселова // Соврем, геометрия. - Л., 1978. -С.40-45.

25. Веселова О. М. К геометрии голономных сетей в пространстве Еъ / О. М. Веселова // Исслед. по геометрии погружен, многообразий и проективн. геометрии. - Л., 1979. - С. 26-31.

26. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М. : Наука, 1967.-576 с.

27. Гаспарян С. Г. О характеристической сети и ее некоторых свойствах / С. Г. Гаспарян // Айкакан ССР Гитутюинери Академиа. Зекуйцнер, Докл. АН. АрмССР. - 1961. - 32. - № 3. - С. 129-138.

28. Гейдельман Р. М. Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах / Р. М. Гейдельман // В сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 (Итоги науки ВИНИТИ АН СССР)». - М„ 1967. - С. 323-374.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35,

36

37

38

39

40

41

42

Голубева Е. А. Двойственные аффинные связности, индуцируемые нормализацией пространства проективно-метрической связности / Е.

A. Голубева // ВИНИТИ РАН. - М., 2005. - № 1743 Деп. - 17 с. Голъдберг В. В. Об одной нормализации /»-сопряженных систем п -мерного проективного пространства / В. В. Гольдберг // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. 1966. - Т.1. - С. 89-109. Грачева В. И. О некоторых случаях дифференцируемых отображений евклидовых пространств / В. И. Грачева // Известия вузов. Ма-тем. - 1970. - № 11. - С. 22-30.

Грачева В. И. К вопросу о Ка^ -линеаризирующих прямых и плоскостях дифференцируемых отображений, евклидовых пространств / В. И. Грачева // Известия вузов. Матем. - 1978. - № 5. - С. 19-31. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. 77. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ. - М„ 1979. - Т. 9. - 246 с.

Иванов Г. П. О поверхностях У4 в Е5, несущих два семейства сдвоенных асимптотических линий / Г. П. Иванов // В сб. «Геометрия». -Л., 1976. - Вып. 5. - С. 47-53.

Иванов Г. П. О поверхностях У3 в Е5, несущих сдвоенное семейство асимптотических / Г. П. Иванов // Тезисы докл. 7-й Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. - Минск, 1979. - С. 74. Игошин В. А. Теоремы разложения для пульверизаций / В. А. Иго-шин // Материалы 3-ей научной конференции молодых ученых мехмата ГГУ. - ВИНИТИ РАН. - М„ 1978. - № 2515-78 Деп. - С. 45-62. Игошин В. А. Теоремы разложения для двуслоений совместимых с пульверизацией / В. А. Игошин // Математические заметки. - 1980. -Т. 28.-Вып. 6. - С. 923-934.

Игошин В. А. Теорема стабильности для слоев римановых параллельных слоений / В. А. Игошин // Известия вузов. Матем. - 1980. -№ 7. - С. 74-76.

Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1962. - 210 с.

Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии / Ш.

Кобаяси и [др.] - М. : Наука. - 1981. - Т. 1. - 344 с.

Кондратьева Н. В. Нормализованное проективное пространство / Н.

B. Кондратьева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. -Чебоксары, 2008. - № 3 (59). - С. 32-39.

Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия плоских многомерных сетей / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. - М„ 2008. - № 449 -В2008. - 20 с.

43. Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия плоских сетей в проектив-но-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН.

- М„ 2008. - № 22 - В2008. - 14 с.

44. Кондратьева Н. В. Плоские сети в нормализованном проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. -М., 2008. - № 61 - В2008. - 11 с.

45. Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия сопряженных сетей на гиперповерхности / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. - М„ 2008. -№ 148-В2008,- 16 с.

46. Кондратьева Н. В. Геометрия сопряженных сетей на невырожденном абсолюте проективно-метрического пространства / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. - М„ 2008. - № 434 - В2008. - 18 с.

47. Кондратьева Н. В. Сопряженные сети на регулярной гиперповерхности проективного пространства / Н. В. Кондратьева // Наука и современность - 2010 : материалы I Международной научно-практической конференции : в 3 ч. - Новосибирск : Изд-во «СИБ-ПРИНТ», 2010. - Ч. 2. - С. 160-165.

48. Кондратьева Н. В. О сопряженных сетях в нормализованном проек-тивно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // В мире научных открытий. - Красноярск : Научно-инновационный центр, 2010. -№4(10).-4.5.-С. 7-9.

49. Кондратьева Н. В. О гиперповерхности, несущей сопряженную сеть / Н. В. Кондратьева // Геометрия многообразий и ее приложения : материалы научной конференции с международным участием. -Улан-Удэ : Изд-во Бурятского гос. ун-та, 2010. - С. 28-34.

50. Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия сетей на невырожденном абсолюте проективно-метрического пространства / Н. В. Кондратьева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2010. - №1(15).

- С. 3-9.

51. Кондратьева Н. В. О гиперповерхности, несущей сопряженную сеть / Н. В. Кондратьева // Геометрия многообразий и ее приложения : материалы научной конференции с международным участием. -Улан-Удэ : Изд-во Бурятского гос. ун-та, 2010. - С. 28-34.

52. Кондратьева Н. В. О сопряженной сети на гиперквадрике проектив-но-метрического пространства / Н. В. Кондратьева // В мире научных открытий. - Красноярск : Научно-инновационный центр, 2010. -№5(11).-Ч. 1.-С. 14-19.

53. Кондратьева Н. В. О сопряженных сетях, заданных на гиперповерхности / Н. В. Кондратьева // Геометрия в Одессе - 2010 : тезисы докладов Международной конференции. - Одесса : Фонд «Наука», 2010. -С. 38.

54. Кондратьева Н. В. Аффинные связности на абсолюте проективно-метрического пространства / Н. В. Кондратьева // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского : материалы Девятой мо-

лодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения -2010». - Казань : Казанское математическое общество, 2010. - Т. 40. -С. 184-188.

55. Кондратьева Н. В. Сети и аффинные связности на гиперполосе, ассоциированной с поверхностью / Н. В. Кондратьева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2010. - №2(16). - С. 19-23.

56. Кондратьева Н. В. Некоторые классы сетей в проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // Диф. геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград: Российский гос. ун-т им. И. Канта, 2010. - Вып. 41. - С. 61-69.

57. Кондратьева Н. В. О некоторых классах сетей, заданных на регулярной гиперповерхности проективного пространства / Н. В. Кондратьева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2010. - № 4 (68). - С. 94-101.

58. Кондратьева Н. В. Сопряженные сети на поверхности проективного пространства / Н. В. Кондратьева // Актуальные проблемы науки и техники : сб. трудов II Международной научной конференции молодых ученых. - Уфа : Нефтегазовое дело. - 2010. - Т. I. - С. 11-15.

59. Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия многомерной поверхности в проективном пространстве / Н. В. Кондратьева // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании : Материалы второй Российской школы-конференции с междун. участием для молодых ученых. - Тверь : Твер. гос. ун-т, 2010. - С. 150-155.

60. Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия сетей на поверхности проективного пространства / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. -М„ 2008. - № 704 - В2010. - 20 с.

61. Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия тканей на распределении гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2011. - № 2 (70). - С. 55-62.

62. Кондратьева Н. В. Некоторые приложения геометрии проективно-метрического пространства к изучению плоских сетей / Н. В. Кондратьева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2011. - № 2 (70). - С. 63-69.

63. Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия распределения гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. - М., 2011. - № 154 - В2011. - 12 с.

64. Кондратьева Н. В. Проективные связности на распределении гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // Студент и научно-технический прогресс : материа-

лы XLIX Международной научной студенческой конференции. -Новосибирск : Новосиб. гос. ун-т, 2011. - С. 78.

65. Кондратьева Н. В. Приложения теории гиперполос к изучению двойственной геометрии сетей на поверхности / Н. В. Кондратьева // Диф. геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. -Калининград: Российский гос. ун-т им. И. Канта, 2011. - Вып. 42. -С. 48-55.

66. Кондратьева Н. В. Связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов / Н. В. Кондратьева // В мире научных открытий. - Красноярск : Научно-инновационный центр, 2011. - №8.1 (20). - С. 370-379.

67. Кузьмин М. К. Сети, определяемые распределениями в евклидовом пространстве £л, и их обобщения / М. К. Кузьмин // В сб. «Пробл. геометрии (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)». - М., 1975. -Т. 7.-С. 215-229.

68. Кузьмин М. К. О канонических сетях распределений на поверхностях евклидова пространства / М. К. Кузьмин // В сб. «Пробл. геометрии (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)». - М„ 1975. - Т. 7. - С. 231-248.

69. Кузьмин М. К. К геометрии одного класса ступенчато-канонических сетей / М. К. Кузьмин // Тезисы докл. Всес. науч. конф. по неевкл. геометрии «150 лет геометрии Лобачевского». - Казань, 1976. - С. 110.

70. Кузьмин М. К. К геометрии сетей и распределений в- Еп. Тезисы докл. 5-й Прибалт, геом. конф. - Друскининкай, 1978. - С. 43.

71. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. о-ва, 1953.-Т. 2.-С. 275-382.

72. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей / Г. Ф. Лаптев // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. -1965.-С. 5-64.

73. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Труды Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

74. Либер А. Е. К теории сетей в многомерном пространстве / А. Е. Ли-бер // Дифференциальная геометрия. - Саратов: Саратовский ун-т, 1974.-Вып. 1.-С. 72-84.

75. Либер А. Е. О чебышевских сетях и чебышевских пространствах / А. Е. Либер // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. - М. : МГУ, 1974. - Вып. 17. - С. 177-183.

76. Линъкова Г. H. О сетях на гиперповерхностях эквиаффинного пространства / Г. Н. Линькова // В сб. «Геометрия». -Л., 1975, - Вып. 4. -С. 107-119.

77. Линъкова Г. 77. Однопараметрические семейства ^-плоскостей на гиперповерхностях аффинного пространства / Г. Н. Линькова // ВИНИТИ. - М„ 1979. - № 2800 - 79. - 24 с. • ,

78. Лумисте. Ю. Г. О n-мерных поверхностях с асимтотическими полями /^-направлений / Ю. Г. Лумисте // Известия вузов. Матем., 1959. -№1. - С. 105-113.

79. Малаховский В. С. К геометрии касательно оснащенных подмногообразий / В. С. Малаховский // Известия вузов. Матем., 1972. - №9. -С. 54-65.

80. Норден А. 77. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976.-432 с.

81. Остиану 77. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия / H. М. Остиану // Rev. math, pures et appl. (RPR), 1962. -T. 7,- №2.- C. 231-240.

82. Остиану 77. M О геометрии многомерной поверхности проективного пространства / H. М. Остиану // Тр. Геометр, семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1966. - Т. 1. - С. 239- 263.

83. Остиану H. М. Инвариантное оснащение поверхности, несущей сеть / H. М. Остиану // Известия вузов. Матем., 1970. - №7. - С. 72-82.

84. Остиану H. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / H. М. Остиану // Тр. Геометр, семинара. Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1973. - Т.4. - С. 71-120.

85. Падервинскас В. В. О некоторых сетях в трехмерном евклидовом пространстве / В. В. Падервинскас // Liet. mat. Rinkinys / Лит. мат. сб.

- 1966. - 6. - № 1. - С. 99-103.

86. Падервинскас В. В. К вопросу существования ромбоэдрических и ромбических сетей в трехмерном евклидовом пространстве / В. В. Падервинскас // Liet. mat. Rinkinys / Лит. мат. сб. - 1966. - 6. - № 4. -С.624-625.

87. Падервинскас В. В. Ромбические и ромбоэдрические сети в трехмерном евклидовом пространстве / В. В. Падервинскас // Liet. mat. Rinkinys / Лит. мат. сб. - 1968. - 7. - № 3. - С. 497-504.

88. Падервинскас В. В. Ромбоэдрические сети в «-мерном евклидовом пространстве / В. В. Падервинскас // Liet. mat. Rinkinys / Лит. мат. сб.

- 1973. - 13. - № 2. - С. 125-131.

89. Падервинскас В. В. Ромбические сети в n-мерном евклидовом пространстве / В. В. Падервинскас // Liet. mat. Rinkinys / Лит. мат. сб. -1974. _ 14. _№ 3. - С. 165-172.

90. Падервинскас В. В. n-мерные ромбоэдрические изогональные сети в n-мерном евклидовом пространстве / В. В. Падервинскас // Liet. mat. Rinkinys / Лит. мат. сб. - 1979. - 19. - № 2. - С. 153-160.

91. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос / Ю. И. Попов. -Калининград: Калинингр. ун-т, - 1983. - 82 с.

92. Пылаев В. М. Многомерные аналоги чебышевских сетей / В. М. Пы-лаев // Тр. Горькое. Политехи, ин-та. - 1973. - № 12. - С. 36-39.

93. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Ра-шевский. - М. : Наука, 1967. - 632 с. к

94. Рыбников А. К. О реализации аффинных связностей без кручения на поверхностях, несущих сеть сопряженных линий / А. К. Рыбников // Вестн. Моск. ун-та. Мат., мех. - 1973. - № 6 - С. 64-71.

95. Рыжков В. В. Сопряженные системы на многомерных поверхностях / В. В. Рыжков // Тр. Мск. матем. об-ва, 1958. - Т. 7. - С. 179-226.

96. Сдвижков О. А. К теории сетей на многомерных поверхностях / О. А. Сдвижков // Тезисы докл. 7-й Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. - Минск, 1979. - С. 177.

97. Сельдюков Е. К. Об одном классе плоских многомерных сетей в евклидовом пространстве / Е. К. Сельдюков // Тезисы докл. 7-й Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. - Минск, 1979. - С. 178.

98. Сельдюков Е. К. Геометрия сетей, инвариантно присоединенных к заданным ортогональным сетям на V в Еп И Диф. геометрия многообразий фигур. - Калининград : Калининградский ун-т, 1979. - Вып. 10.-С. 110-114.

99. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа р-сопряженных систем / Р. В. Смирнов // ДАН СССР. - 1950. - Т.71. - №3. - С. 437-439.

100. Сокушева М. Р. К геометрии отображений гиперповерхностей евклидовых пространств / М. Р. Сокушева // Тезисы докл. 7-й Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. - Минск, 1979. - С. 186.

101. Степанов С. Е. Геометрия декартовых пространств / С. Е. Степанов // ВИНИТИ. - М„ 1978. - № 3414 - 78деп. - 8 с.

102. Степанов С. Е. Чебышевские оснащения поверхности / С. Е. Степанов // ВИНИТИ. - М„ 1978. - № 3414 - 78деп. - 8 с.

103. Степанов С. Е. Реализация чебышевской связности на гиперповерхности аффинного пространства / С. Е. Степанов // Современная геометрия: Вопросы дифференциальной геометрии. - Л., 1980. - С. 7376.

104. Столяров А. В. О внутренней геометрии двух классов плоских многомерных сетей в проективном прстранстве / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. - 1969. -№ 8. - С. 104-111.

105. Столяров А. В. О сетях с совпавшими псевдофокусами, заданных на гиперповерхностях проективного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. - 1970. - № 2. - С. 86-93.

106. Столяров А. В. О сетях и полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхностях проективного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. - 1970. - № 7. - С. 96-101.

107.

108.

109.

110.

111.

112.

113

114

115

116

117

118

119

120

121

Столяров А. В. О внутренней геометрии многомерных поверхностей, несущих проективно чебышевскую сеть / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. - 1971. -№ 11. - С. 99-103.

Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей и полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхности / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. - 1972. - № 4. - С. 109-119. Столяров А. В. О двойственной геометрии плоских многомерных сетей / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. - 1973. - № 7. - С. 92102.

Столяров А. В. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. - 1975. - № 10. - С. 97 -99.

Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. - 1977. - № 8. -С. 68-78.

Столяров А. В. Двойственная геометрия га-тканей на распределении Я с Рпп / А. В. Столяров // Тез. докладов 8-й Всес. конф. по совр.

проблем, диф. геометрии - Одесса, 1984. - С. 151. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография / А. В. Столяров. - Чебоксары: изд-во Чуваш, педин-та, 1994.-290 с.

Столяров А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур. - Калининград : Калининградский ун-т, 2001. - Вып. 32. - С. 94101.

Фиников С. 77. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. - М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с. Хачатрян А. Е. Градиентные ортогональные сети четырехмерного пространства Римана / А. Е. Хачатрян // Сб. аспирантск. работ Ка-занск. ун-та «Точные науки. Математика. Механика». - Казань, 1975. - С. 203-209.

Хачатрян А. Е., Шуликовский В. И. Три-ткани в пространстве Римана У3 / А. Е. Хачатрян, В. И. Шуликовский // Известия вузов. Матем. -1977.-№7.-С. 94-98.

Чакмазян А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакмазян // Докл. АН Арм. ССР. - 1959. - Т. 28. - № 4. - С. 151- 157. Чахтаури А. И. Внутренние геометрии плоских сетей / А. И. Чахтау-ри // Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН ГрССР. - Тбилисси, 1947. - Т. 15.-С. 101-148.

Чахтаури А. И. Приложения внутренних геометрий плоских сетей в теорию поверхностей / А. И. Чахтаури // Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН ГрССР. - Тбилисси, 1954. - Т. 20. - С. 89-130. Чахтаури А. И. О внутренней геометрии трехмерной сети / А. И. Чахтаури // Тр. Тбилисск. ун-та. - 1966. - С. 129-133.

122. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях / А. П. Широков // Алгебра. Топология. Геометрия. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). - М„ 1974. - Т. II. - С. 153-207.

123. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия/ В. И. Шуликовский. - М. : Физматгиз, 1963. - 540 с.

124. Шуликовский В. И. Проективная терия сетей / В. И. Шуликовский. -Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1964. - 78 с.

125. Шульман Т. А. Об инвариантных сетях на гиперповерхности в четырехмерном проективном пространстве / Т. А. Шульман // Известия вузов. Матем. - 1964. - № 5. - С. 137 - 142.

126. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazione alla geometria metrica differenziale delle congruenze di rette / E. Bortolotti // Rend. Semin. Fac. Sei. Univ. Cagliari. - 1933. - V. 3. - P. 81-89.

127. Cartan E. Sur les Varietes de courbure constante d'un espace euclidiene ou non euclidiene/ E. Cartan // Bull. Soc. Math, de France. - 1919. - 47. - P. 125 - 160; 1920. - 48. - P. 132 - 208.

128. Cartan E. Les espaces a connexion projective / E. Cartan // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. - М. : МГУ, 1937. - Вып. 4. -С.147-159.

129. Casanova G. La notion de pole harmonique / G. Casanova // Rev. math. spec. - 1955. - 65. - № 6. - P. 437^40.

130. Chern S. S. Laplace transforms of a class of higher dimensional varieties in a projective space of n dimensions / S. S. Chern // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. - 1944. - 30. - № 4. - P. 95-97.

131. Degen W. Uber konjugierte Netze, der Tangentenkongruenzen in linearen Komplexen Hegen / W. Degen // Math. Ann. - 1960. - 141. - № 3. - P.

132. Hollingsworth B. /., Bell P. O. Generalized conjugate nets in projective n-space / B. I. Hollingsworth, P. O. Bell // Duke Math. J. - 1956. - 23. - № 4. - P. 601-607.

133. Svec A. On orthogonal conjugate nets in EA / A. Svec // Comment. Math. Univ. Carol. - 1975- 16.-№ l.-P. 183-187.

134. Su Buchin A note on the theory of conjugate nets in hyperspace / Su Buchin // Sci. Rec. - 1959. - 3. - № 10. - P. 441-445.

210-236.