Топологические эффекты в низкоразмерных сильно коррелированных электронных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Вербус, Валерий Альфонасович

• Вербус, Валерий Альфонасович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вербус, Валерий Альфонасович

Введение

Глава 1. Критические индексы корреляционных функций и квантово-групповая диффузия в двумерных спиновых системах.

1.1 Зависимость критических индексов от в параметра в энионной решёточной модели.

1.1.1 Энионная модель в представлении кулоновского газа

1.1.2 Ренорм-групповой анализ.

1.1.3 Критические индексы.

1.2 Квантово-групповая диффузия по корням из единицы.

Глава 2, Статистические свойства низкоразмерных сильно коррелированных систем.

2.1 Статистические свойства систем с обобщенным принципом исключения состояний

2.1.1 Обобщенный принцип исключения состояний Халдейна.

2.1.2 Обобщенный принцип исключения состояний в проблеме Кондо.

2.2 Уравнения движения и сохраняющиеся величины в неабелевых дискретных интегрируемых моделях.

2.2.1 Уравнение Хироты

2.2.2 Интегралы движения.

Глава 3. Черн-Саймоновские корреляции в модели дискретного (2 + 1)Б нелинейного уравнения Шредингера.

3.1 Калибровочно-инвариантное (2 + 1)£> нелинейное уравнение Шредингера

3.2 Уравнения движения в непрерывном пределе.

3.3 Калибровочные поля Черна-Саймонса на решётке.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические эффекты в низкоразмерных сильно коррелированных электронных системах»

Изучение низкоразмерных сильно коррелированных электронных систем в настоящее время является актуальной задачей. Во многом это инициировано открытием ряда явлений в физике конденсированных сред, в частности - высокотемпературной сверхпроводимости. Материалы, в которых наблюдается высокотемпературный переход в сверхпроводящее состояние, включают в себя пространственно двумерные слои и в случае отсутствия допирования являются антиферромагнитными диэлектриками. Допирование приводит к нарушению коллинеарности спинов и возникновению сильных спиновых флуктуаций, в которых участвуют не только ближайшие соседние спины, но также и спины, находящиеся на большем расстоянии. Так в пространственно двумерных электронных системах возникают сильные спиновые корреляции.

Другое пространственно двумерное явление, где сильные корреляции электронов также играют существенную роль, является дробный квантовый эффект Холла. Здесь сильное взаимодействие между электронами приводит как к перестройке основного состояния, так и к изменению низколежащих возбуждений. Причем эти возбуждения обладают дробным зарядом. Дробный заряд, подобно дробному заряду одномерных солитонов в квантовой теории поля, является топологической характеристикой. Кроме дробного заряда эти квазичастицы обладают также промежуточной статистикой, что также является проявлением топологической особенности двумерного пространства.

Действительно, статистика частиц в ¿-мерном пространстве определяется одномерными неприводимыми представлениями фундаментальной группы гомотопии ^(Л^Ам) конфигурационного пространства N неразличимых частиц. Конфигурационное пространство тождественных частиц получается из координатного пространства идентификацией точек, полученных при любой перестановке частиц, и после исключения сингулярных точек, где координаты двух или более частиц совпадают. Для й > 2 конфигурационное пространство двусвязно и "К\{Мци) совпадает с группой перестановок ¿дг- Неприводимые представления группы перестановок отвечают четным и нечетным перестановкам и реализуют два типа статистик: Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. В двумерном случае К\{М2ы) является бесконечной неабелевой группой и её одномерные унитарные представления имеют вид:

Хв = ехр (—гб), (0 < в < 27г). Поэтому двумерные квантовые объекты могут подчиняться статистике, которая является промежуточной между статистиками бозонов (в = 0) и фермионов (в = 7г). Здесь в есть фазовый множитель, приобретаемый волновой функцией при перестановке двух частиц. Для в = 7г/2, что соответствует середине между фермионом и бозоном, данная частица получила название семи-он. Семион представляет наибольший интерес для энионной теории высокотемпературной сверхпроводимости. Это связано с тем, что в результате фазового перехода Костерлица-Таулеса, существующего в двумерных системах, возникает объединение возбуждений в пары [13]. При этом пара из семионов при перестановке с другой парой ведёт себя как бозон.

Одной из привлекательных особенностей пространственно двумерных электронных систем является существование в них явлений, которые могут быть систематизированы с помощью представлений о классах универсальности. Последнее означает, что они обладают рядом черт, которые являются общими для целого класса систем и не зависят от конкретной их реализации. Так в квантовом эффекте Холла квантование холловской проводимости не зависит от конкретного образца, а определяется топологией многообразия, на котором определена изучаемая система. Высокая точность, с которой наблюдается квантование холловской проводимости, объясняется топологической природой эффекта. Это также касается квантования магнитного потока в сверхпроводниках, где вихревые возбуждения носят топологический характер. Это позволяет описывать их, используя топологические методы, развитые в квантовой теории поля. По своей сути топологические свойства системы являются глобальной характеристикой теории и связаны с нетривиальными граничными условиями.

В квантовой теории поля существует подход, основанный на использовании Черн-Саймоновских калибровочных полей. Черн-Саймоновский член кодирует в длинноволновом приближении существование и специфику пространственно двумерных точечных особенностей, содержащихся в Бом-Аароновских потенциалах калибровочного поля. Черн-Саймоновское слагаемое описывает эффект переплетения мировых линий точечных особенностей с образованием зацеплений, а коэффициент к, стоящий перед этим слагаемым, является индексом числа зацеплений.

В длинноволновом описании учет энионов осуществляется при помощи калибровочных полей, параметризующих в лагранжиане модели слагаемое Черна-Саймонса. При этом Черн-Саймоновский член индуцирует дробную статистику с фазой, которая связана с коэффициентом Черна-Саймонса следующим образом в = -к/к. В длинноволновом пределе и в области низких температур другие слагаемые в лагранжиане теории по сравнению с Черн-Саймоновским становятся несущественными и Черн-Саймоновский член становится основным. Так с использованием этого слагаемого строится феноменологическая теория дробного квантового эффекта Холла.

Многие идеи квантовой теории поля активно используются при теоретическом анализе ряда явлений в низкоразмерных сильно коррелированных электронных системах. Термины — топологические возбуждения, топологические фазовые переходы, топологический порядок, топологическая теория высокотемпературной сверхпроводимости используются при реализации современной программы исследований, существенно опирающейся на топологически инвариантные характеристики низкоразмерных сильно коррелированных электронных систем. Изучение топологических эффектов представляет собой актуальную общефизическую задачу. Данная диссертация посвящена дальнейшему развитию теории сильно коррелированных сред. В ней рассматриваются влияние топологических эффектов на различные характеристики этих систем.

Целью настоящей диссертации является:

• теоретическое исследование структуры фазового состояния энионной решёточной модели, изучение влияния топологического слагаемого в действии модели на критические индексы корреляционных функций;

• постановка и решение задачи о случайном блуждании по состояниям на решётке, характеризующимися значениями потока магнитного поля, которые распределены как корни из единицы;

• применение обобщённого принципа исключения состояний Халдейна при изучении статистических свойств многокомпонентных интегрируемых моделей, в частности, в модели Кондо;

• изучение свойств решений билинейных разностных уравнений Хироты, в частности нахождение интегралов движения для квантовых интегрируемых моделей;

• исследование Черн-Саймоновских корреляций на пространственно-временнной решётке в модели (2+1)1) нелинейного уравнения Шредингера, при учете калибровочных полей Черна-Саймонса, а также определение условий, при которых топологические эффекты в данной модели существенны.

Поясним мотивы и опишем распределение по главам задач, составивших содержание диссертации.

В первой главе изучаются критические индексы корреляционных функций и квантово-групповая диффузия в двумерных спиновых системах.

Одним из эффективных методов анализа является метод ренорм-группы, который позволяет исследовать некоторые свойства фазового состояния модели, не зная точного решения. Этот подход будет использован в первой части первой главы, для изучения критического поведения энионной решёточной модели.

Корреляционные функции полей в близи точки фазового перехода степенным образом зависят от расстояния. Показатель степени содержит информацию о симметрии и размерности рассматриваемой системы и является экспериментально измеряемой величиной. Поэтому знание критических индексов в энионных моделях является важным для энионной теории высокотемпературной сверхпроводимости, особенно в связи с существующим в литературе [29, 30] предположением о том, что корреляционные функции в низкотемпературной (сверхпроводящей) фазе могут не зависить от расстояния.

В этом разделе сформулирована энионная решёточная модель, которая представляет собой двумерную ^-модель с в - слагаемым. Для неё получена система ренорм-групповых уравнений и найдены точки фазового перехода. В точках фазового перехода найдены значения критических индексов корреляционных функций. Обнаружено, что наличие в - слагаемого приводит к появлению дополнительной точки фазового перехода и к смещению точки, соответствующей фазовому переходу Костерлица-Таулеса [42], в более высокотемпературную область.

Сильные квантовые флуктуации в низко размерных спиновых системах изменяют структуру основного состояния. Разрушение локального магнитного порядка из-за допинга и рождение зарядовых степеней свободы приводят к возрастанию роли много частичных корреляций. При этом спиновый беспорядок может быть выражен в терминах потоков статистического калибровочного поля, измеряющего степень спиновой неколлинеарности вдоль произвольно большой петли. Оказывается, что уравнение эволюции по состояниям с различными значениями потока совпадают по форме с уравнением квантово-групповой диффузии с параметром деформации, равным корню из единицы. Проблеме о случайном блуждании по состояниям, характеризующимся значениями потока магнитного поля, которые распределены как корни из единицы, посвящена вторая часть первой главы. Здесь рассматривается постановка задачи и приводится общее её решение, которое содержит, в частности, обобщение гауссова распределения вероятностей для рассматриваемой дискретной модели.

Во второй главе изучаются статистические свойства низко размерных сильно коррелированных систем.

Статистические свойства системы определяются прежде всего функцией распределения частиц, нахождение которой в случае сильного взаимодействия между частицами является нетривиальной задачей. Недавно, Халдейном [63] был сформулирован обобщенный принцип исключения состояний, который позволяет в ряде случаев систему взаимодействующих частиц представить в виде набора невзаимодействующих частиц, подчиняющихся определенной статистике, носящей название статистика с обобщенным принципом исключения состояний. В ряде случаев этот подход позволяет динамическое взаимодействие между частицами трансформировать в статистическое. Обобщенный принцип исключения состояний был сформулирован безотносительно к размерности пространства. Однако он нашёл своё применение в основном в одномерных системах. Для большинства физических моделей с большей размерностью применение обобщенного принципа исключения состояния не приводит к исчезновению динамического взаимодействия между частицами за счет введения статистики Халдейна. Исключением из этого числа могут служить модели, решение которых сводится к решению одномерной задачи. Одной из таких задач является проблема Кондо. Она относится к необычному поведению сопротивления при низких температурах в системе, состоящей из примесного атома с локализованным магнитным моментом, погруженном в немагнитный металл. В приближении малой концентрации примесей, эта задача сводится к эффективной одномерной задаче [62], гамильтониан которой учитывает свободные электроны с изотропным законом дисперсии и 5 — ¿-обменное взаимодействие их с локализованным примесным спином величины

В первой части второй главы будет рассмотрен обобщенный принцип исключения состояний в проблеме Кондо. Для этого, будут получены термодинамические Бете-анзатц уравнения для многокомпонентной системы частиц, удовлетворяющих статистике с обобщенным принципом исключения состояний Халдейна. Будет найдена связь между производной от сдвига фазы матрицы рассеяния для фер-мионов и производной от сдвига фазы матрицы рассеяния для частиц удовлетворяющих обобщенному принципу исключения состояний. Будет показано, что статистическая матрица для проблемы Кондо имеет универсальный вид в высоко- и низко-температурном пределах. При этом оказывается, что уравнение для функции распределения для частиц, удовлетворяющих обобщенному принципу исключения состояний, в этих предельных случаях совпадают по форме с частным случаем билинейного разностного уравнения Хироты. В случае произвольной температуры полученные уравнения и уравнения Хироты отличаются тем, что в отличии от уравнения Хироты в уравнении для функции распределения сдвиги по быстротам происходят по мнимой оси.

Недавно было показано, что уравнение Хироты, изначально возникшее как дискретный аналог солитонных уравнений [101, 102], имеет отношение к квантовым интегрируемым моделям. Было показано [83, 84], что правила слияния для собственных значений трансфер-матриц для квантовых интегрируемых моделей с Ак симметрией совпадают по форме с классическим разностным уравнением Хироты. При этом оказалось [93, 89, 88], что иерархические Бете-анзатц уравнения можно понимать как цепочку последовательных преобразований Беклунда. Вторая часть второй главы будет посвящена изучению свойств решений уравнений Хироты. В этом разделе будут найдены сохраняющиеся величины для билинейного разностного уравнения Хироты. Будут найдены комбинации собственных значений трансфер-матрицы, являющиеся интегралами движения для интегрируемых дискретных моделей с нулевыми и квазипериодическими граничными условиями для Ак-\ алгебры. Будут получены также дискретные аналоги уравнений движения для модели Булуф-Додда и не абелевого обобщения модели Лиувилля.

В третьей главе изучаются Черн-Саймоновские корреляции в модели дискретного (2 + 1)-мерного нелинейного уравнения Шредингера (НУШ).

В настоящей главе ставится задача об определении величины топологических эффектов, связанных с нарушением киральной инвариантности в (2 + системах. С этой точки зрения НУШ может рассматриваться как полезный пример для решения этой задачи. Для этой цели рассматривается калибровочно-инвариантное нелинейное уравнение Шредингера.

В длинноволновом подходе учет топологических эффектов может быть осуществлен за счет калибровочных Черн-Саймоновских полей. Влияние Черн-Саймоно-вских калибровочных полей в модели (2 + 1)-мерного нелинейного уравнения Шредингера проявляется в воздействии на структуру коллапсирующего распределения поля и изменении условия коллапса. В первой части третьей главы поясняется причина включения в рассмотрение Черн-Саймоновских калибровочных полей в модель (2+ 1)1) нелинейного уравнения Шредингера, а также ставится задача о месте и величине топологических эффектов в этой системе. Во второй части этой главы приводятся уравнения движения в непрерывном случае и результаты численного счета. В третьей части третьей главы сформулированы уравнения движения для дискретной модели (2 + 1)1) нелинейного уравнения Шредингера и приведены результаты численного решения задачи.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, которые одновременно являются положениями, выносимыми на защиту.

Перечислим основные положения, выносимые на защиту:

• Сформулирована энионная решёточная модель, которая представляет собой двумерную Zfq модель с топологическим в слагаемым. Для неё получена система ренорм-групповых уравнений и найдены точки фазового перехода. В точках фазового перехода найдены значения критических индексов корреляционных функций. Обнаружено, что наличие в модели в - слагаемого приводит к появлению дополнительной точки фазового перехода;

• поставлена задача о случайном блуждании по состояниям на решётке, характеризующимся различными значениями потока магнитного поля. Найдено общее решение q-деформированного уравнения диффузии с параметром деформации являющимся корнем из единицы;

• получены термодинамические Бете-анзатц уравнения для многокомпонентной системы частиц, которые удовлетворяют обобщенному принципу исключения состояний Халдейна. Найдена связь между производной от сдвига фазы матрицы рассеяния для фермионов и производной от сдвига фазы матрицы рассеяния для частиц, удовлетворяющих обобщенному принципу исключения состояний. Показано, что статистическая матрица для проблемы Кондо имеет универсальный вид в высоко- и низко-температурном пределах. Решения полученных уравнений совпадают с деформированной размерностью неприводимого представления квантовой группы Uq(sl(z));

• для квантовых интегрируемых Ак~i моделей в случае нулевых и квазипериодических граничных условий найдены такие комбинации собственных значений трансфер-матриц, которые являются интегралами движения. Получены дискретные аналоги уравнений движения для модели Булуф-Додда и неабелевого обобщения модели Лиувилля;

• в (2 + 1 )D решёточной модели калибровочно-инвариантного нелинейного уравнения Шредингера найдены распределения полей. Показано, что Черн-Саймо-новские корреляции приводят к существованию дополнительного взаимодействия между полевыми конфигурациями.

Апробация результатов.

Данная диссертация была выполнена в Институте физики микроструктур РАН и в Институте прикладной физики РАН. Её результаты опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]. Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: "3rd International Interdisciplinary Meeting on symmetries and integrability of difference equations" (SIDE-III , Sabaudia, Italy, May 1998), Международной школе по нелинейным волнам (Нижний Новгород, 1995), XI Международной конференции "Проблемы квантовой теории поля"(Дубна, 1998), на Нижегородских сессиях молодых ученых, а также на семинарах ИПФ РАН , ИФМ РАН и ННГУ.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы. Список литературы включает работы автора, в которых изложены основные результаты.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Вербус, Валерий Альфонасович

Основные результаты, представленные в этой главе, опубликованы в работах [7, 8, 9, 10]

3.1 Калибровочно-инвариантное (2 +• 1)D нелинейное уравнение Шредингера

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) является одной из основных моделей в теории нелинейных волн. Традиционной областью приложения НУШ является нелинейная оптика [112, 113], где оно описывает распространение волновых пучков в диспергирующих нелинейных средах. Временную переменную в этом случае заменяют на аксиальную координату г вдоль пучка в 2 + 1-мерном НУШ. НУШ также возникает при изучении различных нелинейных волн в гидродинамике и физике плазмы [114, 115]. Одной из наиболее важных областей применения в этом случае является проблема детального описания коллапсирующих распределений поля как при использовании НУШ с локальной кубической нелинейностью [116, 117], так и в рамках уравнений Захарова [118]. В случае другого знака нелинейности (отталкивания) НУШ используется, например, для описания вихрей в проблеме Бозе-конденсации [119], а также как базисная модель [120] низкоразмерной теории поля.

Недавнее возрастание интереса к НУШ в (2+1)-мерных системах было связано : попытками учета топологических особенностей многообразия, на котором определено поле в пространственно двумерных системах. Это может быть сделано с помощью калибровочного поля, заменяя в уравнении движения обычные производные на ковариантные. Калибровочное поле удовлетворяет своему уравнению движения с током, определяемым решениями НУШ, и, являясь вспомогательной переменной, описывает дополнительный вклад в нелинейность стандартного НУШ. Основной вклад в инфракрасном пределе в уравнения движения для калибровочного поля в 2 + 1-мерных системах вносит член Черна-Саймонса (ЧС) в действии рассматриваемой системы. При определенном соотношении констант связи вклад от калибровочного поля компенсирует в гамильтониане вклад от нелинейности, приводящей к коллапсу. При этом формируются солитонные распределения поля, найденные в работе Джекива и Пи [105, 121]. Природу этого явления легко понять, если принять во внимание, что член ЧС нарушает в 2 + 11) системах симметрию относительно V- и Т-инверсий координат и времени. Выделенное направление вектора в направлении, перпендикулярном плоскости, можно воспринимать как выделенное направление вращения в плоскости, которое приводит к появлению эффективного отталкивания. В ситуации, когда это отталкивание компенсирует притяжение, изначально существовавшее в НУШ, гамильтониан оказывается ограниченным снизу, а его нулевому значению соответствуют самодуальные ЧС солитоны [121]. Эти распределения поля являются решениями уравнений дуальности.

Результаты работ [121, 122, 123, 124] стимулировали появление потока работ в этом направлении. Обратим внимание на некоторые из них. В работах [125] были детально проанализированы структуры полевых конфигураций для такой нелинейной функции в НУШ, которая описывает отталкивание (в отсутствие ЧС взаимодействия), а также учитывает вклад от отличного от нуля вакуумного среднего для плотности числа частиц. Формулировка начальной задачи в работе [126] привела авторов к выводу, что при наиболее общих начальных условиях решения уравнений движений для НУШ с учетом ЧС калибровочного поля при отрицательном значении гамильтониана соответствуют режиму коллапса. Однако, как пространственная структура коллапсирующей моды, так и критическая мощность для нее (число частиц в моде) в этой работе не анализировались. Проблеме интегрируемости рассматриваемой модели посвящена работа [127]. Ее главный результат заключается в том, что за исключением двух случаев: самодуального предела [121] и ситуации, когда с помощью замены переменных 2 + 11) уравнения можно свести к 1 + II) модели, система не является точно интегрируемой. Побочный, но не менее важный вывод этой работы состоял в том, что решения калибровочно-инвариантного нелинейного уравнения Шредингера (КНУШ) имеют нестационарные особенности на некоторых кривых в двумерной плоскости. Детальное изучение топологических дефектов в низкоразмерных системах всегда было в значительной степени ключевым для понимания динамики распределений поля. Проблеме изучения так называемых полулокальных топологических дефектов в расширенной Черн-Саймонс-Хиггс модели была посвящена недавно опубликованная работа [128].

Основная причина весьма специфического поведения распределений поля Ф(х,у, в пространственно-двумерных системах состоит в том, что пространство определения М. комплекснозначных функций в этом случае является многосвязным. По этой причине фундаментальная гомотопическая группа -К\(М), которая определяет аналитические свойства функции Ф относительно преобразований ее аргументов, в 2 + 1И системах совпадает не с группой перестановок, а с группой кос. Существует несколько практически эквивалентных способов отразить это обстоятельство в используемых средствах теории. Одним из них является лагранжевый подход, включающий в рассмотрение действие ЧС. Член ЧС кодирует в длинноволновом приближении существование и специфику пространственно двумерных точечных особенностей, содержащихся в Бом-Аароновских потенциалах калибровочного поля. О дальнодействующем взаимодействии, отраженном с помощью калибровочного поля ЧС, обычно говорят как о статистическом или корреляционном взаимодействии между различными полевыми конфигурациями. Самим распределениям поля Ф при этом можно придать различную форму в зависимости от представления. Существует так называемое энионное представление [129, 21], когда калибровочное поле в явной форме исключено из гамильтониана модели, обеспечивая картину "невзаимодействующих" (при помощи калибровочного поля) конфигураций поля Ф(ж,у, /). Однако в этом случае калибровочное поле оказывается включенным в фазу функции Ф(а;,у,£), содержащую разрез в комплексной плоскости, который обеспечивает многозначность этой функции. Разрез описывает струну, тянущуюся за точечным дефектом (так называемый нелокальный топологический дефект), разделяющей листы в многолистном покрытии двумерного базисного пространства. Как хорошо известно [129, 21], представление, когда калибровочное поле явно присутствует в лагранжиане модели, имеет разный вид в зависимости от четности представления группы перестановок. Однако корреляционные эффекты не зависят от представления и энионная статистика в этом случае приобретает форму динамики дально-действующего калибровочного поля. С этой точки зрения подход, основанный на представлении с дробной статистикой полевых конфигураций, идентичен динамическому подходу, когда нас интересует вид полевых распределений, подверженных влиянию "статистического" калибровочного поля.

Несмотря на то, что причина существования калибровочного взаимодействия носит исключительно топологический (геометрический) характер и не связана с квантовой теорией, это взаимодействие как правило (за исключением отмеченных выше работ) не принималось во внимание при изучении классической динамики нелинейных моделей с комплексным полем в пространственно двумерных системах. Топологические особенности конечно накладывают дополнительные ограничения на процедуру квантования в такого рода системах [20, 21]. При этом общим существенным свойством является использование как в квантовой, так и в классической теории комплексной функции Ф(х,у,Ь) с некоторым распределением ее фазы, которое в классической области приобретает форму фазовой динамики. Роль калибровочного взаимодействия ЧС в этом случае состоит в том, чтобы учесть вихревую часть фазовой динамики, которая обычно не учитывалась в классических системах при использовании модели 2 + 1-мерного НУШ.

В настоящей главе мы ставим своей задачей выяснить место и величину топологических эффектов, связанных с нарушением киральной инвариантности в классических (2-Н)Б системах. С этой точки зрения НУШ может рассматриваться как полезный пример для решения этой задачи. В работе [110] основное внимание было уделено изучению структуры коллапсирующего распределения поля, являющегося решением (2 + 1)Б НУШ, рассматриваемого в непрерывном пределе. В частности, с помощью численного интегрирования уравнения движения была найдена зависимость критической мощности и эффективной ширины основной моды от коэффициента к перед членом ЧС. Пределом к —> оо, когда взаимодействием с калибровочным полем пренебрежимо мало, мы воспользовались в качестве теста. В этом случае восстанавливались известные значения мощности и ширины. Однако в области малых значений к используемая схема расчета приводила к расходимости критической мощности. Мы покажем в настоящей работе, что учет непертурбативных значений калибровочного поля позволяет продвинуться в область малых значений коэффициента к. Введение только пространственной решётки позволяет лишь частично учесть вклад конечных по амплитуде калибровочных полей. Поэтому для решения поставленной задачи мы включаем в рассмотрение два момента. Во-первых, рассматриваемая модель размещена на двумерной пространственной решётке. Обратим внимание на то, что стабильность солитонов НУШ на решётке без учёта калибровочного поля подробно изучалась в недавно опубликованных работах [130, 131]. Во-вторых, мы учитываем дискретность времени. Дискретная эволюция при этом является необходимым условием. Мотивом для введения дискретного времени является требование единообразного описания вклада от больших по амплитуде пространственных и временных компонент калибровочного потенциала. Недавно опубликованные работы по изучению дискретной динамики поддерживают такой подход (см. ссылки в [95]).

Если фаза поля Ф(ж,г/,£) полностью описывает продольную часть в калибровочном потенциале, то эволюция полевых конфигураций определяется только временной зависимостью калибровочного поля. В этом случае законы сохранения в ЧС системе: закон Гаусса и закон сохранения числа частиц, эквивалентны уравнениям движения идеальной жидкости в вихревой форме. Эффекты проявления калибровочной связности в классических системах с нетривиальной топологией, в том числе, в двумерной гидродинамике, хорошо известны. В частности, при описании плавающих движений при малых числах Рейнольдса [132]. Новым моментом в этой связи является то, что основанием для двумерной турбулентности, базирующейся из уравнения Эйлера, в данном случае является динамика калибровочного поля ЧС. В этом смысле КНУШ является полезным инструментом в гидродинамике [133].

3.2 Уравнения движения в непрерывном пределе

В непрерывном пределе плотность лагранжиана для рассматриваемой системы имеет вид

С = ^е^АадрА, + ¿Г + г'АОФ - \ |(У - ¿А)Ф|2 + | |Ф|4 . (3.1) Запишем для (3.1) уравнения движения ф = 1(у - гА)2Ф + А)Ф - я|Ф|2Ф , (3.2)

УхА]х = -£|Ф|а, (3.3) дí Аг- + дгА0 = - ^иЗэ ■ (3.4)

Здесь д - константа связи и j = 1тФ*(У — гА)Ф - плотность тока. Гамильтониан для (3.1)

H=l-jd2v(\{V-iA)Щ2-g\Щ*) , (3.5) оде потенциал являющийся вспомогательной переменной, выражен в терминах |Ф|2 следующим образом

А(г,^) = ^/Л'С(г-г')|Ф(г',0|2, (3.6)

А0(г,г) = у4,2г'О(г-г'Жг',г). (3.7)

Функция Грина в(г) ад= удовлетворяет уравнению

V х в(г) = -£2(г) (3.9) гак что Aß является решением уравнений (3.3) и (3.4). Поскольку в гамильтоновой формулировке потенциалы однозначно представлены выражениями (3.6) и (3.7), калибровочная свобода

Aß->Aß-dß<p, (3.10)

Ф —► eitp Ф (3.11) фиксирована. Это достигается выбором кулоновского условия V ■ А = 0, дополненного граничными условиями lim r2Ai(r,t) = -\eijXjN, (3.12) r—юо Z7C К lim A0(r, t) = 0. (3.13)

Г—ЮО

Выбор граничного условия (3.12) связан с необходимостью удовлетворить интегральному представлению закона Гаусса (3.3) ЧС динамики

Ф = jd2r[V х A]l = ~\J d2r|Ф|2 . (3.14)

Здесь магнитный поток Ф и число частиц

N = J d2 г|Ф|2 (3.15) являются сохраняющимися величинами, обеспечивающими глобальное ограничение Ф = — |-Аг, имеющее смысл закона Гаусса для ЧС системы.

Как следствие (3.2)-(3.4), существует, конечно, уравнение непрерывности

Ф|2 + V - j = 0, (3.16) выражающее временную независимость N.

Перейдем для удобства к безразмерным переменным и координатам с помощью замен к2

Ф = \k\3/2petv, A0 = -—w-dt<p, Ах = -ки + дху, Ay = -kv + dy<p, (3.17)

Щ*' (3-18)

Уравнения движения и уравнение непрерывности, выраженных с помощью новых действительных функций р = p(x,y,t), и = u(x,y,t), v = v(x,y,t), w = w(x,y,t) имеют вид рхх + Руу = -2Ср3 + р(и2 + V2 - w), (3.19) uy-vx = -р2, (3.20) ut-wx = -2vp2 , (3.21)

Vt-Wy = 2ир2,

3.22)

3.23) р\ = 2 ((ир% + (ур2)у) параметром С = д\к\ и обозначениями щ — с^и и т.д. В случае стандартного НУШ д<Ф = -У2Ф - |Ф|2Ф

3.24) после подстановки Ф = ре М*.».*) МЬ1 получим рхх + руу = -р3 + р ((<Аг)2 + (<ру)2 - ¥>«) р% = 2 ((^ А + (^2)у)

3.25)

3.26)

Сравнивая выражения (3.25), (3.26) с (3.19) и (3.23), обратим внимание на следующие различия. Во-первых, вследствие калибровочной инвариантности в уравнении (3.19) отсутствуют производные фазы <р, существующие в уравнении (3.25). Их роль играют скалярный и векторный потенциалы. Поэтому эволюция поля р(х, у, ¿) определяется производными по времени функций и(ж,у,£) и ь(х, у, ¿) в уравнениях (3.21), (3.22). Поля и и V ответственны в отличие от уравнения (3.25) за поперечную динамику фазы поля Ф. Продольную динамику фазы описывает скалярный потенциал который заменяет в уравнении (3.19) функцию Функция ю(хиграет роль множителя Лагранжа, позволяя локально учесть ограничение (3.20), накладываемое законом Гаусса Ф = — Во-вторых, уравнение непрерывности (3.23), заменяющее уравнение (3.26), является прямым следствием уравнений

3.20)-(3.22). Его можно получить, исключая скалярный потенциал т из уравнений

3.21) и (3.22), если воспользоваться уравнением (3.20).

Рассмотрим анзатц для поля Ф(ж, у, ¿), который соответствует обобщёному линзовому преобразованию [117, 126] при сохранении связи (3.6), (3.7), где функция р = |Ф|. После этих преобразований уравнение (3.2) изменяет свой вид

3.27)

Здесь £ = г/д(т), т = / ¿и [/(и)] 2 и Ь(т) = —ftf = —дтд- Калибровочный потенциал о при такой замене преобразуется [121] следующим образом

А(г,0-'ЬКтГ^К,Г), Л0(г, ¿) - [<7(т)Г2 [Ло(С, г) - 6(г)СА(С, г)]

3.28)

3.29)

IдтФ + (/ЗС2 - Л)Ф = -^(У - гА)2Ф + А0Ф - д\Ф\Ч, (3.30) л гак как функция /3(т) = (Ь2 + Ьт)/2 = — /3/«/2 в случае ср(х,у^) ~ Ь(ж2 + у2) и !>(<) ф ¿о — t не равна нулю. Однако, если мы будем интересоваться коллапсирую-щими решениями [136] с /2(£) ~ (¿о — ¿)/ 1п [1п(^0 — ¿)], то структура самоподобного нелинейного кора [126] описывается решениями следующего уравнения АФ = --(V - гА)2Ф + А0Ф - д\Ф\2Ф. (3.31)

С помощью численного интегрирования в работе [110] было найдено локализованное, с нулевой энергией решение уравнения (3.31). Приведем на Рис. 1 зависимость критической мощности (значения числа ТУ, начиная с которого в двумерном случае возникает явление коллапса), найденной с помощью этого решения, от параметра С = д\к\. Обратим внимание на то, что нормировка функции р2 и следовательно число частиц N на Рис. 1 отличаются от нормировки в выражении (3.17), а также в работе [110] множителем 2С: р2 —► 2Ср2. Эти изменения в обозначениях обусловлены переходом к описанию с помощью величин, которые обычно используются при описании явления самофокусировки. В области 1 < С < 2.83 мы не смогли провести вычисления в рамках модели с непрерывным распределением полей, так как нарушалась сходимость итерационной схемы расчета. Это стало для нас одной из побудительных причин обратиться к дискретной динамике полей. Формальная причина расходимости заключалась в изменении знака правой части уравнения (3.19) при С ~ 1.

При фиксированном значении параметра С из области С > 2.83 всегда М(А1Х ф 0) > = 0), как это и следовало ожидать, поскольку ЧС калибровочные поля описывают эффективное отталкивание. Этот результат получен при использовании в вычислениях (в качестве затравочной функции) функции с гауссовым законом убывания. Обратим внимание на то, что минимальному из возможных значений, равному С = 1 (т.е. при д = 1 дискретному значению к = 1) отвечает самодуальный предел [121]. В этом случае функция р имеет степенной характер убывания и для аксиально-симметричных полей N = Атт = 12.56. Классической области рассматриваемой теории соответствует предел к —> оо, когда калибровочное поле отщепляется от поля Ф(ж, ?/, ¿) (см. (3.3)) и критическое значение мощности самофокусировки равно N = 11.703.

3.3 Калибровочные поля Черна-Саймонса на решётке

Причина отмеченных в конце предыдущего параграфа трудностей при вычислениях N заключается в следующем. При уменьшении параметра задачи С = д\к\ вклад от нелинейности, индуцированной калибровочным полем, который эффективно пропорционален ръ становится сравнимым с вкладом от нелинейного слагаемого НУШ, который пропорционален 2Ср3 (см.(3.19)).

Поскольку итерационная схема расчета, использованная в работе [110], использовала стабилизирующий множитель, включающий оба слагаемых в некоторой степени (определяемой из сравнения степеней однородности функций), то при малых С, когда слагаемые становились одинаковыми по величине, стабилизирующий множитель не стремился к единице.

Для того, чтобы решить задачу для значений С ~ 1, обратим внимание на следующее обстоятельство. Уравнение (3.2) записано в длинноволновом пределе, отвечающем малым по амплитуде значениям калибровочных полей. Подход, включающий в рассмотрение конечные значения калибровочных полей, известен. Это -формулировка теории на решётке с использованием производных:

Д>(г) = г + е„) - р{т), (3.32)

А;р(г) = р(г) - е~^р(г - е„) (3.33) и лапласиана

А (А)рт,п = А+А~рт!П = (3.34) е П1'П рт,п+1 "Ь С т'п РтгП—1 "4" в т,п рт+1,п е Ш'П Рт—1,п 4рт>п .

Здесь и в последующем мы придерживаемся следующих обозначений. Координаты узла г = (т, п) 6 Ж2 являются пространственной дискретной переменной, индекс ц указывает в (3.32), (3.33) направление единичного вектора на решётке и компоненту калибровочного поля АДг). Для удобства обозначений мы вернулись к координате г, имея в виду, что уравнение (3.30) в переменных С Для описания структуры кора (при /?< 1) и уравнение (3.2) в переменных г одинаковы. Несколько ячеек прямой и дуальной решёток показаны на Рис.2.

В соответствие с правилами калибровочной теории поля на решётке мы будем считать, что фаза поля Ф(г) определена на узлах А, В,. прямой решётки, калибровочное поле - на звеньях АВ решётки, а ротор поля А^(г) и плотность р2 - на узлах а, 6,. дуальной решётки. Обозначение Ат,п означает, что компонента поля Ау(т, п) определена на звене с координатами концов (т, п), (т, п +1). Соответственно, обозначение Ат;-а отвечает определению поля Ау(т, п) на звене (т, п), (т, п — 1).

Та же самая причина, которая привела нас к необходимости формулировки теории на пространственной решётке, учитывая немалые значения векторного потенциала, диктует необходимость включить в рассмотрение дискретное время. При этом вид, в котором представлена временная компонента калибровочного потенциала, в уравнении движения должен быть эквивалентен тому, в котором представлены пространственные компоненты калибровочного потенциала.

Рис. 1. Зависимость числа частиц N = / сРт р2 от параметра С — д\к\ для калибровочно-инвариантного НУШ в непрерывном пределе. ь с

В С а с1

А □

Рис. 2. Фрагмент прямой и дуальной решёток с узлами, соответственно, в точках А, В,. ., а, 6, —

Другими словами, экспоненты (гомологии) Полякова и Вильсона должны быть представлены на равных правах. То обстоятельство, что движение по пространственной решётке диктует необходимость дискретной эволюции было отмечено для гиперболического оператора в работе [95].

Высказанным требованиям к теории отвечает следующая замена: г^ - A^j Ф ^ ¿/2 (e&+iAo - Ф = -Ф sin(A0 + 1). (3.35)

Последнее равенство в (3.35) справедливо для стационарных состояний Ф(г, t) = pm,n^Xi, рассмотрением которых мы ограничиваемся в этой работе. Без ограничения общности будем считать, что Л = 1 (более подробно см. следующий параграф).

Уравнения движения в модели дискретного КНУШ с учетом (3.34) и (3.35) имеют вид: рт,п+1 + е"Мга'* рт,п-1 + eiA*>" рт+hn + e~iA^n рт-lin - 4рт>п = (3.36) = -2СРт,п - Рш,п sin(u;m,„ - 1).

Здесь

Ат,п = - Y1 G(m п')р2т,п, (3.37) т' ,п' является у-компонентой векторного потенциала полей Черна-Саймонса, Ыт,п = £[(A2G(Г - Г'))(^/,„i + Р2т',п'+Мт>,п> ~ (3.38) г'

-(AiG(r - v'))(plw +

- скалярный потенциал, Д^гДг) = /(г + е^г) — /(г), г = (m,n) 6 22. Выражения (3.37) и (3.38) являются дискретным аналогом формул (3.6), (3.7). Сумма по г' в (3.37), (3.38) означает суммирование по всем узлам дуальной решётки. При этом используется соглашение, что координате узла дуальной решётки, где определена плотность р2 (точка а на Рис.2), соответствует определенный (точка А на Рис.2) узел прямой решётки, где находится начало звена, на котором определено калибровочное поле. Функция Грина на решётке, входящая в выражения (3.37), (3.38) имеет вид: 7Г

Для численного решения задачи перепишем уравнение (36) следующим образом:

Рт,11+1 рт,п—Х ~Ь Рт+1,п Рт—\,п 4рт,п —

3.40) —2С(?т<а + рт:п (4-2 COS Um,n ~ 2 COS Vm<n - sin(wm,n - 1)) .

При записи нелинейных слагаемых в правой части этого уравнения, связанных с пространственными компонентами калибровочного потенциала, для упрощения численных вычислений сначала будем пренебрегать различием функций в соседних узлах и звеньях. Полный учет результата действия операторов (3.32)-(3.34) будет проведён после изучения решений уравнения (3.40). Подчеркнём ещё раз во избежание недоразумений, что мы вводим в рассмотрение другую, отличающуюся от (3.19) модель (3.40) для того, чтобы пройти в область малых значений параметра С. При больших С в непрерывном пределе они совпадают.

Вид уравнения (3.40) удовлетворяет сформулированным в начале этого раздела требованиям. Действительно, тригонометрические выражения типа cos и и sin(to— 1) отражают невозможность большого вклада больших по амплитуде калибровочных полей. Другими словами, регуляризация теории за счет пространственно - временной решётки естественным образом приводит к её компактификации.

Результаты численного интегрирования этого уравнения, дающие представление о структуре нулевой моды и виде вспомогательных полей АДга, п), приведены в следующем разделе. Найденные конфигурации поля р(г), будучи использованными для вычисления числа частиц N в зависимости от параметра С, позволяют прояснить при малых значениях С детали промежуточного по мощности режима в явлении самофокусировки.

Для численного анализа решений уравнения движения (3.40) мы воспользуемся методом стабилизирующего множителя Петвиашвили [137]. Итерационная схема для уравнения (3.40) имеет вид pi+1 = MiF-1 (G(p)F (-2 C>f + jpi (4 - 2 cos и- 2 cosv - (1 + sin {w - 1))),)) , (3.41)

M = (Jd2P(FpifГ

1 V/ d2pG(p)FpiF(—2Cpf + jpi (4 - 2 cos и - 2cosv - (1 + sin(u; - 1))),) J

3.42)

Здесь pi = {pm,n)i - индекс l обозначает номер итерации, F (F~1) - оператор прямого (обратного) преобразования Фурье, G(p) = — (4 — 2 cosрх — 2 cos ру + 1 )-1. Множитель 7 = 1 или j = 0 в зависимости от того, учитываем ли мы в численных расчётах нелинейный вклад от калибровочных полей в структуру нулевых мод или мы его игнорируем.

Показатель степени а в стабилизирующем множителе М[ следует выбрать из требования, чтобы Mi —> 1 при I —> оо. В случае однородных функций и без нелинейного слагаемого р(и2 + v2 — w) из сравнения степени однородности слагаемых в левой и правой частях уравнения (3.19) следует, что показатель а равен 3/2. При малых значениях калибровочных полей, когда нелинейность в уравнении (3.40) имеет полиномиальный характер типа —2Ср3 + bp5, (поскольку как слагаемое pw, так и р(и2 + v2) пропорциональны р5), показатель а для сходимости итерационной схемы должен принадлежать интервалу 5/4 < а. < 3/2. Несмотря на то, что используемые нелинейные функции неоднородны, в численных вычислениях был использован показатель а = 3/2, который дает быстрый выход на значение Мп = 1 стабилизирующего множителя. При этом в качестве начальных конфигураций поля бралось распределения вида /з(ш,п) = (7/7Г) ехр{—7(т2 + п2)} с 7 = 2. В отличие от непрерывного предела [110] при вычислениях на решётке мы не столкнулись с трудностями, связанными с расходимостью используемых выражений, так как у нас радиус обрезания был равен шагу решётки.

Моделирование осуществлялось на квадратной решётке с шагом, равном 1, и с линейными размерами, максимальный из которых был равен Ьх = Ьу = 20. В качестве теста использовалось решение уравнения движения (3.40) с = 0 (У = 0) в нормировке С = 1/2, дающее хорошо известное значение N — 11.703. Кроме того, в непрерывном и дискретном случаях мы сравнивали распределения полей при С > 5, когда они практически совпадали.

На Рис. 3-5 показаны конфигурации полей р, и иг« для характерного значения параметра С = 3. Представление о функции ь(т,п) можно получить, если использовать соотношение у(т,п) = —и(п,т).

С помощью нулевой моды рт,п была вычислена зависимость среднего квадрата эффективной ширины < Я2 >= ./V-1 ^2т,п(т2+п2)рт,п и критической мощности N от параметра С. Результаты вычислений < Я2 > приведены в таблице 1. Зависимость N(0) при С > 1 показана на Рис. 6.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации, выносимыми на защиту:

1. Найдены значения критических индексов корреляционных функций для двумерной гм модели с топологическим в слагаемым. В канале изменения электрического заряда обнаружена зависимость критического индекса от в параметра. Показано, что наличие 0-слагаемого приводит к смещению точки, соответствующей фазовому переходу Костерлица-Таулеса, в высокотемпературную область.

2. Найдено общее решение ^-деформированного уравнения диффузии с параметром деформации q, являющимся корнем из единицы.

3. Получены термодинамические Бете-анзатц уравнения для многокомпонентной системы частиц, удовлетворяющих обобщенному принципу исключения состояний Халдейна. Показано, что статистическая матрица взаимодействия для проблемы Кондо в высоко- и низко-температурном пределах пропорциональна матрице Картана для Ап алгебры.

4. Для квантовых интегрируемых Ап моделей в случае квазипериодических граничных условий найдены комбинации собственных значений трансфер-матриц, являющиеся интегралами движения. Получены дискретные аналоги уравнений движения для модели Булуф-Додда и неабелевого обобщения модели Ли-увилля.

5. Показано, что в модели дискретного калибровочно инвариантного (2+1)-мерного нелинейного уравнения Шрёдингера учет калибровочных полей Черна-Саймонса приводит к дополнительному притяжению между полевыми конфигурациями.

В заключение автор считает своим приятным долгом поблагодарить своего руководителя А. П. Протогенова.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вербус, Валерий Альфонасович, 1999 год

1. Protogenov А.P., Verbus V.A., Dependence of Critical Exponents on в parameter in Anyon Lattice Model, Phys.Rev. Lett.70, No.24, pp. 3776-3779 (1993); ICTP preprint IC/92/229.

2. Protogenov A.P., Yu.V. Rostovtsev, Verbus V.A., Quantum Group Diffusion in Planar Systems, Physica С 235, p. 2301 (1994); cond-mat/9407037.

3. Protogenov A.P., Yu.V. Rostovtsev, Verbus V.A., Quantum Group Diffusion over Roots of Unity, Proc. Int. Scholl of Nonlinear Science, (1995); ICTP preprint IC/94/153

4. Protogenov A.P., Verbus V.A., Generalized Exclusion Statisics in the Kondo Problem, Mod. Phys. Lett. В 11, pp. 283-292 (1997).; cond-mat/9911304

5. Вербус В. А., Обобщенный принцип исключения состояний в проблеме Кондо, Вторая Нижегородская сессия молодых ученых, Тезисы докладов, с. 106, Нижний Новгород, (1997).

6. Абрамян JI.A., Вербус В.А., Протогенов А.П., Структура нулевых мод в модели (2 + 1 )D нелинейного уравнения Шредингера, ЖЭТФ т. 114, вып. 2(8), 747-7621998).

7. Abramyan L.A., Protogenov А.P., Verbus V.A., Chern-Simons Structure of Zero Modes of (2 + 1)D Nonlinear Schrodinger Equation Труды XI международной конференции "Проблемы квантовой теории поля", 1998, Дубна с. 244-248.

8. Abramyan L.A., Protogenov А.P., Verbus V.A., Chern-Simons Correlation on (2 + 1 )D Lattice, Письма ЖЭТФ 69, 839 (1999); cond-mat/9911220.

9. Abramyan L.A., Protogenov A.P., Verbus V.A., Chern-Simon Structure of the Solitons in the Model of Discrete (2 + 1 )D Nonlinear Schrodinger Equation, Physica D, (направлена в печать).

10. Вербус В.А., Протогенов А.П., Уравнения движения и сохраняющиеся величины в неабелевых дискретных интегрируемых моделях, ТМФ, т. 119, 1, с. 34-461999); solv-int/9911009.

11. Protogenov A.P., Verbus V.A., Discrete Equations of Motion for Ak-i Algebra, in: Symmetries and Integrabillity of Difference Equations, CMR Proceedings and Lecture Notes, ed. D. Levi, 0. Ragnisco, 25, 347-355 (2000).

12. R. B. Laughlin, Science 242, 525 (1988).

13. A. Fetter, C. Hanna, and R. Laughlin, Phys. Rev. В 39, 9670 (1989).

14. X. G. Wen and A. Zee, Phys. Rev. В 41, 240 (1990).

15. Y. Chen, F. Wilczek, E. Witten, В. I. Halperin, Int. J. Mod. Phys. В 3, 1001 (1989).

16. P. B. Wiegmann, Phys. Rev. Lett. 60, 821 (1988).

17. Y. Hosotani and S. Chakravarty, Phys. Rev. В 42, 342 (1990).

18. Т. Bank and J. D. Lykken, Nucl. Phys. В 336, 500 (1990).

19. A. P. Protogenov, Ground State Structure and Exitations in Strongly Correlated Fermi Systems, Phys. Lett. A 144, 269-272 (1989).

20. А. П. Протогенов, Анионная сверхпроводимость в сильно коррелированных спиновых системах, УФН, 1992, т.162, No. 7, с. 1-80.

21. Soo-Jong Rey and A. Zee, Nucl. Phys.B 352, 897 (1991).

22. Y. Kitazawa and H. Murayama, Nucl. Phys. В 33, 777 (1990).

23. J. Frölich, P. A. Marchetti, Lett. Math. Phys. 1988, v.16, 347; Commun. Math.Phys. 1989,v. 121,177.

24. E. Fradkin, Phys.Rev.Lett. 1989, v.63, 322; Phys. Rev. В 42, 570 (1990).

25. V. F. Müller , Z. Phys. В, 1990, v. 47, 301.

26. A. V. Balatsky, E. Fradkin, Phys. Rev.B 43, 10622 (1991).

27. J. K. Jain, N. Read, Phys. Rev.B 40, 2723 (1989).

28. В. I. Halperin, J. March-Rassel, F. Wilczek, Phys. Rev. В 40, 8726 (1989).

29. S. M. Girvin, Prog. Theor. Phys. Suppl. 107, 121 (1992).

30. S. Kivelson, C. Kallin, D. P. Arovas, J. R. Schriffer, Phys. Rev. В 36, 1620 (1987).

31. Y.-S. Wu, Y. Hatsugai, M. Kohmoto, Phys.Rev.Lett., bf 66, 659, (1991)

32. G. 't Hooft., Nucl. Phys. В 138, 1 (1978).

33. G. 't Hooft., Nucl. Phys. В 153, 141 (1979).

34. J. Kogut, An introduction to lattice gauge theory and spin system, Rev. Mod. Rhys., bf 51, 659,(1979).

35. R. Savit, Rev. Mod. Phys. 52, 453 (1980).

36. E. Witten, Dyon of charge ев/2ж, Phys. Lett. В 86, 283 (1974).

37. J. Cardy and E. Rabinovici, Phase structure of Zp models in the presence of а в parameter, Nucl. Phys. В 205, 1 (1982).

38. J. Cardy, Duality and the в parameter in abelian lattice models, Nucl. Phys. В 205, 16 (1982).

39. В. Nienhus, Coulomb gas formulation of two-dimentional phase transitions, in: Phase Transitions and Critical Phenomena, ed. by C. Domb and J. L. Lebowitz, Academic Press, London, 1987.

40. J.M. Kosterlitz, J.Phys. С 7, 1046, (1974).

41. J.M. Kosterlitz, D. J. Thouless, J.Phys. С 6, 1181, (1973).

42. F. V. Kusmartsev, A. Luter, A. Nersesyan, Письма в ЖЭТФ 55, 692, (1992).

43. V. M. Yakovenko, Письма в ЖЭТФ 56, 510, (1992).

44. J. Cardy, Conformai invariance, in: Phase Transitions and Critical Phenomena, ed. by C. Domb and J. L. Lebowitz, Ac ademic Press, London, 1987.

45. E. Witten, Comm. Math. Phys. 121, 351 (1989).

46. L. Alvarez-Gaume, J. M. F. Labastida, A. V. Ramallo, Nucl. Phys. B334, 103 (1990);

47. E. Guadagnini, M. Martellini, M. Mintchev, Nucl. Phys. B336, 581 (1990).

48. C. Pryor, A. Zee, Phys. Rev. В 46, 3116 (1992).

49. В. L. Altshuler, L. В. Ioffe, Phys. Rev. Lett. 69, 2979 (1992).

50. T. Sugiyama, N. Nagaosa, Phys. Rev. Lett. 70, 1980 (1993).

51. F. C. Alcaraz, V. Rittenberg, Phys. Lett. В 314, 377 (1993);

52. S. Majid, Int. J. Mod. Phys. A 8 4521 (1993).

53. S. Madjid, preprint DAMTP-91/16.

54. R. Coquereaux, preprint CPT-94/P.3020.

55. V. Pasquier, Nucl. Phys. B285 162 (1987).

56. V. Pasquier, J. Phys. A 20, 5707 (1987).

57. P. B. Wiegmann, A. V. Zabrodin, Phys. Rev. Lett. 72, 1890 (1994).

58. E. G. Floratos, J. Phys. A 24, 4739 (1991).

59. L. Biedenharn, J. Phys. A 22, L873 (1989).

60. A. MacFarlane, J. Phys. A 22, 4581 (1989).

61. П. Б. Вигман, Письма в ЖЭТФ 31, 392 (1980)

62. F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 67, 937 (1991).

63. Y.-S. Wu, Phys. Rev. Lett. 73, 922 (1994).

64. C. Nayak and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 73, 2740 (1994).

65. A. Protogenov, Haldanes statistical interactions and universal properties of anyon systems, препринт (ICTP) IC/95/26, (1995).

66. T. Fukui and N. Kawakami, Phys. Rev. В 51, 5239 (1995); J. Phys. A 28, 6027 (1995).

67. S. B. Isakov, Phys. Rev. Lett. 73 2150 (1994); Int. J. Mod. Phys. A 9, 2563 (1994).

68. A. K. Pajagopal, Phys. Rev. Lett. 74, 1048 (1995).

69. M. V. N. Murthy, R. Shankar, Phys. Rev. Lett. 72, 3629 (1994).

70. F. Calogero, J. Math. Phys. 10, 2197 (1962).

71. B. Sutherland, J. Math. Phys. 12, 246 (1971); Phys.Rev. A 4, 2019 (1971).

72. Z. N. С. Ha, Phys. Rev. Lett. 73, 1574 (1994).

73. D. Bernard, Y.-S.Wu, in: New developments of integrable systems and long-ranged interaction models , ed. M. L. Ge and Y.-S. Wu, World Scientific, Singapore (1995).

74. M. Wadati, J. Phys. Soc. Jpn. 64, 1552 (1995).

75. C. N. Yang, C. P. Yang, J. Math. Phys. 10, 1115 (1969).

76. X. G. Wen, A. Zee, Phys. Rev. В 46, 2299 (1992).

77. P. Nozieres, A. Blandin, J. Physique 41, 193 (1980).

78. Al. B. Zamolodchikov, Thermodynamic Bethe ansatz in relativistic model: Scaling 3-state Potts and Lee-Yang models, Nucl. Phys. 342, 695-720 (1990).

79. A. M. Tsvelik and P. B. Wiegmann, Adv. Phys. 32, 453 (1983).

80. A. M. Tsvelik and P. B. Wiegmann, J. Phys. A 17, 2321 (1983).

81. A. M. Tsvelik, J. Phys. C 18, 159 (1985).

82. A. Mumper, P. Pearce, Conformal weights of RSOS lattice models and their fusion hierarchies, Physica A 183, 304-350 (1992).

83. A. Kuniba, T. Nakanishi, Suzuki, Functional relations in solvable lattice model, I: Functional relations and representations theory, II: Application, Int. J. Mod. Phys. A 9, 5215-5312 (1994).

84. F. Ravanini, A. Valleriani, R. Tateo, Dynkm TBA, Int. J. Mod. Phys. A 8, 1707-1727 (1993).

85. P. B. Wiegmann, Bethe ansatz and classical Hirota equation, Int. J. Mod. Phys. B 11, 75-90 (1997).

86. I. Krichever, P. Wiegmann, A. Zabrodin, Elliptic solutions to difference non-linear equation and related many-body problems, Commun.Math.Phys. 193, 373-396 (1998).

87. O. Lipan, P. Wiegmann, A. Zabrodin, Fusion rules for quantum transfer matrices as a dynamical system on Grassmann manifolds, solv-int/9704015.

88. Y. B. Suris, A discrete time relativistic Toda lattice, J. Phys. A 29, 451-465 (1996).

89. F. W. Nijhoff, 0. Ragnisco, V. B. Kuznetsov, Integrable time-discretization of the Ruijsenaars-Schneider model, Commun. Math. Phys. 176, 681-700 (1996).

90. H. W. Capel, F. W. Nijhoff, In: Important Developments in Soliton Theory, A. S. Fokas and V. E. Zakharov (eds.), Led. Notes in Nonlinear Dynamics, Springer, 38-57 (1993).

91. I. Krichever, 0. Lipan, P. Wiegmann, A. Zabrodin, Quantum integrable systems and elliptic solutions of classical discrete nonlinear equations, Commun.Math.Phys. 188, 267-304 (1997).

92. L. D. Faddeev, Les-Houches lectures: "How Algebraic Bethe Ansatz work for integrable model", hep-th/9605187.

93. B. Enriquez, B. L. Feigin, Integrals of motion of classical lattice sine-Gordon system, Theor. Math. Phys.103, 738-756 (1995).

94. L. Faddeev, L. Takhtadjan, Hamiltonian methods in the theory of solitons, Springer (1987).

95. V. Bazhanov, A. Bobenko, N. Reshetikhin, Commun. Math. Phys. 175, 377 (1996).

96. В. Захаров, С. Манаков, С. Новиков, JI. Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачи теории рассеяния. М.: Наука (1980).

97. А. V. Zabrodin, Zero curvature representation for classical lattice sine-Gordon model via quantum R-matrix, Письма в ЖЭТФ 66, 620 (1997).

98. R. Hirota, Discrete two-dimensional Toda molecule equation, J. Phys. Soc. Japan 56, 4285-4288 (1987).

99. R. Hirota, Nonlinear partial difference equation III; Discrete sine-Gordon equation, J. Phys. Soc. Japan 43, 2079-2086 (1977).

100. L. Faddeev, A. Volkov, Hirota equation as an example of integrable symplecitic map, Lett. Math. Phys. 32, 125-136 (1994).

101. A. Volkov, Quantum Lattice KdV equation, Lett. Math. Phys. 39, 313-329 (1997).

102. R. Jackiw, So-Young Pi, Self-Dual Chern-Simons solitons, Prog. Theor. Phys. Suppl.107, 1-39 (1992) .

103. A. Bobenko, W. Schief, Discrete indefinite affine spheres, Preprint SFB288, Technische Universität Berlin 263 (1997); Affine Spheres: Discretization via Duality Relations, Preprint SFB288, Technische Universität Berlin 297 (1997).

104. S. Saito, N. Saitoh, Lineriazation of bilinear difference equations, Phys. Lett. A 120, 322-326, (1987); J. Gage and dual symmetries and linearization of Hirota's bilinear equations, J. Math. Phys.28, 1052-1055 (1987).

105. D. Bernard, A. LeClair, Commun. Math. Phys. 142, 99 (1991).

106. Fukui, N. Kawakami, Phys. Rev. B. 51, 52239 (1995).

107. L.A. Abramyan, A.P. Protogenov, Dynamics of Fields in Model of Gauged Nonlinear (2 + 1 )D Schrddinger Equation , Письма в ЖЭТФ 64(11), 807 (1996).

108. L.A. Abramyan, V.I. Berezhiani, and A.P. Protogenov, Chern-Simons Contributionto the Structure of the Zero Mode of the Gauged Nonlinear (2+l)-dimensional Schrodinger Equation, Phys. Rev. E 56(5), 6026 (1997).

109. В.И. Таланов, Письма в ЖЭТФ 2(5), 218 (1965).

110. С.Н. Власов, В.А. Петрищев, В.И. Таланов, Изв. вузов. Радиофизика 14(9), 1453 (1971).

111. Singularities in Fluids, Plasmas and Optics, ed. R.E. Caflisch and G.C. Papanicolaou, NATO ASI ser., С 404, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht-Boston-London, (1993).

112. A.G. Litvak, Dynamic nonlinear electromagnetic phenomena in plasma, in Review of Plasma Physics, ed. M.A. Leontovich, Consultants Bureau,10 N.Y. (1986).

113. A.G. Litvak, V.A. Mironov, and A.M. Sergeev, Phys. Scr. T 30, 57 (1990).

114. J.J. Rasmussen and K. Rypdal, Phys. Scr. 33, 481 (1986).

115. B.E. Захаров, ЖЭТФ 62, 1749 (1972).

116. E.M. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика, ч. 2, с. 145, Наука, Москва (1978).

117. Е.А. Кузнецов, С.К. Турицин, ЖЭТФ 94(8), 119 (1988).

118. R. Jackiw, S.Y. Pi, Phys. Rev. Lett. 64, 2969 (1990); Phys. Rev. Lett. 66, 2682 (1991); Phys Rev. D 42, 3500 (1990).

119. J. Hong, Y. Kim, P.Y. Рас, Phys. Rev. Lett. 64, 2230 (1990).

120. R. Jackiw, E. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 64, 2234 (1990).

121. R. Jackiw, K. Lee, E. Weinberg, Phys. Rev. D 42, 3488 (1990).

122. I. V. Barashenkov, А.О. Harm, Phys. Rev. Lett. 72, 1575 (1994); Phys. Rev. D 52, 2471 (1995).

123. L. Berge, A. de Bouard, J.C. Saut, Phys. Rev. Lett. 74, 3907 (1995).

124. M. Knecht, R. Pasquier, J.Y. Pasquier, J. Math. Phys. 36, 4181 (1995).

125. W.G. Fuertes, J.M. Guilarte, J. Math. Phys. 37, 554 (1996).

126. Fractional statistics and anyon superconductivity, ed. F. Wilczek, World Scientific, Singapore, 1990.

127. E.W. Laedke, K.H.' Spatschek, V.K. Mezentsev, S.L. Musher, I.V. Ryzhenkova, S.K. Turitsyn, Письма в ЖЭТФ 62(8), 652 (1995).

128. E.W. Laedke, K.H. Spatschek, S.K. Turitsyn, Phys. Rev. Lett. 73(8), 1055 (1994).

129. A. Shapere, F. Wilczek, J. Fluid Mech. 198, 557 (1989).

130. А. Шварцбург, в сб. Нелинейная электродинамика, под ред. П.Л.Е. Усленфи, Мир, Москва (1980), С. 107.

131. G. Moore, N. Seiberg, Phys. Lett. В 212, 451 (1988); Phys.Lett. В 220, 422 (1989).

132. A. M. Polyakov, Nucl. Phys. В 396, 367 (1993).

133. Г. M. Фрайман, ЖЭТФ 88, 390 (1985).

134. В. И. Петвиашвили, Физика плазмы 2(3), 469 (1976).

135. М. J. Ablowitz, J.F. Ladik, Stud. Appl. Math. 55, 213 (1976).

136. N. J. Zabusky, M. H. Hughes, К. V. Roberts, J. Сотр. Phys. 30, 96 (1979).

137. А. А. Мигдад, в сб. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации, под ред. А.В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича, Наука, Москва (1987).

138. М.Е. Агинштейн, А.А. Мигдал, в сб. Проблемы кибернетики, под ред. Р. Е. Сагдеёва и А. А. Мигдала, Научный Совет по проблемам кибернетики, Москва 107,114 (1987).

139. D. Cai, A.R. Bishop, N. Gr0nbech-Jensen, Phys. Rev. Lett. 72, 591 (1994).