Многочастичные системы и непертрубативная теория поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Горский, Александр Сергеевич

• Горский, Александр Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Горский, Александр Сергеевич

Оглавление

1 Введение

1.1 Модули и непертурбативные степени свободы

1.2 Содержание диссертации

2 Коллективные координаты и амплитуды в теории поля

2.1 Распад вакуума в двумерии,индуцированный конечной плотностью

2.2 Многочастичные амплитуды в скалярной теории с нарушенной дискретной симметрией

2.3 Пороговые амплитуды и интегрируемые системы

3 Системы частиц и теория групп

3.1 Системы частиц и матричные модели

3.2 Специальные орбиты алгебры Вирасоро

3.3 Специальные орбиты Вирасоро в теории Лиувилля

3.4 Квазиточнорешаемые задачи и специальные орбиты Вирасоро

4 Многочастичные системы и калибровочные системы в двух и трех измерениях

4.1 Многочастичные системы Калоджеро и теория Янга- Миллса в двух измерениях

4.2 Системы Рюсенара и калиброванная G/G сигма модель

4.3 Эллиптическая модель Калоджеро и калибровочные теории

4.4 Дуальность в многочастичных системах

5 Системы частиц и суперсимметричные калибровочные теории

5.1 Цепочка Тоды

5.2 Теория с гипермультиплетом в присоединенном представлении и системы Калоджеро

5.3 Уравнения Уизема

5.4 СКХД и XXX спиновые цепочки

5.5 Произведение групп

5.6 Твистованная неоднородная ХХ2 спиновая цепочка и 5(1 теории

5.7 6-мерные теории

5.8 Приложение

6 Браны как степени свободы при низких энергиях в суперсимметричных калибровочных теориях

6.1 Теории поля на мировой поверхности Б-браны

6.2 Степени свободы многочастичных систем и браны

6.3 Браны в 5-мерной теории

6.4 Уравнения движения в многочастичных системах и браны

6.5 Браны и два лаксовых представления

6.6 Уиземовская динамика в терминах бран

6.7 Случай нескольких масштабов А,-

6.8 Аналогия с дискретной моделью Пайерлса

7 Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многочастичные системы и непертрубативная теория поля»

1 Введение

В диссертации обсуждаются вопросы, связанные с эффективным описанием систем, в которых тем или иным образом возникает пространство модулей или коллективных координат. Коллективные координаты появляются при рассмотрении многих задач и имеют существенно различное происхождение. Они могут описывать эффективные степени свободы, существенные в том или ином режиме в теориях поля, которые не являются полностью интегрируемыми. Режим может определяться кинематикой процесса, либо выбором специальных топологически нетривиальных данных. В ситуациях, когда имеется несколько коллективных степеней свободы, как правило, в теории имеется скрытая интегрируемость, происхождение которой связано с симметрийным характером пространства модулей. В диссертации развит подход, позволяющий единым образом описывать динамические системы на различных пространствах модулей калибровочных теорий в терминах функционального интеграла. Оказывается, что подход работает при описании эффективных действий в 4-мерных суперсимметричных калибровочных теориях, и позволяет ввести правильные степени свободы в вакуумном секторе теорий с сильным взаимодействием.

1.1 Модули и непертурбативные степени свободы

Описание области сильной связи остается одной из ключевых задач квантовой теории поля [1]. Так как методы теории возмущений в области сильной связи не работают, основная надежда состоит в обнаружении новых эффективных степеней свободы, в терминах которых можно будет развивать теорию возмущений по другим параметрам, отличным от константы связи в исходной теории. Наиболее ярким примером существования неэквивалентных теорий поля на разных масштабах энергии является квантовая хромодинамика (КХД). При высоких энергиях теория описывается в терминах кварков и глюонов, в то время, как при низких энер-

гиях применим киральный лагранжиан, определяющий эффективное низкоэнергетическое действие . Степенями свободы в киральном лагранжиане являются поля бесцветных мезонов и барионов, а параметры низкоэнергетического действия не могут быть определены из общих принципов и фиксируются феноменологически

й-

Общая структура низкоэнергетических действий определяется принципами симметрии. Ожидается, что эффективные действия наследуют полный набор тождеств Уорда из исходной теории поля. Часть тождеств Уорда аномальна, однако хорошо известно, что аномалии, будучи связанными с явлением пересечения уровней, не перенормируются и допускают эквивалентное описание в инфракрасных и ультрафиолетовых терминах [3]. В силу этого обстоятельства, выполнение аномальных тождеств Уорда также накладывается в качестве требования к эффективной теории. В частности, аномальные тождества Уорда, связанные с кираль-ной симметрией, фиксируют лагранжиан мезонов, а тождества Уорда для конформной симметрии - дилатонный эффективный лагранжиан в обычной и N ~ 1 суперсимметричной КХД [4, 5].

Одной из особенностей эффективных действий является их универсальность, то есть несколько различных ультрафиолетовых теорий могут приводить к одинаковым теориям в инфракрасной области. Причиной подобной универсальности является жесткость конструкции эффективных действий, фиксируемых симметриями задачи. Более того, симметрия эффективных действий может оказаться выше симметрий исходных ультрафиолетовых теорий. Симметрийный характер эффективных действий приводит к ряду нетривиальных следствий. Пожалуй, наиболее существенным проявлением этих свойств является связь с теорией интегрируемых систем. Как правило, статистическая сумма, вычисленная в эффективной теории, оказывается так называемой т-функцией некоторой интегрируемой системы. Последняя является производящей функцией для законов сохранения в интегрируемой системе и, одновременно, производящей функцией для корреляторов в теории

ПОЛЯ [6].

Идентификация переменных в интегрируемой системе, описывающей эффективное действие, представляет собой нетривиальную задачу. На настоящий момент инвариантный способ введения переменных в теориях, которые не являются топологическими, отсутствует, однако имеется ряд примеров в двумерных теориях, где в качестве переменных интегрируемых систем выступают амплитуды перехода между различными вакуумами теории, индуцированные непертурбатив-ными конфигурациями. Роль "пространственно-временных переменных" интегрируемых систем играют константы связи и источники в теории поля. Примеры систем, связанных с иерархиями двумеризованной цепочки Тоды и Кортевега-де-Фриза(КдФ), могут быть получены в двумерных сг моделях [7] и двумерной теории гравитации [8, 9, 10, 11, 12]. Отдельно стоит задача выбора конкретных решений нелинейных уравнений в интегрируемой динамике, однако проблема решается, если учесть набор тождеств Уорда, наложенных на теорию [13].

Несмотря на возможность фиксации общей структуры эффективных действий из симметрийных соображений, представляет интерес их непосредственное вычисление интегрированием по тяжелым модам в исходной теории поля [14]. Предполагается введение некоторого масштаба энергий, выше которого все моды суммируются. Непосредственное интегрирование ведется по пертурбативным и не-пертурбативным флуктуациям, причем суммирование по пертурбативным модам предполагает вычисление диаграмм Фейнмана, для которых введенный масштаб энергии служит обрезанием. В теориях разных размерностей имеются непертур-бативные конфигурации, которые также необходимо отсуммировать, предполагая, что их характерные размеры ограничены на некотором масштабе. Непертур-бативными флуктуациями, существенными в разных размерностях, являются ин-стантоны в 4-мерной теории поля, монополи, вихри и солитоны разных коразмерностей в теории струн.

Ключевым обстоятельством, в значительной степени определяющим описание

непертурбативных эффектов, является наличие коллективных координат решений или модулей. Происхождение модулей тесно связано с наличием в исходной теории повышенной симметрии, поэтому пространство модулей само по себе обладает нетривиальными симметрийными свойствами. Простейшим примером может служить пространство модулей инстантонов, размерность которого задается симме-триями пространства времени - трансляциями и поворотами, а также калибровочными симметриями [15, 16]. Другими, наиболее интересными пространствами модулей являются пространства модулей комплексных структур римановых поверхностей, модули плоских связностей на фиксированной двумерной поверхности, модули голоморфных векторных расслоений на поверхностях. Каждое из них возникает при описании тех или иных непертурбативных конфигураций и может быть получено процедурой редукции из пространства модулей инстантонов. В силу этого обстоятельства, универсальное пространство модулей произвольного числа инстантонов является наиболее общим объектом, возникающим при описании теорий поля в размерности не выше четырех.

Интегрирование по пространству модулей, неизбежно возникающее при непосредственном получении эффективных действий, приводит к появлению интегрируемых систем и с другой точки зрения. Дело в том, что фазовое пространство интегрируемых систем всегда совпадает с теля или иным пространством модулей или кокасательным расслоением к пространству модулей. В качестве примеров, можно упомянуть иерархию КдФ, связанную с пространством модулей комплексных структур или двумеризованную цепочку Тоды, связанную с модулями плоских связностей. В частности, лагранжиан Черна-Саймонса, определенный на некоторой поверхности, имеет в качестве фазового пространства пространство модулей плоских связностей на этой поверхности [17, 18], а в качестве гамильтонианов могут быть выбраны любые калибровочно инвариантные наблюдаемые. В терминах интегрируемых систем задача о вычислении вклада непертурбативных флуктуа-ций в эффективное действие сводится к вычислению средних от некоторых на-

блюдаемых в интегрируемых системах на пространстве модулей [18, 19].

Приведенные выше общие аргументы непосредственно реализуются в двух существенно разных ситуациях. В первом случае речь идет о выделении некоторого сектора теории, в котором могут быть получены точные результаты, а описание всей теории в терминах конечного числа эффективных координат невозможно. Проиллюстрируем данный класс задач на нескольких примерах.

В качестве первого примера рассмотрим задачу о несохранении барионного заряда в стандартной модели [20]. Как известно, процесс нарушающий сохранение барионного числа может быть интерпретирован как туннельный переход в эффективном потенциале по коллективной координате - числу Черна

где А - неабелево калибровочное поле. Точно получить выражение для эффективного потенциала из первых принципов не удается, однако можно сделать модельно независимые утверждения, что он периодичен, а высота горба потенциала однозначно фиксируется массой сфалерона - конфигурации с нецелым топологическим зарядом, отвечающей нестабильной точке равновесия потенциала. Масштаб энергии фиксируется величиной вакуумного среднего скалярного поля в теории.

Существенно, что можно рассматривать амплитуду несохранения с учетом нетривиальных внешних факторов - плотности [21] ,температуры [22] или энергии сталкивающихся частиц [23, 24]. Если характерный масштаб энергии, определяемый внешним фактором, много меньше энергии сфалерона, то квазиклассический анализ остается справедливым и имеется экспоненциальное подавление, которое можно вычислять в приближении коллективной координаты. Однако, при близости энергии внешнего воздействия к энергии сфалерона, приближение перестает работать и требуется полный учет вклада теории возмущений и инстантон-ан-тиинстантонных конфигураций. Ни один из известных подходов не позволяет довести до конца это вычисление, однако имеется много аргументов, что экспоненциальное подавление остается при любых энергиях [26, 27, 25]. Отметим, что

(1.1)

в дальнейшем, в суперсимметричном случае, мы столкнемся с похожей картиной, где приближение конечного числа коллективных координат будет работать при всех энергиях.

В качестве второго примера рассмотрим задачу о распаде ложного вакуума в скалярной теории с потенциалом

У(ф) = (ф2 - а2)2 + еф. (1.2)

Вакуум в теории является нестабильным и распадается в результате фазового перехода первого рода с образованием зародыша истинного вакуума [28, 29]. Вновь задача допускает введение коллективной координаты - радиуса пузыря, причем геометрические соображения в этом случае позволяют получить явное выражение для эффективного потенциала по коллективной координате. Динамика пузыря может быть точно проинтегрирована, после чего находится экспоненциально подавленная амплитуда. Как и в предыдущем примере, можно рассмотреть индуцированный процесс [30], который может быть описан в том же приближении при небольших внешних энергиях, и перестает работать при энергиях, сравнимых с высотой горба потенциала.

Скрытая интегрируемость, то есть наличие конечного числа коллективных координат, может быть обнаружена и в процессах рассеяния. Наиболее ярким примером такого рода является описание амплитуд при высокой энергии в КХД в реджевском режиме. Было показано [31, 32, 33, 34, 35], что для описания амплитуд в терминах обмена конечным числом реджеонов можно рассмотреть голоморфную гамильтонову систему - магнетик на конечном числе узлов с нулевым спином в каждом узле. Коллективными степенями свободы в данном случае являются реджеоны, причем волновые функции эффективной многочастичной системы совпадают с голоморфной частью амплитуды рассеяния, а спектр гамильтоновой системы определяет интерсепт померонных траекторий .

Наконец в качестве последнего примера скрытой интегрируемости в теориях, которые не допускают точного решения, рассмотрим пороговые амплитуды в раз-

личных теориях поля. Имеются в виду амплитуды процессов, в которых часть состояний (или все состояния) находятся на пороге. Было обнаружено, что для данного класса процессов возникает целое семейство амплитуд, которые зануля-ются по причинам, не имеющим очевидного объяснения [36]. В дальнейшем возникла гипотеза, что в пороговой кинематике имеются дополнительные законы сохранения - то есть скрытая интегрируемость. Первый пример с нетривиальным законом сохранения был рассмотрен в [37]. Коллективными степенями свободы в данном случае являются нулевые гармоники полей.

Другой класс теорий, связанных с пространством коллективных координат, носит название топологических теории поля. Они были введены в квантовую теорию поля Виттеном [38] с целью выделения инвариантов вакуумных многообразий теорий поля. Первые примеры топологических теорий были построены для а моделей и 4-мерных калибровочных теорий, причем в первом случае топологические теории генерировали инварианты голоморфных отображений, а в 4-мерном случае они определяли инварианты пространства модулей инстантонов [39]. На настоящий момент существует достаточно много примеров топологических теорий в разных размерностях, например, топологические а модели в двумерии,теории Черна-Саймонса в трех измерениях и топологические лагранжианы в 4-х мерии.

Во всех случаях топологические теории могут быть получены процедурой тви-стования нетопологических теорий с высокой, как правило N — 2, суперсиммме-трией. Процедура твистования эквивалентна введению в теорию дополнительного фонового поля, меняющего свойства фермионных полей. Она может быть явно проделана в моделях типа Ландау-Гинзбурга [40, 41, 42], а также в N = 2 суперсимметричных калибровочных теориях . Статистическая сумма в топологических теориях является некоторым инвариантом соответствующего пространства модулей. В ряде примеров в теориях поля существуют топологические сектора, которые связаны только с вакуумными состояниями. Наиболее ярким примером является N = 1 теория, где оказывается возможным вычислить точную пертурбативную ¡3

функцию [43] и некоторые корреляторы [44]. На топологичность низкоэнергетического действия в IV = 2 указывает наличие уравнений, аналогичных уравнениям в топологических теориях [45].

Так как часто в приложениях возникают конечномерные пространства модулей, то наиболее интересны топологические теории, определяющие конечномерные фазовые пространства. Именно на фазовых пространствах топологических теорий разворачивается динамика интегрируемых многочастичных систем с нетривиальными законами сохранения. В качестве гамильтонианов выбираются инвариантные наблюдаемые со своими константами связи. Наиболее информативным объектом оказывается статистическая сумма возмущенной топологической теории, которая является производящей функцией для корреляторов. С точки зрения пространств модулей она является производящей функцией для топологических инвариантов многообразий [38, 19]

Существенно новые возможности для описания непертурбативной физики в сильно связанных калибровочных теориях появились после получения Зайбергом и Виттеном точного эффективного действия в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса (ЯМ) [46, 47]. При получении эффективного действия потребовалось вычислить вклады от произвольного числа инстантонов, и решение оказалось первым примером в 4-мерных теориях, когда полная инстантонная сумма была найдена точно. Вторым существенно новым результатом явилось точное вычисление масс стабильных состояний в теории при произвольном масштабе энергии. Напомним, что теория имеет ненулевые однопетлевые вклады и относится к классу асимптотически свободных теорий поля.

Несмотря на некоторую парадоксальность ситуации - явное суммирование по инстантонам не удалось выполнить до настоящего момента, уже не осталось сомнения в правильности полученного результата, выдерживающего различные тесты. При вычислении эффективного действия были использованы 3 принципа, позволившие однозначно получить окончательный результат: голоморфность [49,

50], дуальность [48], а также их совместность с ренормгрупповыми потоками. Голоморфность позволяет утверждать, что полное действие имеет вид Ф) и зависит только от одной голоморфной функции Т, называемой препотенциалом. Принцип дуальности, который фиксирует связь между режимами сильной и слабой связи, естественен в конечной, например, N = 4 теории, когда очевидный модулярный параметр калибровочной теории, составленный из константы связи и в -члена

не перенормируется и совпадает со своим ультрафиолетовам значением. В теории с перенормировками формулировка дуальности в высшей степени нетривиальна. Прием, который на первый взгляд кажется несколько искусственным, состоит в следующем. В теорию вводится дополнительный объект - риманова поверхность высокого рода [51, 52], чья матрица периодов совпадает с матрицей констант связи в эффективной теории, зависящей от значения параметра порядка в данном вакууме.

Наличие непрерывного семейства вакуумных состояний можно понять из следующих соображений. В N = 2 теории затравочный лагранжиан для скалярных полей, преобразующихся по присоединенному представлению калибровочной группы, содержит потенциал

Так как суперсимметрия требует зануления энергии основного состояния, то скалярные поля могут принимать любое значение в картановской подалгебре калибровочной группы ф = <Иад(а,1,..., аПс). Таким образом мы вновь сталкиваемся с пространством коллективных координат - вакуумных средних скалярного поля, которое носит в литературе название кулоновской ветви пространства модулей. Заметим, что естественно пользоваться калибровочно инвариантными координатами = Тг < фк >. Выбор точки на кулоновской ветви эквивалентен выбору кон-

т = + 2тг0, 9

(1.3)

У{ф) = Тг[ф,ф+]\

(1.4)

кретного вакуума в теории поля и задает масштаб, на котором определена эффективная константа связи. В общей точке пространства модулей после выпадения конденсата теория эффективно становится абелевой.

Риманова поверхность, описывающая теорию, вводится таким образом, чтобы координаты кулоновской ветви пространства модулей определяли точки ветвления и отображались в пространство модулей комплексных структур поверхностей. Матрица периодов поверхности связана указанным выше образом с константами связи, определенными именно в данной точке пространства модулей. Для введения новых объектов, обладающих хорошими трансформационными свойствами относительно преобразования дуальности, которое теперь превращается в модулярное преобразование, необходимо ввести на римановой поверхности подходящий дифференциал ¿3. Интегралы от данного дифференциала по циклам на поверхности

а,- = £ <13, а» = £ <13,^) = (1.5)

где г,= 1,....,Д^С — 1 для калибровочной группы 5'?7(Д^С), преобразуются друг через друга при модулярных преобразованиях.

Было показано, что именно интегралы от дифференциала опо циклам определяют спектр стабильных состояний в теории, насыщающих границу Богомольного-Прасада-Соммерфельда(БПС). Например, общая формула для БПС спектра в 311 (2) теории имеет вид

Кш = (паЫ)2 + (тап(и2))2, (1.6)

где квантовые числа п,т отвечают "электрическим" и "магнитным" состояниям. Не должно вызывать удивления то обстоятельство, что спектр, полученный из низкоэнергетического действия, фиксирует спектр масс сколь угодно тяжелых БПС состояний. Дело в том, что БПС спектр входит в центральный заряд алгебры суперсимметрии [53] и, таким образом, имеет аномальное происхождение. С другой стороны любые аномалии не перенормируются квантовыми поправками и могут быть вычислены как в ультрафиолетовой теории, так и в инфракрасной области.

Оба вспомогательных объекта - риманова поверхность и дифференциал на ней вводятся искусственно, поэтому выяснение их роли в общем контексте описания вакуумного сектора теории поля представляется чрезвычайно актуальным.

Прогресс в описании низкоэнергетических суперсимметричных калибровочных теорий инициировал изучение дуальности в теории струн. Оказалось, что для формулировки дуальности в теории струн необходимо ввести новые объекты, получившие название бран [54, 55]. Открытые струны могут оканчиваться на Б бранах, поэтому на струны может быть наложено граничное условие Дирихле. Более того, Б бранам приписывается заряд в секторе Рамон-Рамона. С помощью I) бран струнная дуальность может быть определена самосогласованно, причем в теории струн может быть введено 3 типа дуальностей [56, 57, 58].

Так как теория суперструн не содержит аномалий только в 10-мерном пространстве [59], автоматически возникает вопрос о роли оставшихся 6-ти измерений. Результаты последних лет ясно указывают, что дополнительные размерности следует отождествлять с нулевыми модами скалярных полей [63], присутствующих в 4-мерных теориях поля. В наиболее общей ситуации в с1 = 4, отвечающей N = 4 суперсимметричной теории поля, имеются 3 комплексных скалярных поля, чьи нулевые гармоники следует воспринимать как координаты в шестимерном пространстве. Вообще говоря, пространство полей имеет сложную структуру и изучение допустимых метрик в этом пространстве является предметом многочисленных исследований.

С точки зрения теории поля наибольший интерес представляет ситуация, когда гравитационные степени свободы в струне заморожены [60, 61, 62] и изучается только калибровочный сектор теории. Таким образом для изучения общих 4-мерных калибровочных теорий необходимо ввести произвольную калибровочную группу, требуемую суперсимметрию и определить все параметры теории, например, константы связи и массы. Оказывается, что учет бранных степеней свободы позволяет решить все задачи одновременно. Существенными свойствами бран-

ных состояний, которые позволяют получать подобный результат, являются наличие U(l) калибровочного поля на мировой поверхности бран и существование их связанных состояний [63].

Опишем каким образом 4-мерная теория поля может быть сформулирована как теория на мировой поверхности браны некоторой размерности. В качестве исходной рассматривается 10-ти мерная теория суперструн с некоторой суперсимметрией. Так как браны являются БПС состояниями, они нарушают суперсимметрию в два раза, а характер нарушения супер симметрии при пересечении бран также может быть определен точно. В первом подходе рассматривается теория в плоском пространстве и супер симметрия нарушается фоновой бранной конфигурацией [64], во втором подходе, известном как "geometrical engineering" [65], суперсимметрия нарушается специальным выбором метрики дополнительного шестимерного многообразия. Например, при использовании метрики многообразия КЗ суперсимметрия нарушается вдвое .

Следующим шагом является получение калибровочной группы, например SU(N), которая отсутствует в исходной теории струн. Вновь возможны два подхода: в первом из них группа возникает, как следствие возникновения связанного состояния бран [63], во втором - как результат выбора компактного пространства со структурой сингулярностей, отвечающей системе корней некоторой группы [68]. Возникновение калибровочной группы высокого ранга при слиянии бран можно пояснить следующим образом. Каждая из бран несет ¡7(1) фактор, причем открытые струны могут быть натянуты между ними. Открытые струны содержат моды калибровочных полей, которые массивны, причем масса в силу механизма Хиггса пропорциональна расстоянию между бранами в объемлющем пространстве. Если расстояние между бранами стремится к нулю, ранг соответствующей калибровочной группы возрастает. В подходе "geometrical engineering" калибровочная группа возникает в результате наматывания браны на многообразие с соответствующей структурой сингулярностей.

Роль скалярных полей в теории поля играют координаты бран или связанного состояния бран в 6-мерном пространстве. Последним шагом при получении грубой картины теории поля является введение масс и констант связи. Массы вводятся в теорию добавлением бран другой коразмерности, причем роль масс играют координаты дополнительных бран в 6-мерном пространстве [64]. Аналогично в теорию вводятся и константы связи, более того, показывается, что их значение может быть отождествлено с расстоянием между фоновыми бранами в одной картине или размером компактных многообразий в подходе "geometrical engeneering" [65].

Наиболее прозрачным примером указанного подхода является реализация решения Зайберга-Виттена для N = 2 суперсимметричной калибровочной теории в бранных терминах. Теория в подходе IIA реализуется следующим образом [66]. Калибровочная теория с группой SU(N) возникает на мировой поверхности N DA параллельных бран, вложенных в плоское 10-мерное пространство. Мировая поверхность бран пятимерна, поэтому требуется описать оставшиеся 5 измерений в терминах теории поля. Согласие с теорией поля достигается, если считать, что по трем координатам все браны локализованы в нуле, а голоморфная координата по двум измерениям, скажем, Х\ + ix5, является вакуумным значением комплексного скалярного поля в N = 2 теории, то есть координатой на кулоновской ветви пространства модулей.

Мы интересуемся 4-мерной теорией поля, поэтому DA браны должны быть ограничены по одному измерению, например С этой целью в теорию вводятся 2 дополнительные 5-браны, типа Неве-Шварца, на которых оканчиваются DA браны. Именно такая конфигурация бран нарушает исходную суперсимметрию в 10-мерном пространстве до N = 2 суперсимметрии в 4-мерии. Расстояние между фоновыми бранами вдоль координаты х& отождествляется с константой связи в калибровочной теории 5х§ = причем деформации фоновых бран могут быть отождествлены с пертурбативной перенормировкой заряда. В теорию может быть введена материя в фундаментальном представлении, для чего в бранную кон-

фигурацию вводятся Nf дополнительных 1)6 бран, чьи координаты вдоль х4 + гх5 отождествляются с массами. Для введения материи в присоединенном представлении требуется сделать координату х6 (более точно, ее комплексную версию) периодической.

Описанная выше бранная конфигурация сингулярна, так как невозможно гладко описать пересечение В4 и фоновых 5-ти бран. Для разрешения этой проблемы Виттеном было предложено поднять конфигурацию в 11-мерное пространство, играющее для мембраны ту же роль, что и 10-мерное пространство для суперструны. Теория, определенная в 11-мерии, носит название М-теории, причем про нее известно, что в низкоэнергетическом пределе она отвечает 11-мерной супергравитации. [69, 70] Важным обстоятельством является то, что в М теории имеются солитоны - М5 браны и мембраны. Дополнительное 11-е измерение предполагается компактным, и М5 брана, намотанная на дополнительное измерение, становится В4 браной в 10-мерии. Если М5 брана локализована по 11-му измерению, то она становится 5-браной в теории струн.

Приведенные аргументы приводят к следующей картине; все браны в IIА теории можно рассматривать как единую МБ брану в М теории, намотанную на некоторую двумерную поверхность, вложенную в плоское пространство. Оказывается, что именно эта поверхность является римановой поверхностью, в терминах которой формулируется решение Виттена - Зайберга. Таким образом проясняется ее роль в описании вакуумной конфигурации поля. Более того, аналогичная картина в рамках М теории была получена и для N = 1 калибровочных теорий [72, 71, 73], в которых реализуется сценарий конфайнмента через конденсацию монополей, что позволяет надеяться на адекватность бранной картины и для несуперсиммертрич-ной КХД .

В другом подходе в рамках IIВ теории [67], связанной с предыдущим обсуждением преобразованием Т-дуальности [74, 75, 76], пространство, в которое вкладываются браны, обладает нетривиальной топологией, и браны предполагаются намо-

танными на некоторые циклы на поверхностях, например, на эллиптические кривые, вложенные в КЗ многообразие [77]. В этом подходе можно добиться меньшей наглядности, однако автоматически возникают топологические теории на кривых, которые генерируют многочастичные интегрируемые системы. Как и в картине IIА бранная конфигурация становится гладкой, если включить в игру дополнительные размерности. На этот раз следует рассматривать 12-мерную теорию, носящую название F- теории. [78, 79, 80]. Дополнительные 2 размерности предполагаются компактифицированными на тор, чей модулярный параметр отождествляется с ультрафиолетовыми значениями константы связи и в члена в калибровочной теории поля.

1.2 Содержание диссертации

Первая глава диссертации посвящена вычислению ряда амплитуд, которые могут быть описаны с помощью эффективных степеней свободы, отвечающим коллективным координатам. В п.2.1 рассматривается двумерная теория поля, в которой потенциал скалярного поля содержит экстремум, отвечающий ложному метастабиль-ному вакууму. Рассматривается вероятность индуцированного распада вакуума в присутствии среды с ненулевой плотностью [81]. Процесс представляет непосредственный интерес при обсуждении двумерных теорий и является модельным примером ситуации, когда наивное разложение вероятности распада по степеням плотности около невозмущенного решения классических уравнений движения не работает, а теория возмущений применима только около точных решений при ненулевой плотности. Ситуация носит общий характер, и данный пример содержит все особенности целого класса задач.

В данном случае коллективной координатой является радиус зародыша истинного вакуума, а ее динамика описывается эффективным потенциалом V(R) = const — fiR, где первый член отвечает поверхностной энергии, а второй - объемной. Певозмущенный пузырь сферически симметричен, но при учете влияния среды он

деформируется и действие вычисляется на деформированной конфигурации. Физически основной эффект состоит в том, что на кинках, являющихся границей пузыря, имеется локализованная нулевая мода, учет которой меняет эффективный потенциал. Амплитуда распада вычисляется в фермионной и бозонной среде, причем в обоих случаях показано,что приближение одной коллективной координаты перестает работать при некоторых плотностях. Фактически это означает, что режим сильной связи не может быть описан в рамках этого приближения. В главе 5 мы столкнемся с качественно похожей ситуацией, когда имеется эффективный потенциал конечной величины и внешний параметр (в главе 5 - параметр порядка в вакууме супер симметричной теории) определяющий "энергию", при которой рассматривается туннелирование в эффективном потенциале. В отличии от задачи с распадом вакуума в суперсимметричной теории окажется возможным рассмотреть и область сильной связи, где возникают новые безмассовые состояния.

В п. 2.2 рассматриваются амплитуды рождения большого числа частиц сильно виртуальным квантом скалярного поля в теории с нарушенной дискретной симметрией [82]. Нам будет интересна область, когда число частиц превосходит обратную константу связи. Будет обсуждаться подход, предложенный Брауном, в котором амплитуды восстанавливаются из решений уравнений движения с источником. В теории с нарушенной дискретной симметрией, таким решением является конфигурация типа кинка, однако правильно считать, что коллективная координата кинка, отвечающая сдвигу по времени, неоднородна в пространстве. При этом эффективно возникает динамика по коллективной координате - радиусу сферической области, разделяющей разные вакуумные состояния. В отличие от задачи с ложным вакуумом, эффективный потенциал содержит только поверхностный член и имеет вид У(В) = аВ?. Такой потенциал допускает существование квазистабильных уровней пузыря в 4-мерном пространстве Минковского.

Для нахождения производящей функции для пороговых амплитуд требуется найти решение с фиксированной асимптотикой, что налагает ограничение на дина-

мику по коллективной координате. Оказывается, что необходимо рассматривать решение, интерполирующее между пространством Эвклида и пространством Мин-ковского. Разложение полученного решения определяет амплитуды рождения пороговых частиц. Полученный таким образом ответ следует интерпретировать, как двухступенчатость процесса. Сначала сильно виртуальный квант рождает возбужденное состояние пузыря, которое затем распадается на большое число частиц на пороге. Амплитуда рождения оказывается экспоненциально большой, однако присутствие в промежуточном состоянии протяженного объекта говорит о наличии формфактора, который может привести к подавленной амплитуде. Существенной особенностью данного процесса является его описание в терминах протяженных объектов, которые наивно в теории не рассматриваются. Ситуация напоминает картину, известную в теории интегрируемых систем, когда при больших энергиях справедливо описание в терминах дуальных протяженных объектов, причем дуальная теория может находиться в режиме слабой связи.

В п. 2.3 мы обсуждаем явление зануления амплитуд на пороге в ряде теорий. Как и в предыдущем разделе, используется метод производящих решений, определяющих амплитуды. Задача несомненно является модельной, однако она представляет интерес, так как явно демонстрируется, каким образом в некотором секторе достаточно общей теории поля возникают интегрируемые системы с конечным числом степеней свободы. Мы показываем, что пороговые амплитуды связаны с решениями уравнений движения в интегрируемой системе, координатами в которой являются нулевые моды полей [96].

Решения уравнений движения формулируются в терминах римановых поверхностей, на которых определен известный объект из теории интегрируемых систем - функция Бейкера-Ахиезера(БА). В данном контексте она совпадает с решением уравнения на вариацию 6ф на фоне классического решения. Функция БА имеет конечное число полюсов на поверхности, причем показывается, что вычеты функции БА в полюсах совпадают с некоторыми древесными амплитудами. Положение

полюса определяет при этом конкретную амплитуду, так как роль координаты на поверхности играет переданная энергия. Число полюсов БА функции конечно и показывается, что именно это обстоятельство является причиной нетривиальных занулений пороговых амплитуд - число ненулевых амплитуд и число полюсов совпадают. Другая возможная интерпретация связана с дополнительными законами сохранения в интегрируемых системах, которые в данном случае являются генераторами нелинейных преобразований в пространстве нулевых гармоник полей.

Глава 3 посвящена получению многочастичных интегрируемых систем в контексте теории групп. Мы рассматриваем пример конечномерных групп и находим функциональный интеграл для систем типа Калоджеро, связанных с орбитами конечномерных групп. Кроме того обсуждаются специальные орбиты группы Вира-соро, с которыми можно ассоциировать конечномерную динамическую систему.

В п. 3.1 мы получаем представление для рациональных многочастичных систем в виде функционального интеграла. Используется метод гамильтоновой редукции, позволяющий систему с нетривиальным взаимодействием свести к свободному движению в расширенном фазовом пространстве. Мы формулируем метод гамильтоновой редукции в лагранжевых терминах, сводя функциональный интеграл к двухматричной квантовой механике с дополнительной калибровочной симметрией. Диагональные элементы пары матриц определяют фазовое пространство динамической системы, а константа взаимодействия вводится через расширение фазового пространства матричной модели дополнительной коприсоединенной орбитой соответствующей группы [88, 89, 90].

Число частиц в многочастичной системе задается рангом группы, а выбор группы определяет структуру взаимодействия. Подход, связанный с фукциональ-ным интегралом, позволяет получить явные выражения для волновых функций и спектра в терминах теории групп. Именно такой подход оказывается удобным для обобщения на бесконечномерные алгебры и общие динамические системы на различных пространствах модулей.

В п. 3.2 обсуждаются косприсоединенные орбиты алгебры Вирасоро в методе гамильтоновой редукции. Используется описание алгебры Вирасоро в терминах редукции из алгебры SL(2, R) и показано,что так называемые специальные орбиты получаются из орбит Каца-Муди, если включить в игру вихревые конфигурации калибровочного поля. Число вихрей определяет число полюсов тензора энергии импульса в двумерии, причем координаты вихрей становятся модулями, ассоциированными со специальными орбитами алгебры Вирасоро [85].

В п.3.3 рассматривается процедура построения геометрического действия для специальных орбит алгебры Вирасоро. Процедура построения геометрического действия Кириллова на коприсоединенных орбитах произвольной группы универсальна и, например, приводит к лагранжиану Весса-Зумино для алгебры Каца-Муди и действию Лиувилля для орбит Вирасоро общего положения. Мы рассматриваем процедуру построения геометрического действия для орбит Вирасоро с модулями методом редукции.

В качестве исходного, выбирается действие Весса-Зумино на фоне конечного числа вихревых конфигураций. На лагранжевом языке проводится процедура редукции, после чего возникает квантовая механика конечного числа степеней свободы, взаимодействующая с теорией Лиувилля. Показано, что описание конечного числа степеней свободы может быть проинтерпретировано, как вставка операторов с фиксированной аномальной размерностью в теорию Лиувилля. Если рассмотреть теорию с произвольным числом вихрей, то эффективное суммирование по специальным орбитам сводится к теории sin — Gordon [96].

В п.3.4 мы показываем, что специальные орбиты алгебры Вирасоро имеют любопытное приложение к одночастичной квантовой механике [83]. Показывается, что квазиточнорешаемые потенциалы, введенные Турбинером и Ушверидзе, для которых часть спектра вычисляется алгебраически, находятся в однозначном соответствии с корреляторами в теории Лиувилля с 4-мя вершинными операторами, связанными с простейшими специальными орбитами. Голоморфные конформные

блоки соответствуют волновым функциям, а модули орбит становятся параметрами потенциала в квантовой механике. Соответствие позволяет определить смысл аналога операторного разложения в квантовой механике. Оно формулируется в пространстве констант связи и коэффициенты операторного разложения определяют структуру разложения волновых функций в потенциале с некоторым числом параметров по волновым функциям в потенциале, в котором число параметров на единицу меньше.

В главе 4 рассматриваются многочастичные системы типа Калоджеро, возникающие в теориях поля в 2-х и 3-х измерениях. В качестве степеней свободы выступают собственные значения электрического поля или собственные значения вильсоновских петель. Показывается каким образом при учете вильсоновских линий возникают многочастичные системы и находятся соответствующие волновые функции и спектры.

В п.4.1 рассматривается двумерная теория Янга-Миллса(ЯМ) с группой Зи(Ы) на цилиндре с дополнительной вильсоновской линией, соответствующей тяжелому источнику в некотором представлении калибровочной группы [88, 89]. Действие ЯМ имеет структуру, которая может быть описана в терминах гамильтоновой редукции, причем закон Гаусса играет роль отображения момента. Если выбрать калибровку, в которой калибровочное поле Ах на окружности диагонально, то диагональные собственные значения могут рассматриваться как координаты в гамильтоновой системе, а сопряженными импульсами являются собственные значения электрического поля. Если выбрать вильсоновскую линию в представлении минимальной размерности, то возникает тригонометрическая система Калоджеро и волновой функционал полевой теории, который в данном случае сводится к конечномерному выражению, вычисляется в групповых терминах.

Обнаруженная связь систем Калоджеро с калибровочной теорией объясняет появление данных систем в различных физических задачах, так как калибровочная теория фиксирует некоторый класс универсальности. В качестве примеров задач,

в которых возникают системы Калоджеро, упомянем динамику систем анионов, динамику краевых возбуждений при изучении квантового эффекта Холла, вихрей в с=1 матричной модели двумерной гравитации или описание корреляторов в хаотических системах общего положения [92].

В п.4.2 показано, что при естественном обобщении системы ЯМ на калиброванную (?/(? теорию Весса-Зумино, эквивалентную лагранжиану Черна-Саймонса на 3-х мерном многообразии, возникают многочастичные системы Рюсенара [93]. В качестве гамильтонианов в данном случае выступают вилъсоновские петли, которые, с другой стороны, задают фазовое пространство системы. Система Рюсенара является релятивистским обобщением систем Калоджеро, а параметр, который играет роль "скорости света" - коэффициент перед лагранжианом Черна-Саймонса. На алгебраическом языке он совпадает с уровнем в алгебре Каца-Муди. Нерелятивистский предел возникает при стремлении уровня к бесконечности. Показано,что системы Рюсенара являются простейшими динамическими системами на пространстве модулей плоских связностей на эллиптической кривой с одной отмеченной точкой и могут быть обобщены на произвольную поверхность с произвольным числом отмеченных точек.

В п.4.3 мы обобщаем лагранжево описание многочастичных систем на эллиптический случай, когда потенциал двухчастичного взаимодействия определяется функцией Вейерштрасса [94, 89]. Впервые из общих принципов было получено выражение для оператора Лакса, ранее угаданное Кричевером эмпирически. Наибольший интерес в системах с эллиптическими потенциалами представляет наличие нескольких параметров, которые в следующей главе будут проинтерпретированы в физических терминах. В частности, константа связи в эллиптической модели Калоджеро оказывается массой материи в присоединенном представлении, а модуль эллиптической кривой - ультрафиолетовой константой связи в суперсимметричных теориях. Впервые показано, что системы Калоджеро вкладываются в общие системы Хитчина на модулях голоморфных векторных расслоений на по-

верхностях с отмеченными точками. Волновые функции оказываются конформными блоками в теории Весса-Зумино.

В п.4.4 формулируется преобразование дуальности, связывающее пары многочастичных систем [93]. Например, тригонометрическая модель Калоджеро оказывается дуальной рациональной модели Рюсенара. Преобразование дуальности может быть сформулировано следующим образом: координаты частиц в одной системы становятся переменными действия в дуальной ей системе. При этом в качестве гамильтонианов выбираются разные наблюдаемые - в терминах калибровочных полей вильсоновские петли заменяются на степени электрического поля. На квантовом уровне волновые функции дуальных систем связаны между собой - одна и та же функция, рассмотренная как функция двух разных аргументов, обслуживает обе системы. В качестве примера, можно упомянуть ортогональные полиномы, удовлетворяющие дифференциальному уравнению по аргументу и разностному по индексу. Первое из них является уравнением Шредингера в одной системе, а второе - разностным уравнением Шредингера в дуальной. Указанная дуальность может быть проинтерпретирована как модулярное преобразование, и является аналогом преобразований дуальности в теории поля.

В главе 5 мы показываем, что решения задачи о вычислении эффективных действий в супер симметричных теориях в разных размерностях эквивалентно задаче о нахождении решений уравнений движения для многочастичных систем, рассмотренных в предыдущих главах. Показано каким образом связаны различные параметры в моделях и сформулирована процедура получения эффективных действий в терминах многочастичных систем. Мы демонстрируем что соответствие справедливо для суперсимметричных теорий с материей в различном представлении и различной структурой калибровочных групп.

В п.5.1 рассматривается решение Виттена-Зайберга для эффективной низкоэнергетической теории в 4- мерном пространстве и формулируются основные результаты, полученные в работе [97]. В последующих разделах этой главы показы-

вается каким образом риманова поверхность, определяющая решение, и заданный на ней дифференциал, описываются в терминах систем типа Калоджеро. Риманова поверхность чисто калибровочной теории отождествляется с спектральной кривой для периодической цепочки Тоды, а дифференциал - с дифференциалом действия pdq. Препотенциал совпадает с логарифмом т-функции дополнительной интегрируемой системы типа Уизема, описывающей ренормгрупповые потоки в теории.

В теорию может быть введена материя и если материя берется в присоединенном представлении, то динамическая система становится эллиптической системой Калоджеро, определенной на эллиптической кривой, чей модулярный параметр отождествляется с параметрами теории т = р- + 2тгв, а константа связи с массой гипермультиплета. Если теория содержит фундаментальную материю, то она описывается другим обобщением цепочки Тоды - неоднородной XXX БЬ(2) спиновой цепочкой на А^ узлах [95, 98, 99]. Массы фермионов связаны со спинами в узлах и неоднородностями, причем при устремлении масс к бесконечности, размерная трансмутация приводит к генерации инфракрасного массивного параметра Если калибровочная группа в теории является произведением отдельных 5£7(факторов, то вакуумный сектор описывается •ЭД) спиновой цепочкой

[102].

Соответствие между динамическими системами и калибровочными теориями продолжается на 5-мерные и 6-мерные калибровочные суперсимметричные теории с одним или двумя компактными измерениями. Показывается, что 5-ти мерная теория с фундаментальной материей описывается неоднородной ХХ2 цепочкой, а параметр анизотропии выражается через радиус компактного 5-го измерения. Если рассмотреть 6-мерную теорию с ^ = 2ИС фундаментальными фер-мионами, то она описывается полностью анизотропным XV2 магнетиком и анизотропии определяются через [ЮЗ]. Новым элементом в высших размерностях является появление дополнительных пуассоновых симметрий в вакуумном

секторе,являющихся симметриями магнитных цепочек. Дополнительными сим-метриями являются квантовая группа 5^(2) для пятимерной теории и алгебра Склянина в 6-мерии.

Несмотря на то, что в предыдущей главе было показано, что все ингредиенты решения, угаданные Виттеном и Зайбергом, получают рациональное объяснение в рамках теории многочастичных интегрируемых систем, смысл степеней свободы в этих системах оставался неясным. В главе 6 мы показываем,что правильными степенями свободы в многочастичных системах являются браны разных размерностей. Мы демонстрируем каким образом вводятся степени свободы и проясняем роль уравнений движения в бранном подходе [101]. С этой целью оказывается удобным отобразить переменные на пространство модулей циклической монопольной конфигурации, после чего уравнение движения в лаксовой форме совпадает с уравнениями Нама, известными в теории пространства модулей монополей. Мы показываем, что динамическими степенями свободы на спектральной кривой являются £>0 браны, локализованные на И4 бранах в НА картине или М5 бране в М теории. Непосредственный смысл интегрируемости состоит в том, что она запрещает 1)0 бранам "уходить" со спектральной кривой.

В высших измерениях бранной конфигурации можно придать еще один смысл. Показывается, что бранная диаграмма как плоский граф дуальна торической диаграмме многообразия, которая зашифровывает информацию о его структуре син-гулярностей [103]. Таким образом оказывается возможным получить уравнение спектральной кривой непосредственно в терминах бранной диаграммы.

В п.6.8 мы обсуждаем аналогию с задачей Пайерлса, описывающей одномерную сверхпроводимость, и показываем, что она позволяет прояснить смысл степеней свободы в интегрируемой системе с несколько неожиданной точки зрения [100]. Роль периодической цепочки Тоды в контексте модели Пейерлса такова. Имеется флуктуирующая периодическая решетка конечного размера, которая может быть рассмотрена,как решетка £Ю бран. Фононные степени свободы в решетке отожде-

ствляются со степенями свободы в цепочке Тоды. Фермионы взаимодействуют с фононами и гамильтониан взаимодействия отождествляется с оператором Лакса цепочки Тоды. Функция БА при этом становится волновой функцией фермиона, а спектральная кривая его законом дисперсии, связывающим квазиимпульс и квазиэнергию. Наиболее интересным следствием предложенной аналогии является интерпретация стабильных БПС состояний в суперсимметричных калибровочных теориях как полностью заполненных разрешенных или запрещенных зон в спектре фермионов в периодической решетке.

В Заключении приведены основные результаты диссертации.

2 Коллективные координаты и амплитуды в те-

ории поля

2.1 Распад вакуума в двумерии,индуцированный конечной плотностью

В этом разделе мы обсудим двумерную ситуацию, которая является примером из класса задач, связанных с индуцированными квазиклассическими процессами в теориях поля разной размерности. Наиболее известными примерами являются задачи об индуцированном несохранении барионного числа и индуцированном распаде вакуума в теориях с нарушенной дискретной симметрией. В качестве внешнего параметра, индуцирующего распад, могут служить температура, плотность или энергия частиц при столкновении. Мы будем рассматривать задачу об распаде вакуума в двумерной теории, индуцированном средой с ненулевой плотностью [86]. Аналогичная задача для процесса с несохранением барионного заряда была рассмотрена в [21, 104].

Общая постановка задачи в такова. Имеется процесс, запрещенный классически, но допустимый в квазиклассическом приближении при учете инстантонов, доменных стенок или других непертурбативных конфигураций. Находится некоторая коллективная координата, например, число Черна или радиус пузыря, вдоль которой рассматривается туннельный процесс. Вероятность туннелирования экспоненциально подавлена, причем фактор подавления определяется высотой горба в эффективном потенциале для коллективной координаты. Если в задачу включается внешний фактор,то туннелирование эффективно происходит при ненулевой энергии, поэтому подавляющий фактор уменьшается. Наивно, при достижении вершины потенциала, молено было бы ожидать снятия подавления, однако именно в этой области приближение "коллективной координаты" перестает работать и требуется полный квантовый анализ задачи. В рассмотренной ниже ситуации мы

увидим пример подобного поведения. В дальнейшем в суперсимметричной теории мы столкнемся с примером аналогичной задачи, когда, в силу дополнительных симметрий, приближение "коллективной координаты" справедливо при всех значениях внешнего параметра.

Напомним решение задачи о спонтанном распаде в скалярной теории с эвклидовым действием [28, 29]

5(0) = I <Рх[(дф)' + и(ф)], (2.1)

где потенциал II(ф) имеет два минимума, например,

и(ф) = \(ф1-еу + е^±. (2.2)

Применимость приближения тонкой стенки требует малости параметра £ = при этом масса частицы оказывается равной т — 8А02, а масса кинка, интерполирующего между двумя вакуумами ц = Туннелирование происходит посредством рождения зародыша истинного вакуума в ложном, причем радиус зародыша оказывается коллективной координатой в задаче. Эффективный потенциал по радиусу пузыря в двумерии имеет вид У(К) = 2/и — ей, где первый член происходит из поверхностной энергии, а второй - из объемной. Седловая точка в эвклидовом эффективном действии определяет критический радиус пузыря й0 = 7-Вычисление мнимой части действия дает для амплитуды распада

у = ' (2.3)

Если в теории имеется массивная частица, имеющая нулевую моду на кинке,то она локализуется на стенке пузыря, меняя эффективное действие для коллективной координаты. Пузырь деформируется согласно новым седловым траекториям [30], и амплитуда распада принимает вид

2

7 ос ехр(-^~ + Д(то)) (2.4)

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Горский, Александр Сергеевич

7 Заключение

В заключение перечислим основные результаты,выносимые на защиту

I. Вычисление ряда амплитуд в теории поля, определяемых динамикой конечного числа коллективных степеней свободы, и выяснение их связи с конечномерными динамическими системами.

1. Вычислена вероятность распада вакуума' в плотной среде в двумерной скалярной теории [86].

2. Показано, что амплитуда рождения большого числа частиц сильно виртуальным квантом в теории с нарушенной дискретной симметрией носит двухступенчатый характер, и в промежуточном состоянии рождается пузырь, разделяющий в пространстве области разных вакуумов [87].

3. Показано, что явление зануления пороговых амплитуд объясняется в терминах конечнозонных решений уравнения КдФ [96].

II. Описание иерархии многочастичных динамических систем в терминах функционального интеграла по фазовым пространствам, имеющим групповое происхождение.

4. Найдена формулировка метода гамильтоновой редукции для многочастичных систем в терминах функционального интеграла [88, 89, 93, 94].

5. Показано, что специальные орбиты в алгебре Вирасоро связаны с вихревыми конфигурациями калибровочного поля [85], и получено геометрическое действие для специальных орбит [91].

6. Показано, что одномерные точнорешаемые и квазиточнорешаемые задачи связаны с корреляторами в двумерной конформной теории поля [84].

III. Единое описание динамических систем типа Калоджеро, как систем, определяющих динамику топологических степеней свободы калибровочных степеней свободы в двух и трех измерениях. Формулировка понятия дуальности в многочастичных системах.

7. Показано,что многочастичные системы типа Калоджеро описывают динамику топологических степеней свободы в двумерной теории Янга-Миллса [88].

8. Показано,что системы Рюсенара описывают степени свободы в трехмерной теории Черна-Саймонса [90].

9. В терминах гамильтоновой редукции сформулировано понятие дуальности в многочастичных системах и найдены примеры дуальных систем [93].

IV. Описание низкоэнергетического сектора N = 2 4-мерных суперсимметричных калибровочных теорий с материей в терминах многочастичных систем и обобщение на N = 1 суперсимметричные теории в пяти и шести измерениях.

10. Показано, что вакуумный сектор в 4-мерных N=2 суперсимметричных теориях поля описывается многочастичными системами типа Калоджеро или конечными спиновыми цепочками [95, 98, 99, 102].

11. Найдено низкоэнергетическое эффективное действие N=1 суперсимметричных калибровочных теории в 5 и 6 измерениях, и показано, что вакуумный сектор описывается анизотропными спиновыми цепочками [103].

V. Выделение адекватных степеней свободы в многочастичных системах, описывающих супер симметричные теории, и их отождествление с коллективными координатами солитонов в теории струн - Б бран.

12. Исследована структура импульсного пространства теорий поля и ее связь с преобразованиями киральности [81, 82, 102].

13. Показано, что эффективными степенями свободы интегрируемых систем, описывающих вакуумный сектор суперсимметричных теорий, являются коллективные координаты Б бран [101, 102].

14.Обнаружена связь между описанием вакуумного сектора N=2 суперсимметричной калибровочной теории и моделью Пайерлса [100].

Автор благодарен М.Волошину, С.Гукову, А.Иогансену, В.Киселеву, А.Мар-шакову, А.Миронову, А.Морозову, Н.Некрасову, Б.Рою и К. Селиванову за участие в совместных работах, на которых основана настоящая диссертация; А.Вайнштейну, А.Герасимову, А.Забродину, И.Кричеверу, Х.Лейтвилеру, А.Лосеву, А.Ниеми, В.Новикову М.Ольшанецкому, И.Полюбину, А.Рослому, В.Рубцову, А.Смилге, П.Тинякову, В.Фоку С.Харчеву, М.Шифману за полезные обсуждения. Автор также благодарен участникам теоретических семинаров ИТЭФ,ИЯИ,ИТФ,ФИАН, где докладывались результаты настоящей диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Горский, Александр Сергеевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

А.Поляков,Калибровочные поля и струны, Москва, 1995

H.Leutwyler,J.Gasser, Chiral perturbation theory to one loop, Ann.Phys. 158 (1984) 142

M.Shifman, Anomalies in gauge theories, Phys.Rep. 209 (1991) 343-380

[4] A.Migdal,M.Shifman, Dilaton effective lagrangian in gluodynamics, Phys.Lett. B114 (1982) 445

G.Veneziano,S.Yankielowicz, An effective lagrangian for the pure N=1 supersym-metric Yang-Mills theory, Phys.Lett. ВИЗ (1982) 231-236

А.Морозов, Теория струн - что это такое,УФН,162 (1992) 84

C.Vafa,S.Cecotti, On a classification of N=2 sypersymmetric theories, CMP 158 (1993) 569-644

M.Fukuma,H.Kawai,R.Nakayama, Infinite dimensional Grassmanian structure of the two dimensional quantum gravity, CMP 143 (1992) 371-403

R.Dijgraaf,E.Verlinde,H.Verlinde, Topological strings in D=l, Nucl.Phys. B352 (1991) 59 - 86

S.Kharchev,A.Marshakov,A.Mironov,A.Morozov, Generalized Kontsevich model versus Toda hierarchy and discrete matrix models,Nucl.Phys. 397 (1993) 339-378

A.Marshakov, Integrable structures in matrix models and physics of 2D gravity,Int.J.Mod.Phys. A8 (1993) 3831-3882

А.Морозов, Интегрируемость и матричные модели, УФН 164 (1994) 3 -62

[13] M.Douglas, Strings in less then one dimension and the generalized KdV hierarchies, Phys.Lett. B238 (1990) 176

[14] K.Wilson, Confainment of quarks, Phys.Rev. D10 (1974) 2445

[15] M.Atiyah,V.Drinfeld,N.Hitchin,Yu.Manin, Construction of instantons, Phys.Lett. A65 (1978) 185-187

[16] M.Douglas, Gauge fields and D branes, hepth/9604198

[17] E.Witten, On a structure of the topological phase of two-dimensional gravity, Nucl.Phys. B340 (1990) 281-332

[18] E.Witten, Two dimensional gravity and intersection theory on moduli space, Surveys Dif.Geom. 1 (1991) 243-310

[19] М.Концевич, Теория пересечений на пространстве модулей кривых, ФАН 25 (1990) 50 - 64

[20] H.t,Hooft, Computation of the quantum effects due to a four-dimensional quasi-particles, Phys.Rev. D14 (1976) 3432

[21] V.Rubakov, On the electroweek theory at high fermion density, Progr.Theor.Phys. 75 (1986) 366

[22] V.Kuzmin,V.Rubakov,M.Shaposhnikov, On the anomalous electroweek baryon number nonconservation in the early Universe, Phys.Lett. B155 (1985) 38

[23] A. Ringwald, Unsuppressed anomalous fermion number violation in high energy collisions, Nucl. Phys. B330 (1990) 1

[24] O. Espinosa, High energy behaviour of baryon and lepton number violating scattering amplitudes and breakdown of unitarity in the standard model, Nucl. Phys. B343 (1990) 310.

[25] D.Son, Semiclassical approach for multiparticle production in scalar theories, Nucl.Phys. B460 (1996) 457

[26] V.Zakharov, Unitarity constraints of multiparticle weak production, Nucl.Phys. B359 (1991) 301

[27] M.Libanov, V.Rubakov,D.Son,S.Troitskii, Exponentiation of multiparticle amplitudes in scalar throry, Phys.Rev. D50 (1994) 7553-7569

[28] M.B. Voloshin, I.Yu.Kobzarev and L.B. Okun, Bubbles in metastable vacuum, Sov. J. Nucl. Phys. 20 (1975) 644

[29] S.Coleman, The fate of the false vacuum.1 Semiclassical theory Phys.Rev. D15 (1977) 2929

[30] М.Волошин,К.Селиванов, Распад метастабильного вакуума, индуцированный частицей Ядерная Физика 41 (1986) 1336-1343

[31] Л.Липатов, Асимптотика многоцветной КХД при высоких энергиях и точно-решаемые решеточные модели, Письма в ЖЭТФ, 59 (1994) 596

[32] L.Lipatov, Gauge invariant effective action for high energy process in QCD, Nucl.Phys. B452 (1995) 369-400

[33] R.Kirschner,L.Lipatov,L.Szymanovski, Effective action for multi regge processes in QCD, Nucl.Phys. B427 (1994) 579-594

[34] L.Faddeev and G.Korchemsky, High energy QCD as a completely integrable model, Phys.Lett. B342 (1994) 311

[35] G.Korchemsky, Quasiclassical QCD pomeron, Nucl.Phys. B462 (1996) 333-388

[36] M.B. Voloshin, Zeros of the tree level amplitudes of multi-boson threshold production, Phys. Rev. D 47 (1993) 2573-2577.

[37] M.V.Libanov,V.A.Rubakov,S.V.Troitskii, Zeros of tree amplitudes at rest and symmetries of mechanical systems, Phys.Lett. B318 (1993) 134

[38] E.Witten, Topological quantum field theories, CMP, 117 (1988) 353

[39] S.Donaldson, Anti-selfdual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles, Duke.Math.J. 54 (1987) 231

[40] C.Vafa, Topological Landau-Ginzburg models, Mod.Phys.Lett. A6 (1990) 337-346

[41] A.Losev,I.Polyubin, On connection between topological Landau-Ginzburg theories and integrable systems, Int.J.Mod.Phys. A10 (1995) 4161-4178

[42] S.Kharchev,A.Marshakov,A.Mironov,A.Morozov, Landau-Ginzburg topological theories in the framework of GKM and equivalent hierarchies, Mod.Phys.Lett. A8(1993) 1047-1061

[43] V.Novikov,M.Shifman,A.Vainshtein,V.Zakharov, Exact Gell-Mann-Low function of supersymmetric Yang-Mills theories from instanton calculus, Nucl.Phys. B229 (1983) 381

[44] V.Novikov,M.Shifman,A.Vainshtein,V.Zakharov, Instanton effects in supersymmetric theories, Nucl.Phys. B229 (1983) 407

[45] A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, More evidences for the WDVV equations in N=2 SUSY Yang-Mills theory, hepth 9701123

[46] N.Seiberg and E.Witten, Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, And Confinement in N = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory, Nucl.Phys. B426 (1994) 19-52

[47] N.Seiberg and E.Witten, Monopoles, Duality and Chiral Symmetry Breaking in N=2 Supersymmetric QCD, Nucl.Phys. B431 (1994) 484-550

[48] C.Montonen,K.Olive, Magnetic monopoles as gauge particles, Phys.Lett. B78 (1977) 117

M.Shifman,A.Vainshtein, On holomorphic dependence and infrared effects in su-persymmetric gauge theories, Nucl.Phys. B359 (1991) 571-580

N.Seiberg, Power of holomorphy - exact results in 4d SUSY field theories, hepth 9408013

A.Klemm, W.Lerche, S.Theisen and S.Yankielowicz, Simple singularities and N=2 supersymmetric Yang-Mills theory, Phys.Lett. 344B (1995) 169

P.Argyres and A.Faraggi, The vacuum structure and spectrum of N=2 supersymmetric SU(N) gauge theory, Phys.Rev.Lett. 73 (1995) 3931

K.Olive,E.Witten, Supersymmetric algebras that include topological charges, Phys.Lett. В78 (1979) 97

J.Polchinski, Dirichlet branes and Ramond- Ramond charges, Phys.Rev.Lett. 75

(1995) 4724-4727

J.Polchinski, TASI - lectures on D branes, hepth 9611050 C.Hall,P.Townsend, Unity of string dualities, Nucl.Phys. B438 (1995) 109-137 P.Townsend, P-brane democracy, hepth 9507048 J.Schwarz, Power of M theory, hepth 9601077

M.Грин,Д.Шварц,Е.Виттен, Теория суперструн,т. 1,2, Москва, "Мир", 1990

S.Kachru and C.Vafa, Exact results for N=2 compactifications of heterotic strings, Nucl.Phys. B450 (1995) 69-89

S.Ferrara, J.Harvey, A.Strominger and C.Vafa, Second quantized mirror symmetry, Phys.Lett. B361 (1995) 59-65

[62] S.Kachru, A.Klemm, W.Lerche, P.Mayr and C.Vafa, Nonperturbative results on the point particle limit of N=2 heterotic string compactification,- Nucl.Phys. B459

(1996) 537-558

[63 [64

[65

[66 [67

[68

[69 [70

[71 [72

[73

[74

[75

E.Witten, Bound state of strings and p-branes, Nucl.Phys. B430 (1996) 335-350

A.Hanany and E.Witten, Type IIB superstrings, BPS monopoles, and three-dimensional gauge dynamics, Nucl.Phys. B492 (1997) 152

S.Katz, A.Klemmand C.Vafa, Geometric Engineering of Quantum Field Theories, Nucl.Phys. B497 (1997) 173-195

E.Witten, Solution of N=2 supersymmetric theories via M theory, hepth 9703166

S.Katz, P.Mayr and C.Vafa, Mirror symmetry and Exact Solution of 4D A^ = 2 Gauge Theories - I, hepth 9706110

H.Ooguri, C.Vafa, Two-Dimensional Black Hole and Singularities of CY Manifolds, Nucl.Phys. B463 (1996) 55-72

P.Townsend, D branes from M branes, hepth 9512062

P.Townsend,The eleven-dimensional supermembrane revisited, Phys.Lett. B350 (1995) 184-187

E.Witten, Branes and the dynamics of QCD, hepth 9706109

B.Chibisov and M.Shifman, BPS saturated walls and supersymmetric theories, hepth 9706141

K.Hori, H.Ooguri and Y.Oz, Strong coupling dynamics of four-dimensional N=1 theories from M theory fivebrane, hepth 9706082

C.Vafa and H.Ooguri, Geometry of N=1 dualities in four dimensions, Nucl.Phys. B500 (1997) 62-74

C.Johnson, From M theory to F theory with branes, hepth 9706155

[76] A.Brandhuber, J.Sonnenschein, S.Theisen and S.Yankielowicz, Brane configurations and 4D field theory dualities, hepth 9704044

[77] M.Bershadsky, V.Sadov and C.Vafa, D-branes and topological field theories, Nucl.Phys. B463 (1996) 420;

[78] C.Vafa, Evidence for F theory, Nucl.Phys. B469 (1996) 403- 417

[79] D.R.Morrison and C.Vafa, F-Theory Compactification on Calabi-Yau Threefolds

- I, Nucl.Phys. B473 (1996) 74-92

[80] D.R.Morrison and C.Vafa, F-Theory Compactification on Calabi-Yau Threefolds

- II, Nucl.Phys. B476 (1996) 437-469

[81] А.Горский, Преобразование киральности и структура импульсного пространства, Письма в ЖЭТФ 48 (1988) 121-123.

[82] А.Горский, Фаза Берри и киральная аномалия, Письма в ЖЭТФ 48 (1988) 507-510.

[83] А.Горский,К.Селиванов, Индуцированные дионы в КХД, Ядерная Физика 53 (1991) 187-192.

[84] А.Горский, О связи точнорешаемых и квазиточнорешаемых квантовых механик и уравнениями на конформные блоки в двумерных теориях, Письма в ЖЭТФ 54 (1991) 296-299.

[85] А.Горский,К.Селиванов,Б.Рай, Большие калибровочные преобразования и специальные орбиты алгебры Вирасоро, Письма в ЖЭТФ 53 (1991) 59-63.

[86] A.Gorsky,V.Kiselev, False vacuum decay induced by dense matter in two dimensions, Phys.Lett. B304 (1993) 219-225.

[87] A.Gorsky,M.Voloshin, Nonperturbative production of multi boson states and quantum bubbles, Phys.Rev. D48 (1993) 3843-3851.

[88] A.Gorsky,N.Nekrasov, Hamiltonian systems of Calogero type and two dimensional YM theory, Nucl.Phys. B414 (1994) 213-231.

[89] А.Горский,Н.Некрасов, Квантовые интегрируемые системы частиц, как калибровочные теории, Теоретическая и математическая физика 100 (1994) 874884.

[90] A.Gorsky,N.Nekrasov, Elliptic Calogero-Moser systems from two-dimensional current algebr, hepth 9401021

[91] A.Gorsky,A.Johansen, Liouville theory and special coadjoint Virasoro orbits, I.Jorn.Mod.Phys. A10 (1995) 785-797.

[92] B.Simons,P.Lee,B.Altshuler, Exact results for quantum chaotic systems and one-dimensional fermions from matrix models, Nucl.Phys. B409 (1993) 487

[93] А.Горский, Интегрируемые многочастичные системы в теории поля, Теоретическая и математическая физика 103 (1995) 681-710.

[94] A.Gorsky,N.Nekrasov, Relativistic Calogero-Moser systems as gauged WZW theory, Nucl.Phys. B436 (1995) 582-608.

[95] A.Gorsky,A.Marshakov Towards effective topological gauge theories on the spectral curves, Phys.Lett. B374 (1996) 218-224.

[96] A.Gorsky,K.Selivanov, Threshold amplitudes in field theories and integrable systems, Mod.Phys.Lett. All (1996) 1597-1604.

[97] A.Gorsky, I.Krichever, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov, Integrability and exact Seiberg-Witten solution, Phys.Lett. B355 (1995) 466 - 477

[98] A.Gorsky,A.Marshakov,A.Mironov,A.Morozov, N=2 SQCD and integrable spin chains; rational case Nf < 2NC, Phys.Lett. B380 (1996) 75-80.

[99] A.Gorsky, Integrability and supersymmetric Yang-Mills theories, preprint ITEP/TH-45 (1996) in Proceedings "Quarks-96"

[100] A.Gorsky, Peierls model and vacuum structure of N=2 SYM theory, Mod.Phys.Lett. A12 (1997) 719-727.

[101] A.Gorsky, Branes and integrability in the N=2 SYM theory, Phys.Lett. B410 (1997) 22-27

[102] A.Gorsky,S.Gukov,A.Mironov, Supersymmetric Yang-Mills theories, integrable systems and their stringy/brane origin-I, hepth 9707120 to appear in Nucl.Phys.В

[103] A.Gorsky,S.Gukov,A.Mironov, Supersymmetric Yang-Mills theories, integrable systems and their stringy/brane origin-II, hepth 9710239 to appear in Nucl.Phys.В

[104] D.Diakonov,V.Petrov, Instability of dense baryon matter and baryon number nonconservation at high energies, Phys.Lett. B275 (1992) 459-464

[105] J.M. Cornwall, On the high energy behaviour of weakly coupled gauge theories, Phys. Lett. 243B (1990) 271.

[106] M.B. Voloshin, Multiparticle amplitudes at zero energy and momentum in the field theory, Nucl. Phys. B383 (1992) 233.

[107] B.H. Smith, Summing one loop graphs in a theory with broken symmetry, Phys. Rev. D 47 (1993) 517.

[108] M.B. Voloshin, An illustrative model for nonperturbative scattering in theories with weak coupling, Nucl. Phys. B363 (1991) 425 .

[109] N.A. Voronov, I.Yu.Kobzarev, On three dimensional periodic solutions of scalar Higgs equation, JETP Lett. 24 (1976) 532

[110] E.N. Argyres, R.H.P. Kleiss and C.G. Papadopoulos, On amplitude zeros at threshold, Phys.Lett. B319 (1993) 544

[111] Н.Боголюбов,А.Изергин,В.Корепин, Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи, Москва, Наука, 1992

[112] R. Dijgraaf,G.Moore,D.Plesser, The partition function of 2D string theory, Nucl.Phys. B394 (1994) 356

[113] E.Argyres,R.Kleiss,C.Papadopulos, Multiscalar production amplitudes beyond threshold, Nucl.Phys. B391 (1993) 3

[114] L.S.Brown, Summing tree graphs at threshold in scalar theory, Phys.Rev. D46 (1992) 4125

[115] B..Dubrovin, Theta functions and nonlinear equations, UMN 36 (1981) 11

[116] J.Moser, Dynamical systems, Birkhauser, 1980

[117] D.Choodnovsky,G.Choodnovsky, Neeman system and finite - gap integration, Lett.Nuovo.Cim. 22 (1978) 47

[118] M.Ada.ms,J.Harnad,J.Hurtubise, Darboux coordinates and Liouville-Arnold integration in loop algebras, Comm.Math.Phys. 155 (1993) 385

[119] D.Diakonov,V.Petrov, Nonperturbative isotropic multiparticle production in Yang-Mills theory, Phys.Rev. D50 (1994) 266-282

[120] Yu.Makeenko, Exact multiparticle amplitudes at threshold in large N component <f>4 theory Phys.Rev. D50 (1994) 4137

[121] M.Axenides,A.Johansen,Yu.Makeenko, Exact multiparticle amplitudes at threshold in (j>4 theory with softly broken O(oo) symmetry, Nucl.Phys. B430 (1994) 51

[122] M.Voloshin, Catalized decay of false vacuum in four dimensions, Phys.Rev. D49 (1994) 2014-2018

[123] P.Tinyakov,A.Kuznetzov, False vacuum decay induced by particle collisions, Phys.Rev. D56 (1997) 1156-1169

[124] E.Witten, Coadjoint Virasoro orbits, Comm.Math.Phys. 114 (1988) 1.

[125] V.Yu.Ovsienko, B.A.Khesin, Classification of Sturm-Lioville operators, Funct.Anal.Prilozh. 24 (1990) 38.

[126] A.Alekseev and S.Shatashvili, Geometric quantization of coadjoint Kac-Moody and Virasoro orbits, Nucl.Phys. B323 (1989) 719.

[127] L.Takhtajan, Topics in quantum geometry of Riemann surfaces; two dimensional gravity, hepth 9408088.

[128] P.Ginsparg,G.Moore, Lectures on 2d gravity and 2d string theory, Cambridge University Press, 1993

[129] J.Balog,L.Feher,L.Palla, Coadjoint orbits of the Virasoro algebra and the global Liouville equation, hepth 9703045

[130] A.Turbiner, Quasiexactly solvable problems and SL(2) group, CMP 118 (1988) 467

[131] А.Ушверидзе, Квазиточнорешаемые задачи квантовой механики, ЭЧАЯ 20 (1989) 185

[132] M.Shifman, New findings in quantum mechanics (partial algebraization of the spectral problem) Int.J.Mod.Phys. A4 (1989) 2857

[133] A.Belavin,A.Polyakov,A.Zamolodchikov, Infinite conformal symmetry in two dimensional quantum field theory,Nucl.Phys. B241 (1984) 333-380

[134] F.Calogero, Solution of the one dimensional N body problem with quadratic and/or inversely quadratic pair potentials, J.Math.Phys. 12 (1971) 419;

[135] J.Moser, Three types of exactly solvable models, Adv. Math. 16 (1975) 197-220

[136] M.Olshanetsky, A.Perelomov, Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras, Phys.Peps. 71 (1981) 313

[137] A.M.Perelomov, M.A.Olshanetsky, Quantum integrable systems related to Lie algebras, Phys.Rep. 94 (1983) 6

[138] D.Kazhdan, B.Kostant, S.Sternberg, Hamiltonian group action and dynamical systems of Calogero type, Comm. on Pure and Appl. Math., Vol.XXXI, 481-507(1978)

[139] M. Olshanetsky, A. Perelomov, Toda chain as a reduced system, Theor.Math.Phys. 45 (1990) 3-18

[140] S.N.M. Ruijsenaars and H.Schneider, A new class of integrable systems and its relation to solitons, Ann. Phys. (NY) 170 (1986) 370

[141] Z.Ha, Fractional statistics in one dimension; view from an exactly solvable model, Nucl.Phys. B435 (1995) 604-638

[142] A.P.Polychronakos, Nonrelativistic bosonization and fractional statistics, Nucl.Phys. B324 (1989) 597-622

[143] L.Brink, T.H.Hansson, S.Konstein, M.A.Vasiliev, The Calogero model - anyonic representation, fermionic extention and supersymmetry, Nucl.Phys. B401 (1993) 591

[144] J.Avan,A.Jevicki, Quantum integrability and exact eigenstates of the collective string theory, Phys.Lett. B266 (1991) 35

[145] S.N.Ruijsenaars, in Integrable and superintegrable systems, ed.B.Kupershmidt(World Scientific, Singapore, 1990) 165

[146] P.Freund.A.Zabrodin, Macdonald polynomials from Sklyanin algebras; a conceptual basis for p-adic - quantum group connection, CMP 147 (1992) 277

[147] O.Babelon,D.Bernard, Sin-Gordon solitons as N body problem, Phys.Lett. B317 (1993) 363

[148] А.Мигдал, Рекуррентные уравнения в калибровочных теориях, ЖЭТФ 69 (1975) 810-822

[149] E.Witten, Two dimensional Yang-Mills theory revisited, J.Geom.Phys. 4 (1992) 3

[150] D.Gross,W.Taylor, Two dimensional QCD as a string theory, Nucl.Phys. B400 (1993) 181

[151] B.Sutherland, Exact results for a many-body problem in one dimension, Phys.Rev. A5 (1972) 1372

[152] E.Witten, The N matrix model and gauged WZW models, Nuc.Phys. B371 (1992) 191-245

[153] M.Spiegelglas,S.Yankelowicz, GjG topological field theories by cosetting Gk Nucl.Phys. B393 (1993) 301

[154] M.Blau, G. Thompson, Derivation of the Verlinde formula from Chern-Simons theory and the G/G model Nucl.Phys. B408 (1993) 345-390

[155] A.Gerasimov, Localization in GWZW and Verlinde formula, hepth 9305090;

[156] N.Nekrasov, Five dimensional gauge theories and relativistic integrable systems, hep-th 9609219

[157] N.Nekrasov and A.Lowrence, Instanton sums and five dimensional gauge theories, hep-th 9706025

[158] I.Krichever, Elliptic solutions of Kadomtsev-Petviashvili equation and integrable systems of particles, Funk.Analiz i Prilozh. 14 (1980) 282-290

[159] N.Hitchin, Holomorphic bundles and integrable systems, Duke.Math.J. 54 (1987) 91

[160] E.Markman, Holimorphic bundles and Jacobians, Comp.Math. 93 (1994) 255

[161] P.Etingof, A.Kirillov, Lame functions and affine algebras, Jr.,Duke.Math. Journ. 74(1994) 584-596

[162] V.Inozemtsev, The finite Toda lattice, Comm.Math.Phys. 121 (1989) 629-638

[163] S.N.Ruijsenaars, Complete integrability of relativistic Calogero-Moser systems and elliptic function identies, CMP 115 (1988) 127

[164] G.Arutyunov,S.Frolov, P.Medvedev, Elliptic Ruijsenaars-Schneider model from the cotangent bundle over the two dimensional current group, J.Math.Phys. 38 (1997) 5682-5689

[165] G.Arutyunov,S.Frolov, P.Medvedev, Elliptic Ruijsenaars-Schneider model via the Poisson reduction of the affine Heisenberg double, J.Phys. A30 (1997) 5051-5063

[166] G.Arutyunov,L.Chekhov,S.Frolov, R-matrix quantization of elliptic Ruijsenaars-Schneider model, q-alg 9612032

[167] S.Ruijsenaars, Action angle maps and scattering theory for some finite dimensional integrable systems; 1.The pure soliton case, CMP 110 (1987),191

[168] V.Fock, A. Rosly, Moduli of flat connections and classical r-matrix, ITEP-27/93;

[169] E.Witten, Dyons of charge e0 = 2tt, Phys.Lett. B86 (1979) 283-287

[170] A.Niemi,G.Semenoff, Gauge algebras in anomalous gauge field theories, Phys.Rev.Lett. 56 (1986) 1019-1022

[171] R.Jackiw, Quantum phases and angles, in Proceedings Trieste 1989, Frontiers in physics, 159-170

[172] E.Martinec and N.Warner, Integrable systems and supersymmetric Yang-Mills theory, Nucl.Phys. 459 (1996) 97

[173] I.Krichever, Perturbation theory in periodic problems for two-dimensional integrable systems, Math.Phys.Rev. 9 (1992) 3-105

[174] B.Dubrovin,S.Novikov, Hydrodynamics of solitonic lattices, Math.Phys.Rev. 9 (1992) 105-213

[175] А.Гуревич, Л.Питаевский, Распад начального разрыва в уравнении Кортевега-де Фриза, Письма в ЖЭТФ 17 (1973) 268-271

[176] I.Krichever, The r-function of the universal Whitham hierarchy, matrix models and topological field theories, hepth 9205110

[177] T.Nakatsu and K.Takasaki, Whitham-Toda hierarchy and N=2 supersymmetric Yang-Mills theory, Mod.Phys.Lett. All (1996) 157-168

[178] T.Eguchi and S.Yang, Prepotentials of N=2 supersymmetric gauge theories and soliton equations, Mod.Phys.Lett. All (1996) 131-138

[179] R.Donagi and E.Witten, Supersymmetric Yang-Mills theory and integrable systems, Nucl.Phys. B460 (1996) 299-334

[180] E.Martinec, Integrable structures in supersymmetric gauge and string theories, Phys.Lett. B367 (1996) 91-96

[181] H.Itoyama and A.Morozov, Integrability and Seiberg-Witten theory; curves and periods, Nucl.Phys. B477 (1996) 855-877

[182] H.Itoyama and A.Morozov, Prepotential and the Seiberg- Witten theory, Nucl.Phys. B491 (1997) 529-573

[183] A.Hanany and Y.Oz, On the quantum moduli space of vacua of N=2 supersymmetric SU(Nc) gauge theory, Nucl.Phys. B452 (1995) 283

[184] P. Argyres, D.Plesser and A.Shapere, The Coulomb phase of N=2 supersymmetric QCD, Phys.Rev.Lett. 75 (1995) 283

[185] J.Minaban and D.Nemeschansky, Hyperelliptic curves for supersymmetric Yang-Mills, Nucl.Phys. B464 (1996) 3-17

[186] Л.Тахтаджан, Л.Фаддеев, Гамильтоновы методы в теории солитонов, Москва, 1986

[187] O.Aharony and A.Hanany, Branes,superpotentials and superconformal fixed points, hepth/9704170

[188] A.Klemm, W.Lerclie, P.Mayr, C.Vafa and N.Warner, Selfdual strings and N=2 supersymmetric field theory, Nucl.Phys. B477 (1996) 746-766

[189] P.C.Argyres and A.D.Shapere, The vacuum structure of N=2 SuperQCD with classical gauge groups, Nucl.Phys. B461 (1996) 437

[190] B.Dubrovin, I.Krichever and S.Novikov, "Integrable systems - I", Sovremennye problemy matematiki (VINITI), Dynamical systems - 4 (1985) 179

[191] I.M.Krichever and D.H.Phong, On the integrable geometry of soliton equations and N=2 supersymmetric gauge theories, hepth 9604199

[192] L.D.Faddeev and N.Yu.Reshetikhin, Hamiltonian structures for integrable models of field theory, Theor.Math.Phys. 56 (1983) 847-862

[193] W.Nahm, The construction of all selfdual monopoles by ADHM method, in: "Monopoles in quantum field theories", World Scientific, 1982

[194] E.Corrigan and P.Goddard, Construction of instantons and monopoles and reciprocity, Ann.Phys. 154 (1984) 253

[195] J.Hurtubise, The classification of monopoles for the classical gauge groups, Comm.Math.Phys. 120 (1989) 613

[196] H.Airault, H.Mckean and J.Moser, Rational and elliptic solutions of the KdV equation and a related many body problem, Comm.Pure.Appl.Math. 30 (1977) 95

[197] I.Krichever and A.Zabrodin, Spin generalization of the Ruijsenaars-Schneider model, non-abelian 2D Toda chain and representation of Sklyanin algebra, hepth 9505039

[198] N.Seiberg, Five-dimensional SUSY field theories, nontrivial fixed points, and string dynamics, Phys.Lett. B388 (1996) 753

[199] K.Intriligator, D.R.Morrison and N.Seiberg, Five-dimensional supersymmetric gauge theories and degenerations of Calabi-Yau Spaces, Nucl.Phys. B497 (1997) 56

[200] N.Seiberg and D.Morrison, Extremal transitions and five dimensional supersys-mmetric fiels theories, Nucl.Phys. B483 (1997) 229;

[201] A.Brandhuber, N.Itzhaki, J.Sonnenschain, S.Theisen and S.Yankielowicz, On the M theory approach to (compactified) 5d field theories, hepth 9709010

[202] O.Aharony and A.Hanany, Branes,superpotentials and superconformal fixed points, hepth 9704170

[203] O.Aharony, A.Hanany and B.Kol Webs of (p,q) branes, five dimensional field theories and grid diagrams, hepth 9710116

[204] M.Douglas, S.Katz and C.Vafa, Small instantons,Del Pezzo surfaces and Type I theory, Nucl.Phys. B497 (1997) 155-172

[205] A.Marshakov,A.Mironov, Prepotentials in 5d and 6d theories from integrable systems,hepth 9711239

[206] Е.Склянин, О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера, ФАН 16 (1982) 27-34

[207] Е.Склянин, О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера. Представления квантовых алгебр, ФАН 17 (1983) 34-48

[208] A.Gorsky, A.Marshakov, A.Mironov and A.Morozov,A note on spectral curve for the periodic homogeneous XYZ spin chain, hepth 9604078

[209] I.Brunner and A.Karch, Branes and six dimensional fixed points, hepth 9705022

[210] U.H.Daniellson, G.Ferretti, J.Kalkkinen and P'.Stjernberg, Notes on Supersym-metric Gauge Theories in Five and Six Dimensions, Phys.Lett. B405 (1997) 265270

[211] O.Ganor,N.Seiberg and D.Morrison Branes, Calabi-Yau spaces, and toroidal com-pactifications of the N = 1 six dimensional E8 theory, Nucl.Phys. B487 (1996) 93

[212] N.Seiberg and E.Witten, Comments on String Dynamics in Six Dimensions, Nucl.Phys. B471 (1996) 121

[213] E.Witten, New "gauge" theories in six dimensions, hepth 9710065

[214] C.Vafa,N.Liong, Branes and toric geometry, hepth 9711013

[215] P.Aspinwall, B.Greene and D.Morrison, Calabi-Yau moduli space, mirror manifolds, and space-time topology change in string theory, Nucl.Phys. B416 (1993) 414

[216] V.V.Batyrev, Variations of the mixed Hodge structure of affine hypersurfaces in algebraic tori, Duke.Math. J. 69 (1993) 343

[217] V.V.Batyrev, Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties, J. Alg.Geom. 3 (1993) 493

[218] V.V.Batyrev and D. non Straten, Generalized hypergeometric functions and rational curves on Calabi-Yau complete intersections in tori с varieties, Comm.Math.Phys. 168 (1994) 493

[219] P.M.Sutcliffe, Seiberg-Witten theory, monopole spectral curves and affine Toda solitons, Phys.Lett. B381 (1996) 129

[220] D.-E.Diaconescu, D branes, monopoles and Nahm equation, hep-th 9608163

[221] N.J.Hitchin, Monopoles and geodesies, Comm.Math.Phys. 83 (1982) 579

[222] N.J.Hitchin, On construction of monopoles, Comm.Math.Phys. 89 (1983) 145

[223] М.Атья, Н.Хитчин, Геометрия и динамика магнитных монополей, Москва, 1987

[224] A.Sen, F-theory and orientifolds, Nucl.Phys. B475 (1996) 562-578

[225] A.Sen, BPS states on a three brane probe, Phys.Rev. D55 (1997) 2501-2509

[226] M.Douglas,M.Li, D brane realization of super Yang-Mills theory in four dimensions, hepth 9604041

[227] J.Gibbons and T.Hermsen, A generalization of the Calogero-Moser system, Phys-ica Dll (1984) 337

[228] I.Krichever, O.Babelon, E.Billey and M.Talon, Spin generalization of the Calogero-Moser system and the matrix KP equation, hepth 9411160

[229] N.Nekrasov, Holomorophic bundles and many-body systems, Comm.Math.Phys. 180 (1996) 587-604

[230] B.Enriquez,V.Rubtsov, Hitchin systems, higher Gaudin operators and r-matrices, alg-geom 9503018

[231] С.Бразовский,И.Дзялошинский,И.Кричевер, Дискретная модель Пайерлса, ЖЭТФ 83 (1982) 389

[232] И.ДзялошинскийД.Кричевер, Звук и волна зарядовой плотности в дискретной модели Пайерлса, ЖЭТФ 83 (1982) 1576

[233] E.Witten, Small instantons in string theory, Nucl.Phys. B460 (1996) 541-559

[234] A.Strominger, Open p-branes, Phys.Lett. B383 (1996) 44-47

[235] O.Ganor,A.Hanany, Small Eg instantons and tensionless noncritical string, Nucl.Phys. B474 (1996) 122-140