Структуры и статистические особенности калибровочного поля в низкоразмерных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Протогенов, Александр Павлович

• Протогенов, Александр Павлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Протогенов, Александр Павлович

Содержание

Введение

Глава 1. Сильные корреляции в 2+1-мерных системах

1.1. Сильные корреляции и структура основного состояния

1.2. Статистика возбуждений в 2+1-мерных системах

1.3. Распределение спиновых степеней свободы

Глава 2. Некоторые свойства фазовых состояний

2.1. Симметрии черн-саймоновских систем

2.2. Зависимость критических индексов от ^-параметра

2.3. Причина маргинальных свойств ферми-жидкости

Глава 3. Особенности неабелевых калибровочных полей

3.1. Статические самодуальные конфигурации

3.2. Распределения поля с полуцелым топологическим зарядом

3.3. Состояния и спектр фермионов в калибровочном поле

3.4. Дальнодействующие силы между зарядами

Глава 4. Статистические свойства сильно коррелированных систем

4.1. Функция распределения в энионных системах

4.2. Статистика с обобщённым принципом исключения состояний

4.3. Квантово-групповая диффузия по корням из единицы

Глава 5. Калибровочные поля в модели (2 + 1 )D нелинейного уравнения

Шрёдингера

5.1. Калибровочно-инвариантное (2 + 1 )D

нелинейное уравнение Шрёдингера

5.2. Топологические эффекты в непрерывном пределе

5.3. Дискретная динамика

Заключительные замечания

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структуры и статистические особенности калибровочного поля в низкоразмерных системах»

Введение

Проблемы теории калибровочного поля занимали одно из центральных мест в исследованиях в области теории поля, проведенных в течении последних тридцати лет. Каждое существенное продвижение в понимании динамики калибровочного поля - перенормируемость, асимптотическая свобода, приводило к новому всплеску интереса и стимулировало появление нового потока работ. Наиболее яркий пример этого явления связан с открытием инстантона, которое инициировало обширные исследования классических конфигураций калибровочного поля, продолжающиеся до настоящего времени. Предметом тщательного изучения были, в частности, статические конфигурации поля в различной геометрии и для различных групп внутренней симметрии. При этом основное внимание было обращено на изучение калибровочных полей в пространственно трёхмерном случае.

В последние годы центр тяжести исследований сместился в область изучения явлений, протекающих в системах с пониженной пространственной размерностью. Во многом это было обусловлено открытием высокотемпературной сверхпроводимости. В результате детальных экспериментальных и теоретических исследований высокотемпературных сверхпроводников возникло убеждение, что сверхпроводящее состояние и многие необычные эффекты в так называемом нормальном состоянии - это существенно пространственно двумерные явления. Существование антиферромагнитного диэлектрического состояния в родительских соединениях и его разрушение из-за допинга послужило основанием для использования модели Хаббарда. Ограничение проблемы изучением основного состояния и структуры низкоэнергетических возбуждений привело при теоретическом анализе к £ — 3 модели. Формально £ — 3 модель может быть получе-

на из модели Хаббарда, как её низкоэнергетический предел, за счёт исключения из пространства состояний дважды оккупированных на узле решётки состояний с различной ориентацией спина.

Наличие связей, исключающих из гильбертова пространства такие состояния, обуславливает, как обычно, существование калибровочного поля. Особенность калибровочных корреляций в пространственно-двумерной системе состоит в разделении спиновых и зарядовых степеней свободы электрона и распределении их между различными возбуждениями, а также оказывается тесно связанной с характерной для этой пространственной размерности промежуточной или дробной статистикой возбуждений.

При развитии калибровочной теории сильных электронных корреляций в пространственно двумерных системах в последнее время использовался опыт, полученный при изучении другого планарно-го явления - квантового эффекта Холла. Учёт в лагранжиане члена Черна-Саймонса в длинноволновом приближении, использование средств, применяемых в точно решаемых решёточных моделях, употребление широкого спектра преобразований симметрии состовляет содержание подходов, использованных при изучении калибровочных корреляций в пространственно двумерных системах. Разработка таких подходов, изложенных в диссертации, представляет собой актуальную задачу как для теоретической физики в целом, так и с точки зрения приложений. Актуальность изучения особенностей калибровочного поля в системах с редуцированной размерностью обусловлена как обнаружением новых фазовых состояний в этих системах, так и общей тенденцией изучать явления в наномасштабной области. В связи с обнаружением квантовой группы в черн-саймоновских системах изучение их представляет собой также актуальную общефизическую задачу. Изложению теоретических результатов, полученных

автором в рамках указанной проблематики в течение двадцати пет, посвящена диссертационная работа.

Цепью работы было:

- разработка модели, описывающей сильные спиновые корреляции в двумерных системах с нарушенным антиферромагнитным порядком; исследование микроскопических причин, обеспечивающих справедливость гипотезы о маргинальном поведении электронной жидкости в пространственно-двумерной системе;

- описание иерархии фазовых переходов в решеточной Д/у-модели, учитывающей топологические ограничения; исследование влияния топологических слагаемых в действии на критические показатели корреляционных функций;

- построение точных решений уравнений само дуальности в статическом случае для различных групп внутренней симметрии; изучение связи таких решений с конфигурациями калибровочного поля, имеющими полуцелый топологический заряд;

- анализ влияния решений с особенностями калибровочного поля на структуру источников поля и движение фермионов, а также изучение синглетных по цвету дальнодействующих потенциалов;

- изучение функции распределения возбуждений в сильно коррелированных (2 + системах; постановка и точное решение задачи о квантово-групповой диффузии в случае параметра деформации, являющемся корнем из единицы;

- рассмотрение динамики калибровочного поля в модели (2 + 1)1) нелинейного уравнения Шрёдингера и свойств коллапсирующих распределений на пространственно-временной решётке при учёте калибровочных полей Черна-Саймонса.

Опишем распределение по главам диссертации задач и их решений, реализующих указанные цели. В работах, посвящённых изучению калибровочного взаимодействия в пространственно двумерных системах, использовались различные подходы. На первом этапе основное внимание было сосредоточено на способах формулировки проблемы в терминах калибровочно-инвариантных средних величин и на введении в теорию топологических характеристик. Основная трудность большинства задач теории сильных калибровочных корреляций состоит в том, что в них отсутствует малый параметр. Поэтому любое обсуждение носит вынужденно качественный характер. Выйти за эти пределы можно лишь с помощью численного эксперимента или точного решения. В таких условиях большое значение приобретают различные качественные методы, позволяющие получить некоторые результаты, не прибегая к детальному решению задачи, а пользуясь знанием средних характеристик. Изложение такого подхода, составляющего содержание первого раздела первой главы диссертации, представляет собой шаг, необходимый для перехода к более полному описанию. Характерной особенностью пространственно двумерных систем является существование сильных длинноволновых корреляций. Они рассматриваются во втором разделе. Формулировка черн-саймоновского калибровочного механизма, обеспечивающего реализацию промежуточной статистики, приводится в третьем разделе. Здесь же приведено решение задачи о квазиклассических конфигурациях полей, которые описывают распределение спиновых степеней свободы.

Фазовое состояние с развитыми движениями калибровочного поля, которые описывают конфигурации с различной раз ориентацией спина как внутри ячейки, так и на больших расстояниях, называют квантовой спиновой жидкостью. При этом имеют в виду, кроме от-

сутствия малого параметра, ещё одно обстоятельство. Характерный размер области с нарушенным антиферромагнитным расположением спина порядка расстояния между такими областями. Он определяется концентрацией созданных, благодаря допингу, дефектов спиновой текстуры и составляет величину порядка 10~7 см. Это всего лишь в несколько раз превышает постоянную решётки.

При переходе к длинноволновому описанию при помощи сглаженных на масштабе решётки полей существенно сохранить основную информацию от динамики на малых расстояниях. Такое наследие от малых расстояний в условиях сильного взаимодействия содержит, в частности, информацию топологического характера, что обсуждается в первом разделе второй главы. Она отражается, прежде всего, в значениях критических показателей корреляционных функций. Анализ этой зависимости содержится во втором разделе второй главы. Топологические особенности проявляются также на виде спектра квазичастиц и в поведении функции Грина. В третьем разделе второй главы приводятся аргументы в пользу справедливости гипотезы о маргинальном поведении спиновой жидкости в пространственно двумерных системах. Термин "маргинальная Ферми-жидкость" означает, что одночастичная функция Грина имеет спектральный вес, который как функция энергии обращается в ноль на поверхности Ферми. Необходимые для такого поведения функции Грина зависимости мнимой части зарядовой и спиновой восприимчивости от частоты можно получить, как показано в третьем разделе, если учесть особенности спектра квазичастиц в фазовых состояниях с потоком калибровочного поля.

В проблемах сильных калибровочных корреляций в пространственно двумерных спиновых системах часто используют подходы, разработанные при изучении классических конфигураций калибровочного

поля. После открытия инстантона основные усилия в этой области были направлены на детальное исследование (и применение) решений уравнений дуальности. В первом разделе третьей главы приводится пример точного решения уравнений дуальности в статическом случае. Они описывают распределения калибровочного поля с ненулевым значением магнитного и электрического зарядов. Такие конфигурации получили название дионов. Знание особенностей поведения дионных конфигураций оказалось очень полезным для анализа решений уравнений движения калибровочных полей с полуцелым значением топологического заряда, так называемых меронов. Особенности меронных распределений обсуждаются во втором разделе третьей главы. Характерные свойства конфигураций калибровочного поля используются для изучения структуры источников поля и движения фермионов в этих полях, а также для исследования дальнодействую-щих сил между синглетными по цвету зарядами. Изложению этих вопросов посвящен третий и четвёртый раздел третьей главы. Отметим здесь же, что несмотря на то, что большинство подходов и результатов калибровочной теории поля нашло применение в теории сильных спиновых корреляций в двумерных системах, использование некоторых из них, например аналога меронных распределений, только начинается.

Калибровочное взаимодействие в планарных системах наряду с Бом-Аароновской спецификой имеет много общего с взаимодействием в пространственно трёхмерных системах. В частности, в том и в другом случаях оно обеспечивает конфайнмент квантовых чисел, о б су ж давшийся во втором разделе второй главы. С точки зрения других возможных фазовых состояний, особая роль пространственно двумерных систем проявляется в том, что в них реализуется высокотемпературная сверхпроводимость. Помещая изучаемую систему

во внешнее попе, мы получаем информацию о свойствах состояний. Различные фазовые состояния проявляют себя различным образом по отношению к внешнему воздействию. Реакция сверхпроводящего состояния например, благодаря жёсткости, весьма специфична в этом отношении. В частности, из-за изменения функции распределения квазичастиц в связи со сдвижкой химпотенциала изменяется и отклик на внешнее поле.

Дальнодействующее калибровочное взаимодействие может быть устранено из гамильтониана с помощью калибровочного преобразования. В результате изменяются трансформационные свойства волновой функции системы частиц отностительно их перестановки. Волновая функция приобретает фазовый множитель, вообще говоря, отличающийся от множителя в Ферми и Бозе случаях. Причина состоит в том, что в пространственно двумерных системах состояния классифицируются в соответствии с неприводимыми представлениями группы кос, а не группы перестановок. Эта альтернатива - взаимодействующие с помощью Бом-Аароновских потенциалов частицы со стандартной статистикой или свободные частицы с промежуточной статистикой, хорошо известна в низкоразмерной теории поля. Однако проблема изучения равновесной статистической функции распределения возбуждений в пространственно-двумерных системах по-прежнему является актуальной задачей. В первом разделе четвёртой главы приводится её решение. Показано, что полученная с использованием виттеновского результата усреднения петлевого оператора Вилсона функция распределения допускает интерпретацию в терминах сдвижки значения химического потенциала. Его значение содержит вклад, происходящий от квантово-групповой деформации статистического веса и, соответственно, энтропии. Появление эффекта деформации размерности неприводимого представления явля-

ется универсальным свойством низкоразмерных систем с внутренними степенями свободы. Во втором разделе четвёртой главы показано, что такая квантово-групповая структура возникает в результате точного решения уравнений для функции распределения в системах с обобщённым принципом исключения состояний, совпадающих в высокотемпературном пределе с уравнениями термодинамического Бете-анзатца.

В последние годы проблемы теории и приложений квантовых групп привлекают большое внимание. Среди областей, где используется аппарат квантовых групп, укажем точно решаемые модели с учётом граничных эффектов, а также важную задачу о движении частицы на двумерной решётке во внешнем магнитном поле. В третьем разделе четвёртой главы рассматривается постановка проблемы о случайном блуждании по узлам, которые распределены как корни из единицы. Она сводится к построению д-деформированного аналога уравнения диффузии для параметра деформации д, являющимся корнем из единицы. В этом разделе приводятся общее решение задачи, которое содержит, в частности, обобщение гауссова распределения вероятностей для рассматриваемой дискретной модели.

Пятая заключительная глава посвящена рассмотрению структуры калибровочного поля в модели (2+1 )Б нелинейного уравнения Шрёдингера и его влиянию на формирование особенностей коллапси-рующих распределений в непрерывном пределе и на пространственно-временной решётке. В первом параграфе поясняется причина включения в рассмотрение Черн-Саймоновских калибровочных полей в "классической" модели (2+1)В нелинейного уравнения Шрёдингера, а также ставится задача о величине топологических эффектов в этой системе. Второй раздел содержит анализ уравнений движения в непрерывном случае и результатов, следующих из его численного инте-

грирования. В третьем параграфе сформулированы уравнения движения в дискретной (2+1)Б модели. Здесь приведены результаты численного решения проблемы.

Приоритет изложенных в диссертации исследований закреплен ссылками на работы автора в статьях, вышедших в нашей стране и за рубежом. Научные результаты, полученные в работах автора, вошли в ряд обзоров. В диссертации развиты новые направления современной калибровочной теории поля в системах с редуцированной размерностью. Одно из них связано с использованием метода статистического калибровочного взаимодействия Черна-Саймонса. Другое берёт своё происхождение из задачи о квантово-групповом случайном блуждании по корням из единицы. В диссертации найдено её точное решение. Другими двумя примерами являются точные решения для статических уравнений дуальности, а также вид равновесной функции распределения возбуждений в изучаемых системах.

Результаты, представленные в диссертации, а также развитые в ней методы и подходы к решению задач способствовают формированию представлений о характере особенностей калибровочного поля в низкоразмерных системах и являются основой для проведения дальнейших теоретических работ в близких областях. Они находят применение в теории сильных спиновых корреляций для анализа и оценки основных характеристик равновесных состояний.

Перечислим основные положения, выносимые на защиту:

- найдены квазиклассические спиновые конфигурации, отвечающие нейтральным возбуждениям, которые являются анионами. Предложен энионный механизм сильных корреляций как возможная причина перехода в высокотемпературное сверхпроводящее состояние;

- предложена размерная редукция, позволяющая связать топологические слагаемые в действии 3 + 1-размерных систем с действием

Черна-Саймонса и последнее - с гауссовой теорией в 1+1-размерности Этот механизм молено рассматривать как способ погружения низкоразмерных систем в объемлющее физическое пространство;

- в представлении кулоновского газа электрических и магнитных зарядов ¿удг-модели, описывающей когерентный круговой обмен с учётом источников топологических возбуждений, в канале с изменением электрического заряда обнаружена зависимость критических показателей корреляционных функций от топологического -^-параметра;

-дано обоснование гипотезы о маргинальном поведении одноча-стичной функции Грина в нормальном состоянии планарных сильно коррелированных систем. Для доказательства предложенной для этих систем зависимости диссипативных частей спиновой и зарядовой восприимчивостей от частоты использованы особенности спектра квазичастиц в фазах с потоком калибровочного поля;

- найдены точные статические решения уравнений дуальности для ви(2)~ и 3) групп внутренней симметрии. Показано, что для полученных конфигураций калибровочного поля электрический и магнитный заряды отличны от нуля;

- исследованы особенности конфигураций калибровочного поля и отвечающие им источники. Изучен спектр фермионов в этих полях в нерелятивистском и релятивистском случаях, а так же найден вид дальнодействующих сил между зарядами в синглетном по цвету состоянии;

- обнаружено, что эффект смещения химического потенциала на величину, зависящую от д-деформированной размерности неприводимого представления квантовой группы с параметром деформации, являющимся корнем из единицы, определяет вид функции распределения возбуждений в системах с дробной статистикой;

- в высокотемпературном приближении найдены точные решения

уравнений для статистических весов в системах с халдейновским обобщённым принципом исключения состояний; полученный ответ определяется д-деформированной размерностью неприводимого представления квантовой группы, обеспечивая тем самым универсальное поведение термодинамических функций в высокотемпературном пределе;

- предложена дискретная модель для описания случайного блуждания по состояниям на геометрической решётке, определяемой значениями потоков калибровочного поля. Для параметра деформации д, являющимся корнем из единицы, найдены точные решения д-деформированного уравнения диффузии;

- проведено численное исследование структуры калибровочного поля в модели (2+1)0 нелинейного уравнения Шрёдингера и особенностей переходного режима в явлении самофокусировки в непрерывном пределе и в случае определения полей Черна-Саймонса на (2 + 1)2) решётке. Показано, что компактификация калибровочных полей Черна-Саймонса приводит к устранению трудностей непрерывной модели и предказанию существования переходной области, характеризующейся иерархической последовательностью коллапсов, которые нумеруются коэффициентом Черна-Саймонса. С использованием найденных нулевых мод вычислена зависимость критической мощности N от коэффициента Черна-Саймонса.

Данная диссертация выполнена в Институте прикладной физики РАН. Ее результаты опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21] и докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах: на I, II и III Всесоюзных совещаниях по высокотемпературной сверхпроводимости (Харьков, 1988; Киев, 1989; Харьков 1991), Международных симпозиумах по высокотемпературной сверхпроводимости (Дубна, 1988

и 1990), Международной рабочей группе по теории высокотемпературной сверхпроводимости (Лейпциг, 1989), Рабочем совещании - семинаре "Проблемы высокотемпературной сверхпроводимости" (Киев, 1989), Всесоюзном совещании "Магнитные свойства и радиоспектроскопия ВТСП материалов" (Казань, 1989), Всесоюзном семинаре "Оптическая спектроскопия высокотемпературных сверхпроводников" (Черноголовка, 1989), Международном симпозиуме "Двумерные электронные системы" (Звенигород, 1989), XXVI Всесоюзном совещании по физике низких температур (Донецк, 1990), Международной конференции "Высокотемпературная сверхпроводимость и лока-лизационные явления" (Москва, 1991), III Международной конференции "Материалы и механизмы высокотемпературной сверхпроводимости" (Каназава, 1991), 37-й Международной конференции "Магнетизм и магнитные материалы" (Хьюстон, 1992), Международной рабочей группе "Низкоразмерные модели в статистической физике и двумерная квантовая теория поля" (Вена, 1993; Шладминг, 1995), Всесоюзных семинарах по калибровочной теории поля (Черноголовка, 1978 и 1979), Всесоюзных семинарах по теоретической физике (Одесса, 1976 и 1981), Научных сессиях по физике высоких энергий и элементарных частиц Отделения ядерной физики АН (Москва, 1981 и 1982), Всесоюзной школе-семинаре научного Совета АН по физике низких температур (Бакуриани, 1991; Севастополь, 1993), Школе "Кауровка - 24" "Сильно коррелированные двумерные спиновые системы" (Свердловск, 1992), Международных рабочих группах "Сильные корреляции и квантовые критические явления" (Триест, 1992 и 1994), Международной школе по нелинейным волнам (Нижний Новгород, 1995), Международной конференции ГЮКОГГА "Физика двумерного электронного газа" (Копенгаген, 1995), III конференции "Статистическая теория поля" (Триест, 1998), XI Международной

конференции "Проблемы квантовой теории поля" (Дубна, 1998), а также на семинарах ИТФ им. Л.Д. Ландау, 1СТР, ЭК^А, ИФП РАН, ИФТТ РАН, ФТИ им. А.Ф. Иоффе, ЛИЯФ РАН, ФТИНТ, ИРЭ УАН, КазФТИ, ИПФ РАН, НИРФИ, МИФИ, ННГУ и НГТУ.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы, включая список работ автора, в которых изложены основные результаты. Результаты отдельных глав опубликованы в следующих работах: главы 1 - [1, 2, 3], главы 2 -[4, 5, 6, 7, 8], главы 3 - [9, 10, 11, 12, 13], главы 4 - [14, 15, 16, 17, 18], главы 5 - [19, 20, 21]. Содержание диссертации изложено на 200 страницах машинописного текста и дополнено 22 рисунками и 2 таблицами. Список литературы включает 275 наименований.

1 Сильные корреляции в 2+1-мерных системах

1.1 Сильные корреляции и структура основного состояния

Для пояснения причины появления дальнодействующего калибровочного взаимодействия и его специфики в пространственно двумерных системах начнём обсуждение с проблемы моттовского фазового перехода металл-диэлектрик. Такой подход мотивирован результатами многочисленных экспериментальных работ, в которых было установлено, что построенные не основе окислов меди слоистые материалы, испытывающие после допирования высокотемпературный сверхпроводящий переход, изначально являются антиферромагнитными диэлектриками. Появляющаяся в результате допирования система дырок ещё до перехода в сверхпроводящее состояние характеризуется свойствами, которые отличаются от таковых в случае стандартной ферми-жидкости металлов. Основная причина неприменимости теории ферми-жидкости для описания заряженных дырок состоит в том, что сильное отталкивание на малых расстояниях между зарядами порождает дальнодействующее поперечное калибровочное взаимодействие. Чтобы рассмотреть механизм этого явления более подробно, обратимся к модели Хаббарда, описывающей фазовый переход металл-диэлектрик. Это даст возможность, наряду с изложением результатов [1], описать необходимые для использования в следующих разделах технические средства. Поэтому первый параграф будет носить также вводный характер.

В модели Хаббарда [22] гамильтониан имеет вид:

н = £ (4гсз<т + + ит,пипп > (1-1-1)

(г, Л,(г 1

ща = с1ааа . (1.1.2)

Здесь riia- - оператор числа частиц, сг(Г ) - оператор уничтожения (рождения) электрона со спином <т на узле г, t - амплитуда тунне-лирования между соседними узлами двумерной квадратной решётки (это обозначено при суммировании скобками (¿,j) ). Она задаёт масштаб, определяющий ширину энергетической зоны. U - энергия отталкивания фермионов со спином 1/2 на одном узле. Эта величина определяет расстояние между зонами так, что при U t мы имеем дело с диэлектриком, тогда как в противоположном пределе t >> U - с проводником. Положение химического потенциала зависит от среднего числа ñ¡ электронов на узле. В металлическом состоянии без допирования условие

ñi = (E4*«r) = i (1-1.3)

соответствует наполовину заполненной зоне. В случае же диэлектрика химический потенциал лежит в центре запрещённой зоны и равен U/2 , а состояния | 0), ||), Ц) нижней зоны отделены от состояний IT!) = 44 I веРхней зоны большим энергетическим интервалом U >> t. По существующим оценкам в планарных соединениях на основе окислов меди t/U ~ 0,1.

Воспользуемся этим малым параметром для изучения основного состояния и свойств низкоэнергетических возбуждений. Во втором порядке теории возмущений по параметру t/U, ограничиваясь пространством низко лежащих по энергии однократно занятых состояний |0), |t), ||) с помощью проекционного оператора Гуцвиллера

Р = П(1 - Пгт) (1-1-4)

i

получаем [23] из (1) гамильтониан t — J модели:

Я-íE (aíaaj<y + а%айУ) + J - ^UiTlj) , (1.1.5)

«»V = Сг<г( 1 - Щ-е) , (1.1.6)

где / = 4£2/{7, «г- матрицы Паули, сг и а,/3 = (ТЛ) ~ спиновые индексы.

В условиях близости к половинному заполнению 1 — п <С 1, когда ¿(1 — п) <С первое слагаемое в выражении (1.1.5) пренебрежимо мало по сравнению со вторым. Ниже всюду мы ограничимся этим случаем. Такой предел означает, что малое количество дырок помещено в состояние, сформированное вторым слагаемым в (1.1.5). Весь последующий анализ будет базироваться на предположении, что фазовое состояние, сформированное вторым слагаемым в выражении (1.1.5), не разрушается при небольшом допировании.

Рассматриваемая ситуация по сравнению с канонической физикой металлов, где кинетическая и потенциальная энергия одного порядка, исключительна, так как кинетическая энергия дырок (первое слагаемое в (1.1.5)) сейчас мала и основным является гамильтониан Гей-зенберга

Л = (1.1.8)

Последний эквивалентен четырёхфермионному гамильтониану

1

Я = - — V

9

(1.1.9)

Малось квадратичных по операторам сга слагаемых и, вследствие этого, отсутствие возможности классифицировать состояния, начиная с состояний невзаимодействующих частиц, ведёт к сильным калибровочным корреляциям.

Различные по форме записи гамильтонианы (1.1.8) и (1.1.9) заставляют нас, оперируя привычными терминами теории среднего поля,

предполагать различный вид параметра порядка. Например, для гамильтониана (1.1.8) можно было бы думать о различных возможностях в распределении по решётке среднего спина (Sz) = (l/2)(cfauapcip) В частности, в антиферромагнитном состоянии (S¿) = (—1)гш, m = const; при альтернативном упорядочении (S?-) = (—l)lx m моментов m вдоль оси х и т.д.

Для описания классификации состояний [24, 25, 78, 27] для гамильтониана в форме (1.1.9) введём [27] оператор перескока

Xij = ^EcicJa. (1.1.10)

¿-1 а

Его среднее значение, имеющее смысл амплитуды вероятности [28]

перескока с узла j на узел i с параметризацией в виде j j

Xij = ^Efe) = ~\Xij\ ехр(-2тгг / adl) , (1.1.11)

La J.

г

можно использовать для изучения свойств фаз с различным геометрически правильным или хаотическим распределением по решётке комплексных переменных Xij (см- рис.1).

Состояния с различными конфигурациями величин Xij или (Sz) как-то распределены по энергетической шкале. Поэтому заранее не ясно, чем один способ выбора переменных теории среднего поля предпочтительнее, чем другой. Теория среднего поля, вообще говоря, может и не иметь области применимости. Фактически это вопрос о локальной устойчивости состояний с различными конфигурациями величин Xij или (Si) и о структуре состояния с абсолютным минимумом энергии. Основанием для предпочтения описания в терминах Xij может быть следующее соображание.

В выражении (1.1.11) калибровочное поле а определено на звене ij и параметризует фазу

j

в — 27гг J adl (1.1.12)

г

(а) (б)

■

-

Г 1

(в) (г)

I

I I

(д)

(е)

Рис. 1. Распределение амплитуд вероятности перескока на решётке, а - Однородное случайное распределение. б-Димерная фаза. в - Распределение в виде ячеек, г - Фаза с потоком; цифры на рёбрах указывают распределение индексов переменных Д ~ Распределение при наличии допинга, е - Зигзагообразное распределение амплитуд

амплитуды вероятности перескока. Обратим внимание на неинвариантность амплитуд перескока относительно локальных фазовых вращений с^ Cj ехр(г<^?). Другими словами, величины не ин~ вариантны относительно калибровочных преобразований:

= а + (1.1.13)

Наблюдаемыми могут быть только калибровочно-инвариантные величины. Например, для произвольной ячейки с вершинами в точках величина

ЩС) = (ГШ = (ЬзЪкХыХи) ~ ехр(-2тггФ) (1.1.14)

с

является калибровочно инвариантной. Она зависит от потока

^ = ~{0и + 0^ + вк1 + ви) (1.1.15)

¿7Г

статистистического магнитного поля через ячейку. Здесь принято, что в системе единиц, когда К, с и е равны единице, квант потока Ф0 = с%/е = 1. Если значения потока Ф = р/д через элементарную ячейку пронумеровать с помощью взаимно простых чисел р и д, то при разных р ж q мы будем иметь дело с серией состояний, получившей в литературе [29] название фазовых состояний с потоком. Такие синглетные состояния, подобно антиферромагнитному, имеют малый радиус корреляции. Вместо антиферромагнитного параметра порядка (в;) = (—1)гш основное сотояние охарактеризовано сейчас нелокальным параметром порядка И^(С), зависящим от произвольного контура С на решётке. Калибровочное поле резонансной валентной связи [28] (см. выражения (1.1.10, 1.1.11)) выступает здесь как средство для описания основного состояния и возбуждений. Построенный с его помощью параметр порядка (1.1.14) имеет вид среднего значения петлевого оператора Вилсона. Поток Ф, от которого зависит параметр порядка, определяет также (см. ниже) топологический

заряд скирмионов:

Ф - еаЪс£гз / Л2Х в^д^0 .

(1.1.16)

С этой точки зрения основное состояние с ненулевым значением потока может быть интерпретировано как скирмионный конденсат.

Сделаем несколько упрощающих преобразований. Гамильтониан в форме (1.1.9) с четырёхфермионным взаимодействием может быть получен после интегрирования по переменным Хаббарда-Стратонови-

ча Хц из гамильтониана

Такая теория среднего поля хорошо работает для группы Б11{1V) при больших N. Выражение (1.1.17) описывает движение заряженных частиц во "внешнем" магнитном поле с векторным потенциалом а, который определяет значения динамических фазовых переменных Хг? — —1x^1 ехР(—Поступим в иллюстративных целях ещё более грубым образом. Оставим в (1.1.9) вместо произведения модуль \xijl = |х|<% амплитуды вероятности перескока, а вместо второй пары операторов - выражение (1.1.11) с векторным потенциалом из (1.1.13) и запишем (1.1.9) как гамильтониан

спиновой сети случайных связей с фрустрациями. Он возник в первоначальном [30, 31] феноменологическом описании высокотемпературных сверхпроводников. Аккуратный вывод гамльтонианов (1.1.17) и (1.1.18) содержится в работах [27, 32, 33]. Гамильтонианы в виде (1.1.17) и (1.1.18) дополняют друг друга и дают, как будет видно из

2

(1.1.17)

н = К £ С08(у>,- - ^ - %)

м

(1.1.18)

дальнейшего, полную картину распределения квантовых чисел. Кроме того, они хорошо иллюстрируют основные мотивы для построения более сложной модели второго раздела второй главы. Поэтому в следующих разделах мы будем существенно опираться на выражения (1.1.17) и (1.1.18).

1.2 Статистика возбуждений в 2+1-мерных системах

Близость к диэлектрическому состоянию обуславливает, как мы видели, сильные калибровочные корреляции. Какие новые квантовые возможности вносит пространственная размерность системы? Ответ на этот вопрос известен давно [34, 35, 36, 37, 38]. Хорошо известно, что в системах с пространственно-временной размерностью 2 + 1 возбуждения имеют дробную или промежуточную статистику [34, 35, 36, 37, 38].

Понятие дробной статистики в 2 + 11)-случае естественно возникает при рассмотрении [38] системы частиц с лагранжианом

т N Л N

£ = + (1-2.1)

^ г=\ 7Г гф^

Положение каждой частицы в (1.2.1) фиксируется двумерным радиус-вектором гг-, а угловое расстояние между частицами г и у ~ азимутальным УГЛОМ <{>ц.

Последнее слагаемое в (1.2.1) - полная производная по времени, и поэтому не даёт вклада в классические уравнения движения. В квантовой механике, благодаря второму слагаемому в (1.2.1), у волновой функции при перестановке частиц индуцируется фаза. Действительно, если частица г проходит половину пути вокруг частицы ] (т.е. фц = 7г), что отвечает после трансляции перестановке частиц, у волновой функции появляется множитель ехр(г'1?). При г? = О

mod 2ir частица - бозон, при = 7Г mod 2ж частица является фер-мионом, а при произвольном г? мы имеем энион [37]. Для г? = х/2, что отвечает точной середине между фермионом и бозоном, частица получила название семиона (полуфермиона) [135]. Семион для явления высокотемпературной сверхпроводимости представляет наибольший интерес. При действующем в двумерной системе механизме Березинского-Костерлица-Таулесса объединения возбуждений в пары (см. третий раздел) пара из полуфермионов ведёт себя при перестановке с другой парой как бозон: [ехр(г7г/2)]4 = 1 [40]. На существование энионного калибровочного механизма спаривания в связи с обсуждением механизма высокотемпературной сверхпроводимости впервые было обращено внимание в работах [41, 42, 40, 43, ?, 3].

Существование промежуточной статистики в пространственно двумерных системах целиком обусловлено много связностью конфигурационного пространства системы тождественных частиц - пространства определения вектора состояния. Конфигурационное пространство тождественных частиц получается из координатного пространства идентификацией точек, полученных при любой перестановке частиц, и после исключения сингулярных точек, где координаты двух или более частиц совпадают. В трёхмерном случае конфигурационное пространство Л4 двусвязно и фундаментальная гомотопическая группа -Ki(Ai) совпадает с группой перестановок с её чётным для бозонов и нечётным для фермионов представлениями. В двумерных системах энионные возбуждения реализуют представления группы кос Bn, так как 7Ti(A4) = Bn- Соотношения между элементами 6г- группы Д/v имеют вид: &г6г+1&г- = 1, при 1 < г < п - 1 и bfij = bjfy при

|i — j| > 2 (см. рис.2).

В много связности двумерного конфигурационного пространства проще всего убедиться, рассматривая канонический импульс, кото-

2 3

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Протогенов, Александр Павлович, 1998 год

Литература

[1] Протогенов А. П. Анионная сверхпроводимость в сильно коррелированных спиновых системах // УФН. 1992. Т. 162. No. 7. С. 1-80.

[2] Protogenov А. P. Ground State Structure and Excitations in Strongly Correlated Fermi Systems // Physics Letters A. 1990. V. 144. No. 4,5. P. 269-272.

[3] Protogenov A. P. Topological Excitations and Phase Transition Hierarchy in High Temperature Superconductors // Physics Letters A. 1989. V. 142. No. 4,5. P. 285-288.

[4] Протогенов А. П. От (3+1)D топологической к (1+1)D конформной теории высокотемпературной сверхпроводимости // ФНТ. 1991. V. 17. No. 10. Р. 1249-1253.

[5] Protogenov А. P. Anyon Superconductivity as Conformal Field Theory // Physica C. 1991. V. 185-189. P. 1731-1732.

[6] Protogenov A. P., Verbus V. A. Dependence of Critical Exponents on Theta-parameter in Anyon Lattice Model // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. No. 24. P. 3776-3779.

[7] Protogenov A. P., Ryndyk D. A. Marginal Fermi-liquid in Strongly Correlated Spin Systems // Mod. Phys. Lett. B. 1994. V. 8. No. 14,15. P. 859-869.

[8] Protogenov A. P. Marginal Flux Fermi Liquid in High Temperature Superconductors // Physica C. 1994. V. 235. P. 2331-2332.

[9] Protogenov A. P. Exact Classical Solutions of Yang-Mills Sourceless Equations // Physics Letters B. 1977. V. 67. No. 1. P. 62-64.

[10] Протогенов А. П. Статические глюонные потенциалы в SU(3) калибровочной теории // ДАН. 1978. Т. 238. No. 1. С. 70-72.

[11] Protogenov А. P. Bag and Multimeron Solution of the Classical Yang-Mills Equations // Physics Letters B. 1979. V. 87. No. 1,2. P. 80-82.

[12] Протогенов А. П. Связанные состояния в поле Янга-Милса, // ЯФ. 1979. Т. 29. Т. 2. С. 534.

[13] Protogenov А. P., Potyomin G. V. Yang-Mills Potentials and the Van der Waals Force between Hadrons // Physics Letters B. 1980. V. 90. No. 4. P. 424-426.

[14] Protogenov A. P. Distribution Function in Systems with Braid Statistics // Physica B. 1994. V. 194. P. 1285-1286.

[15] Protogenov A. P. Quantum Group Statistics of Excitations in High Temperature Superconductors // Physica C. 1994. V. 235. P. 22812282.

[16] Protogenov A. P., Verbus V. A. Generalized Exclusion Statistics in the Kondo Problem // Mod. Phys. Lett. B. 1997. V. 11. No. 7. P. 283-292.

[17] Protogenov A. P., Rostovtsev Yu.V., Verbus V. A. Quantum Group Diffusion in Planar Systems // Physica C. 1994. V. 235. P. 23012302; cond-mat/9407037.

[18] Protogenov A. P. Random Walks over Wilson Loop Space // Lect. Not. Phys. 1996. V. 469. P. 309-314.

[19] Abramyan L. A., Protogenov A. P. Dynamics of Fields in Model of Gauged Nonlinear (2+l)D Schrodinger Equation // Письма в ЖЭТФ. 1996. Т. 64. N. 11. С. 807-812.

[20] Abramyan L. A., Berezhiani V. I., Protogenov A. P. Chern-Simons Contribution to the Structure of the Zero Mode of the Gauged Nonlinear (2+1)-dimensional Schrödinger Equation // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. No. 5. P. 6026-6032; hep-th/9608069.

[21] Абрамян JI. А., Вербус В. А., Протогенов А. П. Структура нулевых мод в модели дискретного (2+1 )D нелинейного уравнения Шредингера // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. N. 8. С. 747-762.

[22] Hubbard J. // Proc. Roy. Soc. A. 1963. Y. 276. P. 238.

[23] Anderson P. W. // Phys. Rev. 1959. V. 115. P. 2.

[24] Kotliar G. // Phys. Rev. В. 1988. V. 37. P. 3664.

[25] Kivelson S. A., Rokhar D. S., Sethna J. P. // Phys. Rev. В. 1987. V. 35. P. 8865.

[26] Marston J. В. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 17. P. 1914.

[27] Affleck I., Marston J. В., // Phys. Rev. B. 1988. Y. 37. P. 3774; 1989. V. 39. P. 11538.

[28] Anderson P. W. // Mat. Res. Bull. 1973. V. 8. P. 153; Science. 1987. V. 235. P. 153.

[29] Anderson P. W. // Phys. Scripta. T. 1989. V. 27. P. 60.

[30] Ebner С., Stroud D. // Phys. Rev. В. 1985. V. 31. P. 165.

[31] Morgenstern I., Müller К. A., Bednorz J. G. // Physica В. 1988. V. 152. P. 85.

[32] Khveshchenko D. V., Wiegmann P. B. // Mod. Phys. Lett. B. 1990. V. 4. P. 17.

[33] Ioffe L. В., Larkin А. I. // Phys. Rev. В. 1989. V. 39. P. 8988.

[34] Laidlaw M., De Witt С. // Phys. Rev. D. 1971. V. 3. P. 1375.

[35] Leinaas J. M., Myrheim J. // Nuovo Cimento В. 1977. V. 37. P. 1.

[36] Goldin G. A., Menikoff R., Sharp D. H. // J. Math. Phys. 1981. V. 22. P. 1664.

[37] Wilczek F. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1144; V. 49. P. 957.

[38] Wu Yong-Shi // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 2103; V. 53. P. 111.

[39] Wen X. G., Zee A. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 461.

[40] Laughlin R. B. // Science. 1988. V. 242. P. 525.

[41] Kalmeyer V., Laughlin R. B. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 2095.

[42] Kalmeyer V., Laughlin R. B. // Phys. Rev. B. 1989. V. 39. P. 11879.

[43] Laughlin R. B. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 2677.

[44] Протогенов А. П. Калибровочный механизм спаривания в высокотемпературных сверхпроводниках //Всесоюзное совещание по высокотемпературной сверхпроводимости. Тезисы доклада. Харьков. 1988. Т. 1. С. 16.

[45] Ruckenstein А. Е., Hirschfeld Р. J., Appel J. А. // Phys. Rev. В. 1987. V. 36. P. 857.

[46] Canright G. S., Girvin S. M. // Science. 1990. V. 247. P. 1197.

[47] Wilczek F., Zee A. // Phys.Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 2111.

[48] Wilczek F., Zee A. // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 2250.

[49 [50

[51 [52 [53 [54

[55 [56 [57

[58 [59 [60 [61 [62 [63 [64 [65 [66

Polyakov A. M. // Mod. Phys. Lett. A. 1988. V. 3. P. 325.

Mackkenzie R., Wilczek F. // Int. J. Mod. Phys. 1988. V. 3. P. 2827.

Polychronakos A. P. // Nucl. Phys. B. 1989. V. 324. P. 597.

Haldane F. D. M. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 635.

Shastry B. S. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 639.

Wen X. G., Wilczek F., Zee A. // Phys. Rev. B. 1989. V. 39. P. 11413.

Laughlin R. B. // Ann. Phys. N.Y. 1989. V. 191. P. 163.

Wiegmann P. B. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 821.

Dzyaloshinskii I. E., Polyakov A. M., Wiegmann P. B. // Phys. Lett. A. 1988. V. 127. P. 112.

Read N., Sashdev S. // Nucl. Phys. B. 1989. V. 319. P. 609.

Wu Y. S., Zee A. // Phys. Lett. B. 1984. V. 147. P. 325.

Wu Y. S., Zee A. // Nucl. Phys. B. 1986. V. 272. P. 322.

Din A. M., Zakrewski W. J. // Phys. Lett. B. 1984. V. 146. P. 341.

Wen X. G., Zee A. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 1937.

Schwartz A. S. // Phys. Math. Lett. 1977. V. 2. P. 247.

Siegel W. // Nucl. Phys. B. 1979. V. 156. P. 135.

Schonfeld J. F. // Nucl. Phys. B. 1981. V. 185. P. 157.

Jackiw R., Templeton S. // Phys. Rev. D. 1981. V. 23. P. 2291.

[67] Deser S., Jackiw R., Templeton S. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 975.

[68] Deser S., Jackiw R., Templeton S. // Ann. Phys. N.Y. 1982. V. 140. P. 372; P. 420; 1988. V. 185. P. 406 (E).

[69] Redlich A. N. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 18; Phys. Rev. D. 1984. V. 29. P. 2366.

[70] Белавин А. А., Поляков A. M., // Письма ЖЭТФ. 1975. Т. 22. С. 503 .

[71] Khveshchenko D. V., Wiegmann P. B. // Phys. Lett. B. 1989. V. 225. P. 279.

[72] Alvarez O. // Comnrnn. Math. Phys. 1985. V. 100. P. 279.

[73] Henneaux M., Teitelboim C. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 689.

[74] Pisarski R. D. // Phys. Rev. D. 1986. V. 34. P. 3851.

[75] Hosotani Y. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 2785.

[76] Квантовый эффект Холла: Пер. с англ. / Под ред. Р. Пренджа, С. Гирвина. — М.: Мир, 1989.

[77] Ioffe L. В., Wiegmann Р. В. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 653.

[78] March-Russel J., Wilczek F. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. P. 1066.

[79] Wen X. G., Zee A. // Phys. Rev. B. 1990. V. 41. P. 240.

[80] Wiegmann P. B. // Phys. Scripta T. 1989. V. 27. P. 160.

[81] Baskaran G., Anderson P. W. // Phys. Rev. B. 1988. V. 37. P. 580.

[82] Voruganti P., Doniach S. // Phys. Rev. B. 1990. V. 41. P. 9358.

[83] Baskaran G., Shankar R. // Mod. Phys. Lett. B. 1988. V. 2. P. 1211.

[84] Affleck I., Zou Z., Hsu Т., Anderson P. W. // Phys. Rev. B. 1988. V. 38. P. 745.

[85] Dagotto E., Fradkin E., Moreo A. // Phys. Rev. B. 1988. V. 38. P. 2926.

[86] Zou Z. // Phys. Lett. A. 1988. V. 131. P. 197.

[87] Polychronakos A. P. // Phys. Lett. B. 1987. V. 192. P. 385; Nucl. Phys. B. 1987. V. 281. P. 241.

[88] Elitzur S., Moore G., Schwimmer A., Seiberg N. //Nucl. Phys. 1989. V. 326. P. 108.

[89] Nielsen H. В., Ninomiya L. // Nucl. Phys. B. 1981. V. 185. P. 20; V. 193. P. 173; Phys. Lett. B. 1981. V. 105. P. 219.

[90] Дзялошинский И. E. // Письма ЖЭТФ. 1989. V. 50. P. 486.

[91] Lauglin R. В., Zou Z. // Phys. Rev. B. 1989. V. 41. P. 664.

[92] Libby S. В., Zou Z., Laughlin R. B. // Nucl. Phys. B. 1991. V. 348. P. 693.

[93] Polychronakos A. P. // Ann. Phys. N.Y. 1990. V. 203. P. 231.

[94] Березин Ф. A. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1974. Т. 38. С. 1116; 1975. Т. 39. С. 363.

[95] Witten Е. // Commun. Math. Phys. 1989. V. 121. P. 351.

[96] Drinfeld V. G. // Proc. ICM. Berkeley. 1986. V. 1. P. 798.

[97] Danielson U. // Phys. Lett. B. 1989. V. 220. P. 137.

[98] Bos M., Nair V. P. // Phys. Lett. B. 1989. V. 223. P. 61; Int. J. Mod. Phys. A. 1990. V. 5. P. 959.

[99] Labastida J. M. F., Ramallo A. V. // Phys. Lett. B. 1989. V. 227. P. 92; V. 228. P. 214.

100] Dijkgraaf R., Verlinde E., Verlinde H. // Commun. Math. Phys. 1988. V. 115. P. 649.

101] Alekseev A., Shatashvili S. // Commun. Math. Phys. 1990. V. 128. P. 197.

102] Polyakov A. M. // Mod. Phys. Lett. A. 1987. V. 2. P. 893.

103] Dotsenko V. S., Fateev V. A., // Nucl. Phys. B. 1984. V. 240. P. 312; 1985. V. 251. P. 691; Phys. Lett. B. 1985. V. 154. P. 291.

1041 Knizhnik V. G., Polyakov A. M., Zamolodchikov A. B. // Mod. Phys. Lett. A. 1988. V. 3. P. 819.

1051 Girvin S. M., Mac Donald A. H., Fisher M. P. A., Rey Soo-Jong, Sethna J. P. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 1671.

1061 Khveshchenko D. V., Kogan I. I. // Preprint CERN-TH-5962/90. 1990. 32p.

1071 Balatsky A. V., Fradkin E. // Phys. Rev. B. 1991. V. 43. P. 10622.

1081 Jain J. K., Read N. // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 2723.

1091 Halperin B. I., March-Rassel J., Wilczek F. // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 8726.

110] Girvin S. M. // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1992. V. 107. P. 121.

111] Fetter A. L., Hanna C. B., Laughlin R. B. // Phys. Rev. B. 1989. V. 39. P. 9679.

112] Chen Y.-H., Wilczek F., Witten E., Halperin B. I. // Int. J. Mod. Phys. B. 1989. V. 3. P. 1001.

113] Frölich J., Marchetti P. A. // Lett. Math. Phys. 1988. V. 16. P. 347; Commun. Math. Phys. 1989. V. 121. P. 177.

114] Müller V. F. // Z. Phys. C. 1990. V. 47. P. 301.

115] Lücher M. // Nncl. Phys. B. 1989. V. 326. P. 557.

116] Coste A., Lücher M. // Nucl. Phys. B. 1989. V. 323. P. 631 .

117] Fradkin E. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 322; Phys. Rev. B. 1990. V. 42 P. 570.

118] Nelson D. R., Seung S. // Phys. Rev. B. 1989. V. 39. P. 9153.

119] Obukhov S. P., Rubinstain M. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 1279.

120] Kivelson S., Kallin C., Arovas D. P., Schriffer J. R. // Phys. Rev. B. 1987. V. 36. P. 1620.

121] Wu Y.-S., Hatsugai Y., Kohmoto M. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 659.

122] 't Hooft G. // Nucl. Phys. B. 1978. V. 138. P. 1.

123] 't Hooft G. // Nucl. Phys. B. 1979. V. 153. P. 141.

124] Cardy J., Rabinovici // Nucl. Phys. B. 1982. V. 205. P. 1.

125] Cardy J. // Nucl. Phys. B. 1982. V. 205. P. 17.

1261 Witten E. // Phys. Lett. B. 1979. V. 86. P. 283.

1271 Kosterlitz J. M., Thouless D. J. // J. Phys. C. 1973. V. 6. P. 1181.

1281 Jose J., Kadanoff L., Kirkpatrick S., Nelson D. // Phys. Rev. B. 1977. V. 16. P. 1217.

1291 Hanson T. H., Karlhede A. // Mod. Phys. Lett. A. 1989. V. 4. P. 1937.

1301 Goldhaber A. S., Mackenzie R., Wilczek F. // Mod. Phys. Lett. A. 1989. V. 4. P. 4.

1311 Nienhus B. Phase Transitions and Critical Phenomena, eds. C. Domb and J. L. Lebowitz. Academic. London. 1987.

1321 Kusmartsev F. V., Luther A., Nersesyan A. // Pis'ma v ZhETF. 1992. V. 55. P. 692.

1331 Yakovenko V. M. // JETP Lett. 1992. V. 56. P. 510.

1341 Luttinger J. M. // J. Math. Phys. 1963. V. 15. P. 609.

1351 Wen X. G. // Phys. Rev. B. 1990. V. 42. P. 6623.

1361 Altshuler B. L., Aronov A. G. // Pis'ma v ZhETF. 1979. V. 30. P. 514.

1371 Anderson P. W. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 1839; 1991. V. 67. P. 2092.

1381 Varma C. M., Littlewood P. B., Schmitt-Rink S., Abrahams E., Ruckenstein A. E. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 1996.

1391 Schmitt-Rink S., Varma C. M., Ruckenstein A. E. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 445.

[140] Ruckenstein A. E., Varma C. M. // Physica C. 1991. V. 185. P. 134.

141] Azbel M. Ya. // >K9T3>. 1964. V. 64. P. 929.

142] Hoffstadter D. R. // Phys. Rev. B. 1976. V. 14. P. 2239.

143] Wannier G. H. // Int. J. Quantum Chem. 1979. V. 13. P. 413; Phys. St. Sol. B. 1978. V. 88. P. 757.

144] Wannier G. H., Obermaier G. M., Ray R. // Phys. St. Sol. B. 1979. V. 93. P. 337.

145] Kohmoto M. // Phys. Rev. B. 1989. V. 39. P. 11943.

146] Hasegava Y., Lederer P., Rice T. M., Wiegmann P. B. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 1657.

147] Peter D., Cyrot M., Mayon D., Khanna S. N. // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 9382.

148] Hasegava Y., Hatsugai Y., Kohmoto M., Montambaux G. // Phys. Rev. B. 1990. V. 41. P. 9174.

149] Wen X. G., Zee A. // Nucí. Phys. B. 1989. V. 316. P. 641.

150] Girvin S. M., MacDonald A. H., Platzman P. M. // Phys. Rev. B. 1986. V. 33. P. 2481.

151] Karrai K., Ying X., Drew H. D., Santos M., Shayegan M., Yang S.-R., MacDonald A. H. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 3428.

152] Chien T. R., Wang Z. Z., Ong N. P. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 2088.

153] t'Hooft G. // Nucí. Phys. B. 1974. V. 79. P. 276.

[154] Поляков А. М. // Письма в ЖЭТФ. 1974. V. 20. Р. 430.

[155] Dirac Р. А. // Proc. Roy. Soc. А. 1931. V. 133. Р. 60; Phys. Rev. 1948. V. 74. P. 817.

[156] Julia В., Zee A. // Phys. Rev. D. 1975. V. 11. P. 2227.

[157] Prasad M. K., Sommerfield С. M. // Phys. Rev. Lett. 1975. V. 35. P. 760.

[158] Belavin A. A., Polyakov A. M., Schwartz A. S., Tyupkin Yu. S. // Phys. Lett. B. 1975. V. 59. P. 85.

[159] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. Наука. М. 1973. С. 90.

[160] Богомольный Е. // ЯФ. 1976. Т. 24. С. 861.

[161] Hsu J. P. // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 36. P. 646.

[162] Wu Т. Т., Yang C. N. // Phys. Rev. D. 1975. V. 12. P. 3843.

[163] Polyakov A. M. // Phys. Lett. B. 1975. V. 59. P. 82.

[164] t'Hooft G. // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37. P. 8.

[165] Witten E. // Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38. P. 121.

[166] Chakrabarti A. // Ann. Inst. H. Poincare. A. 1975. V. 23. P. 235.

[167] Marciano W. J., Pagels H. // Phys. Rev. D. 1975. V. 12. P. 1093.

[168] Horvath Z., Palla L. // Phys. Rev. D. 1976. V. 14. P. 1711.

[169] Corrigan E., Olive D. I. // Nucl. Phys. B. 1976. V. 106. P. 475.

[170] Atiyah M. F., Hitchin N. J., Drinfeld V. G., Manin Yu. I. // Phys. Lett. A. 1978. V. 65. P. 185.

[171] Glimm J., Jaffe A. // Phys. Lett. B. 1978. V. 73. P. 167.

[172] de Alfaro V., Fubini S., Furlan G. // Phys. Lett. В. 1976. V. 65. P. 163; 1977. V. 72. P. 203.

[173] Jacobs L., Rebbi C. // Phys. Rev. D. 1978. V. 18. P. 1137.

[174] Callan C., Dashen R., Gross D. // Phys. Lett. B. 1977. V. 66. P. 375.

[175] Glimm J., Jaffe A. // Phys. Rev. Lett. 1978. V. 40. P. 277.

[176] Witten E. Instantons, the quark model, and the 1/N expansion, preprint HUTP-78/A042.

[177] Mecklenburg W., O'Brien D. P. // Phys. Rev. D. 1978. V. 18. P. 1327.

[178] Wu Т. Т., Yang C. N. in: Properties of matter under unusual conditions. Eds. Mark H., Fernbach S. Interscience. New York. 1969. P. 349.

[179] Филиппов А. Т. // ЭЧАЯ. 1980. V. 11. P. 735.

[180] Rosen G. // J. Math. Phys. 1972. V. 13. P. 595.

[181] Грибов В. И. Препринт ЛИЯФ. 1977.

[182] Pageis Н. // Phys. Rev. D. 1977. V. 15. P. 2991.

[183] Eichten E., Gottfried K. // Phys. Lett. B. 1977. V. 66. P. 375.

[184] Bardeen W. A., Chanowitz M. S., Drell S. D., Weinstein M., Yan T.-M. // Phys. Rev. D. 1975. V. 11. P. 1094.

[185] Chodos A., Jaffe R. L., Johnson K., Thorn С. В., Weisskopf V. F. // Phys. Rev. D. 1974. V. 9. P. 3471.

[186] Cervero J., Jacobs L., Nohl C. R. // Phys. Lett. B. 1977. V. 69. P. 351.

187] Wu T. T., Yang C. N. // Phys. Rev. D. 1976. V. 13. P. 3233.

188] Lanyi G., Pappas R. // Phys. Lett. B. 1977. V. 68. P. 436.

189] Cheng K.-S. // J. Math. Phys. 1977. Y. 18. P. 746.

190] Wu T. T., Yang C. N. // Nucl. Phys. B. 1976. V. 107. P. 365.

191] Willey R. S. // Phys. Rev. D. 1978. V. 18. P. 270.

192] Fishbane P. M., Grisaru M. T. // Phys. Lett. B. 1978. V. 74. P. 98.

193] Lee C. R., Yu J.-P. // Phys. Lett. A. 1990. V. 150. P. 63.

194] Wu L., Wu Z., Sun J. // Phys. Lett. A. 1992. V. 170. P. 280.

195] Blakemore J. S. Semiconductor Statistics. Pergamon. Oxford. 1962.

196] Awada M. // Commun. Math. Phys. 1989. V. 129. P. 329.

197] Tsvelick A. M. // J. Phys. C. 1985. V. 18. P. 159.

198] Affleck I., Ludwig A. W. W. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 161.

199] Seaman C. L., Maple M. B., Lee B. W. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 2882.

200] Haldane F. D. M. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 937.

201] Wu Y.-S. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 922.

202] Nayak C., Wilczek F. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 2740.

203] Isakov S. B. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 2150; Int. J. Mod. Phys. A. 1994. V. 9. P. 2563.

[204] Pajagopal A. K. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 1048.

[205] Murthy M. V. N., Shankar R. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 3629.

[206] Fukui T., Kawakami N., Yang S.-K. // J. Phys. Soc. Jpn. 1996. V. 65. P. 1617; Phys. Rev. B. 1995. V. 51. P. 5239; J. Phys. A. 1995. V. 28. P. 6027.

[207] Bernard D., Wu Y.-S. in: New developments of integrable systems and long-ranged interaction models. Eds. Ge M. L., Wu Y.-S. World Scientific. Sibgapore. 1995.

[208] Calogero F. // J. Math. Phys. 1962. V. 10. P. 2197.

[209] Sutherland B. // J. Math. Phys. 1971. V. 12. P. 246; Phys. Rev. A. 1971. V. 4. P. 2019.

[210] Ha Z. N. C. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 1574.

[211] Wadati M. // J. Phys. Soc. Jpn. 1995. V. 64. P. 1552.

[212] Protogenov A. P. Haldane's statistical interactions and universal properties of anyon systems. Preprint IC/95/26.

[213] Gentile G. // Nuovo Cim. 1940. V. 17. P. 493.

[214] Chou C. // Mod. Phys. Lett. A. 1992. V. 7. P. 2685.

[215] Angelopoulou P., Baskautas S., De Falco L., Jannussis A., Mignani R., Sotiropoulou A. // J. Phys. A. 1994. V. 27. P. L605.

[216] Chaichian M., Gomzales Felipe R., Montonen C. // J. Phys. A. 1993. V. 26. P. 4017.

[217] Mitra P. Preprint SISSA-191/94/EP; hep-th/9411236.

[218] Wu Lian-ao, Wu Zhao-yan, Sun Jing // Phys. Lett. A. 1992. V. 170. P. 280.

[219] Polychronakos A. P. // Nucl. Phys. B. (Proc. Suppl.) A. 1996. V. 45. P. 81.

[220] Guadagnini E., Martellini M., Mintchev M. // Nucl. Phys. B. 1990. V. 336. P. 581.

[221] Zamolodchikov Al. В. // Жур. Год. V. . P. .

[222] Klassen Т., Melzer E. // Nucl. Phys. B. 1990. V. 338. P. 485.

[223] Zamolodchikov Al. В. // Жур. Год. V. . P. .

[224] Ravanini F., Valleriani A., Taleo R. // Int. J. Mod. Phys. A. 1993. V. 8. P. 1707.

[225] Kedem P., Klassen Т. R., McCoy В. M., Melzer E. // Phys. Lett. B. 1993. V. 307. P. 68.

[226] Dasmahapatra S., Kedem P., Klassen Т. R., McCoy В. M., Melzer E. // Int. J. Mod. Phys. B. 1993. V. 7. P. 3617.

[227] Nahm W., Recknagel A., Terhoven M. // Mod. Phys. Lett. A. 1993. V. 8. P. 1835.

[228] Bercovich A. // Nucl. Phys. B. 1994. V. 431. P. 315.

[229] Kuniba A. // Nucl. Phys. B. 1993. V. 389. P. 209.

[230] Kuniba A., Nakanishi Т., Suzuki J. // Int. J. Mod. Phys. A. 1994. V. 9. P. 5215; P. 5267.

[231] Cardy J. // Nucl. Phys. B. 1989. V. 324. P. 581.

[232] Цвелик A. M. // ЖЭТФ. 1987. V. 93. P. 1329.

[233] Tsvelik A. M., Wiegmann Р. В. // Adv. Phys. 1983. V. 32. P. 453.

[234] Nozières P., Blandin A. // J. Physique 1980. V. 41. P. 193.

[235] Tsvelik A. M., Wiegmann P. B. // J. Phys. A. 1983. V. 17. P. 2321.

[236] Pryor C., Zee A. // Phys. Rev. B. 1992. V. 46. P. 3116.

[237] Altshuler B. L., Ioffe L. B. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 2979.

[238] Sugiyama T., Nagaosa N. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 1980.

[239] Majid S. // Int. J. Mod. Phys. A. 1993. V. 8. P. 4521.

[240] Majid S. Preprint DAMTP-91/16.

[241] Wiegmann P. В., Zabrodin A. V. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 1890.

[242] Schupp P. Preprint UCB-PTH-93/35.

[243] Таланов В.И. // Письма в ЖЭТФ 2(5), 218 (1965).

[244] Власов С.H., Петрищев В.А., Таланов В.И. // Изв. вузов. Радиофизика 14(9), 1453 (1971).

[245] See, for example, Singularities in Fluids, Plasmas and Optics, ed. R.E. Caflisch and G.C. Papanicolaou, NATO ASI ser., С 404, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht-Boston-London, 1993; A.G. Litvak, Dynamic nonlinear electromagnetic phenomena in plasma, in Review of Plasma Physics, ed. M.A. Leontovich, Consultants Bureau, N.Y. 1986, 10.

[246] Litvak A.G., Mironov V.A., Sergeev A.M., // Phys. Scr. T. 1990. V. 30. P. 57.

[247] Rasmussen J.J., Rypdal K. // Phys. Scr. 1986. V. 33. P. 481.

[248] Захаров В.Е. // ЖЭТФ Т. 1972. 62. С. 1749.

[249] Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. 4.2. Наука. Москва. 1978. С. 145.

[250] Кузнецов Е.А., Турицин С.К. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94(8). С. 119.

[251] Jackiw R., Pi S.Y. // Phys. Rev. Lett. 1990 V. 64. P. 2969; // (С) 1991. V. 66. P. 2682; // Phys Rev. D 1990. V. 42. P. 3500; // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1992. V. 107. P. 1.

[252] Hong J., Kim Y., Рас P.Y. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 2230.

[253] Jackiw R., Weinberg E. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 334; Jackiw R., Lee K., Weinberg E. // Phys. Rev. D 1990. V. 42. P. 3488.

[254] Barashenkov I.V., Harin A.O. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 1575; // Phys. Rev. D 1995. V. 52. P. 2471.

[255] Berge L., de Bouard A., Saut J.C. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 3907.

[256] Knecht M., Pasquier R., Pasquier J.Y. // J. Math. Phys. 1995 V. 36. P. 4181.

[257] Fuertes W.G., Guilarte J.M. // J. Math. Phys. 1996. V. 37. P. 554.

[258] Fractional statistics and anyon superconductivity, ed. F. Wilczek, World Scientific, Singapore, 1990.

[259] Laedke E.W., Spatschek K.H., Mezentsev V.K., Musher S.L., Ryzhenkova I.V., Turitsyn S.K. // Письма в ЖЭТФ 1995. Т. 62(8). С. 652.

[260] Laedke E.W., Spatschek K.H., Turitsyn S.K. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 1055.

[261] Faddeev L.D. How Algebraic Bethe Ansatz works for integrable model, Les-Houches lectures, hep-th/9605187

[262] Shapere A., Wilczek F. // J. Fluid Mech. 1989. V. 198. P. 557.

[263] Шварцбург А. в сб. Нелинейная электродинамика, под ред. П.Л.Е. Усленфи. Мир. Москва. 1980. С. 107.

[264] Moore G., Seiberg N. // Phys. Lett. В. 1988. V. 212 P. 451; 1989. V. 220. P. 422.

[265] Polyakov A.M. // Nucl. Phys. B. 1993. V. 396. P. 367.

[266] Фрайман Г.М. // ЖЭТФ. 1985. V. 88. P. 390.

[267] Петвиашвили В.И. // Физика плазмы. 1976. Т. 2. С. 469.

[268] Bazhanov V., Bobenko A., Reshetikhin N. // Commun. Math. Phys. 1996. V. 175. P. 377.

[269] Zabusky N.J., Hughes M.H., Roberts K.V. // J. Сотр. Phys. 1979. V. 30. P. 96.

[270] Мигдал А.А. в сб. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации, под ред. А.В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича. Наука. Москва. 1987.

[271] Агинштейн М.Е., Мигдал А.А. в сб. Проблемы кибернетики, под ред. Р.Е. Сагдеева и А.А. Мигдала. Научный Совет по проблемам кибернетики. Москва. 1987. 107. С. 114.

[272] Faddev L.D., Volkov A.Yu. // Phys. Lett. В. 1993. V. 315. P. 311.

[273] Faddev L.D., Volkov A.Yu. // Lett. Math. Phys. 1994. V. 32. P. 125.

[274] Wiegmann P. B. // Int. J. Mod. Phys. B. 1997. V. 11. P. 75.

[275] Вер бус В. А., Протогенов А.П. Уравнения движения и сохраняющиеся величины в неабелевых дискретных интегрируемых моделях // ТМФ, 1998 (в печати).