Исследование динамических квантово-механических систем методами обратной задачи рассеяния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Величева, Елена Петровна

• Величева, Елена Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Величева, Елена Петровна

Введение

0.1 Введение.

1 Адиабатическое представление

1.1 Введение.

1.2 Двумерные точно решаемые модели для параметрической задачи

1.2.1 Построение точно решаемых моделей в подходе Марченко

1.2.2 Построение точно решаемых моделей в подходе Гельфанда-Левитана.

1.3 Точно решаемые модели для системы уравнений калибровочного типа.

1.4 Двумерные точно решаемые модели, полученные в согласованной постановке.

1.5 Выводы.

2 Исследование проблемы пересечения уровней

2.1 Введение.48.

2.2 Проблема пересечения уровней для параметрической обратной задачи на полуоси.

2.3 Проблема пересечения уровней для параметрической обратной задачи на всей оси

2.4 Выводы.

3 Нестационарная задача в адиабатическом представлении

3.1 Введение.

3.2 Построение нестационарных потенциалов и соответствующих волновых функций через стационарные потенциалы и волновые функции.

3.2.1 Пример точно решаемой модели с временизависящим симметричным потенциалом

3.2.2 Пример точно решаемой модели с временизависящим несимметричным прозрачным потенциалом

3.3 Адиабатически изменяющиеся системы.

3.3.1 Пример исследования адиабатически изменяющейся системы.

3.4 Геометрические фазы.

3.5 Выводы.

4 Точные решения нестационарного уравнения Шредингера и их применение

4.1 Введение.

4.2 Гамильтонианы, допускающие точные решения нестационарного уравнения Шредингера.

4.3 Геометрические фазы и динамическая локализация.

4.4 Неадиабатические геометрические фазы.

4.5 Квантовые вычисления.

4.6 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование динамических квантово-механических систем методами обратной задачи рассеяния»

0.1 Введение

Задачи об эволюции динамических систем привлекают в настоящее время пристальное внимание исследователей в связи с последними достижениями в различных областях физики. Много интересных явлений таких как молекулярный Ааронов-Бом эффект [1], геометрическая фаза [2]-[4], проблема пересечения уровней [5], отождествляемая с Ландау-Зинер переходами [6, 7], динамическая локализация частиц в системах с ограниченной пространственной размерностью [9]—[12] было обнаружено в атомной и молекулярной физике, квантовой химии, квантовой оптике и физике твердого тела. Интенсивные исследования в области квантовых компьютеров (см., например, [13]-[20] и ссылки в этих работах) возобновили интерес к эффекту геометрической фазы в квантовой механике. Недавно было предложено конструировать голономный квантовый компьютер [21]—[23], используя неабелеву геометрическую фазу Берри [2]. Поэтому проблема моделирования динамических систем с заранее заданными свойствами, используя методы квантовой механики, не теряет своей актуальности. Точно решаемые стационарные и нестационарные модели в квантовой механике служат, на наш взгляд, для плодотворных исследований в этих областях науки, а также помогут в обнаружении новых свойств.

Большое количество точно решаемых моделей было получено на основе метода обратной задачи (03) в квантовой теории рассеяния. В частности, метод обратной задачи рассеяния позволяет исследовать широкий класс нелинейных задач методами линейной. К достижениям метода следует отнести возможность расширения числа моделей квантовой механики, допускающих решения в аналитическом виде. В этой связи, весьма актуальна разработка точно решаемых моделей 03 для исследования сложных многомерных, мало- и много частичных квантовых систем как с постоянными, так и изменяющимися физическими характеристиками.

Основные принципы решения квантовой обратной задачи сформулированы в работах советских математиков И.М.Гельфанда и Б.М.Левитана [24], В.А.Марченко [25], М.Г.Крейна [27], Ю.М.Березанского [29], [28]. Дальнейшее развитие теории с учетом физический приложений было сделано в работах Л.Д.Фаддеева [30], Р.Г.Ньютона [31], П.Сабатье и К.Шадана [32], Кейя и Мозеса [33], Левитана [34]. Два подхода, данные Гельфандом, Левитаном и Марченко стали классическими и являются моделью для постановки других вариантов обратных задач. Это касается формулировок одномерной задачи на всей оси [30], [31], [32], [35], [36], многомерной задачи [30], [35] - [37], обратной задачи для одномерных и многомерных систем уравнений первого порядка [38], И, - матричной теории рассеяния [38] -[42], дискретных конечно-разностных аналогов обратной задачи [38] - [45].

Перспективно также развитие адиабатического подхода, в котором естественным образом учитываются различные свойства и взаимное влияние медленной и быстрой квантовых подсистем. Одна из наиболее интересных особенностей адиабатического представления связана с возникновением калибровочных полей. Метод адиабатического представления может быть применен для исследования многих реальных квантовых систем со сложной динамикой, таких, как ядра, атомы, молекулы, металлические кластеры и т.д. Такие системы характеризуются взаимодействием коллективных, медленно изменяющихся внешних полей, и внутренних, быстро изменяющихся полей, что может приводить к возникновению монопольных калибровочных потенциалов и к таким интересным явлениям, как неинтегрируе-мые геометрические фазы, открытые Берри [2]- [4], молекулярный эффект Ааронова-Бома [1], нелинейные эффекты и хаос для коллективного движения [5]. Точно решаемые модели обратной задачи могут быть использованы для исследования монопольных калибровочных потенциалов и связанной с ними проблемы пересечения уровней [6, 7, 46, 47] в квантовых системах с несколькими степенями свободы и могут служить хорошим методом для у моделирования этих процессов.

Прямая задача рассеяния в адиабатическом подходе имеет богатую историю развития, которая восходит к первым исследованиям Борна и Оппен-геймера [48], Борна и Фока [49, 50] и впоследствии интенсивно развивалась многими авторами, такими, как Ландау [6] и Зинер [7, 8], Хилл и Уилер [51], Демков [52] и Мид [1] (некоторые дополнительные ссылки можно найти в работах [53] - [56]); в то время как постановка обратной задачи в адиабатическом представлении была предложена лишь относительно недавно [57]

- [64].

Процедура адиабатического представления может рассматриваться как вариант размерной редукции пространства М. — В х Л4, так как сводит решение всей задачи рассеяния к двум эффективным задачам в пространствах В и Л4 меньшей размерности, чем исходное М. [65]. Одна из них - параметрическая для уравнения Шредингера, описывающего быструю динамику при параметрической зависимости от "медленных"координатных переменных х € В. Другая проблема формулируется для систем калибровочных уравнений с потенциалами, индуцированными процедурой адиабатического разложения полной волновой функции Ф(а;, у) = ^ / фп(х] у)Рп(х) по собственным состояниям фп{х\у) самосопряженного параметрического гамильтониана.

Метод аналитического моделирования в таком подходе основан на согласованной формулировке в аналитическом виде двух взаимосвязанных задач: параметрической задачи и многоканальной, ассоциируемой с системой уравнений с ковариантной производной. Главная особенность параметрической 03 состоит в том, что потенциал и волновые функции определяются по данным рассеяния {£п(х), М%(х), 5(ж, &)}, которые параметрически зависят от пространственных переменных. Обобщение техники баргманов-ских потенциалов на параметрическое семейство обратных задач основано на выборе функций Йоста. Они должны быть рациональными, как обычно, но при этом параметрически зависеть от адиабатических переменных, через зависимость от них спектральных характеристик. В одной из двух согласованных постановок эта зависимость определяется из решения обратной задачи для системы калибровочных уравнений. Затем, используя полученные спектральные данные, необходимо решить параметрическую обратную задачу для определения потенциала У{х\ у) и собственных функций фп{хш,у)- В другой постановке предполагается, что функциональная зависимость в данных рассеяния {£п(ж), М^х), <5(а;, &)} от внешней адиабатической переменной задана заранее. Тогда вначале восстанов-ливается потенциал У(х,у) , и определяются базисные функции фп(х;у), зависящие от х как от параметра, затем по аналитическим базисным функциям вычисляются матричные элементы индуцированных векторного А(х) =< ф(х;у)\\7х\'ф(х]у) > и скалярного У{х) =< 'ф{х\у)\У\ф{х\у) > потенциалов и решается система калибровочных уравнений. Такой подход позволяет оценить влияние параметрических спектральных характеристик на поведение динамических квантовых систем.

Представим алгебраическую схему решения многоканальной обратной задачи в адиабатическом представлении: 1) используя технику вырожденных ядер, определим в явном аналитическом виде потенциальную матрицу У'(х) и отвечающую ей матрицу решений по данным рассеяния {5"(р), {Мд}, {-Ел}}; 2) перейдем от представления фиксированного базиса к представлению изменяющегося от слоя к слою базиса, используя обратное унитарное преобразование, это позволяет определить термы и соответву-ющие им функции нормировок; 3) используя алгебраическую процедуру решения параметрическеой обратной задачи, определим двумерный потенциал и двумерные волновые функции термов. Это замкнутая процедура полного согласованного получения в аналитическом виде двумерных решений и потенциалов.

Интересно отметить, что матричные элементы обменного взаимодействия Аптп(х) сильно зависят от выбора нормировочных функций собственных состояний параметрического гамильтониана. Для пересечения уровней нормировки должны быть сингулярны [53, 54]. В адиабатическом представлении сингулярность нормировок получается естественным образом из постановки задачи [55]. Специальный выбор нормировочных функций, определяющих безотражательный симметричный по быстрым переменным у потенциал, —оо < у < оо, приводит к нулевой связи между состояниями двухуровневой системы: А^х) = 0 даже в точках вырождения. В то время как, при любых других нормировках и тех же термах получаем несимметричные по у потенциалы и ненулевую связь, Аи(х) ^ 0, между теми же состояниями. Отметим также, что в случае параметрической задачи на всей оси потенциалы, собственные функции и матричные элементы обменного взаимодействия не сингулярны в точках вырождения двух состояний, как это имеет место для параметрической задачи на полуоси 0 < у < оо. Таким образом, характерные особенности гамильтониана медленной подсистемы определяются природой параметрической задачи: а именно, она -радиальная, задана на полуоси или это задача на всей оси.

Предлагаемый подход позволяет также исследовать медленно эволюционирующие квантовые системы с предписанной зависимостью от адиабатической переменной ж(£).

Точные модели имееют не только самостоятельную ценность, но и служат средством приближенного решения обратных задач в случаях, когда ядра интегральных уравнений не вырождены [66]. Аппроксимациям произвольного потенциала баргмановскими отвечает приближение функции рассеяния дробно-рациональными выражениями, при этом происходит регуляризация решений обратной задачи, благодаря сужению на подмножество потенциалов, зависящих от конечного числа параметров [67], [68].

Построение точно решаемых моделей в рамках 03 позволяет изучать нестационарную задачу. Обычно в качестве нулевого приближения задачи с гамильтонианом Н(£) = к + к\(1) рассматривается система с гамильтонианом к, не зависящим от времени. Зависящая от времени часть гамильтониана к\ предполагается малой к\ <С к и рассматривается как возмущение, вызывающее переходы между собственными состояниями к. Однако, если /г1 не мало и периодически зависит от времени, + Т) = ^(Ь), то более целесообразно использовать другой подход [69]—[70], поскольку ни теория возмущений, ни адиабатическое приближение не применимы. Согласно теоретико-групповым представлениям, если Н{Ь) периодически зависит от времени Н(Ь-\-Т) = Н(¿), то среди решений уравнения Шредингера можно найти такие, которые периодически изменяются со временем - циклические решения. Эти решения воспроизводятся через период с точностью до фазового фактора ФДг, £ + Т) = ехр(—¿Д/Г^ФДг, £). Помимо обычной динамической фазы этот фазовый фактор содержит еще и геометрическую часть, изучению которой посвящено много работ в последнее время. Периодические состояния Ф„(г, £) при данном Ь взаимно ортогональны и играют такую же роль как состояния с определенной энергией в обычной стационарной теории. Циклическая эволюция играет важную роль при описании квантовых систем в периодически изменяющихся средах. Наиболее хорошо изучены задача для квантового осциллятора под действием периодической внешней силы [70]-[79] и задача о движении частицы со спином в однородном периодическом магнитном поле [69, 70] (см. также относительно недавние публикации [80]—[83]). Для решения нестационарных задач был предложен метод разделения переменных [84] и метод суперсимметрии [85], которые расширяют класс точно решаемых нестацинарных задач. Однако на наш взгляд, более перспективным для конструирования точно решаемых динамических задач является метод преобразования от стационарных уравнений к нестационарным [55], [82], [86]—[90]. Обширен класс задач для которых могут быть использованы точно решаемые стационарные модели (см. например, [91] - [99] и ссылки в этих работах). Каждая из этих моделей с независящим от времени гамильтонианом может быть преобразована в семейство зависящих от времени гамильтонианов, допускающих точные решения.

При исследовании эволюции квантовых систем важную роль играет как выбор гамильтониана, так и начальных условий. Берри [2], имя которого носит топологическая фаза, при изучении циклической эволюции в качестве начальных использовал мгновенные собственные состояния Гамильтониана Н(Ь = 0), которые адиабатически эволюционируют от £ = 0 до Ь — Т по замкнутому контуру в параметрическом пространстве. Для того, чтобы обеспечить периодическую эволюцию с таким выбором начальных условий, пришлось прибегнуть к адиабатическому приближению. Ааронов и Анандан [4] отказались от адиабатического приближения, рассматривая замкнутый контур в проективном гильбертовом пространстве; при этом вопрос выбора начальных условий не обсуждался. Чтобы обеспечить циклическую эволюцию, в работе [100, 101], начальные состояния были взяты как линейная комбинация решений для Н{1 = 0). Нами в статье [55], в качестве начальных состояний, были выбраны собственные состояния стационарного (реперного) уравнения и было показано, что эти состояния обеспечивают периодичность решений при определенном выборе преобразований от стационарной к нестационарной задаче.

Достижения последнего времени в таких областях как развитие информационных технологий, а также микро- и нанотехнологий, позволяют создавать низкоразмерные структуры с прогнозируемым и управляемым спектром носителей заряда. Этот технический прогресс делает перспективным и актуальным исследования одномерных и двумерных динамических квантовых ям, квантовых точек и решеток со свойствами локализации. Как было показано Паулем и Ратцем [9] и независимо от них Гапоновым и Миллером [10] в рамках классической электродинамики, заряженная частица может быть локализована в неоднородном электромагнитном поле высокой частоты. Отметим, что Пауль в 1989 году получил Нобелевскую премию за создание так называемой ловушки Пауля. Квантовомеханический анализ этого эффекта для потенциалов вида У(г,£) = У(г)соб(оД), где У (г) выбирается в виде У{г) = У • соз(кг) или У (г) = аг2 был проведен несколькими авторами [11, 12, 102, 103].

Использование метода преобразования стационарных задач в нестационарные [55], [86]-[87] позволяет конструировать семейства потенциалов с более сложной зависимостью от временной и пространственной переменных, и, в частности, потенциалы, которые отвечают свойству динамической локализации частиц. Подход может быть с успехом использован в исследовании свойств низко-размерных структур (квантовых ям, проволок и квантовых точек).

Основной целью данной диссертации является исследование сложных динамических систем методами квантовой обратной задачи рассеяния, из которой вытекает ряд задач: разработка на основе 03 в адиабатическом представлении техники восстановления зависящих и независящих от времени двумерных потенциалов и соответствующих решений с параметрической зависимостью от пространственной динамической переменной; исследование проблемы пересечения уровней; разработка методов нахождения точных и приближенных решений эволюционных задач квантовой механики; изучение циклической эволюция квантовых систем для гамильтонинов, периодически зависящих от времени.

Научная новизна и практическая ценность.

1. Впервые предложен метод изучения проблемы пересечения уровней на основе точно решаемых моделей 03 в адиабатическом представлении.

2. Показано, что матричные элементы обменного взаимодействия не имеют сингулярностей в точках пересечения двух уровней, если параметрическая задача определена на всей оси, в то время как для параметрической задачи на полуоси потенциал, собственные функции, матричные элементы обменного взаимодействия и нормировочные коэффициенты сингулярны в точках пересечения термов.

3. Исследовано влияние нормировочных функций на свойства динамических систем. Установлено, что для параметрической задачи на всей оси при специальном выборе нормировочных функций обменное взаимодействие между связанными состояниями двухуровневой системы отсутствует для всех значенияй параметрической пространственной переменной, даже в точках вырождения состояний.

4. Разработана техника решения в явном аналитическом виде нестационарных матричных уравнений Шредингера. Метод основан на стационарных точно решаемых задачах, определенном выборе начальных условий и специальном выборе зависящих от времени калибровочных преобразований, переводящих стационарные задачи в нестационарные. Показано, что каждая из стационарных точно решаемых моделей, может быть обобщена для получения семейств нестационарных точно решаемых моделей.

Научной ценностью обладают результаты исследования квантовых систем, открывающие возможность моделирования динамических систем со свойством локализации частиц. В диссертации показано, как использовать точно решаемые нестационарные модели для построения набора вентилей для квантовых компьютеров, а также обсуждается пример получения операторов запутывания. Результаты диссертации представляют интерес для широкого круга специалистов в области нерелятивистской квантовой механики, в частности, молекулярной и атомной физики, физики твердого тела, квантовой оптики, а также для специалистов, занимающихся исследованиями в области квантовых компьютеров.

Аппробация работы. Результаты исследований, вошедшие в данную диссертацию, докладывались на следующих конференциях:

XIV Международный семинар Int. Conf." Symmetries in Physics educated to the 90th anniversary of Professor Ya.A. Smorodinsky's birth. March 27 - 29, 2008, Dubna, Russia;

XIV Международный семинар "Нелинейные явления в сложных системах Минск, Май 22-25, 2007, Беларусь;

The V - th International Conference "Non-Euclidean Geometry in Modern Physics Minsk, October 10 - 13, 2006, Belarus; СААР - 2001, Dubna, Russia, June 28 - 30, 2001;

The XX IUPAP International conference on Statistic Physics, Paris, July 20-24, 1998;

APS Centennial Meeting, 16-20 March, Atlanta, GA Meeting of APS, 1998;

Int. Conf. on Quantum Systems, New Trends and Methods, Minsk, 4-6 June, 1996;

The VII Int. Conf. on Inverse and Algebraic Quantum Scattering Theory, Lake Balaton, Hungary, 3-7 September, 1996;

Int. Conf. on Few-Body Systems. Spain, June, 1995; The VII Int. Conf. on Symmetry Methods in Physics. Dubna 10-16 July, 1995.

Опубликованность результатов. Результаты диссертации опубликованы в 11 научных работах. Пять из них опубликовано в реферируемых журналах [2]-[6]. Одна работа [1] выполнена соискателем без соавторов.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, введения и заключения. Общий объем диссертационной работы составляет 118 страниц, включая 17 рисунков, и список цитированной литературы из 107 наименований.

Во введении обоснована актуальность исследования сложных динамических систем методами 03 рассеяния. Сформулированы цели данной работы.

В первой главе исследуются стационарные двумерные модели в рамках метода адиабатического представления ОЗ. Приводятся примеры точно решаемых моделей на основе развиваемой техники баргмановских потенциалов для параметрического семейства обратных задач и для систем уравнений с ковариантной производной как при их согласованном решении в последовательном подходе, так и на основе только параметрической задачи. В подходах Гельфанда - Левитана и Марченко анализируются точно решаемые модели с заданной функциональной зависимостью поведения термов.

Во второй главе проблема пересечения уровней изучается на основе точно решаемых моделей обратной задачи. Используя технику баргмановских потенциалов, для параметрических уравнений, конструируются точно решаемые модели с предписанными спектральными свойствами. При заг данной функциональной зависимости термов исследуются матричные элементы оператора связности и скалярного потенциала при сближении уровней вплоть до пересечения и квазипересечения термов.

Показано, что основные черты обменного взаимодействия, существенно зависят от постановки параметрической задачи. Матричные элементы связи не имеют сингулярностей в точках вырождения двух уровней, если параметрическая задача определена на всей оси, в то время как при параметрической задаче радиальной или на полуоси они сингулярны. Исследуется влияние параметрических спектральных характеристик на свойства динамических систем. В частности, установлено, что при специальном выборе нормировочных функций нет переходов между состояниями двухуровневой системы.

В третьей главе на основе параметрической обратной задачи разрабатывается алгебраическая техника восстановления зависящих от времени двумерных потенциалов и соответсвующих волновых функций через стационарные потенциалы и волновые функции. Приводятся примеры точно решаемых моделей с зависящим от времени симметричным прозрачным потенциалом и несимметричным прозрачным потенциалом. Разрабатывается метод исследования адиабатически изменяющихся систем и вычисляется геометрическая фаза.

В четвертой главе предложена техника решения в явном аналитическом виде нестационарных матричных уравнений Шредингера. Метод основан на стационарных точно решаемых задачах, определенном выборе начальных условий и специальных зависящих от времени калибровочных преобразованиях, переводящих стационарные задачи в нестационарные. Показано, что каждая из стационарных точно решаемых моделей может быть обобщена так, чтобы получить целое семейство нестационарных точно решаемых моделей.

Получены семейства гамильтонианов с различной функциональной зависимостью от времени, допускающие решения систем уравнений Шредингера в явном виде. Метод применен для исследования неадиабатической эволюции нейтральной спин 1/2 частицы, обладающей магнитным моментом, во вращающемся неоднородном магнитном поле.

В качестве применения метода в явном виде представлены выражения для математического ожидания гамильтониана, полной, динамической и неадиабатической геометрической фаз, вычисленные в терминах полученных решений. В частности, получены периодически зависящие от времени гамильтонианы, математические ожидания для которых не зависят от времени. Метод позволяет моделировать квантовые динамические системы с предопределенными свойствами, например, со свойством локализации частиц. Исследуются квантовые фазы, возникающие при циклической эволюции квантовых систем.

Показано, как использовать полученные точно решаемые нестационарные задачи использовать для построения универсального набора вентилей для квантовых компьютеров. Обсуждается способ получения операторов запутывания.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1. В рамках обратной задачи в адиабатическом представлении исследованы решения двумерного уравнения Шредингера. Получены точно решаемые модели для параметрической 03 и для систем уравнений калибровочного типа. Дан пример аналитического моделирования двумерной задачи, полученный при согласованном решении системы калибровочных уравнений и параметрической задачи.

2. Разработан метод изучения проблемы пересечения уровней на основе точно решаемых моделей параметрической 03 в адиабатическом представлении.

3. На основе параметрической 03 разработана алгебраическая техника восстановления зависящих от времени двумерных потенциалов и соответствующих волновых функций через стационарные потенциалы и волновые функции и получены семейства потенциальных матриц с различной функциональной зависимостью от времени.

4. Получено семейство периодически зависящих от времени гамильтонианов, допускающих решение уравнения Шредингера в аналитическом виде. Исследована неадиабатическая эволюция нейтральной спин 1/2 частицы во вращающемся неоднородном магнитном поле

5. Построен зависящий от времени гамильтониан, отвечающий динамической локализации частиц.

6. Вычислены полная, динамическая и геометрическая фазы, возникающие при циклической эволюции квантовых систем.

7. Построен набор одно-кубитовых вентилей и оператор запутывания для квантовых компьютеров с использованием точно решаемых моделей нестационарного уравнения Шредингера.

Список публикаций:

1. Величева Е. П. Решения зависящих от времени уравнений Шрединге-ра методами обратной задачи рассеяния. // Ядерная физика. - 2000.

- Т. 63, N 4. - С. 661-663

2. Величева Е.П., СузькоА.А. Точные решения нестационарных уравнений Шредингера и геометрическая фаза // Ядерная физика. - 1998.

- Т. 61, N 10. - С. 1884-1888.

3. Величева Е.П., Сузько А.А. Точные решения нестационарного уравнения Шредингера // Теоретическая и математическая физика. - 1998.— Т. 115, N 3,. - С. 410-418.

4. Величева Е.П., Сузько А.А. Точно решаемые модели и динамические системы // Теоретическая и математическая физика. - 1998.- Т. 61, N 1. - С. 106-131.

5. Величева Е.П., Сузько А.А. Точно решаемые модели и исследование проблемы пересечения уровней // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1996,- Т. 27, Вып. 4. - С. 923-964.

6. Величева Е.П., Сузько А.А. Двумерные точно решаемые модели в адиабатическом представлении // Ядерная физика. - 1996.- Т.59, N 6.

- С. 1132-1148.

7. Suzko A.A.,Velicheva Е.Р. Level crossing for quantum systems with some degrees of freedom // Proc. of the Fourteenth Annual Seminar NPCS'2007 "Nonlinear Dynamics and Applications". Editors by L.F. Babichev, V.I. Kuvshinov, Minsk, Belarus, 2007, V. 14. P.217-227.

8. A.A. Suzko, G. Giorgadze, E.P. Velicheva, Time-dependent exactly solvable models and its applications // Proc. Of the 5-th Intern. Confer. Bolyai-Gauss-Lobachevsky "Non-Euclidean Geometry in Modern Physics Minsk, Belarus, 2006, p.239-247.

9. Suzko A.A., Velicheva E.P. Analytic Modelling for Inverstigation of Quantum Systems in the Adiabatic Representation // Computing Algebra and its

Application to Physics: Proc. Of the International Workshop. Edited by V. P. Ge'rdt, Dubna, Russia, 2001. - P.301-312.

10. Suzko A.A.jVelicheva E.P. Exactly Solvable Quantum Models for Investigation of Nonadiabatic Transitions // Inverse and Algebrac Quantum Scattering Theory: Lecture Notes in Physics. - Berlin Heidelberg: Springer - Verlag, 1997, P. 556-564.

11. Suzko A.A., Velicheva E.P., Two Dimensional Exactly Solvable Models with Time-dependent Potentials // Quantum Systems, New Trends and Methods: Proc. Int. Conf. - Minsk, 1996, P. 342-353.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Величева, Елена Петровна

4.6 Выводы

Предложен метод решения в явном аналитическом виде нестационарных матричных уравнений Шредингера. Метод основан на стационарных точно решаемых задачах, определенном выборе начальных условий и специальных зависящих от времени калибровочных преобразованиях, переводящих стационарные задачи в нестационарные. Показано, что каждая из стационарных точно решаемых моделей может быть обобщена так, чтобы получить целое семейство нестационарных точно решаемых моделей.

Получены семейства гамильтонианов с различной функциональной зависимостью от времени, допускающие решения систем уравнений Шредингера в явном виде. Метод применяется для исследования неадиабатической эволюции нейтральной спин 1/2 частицы, обладающей магнитным моментом, во вращающемся неоднородном магнитном поле.

В качестве применения метода в явном виде представлены выражения для математического ожидания гамильтониана, полной, динамической и неадиабатической геометрической фаз, вычисленные в терминах полученных решений. В частности, конструируется ряд периодически зависящих от времени гамильтонианов, математические ожидания для которых не завит = ей 0 о

V о о соэ(£) -г 8т(£) 0 0

-г эт(^) соб(£) 0 сят от времени. Подход открывает возможности для моделирования квантовых динамических систем с предопределенными свойствами, в частности, со свойством локализации частиц. Исследуются квантовые фазы, возникающие при циклической эволюции квантовых систем. Показано, как полученные точно решаемые нестационарные задачи можно использовать для построения универсального набора вентилей для квантовых компьютеров. Обсуждается способ получения операторов запутывания.

Заключение

В диссертации методами 03 в адиабатическом представлении исследованы стационарное и нестационарное уравнения Шредингера. Предложен метод изучения проблемы пересечения уровней на основе параметрической 03 в адиабатическом представлении. Разработана техника решения в явном аналитическом виде нестационарных матричных уравнений Шредингера. Основные результаты состоят в следующем.

1. Получены двумерные точно решаемые модели на основе развиваемой техники баргмановских потенциалов для параметрического семейства обратных задач и для систем уравнений с ковариантной производной.

2. При заданной функциональной зависимости термов исследованы матричные элементы оператора связности и скалярного потенциала при сближении уровней вплоть до пересечения термов. Показано, что основные черты обменного взаимодействия существенно зависят от характера параметрического гамильтониана: а именно, задан он на всей оси или на полуоси .

3. Установлено, что для параметрической задачи на полуоси в точке пересечения термов нормировочные функции, потенциал и волновые функции сингулярны, в то время как для параметрической задачи на всей оси в точке пересечения уровней нормировочные функции, потенциал и волновые функции регулярны, а при специальном выборе нормировочных функций, значения потенциала и волновых функций становятся равными нулю, что свидетельствует об отсутствии переходов между уровнями.

4. На основе параметрической обратной задачи с динамической координатной переменной разработана техника восстановления зависящих от времени потенциалов и соответствующих волновых функций. Получены точно решаемые модели с зависящими от времени симметричным и несимметричным прозрачными потенциалами.

5. Получено семейство гамильтонианов с периодической зависимостью от времени, допускающее решения систем уравнений Шредингера в явном виде.

6. Исследована неадиабатическая эволюция нейтральной спин 1/2 частицы, во вращающемся неоднородном магнитном- поле.

7. Сконструирован гамильтониан, периодически зависящий от времени, отвечающий динамической локализации частиц.

8. Построен набор вентилей и оператор запутывания для квантовых компьютеров с использованием точно решаемых моделей нестационарного уравнения Шредингера.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Величева, Елена Петровна, 2008 год

1. Mead C.A. Molecular Kramers degeneracy and non-Abelian adiabatic phase factors // Phys.Rev.LeU.-1987.~Vol.59, No 2.-P.161 -164;

2. Mead C.A. The geometric phase in molecular systems // Rev.Mod.Phys.-1992.-Vol.64, No 2.-P.51-85;

3. Mead C.A. One of the determination of Born-Oppenheimer nuclear motion wave function including complications due to conical intersections and identical nuclei // J.Chem.Phys.-1979.-Vol.70.-P.2284-2296.

4. Berry M. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes // Proc.R.Soc.Lond.A.-1984.-Vol.392-P.45-57.

5. Wilczek F. and Zee A. Appearance of Gauge Structure in Simple Dynamical Systems // Phys.Rev.Lett-1984-Vol.52.- P.2111-2114.

6. Aharonov Y., Anandan J. Phase change during a cyclic quantum evolution // Phys.Rev.Lett.-1987.-Vol.58, No 1. P. 1593-1596.

7. Bulgac A. Level Crossing, Adiabatic Approximation and Beyond // Phys.Rev.Lett.-1991.-Vol.67, No 8.-P.965-967;

8. Kuznezov D. Topology of Level crossing // Phys.Lett.B.-Vol.319, No 4,-P.381-386 (1993);

9. Kuznezov D., Bulgac A. Canonical Ensembles from Chaos II: Constrained Dynamical Systems // Annals of Phys.-1992.- Vol.214.-P.180-218; Kuznezov D. Anomalous Collective Diffusion // Phys.Rev.Lett.-1994.-Vol.72.-P. 1990-1997.

10. Landau L.D. Zur Theorie Der Energieübertragung bei Stossen // Phys.Z.Sov.- 1932.-Vol.l.-S.88-98;

11. Ландау JI.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика М.:Наука, 1974.-Т.З.-С.354-417.

12. Zener С. Non-Adiabatic Crossing of Energy Levels // Proc.Roy.Soc.A.-1932.-VoI.137.-P. 696-702.

13. Rozen N., Zener C. Double Stern-Gerlach Experiment and Related Collision Phenomena // Phys.Rev.-1932. -Vol.40.-P502-507.

14. Paul W., Raether M. Das elektrische Massenfilter // Z.Phys.-1955. Vol. 140.-S.262-273.

15. Гапонов А.В., Миллер M.A. О потенциальных ямах для заряженных частиц в высокочастотных полях // Журнал экспериментальной и теоретической физики.-1958.-Т.34, No 2.-С.242-243.

16. Cook R. et.al. Quantum theory of partical motion in rapidly oscillating field // Phys.Rev.A.-1985.-Vol.31.-P.564 -567.

17. Gheorghe V.N., Vedel F. Quantum dynamic of trapped ions // Phys.Rev.A.-1992.-Vol.45.-P.4828-4845.

18. Кокин А.А. Твердотельные квантовые компьютеры на ядерных спинах.-М.:Наука, 2004.-203 с.

19. Валиев К.А. Квантовые компьютеры и вантовые вычисления // Успехи физических наук.-2005.-Т. 175, No 1.-C.3-39.

20. Bryglinski J.L., Bryglinski R. Universal Quantum Gates in Mathematics of Quantum Computation, Chapman and Hall, 2002.-CRC Press, Boca Ratton, Florida.-346p.

21. Kauffman L.H., Lomonaco S.J. Braiding operators are Universal Quantum Gates, preprint: quant-ph/0401090, 2004.-63p.

22. Radtke Т., Fritzshe S. Simulation of n-qubit quantum systems. I. Quantum registers and quantum gates // Computer Physics Communications.-2005."Vol.-173.-P.91-113.

23. Radtke T., Fritzshe S. Simulation of n-qubit quantum systems. II. Separability and entanglement // Computer Physics Communications.-2006.-Vol.175.-P. 145-166.

24. Margolus N. Parallel Quantum Computation // Complexity, Entropy, and the Physics of Information: Santa Fe Institute Studies in the Sciences of Complexity / ed. Zurek W.H.-Addison-Wesley, 2006.-Vol.VIII.- P.273.

25. Suzko A.A., Giorgadze G. Quantum Computing in Exactly Solvable models and Geometric Phases // Современная математика и ее приложения.-2007.-Т.44.-С. 141-151.

26. Zanardi P., Rasetti M. Iiolonomic quantum computation // Phys.Lett.A.-1999.-Vol.264.-P.94-99.

27. Pachos J., Zanardi P., Rasetti M. Non-Abelian Berry connections for quantum computation // Phys.Rev.A.-2000.-Vol.61.-P. 052318-1052318-4.

28. Pachos J., Chountasis S. Optical holonomic quantum computer // Phys.Rev. A.-2000.-Vol.62.-P.052318-1-052318-9.

29. Гельфанд И.M., Левитан Б.M. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР, сер. мат. 1951.-Т.15, вып.4.-С.309-360.

30. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.-Киев: Наукова Думка, 1977.- 332с.;

31. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля.-Киев: Наукова Думка, 1972.-219с.

32. Агранович З.С., Марченко В.А. Обратная задача теории рассеяния,-Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1960.-250с. 27]

33. Крейн М.Г. О переходной функции одномерной краевой задачи второго порядка // ДАН СССР.-1953.-Т.88, No 3.-С.405-408;

34. Крейн М.Г. Об определении потенциала частицы по ее S функции // ДАН СССР.-1955.-Т. 105, No 3.-С.433-436.

35. Березанский Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Труды ММО.-1958.-Т.7.-С.З-62.

36. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов,- Киев: Наукова Думка, 1965.-798 с.

37. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния I // Успехи математических наук 1959.-Т.14, вып.4. С.57-119;

38. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния II // в кн.: Современные проблемы математики.-М.:Винити, 1974.- Т.З.-С.93-180.

39. Ныотон Р., Теория рассеяния волн и частиц.-М.: Мир, 1969.-607с.

40. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния.-М.: Мир, 1980.-408с.

41. Kay I., Moses Н.Е. The determination of the Scattering Potensial from the Spectral Measure Function // Nuovo Cimento-1961.-Vol.22. P.689-705.

42. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля.-М.:Наука, 1984.-240с.;

43. Левитан Б.М. Обратная задача квантовой теории рассеяния при фиксированной энергии. Задачи механики и матем. физики. Сб. ст.// Памяти И.Г. Петровского.-М.:Наука, 1976.-С.166-207.

44. Фаддеев Л.Д. Факторизация S матрицы многомерного оператора Шредингера // ДАН СССР.-1966. Т.167, No 1.-С.69-72.

45. Newton R.G. Inverse scattering. I. One dimension // J.Math.Phys.-1980 -Vol.21.-P.493-505;

46. Newton R.G. Inverse scattering. II. Three dimensions // J.Math.Phys.-1980.-Vol.21.-P. 1698-1715;

47. Newton R.G. Inverse scattering. III. Three dimensions, continued // J.Math.Phys.-1981.-Vol.22.-P.2191-2200;

48. Новиков Р.Г., Хенкин Г.М. 5 уравнение в многомерной обратной задаче рассеяния // Успехи математических наук.-1987.-Т.42, вып.З.-С.94-151.

49. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной фокусировки в одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики.-1971.-Т.61.-С.118-134.

50. Fokas A.S. An Inverse problem for multidimensional first-order systems // J.Math.Phys.-1986.-Vol.27.-P. 1737-1746.

51. Захарьев Б.Н., Сузько А.А. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи.-М.: Энергоатомиздат, 1985.-224с.

52. Захарьев Б.Н., Мельников В.Н., Рудяк Б.В., Сузько А.А. Обратная задача рассеяния (конечно-разностный подход) // ЭЧАЯ.- 1977.-Т.8, вып.2.-С.290-329.

53. Захарьев Б.Н., Мельников В.Н., Сузько А.А. Уравнения Шредингера в прямой и обратной задачах рассеяния // Изв. АН СССР, сер. физ,-1979.-Т.43, No 10.-С.2206-2211.

54. Case К.М. A discrete version of the inverse scattering problem // J.Math.Phys.-1973.-Vol.l4.-P.594-603.

55. Case K.M. On discrete inverse scattering problem. II // J.Math.Phys.-1973.-Vol.14.-P. 916-920.

56. Case K.M. The direct inverse scattering problem in one dimension // J.Math.Phys.-1974.-Vol.l5.-P.143-146.

57. Фирсов О.Б. Резонансная перезарядка ионов при медленных столкновениях // Журнал экспериментальной и теоретической физики.-1951.-Т.21.-С. 1001-1008.

58. Меньшиков Л.И. Ион-атомная перезарядка при низких энергиях // Журнал экспериментальной и теоретической физики.-1983.-Т.85.-С.1159-1167.

59. Born M., Oppenheimer R. Zur Quantentheorie der Molekeln // Ann.d.Phys ~1927.~Vol.389, No 20.-S.457-484.

60. Born M., Fock V. Beweis des Adiabatensatzes // Z.Phys.-1928.-Vol.51-S.165-180.

61. Fock V.A. Benerkung zur Quantelung des harmonischen Oszillators usw // Z.Phys. 1928.-Vol.47.-S.446-448.

62. Hill D.L., WheelerJ.A. Nuclear Constitution and the Interpretation of Fission Phenomena // Phys.Rcv-1953.-Vol.89.-P. 1102-1145.

63. Демков Ю.Н. Перезарядка при малом дефекте резонанса // Журнал экспериментальной и теоретической физики-1963.-Т.45.-С. 195-201.

64. Соловьев Е.А. Неадиабатические переходы в атомных столкновениях // Успехи физических наук.-1989.-Т.157.-С.437-476.

65. Solov'ev Е.А. The advanced adaibatic approach and inelastic transitions via hidden crossings // J.Phys.B: At Mol.Opt.Phys.-2005.-Vol.38. P.R153-R194.

66. Величева E. П., Сузько A.A. Точно решаемые модели и динамические системы // Теоретическая и математическая физика.-1998.-Т.115, No 1.-С. 106-131.

67. Сузько A.A. Суперсимметрия, геометрические неадиабатические фазы в двухатомных системах // Ядерная физика.-1993.-Т.56.-С.189-201.

68. Dubovik V.M., Markovski B.L., Suzko A.A., Vinitsky S.I. Scattering problem for Faddeev Equation in Acliabatic Representation / / Phys.Lett.A.-1989. Vol. 142.-P. 133-138.

69. Виницкий С.И., Сузько A.A. Точно решаемые многомерные и трехча-стичные задачи рассеяния в адиабатическом представлении // Ядерная физика.-1990.-Т. 52.-С. 686-703.

70. Сузько A.A. Точно решаемые трехчастичные модели с двухцеитро-вым потенциалом // Ядерная физика.-1992.-Т.55.-С.2446-2458.

71. Сузько A.A.Multidimensional and three-body inverse scattering problems in the adiabatic representation//34AH.-1993.-T.24,bbin.4.-C.1133-1213.

72. Suzko A.A. Quantum Inversion Theory and Applications // Lecture Notes in Physics: Proc. Int.Conf./ Ed. H.V.von Geramb.- Springer-Verlag, Heidelberg, 1993.- Vol.427-P.67-106.

73. Виницкий С.И.,Кадомцев М.В.,Сузько A.A. Адиабатическое представление задачи трех тел в гиперсферических координатах. Амплитуда рассеяния // Ядерная физика.-1990.-Т.51, вып.4.-С.952.

74. Виницкий С.И.,Марковский Б.JL,Сузько A.A. Адиабатическое представление задачи рассеяния в квантовой системе трех частиц с короткодействующими потенциалами // Ядерная физика.-1992.-Т.55, вып.3-С.669-682.

75. Виницкий С.И., Пономарев Л.И. Адиабатическое представление в задаче трех тел с кулоновсим взаимодействием // ЭЧАЯ, 1982, Т. 13, вып.6, С.1336-1418.

76. Куперин Ю.А., Мельников Ю.Б. Квантовое рассеяние в калибровочных полях адиабатических представлений // Математический сборник.-1991-Т.182, вып.2.-С.236-282.

77. Захарьев Б.Н., Ниязгулов С. А., Сузько A.A. Приближенные методы в обратной задаче теории ядра // Ядерная физика.-1974.-Т.20, вып.6.-С.1273-1281.

78. H.V. fon Geramb, JadeL., Sander M. Modeling of Nucleon-Nucleon Potentials Quantum Inversion versus Meson Exchange Pictures // Inverse and Algebraic Quantum Scattering Theory :Proccedings, Lake Balaton, Hungary, 3-7 September 1996, P. 125 140.

79. H.V. fon Geramb, Sander M. Inversion Potentials for Meson-Nucleon and Meson-meson Interactions // Inverse and Algebraic Quantum Scattering Theory: Proceedings, Lake Balaton, Hungary, 3-7 September 1996, P.141-155.

80. Базь A.M., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике.-М.: Наука, 1971. 544с.

81. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения.-М.:Наука, 1987. 269с;

82. Переломов A.M., Попов B.C. Групповые аспекты задачи об осцилляторе с переменной частотой // Теоретическая и математическая физика.-1969.-Т.1.-С.360-373.

83. Севастьянов В.А., Ловецкий К.П. Математическое моделирование. ч.1. Осциллятор. М.:Изд. РУДН, 2007.^ 64с.

84. Feynman В.P. An operator calculus having applications in Quantum electrodynamics // Phys.Rev.-1951.-Vol.84.-P.108-128.

85. Schwinger J. The Theory of Quantized Field. Ill // Phys.Rev.-1953 -Vol.91.-P. 728-740.

86. Lewis H.R., Riesenfeld W.B. An Exact Quantum Theory of the Time-Dependent Harmonic Oscillator and of a Charged Particles the Time-Dependent Electromagnetic Field // J.Math.Phys.-1969.-Vol.lO. P. 14581472.

87. Малкин И.А., Манько В.И. Динимические симметрии и когерентные состояния квантовых систем .-Москва: Наука, 1979. 319 с.

88. Lo C.F. Time evolution of a charged oscillator with a time-dependent mass and frequency in a time-dependent electromagnetic field // Phys.Rev.A.-1992.-Vol.45.-P.5262-5265.

89. Maamache M. Ermakov systems, exact solution, and geometrical angles and phases // Phys.Rev.A-1995 -Vol.52-P. 936-940.

90. Bohm A., Mostafazadeh Ali, Koizumi H., Niu Q., Zwanziger J. The geometric phase in Quantum Systems //Berlin: Springer-Verlag, New York:Heidelberg, 2003.-439p.

91. Bay K., Lay W., Akopyan A. Avoided crossing of the quadric oscillator // J.Phys.A: Math Gen.-1997.-Vol.30.-P.3057-3067.

92. Barut A.O., Bozic M., Klarsfeld, Marie Z. Measurement of time-dependent quantum phases // Phys.Rev.A.-1993.-Vol.47.-P.2581-2591.

93. Bozic M., Lombard R., Marie Z. Remarks on the formulations of the adiabatic theorem // Phys.D:Atoms, Molecules and Clusters.-1991.-Vol.-18.-P.311 318.

94. Wang Shun-Jin. Nonadiabatic Berry phase for a quantum system with a dynamical semisimple Lie group // Phys.Rev.A.- 1990.-Vol.42.-P.5103-5107.

95. Stone M. Born-Oppenheimer approximation and the origin of Wess-Zumino terms: Some quantum-mechanical examples // Phys.Rev.D.-1987.-Vol.~33.-P. 1191-1194.

96. Efthimiou C.J., Spector D. Seperation of variables and exactly soluble time-dependent potentials in quantum mechanics // Phys.Rev.A.-1994. Vol. 49.-P.2301-2311.

97. Samsonov B.F. Coherent states for transparent potentials // J.Phys.A:Math.Gen.-2000.-Vol.33.-P. 591-605.

98. Величева E. П., Сузько А.А. Точные решения нестационарного уравнения Шредингера // Теоретическая и математическая физика.-1998.-Т.115, No 3-С.410-418.

99. Suzko A.A. Exactly solvable models with time-dependent potentials // Phys.Lett.A.-2003.-Vol.308.-P.267-279.

100. Wu Lian-Ao, Sun J., Zhong Ji-Yu. A new approach to calculating the Berry phase // Phys.Lett.A.-1993.- Vol.l83.-P.257-261.

101. Shi-Min Cui. Nonadiabatic Barry phase in rotation systems // Phys.Rev.A.-1992-Vol.45.-P.5255-5257.

102. Mostafazadeh Ali. Noncyclic geometric phase and its non-Abelian generalization // J.Phys.A: Mathematical and General. -1999. Vol.32,-P.8157-8171.

103. Agranovich Z.S., Marchenko V.A., Inversion Problem of Scattering Theory-New York: Gordon and Breach, 1963.-285p.

104. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux Transformations and Solutions.-New York: Springer, 1991.-129p.

105. Goncharenko V.M., Veselov A.P., Monodromy of the matrix Schrodinger equations and Darboux transformations // J.Phys.A.-1998.-Vol.31.-P.5315-5326.

106. Andrianov A.A., Cannata F., IofFer M.V., Nishnidze D.N. Matrix Hamiltonians: SUSY approach to hidden symmetries // J.Phys.A.-1997-Vol.30.-P.5037-5050.

107. Junker G. Supersymmetric Method in Quantum and Statistical Physics.-Berlin: Springer-Verlag, 1996.-T84p.

108. Suzko A.A. Generalized aldebraic Bargman-Darboux transformations // Int.J.Mod.Phys.A.-1997-Vol.12-R277-282.

109. Suzko A.A. Multichannel Exactly Solvable Models // Physica Scripta.-1986.-VÖ1.34.-P.5-7.

110. Sevastianov L.A., Zorin A.V., Hydroden-like Atom with Nonnegative Quantum Distribution Function // Physics of Atomic Nuclei.-2007.-Vol.70.-P.792-799.

111. Nieto L.M., Samsonov B.F., Suzko A.A. Intertwining technique for a system of difference Schrodinger equations and new exactly solvable multichannel potentials // J.Phys.A.-2003.-Vol.36.-P.12293-12304.

112. Suzko A.A. Interwining technique for the matrix Scrödinger equation // Phys.Lett.A.-2005.-Vol.335.-P.88-102.

113. Moore D.I., Stedman G.E. Non-adiabatic Berry phase for periodic Hamiltonians // J.Phys, A: Math.Gen.-1990.-Vol.23,- P.2049-2054.

114. Moore D.I. Floquet theory and non-adiabatic Berry phase // J.Phys.A: Math.Gen.-1990.-Vol.23.-P.L665-L668.

115. Tralle I.E. Analytical description of some quantum systems with space and time-periodic Hamiltonians // Phys.Rev.A. 1993.-Vol.48.-P.3499-3503.

116. Tralle I.E. Space charge wave amplification in a multielectrodc MIS microstructure and in a two-dimensional electron gas // J.Phys.D.-1993.~ Vol.27.-P. 1707-1713.

117. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны.-М. :Мир, 1985.-469с.

118. Reinhard Н. Comment on Phase change during a cyclic quantum evolution // Phys.Rev.Lett.-1987.-Vol.59.-P.2823(C).

119. Kvitsinsky Andrei A., Putterman Seth. Exponentially suppressed transitions in adiabatically driven system with a discrete spectrum // Phys.Rev.A.-1990.-V.42.-P.6303-6307.

120. Johnson M.H., Lippmann B.A. Motion in a Constant Magnetic Field // Phys.Rev.-1949.-Vol. 76.-P.828-832.