Разноостные уравнения и интегрируемые системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Забродин, Антон Владимирович

• Забродин, Антон Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Забродин, Антон Владимирович

Содержание

0 Введение

0.1 Краткий исторический очерк

0.2 Основные понятия и методы, используемые в диссертации

0.2.1 Понятия и методы классической теории

0.2.2 Понятия и методы квантовой теории

0.3 Содержание работы

1 Анзац Бете в проблеме Азбеля-Хофштадтера

1.1 Введение и основной результат

1.1.1 Общее описание модели

1.1.2 Уравнение Харпера и зонная структура спектра

1.1.3 Основной результат

1.2 Две специальные калибровки

1.3 Квантовая алгебра ^(з^)

1.3.1 Общие сведения и функциональная реализация представлений спина

3

1.3.2 Представления £/,(3/2) при q равном корню из 1

1.4 Представление £/,(3/2) магнитными трансляциями

1.5 Функциональный анзац Бете

1.6 Циклические представления 6г?(.з/2) в проблеме Азбеля-Хофштадтера

1.7 Некоторые точные результаты для анизотропного случая и уравнения Бете для краев зон в изотропной модели

1.8 Разное

1.8.1 <7-Аналоги классических ортогональных полиномов как точные волновые функции с нулевой энергией

1.8.2 ич(з12) как алгебра симметрии

1.9 Выводы и результаты. Обсуждение результатов

2 Разностные уравнения, связанные с ^-деформациями 1/(з12)

2.1 Вводные замечания

2.2 Разностные операторы второго порядка, связанные с £7?(з/2). Общий случай

2.2.1 Линейные формы

2.2.2 Квадратичные формы

2.3 Разностные операторы второго порядка связанные с £/,(5/2)- Треугольные операторы и операторы первого порядка

2.3.1 Треугольные операторы и ^-гипергеометрические уравнения

2.3.2 Алгебра, объединяющая треугольные операторы и операторы первого порядка

2.4 Периодические разностные уравнения и группа магнитных трансляций

2.5 Разностные уравнения, имеющие решения в симметрических лорановских полиномах и полиномах Аски-Вильсона

2.6 Выводы и результаты

3 Разностные и дифференциальные операторы с частично алгебраическим спектром в рамках КМОЗ

3.1 Вводные замечания

3.2 Элементарные ¿-операторы и квантовые алгебры

3.3 Общие свойства матриц монодромии для интегрируемых систем с границами

3.4 Тригонометрический случай

3.5 Рациональный предел

3.5.1 Дифференциальные операторы второго порядка с частично алгебраическим спектром

3.5.2 Присоединенное действие группы 2)

4 Некоторые алгебро-геометрические конструкции, связанные с эллипти-

ческими Z-операторами

4.1 Основные определения

4.1.1 Алгебра Склянина

4.1.2 Вакуумные векторы и вакуумные кривые

4.2 Вакуумные кривые и вакуумные векторы //-оператора XYZ-модели произвольного спина

4.2.1 Явное описание вакуумной кривой

4.2.2 Действие L(u) на вакуумные векторы

4.3 Вакуумные кривые и новая реализация представлений алгебры Склянина

4.3.1 Разностные операторы на вакуумной кривой

4.3.2 Представления алгебры Склянина

4.4 Конечнозонные разностные операторы и представления алгебры Склянина

4.4.1 Разностный аналог оператора Ламе при 1 — 1

4.4.2 Разностные аналоги операторов Ламе при произвольном 1 Е Z+

4.5 Тригонометрическое вырождение алгебры Склянина

4.6 Обсуждение результатов

5 Разностные уравнения Хироты

5.1 Эквивалентные формы записи билинейных уравнений

5.2 Номенклатура потоков и кинематические связи

5.3 Коммутационное представление уравнения Хироты с помощью разностных операторов со скалярными коэффициентами

5.3.1 Основные М-операторы

5.3.2 Дискретные уравнения нулевой кривизны

5.4 Линеаризация уравнений Хироты

5.4.1 Скалярные линейные задачи

5.4.2 Преобразования Беклунда

5.4.3 Функция Бейкера-Ахиезера

5.5 Об иерархии билинейных разностных уравнений

5.6 Редукции уравнения Хироты

5.6.1 Редукция типа КдФ и уравнение Фаддеева-Волкова

5.6.2 ЦТ в дискретном времени и родственные модели

5.6.3 Дискретное уравнение СГ

5.6.4 Дискретное уравнение Лиувилля и его Л^_1-обобщения

5.7 Редукция второго порядка общего вида - XX^-модель МГ в дискретном времени

5.7.1 Общий вид 3-членных билинейных уравнений и скалярных линейных задач

5.7.2 Основные билинейные уравнения

5.7.3 Некоторые следствия основных уравнений

5.7.4 Скалярные линейные уравнения

5.7.5 Векторные линейные задачи и матричный ¿-оператор

6 Уравнение Хироты и анзац Бете

6.1 Введение

6.2 От Д-матрицы Янга к уравнению Хироты .У'

6.2.1 Процедура "размножения" Д-матриц

6.2.2 Квантовые матрицы монодромии

6-2-3 Квантовые трансфер-матрицы

6.2.4 Функциональные соотношения и детерминантные формулы

6.2.5 Билинейная форма правил слияния

6.2.6 Замечания об эллиптическом и тригонометрическом случаях

6.3 Свойства решений уравнения Хироты, отвечающих квантовой задаче

6.3.1 Граничные условия по а и s

6.3.2 Аналитические условия по и

6.3.3 Нормировка

6.3.4 Обсуждение

6.4 Иерархический анзац Бете как цепочка преобразований Беклунда

6.4.1 Представление нулевой кривизны и BJI3

6.4.2 Функции Qt{u)

6.4.3 Уравнения Бете как динамическая система в дискретном времени

6.5 Общее решение билинейных соотношений

6.6 Обобщенные соотношения Бакстера и формулы факторизации

6.7 Билинейные правила слияния для произвольных диаграмм Юнга и высшие уравнения Хироты

6.8 Сводка результатов

7 "Скрытая" квантовая ñ-матрица в дискретных солитонных уравнениях

7.1 Введение и постановка задачи

7.2 Основной результат

7.3 Представление нулевой кривизны для классической модели СГ на решетке

с помощью квантовой Я-матрицы

7.3.1 Модели СГ на решетке с дискретным и непрерывным временем

7.3.2 Билинейный формализм Хироты для модели СГ

7.3.3 Квантовая ñ-матрица в классической дискретной модели СГ

7.4 Представление нулевой кривизны для классической модели МГ в дискретном времени и квантовая .ñ-матрица

7.4.1 Представление нулевой кривизны

7.4.2 "Составные" Ь и М операторы

7.4.3 Д-матричное представление для ¿-М-пары

7.5 Предел непрерывного времени

7.5.1 Предельная форма М-операторов

7.5.2 Сравнение с г-матричной формулой

7.6 Заключительные замечания

8 Спектральная задача для д-разностного уравнения Книжника-Замолод-чикова

8.1 Спектральная задача для уравнения КЗ ^ = \)

8.2 Спектральная задача для уравнения д-КЗ

8.3 Некоторые специальные случаи

8.3.1 Спектральная задача на уровне к = 0 и ¿'-матрица ХХ2-модели

8.3.2 Предел бесконечного уровня

8.4 Обсуждение

Заключение

Список литературы

Приложения

Приложение к главе 1

Приложение к главе 2

Приложение к главе 4

Приложение к главе 5

Приложение к главе 6

Приложение к главе 8

Список сокращений, принятых в тексте:

МОЗ - метод обратной задачи

КМОЗ - квантовый метод обратной задачи

Уравнение КЗ - уравнение Книжника-Замолодчикова

ВЛЗ - вспомогательные линейные задачи

ПВР - пространственно-временная решетка (в главе 7)

Интегрируемые уравнения и иерархии:

КдФ - Кортвега-де Фриза

МКдФ - модифицированное уравнение КдФ

КП - Кадомцева-Петвиашвили

МКП - модифицированное уравнение КП

СГ - эте-Гордон

АКНС - иерархия, предложенная Абловитцем, Каупом, Ньюэллом и Сегюром (АККЗ)

МГ - магнетик Гейзенберга

ЦТ - цепочка Тоды

РЦТ - релятивистская ЦТ

2ЦТ - двумеризованная цепочка Тоды

ДУЛ - дискретное уравнение Лиувилля

"V •

Сокращения в списке литературы:

ДАН - Доклады Академии Наук

ЖЭТФ - Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики

ТМФ - Теоретическая и Математическая Физика

УМН - Успехи Математических Наук

ЭЧАЯ - Физика Элементарных Частиц и Атомного Ядра

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разноостные уравнения и интегрируемые системы»

О Введение

0.1 Краткий исторический очерк

Несколько десятилетий назад интегрируемые системы воспринимались как экзотические искусственные примеры, не имеющие других практических приложений, кроме проверки пертурбативных методов. При выходе за рамки теории возмущений или линейного приближения постепенно накапливались свидетельства ограниченности такой точки зрения. Становилось ясно, что нелинейным интегрируемым уравнениям тоже присуща определенная универсальность - они, подобно, скажем, классическому волновому уравнению, возникают в физических задачах самой разной природы - от нелинейных волновых процессов до квантовой хромодинамики.

Сейчас интегрируемость и связанные с нею понятия становятся одними из основных в теоретической физике. За последнее десятилетие эта тенденция обозначилась еще более явно. Осознание того факта, что реальные физические явления в большинстве интересных случаев непертурбативны по своей природе, привело к надежде, что фундаментальная теория физического мира, объединяющая все известные взаимодействия (или по крайней мере теория, дающая нулевое приближение к ней), должна быть в некотором смысле точно решаема. За последние годы появилось множество содержательных примеров, подтверждающих правомерность такой точки зрения. Наличие тех или иных интегрируемых структур фактически превратилось в принцип отбора теорий, претендующих на роль фундаментальных. Различные аспекты интегрируемости присутствуют в таких важных областях современной теоретической физики, как

V •

конформная теория поля, некритическая теория струн (двумерная гравитация), матричные модели, топологические теории, КХД при высоких энергиях, суперсимметричные калибровочные теории. После того, как достаточно свободное обращение с числом измерений пространства-времени стало общим местом в теории струн и даже в некоторых областях физики твердого тела, ограниченность известных нетривиальных примеров интегрируемых систем малым числом измерений перестала служить постоянным поводом для упреков в их "нереалистичности". Все это - помимо, разумеется, символа веры, что любое точное решение ценно само по себе - явилось предпосылкой непрекращающегося интереса к интегрируемым системам как таковым.

Теория интегрируемых систем в ее современном виде сформировалась в период интенсивного развития в 70-х годах, когда был совершен переход от рассмотрения разрозненных примеров к созданию и отработке систематических методов, охватывающих точно решаемые задачи как в статистической механике, так и в теории поля. В начале восьмидесятых годов этот этап был в основном завершен. Итоги этого периода отражены в книгах [1],[2],[3],[4],[5] и ряде обзорных статей, из которых мы здесь отметим [6], [7], [8],[9], [10]. Если говорить кратко, важнейшим результатом стало оформление комплекса идей и методов, которые можно условно назвать методом обратной задачи (МОЗ).

В классическом варианте МОЗ берет свое начало с основополагающей работы [11], где на примере уравнения КдФ была предложена схема интегрирования солитонных уравнений, заключающаяся в замене исходных динамических переменных на "данные рассеяния". Оказалось, что подходящим образом определенные "дарные рассеяния" некоторой вспомогательной линейной задачи (BJI3) (которая для КдФ совпадает со стационарным уравнением Шредингера) эволюционируют линейно по времени. Это позволило говорить о МОЗ как об аналоге преобразования Фурье. Лучшее понимание этой схемы было достигнуто с помощью представления Лакса [12] для КдФ в виде условия коммутации некоторых операторов. Распространение этого подхода на другие уравнения [13]-[15] потребовало как расширения класса ВЛЗ, так и перехода к коммутационным представлениям несколько другого типа - так называемым условиям нулевой кривизны, обобщающим представление Лакса. Для применения этой схемы к задачам с периодическими граничными условиями необходимо было найти правильную замену "данным рассеяния" , что оказалось нетривиальным и потребовало существенного использования методов алгебраической геометрии. В результате была построена теория "конечнозонного" интегрирования [16]—[18] нелинейных эволюционных уравнений, позволяющая выражать их решения через ^-функции Римана и включающая найденные до этого солитонные решения как частный случай. Параллельно развивались гамильтоновы методы [19, 20, 4], и было доказано, что известные солитонные уравнения являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами, а переход к "данным рассеяния" можно интерпретировать как каноническое преобразование к переменным типа действие-угол. Отметим также формальную гамильтонову механику, развитую в работе [21], где-был указан метод построения пар Лакса с помощью резольвенты операторов Штурма-Лиувилля.

Несколько позднее появились альтернативные подходы - например, интерпретация солитонных уравнений как динамических систем на бесконечномерных грассманнианах [22, 23],[24] и операторные методы [25, 26, 27], в результате чего было выявлено фундаментальное понятие г-функции.

История квантовых интегрируемых моделей начинается с работы Бете [28], в которой была решена одномерная модель магнетика Гейзенберга. Придуманная им для этой цели специальная подстановка, называемая сейчас координатным анзацем Бете, оказалась на удивление универсальной и в различных модификациях используется до сих пор. Она явилась прототипом для большинства последующих точных решений других моделей квантовой теории поля и физики твердого тела в малом числе измерений [29]-[33]. Синтез метода Бете с идеями работы Онзагера [34] по модели Изинга позволил найти точные решения более сложных моделей статистической механики на плоской решетке [35]-[37].

Все эти и многие другие примеры удалось объединить в рамках квантового метода обратной задачи (КМОЗ), развитого в работах ленинградской школы Л.Д.Фаддеева и его учеников [38]-[42]. Он не только органично соединил в себе методы, развитые ранее при решении одномерных задач теории поля и двумерных моделей статистической механики на решетке (а также в теории факторизованных 5-матриц [43]), но и дал мощный импульс для дальнейших исследований в этой области. На начальном этапе развития КМОЗ в его схему были вложены практически все известные в то время квантовые интегрируемые модели, что способствовало выявлению основных объектов и понятий метода - Д-матрицы, квантового ¿-оператора, билинейных коммутационных соотношений для элементов квантовых матриц монодромии - и осознанию их фундаментального характера. Более поздний период развития КМОЗ характеризуется углубленным исследованием его математических оснований и попытками создания соответствующей аксиоматики, что оказало влияние и на чистую математику, приведя к понятию квантовых групп [44, 45, 46, 47] и квадратичных алгебр Склянина [48, 49]. Одним из важнейших достижений на этом этапе стало создание метода, называемого сейчас функциональным анзацем Бете [50], что с одной стороны расширило область применения КМОЗ, а с другой - породнило его с классическими исследованиями прошлого века, обнаружив глубокие связи с идеями разделения переменных.

С позиций сегодняшнего дня выработанные понятия и методы представляются более ценными, чем те конкретные модели, для решения которых они были предназначены. В свете сказанного в начале этого параграфа, главный интерес сегодня представляют не отдельные интегрируемые модели, а их большие семейства, т.е. многообразия моделей определенного класса. В этой связи трудно переоценить объединяющую роль КМОЗ как универсального языка теории квантовых интегрируемых систем, свободного от специфики той или иной модели. В основном тексте диссертации мы пользуемся именно этим языком.

К тем немногим примерам интегрируемых систем, которые до самого последнего времени не были охвачены формализмом МОЗ или КМОЗ, относится такая исключительно популярная сейчас модель, как система частиц Калоджера-Мозера и ее обобщения. Известные методы интегрирования таких систем в классическом случае были основаны на том, что они являются гамильтоновыми редукциями свободного движения на однородных пространствах, а в решении квантовой задачи использовались элементы гармонического анализа на однородных пространствах [51, 52]. В частности, матрица рассеяния частиц выражается через с-функцию Хариш-Чандры [53]. Одним из звеньев, связывающих эту картину с техникой вычислений анзаца Бете, является то, что в термодинамическом пределе возможна аналогичная геометрическая интерпретация [54]—[56] рассеяния физических возбуждений в квантовых интегрируемых моделях, связанная с гармоническим анализом на "^-однородных пространствах", ассоциированных с конечномерными квантовыми группами. Добавим, что связь анзаца Бете с системами типа Калоджеро-Мозера отнюдь не исчерпывается этим обстоятельством. Другие - возмож-

"V *

но, даже более интригующие - аспекты этой связи'обсуждаются ниже.

Остановимся чуть подробнее на некоторых тенденциях современного этапа развития теории. Продолжая разговор о КМОЗ, начнем с квантового случая. До недавнего времени основные конструкции метода были ориентированы на анализ квантовых интегрируемых систем в термодинамическом пределе, когда объем системы, т.е. число узлов решетки, стремится к бесконечности. На наш взгляд, за последние годы акцент сместился в сторону систем на решетках с малым числом узлов, равным, скажем, одному или двум, но с достаточно сложно устроенным "квантовым пространством" в узле. Это

может быть, например, пространство унитарного представления некомпактной группы или циклического представления той или иной ее деформации. Отсутствие стандартного термодинамического предела делает такие задачи нетривиальными, несмотря на кажущуюся простоту формулировки. Оказалось, что среди них содержатся некоторые известные уравнения и модели, теория которых до этого долгое время развивалась абсолютно независимо. Погружение в КМОЗ позволяет представить эти задачи в совершенно новом свете, а в ряде случаев указать их "правильные" деформации и обобщения. Именно так были найдены [57] разностные аналоги операторов Ламе [58], обладающие замечательными спектральными свойствами. Среди других ярких примеров отметим неожиданное возникновение конечной интегрируемой спиновой цепочки типа Гейзенбер-га при описании реджевского режима высокоэнергетических процессов рассеяния в КХД в пределе большого числа цветов [59], [60], [61]. Число узлов этой цепочки равно числу реджезованных глюонов, которыми обмениваются сталкивающиеся частицы, а спины в узлах принадлежат бесконечномерному представлению группы БЬ{2, С).

Применение КМОЗ к такого рода задачам существенно обогащает и сам этот метод. Достаточно вспомнить работу [50], в которой на примере волчка Горячева-Чаплыгина был впервые опробован функциональный анзац Бете. К настоящему времени в формализм КМОЗ оказались вложены не только уже упомянутые модели типа Калоджеро-Мозера или Рейсенарса [62] (см. [63],[64]), но и некоторые модели, отношение которых к квантовой интегрируемости ранее либо вообще не обсуждалось (например, модель Азбеля-Хофштадтера [65, 66]), либо было не вполне понятно (так называемые "квази-точнорешаемые" модели [67],[68] и их разностные аналоги). Изложение этого материала

V •

в диссертации основано на работах [57], [69]—[75]

В более широком контексте для современного периода характерно взаимопроникновение методов, специфичных для классического и квантового случаев и ранее не пересекавшихся. Долгое время классические и квантовые интегрируемые модели изучались абсолютно различными методами, что не удивительно, поскольку в том и другом случаях нас обычно интересовали ответы на совершенно разные вопросы. Ощутимая польза от взаимодействия этих методов стала очевидной уже на самом раннем этапе развития КМОЗ в результате анализа его классического предела, который, как выяснилось, дает

нечто новое по сравнению с исходной классической версией МОЗ. А именно, этот предел позволяет достичь содержательного соответствия алгебраических структур квантовой и классической теорий на основе понятия г-матрицы [40],[76],[77] - первого нетривиального члена разложения квантовой /^-матрицы по постоянной Планка Н —» 0. Фундаментальная роль г-матриц как "структурных констант", универсальным образом задающих квадратичные алгебры скобок Пуассона, оставалась в тени в более традиционном для того времени подходе. В других отношениях сближение в постановке классических и квантовых задач было затруднено. Работы, в которых такие попытки делались (см., например, [78]), были скорее исключением, чем правилом.

Недавно стало ясно существование более глубоких связей между квантовыми и классическими интегрируемыми системами, чем просто утверждение о том, что последние получаются из первых процедурой, обратной процедуре квантования, т.е. в пределе % —>■ 0. Новое явление заключается в том, что классические интегрируемые уравнения появляются в квантовых интегрируемых задачах как точные соотношения и при Ь, ф 0. Этот факт, "экспериментально" обнаруженный уже в большом количестве самых разных примеров, до сих пор не имеет ясного объяснения. Исторически первые примеры такого рода были найдены в [79], где были получены нелинейные уравнения, которым удовлетворяют корреляционные функции модели Изинга. В частности, было показано [80],[81], что парная корреляционная функция спинов в модели Изинга на квадратной решетке в точке самодуальности удовлетворяет разностному уравнению, которое представляет собой разностный аналог хорошо известного уравнения цепочки Тоды. Несколько

лет назад было обнаружено [82], что корреляционные функции интегрируемых моделей

> •

теории поля и во множестве других случаев удовлетворяют интегрируемым уравнениям классической теории (в общем случае дифференциально-разностным), и список примеров этого типа был существенно расширен. К примерам другого типа относятся функциональные соотношения для трансфер-матриц квантовых интегрируемых моделей [83, 84], которые могут быть представлены [85] в виде классических разностных уравнений Хи-роты, а также уравнения термодинамического анзаца Бете, одна из форм которых [86] идентична разностным уравнениям 2ЦТ с открытыми концами. Существуют и другие аспекты этих связей [87]—[92].

Есть основания ожидать, что интегрируемость сама по себе является глубоким и сильным свойством, способным придать новый смысл традиционному толкованию кван-товомеханического принципа соответствия. Постепенно накапливаются свидетельства в пользу того, что существует некая структура, общая для классических и квантовых интегрируемых систем, разными проявлениями которой они являются. Образно говоря, если речь идет об интегрируемых системах, классический и квантовый случаи могут оказаться двумя сторонами одной медали. Подчеркнем, что указанная нетривиальная связь классических и квантовых задач наиболее отчетливо проявляется для разностных уравнений. Это обстоятельство естественно подводит нас к более углубленному изучению разностных интегрируемых уравнений, которое и является основным предметом настоящей диссертации.

В современном подходе разностным и дискретным уравнениям принадлежит особое место. Их важность для физических приложений очевидна и вызвана прежде всего необходимостью решеточной регуляризации координат или импульсов в квантовой теории поля. Тем более это относится к физике твердого тела, где с самого начала имеется кристаллическая решетка, и все осмысленные гамильтонианы - это разностные или дискретные операторы.

Фундаментальный характер разностных задач и задач на решетке обусловлен также логикой развития самой теории интегрируемых систем. Необходимость переноса квантовой системы на решетку возникала уже в первых работах по решению моделей квантовой теории поля методом алгебраического анзаца Бете (см., например, [39]). Оказалось, что все основные Я-матричные соотношения наилучшим образом приспособлены именно для

'V «

систем на решетке, где - при правильном выборе динамических переменных - они становятся точными и хорошо определенными [93]. Заметим, впрочем, что время оставалось при этом непрерывным. Возможность точного переноса основных конструкций КМОЗ на решетку означала, что все его основные элементы по своей природе чисто алгебраические, несмотря на их теоретико-полевое происхождение. Это в немалой степени способствовало формированию КМОЗ как единой алгебраической схемы, не зависящей от специфики конкретной модели.

В классической теории практический смысл перехода на решетку и нахождения дис-

кретных аналогов возможно большего числа интегрируемых уравнений, предпринятого Хиротой [94]-[99], был в те годы, возможно, менее очевиден. Важность проделанной им работы в полной мере проявилась позже. Систематические методы киотской школы [100, 101, 102], позволяющие порождать целые иерархии интегрируемых разностных уравнений, хотя прямо и не вытекали из результатов Хироты, но существенно использовали развитый им билинейный формализм и едва ли могли быть придуманы без уже накопленного к тому времени фактического материала.

Постепенно стало ясно, что все "правильно составленные" дифференциальные уравнения в частных производных, обладающие в том или ином смысле свойством интегрируемости, например, уравнение эте-Гордон (СГ) или - чтобы привести пример из совсем другого класса - уравнение Книжника-Замолодчикова (КЗ), имеют естественные разностные аналоги, сохраняющие интегрируемость. Более того, эти разностные аналоги часто оказываются проще и фундаментальнее исходных непрерывных уравнений. Так, некоторые совершенно разные уравнения, будучи правильным образом посажены на решетку, становятся эквивалентными.

Заканчивая краткий исторический обзор, отметим, что в последние годы все большее внимание уделяется интегрируемым системам, дискретным не только по пространству, но и по времени (см., например, работы [103]—[112], к которым мы еще вернемся). От систем в дискретном времени можно ожидать качественно новых свойств [113]. Вместе с тем, именно классические системы в дискретном времени оказываются наиболее тесно связанными с квантовыми в указанном выше смысле [85]. В частности, уравнения иерархического анзаца Бете можно трактовать как аналог системы частиц типа Калоджеро-Мозера или Рейсенарса в дискретном времени. Иными словами, решения классических интегрируемых уравнений в дискретном времени в ряде случаев предстают в виде полноценных формул анзаца Бете - факт сам по себе неожиданный и требующий дальнейшего осмысления. Наконец, рассмотрение моделей в дискретном времени дозволяет проследить обсуждавшуюся выше связь классических и квантовых систем в обратном направлении, т.е. обнаружить специфические объекты квантовой теории в классических системах [114, 115].

0.2 Основные понятия и методы, используемые в диссертации

Перейдем к более предметному разговору о круге задач, которым посвящена основная часть диссертации, и применяемых в ней методах. Сквозная тема, проходящая через все главы, - это исследование разностных уравнений самого различного происхождения методами теории интегрируемых систем. Начав с конкретной физической задачи, мы затем приступим к модельно-независимым рассмотрениям и проанализируем разностные уравнения, характеризующие структуру самой теории. Ключевой факт, который нам хотелось объяснить и продемонстрировать на примерах, - это то, что для разностных интегрируемых уравнений фундаментальные понятия квантовой и классической теории чудесным образом смыкаются друг с другом. Замечательно, что это происходит не на уровне аналогий, а на уровне точных формул.

Цель этого параграфа - обозначить круг понятий, в системе которых мы будем работать. Прежде всего уточним сделанные выше исторические замечания общего характера, сделав акцент на методах, которые будут нами использоваться в первую очередь, а также прокомментируем их с точки зрения приложений к разностным уравнениям. Поскольку речь в основном пойдет о хорошо известных вещах, в том или ином виде содержащихся в уже цитированных работах, в этом параграфе мы не даем ссылок на литературу.

0.2.1 Понятия и методы классической теории

Коммутационные представления Под коммутационными представлениями нелинейных уравнений будет пониматься их запись как .условий коммутации некоторых операторов или матриц. Классический пример - представление Лакса для уравнения КдФ

д,и = ^идхи+^д3хи, и = и{х^), (0.1)

которое имеет вид

д^ = [М, Ц , (0.2)

или [дг — М, Ь) =0. В случае уравнения КдФ Ь и М должны быть дифференциальными операторами по переменной х: Ь = д2х + и, М = д^ + \11дх + \{дх11). Представление Лакса сразу позволяет сделать вывод, что динамика по I сохраняет спектр оператора

Лакса L, который мы будем называть L-оператором. Действительно, уравнение (0.2) представляет собой инфинитезимальную версию преобразования подобия с некоторой матрицей, зависящей от времени. Второй оператор в (0.2) называется М-оператором.

Представление Лакса можно обобщать в разных направлениях. Большинство таких обобщений укладывается в рамки представления нулевой кривизны

dtL - дуМ = [М, L], (0.3)

или [dt — М, ду — L] = 0. Здесь L и М могут быть либо операторами с матричными коэффициентами, либо просто числовыми матрицами. В последнем случае они могут зависеть от некоторого дополнительного параметра z, который называется спектральным параметром: L = L(z), М — M(z), и условие (0.3) должно выполняться при всех значениях z. Это условие дает нелинейные уравнения в частных производных на элементы матриц L и М (которые мы продолжаем называть L и М-операторами). Представление (0.3) имеет уже весьма общий характер. Трудно перечислить все уравнения, которые оно порождает. Если М не зависит от у, мы возвращаемся к представлению Лакса.

Обсудим теперь дискретные версии представления нулевой кривизны. Аналог условия (0.3) на пространственной решетке с непрерывным временем имеет вид

dtCi = М1+1£{ - CiMt, (0.4)

где I пробегает узлы пространственной решетки. Очевидно, (0.4) эквивалентно коммутативности операторов e~dlC и dt — М. Если же и временная переменная t тоже посажена на решетку, возникает условие

M¡+1,t£i,t = Ci,t+iMi,t, (0.5)

которое равносильно коммутативности операторов e~dtM и е~д'£. Оно означает отсутствие кривизны некоторой связности на двумерной решетке с координатами l,t, т.е. последовательные сдвиги вдоль этих направлений коммутируют. Нетрудно указать непрерывные пределы, при которых (0.5) превращается последовательно в (0.4) и (0.3). Если речь идет о разностных уравнениях, мы как правило будем обозначать их каллиграфическими буквами С, М, чтобы не путать с операторами, участвующими в дифференциальном условии (0.3).

Приведем пример представления (0.5) со спектральным параметром, который будет нужен в главе 7. Рассмотрим матрицы

цф(х + 1,у)ф(х,у)~1 г ф(х+ 1,у)~1ф{х,у)~1 \

гф{х + 1,у)ф(х,у) ¡лф(х + 1,у)~1ф(х,у) /

иф(х,у+1 )ф(х,у)~1 гф(х,у+1)-1ф{х,у)~1 \

Мх,у(г)

гф(х,у + 1)ф(х,у) иф(х,у + 1)~1ф(х,у) } Условие (0.5) на плоской решетке с координатами ж, г/, т.е.

Мх+1<у{г)£х,у{х) - СХ1у+х{г)Мх<у{г),

эквивалентно уравнению

иф(х, у + 1 )ф(х + 1, у + 1) - иф(х, у)ф(х + 1, у) = 1лф(х + 1,у)ф(х+1,у + 1)-1лф(х,у)ф(х,у+1), (0.6)

где ф(х,у) = ф2(х, у). Это уравнение впервые появилось в работах Фаддеева и Волкова. Оно включает в себя континуальные уравнения СГ и КдФ как различные непрерывные пределы.

В многообразии коммутационных представлений легко запутаться. Возможная путаница усугубляется еще и тем, что одно и то же уравнение может иметь много (и даже бесконечно много) разных коммутационных представлений. В главе 5 сделана попытка систематизации этого материала с акцентом на разностные уравнения. Всевозможные варианты условия нулевой кривизны - как со спектральным параметром, так и без него,

'V •

получаются по определенным простым правилам из одного-единственного разностного оператора первого порядка со скалярными коэффициентами. Фрагменты этой картины в том или ином виде существовали в литературе, поэтому глава 5 не претендует на новизну и оригинальность. Предлагаемая систематика и не является для нас самоцелью. Она потребуется в главе 7, где существенно облегчит нахождение коммутационных представлений для уравнений с большим числом переменных и параметров.

Вспомогательные линейные задачи Условия нулевой кривизны эквивалентны совместности некоторой переопределенной системы линейных разностных уравнений при

наличии у последней достаточно большого запаса решений. В одну сторону это очевидно. Рассмотрим, например, условие (0.3). Поскольку оно означает коммутативность операторов дх — М и ру — Ь, последние обязаны иметь общую собственную функцию Ф:

(д„-1)Ф = 0, (&-М) Ф = 0. (0.7)

Собственные значения без потери общности можно положить равными нулю, так как этого всегда можно добиться умножением Ф на экспоненту от линейной формы по у и I. Для дискретного условия нулевой кривизны (0.5) аналог уравнений (0.7) записывается в виде

Сф1'* = Ф/+1-*, Мфц = Фм+:. . (0.8)

Мы видим, что оператор С сдвигает переменную /, а оператор М - переменную I.

Такие уравнения называются вспомогательными линейными задачами (ВЛЗ). Они играют очень важную роль в теории. Решения ВЛЗ с определенными аналитическими свойствами - так называемые функции Бейкера-Ахиезера - несут полную информацию о нелинейных уравнениях. Все свойства последних могут быть сформулированы в терминах ВЛЗ, что иногда называют "линеаризацией" нелинейных уравнений.

Матрица монодромии В отличие от представления Лакса, формулы типа (0.3)-(0.4) еще не позволяют сразу же усмотреть, что какие-то величины не зависят от времени. Чтобы это увидеть, рассмотрим Ь и М-операторы на одномерной решетке с периодическим граничным условием = ^¡(г), = М^г)-, г - спектральный параметр. Матрица монодромии 71(г) представляет собой упорядоченное произведение ¿-операторов вдоль решетки начиная с узла I и кончая узлом / + А' — 1:

ВД = ... £/+1 (*)£,(*). (0.9)

Это определение и равенство (0.5) немедленно приводят к соотношениям

Тц+1{г) = МхМШ^Мф))-1, 77+1,= ¿МТиМШ*))'1 • (0-Ю)

Отсюда видно, что след матрицы монодромии Т(г) = ЬтТц(г), а также все остальные ее спектральные инварианты, не зависят ни от ни от /. Разлагая к^Т(-г) по степеням г, 1о%Т(г) = £2п 2п<?п, получим набор сохраняющихся величин Зп. Тот же самый вывод следует из (0.4) и для систем на решетке в непрерывном времени.

Классическая r-матрица Хотя обсуждаемые ниже результаты справедливы и в большей общности, будем для простоты предполагать, что L и М-операторы - это числовые матрицы размера 2 х 2. Краеугольным камнем гамильтонова подхода в современной формулировке является следующее соотношение для скобок Пуассона матричных элементов ¿-оператора:

{АОг), £2{w)} = [r12{z/w), £x(z)£2(w)} , (0.11)

где £i = £<g>/, С2 = /<8>£, I - единичная матрица в пространстве С2, и, наконец, г12 - числовая матрица в пространстве С2®С2, которая и называется классической г-матрицей. Коммутатор в правой части берется в пространстве С2®С2. При условии ультралокальности, т.е. равенства нулю скобок Пуассона между элементами ¿-операторов, находящихся на разных узлах решетки, из (0.11) и (0.9) следует, что элементы матрицы моно-дромии Ti(z) удовлетворяют точно такой же алгебре скобок ПуаНсона (0.11), а интегралы движения Jn инволютивны. Любой из них или любую их линейную комбинацию можно выбрать в качестве гамильтониана, породив целое семейство коммутирующих гамиль-тоновых потоков. Тем самым, можно построить иерархию интегрируемых уравнений на пространственной решетке в непрерывном времени. Можно ли аналогичным образом прийти к иерархии уравнений в дискретном времени, и если да, то как это сделать технически, остается не вполне ясным в рамках этого метода.

Существует эквивалентная, хотя, возможно, менее популярная точка зрения на г-матрицу, которая и будет для нас основной. Для нас важно, что эта точка зрения не нуждается в гамильтоновом формализме, который плохо приспособлен для систем в дискретном времени. Заметим, что все введенные выше гамильтоновы потоки допускают

"V «

представление нулевой кривизны. Замечательно, что формула для производящей функции М-операторов пишется через ту же классическую r-матрицу, входящую в (0.11):

Mi{z; w) = T'^w) tn [r12(z/w)(Ti(w) <g> /)] , (0.12)

где tri означает след по первому пространству. То, что эта величина удовлетворяет условию нулевой кривизны типа (0.4) при эволюции вдоль потока, генерируемого гамильтонианом logT(w), следует из г-матричных скобок Пуассона (0.11) в результате прямой проверки. Однако после того, как формула (0.12) написана, ссылка на гамиль-тонов формализм, с помощью которого она была получена, становится совершенно не-

обязательной. В самом деле, все интересующие нас нелинейные уравнения можно получить прямой подстановкой М-операторов - т.е. коэффициентов разложения (0.12) по и> - в условие нулевой кривизны (0.4). При этом мы можем быть уверены, что не получим переопределенную систему уравнений. Это гарантируется в конечном счете классическим уравнением Янга-Бакстера для г-матрицы, которое обеспечивает выполнение тождества Якоби для скобки (0.11) и, следовательно, внутреннюю самосогласованность конструкции в целом. Итак, встав на эту точку зрения, классическую г-матрицу можно понимать как некоторую универсальную "машину" для производства М-операторов из ¿-операторов (напомним, что 7/(ю) в (0.12) - это произведение ¿-операторов).

В общем случае М/(г; ио) - нелокальная величина, зависящая от динамических переменных на всех узлах решетки. С помощью специальных приемов молено добиться локальности порождаемых ею М-операторов. В главе 7 локальный вариант формулы (0.12) будет обобщен на М-операторы для дискретных временных потоков. Вместо классической г-матрицы в ней при этом появится квантовая. Этот результат целиком обязан использованию билинейного формализма Хироты в интерпретации Мивы, к обсуждению которого мы и перейдем.

Билинейный формализм Хироты и г-функция Альтернативная точка зрения на нелинейные эволюционные уравнения типа КдФ, КП, 2ЦТ и др. связана с их "геометрической" интерпретацией как динамических систем на бесконечномерных грассман-нианах и пространствах флагов. В этой связи очень полезными оказались операторные методы киотской школы. Эти методы, соединенные с билинейным формализмом Хиро-ты, независимо развитым несколько ранее, привелй к осознанию фундаментальной роли т-функции.

Большое достоинство этого подхода - хорошая приспособленность к описанию бесконечных иерархий интегрируемых уравнений - как дифференциальных, так и разностных одновременно. Серьезный недостаток - отсутствие полноценной гамильтоновой интерпретации. На наш взгляд, этот и некоторые другие недостатки окупаются необычайным удобством при работе с разностными уравнениями.

В двух словах, т-функцию можно понимать как решение сразу всех уравнений неко-

торой бесконечной интегрируемой иерархии. Фундаментальная роль т-функции в том, что в ее терминах можно представить все уравнения иерархии одновременно в виде одной формулы, имеющей вид универсального билинейного тождества на т-функцию. Поскольку каждому члену иерархии отвечает свой собственный временной поток, т-функция по необходимости должна быть функцией от бесконечного числа переменных. Тем ке менее, в каждом конкретном уравнении, появляющимся при разложении универсального билинейного тождества, число нетривиально входящих в него переменных оказывается конечным, а остальные можно рассматривать как параметры. Именно эта свобода, позволяющая не фиксировать сразу число переменных, а в случае необходимости вводить новые, и делает этот формализм столь гибким при работе с иерархиями и разностными уравнениями.

Для уравнения КдФ (0.1) т-функция вводится подстановкой и = 2дl\og т. В этом примере польза от введения т-функции на первый взгляд весьма сомнительна - после некоторых преобразований можно снять одну производную, и уравнение приобретает вид

(^г)г-4(^3г)(а,г) + 3(31т)2-4(а^т)т+4(ажг)(^т) = Сг2 (0.13)

(здесь С - постоянная интегрирования), который вряд ли проще исходного. Практическая польза от введения т-функции в полной мере проявляется при переходе к чисто разностным уравнениям. Будучи записаны в билинейной форме через т-функцию, эти уравнения выглядят проще, чем в любой другой форме и проще своих непрерывных аналогов.

Рассмотрим, например, билинейное разностное уравнение Хироты

Ъ\т{\Г1 + 1,Х2, Хз)т(х1 - 1, х2, х3) + г2т(хих2 + 1,х3)т(хих2 - 1,Жз)

+ г3т(х1,х2,х3 + 1)т(х1,х2,х3-1) = 0, (0.14)

где Zi - произвольные константы, по своему смыслу связанные с размером шага решетки по каждому из трех направлений. В отличие от уже встречавшихся нам примеров, это трехмерное разностное уравнение, замечательное помимо всего прочего тем, что оно дает канонические интегрируемые дискретизации для большинства важнейших со-

литонных уравнений. В дальнейшем мы как правило будем называть его просто уравнением Хироты. Его внешняя простота столь же удивительна, сколь и обманчива: форма уравнения полностью диктуется законами интегрируемости и скрывает содержательные математические структуры, а некоторые более простые на вид уравнения не поддаются анализу аналитическими методами.

Один из наиболее впечатляющих результатов Хироты заключается в том, что уравнение (0.14) объединяет многие, если не все, известные солитонные уравнения. Беря непрерывные пределы для подходящих комбинаций переменных и параметров, из уравнения Хироты можно получить уравнения 2ЦТ, КП, МКП, КдФ, МКдФ, СГ, АКНС и другие. Их дискретные аналоги получаются из уравнения Хироты путем различного выбора зависимых и независимых переменных и (или) редукций. Более того, само уравнение (0.14) допускает представление нулевой кривизны и имеет солитонные решения при всех значениях параметров. Все это позволяет рассматривать уравнение Хироты как фундаментальное классическое солитонное уравнение, в котором все типичные примеры содержатся как частные случаи.

Разностные и дифференциальные солитонные уравнения в контексте билинейного формализма оказываются очень тесно связанными между собой. Мы уже отмечали, что последние получаются из первых как результат непрерывного (скейлингового) предела. Связь в обратном направлении - от непрерывных уравнений к дискретным -была обнаружена Мивой, который заметил, что разностное уравнение Хироты может быть получено из иерархии дифференциальных уравнений КП, если рассмотреть временную эволюцию вдоль некоторых бесконечных суперпозиций стандартных потоков иерархии. Иными словами, разностные интегрируемые уравнения можно понимать как члены той же иерархии, что и их дифференциальные аналоги. Эта идея послужила основой систематического метода производства дискретных солитонных уравнений из непрерывных.

Место т-функции в гамильтоновом формализме до конца не ясно и служит предметом дискуссий. Результаты главы 7 говорят о том, что г-функция классических дискретных уравнений хорошо "взаимодействует" непосредственно с квантовой /¿-матрицей. Кроме того, в главе 6 мы увидим, что само уравнение (0.14) - без всякого его дополнительного

квантования - уже присутствует в квантовой теории как точное соотношение между различными членами семейства коммутирующих интегралов движения. Это еще одно свидетельство в пользу того принципа, что в правильной процедуре дискретизации уже содержится все или почти все, что мы хотим от "настоящего" квантования.

0.2.2 Понятия и методы квантовой теории

Как уже отмечалось, постановка задач в квантовой теории существенно отличается от классической. В квантовых задачах мы в первую очередь интересуемся спектральными свойствами системы, для которых существующие методы позволяют получать более или менее полные результаты. В данном ниже обсуждении мы не касаемся собственно координатного анзаца Бете, а начинаем сразу с лежащих в его основе алгебраических структур.

Квантовый L-оператор и Л-матрица Квантовый ¿-оператор - это матрица с некоммутативными, т.е. операторными матричными элементами Ьц (в большинстве случаев зависящая от спектрального параметра1), которые действуют в пространстве представления W некоторой алгебры или группы. Оно называется квантовым пространством ¿-оператора. То пространство, к которому относятся матричные значки ¿-оператора, называется вспомогательным. Для краткости будем обозначать его через V. Тем самым, квантовый ¿-оператор действует в У,

Здесь мы для наглядности будем обсуждать ¿-операторы с двумерным вспомогательным пространством V = С2:

/ ¿n(ti) L12(U) \ L(u)= , Lij{u) е End(ft). (0.15)

V ¿21 (и) L22{u) /

Квантовым аналогом r-матричных скобок Пуассона (0.11) служит следующее основное коммутационное соотношение:

R12(u - (w)L2(,w/) = L2{u')Lx{u)Rl2{u - и'). (0.16)

Числовая матрица R € End(V 0 V) (т.е. в нашем случае просто числовая матрица размера 4x4) называется (квантовой) R-матрицей. Ее элементы играют роль структурных

хКак правило, аддитивный спектральный параметр мы будем обозначать через и, а мультипликативный - через 2 или и>.

констант квадратичной алгебры, порожденной элементами ¿-оператора. Из условия ассоциативности этой алгебры следует уравнение Янга-Бакстера

Яп(и1 - и2)Й1з(«1 - «з)Я2з(«2 ~ из) = ^23(^2 - - и^И^Щ - щ) , (0.17)

которому должна удовлетворять й-матрица.

В равенствах (0.16), (0.17) мы используем следующие стандартные в теории уравнения Янга-Бакстера обозначения: Ь\{и) = Ь(и) <8) /, ¿2(^) = I® ¿(и), где I - тождественный оператор. Равенство (0.17) написано в тензорном произведении трех одинаковых пространств С2. Аналогично, Н^ действует как единичная матрица на третьем сомножителе и как матрица Я на первом и втором и т. д.

Очень полезна графическая интерпретация, которая, с одной стороны, пришла из теории факторизованного рассеяния, а с другой - из статистической механики на плоских решетках. Уравнение Янга-Бакстера изобразится следующим образом:

Этот рисунок означает, что любую линию можно переносить через точку пересечению двух других линий, и результат произведения матриц, составленного одним и другим способом, не изменится. - -

' V •

Приведем стандартный пример Л-матрицы:

ВД = \ К«)+ &(*)] I ® [+\[а{2)-К2)} <73 ® <73 + («л ® (П+С72 <2) <т2) (0.18)

/ a(z) 0 0 0 \

0 b(z) c{z) 0

0 c{z) b(z) 0 • '

0 0 0 a{z) )

Здесь и везде ниже сгг- - матрицы Паули,

a{z) = qz - q~lz~l, b(z) = z - z'1, c(z) = q-q~\

д - "квантовый" параметр. Квантовые Д-матрицы одного размера можно классифицировать по типу зависимости от спектрального параметра. Наиболее хорошо изучены случаи рациональной, тригонометрической и эллиптической зависимости. Чтобы не загромождать Введение большим количеством формул, мы не приводим здесь других примеров, а будем обращаться к ним по мере необходимости (см. формулы (4.7), (6.2), (6.30), (6.37) основного текста).

Обсудим теперь примеры ¿-операторов. Простейшим ¿-оператором является сама Е-матрица, если считать ее первое пространство квантовым, а второе - вспомогательным. При этом уравнения (0.16) и (0.17) совпадут. Более общие ¿-операторы можно условно классифицировать по максимальной степени спектрального параметра, в него входящей2 (или, более инвариантным образом, по числу полюсов в подходящей нормировке). Один из простейших ¿-операторов, "сплетаемых" /¿-матрицей (0.18), имеет вид

( гА-г^Б (я - 4^)0 \

ад =

{{д-д'^В гВ-г~1А)

где операторы А, В, С, ¿) должны удовлетворять некоторой квадратичной алгебре (см. (1.25)).

Квантовая матрица монодромии Квантовая матрица монодромии (Т-матрица) -это, в простейшем случае, упорядоченное произведение Д-матриц во вспомогательном пространстве С2:

Т{и) = Я0ы{и -ум)... 11о2(и - - у\). (0.20)

Это 2 х 2-матрица с операторными элементами. Они действуют в квантовом пространстве Vi = С2. Параметры у, произвольны; иногда их называют быстротами или неоднородиостями в узлах.

Изобразим Т-матрицу графически:

(0.19)

Т(и

Л

и.

У\ У 2

Ум

2Разумеется, мы говорим только о той зависимости от спектрального параметра, которая остается после сокращения на общий скалярный множитель максимально возможной степени.

Традиционно вспомогательное пространство ассоциируется с горизонтальной линией, а квантовое - с вертикальными.

Следующее "сплетающее" соотношение является непосредственным следствием (0.16):

Квантовое пространство в этом примере - это тензорное произведение @.-=1 Заметим сразу же, что если Т(и) сплетается /^-матрицей (0.18), т.е. удовлетворяет соотношению (0.21), то сг{Т(и), где <т,- - любая из матриц Паули, удовлетворяет тому же соотношению. Это следует из того, что сгг- сами удовлетворяют (0.21), т.е. являются "константными" решениями этого уравнения.

Вместо Л-матриц в (0.20) можно перемножать более сложные ¿-операторы, например, вида (0.19), где считается, что операторы А, В, С, В, взятые на разных узлах, коммутируют. Квантовое пространство таких Т-матриц обычно представляет собой тензорное произведение пространств неприводимых представлений алгебры, которой принадлежат операторы А, В, С, Б в (0.19). Число перемноженных ¿-операторов отождествляется с числом узлов решетки в некоторой интегрируемой системе, семейство коммутирующих гамильтонианов которой сейчас будет указано.

Из коммутационного соотношения (0.21) следует, что след Т{и) по вспомогательному пространству Т{и) = ЬтТ(и), называемый квантовой трансфер-матрицей или просто Г-матрицей3, обладает следующим ключевым свойством:

т.е. Т(и) коммутируют как операторы в % при всех значениях спектрального параметра. Иными словами, Т(и) является производящей функцией коммутирующих интегралов движения, любой из которых (или любую их комбинацию) можно взять в качестве гамильтониана. Количество независимых интегралов движения равно, грубо говоря, числу узлов решетки. Основная задача - это диагонализация Т(и). Решив ее, мы одновременно диагонализуем и все гамильтонианы из коммутативного семейства, т.е. найдем спектр соответствующих квантовых систем.

3Название "трансфер-матрица" пришло из статистической механики на решетке. Трансфер-матрица не действует во вспомогательном пространстве, а слово "матрица" здесь относится к квантовому пространству.

Яи{и - ч')Тх(и)Ъ(и') = Т2(и')Т1(и)Н12(и - и').

(0.21)

[Т(и),Т(и'))=0,

(0.22)

В первых главах диссертации нас будет особенно интересовать совсем простой на первый взгляд случай решетки из одного узла. Более внимательный анализ показывает, что этот пример таит в себе много интересного. Очевидно, Т-матрица в этом случае просто совпадает с ¿-оператором (0.19). С учетом сделанного выше замечания о константных решениях уравнения Янга-Бакстера, мы получаем "интегрируемые" гамильтонианы

Я(г) = tr (<т,- L{z)). (0.23)

Как видно из (0.19), спектральный параметр в них либо вообще не входит, либо зависимость от него собирается в функцию, входящую как общий множитель. Связь с разностными уравнениями обусловлена тем обстоятельством, что квадратичная алгебра, которой удовлетворяют операторы А, В, С, D, имеет реализации разностными или дискретными операторами. Следовательно, гамильтонианы (0.23) превращаются в некоторые операторы, действующие на одномерной или двумерной решетке. Диагонализация трансфер-матрицы означала бы решение спектральной задачи для них.

Оказалось, что среди этих операторов содержатся и такие, диагонализация которых является одной из классических проблем в отрасли математической физики, занимающейся исследованием спектров типа сингулярного континуума. В физике твердого тела аналогичная задача известна как проблема Азбеля-Хофштадтера или задача о блохов-ской частице на плоской решетке в однородном магнитном поле. Из-за "фрактальной" структуры спектра при иррациональных значениях магнитного потока через плакет решетки, эта задача плохо поддается анализу традиционными методами. Намеченный

здесь подход позволяет подойти к этой проблеме с совершенно новой точки зрения, а

> ■

именно, получить выражение для спектра гамильтониана через решения уравнений Бете (см. ниже), т.е. в форме, обычной для квантовых интегрируемых моделей. Подробному изложению этих вопросов посвящена вся первая глава диссертации. Во второй и третьей главах изучены более общие гамильтонианы (разностные операторы), получающиеся из квантовых трансфер-матриц подобным образом. Для этого рассматриваются также трансфер-матрицы для интегрируемых систем с границами, которые мы во Введении обсуждать не будем.

Аналогичное построение для ¿-операторов с эллиптической зависимостью от спек-

трального параметра позволило найти разностные аналоги классических операторов Ламе (глава 4), спектр которых обладает замечательными "конечнозонными" свойствами. Тем самым, была обнаружена нетривиальная связь КМОЗ с теорией конечнозонного интегрирования солитонных уравнений. Другие аспекты связи КМОЗ с классическими солитонными уравнениями в дискретном времени обсуждаются в главах б и 7.

Функциональный анзац Бете Вернемся к общему случаю. Как и ¿-оператор (0.15), матрицу монодромии можно представить в блочном виде

где В {и), С (и), Т>(и) - некоторые операторы в квантовом пространстве. Их ком-

мутационные соотношения следуют из (0.21). Обычная постановка задачи заключается в диагонализации Т{и) = Л (и) + Т>{и) и нахождении совместного спектра этих операторов.

Говоря совсем коротко, рецепт, даваемый функциональным анзацем Бете, состоит в переходе к базису, в котором диагональны операторы В (и), и преобразовании спектральной задачи для Т(и) к этому базису. Более точно, в качестве динамических переменных надо взять "операторные нули" щ оператора В (и) (В(щ) = 0) и "значения" оператора -Д(и) в этих нулях, т.е. А{щ). Оказывается, что при этом переменные разделяются, и спектральная задача в разделенных переменных сводится к знаменитому Т-ф соотношению Бакстера,

которое было им получено совсем другим способом. Здесь ф(и) - заданная функция, явный вид которой определяется моделью, (¿(и) - некоторая вспомогательная функция. Задание определенных аналитических свойств Т(и) и (¿(и) позволяет найти их одновременно. Ответ выражается через решения уравнений Бете на нули функции ф.

Уравнения Бете Несмотря на разнообразие интегрируемых моделей и методов, которыми они решаются, конечные результаты обнаруживают удивительную универсальность. Спектр гамильтониана интегрируемой модели с локальным взаимодействием

(0.24)

ф(и)д{и + 2) + ф(и + 2)<Э(и - 2) ■=,Т(и)д(и)

(0.25)

дается суммой "элементарных" энергий

Е = ^е(щ), (0.26)

г

гдем - вспомогательные величины, удовлетворяющие системе алгебраических или трансцендентных уравнений, называемых уравнениями Бете. Их основные ингредиенты определяются исключительно алгебраической структурой модели. Форма уравнений Бете по существу одинакова для всех моделей из одного алгебраического класса.

Например, для моделей, ассоциированных с алгебрами ранга 1, уравнения Бете представляют собой систему

2)=_ ^,-„, + 2) ф\щ) j 9{иг -Uj- 2)

Здесь ф - некоторая функция, вид которой зависит от конкретной модели, а функция д

целиком определяется /¿-матрицей и бывает только трех видов: д(и) = и, д(и) = sin г/и,

д(и) = 6(г)и), где в - одна из ^-функций Якоби, а г) - параметр. В действительности,

функцию ф можно считать равной произведению функций д:

Ф{и) = 1[д(и-у{) (0.28)

г

с некоторыми параметрами y¿ - теми же, что и в (0.20). Этого достаточно для описания систем на конечных решетках с конечномерным квантовым пространством. Все остальные случаи можно в том или ином смысле рассматривать как предельные варианты этого. Функция Q(u) в (0.25) представляется в виде Ц? 9ÍU ~~ uj)- Различные решения системы уравнений Бете соответствуют различным квантовым состояниям модели.

Системы частиц с внутренними степениями свободы или обобщенные спиновые цепочки со "спинами", принадлежащими представления^ групп или алгебр ранга к > 1, решаются цепочкой последовательно "вложенных" друг в друга анзацев Бете. На физическом языке можно сказать, что идея этого метода заключается в интегрировании по части степеней свободы с помощью анзаца типа Бете, причем эффективный гамильтониан опять оказывается интегрируемым. Повторяя эту процедуру несколько раз, можно прийти к модели без внутренних степеней свободы, которая решается обычным анзацем Бете. Мы будем называть эту схему иерархическим анзацем Бете. Вместо (0.27) в этом

случае получается более сложная система уравнений

д(и\-и^+2) д{^-и)-2) g(uj - и^) у- дЫ-vT1) \19Ы-и)+2)^д(и\-и^-2) ^

на вспомогательные параметры и\ с двумя индексами, форма которой тоже универсальна для всех моделей из этого класса. Здесь целое число I меняется от 0 до к +1 и называется уровнем иерархического анзаца Бете. Обычно значения и° и щ+1 считаются заданными. Они играют роль параметров в (0.28).

В главе б мы покажем, что (0.29) естественно трактовать как уравнения движения классической системы частиц типа Калоджеро-Мозера или Рейсенарса в дискретном времени I. Бетевские квазиимпульсы и\ приобретают тогда смысл координаты г-й частицы в момент времени

Скажем несколько слов о смысле и роли уравнений Бете с более практической точки зрения. Интегрируемость по Лиувиллю, т.е. наличие достаточного количества законов сохранения, далеко не всегда влечет возможность явного решения спектральной задачи, т.е. нахождение энергии уровня как известной функции его номера. Число квантовоме-ханических задач, где это возможно, очень ограничено. Большинство типичных квантовых интегрируемых систем в этом смысле не допускают явного решения. Энергии уровней спектра в них даются в весьма опосредованном виде - они выражаются через корни уравнений Бете. Но для конечных цепочек, т.е. до перехода к термодинамическому пределу, уравнения Бете, как правило, не могут быть решены аналитически, и даже их численное решение на компьютере часто менее эффективно, чем непосредственная диагонализация гамильтониана. Роль уравнений Бете в другом. В теоретическом плане, сведение задачи диагонализации гамильтониана к уравнениям Бете обнаруживает удивительную похожесть всех квантовых интегрируемых моделей друг на друга. Практический аспект, возможно, даже более удивителен - если число корней достаточно

у .

велико, эти алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть сведены к интегральным и в ряде случаев решены аналитически. Еще одним комментарием на эту тему мы и завершим данный параграф.

О термодинамическом пределе С прагматической точки зрения предназначение алгебраического аппарата КМОЗ состоит в выводе уравнений Бете (и объяснении их универсальной формы). Получение конкретных аналитических выражений для физических величин после того, как уравнения Бете написаны, представляет собой отдельную технически сложную задачу. В термодинамическом пределе она решается переходом к

интегральным уравнениям на плотности распределения их корней, что дает возможность находить такие величины, как энергии основного и возбужденных состояний, термодинамические восприимчивости, а также матрицу рассеяния возбуждений.

Полученные таким образом результаты опять указывают на тесную (но, к сожалению, до конца еще не понятую) связь с системами частиц типа Калоджеро-Мозера, на сей раз квантовыми. Напомним, что методы решения этих последних используют гармонический анализ на однородных пространствах. В заключительной главе диссертации мы покажем, что если должным образом расширить понятие однородного пространства, включив в него "пространства" с некоммутирующими координатами, результаты, которые дает техника вычислений анзаца Бете для матрицы рассеяния двух "одетых" возбуждений в квантовых моделях по существу совпадают с амплитудами рассеяния фиктивной частицы со спином, двигающейся свободно на таком "однородном пространстве". Условно говоря, волновая функция частицы в 5- или Р-волне есть собственная функция радиального оператора типа Дирака ("квадратного корня" из радиального оператора Лапласа-Бельтрами), уравнение на собственные значения для которого в простейшем случае совпадает с ^-разностным уравнением КЗ.

Все это говорит о том, что в термодинамическом пределе в квантовых интегрируемых моделях появляются новые, вообще говоря, бесконечномерные симметрии, позволяющие находить физические величины без обращения к сложной технике вычислений анзаца Бете. В тоже время, в каждом секторе с конечным числом частиц бесконечномерная симметрия может проявляться уже как конечномерная, обеспечивая возможность указанной выше геометрической интерпретации процесса рассеяния. Благодаря этому можно построить унитарные и кроссинг-инвариантные ¿"-матрицы физических возбуждений интегрируемых моделей квантовой теории поля в терминах с-функции Хариш-Чандры для классических и квантовых конечномерных однородных пространств.

0.3 Содержание работы

Дадим теперь последовательное описание того материала, который содержит диссертация.

В главе 1 предлагается новый подход к задаче о спектре блоховской частице на плос-

кой решетке в магнитном поле, которую иногда называют проблемой Азбеля-Хофштад-тера. Он основан на связи между группой магнитных трансляций на решетке и квантовой алгеброй ид(з12), которая установлена в главе 1. Это дало возможность найти решение проблемы Азбеля-Хофштадтера для рациональных значений магнитного потока (который определяет параметр "квантовой" деформации д). В этом случае спектр содержит конечное число зон, равное знаменателю несократимой дроби, в виде которой записывается магнитный поток. В специальной калибровке гамильтониан модели записывается в виде разностного оператора второго порядка на одномерной решетке (задача на его собственные значения известна как уравнение Харпера). Метод, использованный для его диагонализации, аналогичен функциональному анзацу Бете. Основной результат заключается в том, что энергии состояний в "серединах" и краях зон и их блоховские волновые функции выражены в терминах решений уравнений Бете, типичных для квантовых интегрируемых систем. Кроме того, волновая функция, отвечающая состоянию с нулевой энергией (нулевая мода), выражена через д-деформации классических ортогональных полиномов.

В главе 2 дано систематическое исследование разностных операторов второго порядка по одной переменной, обладающих скрытой алгебраической симметрией, и обобщающих уравнение Харпера. Мотивировкой общих рассмотрений этой главы послужил вопрос о том, существуют ли другие варианты моделей типа Азбеля-Хофштадтера, гамильтонианы которых поддаются диагонализации функциональным анзацем Бете и вместе с тем достаточно реалистичны. (Некоторые такие гамильтонианы предъявлены в этой главе; они отвечают моделям на решетках других типов, возможно, при наличии анизотропии.)

В рассмотрение вводится класс разностных (дискретных) операторов на прямой, которые обладают свойством частичной "алгебраизации" спектра. Они имеют конечномерное инвариантное подпространство, образованное полиномами, т.е. собственные функции алгебраической части спектра являются полиномами. Корни этих полиномов удовлетворяют уравнениям анзаца Бете и определяют спектр. Существование и явный вид таких операторов следует из теории представлений алгебры ид(з12) - квантовой деформации алгебры з12. Во параграфе 2.2 они представлены как однородные квадратич-

ные (или линейные) формы по генераторам алгебры ¿^(з^)- Специальным случаем являются разностные уравнения для (/-гипергеометрической функции. Если с/ - корень из 1, возникают интересные физические приложения к задачам типа Азбеля-Хофштадтера, которые проанализированы в параграфе 2.4. В параграфе 2.5 обсуждаются разностные операторы, связанные с другими квантовыми алгебрами и имеющие собственные функции в классе лорановских полиномов. Для их корней тоже получены уравнения Бете.

Сама форма этих результатов заставляет искать прямые связи с таким мощным методом теории квантовых интегрируемых систем, каким является КМОЗ. Такие связи действительно существуют. Их выявлению посвящена глава 3. Оказывается, все рассмотренные в главе 2 разностные операторы могут быть представлены как следы квантовых матриц монодромии специального вида, которые и строятся в этой главе.

В параграфе 3.2 описаны элементарные квантовые 2x2 ¿-операторы общего вида, зависящие от (рационального) спектрального параметра. Матричные элементы ¿-операторов выражаются через генераторы ^(з^), которые могут быть реализованы как разностные операторы. В параграфе 3.3 дан краткий обзор элементов теории интегрируемых систем с границами - "уравнения отражения" для граничных А'-матриц и конструкции квантовых матриц монодромии и трансфер-матриц. Применение этого формализма к элементарным ¿-операторам XXZ-типcL, сплетаемых тригонометрической /¿-матрицей, дает трансфер-матрицы, спектр которых полностью или частично алгебраичен (параграф 3.4).

Непрерывный предел рассматриваемой конструкции разобран в параграфе 3.5. При этом воспроизводится класс "квазиточнорешаемых" одномерных спектральных задач в смысле Турбинера и Ушверидзе. Их гамильтонианы (дифференциальные операторы второго порядка) представляются в виде квадратично-линейных форм из стандартных генераторов В нашем подходе эти генераторы возникают как матричные элементы универсального 2x2 ¿-оператора ХХХ-типа, а коэффициенты квадратично-линейной формы выражаются через свободные параметры, входящие в граничные А"-матрицы. Здесь же обсуждаются изоспектральные преобразования построенных операторов второго порядка под действием группы БЬ{2) и их интерпретация в терминах КМОЗ.

В четвертой главе обсуждается обобщение части результатов двух предыдущих глав

на квантовые ¿-операторы размера 2x2 с эллиптической зависимостью от спектрального параметра. Алгебраическая структура соответствующих квантовых систем (например, .ХУ^-магнетика) связана с эллиптической деформацией s/2 - алгеброй Склянина. Анализ эллиптических ¿-операторов требует некоторых конструкций из алгебраической геометрии, без которых в тригонометрическом случае можно было обойтись. Изложение строится вокруг двух замечательных алгебраических кривых, которые можно ассоциировать с эллиптическим ¿-оператором - его вакуумной кривой и спектральной кривой его следа.

Явное построение вакуумной кривой ¿-оператора XYZ-магнетика с произвольным (целым или полуцелым) спином проводится в параграфе 4.2. Эта кривая оказывается сильно приводимой, т.е. распадается в объединение нескольких одинаковых компонент. Построено также семейство вакуумных векторов - сечений некоторых голоморфных расслоений на вакуумной кривой. На основе этих подготовительных конструкций дана новая функциональная реализация алгебры Склянина на семействе вакуумных векторов. Генераторы алгебры Склянина реализованы как разностные операторы по двум переменным, действующие в некотором инвариантном подпространстве функций от двух переменных (параграф 4.3).

В параграфе 4.4 проанализированы спектральные свойства простейшей эллиптической трансфер-матрицы tvL. В отличие от тригонометрического случая, где такая трансфер-матрица была оператором с постоянными коэффициентами, эллиптические L-операторы порождают разностные аналоги операторов Ламе. А именно, tvL пропорционален генератору S0 алгебры Склянина, который, будучи представлен как разностный

V •

оператор второго порядка с эллиптическими коэффициентами, обладает свойством ко-нечнозонности.

В параграфе 4.5 изучен такой тригонометрический предел эллиптических конструкций этой главы, в котором из trL получался бы нетривиальный оператор с тригонометрическими коэффициентами. Этот предел требует "подкручивания" эллиптического ¿-оператора с помощью калибровочного преобразования, сингулярного в точке вырождения. В результате след ¿-оператора по вспомогательному пространству превращается в гамильтониан тригонометрической двухчастичной модели Рейсенарса. С алгебраиче-

ской точки зрения эта ситуация описывается квадратичной алгеброй Тч(з/г), "промежуточной" между алгеброй Склянина и стандартной квантовой алгеброй ^(з/г)- (Представления алгебры Т3(з/2) разностными операторами фигурируют также в параграфе 2.6 второй главы).

Глава 5 целиком посвящена классическому разностному уравнению Хироты. Она во многом носит вспомогательный характер. Ее цель - систематизировать тот материал об этом уравнении, который существенно понадобится в дальнейшем, и восполнить некоторые пробелы в литературе. В параграфе 5.2 вводится некоторый набор определений и аксиом, облегчающих работу с разностными уравнениями и их классификацию. В основу изложения положена дискретная версия представления нулевой кривизны, в котором участвуют М-операторы, реализованные как разностные по какой-либо из переменных (параграф 5.3). Обсуждаются различные варианты линеаризации уравнения Хироты (параграф 5.4). Предлагается единый подход к описанию различных типов М-операторов и вариантов представления нулевой кривизны, который сильно облегчит рассуждения в главе 7. В параграфе 5.5 сообщаются необходимые в дальнейшем сведения об иерархиях билинейных разностных уравнений.

В параграфе 5.6 рассмотрены примеры двумерных редукций уравнения Хироты. Среди них содержатся разностные аналоги таких важных солитонных уравнений как КдФ, СГ, ЦТ, релятивистской ЦТ и других. Параграф 5.7 отведен для детального анализа редукции второго порядка общего вида, который можно назвать дискретным аналогом классической модели МГ типа XXX в билинейной форме. Этот материал послужит отправной точкой для построений главы 7.

Глава 6 посвящена выявлению классических интегрируемых структур в квантовых интегрируемых системах, которые могут быть решены с помощью того или иного варианта анзаца Бете. Устанавливаются параллели между элементами теории тех и других. Проведенный анализ основан на наблюдении, что функциональные соотношения между квантовыми трансфер-матрицами могут быть записаны в виде классического разностного уравнения Хироты. Показано, что все специфические результаты квантовой теории для спектра модели могут быть получены путем решения этого классического уравнения, а знаменитое Г-ф-соотношение Бакстера и его обобщения появляются как

одна из форм BJI3 для уравнения Хироты.

Во обзорном параграфе 6.2 схематически прослежен довольно долгий путь от простейшей квантовой /¿-матрицы к дискретным солитонным уравнениям. Он состоит из серии шагов, каждый из которых в разной степени подробности отражен в существующей литературе. Дается описание процедуры "размножения" /¿-матриц, т.е. построения более сложных из элементарных путем "слияния" (fusion procedure). Чтобы не загромождать изложение, мы ограничились наиболее простым в техническом отношении случаем /¿-матриц с рациональным спектральным параметром. В п.6.2.5 появляются билинейные "правила слияния" для квантовых трансфер-матриц, имеющие вид классического разностного уравнения Хироты. С параграфа 6.3 точка зрения на уравнение Хироты меняется. Оно трактуется здесь не как тождество, а как фундаментальное динамическое уравнение, которое (вместе с граничными условиями) позволяет полностью определить собственные значения квантовых трансфер-матриц. Решения самого этого классического уравнения предстают в виде формул анзаца Бете, которые - по самому способу их вывода из уравнения Хироты - можно трактовать как дискретный по времени аналог уравнений движения многочастичных интегрируемых систем типа Калорджеро-Мозера или Рейсенарса.

Из других результатов, полученных в этой главе, отметим вывод билинейных правил слияния общего вида и их отождествление с высшими членами иерархии разностных уравнений Хироты (параграф 6.7).

В главе 7 связь между классическими и квантовыми интегрируемыми системами прослеживается в обратном направлении. А именно, обнаружено, что типичная квантовая /¿-матрица участвует в представлении нулевой кривизны для классических солитонных уравнений в дискретном времени. Локальные М-операторы для классических интегрируемых систем в дискретном времени с матрицей Лакса 2x2, рационально зависящей от спектрального параметра, строятся в четвертом параграфе путем свертки квантовой /¿-матрицы твистованной XXZ-модели с некоторыми векторами в ее "квантовом" пространстве. Компоненты этих векторов отождествляются с т-функциями классической дискретной системы. (Это сначала проделано на примере дискретной модели СГ в параграфе 7.3, где вычисления сводятся к минимуму, и твистовать /¿-матрицу не на-

до.) Данная конструкция обобщает известное представление М-операторов в моделях с непрерывным временем через классическую г-матрицу. Как надо брать непрерывный предел, воспроизводящий эти формулы, объясняется в параграфе 7.5.

В заключительной, восьмой главе, обсуждаются вопросы, связанные, с одной стороны, с решением уравнений Бете в термодинамическом пределе и нахождением матрицы рассеяния физических возбуждений "из первых принципов", а с другой - с гармоническим анализом на (вообще говоря, ^-деформированных) однородных пространствах и решением возникающих здесь уравнений типа Лапласа-Бельтрами или КЗ. Оказывается, эти задачи очень тесно связаны между собой. (Наличие такой связи можно было ожидать и из общих соображений - см. конец предыдущего параграфа Введения.) В восьмой главе решается задача рассеяния для ^-разностного уравнения КЗ в случае одной переменной. Волновые функции найдены явно в терминах д-аналогов полиномов Якоби. Амплитуды рассеяния извлекаются из их асимптотики. Оказывается, что на уровне к — 0 они тесно связаны с матрицей рассеяния кинк-антикинк в модели XX2 со спином Обсуждаются также некоторые приложения к гармоническому анализу на дереве Брюа-Титса, возникающие в пределе бесконечного уровня.

1 Анзац Бете в проблеме Азбеля-Хофштадтера

Как уже говорилось во Введении, использование идеологии КМОЗ позволило предложить новый подход к задаче о блоховской частице на плоской решетке в магнитном поле [65],[66], которую иногда называют проблемой Хофштадтера (или проблемой Азбеля-Хофштадтера). В его основе лежит связь между группой магнитных трансляций на решетке и квантовой алгеброй £/д(.з/2), которая будет установлена в этой главе. Энергии состояний в "серединах" и краях зон и их блоховские волновые функции выражены в терминах решений уравнений Бете, типичных для квантовых интегрируемых систем. Кроме того, волновая функция, отвечающая состоянию с нулевой энергией (нулевая мода), выражается через д-деформации классических ортогональных полиномов.

Изложение в этой главе ориентировано на скорейшее получение результата относительно простыми средствами. Возможные обобщения и объяснение связи с теорией интегрируемых систем даны в двух последующих главах.

1.1 Введение и основной результат 1.1.1 Общее описание модели

Начнем с физической постановки проблемы Азбеля-Хофштадтера [65],[66]. Гамильтониан скалярной заряженной частицы на двумерной квадратной решетке с координатами п = (пх, пу ) в магнитном поле имеет вид

# = (1.1) п,т - •<

"У *

(с!, Сп - стандартные операторы рождения-уничтожения), где абелево калибровочное поле А^гп удовлетворяет условию

Д = егф .

плакет

Здесь Ф имеет смысл магнитного потока через плакет, который предполагается одинаковым для всех плакетов. В этой главе мы будем предполагать, что (вещественные) амплитуды перескока частицы с узла на узел А я,А в (1.1) отличны от нуля только для ближайших соседей: ^я,п±х = $л,п±у = (х и у - единичные векторы вдоль осей х

и у). Обозначив в этом случае Ах(п) = Ау(п) = А п,п+у, мы перепишем гамиль-

тониан (1.1) в более конкретном виде:

Я = X) еМ'(й)4ся+х + е^^й+у + эх. (1.2)

п п

Волновые функции частицы образуют представление группы магнитных трансляций [116], генераторы которой суть Tg — егАл>я+* \п + е)(Щ (здесь е = ±х или ±у). Они удовлетворяют соотношениям

Т'„ _ гр—1 ГГ^ГГ _» _ пПуГПх—ПхТПу гр

е — -1 5 й-* т. — Ц 1 п+е?

ТуТх = д2ТхТу, ТуГ_х = д~2Т_хТу , (1.3)

где

Ф

д = ехр(г—). (1.4)

Гамильтониан (1.1) наиболее наглядно записывается в терминах операторов магнитных трансляций:

я = Х>й1Й+е-:г?, (1.5)

е

в частности, (1.2) принимает вид

Я = ^(Тх + Т_х) + 1?„(ГУ + Т_у). (1.6)

В координатном представлении Т?ф(п) = + ё*), что дает уравнение Шре-

дингера

X + е) = Еф(п). (1.7)

е

1.1.2 Уравнение Харпера и зонная структура спектра

Ниже мы предположим, что

* п Р

Ф = 2тг-, (1.8)

где Р и ф ~ взаимно простые натуральные числа, так что - примитивный корень степени (5 из ±1. Операторы Т? лежат в центре алгебры (1.3). Фактор алгебры (1.3) по ее центру является конечной группой Гейзенберга-Вейля.

Чтобы продвинуться дальше, надо зафиксировать калибровку. Наиболее популярна калибровка Ландау Ах = О, Ау = Фпх, в которой блоховская волновая функция может быть представлена в виде

ф(п) = е^фПх{к), фп = фп+д. (1.9)

Здесь пх ^ п = 1,... ,Q - координата в элементарной "магнитной ячейке". Уравнение Шредингера сводится к одномерному разностному уравнению

$х(е{к*фп+1 + е~*'Фп-\) + 2eos(ку + пФ)фп = Ефп , (1.10)

известному как уравнение Харпера [117] или дискретное уравнение Матье. Спектр разностного оператора в левой части имеет в случае общего положения Q разрешенных зон Е = Ei(kx,ky): i = 1,..., Q. При этом кх меняется от 0 до а ку - от 0 до 2ъ. Каждая зона Q-кратно вырождена, поскольку все состояния с ку + n £ Z, имеют одинаковую энергию. Иногда удобно считать, что кх лежит в расширенной зоне Брил-люэна от 0 до 2тг, но при этом надо помнить, что одно и то же состояние учитывается Q раз. Спектр оператора Харпера (1.10) симметричен относительно изменения знака Е и замены дх j)y.

Чтобы не перегружать изложение, в дальнейших комментариях мы ограничимся изотропным случаем дх = ду = 1. Можно показать, что характеристический полином оператора (1.10) F(E,kx,ky) имеет вид

F(E, кх, ку) = F(E, 0,0) - 2(-lf(cos(Qkx) + eos (Qky) - 2),

т.е. вся зависимость от блоховских импульсов содержится в свободном члене. Поэтому энергия зависит только от комбинации блоховских импульсов А # = cos(Qkx) + eos {Qky), что следует также из калибровочной инвариантности [118]. Эту и ей подобные формулы для детерминантов разностных операторов иногда называют соотношениями Чамберса [119]. Состояния с Л# = ±1 являются краями зон, а состояния с Ля = 0 называются "серединами" зон4.

Иерархическая структура спектра при Р, Q —оо обусловливает всю красоту и сложность проблемы Азбеля-Хофштадтера. С ростом Q ширина разрешенных зон быстро

4Имеется в виду "середина" по шкале блоховского импульса, что как правило не соответствоватвует середине по шкале энергий.

уменьшается. Если по одной оси отложить энергию Е, а по другой - магнитный поток Ф и отметить все разрешенные зоны, получится замечательная "фрактальная" картинка, известная как "бабочка Хофштадтера" [66]. Когда отношение Р/С} стремится к некоторому иррациональному числу, предельный спектр - множество значений энергии, лежащих в разрешенных зонах - представляет собой так называемый сингулярный континуум - несчетное нигде не плотное множество меры нуль без изолированных точек, обладающее мультифракталъной структурой. Исследование спектров такого типа (см. обзор [120]) - интересная и сложная задача. Различным подходам к ее решению посвящено множество работ - как физических, так и математических. Кроме уже упомянутых, отметим здесь еще работы [121]-[131]. Обзор некоторых результатов, проиллюстрированный большим количеством картинок "фрактальных" спектров, можно найти в [132].

Уравнение Харпера возникает также в других задачах. Например, оно описывает заряженную частицу в магнитном поле во внешнем квазипериодическом потенциале, а также переход локализации-делокализации в одномерных квазикристаллах [133],[134].

1.1.3 Основной результат

Для удобства мы сразу сформулируем наш основной результат [69] в изотропном случае = = 1.

Мы покажем, что при А # = 0 (т.е. в "серединах" зон) набор энергий дается суммой

<3-1

E = iq^(q-q-1) (1.11)

ы

корней 27 следующей системы уравнений Бете:

г? + Я о тт 4*1 ~

< = ^ Д /= 1,...,(2- 1. (1.12)

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Забродин, Антон Владимирович

Заключение

В заключение кратко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Обнаружена скрытая ^(¿¿2)-симметРия модели Азбеля-Хофштадтера, дана реализация циклических представлений алгебры ¡7,(5/2) в пространстве состояний модели и получено выражение ее гамильтониана через генераторы этой алгебры [69]—-[73].

2. Модель Азбеля-Хофштадтера при рациональных значениях магнитного потока решена методом функционального анзаца Бете, и получено выражение для спектра дискретного оператора Матье (оператора Харпера) в серединах и краях зон через решения уравнений Бете [69],[71].

3. Выделен класс разностных операторов второго порядка со свойством полной или частичной "алгебраизации" спектра, обобщающих оператор Харпера и проведено погружение этого класса задач в схему КМОЗ [74],[75].

4. Найдена вакуумная кривая эллиптических ¿-операторов высших спинов и установлена ее связь с представлениями алгебры Склянина [57],[247]; получена новая реализация алгебры Склянина разностными операторами по двум переменным, действующими в инвариантном подпространстве [247].

5. Дан анализ тригонометрического предела алгебры Склянина, более общего, чем С/д(з/2) [171] и связанных с ним разностных операторов со свойством частичной алгебраизации спектра [74].

6. Найдены разностные аналоги классических операторов Ламе, спектр которых обладает замечательными "конечнозонными" свойствами [57]. ''

7. Дан систематический анализ билинейного разностного уравнения Хироты, его различных редукций, вариантов представления нулевой кривизны для него; выявлена фундаментальная роль этого уравнения для описания спектральных свойств квантовых интегрируемых систем [204],[203].

8. Проведено отождествление функциональных соотношений в семействе коммутирующих трансфер-матриц квантовых интегрируемых моделей с иерархией билинейных разностных уравнений Хироты; все основные результаты, касающиеся спектра квантовых интегрируемых систем, выведены из уравнения Хироты [85]—[225].

9. Получено общее решение уравнения Хироты с граничными условиями, отвечающими квантовым задачам, выяснена роль T-Q соотношения Бакстера как специальной формы вспомогательной линейной задачи для уравнения Хироты и указано его обобщение на модели, связанные с алгебрами произвольного ранга [85].

10. Найдено новое представление иерархического анзаца Бете как цепочки преобразований Беклунда для уравнения Хироты. Уравнения Бете для моделей Ак i-серии получают при этом естественную интерпретацию как уравнения движения системы частиц типа Калоджеро-Мозера или Рейсенарса в дискретном времени [85]—[224].

11. Дано обобщение r-матричной формулировки представления нулевой кривизны для классических солитонных уравнений на решетке с непрерывным временем на уравнения с дискретным временем; получены формулы, выражающие локальные М-операторы в дискретной модели СГ [114] и XXZ-модели магнетика Гейзенберга [115] через квантовую Ä-матрицу.

12. Поставлена и исследована задача рассеяния для g-разностного уравнения Книжника-Замолодчикова и обнаружена ее связь с рассеянием физических возбуждений в квантовых интегрируемых системах в термодинамическом пределе [56]; предложена геометрическая интерпретация рассеяния физических возбуждений в интегрируемых моделях квантовой теории поля в терминах гармонического анализа на квантовых однородных пространствах [54], [55].

Благодарности

Автор благодарен П.Б.Вигману, А.С.Горскому, И.М.Кричеверу, О.Липану и П.Фройн-ду за участие в совместных работах, которые составили основу данной диссертации, А.Абанову, А.Антонову, Е.Н.Антонову, А.Ю.Волкову, А.А.Герасимову, П.Гриневичу, А.С.Жеданову, Р.Зайлеру, Р.Катаеву, И.Г.Корепанову, В.Е.Корепину, В.Я.Кривнову, Д.Лебедеву, А.М.Левину, А.С.Лосеву, А.В.Маршакову, В.Б.Матвееву, А.Д.Миронову,

A.Ю.Морозову, Н.А.Некрасову, А.А.Овчинникову, М.А.Олынанецкому, А.Ю.Орлову,

B.Паскьеру, И.В.Полюбину, Н.Ю.Решетихину, А.А.Рослому, В.Н.Рубцову, Н.А.Славно-ву, Т.Такебе, А.В.Турбинеру, Л.Д.Фаддееву, В.Фоку, С.М.Харчеву, К.Хасегаве, С.М.Хо-рошкину, Л.О.Чехову, И.Шниттге и Б.Энрикесу за полезные обсуждения. Автор благодарен всем участникам теоретических семинаров Отдела ЭОМ ИБХФ, ИТЭФ, МИАН, ФИАН, ИТФ им. Л.Д.Ландау, где в разное время докладывались результаты диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Забродин, Антон Владимирович, 1998 год

Список литературы

[1] R.Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, Academic Press, 1982 (Русский перевод: Р.Бэкстер, Точно решаемые модели в статистической механике, М., Мир, 1985)

[2] M.Gaudin, La fonction d'onde de Bethe, Paris, Masson, 1983 (Русский перевод: M.Годен, Волновая функция Бете, М., Мир, 1987)

[3] В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский, Теория солитонов: Метод обратной задачи М., Наука, 1980

[4] Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, М., Наука, 1986

[5] V.E.Korepin, N.M.Bogoliubov and A.G.Izergin, Quantum inverse scattering method and correlation functions, Cambridge University Press, 1993

[6] L.D.Faddeev, Integrable models in (1+1)-dimensional quantum field theory, In: Recent advances in field theory and statistical mechanics, Les Houches Summer School Proc., Session XXXIX, Eds. J.Zuber and R.Stora, 561-608, 1984.

[7] А.Г.Изергин, В.Е.Корепин, Квантовый метод обратной задачи, ЭЧАЯ 13:3 (1982) 501-541

[8] P.P.Kulish, E.K.Sklyanin, Quantum spectral transform method. Recent developments, Lect. Notes in Phys. 151 (1982) 61-119

[9] A.M.Tsvelik and P.B.Wiegmann, Exact results in the theory of magnetic alloys, Adv. Phys. 32 (1983) 453-713

[10] H.B.Thacker, Exact integrability in quantum field theory and statistical systems, Rev. Mod. Phys. 53 (1981) 253-285

[11] C.S.Gardner, J.M.Greene, M.D.Kruskal and R.M.Miura, Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1095-1097

[12] P.Lax, Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves, Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968) 467-490

[13] В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, ЖЭТФ 61 (1971) 118-134

[14] В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния /, Функ. Анал. и Прил. 8:3 (1974) 43-53

[15] M.Ablowitz, D.Kaup, A.Newell and H.Segur, The inverse scattering transform - Fourier analysis for nonlinear problems, Stud. Appl. Math. 53 (1974) 249-315

[16] С.П.Новиков, Периодическая задача для уравнения Кортевега - де Фриса I, Функ. Анал. и Прил. 8:3 (1977) 54-66

[17] Б.А.Дубровин, В.Б.Матвеев, С.П.Новиков, Нелинейные уравнения типа Кортеве-га-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия, УМН 31:1 (1976) 55-136

[18] И.М.Кричевер, Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений, УМН 32:6 (1977) 183-208

[19] В.Е.Захаров, Л.Д.Фаддеев, Уравнение Кортевега-де Фриса - вполне интегрируемая гамилътонова система, Функ. Анал. и Прил. 5:4 (1971) 18-27

[20] Л.Д.Фаддеев. Гамилътонова интерпретация метода обратного преобразования рассеяния, В кн.: Солитоны, М. Мир, 363-379, 1983

[21] И.М.Гельфанд, Л.А.Дикий, А симптотика резольвенты штурм-лиувиллевских уравнений и алгебра уравнений Кортевега - де Фриса, УМН 30:5 (1975) 67-100

[22] M.Sato, Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional Grassmann manifolds, RIMS Kokyuroku 439 (1981) 30-46

[23] M.Sato and Y.Sato, Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional Grassmann manifold, Lecture Notes in Numerical and Applied Analysis 5 (1982) 259271

[24] G.Segal and G.Wilson, Loop groups and equations of KdV type, Publ. IHES 61 (1985) 5-65

[25] E.Date, M.Jimbo, M.Kashiwara and T.Miwa, Operator approach to the Kadomtsev-Petviashvili equation. Transformation groups for soliton equations III, J. Phys. Soc. Japan 50 (1981) 3806-3812

[26] E.Date, M.Jimbo, M.Kashiwara and T.Miwa, Transformation groups for soliton equations,, in Nonlinear Integrable Systems, eds. M.Jimbo and T.Miwa, World Scientific, Singapore, 1983

[27] M.Jimbo and T.Miwa, Solitons and infinite dimensional Lie algebras, Publ. RIMS 19 (1983) 943-1001

[28] H.Bethe, Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette, Zt. Physik 71 (1931) 205-226

[29] E.H.Lieb and W.Liniger, Exact analysis of an interacting Bose gas, Phys. Rev. 130 (1963) 1605-1624

[30] C.H.Yang and C.P.Yang, One-dimensional chain of anisotropic spin-spin interaction, Phys. Rev. 150 (1966) 321-339

[31] C.H.Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1312-1314

[32] M.Gaudin, Un systeme a une dimension de fermions en interaction, Phys. Lett. A24

y ■

(1967) 55-56

[33] E.Lieb and T.Wu, Absence of Mott transition in an exact solution of the short range one band model in one dimension, Phys. Rev. Lett. 20 (1968) 1445-1448

[34] L.Onzager, Crystal statistics I. A two-dimensional model with an order-disorder transition, Phys. Rev. 65 (1944) 117-149

[35] E.Lieb, Exact solution of the problem of the entropy of two-dimensional ice, Phys. Rev. Lett. 18 (1967) 692-694

[36] R.Baxter, Partition function of the eight-vertex lattice model, Ann. Phys. 70 (1972) 193-228

[37] R.Baxter, Eight-vertex model in lattice statistics and one-dimensional anisotropic Heisenberg chain. I, II, III, Ann. Phys. 76 (1973) 1-24, 25-47, 48-71

[38] Е.К.Склянин, Л.Д.Фаддеев, Квантовомеханический подход к вполне интегрируемым моделям теории поля, ДАН СССР 243 (1978) 1430-1433

[39] Е.К.Склянин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи. /, ТМФ 40 (1979) 194-220

[40] Е.К.Склянин, Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния, Зап. Научн. Семин. ЛОМИ 95 (1980) 55-128

[41] Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга, УМН 34:5 (1979) 13-63

[42] Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Спектр и рассеяние возбуждений в одномерном изотропном магнетике Гейзенберга, Зап. Научн. Семин. ЛОМИ 109 (1981) 134178

[43] A.Zamolodchikov and Al.Zamolodchikov, Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models, Ann. Phys. 120 (1979) 253-291

[44] П.П.Кулиш, Н.Ю.Решетихин, Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордон и высшие представления, Зап. Научн. Семин. ЛОМИ 101 (1980) 101-110

[45] В.Г.Дринфельд, Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера, ДАН СССР 283 (1985) 1060-1064

[46] M.Jimbo, A q-difference analogue of U(g) and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 10 (1985) 63-69

[47] Н.Ю.Решетихин, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Квантование групп Ли и алгебр Ли, Алгебра и Анализ 1 (1989) 178-206

[48] Е.К. Склянин, О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера, Функ. Анал. и Прил. 16:4 (1982) 27-34

[49] Е.К.Склянин, О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера. Представления квантовой алгебры, Функ. Анал. и Прил. 17:4 (1983) 34-48

[50] Е.К.Склянин, Волчок Горячева-Чаплыгина и метод обратной задачи рассеяния. Зап. Научн. Семин. ЛОМИ 133 (1984) 236-257

[51] M.A.Olsbanetsky and A.M.Perelomov, Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras, Phys. Reps. 71 (1981) 314-400

[52] M.A.Olsbanetsky and A.M.Perelomov, Quantum integrable systems related to Lie algebras, Phys. Reps. 94 (1983) 313-404

[53] Harish-Chandra, Spherical functions on a semisimple Lie group, I, II, Amer. J. Math. 80 (1958) 241-310, 553-613

[54] A.V.Zabrodin, Integrable models of field theory and scattering on quantum hyperboloids, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 441-446

[55] P.G.O.Freund and A.V.Zabrodin, Macdonald polynomials from Sklyanin algebras: a conceptual basis for the p-adic-quantum group connection, Commun. Math. Phys. 147 (1992) 277-294

[56] P.G.O.Freund and A.V.Zabrodin, The spectral problem for the q-Knizhnik-Zamolodchi-

V «

kov equation and continuous q-Jacobi polynomials, Commun. Math. Phys. 173 (1995) 17-42

[57] И.М.Кричевер, А.В.Забродин, Спиновое обобщение модели Рейсенарса-Шнайдера, неабелева двумеризованная цепочка Тоды и представления алгебры Склянина, УМН 50:6 (1995) 3-56

[58] E.L.Ince, Further investigations into the periodic Lame functions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 60 (1940) 83-99

[59] L.Lipatov, High-energy asymptotics of multicolor QCD and two-dimensional conforma! field theories, Phys. Lett. B309 (1993) 394-396

[60] Jl.H.Липатов, Асимптотика многоцветной КХД при больших энергиях и точно решаемые спиновые модели, Письма в ЖЭТФ, 59 (1994) 571-574

[61] L.Faddeev and G.Korchemsky, High energy QCD as a completely integrable modeI, Phys. Lett. B342 (1995) 311-322

[62] S.N.M.Ruijsenaars, Finite-dimensional soliton systems, In: Integrable and superinte-grable systems, ed. B.Kupershmidt, World Scientific, 165-206, 1990

[63] K.Hasegawa, Ruijsenaars commuting difference operators as commuting transfer matrices, Commun. Math. Phys. 187 (1997) 289-325

[64] A.Antonov, K.Hasegawa and A.Zabrodin, On trigonometric intertwining vectors and non-dynamical R-matrix for the Ruijsenaars model, Nucl. Phys. B503 (1997) 747-770

[65] М.Я.Азбель, Энергетический спектр электрона проводимости в магнитном поле, ЖЭТФ 46 (1964) 929-946

[66] D.R.Hofstadter, Energy levels and wave functions for Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields, Phys. Rev. B14 (1976) 2239-2249

[67] A.V.Turbiner, Quasi-exactly-solvable problems and si(2) algebra, Commun. Math. Phys. 118 (1988) 467-474

[68] А.Ушверидзе, Квазиточнорешаемые модели в /квантовой механике, ЭЧАЯ 20 (1989) 1185-1245

[69] P.Wiegmann and A.Zabrodin, Bethe-Ansatz for the Bloch electron in magnetic field, Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 1890-1893, cond-mat/9310017

[70] P.Wiegmann and A.Zabrodin, Quantum group and magnetic translations. Bethe ansatz solution for the Harper's equation, Mod. Phys. Lett. В 8 (1994) 311-318

[71] P.Wiegmann and A.Zabrodin, Quantum group and magnetic translations. Bethe ansatz for the Azbel-Hofstadter problem, Nucl. Phys. B422 (1994) 495-514

[72] P.Wiegmann and A.Zabrodin, Quantum group and magnetic translations. Bethe ansatz solution for Block electron in a magnetic field, Lect. Notes in Phys. 436 (1994) 49-58

[73] A.Zabrodin, Cyclic representations of Uq(sl2) in Hofstadter model, Proc. of the third Intern. School on Theor. Phys. "Symmetry and Structural Properties of Condensed Matter" (Poland, September 1994), ed. T.Lulek, W.Florek and S.Walcerz, World Scientific, 1995

[74] P.Wiegmann and A.Zabrodin, Algebraization of difference eigenvalue equations related to Uq(sl2), Nucl. Phys. B451 (1995) 699-724

[75] A.Zabrodin, Quantum transfer matrices for discrete and continuous quasi-exactly solvable problems, ТМФ 104 (1995) 8-24

[76] Н.Ю.Решетихин, Л.Д.Фаддеев, Гамилътоновы структуры для интегрируемых моделей теории поля, ТМФ 56 (1983) 323-343

[77] М.А.Семенов-Тян-Шанский, Что такое классическая r-матрица, Функ. Анал. и Прил. 17:4 (1983) 17-33

[78] Н.Решетихин, Ф.Смирнов, Квантовые функции Флоке, Зап. Научн. Семин. ЛОМИ, 131 (1983) 128-141

[79] T.T.Wu, В.М.McCoy, C.A.Tracy and E.Barouch, Spin-spin correlation functions for the two-dimensional Ising model: Exact theory in the scaling region Phys. Rev. B13 (1976) 316-374

[80] B.McCoy and T.T.Wu, Nonlinear partial difference equations for the two-dimensional Ising model, Phys. Rev. Lett. 45 (1980) 675-678

[81] .J.H.H.Perk, Quadratic identities for Ising model correlations, Phys. Lett. A79 (1980) 3-5

[82] V.Korepin, A.Izergin, A.Its and N.Slavnov, Differential equations for quantum correlation functions, Int. J. Mod. Phys. B4 (1990) 1003-1037

[83] A.Kliimper and P.Pearce, Conformal weights of RSOS lattice models and their fusion hierarchies, Physica A183 (1992) 304-350

[84] A.Kuniba, T.Nakanishi and J.Suzuki, Functional relations in solvable lattice models, I: Functional relations and representation theory, II: Applications, Int. J. Mod. Phys. A9 (1994) 5215-5312

[85] I.Krichever, O.Lipan, P.Wiegmann and A.Zabrodin, Quantum integrable models and discrete classical Hirota equations, Commun. Math. Phys. 188 (1997) 267-304

[86] Al.B.Zamolodchikov, On the thermodynamic Bethe ansatz equations for reflectionless ADE scattering theories, Phys. Lett. B253 (1991) 391-394

[87] М.Сато, М.Джимбо, Т.Мива, Голономные квантовые поля, М., Мир, 1983

[88] D.Bernard and A.LeClair, From form factors to correlation functions. The Ising model, Phys. Lett. B288 (1992) 113-120

[89] D.Bernard and A.LeClair, Differential equations for sine-Gordon correlation functions at the free fermion point, Nucl. Phys. B426 (1994) 534-558

[90] A.G.Izergin, D.A.Coker and V.E.Korepin, Determinant formula for the six-vertex model, J. Phys. A 25 (1992) 4315-4334

[91] I.G.Korepanov, Vacuum curves, classical integrable systems in discrete space-time and statistical physics, Preprint, hep-th/9312197

[92] R.M.Kashaev, On discrete three-dimensional equations associated with the local Yang-Baxter relation, Lett. Math. Phys. 35 (1996) 389-397

[93] A.G.Izergin and V.E.Korepin, Lattice versions,of quantum field theory models in two dimensions, Nucl. Phys. B205 (1982) 401-413

[94] R.Hirota, Discrete analogue of a generalized Toda equation, J. Phys. Soc. Japan 50 (1981) 3785-3791

[95] R.Hirota, Nonlinear partial difference equations I, J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 14241433

[96] R.Hirota, Nonlinear partial difference equations II; Discrete time Toda equations, J.

Phys. Soc. Japan 43 (1977) 2074-2078

[97] R.Hirota, Nonlinear partial difference equations III; Discrete sine-Gordon equation, .J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 2079-2086

[98] R.Hirota, Nonlinear partial difference equations IV; Backlund transformation for the discrete Toda equation, J. Phys. Soc. Japan 45 (1978) 321-332

[99] R.Hirota, Nonlinear partial difference equations V; Nonlinear equations reducible to linear equations, J. Phys. Soc. Japan 46 (1979) 312-319

[100] T.Miwa, On Hirota's difference equations, Proc. Japan Acad. 58 Ser. A (1982) 9-12

[101] E.Date, M.Jimbo and T.Miwa, Method for generating discrete soliton equations I. II J. Phys. Soc. Japan 51 (1982) 4116-4131

[102] E.Date, M.Jimbo and T.Miwa, Method for generating discrete soliton equations III IV, J. Phys. Soc. Japan 52 (1983) 388, 761

[103] А.Ю.Волков, Л.Д.Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи на пространственно-временной решетке, ТМФ 92 (1992) 207-214

[104] L.Faddeev and A.Volkov, Hirota equation as an example of integrable symplectic map, Lett. Math. Phys. 32 (1994) 125-136

[105] A.Volkov, Quantum lattice KdV equation, Lett. Math. Phys. 39 (1997) 313-329

[106] L.D.Faddeev, Current-like variables in massive and massless integrable models, Lectures at E.Fermi Summer School, Varenna 1994, hep-th/9406196

[107] V.Bazhanov, A.Bobenko and N.Reshetikhin, Quantum discrete sine-Gordon model at roots of 1: integrable system on the integrable classical background, Commun. Math. Phys. 175 (1996) 377-400

[108] R.Kashaev and N.Reshetikhin, Affine Toda field theory as a 3-dimensional integrable system, Commun. Math. Phys. 188 (1997) 251-266

[109] A.Bobenko, N.Kutz and V.Pinkall, The discrete quantum pendulum, Phys. Lett. A177 (1993) 399-404

[110] Ю.Сурис, Обобщенные цепочки Тоды в дискретном времени, Алгебра и Анализ 2 (1990) 141-154

[111] F.W.Nijhoff, H.W.Capel and V.G.Papageorgiou, Integrable quantum mappings, Phys. Rev. A46 (1992) 2155-2158

[112] F.Nijhof, O.Ragnisco and V.Kuznetsov, Integrable time-discretization of the Ruijsenaars-Schneider model, Commun. Math. Phys. 176 (1996) 681-700

[113] А.П.Веселов, Интегрируемые отображения, УМН 46 (1991) 3-45

[114] A.Zabrodin, Zero curvature representation for classical lattice sine-Gordon model via quantum R-matrix, Письма в ЖЭТФ 66 (1997) 620-625

[115] A.Zabrodin, Hidden quantum R-matrix in classical discrete time Heisenberg magnet, препринт ITEP-TH-54/97, solv-int/9710015

[116] J.Zak, Magnetic translation group, Phys. Rev. 134 (1964) 1602-1612

[117] P.G.Harper, Single band motion of conduction electrons in a uniform magnetic field, Proc. Phys. Soc. London A68 (1955) 874-892

[118] D.J.Thouless, Bandwidths for a quasiperiodic tight binding model, Phys. Rev. B28 (1983) 4272-4276

[119] W.G.Chambers, Linear network model for magnetic breakdown in two dimensions, Phys. Rev. A140 (1965) 135-143

[120] H.Hiramoto, M.Kohmoto, Electronic spectral and wave function properties of one-dimensional quasiperiodic systems: a scaling approach, Int. J. Mod. Phys. B6 (1992) 281-320

[121] G.H.Wannier, A result not dependent on rationality for Bloch electrons in a magnetic field, Phys. Status Solidi B88 (1978) 757-765

[122] D.J.Thouless, M.Kohmoto, P.Nightingale, M.den Nijs, Quantized Hall conductance in a two-dimensional periodic potential, Phys. Rev. Lett 49 (1982) 405-408

[123] M.Wilkinson, Critical properties of electron eigenstates in incommensurate systems, Proc. Royal Soc. London A391 (1984) 305-330

[124] Y.Last, Zero measure spectrum for the almost Mathieu operator, Comm. Math. Phys. 164 (1994) 421-432

[125] M.A.Shubin, Discrete magnetic Laplacian, Comm. Math. Phys. 164 (1994) 259-275

[126] B.Helffer, P.Kerdelhue and J.Sjostrand, Le papillon de Hofstadter revisite, Memoires de la S.M.F. no. 43 118:3 (1990) 1-87

[127] В.Буслаев, С.Федотов, Комплексный метод ВКБ для уравнения Харпера I. Моно-дромия уравнения Харпера, Алгебра и Анализ 6 (1994) 59-83

[128] J.Bellisard, Gap labelling theorems for Schrodinger operators, In: M.Waldschmidt, ed., From number theory to physics, pp. 538-630, Springer, 1992

[129] Y.Last, Almost everything about the almost Mathieu operator I, In: D.Iagolnitzer, ed., Xlth International Congress of Mathematical Phyasics, pp. 366-372, International Press, 1995

[130] S.Jitomirskaya, Almost everything about the almost Mathieu operator II, In: D.Iagolnitzer, ed., Xlth International Congress of Mathematical Phyasics, pp. 373-382, International Press, 1995

[131] Y.Last and M.Wilkinson, A sum rule for the dispersion relations of the rational Harper's equation, J. Phys. A 25 (1992) 6123-6133

[132] Ch.Kreft and R.Seiler, Models of the Hofstadter type, Sfb 288 preprint no. 209 (1996)

[133] S.Aubry and G.Andre, Analyticity breaking and Anderson localization in incommensurate lattices, Ann. Israel Phys. Soc. 3 (1980) 133-164

[134] Ya.G.Sinai, Anderson localization for one-dimensional difference Schrodinger operator with quasiperiodic potential, J. Stat. Phys. 46 (1987) 861-909

[135] M.Takahashi and M.Suzuki, One-dimensional anisotropic Heisenberg model at finite temperature, Prog. Theor. Phys. 48 (1972) 2187-2209

[136] G.I. Japaridze, A.A.Nersesyan and P.B.Wiegmann, Exact results in the two-dimensional U(1)-symmetric Thirring model, Nucl.Phys. B230 (1984) 511-547

[137] M.Kohmoto and Y.Hatsugai, Pierls stabilization of magnetic-flux states of two-dimensional lattice electrons, Phys. Rev. B41 (1990) 9527-9529

[138] T.Koornwinder, Orthogonal polynomials in connection with quantum groups, In: Orthogonal polynomials: theory and practice, P.Nevai, ed., NATO ASI series C, 294 (1990) 257-292

[139] P.Roche, D.Arnaudon, Irreducible representations of the quantum analogue of SU(2), Lett. Math. Phys. 17 (1989) 295-300

[140] L.D.Faddeev Algebraic aspects of Bethe-Ansatz, Int. J. Mod. Phys. A10 (1995) 18451878

[141] M.I.Golenishcheva-Kutuzova, D.R.Lebedev and M.A.Olshanetsky, Between 5/(00) and sIn affile algebras I. Geometrical actions, ТМФ 100 (1994) 82-96

[142] L.D.Faddeev and R.M.Kashaev, Generalized Bethe Ansatz Equations for Hofstadter Problem, Commun. Math. Phys. 169 (1995) 181-192

[143] G.Gasper and M.Rahman, Basic Hypergeometric Series, Cambridge Univ. Press, 1990 (Русский перевод: Дж.Гаспер, М.Рахман, Базисные гипергеометрические ряды, М., Мир, 1993)

[144] N.Vilenkin and A.Klimyk, Representation of Lie Groups and Special Functions, vol.3, Kluwer Acad. Publ., 1992

[145] H.-T.Sato, Landau levels and quantum groups, Mod. Phys. Lett. A9 (1994) 451-458, hep-th/9311111

[146] I.Kogan, Area-preserving diffeomorphisms, W<*> and Uq(sl(2)) in Chern-Simons theory and quantum Hall system, Int. J. Mod. Phys. A9 (1994) 3887-3911

[147] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Курс теоретической физики, т.З, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, М., Наука, 1974

[148] Y.Hatsugai, M.Kohmoto and Y.-S.Wu, Expilcit solutions of the Bethe ansatz equations for Block electrons in a magnetic field, preprint ISSP 2823 (1994), concl-mat/9405028

[149] A.G.Abanov, J.C.Talstra and P.B.Wiegmann, Hierarchical structure of Azbel-Hofstadter problem: strings and loose ends of Bethe ansatz, preprint, cond-mat/9711274

[150] A.Turbiner, Lie algebras and quasi-exactly solvable differential equations, In: CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations, vol.3, New trends in theoretical developments and computational methods, Chapter 12, ed. N.Ibragimov, CRC Press, 331-366, 1995

[151] M.A.Shifman, New findings in quantum mechanics (partial algebraization of the spectrum), Int. J. Mod. Phys., A4 (1989) 2897-2952

[152] J. Patera and P.Winternitz, A new basis for the representations of the rotation group. Lame and Heun polynomials, J. Math. Phys. 14 (1973) 1130-1139

[153] Y.Alhassid, F.Gursey and F.Iachello, Group theory approach to scattering, Ann. Phys. 148 (1983) 346-380

[154] О.Б.Заславский, В.В.Ульянов, Новые классы точных решений уравнения Шредин-гера и описание спиновых систем с помощью потенциальных полей, ЖЭТФ 60 (1984) 1724-1733

[155] О.Б.Заславский, В.В.Ульянов, Периодические эффективные потенциалы для спиновых систем и новые точные решения одномерного уравнения Шредингера для энеогетических зон, ТМФ 71 (1987) 260-271 , >

[156] В.Г.Багров, А.С.Вшивцев, Простейшие применения алгебраической симметрии к решению задач квантовой механики, Препринт Томского филиала СО АН СССР No 31 (1986)

[157] O.V.Ogievetsky and A.V.Turbiner, sl(2,R)g and quasi-exactly solvable problems, Preprint CERN-TH:6212/91 (1991)

[158] А.Ушверидзе, Квазиточнорешаемостъ. Новое явление в квантовой механике (ал-гебраческий подход), ЭЧАЯ 23 (1992) 58-121

[159] R.Askey and J.Wilson, A set of orthogonal polynomials that generalize the Racah coefficients or 6-j symbols, SIAM J. Math. Anal. 10 (1979) 1008-1016

[160] M.Noumi and K.Miraachi, Askey-Wilson polynomilas and the quantum group SUg(2), Proc. Japan Acad. Ser. A 66 (1990) 146-149

[161] T. Koornwinder, Askey-Wilson polynomials as zonal spherical functions on the SU(2) quantum group, SIAM J. Math. Anal. 24 (1993) 795-813

[162] Ya. Granovskii and A. Zhedanov, Linear covariance algebra for SLq(2), J. Phys. A 26 (1993) L357-L359

[163] Ya.Granovskii, I. Lutzenko and A. Zhedanov, Mutual integrability, quadratic algebras and dynamical symmetry, Ann. Phys. 217 (1992) 1-20

[164] А.Одесский, Об одном аналоге алгебры Скллнина, Функ. Анал. и Прил. 20:2 (1985) 78-79

[165] S.Woronowicz, Twisted SU{2) group. An example of a non-commutative differential calculus, Publ. RIMS 23 (1987) 117-181

[166] F.H.Claro and G.H.Wannier, Magnetic subband structure of electrons in hexagonal lattices, Phys. Rev. B19 (1979) 6068-6074

[167] Y.Hasegawa, Y.Hatsugai, M.Kohmoto and G.Montambaux, Stabilization of flux states on two-dimensional lattices, Phys. Rev. B41 (1990) 9174-9182

[168] J.Bellisard, Ch.Kreft and R.Seiler, Analysis of the spectrum of a particle on a triangular lattice with two magnetic fluxes by algebraic and numerical methods, J. Phys. A 24 (1991) 2329-2353

[169] D.Fairlie, Quantum deformations of SU(2), J. Phys. A 23 (1990) L183-L187

[170] A.Erdelyi, et al. Higher Transcendental Functions Vol.1,2,3, Mc Graw-Hill NY, 1953

[171] A.Gorsky, A.Zabrodin, Degenerations of Sklyanin algebra and Askey-Wilson polynomials, J. Phys. A 26 (1993) L635-L639

[172] S.N.M.Ruijsenaars, Complete integrability of relativistic Calogero-Moser systems and elliptic function identities, Commun. Math. Phys. 110 (1987) 191-213

[173] R. Floreanini and L.Vinet, q-Conformal quantum mechanics and q-special functions, Phys. Lett. B277 (1992) 442-446

[174] E.Vaysleb, Infinite-dimensional *-representations of Sklyanin algebra and the quantum algebra Uq(sl(2)), UCLA preprint (1992)

[175] E.Witten, Gauge theories, vertex models and quantum groups, Nucl. Phys. B330 (1990) 285-346

[176] T.Curtright and C.Zachos, Deforming maps for quantum algebras, Phys. Lett. B243 (1990) 237-244

[177] Л.Ваксман, Я.Сойбельман, Алгебра функций на квантовой группе SU(2), Функц. Анализ и его Прил., 22:3 (1988) 1-14

[178] И.В.Чередник, Факторизуюгциеся частицы на полупрямой и системы корней, ТМФ 61 (1984) -35-44

[179] P.P.Kulish and Е.К.Sklyanin Algebraic structures related to reflection equations, J. Phys. A 25 (1992) 5963-5976

[180] P.P.Kulish, Reflection equation algebras and quantum groups In.: Quantum and Non-commutative Analysis, eds. H.Araki et al, Kluwer Academic Publishers, 207-220, 1993

[181] E.K.Sklyanin, Boundary conditions for integrable /quantum systems, J. Phys. A 21 (1988) 2375-2389

[182] H.J. de Vega and A.Gonzalez-Ruiz, Boundary K-matrices for the six vertex and the n(2n - 1) An_x vertex models, J. Phys. A 26 (1993) L519-L524

[183] В.Кузнецов, Квадрики на римановых пространствах постоянной кривизны. Разделение переменных и связь с магнетиком Годена, ТМФ, 91 (1992) 83-111

[184] П.Винтерниц, И.Лукач, Я.Смородинский, Квантовые числа в малых группах Пуанкаре, Яд. Физика, 7 (1968) 192-201

[185] А.А.Белавин, Дискретные группы и интегрируемость квантовых систем, Функциональный анализ и его прил. 14:4 (1980) 18-26

[186] А.В.Одесский, Б.Л.Фейгин, Эллиптические алгебры Склянина, Функ. Анал. и Прил. 23:3 (1989) 45-54

[187] M.Artin, J.Tate and M.Van den Bergh, Modules over regular algebras of dimension 3, Inv. Math. 106 (1991) 335-388

[188] И.М.Кричевер, Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения, УМН 33:4 (1978) 215-216

[189] E.Date, S.Tanaka, Exact solutions of the periodic Toda lattice Prog. Theor. Phys. 55 (1976) 457-465

[190] И.М.Кричевер, Уравнения Бакстера и алгебраическая геометрия, Функ. Анал. и Прил. 15:2 (1981) 22-35

[191] T.Takebe, Generalized Bethe ansatz with the general spin representation of the Sklyanin algebra, J. Phys. A 25 (1992) 1071-1083

[192] T.Takebe, Bethe ansatz for higher spin eight vertex models, J. Phys. A 28 (1995) 66756706

[193] G.Andrews, R.Baxter, P.Forrester, Eight-vertex SOS model and Rogers-Ramanujan-type identities, J. Stat. Phys. 35 (1984) 193-266

[194] S.P.Smith and J.M.Staniszkis, Irreducible representations of the 4-dimensional Sklyanin algebra at points of infinite order, J. Algebra 160 (1993) 57-86

[195] A.Kirillov and N.Reshetikhin, Exact solution of the integrable XXZ Heisenberg model with arbitrary spin, /, J. Phys. A20 (1987) 1565-1585

[196] Й.Г.Корепанов, Вакуумные кривые L-операторов связанных с шестивершинной моделью, Алгебра и Анализ 6 (1994) 176-194

[197] C.M.Yung, M.T.Batchelor, Exact solution for the spin-s XXZ quantum chain with nondiagonal twists, Nucl. Phys. В446 (1995) 461-484

[198] A.Odesskii, Rational degeneration of elliptic quadratic algebras, preprint RIMS-765 (1991)

[199] M.Noumi and K.Mimachi, Rogers'q-ultraspherical polynomials on a quantum 2-sphere, Duke Math. J. 63 (1991) 65-80

[200] G.Felder and A.Varchenko, Algebraic Bethe ansatz for the elliptic quantum group ET,r,(sk), Nuci. Phys. B480 (1996) 485-503

[201] G.Felder and A.Varchenko, Algebraic integrability of the two-body Ruijsenaars operator, preprint, q-alg/9610024

[202] И.М.Кричевер, Нелинейные уравнения и эллиптические кривые, Современные проблемы математики, Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР 23 (1983) 79-136

[203] I.M.Krichever, P.B.Wiegmann and A.V.Zabrodin, Elliptic solutions to difference nonlinear equations and related many-body problems, препринт ITEP-TH-13/97, hep-th/9704090, принято к публ. в журн. Commun. Math. Phys.

[204] А.Забродин, Разностные уравнения Хироты, ТМФ 113 (1997) 179-230

[205] K.Ueno and K.Takasaki, Toda lattice hierarchy, Adv. Studies in Pure Math. 4 (1984) 1-95

[206] A.Orlov, Symmetries for unifying different soliton systems into a single integrable hierarchy, preprint IINS/Oce-04/03 (1991)

[207] A.Orlov and S.Rauch-Wojciechowski, Dressing method, Darboux transformation and generalized restricted flows for the КdV hierarchy, Physica D69 (1993) 77-84

[208] S.Saito and N.Saitoh, Linearization of bilinear difference equations, Phys. Lett. A120 (1987) 322-326

[209] S.Saito and N.Saitoh, Gauge and dual symmetries and linearization of Hirota's bilinear equations, J. Math. Phys. 28 (1987) 1052-1055

[210] V.B.Matveev, Darboux transformation and explicit solutions of the Kadomtsev-Petviashvili equation depending on functional parameters, Lett. Math. Phys. 3 (1979) 213-216

[211] V.B.Matveev, Darboux transformation and the explicit solutions of differential-difference and difference-difference evolution equations /, Lett. Math. Phys. 3 (1979) 217-222

[212] V.B.Matveev and M.A.Salle, Differential-difference evolution equations II (Darboux transformation for the Toda lattice), Lett. Math. Phys. 3 (1979) 425-429

[213] V.Spiridonov and A.Zhedanov, Discrete Darboux transformations, the discrete-time Toda lattice and the Askew-Wilson polynomials, Methods and Applications of Analysis 2 (1995) 369-398

[214] Y.Ohta, R.Hirota, S.Tsujimoto and T.Imai, Casorati and discrete Gram type determinant representations of solutions to the discrete KP hierarchy, J. Phys. Soc. Japan 62 (1993) 1872-1886

[215] S.N.M.Ruijsenaars, Relativistic Toda systems, Commun. Math. Phys. 133 (1990) 217247

[216] Yu.Suris, A discrete time relativistic Toda lattice, J. Physics A29 (1996) 451-465

[217] Y.Ohta, K.Kajiwara, J.Matsukidaira and J.Satsuma, Casorati determinant solution of the relativistic Toda lattice equation, solv-int/9304002

[218] S.Kharchev, A.Mironov and A.Zhedanov, Faces of relativistic Toda chain, Int. J. Mod. Phys A12 (1997) 2675-2724

[219] R.Hirota, Discrete two-dimensional Toda molecule equation, J. Phys. Soc. Japan 56 (1987) 4285-4288 '

[220] L.Faddeev and O.Tirkkonen, Connections of the Liouville model and XXZ spin chain, Nucl. Phys. B453 (1995) 647-669

[221] P.P.Kulish, N.Yu.Reshetikhin and E.K.Sklyanin, Yang-Baxter equation and representation theory: I, Lett. Math. Phys. 5 (1981) 393-403

[222] П.П.Кулиш, Н.Ю.Решетихин, О GLz-инвариантных решениях уравнения Янга-Бакстера и ассоциированных квантовых системах, Зап. Научи. Семин. ЛОМИ 120 (1982) 92-121

[223] A.Zabrodin, Discrete Hirota's equation in quantum integrable models, Int. J. Mod. Phys. Bll (1997) 3125-3158

[224] A.Zabrodin, Bethe ansatz and classical ffirota equations, Proceedings of the Second A.D.Sakharov International Conference, Moscow, Russia, 20-24 May 1996, 627-632, Eds. I.M.Dremin, A.M.Semikhatov, World Scientific, 1997

[225] O.Lipan, P.Wiegmann and A.Zabrodin, Fusion rules for quantum transfer matrices as a dynamical system on Grassmann manifolds, Mod. Phys. Lett. A12 (1997) 1369-1378

[226] I.Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Clarendon Press, Oxford, 1979 (Русский перевод: И.Макдональд, Симметрические функции и многочлены Холла, М., Мир, 1985)

[227] И.Чередник, О специальных базисах неприводимых представлений вырожденной аффинной алгебры Гекке, Функ. Анал. и Прил. 20:1 (1986) 87-88

[228] M.Jimbo, A.Kuniba, T.Miwa and M.Okado, The A^ face models, Commun. Math. Phys. 119 (1988) 691-696

[229] Н.Ю.Решетихин, Метод функциональных уравнений в теории точнорешаемых квантовых систем, ЖЭТФ 84 (1983) 1190-1201

[230] V.Bazhanov and N.Reshetikhin, Restricted solid on solid models connected with simply laced algebras and conformal field theory, J. Phys. A23 (1990) 1477-1492

[231] A.Kuniba, Y.Ohta and J.Suzuki, Quantum Jacobi-Trudi and Giambelli formulae for Uq(B^) from analytic Bethe ansatz, J. Phys. A 28>(l995) 6211-6226

[232] А.Г.Изергин, В.Е.Корепин, Решеточная модель, связанная с нелинейным уравнением Шредингера, ДАН СССР 259 (1981) 76-79

[233] K.Hasegawa, Crossing symmetry in elliptic solutions of the Yang-Baxter equation and a new L-operator for Belavin's solution, J. Phys. A26 (1993) 3211-3228

[234] V.Bazhanov, S.Lukyanov and A.Zamolodchikov, Integrable structure of conformal field theory, quantum KdV theory and thermodynamic Bethe ansatz, Commun. Math. Phys. 177 (1996) 381-398

[235] V.Bazhanov, S.Lukyanov and A.Zamolodchikov, Integrable structure of conformal field theory II. Q-operator and DDV equation, Commun. Math. Phys. 190 (1997) 247-278

[236] A.Belavin, Dynamical symmetry of integrable quantum systems, Nucl. Phys. B180 (1980) 189-200

[237] M.Richey and C.Tracy, Z„ Baxter model: symmetries and the Belavin parametrization, J. Stat. Phys. 42 (1986) 311-348

[238] B.Hou and Y.Zhou, Fusion procedure and Sklyanin algebra, J. Phys. A 23 (1990) 11471154

[239] И.Чередник, О свойствах факторизоваиных S-матриц в эллиптических функциях, Яд. Физ. 36 (1982) 549-557

[240] Y.-H.Quano, Generalized Sklyanin algebra and integrable lattice models, Int. J. Mod. Phys. A9 (1994) 2245-2281

[241] A.Bilal and J.-L.Gervais, Extended с = oo conformal systems from classical Toda field theories, Nucl. Phys. B314 (1989) 646-686

[242] S.Kharchev, A.Marshakov, A.Mironov, A.Orlov and A.Zabrodin, Matrix models among integrable theories: forced hierarchies and operator formalism, Nucl. Phys. B366 (1991) 569-601

[243] H.Airault, H.McKean and J.Moser, Rational and elliptic solutions of the KdV equation and related many-body problem, Comm. Pure and Appl. Math. 30 (1977) 95-125

[244] И.М.Кричевер, Эллиптические решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили и интегрируемые системы частиц, Функ. Анал. и Прил. 14:4 (1980) 282-290

[245] S.N.M.Ruijsenaars and H.Schneider, A new class of integrable systems and its relation to solitons, Ann. Phys. 170 (1986) 370-405

[246] I.Krichever, O.Babelon, E.Billey and M.Talon, Spin generalization of the Calogero-Moser system and the Matrix KP equation, Amer. Math. Soc. Transl. 170 (1995) 83

[247] I.M.Krichever and A.V.Zabrodin, Vacuum curves of elliptic L-operators and representations of Sklyanin algebra, preprint ITEP-TH-76/97, solv-int/9801022

[248] А.Н.Кириллов, Полнота состояний обобщенного магнетика Гейзенберга, Зап. Научн. Семин. ЛОМИ 134 (1984) 169-189

[249] E.Frenkel and N.Reshetikhin, Quantum affine algebras and deformations of the Virasoro and W-algebras, Commun. Math. Phys. 178 (1996) 237-264

[250] A.Kuniba and J.Suzuki, Analytic Bethe ansatz for fundamental representations of Yan-gians, Commun. Math. Phys. 173 (1995) 225-264

[251] A.Kirillov and N.Reshetikhin, Exact solution of the integrable XXZ Heisenberg model with arbitrary spin, I, II, J. Phys. A20 (1987) 1565-1597

[252] V.Bazhanov and N.Reshetikhin, Critical RSOS models and conformal field theory, Int. J. Mod. Phys. A4 (1989) 115-142

[253] J.-L.Gervais and A.Neveu, Novel triangle relation and absence of tachyons in Liouville string field theory, Nucl. Phys. B238 (1984) 125-141

[254] Г.Джорджадзе, А.Погребков, М.Поливанов, Сингулярные решения уравнения + (m2/2)ехр</? = 0 и динамика особенностей, ТМФ 40 (1979) 221-234

[255] G.Jorjadze, A.Pogrebkov, M.Polivanov and S.Talalov, Liouville field theory: 1ST and Poisson bracket structure, Journ. Phys. A19 (1986) 121-139

[256] A.Leznov and M.Saveliev, Theory of group representations and integration of nonlinear systems xa^ = exp(kx)a, Physica 3D (1981) 62-72

[257] А.Лезнов, М.Савельев, Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем, Москва, "Наука", 1985

[258] P.Grifiiths and J.Harris, Principles of algebraic geometry, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley k, Sons, 1978 (Русский перевод: Ф.Гриффите, Дж.Харрис, Принципы алгебраической геометрии, т. 1,11, М., Мир, 1982)

[259] A.G.Izergin and V.E.Korepin, The lattice quantum sine-Gordon model, Lett. Math. Phys. 5 (1981) 199-205

[260] В.О.Тарасов, Классический вариант решеточной модели синус-Гордон, Зап. Научн. Семин. ЛОМИ 120 (1982) 173-187

[261] В.Г.Дринфельд, Квазихопфовы алгебры, Алгебра и Анализ, 1:6 (1990) 114-148

[262] N.Reshetikhin, Multiparameter quantum groups and twisted quasitriangular Hopf algebras, Lett. Math. Phys. 20 (1990) 331-335

[263] И.Чередник, Об определении т-функций для обобщенных аффинных алгебр Ли, Функ. Анал. и Прил. 17:3 (1983) 93-95

[264] O.Babelon and C-M.Viallet, Hamiltonian structures and Lax equations, Phys. Lett. B237 (1989) 411-416

[265] L.Freidel and J.M.Maillet, Quadratic algebras and integrable systems, Phys. Lett. B262 (1991) 278-284

[266] М.Семенов-Тян-Шанский, Отображение монодромии и классические г-матрицы, Зап. Научн. Семин. ЛОМИ 200 (1993) 156-166

[267] Е.К.Склянин, О классических пределах SU(2)-инвариантных решений уравнения Янга-Бакстера, Зап. Научн. Семин. ЛОМИ 146 (1985) 119-136

[268] A.Weinstein and P.Xu, Classical solutions of the quantum Yang-Baxter equation, Commun. Math. Phys. 148 (1992) 309-343 , ">'•

[269] I.Frenkel and N.Reshetikhin, Quantum affine algebras and holonomic difference equations, Commun. Math. Phys. 146 (1992) 1-60

[270] V.G.Knizhnik and A.B.Zamolodchikov, Current algebra and Wess-Zumino model in two dimensions, Nucl. Phys. B247 (1984) 83-103

[271] В.Е.Корепин, Непосредственное вычисление S-матрицы в массивной модели Тир-ринга, ТМФ 41 (1979) 169-189

[272] A.Gerasimov, S.Kharchev, A.Morozov, M.Olshanetsky, A.Marshakov and A.Mironov, Liouville type models in the group theory framework I. Finite-dimensional algebras, Int. J. Mod. Phys. A12 (1997) 2523-2583

[273] A.Matsuo, Integrable connections related to zonal spherical functions, Invent. Math. 110 (1992) 95-121

[274] I.Cherednik, Double affine Hecke algebras, Knizhnik-Zamolodchikov equations, and Macdonald operators, Duke Math. J. 68 (1992) 171-179

[275] B.Davies, O.Foda, M.Jimbo, T.Miwa, and A.Nakayashiki, Diagonalization of the XXZ hamiltonian by vertex operators, Commun. Math Phys. 151 (1993) 89-153

[276] L.J.Rogers, Third memoir on the expansion of certain infinite products, Proc. Lond. Math. Soc. 26 (1895) 15-32

[277] R.Askey and M.E.H.Ismail, A generalization of ultraspherical polynomials, In: Studies in Pure Math., ed. P.Erdos, Basel, Birkháuser, 55-78, 1983

[278] I.Macdonald, Orthogonal polynomials associated with root systems, In: "Orthogonal Polynomials: Theory and Practice", ed. P.Nevai, Kluwer Academic, Dordrecht, 311318, 1990

[279] I.Cherednik, Quantum Knizhnik-Zamolodchikov equations and affine root systems, Commun. Math. Phys. 150 (1992) 109-136

[280] T.Koornwinder, Jacobi functions as limit cases of q-ultraspherical polynomials, J. Math.

v •

Anal. Appl. 148 (1990) 44-54

[281] F.Mautner, Spherical functions over p-adic fields, Amer. J. Math. 80 (1958) 441-457

[282] P.Cartier, Harmonic analysis on trees In: Proc. Symp. Pure Math.,26, Providence: A.M.S., 419-424, 1973

[283] I.Macdonald, Spherical functions on a p-adic Chevalley group, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968) 520-525

F.Bruhat and J.Tits, Groupes reductifs sur un corps local. I, Publ. Math. IHES 41 (1972) 5-251

A.V.Zabrodin, Non-archimedean strings and Bruhat-Tits trees, Commun. Math. Phys. 123 (1989) 463-483

L.O.Chekhov, A.D.Mironov and A.V.Zabrodin, Multiloop calculations in p-adic string theory and Bruhat-Tits trees, Commun. Math. Phys. 125 (1989) 675-711

P.G.O.Freund and M.Olson, Non-archimedean strings, Phys. Lett. B199 (1987) 186-190

P.G.O.Freund and E.Witten, Adelic string amplitudes, Phys. Lett. B199 (1987) 191-194

L.Brekke, P.G.O.Freund, M.Olson and E.Witten, Non-archimedean string dynamics. Nucl. Phys. B302 (1988) 365-402

I.Volovich, p-Adic string, Class. Quant. Gravity 4 (1987) 183-187

G.Parisi, On p-adic functional integral, Mod. Phys. Lett. A3 (1988) 639-643

B.Spokoiny, Quantum geometry of non-archimedean particles and strings, Phys. Lett. B208 (1988) 401-406

R.B.Zhang, Lagrangian formulation of open and closed p-adic strings, Phys. Lett. B209 (1988) 229-232

P.H.Frampton and Y.Okada, p-Adic string n-point function, Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 484-486

P.G.O.Freund, Arithmetic ideas in string theory, In: Superstrings and Particle Theory, eds. L.Clavelli and B.Harms, Singapore, World Scientific, 1990

C.Гиндикин, Ф.Карпелевич, Мера Плаишереля для римановых симметрических пространств неположительной кривизны, ДАН СССР 145 (1962) 252-255

R.Askey and J.A.Wilson, Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials, Memoirs Amer. Math. Soc., 54 (1985) No 319

M.Rahman, q-Wilson functions of the second kind, SIAM J. Math. Anal. 17 (1986) 1280-1286

[299] M.Rahman, The linearization of the product of continuous q-Jacobi polynomials, Canad. J. Math 33 (1981) 255-284