Топологические дефекты и солитоны в несоизмеримых магнитных и кристаллических структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, доктор физико-математических наук Киселев, Владимир Валерьевич

• Киселев, Владимир Валерьевич
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Киселев, Владимир Валерьевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОЛИТОНОПОДОБНЫЕ ДЕФЕКТЫ В НЕСОИЗМЕРИМЫХ МАГНИТНЫХ И КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ: КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ SINE-GORDON

1.1. Солитоноподобные вихри и преобразование Беклунда

1.1.1. Двумерная решетка вихрей в соизмеримой фазе

1.1.2. Дорожка из одинаковых вихрей в несоизмеримой фазе

1.1.3. Взаимодействие спиновой волны с решеткой магнитных вихрей

1.2. Двойные солитоноподобные вихри

1.2.1. Цепочка из чередующихся вихрей в несоизмеримой структуре

1.2.2. Цепочка чередующихся вихрей на фоне спиновой волны

1.3. Выводы

ГЛАВА 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ SINE - GORDON С АСИМПТОТИКОЙ ТИПА КНОИДАЛЬНОЙ ВОЛНЫ

2.1. Прямая задача рассеяния

2.2. Дискретный спектр. Классификация солитоноподобных дефектов

2.3. Дисперсионные соотношения

2.4. Обратная задача рассеяния

2.5. Мультисолитонные решения эллиптического уравнения sine-Gordon

с асимптотикой типа кноидальной волны

2.6. Выводы

ГЛАВА 3. НЕСОЛИТОННЫЕ ВИХРЕВЫЕ ДИПОЛИ НА ФОНЕ РЕШЕТКИ

СОЛИТОНОВ. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

МЕТОДОМ ОЗР

3.1. Трудности метода ОЗР. Основные расчетные формулы и утверждения

3.2. Решение нелинейной краевой задачи о вихревом диполе с Q = ± 1

3.3. Другие типы вихревых диполей в решетке солитонов

3.4. Анализ асимптотического поведения поля диполя при г оо

3.5. Линейная XY-модель. Физические приложения

3.6. Магнитные вихревые диполи в широких джозефсоновских контактах

3.7. Выводы

ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ В ДВУМЕРНЫХ КРИСТАЛЛАХ,

АНАЛОГИЧНЫЕ ДЕФЕКТАМ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

4.1. Дефекты и сингулярные источники. Поле дефектов на большом расстоянии от их центров

4.2. Нелинейные дефекты на фоне однородного основного состояния. Описание методом ОЗР

4.2.1. Системы из «дислокационных», «дисклинационных» диполей, «точечных» дефектов

4.2.2. Дефекты, порожденные локализованными силовыми воздействиями

4.3. Применение метода ОЗР для изучения 2D - дефектов на фоне доменной границы

4.4. Дефекты плоскопараллельной доменной структуры (несоизмеримой фазы) магнетиков и кристаллов

4.5. Выводы

ГЛАВА 5. НЕЛОКАЛЬНАЯ ДИНАМИКА И НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В МАГНИТНЫХ ПЛЕНКАХ

5.1. Нелокальная динамика активационных обменно - дипольных волн в

тонких ФМ пленках

5.1.1. Эффективные размагничивающие поля и закон дисперсии

линейных спиновых волн

5.1.2. Нелокальное взаимодействие спиновых возбуждений и уравнения эволюции

5.1.3. Алгебраические солитоны в пленке

5.1.4. Алгебраические солитоны при наличии анизотропии типа «легкая плоскость»

5.2. Слабонелинейная динамика обменно-дипольных спиновых волн в ФМ

пластине конечной толщины

5.2.1. Постановка задачи. Редуктивная теория возмущений

5.2.2. Нелинейное уравнение эволюции огибающей спиновых волн при 4W0

5.2.3. Нелинейные возбуждения в области аномальной дисперсии, где дгк со «0

5.3. Нелокальная динамика голдстоуновских возбуждений в АФМ

пленке

5.3.1. Эффективное уравнение слабонелинейной динамики голдстоуновских мод

5.3.2. Анализ солитонных решений. Обменная релаксация солитонов

5.4. Выводы

ГЛАВА 6. СОЛИТОНЫ И ТРЕХВОЛНОВОЙ РЕЗОНАНС БЕННИ

В МАГНЕТИКАХ С НЕТРИВИАЛЬНЫМ ОСНОВНЫМ СОСТОЯНИЕМ

6.1. Солитоны в модулированной структуре МпООН и изоморфных ему

соединений

6.1.1. Взаимодействие голдстоуновских мод на фоне геликоидальной структуры

6.1.2. Солитоны огибающей активационных мод

6.1.3. Трехволновой резонанс и "бисолитоны" в модулированной

структуре

6.2. Нелинейный магнитоупругий резонанс длинных и коротких волн в магнетиках

6.2.1. Эффективные уравнения эволюции для двух резонирующих ветвей спектра магнитоупругих волн

6.2.2. Связь с интегрируемыми моделями. Магнитоупругие солитоны

6.3. Выводы

ГЛАВА 7. ДИНАМИКА ДИСЛОКАЦИЙ ПАЙЕРЛСА - НАБАРРО

И СОЛИТОНЫ В УПРУГО - НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ

7.1. Динамика дислокаций Паейрлса - Набарро

7.1.1. Дислокация Пайерлса - Набарро в безграничной среде

7.1.2. Дислокация в пластине

7.1.3. Взаимодействие дислокаций

7.2. Слабонелинейные солитоноподобные возбуждения в двумерной модели мартенситного перехода

7.2.1. Основное состояние кристалла. Спектр линейные мод

7.2.2. Эффективные 2Б+1 - уравнения нелинейной динамики фононных мод

7.2.3. Двумерные солитоны как предвестники мартенситного фазового перехода

7.2.4. Устойчивость солитонов

7.3. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические дефекты и солитоны в несоизмеримых магнитных и кристаллических структурах»

ВВЕДЕНИЕ

Одна из главных особенностей развития современной теоретической физики - успешное проникновение в область существенно нелинейных явлений и процессов. Классический пример нелинейной среды и интересный объект фундаментальных исследований - магнетики. Магнетики разнообразны по структуре и свойствам, обладают множеством нелинейных образований и возбуждений, которыми сравнительно легко можно управлять посредством внешних полей. Поэтому магнитные материалы находят широкое применение в микроэлектронике, вычислительной технике, различных приборах и устройствах. Несмотря на кажущуюся простоту феноменологического выражения для энергии магнетиков, условие постоянства длины векторов намагниченности подрешеток, делает задачи теоретического описания больших отклонений намагниченности от основного состояния существенно нелинейными. Магнитные материалы являются хорошими модельными системами, исследование которых привело к развитию нетрадиционных методов теоретической физики. Полученные в этой области результаты в значительной мере сформировали представления о таких новых структурных единицах нелинейной физики твердого тела как солитоны и топологические дефекты.

Солитоны дополняют концепцию квазичастиц при описании волновых процессов. В ряде случаев их можно интерпретировать, как связанные состояния линейных мод [1]. Поэтому открытие солитонов произошло в результате выхода за рамки линейной теории возмущений. Было обнаружено, что среди основных уравнений магнетизма содержится много универсальных нелинейных моделей, которые допускают интегрирование методом обратной задачи рассеяния (ОЗР). Хотя некоторые из солитонных объектов магнетизма, например, доменные границы, уединенные домены, самолокализованные волны намагниченности были изучены традиционными

методами, детальное теоретическое исследование существенно нелинейной динамики магнетиков и солитонов, в частности, стало возможным благодаря открытию методов, основанных на ОЗР [2-7]. Солитоны стабильны при взаимодействиях друг с другом и с малоамплитудным волнами, несут важную информацию о структуре и динамике нелинейной среды, определяют процессы энергообмена, кинетические, термодинамические, механические и другие свойства твердых тел. В условиях сильного внешнего воздействия на систему без предсказания и анализа солитонных состояний невозможна успешная интерпретация экспериментальных данных.

Устойчивость топологических солитонов и дефектов имеет топологическую природу: соответствующие им поля невозможно устранить непрерывной деформацией, не разрушая упорядоченного состояния в большом объеме вещества. Топологические дефекты существенно нелинейны по своей внутренней природе и происхождению. Они играют решающую роль в формировании пластических и прочностных свойств кристаллов, магнитных, структурных, неоднородных сверхпроводящих состояний и фазовых переходов. В настоящее время единственный конструктивный метод, на основе которого возможно полное описание существенно нелинейных состояний - это метод ОЗР или его модификации (преобразования Беклунда, Дарбу, метод «одевания» и т.д.). Метод ОЗР применим, когда нелинейная модель допускает представление Лакса [2-7]. Представление Лакса используется для перехода от исходных полей к вспомогательным, которые, как правило, разбиваются на две группы: дискретное множество функций и поля, непрерывно зависящие от спектрального параметра. После перехода к новым полям первоначальное нелинейное уравнение в частных производных сводится к системе линейных дифференциальных уравнений, которая легко интегрируется. Возвращаясь к прежним полям с помощью обратного спектрального преобразования, получаем точное решение нелинейной модели. Процедура напоминает

преобразование Фурье, широко используемое для интегрирования линейных уравнений. Успех метода зависит от возможности перенесения начальных или краевых условий, сформулированных для исходных полей, на вспомогательные поля, в которых задача интегрируется. В традиционной формулировке метод ОЗР развит лишь для одномерных волновых процессов и позволяет проследить дальнейшую эволюцию поля, заданного в начальный момент времени. Для волновых уравнений всегда существует простое соответствие между начальным распределением исходного поля и начальными значениями вспомогательных полей, поэтому задача решается полностью. Дискретному набору вспомогательных полей соответствуют частицеподобные волны - солитоны. Поля, непрерывно зависящие от спектрального параметра, описывают волны и излучение, подверженные расплыванию из-за дисперсии. Метод ОЗР сталкивается со значительными трудностями при его распространении на краевые задачи. В этом случае невозможно получить простое отображение краевых условий, сформулированных для исходных полей, на вспомогательные поля. Тем не менее, ряд начально-краевых задач для одномерных волновых процессов решен в работах [8-16]. Все эти решения в отличие от известных для безграничной среды обладают определенной симметрией. Связь алгебраической симметрии задачи с интегрируемыми граничными условиями обсуждалась в работах [17-19]. Проблема интегрирования двумерных нелинейных уравнений с краевыми условиями не решена до сих пор даже для моделей, допускающих представление Лакса. Подход работы [18], основанный на теории конечнозонного интегрирования, дает лишь частные решения краевых задач и не допускает обобщения. Возможные пути преодоления этой трудности при вычислении полей, связанных с двумерными топологическими дефектами, намечены в работах [20-24] и развиваются в данной работе. К настоящему времени, главным образом в линейном приближении, описаны дефекты кристаллической решетки:

дислокации, дисклинации, трещины и т.д. Нелинейные дефекты в кристаллах и магнетиках близки по своим топологическим свойствам, поэтому оказывается плодотворным их параллельное рассмотрение. В дальнейшем, для краткости, под кристаллами будем подразумевать среды, не обладающие магнитными свойствами, хотя кристаллическую структуру, разумеется, имеют как немагнитные, так и магнитные среды.

Существует широкий класс двумерных систем, где солитоны и дефекты тесно связаны между собой. Это несоизмеримые магнитные и кристаллические структуры [25-28]. При наличии несоизмеримой фазы основное состояние системы не является пространственно однородным, а представляет сверхструктуру, которая часто может быть охарактеризована одномерной решеткой 2 п - кинков (солитонов). Дефекты в решетке солитонов определяют основные физические свойства несоизмеримой фазы. Описание несоизмеримых структур с помощью солитонов и дефектов наиболее адекватно, представляет нерешенную и актуальную задачу современной физики твердого тела. В магнетиках к этому же кругу задач примыкают проблемы аналитического описания тонкой структуры отдельной доменной границы, формы доменов, деформаций доменной структуры, обусловленных топологическими дефектами.

К моменту начала наших исследований была дана геометрическая классификация дефектов в несоизмеримых структурах и доменных стенках [29-31]. Поля дефектов явно не вычислялись, а в зависимости от топологических особенностей подразделялись на классы эквивалентности с точностью до деформаций совместимых с кристаллографической анизотропией и граничными условиями. Геометрическую классификацию дефектов удавалось дополнить аналитическими результатами лишь в частных случаях, когда уравнения, определяющие распределения параметра порядка, сводились к одномерным или линейным [25-28]. Для дальнейшего развития теории и успешной интерпретации экспериментальных данных

требовались явные выражения для полей существенно нелинейных неодномерных дефектов. Поскольку эти поля могли быть найдены только с помощью ОЗР, две актуальные проблемы - изучение структуры и взаимодействия дефектов в несоизмеримой фазе и дальнейшее развитие техники ОЗР - оказались связанными.

Диссертация посвящена исследованию топологических дефектов и солитонов в магнитных, упругих и магнитоупругих средах, характеризующихся наличием несоизмеримых структур, спонтанных деформаций, нелокальных магнитостатических взаимодействий. Работа состоит из двух частей.

В первой части (главы 1-4) развиваются методы, на основе которых впервые оказалось возможным полное аналитическое описание нелинейных 20-дефектов в магнетиках и кристаллах. Дефекты исследуются в рамках двумерной модели типа Френкеля - Конторовой (эллиптическое уравнение sine - Gordon), которая имеет большое число экспериментальных реализаций. Основное внимание уделяется дефектам на фоне несоизмеримой солитонной сверхструктуры. Вследствие существенной нелинейности не только модели и самих дефектов, но и основного состояния, теоретическое описание подобных образований вызывает значительные затруднения и ранее проведено не было. В главе 1 (авторские работы [А1-А4] ) с помощью преобразований Беклунда в со- и несоизмеримых фазах магнетиков и кристаллов найдены новые топологические дефекты - вихри и периодические структуры из вихрей, которые являются аналогами солитонов. Рассмотрено разрушение решеток из солитоноподобных вихрей нелинейными волнами. Подобные дефекты ранее изучались только на однородном фоне [32-37]. Солитоноподобные вихри имеют сравнительно большой топологический заряд. Поэтому в главе 2 развит вариант ОЗР, пригодный для изучения "несолитонных" дефектов с меньшим топологическим зарядом, а значит и энергией. При построении ОЗР [А7-А10] заданы асимптотические условия на

бесконечности по одной из пространственных переменных, которые отражают наличие несоизмеримой фазы или нелинейной волны специального вида. В главе 3 с помощью ОЗР решены нелинейные краевые задачи, связанные с вычислением поля "несолитонных" вихревых диполей в несоизмеримой фазе магнетиков и кристаллов [А11-А13]. На однородном фоне "несолитонные" вихри были ранее изучены в [20-23,38]. В главе 4 [А8,А14-А16] на основе модификации развитой процедуры исследованы новые нелинейные дефекты в магнетиках и кристаллах, аналогичные дефектам линейной теории упругости. Рассмотрены различные системы дефектов в со- и несоизмеримой фазах и на фоне отдельной доменной границы. В Приложение к диссертационной работе вынесены вычисления, иллюстрирующие утверждение главы 4 о перенормировке интенсивности сингулярного источника, задающего дефект, при переходе от нелинейной модели к ее линеаризации.

Вторая часть диссертации (главы 5-7) посвящена задачам аппроксимации слабонелинейной динамики реальных физических систем сравнительно простыми нелинейными моделями, которые допускают детальный анализ методами теории солитонов. Рассматриваются магнитные, упругие и магнитоупругие среды с необычным основным состоянием или нетривиальным характером взаимодействий, связанным с наличием сверхструктур, спонтанных деформаций, проявлениями магнитостатики, теоретическое описание которых вызывает затруднения. Перечисленные среды не эквивалентны по интенсивности нелинейных взаимодействий. Наиболее значительна нелинейность магнитных сред. В магнитоупругих средах упругий ангармонизм в основном индуцирован магнитной подсистемой. Интерес к средам со сложной структурой стимулируется уникальным сочетанием их физических характеристик: магнитных, упругих, электрических, оптических и других. Последнее делает эти материалы весьма перспективными с точки зрения практического использования.

Когда внешнее воздействие на систему не мало, ее описание в терминах Фурье гармоник (или линейных квазичастиц) становится неадекватным, т.к. увеличивается взаимодействие между гармониками. Если амплитуды волн не слишком велики, то взаимодействие гармоник является слабым. В этом случае нелинейную динамику реальной физической системы удается корректно аппроксимировать в рамках нелинейной редуктивной теории возмущений (РТВ) [6]. Щей РТВ чрезвычайно популярны в физике плазмы и гидродинамике. Менее эта идеология развита при рассмотрении магнитных, упругих и магнитоупругих явлений. До настоящего времени РТВ - это единственный мостик между линейной теорией и теорией солитонов. При построении РТВ, исходя из физики задачи, в реальной системе выделяются пространственно - временные области, где вводятся медленные (пространственные и временные) переменные. Медленные переменные вводятся посредством масштабных преобразований. Конечная цель -описание системы в терминах теории солитонов. Поскольку солитон, как известно, результат баланса дисперсии и нелинейности, масштабные преобразования выбираются так, чтобы согласовать пространственно -временной отклик системы на возмущение с линейным законом дисперсии и сбалансировать эффекты дисперсии и нелинейности. При верном выборе масштабных преобразований низшие порядки РТВ дают замкнутое эффективное уравнение слабонелинейной динамики реальной системы. Практически важно, что РТВ, выделяя скрытые алгебраические симметрии, как правило, приводит к уравнениям, которые обладают поразительной универсальностью, и оказываются интегрируемыми или близкими к ним. Тем самым достигается детальное описание реальной системы в рамках метода ОЗР или солитонной теории возмущений. Построение и использование нелинейных моделей приводит к предсказанию новых солитонов и дефектов, меняет представления о микроструктуре и свойствах среды, сущности явлений и процессов в магнетиках и кристаллах.

В диссертационной работе развиты специальные варианты нелинейной теории возмущений, на основе которых построены упрощенные модели слабонелинейной динамики целого ряда систем с нетривиальным основным состоянием. В рамках этих моделей в главе 5 в ферро- и антиферромагнитных пластинах исследованы новые особенности слабонелинейной динамики обменно-дипольных спиновых волн, связанные с конкуренцией обменной и нелокальной магнитостатической дисперсий, влиянием поверхности образца [А17-А23]. Установлено, что модуляции огибающей активационных спиновых волн не всегда описываются традиционно используемой моделью [39-47] - нелинейным уравнением Шредингера. Предложены альтернативные, в том числе нелокальные модели, предсказаны новые типы нелинейных возбуждений. Впервые исследована нелинейная динамика бесщелевых обменно-дипольных волн в антиферромагнитных пленках. В главе 6 [см. А24-А27] в антиферромагнетиках с геликоидальной структурой и в магнитоупругих средах описана перекачка энергии в области интенсивного резонансного взаимодействия активационных и бесщелевых мод, изучены различные солитонные режимы в окрестности нелинейного резонанса. Вдали от резонанса слабонелинейная динамика магнитоупругих волн в ферро- и антиферромагнетиках ранее рассматривалась в [48-51]. Трехволновые взаимодействия в антиферромагнетиках, удовлетворяющие условиям синхронизма, были исследованы в [52]. Хотя самолокализованные магнитоупугие возбуждения в условиях резонансного взаимодействия волн обсуждались в [48-52], общая связь проблемы с интегрируемой моделью Захарова - Бенни замечена не была. В главе 7 в рамках основанного на нелинейной теории упругости подхода типа Гинзбурга - Ландау [53-59], предложена 2Б+1 - модель, описывающая взаимодействие фононных мод вблизи точки мартенситного фазового перехода [АЗ 1,АЗ 2]. Показано , что пренебрежение нелинейными членами в тензоре дисторсии, часто используемое при описании межфазных границ в рамках подхода [53-59],

является некорректным даже при изучении взаимодействия малоамплитудных мод. Предсказаны малоамплитудные двумерные мультисолитоны, изучены критерии их стабильности и экспериментальные проявления. В этой же главе методами теории солитонов найдены новые точные решения уравнений нелинейной и нелокальной динамики дислокаций Пайерлса - Набарро в пластине и неограниченной среде [АЗО]. Ранее аналитические результаты были получены только для статических дислокаций Пайерлса - Набарро [60].

Таким образом, решение рассмотренных в диссертации задач представляется весьма актуальным как в силу важности объектов исследования, так и ввиду перспективности методов теоретического описания.

Цель работы состояла в том, чтобы

- построить интегрируемые модели, корректно аппроксимирующие магнетики и кристаллы с нетривиальным характером взаимодействий;

- развить методы аналитического описания распределений параметра порядка в средах с пространственно - неоднородными структурами;

- исследовать новые солитоноподобные возбуждения и двумерные дефекты на фоне несоизмеримой фазы магнетиков и кристаллов;

изучить нелинейную, нелокальную динамику ферро- и антиферромагнитных пленок;

- рассмотреть проявления солитонных состояний в окрестности ферроупругого фазового перехода.

В методическом отношении эти задачи образуют единое целое, т.к. исследуются нелинейные свойства близких физических систем, развиваются универсальные методы их теоретического описания.

Научная новизна диссертации определяется следующими положениями.

1. На основе развитого нами варианта ОЗР в рамках универсальной 2D-модели типа Френкеля - Конторовой (эллиптическое уравнение sine - Gordon) впервые предложена конструктивная процедура аналитического описания существенно нелинейных дефектов в магнетиках и кристаллах. Предсказаны и классифицированы различные солитоноподобные дефекты (включая решетки из солитонных вихрей) в несоизмеримой фазе магнетиков и кристаллов, а также на фоне кноидальной спиновой волны.

2. Впервые решены двумерные нелинейные краевые задачи, связанные с вычислением поля несолитонных вихревых диполей на фоне несоизмеримой структуры магнетиков и кристаллов. На основе развитой теории впервые найдено распределение джозефсоновских токов в плоском туннельном контакте, индуцированное проникновением абрикосовской вихревой нити из сверхпроводящих электродов в область туннельного барьера.

3. Предсказаны и впервые аналитически описаны несолитонные существенно нелинейные 2D- дефекты в со- и несоизмеримой фазах магнетиков и кристаллов по своим топологическим свойствам аналогичные дефектам линейной теории упругости: дислокационным и дисклинационным диполям, трещинам, точечным дефектам т.д. В магнетиках они являются прообразами блоховских линий, магнитных дислокаций, гантелеобразных доменов и т.д. Методом ОЗР описаны структура дефектов, особенности их взаимодействия друг с другом и с неоднородными образованиями типа доменной границы и плоскопараллельной доменной структуры.

4. Развиты специальные варианты нелинейной теории возмущений для сред с нетривиальным основным состоянием, характеризующимся наличием сверхструктур, спонтанных деформаций, нелокальных магнитостатических взаимодействий. Предложена конструктивная программа аппроксимации слабонелинейной динамики таких систем посредством эффективных интегрируемых моделей.

5. В антиферромагнетиках с геликоидальной структурой (соединения типа МпООН) и в магнитоупругих средах предсказан и аналитически описан процесс перекачки энергии в области интенсивного резонансного взаимодействия активационной и бесщелевой мод (нелинейный резонанс Бенни). Найдены условия формирования различных солитонных режимов в окрестности резонанса. Установлено, что в магнитоупругих средах нелинейный резонанс, как правило, описывается интегрируемой моделью Захарова - Бенни.

6. В ферро - и антиферромагнитных пленках в длинноволновой области предсказан новый тип слаболокализованных состояний - алгебраические солитоны. Их формирование связано с конкуренцией нелокальной обменной и магнитостатической дисперсий, влиянием поверхности образца. Построены новые локальные и нелокальные модели, описывающие особенности нелинейной динамики обменно- дипольных волн в ферро- и антиферромагнитных пластинках в широком интервале значений волновых чисел.

7. Впервые показано, что в окрестности точки ферроупругого мартенситного фазового перехода слабонелинейная динамика фононных мод допускает формирование 2D+l мультисолитонных состояний. Исследованы условия существования и устойчивость различных типов солитонов. Предложен солитонный механизм аномальной акустической эмиссии вблизи точки фазового перехода.

Научная и практическая значимость. В работе изучены новые физические объекты (солитонные и несолитонные дефекты в магнетиках и кристаллах с пространственными сверхструктурами) и новые явления (различные солитонные режимы в магнитных, упругих и магнитоупругих средах с необычным основным состоянием), интересные как с точки зрения фундаментальных исследований, так и с точки зрения применений. При решении широкого класса задач современной микроэлектроники могут быть

весьма эффективны развитые в диссертационной работе методы аналитического описания солитонов и дефектов, построенные эффективные модели нелинейной динамики конденсированных сред с нетривиальным основным состоянием. Модели обладают свойствами универсальности и интегрируемости и дотому, дают возможность полного теоретического описания различных физических систем с помощью аппарата теории солитонов или посредством солитонной теории возмущений. Предсказанные в работе дефекты и солитоны определяют микроструктуру перечисленных сред. Это не только углубляет понимание природы физических явлений, но и открывает перспективы для дальнейшего теоретического и экспериментального изучения многочисленных нелинейных свойств таких материалов и протекающих в них процессов.

Результаты работы можно использовать для планирования экспериментов по обнаружению дефектов и солитонов. Новые топологические дефекты в несоизмеримой фазе магнетиков и кристаллов могут быть обнаружены методами магнитной нейтронографии, электронной и оптической спектроскопии. В магнитных пленках и магнитоупругих средах солитоны проявляются в специфических резонансных явлениях. Вблизи ферроупругого фазового перехода потеря стабильности солитонов ведет к акустической эмиссии. В протяженных джозефсоновских контактах наличие существенно нелинейных топологических дефектов приводит к значительному изменению плотности тока через туннельный переход. Последнее может служить причиной расхождения существующих к настоящему времени экспериментальных данных с результатами линейной теории, используемой для описания таких дефектов и обработки измерений.

Полученные результаты, новизна положений, развиваемых в диссертации, и ее научная и практическая значимость позволяют утверждать, что проведенные исследования подчинены развитию важного направления физики твердого тела - теории дефектов и солитонов в магнитных, упругих и

магнитоупругих средах с пространственно неоднородным основным состоянием и нетривиальным характером взаимодействий. На защиту выносятся:

1. Метод анализа двумерных распределений параметра порядка в магнетиках и кристаллах, основанный на специально развитом варианте ОЗР и позволивший вычислить поле дефектов плоскопараллельной доменной структуры и отдельной доменной границы.

2. Решение существенно нелинейных краевых задач, связанных с несолитонными дефектами в со - и несоизмеримой фазах магнетиков и кристаллов (на фоне однородного основного состояния и на фоне полосовой доменной структуры).

3 .Новые типы солитоноподобных дефектов, описываемых универсальной 2Б - моделью типа Френкеля - Конторовой (вихри, решетки вихрей), особенности их взаимодействия друг с другом и с пространственно неоднородным основным состоянием.

4. Специальные варианты нелинейной теории возмущений и теоретические модели, определяющие нелинейную динамику упругих, магнитных и магнитоупругих сред с нетривиальным основным состоянием, обусловленным нелокальной магнитостатикой, спонтанными деформациями или модулированной структурой.

5. Новые типы солитонов и солитонные режимы в перечисленных средах, изучение условий их формирования и свойств.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием твердо установленных феноменологических уравнений макроскопической динамики магнетиков, современных полностью контролируемых методов для их решения, строгой обоснованностью приближений и допущений, корреляцией полученных результатов с известными экспериментальными данными, совпадением

асимптотик и предельных переходов (если таковые имеются) с известными ранее.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на различных семинарах и конференциях, в том числе на III и IV Международных рабочих группах "Нелинейные и турбулентные процессы в физике" (Киев, 1987г. и; 1989г.), на ХХП-ом Международном семинаре по спиновым волнам (Петербург, 1994г.), на XIV-ой, XV-ой и XVI-ой Международных школах -семинарах "Новые магнитные материалы в микроэлектронике" (Москва 1994г., 1996г. и 1998г.), на I Международной конференции "Актуальные проблемы прочности" (Новгород, 1994г.), Международной рабочей группе "Нелинейное уравнение Шредингера" (Москва, 1994г.), Международной конференции "Нелинейная динамика, хаос и сложные системы" (Польша, Закопане, 1995г.), Международной конференции "Нелинейность, бифуркации, хаос: двери в будущее" (Польша, Добиежков, 1996г.), на VIII-ом Международном симпозиуме "Нелинейные электромагнитные системы" (Германия, Брауншвейг, 1997г.), на XXVII Международной школе -симпозиуме физиков - теоретиков "Коуровка 98" (Челябинск, 1998г.), на Научных сессиях Института физики металлов УрО РАН (Екатеринбург, 1993 г, 1995г., 1996г.).

1. СОЛИТОНОПОДОБНЫЕ ДЕФЕКТЫ В НЕСОИЗМЕРИМЫХ МАГНИТНЫХ И КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ: КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ SINE-GORDON.

Зарождение интереса к двумерным системам исторически связано с изучением поверхностей и тонких пленок. Бурное развитие экспериментальных исследований по физике двумерных систем началось в 60-е годы, когда был разработан целый арсенал методов диагностики поверхностей. Это позволило изучать явления в таких системах на атомном уровне в надежно контролируемых условиях. Рост научного интереса к двумерным системам стимулировался требованиями практики (микроэлектроника, выращивание кристаллов, катализ и др.), многообразием свойств двумерных кристаллов. Было обнаружено, что различные сверхструктуры на поверхности кристалла описываются двумерными точно решаемыми моделями (Изинга, Потса, Бэкстера и др.). Оказалось, что решетки адатомов изобилуют несоизмеримыми структурами. Хотя бы один из периодов таких структур находится в иррациональном отношении, как с периодами кристалла-подложки, так и с периодами кристалла, который образовали бы адатомы в отсутствие подложки. Было найдено множество фазовых переходов, связывающих различные состояния двумерных кристаллов. Установлено, что тепловые флуктуации существенно влияют на характер этих переходов. В несоизмеримых структурах экспериментально наблюдались топологические дефекты, и было высказано предположение о том, что они во многом определяют физические свойства двумерных систем. Однако полное аналитическое описание подобных дефектов в рамках уже установленных теоретических моделей до сих пор отсутствует.

Самая многочисленная группа двумерных кристаллов - решетки атомов, адсорбированных на поверхности металлов. Наиболее популярной и универсальной моделью такой системы, является двумерное обобщение

модели Френкеля-Конторовой [61, 62]. В рамках этой модели считается, что атомы, адсорбированы на грань кристалла-подложки, потенциальный рельеф которой представляет параллельные глубокие борозды (системы Хе-Си (110), Li-W (112), K-W (112), Li-Mo (112), Ва-Мо (112) ). Тогда смещение адатомов происходит лишь вдоль борозд потенциального рельефа (вдоль оси х). Плотность энергии адпленки имеет вид [25,27,63-65]:

Поле ф(х, у) определяет смещение адатомов из положений, которые они занимали бы в подложке. Первая и вторая скобки в (1.1) выражают соответственно собственную упругую энергию адатомов и энергию их взаимодействия с подложкой (лг,л2 ~ упругие постоянные, глубина потенциального рельефа, ь - период подложки). Параметр у характеризует степень отличия периода подложки от периода а решетки адатомов в

отсутствии подложки: — , где М'Ы-целые числа. Когда

N N

периоды а, Ь близки м~Ы = 1- Практически важно, что модель (1.1) является универсальной - описывает не только двумерные кристаллы.

Существует весьма распространенный тип магнитных структур, которые можно рассматривать, как длинноволновую модуляцию простых магнитных структур ферро- и антиферромагнитных. Период модуляции часто зависит от температуры или внешнего поля и принимает значения, несоизмеримые по отношению к периоду кристаллической решетки. Поэтому модулированные или длиннопериодические структуры также называют несоизмеримыми. Все эти определения выступают как синонимы. Обнаружены спиральные магнитные структуры, структуры типа продольной и поперечной спиновых волн, веерные и др. Модулированная структура не является единственной магнитоупорядоченной фазой кристалла. Ей может предшествовать или за ней следовать соизмеримая ферро- или антиферромагнитная структура. Было обнаружено большое число

(1.1)

длиннопериодических фаз и переходов между со- и несоизмеримыми фазами.

Для некоторых кристаллов специальной симметрии (кристаллы без центра инверсии) модуляция обусловлена неоднородными анизотропными силами релятивистского происхождения. Простейшая модель спиральной структуры с однокомпонентным параметром порядка имеет типичное выражение для плотности свободной энергии [66, 67]:

сс

w = —(V<p)2+K(l-cosN(p) + ydx<p- (1-2)

Для магнетиков с анизотропией типа "легкая плоскость" (плоскость YZ) угол (р описывает вращение вектора ферро- или антиферромагнетизма в "легкой плоскости": М = (о,cossin <р), обменное взаимодействие характеризуется постоянной а. Второй член в (1.2) описывает модуляцию длинноволновой структуры внешним магнитным полем я (iV = 1,2; icccHN)-Как отмечено в [66] , в антиферромагнетиках магнитное поле, приложенное в плоскости вращения спинов (перпендикулярно оси магнитной спирали), приводит к наведенной магнитной анизотропии второго порядка. Второй член может быть также связан с магнитной кристаллографической анизотропией в базисной плоскости N = 2, 4, 6. В этом случае параметр к зависит от температуры. Третий член в (1.2) обусловлен инвариантами Лифшица:

у(МудхМ2-МгдхМу) (1.3)

для магнетиков кристаллических классов С„,Д (и = 2,4,6) и Г (соединения MnSi, FeGe ) или индуцирован внешним полем для кристаллов других симметрий [67-71]. Например, свободная энергия антиферромагнетиков СоТЮз и БеТЮз содержит слагаемое (1.3) с у~Е, где е - компонента внешнего электрического поля вдоль тригональной оси (ось х). Инварианты Лифшица могут быть также индуцированы магнитным полем и деформацией (например, в соединении ZnCr2Se4) .

Заметим, что для холестерических жидких кристаллов в одноконстантном приближении (1.2) совпадает с энергией искажения спиральной структуры электрическим или магнитным полем, приложенным перпендикулярно оси

спирали (jv=2) [72, 73].

Для двумерных распределений параметра порядка после масштабных преобразований выражения для плотности энергии (1.1) и (1.2) совпадают и принимают форму, удобную для дальнейшего анализа:

W = + (dyU)2} + (\-cosu) + qdxu • (1.4)

Распределение параметра порядка определяются эллиптическим уравнением sine-Gordon

(д* +d2y)u = smu ■ (1.5)

В отличие от известного гиперболического уравнения sine-Gordon: - ¿р) и = sin и, уравнение (1.5) описывает не волновые процессы, а дефекты,

и пока еще не исследовано столь же детально.

В зависимости от величины параметра q основному состоянию системы (1.4) отвечает либо однородное распределение параметра порядка: и = О (mod 2я) (соизмеримая фаза), либо сверхструктурная решетка (несоизмеримая фаза):

сп(Х + Zo>k) х (1

ио(х) = 4Arctgг----—^ = -2ат(% + %Q,k) + л, Х = Т, %0 = const ■ (I.oJ

[l + sn(jr +J к

На периоде L0=2Kk решетки функция U()(х) изменяется на 2лг, здесь k - модуль эллиптических функций Якоби, к = К(к)~ полный эллиптический интеграл первого рода. Под Arctg z понимается полная квазипериодическая функция, а не ее главная часть, причем для определенности считаем

Arctg cnXU + sni:]-1 =0-

Чтобы нагляднее проиллюстрировать распределение (1.6), воспользуемся его представлением в виде ряда:

(1.7)

дхщ + = ~ X sech

П (Z + Xo~2KP

.2 К'

где р - целое, К' = К(к'), к' = л/1 -к1 • Выражение (1.7) доказывается сравнением разложений на простые дроби [74] левой и правой частей

равенства (1.7). В качестве условия нормировки удобно взять dn(% = 0) = 1 ■ Согласно (1.7), изменение поля сосредоточено вблизи точек с координатами х = 2 К кр • В окрестности каждой из них с характерным размером /0 »2К'к / ж функцию и0(х) можно аппроксимировать 2тс- кинком, поскольку

~ — fdr'sech^— = 4arctgf- Л х) + const • (1-8)

К' J z 2К' ЪУ 2К'к J

Таким образом, решение (1.6) представляет одномерную решетку 2 п -солитонов типа (1.8), разделенных протяженными областями длиной ц (обычно Z0»/0), в пределах которых функция щ (х) изменяется слабее ( и{1(х) 2ns, где 5 - целое (см. рис.3.2)).

Средняя энергия, приходящаяся на период сверхструктуры солитонных линий, есть

r = = " (1-9)

L0 * Кк \к) Кк2

Здесь е = Е(к) ~ полный эллиптический интеграл второго рода. Минимизируем W по переменной к • Отсюда получим условие, определяющее к (или z(j):

щк - 4£ = 0 • (1.10)

При q{4 / и уравнение (1.10) не имеет решений. Основным состоянием системы (1.4) является соизмеримая фаза: и = 0 (mod 2тг) •

При q)M п уравнение (1.10) разрешимо. Энергия, соответствующая сверхструктуре (1.6), ниже, чем энергия однородного распределения параметра порядка.

В двумерных кристаллах типа адсорбат-подложка qoz(a-bM/N){/LxN)yi • Солитонные линии описывают области повышенной плотности адатомов. Солитонная решетка (1.6), период которой существенно отличается от периодов а и ь, является результатом конкуренции двух взаимодействий в гамильтониане (1.1): 1) потенциала кристалла-матрицы, благоприятствующего соизмеримой фазе; 2) упругих взаимодействий между

адатомами, стремящимися привести систему в состояние слегка отличающееся от соизмеримого.

В легкоплоскостных магнетиках без центра инверсии наличие в гамильтониане (1.2) инвариантов Лифшица (1.3) приводит к идеальному спиральному упорядочению магнитных моментов атомов. Вектор намагниченности лежит в плоскости YZ и при смещении вдоль оси х поворачивается так, что образуется спиральная структура с неизменным шагом. При наличии внешнего магнитного поля или магнитной анизотропии в плоскости YZ появляются взаимодействия, которые стремятся выстроить магнитные моменты атомов вдоль выделенных направлений в этой плоскости. Отметим, что в исходных ( необезразмеренных) переменных анизотропия jv -ого порядка выделяет N эквивалентных направлений в плоскости YZ, к которым стремятся подстроиться атомные магнитные моменты. В результате конкуренции противоположных тенденций идеальная спираль трансформируется в модулированную спиральную структуру. Вдоль оси х формируются протяженные области, в пределах которых распределение намагниченности почти однородно. Соседние области разделены узким переходным слоем, где сохраняется спиральный разворот намагниченности . Такое «раскручивание» спирали описывается решеткой солитонов (1.6). Фазовый переход из несоизмеримой фазы в соизмеримую соответствует неограниченному росту периода солитонной решетки при изменении температуры или поля. При q{M ж ■> что соответствует большим магнитным полям или сильной анизотропии в базисной плоскости q сх. у(ак)~'л, реализуется однородное распределение намагниченности <р = о (mod 2/г) ■

Модель (1.5) дает также упрощенное описание тонкой структуры отдельной доменной границы и двумерных деформаций плоскопараллельной доменной структуры (1.6) в магнетиках [75,33,38]. Для этих распределений намагниченности параметр порядка и(х, у) определяется минимумом функционала, который в безразмерных переменных совпадает с (1.4) (при

¿7=0) и включает энергию обменного взаимодействия и энергию магнитной анизотропии. Поле и(х,у) дает азимутальный (или полярный) угол, описывающий ориентацию намагниченности. Поскольку при расчетах пренебрегается магнитостатикой, полученные результаты могут найти экспериментальное подтверждение в антиферромагнетиках или слабых ферромагнетиках, где дипольные взаимодействия пренебрежимо малы. Удобной системой для наблюдения свойств и тонкой структуры таких распределений намагниченности являются одноосные пленки магнитных гранатов с наведенной во время роста магнитной анизотропией типа «легкая плоскость».

Широко известна роль дислокаций при интерпретации физических свойств реальных кристаллов. Подобные дефекты - вихри и антивихри -важны и при рассмотрении двумерных систем. Под вихревыми конфигурациями в дальнейшем будем подразумевать дефекты, которые характеризуются топологическим зарядом:

где г - произвольный контур в ХУ~ плоскости, окружающий некоторую точку (х0,у0) - центр вихря и ориентированный против часовой стрелки. Согласно известному из топологии утверждению [76-79 ], отображения г ->■ и можно подразделить на гомотопические классы, которые образуют группу, изоморфную группе целых чисел (.?,) = г- Поля и(х,у), принадлежащие одному классу, невозможно непрерывной деформацией (не разрушая упорядоченного состояния в большом объеме вещества) преобразовать в поля и(х, у), принадлежащие другому классу. Каждый класс характеризуется целым числом 0 и определяет семейство, так называемых, топологически устойчивых дефектов поля ы. Для систем (1.1) вихрь и дислокация суть эквивалентные понятия. В легкоплоскостных магнетиках (1.2) вихрю соответствует особая линия (точка в ХУ~ плоскости), при однократном обходе

(1.11)

вокруг которой вектор М=(о, eos w, sin и) ферро- или антиферромагнетизма поворачивается целое число раз. Интерес к подобным дефектам стимулирован идеями Березинского, Костерлица и Таулеса об особенностях фазовых переходов в двумерных системах [80-82]. Показано, что в двумерных системах, описываемых уравнением ди = о (континуальный предел XY -модели), пары вихрь -антивихрь могут рождаться термофлуктуационным путем.

Представляет интерес изучение и классификация дефектов типа вихрей в рамках простейшей модели (1.4) несоизмеримой структуры. Для экспериментальной проверки результатов необходимо найти явное выражение для параметра порядка и(х,у) • Аналитическое описание вихрей сопряжено с серьёзными трудностями, которые обусловлены:

1) существенной нелинейностью уравнения (1.5);

2) сингулярным характером требуемых решений;

3) наличием нетривиального фона типа кноидальной волны;

4) не разработанностью методов решения нелинейных краевых задач даже в случае уравнений, обладающих парой Лакса.

Изучение широкого класса решений нелинейного уравнения (1.5) возможно только на основе специальных методов интегрирования. К моменту начала исследований с помощью анзатца Лэмба и методом Хироты были найдены и проанализированы явные решения уравнения (1.5), описывающие отдельные вихри, цепочки и прямоугольные решётки из вихрей на фоне однородного основного состояния [36,37] (в соизмеримой фазе). Оказалось, что все найденные вихри имеют топологические заряды q = +4, и обладают рядом особенностей, отсутствующих, например, у дислокаций в линейной теории упругости. Отдельный вихрь может быть интерпретирован как пересечение двух 2л*-солитонов, каждый из которых после пересечения изменяет свою полярность. Полярность простейшего солитона и = 4 arctgexp^x в модели (1.5) определяет число f=siqn 4« = ±1 . Поскольку с каждым вихрем связаны бесконечные 2^-солитоны, энергия любой из вихревых конфигураций,

изученных в [36,37], линейно зависела от размера системы. В данной главе мы проанализируем как влияет изменение основного состояния на энергию и внутреннюю структуру таких «солитонных вихрей».

Двумерные дефекты несоизмеримой структуры представляют существенно новый класс нелинейных объектов, теоретического описания которых ранее проведено не было. Для изучения таких дефектов мы использовали преобразование Беклунда. Известно, что преобразования Беклунда эффективны для построения солитонных решений нелинейных уравнений гиперболического и параболического типов. В данном случае мы имели уравнение другого, ранее не исследованного, эллиптического типа. Найденные решения являются лишь аналогами солитонов.

В этой главе с помощью преобразования Беклунда получено полное аналитическое описание апериодических и периодических структур из солитонных вихрей в несоизмеримой фазе. Найдены вихреподобные конфигурации с конечной энергией. В соизмеримой фазе предсказаны новые вихревые решетки, векторы трансляций которых в общем случае не ортогональны и имеют произвольную длину. Изучено взаимодействие решетки вихрей с нелинейной волной специального вида. Эти результаты получены в авторских работах [А1-А4]

1.1. Солитоноподобные вихри и преобразование Беклунда.

Для исследования вихревых конфигураций используем преобразование Беклунда [83]:

• (1Л2)

устанавливающее связь между решениями и(х,у) уравнения (1.5) и решениями /3(х,у) вспомогательного уравнения:

(¿?2+^2)/? = sh/? • (1.13)

Здесь v- комплексный параметр. Преобразование (1.12) совпадает с предложенным в [83] только при v = exp iy/, где у/ - вещественный параметр. В следующем разделе мы покажем, что аналитическое продолжение преобразования (1.12) по параметру v позволяет исследовать более широкий, чем в [83] класс вещественных решений уравнения (1.15). Хотя используемая процедура уступает в общности алгеброгеометрическим методам конечнозонного интегрирования, она имеет одно преимущество важное для приложений: простейшие решения выражаются через хорошо изученные эллиптические функции и интегралы.

Сформулируем условия, определяющие координаты центров солитонных вихрей и топологические заряды таких вихрей. Анализ солитоноподобных решений, построенных в этой главе с помощью преобразований Беклунда, а также в следующей - методом обратной задачи рассеяния, приводит к любопытному заключению. Все солитонные решения могут быть представлены в форме:

и(х> >0 = 4 arctg [/[ (х,у)/ /2 (х, • Решение и(х,у) сингулярно, когда вещественные функции /,. (х, у) (/ = 1,2) имеют общий нуль (Хо гУо) :

/i(*o>.Vo) = 0> /2(хо>Уо) = ® • Покажем, что каждая точка (х0,уа) соответствует центру вихря.

Асимптотическое поведение поля и{х,у) в окрестности сингулярной точки

имеет вид:

и(х, у) « 4 arctg [(«Ay + /З&х) / (/Ду + <5Ах)] • Здесь Дх — х — х0, = у ~ Уо, постоянные cc,f3,y,8 определяются первыми членами разложений в ряд Тейлора функций ft(x,y) (i = 1,2) ( в окрестности точки (х0, у $) старшие члены рядов Тейлора для fx(x,y) и f2(x,y) имеют одинаковую степень и не кратны). Используя асимптотическое разложение для

и(х,у) нетрудно вычислить топологический заряд вихря с центром в точке Оо^о)1

0 = — с[(У и-(1г) = 4 ыда.(а8-ру) ■ 2 п •

Отсюда следует важный общий вывод: все солитонные вихри имеют топологические заряды £> = ±4 • Знак заряда совпадает со знаком комбинации постоянных (ад - /Зу) ив каждом конкретном случае легко определяется.

Рассмотрим вначале решения, построенные процедурой, когда по любому частному решению р с помощью (1.12) находится решение и ■ В простом случае, когда р не зависит от у, уравнение (1.13) имеет первый

интеграл _ о + 5 и элементарно интегрируется. В зависимости от

2

выбора постоянной ^ существуют три типа решений р = р(х)- По заданным р = р(х) интегрированием системы (1.12) находим три типа решения и - и{х, у) •

1.1.1. Двумерная решетка вихрей в соизмеримой фазе.

При 5)1 мы получили решение, которое описывает двумерную решетку вихрей в соизмеримой фазе (на фоне и = о (mod 2л), когда q(4/ ж)'-

к

СУ + /(*))

sin^f-<jdn(— ,k) -

k' cos {/sn[ — ,k

1 к fx,,

/(*) = — arctg--cn \—,k + 2

к sin ц/ \k' J 2 к

к = cos iif +-r,

* (k')2

k' sin 2yf

X

(1.14)

л

Здесь х,а2)= |(1 -а^п2*')-1 дх' - эллиптический интеграл третьего рода с

о

параметром а2 , к = [(я -1) / + 1)]/г, у = у = -/ 1п V • Координаты вихрей с 0 = 4 (т- четное) и £> = -4 (т - нечетное) суть х = к'К(к) + 2К(к)к'т ,

к

у = -

к

2п - т( 1 - Л(^Д)) + ^(1 + А(у/, к))

где т - целое число, А(у/,к) =

2

= + К(к)Е(у/,к')~ К(к)Р{у/,к')\ - лямбда - функция Неймана [84].

Векторы трансляций вихревой решетки ги ^2К(к)к'\ + ~( 1 + (рис.

1.1) в общем случае не ортогональны и имеют различную длину. При изменении параметра у/, изменяются длины векторов Г), г2 и угол между

ними. В частности, если у/ — 0, то ¡Г][ = [г2[ , при различие длин векторов

Г1 и г2 максимально: г; -г2 = 4тг(к')2 / к2 ■

В вырожденном случае и О решение (1.14) принимает вид:

и

«i-

-i

X у ч , '

tg— (sm^ tg —-cos^)-l

у , x sin^-tg- (tg--cos^)

y = eos у/ y - sin у/ X

2 2

и описывает прямоугольную решетку вихрей с векторами r1>2 = ;r(l,+ctg(;r / 4 ± у/ / 2) • в пределе у-* л ¡2 мы имеем |r21 -> да и решетка распадается на цепочки чередующихся вихрей с Q = ± 4 вида tg и / 4 = (у + cos х) / (cos х-у), разделенных большим расстоянием 2я / cos у/ -> да . При у/ = о получаем квадратную решетку вихрей

. (1.15)

расстояние между ближайшими вихрями с д = 4 и Q =-4 равно л42 •

Магнитными системами, удобными для наблюдения предсказанных вихревых структур являются пленки магнитных гранатов, например, SmTmCaGe и EuTmGa • Вследствие сильной анизотропии типа "легкая плоскость", вектор ферромагнетизма м = (cos <р, sin ср, 0) в таких образцах лежит в плоскости пленки, где его ориентация определяется более слабой кубической анизотропией (^ = 0, N = 4 в (1.2) ). В работе [85] с использованием магнитооптических методов экспериментально доказано существование простейших магнитных вихрей с Q = ±4 в пленках.

Рис. 1.1. Решетка солитонных вихрей (1.14) в соизмеримой фазе, V и А - вихри с зарядами 0=4 и £>=-4 соответственно.

Рис. 1.2.1. Распределение адатомов на подложке для отдельной дислокации в периодической цепочке (1.18). _L - дислокация с топологическим зарядом Q= 4.

1.1.2. Дорожка из одинаковых вихрей в несоизмеримой фазе.

В случае ,у<-1 наша процедура дает решение

tg- = (*T

к

ц сп(-, к) th — ( у + /(*)) + sin у/ dn(|, к)

/и2 =\ — к2 eos2 у/, k = [2/(\-s)f,

(1.16)

, и en — — sin у/ dn —■

rr \ i к к.

k--ktg¥Y\ f-V-

\к eos у/.

2 и х . х

^ ¡л сп —I- эш у/ dn — к к

которое описывает цепочку вихрей с = 4 в несоизмеримой фазе. Цепочка образует

л

угол — axctg к - у/, kj /и~1 с осью ОХ • Здесь Z{y/,k) - зета -функция Якоби [84] : K(k)Z(y/,k) = К(к)Е(у/,к)~ F(y/,k)E(k) ■ Расстояние между

соседними вихрями в цепочке d = 4К(к) ¡л

л

/u¿+Z2\^-y,,k\k2

. Вихревая

цепочка образуется при стыковке солитонной структуры и0(х + Д,) (1.6) с антисолитонной -U()(x + Д2) (Д, = const, ¿ = 1,2) и, следовательно, изменяет основное состояние системы. Действительно, асимптотика решения (1.16) при у + /(х) +оо имеет вид

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Киселев, Владимир Валерьевич

Основные результаты и выводы диссертационной работы можно подразделить на три группы:

-развиты методы аналитического описания нелинейных сред с неоднородным основным состоянием и нетривиальным характером взаимодействий;

-предсказаны новые существенно нелинейные состояния, которые представляют самостоятельный интерес;

-предложены новые объекты для экспериментального исследования, которые определяют наблюдаемые свойства нелинейных сред. Резюмируем результаты, полученные в этих направлениях. 1. Проведена полная классификация солитоноподобных 2И-состояний на фоне несоизмеримой (полосовой доменной) структуры магнетиков и кристаллов в рамках универсальной нелинейной модели (эллиптическое уравнение sine - Gordon). Показано, что все солитоноподобные вихри образованы пересечением доменных границ, имеют одинаковые топологические заряды Q=±4, однако при этом чрезвычайно разнообразны по внутренней структуре, характеру взаимодействия и энергии. Найдены солитонные вихри с конечной энергией и показано, что термофлуктуационному зарождению изолированной пары вихрь - антивихрь по механизму Костерлица - Таулеса препятствует наличие щели в энергии пары. Это существенно меняет картину фазовых переходов в двумерных системах. В периодических структурах из солитонных вихрей энергия ядер соседних вихря и антивихря понижается, поэтому формирование одномерных и двумерных решеток из вихрей - отличительная черта рассматриваемых систем. Впервые предсказаны и аналитически описаны процессы переноса и разрушения солитонных вихревых решеток нелинейными волнами.

2. Разработана основанная на методе ОЗР схема интегрирования эллиптической модели sine - Gordon с нетривиальным основным состоянием типа плоскопараллельной доменной структуры или изолированной доменной границы. Процедура позволяет проанализировать ранее не изученные несолитонные дефекты, ассоциированные с непрерывным спектром ОЗР. Среди них содержатся, в частности, вихри с меньшим по сравнению с солитоноподобными вихрями топологическими зарядами и, следовательно, меньшей энергией.

3. Решены существенно нелинейные двумерные краевые задачи, связанные с вычислением поля несолитонных вихревых диполей в несоизмеримых структурах. Нахождение поля диполей сведено к решению одномерной линейной системы интегральных уравнений. В несоизмеримых структурах диполи представляют струнные конфигурации из отрезков 2 к -кинков, вставленных в одномерную решетку солитонов (3). Исследована асимптотика поля диполей на больших расстояниях от их центров.

4. В широких джозефсоновских контактах предсказаны нелинейные топологические дефекты, порожденные в результате проникновения абрикосовской вихревой нити из сверхпроводящих контактов в область туннельного перехода, которая находится в смешанном состоянии. Впервые вычислено распределение джозефсоновского тока и магнитного поля около таких дефектов и показано, что дефекты деформируют решетку флюксонов и существенно изменяют плотность джозефсоновского тока. Такие дефекты -важные элементы внутренней структуры плоского джозефсоновского контакта, которые определяют электрические свойства туннельного барьера.

5. Предсказаны существенно нелинейные 20-дефекты в со- и несоизмеримой фазах магнетиков и кристаллов, по своим топологическим свойствам аналогичные дефектам линейной теории упругости. Методом ОЗР впервые описана внутренняя структура и взаимодействие дефектов друг с другом и с решеткой солитонов (3).

6. В ферро- и антиферромагнитных пластинках (пленках) с помощью специально развитых вариантов нелинейной теории возмущений исследованы новые особенности слабонелинейной динамики обменно-дипольных спиновых волн, связанные с конкуренцией обменных и нелокальных магнитостатических взаимодействий, влиянием поверхности образца. Для различных интервалов волновых чисел построены локальные (типа НУШ) и нелокальные (типа Бенджамина - Оно) модели нелинейной динамики. Впервые показано, что характерная черта тонких магнитных пленок - формирование новых слаболокализованых состояний. В ФМ пленках такие солитоны можно обнаружить по резонансному поглощению энергии на частотах ниже частоты однородного ферромагнитного резонанса. Хорошим свидетельством в их пользу может служить измерение специфической зависимости от внешнего магнитного поля частоты нового неоднородного резонанса. В ФМ пластинах в области аномальной обменно-дипольной дисперсии найдены долгоживущие возбуждения, подобные солитонам.

7. Предсказан и исследован процесс перекачки энергии в области интенсивного резонансного взаимодействия активационной и бесщелевой мод в АФМ с геликоидальной структурой (соединения типа МпООН) и в магнитоупругих средах. Установлено, что в магнитоупругих средах нелинейный резонанс, как правило, описывается интегрируемой моделью Захарова - Бенни. Найдены различные солитонные режимы в окрестности резонанса.

8. Предложена эффективная 2Т)+\ -модель, описывающая взаимодействие фононных мод в окрестности мартенситного фазового перехода. Предсказаны двумерные мулътисолитонные возбуждения. Найдены критерии нестабильности солитонов и предложен солитонный механизм аномальной акустической эмиссии вблизи точки фазового перехода.

Таким образом, наличие пространственно - неоднородного основного состояния и нетривиальных взаимодействий обуславливает многообразие дефектов и солитонов, изменяет их структуру, приводит к новым качественным особенностям. В диссертационной работе проиллюстрировано общее утверждение - полный набор нелинейных образований в двумерных интегрируемых моделях разбиваются на две большие группы: солитонные и несолитонные дефекты. Солитоноподобные дефекты могут быть исчерпывающе исследованы алгебраическими методами. Для несолитонных дефектов такие методы не конструктивны. Развитие и применение техники ОЗР оказались плодотворными для изучения нового, несолитонного сектора двумерных систем и указывают направления для дальнейшего обобщения этого подхода. Предложенная в диссертационной работе общая схема аналитического описания несолитонных нелинейных дефектов будет самосогласованной, если удастся доказать связь данных рассеяния с решениями линеаризованной задачи. Возможность математического доказательства в общем виде, на наш взгляд, проблематична. Поэтому естественный путь состоит в проверке общей структуры теории на конкретных примерах. Такая проверка вполне реальна и в случае положительного результата будет означать полное решение проблемы вычисления поля нелинейных дефектов.

Развитые в диссертации методы аналитического описания нелинейных сред универсальны и допускают обобщения на другие неоднородные системы с разнообразными сверхструктурами и краевыми условиями. Мы полагаем, что дальнейшее исследование нелинейных состояний в неоднородных средах, анализ влияния на них релаксации и малых возмущений, в том числе в краевых условиях, приведут к построению новых вариантов нелинейной теории возмущений и асимптотических методов, базирующихся на технике ОЗР. На этом пути теория может также претендовать на аналитическое вычисление термодинамических, кинетических, механических, электрических и других свойств существенно нелинейных двумерных систем с необычным основным состоянием.

Я выражаю глубокую благодарность своему учителю Александру Борисовичу Борисову, совместно с которым получена часть результатов, вошедших в диссертацию. Вся моя научная жизнь связана с его именем.

Я благодарен Анатолию Петровичу Танкееву за плодотворное сотрудничество, создание творческой атмосферы, в которой приятно работать.

Выражаю глубокую признательность Герману Германовичу Талуцу за обсуждения результатов и постоянную поддержку работы.

Я также хочу поблагодарить Ю.Н. Горностырева, И.Е. Дикштейна, В.В.Дякина, М.И. Кацнельсона, Б.Н. Филиппова за ценные замечания и советы, С.А. Зыкова и Г.В. Хусаинову - за помощь при оформлении работы.

Автор признателен администрации Института физики металлов за внимание к области нелинейных явлений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Киселев, Владимир Валерьевич, 1999 год

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев A.C. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. - Киев: Наукова думка, 1983. - 190 с.

2. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. - М.: Наука, 1980. - 320 с.

3. Лэмб Дж. Л. Введение в теорию солитонов. - М.: Мир, 1983. - 294 с.

4. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. -М.: Наука, 1986.-528 с.

5. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. - М.: Мир, 1987.-444 с.

6. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. - М.: Мир, 1988. - 694 с.

7. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. - М.: Мир, 1989. - 324 с.

8. Тарасов В.О. Начально-краевая задача для нелинейного уравнения Шредингера. - Зап. науч. семинаров ЛОМИ, 1988, т. 169, с. 151-165.

9. Бибиков П.Н. Тарасов В.О. Краевая задача для нелинейного уравнения Шредингера. - ТМФ, 1989, т. 79, N 3, с.334-346.

10. Fokas A.S. An initial-boundary value problem for nonlinear Schrodinger equation. - Physica D, 1989, v.35, p.167-185.

11. Fokas A.S., Ablowitz M.J. Forced nonlinear evolution equations and the inverse scattering transform. - Stud. Appl. Math., 1989, v. 80, N 3, p.253-272.

12. Бикбаев Р.Ф. Итс Р.Ф. Алгеброгеометрические решения краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера. - Мат. заметки, 1989, т.45,

N 5, с.3-9.

13. Bikbaev R.F., Tarasov V.O. Initial-boundary problem for the nonlinear Schrodinger equation. - J. Phys. A, 1991, v.24. p.2507-2518.

14. Бикбаев Р.Ф. Конечнозонные решения краевых задач для интегрируемых уравнений. - Мат. заметки, 1991, т. 48, вып.4, с.130-138.

15. Бикбаев Р.Ф., Тарасов В.О. Неоднородная краевая задача на полуоси и на отрезке для уравнения sine-Gordon . - Алгебра и анализ, 1991, т. 3, вып.4, с.78-92.

16. Фокас А.С., Итс А.Р. Краевая задача с начальными условиями для уравнения sine-Gordon в лабораторных координатах. - ТМФ, 1992, т.92, N 3, с.387-403.

17. Склянин Е.К. Граничные условия для интегрируемых систем. -Функцион. анализ и его прил., 1987, т.21, вып. 2, с.86-87.

18. Бобенко А.И. Собственные функции краевых задач Дирихле и Неймана на прямоугольнике для эллиптического уравнения синус-Гордон. - Зап.

науч. семинаров ЛОМИ, 1989, т. 179, с.32-36.

19. Habibullin I.T. Backlund transformation and integrable boundary-initial value problems. - In the book « Nonlinear World : IV International Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics», v. 1 / edited by V.G.

Bar yakhtar..[et. al.]. - Singapore : World Scientific, 1989, p.130-138.

20. Borisov A.B., Ionov S.N., Shagalov A.G. New types of vortices and the solution by the inverse boundary value problem for sine-Gordon equation by the inverse scattering transform. - In the book «Nonlinear World: IV International Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics», v.l / edited by V.G. Bar"yakhtar...[et. al.]. - Singapore : World Scientific, 1989,

p.65-72.

21. Borisov A.B. Vortices in the sine-Gordon system and solution of the boundary value problem by inverse scattering transform. - Phys. Lett. A, 1990, v.143, N 1,2, p.52-56.

22. Борисов А.Б., Талуц Г.Г. Теоретическое описание вихрей в квазидвумерных магнетиках. - ФММ, 1991, N 1, с.34-43.

23. Borisov А.В., Ionov S.N. Vortices and vortex dipoles in 2D sine-Gordon model. - Physica D, 1996, v.99, p. 18-34.

24. Каир D.J. Two new aspects of the inverse scattering transform : 1) The elliptic sinh-Gordon equation, and 2) Growing solutions. - In the book «Nonlinear World : IV International Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics», v.l / edited by V.G. Bar yakhtar...[et.al.]. - Singapore: World Scientific, 1989, p.139-150.

25. PokrovskyV.L., Talapov A.L. Theory of incommensurate crystals. - Hardwood etc.: Acad. Publ., 1984. - 161 p.

26. Bak P. Commensurate phases, incommensurate phases and the devil's staircase. - Rep. Prog. Phys., 1982, v. 45, p.587-629.

27. Люксютов И.Ф., Наумовец А.Г., Покровский В.Л. Двумерные кристаллы Киев: Наукова думка, 1988. - 220 с.

28. Изюмов Ю.А. Дифракция нейтронов на длиннопериодических структурах. - М.: Энергоатомиздат, 1987.- 199 с.

29. Janovec V. Linear defects in incommensurate phases. - Phys. Lett. A, 1983, v.99, N 8, p.384-386.

30. Барьяхтар В.Г., Леонов И.А., Соболев В.Л., Суслин Л.А. Геометрическая классификация линейных магнитных дефектов в одноосных ферромагнетиках. - Киев, препринт ИТФ - 86 - 86 Р, 1986. - 33 с.

31. Барьяхтар В.Г., Коротенко Е.Б., Яблонский Д.А. Магнитная симметрия доменных границ с блоховскими линиями в ферромагнетиках и ферритах. - ЖЭТФ, 1986, т. 91, N 3, с.921-933.

32. Hudak О. On vortex configuration in two-dimensional sine-Gordon systems with applications to phase transition of the Kosterlitz-Thouless type and

to Josephson junctions. - Phys. Lett. A., 1982, v. 89, N 5, p. 245-247.

33. Ходенков Г.Е. Некоторые точные многомерные решения уравнения Ландау-Лифшица в одноосном ферромагнетике. - ФММ, 1982, т. 54, вып. 4, с. 644-649.

34. Takeno S. Multi-(resonant-soliton)-solitons and vortex-like solutions to

the two- and three-dimensional sine-Gordon equations. - Progr. Theor. Phys.,

1982, v. 68, N3, p. 992-999.

35. Nakamura A. Relation between certain quasivortex solutions and solitons of the sine-Gordon equation and other non-linear equations. - J. Phys. Soc. Japan,

1983, v.52, N 6, p.1918-1920.

36. Borisov A.B. , Tankeyev A.P., Shagalov A.G., Bezmaternih G.V. Multi-vortex-like solutions of the sine-Gordon equation. - Phys. Lett. A, 1985, v. Ill, N 1,2,p. 15-18.

37. Борисов А.Б., Танкеев А.П., Шагалов А.Г. Вихри и двумерные солитоны в легкоплоскостных магнетиках. - ФММ, 1985, т. 60, N 3, с.467-479.

38. Борисов А.Б., Танкеев А.П., Шагалов А.Г. Новые типы двумерных

вихреподобных состояний в магнетиках. - ФТТ, 1989, т.31, N 5, с.140-147.

39. Лукомский В.П. Нелинейные магнитостатические волны в ферромагнитных пластинах. - УЖФ, 1978, т. 23, N 1, с. 134-139.

40. Звездин А.К., Попков А.Ф. К нелинейной теории магнитостатических спиновых волн. - ЖЭТФ, 1983, т. 84, N 2, с.606-615.

41. Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г., Славин А.Н. Наблюдение спин-волновых солитонов в ферромагнитных пленках. - Письма в ЖЭТФ, 1983, т.38, N 7, с.343-347.

42. Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г., Славин А.Н. Солитоны огибающей и модуляционная неустойчивость дипольно-обменных волн намагниченности в пленках железоиттриевого граната. - ЖЭТФ, 1988, т.94, N 2, с.159-176.

43. Kalinikos В.A., Kovshikov N.G., Slavin A.N. Experimental observation of magnetostatic wave envelope solitons in yttrium iron garnet. - Phys. Rev. B, 1990, v.42, N 13, p.8658-8660.

44. Boardman A.D., Nikitov S.A., Waby N.A. Existence of spin-wave solitons in an antiferromagnetic film. - Phys. Rev. B, 1993, v.48, N 18, p.13602-13606.

45. Slavin A.N., Dudko G.M.. Numerical modeling of spin wave soliton propagation in ferromagnetic films. - JMMM, 1990, v.86, N 1, p. 115-123.

46. Chen M., Tzankov M.A., Nash J.M., Patton C.E. Microwave magnetic -envelope dark solitons in yttrium iron garnet films. - Phys. Rev. Lett., 1993, v. 67, N 11, p.1707-1710.

47. Chen M., Nash J.M., Patton C.E. A numerical study of nonlinear Schrodinger equation solutions for microwave solitons in magnetic thin films. - J. Appl. Phys., 1993, v,73, p.3906-3909.

48. Волжан E.B., Гиоргадзе Н.П., Патарая А.Д. О слабонелинейных магнитоупругих колебаниях в ферромагнетиках. - ЖЭТФ, 1976, т. 70,

N4, с.1330-1339.

49. Nayyar А.Н., Murtaza G. Motion of a magnetic soliton about a lattice soliton in Heisenberg chain. - Phys. Rev., 1982, v.26, N 7, p.3904-3909.

50. Izyumov Yu.A., Laptev V.M. Soliton magnetoelastic excitation in the Heisenberg ferromagnetic chain. - Phys. Stat. Sol. (b), 1982, v. 112. N 1, c. 155-159.

51. Турицын C.K., Фалькович Г.Е. Устойчивость магнитоупругих солитонов и самофокусировка звука в антиферромагнетиках. - ЖЭТФ, 1985, т. 89, N 1 (7), с.258-270.

52. Меньшенин В.В. Нелинейное возбуждение безактивационных магнитоупругих волн вблизи ориентационных фазовых переходов в магнетиках. - ФММ, 1990, N 11, с. 23-30.

53. Falk F. Ginzburg-Landau theory of static domain walls in shape-memory alloys. - Z. Phys. B: Condensed Matter., 1983, v. 51, N 2, p.177-187.

54. Falk F. Ginzburg-Landau theory and solitary waves in shape-memory alloys. - Z. Phys. B: Condensed Matter., 1984, v. 54, N 2, p. 159-167.

55. Falk F. Stability of solitary-wave pulses in shape-memory alloys. - Phys. Rev. B, 1987, v. 36, N 6, p. 3031-3041.

56. Jacobs A.E. Solitons of the square-rectangular martensitic transformation. -Phys. Rev. В, 1985, v.31, N 9, p.5984-5989.

57. Barsh G.R., Krumhansl J.A. Twin boundaries in ferroelastic media without interface dislocations. - Phys. Rev. Lett., 1984, v.53, N 11, p.1059-1072.

58. Barsh G.R., Krumhansl J.A. Nonlinear and nonlocal continuum model of transformation precursors in martensites. - Metall. Trans. A, 1988, v. 19, 761-775.

59. Izyumov Yu.A., Laptev V.M., Syromyatnikov V.N. Phenomenological theory for martensitic and reconstructive phase transitions. - Phase Transitions, v.43, N 4, p.1-52.

60. Seeger A. Theorie der gitterfehlstellen. - Handbuch der Physik, bd.7/hrg. S.

Flügge. - Berlin, 1955, s.383-665.

61. Конторова Т.А., Френкель Я.И. К теории пластической деформации и двойникования. - ЖЭТФ, 1938, т.8, N 1, с.89-95.

62. Frank F.C., van der Merve J.H. One-demensional dislocations. I. Static theory.- Proc. Roy. Soc. London A, 1949, v. 198, N 1053, p.205-225.

63. Покровский В.JI., Талапов А.Л. Фазовые переходы и спектры колебаний почти соизмеримых структур. - ЖЭТФ, 1978, т.75, вып. 3, с.1151-1157.

64. Покровский В.Л., Талапов А.Л. Теория двумерных несоизмеримых кристаллов. - ЖЭТФ, 1980, т.78, N 1, с. 270-295.

65. Люксютов И.Ф. Фазовые переходы в адсорбированных пленках. - УФЖ, 1983, т.28, N 9, с.1281-1303.

66. Дзялошинский И.Е. Теория геликоидальных структур в антиферромагнетиках, часть III. - ЖЭТФ, 1964, т.47, вып. 3, с. 992-1003.

67. Изюмов Ю.А. Модулированные или длиннопериодические магнитные структуры кристаллов. - УФН, 1984, т. 144, N 3, с. 430-470.

68. Соболева Т.К., Стефановский Е.П. Равновесные состояния и магнитные фазовые переходы в ромбических кристаллах с неоднородным обменно-релятивистским взаимодействием . - ФММ, 1982, т. 54, N 1, с. 186-188.

69. Барьяхтар В.Г., Яблонский Д.А. Индуцирование длиннопериодических структур в ромбических и ромбоэдрических антиферромагнетиках. -ФТТ, 1082, т.24, N 8, с.2522-2524.

70. Витебский И.М. Об индуцировании несоразмерных структур внешним полем. - ЖЭТФ, 1982, т. 82, N 2, с.357-361.

71. Барьяхтар В.Г., Леонов И.А., Соболева Т.К. Некоторые качественные аспекты теории неоднородных сверхструктур в магнетиках. - Киев, препринт ИТФ - 84 - 126 Р, 1984. - 14 с.

72. Де Жен П. Жидкие кристаллы. - М.: Мир, 1977. - 400 с.

73. Chandrasekhar S., Ranganath G.S. The structure and energetic of defects in liquid crystals. - Adv. Phys., 1986, v.35, N 6, p. 507-596.

74. Ахиезер А.И. Элементы теории эллиптических функций. - М.: Наука, 1970. - 304 с.

75. Широбоков М. К теории механизма намагничивания ферромагнетиков. -ЖЭТФ, 1945, т. 15, вып. 1-2, с.57-76.

76. Дубровин В.А., Новиков С.П., Фоменко А.Г. Современная геометрия: Методы и приложения. - М.: Наука, 1979. - 760 с.

77. Воловик Г.Е., Минеев В.П. Исследование особенностей в сверхтекучем Не и жидких кристаллах методами гомотопической топологии. - ЖЭТФ, 1977, т.76, вып. 6, с. 2256-2244.

78. Mermin N.D. The topological theory of defects in ordered media. - Rev. Mod. Phys., 1979, v.51, N 3, p.591-648.

79. Trebin H.R. The topology of non-uniform media in condensed matter physics. - Adv. Phys., 1982, v.31, N 3, p.195-254.

80. Березинский B.Jl. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. I. Классические системы. - ЖЭТФ, 1970, т.59, вып. 3, с. 907-920.

81. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems. - J. Phys. C: Solid State Phys., 1973, v.6,

p. 1181-1203.

82. Kosterlitz J.M. The critical properties of the two-dimensional XY model. -J. Phys. C: Solid State Phys., 1974, v.7, p.1046-1060.

83. Leibrandt G. Exact solutions of elliptic sine-Gordon equation in the two dimensions with application to Josephson effect. - Phys. Rev. B, 1977, v. 15, N7, p.3353-3361.

84. Byrd P.F., Friedman M.D. Handbook of elliptic integrals for engineers and scientists. - Berlin, Heidelberg, New York : Springer - Verlag, 1971, 360 p.

85. Argyle B.E., Terrensio E., Slonczewski J.C. Magnetic vortex dynamics using the optical Cotton-Mouton effect. - Phys. Rev. Lett., 1984, v. 53, N 2,

p.190-193.

86. Михайлов А.В., Яремчук А.И. Вынужденное движение доменной стенки в поле спиновой волны. - Письма в ЖЭТФ, 1985, т. 39, N 7, с.296-298.

87. Lamb G.L.Jr. Analytical description of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium. - Rev. Mod. Phys., 1971, v. 43, N 2, p. 99-124.

88. Derrick G.H. Comments on nonlinear wave equations as models for elementary particles. - J. Math. Phys., 1964, v.5, N 9, p. 1252-1254.

89. Люксютов И.Ф. Мультикритическая точка двумерного несоизмеримого кристалла. - Письма в ЖЭТФ, 1980, т. 32, N 10, с. 593-595.

90. Ахмедиева Н.Н., Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. Генерация периодической последовательности пикосекундных импульсов в оптическом волокне. Точные решения. - ЖЭТФ, 1985, т. 89, вып. 5, с. 1542-1551.

91. Елеонский В.М., Кулагин Н.Е., Новожилова Н.С. О новых примерах топологических солитонов в магнитоупорядоченных средах. - ЖЭТФ, 1985, т. 89, вып. 6, с. 2174-2180.

92. Ковалев А.С., Кулагин Н.Е. Динамика темных солитонов ненулевого вакуума в однокомпонентной системе. - Харьков, препринт ФТИНТ, N 14, 1987.-23 с.

93. Кузнецов Е.А., Михайлов А.В. Устойчивость стационарных волн в нелинейных средах со слабой дисперсией. - ЖЭТФ, 1974, т. 67, вып.5 (11), с. 1717-1724.

94. Борисов А.Б. Обратная задача рассеяния для уравнения Ландау-Лифшица. - ДАН СССР, 1986, т. 288, N 6, с. 1339-1342.

95. Борисов А.Б. Нелинейные возбуждения и двумерные топологические солитоны в магнетиках: Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук. - Свердловск, ИФМ УНЦ АН СССР, 1986, - 303 с.

96. Matveev V.B. Abelian functions and solitons. - University of Wroclaw (Poland), preprint N 3, 1976. - 98 p.

97. Итс А.Р. Обращение гиперэллиптических интегралов и интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений. - Вестник ЛГУ, 1976, N 7, вып.2, с. 39-46.

98. Кричевер И.М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии. - Функцион. анализ и его прил., 1977, т. 11, N 1, с. 15-31.

99. Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. - УМН, 1977, т. 32, N 6, с. 183-208.

100. Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. - УМН, 1981, т.36, вып. 2, с. 11-80.

101. Дубровин Б.А., Натанзон С.М. Вещественные решения уравнения sine-Gordon. - Функцион. анализ и его прил., 1982, т. 16, вып. 1, с.27-43.

102. Покровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. -М.: ГИТТЛ, 1950. - 303 с.

103. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1964. -830 с.

104. Де Альфаро В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. - М.: Мир, 1966. -211 с.

105. Бейтмен Г., Эрдейи А. Эллиптические и автоморфные функции, функции Ламе и Матье. - М.: Наука, 1967. - 229 с.

106. Туров Е.А. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов. -М.: изд-во АН СССР, 1963, 224 с.

107. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский C.B. Спиновые волны. -М.: Наука, 1973, 591 с.

108. McMillan W.L. Theory of discommensuration and the discommensurate-incommensurate charge-density-wave phase transition. - Phys. Rev. B, 1976, v. 14, N4, p. 1496-1502.

109. Гутшабаш Е.Ш., Липовский В.Д. Граничная задача для двумерного эллиптического уравнения синус-Гордон и ее приложение к теории

стационарного эффекта Джозефсона. - Зап. науч. семинаров ЛОМИ, 1990, т. 180, с. 53-62.

110. Гутшабаш Е.Ш., Липовский В.Д., Никуличев С.С. Нелинейная сигма-модель в искривленном пространстве, калибровочная эквивалентность и точные решения (2+0)-мерных интегрируемых уравнений. - ТМФ, 1998, т. 115, N 3, с.323-348.

111. Люксютов И.Ф. Двумерные анизотропные кристаллы. - ЖЭТФ, 1982, т.82, N 4, с.1267-1276.

112. Тайманов И.А. Многозначные конечнозонные решения уравнения

Ли = sin и. - Мат. заметки, 1990, т. 47, вып. 3, с. 100-105.

113. Бабич М.В., Бордаг Л.А. Качественное исследование трехфазных солитонов уравнения sine-Laplace. - Зап. науч. семинаров. ПОМИ, 1996, т. 235, с. 199-217.

114. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. - М.: Атомиздат, 1972. - 599 с.

115. Косевич A.M. Физическая механика реальных кристаллов. - Киев: Наукова думка, 1981. - 327 с.

116. Косевич A.M. Дислокации в теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1978.-219 с.

117. Дикштейн И.Е., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г., Тарасенко В.В. -Магнитные дислокации в полосовой доменной структуре. - ЖЭТФ, 1990, т. 98, вып. 6(12), с.2158-2175.

118. Найданов С.А., Шагалов А.Г. Влияние внешних полей на вихревые конфигурации в магнетиках. - Свердловск, препринт УрО АН СССР, 1990.- 17 с.

119. Федорюк М.В. Метод перевала. - М.: Наука, 1977. - 368 с.

120. Песенсон М.З. Неодномерные уединенные волны в конденсированных средах. - ФТТ, 1990, т. 32, N 5, с. 1467-1474.

121. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1972. - 496 с.

122. Izyumov Yu.A., Laptev V.M. Vortex structure in superconductors with a many-component order parameter. - Phase Transitions, 1990, v.20, p.95-112.

123. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. - M.: Наука, 1987. - 520 с.

124. Gaever M.D. Magnetic coupling between two adjacent type - II superconductors. - Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, N 21, p.225r227.

125. Gaever M.D. Flux pinning and flux-flow resistivity in magnetically coupled superconducting films. - Phys. Rev. Lett., 1966, v. 16, N 11, p.460-462.

126. Sherrill M.D. Fluxon coupling in dual thin films. - Phys. Rev. В., 1973, v.7, N5, p. 1908-1919.

127. Ekin J.W., Clem J.R. Magnetic coupling force of the superconducting dc transformator. - Phys. Rev. B, 1975, v. 12, N 5, p. 1753-1771.

128. Ekin J.W., Serin B. Magnetic coupling in superposed type - II superconducting films. - Phys. Rev. B, 1974, v.9, N 3, p. 912-917.

129. Голубов А.А., Куприянов М.Ю. Влияние одиночных абрикосовских вихрей на свойства туннельных джозефсоновских переходов. - ЖЭТФ, 1987, т.92, вып. 4, с. 1512-1523.

130. Голубов А.А., Куприянов М.Ю. Влияние абрикосовских вихрей на свойства туннельных переходов сверхпроводников. - ФНТ, 1986, т. 12, N4, с.373-382.

131. Miller S.L., Biagi K.R., Clemm J.R., Finnemore D.K. Critical currents of cross-type superconducting - normal - superconducting junctions in perpendicular magnetic field. - Phys. Rev. B, 1985, v.31, N 5, p. 2684-2693.

132. Manhart J., Bosch J., Gross R., Huebener R.P. Two-dimensional imaging of trapped magnetic flux quanta in Josephson tunnel junction. - Phys. Rev. B, 1987, v.35, N 10, p.5267-5269.

133. Manhart J., Bosch J., Gross R, Huebener R.P. Spatial distribution of the maximum Josephson current in superconducting tunnel junction. - J. Low. Temp. Phys., 1988, v.70, N 5/6, p.459-484.

134. Barone A., Esposito E., Likharev K.K., Semenov V.K., Todorov B.N.,

Vaglio R.J. Effect of boundary conditions upon the phase distribution in two-dimensional Josephson junction. - J. Appl. Phys., 1982, v.53, N 8, p. 58025814.

135. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применения. -М.: Мир, 1984.-640 с.

136. Кулик И.О., Янсон И.К. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. - М.: Наука, 1970. - 272 с.

137. Serrin J. Local behavior of solutions of quasi-linear equations. - Acta Math., 1964, v. 111, N 3-4, p.247-302.

138. Serrin J. Isolated singularities of solutions of quasi-linear equations. - Acta Math., 1965, v.l 13, N 3-4, p.219-240.

139. Veron L. Weak and strong singularities of nonlinear elliptic equations . -Nonlinear functional analysis and its applications. Proc. Symp. Pure Math., part 2, v.45. - Amer. Math. Soc., Providance, R.I., 1986, p.477-495.

140. Mura T. Semi-microscopic plastic distortion and disclinations. - Archives of Mechanics, 1972, v.24, N 3, p. 449-456.

141. Де Витт P. Континуальная теория дисклинаций. - М.: Мир, 1977. - 208 с.

142. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1. - М.:ИЛ, 1958, с.746-749.

143. Мак-Лафлин Д., Скотт Э. Многосолитонная теория возмущений. - В кн. «Солитоны в действии»/ под ред. К. Лонгрена и Э. Скотта. - М.: Мир, 1981, с. 210-268.

144. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1974, 296 с.

145. Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г., Николаев А.В., Николаева Е.П. Новые типы динамической самоорганизации магнитного момента в тонких пленках при ударном возбуждении. - Москва, препринт ИРЭ РАН, N 1 (569), 1992.-24 с.

146. Shagalov A.G. Singular solutions of the elliptic sine-Gordon: Models of defects. - Phys. Lett. A, 1992, v. 165, p.412-416.

147. Итс A.P. Изомонодромные решения уравнений нулевой кривизны. - Изв. АН СССР, сер. матем. т. 49, N 3, с. 530-565.

148. Its A.R., Novokshenov V.Yu. The isomonodromic deformation method in the theory of Painleve equations. - Lecture Notes in Math., 1986, v.l 191. -Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. - 313 p.

149. Novokshenov V.Yu., Shagalov A.G. Bound states of the elliptic sine-Gordon equation. - Physica D, 1997, v. 106, p. 81-94.

150. De Wames R.E., Wolfram T. Dipole-exchange spin waves in ferromagnetic films. - J. Appl. Phys., 1970, v.41, N 3, p. 987-993.

151. Ганн В.В. Неоднородный резонанс в ферромагнитной пленке. - ФТТ, 1966, т.8, вып. 11, с. 3167-3172.

152. Михайловская JI.B., Хлебопрос Р.Г. Магнитостатический спектр ферромагнитной пленки. - ФТТ, 1969, т. 11, N 10, с.2854-2857.

153. Михайловская JI.B., Хлебопрос Р.Г. Влияние поверхностного закрепления спинов на магнитостатический спектр ферромагнитного слоя. - ФТТ, 1974, т. 16, вып. 1, с.77-82.

154. Филиппов Б.Н. О колебаниях намагниченности в ферромагнитных пластинах. - ФММ, 1971, т. 32, вып. 5, с. 911-924.

155. Филиппов Б.Н., Титяков И.Г. О колебаниях намагниченности в ферромагнитных пластинах. - ФММ, 1973, т. 35, вып. 1, с. 28-38.

156. Калиникос Б.А. Спектр и линейные возбуждения в ферромагнитных пленках. - Изв. вузов. Физика, 1981, т. 25, N 8, с.42-56.

157. Lui М., Drucker A.R., King A.R., Kotthaus J.R., Hansma R.K., Jaccarino V. -Observation of antiferromagnetic resonance in epitaxial films of MnF,. -Phys. Rev. B, 1986 v. 33, N 11, p 7720-7723.

158. Lui M., Ramos C.A., King A.R., Jaccarino V. Antiferromagnetic standing-spin-wave resonance in epitaxial films of MnF2. - J. Appl. Phys., 1990, v.67, N9, p. 5518-5523.

158. Раевский В.Я. Математическое моделирование доменопродвигающих систем для запоминающих устройств. : Дисс. ... канд. Цшз.-мат. наук. -Свердловск, ИФМ УНЦ АН СССР, 1986. - 146 с.

159. Ковалев А.С., Косевич A.M., Манжос И.В., Маслов К.В. Прецессионный солитон в ферромагнитной пленке. - Письма в ЖЭТФ, 1986, т. 44, N 4,

с. 174-177.

160. Taniuti Т., YajimaN.J. Perturbation method a non-linear wave modulation. I.

- J. Math. Phys., 1969, v. 10, N 8, p.1369-1372.

161. Taniuti Т., YajimaN.J. Perturbation method a non-linear wave modulation. II. - J. Math. Phys., 1969, v. 10, N 11, p.2020-2024.

162. Kalinikos B.A., Slavin A.N. Theory of dipole-exchange spin wave spectrum for ferromagnetic films with mixed exchange boundary conditions. - J. Phys. C: Sol. State Phys., 1986, v. 19, N 35, p.7013-7033.

163. Ablowitz M.J., Segur H. Asymptotic solutions of the Korteveg-de Vries equation. - Studies in Appl. Math., 1977, v. 57, p. 13-44.

164. Miles J.W. The asymptotic solutions of the Korteveg-de Vries equation in the absence of solitons. - Studies in Appl. Math., 1979, v. 60, p. 59-72.

165. Громов E.M., Таланов В.И. Нелинейная динамика коротких цугов волн в диспергирующих средах. - ЖЭТФ, 1996, т. 110, вып. 1(7), с. 137-149.

166. Gromov Е.М. Propagation of short nonlinear wave packets and solitons in smoothly inhomogeneous media. - Phys. Lett. A, 1997, v. 227, p. 67-71.

167. Wai P.K.A., Chen H.H., Lee Y.C. Radiations by «solitons» at the zero group-dispersion wavelength of single-mode optical fibers. - Phys. Rev. A, 1990, v.41, N 1, p. 426-438.

168. Kuehl H.H., Zhang C.Y. Effects of higher-order dispersion on envelope solitons. - Phys. Fluids B, 1990, v.2, N 5, p. 889-900.

169. Karpman V.I. Radiation by solitons due to higher-order dispersion. - Phys. Rev. E, 1993, v.47, N 3, p.2073-2083.

170. Karpman V.I. Stationary and radiating dark solitons of the third order nonlinear Schrodinger equation. - Phys. Lett. A, 1993, v. 181, p.211-215.

171. Karpman V.I. Evolution of the solitons described by higher-order nonlinear Schrodinger equation. - Jerusalem (Israel), Recah Institute of Physics, Hebrew University, preprint, 1998. - 13 p.

172. Гуревич А.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. -М.: Наука, 1973.-591 с.

173. Ono Н. Algebraic solitary waves in stratified fluids. - J. Phys. Soc. Japan, 1975, v. 39, N4, p. 1082-1091.

174. Benjamin T.V. Internal waves of permanent form in fluids of great depth. - J. Fluid Mech., 1967, v. 59, part 3, p. 559-592.

175. Matsuno Y. Exact multi-soliton solutions of the Benjamin-Ono equation. - J. Phys. A: Math. Gen., 1979, v. 12, N 4, p. 619-621.

176. Ablowitz M., Fokas A.S., Anderson R.L. The direct linearising transform and the Benjamin-Ono equation. - Phys. Lett. A, 1983, v.93, N 8, p.375-378.

177. Fokas A.S., Ablowitz M. The inverse scattering transform for Benjamin-Ono equation - a pivot to multidimensional problems. - Studies in Appl. Math., 1983, v.68,p. 1-10.

178. Harris A.B., Kumar D., Halperin B.I., Hohenberg P.C. Dynamics of an antiferromagnet at low temperatures : Spin-wave damping and hydrodynamics. - Phys. Rev. B, 1971, v.3, N 3, p.961-1024.

179. Ramani A., Grammaticos В., Bountis T. The Painleve property and singularity analysis of integrable and non-integrable systems. - Phys. Rep., 1989, v.180, N 3, p. 159-245.

180. Lee Y.C., Chen H.H. Nonlinear dynamical models of plasma turbulence. -Phys. Scr., 1982, v.2/1, p. 41-47.

181. Benney D.J. Significant interaction between long and short waves. - Studies in Appl. Math., 1976, v.55, p. 93-106.

182. Benney D.J. A general theory for interactions between long and short waves.

- Studies in Appl. Math., 1977, v.56, p. 81-94.

183. Борисов А.Б., Изюмов Ю.А. Нелинейные возбуждения в спиральных магнитных структурах. - ДАН СССР, 1985, т.283, N 4, с.859-961.

184. Барьяхтар В.Г., Соболева Т.К., Сукстанский A.JI. Нелинейные волны намагниченности в антиферромагнетиках с неоднородным обменно-релятивистским взаимодействием. - ФТТ, 1985, т. 27, N 8, с. 2428-2436.

185. Барьяхтар В.Г., Соболева Т.К. Нелинейные возбуждения в планарных магнетиках с биквадратичным обменом. - ФТТ, 1986, т. 28, N 3, с.720-724.

186. Стефановский Е.П. Модулированные магнитные структуры в некоторых моноклинных системах (МпООН и изоморфные ему соединения). - ФНТ, 1987, т.13, N 7, с.740-751.

187. Барьяхтар И.В., Иванов Б.А. Нелинейные волны намагниченности антиферромагнетиков. - ФНТ, 1979, т.5, вып. 7, с.759-770.

188. Захаров В.Е. N-солитонные решения для уравнения нелинейной струны.

- В кн.: Кунин И.А. «Теория упругих сред с микроструктурой». - М.: Наука, 1975, с. 254-256.

189. Yajima N., Satsuma J. Soliton solution in a diatomic lattice system. - Prog. Theor. Phys., 1972, v.62, N 2, p.370-378.

190. MeFnikov V.K. Reflection of waves in nonlinear integrable systems. - J. Math. Phys., 1987, v.28, N 1, p.2603-2609.

191. Hase Y., Satsuma J. AnN-soliton solutions for the non-linear Schrodinger equation coupled to the Boussinesq equation. - J. Phys. Soc. Japan, 1988, v.57, N 3, p.679-682.

192. Ma Y.G. On the multi-soliton solutions of some nonlinear evolution equations. - Studies in Appl. Math., 1979, v. 60, N 1, p. 73-82.

193. Захаров В.Е. Коллапс лэнгмюровских волн. - ЖЭТФ, 1972, т.62, N5, с. 1745-1759.

194. Yajima N., Oikava M. Formation and interaction of sonic-Langmiur solitons.

- Progr. Theor. Phys., 1976, v. 56, N 5, p. 1719-1739.

195. Ma Y.G. The complete solution of the long wave - short wave resonance equations. - Studies in Appl. Math., 1978, v. 59, N 2, p.201-221.

196. Волков Д.В., Желтухин A.A., Блиох Ю.П. Феноменологический лагранжиан спиновых волн. - ФТТ, 1971, т. 13, N 6, с. 1668-1678.

197. Андреев А.Ф., Марченко В.И. Симметрия и макроскопическая динамика магнетиков. - УФН, 1980, т.130, N 1, с.37-63.

198. Туров Е.А. Кинетические, оптические и акустические свойства антиферромагнетиков. - Свердловск : изд-во УрО АН СССР, 1990. -134 с.

199. Дикштейн И.Е., Туров Е.А., Шавров В.Г. Магнитоакустические явления и мягкие моды вблизи магнитных ориентационных фазовых переходов.

- В кн. «Динамические и кинетические свойства магнетиков.» /под ред. C.B. Вонсовского, Е.А.Турова. - М.: Наука, 1986, с. 68-103.

200. Ожогин В.И., Лебедев А.Ю., Якубовский А.Ю. Удвоение частоты звука и акустическое детектирование в гематите. - Письма в ЖЭТФ, 1978, т.27, N 6, с.333-336.

201. Лебедев А.Ю., Ожогин В.И., Якубовский А.Ю. Вынужденное комбинационное рассеяние звука в антиферромагнетике. - Письма в ЖЭТФ, 1981, т.34, N 1, с.22-24.

202. Преображенский В.Л., Савченко М.А., Экономов H.A. Нелинейное самовоздействие звуковых волн в антиферромагнетиках с анизотропией типа «легкая плоскость». - Письма в ЖЭТФ, 1978, т.28, N 2, с.93-97.

203. Бережнов В.В., Евтихиев H.H., Преображенский В.Л., Экономов H.A. Нерезонансное взаимодействие звуковых волн и корреляционная

обработка в антиферромагнетиках. - Акуст. журнал, 1980, т.26, N 3, с.328-335.

204. Каганов М.И., Цукерник В.М. К феноменологической теории кинетических процессов в ферромагнитных диэлектриках. - ЖЭТФ, 1959, т.36, N 1, с.224-232.

205. Pushkarov D.I., Pushkarov Kh.I. Solitons in one-dimensional ferromagnetic systems. - Phys. Stat. Sol. (b), 1977, v.81, N 2, p.703-707.

206. Davydov A.S. Solitons in molecular systems. - Phys. Scr., 1979, v.20, N 2, p.387-394.

207. Izyumov Yu.A., Laptev V.M. Soliton magnetoelastic excitation in the Heisenberg ferromagnetic chain. - Phys. Stat. Sol. (b), 1982, v.l 12, N 1, p.155-159.

208. Toupin R.A., Gazis D.S. Lattice dynamics. - Oxford : Pergamon Press, U.K., 1965.- 597 p.

209. Леманов B.B. Магнитоупругие взаимодействия. - В кн. «Физика магнитных диэлектриков» / под ред. Г.А. Смоленского. - Л.: Наука, 1974, с.284-355.

210. Четкин М.В., Лыков В.В. Уединенные магнитоупругие волны в борате железа. - ФТТ, 1990, т.32, N 9, с.2848-2849.

211. Дегтярев Л.М., Маханьков В.Г., Рудаков Л.И. Динамика образования и взаимодействия лэнгмюровских солитонов и сильная турбулентность. -ЖЭТФ, 1974, т.67, N 2, с.533-542.

212. Peierls R.E. The size of a dislocation. - Proc. Phys. Soc. London A, 1940, v.52, p.34-37.

213. Stenzel G. Zum Peierls-model bevegter versetzungen. - Phys. Stat. Sol., 1969, v.34, p.495-500.

214. Stenzel G. Linear kontinuums theorie bevegter versetzungen. - Phys. Stat. Sol., 1969, v.34, p.351-364.

215. Бойко B.C., Гарбер Р.Н., Косевич A.M. Обратимая пластичность кристаллов. - М.: Наука, 1991. - 279 с.

216. Nabarro F.R.N. Dislocations in simple cubic lattice. - Proc. Phys. Soc. London A, 1947, v.59, N 332, p.256-272.

217. Кадомрев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабодиспергирующих средах. - ДАН СССР, 1970, т. 192, N 4,5,6, с.753-756.

218. Хирота Р. Прямые методы в теории солитонов. - В кн. «Солитоны» / под ред. Р. Буллафа и Ф. Кодри. - М.: Мир, 1983, с. 175-192.

219. Oshima R., Sugiyama М., Fujita F.E. Tweed structures associated with fcc-fct transformations in Fe-Pd allows. - Metall. Trans. A, 1988, v.19, p.803-810.

220. Кацнельсон М.И., Трефилов A.B. Синхронизация фононных частот и квазистатические смещения атомов в кристаллах. - ЖЭТФ, 1990, т.91, N6, с.1892-1900.

221. Кузнецов В.А., Турицын С.К. О двумерных и трехмерных солитонах в слабодиспергирующих средах. - ЖЭТФ, 1982, т.82, вып.5, с.1457-1463.

222. Захаров В.Е. Неустойчивость и нелинейные колебания солитонов. -Письма в ЖЭТФ, 1975, т.22, вып.7, с.364-367.

223. Laedke Е.М., Spatschek К.Н. On the applicability of the variation of action method to some one-field solutions. - J. Math. Phys., 1979, v.20, p. 18381841.

224. Бурцев С.П. Неустойчивость периодической цепочки двумерных солитонов. - ЖЭТФ, 1985, т.88, вып.5, с. 1609-1615.

225. Пелиновский Д.Е., Степанянц Ю.А. Самофокусировочная неустойчивость плоских солитонов и цепочек двумерных солитонов в средах с положительной дисперсией. - ЖЭТФ, 1993, т. 104, вып. 4, с.3387-3400.

226. Vaks V.G., KatsnelsonM.I., KoreshkovV.G., LikhtensteinA.I., Parfenov O.E., Skok V.F., Sukhoparov V.A., Trefilov A.V., Chernyshov A.A. An

experimental and theoretical study of martensitic phase transitions in Li and Na under pressure. - J. Phys.: Condens. Matter, 1979, v.l, N 2, p.5319-5335. 227. Новокшенов В.Ю. Об асимптотике общего вещественного решения

уравнения Пенлеве третьего типа. - ДАН СССР, 1985, т.283, N 5, с.1161-1164.