Квантовые проявления классического хаоса в ядерных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, доктор физико-математических наук Чеканов, Николай Александрович

• Чеканов, Николай Александрович
• доктор физико-математических наук
• 1991

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чеканов, Николай Александрович

СОДЕРЖАНИЕ

Olpo

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 . ХАОТИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ В ПРОСТЫХ

ЯДЕРНЫХ СИСТЕМАХ

1.1. Хаос в гамильтоновых системах. Критерий начала

хаоса по отрицательной гауссовой кривизне

1.2. Динамический хаос в линейной З^-системе

1.3. Хаотические колебания поверхности атомных ядер

1.4. Переход регулярность-хаос-регулярность в гамильтоновых системах

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ

В КОЛЛЕКТИВНО! КВАЗИКЛАССИЧЕСКОИЙ ЯДЕРНОЙ ДИНАМИКЕ.____, 0

2.1. Метод нормальных форм Биркгофа-Густавсона

2.2. Модифицированная нормальная форма Биркгофа--Густавсона

2.3. Квантовая нормальная форма

2.4. Результаты численных вычислений.#

ГЛАВА 3. КВАНТОВЫЕ ПРОЯВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОГО

ХАОСА В СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ

СПЕКТРОВ И ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ

3.1. Гипотеза об универсальном законе флуктуаций энергетических спектров

3.2. Статистические свойства спектров G3v и С^ инвариантных гамильтонианов

3.3. Статистические свойства волновых функций

Сз1г и С^у- инвариантных гамильтонианов

ГЛАВА 4. ОСОБЕННОСТИ СПЕКТРА КЛАССИЧЕСКИ

НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ В ОБЛАСТИ ПЕРЕХОДА

РЕГУЛЯРНОСТЬ-ХАОС

4.1. Разрушение оболочечной структуры в процессе

перехода регулярность-хаос

4.2. Квазипересечения в области перехода к хаосу

4.3. Метод численного решения двумерного стационарного уравнения Шредингера

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые проявления классического хаоса в ядерных системах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В последнее время огромный интерес вызывают исследования нелинейных явлений в различных динамических системах. Причиной такого внимания является существование новых, так называемых хаотических (в отличие от регулярных) типов движения, приводящих к полной случайности и непредсказуемости будущего в строго детерминированных системах. Изучение хаотической динамики впервые открытой Пуанкаре еще в конце прошлого века /1/ возобновилось лишь в начале 60-х нынешнего под влиянием появившейся работы Лоренца по долговременному предсказанию погоды /2/.

В последние десять лет исследования хаотических режимов движения интенсивно ведутся и расширяются в различных областях естественных наук /3-5/. Существование детерминированной случайности в нелинейных динамических системах привело к постановке проблемы квантового хаоса, что инициировало, в частности, поиск квантовых проявлений классического хаоса.

Исторически сложилось так, что результаты исследования ядерных спектров в рамках статистической теории развитой в теже 60-е годы /6-7/ и основанной на предположении о случайности процессов в ядре исключительно из-за его сложности неожиданно предвосхитили последние результаты, полученные в теории нелинейных динамических систем. Как известно, в статистической теории ядерных спектров постулируется идентичность статистических свойств спектра атомных ядер и собственных значений случайной матрицы, которая представляет гамильтониан ядра. Одним из основных результатов этой теории является то, что функции распределения расстояний между соседними уровнями имеют вигнеровский вид, из которого

следует эффект расталкивания ближайших энергетических уровней /8/. Теоретические выводы очень хорошо подтвердились при соответствующей обработке экспериментальных данных по ядерным спектрам /7,9/.

Поэтому полученные недавно аналогичные результаты в хаотических динамических системах с несколькими степенями свободы /10-18/ призывают, по крайней мере, попытаться искать причины успеха статистической теории атомных ядер в самом характере движения нуклонов ядра, обосновывая статистическую гипотезу не сложностью системы, а существованием принципиально новых типов нуклонного движения, определяемых свойствами ядерного взаимодействия.

Изучение хаотической динамики нуклонов может пролить свет на проблему сосуществования двух противоположных классов ядерных моделей, один из которых представляет ядро как каплю жидкости, а второй рассматривает ядро как газ слабо взаимодействующих частиц. Тогда эффективность предсказания модели из того или иного класса в сильной степени будет определяться регулярным или хаотическим режимом нуклонного движения. Например, появление оболочек в ядерных спектрах ! можно попытаться связать не столько с принципом Паули, а с | регулярным характером ядерной динамики /19/.

I

Наличие хаотических режимов в движении нуклонов должно существенно отразиться в процессах рассеяния на атомных ядрах, что, по-видимому, проявляется в сечениях в виде известных эриксоновских флуктуаций /20-21/

Все это без сомнения представляет важный и интересный предмет исследования в ядерной физике /22/ и к настоящему времени в этой области получены уже некоторые результаты

/17,23-25/. Кроме того, изучение нелинейной динамики атомных ядер затрагивает ряд общих вопросов, связанных с проблемой классического и квантового хаоса /26/ в произвольной динамической системе.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование в атомных ядрах квантовых проявлений классического хаоса в энергетических спектрах и волновых функциях на примере простых, но реалистических ядерных моделей.

В диссертации решаются следующие основные задачи:

1.Проведение аналитических и численных исследований возможности существования новых хаотических режимов движения в атомных ядрах.

2.Развитие метода нормальных форм Биркгофа-Густавсона для квантования классических многомерных гамильтонианов с целью изучения свойств энергетических спектров в квазиклассическом приближении.

3.Исследование влияния классического хаоса на статистические свойства энергетических спектров и волновых функций для Сзг/ . С^г/ - инвариантных гамильтоновых систем.

4.Поиск других особенностей в свойствах энергетических спектров и волновых функций классически неинтегрируемых квантовых систем, которые можно трактовать как квантовый хаос в атомных ядрах.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы коллективные квадрупольные поверхностные колебания изотопов криптона Кг с параметрами гамильтонианов- извлеченных из экспериментальных данных, и динамика ядра углерода в виде линейной системы из трех оС -частиц с реалистическим потенциалом взаимодействия. В этих ядерных гамильтоновых

системах с двумя степенями свободы установлено существование хаотических режимов движения. Показано, что метод теоретического предсказания критической энергии перехода от регулярного движения к хаотическому с помощью простого критерия по отрицательной гауссовой кривизне поверхности потенциальной энергии очень хорошо согласуется с ее численными расчетами с помощью сечений Пуанкаре.

Обнаружено новое явление ( детально исследованное для

И

квадрупольных поверхностных колебаний изотопов Кг ), которое заключается в восстановлении регулярного характера движения при высоких энергиях. Вероятно такой сложный переход регулярность-хаос-регулярность (11-0-11 ) имеет место для динамических систем с локализованной областью неустойчивости.

Исследованы также и установлены некоторые новые свойства трехчастичной линейной цепочки с произвольным парным взаимодействием.

На основе выполненной модификации нормальной формы Бирк-гофа-Густавсона с использованием канонических преобразований с произвольной валентностью дан новый вариант квантования классических многомерных систем.

В рамках развитого подхода получены простые аналитические формулы для энергетического спектра гамильтониана квадрупольных поверхностных колебаний. ( Последний относится к классу гамильтонианов инвариантных относительно преобразований дискретной группы С3йг ).

Показано, что в регулярной области энергий квазиклассические формулы очень хорошо воспроизводят точный квантовый спектр, а при переходе в хаотическую область энергий точность их предсказания катастрофически ухудшается. Указа-

но, что причиной неприменимости квазиклассических формул для спектра в хаотической области энергий являются возникающие квазипересечения уровней вблизи критической энергии перехода к хаосу.

Для изучения квантовых проявлений классического хаоса впервые были вычислены и проанализированы статистические свойства энергетических спектров Озгг инвариантного гамильтониана. Показано, что функции распределения расстояний между соседними уровнями имеют пуассоновский вид в той области энергий, где классическое движение регулярное, и вигнеровски7'вид в той области энергии, где оно хаотическое.

Другими словами, в первом случае в квантовом спектре наблюдается явление кластеризации энергетических уровней, тогда как во втором ( когда классическая динамика хаотическая ) обнаружен эффект расталкивания соседних уровней аналогично тому, который имеет место для собственных значений случайной матрицы из гауссового ортогонального ансамбля.

Подобные результаты были получены для С инвариантного гамильтониана, классический аналог которого, в частности, описывает взаимодействунщие поля Янга-Миллса. На примере этой динамической системы показано первостепенное значение учета внутренней симметрии гамильтониана при анализе статистических свойств энергетических спектров.

Кроме того, исследована зависимость функций распределения расстояний между соседними уровнями для спектра С^ инвариантного гамильтониана в области перехода регулярность-хаос-регулярность. Впервые показана перестройка этих функций распределения от пуассоновского вида к вигнеровскому и опять к пуассоновскому в полном соответствии с типом класси-

ческого движения. Полученные результаты для »0згг , С^ симметричных динамических систем неоспоримо доказывают существование взаимосвязи между характером классического движения и статистическими свойствами квантовых энергетических спектров.

Проявления классического хаоса обнаружено и в поведении волновых функций, статистические свойства которых исследованы для тех же Сзгг , &4гг двумерных гамильтоновых систем. Вычислены методом диагонализации и исследованы функции распределения коэффициентов разложения волновой функции по собственным состояниям двумерного осциллятора. Показано, что регулярные волновые функции локализованы на небольшом числе базисных состояний, а хаотические волновые функции практически случайно распределены по всем базисным состояниям.

Полученные два класса функций распределения разительно отличаются друг от друга, отражая тем самым корреляции между статистическими свойствами волновой функции индивидуального состояния и режимом классической динамики. Однако функция распределения хаотической волновой функции (вероятно из-за небольшой доли регулярного движения ) немного отличается от гауссовой кривой, которая теоретически предсказывалась в квазиклассическом приближении. Показано, что поведение и абсолютная величина энтропии - количественной меры распределенности волновой функции - тоже универсальным образои зависит от характера классического движения.

Детально исследованы изменения энтропии и квантовых чисел в процессе перехода регулярность-хаос для двухпарамет-рического семейства гамильтонианов, обладающих СзгГ симметрией. Показано, что по мере включения неинтегрируемого возмущения ( путем варьирования параметров гамильтониана )

квантовые числа, используемые для классификщдш интегрируемой части гамильтониана, для состояний, энергии которых приближаются к классической критической энергии перехода к хаосу, начинают сильно флуктуировать. Это свидетельствует о разрушении квантовых чисел в переходной области.

Обнаружена четко выраженная корреляция между поведением квантовых чисел, формирующих оболочечную структуру, и структурой классического фазового пространства, определяемой известной КАМ теоремой. Установлено также, что разрушение оболочечной структуры тесно связано с возникновением множественных квазипересечений энергетических уровней в области перехода регулярность-хаос.

Обнаруженные множественные квазипересечения в квантовом спектре для 031г , С4гг инвариантных гамильтонианов с двумя степенями свободы является новым квантовым проявлением классического хаоса для неинтегрируемых.гамильтоновых систем. Показано, что эти квазипересечения не изолированы в точке, а случаются вдоль линий в параметрическом пространстве.

Для увеличения эффективности численного исследования энергетических поверхностей в пространстве параметров гамильтониана вместо диагонализации предложен метод решения стационарного двумерного уравнения Шредингера путем понижения его размерности непосредственно в координатном пространстве.

Практическая и научная ценность результатов. В последние годы во многих областях естественных наук ведутся интенсивные исследования различных аспектов хаотической динамики, распространение которых в область ядерной физики сделано в настоящей диссертации.

Результаты, полученные в диссертации, можно использовать

при планировании экспериментальных исследований, для анализа экспериментальных данных и получения из такого анализа информации о структуре атомных ядер и механизме ядерного взаимодействия.

На защиту выносятся следующие результаты.

1.Результаты исследования классического фазового пространства, показывающие существование новых хаотических движений для квадрупольных поверхностных колебаний в атомных ядер и в коллективной модели ядра углерода в виде линейной ЗХ-системы.

2.Полученные свойства линейной цепочки из трех частиц с произвольным парным взаимодействием и применимость критерия

\

отрицательной гауссовой кривизны для исследованных систем.

3.Обнаруженный в гамильтоновых двумерных системах при некоторых условиях переход регулярность-хаос-регулярность, указывающий на восстановление регулярного характера классического движения при сильном нелинейном взаимодействии.

4.Модификация метода нормальных форм Биркгофа-Густавсона и развитие на этой основе метода квантования многомерных гамильтонианов, а также результаты исследования фазового пространства с помощью приближенных интегралов движения.

5.Результаты исследования эффективности предсказания и применимости полученных на основе развитого метода квантования квазиклассических формул для энергетического спектра 031Г инвариантного гамильтониана.

6. Установленную корреляцию между характером классического движения и статистическими свойствами энергетических спектров С^г и С^гг инвариатных гамильтонианов, которые в хаотической области энергий идентичны статистике

собственных значений случайной матрицы из ГОА. Решающую роль симметрии динамических систем при построении функций распределения расстояний между соседними энергетическими уровнями.

Т.Наличие корреляций между статистическими свойствами волновых функций ( функций распределения коэффициентов разложения волновой функции по базисным состояниям и энтропии как меры степени распределенности волновой функции по базисным состояниям ) и типом классического движения для тех же Сзу и Сцтг инвариантных гамильтонианов.

8.Проведенный расчет и анализ квантовых характеристик гамильтоновых систем в области перехода от регулярного движения к хаотическому. Результаты исследования зависимости энтропии, квантовых чисел и других квантовых величин в этой переходной области. '

9.Новое проявление классической неинтегрируемости в виде множественных квазипересечений энергетических уровней для двумерных гамильтоновых систем в процессе перехода регулярность-хаос.

10.Предложенный метод решения стационарного уравнения Шредингера в координатном пространстве для двумерных гамильтонианов, у которых поверхность потенциальной энергии имеет несколько локальных минимумов.

Апробация результатов работы и публикации.

Исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены в теоретическом отделе Харьковского физико-технического института. Часть из них выполнена с сотрудниками ЛТФ и ЛВТА ОИЯИ ( г.Дубна ).

Материалы диссертации опубликованы в 21 научных работах. Основные результаты диссертации представлялись на Междуна-

родное совещание по теории малочастичных и. кварк-адронных систем (198Т), на 38-м (1988) и на 39-м ( 1989 ) Всесоюзных совещаниях по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра и докладывались на международном семинаре "Геометрические аспекты квантовой механики" ( 1988 }, 4-м Международном совещании по аналитическим вычислениям в физических исследованиях ( 1990 ), б-м Международном совещании " Нелинейные эволюционные уравнения и динамические системы ", Всесоюзном семинаре по электромагнитным взаимодействиям (1989 ), на семинарах в ЛТФ и ЛВТА ОШИ (г.Дубна ), ИЯИ АН УССР ( г.Киев ), ХГУ и ХФТИ ( г.Харьков ).

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, приложения и списка цитируемой литературы (214 наименований ). Диссертация содержит 44 рисунка и 2 таблицы. Общий обьем работы ¿62. машинописных страниц.

Во введении обоснована актуальность проводимых исследований, сформулирована цель диссертационной работы и основные положения выносимые на защиту. Представлена структура диссертации и кратко изложено ее содержание по главам.

В первой главе на примере двух реалистических ядерных моделей показано, что в атомных ядрах ( рассматриваемые как нелинейные гамильтоновы системы с двумя степенями свободы ) при определенных условиях существуют новые хаотические режимы движения. Изучена также хаотическая классическая динамика двумерной системы, описываемой С^ инвариантным гамильтонианом /51,55-57,81-82,84-85/.

В разд.1.1 приведены надежные стандартные методы идентификации индивидуальных хаотических траекторий с помощью

вычислений автокорреляционной функции или показателей Ляпунова. Однако эти методы требуют большого обьема численных расчетов при определении доли фазового пространства занятого экспоненциально неустойчивыми траекториями. Поэтому для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы рассмотрен быстрый эвристический метод предсказания классического хаоса, который основан на изучении геометрии соответствующей поверхности потенциальной энергии ( ППЭ ). В таком методе классический хаос связывается с наличием отрицательной гауссовой кривизны на ППЭ, приводящей к локальной неустойчивости фазовой траектории попадающей в эту область. Критическая энергия перехода от регулярного движения к хаотическому определяется минимальным значением потенциальной энергии на линии нулевой гауссовой кривизны. Критерий начала хаоса по отрицательной гауссовой кривизне ( ОГК ) не является строгим, так как в общем случае локальная потеря устойчивости регулярного движения не обязательно приводит к глобальной неустойчивости. Однако в совокупности с численными расчетами сечений Пуанкаре критерий ОГК значительно облегчает анализ нелинейного движения, а для исследуемых нами динамических систем этот критерий обеспечивает надежное теоретическое предсказание начала хаоса.

В разделе 1.2 рассмотрена простейшая модель ядра углерода в виде линейной цепотпш из трех о< -частиц с реалистическим али-бодмеровским -взаимодействия. Проведено сравнение реалистического потенциала Али-Ьодмера с эффективным потенциалом, полученным на основе широко используемых сейчас в теории ядра нуклон-нуклонных сил Скирма.

Подробно изучена классическая динамика 3Ы, -системы путем

численного решения уравнении движения Гамильтона, с помощью анализа сечений Пуанкаре показано, что в этой системе возникают хаотические режимы движения и критическая энергия перехода к хаосу хорошо согласуется с теоретическими предсказаниями по критерию ОГК.

Отмечены особенности развития классического хаоса по мере роста энергии в -системе, связанные с использованием реалистического неполиномиального потенциала. Изучены также некоторые общие свойства линейной трехчастичной цепочки с произвольным парным взаимодействием.

В разд. •1.3 получен общий вид для ППЭ квадрупольных поверхностных колебаний сферической капли вещества и показано, что гамильтониан такой системы является инвариантным относительно преобразований дискретной группы . Изучен . характер классической динамики для двухпараметрического семейства 0¿у- инвариатных гамильтонианов в четвертом порядке по канонически сопряженным переменным.

Представлены результаты численного исследования квадру-

М-ХО

польных поверхностных колебании изотопов криптона Кг

с реалистическими параметрами коллективного гамильтониана и показано, что для всех изотопов имеется узкая переходная область энергий, в которой характер классического движения изменяется от регулярного к хаотическому. Численно с помощью сечений Пуанкаре вычислены критические энергии перехода к хаосу и сравнены с их теоретическими значениями, определенными по критерию ОГК.

В разд. 1.4 продолжено изучение квадрупольных поверхностных колебаний поверхности изотопов криптона и для ядер Кг при энергиях, значительно превосходящих седловую

( Е ^ 10 Екр ), найдено, что регулярный характер движения восстанавливается. Исследована и обсуждена связь обнаруженного перехода регулярность-хаос-регулярность ( К-С-Н ) с изменением знака и величины гауссовой кривизны соответствующих ППЭ. Сделан вывод, что явление восстановления регулярного движения имеет место для любой динамической системы с локализованной областью неустойчивости движения.

Изучено влияние на характеристики классического движения высших степеней деформации колеблющейся поверхности в коллективном гамильтониане.

Детально исследована также классическая динамика С^ инвариантного гамильтониана, который описывает, например, взаимодействующие поля Янга-Миллса. Численно изучена структура классического фазового пространства и,определены условия возникновения хаотических движений в этой системе; полученные результаты сравнены с известными результатами из других работ.

Вторая глава посвящена применению метода нормальных форм Биркгофа-Густавсона для изучения в квазиклассическом приближении коллективной динамики в ядерных моделях, рассмотренных выше /25,77,82,112,119,121,138,169/.

В разд.2.1 описана процедура приведения классического многомерного гамильтониана к нормальной форме Биркгофа-Гус-тавсона. Получены в аналитическом виде нормальные формы Биркгофа-Густавсона для гамильтонианов квадрупольных поверхностных колебаний и линейной Зо< - системы, и вычислены также приближенные интегралы движения. Показано, что аналитический приближенный интеграл движения для изотопа криптона Кг очень хорошо воспроизводит полученную с помощью сечений

Пуанкаре структуру фазового пространства, - но только для энергий не превышающих критическую энергию перехода от регулярного движения к хаотическому.

В разд. 2.2 предложена модификация нормальной формы Биркгофа-Густавсона, основанная на подходящем выборе канонически сопряженных переменных с использованием канонических преобразований с произвольной валентностью . В частности для гамильтониана квадрупольных поверхностных колебаний найдены такие канонические преобразования с валентностью равной мнимой единице и для этого гамильтониана получена модифицированная нормальная форма Биркгофа-Густавсона. Получена модифицированная нормальная форма для Ссимметричного гамильтониана, исследование классической динамики которого проведено в разд. 1.4.

В разд. 2.3 обсуждены способы квантования многомерных классических гамильтоновых систем и развит новый вариант квантования на основе модифицированной нормальной формы Биркгофа-Густавсона. По классической модифицированной нормальной форме с использованием правила соответствия Вейля восстановлена квантовая нормальная форма для гамильтониана квадрупольных поверхностных колебаний. Получены квазиклассические формулы для его энергетического спектра, одна из которых в частном случае дает приближенную формулу для спектра известного гамильтониана Хенона-Хейлеса.

В разд.2.4 проведено сравнение предсказываемых квазиклассических спектров с точными квантовыми спектрами для гамильтониана квадрупольных поверхностных колебаний. Показано, что выполненное квазиклассическое квантование применимо только в области энергий, где классическое движение регулярное.

Б третьей главе исследованы квантовые проявления классического хаоса в статистических свойствах энергетических спектров и в волновых функций. Детально изучены динамические системы с двумя степенями свободы, представляющие квадру-польше поверхностные колебания и взаимодействующие поля Янга-Миллса, описываемые Си инвариантными гамильтонианами, соответственно. Показана четкая взаимосвязь между характером классического движения ( регулярным или хаотическим ) и как формой функций распределения расстояний между соседними энергетическими уровнями ( пуассоновской или вигнеровской ), так и видом • функций распределения амплитуд волновых функций. Дополнительно эта взаимосвязь подтверждена обнаруженной перестройкой упомянутых выше функций распределения в зависимости от типа классического движения для Сзгг симметричной системы в случае сложного перехода регу-лярность-хаос-регулярнос ть /18,163,169,176/.

В разд.3.1 обсуждена аналогия между основными результатами в теории случайных матриц и последними результатами, полученными в теории нелинейных динамических систем. Сформулирована гипотеза об универсальном законе флуктуаций энергетических спектров для динамических систем, хаотических в классическом пределе.

В разд.3.2 числено получены квантовые спектры и С^^г инвариантных гамильтонианов и исследованы их статистические свойства. Изучены групповые свойства гамильтонианов, введен базисный набор функций, реализующий неприводимые представления данной дискретной группы. Проанализированы последовательности энергетических уровней, соответствующие всем неприводимым представлениям. Показано, что в обеих

-19/

динамических системах соседние уровни квантового спектра в хаотической области обнаруживают свойство расталкивания, а функции распределения расстояний между ближайшими энергетическими уровнями имеют вигнеровский вид в полном соответствии с гипотезой об универсальном законе флуктуаций энергетических спектров. Аналогичные функции распределения для уровней в области энергий, где классическое движение регулярное, хорошо аппроксимируются пуассоновским распределением.

Показана важная роль учета симметрии гамильтониана при изучении статистических свойств энергетических спектров. Обнаружены также четкие корреляции между типом классического движения и формой функции распределения расстояний между соседними уровнями.для сложного перехода регулярность-хаос-регулярность, где пуассоновская кривая переходит в вигнеров-скую, а во второй регулярной области опять перестраивается в пуассоновскую. Обсуждены некоторые численные детали расчета энергетических спектров методом диагонализации.

В разд.3.3 изучены статистические свойства волновых функций для рассмотренных выше динамических систем и показано, что статистические свойства волновой функции, описывающей индивидуальное состояние, существенно зависят от характера классического движения. Численными расчетами установлено, что функции распределения коэффициентов разложения волновоой функции по базисному набору в хаотической области энергий качественно близки к ожидаемой гауссовой кривой и резко отличаются от подобных функций распределения в регулярной области энергий, которые локализованы на небольшом числе базисных состояний.

Показано, что тип классической динамики в полной мере опре-

деляет поведение энтропии, которая для хаотических состояний практически постоянная, а для регулярных состояний энтропия и меньше по величине и имеет немонотонную зависимость от энергии. Кроме того, подобные корреляции обсуждаемых функций распределения и энтропии и их трансформация в соответствии с изменением характера классического движения выявлены при изучении в окрестности перехода регулярность-хаос-регулярность для динамической С>згг симметричной системы.

В четвертой главе продолжено исследование С згг и С ¿¡¿г симметричных гамильтоновых систем, зависящих от двух параметров, и детально изучены особенности в поведении энергетических спектров и волновых функций, появляющиеся в процессе перехода регулярность-хаос. Проанализировано обнаруженное явление множественного возникновения квазипересечений энергетических уровней в окрестности критической энергии перехода к классическому хаосу. Обсужден метод численного решения стационарного уравнения Шредингера в координатном пространстве /112,119,184,202/.

В разд. 4.1 исследованы процесс разрушения оболочечной структуры,определяемой квантовыми числами невозмущенного гамильтониана , и изменения в поведении энтропии по мере роста неинтегрируемого возмущения.

Показано, что при приближении энергии произвольного квантового состояния к критической классической энергии перехода к хаосу нарушается квазипериодическая зависимость энтропии от энергии, что свидетельствует о разрушении оболочечной структуры, и наблюдается монотонное увеличение энтропии с выходом на плато при энергиях значительно превосходящих критическую. Показано также разрушение аналогов классы-

ческих интегралов движения, что приводит к невозможности классифицировать состояния квантовыми числами.

Таким образом, получена устойчивая корреляция между существованием оболочечной структуры и фазовым портретом классической динамики, определяемым известной теоремой KAM.

Вблизи перехода регулярность-хаос обнаружены множественные квазипересечения энергетических уровней, которые являются причиной разрушения квантовых чисел.

В разд. 4.2 изучено поведение энергетических уровней одинаковой симметрии в зависимости от параметров для двухпа-раметрических семейств С^ и С^г инвариатных гамильтонианов. Тщательно численно исследованы квазипересечения в окрестности перехода регулярность-хаос и показано, что любая пара сближающихся энергетических уровней численно пересекается не в изолированной тоочке, а вдоль параллельных линий в параметрическом пространстве.

Проведен анализ поведения квазипересекающихся уровней и их волновых функций в рамках теории возмущения и с помощью прямых численных расчетов в окрестности этих линий в пространстве параметров.

Множественное возникновение квазипересечений в квантовом спектре вблизи энергий перехода к классическому хаосу обнаружено для всех типов энергетических уровней Сзгг и С^гг симметричных динамических систем.

Выдвинута гипотеза, что возникновение множественных квазиперееечений в окрестности перехода регулярность-хаос является универсальным квантовым проявлением хаоса для классически неинтегрируемых систем.

В разд. 4.3 предложен метод численного расчета энерге-

тического спектра и волновых функций двумерного стационарного уравнения Шредингера методом понижения размерности в координатном пространстве на примере динамической системы, описываемой Сзгг инвариантным гамильтонианом. Предлагаемый метод более эффективен по сравнению с методом диагонализации гамиль-тоновой матрицы для динамических систем, поверхности потенциальной энергии которых имеют несколько локальных минимумов. Приведены две схемы численной реализации предлагаемого метода.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ГЖВА 1. ХАОТИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ В ПРОСТЫХ

ЯДЕРНЫХ СИСТЕМАХ.

На реалистических ядерных моделях показано, что в атомных ядрах, рассматриваемых как нелинейная динамическая ( в частности, гамильтонова ) детерминированная система, при довольно общих условиях существуют принципиально новые так называемые хаотические режимы движения.

Перечислены основные количественные характеристики, которые имеются для идентификации хаотических траекторий. Для консервативных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы подробно рассмотрен аналитический метод предсказания классического хаоса при помощи анализа гауссовой кривизны соответствующей ППЭ. Показано, что для исследованных ядерных систем критерий ОГК и предложенная его модификация на случай ППЭ с несколькими локальными минимумами очень хорошо подтверждается численными расчетами с помощью сечений Пуанкаре .

Детально изучены коллективные квадрупольные колебания

7 и~£0

поверхности изотопов криптона Кг, параметры гамильто-

нианов которых восстановлены по экспериментальным данным . Показано существование хаотических колебаний поверхности указанных ядер.

Для двумерных гамильтоновых систем с локализованной областью неустойчивости движения обнаружено новое явление -восстановление регулярности движения при высоких энергиях.

Этот переход регулярность-хаос-регулярность ( И-С-И )

М тг

подрооно исследован для супердеформированного ядра Кг.

Изучена классическая динамика линейной Зое -цепочки, используемой для описания ядра углерода с реалистическим потенциалом - взаимодействия и тоже показано наличие

хаотических режимов движения. Причем в 3 - системе с известными силами Али-Бодмера хаос развивается с ростом энергии более резко, чем в системах с полиномиальными потенциалами, а при энергиях выше порога диссоциации 3«< -системы имеется небольшой участок фазового пространства, где движение остается регулярным.

1.1. Хаос в гамильтоновых системах. Критерий начала

Многие физические системы, в том числе и ядерные, можно описать с помощью уравнений Гамильтона, которые запишем в следующем каноническом виде /27-31'/

Точка означает дифференцирование по времени 1;. Здесь канонически сопряженные координата q(t) и р(т) представляют, вообще говоря, 1-мерные векторы q=( q , q , ... q ) и р=( р , р , ... р ),эволюционирующие в 21 - мерном фазовом прост-

хаоса по отрицательной гауссовой кривизне.

(1.1)

ранстве ( д, р ), где Г - число степеней свободы рассматриваемой динамической системы. Фигурные скобки обозначают классические скобки Пуассона, определяемые как

¿Ь^Щ '(1.2)

В дальнейшем будут рассматриваться только консервативные системы, для которых гамильтонова функция Н^,р) не зависит от времени.

Пусть в начальный момент времени известен 21- вектор 20= (Я0»Р0)> ( <10=(1(0)> Р0=Р(°) )» который определяет точку в 21-мерном фазовом пространстве. Тогда эволюцию вектора г(1;)=( д(1;),р(1;) ) - фазовую траекторию - можно представить в виде линии , по которой движется эта точка в фазовом пространстве. Если по аналогии с теорией жидкости ввести вектор касательный в любой момент времени к фазовой траектории, то легко проверить, что для гамильтоновых систем имеет место тождество ( уравнение несжимаемости ) (11у.

Для поиска и анализа решений уравнений Гамильтона удобным и полезным понятием являются интегралы движения Г^Ск), которые зависят от решений q(t) и р("Ь) , но при этом равны постоянным в любой момент времени и поэтому зануляют скобку Пуассона

Отсюда легко видно, что в случае,

когда гамильтониан

Н^,р) не зависит от времени , то полная . энергия всегда является одним из интегралом движения Н(д,р) =Е = пост.

Как известно /27-30/, уравнения Гамильтона, представляющие систему обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрируемы, если существуют I однозначных функционально независимых интегралов движения 1К•, которые находятся в инволюции друг с другом, т.е. ( к,1 = 1,2,3 ... 1 ).

В общем случае по виду уравнения (1.1) нельзя определить интегрируема система или нет. Однако если существует каноническое преобразование (ф.р) ( 2, ) такое, что в новых переменных гамильтониан равен сумме одномерных осцилляторов

к

то интегрируемость соответствующей системы становится очевидной, так как имеется 1 функционально независимых и однозначных величин

удобно ( по причинам, которые прояснятся ниже) ввести специфические переменные действие - угол ( I, ¥ ):

Ъ^УгГн-слЪ

(1.6)

В этих переменных гамильтониан ^ % ) - зависит только от действий ,.а уравнения движения становятся тривиальными

- ЪН ,

1к = ° , (1.7)

/С

где (I^ - частоты движения. Вычислим

интеграл ф ¡?к ^^к 310 замкнутому контуру в ^ - пространстве . С учетом замены переменных (1.6) получим

' (1.8)

т.е. переменные действия 1К являются адиабатическими инвариантами /32/ - величинами удобными для квантования классической системы (1.1).

В случае системы с двумя степенями свободы, которые только будут нами исследоваться в дальнейшем, решения уравнений (1.7) запишем в виде

где С/ ^ и ^ о постоянные.

(1.9)

и,го

Тогда фазовую траекторию можно наглядно представить в обычном 3-мерном пространстве в виде кривой обвивающей поверхность 2-мерного тора. Изменяя постоянные С.г и С^ ( си1 С4 ), определяющие радиусы торов, получаем

бесконечное множество вложенных друг в друга торов, которые называются инвариантными! Как следует из такого наглядного представления фазовых траекторий, характер движения зависит от соотношения « ¿Чг, между частотами. Если частоты соиз-

меримы, т.е. - Ч'^ (п,т - целые числа ), то

фазовая траектория после п оборотов по углу % и ш оборотов по углу Щ замыкается ( рациональные или резонансные торы). § случае же несоизмеримости частот фазовая траектория плотно обматывает тор, не замыкаясь ( иррациональные или нерезонансные торы ).

Однако интегрируемые системы являются редким счастливым исключением /33/ и большинство динамических систем, как показал Пуанкаре в конце прошлого века при исследовании знаменитой задачи трех тел, неинтегрируемы /1/. Поэтому основная задача динамики состоит в изучении решений системы, гамильтониан которой равен сумме интегрируемой части и неин-тегрируемой добавки традиционно называемой возмущением.

Пуанкаре первый обнаружил сложный характер движения в детерминированных системах, который сейчас называют стохастическим или хаотическим. В 1893 году он писал, что " малая ошибка в начальных условиях породит огромную ошибку в конечном явлении. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая " /34/. Однако открытие и развитие новой квантовой механики отодвинуло изучение хаоса в классических системах на 60-е годы нынешнего века и с тех пор наблюдается все возрастающий интерес к исследованию этого замечательного феномена ( число работ растет приблизительно как ехр( 0.23 г (лет) ) /34/ ).

Отметим, что любая консервативная одномерная гамильтоно-ва система является интегрируемой, и все трудности начинаются при исследовании систем с двумя или более степенями свободы. Хаотическое поведение имеет место также для гамильтоновых систем с одной степенью свободы, но при этом

гамильтониан должен содержать зависимость от времени /35/.

Механизмом, обеспечивающим существование хаотических режимов движения в строго детерминированных системах, является локальная неустойчивость, приводящая к экспоненциальному разбеганию близких траекторий в фазовом пространстве. Пусть ) - расстояние между двумя точками в фазовом

пространстве, то через время - Х^ траектории

разойдутся на расстояние равное

тогда как для регулярной траектории это расстояние растет приблизительно линейно со временем /36/.

Однако, вообще говоря, из локальной неустойчивости не следует заключение о неустойчивости всей траектории з0(10 Строгой же количественной мерой являются показатели Ляпунова /37/, которые здесь представим в удобном для вычислений виде

Из формулы (1.10) следует, что если имеется ошибка £ в начальном значении с10 при численных расчетах, то уже через несколько десятков временных шагов ( итераций ) эта ошибка возрастет до неточностей порядка единицы и поэтому полученное значение фактически не зависит от началбной точки. Высокая чувствителбность ( лучше сверхчувствительность ), замеченная Пуанкаре как отмечалось выше , является отличи-

(1.10)

г-1

(1.11)

тельной особенностью неустойчивых фазовых траекторий. Проведенные исследования ( см., например /3/, стр.310 ) дали ответ, что экспоненциально неустойчивые траектории есть следствие динамики, но не конечной точности численных вычислений.

Основной математически строгий результат содержится в известной КАМ теореме /38-40/, из которой следует, что при малом неинтегрируемом возмущении большинство нерезонансных инвариатных торов не разрушается и только резонансные торы (меры нуль) разрушаются. Вероятность того, что произвольно выбранный инвариатный тор разрушится при добавке неинтегри-руемой части, определяется вероятностью, что наугад взятое вещественное число будет иррациональным, а не рациональным.

Для динамических систем с двумя степенями свободы разрушенные торы будут зажаты между инвариатными, поэтому исчеза-кяце малое число начальных условий будет приводить к экспоненциально неустойчивым, т.е. хаотическим траекториям. В целом же определящим будет регулярное движение даже при достаточно сильном возмущении, как было показано в пионерской работе Хенона-Хейлеса /36/. Однако при достаточно сильном нелинейном возмущении будут разрушены также нерезонасные торы, и система придет к состоянию движения, которое можно назвать глобальным хаосом /3/. Открытие в численных и аналитических исследованиях глобального хаоса приводит к совершенно чуждым классической механике понятиям как непредсказуемость и случайность, неожиданно возникающих в детерминированных системах.

Обсудим теперь вопрос о количественных характеристиках нового явления и о способах их численного и аналитического

вычисления. Одним из фундаментальных определений случайной функции, например фазовой траектории , является зануле-ние автокорреляционной функции /3-5/

что означает отсутствие причинно-следственных связей между отдельными частями функции 2(1). Современное определение случайности основывается на теории информации, согласно которой траектория а(т) случайная,если она имеет максимальную величину колмогоровской К-энтропии /41/. Так как К-энтропия равна минимальной информации, с помощью которой можно закодировать произвольную траекторию,то для кодирования случайной траектории необходимо представить ( иметь информацию ) ее всю полностью в ввиде бесконечной последовательности чисел, т.е. К=со, а для регулярных траекторий К=0. для систем с детерминированным хаосом К-энтропия положительна и постоянна /4/. Так как показатели Ляпунова характеризуют среднюю потерю информации о положении фазовой то^пш за один временной шаг, то между ними и К-энтропией должна быть связь, которая действительно была установлена в работе /42/.

Вычисления автокорреляционной функции ( 1.12 ) , показателей Ляпунова ( 1.11) и К-энтропии являются надежными стандартными методами проверки произвольных, не обязательно гамильтоновых, динамических систем на стохастичность /3-5/. Отметим,что для автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы ( в добавление к вышеперечисленным ) самым быстрым и эффективным методом определения хаотических

Г

(1.12)

/^с-о О

траекторий служит метод сечений Пуанкаре /36/.

Однако все эти методы применимы к индивидуальным траекториям, и поэтому большой интерес представляют попытки найти более простые пути предсказания перехода к .хаосу в динамических системах, для нахождения таких критериев можно попробовать связать условия на параметры гамильтониана, при которых возникает локальная неустойчивость, с границей перехода к хаосу. Хотя в общем случае потеря устойчивости регулярного движения не обязательно приводит к глобальной неустойчивости, т.е. к хаосу, критерии подобного типа вместе с численными расчетами значительно упрощают анализ многомерного нелинейного движения.

Рассмотрим один из таких критериев определения перехода к хаосу, используемый нами и первоначально предложенный в работах /43-44/. Исследуем на устойчивость произвольную фазовую траекторию ze(t) = ( q0(t),pc(t) ), которая удовлетворяет уравнению (1.1). Напомним, что канонически сопряженные координата qc(t) и импульс pc(t) являются, вообще говоря, Г-мерными векторами в фазовом пространстве. Следуя согласно /37/, изучим поведение со временем разности Д z(t)

= z(t, ) - z (t:+ t), где z(t;) - произвольная фазовая точка 4 4 О

- бесконечно близка в момент времени tj к точке z0 (tj), тоже принадлежащей исследуемой траектории.

Тогда для локально неустойчивой фазовой траектории zc(t) отклонение Д z(t) будет экспоненциально расти со временем и, напротив, экспоненциально уменьшаться для локально устойчивой траектории. Чтобы количественно описать этот процесс, произведем линеаризацию уравнений Гамильтона (1.1). Для простоты изложения перепишем уравнения (1.1) в более компак-

тном виде

к = с,.is,

I *

где симплектическая единичная матрица определяется как Мл£ • Удерживая только линейные члены в

разложении гамильтониана H(z) в ряд Тейлора

+ + ~ (1.14,

для отклонения Д z(t} полетим линеаризованное уравнение

• V- м

/

Как известно /37,45/, устойчивость решений системы дифференциальных уравнений (1.15) можно определить по собственным значениям матрицы, матричные элементы которой равны

, / 1 V" л. ъгН(ы*>)

Если хотя бы одно из собственных значений матрицы (1.16) действительно, отклонение /3 з< 1;) растет экспоненциально и

фазовая траектория ге(1;) будет неустойчивой. Мнимые же собственные значения соответствуют устойчивым траекториям. Так как матрица устойчивости (1.16) зависит от времени, то для ее определения требуется предварительное решение исходных уравнений движения (1.13), поиск которого хотелось бы избежать. Поэтому следующее упрощение состоит в замене

положения фазовой точки т.е. предполагается, что г0(1;) на исследуемом временном отрезке t практически не

меняется и остается равным г0.

Теперь задача исследования устойчивости движения существенно упрощается, так как собственные значения, определяющие характер движенния, не будут зависить от времени. Однако критерий стохастичности, основанный на таком подходе,оставляет открытым вопрос о взаимосвязи локальной неустойчивости с глобальной /46-50/. Тем не менее этот критерий во

многих случаях и , в частности, для исследуемых нами систем правильно предсказывает границу перехода от регулярного движения к хаотическому.

Можно взглянуть на явление экспоненциального роста отклонения Да = з - ъ0 по-другому. Фактически оно означает отмечавшуюся ранее сверхчувствительность к начальным условиям, так как величину Д 2 можно рассматривать как ошибку в начальных данных.

Рассмотрим подробно систему с двумя степенями свободы, гамильтониан которой запишем в виде

временной зависимости

на зависимость только от

г

(1.17)

где

Г(Р-Л) и $ =

В этом двумерном случае уравнение для собственных значений матрицы устойчивости (1.16) запишем следующим образом /44/

ГА 0 -1 о ]

о

У,

и

А

21

О -1

А

о

о А

-а

(1.18)

где

Н/ ~ ЧМ;

/

Собственные значения из уравнения (1.18) равны

й А = ±М±\/ёЧ? ,

(1.19)

г-■ />

—оо—

где

Тогда при условии, что

С<0 (ё>0) пара корней Л становится действительной, и это приводит к экспоненциальной неустойчивости. И как видно из выражения (1.19) знак величины 0 совпадает со знаком гауссовой кривизны К^, поверхности потенциальной энергии

К (%, и)=

и, ^ - и.

12.

(1.20)

Таким образом, наличие отрицательной гауссовой кривизны является источником , порождающим локальную неустойчивость, и поэтому резонно связать условия возникновения глобального хаоса в двумерной системе с появлением областей отрицательной гауссовой кривизны на соответствующей ППЭ. Следуя по этому пути далее, критическую энергию перехода к хаосу определим равной минимальному значению энергии на линии нулевой гауссовой кривизны.

Для определения эффективности критерия ОГК сравним его теоретические предсказания с результатами численного иссле-

дования с помощью сечений Пуанкаре, например, для известной системы Хенона-Хейлеса. Анализ сечений Пуанкаре позволяет вычислить критическую энергию, определив ее как энергию, при которой доля фазового.пространства с хаотическим движением превосходит некоторое, вообще говоря, достаточно произвольно выбранное значение ( например 5% или 50% , что однако из-за экспоненциального нарастания хаоса приводит к близким значениям критической энергии). Численные расчеты /50,51/ показывают, что критическая энергия, определяемая по критерию ОГК хорошо согласуется с критической энергией, получаемой с помощью прямого метода сечений Пуанкаре.

1.2. Динамический хаос в линейной 36< -системе.

Одна из первых коллективных моделей атомного ядра строилась из предположения, что ядерное вещество можно представить в виде составного из компактных оС -частиц. Хорошо известно, что первое успешное применение квантовой механики было связано с объяснением вылета о( -частиц из атомных ядер /52/. В последнее время продолжаются работы по изучению в рамках квантовой механики явления о< -кластеризации и , в частности, исследуются наиболее вероятные конфигурации -частиц в ядрах углерода и кислорода /53,54/.

Для выяснения возможности возникновения хаоса в ядерных системах рассмотрим простейшую модель ядра в виде линейной 3 о^ - цепочки, используемой для описания ядра углерода /55-56/.

Прежде чем приступить к непосредственному анализу классических уравнений движения такой ядерной "молекулы", изучим

некоторые общие свойства линейной трехчастичной цепочки с произвольным потенциалом взаимодействия. Классический гамильтониан системы в декартовых переменных запишем в виде

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Чеканов, Николай Александрович

ЗАКЛЮЧЕБЖЕ.

В заключении приведем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Показано существование и детально изучены новые хаотические режимы движения в атомных ядрах на примере двух ядерных моделей : а) коллективные квадрупольные поверхност

9 к-ЯО ные колебания изотопов криптона ° Кг, параметры гамильтонианов которых получены из экспериментальных данных и б) ядро углерода в виде линейной 3<*-цепочки с реалистическим потенциалом взаимодействия между -частицами.

2. Исследованы некоторые общие свойства линейной системы, состоящей из трех частиц с произвольным потенциалом взаимодействия и показано, что гамильтониан такой системы в кубическом приближении принимает известную форму Хенона-Хей-леса только для 0згГ- инвариантных гамильтонианов.

3. Обнаружено в неинтегрируемых гамильтоновых системах новое явление - восстановление регулярного характера движения при больших энергиях. Или, другими словами, для гамильтоновых двумерных динамических систем с локализованной областью неустойчивости классического движения имеет место переход регулярность-хаос-регулярность,К-С-И, (в частности,

1С для поверхностных колебаний изотопов криптона ,г Кг ). •

4. Показано",' что аналитический Метод предсказания классического хаоса по критерию отрицательной гауссовой кривизне (ОГК) поверхности потенциальной энергии для исследованных ядерных систем очень хорошо согласуется с прямыми численными расчетами с помощью сечений Пуанкаре. Для гамильтонианов, ППЭ которых имеет несколько локальных минимумов, предложено критерий ОГК дополнить анализом приближенных интегралов движения, получаемых в рамках метода нормальных форм Биркго-фа-Густавсона.

5. Предложена модификация нормальной формы Биркгофа-Гус-тавсона и на ее основе дан новый вариант квазиклассического квантования многомерных классических гамильтоновых систем. Показана полезность канонических преобразований с произвольной валентностью.

6. Получены аналитические квазиклассические формулы для спектра квадрупольных поверхностных колебаний при помощи развитого метода квантования. Показано, что эти формулы очень хорошо воспроизводят точный квантовый спектр в области энергий, где классическое движение регулярное, а в области классического хаоса их предсказание резко ухудшается.

Т. Показано, что классический хаос отчетливо проявляется в статистических свойствах квантового спектра, которые идентичны статистическим свойствам собственных значений случайся. ной матрицы из гауссового ортогонального ансамбля^ В частности, функция распределения расстояний между соседними энергетическими уровнями 0 ^¿г (квадрупольные поверхностные колебания ядер) и С^- (взаимодействующие классические поля Янга-Миллса) инвариантных гамильтонианов имеет пуассоновский или вигнеровский виды в зависимости от типа - регулярного или хаотического- классического движения.

8. Обнаружено также, что статистические свойства спектра гамильтониана квадрупольных поверхностных колебаний претерпевают в полном соответствии с гипотезой об универсальном законе флуктуаций энергетических спектров перестройку в зависимости от характера классического движения при условиях, когда имеет место сложный переход И-С-И.

9. Изучены групповые свойства С ¿у и г гамильтонианов и показана решающая роль симметрии гамильтонианов на статистические свойства их энергетических спектров: эффект расталкивания соседних уровней наблюдается только для последовательности уровней, принадлежащей какому-нибудь одному из представлений группы исследуемого гамильтониана.

10. Показано, что статистические свойства волновых функций С ¿¿г и С^гг -инвариантных гамильтонианов тоже . коррелируют с типом классического движения. Получены резко отличающиеся функции распределения для регулярных и хаотических волновых функций, и это различие четко прослежено на сложном переходе Н-О-Н. с.'!-», '%

Л ^ > ' ' ' - г '

11. Установлено^ что энтропия - количественная мера степени распределенности волновой функции - тоже коррелирует с классическим режимом движения: в хаотической области энергий энтропия практически постоянна, а в регулярной области энтропия меньше по величине и немонотонна, что связано с высокой и зависящей от состояния степенью локализации волновой функции.

12. На примере двухпараметрического семейства гамильтонианов исследован процесс разрушения оболочечной структуры энергетического спектра, определяемой квантовыми числами интегрируемой части гамильтониана, по мере роста неинтегри-руемого возмущения. Обнаружена устройчивая корреляция между структурой классического фазового пространства и существованием оболочечной структуры. Показано, что причиной разрушения квантовых чисел - аналогов классических интегралов движения - являются квазипересечения энергетических уровней в области перехода регулярность-хаос.

13. Обнаружено новое квантовое проявление классического хаоса - возникновение множественных квазипересечений в энергетическом спектре двумерных гамильтоновых систем в области перехода от регулярного движения к хаотическому. Показано, что эти квазипересечения имеют место не в изолированных точках, а вдоль линий в пространстве параметров гамильтониана.

14. Предложен способ решения стационарного двумерного уравнения Шредингера с гамильтонианами, чья ППЭ имеет несколько локальных минимумов, методом пошжения размерноети непосредственно в координатном пространстве, который численно i • • * - V"' ^ более эффективный чем традиционный метод диагонализации. «-.■

В заключение выражаю искреннюю благодарность Болотину Ю.Л., Гончару В.Ю., Инопину Е.В., Тарасову В.Н. и Виницкому С.И., Марковскому Б.JL, Ростовцеву В.А. за плодотворное сотрудничество, а также Сороке В.А., Степановскому Ю.П. и Ковалеву О.В. за полезные обсуждения и ценные советы.

ПРМЛОЖЕНМЕ А. Явшй вид коэффициентов в> матричных элементах гамильтонианов (3.10) и (3.24).

Так как полиномиальные инварианты С^ и С^ симметричных гамильтонианов через операторы В и В (см. определение (3.14)) выражаются следующим образом

А2) у

АЗ) а векторы /№Б> (см. определение (2.58)) являются собственными для двумерного вырожденного осциллятора (2.56), то для вычисления матричных элементов гамильтонианов (3.10),(3.24) в базисе (3.13) достаточно вычислить результат действия операторов (А1) - (А2) на базисный вектор, определяемый, как известно, соотношением.(3.13)

Используя выражения (2.59), можно вычислить

В>Л > = Г <% (У О ^ ек (А5> J ввШУ-Т.Л^^1 ^ ив,

А7) где ^W^àf! \/vh+£Q-L)' r-Vs

КL) -tiVWoC^) \

KÚ = , y fa L ) -1 ttv+L -I - ¿f)(^OfA/-L \

Тогда, используя правила коммутации (3.29) и соотношения (А4)-(А7), легко получаем к £т.

ПРМОЖЕНИЕ Б. Базисные функции с варьируемой частотой.

Рассматриваемые нами гамильтонианы для простоты запишем в виде . где величины - однородные полиномы степени о" по переменным х,у , а гамильтониан Н в декартовой системе координат определяется как 2

I У Г Л .,2 )

Б2)

Я 1 ^ "

Матричные элементы гамильтониана (Б1) в базисе (3.13), приведенные в приложении А, . схематично здесь представим следующим образом

Вычислим теперь матричные элементы гамильтониана (Б1) в новом базисе (с варьируемой частотой 0)о ),определяемый собственными состояниями следующего гамильтониана

Тогда в новом базисе с учетом замены х и у -> имеем щ/н (Щ; ч> <«''<; Ъ<?«> [/ где

Л о л Я.,

ПРШОЖЕНМЕ В. Базисные функции вырожденного двумерного осциллятора.

Гамильтониан двумерного вырожденного (с равными частотами) осциллятора

В1) л 1) в терминах операторов (2.34) запишем в виде

В2) где в полярных г, у - переменных операторы иу имеют следующие выражения ' 2 1

Найдем собственные значения функции гамильтониана (В2) из уравнения

Предполагая, что получаем уравнение для радиальной функции которое замена Е=г1ехр(-гт/2)У приводит, к уравнению а после простой подстановки х=гг получаем уравнение Куммера /113/ решением которого является функция Куммера

МЫ!- — — + - (В7) гае ¿в/*-/.

Чтобы функция У(х) была конечной накладываем условие а=-п, п=0,1,2,3,., которое приводит к дискретным собственным значениям Я =2п+1н-1 или Л + 1, где М=2п + Ь, N=0,1,2,3,. (В8) а нормированная радиальная часть волновой функции будет равна

В9) срл$у ^^ирдт ¡га&ной и л

Тогда базисные функции гамильтониана (В2) в полярной системе координат имеют вид

ВЮ) а = Ъ^и * , отличаясь знаком Ь в ехр и другим выбором фазы от собственных функций вырожденного двумерного осциллятора (В2), введенных в работе /143/. Иногда полезно функцию Куммера выразить через полиномы Лаггера /113/

ММ- 11% О.

УнГ х/ (п-т)1(/*м)! я/ п М-0

Базисные функции, используемые нами при диагонализации и С^ -инвариантных гамильтонианов, определяются соотношением , М '-¿Ы М У < (Ш ) с норми[?о£оы&м ¡/слоЗ/ел?

ГП1 л \

Приведем явный вид нескольких первых базисных функций

41+

- 4 г2г 0

Уж *

Ц; йс

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чеканов, Николай Александрович, 1991 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников.

1. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. т.1,2. Избран, труды.-М.: Наука, 1971-1972.

2. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow/'/J.Atmos. SCI.-1963-V.20-P.130-141.

3. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика.-М.: Мир, 1984-528с.

4. Шустер Г. Детерминированный хаос. -М.:Мйр, 1988-240с.

5. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем.- М.: Наука, 1984-272С.

6. Дайсон Ф. Статистическая теория энергетических уровней сложных систем. -М.: МЛ, 1963-124с.

7. Porter С.Е. (ed). Statistical theories of spectra.- N.Y. : Academic Press, 1965.

8. Нейман.И., Вигнер E. О поведении собственных значений при адиабатических процессах// В книге Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. -М.: Наука-1970- с.153-160.

9. Brody Т.A. Plores J., French J.В., Mello P.A., Panday A. Random-matrix physics: spectrum and strength fluctia-tions/7 Rev. Mod. Phys.-1981 -v.53,n.3-p.385-479.

10. Mc Donald S.W., Kaufman A.N. Spectrum and eideniimction for a Hamiltonian with stochastic tra^ectaries// Phys.Rev.Lett.-1979-v.42-p.1189.

11. Casati Ga. , Valz-Gris P., Guarneri I. Lett.Nuova Cim.-

л nnn _ nn __ ,-чГТ•

ivou-y.¿8-p.^7y

12. Berry M.V. Quantising a classically ergodic systems: - Sinai's billiard and the KKR method// Ann.Phys.

-1981-y. 131-p. 163-216.

13. Bohigas 0. Giarmoni M.J., Schmit C. vCharacterization of a chaotic quantum spectra and universality of level fluctuations laws// Phys.Rey.Lett.-1984-y.52-p.1-4.

14. Seligman т.н., Verbaarschot J.J.M., Zirnnbauer M.R. Quantum specrta and transition from regular to chaotic classical motion// Phys.Rev.Lett.-1984 -У.53,n.3-p.215-21,7.

15. Delande D., Gay J.C. Quantum chaos and statistical properties of enerdy levels: numerical study of the hydrogen atom in a magnetic field// Phys.Rev.Le11.-1986-v.57,n. 16-p.2006-2009.

16. Wintgen D., Priedrich. H. Classical and quantum-mechenical transition between regularity and irrregular-ity in a Hamiltonian systems// Phys.Rev.-1987-v.A35,n.3 -p.1464-1466.

17. Meredith D.C., Koonin S.E, Zirnbauer M.R. Quantum chaos in a schematic shell model // Phys.Rev. -1988-v.A37,n.9-p.3499-3513.

18. Bolotin Yu.L., Gonchar V.Yu., Tarasov V.N., Ohekanov N.A. The transition regularity-chaos- regularity and statistical properties of energy spectra/'/ Phys.Lett.-1989-У.А135-p.29-32.

19. Swiateski W.J. Nuclear dissipation and the order to chaos transition //Nucl.Phys.-1989-v.A488-p.375-394.

20. Ericson T.,Mayer-Kuckuk T.Ann.Rev.Nucl.Science -1965-v.16-p.185.

21. Blumel R., Smilansky U. Classical irregular scattering and its quant im-mechenical implication// Phys.Pev.Le11.-1988-v.60,n.6-p.477.

22. Bohlgas 0., Weidenmuller H.A. Aspects in nuclear phys ics//Ann.Rey.Nuc1.Part.Sc i.-1988-У.38.-p.421 -453.

23. Umar A.C., Stayer M.R., Guasón R.Y.et al. TDHF calcu-

-4

lations of the reactions He+ С, С+ С(0), Не+ Ne// Phys.Rey.-1985-У.С32-р.172-183.

24.. Болотин Ю.Л., Кривошей И.В.Динамический хаос и индуцированное деление ядер//ЯФ-1985-т.42-с.53-56.

25. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю. Тарасов В.Н., ИнопинЕ.В., Чеканов H.A. и др. Стохастическая ядерная динамика// ФЭЧАЯ - 1989-т.20,вып.4-с.878-929.

26. Елютин П.В. Проблема квантового хаоса//УФН 1988-т.155-с.397-442.

27. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика.- М.-Л.: ОНТМ, 1937.

28. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике.- М.: Наука, 1966.

29. Голдстейн Г. Классическая механика.- М.: Наука, 1975-415с.

30. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- М.: Наука, 1974-431 с.

31. Айзенберг И., Грайнер В. Модели ядер.Коллективные и одночастичные явления. -М.: Атомиздат, !975-460с.

32. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985-379С.

33. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. -М.: Мир, 1987-480С.

34. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983-560с.

35. Chlritoy В.V. A universal instability of many diraesion-ai oscillator systems// Phys.Rep.-1979-у.52- p.265-379.

36. HenonM., Heiles 0. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments//Astron. J. -1964-v.69-p.73-79.

37. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. M.: Изд-во АН СССР, 1954-1956.

38. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона//ДАН -1954-т.98,4-с.527-530.

39. Арнольд В.И. Малые знаменатели 2, Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно- периодических движений при малом изменении функции Гамильтона//УМН -1963-т.18,5-с.13-40.

40. Мозер Ю., Лекции о гаммльтоновых системах. -М.: Мир, 1973.

41. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфмзмов//ДАН -1959-Т.124-с.754-755.

42. Песин Ю.Б. Характеристические показатели Ляпунова и периодические свойства гладких динамических систем//ДАН -1976-т.226-с.774-777.

43. Toda М. Instability of trajectories of lattice with cubic nonlinear!ty// Phys.Lett.-1974-v.48-p.335-336.

44 Krivoehey I.V. Dynamic chaos and instability in "barrier-

processes of chemical dynamics/./Sov*Sci»Rev.B„Chsm. 1988 Yllpl?'

45. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уранения. классической механики.- М.: Наука, 1984-272с.

46. Benettin G., Galdani L., Strelajn G. Kolmogorov entropy and numerical experiments/'/ Phys.Rev.-1976-v.A14-p.2338-2345.

47. Whiteman K.J. Invariants and stability in classical mechanics// Rep.Prog.Phys.-i977-v.40-p.1933-1069.

48. German Ch., Reinhardt W.P., 'Critical point analysis of instabilities in Hamiltonian systems: classical mechanics of stochastic intramolecular energy transfer//

J. Chem. Phys. -1979-v. 71, n. 4-p. 1819-1830.

49. Brumer P. Intramolecular energy transfer: theories for the onset of statistical behaviour// Adv. Rhys.-1981-

v.47-p.201-238.

50. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Кривошей И.В. Отрицательная кривизна потенциальной энергии и стохастизация в нелинейных задачах химической динамики// Хим. физ.

1 5_с зпо-я-i 7

I Л • W Ч^ • ww^r W I i •

51. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю. Кривошей И.В., Чеканов Н.А. и др. Стохастическая динамика двумерных автономных гамиль-тоновых систем с полиномиальными потенциалами// Препринт ДонФТИ-87-9(129)-Донецк: 1987-35C.

52. Gamov G. Zur quantentheorie des atomkernes// Zs.fur .Phys.-1928-v.51 -p.204.

53. Bao C.-G. Correlation and structure of a 3dsystem with the Ali-Bodmer force// Nucl.Phys.-1982- v.A373 -p.1-12.

54. Cheng-Guang B. Lim Т.К., Wei-QIn Ch. An analysis of the correlated densities in a system of four structureless

-particles// Nucl.Phys.-1985-v.A439 -p.456-476.

55. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю. Чеканов Н.А. О существовании хаоса в линейной 3^-системе// В материалах Междунар. сов. по теории малочастичн. и кварк-адрон. систем.-М.: Наука, 1987-С.25.

56. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Виницкий С.И., Чеканов Н.А. Динамический хаос в линейной 3 о<~ -системе// ЯФ-1989-т. 50, вш. 6 (12) -с. 1563-1570.

57. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю. Чеканов Н.А. Некоторые дина- у мические свойства линейной трехчастичной цепочки// Препринт ХФТИ 88-36, Харьков- 1988-5С. 58.Слэтер Дж. Электронная структура молекул. -М.:Мир, 1965-587с.

59. Гилмор Р. .Прикладная теория катастоф. -М.:Мир, 1984 -350с.

60. Lunsford G.H. Ford J. On the stability of periodic orbits for nonlinear oscillator systems In regions exhibiting stochastic//J.Math.Phys.-1972- v.13,n.5-p.700-705.

61. All S., Bodmer A.R. Phenomenologicalo(oC -potentials/7' Nucl. Phys. -1966 -v.80,n.1-p.99-112.

62. Постон Т., Стюарт H. Теория катастроф и ее приложение. -М.:Мир, 1980-606С.

63. Skyrme T.H.R. The effective nuclear potential// Nucl. Phys. -1959 -v.9,n.4-p.615-634.

64. Vautherin D., Brink D.M. Hartree-Pock- calculations with Skyrme's interaction// Phys.Rev.- 1972-v.C5,n.3-p.626-647.

65. Matsushita Т., Narita A. Chaotic behaviour of a classical coupled Morse system around the escape energy region// Chem.Phys.Lett.-1983-v.95,n.2-p. 129-134.

66. Jaffe Ch., Reinhardt W.P. Uniform semiclassical quantization of regular and chaotic classical dynamics on the Henon-Heiles surface// J. Chem.Phys.-1982-v.77, n.10-p.5192-5203.

67. Тода M. Теория нелинейных решеток. -M.:Мир, 1984-2б4с.

68. Henon M. Integrals of the Toda lattice// Phys.Rev. -1974-v.B9,n.4-p.1921-1923.

69. Plashka H. The Toda lattice 2. Existence of integrals// Phys.Rev.-1974-v.B9,n.4-p.1924-1925.

70. Айзенберг И., Грайнер В. Микроскопическая теория ядра. -М.: Атомиздат, 1976~488с.

71. Bertsch G.P., Tsai S.F. A study of nuclear response fuc t ion// Phys. Rep. -1975-v. 018, n. 3-p. 125-158.

72. Барц Б.И. »Болотин Ю.Л., Инопин Е.В., Гончар В.Ю. Метод Хартри-Фока в теории ядра.- Киев: Наукова думка, 1982-206с.

73. Чеканов Н.А. Микроскопическое описание изоскалярных и >/ изовекторных монопольных резонансов в ядрах на основе метода Хартри-Фока с эффективными силами, зависящими от скорости и плотности.// Автореферат дис.кандид.физ.-мат. наук - Киев: 1983, 13с.

75. Беллман Р. Введение в теорию матриц. -М.:Наука 1969 -367с.

76. Mosel U., Greiner W. Investigation of the collective potential-energy-surface// Zeitsch. Phys.- 1968-v.217-p.256-281.

77. Болотин Ю.Л., Виницкий С.И., Гончар В.Ю., Чеканов Н.А. и др. Проявление стохастичности в спектрах некоторых гамильтоновых систем с дискретной симметрией// ЯФ-1990-т.52,вып.2(8)-с.588-600.

78. Gneuss G., Mosel U., Greiner W. // Nucl.Phys.- 1971-v.171-p.449.

79. Бор 0., Моттельсон Б. Структура атомного ядра.- М.: Мир, 1977.

80. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Инопин Е.В.. Хаос и катастрофы в квадрупольных колебаниях ядер// ЯФ-1987-Т.45-с.350-356.

81. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Чеканов H.A. Стохастическая , динамика коллективных движений ядер в потенциалах с несколькими локальными минимумами// Прогр. и тезисы 38 сов. пр ядер, спектроскопии и и структ. атомн. ядра.-Л.:Наука, 1988-226с.

82. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Чеканов H.A.и др. Регулярные и хаотические аспекты коллективной динамики ядер// Препринт ХФТМ -М. :ЦНЗШатоминформ, 1987-29с.

83. Seiwert М., Ramayya A.V., Maruhn J. Collective potential energy surfaces of light mass Кг Isotopes// Phys.Rev.-1984-v.C29,n.1-p.284-290.

84. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Тарасов В.Н., Чеканов H.A. Стохастическая динамика квадрупольных колебаний изотопов криптона//Препринт ХФТИ 88-43,М.: ЦНИИатоминформ, 1988-12с.

85. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Тарасов В.Н., Чеканов H.A.

>

Нелинейные квадрупольные колебания изотопов криптона//' Прогр. и тезисы 38 сов. по ядерн. спектроскопии и и структ. атомн. ядра. - Л. :Наука, 1988-583с.

86. Хилл Д., Уиллер Дж. Строение ядра и интерпретация явлений деления// УФН-1954-т.12-с.85-142.

87. Соловьев В.Г. Теория сложных ядер. М.: Наука, 1971.

88. Mosel U.,Greiner W. Zeitsch.Phys.-1969-v.222- p.261.

89. Falrlie D.B, Siegwart D.K. Classical billiards in a rotating boundary//J.Phys.A:Math.Gen.-1988- v.21 ,n.5-p.1157-1165.

90. Siegwart D.K. Quantim billiards in a rotating boundary// J.Phys.A:Math.Gen.-1989- p.3537-3550.

91. Матинян С.Г. Динамический хаос неабелевых калибровочных полей//ФЭЧАЯ - 1985-T.16-C.522-550.

92. Lakshmanan М., Sahadevan R. Coupled quartic anharmonic oscillators, Painleve analysis, and integrability// Phys.Rev.-1985-v.A31,n.2-p.861-876.

93. Воробьев П.А., Заславский Г.М. Квантовый хаос и распределение уровней в модели двух связанных осцилляторов //ЖЭТФ -1987-т.92,выл.5-с.1564-1573.

94. Pullen R.A, Edmonds A.R. Comparision of classical and quantal spectra for a totally bound potential

I f ~r TJ1---- к _ if.--l_ r\______J J _ J i __ J n _ T jfTrr Л i

//tJ.rxi^a.Ainifciwi.u-eii.-iyoi-v. i-q-,xx. i£-p.Jj*H г—ч-оч-.

95. Haller E., Koppel H. Cederbaum L.C. Phys.Rev. -1981-v.52-p.1665.

96. Матинян С.Г., Саввиди Г.К., Тер-Арутюнян- Саввади Н.Г. Стохастичность классической механики Янга-МИллса и ее устранение механизмом Хиггса// Письма в ЖЭТФ 1981-т.34,вып.11-е.613-617.

97. Edmonds A.R. Application of the theory of Hill's equation to the study of the stability of periodic classical orbits// J.Phys.A:Math.Gen.-1989 -v.22-p.L673-76..

98. KIbler M., Neadi T. Hydrogen atom in a uniform electromagnetic field as an anharmonic oscillator// Lett.Nuovo Cim.-1984-v.39,n.14-p.319-323.

99. Степановский Ю.П. Атом водорода во внешнем поле как ангармонический осциллятор// УФЖ-1987-т.32,9-е.1316-1321.

100. Robnik M., Schrufer E. Hydrogen atom in a strong magnetic field: calculation of the energu levels by quantising the normal form of the regularised Kepler Hamiltonian//J.Phys.A:Math.Gen.-1985- v.18-p.1853-859.

101. Delos J.В., Knudson S.K.,Noid D.V. Trajectories of an atomic electron in a magnetic field// Phys.Rev.-1984-

v.A30-p.1208-1218.

102. SainI S., Farrelly D. Hydrogen atom in a strong magnetic field: semiclassical quantisation using classical adiabatic invariance// phys.Rev.-198T-v.A36-p.3556 -3574.

103. Брюно А.Д. Нормальная форма системы Гамильтона// УМН -1988-т.43,выл.1(259)-с.23-56.

104. Найфе А. Методы возмущений.- М.: Мир, 197б-45бс.

105. Биркгоф Д. Динамические системы.- М.: ОГИЗ, 1941-384с.

106. Gustavson F.G. On construction formal integral of a hamiltonian system near an equilibrium point// Astron. J.-1966-v.71,n.8-p.670-686.

107. Glorgilli A. A computer program for integrals of mo t ion// Oomp t.Phys.Com.-1979-v. 16-p.331-343.

108. Jaffe Ch., Relnharat W.P. Uniform semiclassical quantisation of regular and chaotic classical dynamics on the Henon-Heiles surface/7' J. Chem. Phys.-1982 -v.77,n.10-p.5191-5203.

109. Shirts R.B., Relnhardt W.P. Approximate constants of motion for classically chaotic vibrational dynamics: vague tori., semiclassical quantization, and classical Intramolecular energy flow//J.Chem.Phys.-1982 -v.77,n. 10-p.5204-5217.

110. All M.K. The quantum normal form and. its equivalents// J. Math.Phys.-1985-v.26,n.10-p.2565-2572.

111. Robnik M., Algebraic quantization of the Birkhoff-Gus-tavson normal form// J.Phys.A:Math.Gen. -1984-v.17-p.109-130.

112. Gonchar V.Yu., Ghekanov N.A., Markovski B.L. et al. у The program of analytical calculation of the normal Birkhoff-Gustavson form/7' Preprint JINR El 1-90-564, Dubna-1990-16p.

113. Hori G.I. Theory of general pertubations with unspeci-fyea canonical variables// J.Japan Astron.Soc.-1966-

v.18,n.4-p.287-296.

114. Depri A. Canonical transformations depending on a small parameter// Celest.Mech.-1969-v.1 ,n.1-p.12-30.

115. Kamel A.A. Expansion formular in canonical transformation depending on a small parameter// Celest.Mech.-1969-v. 1 ,n.2-p.190-199.

116. Mersman W.A. A new algorithm for the Lie transformation// Geles t. Mech. -1970-v. 3 ,n. 1 -p. 81 -89.

117. Маркев A.P., Сокольский А.Г. Некоторые вычислительные алгоритмы для нормализованных гамильтоновых систем/'/ Препринт ИПМ АНСССР N.31, Москва-1976.

118. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах .-М.: Наука,198б-255с.

119. Ghekanov N.A.., Gonchar V.Yu., Markovski B.L., Vinit- \/ sky S.I. Normal form and approximate integrales of two dimensional Hamiltonian// Preprint JINR E4-90-565, Dubna-1990-12p.

120. Hwa-Chung Lee. Invariants of Hamilton^systems ana applications to the theory of canonical transformations// Proc. Roy. Soc. Edinbourgh - 1947 -v.72, ser.A -P.237-247.

121. Чеканов H.A. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона// ЯФ-1989-т.50,выл,8-с.344-346.

122. Во Itamann L. Vorlesungen über die princlpien der mechanik. -Leipzig: J. A. Barth-1904.

123. Rayleigh L. On the presure of radiation// Phil. Mag.-1902-v.3-p.338-346.

124. Борн M. Лекции по атомной механике.-Харьков, Киев,

П11фт*.„тгттт icioa ПАП п.

WXJ.JLJU i 1 у 1 --vJ I t— I

125. Tep-xaap Д. Основы гамильтоновой механики.-M.: Наука, 1974-223C.

126. Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т.3-М.: Наука, 1966-с.407-41 б.

127. Brillouin L. J.Phys.Radium-1926-v.7-p.353-368.

128. Keller J.B. Corrected Bohr-Sommerfeld quantum conditions for nonseparable systems// Ann.Phys. -1958-v.4,n.2-p.180-188.

129. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущения. -М. : Наука, 1988-312с.

130. Eastes W., Marcus R.A. Semiclassical calculation of bound states of a multidimensional system// J. Chem.Phys.-1974-v.61 ,n.10 -p.4301-4306.

131. Noid D.V., Marcus R.A. Semiclassical calculation of bound states in a multidimensional system for nealy 1:1 degenerate systems// J. Chem. Phys.-1982-v. 77, n.1Q -p.5191-5203.

-255132. Noid D.V., Kossykowski M.L.»Marcus R.A. Semiclassical calculation of bound states in a multidimensional systems with fermi resonance// J. Ciiem.Phys.-1979-v.71, n.7 -p.2864-2873.

133. Sorble K.S., Handy N.C. Semiclassical eigenvalues for non-separable bound systems from classical trajectories: the degenerate case// Mol.Phys. -1976-v.32,n.5 -p.1327-1347.

134. Соловьев E.A. Адиабатические инварианты и проблема, квазиклассического квантования многомерных систем// ЖЭТФ -1978-т.75,вып.4-о.1261-1268.

135. Swirnin R.í., Délos J.Б. Semiclassical calculation of vibrltional energy levels for nonseparable systems using birkhoff-gustavson normal form// J. Chem.Phys.-1979-v.71 -p.1706-1716.

136. Miller W.H. Semiclassical treatment of multiple turning-point problems-phase shiffts and eigenvalues// J.Ghem.Phys.-1968-v.48,n.4 -p.1651-1653.

137. Uzer Т., Marcus R.A. Quantisation with operators appropriate to shapes of trajectories and classical pertubatIon theory//J.Ghem.Phys.-1984-v.81, n.11-p.5013—5023.

138. Чеканов Н.А. Квазиклассичеокий метод квантования \/ поверхностных квадруггольных колебаний ядра/УПрогр. и

. тезисы 39 сов. пр ядер, опектшскопик и структ. атомн. ядра.- Л,;Наука, 1988.

139. Wood ТУ.Я. ,Ali Ш.К. On the limitations of the Birkliof f-Giisfcavson normal form approach// J.Phys.A: Math.Gen.

J. M ^

— ' Vo7 — v., £0-p t 3o ! —3o3 .

14-0, "йвг Marcus R.A. Quantiaat 1ой- with operators

^nnj^vrrpiи to o.f t-rajeotories and classical

• ter t-' ¡.Ъаt'..<.'П ; '.-г' ^У' '''7, C-hem. Fliys. —' 9o4—v, 315 i i, ? ? — * •, oO" 3— "Л^з,

! 41 .. ""йль !Г„ Т~*х»кя гтщш и квантовая механика. — М.: лйуКА, 19S6—496о,

•42- ,v>DaK ТТ. П'0ИН7.ршы квантовой механики,— М. Наука,

143. TV люк -F.D., 3naffer W.TT. Generalised orbital angular momentum and the n-foid degenerate quantum- mechanical oscillator//«]". Mol. Spec tr. -1960-v. 4-p. 285-297.

144. Weisman Y., Jortner -J. Quantum manifestations of classical stochastisity.1. energetics of some nonlinear systems/VJ.Chem.Phys.-i982-v.77,n.3- p.1469-1485.

145. Percival I. J.Phys.-1973-v.b6- p.1229-232.

146. Berry M., Tabor M. Level clustering in the regular spectrum/'/'Proc.R.Soc.Lond. -1977-V.A356 - p.375-394.

147. Porter G.E., Rosenzweig N. Repulsion of energy levels In complex atomic spectra// Phys.Rev.-1960- v.120,n.5 -p.1698-1714.

148. Бор 0., Моттельсон Б. Структура атомного ядра. Т.1. Одночастичное движение.-!.: Мир, 1971-456.

149. Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике.Т.1.-М.: Мир, 1984-304С.

150. Блохинцев Д.й. Основы квантовой механики.-М.: Наука, 1983-664С.

151. Dyson P. J.Math.PIiys. (N.Y. )-1963- v.3 -р.140.

152. LIou H.I., CamardaH.S., Rahn F. . Application of statistical test for single-level populations to neutron -resonanse-spectroscopy data/ Phys.Rev.-1972-v.5,n.3 -p. 1002-1015.

153. Prochnov N.S., Newson H.W., Bilpuch H.C., Mitchell G.E. High-resolution proton scattering from Tl// Nucl.Phys.-1972-v.A194 -p.353-379.

154. Soyeur M., Zuker A.P. Structure of Si, some answer and their problems// Phys.Lett.-1972-v.B41,n.2 -p.135-142.

155. Camarda H.S., Gergopulos.P.D.Phys.Rev.Lett. -1983-v.50 -p.492-496.

156. fechukas Ph. Distribution of energy eigenvalues in the irregular spectra//Phys.Rev.Lett.-1983-v.51 -p.943-946.

157. Korsch H.J., Berry M. Physica -1981 -v.D3-p.627.

158. Ishikawa Т., Yukawa T. Transition from regular to irregular spectra in quantum billiards//Phys.Rev. Lett.-1985-v.54,n.15-p.1617-1619.

159. Berry M., Mondragon R.J. Neutrino billiards:time reversal symmetry-breaking without magnetic fields// Proc.R.Soc.Lond. -1987-v.A412 -p.53-74.

160. Berry M., Robnik M. J.Phys.-1986-v.A19 -p.649-668.

161. Bogomolny Ё.В. Smoothed wave functions of chaotic quantum systems//Physica -1988-v.D31 -p. 169-189.

162. Seligman т.н., Verbaarschot J.J.M., Ziranbauer M.R. Spectral fluctuation properties of Hamiltonian systems: the transition between order and chaos// J.Phys.-1985-v.A18-p.2751 -2770.

163. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., 'Тарасов В.Н., Чеканов Н.А. Статистические свойства энергетических спектров простейших электромагнитных систем/'/' ВАНТ, сер.ядерн.-физ.иссл. -1988-вып.1(9)-с.49-52.

164. Wlntgen D., Marxer М. Level statistics of quantised Cantori sys t em//'Fhys.Rev.-1988-v.60,n. 11 -p.971-974.

165. Scharf R. et al. Kramer's degeneracy and quartic level repulsion// Europhys.Lett.-1988-v.5, n. 5 -p.383-389.

166. Reichl J., Buttner H. Energy spectra for non- linear oscillators with broken symmetry// J.Phys.-1937 -v.A20-p. 632.1-6326.

167. French J.В., Kota V.K.B., Fanday A., Tomscvic S. Statistical properties of many-particle spectra Fluctuation and symmetries//Ann.FlTys.-1987 -v. 181-p. 198234.

168. Friedrich H., Wlntgen D. The hydrogen atom in a uniform magnetic field -an example of chaos//Phys.Rep. -1989 -v.183,n.2-p.37-79.

169. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Тарасов В.Н., Чеканов Н.А. Переход регулярность-хаос-регулярность и статистически© свойства энергетических спектров::В материалах международного семинара "Геометрические аспекты квантовой теории". Дубна, 2-4 сентября 1988, с. 341-352.

170. Веггу М.У. New Scientist-!987 -п. 11-p.44-47.

171. Nordholm К.S.J.,Rice S.A.J.//Ghem.Phys.-1974-v.61-p.203;p.768.

172. Berry M.Y. Regular and irregular semiclassical wave-function// J. Phys.-1977 -v.A10,n.12-p.2083-2091 .

173. McDonald S.W., Kaufman A.N. Wave chaos in the stadium: statistical properties of short-wave solution of the Helmholtz equation//Phys. Rev.-1988 -v.A37,n.8 -p.3067-3086.

174. Reichl J.Statistical analisis of regular and Irregular • wave functions//Europhys.Lett.-1988 -v.6,n.8 -p.669-675.

175. Bolotin Yu.L., Gonchar V.Yu., TarasovY.N., Chekanov N.A. The transition regularity-chaos-regularity and statistical properties of wave function//' Phys.Lett. -1990 -v.A144,n.8,9 -p.459-461.

176. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Тарасов В.Н., Чеканов Н.А. и др. Квантовые проявления классической стохастичности// Препринт ОМНИ Р4-90-143,Дубна- 1990-28C.

177. Williams R.D., Koonin S.E. Semiclassical quantization of the shell model// Nucl.Phys.-1982- v.A391,n.1-p.72-92.

178. Ersin Y. Phys. Rev.-1988-v.A38-p.1027.

179. Yonezawa P. Numerical study of electron localization for site-diagonal and off-diagonal disorder//J.Non-Crist. Solids-1980-v.35,36-p.29-40.

180. Glass L.,Hunter P. There is a theory of heart// Physica-1990-v.D43,n.f-p.1-16.

181. Гепперт-Майер M., йенсен Й.Г.Д. Элементарная теория ядерных оболочек.-М.: ИЛ, 1958.

182. Нильсон С. Связанные состояния индивидуальных нуклонов в сильно деформированных ядрах/ В сб."Деформация атомных ядер".-М.: ИЛ, 1959.

183. Strutinsky V.M. Shells in deformed nuclei//Nucl. Phys.-1968-v.A122-p.1-33.

184. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Тарасов BJH., Чеканов Н.А. Разрушение оболочечной структуры в процессе перехода

* регулярность-хаос// ЯФ-1990-т.52, вып.3(9)-с.669-678.

185. Hose G., Taylor H.S. Quantum Kolmogorov- Arnold-Moser-like theorem: fundamentals of localization in quantum theory//Phys.Rev.Lett.-1983-v.51-p.947.

186. Teller R. // J. Chem.Phys.-1937-Y.41-p.109.

187. Herzberg G., Lonquet-Higgins H.C. Intersection of rotential energy surfaces in polyatomic molecules// Discus.Faraday Soc.-1963-v.35-p.77-82.

188. Lonquet-Higgins H.C. The interaction of potential energy surfaces in polyatomic molecules//Proc.R.Soc. Lond.-1975-v.A344-p. 147-156.

189. Mead C.A. The "noncrossing" rule for elektronic potential energy surface: the role of time reversal invariance//J. Chem.Phys.-1979-v.70-p.2276-2283.

190. Mead C.A. .Truhlar J. On the determination of the Born-Oppenheimer nuclear motion wave functions including complications due to conical Intersections and Identical nuclei// Chem.Phys.-1979-v.70-

p.2284-2296.

191. Mead C.A. The molecular Aharonov-Bohm effect in bound states//J. Chem.Phys.-1980-v.49-p.23-32.

192. Mead C.A. Electronic spin-orbit interaction and the molecular Aharonov-Bohm effect//J. Chem.Phys.-1980-v.49-p.33-38.

193. Chasman R.R., King P. Diabolic points in deformed space/'/Phys. Le11. -1990-v. B237,n. 3,4 -p. 313-31 б.

194. Shanley P.E. Diabolic points and their relation to level crossing/'/'Phys.Lett.-1990-v.A150,n.2 -p.55-58.

195. Hund P. Zur Deutung der Molekul-spectren.1. Zeit. Phys.-1927-V.40 -p.742-764.

196. Berry M.V., Wilkinson M. Diabolic points in the spectra of triangles// Proc.R.Soc.Lond.-1984-v.A392-p. 15-43.

197. Berry M.V. Quantal phase factors accompanying adiabat-ic changes//Proc^R.Soc.Lond.-1984-v.A392 -p.45-57.

198. Born m., Pock V. Zeit.Phys.-1928-v.51 -p.165.

199. Рытов C.M. О переходе от волновой механики к геометрической оптике// ДАН СССР -1938-Т.28-С.263-267.

200. ВладимирскийВ.В. О вращении плоскости поляризации в искривленном световом луче//ДАНСССР-1941-т.31-с.222.

201. Виницкий С.И., и др. Топологические фазы в квантовой механике и поляризационной оптике// УФН - 1990-Т.160, вып.б-с.1-49.

202. Bolotin Yu.L., Chekanov N.A., Gonchar V.Yu., et al. >/ Quantum spectra of non-integrable classical systems In transition to chaos region// Preprint JINR e4-90-566, Dubna -1990 -16p.

203. Соловьев E.A. Неадиабатические переходы в атомных столкновениях//УФН- 1989-т.157,вып.3-е.437-476.

204. Davis н.р., Peehukas p. J. Chem. Phys.-v.64-p.3196.

205. Korsch H.J. On the nodal behaviour of eigenfunctions// Phys.Le11.-1983-v.Á97,n.3-p.77-80.

206. Ramaswamy P., Swaminathan S. Fractal eigenfunctions in classically nonintegrable Hamiltonlan systems//Europhys. Lett.-1987-v.4,n.2-p.127-131.

207. Alhassid Y.,LevIne R.D. Transition-strength fluctuations and the onset of chaotic motion//Phys.Rev. Let t.-1986-v.57,n.23-p.2879-2882.

208. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970.

209. Уилкинсон Дж. Райнш Г.Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. -М.: Машиностроение, 1976.

210. Wilkinson М. Tunnelling between tori in phase space //Physica- 1986-v.D21-p.341 -354.

211. Wilkinson M. , Hannay J.H. Multidimensional tunneling between excited states// Physica- 1987-v.D27- p.201-212.

212. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. -М.:• Наука, 1978-832с.

213. Справочник по специальным функциям/ Под редакцией Абрамовича М. и Стигана И.- М.: Наука, 1979-832с.

214. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-Харьков: Гос. научн.-техн. изд-во Украины,1939.