Вакуумные эффекты калибровочной теории в модельных конфигурациях внешних полей в пространствах размерности (2+1) и (3+1) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Разумовский, Алексей Сергеевич

• Разумовский, Алексей Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Разумовский, Алексей Сергеевич

Введение

0.1 Вакуумные эффекты в нечетномерной квантовой теории поля. 5 0.2 Электромагнитные поля в вакууме КХД.

1 Эффекты интерференции электромагнитрых и цветовых полей в вакууме КХД

1.1 Стохастическая вакуумная модель.

1.2 Однопетлевой эффективный потенциал SU(3) х U{ 1) модели калибровочных полей.

1.3 Интерференция электромагнитных и хромомагнитных нолей при нулевой температуре.

1.4 Интерференция при конечной температуре.

2 Калибровочная инвариантность топологически массивной (2+1)-мерной КТП при конечной температуре

2.1 Калибровочная инвариантность и конечная температура.

2.2 Действие нарушающие четность в SU(2) х U( 1) модели КЭД(2+1) при конечной температуре.

2.3 Калибровочная инвариантность нарушающего четность действия.

3 Генерация топологического члена Черна-Саймонса в рамках расширенной модели КЭД

3.1 Расширение Стандартной Модели.

3.2 Свободное спинорное поле в присутствии аксиально-векторного фонового поля.

3.3 Вклад фермионов в антисимметричную часть поляризационного оператора фотона при конечной температуре.

3.4 Вклад хромомагнитного и аксиально-векторного полей в эффективный потенциал модели.

3.5 Радиационные поправки к коэффециенту члена Черна-Саймонса, обусловленные наличием слабого хромомагнитного поля.

А Эффективный потенциал кварков на фоне ковариантно постоянных калибровочных полей

В Уравнение на спектр фермионов в заданной конфигурации хромомагнитного и аксиального-векторного полей

С Результаты вычисления антисимметричной части ПО фотона

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вакуумные эффекты калибровочной теории в модельных конфигурациях внешних полей в пространствах размерности (2+1) и (3+1)»

0.1 Вакуумные эффекты в нечетномерной квантовой теории поля.

Исследование низкоразмерных моделей квантовой теории поля было стимулировано целым рядом открытий, сделанных в конце 70-х и начале 80-х годов. В 1979 г. появилась публикация [1|, посвященная исследованию линейных полимеров. Оказалось, что непрерывная модель полимерных цепей, в главных своих чертах, совпадает с уже известными одномерными моделями квантовой теории поля. Это стало одним из первых указаний на то, что низкоразмерные модели могут быть весьма полезными в изучении квази-одномерных и квази-двумерных сред. Более того, начиная с открытия целочисленного эффекта Холла, сделанного фон Клицингом с сотрудниками в 1980 г. [2], подобные модели в (24- 1)-мерном пространстве приобрели особенную популярность. В последнее время была выяснена тесная связь между предсказаниями низкоразмерной квантовой теории поля и целым рядом необычных эффектов, обнаруженных экспериментально в физике конденсированного состояния вещества.

Нечетномерные калибровочные теории привлекают к себе большое внимание с тех пор, как в 1981 году Р. Джекивом и С. Темплтоном |3| и Дж. Шонфельдом [4] было показано, что в трехмерном пространстве, за счет добавления к действию материи и калибровочных полей (или получения вследствие фермионных флуктуаций) топологического члена Черна-Саймонса (ЧС) Scs, можно построить калибровочно- инвариантную теорию с массивным калибровочным полем.

Топологически массивные (2 + 1)-мерные теории обладают многими необычными свойствами. Так, конечная масса калибровочного поля приводит к экранировке как электрического, так и магнитного полей [5]-[8], становится возможным притяжение одноименных нарядов [7, 9], требование калибровочной инвариантности относительно топологически нетривиальных калибровочных преобразований приводит к квантованию в неабелевых теориях параметра играющего роль массы калибровочного поля [5|.

Интересные особенности (2 + ■ 1)-мерных теорий связаны со статистикой. Известны примеры (3 + 1) мерных систем с анионной (дробной) статистикой — промежуточной между фермионной и бозон ной статистиками [10]. Однако, в (2 + 1)-мерном пространстве анионная статистика реализуется единственным образом [11, 12].

Все вышесказанное говорит о том, что (2 4- 1)-мерньге теории являются не только абстрактными физическими моделями, но и имеют практические приложения в физике твердого тела, примерами таковых могут служить высокотемпературная сверхпроводимость или квантовый эффект Холла, который объясняется в рамках двумерной анионной модели [13|-[15j. Гипотеза о том, что анионный газ может обладать сверхпроводящими свойствами была выдвинута в работе [16], после того, как были открыты квазипланарные структуры в высокотемпературных сверхпроводниках |17| и подтверждена расчетами, проведенными в [17, 18]. После этого идея анионного механизма высокотемпературной сверхпроводимости получила широкое распространение [19]-[21]. В этой связи стало актуальным изучение радиационных эффектов в (2 + 1)-мерной КЭД при различных внешних условиях. В частности, поляризационный оператор и дебаенекий радиус экранирования заряда в (2 + 1)-мерной КЭД при конечной температуре и нулевом химическом потенциале исследовались в |22], а при нулевой температуре и ненулевом химическом потенциале — в работе |23|.

Наряду с эффектами конечной температуры и ненулевого химического потенциала, представляет интерес изучение эффектов внешнего поля в различных моделях квантовой теории ноля в (2 + 1) измерениях [24]-]29], а также в случае фермионов, взаимодействующих с гравитационным полем (см. напр. [30]).

Это связано, в частности, с тем, что многие физические эффекты и явления могут иметь место только в присутствии внешнего поля. Например, квантовый эффект Холла объясняется именно благодаря особенностям энергетического спектра двумерного электронного газа в сильном магнитном поле, а включение внешнего магнитного поля создает сверхпроводимость в двумерной системе. Кроме того, как показали недавние исследования радиационных эффектов в 3-мерных теориях |28|-[32], ЧС топологический член играет важную роль как регуляризатор ИК расходимостей даже в тех случаях, когда присутствует внешнее поле, которое само по себе, казалось бы, могло служить регуляризатором. В частности, были вычислены однопетлевой массовый оператор электрона и поляризационный оператор фотона в 3-мерной КЭД во внешнем магнитном поле при конечной температуре и плотности [28]-[31], а также массовый оператор кварка в 3-мерной КХД во внешнем хромомагнитном поле [32], причем было показано, что указанные величины зависят от внешнего поля неаналитически. С учетом члена ЧС были также получены точные постоянные неабелевы решения для нолей Янга-Миллса в (2 f 1)-мерном пространстве-времени и найдены однопетлевые вакуумные поправки к эффективному лагранжиану этих полей за счет флуктуации калибровочных полей и фермионных полей ]33]. Стоит отметить и тот немаловажный факт, что проблема вакуумных эффектов в теориях с пониженной пространственной размерностью приобретает особенное значение и в связи с развитием КТП неабелевых полей при конечной температуре и во внешних полях, где происходит эффективное сокращение размерности пространства в пределе высоких температур и сильных нолей (см., например, [34] и указанные там ссылки).

Отдельный интерес представляет собой и изучение такого фундаментального вопроса как инвариантность (2 + 1)-мерной (не-)абелевой КТП поля приконечной температуре относительно нетривиальных калибровочных преобразований. В ряде последних работ было показано, что при отличной от нуля температуре, топологическая масса становится аналитической функцией последней и пертурбативный подход не позволяет, в отличие от безтемпературного случая, полностью проанализировать вопрос инвариантности [60, 67, 68J. В рамках же иепертурбативного подхода исследование этого вопроса проводилось в [62] - [65] и позволило заключить, что вышеупомянутая инвариантность такой теории может быть сохранена, однако ценой появления аномального нарушающего четность слагаемого.

Следует упомянуть и об проблеме динамической генерации члена ЧС в различных нолевых моделях (см. например, [35, 36]), а также, о связанной с этим дискуссии о роли конечной плотности материи в этом эффекте в (2+-1)-мерных калибровочных теориях (см. [37, 38]), показывающую, что проблема топологических эффектов в калибровочных теориях еще далека от своего решения.

Особенный интерес представляют также различные варианты модификации (3+1)-мерной электродинамики. В частности, так называемая миимально расширенная модель КЭД [74, 77]. В то время как она сохраняет свойства калибровочной инвариантности и перенормируемости обычной КЭД, наличие в ней СРТ-нечетных членов взаимодействия (по одному в фотонном и фермионном секторе теории, соответственно) приводит к предсказанию принципиально нового эффекта - проявления анизотропии при распространении электромагнитного излучения на космологические расстояния [75, 76, 89].

0.2 Электромагнитные поля в вакууме КХД.

Понятие физического вакуума в последние годы приобрело особое содержание в связи с развитием квантовой теории калибровочных полей, описывающей фундаментальные взаимодействия элементарных частиц с использованием различных их моделей и, в частности, в рамках так называемой стандартной модели. Фундаментальные свойства материи, такие как, например, массы элементарных частиц и, в конечном счете, наблюдаемый спектр частиц, связаны с вакуумным состоянием и его симметриями, возможно, нарушенными, и определяемыми самими фундаментальными взаимодействиями. В связи с этим, представляет отдельный интерес всестороннее изучение структуры физического вакуума, а также вакуумных эффектов в рамках различных моделей неабелевой калибровочной теории. К одному из таких относится так называемый эффект поляризации вакуума, когда при наличии внешнего поля вакуум теории поляризуется, т.е. ведет себя как некая материальная среда, в которой возникает отличная от нуля поляризация вследствие разделения зарядов, присутствующих в среде. В вакууме калибровочной теории носителями таких зарядов являются виртуальные частицы.

Одним из актуальных на сегодняшний день вопросов является исследование совместного влияния КХД и КЭД на вакуумные состояния и его виртуальные возбуждения: совершенно очевидно, что кварки играют активную роль в формировании вакуумной структуры и будучи носителями как "цветового", так и "электрического" заряда, они являются восприимчивыми ко внешним электромагнитным полям [39, 40]. Последнее означает, что наличие нетривиальной вакуумной структуры КХД может влиять, непосредственно, на высокие порядки обычных квантово-электродинамических процессов и приводить к дополнительному вкладу к эффекту вакуумной поляризации.

При оценке таких вкладов следует учитывать тот факт, что КХД-КЭД эффекты ограничены хорошо известными точными результатами КЭД.

К примеру, эффект вакуумной поляризации (VP) в КЭД, возникающий на масштабах порядка комптоновской длины волны электрона, даст поправку к обычному 1 /г закону Кулона на величину примерно 1СГ3 (в относительных единицах) [41]. Область действия этого эффекта, такова, что VP-потенциал может быть обнаружен только в окрестности атомных ядер. VP-эффект не нарушает принципа суперпозиции электромагнитных полей и, таким образом, в данном случае, нет возможности для проявления каких-либо эффективно новых взаимодействий типа "аномального", фотон-фотнного рассеяния. Однако следует заметить, что обычньге эффекты поляризации вакуума в КЭД, которые в настоящее время детально исследованы экспериментально и находятся в достаточно хорошем согласии с теорией, являются предсказуемыми именно благодаря присущим ей свойствам калибровочной инвариантности, связанной с законом сохранения заряда, и перенормируемости. В тоже время, эти эффекты симметрии отсутствуют в нелинейных членах высших порядков, генерирующих "аномалии". Примером эффекта, который в значительной степени зависит от структуры вакуума, является вышеупомянутое фотон-фотонное рассеяние - процесс, который полностью исключен в рамках классического электромагнетизма и, в этом смысле, является новой ключевой особенностью КЭД [42].

При этом важным теоретическим вопросом является определение тех физических условий, которые позволили бы максимально детально изучить такого рода эффективное взаимодействие. В частности, интересной возможностью является использование макроскопических максвеловских электромагнитных полей (квази-постоянных магнитных полей и полей лазерного излучения), которые даже на масштабах порядка атомных размеров являются существенно однородными. В этой ситуации, перенормировка поглощает все эффекты, связанные с вакуумной поляризацией, оставляя эффекты взаимодействия более высокого порядка упомянутые выше, в частности, эффект фотон-фотонного рассеяния. В последнее время, исследование вакуумной структуры КХД-КЭД с учетом воздействия сильных магнитных полей, проводится с использованием прецизионной техники оптических лазеров [43].

Диссертация состоит из введения, трех глав, трех приложений, заключения и списка используемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Разумовский, Алексей Сергеевич

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Исследован вклад в поляризацию вакуума кварков, взаимодействующих с интерферирующими электромагнитным и неабелевым калибровочными полями в SU(3) х U( 1) модели КТП как при нулевой, так и при конечной температуре. В однопетлевом приближении получено выражение для эффективного потенциала, описывающего интерференцию электромагнитного и вакуумного хромомагнитного полей.

2. Показано, что при нулевой температуре первое нетривиальное слагаемое, отвечающее интерференционному вкладу имеет порядок 0(а2) и может быть сравнимым по величине с аналогичными электродинамическими вкладами того же порядка по а.

3. Проведен анализ влияния конечной температуры на вклад интерферирующих полей в вакуумную энергию модели. Получена высокотемпературная асимптотика эффективного потенциала для достаточно высоких по отношению к вакуумным полям значений температур Т2 дВ. При этом показано, что вклад интерферирующих полей, в целом, резко убывает по мере роста температуры.

4. В рамках однопетлевого приближения получено выражение для нарушающего четность эффективного действия массивных ферм ионов в пространстве размерности (2 f 1), находящихся на фоне одновременно как абелевых, так и неабелевых калибровочных полей при конечной температуре. Полученное действие, будучи точным аналитическим выражением по полям обоих типов и по температуре, воспроизводит известные результаты как в пределе нулевой температуры, с одной стороны, так и пертуртурбативный результат при его разложении по соответствующим константам связи, с другой.

5. Показано, что в абелевом случае, это выражение является именно той частью полного эффективного действия, неинвариантность которой относительно гомотопически нетривиальных калибровочных преобразований полностью компенсируется неинвариантностью аномального слагаемого, возникающего в нечетномерных теориях как следствие требования калибровочной инвариантности фермионной меры в функциональном интеграле. В неабелевом же случае имеющиеся ограничения выбранной калибровки фоновых полей позволили констатировать инвариантность конечнотемпературного результата лишь относительно малых калибровочных преобразований.

6. В рамках минимально расширенной модели КЭД исследована генерация члена Черна-Саймонса за счет радиационных поправок, возникающих в фермионном секторе теории. В однопетлевом приближении вычислен вклад спинорных фермионов в антисимметричную часть поляризационного оператора фотона, обусловленный взаимо;действием последних с постоянным аксиально-векторным полем при конечной температуре. Получено точное аналитическое выражение для коэффициента в индуцированном члене Черна-Саймонса как функции температуры. Показано, что генерация такого слагаемого имеет место при любых конечных значениях температуры. При этом, в области предел г,но высоких температур этот эффект оказывается исчезающе малым.

7. В однопетлевом приближении построен эффективный потенциал модели, в которой фермионы взаимодействуют как с аксиально-векторным так и с внешним калибровочным полем. Проведено исследование влияния этого поля, моделируемого сферически симметричным постоянным однородным хромомагнитным полем, на процесс генерации члена Черна-Саймонса. Вычислена первая нетривиальная поправка к индуцированному топологическому вектору Черна-Саймонса, обусловленная наличием слабого (по отношению к массе фермиона) внешнего хромомагнитного поля. Показано, что при определенных условиях вклады аксиально-векторного и хромомагнитного полей в генерируемое слагаемое могут быть сравнимы по абсолютной величине.

Работа была выполнена на кафедре теоретической физики Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Я глубоко признателен моему научному руководителю профессору Жуковскому Б.Ч. за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы, а также профессору Борисову А.В. за многочисленные консультации и обсуждение результатов, полученных в диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Разумовский, Алексей Сергеевич, 2004 год

1. Jackiw R. and Templeton S. How super-renormalizable interactions cure their infrared divergences// Phys. Rev. D - 1981. - 23. -- p. 2291 2304.

2. Schonfeld N. A mass term for three-dimensional gauge fields// Nucl. Phys. В - 1981. - 185. - p. 157.

3. Deser S., Jackiw R., and Templeton S. Topology Massive Gauge Theories// Ann. Phys. - 1982. - 140. - p. 372 - 411.

4. Girotti и.о. et al. Attractive forces between electrons in (2t-l)- dimensional QED/ / Phys. Rev. Lett. - 1992. - 69. - p. 2623 - 2G26.

5. Wilczek F. Fractional statistics and anyon supc^rconductivity// Singapore: World Scientific. - 1990.

6. Prangle R.E. and Girvin S.M. Quantum Hall effect// N. Y.: Springt^r- Verlag. - 1987.

7. Ishikavwa K.Low Dimensional Field Theories and Condensed Matter Physics / / Prog. Theor. Phys. Suppl. - 1992. - 107. - p. 167.

8. Lauyhlin R.B. Superconducting Ground State of Noninteracting Particles Obeying Fractional Statistics// Phys. Rev. Lett. - 1988. - 60. - p. 2677 - 2680.

9. Chen Y.H., Wilczek F., and Witten E. On anyon superconductivity// Int. J. Mod. Phys. В - 1988. - 3. - p. 1001.

10. Fetter A.L., Hanna C.B., and Lauglin R.B. Random-phase approximation in the fractional-statistics gas / / Phys. Rev. В - 1989. - 39. - p. 9679 - 9681.

11. Скалозуб В.В. и Тищенко А.Ю. Поляризационный оператор и трехфотонная вершина в КЭД2+1 в плотной среде// Ж Э Т Ф - 1993. - 104. - с. 3921 - 3927.

12. Вшивцев A.С, Клим.енко К.Г. и Магницкий Б.В. Осцилляции Ландау в (2 + 1)-мерной квантовой электродинамике// Ж Э Т Ф - 1995. -107. - с. 307 - 322.

13. Klimenko K.G. Dynamic breaking of U(N) and appearance of Chern- Simons term in four fermion theories// Theor.Math.Phys - 1992. - 92. -p. 810 - 813.

14. Sissakian A.N., Shevchenko 0. Yu., and SoUjanik S.B. Chern-Sinions term at finite density// Phys. Lett. В - 1997. - 403. - p. 75 - 79.

15. Rafehki J. and Elze H.-Th. Electromagnetic fields in the QCD vacuum// e-Print Archive: hep-ph/9806389.

16. Elze H.-Th., Muller В., and Rafehki J. Interfering QCD/QED vacuum polarization// e-Print Archive: hep-ph/9811372.

17. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М. и Пгшшевский Л.П. Квантовая электродинамика// М.:Наука - 1989. - 723 с.

18. Heisenberg W. and Euler H.Z. Consequences of Dirac's theory of positrons// Z. Phys. - 1936. - 98. - p. 714 - 732.

19. Cantatore G., Delia Valle P., Milloti E., Dabrowski L., and Rizzo C. Proposed measurement of the vacuum birefringence induced by a magnetic field on high energy photons// Phys. Lett. В - 1991. - 265. p. 418 -424.

20. Славное A.A. и Фаддеев Л.Д. Введение в квантоЕ5ую теориго калибровочных полей// М.:Наука - 1988. - 267 с.

21. Schwinger J. On Gauge Invariance and Vacuum Polarization// Phys. Rev. - 1951. - 82. - p. 664 - 679.

22. Dosch H.G. Gluon condensate and effective linear potential// Phys. Lett. В - 1987. - 190. - p. 177. 47| Simonov Yu.A. Vacuum background fields in QCD as a source of (confinement// Nucl. Phys. В - 1988. - 307. -- p. 512.

23. Симонов Ю.А. Конфайнмент// УФН - 1996. - 166. - с. 337 303.

24. Aitchison I., Fosco C, and Zuk J. Temperature dependem;e of the induced Chern-Simons term in 2+1 dimensions// Phys. Rev. D - 1993. 48. - p. 5895 - 5904.

25. Kao Y.C. and Yang M.F. Radiatively induced Chern-Simons terms at finite temperature// Phys. Rev. D - 1993. - 47. - p. 730 - 733.

26. Brandt F., Das A., Frenkel J., and Rao K. Two-loop corrections to the topological mass term in thermal QED3/ / Phys. Lett. В - 2000. - 492. -p. 393 - 397.

27. Dunne C, Lee K., and Lu Ch. Finite Temperature Chern-Simons Coefficient// Phys. Rev. Lett. - 1997. - 78. - p. 3434 - 3437.

28. Das A. and Dunne G. Finite temperature perturbation theory and large gauge invariance// Phys. Rev. D - 1998. - 57. - p. 5023 - 5031.

29. Deser S., Griguolo L., and Seminara D. Effective QED actions: Representations, gauge invariance, anomalies, and mass expansions// Phys. Rev. D - 1998. - 57. - p. 7444 - 7459.

30. Deser S., Griguolo L. , and Seminara D. Defenition of Chern-Simons Term in Thermal QEDzlI e-Print Archive: hep-th/9712132.

31. Fujikawa K. Path-Integral Measure for Gauge-Invariant Fermion Theories// Phys. R,ev. Lett. - 1979. - 42. - p. 1195 - 1198.

32. Fujikawa K. Path integral for gauge theories with fermions / / Phys. Rev, D - 1980. - 21. - p. 2848 - 2858.

33. Niemi A. J. and Semenoff G. W. Axial-Anomaly-Induced Fermion Frac- tionization and Effective Gauge-Theory Actions in Odd-Dimensional Space-Times// Phys. Rev. Lett. - 1983. - 51 - p. 2077 - 2080.

34. Hagiwara K. et al. Review of Particle Physics// Phys.Re^v. D - 2002. - m. - p. 010001.

35. Боголюбов H.H. и Ширков Д.В. Введение в теорию квантованньгх полей// М.:Наука - 1976. - 479 с.

36. Carroll S.M., Field СВ., and Jackiw R. Limits on a Lorentz- and parity- violating modification of electrodymamics// Phys.Rev. D - 1990. -- 41. -p. 1231 - 1240.

37. Nodland B. and Ralston J. P. Indication of Anisotropy in Electromagnetic Propagation over Cosmological Distances// Phys. Rev. Lett. - 1997. 78. - p. 3043 - 3046.

38. Nodland B. and Ralston J. P. Nodland and Ralston Reply: / / Ph3'"s. R,ev. 1.ett. - 1997. - 79. - p. 1958.

39. Colladay D. and Kostelecky V.A. CPT violation and the standard mode l / / Phys.Rev. D - 1997. - 55. - p. 6760 - 6774.

40. Colladay D. and Kostelecky V.A. Lorentz-Violating Extention of the Standart Model// Phys. Rev. D - 1998. - 58. - p. 116002.

41. Coleman S.R. and Glashow S.L. High-energy tests of Lorentz invari- ance//Phys. Rev. D - 1999. - 59. - p. 116008.

42. Kostelecky V.A. and Lehnert R. Stability, Causality, and Lorentz and CPT Violation//Phys. Rev. D - 2001. - 63. - p. 065008.

43. Coleman S.R. and Weinberg E. Radiative Corrections as the Origin of Spontaneous Symmetry Breaking//Phys. Rev. D - 1973. - 7. - p. 1888 1910.

44. Andrianov A.A. and Soldati R. Lorentz symmetry breaking in abelian vectir field models with wess-znmino interaction / /Phys . Rev. D - 1995. - 5L - p. 5961 - 5964.

45. Andrianov A.A. and Soldati R. Patterns of Lorentz symmetry breaking in QED by CPT-odd interaction//Phys. Lett. В - 1998. - 435. - p. 449 -452 .

46. Andrianov A.A., Soldati R. and Sorbo L. Dynamical Lorentz synmie- try breaking from a (3+l)-dinientional axion-Wess-Zumino model//Phys. RQV. D - 1999. - 59. - p. 025002.

47. Shapiro I.L. Physical aspects of the space-time torsion//Phys. R.ept. - 2001. - 357. - p. 113.

48. Volovik G.E. On induced CPT-odd Chern-Simons terms in 3 I 1 eff(4-tive action// JETP Lett. - 1999. - 70. - p. 1 - 4.

49. Volovik G.E. and Vilenkin A. Macroscopic parity violating effects and 3He-A//Phys. Rev. D. - 2000. - 62. - p. 025014.

50. Goldhaber M. and Trimble K.//J. Astrophys. Astr. - 1996. - 17. - p. 17.

51. Carroll S. and Field G. Is there Evidence for Cosmic Anizotropy in the Polarization of Distant Radio Sources?//Phys. Rev. Lett, - 1997. - 79. p. 2394 - 2397.

52. Jackiw R. and Kostelecky V.A. Radiatively induced Lorentz and CPT violation in electrodynamics//Phys. Rev. Lett. - 1999. - 82. - p. 3572.

53. Jackiw R. When radiative corrections are finite but undetermined// e- Print Archive: hep-th/9903044.

54. Perez- Viktoria M. Exact Calculation of the Radiatively Induced Lorentz and CPT Violation in QED//Phys. Rev. Lett. - 1999. -- 83. p. 2518 -2521.

55. Perez-Viktoria M.//J. High Energy Phys. - 2001. - 04. - p. 032.

56. Chung J.M. and Oh P. Lorentz and CPT violating Chern-Simons term in the derivative expansion of QED//Phys. Rev. D. - 1999. 60. - p. 067702.

57. Kapusta J. I. Finite-Temperature Field Theory// NY.: Cambridge University Press - 1989. - p. 219.

58. Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский Б. Ч. и Борисов А.Б. Калибровочные поля// М.:МГУ - 1986.

59. Жуковский Б.Ч., Худяков Б.Б. и Разумовский А.С. Эффективный лагранжиан для описания интер()еренции магнитного и хромомагнитного полей// Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астр. - 2001. - 1. - с. 13 - 15.

60. Жуковский Б.Ч. и Разумювский А.С. Эффективный ноч'енциал SU{3) X С/(1) модели калибровочных полей при конечной температуре// Вестн. Моск. ун-та. Фи:?. Астр. - 2002. - 4. - с. 19 - 25.

61. Жуковский Б.Ч., Разумовский А.С, Жуковский К.Б. и Федотов A.M. Действие, нарушающее четность, в SU{2) х U{\) калибровочной модели при конечной температуре// Вестн. Моск. ун-та. Фи:з. Астр. - 2003. - 2. - с. 27 - 30.

62. Жуковский Б.Ч. и Разумовский А.С. Генерация Лорспщ и СРТ - неинвариантных радиационных поправок в рамках раснгаренной модели КЭД/ / Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астр. - 2004. - 2. - с. 1 -5.

63. Ebert D., Zhukovsky V.Ch., and Razimiovsky A.S. Chern-Simons like term generation in an extended model of QED under external conditions// Phys. Rev. D. (in press); e-Print Archive: hep-th/0401241.