Теория и расчет конических оболочек сложной геометрической структуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Козлов, Владимир Анатольевич

• Козлов, Владимир Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Козлов, Владимир Анатольевич

Введение.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ТЕОРИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. ОБЩИЙ ВИД РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Глава 1. Теория тонких гладких оболочек как пространственного двумерного континуума в косоугольной системе координат.

1.1. Вводные замечания.

1.2. Три квадратичные формы поверхности. Деривационные формулы.

1.3. Уравнения равновесия. Граничные условия.

1.4. Геометрические соотношения.

1.5. Уравнения совместности деформаций.

Полная статико-геометрическая аналогия.

1.6. Физические соотношения.

Глава 2. Методы решения.

2.1. Вариационный метод приведения двумерных задач к одномерным.

2.2. Вариационный подход к решению краевых задач по определению НДС оболочек, свободный от выбора депланационных координатных функций.

2.3. Метод конечных разностей повышенной точности.

2.4. Доказательство идентичности методов криволинейных сеток и конечных разностей.

2.5. Метод векторных разностей как обобщение метода криволинейных сеток.

Глава 3. Математическая модель подкреплённой конической оболочки сложной геометрии.

3.1. Геометрия срединной поверхности оболочки.

3.2. Геометрическая модель и гипотезы.

3.3. Соотношения деформаций и упругости.

3.4. Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.5. Кинематические и статические граничные условия.

3.6. О выборе координатных функций.

3.7. Смешанная система разрешающих дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных.

3.8. Дифференциальные уравнения колебаний.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ КОНСТРУКТИВНО ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Глава 4. Прямые цилиндрические оболочки произвольного очертания

4.1. Основные соотношения теории прямых оболочек.

4.2. НДС цилиндрической оболочки, загруженной сосредоточенными и распределёнными нагрузками.

4.3. Кручение жёстко защемлённой оболочки с симметричным контуром.

4.4. Стеснённый изгиб оболочки.

4.5. Свободные колебания прямых цилиндрических оболочек.

4.6. Точное решение краевой задачи подходом, свободным от выбора депланационных координатных функций.

Глава 5. Скошенные цилиндрические оболочки с произвольным контуром сечения.

5.1. Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений.

5.2. НДС призматической оболочки, нагруженной сосредоточенными силовыми факторами.

5.3. Свободные колебания скошенных цилиндрических оболочек.

5.4. Решение краевой задачи с помощью уточнённого вариационного подхода.

Глава 6. Прямые и скошенные многозамкнутые цилиндрические оболочки некругового очертания переменной жёсткости.

6.1. Разрешающие уравнения и граничные условия для прямой оболочки.

6.2. Стеснённое кручение многосвязной цилиндрической оболочки некругового очертания.

6.3. Стеснённый изгиб многозамкнутой оболочки переменной толщины.

6.4. Призматическая оболочка с толщиной, меняющейся по степенному закону вдоль образующей.

6.5. Оболочка, заделанная по скошенному краю.

Глава 7. Скошенные слабоконические оболочки произвольного очертания.

7.1. Разрешающая система дифференциальных уравнений.

7.2. Приближённое аналитическое решение для оболочки с симметричным контуром сечения.

7.3. Численное решение краевой задачи в уточнённой постановке.

7.4. Прямая слабоконическая оболочка.

7.5. Свободные колебания слабоконических скошенных оболочек.

7.6. Вынужденные колебания скошенных конических оболочек.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория и расчет конических оболочек сложной геометрической структуры»

Оболочки, обладая высокой несущей способностью, минимальной материалоёмкостью, экономичностью, возможностью перекрытия больших пролетов и архитектурной выразительностью, нашли широкое применение в общем и химическом машиностроении, авиационной и ракетно-космической технике, промышленном и гражданском строительстве.

Современные тонкостенные конструкции, как правило, очерчены сложными, в общем случае кусочно-гладкими поверхностями. Поэтому построение их расчётных моделей тесно связано с исследованием оболочек сложной геометрии. Степень их разработки в отличие от достаточно исследованных оболочек простейших канонических форм значительно отстаёт от запросов инженерной практики. Этим, видимо, объясняется тот факт, что при создании новых типов геометрически сложных пространственных конструкций значительное место ещё занимают экспериментальные исследования и дорогостоящие натурные испытания. Ясно, что создание прикладных методов расчёта таких оболочек является одной из наиболее актуальных проблем, с решением которой связаны экономия материалов в промышленном производстве, повышение эксплуатационной надёжности и снижение себестоимости инженерных сооружений. Решению этой проблемы в рамках принятого объекта исследования и посвящена данная работа.

К настоящему времени общая теория оболочек разработана достаточно полно и представлена в известных монографиях [6, 60, 62, 63, 64, 69, 114, 122, 124, 130, 158, 162, 173] и др. Кроме того, в современной научной литературе имеются многочисленные статьи, материалы съездов, конференций, симпозиумов, посвящённые их теоретическим и экспериментальным исследованиям; обширная библиография по вопросам прочности, устойчивости и колебаний содержится в опубликованных обзорах [71, 117, 118]. Из методов математической физики, эффективно используемых в решениях задач, следует отметить вариационные, асимптотические, комплексного преобразования, конформного отображения и др., из численных и экспериментальных — МКЭ, МКР, тензометрические, фотоупругости и топографической интерферометрии. Но в достаточно полной степени разработана проблема расчёта оболочек лишь простейших канонических форм: цилиндрических, конических, тороидальных и сферических. Однако современные оболочечные конструкции часто представляют собой комбинацию простых форм или очерчены сложными, в общем случае кусочно-гладкими поверхностями. Кроме того, наряду со сложным очертанием срединной поверхности, такие оболочки могут иметь переменную жёсткость, скошенность, подкрепления и другие особенности.

Применение геометрически сложных оболочек диктуется функциональным назначением изделия, конструктивными и аэродинамическими требованиями, необходимостью размещения оболочки в регламентированном объёме, приданием сооружению архитектурной выразительности, снижением металлоёмкости и т.д. Корпуса космических, надводных и подводных кораблей, фюзеляжи и крылья самолётов, покрытия спортивных и зрелищных сооружений представляют собой оболочки сложных форм самой различной геометрии. Исследование этих объектов связано со значительными математическими и техническими трудностями, обусловленными высоким порядком дифференциальных уравнений в двумерной области. Причём коэффициенты этих уравнений являются функциями координат сложного вида. Отмеченные трудности ограничивают возможности аналитического исследования некоторых типов оболочек и требуют привлечения численных методов, ориентированных на применение ЭВМ.

Остановимся на публикациях, имеющих непосредственное отношение к разрабатываемой теме. Начнём с работ, касающихся методов исследования. Наряду с известными [60, 69, 114, 124] работами, в которых рассматриваются методы асимптотического интегрирования уравнений в частных производных, отметим [183], в которой содержится обзор работ, связанных с применением этих методов к решению алгебраических уравнений и задач теории пластин и оболочек. Здесь же предложен подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Обсуждается решение одномерных сингулярных проблем применительно к задачам устойчивости и колебаниям тонких оболочек. Анализируется применение асимптотических методов к уравнениям в частных производных. Рассматриваются вопросы нелинейного деформирования тонких оболочек.

В монографии [129] рассмотрены асимптотические методы регулярных и сингулярных возмущений, осреднения, ВБК, возмущения формы границы и размера области. Обсуждаются методы возмущения вида граничных условий, составных уравнений, аппроксимаций Паде и синтеза напряжённого состояния. Рассматриваются вопросы, связанные с применением асимптотических методов к расчёту конструкций типа пластин и оболочек.

Наряду с асимптотическими методами широкое применение получил метод комплексного преобразования уравнений [124, 125], позволивший решить многие трудные задачи для классических оболочек, в том числе и конических оболочек переменной толщины [81].

Решения задач с помощью одинарных и двойных тригонометрических рядов представлены в [188, 194, 195], а в [10, 12, 187] - методом малого параметра и асимптотического интегрирования. В упрощённой постановке, когда подкреплённая оболочка интерпретируется как балка, тонкостенный стержень или анизотропная пластина, получены решения в [12, 13, 56, 57]. Причём в [12] безмоментная коническая оболочка предполагается скошенной типа кессона стреловидного крыла.

Многие статические и динамические задачи теории оболочек решены хорошо известным методом Канторовича-Власова [62], позволяющего привести систему дифференциальных уравнений в частных производных к системе уравнений в обыкновенных производных. Дальнейшее своё развитие этот метод получил в работах [127, 130] применительно к расчёту подкреплённых оболочек скошенного типа. В постановке [130] крыло, фюзеляж и оперение летательного аппарата трактуется как подкреплённая коническая оболочка произвольного очертания. Рассмотрены также подкреплённые конические оболочки кругового очертания.

Из экспериментальных методов отметим методы фотоупругости [4, 76, 116] и голографической интерферометрии [98, 193]. Причём последний, как наиболее точный, позволяет решать задачи для оболочек сложных форм и проверить корректность тех или иных применяемых гипотез, в том числе и общепринятых гипотез Кирхгофа-Лява.

Обратимся к работам, касающимся расчёта оболочек. В монографии [147] выполнен расчёт геликоидальных, торсовых и псевдосферических оболочек, а также оболочек в форме поверхностей Монжа, циклических поверхностей и оболочек в форме отсеков циклид Дюпена. В зависимости от типа оболочки основные соотношения построены как в линиях главных кривизн, так и в криволинейных косоугольных координатах. Монография [73] посвящена решению задач устойчивости составных оболочек вращения, НДС и колебаниям трубчатых оболочек, обсуждаются также оболочки минимальных поверхностей. Основные соотношения теории тонких оболочек представлены в тензорной форме.

В работах [67, 68] для расчёта оболочек применён метод конечных элементов, а в статьях [102 — 106] развит сплайновый вариант МКЭ. В [163] при помощи функций комплексного переменного решена задача о кручении полого стержня с поперечным сечением типа профиля Чаплыгина-Жуковского, а в [176] построено приближённое решение для цилиндрической оболочки, защемлённой по косому срезу. При расчёте краевого эффекта использованы известные [62] уравнения В.З. Власова. К [176] примыкает и статья [83], где решается задача о стеснённом кручении тонкостенного стержня с однозамкнутым профилем произвольного очертания. Причём стержень трактуется как цилиндрическая оболочка, жёстко заделанная в концевых сечениях.

Из динамических задач отметим работы по собственным колебаниям оболочек классических форм [9, 14, 16, 20, 55, 70, 120, 157, 166, 190, 192, 196, 197], где решения строятся на основе рассмотренных выше методов: МКЭ [165], асимптотического интегрирования [55, 120] и т.д. Голографические методы исследования приведены в [98, 174] и других работах этих же авторов.

В предлагаемой работе объектом исследования является коническая оболочка с прямолинейной образующей, то есть нулевой гауссовой кривизны. Имея скошенность, одно- или многосвязный опорный контур произвольного очертания, переменную толщину и площадь поперечного сечения продольного подкрепляющего набора, то есть, сложную геометрическую структуру, такая оболочка представляет собой универсальную расчётную модель различных типов тонкостенных конструкций, например, стреловидного крыла летательного аппарата.

В силу наличия переменной толщины собственно оболочки система разрешающих дифференциальных уравнений содержит переменные коэффициенты. Однако для прямых оболочек эту систему удалось проинтегрировать точно в рамках принятых гипотез, для скошенных — приближённо с применением аппарата специальных функций.

Из различных типов граничных условий в решениях задач отдано предпочтение жёсткому защемлению оболочки по косому срезу, не совпадающему с линиями главных кривизн, при свободном другом. Силовые воздействия предполагаются произвольными, в том числе и сосредоточенные в свободном концевом сечении.

Численные расчёты, выполненные на ЭВМ, представлены графически. Достоверность результатов исследования обеспечивается корректной в рамках принятых гипотез математической постановкой задач, сравнительным анализом аналитических и численных решений, предельным переходом к численным результатам для оболочек постоянной толщины, известным из литературы, а также сравнением с экспериментальными исследованиями других авторов [7].

Предлагаемая работа состоит из двух частей.

В первой части выполнено обобщение известной теории [146] тонких оболочек на случай неортогональной криволинейной системы координат, позволяющее учесть постановку граничных условий по линиям, не совпадающим с главными кривизнами оболочки. Дан анализ выбора метода исследования рассматриваемых оболочек. Доказана идентичность метода криволинейных сеток [73] и метода конечных разностей, дано обобщение метода криволинейных сеток. В развитие работы [130] в общем виде построена математическая модель подкреплённой конической оболочки сложной геометрической структуры.

Вторая часть работы посвящена решениям статических и динамических краевых задач на основе [130]. Предложен новый подход, свободный от произвола выбора депланационных координатных функций и опирающийся на интегрирование депланационного дифференциального уравнения в частных производных. Рассмотрены призматические, цилиндрические, конические оболочки с произвольным контуром поперечного сечения, переменной жёсткости, защемлённые по линиям главных кривизн и скошенному краю. Предложенная математическая модель является достаточно универсальной и может быть использована в расчётах прямых и стреловидных крыльев летательных аппаратов при рассмотренных граничных условиях, а также и иных объектов сложной геометрии при постановке других граничных условий. Достоверность полученных решений проверена предельным переходом к решениям для оболочек постоянной толщины [130] и численным решением двухточечных краевых задач.

Обратимся к содержанию отдельных глав диссертации.

В первой главе в отличие от традиционного подхода сведения трёхмерной задачи к двумерной, статические и геометрические зависимости теории тонких гладких оболочек получены с позиции взаимодействия погонных сил и моментов в пространственно-искривленном двумерном континууме, что является определённым обобщением известной теории Э.Рейсснера [146] на случай неортогональной криволинейной системы координат. При этом учёт нормальных к срединной поверхности моментных составляющих позволяет получить полную статико-геометрическую аналогию в смысле соответствия между собой статических и геометрических величин и уравнений с конкретным физическим истолкованием некоторых формально введённых в классической теории величин.

Во второй главе предложено уточнение известного вариационного подхода [130], позволяющего получить разрешающую систему в виде шести обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих смещениям контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, и одного дифференциального уравнения в частных производных, отвечающего за депланационные смещения того же контура. Доказана идентичность методов криволинейных сеток и конечных разностей, а также дано обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей).

В третьей главе на основе [130] построена математическая модель подкреплённой конической оболочки произвольного очертания. На основе вариационного принципа Лагранжа получены естественные граничные условия и разрешающая система обыкновенных уравнений, а в уточнённой постановке смешанная система в обыкновенных и частных производных. Приведена общая система разрешающих дифференциальных уравнений, описывающих неустановившееся движение конической оболочки произвольного очертания при воздействии аэродинамических сил и заданной внешней нагрузки.

Четвёртая глава, относящаяся ко второй части работы, посвящена расчёту прямых цилиндрических оболочек некругового очертания, переменной жёсткости как в продольном, так и в поперечном направлениях, жёстко защемлённых по одному торцевому сечению при свободном другом. Рассмотрены стеснённое кручение и изгиб оболочек с симметричным контуром, а также их свободные колебания. Получены таблицы собственных частот колебаний прямых оболочек при различных геометрических параметрах конструкции.

Пятая глава содержит решения краевых задач для скошенных цилиндрических оболочек с произвольным контуром сечения. Особенностью их расчёта является то обстоятельство, что разрешающая система уравнений не распадается отдельно на две подсистемы, одна из которых описывала бы изгиб, вторая - кручение. Получены собственные частоты и формы свободных колебаний призматических оболочек скошенного типа. При этом численные решения задач выполнены методом конечных разностей повышенной точности и методом двойной QR-итерации над матрицей Хессенберга, приведённой к верхней почти треугольной форме методом Хаусхолдера.

В шестой главе рассматриваются краевые задачи по определению НДС прямых и скошенных многозамкнутых оболочек переменной жёсткости с произвольным контуром поперечного сечения. Решения получены в специальных функциях. Приведены графические зависимости распределения напряжений в тонкостенных конструкциях при стеснённом кручении распределённым и сосредоточенным на свободном торце моментами, а также при изгибе распределённой нагрузкой и сосредоточенной силой. Исследовано влияние на НДС оболочки различных законов изменения её толщины вдоль образующей.

Седьмая глава содержит решения краевых задач по определению НДС скошенных и прямых конических оболочек переменной жёсткости произвольного очертания. Приближённое аналитическое решение для оболочки с симметричным контуром выражается через гипергеометрические функции, численное решение в уточнённой постановке получено методом ортогональной прогонки краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Приводится сравнение результатов, полученных по приближённому аналитическому решению и численно. Показано, что в скошенных конических оболочках как постоянной, так и переменной толщины, краевой эффект имеет место по обоим концам; в плоскости заделки — вследствие стеснения депланации и в концевом сечении — вследствие коничности. Причём величина нормальных напряжений в поперечных сечениях оболочки в значительной мере зависит от её безразмерной толщины. Рассмотрены свободные колебания некруговой конической оболочки переменной толщины, заделанной по скошенному краю, определены собственные частоты и получены формы собственных колебаний. Решены задачи вынужденных колебаний рассматриваемых тонкостенных конструкций. Результаты численных расчётов, выполненных по универсальной единой программе, табулированы и представлены графически.

В заключении даётся анализ теоретических исследований и рекомендации по их использовании в НИИ, конструкторских бюро и проектных организациях.

На защиту выносятся следующие положения: ■S обобщённый вариант теории тонких упругих гладких оболочек [146] на случай пространственной неортогональной криволинейной системы координат;

S получение на основе предложенного варианта теории полной статико-геометрической аналогии в смысле соответствия между собой статических и геометрических величин и уравнений с конкретным физическим истолкованием некоторых формально введённых в классической теории величин;

S доказательство идентичности методов криволинейных сеток и конечных разностей;

S обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей);

•S новый подход к решению краевых задач статики и динамики геометрически сложных оболочек, свободный от произвола выбора депланационных координатных функций вариационного метода [130]; S аналитические решения с применением аппарата специальных функций задач по определению НДС прямых и скошенных, одно- и многосвязных, цилиндрических и конических оболочек переменной жёсткости при воздействии на них сосредоточенных и распределённых силовых факторов; S разработка и реализация на ЭВМ универсального алгоритма расчёта НДС, свободных и вынужденных колебаний оболочек сложной геометрии; •S качественный и количественный анализ работы оболочек переменной и постоянной толщины, численная оценка приближённых аналитических решений;

S рекомендации по использовании результатов исследований в проектных организациях и конструкторских бюро. Апробация работы. Основное содержание работы доложено на XIV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Тбилиси, 1987), международных конференциях по теории оболочек и пластин: XVI (Нижний Новгород, 1994), XVIII (Саратов, 1997), XX (Нижний Новгород, 2002); международных конференциях «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 1998 и 2000); международных научно-практических конференциях «Высокие технологии в экологии» (Воронеж, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002 и 2003); всероссийской XXXI научно-технической конференции «Актуальные проблемы современного строительства» (Пенза, 2001); второй всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении» (Воронеж, 2001); школах-семинарах «Современные проблемы механики и математической физики» (Воронеж, 1994) и «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002).

Работа доложена на кафедре теоретической механики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета (Воронеж, 2002), на расширенном заседании кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета (Саратов, 2002), на городском семинаре по механике деформируемого твёрдого тела при кафедре механики Казанского государственного университета (Казань, 2003).

Публикации. Основное содержание диссертации представлено в 40 научных статьях [23 - 48, 84 - 97]. В совместно опубликованных статьях лично автору принадлежит выбор методов исследования, получение аналитических и численных решений, создание алгоритма и анализ полученных результатов.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ТЕОРИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. ОБЩИЙ ВИД РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Козлов, Владимир Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В части первой работы предложен вариант теории тонких гладких оболочек, в котором статические и геометрические зависимости получены с позиции взаимодействия погонных сил и моментов в пространственно-искривленном двумерном континууме. Построение выполнено для общего случая в пространственной косоугольной системе координат, что повлекло за собой применение аппарата тензорного исчисления. При этом основные соотношения теории оболочек обладают значительной общностью и имеют компактный вид. С помощью некоторых преобразований и упрощений эти соотношения сводятся к уравнениям классической теории тонких упругих оболочек. Удерживая, в отличие от классических теорий, в векторах погонных моментов составляющие, направленные по нормали к срединной поверхности, а в векторах изгибной деформации соответствующие им компоненты кручения, получена полная статико-геометрическая аналогия теории тонких оболочек. То есть каждой статической величине соответствует геометрическая и каждому однородному уравнению равновесия - уравнение совместности деформаций. В известных теориях оболочек компонентам поперечной сдвиговой деформации по нормали к срединной поверхности не ставятся в соответствие какие-либо компоненты статических величин, а поперечным сдвиговым силам соответствуют некоторые формально вводимые величины. В предлагаемом варианте эти величины также присутствуют, но имея конкретный физический смысл, - это нормальные к срединной поверхности компоненты вектора изгибной деформации. Соотношения упругости помимо традиционной скалярной формы представлены также и векторными равенствами.

Предложено уточнение известного [130] вариационного подхода, позволяющего получить разрешающую систему шести уравнений, отвечающих смещениям контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, в обыкновенных производных и одного дифференциального уравнения, отвечающего за депланационные смещения того же контура, в частных производных. И хотя подход [130] позволяет получать систему лишь обыкновенных дифференциальных уравнений, но здесь точность решения задач всецело зависит от удачного выбора координатных вектор-функций, определяющих депланационные смещения контура поперечного сечения оболочки. Уточнённый вариационный подход, в котором депланационные смещения не представляются в виде разложений по координатным функциям, свободен от этого недостатка. Кроме того, в последнем случае система обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих смещениям контура как твёрдого тела, интегрируется независимо от депланационного уравнения в частных производных. При применении подхода [130] в общем случае получаем связанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, причём перемещения, отвечающие смещениям контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, выражаются через депланационные смещения этого контура.

Доказано, что схемы дискретизации векторных дифференциальных соотношений по методу криволинейных сеток (МКС) [73] и скалярных уравнений теории оболочек методом конечных разностей (МКР) идентичны между собой, то есть МКС представляет собой тот же МКР применительно к векторной форме уравнений теории оболочек. Дано обобщение метода криволинейных сеток на случай приближения ковариантной производной в векторной форме конечно-разностным выражением r-го порядка точности (метод векторных разностей).

Построена математическая модель конструктивно ортотропной конической оболочки, имеющей такие особенности, как подкрепляющий поперечный и продольный силовой набор с переменной площадью сечения стрингеров и лонжеронов по размаху, переменную толщину собственно оболочки, скошенность, многосвязность и некруговой контур поперечного сечения. Рассматриваемые оболочечные конструкции достаточно широко применяются в промышленности и особенно в авиационной и ракетно-космической технике. Известным подходом получена разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющая в отличие от [130] переменные коэффициенты в силу изменения толщины по размаху. В уточнённой постановке получена смешанная разрешающая система шести обыкновенных дифференциальных уравнений и одного уравнения в частных производных.

Результаты исследований части первой могут быть использованы научными работниками, занимающимися как чисто теоретическими исследованиями, так и проблемой непосредственного расчёта прочности, устойчивости и колебаний геометрически сложных тонкостенных конструкций.

2. Часть вторая работы посвящена решениям краевых задач статики и динамики конструктивно ортотропных оболочек сложной геометрии.

Исследовано НДС консольно защемлённых цилиндрических и призматических оболочек с некруговым контуром поперечного сечения, переменной толщины как в продольном, так и в поперечном направлениях, загруженных сосредоточенными и распределёнными нагрузками. Рассмотрены случаи стеснённого кручения и изгиба прямых оболочек, нагруженных сосредоточенными в концевом сечении соответствующими силовыми факторами. Результаты расчётов представлены графически. При решении задачи по определению собственных частот и форм свободных колебаний некруговой цилиндрической оболочки с переменной толщиной вдоль образующей получены таблицы собственных частот при различных геометрических параметрах конструкции. В предельном переходе к оболочкам постоянной толщины значения циклических частот совпадают при соответствующих геометрических и физических характеристиках с аналогичными величинами из [127], что свидетельствует о достоверности полученных результатов.

Решены краевые задачи для скошенных цилиндрических оболочек с произвольным контуром поперечного сечения. В отличие от прямых оболочек, где система разрешающих уравнений распадается на две подсистемы, описывающих изгиб и кручение соответственно, в скошенных оболочках система является связанной, так как физически в них изгиб всегда сопровождается кручением. Поэтому аналитическое решение удалось получить лишь в случае, когда учитывалась только депланация контура поперечного сечения от кручения, как преобладающая над депланацией от изгиба. В задачах динамики получены собственные частоты и формы свободных колебаний призматических оболочек скошенного типа.

Исследовано НДС прямых и скошенных многозамкнутых цилиндрических оболочек некругового очертания переменной жёсткости. Решены задача стеснённого кручения распределённым по длине оболочки и сосредоточенным в концевом сечении моментами, а также задача стеснённого изгиба распределённой нагрузкой и сосредоточенной силой. Распределение напряжений при различных случаях нагружения представлено графически. Исследовано влияние на НДС прямой многосвязной оболочки изменение её толщины вдоль образующей по линейному и кубическому законам. При этом закон изменения толщины сказывается существенно на распределение нормальных напряжений лишь при сравнительно большом перепаде толщины у заделки и на свободном конце оболочки.

Решены краевые задачи по определению НДС скошенных конических оболочек переменной жёсткости произвольного очертания. Приводится сравнение результатов для оболочки с симметричным контуром поперечного сечения, полученных по приближённому аналитическому решению с учётом лишь депланации кручения этого контура и численно в уточнённой постановке с учётом ещё и депланации от изгиба. Отмечено, что в скошенных конических оболочках переменной толщины краевой эффект имеет место по обоим концевым сечениям, обусловленный жёстким защемлением на одном конце, стеснением депланации вследствие коничности и переменной толщины - на другом. Рассмотрены свободные колебания некруговой конической оболочки переменной толщины, заделанной по скошенному краю, собственные частоты табулированы, собственные формы колебаний представлены графически. Исследовано также влияние на НДС рассматриваемых оболочек вынужденных колебаний при различных значениях частоты возмущающего фактора гармонической возмущающей силой, а также гармоническим возмущающим моментом.

Аналитические решения краевых задач выражаются через специальные функции: для прямых и скошенных цилиндрических оболочек переменной толщины через модифицированные функции Бесселя и Струве, для скошенных конических - через гипергеометрические функции. Эти решения принципиально отличны от решений для оболочек постоянной толщины, где уравнения интегрируются в элементарных функциях. Необходимость в аналитическом решении данных краевых задач продиктована тем обстоятельством, что имеющиеся алгоритмы, реализующие комплексы программ на ЭВМ по расчёту НДС конструкций типа крыла не в полной мере отражают их истинное напряжённо-деформированное состояние и, как правило, дают заниженные значения напряжений в жёсткой заделке. Этого недостатка лишён применённый в работе аналитический подход, позволивший исследовать как быстро изменяющиеся поля напряжений в области заделки, так и в оболочке в целом. Кроме того, в практике линейный закон изменения толщины в ряде случаев не является оптимальным. В целях экономии металла, снижения массы изделия и повышения его эксплуатационных качеств, целесообразно назначать иной, например, степенной закон изменения толщины.

В задачах по определению собственных частот и форм свободных колебаний прямых и скошенных оболочек переменной толщины решений в замкнутой аналитической форме для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами получить не удалось. Поэтому при их интегрировании был применён метод конечных разностей. Причём с целью получения более точных значений вместо перехода к мелкому шагу использовался МКР повышенной точности, при котором в конечных выражениях отбрасываются члены порядка шага разбиения в четвёртой степени. В результате задача по определению собственных частот и форм колебаний сводится к отысканию собственных значений и векторов блочнодиагональной матрицы. При решении этой задачи на ЭВМ применён метод двойной QR-итерации над матрицей, приведённой к верхней почти треугольной форме (матрица Хессенберга) методом Хаусхолдера [167].

Численные решения статических задач выполнены методом ортогональной прогонки двухточечной краевой задачи.

Установлено, что НДС оболочек всех рассмотренных типов переменной и постоянной толщины различно и с увеличением коэффициента перепада толщины в заделке и на свободном конце это различие возрастает. Поэтому в расчётах реальных конструкций, например, линейчатого крыла, у которого толщина обшивки может одновременно меняться как по размаху, так и по хорде, фактическое напряжённое состояние должно определяться по предлагаемой в работе методике.

Достоверность результатов исследования обеспечивается корректной в рамках принятых гипотез математической постановкой задач, сравнительным анализом аналитических и численных решений, предельным переходом к численным результатам для оболочек постоянной толщины, известным из литературы, а также сравнением с экспериментальными исследованиями других авторов.

Результаты исследований могут быть использованы научными работниками НИИ и КБ при разработке новых тонкостенных конструкций строительной индустрии, общего и специального машиностроения, авиационной и ракетно-космической техники. В последнем случае предлагаемые расчётные модели крыла, корпуса или оперения, соответствующие их конструктивно-силовым схемам, могут обеспечить оптимальные лётные, весовые и аэродинамические качества летательного аппарата. В промышленности это связано со снижением расхода энергоресурсов, в частности, топлива, конструкционных металлов и повышением эксплуатационной надёжности изделия.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Козлов, Владимир Анатольевич, 2003 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. — М.: Наука, 1978. — 288 с.

2. Агеносов А.Г., Саченков А.В. Свободные колебания и устойчивость конических оболочек произвольного поперечного сечения / Исследования по теории пластин и оболочек. — Казань, 1966. — Вып.6. — С.342 — 355.

3. Аксентян К.Б. Энергетический метод расчета оболочек усложненной формы. — Ростов: Рост. гос. ун-т, 1976. —319 с.

4. Александров А .Я., Ахметзянов М.Х. Поляризационно-оптические методы механики деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1973. — 576 с.

5. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолли Дж. Теория сплайнов и её приложения. -М.: Мир, 1972. 316 с.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек . — М.: Наука, 1974.-446 с.

7. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. — М.: Стройиздат, 1968. — 240 с.

8. Асланян А.Г., Кузина З.Н., Лидский В.Б., Туловский В.Н. Распределение собственных частот тонкой упругой оболочки произвольного очертания // Прикл. матем. и мех. — 1973, т.37. С.604 — 617.

9. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. -М.: Наука, 1974. 156 с.

10. Ахунд-Заде М.Ю. Приближенные методы решения краевых задач теории произвольных цилиндрических оболочек / Тр. 6-ой Всес. конф. по теории оболочек и пластинок. Баку, 1966. - С.97 - 102.

11. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1969. — 368 с.

12. Балабух JI.H. Изгиб и кручение конической оболочки // Тр. ЦАГИ. — 1946, №577.-С. 1-54.

13. Балабух JI.H., Колесников К.С. и др. Основы строительной механики ракет. М.: Высшая школа, 1969. - 496 с.

14. Бейг М.Г., Кретов А.С., Шатаев В.Г. К расчёту свободных колебаний тонкостенных конструкций / Вопросы прочности, устойчивости и колебаний конструкций летательных аппаратов. Казань, 1985. - С. 108-113.

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1965. - 294 с.

16. Бергман P.M. Интегрирование уравнений колебаний некруговой цилиндрической оболочки / Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. - С.386 - 389.

17. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2-х т. М.: Физматгиз, 1959 - I960. -Т.1.-464 с. Т.2. - 639 с.

18. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. М.: Гостех-издат, 1957. - 223 с.

19. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.-Л.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

20. Болотин В.В. Распределение собственных частот колебаний тонких упругих оболочек / Тр. симпозиума по мех. Сплошных сред и родственные проблемы анализа. Тбилиси, 1973. - Т.1.-С.12 -27.

21. Бреббия К., Уокер С. Применение граничных элементов в технике. — М.: Мир, 1982.-248 с.

22. Булатов С.Н., Галимов К.З., Курочка П.Н. К теории расчёта оболочек некругового очертания / Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань, 1981, №16. С.62- 75.

23. Булатов С.Н., Зайцев А.Ф., Козлов В.А. К расчёту оболочек сложной геометрии / Тр. XIV всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. Т.1 -Тбилиси, 1987. С.237 - 242.

24. Булатов С.Н., Козлов В.А. К расчёту многозамкнутых конструкций переменной жёсткости // Машиноведение, 1987, №2. С.68 -73.

25. Булатов С.Н., Козлов В.А. К расчёту кессона многолонжеронного крыла с учётом переменной жёсткости силовых элементов // Изв. вузов. Авиационная техника, 1988, №3. С.75 -77.

26. Булатов С.Н., Козлов В.А. Свободные колебания скошенных некруговых конических оболочек переменной жёсткости. Воронеж, 1988. - 40 с. -Деп. в ВИНИТИ 30.06.88, №5281 - В88.

27. Булатов С.Н., Козлов В.А. Колебания оболочки типа стреловидного крыла. -Воронеж, 1990.- 18 с.-Деп. в ВИНИТИ 26.03.90, №1612-В90.

28. Булатов С.Н., Козлов В.А. Стеснённое кручение призматической оболочки переменной толщины / Межвуз. сб. научных тр. «Статика тонкостенных элементов конструкций летательных аппаратов». Казань, 1990. - С.67-75.

29. Булатов С.Н., Козлов В.А. К проблеме расчёта конических оболочек скошенного типа / Материалы научно-техн. конф., посвящённой 60-летию ВИСИ (тез. докл.). Воронеж, 1991. - С. 130.

30. Булатов С.Н., Козлов В.А. Численный анализ НДС оболочки типа кессона стреловидного крыла. Воронеж, 1992. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.03.92, №901 -В92.

31. Булатов С.Н., Козлов В.А. Обобщение теории Рейсснера на оболочки неканонических форм. Воронеж, 1992. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.03.92, №902 -В92.

32. Булатов С.Н., Козлов В.А. Колебания и НДС оболочки типа стреловидного крыла / Тр. XVI междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Т.З. -Нижний Новгород, 1994.- С.38-43.

33. Булатов С.Н., Козлов В.А. Математическая модель конической оболочки ненулевой гауссовой кривизны / Тр. XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Т.З. Саратов, 1997. - С. 19 -24.

34. Булатов С.Н., Козлов В.А. Собственные колебания цилиндрической оболочки сложной геометрической структуры / Тр. междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». 4.2. Воронеж, 1998. — С.122 -126.

35. Булатов С.Н., Козлов В.А. К проблеме расчёта подкреплённых конических оболочек сложной геометрии / Тр. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 1998. - С. 19 -23.

36. Булатов С.Н., Козлов В.А. К теории расчёта скошенных оболочек / Прикладные задачи механики сплошных сред: Сб. статей. Воронеж,1999.- С.53 -61.

37. Булатов С.Н., Козлов В.А. К проблеме расчёта подкреплённых конических оболочек / Тр. 2-ой междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». -Воронеж, 1999.- С.175-180.

38. Булатов С.Н., Козлов В.А. К проблеме расчёта оболочечных конструкций неканонических форм / Дорожная экология XXI века: Тр. междунар. научно-практ. симпозиума. Воронеж, 2000. - С. 134 -140.

39. Булатов С.Н., Козлов В.А. Свободные колебания некруговой цилиндрической оболочки, защемлённой по скошенному краю / Тр. 3-ей междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». -Воронеж, 2000. С.53 -57.

40. Булатов С.Н., Козлов В.А. О краевом эффекте в оболочках типа крыла / Тр. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань,2000.- С.110-115.

41. Булатов С.Н., Козлов В.А. Решение некоторых прикладных задач теории конических оболочек сложной геометрии // Проблемы машиностроения и надёжности машин, №5, 2000. С.102 -108.

42. Булатов С.Н., Козлов В.А. Кручение призматической оболочки сложной структуры / Материалы всероссийской научно-техн. конф. «Актуальные проблемы современного строительства». Пенза, 2001. — С.28.

43. Булатов С.Н., Козлов В.А. Изгиб прямой многосвязной оболочки переменной жёсткости / Тр. 4-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2001. - С.110-113.

44. Булатов С.Н. Козлов В.А. Аналитическое решение краевой задачи для оболочек неклассических форм / Сб. тр. второй всероссийской научно-техн. конф. «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении». 4.1. Воронеж, 2001. - С.63 -66.

45. Булатов С.Н., Козлов В.А. Расчёт НДС четырёхсвязной оболочки типа кессона прямого крыла по уточнённой модели / Тр. 5-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2002. - С.229 -236.

46. Булатов С.Н., Козлов В.А. К вопросу о рациональном распределении материала в оболочках сложной геометрии / Тр. 6-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2003. - С.80 -86.

47. Булатов С.Н., Козлов В.А. Вынужденные колебания конструктивно ортотропной конической оболочки с переменными жесткостными параметрами / Тр. 6-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2003. - С. 108 - 112.

48. Булатов С.Н., Курочка П.Н. ВБК метод в задачах прочности скошенных конических оболочек переменной толщины произвольного очертания / Нелинейная теория оболочек и пластин: Тез. докл. - Казань, 1980. - С.6 - 7.

49. Булатов С.Н., Курочка П.Н. Кручение призматической оболочки прямоугольного сечения / Исследование, расчёт и испытания металлических конструкций: Межвуз. сб. Казанский инженерно-строительный институт, 1980.- С.26-29.

50. Булатов С.Н., Курочка П.Н. Напряжённо-деформированное состояние цилиндрической, оболочки эллиптического сечения с переменной толщиной стенки в двух направлениях // Машиноведение, 1980, №4. -С.74-78.

51. Булатов С.Н., Курочка П.Н. К расчёту оболочек типа прямого крыла // Изв. вузов. Авиационная техника. 1981, №4. - С.80 -83.

52. Булатов С.Н., Курочка П.Н. К расчёту цилиндрической оболочки переменной толщины эллиптического очертания // Строительная механика и расчёт сооружений, 1983, №2. С.58 -62.

53. Бурмистров Е.Ф. Симметричная деформация оболочек вращения переменной толщины / Теория пластин и оболочек. Киев, 1962. - С.435 — 438.

54. Бурмистров Е.Ф., Коссович Л.Ю., Маслов Н.М. Исследование переходных волновых процессов в цилиндрической оболочке переменной толщины методом асимптотического интегрирования / Механика деформируемых сред. Саратов, 1982. - Вып. 7. - С.41 - 50.

55. Вахитов М.Б., Конюхова Л.М. Расчёт крыльев большой конусности / Вопросы прочности элементов авиационных конструкций. Куйбышев, 1975. - Вып.2. - С.З - 12.

56. Вахитов М.Б., Ларионов Н.Г. Теория расчёта крыла малого удлинения по дискретно-континуальной расчётной схеме (численное интегрирование разрешающих уравнений) // Изв. вузов. Авиационная техника. 1976, №2. -С.15-20.

57. Вахитов М.Б., Сафонов А.С. Расчёт тонкостенных конструкций с большими вырезами / Тр. Казанского авиационного института. Казань, 1972. -Вып.145. - С.14 - 21.

58. Вахитов М.Б., Сафонов А.С. К расчёту тонкостенного крыла малого удлинения за пределами пропорциональности // Изв. вузов. Авиационная техника. 1972, №2. - С.27 - 32.

59. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. - 288 с.

60. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.-296 с.

61. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложения в технике. М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

62. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

63. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань, 1975. -326 с.

64. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии. — Казань, 1985.-164 с.

65. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1961, Т.16. - Вып.3(99). - С. 171 - 174.

66. Голованов А.И. Исследование свободных колебаний оболочек методом конечных элементов / Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып.23. — Казань: изд-во Казан, ун-та, 1991.-С.81 85.

67. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек / КФТИ КФ АН СССР. Казань: Б.и., 1990.-269 с.

68. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. -512 с.

69. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б. Некоторые общие свойства свободных колебаний тонкой упругой оболочки // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1974, №2. - С. 120 - 124.

70. Григолюк Э.И., Селезнёв И.Г. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Механика твёрдых деформируемых тел. -М., 1973.-Т.5.-272 с.

71. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций. — Киев: Наукова думка, 1976. 171 с.

72. Гуляев В.Н., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А., Гайдайчук В.В. Расчёт оболочек сложной формы. Киев: Будивэльник, 1990. — 190 с.

73. Гурьянов Н.Г., Артюхин Ю.П. Коническая оболочка линейно-переменной толщины под действием нормальной сосредоточенной силы / Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып.8. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1972.-С.278-286.

74. Давыдов Ю.В., Злыгарев В.А. Геометрия крыла. М.: Машиностроение, 1987.-131 с.

75. Дюрелли А., Райли У. Введение в фотомеханику (поляризационно-оптический метод). М.: Мир, 1970. - 484 с.

76. Иванов Ю.И. К расчету скошенных тонкостенных конструкций методом конечного элемента // Ученые записки ЦАГИ. 1976, Т.7, №4. - С.95 - 100.

77. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1965.-703 с.

78. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. - 260 с.

79. Кантор Б.Я., Меллерович Г.М., Науменко В.В. Исследование напряжённого состояния оболочки типа эллиптического конуса / Динамика и прочность машин. 1982, №36. - С. 19 - 24.

80. Коваленко А.Д., Григоренко Я.М., Ильин А.А. Теория тонких конических оболочек и её приложения в машиностроении. Киев, 1963. -287 с.

81. Коваленко А.Д., Григоренко Я.М., Лобкова Н.А. Расчёт конических оболочек линейно-переменной толщины. Киев, 1961.

82. Кожевникова М.К., Новожилов В.В. Приближенная теория стеснённого кручения тонкостенных стержней замкнутого профиля,учитывающая искривления поперечных сечений // Изв. АН СССР, отд. техн. наук. 1956, №9. - С.72 - 83.

83. Козлов В.А. Вынужденные колебания скошенных конических оболочек некругового очертания / Материалы научно-техн. конф., посвящённой 60-летию ВИСИ (тез. докл.). Воронеж, 1991. - С.135.

84. Козлов В.А. Устойчивость цилиндрической оболочки переменной жёсткости. Воронеж, 1992. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.03.92, №903 -В92.

85. Козлов В.А. Полная статико-геометрическая аналогия линейной теории оболочек / Тр. XVI междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Т.2. -Нижний Новгород, 1994. С.111 - 116.

86. Козлов В.А. Замкнутый вариант линейной теории оболочек / Современные проблемы механики и математической физики (тез. докл.). — Воронеж, 1994.-С.53.

87. Козлов В.А. Кручение цилиндрической оболочки произвольного профиля с учётом стеснения депланации / Тр. 3-ей междунар. научно-техн. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2000. - С.141 - 144.

88. Козлов В.А. Метод криволинейных сеток повышенной точности / Тр. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 2000.-С.261-265.

89. Козлов В.А. МКР повышенной точности в задачах колебаний оболочек сложной геометрии/ Тр. междунар. конф. «Актуальные проблемы механики оболочек». Казань, 2000. - С.266 - 271.

90. Козлов В.А. Определение собственных частот и форм колебаний прямой консольно защемлённой призматической оболочки переменной толщины / Тр. 5-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». — Воронеж, 2002. С.222 - 229.

91. Козлов В.А. Уточнённый вариационный подход к расчёту оболочек сложной геометрии / Сб. докл. XX междунар. конф. по теории оболочек и пластин «Механика оболочек и пластин». Н.Новгород: изд-во ННГУ,2002.- С.178 -183.

92. Козлов В.А. Вариационный метод решения краевых задач по определению НДС оболочек, свободный от выбора депланационных координатных функций / Тр. 6-ой междунар. научно-практич. конф. «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2003. - С.262 - 266.

93. Козлов В.А., Курочка П.Н. К расчёту кессона многолонжеронного крыла с переменной толщиной обшивки. Воронеж, 1986. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.12.86, №8656-В86.

94. Козлов В.А., Курочка П.Н. Изгиб многосвязной оболочки с жёстко заделанным краем. Воронеж, 1988. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.04.88, №3280-В88.

95. Колебания и устойчивость многосвязных тонкостенных систем. — М.: Мир, 1984.-312 с.

96. Коллатц JI. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. - 504 с.

97. Коноплёв Ю.Г., Шалабанов А.К. Голографическая интерферометрия и фототехника. Казань: изд-во Казан, ун-та, 1990. - 98 с.

98. Корнишин М.С.,. Паймушин В.Н., Снигирёв В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. - 208 с.

99. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Сплайновый вариант МКЭ для расчёта оболочек сложной геометрии // Прикладная механика. 1987, Т.23, вып.З. -С.38-44.

100. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Параметризация и расчёт оболочек сложной геометрии / Математические модели, методы решения и оптимальное проектирование гибких пластин и оболочек. Саратов, 1988. -С.33-35.

101. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Сплайновый вариант МКЭ в сферических координатах / Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация научных исследований: Всесоюз. межвуз. сб. Горький, 1988. - С.74 - 80.

102. Корнишин М.С., Якупов Н.М. К расчёту оболочек сложной геометрии в цилиндрических координатах на основе сплайнового варианта // Прикладная механика. 1989, Т.25, вып.8. - С.53 - 60.

103. Корнишин М.С., Якупов Н.М. Параметризация и расчёт оболочек типа резных / Тр. XV Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Казань, 1990.-С.533-538.

104. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. -Саратов, 1986.- 176 с.

105. Кузнецов Ю.М. Исследование свободных колебаний цилиндрических оболочек эллиптического сечения методом конечных элементов / Тр. семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ КФ АН СССР, 1984. -Вып. 17. - С.89 - 98.

106. Кузнецов Ю.М., Голованов А.И. Применение МКЭ к задаче свободных колебаний тонких цилиндрических оболочек / Тр. семинара по теории оболочек. Казань: КФТИ КФ АН СССР, 1984. - Вып. 17. - С.79 - 88.

107. Ш.Ларднер Т.Н., Стил Р.С. Симметричная деформация упругих круговых цилиндрических оболочек переменной толщины / Прикладная механика. Тр. американского общ-ва инж. мех. - 1968, Т.35, №1. - С.98 - 100.

108. Лашманова Н.А., Новожилов В.В. Стеснённое кручение труб // Учёные записки Ленинградского гос. ун-та. Серия математ. наук. 1957, вып.31, №217. -С.254-271.

109. Лужин О.В. Теория тонкостенных стержней замкнутого профиля и её применение в моторостроении. М.: Военная инж. академия, 1959. - 245с.

110. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: Гостехиздат, 1947.-252 с.

111. Маслов Н.М. Метод расчленения в задачах термоупругости тонких оболочек // Прикл. механика. 1981. - Т. 17, вып.11. - С 68 - 74.

112. Метод фотоупругости: В 3-х т. М.: Стройиздат, 1975. - Т.1. - 460 е., Т.2. -367 е., Т.3.-312 с.

113. Механика твёрдых деформируемых тел. Итоги науки и техники. М., 1976.- 155 с.

114. Механика твёрдого деформируемого тела. Итоги науки и техники. М., 1990, Т.21.-155 с.

115. Мишин В.П., Осин М.Н. Введение в машинное проектирование летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1978. 342 с.

116. Молчанов А.И. Свободные колебания некруговых оболочек, близких к оболочкам нулевой гауссовой кривизны // Вестник Ленинградского гос. ун-та. 1986, №4. - С.43 - 45.

117. Мочалин А.А. Об определении частот собственных колебаний цилиндрической конструктивно-ортотропной оболочки переменной толщины / Механика деформируемых сред. Вып.8. Саратов, 1983. -С.106-113.

118. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957. -431 с.

119. Недорезов П.Ф. Вибрационное осесимметричное нагружение полимерной оболочки вращения / Механика деформируемых сред. Статика и динамика пластин и оболочек. Межвуз. науч. сб. Вып.9. Саратов: изд-во Сарат. унта, 1985.-С.100-113.

120. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL: Гос. союзное изд-во судостроительной промышленности, 1962. - 431 с.

121. Новожилов В.В. Развитие метода комплексного преобразования в линейной теории оболочек за 50 лет / Теория оболочек и пластин. — 1964.-С.107- 115.

122. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. М.: Физматгиз, 1958. - 244 с.

123. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. — М.: Машиностроение, 1966. — 391 с.

124. Образцов И.Ф. Развитие теории пластин и оболочек при создании конструкций современных летательных аппаратов. — М.: Наука, 1976. 348 с.

125. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов Н.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. — М.: Машиностроение, 1991. -416 с.

126. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. — 658 с.

127. Огибалов П.Н., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М., 1969. -695 с.

128. Одиноков Ю.Г. Расчёт самолёта на прочность. — М.: Машиностроение, 1973.-392 с.

129. Паймушин В.Н. К проблеме расчёта пластин и оболочек со сложным контуром // Прикладная механика. 1978, Т. 14, №7. - С.75 - 84.

130. Паймушин В.Н. Нелинейная теория тонких оболочек сложной формы, пологих относительно поверхности отсчёта / Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1978. - Вып.ЗЗ. - С.63 - 68.

131. Паймушин В.Н. К расчёту цилиндрической панели с косым срезом / 14-ое научное совещание по тепловым напряжениям в элементах конструкций: Тез. докл. Киев: Наукова думка, 1977. - С.93.

132. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Основные соотношения линейной теории тонких оболочек сложной формы в гауссовых координатах поверхности отсчёта / Тр. семинара по теории оболочек. Казань, 1975. - Вып.6. - С.21 -33.

133. Паймушин В.Н. К проблеме расчёта пластин и оболочек со сложным контуром // Прикладная механика. 1980, Т. 16, №4. - С.63 - 70.

134. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов, 1975. - 119 с.

135. Петров В.В., Овчинников И.Г. Расчёт пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов, 1976. - 136 с.

136. Петров В.В., Овчинников И.Г., Иноземцев В.К. Деформирование элементов конструкций из нелинейного разномодульного неоднородного материала. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1989. - 157 с.

137. Проблемы снижения материалоёмкости силовых конструкций: Тез. докл. Всесоюзной конф. Горький, 1984. - 126 с.

138. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в 3-х т. М.: Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 839 е., Т.2. - 463 е., Т.З. - 567 с.

139. Работнов Ю.Н. Некоторые решения безмоментной теории оболочек // Прикл. математ. и механика. 1946, Т. 10, вып.5-6. - С.639 - 646.

140. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостехиздат, 1956.-420'с.

141. Рейсснер Э.Э. Некоторые проблемы теории оболочек / Упругие оболочки. -М., 1962.-С.7-65.

142. Рейсснер Э.Э. Линейная и нелинейная теории оболочек / Тонкостенные оболочечные конструкции. М.: Машиностроение, 1980. -С.55 - 69.

143. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии. -М.: Изд-во ун-та дружбы народов, 1988. 177 с.

144. Рихтмайер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач. М.: Изд-во иностр. лит-ры, I960. — 262 с.

145. Саченков А.В. Теоретико-экспериментальный метод исследования пластин и оболочек. Казань, 1970. - Вып.6-7. - С.391 - 433.

146. Саченков А.В., Коноплёв Ю.Г. Конструирование формул для оценки устойчивости и прочности оболочек при решении задач теоретико-экспериментальным методом / Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 14. Казань, 1979. - С.100 - 123.

147. Седов Л.И. Механика сплошной среды: Т.1. — М.: Наука, 1970. — 492с.

148. Сельский Ю.С. Асимптотические представления решения для конической оболочки / Прочность и надёжность элементов конструкций. Киев, 1982. - С. 131 - 140.

149. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М.: Наука, 1964. - 206 с.

150. Снигирёв В.Ф. Вычислительная геометрия в численных методах анализа оболочек / Актуальные проблемы механики оболочек: Тез. докл. 2-го Всесоюз. совещания-семинара молодых учёных. — Казань, 1985.-С.198- 199.

151. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979. 830 с.

152. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 325 с.

153. Сьюэпп Ж., Тьюси К. Исследование колебаний эллиптических цилиндрических оболочек, защемленных на одном конце и свободных на другом // Ракетная техника и космонавтика. 1971, Т.9, №6. — С. 15 - 24.

154. Теория оболочек с учётом поперечного сдвига / Под ред. К.З. Галимова. — Казань: изд во КГУ, 1977. - 211 с.

155. Теребин Б.Н. Динамический расчёт тонкостенных оболочек-балок замкнутого многоконтурного сечения / Исслед. по теории сооружений. Вып. 13. — М.: Стройиздат, 1964. — С.21 37.

156. Терегулов И.Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести. М.: Наука, 1969. - 206 с.

157. Терегулов И.Г., Каюмов Р.А. Определяющие соотношения для нелинейно-упругих и неупругих композитов / Моделирование в механике. Новосибирск. СО АН СССР, 1988, Т.2, №6. - С. 134 - 139.

158. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 984 с.

159. Тирский Г.А. Кручение полого стержня, ограниченного крыловыми профилями Жуковского-Чаплыгина // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение. М., 1959. - С. 114 - 121.

160. Тихомиров В.В. К расчёту коробчатой оболочки прямоугольного профиля // Прикл. механика. 1981, №8. - С.48 -55.

161. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1974. 224 с.

162. Тютюнников В.В. Определение частот и форм собственных колебаний тонкостенной слабоконической конструкции / Прочность, устойчивость и колебания элементов конструкций летательных аппаратов. — М., 1986. — С.42 — 46.

163. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.-564 с.

164. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1985. - 383 с.

165. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. — 384 с.

166. Фиников С.П. Теория поверхностей. М.-Л.: ОНТИ, 1934. - 200 с.

167. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия: применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982. - 304 с.

168. Черников С.К. Вариант аналитического описания метрики оболочек неканонических очертаний / Вопросы прочности тонкостенных авиационных конструкций. — Казань, 1987. С. 115 — 118.

169. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек: В 2-х ч. — Л., 4.1, 1962. — 274 с. 4.2, 1964.-395 с.

170. Шалабанов А.К. Определение перемещений в оболочках разнообразной геометрии методом голографии / Исследования по теории пластин и оболочек. — Казань, 1985. —4.1. — С. 130 — 151.

171. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1981. - 583 с.

172. Эстрин М.И. Расчёт цилиндрической оболочки, закреплённой по косому контуру // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение. -М., 1959.-С.151-155.

173. Якупов Н.М. Об одном методе расчета оболочек сложной геометрии / Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Казань, 1984. -Вып. 17. - 4.2. - С.4 — 17.

174. Якупов Н.М., Шаймарданов И.Г. Статика элементов конструкций сложной геометрии / Тр. XVI междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Н.Новгород, 1993. - Т.2. - С.225 - 229.

175. Якупов Н.М., Серазутдинов М.Н. Расчёт упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии / РАН, Казан, науч. центр. Ин-т механики и машиностроения. Казань: Б.и., 1993. — 206 с.

176. Almroth В.О., Stern P., Brogan A.F. Automatic Choice of Global Shape Functions in Structural Analysis // AIAA J. — 1978, Vol. 16, No 5. — P.525 — 528.

177. Armit A.P.Interactive 3D Shape Design-Multipatch ard Multiobject // Aircraft Engineering. 1973, No 2. - P. 191 - 195.

178. Aylward R.W., Galletly G.D. Elastic Buckling of, and First Yielding in, Thin Torispherical Sholls Subjected to Internal Pressure // Appl. Mech. Div. Liverpool, 1978.-No 4.-P.321 -336.

179. Baner S.M., Filippov G.D., Smirnov A.L., Tovstik P.E. Asymptotic methods in mechanics with applications thin shells and plates // Asimptot. Meth. Mech. Providence (R.I.), 1993. - P.3 - 140.

180. Bantlin A. Formanderung und Beauspruchung Ausgleichsrohren // Z. Ver. Dent. Ing. 1910. -No 54. - S.43 - 49.

181. Brown K.W., Kraus H. Stability of Internally-Pressurized Vessels with Ellisoidal Heads // Trans. ASME. 1976. - Vol.98. - P.157 - 161.

182. Coons S.A., Nerzog B. Surfaces for Computer-Aided Aircraft Design // Journal of Aircraft. 1968. - Vol.5, No 4. - P.402 - 406.

183. Flanerty J.E., Vafakos W.P. Asymptotik solution for pressurized noncircular cylinders with nonuniform rings // AJAA Journ. 1971. — No 9. - P.1725 - 1732.

184. Gruning J.E., Werner D. Praktische Berechnung von Zylindeshalen mit beiliedig stetig veranderlicher Krummung der Guerschnittakurve // Bauplan-Bautechn. 1962. - Vol.16. - No 7. - S.340 - 345.

185. Harris D. Applying Computer-Aided Design (CAD) to the 767 // Astronautics and Aeronautics. 1980. - Vol.18. - No 9. - P.44 - 49.

186. Irie Т., Yamada G., Kobayshi Y. Free vibration of an oblique rectangular prusmatic shells // J. Sound ard Vibr. 1985. - Vol.102. - No 4. - P.501 -513.

187. Romano F., Kempner J. Stresses in short noncircular cylinder chells under lateral pressure // Trans. ASME. E. 1962. - Vol.29. - No 4. - P.669 - 674.

188. Ross C.T. Free vibrations thin shells // J. Sound and Vibr. 1975. - Vol.39. -No 3. - P.337 - 344.

189. Sciammarella C.A., Ghang T.Y. Holographic Intereferometry Applied to the Solution of a shell Problem. I. // Exp. Mech. 1974. - Vol.31. - No 1.

190. Stephenson J., Immandrudin K. Analysis of noncircular cylindrical shells // J. Strict. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 1973. - Vol.99. - No 1. - P.33 -51.

191. Vafakos W., Romano F., Kempner J. Stresses in short aval cylindrical shells under hydropressure // J. of a Aerospace Science. 1962. - Vol.29. - No 11. -P.1347 - 1357.

192. Weingarten V.I., Gelman A.P. Free vibrations of contilevord conual shells // J. Engrg. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engrg. 1967. - Vol.93. - No 6. -P.127 - 138.

193. Yarnada G., Irie T. Natural frequencies of elliptical cylindrical shells // J. Sound ard Vibr. 1985. - Vol.101. -No 1. - P.133 - 139.