Численно-аналитическое решение задач о напряженном состоянии неоднородных анизотропных оболочек в пространственной постановке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор технических наук Панкратова, Наталья Дмитриевна

• Панкратова, Наталья Дмитриевна
• доктор технических наук
• 1984

Оглавление диссертации доктор технических наук Панкратова, Наталья Дмитриевна

ВВЕДЕНИЕ . б

ГЛАВА I. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ

АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

1.1. Исходные соотношения

1.2. Основные уравнения теории упругости для неоднородного анизотропного тела.

1.3. Разрешающая система уравнений статики неоднородных анизотропных оболочек

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ

2.1. Разрешающая система уравнений для ортотропных слоистых оболочек

2.2. Сведение исходной краевой задачи к одномерной

2.3. Численное решение одномерной краевой задачи

2.4. Напряженное состояние цилиндрических оболочек при однородных граничных условиях на торцах

2.5. Деформация ортотропных цилиндров при нежестком контакте слоев

2.6. Напряженное состояние цилиндрических оболочек с неоднородными граничными условиями

2.7. Кручение многослойных полых цилиндров.

2.8. Численное исследование краевого эффекта в задаче о кручении полого слоистого цилиндра.

2.9. Равновесие анизотропных неоднородных полых цилиндров

2.10. Исследование напряженного состояния слоистых оболочек под действием осевой силы и изгибающего момента.

2.11. Изгиб цилиндрической консоли поперечной силой. •

2.12. Совместное определение температурных полей и напряжений в слоистых оболочках

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТАТИКИ НЕОДНОРОДНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ

И КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК . IV?

3.1. Разрешающая система уравнений для несимметрично нагруженных сферических оболочек. Сведение краевой задачи к одномерной

3.2. Исследование неосесимметричной деформации неоднородных сферических оболочек . •

3.3. Разрешающая система уравнений для осесимметрично нагруженных сферических оболочек. Сведение краевой задачи к одномерной

3.4. Исследование напряженного состояния осесимметрично нагруженных сферических оболочек

3.5. Напряженное состояние неоднородных сферических оболочек при нежестком контакте слоев

3.6. Решение задач для незамкнутых в полюсе сферических оболочек.

3.7. Исследование деформации неоднородного сферического пояса.

3.8. Разрешающая система уравнений для ортотропных неоднородных конических оболочек

3.9. Анализ напряженно-деформированного состояния конических оболочек.

ГЛАВА 4. ПОЛОГИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ В ПЛАНЕ ОРТОТРОПНЫЕ

СЛОИСТЫЕ ОБОЛОЧКИ И ПЛАСТИНЫ

4.1. Разрешающая система уравнений для неоднородных ортотропных пологих оболочек

4.2. Сведение краевой задачи к одномерной

4.3. Анализ напряженного состояния однослойных и трехслойных: оболочек.

4.4. Исследование термонапряженного состояния эллиптического параболоида

4.5. Напряженное состояние неоднородных пластин •

ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ПРИМЕНИМОСТИ ДОПУЩЕНИЙ ПРИБЛИЖЕННЫХ ТЕОРИЙ ОБОЛОЧЕК.

5.1. Оценка применимости гипотезы недеформируемых нормалей для однослойных оболочек

5.2. Исследование напряженного состояния двухслойных оболочек.

5.3. Оценка применимости приближенных теорий для однослойных оболочек

5А. К оценке деформаций поперечного сдвига в слоистых оболочках

5.5. Исследование применимости допущений о малости деформаций поперечного сдвига и обжатия в однослойных оболочках.

5.6. Оценка допущений теории трехслойных оболочек с легким заполнителем

5.7. Оценка достоверности решений задач статики пространственных тел, полученных методом конечного элемента.

ГЛАВА 6. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ

НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РАСЧЕТУ КОНСТРУКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

6.1. Расчет конструктивного элемента в виде двухслойной цилиндрической оболочки, образованной намоткой

6.2. Кручение слоистой цилиндрической оболочки

6.3. Напряженное состояние сферических оболочек, погруженных в жидкость.

6.4. Деформация неоднородной конической оболочки

6.5. Исследование термонапряженного состояния теплозащитного покрытия

6.6. Напряженное состояние конструктивного элемента в виде цилиндрической оболочки из композиционного материала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитическое решение задач о напряженном состоянии неоднородных анизотропных оболочек в пространственной постановке»

Неоднородные анизотропные оболочки, как конструктивные элементы современной техники, широко используются в ракето- и авиастроении, паровых и газовых турбинах, машиностроительных и энергетических установках, работающих в условиях неравномерных объемных и поверхностных силовых и температурных воздействий.

Последние десятилетия характеризуются бурным развитием ведущих направлений науки и техники, определяющих научно-технический прогресс. Перед научными работниками выдвигаются новые актуальные задачи, в частности, по обеспечению прочности и на-деяности разрабатываемых изделий, нашедшие отражение в постановлениях директивных органов, в комплексных и целевых программах. В "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I981-1985 годы и на период до 1990 года", утвержденных ХШ съездом КПСС, указано на необходимость ". увеличить производство новых конструкционных материалов,. развивать производство новых полимерных и композиционных материалов и изделий из них с комплексом заданных свойств, жаропрочных и химически стойких неорганических неметаллических материалов".

Для расчета напряженно-деформированного состояния оболочеч-нъй конструкций во многих случаях используются модели, основанные на различного рода предположениях, что позволяет вместо трехмерной задачи теории упругости решать двумерную задачу теории оболочек. Однако, повышенные требования, предъявляемые к оценкам прочностных характеристик, стремление к более полному учету в расчетах реальных свойств конструкционных материалов, выявлению и изучению трехмерных эффектов, имеющих место в оболочках с существенной неоднородностью и анизотропией упругих свойств материала и находящихся под действием локализованных нагрузок, использование в качестве конструктивных элементов толстостенных оболочек приводит к необходимости проводить расчет оболочек на основе трехмерных уравнений теории упругости. В настоящее время интерес к пространственным задачам теории упругости для определения напряжений и деформаций произвольно нагруженных упругих оболочечных конструктивных элементов заметно увеличился. О целесообразности в последующие годы сосредоточить внимание исследователей на решении задач теории упругости для неоднородных и анизотропных тел отмечалось на заключительном совещании подсекции теории упругости У Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике СИ]. Наряду с рассмотрением общих вопросов теории и разработкой методов решения различных классов задач статики оболочек в трехмерной постановке большое внимание уделяется доведению решений до конкретных числовых результатов.

Значительный вклад в развитие теории и методов расчета оболочек и пластин в пространственной постановке и исследование вопросов перехода от трехмерных задач к двумерным внесли такие известные ученые как Александров А.Я., Амбарцумян С.А., Болотин В.В., Васильев В.В., Власов В.З., Гегелиа Т.Г., Григолюк Э.И., Гринченко В.Т., Гузь А.Н., Колчин Г.Б., Купрадзе В.Д., Лехниц-кий С.Г., Ломакин В.А., Лурье А.И., Мяченков В.И., Немиш Ю.Н., Новожилов В.В., Победря Б.Е., Подильчук Ю.Н., Подстригач Я.С., Папкович П.Ф., Прокопов В.К., Рвачев В.Л., Саркисян B.C., Тимошенко С.П., Улитко Я.Ф. и др. Основные результаты по решению различных классов задач статики, динамики и устойчивости оболочек на основе уравнений теории упругости обобщены и изложены в монографиях [ 9, 22, 57, 61, 89, 91, 92, 93, 107, 119, 120, 121, 136, 143, 144, 148, 149, 160, 166, 181,184, 208, 215, 216, 217, 226 ] .

В современных конструкциях все чаще используются составные слоистые нетонкие упругие оболочечные элементы. Наряду с традиционными металлическими материалами широкое применение находят композиционные материалы. Существенной особенностью композиционных материалов является анизотропия и неоднородность их упругих свойств, учет которых сказывается не только на величине действующих в оболочке напряжений, но и на характере возникающего напряженного состояния. Замена монолитных конструктивных элементов многослойными - одно из важных и перспективных направлений решения проблемы повышения надежности и экономичности конструкций L 14-5 3. При этом используются неоднородные материалы, свойства которых меняются непрерывно, и материалы кусочно однородной структуры. Непрерывная неоднородность упругих свойств имеет место в конструкциях, подверженных воздействию интенсивного теплового или радиационного поля, а также может быть обусловлена технологией изготовления. Кусочно однородная структура материала встречается в слоистых конструкциях, армированных оболочках, изделиях, изготовленных из новых материалов.

Для расчета прочностных характеристик конструктивных оболо-чечных элементов используются как теоретические подходы так и результаты экспериментальных исследований, причем объем экспериментальных исследований в значительной мере зависит от точности и надежности применяемых расчетных методов. Поэтому разработка и внедрение в практику эффективных достаточно точных методов расчета напряженно-деформированного состояния неоднородных анизотропных оболочек в пространственной постановке представляется важной и актуальной задачей.

Задачи о деформации упругих оболочек издавна были предметом многих исследований. Они привлекали исследователей математической и физической сложностью, практической значимостью. Для решения возникающих в теории оболочек задач создавались различные подходы, послужившие в дальнейшем основой использования математических методов общего плана. Задачи о напряженном состоянии оболочек были в числе тех проблем, постановка и разрешение которых привели к созданию теории упругости.

До появления ЭВМ применялись главным образом аналитические методы решения задач о напряженном состоянии оболочек, причем в основном рассматривались однородные изотропные оболочки. Чаще всего эти решения сводились к нахождению в удобном для анализа аналитического представления искомых величин. Такое решение позволяло получать конкретные результаты для довольно узких диапазонов изменения параметров, что недостаточно для широкого практического применения. Использование численных методов и ЭВМ дало возможность существенно расширить круг решаемых задач теории упругости, имеющих широкую область применения, получать количественные и качественные оценки полей напряжений и перемещений.

Методы решения задач теории упругости неоднородных тел можно разделить на две группы: точные и приближенные [ 125 1 . Большое число задач было решено с помощью таких приближенных методов: прямых, малого параметра, конечно-разностных, конечных элементов и др. Точные решения получены при определенных ограничениях на характер неоднородности, анизотропию, вид нагруже-ния. Одним из основных методов построения точных решений задач пространственной теории упругости является метод Фурье С117 ] . Этим методом получены решения для тел конечных размеров, ограни' ченных пересекающимися координатными поверхностями* Решения представляются в виде рядов и интегралов, содержащих специальные функции, и считаются точными, если коэффициенты рядов или плотности интегралов определяются в явном виде.

Решению задач упругости для неоднородных упругих тел посвящено значительное количество исследований. По подочету Колчи-на Г.Б. [122, 123 3 по этой тематике имеется более 2500 работ. В работе [ 197 ] приведена информация об отечественных и зарубежных исследованиях по прочности конструкций из композиционных материалов за последние два десятилетия. Дудченко А.А., Лурье С.А., Образцов И.Ф. [1013 провели обзор по прикладным теориям пластин и оболочек из композиционных материалов.

Учитывая имеющиеся обзоры, здесь остановимся на последних достижениях в теории упругости для неоднородных анизотропных оболочек, относящихся в основном к точным решениям задач с доведением их до конкретных числовых результатов.

Большое число работ посвящено решению в трехмерной постановке задач статики осесимметрично нагруженных однородных изотропных цилиндрических оболочек. Исследования по этому классу задач отражены в обзоре Абрамяна Б.Л. и Александрова А.Я. С 3 3t в котором решение этой задачи прослеживается с работ Шиффа М.А. С 286 3 и Стеклова В.А. [ 213 1 . В этих работах решение задачи методом Фурье было сведено к специальному трансцендентному уравнению, содержащему функции Бесселя первого рода от мнимого аргумента, получившего исследование в работе Прокопова В.К. Г195] . В дальнейшем метод однородных решений, предложенный Прокоповым В.К. [ 194, 195] , был реализован численно Балабановым Л.М. [17 J с привлечением метода коллокации для удовлетворения граничных условий на торцах цилиндра.

В работах [I, 2, 134, 189, 196 3 решение задачи для однородного изотропного цилиндра также строится с использованием функций Бесселя. Напряженное состояние неизотропного однородного и неоднородного полых цилиндров рассматривается в [16, 23, 102, 143, 153, 241, 243, 279 3 . В ряде работ решение задач о напряженно-деформированном состоянии цилиндрических оболочек получено с помощью метода начальных функций. Так в [191, 192] получено решение для слоистого изотропного цилиндра с заданными нагрузками на боковых поверхностях и интегральном удовлетворении граничных условий на торцах. Решение указанной задачи с учетом неоднородности материала проведено в [58, 99 ] . При этом в С 99 3 получены выражения для перемещений и напряжений в виде конечных сумм в соответствии с числом изотропных слоев, а порядок уравнений, построенных в Г 58 3 , зависит от числа слоев. В работе [ 266 3 решение осесимметричной задачи ищется в виде разложения в ряды Тейлора по радиальной координате.

Новый эффективный метод построения двумерных уравнений слоистых композиционных оболочек применил Васильев В.В. [ 299 3 . Процедура приведения основана на итерационном процессе сведения трехмерных уравнений теории упругости к последовательности двумерных уравнений, позволяющем естественно с возрастающей точностью учесть изменение кривизны оболочки и структуры материала по толщине, сдвиговые и нормальную трансверсальную деформации. При этом для каждого приближения кроме разрешающих уравнений получается система соответствующих граничных условий. Попытка создать теорию многослойных анизотропных цилиндрических оболочек в рамках теории упругости на основе метода начальных функций изложена в [1413 .

Методика расчета толстых неоднородных изотропных полых цилиндров с использованием для учета неоднородных свойств материала по толщине ступенчатой функции Хевисайда и применением преобразований Ханкеля приводятся в работах С32, 33, 198, 199 3 .

В настоящее время все более широкое применение при решении задач теории упругости находит метод Я -функций, предложенный Рвачевым В.Л. [2013 и развиваемый в дальнейшем применительно к задачам механики совместно с учениками Г 202-204 ] . Так в [210 J на основе указанного метода изложена методика решения осесим-метричной задачи теории упругости, реализованная для полого изотропного конечного цилиндра.

В работах Колчина Г.Б. и его учеников С121, 124, 126, 127, 133 1 в цилиндрической и сферической системах координат показана возможность разделения переменных для осесимметрично нагруженных изотропных тел вращения, модуль упругости которых является степенной функцией координат, а коэффициент Пуассона не изменяется. О необходимости учета переменности коэффициента Пуассона говорится в статье L135 ] . Попытка учесть реальный характер жесткого закрепления слоистой ортотропной цилиндрической оболочки с учетом несжимаемости материала в радиальном направлении сделана в [ 51 1 .

Рассмотрение оболочек с существенной неоднородностью и анизотропией упругих свойств ставит вопрос об исследовании применимости принципа Сен-Венана в теории упругости анизотропной среды. Этому вопросу посвящены теоретические и экспериментальные исследования [254, 263, 264, 131 ] . Показано, что анизотропия упругих свойств вызывает уменьшение экспоненциальной скорости затухания напряжений по сравнению с изотропными телами и в предельном случае, когда степень анизотропии возрастает, скорость затухания напряжений стремится к нулю, т.е. в этом случае принцип Сен-Венана перестает быть справедливым С 263 ]. Краевые эффекты в многослойных конструкциях исследованы Болотиным В.В. и Новичковым Ю,Н. [ 28, 165 3 . Исследование напряженного состояния в окрестности торца и определение размера зоны краевого эффекта с учетом взаимодействия слоев выполнено в С 35, 51, 67, 257 1 .

Достаточно полно освещены в современной литературе и вопросы, связанные с решением плоской задачи теории упругости для неоднородных анизотропных упругих тел. Решению плоской задачи теории упругости для деталей из армированного материала посвящена статья Болотина В.В. I 27 ] . Саркисян B.C. [ 209 3 проводит исследование решения плоской задачи теории упругости неоднородных составных анизотропных тел в предположении слабой неоднородности упругих свойств материала, что позволяет свести исходную задачу к ряду рекуррентных задач, сходных с плоской задачей однородных анизотропных составных тел.

Решение задачи в [108 3 построено с учетом изменяемости упругих характеристик по толщине оболочки. Задачи о плоской деформации ортотропного цилиндра с непрерывной и кусочно-гладкой неоднородностью механических характеристик, соответствующих изменению модулей упругости по степенному закону вдоль радиуса, рассмотрены в [182, 242, 2901 . Решение задачи о напряженном состоянии неограниченного трансверсально изотропного цилиндра, находящегося под действием диаметрально противоположных радиальных нагрузок, распределенных по конечным участкам цилиндрической поверхности, дано в С 268, 269 3 .

Исследование напряженно-деформированного состояния полубесконечного однородного изотропного цилиндра при заданных граничных условиях на торце и однородных условиях на боковых поверхностях проводится в работе Данелия Р.Н. [96 3 . Решение сводится к нахождению коэффициентов разложения искомого решения в ряды по однородным решениям и строится в виде произведения функций Бесселя в направлении радиальной координаты, тригонометрических функций по окружной координате, экспоненциальных функций - вдоль осевой координаты.

Плоская задача теории упругости для цилиндров, состоящих из произвольного числа слоев, изучается в С 100, 109, 161, 244, 256 ] .

Результаты сравнения решения задач для однослойных и слоистых длинных цилиндрических оболочек при осесимметричных равномерно распределенных и локализованных воздействиях, полученных на основе пространственных уравнений теории упругости и различных прикладных теорий оболочек, приведены в Г ПО, 245, 246, 266, 272, 273 ] . Вопросы применимости теории тонких оболочек обсуждаются в [66, 114, 167, 5 ] .

Большое число работ посвящено исследованию в пространственной постановке осесимметричного термонапряженного состояния конечных и бесконечных цилиндрических оболочек. Изучению распределения термоупругих напряжений в изотропных и ортотропных цилиндрах при интегральном удовлетворении граничных условий на торцах посвящены работы С25, 190, 267, 2811 , Связанная осе-симметричная задача термоупругости для однородных изотропных цилиндров с однородными начальными и граничными условиями на торцах при задании на цилиндрических поверхностях функции теплового потока и нулевых напряжениях рассматривается в 1293 3 , где решение задачи построено в виде рядов по тригонометрическим, бесселевым и экспоненциальным функциям. Вопросы о расчете температурных напряжений в изотропных полых кусочно-однородных цилиндрах изучаются также в С 54 3 .

Следует отметить работы [21, III, 128, 211, 276, 280, 284, 294 3 , в которых исследуются температурные напряжения в упругих анизотропных однородных и неоднородных цилиндрах.

Более сложными являются вопросы о решении трехмерных задач о напряженном состоянии оболочек, находящихся под действием несимметричных нагрузок. В работе Г 30 3 предлагается численноаналитический метод решения краевых задач теории упругости для несимметрично нагруженных однородных изотропных упругих тел. Решение задачи об определении напряженного состояния несимметрично нагруженного однородного изотропного цилиндра с использованием функций напряжения строится в [ 274 ]. В работе Г 2981 решение такой задачи разыскивается с помощью гармонических и бигармонических функций, каждая из которых представляется в виде рядов Фурье по окружной координате. Коэффициенты указанных рядов представляются в виде разложений по радиальной и осевой координатам с использованием бесселевых, гиперболических и тригонометрических функций. В результате решение задачи сводится к системам алгебраических уравнений.

Термоупругий анализ несимметрично нагретых изотропных цилиндрических оболочек в постановке плоской задачи теории упругости выполнен в С 261 ] , где задача формулируется в перемещениях и решение получено с помощью рядов Фурье. Решение плоской задачи для изотропного несимметрично нагруженного цилиндра при степенной зависимости модуля упругости от радиальной координаты и неизменяемом коэффициенте Пуассона дается в 1116 ].

Следующую группу составляют работы, посвященные исследованию напряженно-деформированного соотояния толстостенных полых сфер и конусов.

Решения задач статики толстостенных сферических оболочек в пространственной постановке также в основном получены для случая однородного изотропного материала при осесимметричном нагружении t60, 146, 147, 149, 184, 185, 188, 226, 227, 31, 250, 253,262 1. Задача о центрально симметричной деформации трансверсально изотропной полой сферы рассматривалась еще Сен-Венаном [143, 149 ] . В настоящее время проводятся многочисленные исследования для некоторых случаев неоднородности упругих характеристик, позволяющих получать точное решение задачи £24, 103, 104, 251, 265, 277 3 в замкнутом виде. Построение решения задачи об осесиммеа?-ричном напряженно-деформированном состоянии изотропных и транс-версально изотропных однородных сферических оболочек может быть выполнено с использованием представления общих решений осесим-метричной задачи теории упругости в сферической системе координат Г 146, 249 3 . Численная реализация такого подхода может встретить определенные трудности в случае оболочек кусочно однородной структуры. Так, для слоистой оболочки, когда решения для отдельных слоев известны, необходимо удовлетворить условиям их сопряжения, что приводит к решению алгебраических систем уравнений высокого порядка. Некоторые числовые результаты для однородных сферических оболочек приведены в Г 227, 249 3 . Неоднородные в радиальном направлении изотропные оболочки изучались в [127, 259 3 . Напряженное состояние трансверсально изотропной сферы исследовалось в [143, 249 3 .

Локальное загружение однородной сферы рассматривалось в работах Лурье А.И. [ 146, 148 3 , а численные результаты для указанной сферы при загрузке ее сосредоточенными силами в полюсах получены Улитко А.Ф. [ 227 3.

Температурные напряжения в толстостенной изотропной однородной сфере изучались в [115, 14 3 , а с учетом зависимости упругих свойств материала от температуры - в [ 29, 152 3 .

В статье [ 283 3 излагается метод определения температурных напряжений в однородном изотропном сферическом слое. Наряду с использованием представления решения в форме Папковича-Нейбера применяется разложение поля на потенциальную и вихревую составляющие, строится также частное, решение уравнения Пуассона для учета поля температур. Это приводит к представлению решения в виде четырех слагаемых, являющихся бесконечными рядами по сферическим и тригонометрическим функциям.

Осесимметричная деформация конусов и конических оболочек в сферических и других криволинейных координатах рассматривалась многими авторами. Задачи о сжатии однородного изотропного конуса вдоль оси вращения, об изгибе его парой и сосредоточенной силами, задача о кручении конуса были изложены в работах С 255, 278, 282 3 . Решение задачи о равновесии однородного изотропного осесимметрично нагруженного конуса изучалось в работах Улитко А.Ф. [ 224, 226 3 . В статье I 212 3 исследуется осесимметричная деформация конуса под действием на боковую поверхность сил радиального и осевого направления. Задача об осе-симметричном напряженном состоянии сплошного и полого изотропных конусов под действием нагрузок, изменяющихся по полиномиальным законам, решена Шапиро Г.С. [ 237 3 . Построение осесим-метричных однородных решений для усеченного конуса, не дающих нормальных напряжений на его боковой поверхности, приведено в статье I 297 3 # Решение задачи об упругом равновесии изотропного однородного тела, ограниченного двумя коническими поверхностями, дано в Г 258 3 . Напряжения в трансверсально изотропном конусе при загрузке силой, приложенной к вершине конуса, определены в [ 248 3 ,

Для решения осесимметричных задач о деформации полого однородного конуса Александровым А.Я. L б 3 используется соответствие между общими решениями плоских и осесимметричных задач теории упругости. С помощью метода суперпозиции последовательностей частных решений в 188 3 построено полное решение задачи для кругового конуса со срезанной по сферической поверхности вершиной. Результаты решения задачи Ламе для полого конуса, нагруженного равномерным внутренним давлением или находящегося под действием температуры, изменяющейся только по толщине, приведены в работах [ 137, 226 3 . Решению осесимметричной задачи термоупру-гооти для сплошного кругового конуса конечной длины посвящены исследования I 252, 270, 287 3 .

Следует отметить, что в перечисленных работах построение решения о напряженно-деформированном состоянии упругих конусов и конических оболочек проводится в аналитической форме. С привлечением численных методов выполнены исследования неоднородных изотропных осесимметрично нагруженных конических оболочек [127, 132, 133 1 . Напряженное состояние изотропных слоистых и орто-тропных однородных усеченных конусов с использованием численной методики исследовано в Г 214, 218, 228 3 .

Большую группу представляют исследования, посвященные решению задач теории упругости для неоднородных пластин и многослойных сред. В монографиях Колчина Г.Б. [121, 124 3 приводится расчет конструктивных элементов из упругих изотропных неоднородных материалов. Представления решений шести граничных задач линейной теории упругости, определяемых различными комбинациями , задаваемыми на сторонах ортотропной упругой прямоугольной области, нормального перемещения и касательного усилия или касательного перемещения и нормального усилия, даны Шагневым В.В. [ 236 3 .

Обобщение метода однородных решений на неоднородные по толщине изотропные плиты дается Воровичем И.И. и Устиновым Ю.А. в работах [ 59, 229 3 , где при заданных на боковой поверхности напряжениях формулируется асимптотически точная прикладная теория пластин. В работах Пуро А.Э. [198, 199 3 применяются преобразования Ханкеля для решения осесимметричных задач о напряженном состоянии толстых пластин при степенной зависимости модуля упругости от глубины, а для некоторых частных случаев граничных условий получены аналитические выражения для перемещений через гиперболические функции и функции Бесселя. В [56, 289, 295 3 проводится анализ напряженного состояния в основном изотропных слоистых пластин, а влияние анизотропии изучается в [238,288].

Решению задач теории упругости для неоднородных сред посвящены работы Никишина B.C. и Шапиро Г.С. [ 162-164 ) , Привар-никова А.К. [ 1931 138 1 . В монографиях Г162-164 1 строятся общие решения трехмерной осесимметричной плоской задачи для кусочно-однородных и непрерывно-неоднородных полупространств, у которых модули упругости и коэффициенты Пуассона являются произвольно дифференцируемые функции от глубины. А в статьях [138, 193 ] рассматриваются граничные задачи теории упругости для многослойных изотропных оснований простой и сложной структуры с учетом совместной работы слоев или проскальзывания относительно друг друга вдоль всей общей границы контакта.

Решение основных задач теории упругости для многослойных сред приводится также в монографии Шевлякова Ю.А. [ 238 3 и в статьях [ 159, 187 ] .

Дальнейшее успешное решение задач статики оболочек в пространственной постановке состоит в поиске рационального сочетания аналитических методов с методами численной реализации их на ЭВМ и с доведением разработанных методик до пакетов прикладных программ. В этом направлении следует отметить ряд работ, выполняемых под руководством Рвачева В.Л. Г 202,203,2051. Созданный пакет прикладных программ решения задач теории упругости с помощью метода R -функций доведен до полной автоматизации. Подробно освещены вопросы построения типовых конструкций по переводу математической постановки задач теории упругости анизотропного тела на входной язык пакета. В t 168 ] приводится пакет прикладных программ расчета осесимметрично нагруженных элементов пространственных сооружений типа изотропных однородных и неоднородных толстостенных прямоугольных плит, сферических покрытий, арочных плотин, пластин. Алгоритм расчета конструкций, расчетная схема которых сводится к объемной задаче теории упругости, с описанием комплекса программ, осуществляющих реализацию указанного алгоритма, дается в [156 3 . Комплексные программы решения некоторых задач механики сплошной среды приведены в Г 64, 87, 97, 285 1 . Численный анализ толстостенных оболочек вращения и алгоритм их реализации на ЭВМ рассматриваются в С 34, 223, 232, 235, 240 ].

Обзор численных методов расчета оболочечных конструкций на основе трехмерной модели с анализом двенадцати универсальных работающих программ выполнен в [ 239 3. Обзорная статья [2913 посвящена сравнению результатов вычисления по трем программам расчета оболочек вращения, которые разработаны основными исследовательскими центрами США. Представляется анализ всех программ с точки зрения решения различных задач, а также приводится анализ отдельных численных методов, на основе которого авторы утверждают, что численное интегрирование (типа Рунге-Кутта) является наиболее точным по сравнению с методом конечных разностей и конечных элементов.

В настоящее время большое внимание уделяется решению трехмерных задач теории упругости путем численной реализации метода интегральных уравнений [10, 18, 62, 106, 247, 271, 292, 296 3. В связи с внедрением в практику научных разработок, доведенных до реализации в виде вычислительных комплексов и пакетов прикладных программ на современных мощных ЭВМ, широкое распределение получили численные методы расчета конструкций и решения задач механики [52, 120, 154, 155, 183, 43.

Из проведенного анализа следует, что в настоящее время для широкого класса оболочечных конструктивных элементов (цилиндрические, сферические, конические и пологие прямоугольные в плане оболочки и пластины) разработаны методы решения задач о их напряженном состоянии в пространственной постановке в основном для осесимметричных воздействий и частных случаев неоднородности и анизотропии упругих свойств материала. В указанных работах, как правило, отсутствует систематический анализ влияния неоднородности и анизотропии на напряженность и деформативность рассматриваемых оболочек* Практически не имеется расчетов напряженного состояния несимметрично нагруженных толстостенных полых сфер и конусов. При этом во многих предлагаемых методах то ли на этапе аналитического, то ли численного решения задачи вводятся определенные предположения, допущения и ограничения, что не позволяет рассматривать полученные решения в качестве точных. В решениях, построенных в замкнутом виде, обычно используются сложные в реализации специальные функции, затрудняющие доведение задачи до числа, и, следовательно, получение распределения полей напряжений и перемещений в широких диапазонах изменения механических и геометрических параметров. В связи с этим, на основе предлагаемых в литературе методик, представляется затруднительным, а иногда и практически невозможным проводить с достаточной степенью точности расчет напряженного состояния оболочечных элементов со сложным видом изменения неоднородности и анизотропии упругих свойств материалов, особенно в случаях неравномерных интенсивных силовых и температурных воздействий.

Отсутствие достаточно точных, надежных методов решения задач теории упругости для неоднородных анизотропных оболочек приводит к необходимости разработки новых эффективных подходов к решению задач статики оболочек в пространственной постановке, позволяющих получать с высокой степенью точности значения всех факторов напряженно-деформированного состояния в широких диапазонах изменения геометрических и механических характеристик с учетом произвольной изменяемости неоднородности упругих свойств материала по толщине при разнообразных сложных видах нагруже-ния. Разработка новых эффективных точных методов решения задач и реализация численных решений на ЭВМ представляет собой актуальную и важную проблему механики деформируемых сред.

Решение задач статики оболочек как пространственных задач теории упругости сопряжено со значительными трудностями, обусловленными сложностью системы исходных дифференциальных уравнений в частных производных, с одной стороны, и необходимостью удовлетворения краевым условиям на ограничивающих данное упругое тело поверхностях, с другой стороны. Эти трудности возрастают в случае оболочек слоистой структуры, анизотропии и неоднородности материала и др. Сложность решения задач статики оболочек в пространственной постановке и приводит к разработке различных приближенных методов решения задач, базирующихся на упрощающих предположениях физического характера. Такие подходы позволяют решать разнообразные важные в прикладном отношении классы задач, для которых принятые допущения являются оправданными. Однако, в ряде случаев упрощающие предположения не являются столь очевидными и обоснованными, чтобы их можно было бы с уверенностью применять. Для обоснованного применения приближенных теорий оболочек следует определять области изменения геометрических и механических параметров и нагрузок, в которых они дают достаточно точные результаты. Один из путей оценки приемлемости допущений той или иной теории оболочек заключается в сопоставлении полученных на ее основе данных с результатами решения задач в пространственной постановке. Для этого необходима разработка эффективных точных подходов к решению определенных классов задач статики анизотропных неоднородных оболочек на основе уравнений теории упругости. Это также дает возможность применять разработайные подходы к анализу трехмерного распределения напряжений и перемещений в ряде конструктивных элементов с существенной неоднородностью и анизотропией упругих свойств материала при разнообразных видах нагружения.

Из сказанного следует, что тема диссертационной работы, посвященная численно-аналитическому решению задач о напряженном состоянии неоднородных анизотропных оболочек в пространственной постановке является актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела, имеющей важное народнохозяйственное значение. Эти исследования предусмотрены координационным планом развития механики в СССР на I981-1990 гг. и входят составной частью в Республиканскую целевую научно-техническую программу РН.Ц.ООЗ - "Снижение материалоемкости оборудования и сооружений" .

Проведенный анализ состояния рассматриваемых вопросов позволил сформулировать цель настоящего исследования, состоящую в разработке эффективного численно-аналитического достаточно точного подхода решения задач теории упругости для неоднородных анизотропных оболочек при определенных видах граничных условий и проведения на его основе исследования распределения полей напряжений и перемещений в широком диапазоне изменения механических и геометрических параметров с учетом произвольной изменяемости неоднородности упругих свойств материала по толщине при неравномерных силовых и температурных воздействиях.

Реализация этой цели заключается в:

- построении решений задач статики неоднородных анизотропных цилиндрических оболочек для некоторых вариантов граничных условий на торцах при неравномерных массовых и поверхностных силовых и температурных воздействиях;

- построении решений задач о напряженном состоянии слоистых трансверсально-изотропных сферических и ортотропных конических оболочек при симметричных и несимметричных нагрузках;

- построении решений задач статики неоднородных ортотропных пологих прямоугольных в плане оболочек и пластин при поверхностных и массовых симметричных и несимметричных силовых и температурных воздействиях для граничных условий на торцах, позволяющих разделить переменные в двух направлениях;

- разработке численных алгоритмов для указанных классов оболочек с реализацией их на ЭВМ в виде проблемно-ориентированных вычислительных комплексов и пакета прикладных программ;

- проведении исследований напряженного состояния рассматриваемых классов оболочек с целью выявления трехмерных эффектов, обусловленных влиянием неоднородности, анизотропии упругих свойств материала слоев, толстостенностью оболочек, способами приложенных воздействий;

- получении оценок применимости допущений, наиболее часто использующихся в прикладных теориях оболочек;

- применении разработанных подходов к решению новых задач по исследованию напряженности и деформативности оболочек применительно к элементам конструкций, имеющих важное практическое значение.

Разработанный подход к решению задач о напряженном состоянии неоднородных анизотропных оболочек в пространственной постановке основан на сочетании аналитических и численных методов. На этапе аналитического решения задачи, исходя из уравнений теории упругости неоднородного анизотропного тела без каких-либо пренебрежений, привлекая специальные функции и выполняя различные аналитические преобразования, строго разделяются переменные в разрешающей системе уравнений в частных производных и исходная трехмерная краевая задача точно сводится к одномерной относительно определенным образом выбранных разрешающих функций. Одним из важных моментов разработанного подхода является удачный выбор разрешающих функций, в которых формулируются условия на ограничивающих внутренней и внешней поверхностях и на поверхностях сопряжения смежных слоев. Именно такой выбор разрешающих функций позволяет на этапе численного решения задачи проводить интегрирование краевой задачи для всего пакета слоев оболочки с автоматическим удовлетворением условий их сопряжения. Использование при интегрировании одномерной краевой задачи устойчивого численного метода дискретной ортогонализации позволяет получать результаты решения с высокой степенью точности. А в комплексе предлагаемый численно-аналитический подход дает возможность получать в широком диапазоне изменения геометрических и механических параметров решения, которые можно рассматривать в качестве точных и использовать как эталонные при разработке новых приближенных методов и оценке допущений прикладных теорий оболочек.

Таким образом, научная новизна и значимость результатов исследований заключается в разработке единого численно-аналитического подхода к решению задач статики неоднородных анизотропных оболочек в пространственной постановке, позволяющего получать решения, которые можно рассматривать в качестве точных. На основе этого подхода построены решения новых задач о напряженном состоянии слоистых анизотропных цилиндрических, сферических, конических и пологих прямоугольных в плане оболочек и пластин с произвольной изменяемостью упругих характеристик материала по толщине и различной анизотропией упругих свойств для каждого слоя при неравномерных массовых и поверхностных силовых и температурных воздействиях. Установлены новые трехмерные эффекты, обусловленные неоднородностью и анизотропией упругих свойств материала, толстостенностью оболочек, сложными видами приложенных нагрузок. Получены оценки применимости некоторых допущений, используемые в классической и уточненных моделях.

Достоверность основных научных положений обеспечивается строгим математическим обоснованием предлагаемого подхода, сравнением полученных результатов для однородных изотропных осесим-метрично нагруженных оболочек с точными аналитическими решениями других авторов; проверкой практической сходимости числовых результатов в конкретных задачах.

Построенные решения для рассматриваемых классов оболочек, реализованные в виде проблемно-ориентированных комплексов и пакета прикладных программ, позволяют надежно, быстро и эффективно рассчитывать напряженно-деформированное состояние оболочечных элементов конструкций о учетом неоднородности и анизотропии упругих свойств материала при действии различных нагрузок.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в разработке и реализации на ЭВМ аффективных методов решения новых сложных задач статики неоднородных анизотропных толстостенных оболочек, что позволяет использовать их для определения напряженно-деформированного состояния оболочечных элементов конструкций разнообразного назначения. Некоторые результаты научного и прикладного характера внедрены в инженерную практику ряда предприятий страны, и по их техническим заданиям выполнены расчеты ответственных конструктивных оболочечных элементов. Ряд проведенных в работе исследований выполнен в соответствии о целевой программой РН.Ц.003 "Снижение материалоемкости оборудования и сооружений". Экономический эффект от внедрения научных разработок в производство составил более 500 тыс. рублей. Кроме того, разработанные алгоритмы и проблемно-ориентированные вычислительные комплексы сданы в Республиканский фонд алгоритмов и программ, что способствует дальнейшему их внедрению в различных отраслях народного хозяйства при расчете напряженности и дефор-мативности толстостенных неоднородных анизотропных оболочечных конструктивных элементов.

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Панкратова, Наталья Дмитриевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении диссертации сформулируем общие выводы научного и прикладного характера, вытекающие из полученных основных результатов.

В данной работе на основе трехмерных уравнений теории упругости предложен новый эффективный численно-аналитический подход к решению задач статики неоднородных анизотропных цилиндрических, сферических, конических и пологих прямоугольных в плане оболочек при определенных видах граничных условий. На основе предложенного подхода построены решения задач о напряженном состоянии рассматриваемых классов оболочек; разработаны алгоритмы их численного решения, реализованные в проблемно-ориентированных вычислительных комплексах и пакете прикладных программ; проведено исследование напряженно-деформированного состояния и выявлены трехмерные эффекты в распределении полей напряжений и перемещений, характерные для рассматриваемых классов оболочек; решены новые сложные задачи, позволившие оценить напряженность и деформатив-ность определенных конструктивных оболочечных элементов.

Полученные при этом основные научные результаты работы заключаются в следующем:

I. Разработан новый эффективный подход решения задач теории упругости для неоднородных анизотропных цилиндрических, сферических, конических и пологих прямоугольных в плане оболочек, находящихся под действием неравномерных силовых и температурных нагрузок. Разработанный численно-аналитический подход к решению краевых задач основан на совместном рациональном использовании различных аналитических преобразований, позволяющих провести строгое разделение переменных в исходной системе дифференциальных уравнений в частных производных, и устойчивого численного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, обеспечивающего получение решения с высокой степенью точности. Применение на одном этапе решения задачи численного метода существенно расширяет возможности и позволяет проводить исследование напряженного состояния в большом диапазоне изменения геометрических, механических и теплофизических параметров при различных силовых и температурных воздействиях.

2. На основе разработанного подхода построены решения задач статики неоднородных анизотропных оболочек следующих классов.

- Цилиндрические неоднородные анизотропные оболочки. Решения построены для некоторых вариантов граничных условий на торцах, допускающих разделение переменных. На торцах слоистых орто-тропных цилиндрических оболочек выполняются условия плоского торца или условия, при которых торцы связаны с диафрагмой, абсолютно жесткой в своей плоскости и гибкой из нее. Дано обобщение предложенного подхода для случая неоднородных граничных условий на торцах. Построено решение задачи о кручении слоистого ортотропного полого цилиндра с учетом точного удовлетворения граничных условий на торцах. Дано также решение задачи об осе-симметричном напряженном состоянии оболочек, когда материал каждого слоя имеет одну плоскость упругой симметрии. Предложены решения задач об изгибе и о напряженном состоянии слоистых цилиндрических оболочек под действием осевой силы и изгибающего момента.

- Сферические трансверсально-изотропные слоистые оболочки. Предложен метод решения задач статики несимметрично нагруженных неоднородных трансверсально-изотропных сферических оболочек. Решена задача об осесимметричной деформации слоистой трансверсаль-но-изотропной полой сферы. Дано решение задачи для незамкнутой неоднородной трансверсально-изотропной сферической оболочки в виде суммы двух решений. Первое является решением для замкнутой оболочки, второе представляет собой однородное решение для слоистой трансверсально-изотропной сферы.

- Конические неоднородные ортотропные оболочки. Дан метод решения задачи о напряженно-деформированном состоянии бесконечного полого ортотропного многослойного конуса при действии симметричных и несимметричных нагрузок, изменяющихся в радиальном направлении по полиномиальным законам.

- Пологие прямоугольные в плане неоднородные ортотропные оболочки и пластины. Построено решение задач статики ортотропных слоистых прямоугольных в плане пологих оболочек и пластин для случаев граничных условий, аналогичных условиям на торцах цилиндрических оболочек.

Для всех рассматриваемых классов задач предложен метод совместного определения стационарных температурных полей и вызванных ими напряжений и деформаций.

3. Разработаны алгоритмы и построены проблемно-ориентированные вычислительные комплексы по расчету напряженного состояния цилиндрических, сферических, конических и пологих толстостенных оболочек. Построен пакет прикладных программ, охватывающий указанные классы задач. С помощью автоматизированных вычислительных средств можно быстро и эффективно проводить исследование напряженного состояния неоднородных анизотропных оболо-чечных элементов как при равномерном так и при локализованном силовом и температурном воздействиях.

Проведено сопоставление результатов решения задач статики ортотропных однослойных и слоистых цилиндрических оболочек в пространственной постановке и по некоторым прикладным теориям оболочек в широких диапазонах изменения геометрических и механических параметров, неоднородности и анизотропии упругих свойств материала слоев, нагрузки, что позволило установить некоторые оценки применимости приближенных моделей. Использование разработанного аппарата решения задач статики оболочек в трехмерной постановке позволило провести оценку вклада отдельных допущений (учет деформаций поперечного сдвига, поперечных напряжений, обжатия и др.) в напряженное состояние оболочек в зависимости от геометрических параметров, неоднородности и анизотропии упругих свойств материала, способов приложенного воздействия. Показано, что решения, полученные на основании предложенного подхода, можно использовать в качестве эталонных при оценке погрешностей приближенных методов решения задач теории упругости и теории оболочек.

5. На основе разработанных методов проведен анализ напряженного состояния цилиндрических, сферических, конических и пологих прямоугольных в плане оболочек в широком диапазоне изменения параметров, характеризующих анизотропию материала, неоднородность и относительную толщину слоев оболочки при разнообразных видах нагружения, что дает возможность выявить и изучить пространственные эффекты в распределении напряжений и перемещений. Решены новые задачи по расчету напряженности и деформатив-ности оболочечных конструктивных элементов, работающих в условиях силовых и температурных воздействий. В частности, получены решения и проведен анализ напряженного состояния:

- цилиндрической оболочки из композиционного материала, полученной путем намотки спиральных и кольцевых слоев, под действием внутреннего давления и осевой растягивающей силы;

- сферической однослойной и трехслойной оболочек, находящихся под действием гидростатического давления;

- конической трехслойной оболочки из неизотропного материала под действием внутреннего давления;

- двухслойной цилиндрической оболочки, образованной намоткой, главные направления упругости которой не совпадают с направлением координатных линий;

- исследовано термонапряженное состояние теплозащитного покрытия конструктивного элемента в виде цилиндрической оболочки.

6. Предложенные методики внедрены на некоторых предприятиях страны, а также на их основе по техническим заданиям организаций выполнены расчеты напряженного состояния толстостенных оболочечных конструкций современной техники. Использование разработанных методов решения задач статики неоднородных анизотропных оболочек позволяет учитывать реальные упругие характеристики материала и сложные законы распределения температурного поля по толщине, выбирать оптимальные механические и геометрические параметры, повышать надежность конструкции.

Таким образом, полученные результаты в целом можно квалифицировать как теоретическое обобщение и решение крупной научной проблемы, имеющей важное народнохозяйственное значение и заключающееся в разработке эффективного подхода к решению задач о напряженном состоянии неоднородных анизотропных цилиндрических, сферических, конических и пологих оболочек в пространственной постановке, работающих в условиях силового и температурного наг-ружения, и решении на их основе новых классов задач применительно к элементам конструкций. Результаты работы в виде проблемно-ориентированных вычислительных комплексов и пакета прикладных программ внедрены на ряде предприятий и КБ страны с общим экономическим эффектом более полумиллиона рублей.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Панкратова, Наталья Дмитриевна, 1984 год

1. Абрамян Б,Л. К задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра.- Докл. АН Арм.ССР, 1954, 19, № 1. с.3-12.

2. Абрамян Б.Л. Некоторые задачи равновесия круглого цилиндра.-Докл. АН Арм.ССР, 1958, 24, №> 2, с.65-71.

3. Абрамян БД., Александров А.Я. Осесимметричные задачи теории упругости.- В кн.: Тр. П Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике. М., 1966, с.7-37.

4. Адамов А.А., Кузнецов Г.Б., Орлова Е.П. Расчет напряженно-деформированного состояния короткого цилиндра под действием собственного веса методом прямых.- В кн.: Тр. Пермского политехнического института, 1974, 153, с.53-58.

5. Адясова Н.М., Капустин С.А. Численное исследование применимости соотношений тонких оболочек при расчете кругового цилиндра, нагруженного радиальной кольцевой нагрузкой.- Прикл. проблемы прочности и пластичности, 1977, № 6, с.112-117.

6. Александров А.Я. Некоторые соответствия между функциями напряжений осесимметричной и плоской задач теории упругости для бесконечного полого тяжелого конуса.- Изв. Сибирского отд. АН СССР, 1962, № 2, с.15-24.

7. Александров А.Я., Куршин Л.М. Многослойные пластинки и оболочки.- В кн.: Тр. УП Всесоюз.конф. по теории оболочек и пластинок.- М.: Наука, 1970, с.714-721.

8. Александров А.Я., Бордин М.Я., Павлов В.В. Конструкции из пенопластов.- М.: Машиностроение, 1972.- 211 с.

9. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости.- М.: Наука, 1978.- 462 с.

10. Александров А.Я., Зиновьев Б.М. Решение трехмерных пространственных задач теории упругости путем численной реализацииметода интегральных уравнений.- В кн.: Аналитические и численные исследования в механике горных пород.- Новосибирск, 1981, с.54-64.

11. Александров В.М., Коваленко Е.В. О работе подсекции теории упругости У Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.- Прикл.механика, 1982, 15, № 12, с.123.

12. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек.- М.: Наука, 1974.- 446 с.

13. Арутгонян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел.- М.: Физ-матгиз, 1963.- 686 с.

14. Ахаева Л.К., Томилов В.Е. Задача термоупругости для сферы, помещенной в заданную среду.- В кн.: Ученые записки Томского университета, 1973, № 73, с.227-236.

15. Ашкенази Е.К., Гамов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов: Справочник.- 2-е изд. перераб. и доп.- Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1980.- 247 с.

16. Баблоян А.А. К задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра конечной длины из трансверсально-изотропного материала.- Изв. АН Арм.ССР, сер.ф.-м.н., 1961, 14, с.61-70.

17. Балабанов Л.М. Однородные решения и удовлетворение граничных условий на торцах в задаче о равновесии полого толстостенного изотропного цилиндра.- Изв. АН СССР. Мех.тВ.тела, 1968, № I, с.95-101.

18. Белоконь А.В., Маликов Е.П. Метод интегральных уравнений в задачах осесимметричной деформации трансверсально-изотропно-го цилиндра.- Изв. АН Арм.ССР, сер.мех., 1982, 35, № 2,с.17-26.

19. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука.- Л. Изд.автора (литограф), ч.1, 2, 1925.

20. Бидерман В,И. Механика тонкостенных конструкций.- М.: Машиностроение, 1977.- 488 с.

21. Биргер Б.И., Баранов В.П. Расчет температурных напряжений в ортотропном цилиндре.- Механика полимеров, 1972, № 2,с.310-314.

22. Блох В.И. Теория упругости.- Харьков: йзд-во Харьковского ун-та, 1964,- 483 с.

23. Боган Ю.А. Об осесимметричной задаче теории упругости для сильно анизотропного цилиндра.- Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1981, №53, с.12-21.

24. Боев Н.В., Устинов Ю.А. О точности некоторых прикладных теорий трехслойной сферической оболочки.- В кн.: Тр. ХП Всесоюз.конф. по теории оболочек и пластин.- Ереван, 1980, т.1, с.198-204.

25. Бокин Н.Н., Егоров Л.А., Иванов В.К., Афанасьев Ю.А. Орто-тропный конечный толстостенный цилиндр в стационарном температурном поле.- В кн.: Тр. Пермского политехнического института, 1977, № 214, с.32-39.

26. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений.- М.: Мир, 1964.- 517 с.

27. Болотин В.В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов. Расчеты на прочность. Сборник статей.- М.: Машиностроение, 1966, в.12, с.3-31.

28. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций.- М.: Машиностроение, 1980,- 375 с.

29. Болотина К.С. О термоупругой задаче для толстостенной сферической оболочки из слоистого композита.- Изв.вузов. Машиностроение, 1970, № 10, с.5-8.

30. Большаков А.Ю., Елтышев В.А., Поздеев А.А. Об одном подходе к решению трехмерных задач теории упругости.- В кн.: Краевыезадачи,- Пермь, 1979, с.54-57.

31. Бондарева В.Ф. Одна задача об упругом равновесии весомой толстостенной полусферы.- Изв. АН СССР. Мех.тв.тела, 1980, № I, с.87-94.

32. Быркэ И.О. К решению задачи Ламе для слоистого цилиндра.-В кн.: Вопросы механики деформируемых систем.- Кишинев, 1977, № I, с.26-32.

33. Быркэ М.С. Расчет многослойных и неоднородных цилиндров с использованием ступенчатых функций.- Изв.вузов. Машиностр., 1980, № 8, с.5-8.

34. Быркэ М.С., Шаргородский М.Т. Расчет многослойных конструкций с применением ЭВМ "Мир-2".- В кн.: Матем. методы в механике,- Кишинев; Штиинца, в.57, с.27-29.

35. Бюс.Г.И. К исследованию напряженно-деформированного состояния ортотропной цилиндрической оболочки в зоне защемления.-Тр. Моск.авиац.ин-та, 1979, № 470, с.22-28.

36. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. К оценке некоторых допущений в теории однородных и слоистых оболочек.» В кн.: Теория оболочек и пластин.- Л.: Судостроение, 1975, с.33-36.

37. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. Об определении температурных полей и напряжений в толстостенных цилиндрических и сферических оболочках.- Докл. АН УССР, сер.А,1975, №» I, с.35-38.

38. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. К решению задач статики толстостенных цилиндрических оболочек с неоднородными граничными условиями.- Докл. АН УССР, сер.А,1976, щ 2, с.134-138.

39. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. Напряженное состояние трансверсально-изотропных неоднородных толстостенных сферических оболочек.- Изв. АН СССР. Мех.тв.тела, 1976, №1, с.59-65.

40. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. Термонапряженное состояние толстостенных сферических оболочек.

41. В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций, в.16.-Киев: Наук.думка, 1976, с.50-54.

42. Василенко А.Т., Голуб Г.П., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. Об учете деформаций поперечного сдвига в ортотропных слоистых оболочках с переменными параметрами.- В кн.: Тр. ХП Всесоюз.конф. по теории оболочек и пластин.- Ереван, 1980, т.1, с.261-267.

43. Василенко А.Т., Панкратова Н.Д., Чупахе Л.Д. Алгоритм численного решения задач статики толстостенных цилиндрических оболочек под действием несимметричных нагрузок.- РФАП. Киев, 1980, спр. № 122.- 64 с.

44. Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Исследование напряженного состояния неоднородных цилиндрических оболочек.- Прикл. механика, 1982, 18, № 9, с.23-29.

45. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. Напряженное состояние толстостенных сферических оболочек под несимметричной нагрузкой.- Прикл.механика, 1982, 18, № 4, с.22-28.

46. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. Решение задач статики толстостенных цилиндрических оболочек при нежестком контакте слоев.- Докл. АН УССР, сер.А, 1983, № II, с.40-43.

47. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. Численное решение краевых задач термоупругости для многослойных полых цилиндров.- Вычислит, и прикл. математика, 1983, в.49, с.113-120.

48. Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. К решению задач об изгибеслоистого неоднородного полого цилиндра.- Прикл.механика, 1983, 19, № 4, с.24-29.

49. Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. К решению задач о кручении многослойного полого цилиндра.- Вычислит, и прикл. математика, 1983, № 50, с.88-94.

50. Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Равновесие анизотропных неоднородных полых цилиндров.- Прикл.механика, 1984, 20, № 8, с.11-18.

51. Васильев В.В., Лурье С.А. Осесимметричная деформация орто-тропной слоистой цилиндрической оболочки.- Мех. полимеров, 1972, № 5, с.816-823.

52. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики.- Киев: Вища школа, 1978.- 182 с.

53. Вигак В.М. О решении дифференциального уравнения второго порядка применительно к задаче теплопроводности для многослойных кусочно-однородных тел.- В кн.: Матем. методы и физ.-мех. поля.- Киев: Наук.думка, 1980, в.II, с.104-107.

54. Вигак В.М., Ригин A.M. Температурные напряжения в многослойном кусочно-однородном цилиндре.- В кн.: Матем. методы и физ.-мех.поля.- Киев: Наук.думка, 1982, № 15, с.63-67.

55. Владимиров B.C. Приближенное решение одной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.- ПММ, 1955, 19, № 3, с.315-330.

56. Власов Б.Ф. Об одном случае изгиба прямоугольной толстой плиты.- Вестник МГУ. Математика, механика, 1957, № 2, с.25

57. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике,- М.-Л.: Гостехиздат, 1979,- 784 с.

58. Волков А.Н. Построение теории многослойных толстых оболочек.» Тр. Ун-та дружбы народов им.Патриса Лумумбы, 1977, 83, № Ю, с.17-88.

59. Ворович И.И., Шленев М.А., Устинов Ю.А. К теории неоднородных по толщине плит.- Изв. АН СССР. Мех.тв.тела, 1975, № 3, с.119-129.

60. Галеркин Б.Г. Равновесие упругой сферической оболочки.- ПММ, 1942, 6, № б, с.487-496.

61. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений.- М.- Изд-во АН СССР, т.1, 1952.- 322 с.

62. Галилеев С.М. Метод операторных степенных рядов для решения задач теории упругости и строительной механики,- Строительная механика сооружений. Л., 1982, с.30-33.

63. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В, Метод "прогонки" для решения разностных уравнений.- В кн.: С.К.Годунова и В.С.Рябень-кого "Введение в теорию разностных схем": Физматгиз, 1962.-с.340.

64. Гогиашвили Д.В. Численные эксперименты по решению плоской граничной задачи статической теории упругости с помощью разложения по неортогональным функциям.- В кн.: Тр. вычислительного центра АН ГССР, 1978, 18, № I, с.36-47.

65. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.- Успехи матем.наук, 1961, 16, № 3, с.171-174.

66. Гольденвейзер А.Л. Методы обоснования и уточнения теории оболочек.- ПММ, 1968, 32, № 4, с.684-695.

67. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек.- 2-е изд.испр. и доп.- М.: Наука, 1976,- 512 с.

68. Грах Й.И., Сидорин Я.С. Об ограничениях на упругие коэффициенты анизотропных твердых тел.- Механика полимеров, 1974, te I, с.84-88.

69. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек.- Прикл.механика, 1972, 8, № 6, с.3-18.

70. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные оболочки вращения переменной жесткости.- Киев: Наук.думка, 1973.- 228 с.

71. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. К расчету напряженного состояния толстостенных неоднородных анизотропных оболочек.- Прикл.механика, 1974, 10, № 5, с.86-93.

72. Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д., Гуляр A.M., Козак А.Л., Сахаров А.С. О численном решении задач статики неоднородных тел вращения.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1979, №> 34, с.3-6.

73. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. О расчете напряженного состояния толстостенных оболочек из композиционных материалов.- В кн.: Тр. П нац.конф. по механике и технологии композиционных материалов.- София, 1979, с.233-236.

74. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Методы расчета оболочек. Т.4. Теория оболочек переменной жесткости.- Киев: Наук.думка, 1981.- 544 с.

75. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Несимметричная деформация толстостенных неоднородных сферических оболочек.- Докл. АН УССР, сер.А, 1981, № 6, с.41-44.

76. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. О решении задач статики слоистых оболочек в трехмерной постановке.-Вычислит, и прикл. математика, 1981, в.43, с.123-132.

77. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. К решению задач о напряженном состоянии многослойных полых сфер принесимметричных нагрузках.- Вычислит, и прикл. математика,1982, в.47, с.63-72.

78. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П., Панкратова Н.Д. К исследованию напряженного состояния анизотропных слоистых оболочек с переменными параметрами.- Механика композитных материалов, 1982, № 2, с.252-257.

79. Григоренко Я.М., Василенко А,Т., Панкратова Н.Д. Решение задач о напряженном состоянии неоднородного полого конуса.-Докл. АН УССР, сер.А, 1983, № I, с.39-42.

80. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Напряженное состояние неоднородного ортотропного полого конуса.-Прикл.механика, 1983, 19, № 7, с.12-18.

81. Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д., Чупаха Л.Д. Исследование напряженного состояния толстостенных цилиндрических оболочек с неоднородными граничными условиями.- Прикл.иеханика,1983, 19, № 6, с.19-24.

82. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. К определению температурных полей и напряжений в ортотропных слоистых цилиндрах.- В кн.: Матем.методы и физ.-мех.поля.- Киев: Наук.думка, 1983, №18, с.67-72.

83. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. К оценке допущений теории трехслойных оболочек с заполнителем.-Прикл.механика, 1984, 20, № 5, с.19-25.

84. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Исследование напряженности и деформативности композитных оболочек в пространственной постановке.- Механика композитных материалов, 1984, № 3, с.667-674.

85. Гримзе Л.Б., Морозов Н.Ф., Ривкинд В.Л. Пакеты программ для решения некоторых задач механики сплошной среды.- Тр. Ш семинара по комплексам программ мат.физ.- Новосибирск, 1973, с.42-47.

86. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Осесимметричная задача теории упругости (термоупругости) усеченного конуса.- Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1970, в.10, с.290-297.

87. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров.- Киев: Наук.думка, 1978.- 264 с.

88. Грунд Ф. Программирование на языке Фортран-1У.- М.: Мир, 1976.- 183 с.

89. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел.- Киев: Наук.думка, 1971.- 276 с.

90. Гузь А.Н., Бабич И.Ю. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек.- Киев: Вища школа, 1980.- 168 с.

91. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости.- Киев: Вища школа, 1982.- 350 с.

92. Гуляр А.И., Чорный С.М., Сахаров А.С. Сходимость моментной схемы метода конечных элементов в задачах упругого и пластического деформирования.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1978, в.32, с.3-10.

93. Гусар Н.Н., Чехов В.Н. Изгиб двухслойного цилиндра поперечной силой.- В кн.: Теоретическая и прикладная механика.

94. Киев-Донецк: Вшца школа, 1981, в.12, с.65-71.

95. Данелия Р.Н. Спектр однородных решений в полом однородном полубеоконечном цилиндре.- В кн.: Сакартвелос политекникури институти. Шромеби. Научн. тр. Груз, политехнич.ин-та, 1980, № 5/226, с.102-108.

96. Деткова М.И. Универсальная программа решения осесимметрич-ной задачи теории упругости.- В кн.: Применение электрон, вычисл. машин для решения задач, связан, с исслед., проек-тир., стр-вом и эксплуат. гидросооружений. ГЭС, ч.1, Л., 1973, c.I-II.

97. Дородницын А.А. Об одном методе решения уравнений пограничного слоя.- В кн.: Некоторые проблемы математики и механики.» Новосибирск: СО АН СССР, 1961, с.77-83.

98. Дудченко А.А. Исследование напряженного и деформированного состояния многослойной цилиндрической оболочки с учетом нагрева методом начальных параметров.- Тр. Моск.авиац.ин-та, 1976, № 362, с.18-24.

99. Дудченко А.А., Елпатьевский А.Н. Определение усилий и напряжений в слоях композиционного материала для пластины, находящейся в условиях плоского напряженного состояния.- Изв. вузов. Авиац.техн., 1978, №2, с.132-135.

100. Дудченко А.А., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки. Итоги науки и техники ВИНИТИ. Мех.деформ.тв.тела, 1983, 15, с.3-68.

101. Егоров М.И., Грачева Н.Б. Расчет напряжений в многослойных толстостенных трубах с учетом анизотропии материала.- В кн.: Вопросы атомной науки и техники. Сер. Ракетостроение, 1977, в.2(16), с.60-62.

102. Зюзин В.А. Осесимметричная задача теории упругости для сферы при радиально-степенном законе изменения упругих постоянных.

103. В кн.: Гидромеханика и теория упругости.- Днепропетровск, 1971, в.13, с.89-93.

104. Згозин В.А., Мусияка В.Г. Осесимметричная деформация многослойной полой сферы.- В кн.: Теор. и экспер.исслед.прочности, устойчивости и динамики конструкций.- Днепропетровск, 1973, с.3-5.

105. Иванов В.А. К определению коэффициента "постели" в задачах взаимодействия пластинок с упругим телом.- В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973, в.10, с.362-365.

106. Идельс Л.В. Численное решение интегральных уравнений основных пространственных осесимметричных задач теории упругости.- Механика деформируемого тела и расчет транспортных сооружений.- Новосибирск, 1982, с.38-44.

107. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В, Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем.- М.: Наука, 1977.- 331 с.

108. Ингульцев В.Л., Черномаз B.C. К расчету толстостенной неоднородной ортотропной трубы при осесимметричном нагружении.-Строит.механика и расчет сооружений, 1983, № 6, с.22-24.

109. Инденбаум В.М. Расчет напряжений в многослойных цилиндрических изделиях из комбинированных композитов.- Механика полимеров, 1975, te I, с.60-85.

110. Йенгер, Йоганда. Сравнение решения задачи теории упругости для длинной круговой цилиндрической оболочки с решениями . теории оболочек.- Ракетная техника и космонавтика, 1966, 4, № 12, с.14-21.

111. Калинка Ю.А., Липинь Я.Я., Митулис А.А. Расчет температурных напряжений в составном цилиндре.- Механика армир.пласт-масс.- Рига, 1981, с.103-107.

112. Кармишин А.В., Лясковец А.Н., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций.-М.: Машиностроение, 1975,- 375 с.

113. ИЗ. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.- М.: Наука, 1964,- 487 с.

114. Кильчевский Н.А. Анализ различных методов приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным и исследование постановки краевых задач теории оболочек.- В кн.: Теория пластин и оболочек.- Киев: Изд-гво АН УССР, 1962, с.58-69.

115. Коваленко А.Д. Основы термоупругости.- Киев: Наук.думка, 1970.- 307 с.

116. Коган Б.Н. К решению плоской задачи теории упругости для неоднородного цилиндра.- В кн.: Математические исследования.- Кишинев, 1976, № 40, с.62-65.

117. Коларов Д. Интегрирование уравнений пространственной граничной задачи теории упругости.- Теоретична и приложна механика, 1982, № 2, с.104-115.

118. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений.- М.: ИЛ, 1953.- 503 с.

119. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Пасько Д.А. Прочность полых цилиндров.- М.: Машиностроение, 1981.- 264 с.

120. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел.- М.: Высшая школа, 1975.- 526 с.

121. Колчин Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов.- Кишинев: Картя Молдованяскэ, 1971.172 с.

122. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородных тел. Библиограф.указ.отечест. и иностранной литерат.- Кишинев: Штиинца, 1973.- 243 с.

123. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородныхтел. Библиограф.указ.отечест. и иностранной литерат.-Кишинев: Штиинца, 1977.- 143 с,

124. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел.- Кишинев: Штиинца, 1977.- 119 с.

125. Колчин Г.Б. Задачи и методы теории упругости непрерывно неоднородных сред.- Теоретична и приложна механика, 1978, 9, № 3, с.76-79.

126. Колчин Г.Б., Плят I.H., Шейнкер Н.Я. Некоторые задачи термоупругости для прямоугольных областей. Применение специальных ортогональных полиномов к решению задач термоупругости.- Кишинев: Штиинца, 1980,- 103 с.

127. Коляно Ю.М., Процюк Б.В. Термоупругость многослойного цилиндра.- Докл. АН УССР, сер.А, 1976, № 8, с.718-721.

128. Коренев Б.Г. Задачи теплопроводности и термоупругости.- М.: Наука, 1980.- 400 с.

129. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1968.- 720 с.

130. Корнеев В.М., Баев Л.В., Горев Б.В., Демешкин А.Г. Эффект Сен-Венана в цилиндрическом образце из однонаправленного композита.- В кн.: Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1980, № 45, с.167-174.

131. Корнеев В.М. Осесимметричная деформация неоднородных тел вращения.- В кн.: Всесоюзный семинар по теории упругости неоднородного тела. Краткое содержание докладов.- Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1981, с.54-56.

132. Корнеев В.М. Применение метода разделения переменных в осеоимметричных пространственных задачах теории упругости неоднородных сред,- Математические исследования.- Кишинев, 1982, № 70, с.53-60.

133. Красновский И.Ю. Решение трехмерной задачи теории упругости для толстостенного круглого цилиндра.- В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек.- Казань, 1973, в.10, с.139-149.

134. Кузнецов Е.А. Осесимметричная задача неоднородной теории упругости с переменным коэффициентом Пуассона.- Докл. АН УССР, сер.А, 1982, №> 7, с.40-44.

135. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости.- 2-е изд., перер. и доп.- М.: Наука, 1976.663 с.

136. Куценко Г.В., Степаненко И.З., Улитко А.Ф. Задача Ламе о термонапряженном состоянии полого конуса.- В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций.- Киев: Наук.думка, в.16, 1976, с.31-36.

137. Ламзюк В.Д., Приварников А.К. Упругая деформация неоднородного многослойного пакета при неполном контакте слоев.-Докл. АН УССР, сер.А, 1977, № 7, с.618-622.

138. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа.- М.: Физматгиз, 1961.- 524 с.

139. Лебедев Н.Н. Температурные напряжения в теории упругости.-М.: ОНТИ, 1937.- 110 с.

140. Леонтьев Н.Н., Волков А.Н. Теория расчета многослойных толстых анизотропных цилиндрических оболочек.- Сб.тр.Моск.инж.-строит.ин-та, 1981, № 157, с.120-131.

141. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней.- М.: Наука, 1971,- 240 с.

142. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.- 2-е изд., испр. и доп.- М.: Наука, 1977.- 415 с.

143. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел.- М.: Изд-во МГУ, 1976.- 368 с.

144. Ломакин В.А. Проблемы механики структурно-неоднородных твердых тел.- Изв. АН СССР. Мех.тв.тела, 1978, № 6, с.43-52.

145. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости.- М.: Гостехиздат, 1955.- 492 с.

146. Лурье А.И. Равновесие упругой симметрично нагруженной сферической оболочки.- ПММ, 1943, 7, № 6, с.393-404.

147. Лурье А.И. Теория упругости.- М.: Наука, 1970.- 939 с.

148. Ляв А. Математическая теория упругости.- М.-Л,: ОНТИ, 1935.- 674 с.

149. Марчук Г.И. Численные методы расчета ядерных реакторов.-М.: Атомиздат, 1958,- 381 с.

150. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука, 1977.- 456 с.

151. Махоркин И.Н. Термоупругость кусочно-неоднородных сферических тел.- В кн.: Матем.методы в термомеханике.- Киев, 1978, с.163-172.

152. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС.- М.: Машиностроение, 1984.- 278 с.

153. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочеч-ных конструкций на ЭВМ. Справочник.- М.: Машиностроение, 1981.- 212 с.

154. Мяченков В.И., Петров В.Б., Преображенский И.Н. Численное решение трехмерной задачи теории упругости.- Расчеты на прочность.- М., 1983, № 2, с.61-73.

155. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач.- М.: Мир, 1982.- 294 с.

156. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек.- Л.-М.: Стройиздат, 1966.- 303 с.

157. Наумов Ю.А., Шевляков Ю.А., Чистяк В.И. К решению основных задач теории упругости для многослойных сред.- Прикл.механика, 1970, 6, № 7, с.25-31.

158. Немиш Ю.Н., Чернопиский Д.И. Упругое равновесие гофрированных тел.- Киев: Наук.думка, 1983.- 188 с.161; Никишин B.C. Напряженное состояние симметрично нагруженного кругового цилиндра.- М.: ВЦ АН СССР, 1965.- 193 с.

159. Никишин B.C. Задачи теории упругости для неоднородных сред.-М.: ВЦ АН СССР, 1976.- 60 с.

160. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред,- М.: ВЦ АН СССР, 1970.260 с.

161. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Задачи теории упругости для многослойных сред.- M.s Наука, 1973.- 131 с.

162. Новичков Ю.Н., Бутко A.M. Термоупругие краевые эффекты в многослойных цилиндрических оболочках.- Расчеты на прочность. М., 1976, в.17, с.76-84.

163. Новожилов В.В. Теория упругости.- Л.: Судпромгиз, 1958.370 с.

164. Новожилов В.В., Финкелыптейн P.M. О погрешности гипотез

165. Кирхгофа в теории оболочек.- ПММ, 1943, 7, № 5, с.331-340.

166. Пакет прикладных программ расчета пространственных сооружений./ Под редакцией Вашакмадзе Т.О. Тбилиси, 1982, ч.1.~ 117 с.

167. Панкратова Н.Д. Численное решение задач статики толстостенных неоднородных цилиндрических оболочек.- РФАП. Киев, 1979, спр. № 4.- 52 с.

168. Панкратова Н.Д. Алгоритм численного решения задач о напряженно-деформированном состоянии толстостенных сферических оболочек.- РФАП. Киев, 1979, спр. № 5.- 55 с.

169. Панкратова Н.Д. К исследованию напряженного состояния двухслойных цилиндрических оболочек.- Прикл.механика, 1979,15, № 4, с.31-37.

170. Панкратова Н.Д. К расчету термонапряженного состояния толстостенных цилиндрических оболочек.- В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций.- Киев: Наук.думка, 1980, в.20, с.63-66.

171. Панкратова Н.Д. Исследование напряженного состояния толстостенных неоднородных пологих оболочек.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1983, в.43, с.44-48.

172. Панкратова Н.Д. Анализ напряженного состояния неоднородных конических оболочек в пространственной постановке.- В кн.: Всесоюзная конференция "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов". М.: МАИ, 1983, с.80-81.

173. Панкратова Н.Д. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек на основе уравнений теории упругости.- Прикл.механика, 1983, 19, № 12, с.72-77.

174. Панкратова Н.Д. Численно-аналитическое решение задач теории упругости для неоднородных анизотропных тел вращения.

175. В кн.: Совещание по теории упругости неоднородного тела.-Кишинев, 1983, с.41-42.

176. Панкратова Н.Д. Напряженное состояние упругих толстостенных оболочек из композиционных материалов.- В кн.: 1У межотраслевая школа по проблемам проектирования конструкций.-Тбилиси, 1983, с.33-35.

177. Панкратова Н.Д. Решение задач статики незамкнутых слоистых сферических оболочек в пространственной постановке.-Прикл.механика, 1984, 20, № 10, с.31-36.

178. Панкратова Н.Д. Деформация толстостенных неоднородных сферических оболочек при нежестком контакте слоев.- Докл. АН УССР, сер.А, Д984, №6, с.49-52.

179. Панкратова Н.Д., Чупаха Л.Д. Численное решение задач статики толстостенных неоднородных пологих оболочек.- РФАП. Киев, 1979, спр. № 57.- 52 с.

180. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости.» М.: Наука, 1981.- 688 с.

181. Плотников М.М. К расчету анизотропного неоднородного цилиндра, модуль упругости которого кусочно-гладкая функция радиуса.- Изв.вузов. Машиностроение, 1969, № 10, с.25-28.

182. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности.- М.: МГУ, 1981.- 345 с.

183. Подильчук Ю.Н. Трехмерные задачи теории упругости.- Киев: Наук.думка, 1979.- 240 с.

184. Подильчук Ю.Н., Голобородько С.А. О трехмерном напряженном состоянии незамкнутой сферической оболочки.- Прикл.механика, 1979, 15, № II, с.38-45.

185. Подстригач Я.С., Воробец Б.С., Чернуха Ю.А. О термоупругом равновесии неоднородных тел.- В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций.- Киев: Наук.думка, 1976, в.16,с.23-28.

186. Пожуев В.И. К решению задач теории упругости для неоднородного плоского слоя.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1979, № 34, с.52-56.

187. Поляков Н.А., Устинов Ю.А. Асимптотическое поведение решения задачи теории упругости для сферической оболочки при негладких нагрузках.- ПММ, 1968, 32, № I, с.159-167.

188. Пономарев М.Т., Ермаков В.А. Определение напряжений и перемещений при осесимметричном деформировании цилиндров переменной толщины.- В кн.: Тр. Горьковского политехнич. ин-та, 1973, 29, №21, с.38-41.

189. Потейко В.Г. К расчету температурных напряжений в многослойных цилиндрах конечной длины.- В кн.: Ученые записки Томского университета, 1973, № 73, с.222-226.

190. Потейко В.Г. Осесимметричное напряженное состояние многослойных цилиндров.- В кн.: Ученые записки Томского университета, 1973, № 73, с.162-172.

191. Потейко В.Г, Осесимметричная задача упругости для толстостенного цилиндра скрепленного с тонкой оболочкой.- В кн.: Ученые записки Томского университета, 1973, № 73, с.140-147.

192. Приварников А.К. Пространственная деформация многослойного основания.- В кн.: Устойчивость и прочность элементов конструкций.- Днепропетровск, 1973, с.27-45.

193. Прокопов В.К. Равновесие упругого осесимметрично нагруженного толстостенного цилиндра.- ПММ, 1949, 13, № 2, с.135-144.

194. Прокопов В.К. Осесимметричная задача теории упругости для изотропного цилиндра.- Тр. Ленингр.политехнич.ин-та, 1950, №2, с.286-303.

195. Прокопов В.К., Бабешко М.Е., Стрюк В.К. Применение однородных решений к осесимметричной задаче теории упругости для цилиндров конечной длины.- Прикл.механика, 1977, 13, № 12, с.3-8.

196. Прочность и разрушение конструкций из композиционных материалов. Библиографический указатель отечественной и иностранной литературы за I95I-I98I гг.- Новосибирск, 1982.274 с.

197. Пуро А.Э. Применение преобразования Ханкеля для решения осесимметричных задач при степенной зависимости модуля упругости от глубины.- ПММ, 1973, 37, № 5, с.945-949.

198. Пуро А.Э. Разделение уравнений теории упругости при радиальной неоднородности.- ПММ, 1974, 38, № 6, с.1139-1144.

199. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии.- М.: Гос-техиздат, 1950.- 360 с.

200. Рвачев В.Л. Теория R -функций и некоторые ее приложения.-Киев: Наук.думка, 1982.- 550 с.

201. Рвачев В.Л., Манько Г.П. Генераторы программы серии "Поле" для решения задач математической физики.- Числ.методы механики сплошной среды, 1981, в.12, № 3, с.79-104.

202. Рвачев В.Л., Синекоп Н.С., Синекоп Н.И. Методика исследования напряженно-деформированного состояния анизотропных упругих тел в условиях эксплуатации генератора-программ "Поле".- Вычислит, методы кибернет.- Киев, 1982, с.3-14.

203. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах.- Киев: Наук.думка, 1979.196 с.

204. Рвачев В.Л., Манько Г.П. Автоматизация программирования в краевых задачах.- Киев: Наук.думка, 1983.- 232 с.

205. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977.656 с.

206. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978,- 592 с.

207. Саркисян B.C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела.- Ереван: Изд-во Ереван.ун-та, 1976.- 536 с.

208. Саркисян B.C., Овсепян Л.О. Плоская задача теории упругости неоднородных составных анизотропных тел.- Уч.зап.Ереван, гос.ун-та. Естеств.н., 1980, № I, с.36-45.

209. Синскоп Н.С., Кравченко Л.К, Приближенное решение осесим-метричной задачи для полого конечного цилиндра.- Математические методы анализа динамических систем, 1981, № 5,с.3-5.

210. Слесаренко А.П. Теплопроводность слоистых композитных ограниченных тел сложного сечения с учетом термических контактных сопротивлений.- йнж.-физический журнал, 1981, 40, № I, с.115-119.

211. Соляник-Красса К.В. Осесимметричная деформация конусов.-Инж.журнал, 1962, 2, № 3, с.74-87.

212. Стеклов В.А. О равновесии упругих тел вращения.- Сообщ. Харьков.матем.об-ва, П серия, 1882, т.Ш, № 4, 5.

213. Стребков Е.В. Итерационная схема для задачи о равновесии упругого конуса.- Казань, 1981.- 16 с. Рукопись представлена Казанским ун-том. Деп. в ВИНИТИ 16 апр. 1981, № 1586-81.

214. Тимошенко С.П. Курс теории упругости.- Киев: Наук.думка, 1972.- 501 с.

215. Тимошенко С.П. Статические и динамические проблемы теории упругости.- Киев: Наук.думка, 1975.- 563 с.

216. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости.- М.: Наука, 1975.- 575 с.

217. Третьяченко Г.Н., Грачева Л.И., Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Влияние зависимости коэффициента теплового деформирования от скорости нагрева на напряженное состояние теплозащитных покрытий.- Проблемы прочности, 1977, № 3, с.69-73.

218. Третьяченко Г.Н., Кравчук Л.В., Вдовенко В.Д., Грачева Л.И. Методика исследования деформаций наружных слоев теплозащитных покрытий.- Проблемы прочности, 1969, № 2, с.71-75.

219. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Курс современного анализа, и.2.-М.: Физматгиз, изд.2, 1963.- 516 с.

220. Улитин В.В. Алгоритм решения уравнений упругости, термоупругости и теплопроводности для оболочек вращения.- Строит, мех.сооруж. Л.; 1982, с.122-127.

221. Ул1Тко А,Т. Загальна задача про piBHOBary пружного конуса.-Прикл.механ1ка, I960, 6, №3, с.302-307.

222. Ул{тко А.Т. Про однорЦний розв'язок для визначения напру-жень в сферичн1й оболонцЬ- Прикл.мехаHiKa, 1962, 8, № 3, с.282-285.

223. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости.- Киев: Наук.думка, 1979.- 264 с.

224. Улитко А.Ф. Напряженное состояние полой сферы, загруженной осесимметричными силами.- Прикл.механика, 1968, 4,5, с.38-45.

225. Успенский А.А. Напряженное состояние анизотропного конуса при осесимметричном нагружении.- Прикл.механика, 1977, 13, № 5, с.17-22.

226. Устинов Ю.А. Некоторые свойства однородных решений неоднородных плит.- Докл. АН СССР, 1974, 216, № с.755-758.

227. Устинов Ю.А. Осесимметричное напряженно-деформированное состояние неоднородной цилиндрической оболочки малой толщины.- Прикл.механика, 1975, И, № 7, с.35-41.

228. Хмелев Ю.П. Точное решение для некоторых пологих оболочек средней толщины.- В кн.: Пространственные конструкции в Красноярском крае.- Красноярск, 1972, с.197-210.

229. Чжен С. О точной теории круговых цилиндрических оболочек.-Тр. Амер.об-ва инженеров-механиков, сер.Е. Прикл.механика, 1973, 40, с.269-275.

230. Ченцов Н.Г. Исследование фанеры, как анизотропной пластинки.- Техн.заметки ЦАГИ, 1936, № 91, с.1-27.

231. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1962,-Ч.1.- 274 с.

232. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы 7 Всес.конф., Миасс, 1-3 июля 1981. Ред. Фомин В.И. Новосибирск: Ин-т теор. и прикл.мех., 1982.323 с.

233. Шагнев В.А. Точные решения граничных задач для ортотропной упругой прямоугольной области.- Научные тр. Моск.лесотехн. ин-та, 1981, №131, с.115-121.

234. Шапиро Г.С. О равновесии конуса и конической оболочки.-ПММ, 1944, 8, № 4, с.332-336.

235. Шевляков Ю.А. Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред.- Киев-Одесса: Вщца школа, 1977.- 216 с.

236. Bathe K.J., Wilson E.L. Thick shells,- Struct. Mech. Conput. Programs* Surv. assessments and availability.- Charlottesville, 1974, p.123-141.

237. Bercha Frank G., Glokner Peter G. Numerical analysis of thick shells of revolution.- J. Eng. Mech., Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 1973, 99, N5, p.I053-I072.

238. Bert Charles W., Reddy V., Sudhakar. Cylindrical shells of bimodulus composite material.- J. Eng. Mech., Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 1982, 108, N5, p.675-688.

239. Chandrashekhara K., Gopalakrishnan P. Elasticity solution for a multilayered transversely isotropic circular shell.-Trans. ASMS, J. Appl. Mech., 1982, 49, N1, p.I08-II4.

240. Chandrashekhara K., Bhimaraddi A. Elasticity solution for a long circular sandwich cylindrical shell subjected to axisymmetric load.- Int. J. Solid and Struct., 1982, 18, N7, p.611-618.

241. Chandrashekhara K., Bhimaraddi A. Comparison of elasticity, shell core and sandwich shell theories.- AIAA Journ., 1983, 21, N1, p.114-119.

242. Chaudouct Anne. Cyclic symmetry and sliding between structures by the boundary integral equation method.- Boundary Elem. Meth. Proc. 3rd Int. Semin. Irvine, Calif, July, 1981, Berlin e.a.,1981, p. 206-223.

243. Chen W.I. Stresses in a transversly isotropic elastic coneuder an asymmetric force at its vertex.- Z. angew. Math, und Phys.,1965, 16, N3, s. 337-344.

244. Chen W.T. On some problems in spherically isotropic elastic materials.- Trans. ASME, ser.E, 1966, Jg, N3, p. 347-355.

245. Cheng. Shun, Angsirikul T. Three-Dimensional elasticity solutio: and edge effects in a spherical dome.- Trans ASME, ser.E,1977, 44, N4, p. 599-603.

246. De Yudhisthir. Stress in a non-homogeneous composite spherical pressure vessel.- Pen. fac. mecm. Instambul Univ. Rev. fac. sci, Univ. Instambul, 1970(1972), A35. p. Ю9-ИЗ.

247. Donald S.E. Thermoelastic analysis of a solid cone.- AIAA Journ,1966, 4, N1, p. II8-I25.

248. Dzialo P.I, Elasticity solutions for thick-wall sumbersible spheres.- Trans. ASME, ser.B., 1974, .26, N4, p. II36-II40.

249. Plavin S.N. Sain-Venant pointwise decay estimates.- J.Elast.,1982, 12, H3, p. 313-316.

250. Poppl A. Uber die Torsion von runden Staber mit veranderlichem Durchmesser.- Sitzungsb.Bauer. Akad. Wiss. Miinchen,I905, Bd.35-249 s.

251. Pranklin H.6., Kicher T.P. Stresses in a laminated composite cylinders.- AIAA Journ, 1968, 6, Nil, p. 2208-2209.

252. Pukuda H., Kawata K. Stress distribution of laminates including discontinuous layers.- Pibre Sci. and Technol., 1980, 13, N4, p. 255-267.

253. Gendre Pierre. Action d'ure force axiale sur un solide conique. C.r.Acad. Sci., ser.2,1982, 2^, N12, p. 947-950.

254. Gerhardt Terry 0., Cheng Shun. Truncated hollow spheres.- J. Eng. Mech., 1983, 109, N3, p. 885-895.

255. Graves. S.R., Adams D.F. Analysis of a bonded joint in a composite tude subjected to torsion.- Journ. of composite materials, 1981, N3, p. 211-224.

256. Gupta G., Rao Ш. Thermoelastic analysis о Г nonaxisymmetrically heated thick cylindrical shells.- Trans. ASME, ser.E, 1978, 100, N1, p. I07-III.

257. Hai-Chang Hu. On the general theory of elasticity for a spherically isotropic medium.- Acta Scienta, 1954, p. 247260.

258. Horgan C.O. The axisymmetric end problem for transversaly isotropic circular cylinders.- Int. J. Solid, and struct., 1974, 10, N8, p. 837-852.

259. Horgan C.O. Sain-Venant1s principle in anisotropic elasticity theory.- Colloq. int OKIES, 1982, N295: Comportement mec. solide s anisotropic. Colloq. Euromech 115, Villardde Zans, 12-22 Juin, 1979, 853-868.

260. Huston R.L. On non-homogeneous elastic sphere.- ZAMP, 1964, Bd. 44, b.I2, s. 573-577.

261. Jyengar K.T., Sundara R., Chandrashekhara K., Sebastian F.K. Thick circular cylindrical shells under aximmetric loading.-Acta mech., 1975, 22, N 1,2, p. 137-144.

262. Lesan D. Thermal stresses in a composite cylinders.- J. Therm. Stresses, 1980, Nz<-» P* 4-95-508.

263. Kasano H., Matsumoto H., Nakahara J. A Transversely isotropic circular cylinder under concentrated loads.- BULL ISME, 1980, 20, N 176, p. 170-176.

264. Kasano H., Tsuchiya H., Matsumoto H., Nakahara I. Трансвер-сально изотропный полый цилиндр под действием радиальной нагрузки,- Нихон кикай гаккай ромбунею,

265. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng., 1981, A47, N418, p.655-640.

266. Kichan Rao K. Thermal stresses in a solid elastic cone.-Indian J. Pure and Appl. Math.-1978, 9, N3, p.256-266.

267. Kishida M., Sasaki K. Application of indirect boundary integral method to three-dimensional problems in the linear, couple-stress theory.- Boundary Element Meth. Eng.Proc. 4th. Int. Semin., Southampton, Sept., 1982, Berlin, 1982, p.254-268.

268. Klosner J.M,, Kempner J. Comparison of elasticity and shell theory solution.- AIAA Journal, 1963, I, N5, p.627-630.

269. Klosner J.M., Levine H.S. Further comparison of elasticity and shell theory solution.- AIAA Journ., 1966, 4, N3, p.467-480.

270. Lai Y.S. Analysis of thick cylinder under non-axisymmetric loads.- Eng. Fract. Mech., 1977, 9, N1, p.95-101*

271. Lempriere B.M. Poisson ratio in orthotropic materials.-AIAA Journ., 1968, 6,N11, p.2216-2221.

272. Macovei T. Thermal stresses in anisotropic micropolar elastic cylinders.- An sti. Univ. Iasi, 1981, sec.Ia, 27, N1, p.185-194.

273. Maiti Monoranjan. Stresses in anisotropic non-homogeneous sphere.- J.Eng. Mech. Div., Proc. Amer. Soc. Civ.Eng.-1975, 101, N1, p.101-108.

274. Misra S.C., Achari H.M. On axisymmetric thermal stresses in ar anisotropic hollov/ cylinders.- J.Therm.Stress.,1980, 3, N4, p.509-520.

275. Nabarro F.R, Шйе calculation of thermal stresses in cylinders* Int.J.Efag*Ski.I98I, 12, N12, p.1651*1656.

276. Neuber H, Ein neuer Ansatz zur Losung raurnlicher Problem der Elastisitatstheoric Der Hohlkegel unter Einzellast als Beispiel.- Z. angew. Math, und Mech. 1934 Bd. 14.

277. Okumura Isamu. О методе решения изотермических задач теории упругости и задач определения температурных напряжений в полой сфере.- Добоку гаккай ромбун хококусю. Proc. Jap. Soc. Civ. Eng., 198I, N307, p.I-115.

278. Padovan J., Lestingi J. Thermoelasticity of anisotropic cylinndrical shells.- J. Therm. Stresses, 1980, v.3, v.2, p.261-276.

279. Pian Т.Н. Interactive program in design and analysis of composite materials.- Techn. Paper. Massachusetts Inst, of Technology. 1974.- 30p.

280. Schiff M. Sur l'equilibre d'un cylindre elastique.- J.Liouvil-le, Ser.III, 1885, t.IX.

281. Singh Avtar. Thermal stress within isotropic solids bounded by one or two cones.- Journal of Science and Engineering Research. Kharagpur., 1962, 6, N2, p.201-216.

282. Srinivas S., Rao A.K, Bending,vibration and buckling ofsimple thick orthotropic rectangular plates and laminated plates.-Intern. Journ. of Solids and Structures, 1970, 6, N11, p.1463-1481.

283. Srinivas S., Rao A.K., Rao C.V.I, Flexure of simply supported thick homogeneous and laminated rectangular plates.- Zeit. fSir angewandte Mathematik und Mechanik, 1969, 4£, N3, s.449-458.

284. Subhas Chandra Roy,Stresses in jtiorihomogeneous cylindrically anisotropic elastic cylinder.- Trans. ASME, E44, 1977, N4, p. 774-776.

285. Svalbonas V., Key J. Static, stability, and dynamic analysisof shells of revolution by numerical integration a comparison.-Nucl. Eng. and Des., 1974, 27, N1, p. 30-45.

286. Takakuda Kazuo, On integral equation methods for elastic boundary value problems.- 1st report. Direct methods for static problems. Bull. ISME, 1985, 26, N 212, p. 186-193.

287. Takeuti J., Ishida E., Tanigawa J. On an axisymmetric coupled thermal stress problem in a finite circular cylinder.-Trans. ASME: J. Appl. Mech., 1983, 50, HI, p. II6-I22.

288. Tauchert Т.Е. Thermal stresses in en orthotropic cylinder with temperature denendents elastic properties.- Dev.Theor. and Appl. Mech. vol.8 , s. I, s. a, 1976, p. 201-212,

289. Teh K.K., Brown K.C., Jones E. On the three dimensional analysis of thick laminated plates.-J. Sound and Vibr. ,1983, 88, N2, p. 213-224.

290. Theocaris P.S., Karayanopoulos N., Tsamasphyros G.

291. A numerical method for the solution of static and dynamic three dimensional elasticity problems.- Comput. and Struct., 1983,16, N6, p. 777-784.