Локальные параметрические колебания тонких оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кунцевич, Сергей Петрович

• Кунцевич, Сергей Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кунцевич, Сергей Петрович

ВВЕДЕНИЕ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Исходные уравнения.

2.3. Расщепление граничных условий.

2.4. Описание алгоритма построения форм локальных параметрических колебаний.

3. ЛОКАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ОСЕВОЙ НАГРУЗКИ.

3.1. Разрешающие уравнения.

3.2. Асимптотическое решение.

3.3. Перестройка асимптотического решения.

3.4. Влияние демпфирования.

3.5. Примеры.

3.6. Численное решение системы (3.1.7).

4. ЛОКАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПУЛЬСИРУЮЩЕГО ДАВЛЕНИЯ.

4.1. Параметрические колебания конических оболочек под действием пульсирующего давления.

4.2. Параметрические колебания цилиндрических оболочек под действием пульсирующего давления.

4.3. Примеры.

5. ЛОКАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ, БЛИЗКИХ К ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ.

5.1. Разрешающие уравнения.

5.2. Асимптотическое решение.

5.3. Случай параболического отклонения.

5.4. Примеры.

6. ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕРМОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.

6.1. Разрешающие уравнения.

6.2. Асимптотическое решение.

6.3. Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локальные параметрические колебания тонких оболочек»

Теория параметрически возбуждаемых колебаний является разделом теории неавтономных колебаний. Как известно, колебание называется неавтономным, если оно описывается дифференциальным уравнением, в общем случае второго порядка, имеющим вид в то время как для автономных колебаний явная зависимость от времени не имеет места. Неавтономные колебания называются вынужденными, если зависимость от времени аддитивна и периодична:

Если периодичны по времени коэффициенты (параметры) зависящего от у выражения в уравнении (0.1), то колебания называются параметрически возбуждаемыми или просто параметрическими.

Термин "параметрическое возбуждение" указывает на физическое происхождение колебаний. Зависящее от времени слагаемое в уравнении (0.2) физически (в частности, механически) обусловлено периодической вынуждающей силой, например, периодической поперечной силой при изгибных колебаниях стержня. Напротив, параметрическое возбуждение приводит к колебаниям, которые происходят в направлении, отличном от направления вынуждающей силы. Т.е., в отличие от вынужденных колебаний, параметрические колебания поддерживаются внешними силами косвенно — через изменение параметров системы [49, с.347].

Стандартным примером параметрических колебаний служат изгибные колебания прямого стержня, нагруженного периодической продольной силой. Вынужденные чисто продольные колебания в определенном интервале частот становятся неустойчивыми, и на них накладываются изгибные колебания с частотой, вдвое меньшей частоты вынуждающей силы [63, с.8].

При определенных соотношениях параметров задачи потеря устойчивости может произойти при динамической нагрузке, величина которой меньше критического статического значения. В этом и заключается важность исследования параметрических колебаний динамических систем.

У =f(y,y', 0,

0-1) = /] (y,y')+fi(i).

0.2)

По-видимому, впервые параметрические колебания были описаны Фа-радеем в 1831 году [65], которые наблюдал параметрические колебания жидкости в сосуде. В 1859 году Мельде наблюдал параметрические колебания струны [71]. Теоретические обоснования этим явлениям были даны Релеем [77] в 1883 году.

В СССР первое основополагающее исследование параметрически возбуждаемых колебаний шарнирно опертых стержней было опубликовано Н.М.Беляевым в 1924 году. В его работе [4] проблема колебаний сводилась к определению границ устойчивости решений дифференциального уравнения Матье при главном параметрическом резонансе. Впоследствии параметрически возбуждаемые колебания исследовались таким же образом.

В настоящее время тонкостенные оболочечные конструкции, сочетающие в себе легкость и прочность, нашли широкое применение в авиационной и ракетно-космической технике, в судостроении, в различных областях промышленности, они являются частью нефте- и путепроводов, корпусов судов и самолетов и т.д. Одной из важнейших задач на стадии проектирования таких конструкций является исследование их устойчивости под действием статических и динамических нагрузок.

Постановка задачи о динамической устойчивости плит и оболочек была сделана в 1939 году В.Н.Челомеем, который в книге [61] рассматривал динамическую устойчивость круговых цилиндрических оболочек, сжатых приложенными на торцах переменными силами.

За прошедшее время достаточно широко проведены исследования устойчивости тонкостенных изотропных цилиндрических оболочек, подверженных статическим изгибным и крутящим нагрузкам, осевому сжатию, гидростатическому давлению (см., например, [16, 19]). Имеющиеся исследования динамической устойчивости тонких оболочек не столь обширны.

Наиболее простыми и, следовательно, изученными являются так называемые одномерные задачи, когда искомые функции зависят только от одной координаты (осесимметричные оболочки). Тогда движение тела описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Существует большое количество приближенных методов расчета оболочек: методы, основанные на представлении решений в виде рядов, вариационные методы, метод сеток. Недостатком этих методов является то, что при решении конкретных задач они предполагают фиксирование определенных параметров, а также что их применение связано с большими вычислительными трудностями.

Значительно менее изученными являются двумерные задачи, когда напряженное состояние в оболочке по каким-либо причинам (неоднородное нагружение, овальность поперечного сечения, наличие косого края и т.д.) является неоднородным в направлении круговой координаты.

Для целого ряда двумерных задач динамической и статической устойчивости характерной чертой является то, что волнообразование происходит преимущественно в окрестностях некоторых точек или линий. Наиболее эффективными в этом случае могут быть асимптотические методы, сочетающие в себе за счет локализации простоту и точность.

В диссертации исследуются параметрические колебания, характеризующиеся предполагаемой локализацией волн вблизи некоторых линий на поверхности оболочек. Рассматривается случай слабого параметрического резонанса, когда амплитуда периодической составляющей нагрузки мала по сравнению с величиной статической составляющей нагрузки.

Поскольку в диссертации основное внимание отводится нахождению главной области параметрической неустойчивости, а не амплитуды параметрических колебаний, то в исходные уравнения не включаются члены, характеризующие нелинейные упругие и инерционные силы. О возможности использования линейной теории изгиба для предсказания возникновения из-гибных колебаний свидетельствует, например, совпадение теоретических и экспериментальных исследований, описанных в [78].

Используемый для анализа исходных уравнений асимптотический метод впервые был предложен в работе [73] для решения задач о колебаниях цилиндрической оболочки и представляет собой сочетание метода П.Е.Товстика [59] и метода многих масштабов [40]. В диссертации этот метод распространяется на конические оболочки и оболочки вращения, близкие к цилиндрическим.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Элементы многих инженерных конструкций, используемых в различных областях человеческой деятельности, представляют собой тонкие оболочки. Исследование их устойчивости под действием статических и динамических нагрузок является неотъемлемой частью их проектирования. В свою очередь, необходимым элементом исследования динамики оболочек является определение собственных частот и форм малых колебаний, причем наибольший интерес для приложений представляют частоты из нижнего спектра. Использование в инженерной практике полимерных материалов делает обязательным учёт вязкоупругих свойств при исследовании низкочастотных колебаний оболочек.

В случае параметрически возбуждаемых колебаний работоспособность оболочки зависит от соотношения параметров задачи, при которых она динамически устойчива. Поэтому для оболочек, испытывающих периодические (силовые, температурные и др.) воздействия, во многих случаях определяющим является расчет на параметрическую устойчивость.

В диссертации рассматриваются параметрические колебания, характеризующие предполагаемой локализацией волн вблизи некоторых линий на поверхности оболочек.

Природа локализации свободных колебаний упругих цилиндрических и конических оболочек средней длины достаточно хорошо изучена [18, 56, 57]. Овальность поперечного сечения, переменность толщины, неоднородность материала, из которого изготовлена оболочка, наличие косых краев, отклонения срединной поверхности от цилиндрической, неоднородность температурного поля и ряд других факторов могут приводить к появлению на поверхности оболочки так называемых "наиболее слабых" образующих [59]. В окрестности этих линий колебания, соответствующие нижнему спектру, имеют максимальную амплитуду. Представляется очевидным, что характер параметрически возбуждаемых колебаний оболочки с переменными параметрами во многом определяется наличием слабых линий. Однако, в подавляющем большинстве работ по параметрической неустойчивости тонких оболочек предполагается, что геометрические и физические характеристики оболочки постоянны, а возбуждаемые колебания охватывают всю поверхность оболочки. Из сказанного следует актуальность исследования форм параметрических колебаний и определения условий динамической неустойчивости с учётом наличия на поверхности оболочки слабых мест.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнена в рамках темы Т97-142 "Нестационарные волновые процессы в тонких оболочках при динамических нагрузках" Белорусского республиканского Фонда фундаментальных исследований (1998— 2000), номер госрегистрации 2000387 от 02.02.2000 г. и, частично, в рамках Государственной программы фундаментальных исследований (ГПФИ) "Механика-15" "Локальные колебания, виброзащита/виброконтроль и устойчивость слоистых композитных оболочек с учётом их механических особенностей".

Цель и задачи исследования. Цель работы — исходя из уравнений технической теории оболочек с использованием асимптотического ВКБ-метода и метода многих масштабов исследовать формы локальных параметрических колебаний тонких оболочек, возникающих под действием периодических во времени сил или температурного поля.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Определить наименьшую собственную частоту локальных колебаний оболочек.

2. Определить условия возникновения локальных параметрических колебаний тонких оболочек.

3. Найти волновые числа и получить амплитудные уравнения.

4. Найти главную область параметрической неустойчивости и исследовать влияние на нее физических и геометрических факторов.

Методы исследования. Для исследования локальных параметрических колебаний в диссертации используется асимптотический метод П.Е.Товстика [59] в сочетании с методом многих масштабов [40]. Идея метода состоит в том, что благодаря локализации форм колебаний в окрестности некоторой образующей ср - ф0, когда интенсивные колебания охватывают лишь небольшую часть поверхности оболочки, можно выполнить асимптотическое разделение времени t, продольной координаты s и окружной координаты ф. Подстановка асимптотического разложения формы колебаний w s, ф, 0 = Wj<s, £>, to, 'l) exp |i + \ b^

7 = 0 t, t}=zt, £ = 8 1/2 (cp - Фо), Im b > 0 в уравнения движения и краевые условия позволяет свести исходную двумерную краевую задачу к последовательности одномерных краевых задач на фиксированной образующей ф = ф0.

Данный алгоритм впервые был предложен [73] для решения задач о колебаниях цилиндрических оболочек. В диссертации этот метод распространяется на случай конических оболочек и оболочек вращения, близких к цилиндрическим. Более подробное изложение метода содержится в §2.4.

Научная новизна и значимость полученных результатов. В работе впервые получены условия возникновения локальных параметрических колебаний цилиндрических оболочек под действием пульсирующей осевой нагрузки; условия возникновения локальных параметрических колебаний ци-» линдрических оболочек, конических оболочек и оболочек вращения, близких к цилиндрическим, под действием пульсирующего внешнего давления; условия возникновения локальных параметрических колебаний цилиндрических оболочек, находящихся в переменном температурном поле; получено амплитудное уравнение, инвариантное относительно формы оболочки и способа параметрического возбуждения; найдена главная область локальной параметрической неустойчивости; исследовано влияние физических и геометрических факторов на главную область локальной параметрической неустойчивости.

Практическая значимость полученных результатов. Результаты раf боты могут быть использованы в научно-исследовательских и проектно-кон-структорских организациях при определении напряженно-деформируемого состояния ответственных элементов конструкций, расчете надежности, долговечности и несущей способности деталей машин и сооружений.

Экономическая значимость полученных результатов. Результаты работы позволяют избежать проведения дорогостоящих лабораторных, натурных экспериментов и связанных с ними энергетических и материальных затрат при определении собственных частот колебаний, напряженно-деформируемого состояния и условий динамической неустойчивости реальных конструкций, оценки технико-эксплутационных свойств промышленных изделий и сооружений.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Построены формальные асимптотические решения полубезмоментных уравнений теории тонких оболочек, определяющие формы локальных параметрических колебаний тонких оболочек с переменными характеристиками под действием неоднородной пульсирующей нагрузки.

2. Найдено амплитудное уравнение и определены границы главной области локальной параметрической неустойчивости, инвариантные относительно формы оболочки и вида нагружения.

3. Получена форма локальных параметрических колебаний тонкой цилиндрической оболочки, находящейся под действием статической и периодической осевых сил, неравномерно распределенных по контуру края. В явном виде получены формулы для границ главной области параметрической неустойчивости. Исследовано влияние внутреннего демпфирования на локальные параметрические колебания и границы главной области параметрической неустойчивости. Выполнено сравнение аналитического решения с решением, полученным численным методом.

4. Построена форма локальных параметрических колебаний тонких оболочек нулевой гауссовой кривизны (конических и цилиндрических), находящихся под действием неоднородного пульсирующего давления. Для цилиндрической оболочки в явном виде получены условия возникновения локализованных форм параметрических колебаний, коэффициенты амплитудного уравнения, а также формулы для границ главной области параметрической неустойчивости; исследовано влияние условий закрепления краев и величины угла наклона края на главную область параметрической неустойчивости.

5. Получена форма локальных параметрических колебаний оболочек вращения, близких к цилиндрическим, находящихся под действием неоднородного пульсирующего давления. Для случая параболического отклонения исследовано влияние глубины отклонения и угла наклона края на главную область параметрической неустойчивости.

6. Получены условия возникновения и построена форма локальных параметрических колебаний цилиндрических оболочек, находящихся в неравномерном пульсирующем тепловом поле. В явном виде получены формулы для границ главной области параметрической неустойчивости.

Личный вклад соискателя. Личный вклад соискателя заключается в построении формальных асимптотических решений полубезмоментных уравнений теории тонких оболочек, соответствующих формам локальных • параметрических колебаний тонких оболочек; в исследовании локальных параметрических колебаний тонких оболочек с различными геометрическими характеристиками под действием различных типов нагружения.

Все основные результаты выполненной работы получены автором лично. В работах, выполненных в соавторстве, соавтором была предложена форма конструируемых асимптотических решений исходных уравнений.

Апробация результатов диссертации. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на II Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика-99" (Минск, 1999), Вторых Поляховских чтениях (С.-Петербург, 2000), VIII Белорусской математической конференции (Минск, 2000), Международной математической конференции "Еругинские чтения - VI" (Гомель, 1999), на международном семинаре "Day on Diffraction'2000", на семинаре кафедры "Теоретическая и прикладная механика" СПбГУ (2003), на семинаре кафедры "Теоретическая механика" Белорусского Национального технического университета (2003), на семинарах кафедры "Прикладная математика и механика" ВГУ им. П.М.Машерова (1998-2004).

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, полный перечень которых приведен в Заключении.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, шести глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Работа содержит 107 страниц машинописного текста, 5 таблиц, 26 рисунков. Библиографический список включает 80 названий.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кунцевич, Сергей Петрович

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Кунцевич С.П. Параметрические колебания некруговой вязкоупругой цилиндрической оболочки // Вестник ВГУ. — 1998. — №3. — С.87-93.

2. Кунцевич С.П. Параметрические колебания оболочки вращения, близкой к цилиндрической // Вестник ВГУ. — 2001. — №1. — С.71-77.

3. Кунцевич С.П. Численное решение уравнений локальных параметрических колебаний тонкой цилиндрической оболочки // Вестник ВГУ. — 2003. — №3. — С.117-122.

4. Кунцевич С.П., Михасев Г.И. Локальные параметрические колебания некруговой конической оболочки под действием неоднородного пульсирующего давления // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2002. — №3. —С. 156-163.

5. Mikhasev G.I., Kuntsevich S.P. Thermoparametric Vibrations of Noncircular Cylindrical Shell in Non-stationary Temperature Field 11 Technische Mechanik. — 1997. —Band 17, Heft 2. — S.l 13—120.

6. Kuntsevich S.P., Mikhasev G.I. Parametric Vibrations of Viscoelastic Cylindrical Shell under Static and Periodic Axial Loads. // Technische Mechanik. — 1999. — Band 19, Heft 3. — S.187-195.

7. Кунцевич С.П., Михасев Г.И. Локальные параметрические колебания некруговой вязкоупругой конической оболочки под действием неоднородного пульсирующего давления // Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. — С.-Пб., 2000. — С.278-288.

8. Кунцевич С.П. О влиянии вязкого трения на устойчивость локальных параметрических колебаний конической оболочки // Еругинские чтения — VI: Тезисы докладов международной математической конференции. — Гомель, 1999, —Ч.2. — С.31-33.

9. Кунцевич С.П., Михасев Г.И. Параметрические колебания вязкоупругой некруговой конической оболочки // Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. — Мн., 1999. — С.333-334.

10.Кунцевич С.П. Локальные параметрические колебания некруговой цилиндрической оболочки под действием неоднородного пульсирующего давления // Восьмая Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов. — Мн., 2000. — Т.З. — С. 121.

11 .Kuntsevich S.P., Mikhasev G.I. Influence of viscosity on local parametric vibrations of thin conic shells under pulsing pressure // Day on Diffraction' 2000. International seminar. Programme and Abstracts. Saint Petersburg, May 29 - June 1, 2000. P.46.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработана методика определения условий возникновения и построения форм локальных параметрических колебаний тонких оболочек под действием неоднородной пульсирующей нагрузки и нахождения главной области параметрической неустойчивости. С помощью разработанной методики:

1. Построена форма локальных параметрических колебаний тонкой цилиндрической оболочки, находящейся под действием статической и периодической осевых сил, неравномерно распределенных по контуру края. В явном виде получены формулы для границ главной области параметрической неустойчивости. Исследовано влияние внутреннего демпфирования на локальные параметрические колебания и границы главной области параметрической неустойчивости.

2. Получены условия возникновения параметрической неустойчивости и построена форма локальных параметрических колебаний тонких оболочек нулевой гауссовой кривизны (конических и цилиндрических), находящихся под действием неоднородного пульсирующего давления. Для случая цилиндрической оболочки в явном виде получены коэффициенты амплитудного уравнения и выражение для границ главной области параметрической неустойчивости; исследовано влияние длины оболочки, угла наклона края и способов закрепления на главную область параметрической неустойчивости.

3. Построена форма локальных параметрических колебаний оболочек вращения, близких к цилиндрическим, находящихся под действием неоднородного пульсирующего давления. Для случая параболического отклонения исследовано влияние глубины отклонения и угла наклона края на главную область параметрической неустойчивости.

4. Решена задача о локальных термопараметрических колебаниях некруговых цилиндрических оболочек, находящихся в неравномерном пульсирующем тепловом поле. В явном виде получены формулы для границ главной области параметрической неустойчивости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кунцевич, Сергей Петрович, 2004 год

1. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Параметрические колебания цилиндрической оболочки в переменном электрическом поле // Известия РАН. МТТ.1997. —№2. —С.151-160.

2. Алексеева Н.К. К вопросу динамической устойчивости пологих оболочек // Прикладная механика. — 1969. — Т.5, №12. — С.60-68.

3. Бейпин Е.А., Джанелидзе Г.Ю. Обзор работ по динамической устойчивости упругих систем // Прикладная математика и механика. — 1952. —-Т. 16, №5. — С.635-648.

4. Беляев Н.М. Устойчивость призматических стержней под действием переменных продольных сил // Инженерные сооружения и строительная механика: Сб. ст. — Л., 1924. — С. 149-167.

5. Богданов Ю.С., Мазаник С.А., Сыроид Ю.Б. Курс дифференциальных уравнений: Учеб. пособие. — Мн.: Ушверсггэцкае, 1996. — 287 с.

6. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. — М.: Гостех-теориздат, 1956. — 600 с.

7. Болотин В В. О поперечных колебаниях стержней, вызываемых периодическими продольными силами // Поперечные колебания и критические скорости: Сб. статей Ин-та машиноведения АН СССР. — М.: Изд. АН СССР, 1951. С.46-77.

8. Бондаренко А.А., Галака П.И. Параметрическая неустойчивость стекло-пластиковых цилиндрических оболочек // Прикладная механика. — 1977.1. Т. 13, №4. —С. 124-128.

9. Бондаренко А.А., Телалов A.M. Динамическая неустойчивость цилиндрических оболочек при продольном кинематическом возмущении // Прикладная механика. — 1982. — Т.18, №1. — С.57-61.

10. Брачковский Б.З. О динамической устойчивости упругих систем // Прикладная математика и механика. — 1942. — Т.6, №1.

11. Букашкина О. С. Нелинейные параметрические колебания конической оболочки // Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. — С.-Пб., 2000. — С.247-257.

12. Василенко А.Т., Кокошин С.С., Черинько П.Н. Решение задач о параметрических колебаниях оболочек вращения методом конечных элементов // Прикладная механика. — 1991. — Т.27, №3. — С.32-37.

13. Василенко А.Т., Черинъко П.Н. Анализ параметрических колебаний оболочек вращения с переменными параметрами // Прикладная механика. — 1988. — Т.24, №4. — С.52-57.

14. Вибрации в технике. Колебания линейных систем / Под ред. Болотина В.В. — М.: Машиностроение, 1978. — Т.1. — 352 с.

15. Власов В.З. Общая теория оболочек и её приложение в технике. — М.: Гостехиздат, 1949. — 784 с.

16. Волъмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1967.984 с.

17. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. — М.: Наука, 1976.512 с.

18. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.В., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. — М.: Наука, 1979. — 384 с.

19. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. — М.: Наука, 1978.360 с.

20. Кильчинская Г.А. О термопараметрическом резонансе гибких оболочек в нестационарном температурном поле // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Вып.З. — Киев: Изд-во АН УССР, 1963. — С. 132-141.

21. Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С., Подчасов Н.П. О динамической неустойчивости круговых цилиндрических оболочек, имеющих начальную погибь // Прикладная механика. — 1982. — Т.18, №3. — С.28-33.

22. Колъман Э.Р. Устойчивость конической оболочки при динамическом на-гружении равномерным давлением // Изв. ВУЗов. Машиностроене. — 1968. —№4, —С.60-65.

23. Комиссарова Г.Л. Динамическая устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, находящихся в неравномерном температурном поле // Тепловые напряжения в элементах конструкций: Сб. ст. — Киев, 1966. — Вып.6, —С. 184-196.

24. Кунцевич С.П. Локальные параметрические колебания некруговой цилиндрической оболочки под действием неоднородного пульсирующего давления // Восьмая Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов. — Мн., '2000. — Т.З. — С. 121.

25. Кунцевич С.П. О влиянии вязкого трения на устойчивость локальных параметрических колебаний конической оболочки // Еругинские чтения — VI: Тезисы докладов международной математической конференции. — Гомель, 1999. —Ч.2. — С.31-33.

26. Кунцевич С.П. Параметрические колебания некруговой вязкоупругой цилиндрической оболочки // Вестник ВГУ. — 1998. — №3. — С.87-93.

27. Кунцевич С.П. Параметрические колебания оболочки вращения, близкой к цилиндрической // Вестник ВГУ. — 2001. — №1. — С.71-77.

28. Кунцевич С.П. Численное решение уравнений локальных параметрических колебаний тонкой цилиндрической оболочки // Вестник ВГУ. — 2003. — №3. — С.117-122.

29. Кунцевич С.П., Михасев Г.И. Локальные параметрические колебания некруговой вязкоупругой конической оболочки под действием неоднородного пульсирующего давления // Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. — С.-Пб., 2000. — С.278-288.

30. Липовский Д.Е. Параметрический резонанс цилиндрических оболочек с искривленными образующими // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. — 1969, — №1. — С.40-47.

31. Марков А.Н. Динамическая устойчивость анизотропных цилиндрических оболочек // Прикладная математика и механика. —1949. — Т. 13, №2. — С.145-150.

32. Михасев Г.И. Волновые пакеты в тонких оболочках: Дис. . д-ра ф.-м. наук: 01.02.04. — Минск, 1998. — 238 с.

33. Михасев Г.И. Некоторые задачи устойчивости оболочек, близких к цилиндрическим // Вестник ЛГУ. — 1987. — №1. Вып.1. — С.67-72.

34. Мишенков Г.В. О динамической устойчивости пологой цилиндрической оболочки // Тр. конф. по теории пластин и оболочек, 1960. — Казань, 1961. — С.239-245.

35. Молчанов А.И. Асимптотическое интегрирование системы уравнений свободных колебаний некруговых оболочек, близких к оболочкам нулевой гауссовой кривизны // Вестник ЛГУ. — 1987. — №2, вып.1. — С.106-107.

36. Молчанов А.И. Свободные колебания некруговых оболочек, близких к оболочкам нулевой гауссовой кривизны // Вестник ЛГУ. — 1986. — №4, вып.1, —С.43-45.

37. Муштари Х.М., Галимов КЗ. Нелинейная теория упругих оболочек. — Казань, 1957, —431 с.

38. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. — М.: Мир, 1984. — 535 с.

39. Найфэ А.Х. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976. — 455 с.

40. Ножак Г.В. Параметрические колебания цилиндрической оболочки, сжатой пульсирующей нагрузкой // Прикладная механика. — 1965. — Т.1, №7. — С.135-138.

41. Образцова Е.И. Нелинейные параметрические колебания цилиндрической оболочки с жидкостью при продольном возбуждении // Изв. ВУЗов, вузов. Авиационная техника. — 1976. — №3.

42. Образцова Е.И., Шклярчук Ф.Н. Нелинейные параметрические колебания цилиндрического бака с жидкостью // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1979. — №4. — С.133-145.

43. Огибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек.

44. М.: Изд-во МГУ, 1968. — 520 с.

45. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. — М.: Изд-во МГУ, 1969.—695 с.

46. Ониашвили О.Д. О динамической устойчивости оболочек // Сообщения АН Грузии. — 1950. — Т.11, №3. — С. 169-175.

47. Писаренко Г.С., Чемерис А.Н. К вопросу о динамической устойчивости цилиндрической оболочки // Рассеяние энергии при колебаниях механических систем: Сб. ст. — Киев, 1968. -—С. 107-114.

48. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник в 3 т. Т.З. / Под ред. И.А.Биргера и Я.Г.Пановко. — М.: Машиностроение, 1968.

49. Работное Ю.Н. Локальная устойчивость оболочек // Доклады АН СССР.1946. —Т.52, №2. —С.П 1-112.

50. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1979, —744 с.

51. Сальников Г.М. Устойчивость и колебания конической оболочки при комбинированных нагрузках // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. — 1966, — №4, — С.57-62.

52. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1989. — 616 с.

53. Сибукаев Ш.М. Параметрические колебания пологой цилиндрической оболочки // Доклады АН Уз. ССР. — 1969. — №10. — С.6-8.

54. Товстик П.Е. Двумерные задачи устойчивости и колебаний оболочек нулевой гауссовой кривизны // Доклады АН СССР. — 1983. — Т.271, №1.1. С.69-71.

55. Товстик П.Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических и конических оболочек // Прикладная математика и механика. — 1983. — Т.47, №5, —С.815-822.

56. Товстик П.Е. Об определении наименьшей частоты колебаний конической оболочки вращения // Исследования по упругости и пластичности: Сб. ст. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. — Вып.6.

57. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы.

58. М.: Наука. Физматлит, 1995. — 320 с.

59. Флюге В. Статика и динамика оболочек. — М.: Госстройиздат, 1961. — 306 с.

60. Челомей В.Н. Динамическая устойчивость элементов авиационных конструкций. — М.: Изд-во Аэрофлота, 1939. — 79 с.

61. Шклярчук Ф.Н. О параметрических колебаниях цилиндрической оболочки, частично заполненной жидкостью, при продольном возбуждении // Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. ст. — Новосибирск, 1973.

62. Шмидт Г. Параметрические колебания. — М.: Мир, 1978. — 336 с.

63. Шулежко Я. Ф. Исследование динамической устойчивости цилиндрической оболочки под действием осевых периодических сил высокой частоты // Украинский математич. журнал. — 1963. -— Т. 15, №3. — С.338-343.

64. Faraday М. On a peculiar class of acoustical figures, and on certain forms assumed by a group of particles upon vibrating elastic surfaces // Phil. Trans. Roy. Soc.—London, 1831. — Vol.121. — P.299-318.

65. Kornecki A. Dynamic stability of truncated conical shells under pulsating pressure // Israel J. Technol. — 1966. — Vol.4, №1-2. — P. 110-120.

66. Krotov A. V., Tovstik P.E. Asymptotically Double Natural Frequencies of Thin Elliptical Cylindrical Shell Vibrations // Day on Diffraction' 97. International seminar. Proceedings. Saint Petersburg, June 3-5, 1997. — P. 128-134.

67. Kuntsevich S.P., Mikhasev G.I. Influence of viscosity on local parametric vibrations of thin conic shells under pulsing pressure // Day on Diffraction' 2000. International seminar. Programme and Abstracts. Saint Petersburg, May 29 June 1, 2000. — P.46.

68. Kuntsevich S.P., Mikhasev G.I. Parametric Vibrations of Viscoelastic Cylindrical Shell under Static and Periodic Axial Loads. // Technische Mechanik. — 1999. — Band 19, Heft 3. — S. 187-195.

69. Michel G., Combescure A., Jullien J.F. Finite element simulation of dynamic buckling of cylinders subjected to periodic shear // Thin-Walled Structures. — 2000. — Vol.36, №2. — P.l 11-135.

70. Mikhasev G.I. Free and Parametric Vibrations of Cylindrical Shells under Static and Periodic Axial Loads // Technische Mechanik. — 1997. — Band 17, Heft 3. — S.209-216.

71. Mikhasev G.I., Kuntsevich S.P. Thermoparametric Vibrations of Noncircular Cylindrical Shell in Non-stationary Temperature Field // Technische Mechanik. — 1997. — Band 17, Heft 2. — S.l 13-120.

72. Ng T.Y., Lam K.Y. Effects of boundary conditions on the parametric resonance of cylindrical shells under axial loading // Shock and Vibration. — 1998. — Vol.5, №5. —P.343-354.

73. Popov A.A., Thompson J.M.T., Croll J.G.A. Bifurcation analyses in the parametrically excited vibrations of cylindrical panels // Nonlinear Dynamics. — 1998. — Vol.17, №3. — P.205-225.

74. Strutt J. W. Lord Rayleigh. On the crispations of fluid resting upon a vibrating support // Phil. Mag. — 1883. — Vol.16. — P.50-53.

75. Vijayaraghavan A., Evan-Iwanowski R.M. Parametric instability of circular cylindrical shells // Trans. ASME. — 1967. — E 34, №4. — P.985-990. // Journal of Applied Mechanics, Vol.31, Dec. 1967, pp.985-990.

76. Yao John C. Dynamic stability of cylindrical shells under static and periodic axial and radial loads // AIAA Journal. — 1963. — Vol.1, №.6. — P. 13911396.

77. Yao Jonh C. Nonlinear elastic buckling and parametric excitation of a cylinder under axial loads // Trans. ASME. — 1965. — E 32, №1. — P. 109-115.