Решение задач механики деформирования оболочек методом функционального нормирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Меньков, Георгий Борисович

• Меньков, Георгий Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Меньков, Георгий Борисович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВ А 1. МЕТОД ФУНКЦИОНАЛЬНОГО НОРМИРОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ГЛАВ А 2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ СЛОИСТЫЕ ОРТОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ

2.1. Постановка краевой задачи

2.2. Разделение переменных. Аналитическое решение обыкновенных дифференциальных уравнений

2.3. Исследование влияния обобщенных жесткостей слоистого материала на изменяемость решений обыкновенных дифференциальных уравнений

2.4. Функциональное нормирование фундаментальной системы решений обыкновенных дифференциальных уравнений краевой задачи

2.5. Алгоритм решения краевых задач

ГЛАВ А 3. КОНИЧЕСКИЕ СЛОИСТЫЕ ОРТОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ

3.1. Постановка краевой задачи

3.2. Разделение переменных. Комплексное преобразование системы обыкновенных дифференциальных уравнений ^

3.3. Фундаментальная система решений дифференциального уравнения в окрестности начала координат

3.4. Формы представления обобщенной гипергеометрической функции для решения дифференциального уравнения при произвольных значениях параметров конической оболочки

3.4.1. Степенные ряды

3.4.2. Асимптотические разложения 69 3.4.3 Численное интегрирование

3.5. Формы представления О-функции для решения дифференциального уравнения при произвольных значениях параметров конической оболочки

3.5.1. Степенные ряды

3.5.2. Асимптотические разложения

3.6. Фундаментальная система решений дифференциального уравнения в окрестности бесконечно удаленной точки комплексной плоскости

3.7. Универсальное асимптотическое решение дифференциального уравнения при больших значениях независимого переменного и

параметров

3.8. Выражения для физических величин задачи

3.9. Выбор фундаментальной системы решений и ее функциональное нормирование при решении краевой задачи

3.10. Выражения для производных и интегралов от решений дифференциального уравнения

3.11. Осесимметричное нагружение конической оболочки

3.11.1 Разрешающее уравнение

3.11.2. Решение дифференциального уравнения

3.11.3. Осесимметричное кручение оболочки

3.11.4. Функциональное нормирование фундаментальной системы решений дифференциального уравнения краевой

задачи \ \

3.12. Антисимметричное нагружение конической оболочки

3.12.1. Разрешающее уравнение U4

3.12.2. Построение фундаментальной системы решений однородного дифференциального уравнения

3.12.3. Частные решения неоднородного дифференциального уравнения и смещения оболочки как жесткого целого Ц8

3.12.4. Функциональное нормирование фундаментальной системы решений дифференциального уравнения краевой

задачи

3.13. Алгоритм решения краевых задач

ГЛАВ А 4. СФЕРИЧЕСКИЕ СЛОИСТЫЕ ОРТОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ

4.1. Постановка краевой задачи

4.2. Разделение переменных. Комплексное преобразование обыкновенных дифференциальных уравнений

4.3. Решение дифференциальных уравнений

4.4. Функциональное нормирование фундаментальной системы решений обыкновенных дифференциальных уравнений краевой задачи

4.5. Определение перемещений

4.6. Особенности осесимметричного нагружения

4.7. Особенности антисимметричного нагружения

4.8. Алгоритм решения краевых задач

ГЛАВ А 5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ

ЭКСПЕРИМЕНТЫ

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

183

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задач механики деформирования оболочек методом функционального нормирования»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Современный уровень развития теории оболочек, описывающей широкий класс распространенных на практике тонкостенных конструкций, предъявляет высокие требования к теоретическим методам анализа прочности этих изделий. Противоречие между стремлениями повышения прочности и снижения массы конструкции, а также высокая стоимость экспериментальных исследований, диктуют необходимость в эффективных, то есть более точных и экономичных, расчетных методах. Особенно это актуально для изделий из композиционных материалов, когда возможность выбора наилучшей структуры материала должна быть подкреплена многовариантными расчетами с применением как численных, так и аналитических методов.

Исторически первыми появились аналитические методы решения уравнений теории оболочек. К их несомненным достоинствам относятся возможность глубокого анализа решений и априорной оценки погрешности результатов. Усилиями многих исследователей было получено большое количество аналитических выражений в элементарных и специальных функциях, описывающих напряженно-деформированное состояние оболочек в рамках как полной моментной теории, так и различных приближенных теорий. Однако вычисления, основанные на этих формулах, столкнулись с труднопреодолимой проблемой. С одной стороны, число математических операций так велико, что решение возможно только с применением ЭВМ. С другой стороны, определение произвольных постоянных из граничных условий для длинных и тонких оболочек приводит к неустойчивому счету из-за наличия среди решений

быстровозрастающих и быстроубывающих функций. Эта специфическая особенность уравнений теории оболочек привела к возникновению принципиально различных подходов для длинных и для коротких оболочек, что затрудняет создание универсальных методов расчета и, как правило, требует дополнительной оценки погрешности результатов. Итак, обозначились серьезные трудности в приложениях аналитически полученных решений дифференциальных уравнений теории оболочек, и большой накопленный научный потенциал во многом оказался невостребованным.

В то же время бурно развивались численные методы, для которых были разработаны специальные дополнительные математические процедуры (различные варианты метода прогонки и другие), преодолевшие неустойчивость счета ценой существенного снижения эффективности вычислений. Численные методы позволили решить большое количество задач и, подкрепленные постоянным совершенствованием вычислительной техники, стали базой для создания мощных и универсальных средств расчета различных конструкций. Однако потребность в более глубоких, например, многопараметрических исследованиях, вопросы экономичности вычислений и особенно точности результатов до сих пор требуют привлечения аналитических методов, которые в этом смысле остаются эталоном.

Так ставшие привычными в методах прогонки трудоемкие дополнительные процедуры, необходимые для устойчивого счета, зачастую далеки от физического содержания решаемых задач, поэтому при аналитическом подходе, допускающем исследование поведения применяемых элементарных и специальных функций, вполне логичным выглядит стремление отказаться от дополнительных процедур и тем самым существенно повысить эффективность счета. Обоснованием

возможности такого шага может служить тот факт, что в задачах, допускающих расчет "вручную", то есть без применения ЭВМ, обычно удается построить такие решения, которые не встречают вычислительных трудностей. Поскольку для одной и той же системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно построить различные фундаментальные системы решений (ФСР), необходимо установить общие подходы к построению удобных для вычисления решений и применить их на ЭВМ при расчете оболочек. Существование подобных ФСР для оболочек вращения может быть обосновано и из физических соображений. Например, при решении краевых задач по линейной теории рассмотрим восемь одинаковых оболочек, у каждой из которых на одном из двух торцов заданы ненулевыми либо изгибающий момент, либо поперечная сила, либо радиальное перемещение, либо угол поворота срединной поверхности. НДС этих оболочек линейно независимы, и соответствующие им восемь потенциальных функций (то есть решений разрешающего уравнения) составляют ФСР, обладающую указанными свойствами.

Таким образом, численные и аналитические методы решения задач теории оболочек призваны дополнять друг друга. На фоне широкого применения численных методов, позволяющих решать сложные задачи, но требующих трудоемких вычислений и дополнительных усилий по оценке погрешности счета, актуальной является проблема совершенствования аналитических методов, особенно при решении на ЭВМ краевых задач.

Целью настоящей работы является построение для обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных методом Фурье разделения переменных, таких фундаментальных систем решений в элементарных и специальных функциях, которые позволили бы методом нормирования получить

устойчивый счет при решении на ЭВМ краевых задач механики деформирования оболочек с произвольными геометрическими параметрами.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

1. Для обыкновенных дифференциальных уравнений теории оболочек построены фундаментальные системы решений в элементарных и специальных функциях с выделением из них доминирующих.

2. Предложен метод функционального нормирования решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Построены алгоритмы решения на ЭВМ краевых задач для слоистых цилиндрических, конических и сферических оболочек с произвольными геометрическими параметрами.

4. Получены результаты решения краевых задач для локально нагруженных слоистых оболочек в широком диапазоне геометрических параметров.

5. Исследовано влияние обобщенных жесткостей слоистого материала на изменяемость решений обыкновенных дифференциальных уравнений теории оболочек.

Достоверность результатов и выводов диссертации обеспечивается строго обоснованными математическими преобразованиями при доказательстве теоретических положений, соответствием контрольных расчетных результатов известным результатам решения краевых задач, совпадением результатов расчета одних и тех же физических объектов в рамках различных моделей механики твердого деформированного тела.

Практическая ценность работы состоит в следующем: - обеспечена возможность применения на ЭВМ многочисленных аналитических решений дифференциальных уравнений при решении краевых задач;

- построены устойчивые алгоритмы аналитического решения на ЭВМ краевых задач для слоистых цилиндрических, конических и сферических оболочек с произвольными параметрами;

- построены гарантированно точные решения задач о локализованных воздействиях на слоистые оболочки, для которых из-за опасности расслоения композиционного материала предъявляются высокие требования к точности результатов.

В настоящее время в области решения краевых задач теории оболочек получены обширные результаты фундаментального и прикладного характера. Трудно перечислить всех исследователей, которые внесли вклад в развитие численных и аналитических методов расчета оболочек и успешно решали многочисленные практические задачи. Вместе с тем современное состояние теории оболочек наряду с достигнутыми результатами ставит и серьезные проблемы. Так для пластин и цилиндрических оболочек уравнения содержат постоянные коэффициенты, и во многих работах (например, [6,15,21,40]) получены характеристические уравнения и решения в экспоненциальных, гиперболических функциях, функциях Крылова и других для оболочек как по классической теории, так и по уточненным теориям. Однако численные результаты приводятся либо только для коротких или бесконечно длинных оболочек, либо получаются иными методами - например, численными или с применением двойных тригонометрических рядов.

Отметим, что в расчетной практике понятие "длинная оболочка" определяется не собственно длиной конструкции, а сочетанием многих ее параметров: длины, толщины, радиусов кривизны, свойств материала, номера гармоники при разложении в ряд Фурье и т. д. Например, одна и та же оболочка

и

СС «-"51 СС 55

может оказаться одновременно длинном и короткой для различных номеров гармоник. Необходимость для упрощения решения в дополнительной оценке "длины" оболочки и связанных с таким упрощением погрешностей снижает ценность точного решения уравнений теории оболочек. Поэтому даже для относительно простых уравнений с постоянными коэффициентами создание единого подхода к расчету оболочек произвольной длины стало насущной необходимостью.

Для сферических оболочек уравнения содержат переменные коэффициенты и сводятся к гипергеометрическому уравнению, которое имеет второй порядок. Интересный анализ свойств различных решений этого уравнения применительно ко сферической оболочке приведен в работе В.И.Авдеева [2], где подробно рассмотрен вопрос о точности результатов, получаемых при разных формах решения, и даны рекомендации по выбору ФСР разрешающего уравнения. Однако даже после выбора удачной ФСР необходимо нормирование полученных решений, без которого для длинных оболочек невозможно получение хорошо обусловленной матрицы системы алгебраических уравнений для определения постоянных из граничных условий. Поэтому естественным продолжением этих исследований, так же как и для цилиндрических оболочек, должно стать обоснование возможности расчета по единой методике оболочек произвольной длины с помощью не только правильного выбора ФСР, но и нормирования входящих в нее функций.

Аналитический расчет конических оболочек представляет собой еще более сложную задачу, поскольку уравнения с переменными коэффициентами уже не сводятся к хорошо изученному гипергеометрическому уравнению и в общем

случае после комплексного преобразования имеют не второй, а четвертый порядок.

Из работ, посвященных этой проблеме, выделим книгу А.Д.Коваленко, Я.М.Григоренко и Л.А.Ильина [60]. В ней получены результаты, послужившие основой для дальнейшего развития аналитического метода расчета конических оболочек.

Так на важном этапе расчета оболочек - получении разрешающего уравнения - авторы усовершенствовали предложенный В.В.Новожиловым [78] метод комплексного преобразования уравнений теории оболочек и применили его для изотропных оболочек с произвольным значением коэффициента Пуассона. Тем самым с точностью самой теории оболочек осуществлен переход от системы уравнений восьмого порядка к одному уравнению четвертого порядка относительно функции комплексного переменного. В настоящее время бурно развиваются технологии с применением композиционных материалов, и возникает необходимость в применении комплексного преобразования к уравнениям для оболочек из слоистых материалов.

Для нулевой гармоники разложения, то есть при осесимметричном нагружении, и для первой гармоники, то есть при антисимметричном нагружении, разрешающие уравнения имеют не четвертый, а второй порядок, и для оболочек постоянной толщины решения в [60] выражены через хорошо изученные функции Томсона первого и второго рода, применение которых удобно в силу двух обстоятельств. Во-первых, при произвольных параметрах конической оболочки для вычисления функций Томсона достаточно всего двух методов: при малых значениях независимой переменной можно использовать степенные ряды или разложения по ортогональным полиномам, а при больших

значениях переменной - асимптотические разложения в окрестности бесконечно удаленной точки. Как правило, область применения этих методов ограничена, но в данном случае их сочетание обеспечивает достаточную точность при произвольных значениях независимой переменной. Во-вторых, ФСР обыкновенных дифференциальных уравнений, построенная с помощью функций Томсона, линейно независима в окрестности бесконечно удаленной точки комплексной плоскости. Однако приведенные в книге результаты расчетов охватывают область лишь достаточно коротких оболочек, то есть достигнутые результаты для нулевой и первой гармоник нуждаются в развитии с точки зрения нормирования ФСР.

Решение задачи для других гармоник, то есть при циклической деформации конической изотропной оболочки постоянной толщины, когда разрешающее уравнение имеет четвертый порядок, в книге [60] выражено через обобщенные гипергеометрические функции. Построенная таким образом ФСР пригодна для вычислений только в окрестности вершины оболочки - при малых значениях независимой переменной. При больших же ее значениях, имеющих место в практических задачах, воспользоваться этой системой решений не удается из-за того, что во все решения входит одна и та же доминирующая функция. Поэтому в задаче о неосесимметричном нагружении слоистой ортотропной конической оболочки, когда номер гармоники больше единицы, возникает проблема построения и нормирования такой ФСР разрешающего уравнения, которая была бы линейно независимой при счете на ЭВМ и позволяла рассчитывать оболочки произвольной длины и толщины.

Рассмотрим еще одну важную для аналитических расчетов проблему -вычисление специальных функций, через которые выражаются решения

уравнений теории оболочек. Большое количество известных методов -разложения в степенной ряд, разложения по ортогональным полиномам, функциям Бесселя, рациональные и полиномиальные приближения, асимптотические разложения и другие - к сожалению, не гарантирует успешности вычисления необходимых функций при произвольных значениях аргумента, поскольку область применимости каждого из методов ограничена. Так для обобщенной гипергеометрической функции и для О-функции Мейера асимптотические методы хорошо работают при больших значениях аргумента и небольших величинах параметров, а другие перечисленные выше методы - при малых значениях аргумента. Как указывает Люк [109], наиболее сложным оказывается случай больших величин параметров, особенно когда и значения аргумента велики. О вычислении специальных функций в этом случае в литературе практически нет никаких упоминаний, за исключением решений уравнений порядка не выше второго, например [112]. В то же время вычисление функций в таком диапазоне переменной и параметров необходимо даже при небольших номерах гармоник для уравнения четвертого порядка, описывающего напряженно-деформированное состояние конической оболочки.

Таким образом, несмотря на большие преимущества, которые предоставляет аналитический подход к исследованию тонкостенных конструкций, многие аналитически полученные ФСР для оболочек и аналитические алгоритмы решения краевых задач перестали использоваться из-за неустойчивого счета на ЭВМ. Поэтому целью настоящей работы стало построение для обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных методом Фурье разделения переменных, таких фундаментальных систем решений в элементарных и специальных функциях, которые позволили бы методом

нормирования получить устойчивый счет при решении на ЭВМ краевых задач механики деформирования оболочек с произвольными геометрическими параметрами.

Причина неустойчивости вычислений в рассматриваемом случае заключается в том, что среди интегралов дифференциальных уравнений есть быстроизменяюгциеся функции. Такой характер решений создает трудности, которые можно условно разбить на три основные задачи, требующие исследования.

Во-первых, на этапе построения ФСР нужно исключить доминирование одних функций над другими внутри каждого решения разрешающего уравнения, потому что если в каждое решение или какую-то часть ФСР войдут одна или несколько быстровозрастающих функций, то они будут доминировать при больших значениях аргумента, и такая ФСР станет практически линейно зависимой, а матрица системы линейных алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных из граничных условий - плохо обусловленной. Поскольку для одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений существуют различные ФСР, возникает задача построения такой ФСР, которая при счете остается линейно независимой для произвольных параметров оболочки. В литературе эта задача для тонкостенных конструкций решалась лишь применительно к уравнениям с постоянными коэффициентами или к уравнениям с переменными коэффициентами, имеющим порядок не выше второго.

Во-вторых, необходимо создать метод нормирования построенных ФСР, чтобы элементы матрицы системы линейных алгебраических уравнений стали сравнимыми с единицей величинами. Тем самым возникает возможность

использования огромного накопленного научного потенциала, поскольку многие уже известные решения не применяются при расчетах на ЭВМ именно из-за трудностей с нормированием.

В-третьих, нужно обеспечить вычисление полученных специальных функций с гарантированной точностью.

Структурно диссертация состоит из введения и краткого обзора литературы, пяти глав, основных результатов и выводов и списка литературы.

В первой главе формулируется предлагаемый метод функционального нормирования решений обыкновенных дифференциальных уравнений для краевых задач.

Вторая глава посвящена получению аналитических решений для краевых задач механики деформирования слоистых цилиндрических оболочек.

Исходя из общих уравнений статики для оболочек вращения, строится система разрешающих уравнений в перемещениях. После разделения переменных методом Фурье получается характеристическое уравнение. Решения однородных обыкновенных дифференциальных уравнений выражаются через экспоненциальные функции. Частные решения неоднородных уравнений для полиномиального распределения нагрузки по меридиану оболочки определяются методом неопределенных коэффициентов. Корни характеристического уравнения находятся в замкнутом виде по формулам Феррари. Подробно исследуется влияние номера члена ряда Фурье и жесткостей ортотропного материала на величины корней и, следовательно, на изменяемость решений обыкновенных дифференциальных уравнений теории оболочек.

Методом функционального нормирования строится система решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Для произвольных параметров

оболочки получается хорошо обусловленная матрица системы алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных из граничных условий.

Третья глава посвящена построению аналитических решений для краевых задач механики деформирования слоистых конических оболочек. В результате комплексного преобразования уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние оболочки, получается одно разрешающее уравнение четвертого порядка относительно функции комплексного переменного. В окрестности начала координат ФСР дифференциального уравнения выражается через обобщенную гипергеометрическую функцию, а в окрестности бесконечно удаленной точки комплексной плоскости - через С-функцию Мейера. Обсуждаются различные формы представления этих функций: с использованием степенного ряда, асимптотических разложений и процедур численного интегрирования. Для каждого из методов анализируются основные трудности, возникающие при реализации вычислений на ЭВМ, и приводятся практические рекомендации по выбору метода.

Решение краевых задач при одновременно больших по модулю значениях независимого переменного и параметров возможно с помощью еще одной, третьей, ФСР, которая была построена в данной работе с помощью универсального асимптотического разложения.

Аналитическое решение на ЭВМ краевых задач для слоистых конических оболочек при произвольных геометрических параметрах обеспечивается построением трех указанных ФСР разрешающего уравнения, определением границ их применимости и функциональным нормированием.

Линейно независимые при счете ФСР строятся также для нулевой и первой гармоник разложения в ряд Фурье, когда уравнения теории оболочек

упрощаются. После комплексного преобразования получаются уравнения второго порядка, решения которых выражаются через функции Томсона и обобщенную гипергеометрическую функцию. При построении ФСР обыкновенных дифференциальных уравнений главную роль играет исследование вопроса о доминировании одних решений над другими и последующее функциональное нормирование.

Четвертая глава посвящена построению аналитических решений для краевых задач механики деформирования слоистых сферических оболочек. После разделения переменных методом Фурье получаются обыкновенные дифференциальные уравнения. Проводится их комплексное преобразование, получаются три разрешающих уравнения.

Решения дифференциальных уравнений выражены через гипергеометрические функции, элементарные функции и степенные ряды, коэффициенты которых связаны рекуррентными формулами с коэффициентами гипергеометрических рядов. В построенной ФСР выделены доминирующие функции. Для получения хорошо обусловленной матрицы системы алгебраических уравнений краевой задачи достаточно лишь функционально нормировать ФСР согласно общей формуле предлагаемого метода.

Пятая глава посвящена описанию вычислительных экспериментов. Решались краевые задачи для локально нагруженных как изотропных, так и слоистых ортотропных оболочек, для которых из-за опасности расслоения композиционного материала предъявляются высокие требования к точности результатов.

На примере консольно закрепленной ортотропной цилиндрической оболочки при различных видах нагружения оценено влияние дополнительной

конструкционной анизотропии, связанной с особенностями технологии изготовления композиционных материалов с перекрестной намоткой, на напряженно-деформированное состояние локально нагруженных

цилиндрических оболочек. Относительное изменение компонент тензора напряжений оказывалось, как правило, меньше относительного изменения соответствующих компонент матрицы приведенных жесткостей.

Приведены результаты решения краевых задач для жестко закрепленной по двум торцам слоистой цилиндрической оболочки, нагруженной в среднем сечении по кольцевой линии малой длины. Рассматривались оболочки с отношением радиуса к толщине R/h=\00 и отношением длины к радиусу 7/R от 1 до 100. Численно проиллюстрирована сходимость рядов Фурье по окружной координате при весьма больших номерах гармоник, учет которых необходим при моделировании нагрузки в виде ступенчатого импульса постоянной интенсивности. Также показано, что при //R = 100 практически выполняется гипотеза плоских сечений, то есть результаты совпадают с полученными по теории стержней.

Приведены результаты для консольно закрепленных изотропных цилиндрических оболочек, нагруженных на свободном торце сосредоточенной силой, с параметрами R/h=300, //R от 25 до 150. Численно проиллюстрирован переход от модели оболочки к стержневой модели.

Приведены результаты для консольно закрепленной слоистой конической оболочки, нагруженной на свободном торце по кольцевой линии. Для различных диапазонов значений независимого переменного и параметров дифференциального уравнения исследована применимость трех построенных в работе ФСР и методов вычисления специальных функций (степенные ряды,

ряды по ортогональным полиномам, рациональные приближения, асимптотические разложения, численное интегрирование дифференциальных уравнений).

Приведены результаты для консольно закрепленной слоистой сферической оболочки, нагруженной на свободном торце циклически изменяющимися нагрузками. Численно оцениваются необходимые для достижения заданной точности количества членов гипергеометрических рядов.

Вычислительные эксперименты подтвердили эффективность аналитического решения на ЭВМ краевых задач для оболочек с произвольными параметрами без разбиения оболочки на участки, без увеличения порядка системы уравнений и без дополнительных вычислительных процедур.

На защиту выносятся следующие новые научные результаты:

1. Фундаментальные системы решений обыкновенных дифференциальных уравнений теории оболочек в элементарных и специальных функциях с выделением из них доминирующих.

2. Метод функционального нормирования решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Алгоритмы аналитического решения на ЭВМ с гарантированной точностью краевых задач для слоистых цилиндрических, конических и сферических оболочек с произвольными параметрами.

4. Численные результаты в области предельного перехода от модели оболочки к стержневой модели.

Апробация работы и публикации. Основные положения диссертации докладывались на Международном симпозиуме "Advances in Structured and Heterogeneous Continua II" (Москва, 1995 г.), на XVI, XVII международных

конференциях по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 1993 г.; Казань 1995 г.) , на Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика-95" (Минск, 1995 г.), на Международной конференции "Современные проблемы машиноведения - научные чтения, посвященные П.О.Сухому" (Гомель, 1996 г.) , в Научно-исследовательском институте механики Московского государственного университета им. Ломоносова М.В., в Институте прикладной механики Российской академии наук.

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях [25,26,27,28,29,69,70,71,72,73,110,111]. Работы [25,26,27,28,29] выполнены совместно с Ю.И.Виноградовым, который принимал участие в постановке задач и обсуждении полученных результатов.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Меньков, Георгий Борисович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Впервые обоснована возможность расчета на ЭВМ оболочек при произвольных геометрических параметрах без разбиения оболочки на участки, без увеличения порядка системы уравнений и без дополнительных вычислительных процедур. Достигнуто существенное повышение эффективности счета.

2. Предложен метод функционального нормирования решений обыкновенных дифференциальных уравнений для краевых задач. Суть метода состоит в следующем:

Строится такая фундаментальная система решений однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и такое частное решение неоднородной системы, в которых выделены доминирующие функции.

Каждая функция-решение из построенной системы делится на максимальное значение своего модуля (нормы). В результате при определении произвольных постоянных из граничных условий получается хорошо обусловленная матрица системы алгебраических уравнений. Обусловленность матрицы остается хорошей практически при произвольных значениях независимого переменного и параметров дифференциальных уравнений.

3. Для обыкновенных дифференциальных уравнений механики деформирования слоистых цилиндрических, конических и сферических оболочек построены фундаментальные системы решений с выделением доминирующих функций. Доминирование одних функций над другими выявлено как типичная причина неустойчивости счета при решении на

О О 1\Л папт тт/ г» п тт г»тт ггал1лттт1 л^чл ттлттатг ч^» 1Т1 ОиДи1 1 Ч^^рШ'! \JVJ\JJ1U1VIV.

4. Построены алгоритмы решения краевых задач для слоистых цилиндрических, конических и сферических оболочек с произвольными геометрическими параметрами. Построенные алгоритмы позволяют исследовать с гарантированной точностью напряженно-деформированное состояние локально нагруженных оболочек из композиционных материалов.

5. Исследовано влияние обобщенных жесткостей слоистого материала на изменяемость решений теории оболочек.

6. Предложенный метод функционального нормирования создает возможность применения на ЭВМ многочисленных аналитических решений дифференциальных уравнений для краевых задач.

7. Теоретические положения, обоснованные в диссертации, подтверждены вычислительными экспериментами:

Оценено влияние дополнительной конструкционной анизотропии, связанной с особенностями технологии изготовления композиционных материалов с перекрестной намоткой, на напряженно-деформированное состояние локально нагруженных цилиндрических оболочек. Относительное изменение компонент тензора напряжений оказывалось, как правило, меньше относительного изменения соответствующих компонент матрицы приведенных жесткостей.

Получены численные результаты при решении краевых задач для слоистых цилиндрических, конических и сферических оболочек в широком диапазоне геометрических параметров - при отношении радиуса оболочки к толщине до 1000, при отношении длины оболочки к радиусу до 150.

Получены численные результаты при решении краевых задач для оболочек столь большой длины, что результаты совпадают с полученными по теории стержней.

Проведена оценка точности используемых методов определения обобщенной гипергеометрической функции и G-функции Мейера и границ их применимости для решения краевых задач теории оболочек.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Меньков, Георгий Борисович, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов A.A. О переносе граничных условий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961. Т. 1. № 3. С. 542-545.

2. Авдеев В.И. Расчет сферических оболочек: методическое пособие. Фрунзе: ФПИ, 1977.

3. Александров А.Я. и др. Расчет трехслойных панелей. М.: Оборонгиз, 1960. 270 с.

4. Алексеев К.П., Каюмов P.A., Терегулов И.Г., Фахрутдинов И.Х. Механические характеристики органо- и углепластиковых труб, изготовленных методом перекрестной намотки // Механика композитных материалов и конструкций. 1998. Т. 4. № 4. С. 3-20.

5. Ал футов H.A., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. 264 с.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 446 с.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. 268 с.

8. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. Т.2: Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова думка. 386 с.

9. Артюхин Ю.П., Жигалко Ю.П., Сальников Г.М. Напряжено-деформированное состояние цилиндрической оболочки из стеклопластика

под действием локальной нагрузки // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 8. Казань: изд-во КГУ, 1990. С. 256-271.

10. Баженов В. Г., Кочетков A.B. Динамика гидроупругой сферической оболочки при внутреннем импульсном нагружении // Труды XVI международной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 1. Нижний Новгород: изд-во университета, 1994. С. 20-23.

11. Балабух Л.И., Колесников К.С., Зарубин B.C. и др. Основы строительной механики ракет. М: Высшая школа, 1969.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы: Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1984. 496 с.

13. Бердичевский В.П. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

14. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2-х т. T.l. М.: Физматгиз, 1962. 464 с.

15. Бидерман B.JI. Механика тонкостенных конструкций: Статика. М: Машиностроение, 1977. 488 с.

16. Биргер И.А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. М.: Оборонгиз, 1956. 152 с.

17. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 374 с.

18. Вайнберг Д.В., Ждан В.З. Матричные алгоритмы в теории оболочек вращения. Клев: Изд-во университета, 1967. 16ч с.

19. Вайнберг Д.В., Сахаров A.C., Синявский A.J1. Исследование гибких пластин и оболочек // Расчет пространственных конструкций. Вып. 14.

Киев: Изд-во Киевского инж.-строит. ин-та, 1971. С. 35-51.

20. Василенко А.Т. К расчету по уточненной модели ортотропных слоистых оболочек переменной толщины /'/' Прикладная механика. 1997. Т. 13. № 7. С. 28-36.

21. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 269 с.

22. Вахитов М.Б. Интегрирующие матрицы - аппараты численного решения дифференциальных уравнений строительной механики // Изв. ВУЗов: Авиационная техника. 1966. № 3. С. 50-61.

23. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. 288 с.

24. Векуа И.Н. Теория тонких и пологих оболочек переменной толщины. Новосибирск. 1963. 28 с.

25. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Аналитические решения краевых задач для оболочек и пластин с произвольными параметрами // Труды XVII международной конференции по теории оболочек и пластин. Казань: Издательство КГУ, 1996. С. 10-15.

26. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Метод функционального нормирования решений жестких линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для краевых задач // Доклады РАН. 1998. Т. 358. № 6. С. 763-764.

27. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Построение специальных функций для аналитического решения краевых задач теории конических оболочек // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 127-131.

28. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Функциональное нормирование при

решении краевых задач для цилиндрических оболочек // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 1. С. 91-94.

29. Виноградов Ю.И., Меньков Г.Б. Численное решение задач для тонких и длинных цилиндрических оболочек на основе восьми разрешающих алгебраических уравнений // Труды XVI международной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 3. Нижний Новгород: изд-во университета, 1994. С. 58-63.

30. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.: Гостехиздат, 1949. 784 с.

31. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука. 1972. 432 с.

32. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 984 с.

33. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 376 с.

34. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1975. 328 с.

35. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии: Геометрические вопросы теории оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1985. 164 с.

36. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1961. Т. 16. Вып. 3 (99). С. 171-174.

37. Голованов А.И. Конечные элементы тонких непологих оболочек. Способы построения // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы

решения. Нижний Новгород: изд-во университета, 1991.- С. 58-65.

38. Гольденвейзер А.Л. Методы обоснования и уточнения теории оболочек // ПММ. 1968. Т. 32. № 44. С. 684-695.

39. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории пластин методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ. 1962. Т. 26. № 4. С. 668- 686.

40. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

41. Григолюк Э.И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем // Изв. АН СССР ОТН. 1958. № 1. С. 26-34.

42. Григолюк Э.И. О выборе исходной поверхности в теории неоднородных оболочек // Изв. АН СССР ОТН. 1957. № 1. С. 77-84.

43. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние тории многослойных оболочек // Прикладная механика. 1972. Т. 8. № 6. С. 3-17.

44. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. 288 с.

45. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. 441 с.

46. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. 170 с.

47. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973. 288 с.

48. Григоренко Я.М., Василенко В.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992. 366 с.

49. Григоренко Я.М., Василенко В.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наукова думка, 1987. 216 с.

50. Григоренко Я.М., Крюков H.H. Решение линейных и нелинейных краевых задач теории пластин и оболочек на основе метода линий // Прикл. Механика. 1993. Т. 29. № 4. С. 3-11

51. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1979. 280 с.

52. Гурьянов Н.Г. Об изгибе пологой оболочки, состоящей из двух слоев, склеенных между собой // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 20. Казань: Изд-во КГУ, 1990. С. 140-150.

53. Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высш. Школа, 1979. 432 с.

54. Доннел П.Г. Балки, пластины, оболочки. М.: Наука, 1982. 568 с.

55. Жигалко Ю.П., Дмитриева JT.M. Динамика ребристых пластин и оболочек: обзор // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 13. Казань: Изд-во КГУ, 1973. С. 3-30.

56. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

57. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. Киев: Наукова Думка, 1986. 584 с.

58. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Г.Б. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1977. 351 с.

59. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. Киев: Наукова думка, 1963. 353 с.

60. Коваленко А.Д., Григоренко Я.М., Ильин JI.A. Теория тонких конических

оболочек и ее приложение в машиностроении. Киев: АН УССР, 1963. 287 с.

/" -I т/" _ ____ т/ч т /л______________а г\ гп „

о1. ¡^околлСс ^аченкив 1 еоретико-экспериментальныи метод в

задачах устойчивости цилиндрических оболочек эллиптического сечения // Исследования по теории пластин и оболочек: Труды семинара. Вып. 17. Ч. 1. Казань: изд-во КГУ, 1984. С. 135-152.

62. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

63. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф., Сайтов И.Х. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. 208 с.

64. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластины и оболочки из армированных пластмасс. М.: Мир, 1987. 328 с.

65. Лехницкий С.Г. Уточненная теория трансверсально-изотропных плит несимметричной структуры // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 1. С. 81-88.

66. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1978. 296 с.

67. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980. 608 с.

68. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1953. 674 с.

69. Меньков Г.Б. Аналитические методы исследования прочности тонкостенных конструкций, выполненных из композиционных материалов // Механика композитных материалов и конструкций. 1996. Т. 2. № 1. С. 83-90.

70. Меньков Г.Б. Аналитический расчет тонкостенных конических элементов приборных устройств // Прикладная механика в приборных устройствах.

Л Л . итлпа* /-I <¡2

IV!.. шлил, УУУУЗ. 01-6^.

71. Меньков Г.Б. Особенности применения аналитических методов расчета напряженно-деформированного состояния многослойных оболочек вращения // Статика и динамика структурно неоднородных конструкций. М.: МГАТУ, 1994. С. 61-65.

72. Меньков Г.Б. Построение аналитических решений для исследования прочности тонкостенных конструкций на ЭВМ // Современные проблемы машиноведения: Научные чтения, посвященные П.О.Сухому. Гомель: Политехнический институт, 1996. С. 44-45.

73. Меньков Г.Б. Численная реализация аналитических решений краевых задач строительной механики тонкостенных конструкций // Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике "Механика-95": Тезисы докладов. Гомель: ИММС АНБ, "Инфотрибо", 1995. С. 160-161, 347.

74. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 432 с.

75. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет основных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. 216 с.

76. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

77. Новичков Ю.И. Изгиб, устойчивость и колебания многослойных оболочек // Теория оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1975. С. 142-145.

78. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.

79. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория

тонких оболочек. М.: Политехника, 1991. 656 с.

80. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных систем.

л л ■ \ л----— 1птэ ¿ссл „

IV!..

81. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985. 392 с.

82. Паймушин В.Н, Фирсов В.А. Оболочки из стекла. Расчет напряженно-деформированного состояния. М.: Машиностроение, 1993. 208 с.

83. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения нелинейных пространственных задач сопряжения деформируемых тел // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273. № 5. С. 1083-1086.

84. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. В 4-х т. Л.: Судпромшз, 1962. Т. 1. 576 с.

85. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наукова Думка, 1973. 248 с.

86. Пелех Б.Л., Сухорольский М.А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек. Киев: Наукова думка, 1980. 216 с.

87. Пикуль В.В. Общая техническая теория тонких упругих пластин и упругих оболочек. М.: Наука, 1977. 248 с.

88. Пискунов В.Г. К вопросу нелинейных колебаний многослойных пластинок // Прикладная механика. 1977. Т. 3. № 8. С. 120-124.

89. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981. 344 с.

90. Постнов В.А., Родионов А.А Метод суперэлементов в расчете инженерных

сооружений. Л.: Судостроение, 1979. 288 с.

91. Постнов В.А., Хархурин И .Я. Метод конечных элементов в расчете судовых

ТТ • ГЧтплтл^атта 1 С\П А

У V 1 \V) \ ! - л.а Ч^^ди^лри^хт^^ г ' ' г-

92. Пуанкаре А. Избранные труды. В 3-х т. Т.1. Новые методы небесной механики. Пер. с франц. М.: Наука, 1971.

93. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988. 284 с.

94. Саченков А.В. Теоретико-экспериментальный метод исследования устойчивости пластин и оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Вып. 6-7. Казань: изд-во КГУ, 1970. С. 391-433.

95. Справочник по теории упругости / Под ред. Варвака П.М., Рябова А.Ф. Киев: Будивельник, 1971. 418 с.

96. Статика и динамика оболочечных конструкций / А.В. Кармишин, В.А. Лясковец, В.И. Мяченков, А.Н. Фролов. М.: Машиностроение, 1975. 375 с.

97. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Стройматериалы в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.

98. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 352 с.

99. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига / Под ред. Галимова К.З. Казань: Изд-во КГУ, 1977. 212 с.

100. Терегулов И.Г. К построению уточненных теорий пластин и оболочек // ПММ. 1962. Т. 26. № 2. С. 346-358.

101. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука,

1971. 77 с.

102. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

103. Толок В.А. Алгоритмизация расчета цилиндрических оболочек. Ташкент: Изд-во ФАН УзССР. 1969. 121 с.

104. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2 т. Т. 2. М.: Мир, 1991. 552 с.

105. Христенко А.С. О действии сосредоточенных нагрузок на ортотропную цилиндрическую оболочку // Изв. АН СССР: Механика и машиностроение. 1962. № 3. С. 191-198.

106. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек: 4.2. Л.: ЛГУ, 1964. 395 с.

107. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

108. Штаерман И.Я. О применении метода асимптотического интегрирования к расчету упругих оболочек // Изв. Киевского политехнического и сельскохозяйственного институтов. 1924. Т. 19. Кн. 1. Вып. 2. С. 90-93.

109. Luke Y.L. The Special Functions and their Approximations. New York; London: Acad. Press, 1969. Vol. 1. 349 p. Vol. 2. 485 p.

110. Menkov G.B. The Analytical Methods Of Strength Analysis For Thin-Walled Constructions Of Composite Materials // International Symposium "Advances in Structured and Heterogeneous Continua II". Book Abstracts. August, 14-16, 1995, Moscow, Russia. P. 41.

111. Menkov G.B. Analytic Methods Of Study Of The Strength Of Thin-Walled Structures Made Of Composite Materials // Composite Mechanics And Design.

New York: AllertonPress, 1996. Vol.2. P.66-73. 112. Wong R. An Asymptotic Expansion of Wkm(z) with Large Variable and Parameters /'/' Math. Comp. 1973. 27. P. 309-312.