Волновые пакеты в тонких оболочках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Михасев, Геннадий Иванович

• Михасев, Геннадий Иванович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Михасев, Геннадий Иванович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Актуальность и цель работы

2. Двумерные задачи свободных колебаний оболочек

нулевой кривизны

3. Параметрические колебания оболочек

4. Нестационарные волны в тонких оболочках

Глава 1. Локальные формы свободных низкочастотных

колебаний вязкоупругих оболочек нулевой кривизны

1.1. Уравнения движения изотропных упруго-вязких оболочек

1.2. Свободные колебания конической оболочки в окрестности слабой образующей

1.3. Свободные колебания цилиндрической оболочки вблизи

слабой образующей

1.4. Определение коэффициентов са1

Глава 2. Локальные параметрические колебания цилиндрических

оболочек

2.1. Локальные термопараметрические колебания цилиндрической оболочки в нестационарном температурном поле

2.2. Локальные параметрические колебания цилиндрической оболочки под действием статической и периодической

осевых сил

2.2. Локальные параметрические колебания цилиндрической

оболочки (перестройка асимптотического решения)

2.4. Область неустойчивости

Глава 3. Нестационарные волновые пакеты в цилиндрических

оболочках средней длины

3.1. Волновые пакеты в некруговой цилиндрической оболочке

3.2. Волновые пакеты в некруговой цилиндрической оболочке

с косыми краями

3.3. Волновые пакеты в цилиндрической оболочке, подверженной воздействию внешних сил

Глава 4. Волновые пакеты в длинных оболочках вращения.

бегущие в осевом направлении

4.1. Локализованные волновые формы движения бесконечной оболочки вращения

4.2. Волновые пакеты в бесконечной цилиндрической оболочке

с переменными параметрами

4.3. Влияние внутреннего давления на динамику ВП в бесконечной цилиндрической оболочке

Глава 5. Двумерные волновые пакеты в оболочках произвольного очертания

5.1. Постановка задачи

5.2. Алгоритм построения бегущих двумерных ВП

Заключение

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Волновые пакеты в тонких оболочках»

ВВЕДЕНИЕ

1. Актуальность и цель работы. Тонкостенные оболочечные конструкции, сочетающие в себе легкость и прочность, нашли широкое применение в авиационной и ракетно-космической технике, в судостроении и различных областях промышленности. Одной из важнейших задач на стадии проектирования таких конструкций является динамический расчет.

Необходимым элементом исследования динамики оболочек является определение собственных частот и форм малых колебаний, причем наибольший интерес для приложений представляют частоты из нижнего спектра. Использование в инженерной практике полимерных материалов делает обязательным учет вязкоупругих свойств при исследовании низкочастотных колебаний оболочек.

В случае параметрически возбуждаемых колебаний работоспособность оболочки зависит от соотношения параметров задачи, при которых она динамически устойчива. Поэтому для оболочек, испытывающих периодические (силовые, температурные и др.) воздействия, во многих случаях определяющим является расчет на параметрическую устойчивость.

Развитие современной техники приводит к необходимости изучения нестационарных динамических процессов в тонкостенных конструкциях. Такие процессы возникают при взрывах, ударах, кратковременных сосредоточенных воздействиях, некоторых технологических операциях и в ряде других случаев.

В диссертации рассматриваются три вида колебаний - собственные, параметрические и неустановившиеся (нестационарные волновые процессы), характерные предполагаемой локализацией волн вблизи фиксированных или подвижных линий и точек на поверхности оболочек. В дальнейшем такие формы движения называются волновыми пакетами (ВП). Наибольшее внимание в диссертации уделяется исследованию нестационарных волновых форм движения тонких упругих оболочек в виде бегущих ВП.

Природа локализации свободных колебаний упругих цилиндрических и конических оболочек средней длины достаточно хорошо изучена

[25, 102, 103, 121]. Овальность поперечного сечения, переменность толщины, неоднородность материала, из которого изготовлена оболочка, наличие косых краев, отклонения срединной поверхности от цилиндрической, неоднородность температурного поля и ряд других факторов могут приводить к появлению на поверхности оболочки так называемых "наиболее слабых" образующих [102]. В окрестности этих линий колебания, соответствующие нижнему спектру, имеют максимальную амплитуду. Представляется очевидным, что характер параметрически возбуждаемых колебаний оболочки с переменными параметрами во многом определяется наличием слабых линий. Подавляющее большинство работ по параметрической неустойчивости тонких оболочек относится к тому случаю, когда геометрические и физические характеристики оболочки постоянны, а возбуждаемые колебания охватывают всю поверхность оболочки. Из сказанного следует актуальность исследования форм параметрических колебаний и определение условий динамической неустойчивости с учетом наличия на поверхности оболочки слабых мест.

Неустановившиеся переходные волновые процессы относятся к наименее изученным в теории динамики тонких оболочек. Хотя за последние два десятилетия появился ряд монографий, полностью или частично посвященных исследованию нестационарных волн [18, 19, 20, 26, 43, 76, 83, 90, 98], в этой области динамики тонкостенных конструкций создание теории еще далеко от своего завершения. Объясняется это отчасти тем, что эти задачи стали актуальными лишь сравнительно недавно. Другая причина состоит в их математической сложности. В отличие от хорошо изученных собственных колебаний [25], природа переходных волновых процессов не допускает разделения временной и пространственных координат. Для решения таких задач обычно применяются приближенные методы расчета: численные, вариационные. Реже, если параметры оболочки постоянны, используется какой-либо из методов интегральных преобразований.

Нестационарные процессы возникают, как правило, после воздействия на оболочку импульсных, а также кратковременных динамических нагрузок. При исследовании неустановившихся процессов возможны два подхода. Первый состоит в том, что решается неоднородная система

дифференциальных уравнений, у которой правая часть - импульсная или ступенчатообразная функция времени, а начальные условия обычно берутся нулевыми. Второй подход заключается в задании ненулевых начальных скоростей ( и перемещений). В диссертации реализуется вторая модель, при этом в качестве начальных условий рассматриваются ВП -быстро осциллирующие функции, экспоненциально убывающие вдали от некоторых фиксированных линий или точек на срединной поверхности оболочки. Природа начальных ВП может быть разной и частично обсуждается в третьей главе диссертации. Характер переходных волновых процессов, обусловленных заданием начальных ВП, во многом зависит от целого ряда факторов: наличия косых краев, переменных кривизн, разностенности, разномодульности, неоднородности нагружения и др. Поэтому актуальной задачей, еще на стадии проектирования оболочки, является определение, с учетом вышеперечисленных факторов, таких динамических характеристик как групповая скорость, частота бегущих вибраций и степень их локализации, амплитуда волн, а также выявление наиболее слабых и опасных областей, где возможна локализация весьма нежелательных изгибных форм колебаний и концентрация напряжений.

Уравнения движения тонких оболочек являются достаточно сложными. Однако наличие малого параметра, характеризующего относительную тонкостенность оболочки, делает возможным использование асимптотических методов при решении многих задач динамики тонких оболочек.

Целью данной работы является:

1) получение приближенных асимптотических формул для наинизших частот и соответствующих локализованных форм свободных колебаний вязкоупругих оболочек нулевой кривизны с переменными в окружном направлении параметрами;

2) модификация известных методов для исследования локальных параметрических колебаний цилиндрических оболочек;

3) разработка новых асимптотических методов исследования нестационарных локализованных волновых процессов в тонких оболочках;

4) исследование динамических характеристик нестационарных ВП с учетом ряда возмущающих факторов: непостоянства геометрических и

физических параметров оболочки, а также неоднородности статического и динамического нагружения.

2. Двумерные задачи свободных колебаний оболочек нулевой кривизны. С математической точки зрения исследование свободных колебаний тонких оболочек сводится к нахождению собственных чисел и соответствующих им векторов краевых задач для сложных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Наиболее исчерпывающее изложение теории свободных колебаний тонких упругих оболочек, исходя из классических линейных двумерных уравнений, содержится в монографии [25]. С использованием асимптотических методов в книге [25] исследуется структура множества собственных частот, строятся соответствующие формы колебаний для оболочек произвольного очертания. Особое внимание уделяется оболочкам вращения. Там же приведена обширная библиография работ по данному вопросу.

Поскольку в первых трех главах диссертации рассматриваются конические и цилиндрические оболочки, то здесь в основном будут упомянуты работы, посвященные свободным колебаниям оболочек нулевой кривизны. Задачи о свободных колебаниях оболочек данного типа можно условно подразделить на два класса - одномерные и двумерные. К первому классу относятся задачи, допускающие отделение круговой или продольной координат. В частности, исследование свободных колебаний конических и цилиндрических оболочек с геометрическими и физическими параметрами, не зависящими от круговой координаты, сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи подобного типа рассматривались в работах Алумяэ H.A., Асланяна А.Г., Гольденвейзера A.J1., Лидского В.Б., Товстика П.Е. и др.( см. список литературы в [25]) и достаточно хорошо изучены. В случае шарнирно опертой некруговой цилиндрической оболочки также возможно отделение продольной координаты s и сведение исходных уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям с коэффициентами, зависящими только от круговой координаты ср . Для таких оболочек часть спектра, лежащая в окрестности наинизшей частоты, была изучена в [25], при этом установлено, что наиболее существенное отличие некруговой цилиндрической оболочки от круговой заключается в том, что при колеба-

ниях на поверхности некруговой оболочки могут возникать переходные линии ф = const, являющиеся точками поворота. Эти линии отделяют друг от друга зоны покоя и зоны интенсивных колебаний. Более полный асимптотический анализ колебаний некруговых цилиндрических оболочек проведен в [11,12].

К двумерным относятся задачи, не допускающие разделение криволинейных координат 5 и ф. Подобные задачи возникают при исследовании свободных колебаний некруговых конических и цилиндрических оболочек ( с граничными условиями, отличными от шарнирного опира-ния). Наличие косых краев также приводит к тому, что краевая задача становится существенно двумерной. Задачи данного класса являются достаточно сложными. Для их решения обычно применяются численные, вариационные, экспериментальные методы [52, 125, 130]. Так в работе [125] для определения частот и форм колебаний кососрезанного кругового цилиндра использован метод Ритца. Методом конечных полос в [130] исследованы параметры свободных изгибных колебаний некруговых цилиндрических оболочек с переменной толщиной в окружном направлении; при этом для представления компонентов перемещений были использованы комбинации полиномиальных и гармонических функций, удовлетворяющих заданным граничным условиям. Теоретико - экспериментальный метод применялся в работе [52] для исследования колебаний оболочки с двумя косыми краями.

Как уже отмечалось, в случаях, допускающих разделение переменных, особенностью колебаний некруговой цилиндрической оболочки является наличие на ее поверхности переходных линий [25]. При определенных соотношениях параметров интенсивные колебания охватывают лишь небольшую часть поверхности оболочки с наибольшей амплитудой колебаний на некоторой образующей Ф = ф0[101]. Данное обстоятельство, связанное с локализацией форм колебаний вблизи фиксированной образующей ф = ф0, позволило в [102-104] разработать для существенно двумерных задач новый алгоритм, основанный на асимптотическом разделение переменных 5Иф. Согласно этому методу формы колебаний находятся в виде функций

W= m(s, 8) exp{i[co? + e-'sg, 8)]},

(1)

щ = Zs^w/s, 4), S& 8) = e1/2^ + X e^2, S = ^,/2(Ф - Фо), Im b > 0,

7=0

экспоненциально убывающих вдали от образующей ф = ф0, а искомая (безразмерная) частота колебаний ищется в виде ряда

CD = COO + SCQl + 8 С02 + ... , (2)

где - малый параметр, характеризующий тонкостенность

оболочки. Ввиду постоянства параметров ср0, со, р, Ъ и амплитуды колебаний форму (1) будем называть стационарным ВП, а образующую ф = ф0 (по аналогии с задачами устойчивости [104]) - "наиболее слабой". Подстановка разложений (1), (2) в уравнения движения и граничные условия позволяет свести исходную двумерную краевую задачу к последовательности одномерных краевых задач на фиксированной образующей ф = Фо.

Впоследствии этот метод был использован для решения ряда других задач. В [61, 77, 78] исследованы локальные низкочастотные колебания оболочек, срединная поверхность которых близка к цилиндрической или конической. Низкочастотные колебания сопряженных под углом цилиндрических оболочек рассмотрены в статьях [121, 122], в которых решение исходных уравнений представлено в виде суммы основного напряженно-деформированного состояния (1) и интегралов простого краевого эффекта. В частности, в [122] установлено, что взаимное влияние сопряженных оболочек проявляется в четвертом приближении, когда в граничных условиях впервые появляются функции краевого эффекта.

Подробное изложение метода П.Е. Товстика [102-104] для решения существенно двумерных задач свободных колебаний оболочек нулевой кривизны содержится в первой главе диссертации, которая частично носит вводный характер. Однако, в отличие от вышеупомянутых работ, здесь рассматривается случай вязкоупругих оболочек.

Исследование свободных колебаний оболочек и пластин с учетом вязких свойств материала проводилось разными авторами [35, 36, 51, 95, 109, 135]. Интегро-дифференциальные уравнения, описывающие колебания вязко-упругих оболочек, являются достаточно сложными и допускают точные решения лишь в некоторых случаях, при постоянных коэффициентах и весьма частных предположениях относительно ядра релаксации К(0- В работах [36, 51] для их решения вводится предположение о малости вязкого сопротивления по сравнению с основным сопротивлением материала: К(7) = \iKit), где (I* - некоторый малый параметр. Такое предположение справедливо лишь для жестких гомогенных полимеров, а также полимеров, обладающих высоким модулем упругости [51].

В Гл. 1 диссертации вводится обратное предположение, согласно которому в уравнениях движения порядки интегральных членов и слагаемых, отвечающих упругой модели, считаются одинаковыми. Формы собственных колебаний, локализованных вблизи слабой образующей (р = Ф0, находятся в виде (1), однако теперь, со - комплексная частота с положительной мнимой частью. Построенные таким образом формы (1) представляют собой квазистационарный ВП с экспоненциально убывающими во времени амплитудами. Полученные простые формулы для наинизших частот обобщают известные формулы П.Е. Товстика, справедливые для упругих оболочек [102, 103].

Приведенное в Гл. 1 решение типа (1) является частным случаем нестационарных решений, конструируемых в Гл. 3-5.

3. Параметрические колебания оболочек. Параметрические колебания возникают в том случае, если система уравнений, описывающая движение оболочки, содержит переменные коэффициенты как функции времени. Наиболее часто встречаются колебания с периодическим параметрическим возбуждением. По-видимому, первое исследование по параметрическим колебаниям тонкой оболочки было выполнено в 1949 г. Марковым А.Н. в статье [48], где рассматривалась задача динамической устойчивости цилиндрической оболочки, подверженной действию переменных осевых и радиальных сил. В 1950 г. Ониашвили О.Д. [89] изучил аналогичную задачу для пологих цилиндрических оболочек. Однако

общая постановка задачи о динамической неустойчивости тонких оболочек, находящихся под действием периодических внешних сил, была сделана Болотиным В.В. в его книге[14].

Пусть ¡(2/(а1> а2'0 ~ компоненты (г-1,2,3) внешней поверхностной нагрузки, изменяющиеся во времени по периодическому закону. Предположим, что данная нагрузка вызывает в оболочке безмоментное динамическое напряженное состояние, характеризующееся периодическими мембранными усилиями Т°(ах, а2,0 • При определенном соотношении параметров оболочки и частоты возбуждения это состояние может оказаться динамически неустойчивым. Пусть в безмоментном состоянии

перемещения точек срединной поверхности равны и\,и2,и]. Переход к моментному состоянию дает перемещения

щ = и\ + их, и2 = и2 + и2, Щ = щ + щ.

Используя уравнения безмоментной и моментной теорий относительно перемещений и] и щ соответственно, в [14] получена "система уравнений в вариациях", описывающая движение оболочки вблизи динамического безмоментного напряженно-деформированного состояния(НДС):

ьи +

1-у

( э2сО

Ек

АО - т

Э/2 ,

= 0. (3)

Здесь Ь - (ЗхЗ)-матрица линейных дифференциальных операторов двумерной классической теории тонких оболочек, м,Е,т - коэффициент Пуассона, модуль Юнга и масса оболочки, отнесенная к единице площади срединной поверхности, и = (й1,м2,й3)г - трехкомпонентный вектор, а АО = (А£>,, А<22, ~ вектор приведенной нагрузки, возникающей при отклонении срединной поверхности от исходного безмоментного состояния. Компоненты АЦ. выражаются через усилия Т°{1 = 1,2,3) и деформации 8 ., Ку (у = 1,2) оболочки[14]. Таким образом, (3) - система

дифференциальных уравнений, у которой часть коэффициентов суть периодические функции времени.

Там же [14], а также в [150] получена система уравнений относительно нормального прогиба щ и функции напряжений Ф, описывающая параметрические колебания цилиндрической и весьма пологой оболочек. С использованием принципа Гамильтона в [152] выведены аналогичные уравнения для круговой цилиндрической оболочки для случая пульсирующей осевой нагрузки.

Отметим, что уравнения параметрических колебаний могут быть получены методом линеаризации нелинейных уравнений движения оболочки в окрестности безмоментного динамического НДС подобно тому, как это было сделано в задачах устойчивости [27, 104]. При этом уравнения параметрических колебаний отличаются от уравнений устойчивости зависимостью от времени и наличием инерционных членов.

В предположении линейного закона зависимости модуля Юнга и коэффициента линейного температурного расширения от пульсирующей температуры в [39] выведены уравнения термопараметрических колебаний круговой цилиндрической оболочки относительно щ, Ф.

С использованием одного из вариационных методов (Ритца, Бубно-ва-Галеркина, Треффца и др.) уравнения параметрических колебаний могут быть сведены к известному уравнению Матье [14, 39, 48, 89, 151]

¿/2л/^2 +(^ + 5соз2?)п = 0 (4)

или уравнению Матье-Хилла [14, 39, 87]. Коэффициенты А, В в (4) выражаются через [14] параметры оболочки, собственную частоту колебаний

оболочки, классические бифуркационные значения усилий Т°, интенсивность и частоту возбуждающей силы (температуры). При определенных соотношениях параметров А, В решение уравнения (4) может оказаться неустойчивым. Диаграмма в плоскости А, В, показывающая области устойчивости и неустойчивости, известна как диаграмма Айнса - Стрет-та [17, с. 123].

В статье [153] Яо предпринял попытку решения данной задачи непосредственно в терминах входящих в задачу параметров. Для цилиндрической оболочки, находящейся под действием статической и периодической осевой и радиальной нагрузок, им найдены области неустойчи-

вости в терминах геометрии оболочки, интенсивности и частоты силовых воздействий.

Впоследствии параметрическая устойчивость оболочек исследовалась при различных усложняющих факторах: в нелинейной постановке [75, 154], с учетом рассеивания энергии [91], при высокочастотном возбуждении осевыми силами [108], в случае нестационарного температурного [39, 87] и электрического полей [3].

В статье [151] проведены одновременно теоретические и экспериментальные исследования параметрических колебаний цилиндрических оболочек, возбуждаемых вследствие движения жестко защемленного основания по синусоидальному закону. Получено превосходное совпадение теоретических и экспериментальных результатов, относящихся к главной области неустойчивости.

Параметрические колебания усеченного тонкого конуса под действием пульсирующего внешнего гидростатического давления рассматривались в работе [128]. Найдены первая и вторая области неустойчивости, соответствующие формам, имеющим пять или шесть волн в окружном направлении.

В подавляющем большинстве работ по параметрическим колебаниям оболочек рассматривались круговые цилиндрические или конические оболочки, а возбуждающие силы предполагались не зависящими от круговой координаты. Такие задачи, относящиеся (по вышепринятой терминологии) к одномерным, достаточно хорошо исследованы. Значительно менее изучены двумерные задачи. Известна одна работа [96], где делается попытка исследовать параметрическую устойчивость некруговых оболочек нулевой кривизны. Однако недостатком данной работы является то, что в ней в качестве апроксимирующих рассматриваются функции, изменяющиеся в окружном направлении по синусоидальному закону. При таком выборе координатных функций трудно учесть особенности задачи, связанные с наличием областей наиболее интенсивных колебаний.

В диссертации делается попытка в определенной мере восполнить данный пробел. Во второй главе рассматриваются двумерные задачи параметрической устойчивости некруговых упругих цилиндрических оболочек, характерные предполагаемой локализацией форм возбуждаемых

колебаний в окрестности наиболее слабой образующей. Рассматриваются два способа возбуждения - температурный и силовой. Во втором случае статическая и периодическая составляющие осевых сил берутся в виде функций круговой координаты. Предполагается, что интенсивность пульсирующей температуры или периодической силы малы, а частота возбуждения близка к удвоенной частоте собственных колебаний оболочки. Предлагается асимптотический метод, представляющий собой сочетание метода П.Е. Товстика [102, 103] и метода многих масштабов [80] относительно временной переменной. Как и в первой главе, формы колебаний находятся в виде квазистационарных ВП (1) с центром на наиболее слабой образующей <р = ср0, однако теперь амплитуды М'х^,

в, е£) - медленно растущие (в случае неустойчивости) функции времени. Вторая глава частично объясняет природу нестационарных ВП, исследуемых в последующих главах диссертации.

4. Нестационарные волны в тонких оболочках. Библиография работ по неустановившимся волновым процессам в тонких оболочках обширна. С современным состоянием вопроса по нестационарным задачам для упругих оболочек и методами их решения можно познакомиться по монографиям [18-20, 26,43, 76, 83, 90, 98] и обзорам [6, 7, 28, 37, 38, 82,143].

В подавляющем числе работ объектом исследования являются круговые цилиндрические оболочки, реже - оболочки вращения. Объясняется это, по-видимому, тем, что оболочки данного типа наиболее часто встречаются в инженерной практике. Здесь рассмотрим три класса нестационарных задач: (I) волны, бегущие в окружном направлении в цилиндрических оболочках конечной длины, (II) волны, распространяющиеся вдоль оси в длинных оболочках вращения и (III) неустановившиеся волновые процессы в оболочках произвольного очертания. Задачам (I) и (II) в диссертации уделяется наибольшее внимание.

Задачи типа (I), как правило, связаны с исследованием динамической реакции цилиндрической оболочки на импульсные или кратковременные динамические нагрузки, неравномерно распределенные по поверхности оболочки в направлении дуги [30, 90, 144]. Неустановившиеся колебания, распространяющиеся в окружном направлении, воз-

никают также при взаимодействии оболочки с нестационарными волнами гидродинамического давления, при решении задач нестационарной дифракции волн на оболочке [1, 20, 22, 26, 29, 76, 83, 90, 141]. Иногда исследуются переходные процессы, обусловленные заданием начальных радиальных скоростей, произвольно распределенных по дуге окружности [133, 134]. Перечисленные задачи являются достаточно сложными и допускают точные решения в редких случаях при введении ряда упрощающих предположений.

Во многих работах вводится предположение о независимости нагрузки от продольной координаты, а оболочка считается бесконечно длинной [29, 90, 133, 141, 144]. В такой постановке исходная двумерная (относительно криволинейных координат) задача сводится к одномерной, при этом оболочка фактически заменяется кольцом. Метод исследования упрощенной одномерной задачи зависит от характера нагрузки и (или) начальных условий. Чаще решения ищут в виде рядов Фурье с последующим применением преобразования Лапласа по времени [29, 76, 90, 98, 144]. В статье [133] нестационарные колебания тонкой упругой цилиндрической оболочки (кольца) при произвольном законе распределения начальных радиальных скоростей исследуются методом разложения искомых перемещений в ряды по собственным формам колебаний кольца с учетом растяжения срединной поверхности.

Иногда в целях упрощения вводится предположение относительно отрезка времени, на котором строится решение. Так, в [141] динамическую реакцию бесконечной цилиндрической оболочки на воздействие плоской ударной волны рассматривали на небольшом начальном отрезке времени. И наоборот, в работе [1] после отделения угловой координаты по методу Фурье для каждой гармоники строились асимптотические ((оо) решения, соответствующие статическому случаю.

Одними из немногих публикаций, где делается попытка построения точных решений задач типа (I) для цилиндрических оболочек конечной длины с учетом граничных условий, являются работы [134, 147]. В [147] дается точное решение задачи о нестационарных колебаниях шарнирно опертой круговой цилиндрической оболочки конечной длины, вызванных действием кратковременных внешних сил. Уравнения движения ин-

тегрируются посредством представления смещений в виде рядов по гармоникам окружной координаты, коэффициенты которых являются искомыми функциями продольной координаты и времени. Далее искомые коэффициенты представляются суммой статической и динамической компонент. В работе [134] на основе теории Флюгге (с учетом деформации сдвига и инерции вращения) рассматривается действие произвольной динамической поверхностной нагрузки на круговую цилиндрическую оболочку конечной длины. Для произвольных начальных и однородных граничных условий формально получено точное решение о реакции путем разложения перемещений оболочки в ряды по собственным функциям соответствующих краевых задач.

Упомянутые работы относятся к цилиндрическим оболочкам, у которых геометрические и физические параметры постоянны. Значительно более сложным и менее изученным является случай существенно двумерных (относительно продольной и круговой координаты ср) нестационарных задач типа (I), когда кривизна и (или) длина образующей оболочки переменны. Двумерные задачи возникают и в том случае, если оболочка предварительно напряжена переменными в окружном направлении усилиями. Разностенность, неоднородность материала, из которого изготовлена оболочка, также приводят к значительному усложнению задачи. В этом случае коэффициенты уравнений движения являются функциями координаты ф и большинство из известных аналитических методов решения становятся мало эффективными. Необходимость учета всех выше перечисленных возмущающих факторов при решении нестационарных задач (I) объясняется сильной чувствительностью наиболее нежелательных (с точки зрения прочности) изгибных форм колебаний (с

длиной волны в окружном направлении порядка -(к/Я)^4, где к и Л ~ толщина и характерный размер оболочки соответственно) к неоднородности геометрических и физических параметров оболочки [25, 102, 103]. В частности, представляется очевидным, что характер переходных изгибных форм колебаний цилиндрической оболочки, имеющей наиболее слабую образующую, может принципиально отличаться от нестационарного движения оболочки с постоянными параметрами.

С появлением мощных компьютеров и современных методов вычислительной математики стало возможным нестационарные задачи тонких оболочек исследовать численно, путем применения одного из сеточных методов [92, 94, 110] или приближенными методами Релея-Ритца, Бубно-ва-Галеркина, Треффца и др.[74, 92]. Универсальным методом динамического расчета оболочек со сложной геометрией при разнообразных комбинациях нестационарных нагрузок и различных начальных условиях является метод конечных элементов [126]. Тем не менее, реализация этих методов связана с немалыми вычислительными трудностями. Кроме того, численные методы, в отличие от аналитических, не всегда позволяют установить качественную картину волновых процессов.

Эффективными методами для решения существенно двумерных нестационарных задач (I) могут быть асимптотические методы. Основной целью диссертации является разработка новых асимптотических методов исследования неустановившихся волновых процессов в оболочках с переменными геометрическими и физическими параметрами. Особенностью рассматриваемых задач является локализация начальных условий (перемещений и скоростей) вблизи некоторых линий или точек на поверхности оболочки, что обуславливает нестационарный и локальный характер волновых процессов.

В третьей главе диссертации рассматриваются нестационарные задачи типа (I) для некруговых цилиндрических оболочек средней длины, у которых края - не обязательно плоские кривые. В качестве исходных используются полубезмоментные уравнения тонких оболочек относительно нормального прогиба И7 и функции напряжений Ф, описывающие из-гибно-плоскостные формы движения [25]. Рассматриваются три варианта граничных условий: свободный край, шарнирное опирание и жесткая заделка. Ставится начально-краевая задача о распространении в окружном направлении узкого пакета изгибно-плоскостных волн.

В простейшем случае, когда края оболочки лежат в плоскостях, перпендикулярных образующей, решение задачи (также как и в [134]), строится в виде разложений

W(s, ф, и 8) = 1^/(и)(Ф, ttZ)z™{s\

(5)

п= 1

по балочным функциям вдоль образующей. Указанное разложе-

ние позволяет исходную начально-краевую задачу свести к начальной задаче для дифференциального уравнения относительно и{п). Функция и{п) для фиксированного п находится в виде

где i - мнимая единица. Решение (5),(6), при условии (7), определяет на поверхности оболочки семейство пакетов изгибно-плоскостных волн, бегущих в окружном направлении.

Разложения типа (6), (7) ранее строились В.П. Масловым при интегрировании уравнений квантовой механики и известны как комплексные ВКБ-разложения [49]. Подобные решения задач акустики в статье [10], а также в монографии В.М. Бабича, B.C. Булдырева и И.А. Молоткова [9] названы "квазифотонами". Природа частицеподобных решений для волновых уравнений также обсуждалась в [40].

Подстановка разложения (6) в дифференциальное уравнение относительно функции U(n) приводит к канонической системе: уравнению Гамильтона-Якоби и уравнению переноса. Последние, являясь нелинейными, не допускают точных решений. Поэтому для их решения применяется метод В.П. Маслова [49], согласно которому приближенное решение канонической системы строится в некоторой малой окрестности центра бегущего ВП. Основные положения данного метода сформулированы в Приложении к диссертации. Однако построенное таким образом решение является непригодным для оболочек с косыми краями.

В диссертации предлагается другой алгоритм построения бегущих ВП, предназначенный для некруговых цилиндрических оболочек с произвольными краями. В его основу положена идея перехода к новой, ло-

(6)

1т£(ф, /) > 0 для любого / > 0.

(7)

кальной системе координат £ = е-1/2[ф-#(и)(0], связанной с центром

ф = д(и)(7) бегущего "я-го пакета". Переход к новой независимой переменной, вызванный растяжением масштаба, ранее использовался П.Е. Товстиком [102, 103] для построения собственной формы (1) свободных колебаний цилиндрической оболочки вблизи наиболее слабой (стационарной) образующей <р = ф0. Решение для п-то ВП берется в виде (индекс п далее опускается)

где 1т6(/) > 0 на любом конечном отрезке времени. Анзатцы (1) и (8) отличаются тем, что в нестационарном случае амплитудные функции и параметры со, р, д, Ъ зависят от времени I. Подстановка функции (8) в уравнения движения, записанные в новой системе координат, позволяет исходную двумерную (по криволинейным координатам) начально-краевую задачу свести к последовательности одномерных задач на подвижной образующей ф = д(и)(?). Содержащиеся в (8) неизвестные функции находятся последовательно из рассмотрения одномерных задач, возникающих на каждом шаге итераций. Таким образом, развиваемый в диссертации метод является в некотором смысле обобщением алгоритма П.Е. Товстика, предназначенного для решения стационарных задач свободных колебаний и устойчивости [102-104], на случай нестационарного движения оболочки. В частном случае решение (8) переходит в стационарный ВП (1).

Большое внимание в работе уделяется анализу свойств построенного решения в зависимости от параметров начальных условий и геометрии оболочки. В частности, установлены новые механические эффекты, заключающиеся в возможности отражения, фокусировки и роста амплитуд бегущих ВП в некруговых и кососрезанных цилиндрических оболоч-

(8)

о

ках. Обнаружено также, что наличие наиболее слабой образующей может приводить к сильной локализации нестационарных изгибных форм колебаний.

В последнем параграфе Гл. 3 исследуется влияние неоднородного статического и медленно меняющегося динамического кольцевого усилия T2(q>,t) на характер бегущих ВП.

Задачи типа (II) чаще рассматривались при исследовании реакции полубесконечных цилиндрических оболочек или оболочек вращения на торцевые импульсные и кратковременные динамические нагрузки [4-7, 28, 37, 38, 43, 81, 82, 127, 143]. В статьях [30, 131] изучалось действие сосредоточенных радиальных сил на бесконечные цилиндрические оболочки. В большинстве работ в качестве исходных использовались уточненные уравнения типа Тимошенко, учитывающие сдвиги и инерцию поворота. Методы решения таких задач содержатся в вышеупомянутых обзорных статьях. Среди аналитических методов отметим интегральные преобразования по времени t и продольной координате х (если коэффициенты уравнений не зависят от х), а также разложения в тригонометрические ряды по круговой координате ср в случае неосесимметричного движения и др.

Особое место при решении задач (II) занимают асимптотические методы исследования. Асимптотический подход используется в двух направлениях. Первый подход включает: построение различных асимптотических моделей нестационарного волнового процесса с учетом характерных типов напряженно-деформированного состояния (НДС), расчленение НДС на его составляющие [4, 5, 32, 43] на основе фундаментального понятия показателей изменяемости и динамичности [23, 24], а также выяснение зон применимости приближенных теорий и вывод предельных динамических уравнений [34]. Впервые метод расчленения в нестационарных задачах (II) использовался в работах [4, 5]. Дальнейшее развитие этот метод получил в книге [43] при исследовании неустановившихся волновых процессов в оболочках вращения под действием торцевых нагрузок; в работе выявлены безмоментная, моментная составляющие Кирхгофа-Лява и динамический погранслой, складывающие НДС оболочки.

Второй подход заключается в разработке асимптотических методов непосредственно решения нестационарных задач (II). В книге [43] предлагаются эффективные методы интегрирования уравнений, соответствующих элементарным составляющим НДС оболочки вращения при действии торцевых нагрузок. Интегрирование уравнений динамического погранслоя содержится в работе [33]. В статье [127] анализируется НДС оболочки вращения в окрестности квазифронта на базе уточненной двумерной теории оболочек. Решения последних находятся асимптотическим методом в экспоненциальной форме с использованием функции Эйри при заданных начальных и граничных условиях. Лучевой метод в сочетании с методом сингулярных кривых используется в работах [115-117, 119, 120] для исследования переходных волновых процессов в упругих пластинах и оболочках. В частности в [115] построены решения уравнений движения, описывающих поведение шести возможных волновых форм [116] в неоднородных анизотропных оболочках. -

В Гл.4 диссертации делается попытка дальнейшего развития асимптотических методов исследования нестационарных задач (И). В отличие от традиционного подхода, рассматриваются неустановившиеся формы движения бесконечных оболочек вращения, обусловленные заданием начальных перемещений и скоростей. Также как и в Гл.З, в качестве начальных условий рассматриваются функции, быстро осциллирующие и экспоненциально убывающие вдали от некоторой замкнутой линии

х = 0. Длина волны начальных возмущений имеет порядок - (h/R)1?2. Рассматриваются движения с показателем динамичности 0<ос, <1. В этом случае с асимптотической погрешностью 0(h/R) выполняются гипотезы Кирхгофа-Лява [42], что позволяет для описания движения оболочки использовать классические двумерные уравнения в перемещениях [25]. Предлагается метод, в основу которого положена классификация динамического НДС оболочки [23, 24] и асимптотический метод построения бегущих ВП, развитый в Гл. 3. Рассматриваются три возможных случая: осесимметричные и неосесимметричные формы движения с малым и большим числом волн в окружном направлении. В каждом из этих случаев исходная система уравнений расщепляется на упрощенные системы,

описывающие преимущественно изгибные, продольные и крутильные колебания оболочки. Решения последних строятся в виде бегущих ВП с анзатцем (после сооветствующих замен в обозначениях) типа (8). Таким образом, решение исходных уравнений представляет собой суперпозицию бегущих ВП изгибных, продольных и крутильных волн.

В работе проводится исследование влияния переменных параметров оболочки (кривизн, толщины, модуля Юнга и плотности материала) на динамические характеристики нестационарных ВП: частоты бегущих вибраций, групповые скорости, "ширину" пакетов, амплитуды. В некоторых случаях обнаружены нежелательные эффекты фокусировки и роста амплитуд пакетов изгибных волн. С использованием уравнений типа Флюгге исследуется влияние неоднородного внутреннего статического или динамического давления на характер неустановившихся локализованных волновых процессов в бесконечных цилиндрических оболочках.

Задачи (III) являются наиболее сложными из рассматриваемых здесь трех типов нестационарных задач. Для их решения обычно используются приближенные (вариационные, численные и др.) методы [74, 92, 94, 11, 126]. При некоторых частных предположениях относительно характера конструируемого решения эффективными становятся асимптотические методы. В частности, техника лучевого метода для описания распространения фронтов разрыва применима для неоднородных анизотропных оболочек произвольной геометрии [115].

В последней пятой главе диссертации предлагается метод построения нестационарных решений в виде бегущих двумерных пакетов изгиб-но-плоскостных волн в оболочках произвольного профиля с переменными толщиной и физическими параметрами материала. Решения строятся в виде осциллирующих и быстро (экспоненциально) убывающих функций вдали от некоторых подвижных точек (центров двумерных ВП) на поверхности оболочки. В качестве исходных берутся полубезмомент-ные уравнения относительно нормального прогиба и функции напряжений. Однако развиваемый в Гл. 5 метод может быть применен и для уравнений в перемещениях общего вида.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Михасев, Геннадий Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наиболее существенными результатами, полученными в диссертации являются:

1. Приближенные формулы для нижних частот колебаний вязко-упругих оболочек нулевой кривизны с переменными параметрами;

2. Разработка асимптотических методов для исследования локальных параметрических колебаний тонких упругих цилиндрических оболочек при слабом параметрическом возбуждении, вывод амплитудного уравнения, а также определение главной области динамической неустойчивости с учетом наличия слабой образующей;

3. Разработка асимптотических методов и алгоритмов решения начально-краевых задач со сложными границами, а также начальных задач для сингулярно возмущенных нестационарных систем дифференциальных уравнений в частных производных в виде "бегущих ВП";

4. Новые решения системы полубезмоментных уравнений для тонких упругих некруговых цилиндрических оболочек с косыми краями в виде бегущих в окружном направлении пакетов изгибно-плоскостных волн;

5. Определение зависимостей динамических характеристик нестационарных ВП, бегущих в цилиндрической оболочке в окружном направлении, от геометрии оболочки (кривизны, наличия косых краев) и характера динамического нагружения, а также выявление новых механических эффектов (отражение ВП от некоторых образующих, фокусировка, рост амплитуд);

6. Новые решения системы уравнений движения тонких упругих бесконечных оболочек вращения, а также цилиндрических оболочек с переменными параметрами в виде суперпозиции бегущих в осевом направлении пакетов изгибных, продольных и крутильных волн;

7. Формулы для частот, волнового числа, амплитуд, "ширины" бегущих ВП;

8. Исследование влияния переменных кривизн, толщины, коэффициентов упругости, характера неоднородного динамического внутреннего давления на нестационарные пакеты изгибных и тангенциальных волн;

9. Новые решения системы полубезмоментных уравнений движения для тонких упругих оболочек произвольного профиля с переменными толщиной и физическими характеристиками в виде нестационарных двумерных ВП.

Проведенный в диссертации качественный анализ построенных решений указывает на необходимость учета на стадии проектирования оболочек наличия наиболее слабых мест, приводящих к локализации нежелательных изгибных стационарных и нестационарных колебаний.

Обнаруженные эффекты фокусировки ВП, роста амплитуд свидетельствуют о необходимости дальнейшего исследования рассмотренных в диссертации задач в нелинейной постановке.

С использованием разработанного в диссертации асимптотического метода может быть решен ряд других нестационарных задач механики. В частности, могут быть исследованы бегущие локализованные семейства волн в неоднородных трехмерных упругих средах со сложными границами.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Михасев, Геннадий Иванович, 1998 год

Литература

1. Абдукадыров С.А., Александрова Н.И., Степаненко М.В. Нестационарная дифракция плоской продольной волны на упругой цилиндрической оболочке // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1989. -№ 5. - С. 132-137.

2. Авдошка И.В., Михасев Г.И. Волновые пакеты в тонкой цилиндрической оболочке с учетом воздействия внешних сил // Вестн. Витебск. ун-та. - 1997. - № 3(5). - 50-54.

3. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Параметрические колебания цилиндрической оболочки в переменном электрическом поле // Изв. АН. Механ. твердого тела. - 1997, № 2. - С. 151-160.

4. Алумяэ Н. А., Поверус Л. Переходный процесс деформации в замкнутой кругоцилиндрической оболочке при неосесимметоричной краевой нагрузке // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. -1963.-№1.-С. 13-23.

5. Алумяэ H.A. О применимости метода расчленения напряженного состояния при решении осесимметричных задач динамики замкнутой цилиндрической оболочки // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. -1961.- № 3. - С. 171-181.

6. Алумяэ H.A. Переходные процессы деформации упругих оболочек и пластин // Тр. VI Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. -М., 1966.-С. 883-889.

7. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластинок // Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. Механика деформируемого твердого тела. -М., 1972. - С. 227-266.

8. Бабаков И. М. Теория колебаний.-М.: ГИТТЛ, 1958.-628с.

9. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод: Линейные и нелинейные волны.-Л. : Изд -во ЛГУ, 1985.-271с.

10. Бабич В.М., Улин В.В. Комплексный пространственно-временной лучевой метод и "квазифотоны" // Записки науч. семин. Ленингр. отд. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР.-1981.- Т. 117,- С.5-13.

11. Бергман P.M. Интегрирование уравнений колебаний некруговой цилиндрической оболочки // Сб. тр. VIII Всес. конф. по теории оболочек и пластин. - М.: Наука. 1973. С. 386 - 389.

12. Бергман P.M. Исследование свободных колебаний некруговых цилиндрических оболочек // Прикл. мат. и мех. - 1973. - Т. 37, № 6. - С. 1125-1134.

13. Богданов Ю.С., Сыроид Ю.Б. Дифференциальные уравнения. -Минск: "Вышэйшая школа", 1983. - 239с.

14. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. - М.: ГТТИ, 1956. - 573с.

15. Ботогова М.Г., Михасев Г.И. Свободные низкочастотные колебания вязкоупругой цилиндрической оболочки с учетов воздействия температурного поля // Весщ АН Беларусь - Сер. ф1з,- тэхн. навук. -1997,- №2.-С. 117-123.

16. Васильева А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 156с.

17. Вибрации в технике. Колебания линейных систем. Под ред. Болотина В.В. - М: Машиностроение. - Т. 1, 1978. - 352с.

18. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. - М.: Наука, 1972. - 432с.

19. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. - М.: Наука, 1976. - 416с.

20. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. - М.: Наука, 1979. - 320с.

21. Вульфсон С.З. К вопросу линейной теории ползучести // Труды Центр, ин-та строит, конструкций Академ, стр-ва и архетект. СССР. Вып. 4. - 1961.-С. 213-225.

22. Гернет, Крузе-Паскаль. Неустановившаяся реакция находящегося в упругой среде кругового цилиндра произвольной толщины на действие плоской волны расширения // Тр. америк. о-ва инж,-механиков. Сер. Е. Прикл. механика. - 1966. - Т. 33, № 3. - С.48-60.

23. Гольденвейзер A.J1. Классификация интегралов динамических уравнений линейной двумерной теории оболочек // Прикл. мат. и мех. -1973. - Т. 37, №. 4. - С. 591-603.

24. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. - М.: Наука, 1976.- 512с.

25. Гольденвейзер A.JI., Лидский В.В., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек.-М.: Наука, 1979.- 384с.

26. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. - JL: Судостроение, 1974. - 208с.

27. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. - М.: Наука, 1978. - 360с.

28. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Механика твердых деформируемых тел. Т. 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. - М., 1973. - 272с.

29. Гузь А.Н., Кубенко В.Д. Теория нестационарной аэрогидроупру-гости оболочек. - Киев.: Наукова думка, 1982. -272с.

30. Жигалко Ю.П., Дмитриева Л.М. Реакция ортотропной цилиндрической оболочки на локализованный импульс внешнего давления // В сб. "Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 11". - Казань: Изд-во Казан, ун-та. - 1975. - С. 254-261.

31. Иванов Н.М., Музыченко В.П. Определение параметров ядер релаксации по результатам волнового эксперимента // Прикл. матем. и техн. физика.-1983.- № 1.-С. 121-127.

32. Каплунов Ю.Д. Высокочастотные напряженно - деформированные состояния малой изменяемости в упругих тонких оболочках // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1990. - № 5. - С. 147-157.

33. Каплунов Ю.Д. Интегрирование уравнений динамического погран-слоя // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1990. - № 1. - С. 148-160.

34. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // Прикл. мат. и мех.- 1993.- Т. 57, Вып. 1. -С. 83-91.

35. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Связанные задачи теории вязко-упругих пластин и оболочек. - Киев: Наук, думка, 1986. - 221с.

36. Кийко И.А., Рудакова О.Б. Несвязанная задача термовязкоупру-гости о свободных нелинейных колебаниях прямоугольной пластины // Вестн. Моск. ун-та. -1988.- № 3.- С.95-99.

37. Кильчевский H.A. Теория нестационарных динамических процессов в оболочках // Прикл. механика. - 1968. - Т. 4, № 8. - С. 1-18.

38. Кильчевский H.A., Ремизов Н.И., Издебская Г.А. О нестационарных быстро протекающих во времени локальных динамических процес-

сов в оболочках // Тр. IX Всес. конф. по теории оболочек и пластин, 1973. - Л.: Судостроение. - 1975. - С. 128-131.

39. Кильчинская Г.А. О термопараметрическом резонансе гибких оболочек в нестационарном температурном поле // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Вып. З.-Киев: Изд-во АН УССР, 1963. -С. 132-141.

40. Киселев А.П., Перель М.В. О природе "квазифотонов" // Записки науч. семин. Петербург, отд. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН РАН .- 1996.-Т. 239.-С.117-122.

41. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. - М.: Высшая школа, 1976. - 277с.

42. Коссович Л.Ю. Метод асимптотического интегрирования в задачах о распространении волн в оболочках вращения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1983. - № 3. - С. 143-148.

43. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи упругих тонких оболочек. -Саратов: Изд - во Сарат. ун - та, 1986. - 176с.

44. Кукуджанов С.Н. О влиянии нормального давления на частоты собственных колебаний цилиндрических оболочек // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. -1968.- № 3. - С. 140-144.

45. Кукуджанов С.Н. О влиянии нормального давления на частоты собственных колебаний оболочек вращения, близких к цилиндрическим // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. -1996,- № 6. - С. 121-126.

46. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. -М.;Л.: Гостехиздат, 1951,- 476с.

47. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. - М. : Мир, 1982.-542с.

48. Марков А.Н. Динамическая устойчивость анизотропных цилиндрических оболочек // Прикладная математика и механика. - 1949. - Т. 13, №2.-С. 145-150.

49. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях.-М. : Наука, 1977.-384с.

50. Маслов В.П. Операторные методы.-М. : Наука, 1973.-534с.

51. Матяш В.И. Колебания изотропных упруго-вязких оболочек // Механика полимеров.- 1971,-№ 1. - С. 157-163.

52. Митряйкин В.И., Паймушин В.Н. Применение метода возмущений при теоретико-экспериментальном исследовании механики оболочек и пластин, имеющих сложный контур // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. -1990,- № 4. - С. 105 - 112.

53. Михасев Г.И. Асимптотические решения системы уравнений пологих оболочек в виде двумерных волновых пакетов // Изв. вузов. Математика. - 1998,- № 2. - С.

54. Михасев Г.И. Изгибные волны в бесконечной цилиндрической оболочке с переменными толщиной и физическими характеристиками материала // Динамика и устойчивость механических систем. Прикл. мех. Вып. 9. - С.-Петерб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. - С. 179-191.

55. Михасев Г.И. К исследованию изгибных волн в бесконечной оболочке вращения // Прикл. механика. - 1996. - Т. 32, № 7. - С. 60-64.

56. Михасев Г.И. К исследованию локальных колебаний и динамической неустойчивости цилиндрических оболочек // Вестн. Витебск, ун-та. - 1997. - № 1(3). - С. 61 - 66.

57. Михасев Г.И. Локализованные волновые формы движения бесконечной оболочки вращения // Прикл. мат. и мех. - 1996. - Т. 60, № 5. - С. 834-842.

58. Михасев Г.И. Локализованные семейства изгибных волн в некруговой цилиндрической оболочке с косыми краями // Прикл. мат. и мех. - 1996. - Т. 60, № 4. - С. 635-643.

59. Михасев Г.И. Локализованные семейства изгибных волн в цилиндрических оболочках с переменными физическими и геометрическими характеристиками // Тез. докл. Международн. матем. конф., посвященной 200-летию со дня рожд. Н.И. Лобачевского. Минск.-1992,-С.91.

60. Михасев Г.И. Локальные колебания и динамическая неустойчивость оболочек нулевой кривизны при параметрическом возбуждении // Международная математическая конференция "Еругенские чтения -IV". Тезисы докладов. Витебск. - 1997. - С. 103-104.

61. Михасев Г.И. Некоторые задачи устойчивости оболочек, близких к цилиндрическим // Вестник Ленингр. ун-та. - Сер. матем., механ., астрон. - 1987,- № 1. - С. 67-72.

62. Михасев Г.И. О возможных волновых формах движения бесконечной оболочки вращения // Белорусск. конгресс по теор. и прикл. ме-хан. "Механика-95". Минск. Тезисы докл.- Гомель, 1995. - С. 166-167.

63. Михасев Г.И. О волновых формах движения бесконечной цилиндрической оболочки с переменными параметрами // Изв. РАН. Механика тверд, тела. - 1995. - № 6. - С. 129-137.

64. Михасев Г.И. О комплексном ВКБ-методе в задачах о рапростране-нии упругих волн в неоднородных цилиндрических оболочках // Тез. I международн. конф. "Колебан. и волны в экологии, технолог, процессах и диагностике". Минск.-1993.-С. 91.

65. Михасев Г.И. О комплексном ВКБ-решении задачи Коши для уравнений движения тонкой цилиндрической оболочки // Докл. АН Беларуси. -1994,- Т. 38, № 4.- С. 24-27.

66. Михасев Г.И. О рапространении изгибных волн в цилиндрической оболочке // Вестн. С. Петерб. ун-та. - Сер. матем., механ., астрон. -1993. -№ 8. -99-103.

67. Михасев Г.И. О рапространении осесимметричных изгибных волн в бесконечной цилиндрической оболочке // Весщ АН Беларусь - Сер. ф1з.-мат. навук. - 1994. - № 1. - С. 39-45.

68. Михасев Г.И. О распространении изгибных волн в некруговой цилиндрической оболочке // Изв. РАН. Механика тверд, тела.-1994.-№ З.-С. 164-172.

69. Михасев Г.И. О свободных низкочастотных колебаниях вязкоупру-гих цилиндрических оболочек // Прикл. механика.- 1992. -Т. 28, № 9. - С. 50-55.

70. Михасев Г.И. Об одной задаче Коши для системы дифференциальных уравнений, описывающей распространение изгибных волн в тонкой цилиндрической оболочке // Тез. докл. VI конф. математиков Беларуси. Часть 3. Гродно. -1992.- С. 117.

71. Михасев Г.И. Об одном решении системы интегро-диффе-ренциальных уравнений, описывающей свободные колебания вяз-коупругой цилиндрической оболочки // Весщ АН Беларусь- Сер. ф1з.-мат. навук. 1992. -№ 2.- С. 22-26.

72. Михасев Г.И. Устойчивость тонкого эллипсоида вращения переменной толщины при однородном внешнем давлении // Прикладные задачи динамики и устойчивости механических систем. Прикл. мех. Вып. 8. - Л.: Изд-во Ленингр . ун-та, 1990. - С. 214-217.

73. Михасев Г.И., Товстик П.Е. Устойчивость конических оболочек под действием внешнего давления // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. -1990.- № 4. - С. 99-104.

74. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970.- 512с.

75. Мишенков Г.В. О динамической устойчивости пологой цилиндрической оболочки // Тр. конф. по теории пластин и оболочек, 1960. -Казань, 1961.-С. 239-245.

76. Мнев E.H., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек. - Л.: Судостроение, 1970. - 365с.

77. Молчанов А. И. Свободные колебания некруговых оболочек, близких к оболочкам нулевой гауссовой кривизны // Вестн. Ленингр. унта.- Сер. матем., механ., астрон. - 1986. - № 4. - С. 43-45.

78. Молчанов А.И. Асимптотическое интегрирование системы уравнений свободных колебаний некруговых оболочек, близких к оболочкам нулевой гауссовой кривизны // Вестн. Ленингр. ун-та.- Сер. матем., механ., астрон. - 1987. - № 2. - С. 106-107.

79. Найфэ А. Введение в методы возмущений. - М.: Мир, 1984. - 535с.

80. Найфэ А. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 455с.

81. Нетребко A.B. Поведение круговой цилиндрической оболочке под действием динамической нагрузки // Некотор. задачи о поведении вяз. и упруго-пласт. конструкций. Институт мех. МГУ. - М., 1989. -С. 127-135.

82. Нигул У.К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям // Прикл. мат. и мех. - 1969. - Т. 33, Вып. 2. - С. 308-322.

83. Нигул У.К., Метсавээр Я.А., Векслер Н.Д., Кутсер М.Э. Эхо-сигналы от упругих объектов. - Таллин: Валгус, 1974. Т.2 - 345с.

84. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судпромгиз, 1962.-431с.

85. Номофилов В.Е. Асимптотические решения системы уравнений второго порядка, сосредоточенные в окрестности луча // Записки науч. семин. Ленингр. отд. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР.-1980.- Т. 104.-С. 170-179.

86. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. - М.: Машиностр., 1991. - 416с.

87. Огибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. - М.: Изд-во МГУ, 1968. - 520с.

88. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины,- М.: Изд-во МГУ, 1969.-695с.

89. Ониашвили О.Д. О динамической устойчивости оболочек // Сообщен. АН Грузии. - 1950. - Т. 11, № 3.

90. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. - Л.: Судостроение, 1987. - 316с.

91. Писаренко Г.С., Чемерис А.Н. К вопросу о динамической устойчивости цилиндрической оболочки // В сб. "Рассеяние энергии при ко-лебан. механ. систем". - Киев: Наук, думка, 1968. - С. 107-114.

92. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1977. - 279с.

93. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела,- М.: Наука, 1988. - 712с.

94. Рахтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. - М.: Мир, 1972.

95. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. - М.: Стройиздат, 1968. - 416с.

96. Сальников Г.М. Динамическая устойчивость цилиндрических и конических оболочек кругового и некругового сечения при различных граничных условиях // В сб. "Исслед. по теории пластин и оболочек". Вып. 5. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1967. - С. 469-479.

97. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы,- М. : Мир,

1971.-557с.

98. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. - Л.: Судостроение,

1972. - 374с.

99. Снеддон И. Преобразование Фуръе.-М.: Изд-во иностр. лит., 1955. -668с.

100. Справочник по авиационным материалам / Под ред. Туманова О.Д. - М.: Оборонгиз, 1958.

101. Тимофеева Г.В., Товстик П.Е. Об одном представлении решений в задачах колебаний и устойчивости оболочек // Вестн. Ленингр. унта.- Сер. матем., механ., астрон.-1985.- № 1,- С. 73 - 79.

102. Товстик П.Е. Двумерные задачи устойчивости и колебаний оболочек нулевой гауссовой кривизны // Докл. АН СССР.-1983.-Т. 271, № 1.-С. 69-71.

103. Товстик П.Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических и конических оболочек // Прикл. мат. и мех. - 1983,- Т. 47, № 5. - С. 815-822.

104. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. - М.: Наука. Физматлит, 1995. - 320с.

105. Физическая акустика / Под ред. Мэзона У.П. - М.: Мир, 1966. Т. 1. Ч. А. - 592с.

106. Флюгге В. Статика и динамика оболочек.-М.: Стройиздат, 1961.-306с.

107. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. - Л.: Изд-во Ленингр. унта. - Ч. 2, 1964.-395с.

108. Шулежко Л.Ф. Исследование динамической устойчивости цилиндрической оболочки под действием осевых периодических сил высокой частоты // Украин. матем. журнал. - 1963. - Т. 15, № 3. - С. 338-343.

109. Шульга H.A. Собственные частоты осесимметричных колебаний полого цилиндра из композитного материала // Мех. композита, материалаов. - 1980. - № 3. - С. 485-488.

110. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, 1967. - 195с.

111. Armenakas А.Е. and Herrmann G. Vibrations of infinitely long cylindrical shells under initial stress // AIAA Journal.- 1963.- N.l.-P. 100-106.

112. Bauer S.M., Filippov S.B., Smirnov A.L. and Tovstik P.E. Asymptotic methods in mechanics with application to thin shells and plates // Asymptotics Methods in Mechanics. CRM Proc. & Lect. Notes.- 1993. -V. 3.-P. 3-139.

113. Botogova M.G. and Mikhasev G.I. Free vibrations of a cylindrical shell taking into account the non-uniform temperature field // The XIX-th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics: Book of Abstracts. Kyoto. - 1996. - P. 342.

114. Botogova M.G. and Mikhasev G.I. Free vibrations of non-uniformly heated viscoelastic cylindrical shell // Technische Mechanik. - 1996.-Band 16, Heft 3. -S. 251-256.

115. Cohen H. and Thomas R.S.D. Transient waves in inhomogeneous anisotropic elastic shells // Acta Mechanica.- 1989.-V. 77, N. 1-2.-P. 47-67.

116. Cohen H. Wave propagation in elastic plates // J. Elasticity. - 1976.-V.6.-P. 245-259.

117. Cohen H. Wave propagation in the linear theory of elastic shells // J. App. Mech. - 1976. - V. 43. - P. 281-285.

118. Cohen H., Berkal A.B. Wave propagation in conical shells // Trans. ASME. - 1972. - E 39, N 4. - P. 1166-1168.

119. Cohen H., Thomas R.S.D. Transient waves in inhomogeneous anisotropic elastic plates //Acta. Mech. - 1986. - V. 58. - P. 41-57.

120. Cohen H., Thomas R.S.D. Transient waves in inhomogeneous isotropic elastic plates // Acta. Mech. - 1984. - V. 53. - P. 141-161.

121.Filippov S.B. Low-frequency vibration of a cylindrical shells. Part I: Shell with a slated edge // Asymptotic Method in Mechanics. CRM Proc. & Lecture Notes. - 1993. - V.3. - 193-204.

122. Filippov S.B. Low-frequency vibration of a cylindrical shells. Part II: Connected shells // Asymptotic Method in Mechanics. CRM Proc. & Lecture Notes. - 1993. - V.3. - P. 205-216.

123. Fung Y.C., Sechler E.E., Kaplan A. On the vibration of the cylindrical shells under internal pressure // Journal of the Aeronautical Sciences. -1957. - Vol. 24. - P. 657.

124. Grundmann H. Zur dynamischen Stabilität des schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes // Ing.-Arch. - 1970. - Band 39, Heft 4. - S. 261-272.

125. Irie T., Yamada G., Muramoto Y. Free vibration of an oblique circular cylindrical shell // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. - 1985,- C51, N. 467. -P.1704-1709.

126. Kapania R.K., Yang T.Y. Some recent advances in dynamic response of shells // Proc. 2 Int. Conf. Recent Adv. Struct. Dyn.- Southampton, 1984. - V.l. P. 119-208.

127. Kaplunov J.D. On the quasi-front in two-dimentional shell theories // C. r. Acad. sci. Ser.2 - 1991. - V. 313, N. 7. - C. 731-736.

128. Kornecki A. Dynamic stability of truncated conical shells under pulsating pressure // Israel J. Technol. - 1966. - Vol. 4, № 1-2. - P. 110-120.

129. Krotov A.V., Tovstik P.E. Asymptotically double natural rfequencies of thin elliptical cylindrical shell vibrations // International seminar "Day on Diffraction'97". Book of abstracts. S. Petersburg. - 1997. - P.42-43.

130. Kumar V., Singh A.V. Approximate vibrational analysis of noncircular cylinders having varying thickness // AIAA Journal. - 1992.- Vol. 30, N.7.-P. 1929-1931.

131. Lu Y.P., Wang Y.F. Dynamic responses of elastic cylindrical shells to a concentrated radial load // J. Acoust. Soc. Amer. - 1972. - V. 52, N 1, Part 2. -P. 441-444.

132. Massalas C., Soldatas K., Tzivanidiz G. Free vibrations of noncircular cylindrical panels with arbitrary boundary conditions // J. Sound and Vibr.- 1980.-V.69, N.3. - P.491 - 495.

133. Mclvor I.K. The elastic cylindrical shell under radial impulse // Trans. ASME. - 1966. - E33, N4. - P.831-837.

134. Medige J. Dynamic response of cylindrical shells // Doct. diss. 111. Inst. Technol.- 1967. - 112pp.; Dissert. Abstrs. - 1967. - B 28, N 1. - P. 203.

135. Mengi Y. and Birlik G.A. A refined dynamic theory for viscoelastic cylindrical shells and cylindrical laminated composites, Part 1: General Theory // J. Sound and Vibr.- 1989.-V. 130, N.l. - P. 55-67.

136. Mikhasev G.I. and Kuntsevich S.P. Thermoparametric vibrations of noncircular cylindrical shell in nonstationary temperature field // Technische Mechanik.- 1997,- Band 17, Heft 2. - S. 113-120.

137. Mikhasev G.I. Free and parametric vibrations of cylindrical shells under static and periodic axial loads // Technische Mechanik.- 1997. - Band 17, Heft 3. - S. 209-216.

138. Mikhasev G.I. The complex WKB solution of an initial boundary value problem for equations of cylindrical shell motion // International

Conferens Asymptotics in Mechanics. Book of abstracts. St. Petersburg. - 1994. - P. 73.

139. Mikhasev G.I. Travelling wave packets in an infinite thin cylindrical shell under internal pressure // J. Sound and Vibr.- 1998.- Vol. 209, No. 4. - P. 543-559.

140. Mikhasev G.I. Travelling wave packets in thin elastic shells // International seminar "Day on Diffraction'97". Book of abstracts. S. Petersburg. - 1997. - P. 32-33.

141. Mindlin R.D., Bleich H.H. Response of an elastic cylindrical shell to a transverse step shock wave //J. Appl. Mech. - 1953. - N 2. - P. 189-195.

142. Padovan J. Natural friquencies of rotating prestressed cylinders // J. Sound and Vibr.- 1973.-V. 31, N. 4. - P. 469-482.

143. Pao Y.-H. Elastic waves in solids // J. Appl. Mech. - 1983. - Vol. 50. - P. 1152-1164.

144. Reismann H., Pawlik P.S. Plane-strain dynamic response of a cylindrical shell - a comparison study of three defferent shell theories // Trans. ASME. - 1968. - E 35, N 2. - P. 297-305.

145. Sackman J.L., Goldsmith W. Longitudinal impact on a circular cylindrical tube // Int. J. Solids and Struct. - 1972. - V.8, N2. - P. 261-267.

146. Saito T. and Endo M. Vibration of finite length, rotating cylindrical shells // J. Sound and Vibr.- 1986.-V. 107, N.l. - P. 17-28.

147. Sheng J. The response of a thin cylindrical shell to transient surface loading // AIAA Journal. - 1965. - V.3, N 4. - P.701-709.

148. Srinivasan A.V. and Lauterbach G.F. Traveling waves in rotating cylindrical shells //Trans. ASME, Series B.- 1972. -V. 93.-P. 1229-1232.

149. Taranto R.A.Di and Lessen M. Coriolis acceleration effect on the vibration of a rotating thin-walled circular cylinder // Journal of Applied Mechanics.- 1964.-V. 31. P. 700-701.

150. Timoshenko S., Gere J.M. Theory of Elastic Stability, 2nd ed. - New York: McGraw-Hill, 1961.

151. Vijayaraghavan A. and Evan-Iwanowski R.M. Parametric instability of circular cylindrical shells // Trans. ASME. - 1967,- E 34, N. 4,- P. 985-990.

152. Wenzke W. Die dynamische Stabilität der axialpulsierend belasteten Kreiszylinderschale // Wiss. Z. Techn. Hochschule Otto von Queriscke Magdeburg. - 1963. - Band 7, Heft 1. - S. 93 - 124.

153. Yao John C. Dynamic stability of cylindrical shells under static and periodic axial and radial loads // AIAA Journal.- 1963.- Vol. 1, N.6.-P. 1391-1396.

154. Yao John C. Nonlinear elastic buckling and parametric excitation of a cylinder under axial loads // Trans. ASME.- 1965,- E 32, N.l. -P. 109-115.