Вибрационный изгиб вязкоупругих пластинок и оболочек в рамках модели Кирхгофа-Лява тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, доктор технических наук Недорезов, Петр Феодосьевич

• Недорезов, Петр Феодосьевич
• доктор технических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор технических наук Недорезов, Петр Феодосьевич

Введение

ГЛАВА 1. Основные уравнения и соотношения вибрационного изгиба вязкоупругих пластинок и оболочек

1.1. Вибрационный изгиб пластинки

1.2. Осесимметричный вибрационный изгиб оболочки вращения

1.3. Основные уравнения и соотношения задачи о вибрационном изгибе цилиндрической оболочки

1.4. Постановка задачи и основные уравнения вибрационного изгиба пологой оболочки

1.5. Граничные условия для НДС и температуры

ГЛАВА 2. Вибрационный изгиб прямоугольных пластинок

2.1. Установившиеся колебания шарнирно опертой по контуру пластинки ( аналитическое решение )

2.2. Определение теплового поля пластинки при разрывных условиях теплообмена с внешней средой

2.3. Решение типа М. Леви для НДС пластинки при шарнирном опирании двух противоположных сторон (симметричный случай)

2.4. Решение типа М. Леви для НДС пластинки при шарнирном опирании двух противоположных сторон (несимметричный случай)

2.5. НДС пластинки при краевом вибрационном воздействии

2.6. Анализ аналитического решения тепловой задачи для пластинки с двумя шарнирно опертыми сторонами

2.7. Численный метод определения НДС пластинки при шарнирном закреплении двух противоположных сторон

2.8. Численно-аналитический метод решения стационарной тепловой задачи для двумерного уравнения теплопроводности с источниками тепла

2.9. Примеры численного исследования тепловых полей пластинок с двумя опертыми сторонами

2.10. Применение В-сплайнов в задаче определения НДС пластинки при сложном закреплении контура

2.11. Примеры определения НДС при сложном закреплении контура пластинки

2.12. Применение двумерного кубического сплайна при численном решении стационарной краевой задачи для трехмерного уравнения теплопроводности

2.13. Примеры решения тепловой задачи при сложном закреплении контура пластинки

2.14. О вибрационном изгибе пластинки из материала с зависящими от частоты свойствами 108 Выводы по главе

ГЛАВА 3. Осесимметричный изгиб оболочек вращения

3.1 Установившиеся осесимметричные колебания круговой цилиндрической оболочки со свободно опертыми краями (аналитическое решение)

3.2. Численное определение НДС оболочки вращения при осесимметричном вибрационном изгибе

3.3. Результаты численного исследования НДС при осесимметричном вибрационном нагружении круговой цилиндрической и конической оболочек

3.4. Численное исследование НДС при установившихся осесимметричных колебаниях усеченной сферической оболочки

3.5. Численный метод исследования осесимметричного теплового поля оболочки вращения

3.6. Тепловое поле при осесимметричном вибрационном изгибе цилиндрической, конической и сферической оболочек 135 3.7 О влиянии кривизны образующей на НДС и тепловое поле 144 Выводы по главе

ГЛАВА 4. Исследование установившихся колебаний цилиндрических оболочек 150 4.1 Основные уравнения несвязанной задачи о вибрационном изгибе вязкоупругой цилиндрической оболочки

4.2. Установившиеся колебания круговой цилиндрической оболочки со свободно опертыми краями ( аналитическое решение )

4.3. Численный метод решения уравнений несимметричного вибрационного изгиба круговой оболочки

4.4. Об определении теплового поля при несимметричном вибрационном изгибе круговой оболочки

4.5. Численное определение НДС некруговой оболочки с шарнирно опертыми криволинейными краями

4.6. Численное решение тепловой задачи для некруговой оболочки с шарнирно опертыми криволинейными краями 176 4.7 Примеры расчета НДС и теплового поля оболочек со свободно опертыми криволинейными краями

4.8. Определение НДС некруговой цилиндрической оболочки при произвольном закреплении краев

4.9. Тепловое поле некруговой оболочки при произвольном закреплении краев 194 В ыводы по главе

ГЛАВА 5. Вибрационный изгиб пологих оболочек

5.1 Установившиеся колебания пологой круговой цилиндрической оболочки при свободном опирании контура ( аналитическое решение)

5.2 Исследование НДС пологой оболочки с двумя свободно опертыми криволинейными сторонами

5.3 Исследование теплового поля пологой оболочки с свободно опертыми криволинейными сторонами

5.4 Метод определения НДС при вибрационном изгибе произвольной пологой оболочки

5.5 Исследование теплового поля произвольной пологой оболочки 225 Выводы по главе

ГЛАВА 6. Связанная задача о вибрационном изгибе пластинки - полосы из вязкоупругого материала

6.1. Постановка задачи и основные уравнения

6.2. О численной реализации итерационного процесса

6.3. Консольная пластинка - полоса при заданном вибрационном перемещении на незакрепленном крае

6.4. Модификация алгоритма итерационного процесса 246 Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вибрационный изгиб вязкоупругих пластинок и оболочек в рамках модели Кирхгофа-Лява»

В различных отраслях современной техники в качестве конструкционных материалов широкое применение находят полимеры и изготовленные на их основе композиты. В отличие от традиционных материалов типа металлов и их сплавов для полимеров уже при обычной температуре характерны явления ползучести деформаций и релаксации напряжений. Поэтому расчет полимерных конструкций следует вести с учетом указанных особенностей, что можно сделать лишь на основе уравнений вязкоупругости или вязкопластичности.

Теория вязкоупругости как инженерная наука сформировалась только в середине XX века, хотя отдельные закономерности вязкоупругого поведения некоторых материалов были экспериментально обнаружены более 150 лет тому назад.

Первые работы, в которых отмечается эффект изменения деформации во времени при действии постоянной нагрузки, принадлежат Вика [210], Веберу [212, 213] и Кольраушу [191]. Основное положение теории вязкоупругости о зависимости деформации в данный момент времени от всей истории предшествующего нагружения было сформулировано JI. Больцманом [178] в 1874 г. Ему же принадлежат уравнения зависимости между напряжениями и1 деформациями в изотропном вязкоупругом теле при пространственном нагружении. Эти уравнения на случай анизотропного вязкоупругого тела были обобщены в 1909 году В. Вольтерра [211]. Им же были изложены основы идеи применения решения задачи идеально упругого тела для получения решения соответствующей задачи вязкоупругости. Теоретическое обоснование данного подхода было завершено Ю.Н. Работновым [153] и названо им принципом Вольтерра. Принцип Вольтерра широко применяется для решения самых разнообразных задач, например, для исследования вопроса о концентрации напряжений вблизи отверстий при изгибе пластинок из вязкоупругого материала [158]. 7

Практически адекватный методу Вольтерра подход, основанный на применении интегрального преобразования Лапласа, используется зарубежными исследователями под названием принципа соответствия.

Методам расчета конструкций из вязкоупругих материалов посвящены многочисленные статьи в различных журналах, как отечественных, так и зарубежных, и монографии Д. Бленда [9], Дж. Ферри [171], Р. Кристенсена [101], А.Р. Ржаницына [157], Ю.Н. Работнова [154, 155], А.К. Малмейстера, В.П. Тамужа и Г.А. Тетерса [106], В.В. Москвитина [109, 110], П.М. Огибалова, В.А. Ломакина и Б.П. Кишкина [144] и др.

Одной из отличительных особенностей вязкоупругих материалов от идеально упругих является их способность к рассеиванию энергии, следствием чего становится возможным высокий уровень саморазогрева конструкций из таких материалов при некоторых режимах деформирования, например, при длительном гармоническом нагружении. Исследование таких процессов началось только в 60-х годах ХХ-го столетия. По-видимому, первой публикацией на эту тему на русском языке является статья В.В. Москвитина [108]. Вскоре ( 1964 г. ) выходит перевод статьи Р.А. Шепери [175], в которой обсуждаются вопросы диссипативного разогрева в полимерном материале. Практически одновременно с этой работой была опубликована статья Л.А. Галина [22], где приведено в квазистатической постановке аналитическое решение задачи о взаимодействии механического и теплового полей при продольных гармонических колебаниях полимерного стержня, и работа С.Б. Ратнера и В.И. Коробова [156], посвященная вопросу саморазогрева при циклическом нагружении пластмасс.

Эти работы привлекли внимание широкого круга исследователей, работающих в ' области механики деформируемого твердого тела, результатом чего явились многочисленные публикации, в которых приводились решения различных задач. Так в работах [23, 24] рассматривалась в квазистатической постановке задача о вибрационном изгибе полимерной балки. В [149] получено приближенное решение (без учета сил инерции) задачи о теплообразовании при колебаниях круглой 8 вязкоупругой пластинки. Крутильные колебания стержней ( полых цилиндров ) рассматривались в [205, 206], а продольные - в [207-209].

Публикуются результаты экспериментальных исследований [176, 174, 169, 170, 203, 204, 104, 105].

В 1969 г. были опубликованы первые обзоры [159, 90] уже достаточно многочисленных исследований в этом направлении, а в 1970 г. вышла монография А.А. Ильюшина и Б.Е. Победри [48], в которой последовательно и математически строго сформулированы основные положения термовязкоупругости.

В последующие годы исследования в области термовязкоупругости интенсивно продолжались. Так, например, крутильные колебания полимерных стержней изучались в работах [13, 14, 16, 10, 148, 140-142], плоская задача рассматривалась в [15]. Задача о продольных колебаниях стержня из "нормального" вязкоупругого материала решалась в [21], а с учетом волнового характера распространения тепла на основе закона теплопроводности Максвелла - в [17]. Задача о вибрационном нагружении вязкоупругой сферы изучается в [187]. Нестационарная задача определения температуры разогрева в бесконечной полосе, когда на постоянное среднее напряжение накладывается меняющаяся во времени по гармоническому закону вибрационная добавка, исследовалась в [167]. Общим вопросам деформирования резиноподобных материалов посвящена статья [198]. Продолжается публикация результатов экспериментальных исследований, например, [186, 201, 177, 202, 150] и др.

Наиболее планомерно и направленно разработка различных аспектов проблемы термовязкоупругости, на наш взгляд, проводилась и проводится коллективом ученых Института механики им. С.П. Тимошенко Национальной Академии Наук Украины. Так задачи о крутильных колебаниях полого и сплошного цилиндров рассмотрены в [88, 56], волновые процессы в вязкоупругих объектах изучались в [89, 92, 59]. Продольные и поперечные колебания вязкоупругих стержней при различных вариантах силового и кинематического воздействий рассматривались в работах [88, 57, 63, 37, 98, 99, 55,40, 35, 36] и др. 9

Большое внимание уделялось вопросам колебаний тонкостенных элементов конструкций из вязкоупругих материалов. В работе [87] впервые дана общая постановка задачи о взаимодействии полей деформации и температуры вязкоупругой изотропной оболочки. Колебания круглых и прямоугольных пластинок рассматривались в работах [93, 82, 45] и др. Задачам поведения ортотропных вязкоупругих оболочек посвящены статьи [91,97].

Одновременно ведется разработка приближенных и численных методов решения задач термовязкоупругости для тел различной конфигурации [54, 55, 58, 41, 60, 62, 42, 43, 94] и др. Большое внимание уделяется общим теоретическим положениям механики поведения вязкоупругих тел [95, 96, 61, 64, 163-165] и др., Проводятся также исследования по смежным вопросам. В частности, для расчета элементов электронных приборов, изготовленных из пьезокерамик, выполняется большой цикл исследований по электро-термовязкоупргости [66,69, 71, 72, 81] и др.

Эти и многие другие результаты, полученные до 1990 года, обобщены в фундаментальных монографиях [67, 68, 70, 73, 74]. В этих монографиях также приведена обширная библиография, в том числе даются многочисленные ссылки на работы иностранных авторов.

В последнее десятилетие вопросы вязкоупругого поведения элементов конструкций, в том числе и вопросы термовязкоупругости, остаются предметом изучения многими авторами.

Продолжаются экспериментальные исследования, на основании которых строятся новые модели, уточняющие картину динамического поведения полимерных и резиноподобных материалов при различных видах нагружения [192, 179, 181-183, 189, 190, 188] и др. Рассматриваются новые, более сложные по постановке задачи. Например, задачи о деформации многослойных конструкций [ 5, 6, 4, 38, 39, 34], о действии периодической во времени импульсной нагрузки [46], о разогреве полого и сплошного вязкоупругого цилиндра при движении по его поверхности нормальной нагрузки [77-79]. Решаются задачи оптимизации, например, [151, 184]. Дальнейшее развитие получает проблема термовязкоупругости для предварительно деформированных конструкций [75, 172, 49] и

10 др. Продолжается разработка общих вопросов вязкоупругости [200, 65, 103], анализируется влияние вязкоупругих свойств материалов на переходный режим установления вынужденных колебаний [102]. Проводится изучение поведения вязкоупругих конструкций по различным уточненным теориям [195,193]. Выполняется большой цикл исследований о поведении при гармоническом возбуждении элементов конструкций из пьезокерамики и ферромагнитных материалов [12, 83-85, 76, 86].

При решении задач широко используются различные численные методы, в том числе итерационные [146], методы граничных [185] и конечных [199, 194] элементов и др.

Тем не менее, до настоящего времени остается достаточно широкий круг вопросов, которые ждут своего обсуждения. Например, в абсолютном большинстве известных нам работ по колебаниям вязкоупругих пластинок и оболочек задача определения теплового состояния решается в предположении, что температура по толщине объекта меняется по линейному закону или постоянна ( см., например, [67, 68, 70, 73, 74] ). Эта гипотеза, обычно принимаемая в задачах термоупругости, при изучении колебаний вязкоупругих пластинок и оболочек, в которых мощность источников тепла за счет диссипации энергии нелинейно меняется по толщине, требует дополнительной проверки.

В литературе отсутствуют точные аналитические решения для некоторых сравнительно простых ( модельных ) задач, которые могли бы служить тестовыми при оценке эффективности приближенных методов решения.

Несмотря на большое количество примеров применения при решении конкретных задач различных численных методов, не разработаны эффективные методики численного решения широкого класса задач вибрационного изгиба вязкоупругих пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура.

Требуют уточнения пределы применимости в случае вязкоупругого материала известных гипотез технической теории цилиндрических и гипотез теории пологих оболочек.

11

Несомненный теоретический и практический интерес представляют вопросы о влиянии на напряженно-деформированное состояние (НДС) и тепловое поле меридиональных и окружных сил инерции при установившихся поперечных колебаниях ( вибрационном изгибе ) вязкоупругой оболочки.

Приведенный далеко не полный обзор литературы и сделанные выше замечания свидетельствуют о большой актуальности проблемы колебаний вязкоупругих тел и о том, что она еще далека от завершения.

Научная новизна. В работе дан вывод полных систем разрешающих интегро-дифференциальных уравнений, представляющих математические модели задач об установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры, при произвольном законе изменения последней по толщине объекта.

В случае материала с независящими от температуры свойствами (несвязанные задачи) получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева пластинок и оболочек при некоторых простых способах закрепления контура.

На основе единого методологического подхода предложены эффективные методики численного решения широкого класса решения несвязанных задач о вибрационном изгибе вязкоупругих пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура.

По результатам вычислительных экспериментов сделаны выводы о существенной роли окружных и меридиональных сил инерции в задачах вибрационного изгиба вязкоупругих оболочек. Уточнены пределы применимости известных гипотез технической теории цилиндрических оболочек и гипотез теории пологих оболочек в рассматриваемых задачах.

Разработаны два варианта алгоритма численного решения связанной задачи о вибрационном изгибе бесконечной пластинки-полосы из термореологически простого материала.

12

На основании результатов вычислений сделаны выводы о характере распределения температуры саморазогрева колеблющегося объекта в зависимости от условий теплообмена с внешней средой.

Достоверность полученных результатов обеспечивается

• в аналитических решениях - строгостью математической постановки задач и обоснованным применением соответствующего математического аппарата;

• при численном решении - хорошим совпадением результатов для модельных задач, а также близостью для одних и тех же задач значений, полученных различными численными методами.

Практическая значимость. Результаты работы носят в основном теоретический характер. Вместе с тем разработанные методики могут найти применение при решении широкого класса практических задач о вибрационном изгибе пластинок и оболочек из вязкоупругого материала.

Методики численного решения стационарных краевых задач для двух- и трехмерного уравнения с источниками тепла, мощность которых задана численными значениями в дискретных регулярно расположенных точках, могут быть использованы также при решении задач для пластинок и оболочек из идеально упругого материала.

Результаты проведенных исследований положены в основу специального курса по термовязкоупругости и спец. семинара по численным методам решения краевых задач для студентов, специализирующихся по Кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

Предлагаемые в работе методики определения тепловых полей пластинчатых и оболочечных конструктивных элементов с внутренними источниками тепла применяются при расчетах тепловых характеристик изделий, разрабатываемых в Научно-производственном центре «Алмаз-фазотрон» ( г. Саратов ).

Апробация работы. Основные результаты докладывались на • 17-м Международном региональном симпозиуме по реологии (Саратов, 1994г.);

13

• 1-й и 2-й Саратовских международных летних школах по механике сплошной среды (Саратов, 1994 и 1996г.);

• Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (С.-Петербург, 1995г.);

• 6-й и 7-й Межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1996 и 1997 г.);

• 7-й Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 1997г.);

• 18-й и 19-й Международных конференциях по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997г.; Н. Новгород, 1999г.);

• Научно-практической конференции ВЦ Саратовского университета «Математика, механика и их приложения» (Саратов, 1997г.);

• Международной конференции «Современные проблемы концентрации напряжений» (Украина, Донецк, 1998г.);

• 3-м Международном конгрессе по температурным напряжениям «Thermal Stresses-99» (Польша, Краков, 1999г.);

• 2-м Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике «Механика-99» (Беларусь, Минск, 1999г.);

• 17-й Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов» (С.-Петербург, 1999г.);

• на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета под руководством профессора Коссовича Л.Ю.

На защиту выносятся

• полные системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих связанные задачи о взаимодействии полей деформаций и температуры при вибрационном изгибе пластинок, оболочек вращения (при осесимметричном нагружении), цилиндрических (круговых и некруговых) и пологих оболочек,

14 изготовленных из вязкоупругого материала. Указанные системы получены без каких-либо предварительных предположений о характере изменения установившейся температуры по толщине колеблющегося объекта;

• точные аналитические решения несвязанных модельных задач для некоторых частных случаев нагружения и закрепления пластинок и оболочек;

• базирующиеся на единой методологии эффективные численные методики решения несвязанных задач вибрационного изгиба вязкоупругих пластинок и оболочек при сложных способах их закрепления;

• оценки влияния на значения критических частот, характеристик НДС и температуры саморазогрева окружных и меридиональных составляющих сил инерции;

• уточненные пределы применимости в задачах вибрационного изгиба технической теории цилиндрических оболочек и гипотез пологости для пологих оболочек из вязкоупругого материала;

• основанные на методе последовательных приближений два варианта алгоритма численного решения связанной задачи о вибрационном изгибе бесконечной пластинки-полосы из термореологически простого материала;

• некоторые выводы о характере изменения теплового поля по толщине колеблющегося объекта в зависимости от условий теплообмена с внешней средой.

В соответствии с указанными выше целями в настоящей работе рассматриваются методы исследования установившихся напряженно-деформированного состояния (НДС) и теплового поля вязкоупругих пластинок и оболочек при действии на них поперечной нагрузки интенсивности q, меняющейся во времени по гармоническому закону 2 g(a,M) = Z^a5P)cos[cor-(£-l)u/2]. (В.1) к=1

Здесь a = х, Р = у - декартовы координаты на срединной плоскости пластинки; для оболочки а и Р отсчитываются вдоль линий главной кривизны ее срединной поверхности.

15

Аналогичный закон изменения во времени принимается и для краевых возмущений.

При выводе полной системы разрешающих уравнений в каждой задаче деформации считаются малыми и предполагается справедливость гипотез Кирхгофа для пластинок или гипотез Кирхгофа-Лява для оболочек. Следствием этих гипотез является линейный закон изменения деформаций по толщине объекта.

В качестве исходных зависимостей между компонентами тензоров напряжений и деформаций в точке с координатами а,(3,у ( у - координата по нормали к срединной плоскости пластинки или срединной поверхности оболочки ), принимаются соотношения линейного закона вязкоупругости в виде

1 ' ~

Тсф = 2~(1 + ц) МГ'со'/~т)е«р(а'(3'у'т)й?т (а<=>Р)> в которых Г = Г(а,|3,у) - установившаяся температура, еа>ер>есф относительные удлинения и сдвиг для направлений а, Р в точке (а,р,у), коэффициент Пуассона ц = const.

При записи уравнений (В.2) приняты предположения, соответствующие гипотезе о термореологически простом поведении материала [67, стр.71], при этом, как и в [67, стр.85], влияние теплового расширения на температурное поле саморазогрева при действии нагрузки (В.1) не учитывается.

Все характеристики НДС, соответствующие нагрузке (В.1), представляются в виде 2

Z(a, (3,у, t) = ]Г Zw (а, р, у ) cos[co t - (к -1) я/2]. (В.3) к=\

Поэтому после подстановки в (В.2) вместо напряжений и деформаций соответствующих представлений типа (В.З) и интегрирования по т получается

16 тсф

1-Ц >1 2

1 \ Z (- О7"1 Ej+k! (а о Р; к = 1,2),

В.4)

2(1 + ц) где через Ех и Е2 обозначены составляющие комплексного модуля материала

В.5)

Для определения максимально возможной температуры саморазогрева колеблющегося объекта при вычислении мощности источников тепла, появляющихся вследствие диссипации энергии и распределенных по объему объекта, принимается, что вся работа внешних сил при деформировании единичного объема переходит в тепло. Так как еау = еру = 0 в соответствии с гипотезами Кирхгофа ( или Кирхгофа-Лява ), то работа А внешних сил при деформации единичного объема пластинки ( или оболочки ) за один цикл деформирования вычисляется по формуле

Г I два деЦ аеоф) ,

2я/о) dt р dt up dt ; и

Тогда для мощности £>(а,(3,у) источника тепла в точке (а,р,у) получаем + . (В.6)

2я 0J V " dt ~р dt ap dt

Как следует из формулы (В.6) с учетом характера распределения напряжений и деформаций по толщине объекта, функция £?(а,Р,у) по переменному у будет меняться по квадратичному или более сложному закону, обращаясь в ноль (для пластинок) или достигая минимума (для оболочек) на срединной поверхности. Поэтому уравнение теплопроводности для осредненной по времени за один цикл колебаний стационарной температуры Г(а,Р,у) записываем как трехмерное для пластинки

17

В.7) для оболочки [147]

В.8) r;g(a,p,y) = 0, где Ах,А2 - параметры Ламе, Ra- главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки, X - коэффициент теплопроводности материала.

Указанные предположения и соотношения без повторных ссылок принимаются при постановке и решении всех рассмотренных ниже задач.

В первой главе дается физическая постановка и выводятся основные формулы и уравнения задач об установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из вязкоупругого материала, следующего закону деформирования в виде (В.2). Рассмотрены колебания пластинок, осесимметричные колебания оболочек вращения, колебания круговых и некруговых цилиндрических и прямоугольных в плане пологих оболочек. В каждом случае получена полная система разрешающих уравнений относительно составляющих НДС и температуры саморазогрева. Эта система записывается в двух вариантах: в смешанной форме, в том смысле, что в ней в качестве неизвестных присутствуют составляющие как внутренних усилий и моментов, так и проекций вектора смещений, и в перемещениях, когда составляющие усилий и моментов из уравнений исключены.

Отметим, что при такой постановке задачи для любого варианта записи полная система разрешающих уравнений представляет собой сложную систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, точное аналитическое решение которой вызывает непреодолимые математические затруднения.

В главах II - V представлены методы и результаты исследований для пластинок и оболочек, изготовленных из материала, свойства которого не зависят от температуры Т ( несвязанные задачи ). В этом случае составляющие Ек (к = 1,2) комплексного модуля и выражающиеся через них составляющие комплексных

18 жесткостей на растяжение и изгиб становятся постоянными ( зависимость от частоты (D не исключается ), а жесткость взаимного влияния растяжения и изгиба обращается в ноль. При этом задача из нелинейной интегро-дифференциальной превращается в линейную дифференциальную, которая распадается на две последовательно решаемые задачи. Первая из них состоит в нахождении НДС и вычислении по этому НДС мощности источников тепла, распределенных по объему объекта. Вторая сводится к краевой задаче для стационарного уравнения теплопроводности, решение которой определяет тепловое поле объекта.

Заметим, что и' в этом случае задача остается достаточно сложной, так как порядок системы дифференциальных уравнений для определения составляющих НДС в два раза превышает порядок соответствующей системы для пластинки (оболочки) из идеально упругого материала.

Для простых способов закрепления ( две противоположные стороны прямоугольной пластинки подкреплены шарнирами, торцевые сечения замкнутой круговой цилиндрической оболочки или периметр пологой оболочки, перекрывающей прямоугольный план, свободно оперты ) эти задачи допускают точное аналитическое решение. При более сложных способах закрепления границы и для некруговых оболочек приходится применять специально разработанные численные методы.

В шестой главе рассматриваются два варианта численной реализации метода последовательных приближений для решения связанной задачи об установившихся колебаниях бесконечной пластинки-полосы. Вычислительные эксперименты выполнены для консольной пластинки из термореологически простого материала при заданной амплитуде смещения свободного от закрепления края.

При разработке методик численного решения для определения НДС мы старались сохранить единый подход, который базируется на понижении размерности исходной задачи либо методом разделения переменных, либо приближенно [139]. В последнем случае из множества методов, применяемых при решении задач для пластинок и оболочек из идеально упругого материала ( метод прямых, методы типа Власова-Канторовича [51], метод интегральных

19 соотношений А. А Дородницына [44], различные модификации метода вариационных итераций [80], метод полных систем [152, 8] и др.), предпочтение отдается методу коллокации. Полученные таким образом краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка записываются в нормальной форме Коши и решаются численно устойчивым методом дискретной ортогонализации С. К. Годунова [25]. Многочисленные примеры применения этого метода при решении разнообразных задач статики и динамики идеально упругих пластинок и оболочек, приведенные, например, в [28, 53], показывают, что метод С. К Годунова обеспечивает получение практически точных результатов.

Так как при численном решении задачи о НДС значения характеристик напряжений и деформаций вычисляются лишь в отдельных точках, то и функция Q(а,Р ,у) определяется только для дискретной области значений (а,|3,у). Поэтому для решения тепловой задачи потребовалась разработка численных методов определения теплового поля при дискретном задании мощности источников тепла. Эти методы [137], основанные на аппроксимации функции одномерными или двумерными кубическими сплайнами или В-сплайнами и последующем применении метода разделения переменных или метода коллокации, приведены в соответствующих параграфах.

Эффективность применяемых численных методов проверялась на модельных задачах, для которых имеется точное аналитическое решение или известно приближенное решение, полученное другим способом.

Основные результаты приводятся для критических значений частоты внешнего возбуждения, при которых все характеристики НДС достигают максимума. В задачах, где получается спектр критических частот, найдены первые три из них, и при этих частотах приводятся значения характеристик НДС и температуры в выбранных точках.

20

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Недорезов, Петр Феодосьевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В рамках гипотез классической теории Кирхгофа-Лява построены полные системы разрешающих уравнений для определения НДС и температуры диссипативного разогрева при установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от частоты внешнего возбуждения и температуры. Уравнения получены без каких-либо предварительных предположений о законе изменения температуры по толщине оболочки. Этот закон определяется в процессе решения задачи.

Для пластинок и оболочек с независящими от температуры свойствами при некоторых дополнительных упрощающих предположениях получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева. Эти решения могут служить эталоном при оценке эффективности различных приближенных, в том числе численных методов.

На основе единого методологического подхода разработаны эффективные методики численного решения широкого класса несвязанных задач о вибрационном изгибе пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура. При определении НДС по этим методикам двумерные краевые задачи методом разделения переменных или методом коллокаций сводятся к краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Такой же подход применяется при исследовании тепловых полей пластинок и оболочек с внутренними источниками тепла, мощность которых задана численными значениями в отдельных регулярно расположенных точках. Для численного решения одномерных краевых задач используется метод дискретной ортогонализации С.К.Годунова, который обеспечивает получение практически точных результатов.

251

При вибрационном изгибе оболочек на основании анализа результатов вычислительных экспериментов исследована погрешность решения за счет пренебрежения тангенциальными силами инерции.

Получены оценки погрешности, вносимой дополнительными гипотезами технической теории цилиндрических оболочек. Уточнены пределы применимости в задачах вибрационного изгиба оболочек гипотез теории пологих оболочек.

Исследовано влияние на НДС и температуру диссипативного разогрева различных способов закрепления объекта, изменения кривизны направляющей цилиндрических и относительной стрелы подъема пологих оболочек.

Предложен алгоритм метода последовательных приближений для решения связанной задачи о вибрационном изгибе пластинки-полосы, который реализован на примере конкретной задачи для полосы из термореологически простого материала. Рассмотрена « быстрая » модификация этого алгоритма.

Анализ результатов выполненных вычислительных экспериментов показал, что в случае вибрационного изгиба

• для тонких пластинок и оболочек из вязкоупругого материала значительное повышение амплитуд характеристик НДС и температуры диссипативного разогрева имеет место только в узких зонах вблизи так называемых критических частот. За пределами этих зон, ширина которых увеличивается с ростом тангенса угла потерь tg5 материала, разогрев практически отсутствует;

• при исследовании НДС и теплового поля вязкоупругих оболочек обязателен учет инерционных слагаемых, соответствующих тангенциальным смещениям точек срединной поверхности. Предположение о малости тангенциальных сил инерции по сравнению с поперечными может коренным образом исказить спектр критических частот и картину распределения НДС и температуры. Поэтому результаты, полученные без учета таких сил, непригодны для расчета реальных конструкций;

• при решении задач для сравнительно коротких цилиндрических оболочек

252 L <2.757iT?-^-3.07ii? ) уравнения технической теории обеспечивают высокую точность результатов. Однако погрешность такого решения быстро растет с увеличением длины оболочки;

• для получения достоверных результатов по теории пологих оболочек в случае вязкоупругого материала на относительную стрелу подъема /0 (hja = 0.02) должно быть наложено ограничение /0 < 0.08 н-0.10. При выполнении этого условия погрешность определения максимальной амплитуды прогиба не превосходит 5%. При больших значениях параметра /0 картина НДС и теплового поля может сильно исказиться;

Для весьма пологих оболочек (/0 < 0.06) при расчетах кривизну срединной поверхности можно считать постоянной;

• в тонких пластинках, если теплообмен через лицевые плоскости происходит по закону Ньютона, распределение температуры по толщине пластинки с достаточной точностью можно считать равномерным. При иных условиях теплообмена закон изменения температуры по толщине становится нелинейным;

• в оболочках даже при симметричных условиях теплообмена на лицевых поверхностях, в том числе и при теплообмене по закону Ньютона, тепловое поле меняется по толщине по нелинейному закону. При этом максимум температуры саморазогрева может достигаться как при положительных, так и при отрицательных значениях нормальной координаты <;;

• учет зависимости свойств материала от температуры приводит к появлению дополнительных эффектов, которые не наблюдаются в несвязанных задачах. Например, в полосе из термореологически простого материала изменение условий теплообмена с внешней средой вызывает изменение прогибов. При этом в окрестностях критических значений частоты нарушаются линейная зависимость НДС и квадратичная зависимость температуры саморазогрева от величины характерного параметра внешнего возбуждения.

253

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Недорезов, Петр Феодосьевич, 2000 год

1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек-М.:Физматгиз, 1961. 384с.

2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. - 268с.

3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек.-М.: Наука, 1974. -448с.

4. Бабков А.В. Исследование слоистых ортотропных оболочек вращения из вязкоупругих термореологически сложных материалов. // Прикл. механика. 1998.- 34, №8. С.82-90.

5. Бабков А.В., Рассказов А.О. Численное исследование вязкоупругого деформирования слоистых оболочек вращения // Мех. композит, матер. 1993. -29, №3. - С.367-374.

6. Бабков А.В., Рассказов А.О. Численное исследование вязкоупругого деформирования слоистых оболочек вращения // Прикл. механика. 1994. - 30, №1. - С.26-32.

7. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.- 184с.

8. Беспалова Е.И. Об одном подходе к исследованию свободных колебаний упругих элементов // Прикл. механика. 1988.-24, №1- С.43-48.

9. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965. - 200с.

10. Венгренюк Ю.А. Термоэлектромеханическое поведение составной пьезоэлектрической кольцевой пластины с учетом температурной деполяризации материала // Доп. Нац. АН Украши. 1998. - №2 - С.65.

11. Вермишян Г.Б., Галин JI.A. Кручение вязкоупругого призматического стержня при действии вибрационной нагрузки // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - № 5. -С.130-133.

12. Вермишян Г.Б. Кручение вязкоупругого составного призматического стержня под действием вибрационной нагрузки // Изв. АН Арм. ССР, Механика. 1974. -27, № 1, - С.48-62.

13. Вермишян Г.Б. Распределение температуры в пластинке с эллиптическим отверстием из вязкоупругого материала под действием вибрационной нагрузки // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1975. - 28, № 5, - С.3-13.

14. Вермишян Г.Б., Мелтонян Б.А. Кручение вязкоупругого призматического ортотропного стержня под действием вибрационной нагрузки. // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1977. - 30, № 2. - С.36-50.

15. Викторова И.В. О зависимости тепловыделения от параметров циклического деформирования // Изв. АН СССР, МТТ. 1981. - №4. - С. 110-114.

16. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек // Строительная промышленность. 1932. - №11. - С.33-38; №12. - С.21-26.

17. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории оболочек // ПММ,- 1944. -8, №2. -С. 109-140.

18. Власов В.З. Общая теория оболочек М.: Гостехиздат, 1949.-784с.

19. Ворович И.И., Иванов Н.В., Павлик Д.А. и др. О некоторых вопросах термо-вязкоупругости одно- и двухфазных сред // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1978. - Вып. 16. - С.3-9.

20. Галин JI.A., Пириев Н.П. Изгиб балок из полимерного материала под действием вибрационной нагрузки // Инж. журн. Механика твердого тела. -1978-№ 4. С.207-210.

21. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1961.-16, №3-С.171-174.

22. Гольденвейзер А.Л. Теория тонких упругих оболочек- М: Наука, 1970. 280с.

23. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.-М.: Наука, 1971. 1108с.

24. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости-Киев: Наук. Думка, 1981. 544с. - (Методы расчета оболочек: В 5-ти т.; Т.4 ).

25. Григоренко Я.М., Беренов М.Н. Решение двумерных задач об изгибе прямоугольных пластин на основе метода сплайн-аппроксимации // Докл. АН УРСР, Сер .А. 1987. - №8.- С.22-25.

26. Григоренко Я.М., Захарийченко Л.И. К решению задачи о напряженном состоянии некруговых цилиндрических оболочек переменной толщины // Прикл. механика. 1998. - 34, №12. - С.26-33.

27. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б. Динамическое деформирование слоистых оболочек из вязкоупругого материала // Прикл. механика. 1999. - 35, №1. - С.58-62.256

28. Зб.Гринченко В.Т., Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Напряженно-деформированное состояние и температурное поле сплошного вязкоупругого конечного цилиндра при его кинематическом возбуждении // ДАН УРСР. Сер. А .1974. №2. - С.150-154.

29. Гринченко В.Т., Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Влияние краевых эффектов на температурное поле саморазогрева цилиндрического амортизатора конечной длины // Тепловые напряжения в элементах конструкций 1975. - Вып. 15. - С.24-29.

30. Гринченко В.Т., Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Напряженно-деформированное состояние и разогрев вязкоупругого цилиндра с ограничениями по торцам // Прикл. механика. 1975. - 11, №4. - С.27-36.

31. Гуляев Ю.П., Никонов А.В. Изгиб круглой пластинки с вязкоупругим слоем под действием внезапно приложенной к центру сосредоточенной силы // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. -Вып.13. - С.12-18.

32. Гуменюк Б.П. О влиянии изгибных колебаний на температуру вязкоупругого стрежня // Вюник Кшв. ун-ту. Сер. мат. та мех. 1972 .- №14. - С.100-105.

33. Гуменюк Б.П., Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Методы расчета критических тепловых состояний в связанных задачах термовязкоупругости // Всесоюз. симпоз. «Теория мех. переработки полимер. Материалов ».: Тезисы докл. Пермь, 1976. -С.41-42.

34. Гуменюк Б.П., Карнаухов В.Г. О приближенном расчете критических тепловых состояний в связанных динамических задачах термовязкоупругости // ДАН УРСР. Сер. А. 1977. - №10. - С.903-907.

35. Дорофеев В.И., Моргунов Б.И., Трояновский И.Е. Вынужденные колебания упруговязкой пластины с учетом тепловыделения при деформировании // Прикладные проблемы прочности и пластичности 1978. - Вып.8. - С.117-125.

36. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. - 280с.

37. Кабриц В.Г., Слепнева Л.В. Малые неосесимметричные колебания вязкоупругого амортизатора, несущего массивное тело // Вестн. С. Петербург, унта. Сер. 12, - 1998. - С.78-85.

38. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512с.51 .Канторович Л.В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного интеграла // Изв. АН СССР. Отд. мат. и ест. наук. 1933. - №5. - С.647-653.

39. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М., • Л.: Физматгиз, 1962.-708с.

40. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных обол очечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. -376с.

41. Карнаухов В.Г. О приближенном методе решения динамических задач термовязкоупругости // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1972. -Вып. 12 - С.27-35.

42. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Численное решение задач о вынужденных колебаниях вязкоупругих тел // Прикл. механика. 1974. - 10, №6. - С.43-48.258

43. Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П., Киричок И.Ф. Термомеханическое поведение вязкоупругого цилиндра при вынужденных крутильных колебаниях // ДАН УРСР. Сер. А. 1975. - №4. - С.338-342.

44. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел с независящими от температуры свойствами при циклических нагрузках // Проблемы прочности. 1975. - №6.- С.6-21.

45. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф., Гуменюк Б.П. Методы квазилинеаризации и ЦЛИ в связанных динамических задачах термовязкоупругости // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1975. - Вып. 15. - С.36-44.

46. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Кучер Н.К. Тепловой удар по поверхности полого вязкоупругого цилиндра // ДАН УРСР. Сер. А. 1975. - №9. - С.798-803.

47. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. О методе квазилинеаризации в связанных динамических задачах термовязкоупругости // Механика полимеров. 1976. - №2. -С.310-316.

48. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Сенченков И.К. Обобщенный принцип минимума преобразованной энергии в задачах о динамическом поведении вязкоупругих тел // Всесоюз. симпоз. "Теория мех. переработки полимер, материалов". Тезисы докл. Пермь:- 1976.-С.60.

49. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Приближенные методы расчета критических тепловых состояний // Прикл. механика. 1976. - 12, №4 - С.18-25.

50. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К. Термомеханическое поведение вязкоупругой призмы при циклическом растяжении-сжатии // ЖПМТФ. 1976. - №1. - С. 149156.

51. Карнаухов В.Г. Основные соотношения теории малых вязкоупругих деформаций, наложенных на конечные, для термореологически простых '' материалов // Прикл. механика. 1977. - 13, №11.- С.3-12.

52. Карнаухов В.Г. Термодинамическая теория обобщенных термореологически простых ферромагнитных материалов с затухающей памятью // Прикл. механика. -1999. 35, №1- С.45-49.259

53. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Термоэлектромеханическое поведение вязкоупругих пьезокерамических тел при гармоническом возбуждении // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1980. - Вып.20. - С.6-10.

54. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоу пру гости Киев: Наук, думка, 1982.-260с.

55. Карнаухов В.Г., Сенченков И.К., Гуменюк Б.П. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении. Киев: Наук, думка, 1985. -288 с.

56. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Уточненная теория слоистых вязкоупругих пьезокерамических оболочек с учетом теплообразования // Прикл. механика-1985. -21, №6. С.53-60.

57. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Связанные задачи теории вязкоупругих пластин и оболочек. Киев: Наук, думка, 1986. - 224с.

58. Карнаухов В.Г., Козлов В.И. Конечноэлементный метод решения задач термоэлектровязкоупругости для тел вращения при гармоническом нагружении // Прикл. механика. 1986. - 22, №7. - С.9-17.

59. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Термомеханическая теория слоистых вязкоупругих оболочек с пьезоэффектом, поляризованных вдоль одной координатной линии // Прикл. механика. 1986. - 22, №11. - С.71-78.

60. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. В кн. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т 4- Киев: Наук, думка, 1988. 320с.

61. Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П. Термомеханика предварительно деформированных вязкоупругих тел. Киев: Наук, думка, 1990.-304с.

62. Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П. Упрощенные термомеханические модели предварительно деформированных несжимаемых вязкоупругих тел при учете квадратов углов поворота // Прикл. механика. 1994. - 30, №4-С.65-73.

63. Карнаухов В.Г., Лелюх Ю.И. К постановке задачи о резонансных колебаниях и диссипативном разогреве пьезомагнитных керамических тел // Прикл. механика. -1998. 34, №9. - С.3-8.260

64. Карнаухов В.Г., Ревенко Ю.В. Диссипативный разогрев сплошного вязкоупругого цилиндра при установившемся движении по его поверхности нормальной нагрузки // Прикл. механика. 1998. - 34, №6. - С.39-44.

65. Карнаухов В.Г., Ревенко Ю.В. Диссипативный разогрев полого вязкоупругого цилиндра при установившемся движении по его поверхности нормальной нагрузки // Пробл. прочности. 1999. - №2. - С.67-73.

66. Карнаухов В.Г., Ревенко Ю.В. Тепловой взрыв в сплошном вязкоупругом цилиндре при установившемся движении по его поверхности нормальной нагрузки // Доп. Нац. АН Украши. 1999. - №2. - С.64-68.

67. Киричок И.Ф. Продольные колебания и разогрев стержня из нелинейного вязкоупругого материала с пьезоэффектом // Прикл. механика. 1987. - 23, №11. -С.83-91.

68. Киричок И.Ф., Карнаухов В.Г. Термомеханическое поведение гибких вязкоупругих пластин и оболочек при циклических нагрузках // Проблемы прочности.- 1979.-№3.-С. 10-14.

69. Киричок И.Ф., Венгренюк Ю.А. О термоэлектромеханическом гармоническом поведении оболочек вращения из пьезоактивных материалов с учетом их температурной зависимости и деполяризации // Прикл. механика. 1998. - 34, №4.- С.48-52.

70. Киричок И.Ф., Карнаухова Т.В., Венгренюк Ю.А. О влиянии тепловой деполяризции на термоэлектромеханическое поведение кольцевой пластинки из вязкоупругого пьезоматериала при гармоническом нагружении // Прикл. механика.- 1998. 34, №6. - С.85-91.

71. Киричок И.Ф., Венгренюк Ю.А. О влиянии тепловой деполяризции и термомеханической связанности на гармонические колебания и диссипативный261разогрев конических оболочек из пьезокерамики // Прикл. механика. 1998. - 34, №8. - С.62-67.

72. Киричок И.Ф., Карнаухова Т.В. Квазистатическая задача термовязкоупругости частично деполяризованного пьезокерамического цилиндра при гармоническом нагружении // Прикл. механика. 1999. - 35, №3. - С.42-48.

73. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. Уравнения и решения некоторых задач теории вязкоупругих оболочек // Тепловые напряжения в элементах конструкций 1967. -Вып. 7.-С. 11-24.

74. Коваленко А.Д.', Карнаухов В.Г. О теплообразовании в вязкоупругих телах из материала с резонансной дисперсией // ДАН УРСР. Сер. А. 1968. - № 11. — С.1029-1033.

75. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г., Тюптя В.И. Распространение волн в неограниченной вязкоупругой среде с учетом термомеханического сопряжения // Прикл. механика. 1968. - 4, №9 - С. 1-8.

76. Коваленко А.Д. Развитие исследований в области термоупругости, термопластичности и термовязкоупругости // Прикл. механика. 1969. - 5, №12. - С. 1-16.

77. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г., Кильчинский А.А. О теплообразовании в ортотропных вязкоупругих цилиндрических оболочках при поперечных колебаниях // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1970. - Вып. 10. -С.5-11.

78. Коваленко А.Д., Тюптя В.И. Распространение продольных волн в вязкоупругом цилиндре с учетом термомеханического сопряжения // Прикл. механика. 1970. - 6, №1. - С.3-9.

79. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. О колебаниях вязкоупругих пластин при механических и тепловых воздействиях // ДАН УРСР. Сер. А. 1971. - №6. - С.543-547.

80. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. Динамические задачи для подкрепленных вязкоупругих цилиндра и сферы // Прикл. механика. 1971. - 12, №12. - С.3-10.

81. Коваленко А.Д. Карнаухов В.Г. Линеаризованная теория термовязкоупругости // ДАН УРСР. Сер. А. 1972. - №1. - С.69-73.262

82. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. Линеаризованная теория термовязкоупругости // Механика полимеров. 1972. - №2. - С.214—221.

83. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г. Об основных особенностях поведения вязко-упругих ортотропных оболочек из обобщенного термореологически простого материала // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1972. - Вып. 12. - С.5-18.

84. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г., Яковлев Г.А. и др. Нагрев вязкоупругого стержня при его поперечных колебаниях // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1972. - Вып. 12. - С.96-99.

85. Коваленко А.Д., Карнаухов В.Г., Яковлев Г.А. и др. О теплообразовании в вязкоупругих стержнях при вынужденных поперечных колебаниях // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1973. - Вып. 13. - С. 11-13.

86. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.:Наука,1969. - 455с.

87. Ю1.Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974. - 340с.

88. Ю4.Максимов Р.Д., Уржумцев Ю.С. Виброползучесть полимерных материалов // Механика полимеров. 1968 - №2. - С.246-254.

89. Максимов Р.Д., Уржумцев Ю.С. Виброползучесть полимерных материалов. Полиэтилен. Неизотермический режим деформирования // Механика полимеров-1968.-№3.-С.413^20.

90. Юб.Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление жестких полимерных материалов. Рига.: Зинатне, 1967. - 398с.

91. Ю7.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456с.

92. ЮБ.Москвитин В.В. Температурные напряжения вследствие внутреннего трения материалов // Изв. вузов, физика. 1960. - №6. - С.20-28.263

93. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. -328с.

94. Недорезов П.Ф., Комаров М.Г. Установившиеся изгибные колебания вязко-упругой пластинки при разрывных условиях теплообмена с внешней средой // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. - Вып.6. -С. 19-27.

95. Недорезов П.Ф. К определению температурного поля в полимерной цилиндрической оболочке при циклическом нагружении ( техническая теория ) // Прикладная теория упругости. Саратов: Изд-во Сарат. политехи, ин-та, 1980. -С.28-33.

96. Недорезов П.Ф. Об определении температурного поля при вибрационном изгибе полимерной пластинки с шарнирно опертыми сторонами // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1982. - Вып.7. - С.57-65.

97. Недорезов П.Ф. Расчет температуры саморазогрева при одном виде вибрационного нагружения полимерной цилиндрической оболочки // Прикладная теория упругости. Саратов: Изд-во Сарат. политехи, ин-та, 1982. - С.40-47.

98. Недорезов П.Ф. Установившиеся поперечные колебания вязкоупругой пластинки с двумя шарнирно опертыми сторонами // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983. - Вып.8. - С.114-125.

99. Недорезов П.Ф. Вибрационное осесимметричное нагружение полимерной оболочки вращения // Механика деформируемых сред.: Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. -Вып.9. - С.100-113.

100. Недорезов П.Ф., Перегудов А.Б. К определению температуры саморазогрева при установившихся поперечных колебаниях полубесконечной полимерной264пластинки // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. - Вып.9. - С.79-85.

101. Недорезов П.Ф. О теплообразовании при установившихся колебаниях пологой оболочки из вязкоупругого материала // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. - Вып. 10. - С.92-96.

102. Недорезов П.Ф. Установившиеся колебания пологой сферической оболочки из вязкоупругого материала // Прочность конструкций в экстремальных условиях. -Саратов: Изд-во Сарат. политехи, ин-та, 1992. С.40-45.

103. Недорезов П.Ф. К определению температурного поля при установившихся колебаниях пологой цилиндрической оболочки из полимерного материала // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1993. - Вып.11. - С.61-69.

104. Недорезов П.Ф., Сироткина Н.М. Численно-аналитический метод решения краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1993. - Вып.11. - С.69-75.

105. Недорезов П.Ф., Сироткина Н.М. Численное решение задачи о вибрационном изгибе вязкоупругой пластинки с двумя шарцирно опертыми сторонами // Сарат. гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 16.11.1994, № 2612 В94 - Юс.

106. Недорезов П.Ф. О вибрационном изгибе некруговой цилиндрической оболочки из вязкоупругого материала // Механика деформируемых сред. Саратов:> Изд-во Сарат. ун-та, 1995. - Вып. 12. - С.43-50.

107. Недорезов П.Ф. Применение В-сплайнов в задаче определения НДС при установившихся ' колебаниях прямоугольной пластинки из вязкоупругого материала // Сарат. гос. ун-т. Деп. в ВИНИТИ 04.04.1997, №1093 В97. - 12с.

108. Недорезов П.Ф., Сироткина Н.М. Численные методы исследования установившихся колебаний вязкоупругих прямоугольных пластинок и круговых266цилиндрических оболочек. Учебное пособие. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. -70с.

109. Недорезов П.Ф. Численное исследование НДС при вибрационном изгибе' пологой вязкоупругой оболочки // Тр. Международной конф. «Современные проблемы концентрации напряжений».( Донецк, 21-25 июня 1998 г. ). Донецк: 1998. - С.173-178.

110. Николаев В.Б. К задаче об установившихся крутильных колебаниях вязкоупругих цилиндров // Прикладные проблемы прочности и пластичности. -1982. Вып. 21. - С.89-93.

111. Николаев В.Б. О теплообразовании при установившихся крутильных колебаниях вязкоупругого цилиндра // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1982. - Вып.7. - С. 126-134.

112. Николаев В.Б. О крутильных колебаниях вязкоупругой трубы с присоединенной массой // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,1982. Вып. 7. - С.140-145.

113. Павлов С.М., Светашков Ф.Ф. Итерационный метод решения задач линейной вязкоупругости // Изв. вузов, физика. 1993. - 36, №4. - С.129-136.

114. Шдстригач Я.С., Ярема С.Я. Температуры напруження в оболонках. Кшв: Вид-во АН УРСР, 1961. - 212с.

115. Пириев Н.П. Действие циклически изменяющейся сдвигающей нагрузки на вязкоупругие материалы // Техн. тэрэгг и урунда. За техн. прогресс. 1972. - №1. -С.38-39.

116. Пириев Н.П. Изгиб круговой пластинки из полимерного материала под действием вибрационной нагрузки // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - №4- С. 155157.

117. Поликарпов Ю.И., Рудаков А.П., Бессонов М.И. Установка для измерения комплексного динамического модуля Юнга полимеров // Заводская лаборатория. -1976. -№12 С.1517-1519.

118. Почтман Ю.М., Чуханин С.В., Шульга С.А. Оптимальное проектирование цилиндрических композитных оболочек при динамическом нагружении // Мех. композит, матер. 1993. - 29, №3. - С.361-366.268

119. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шеренковский Ю.В. Об одном новом методе математического исследования процессов переноса // Промышленная теплотехника. 1979. - №2. - С.33-41.

120. Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ. 1948. -12, №1.-С.53-62.

121. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций М.: Наука, 1966. — 752с.

122. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.-383С.

123. Ратнер С.Б., 'Коробов В.И. Саморазогрев пластмасс при циклической деформации // Механика полимеров. 1965. - №3. - С.93-100.

124. Ржаницын А.Р. Теория ползучести М.: Стройиздат, 1968.-416с.

125. Савин Г.В. Распределение напряжений вокруг отверстий. Киев: Наук, думка, 1968.-888с.

126. Савин Т.Н. Развитие исследований в области реологии и механики полимерных материалов // Прикл. механика. 1969. - 5, №11.- С. 1-12.

127. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977.-656с.

128. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.:, Наука, 1978.-592с.

129. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.-М.: Наука, 1989. 430с.

130. Сенченков И.К., Карнаухов В.Г. Вариационные принципы для изотермических задач нелинейной вязкоупругости // ДАН УРСР. Сер. А 1977. -№10. - С.912-915.

131. Сенченков И.К. Приближенная постановка связанных задач нелинейной термовязкоупругости при гармонических воздействиях // Прикл. механика. 1985. -21, №2.-С.91-99.

132. Сенченков И.К., Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Червинко О.П. К вопросу о простом деформировании в задаче о колебаниях и разогреве нелинейных вязкоупругих тел // Прикл. механика. 1986. - 22, №9. - С.82-90.269

133. Сошественская Jl.А. О вибрационном изгибе длинной прямоугольной пластинки из полимерного материала // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. Вып. 4. - С.9-17.

134. Суворова Ю.В. Тепловыделение при циклическом деформировании наследственных сред // Изв.АН СССР.МТТ. 1979. - №1.- С. 108-112.

135. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.-М.: Наука, 1963.-635с.

136. Уржумцев Ю.С., Максимов Р.Д. Виброползучесть полимерных материалов // Механика полимеров. 1968. - №1. - С.34-44.

137. Уржумцев Ю.С., Путане А.В., Калнрозе З.В. Термоползучесть полиэтилена при циклических тепловых воздействиях // Механика полимеров. 1968. - №3. -С.421-427.

138. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров М.: 1963. - 535с.

139. Фролов Н.Н. Вынужденные колебания предварительно деформированных вязкоупругих тел при гармоническом догружении // Наука Кубани. Сер. Пробл. физ. мат. моделир. Естеств. и техн. н. - 1998. - №2. - С.51-55.

140. Холл Дж., Уатг Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. - 312с.

141. Хуань Н., Ли Е. Термомеханически взаимосвязанное поведение вязкоупругих стержней при циклическом нагружении // Тр.Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер.Е. Прикл. мех. 1967. -34, №3. - С.57-62.

142. Шепери Р. А. Влияние циклического нагружения на температуру вязкоупругого материала с изменяющимися свойствами. // Ракет, техника и космонавтика. 1964. - 2, №5- С.55-66.

143. Шепери Р. А. Термомеханическое поведение вязкоупругих сред с переменными свойствами при циклическом нагружении // Тр.Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер.Е. Прикл.мех. 1965. - 32, №3. - С.150-151.

144. Яковлев Г.А., Гончаров Л.П., Гурский Н.Г. Экспериментальное исследование вязкоупругих свойств полимерного связующего // Прикл. механика. 1970. - 6, №1. - С.57-61.270

145. Boltzman L. Zur Theorie der elstischen Nachwirkung // Sitzungsber. Math. Naturwiss. Kl.Kaiserl. Akad. Wiss. 1874. -№70 (2). -S. 275.

146. Cavaterra C., Grasselli M. Identifying memory kernels in linear thermoviscoelastisity of Boltzmann type // Mathematical models and methods in applied sciences. 1994. - 4, №4. - p.p.807-842.

147. Douglas J., Dupont T. Collocation methods for parabolic equations in a single space variable -New-York: Springer, 1974.

148. Drozdov A.D. A constituve model in thermoviscoelastisity // Mechanical Research Communications. 1996 - 23, №5. - p.p.543-548.

149. Drozdov A.D. The non-isothermal behavoir of polymers. A model of adaptive links // European Journ. of Mechanics A-solids 1997. - 16, №6. - p.p.947-972.

150. Drozdov A.D. A model for non-isothermal viscoelastic behavoir of polymers // Polymer engineering and science. 1997.-37, №12. -p.p.1983-1997.

151. ForysA.S. Optimization of axially loaded beam on a foundation // J. Sound and Vibr. 1994 - 178, №5. - p.p.607-613.

152. Gaul L., Schunz M. Dynamics of viscoelastic solids treated by boundary element approaches in time domain // European Journ. of Mechanics A-solids 1994.-13, №4-p.p.43-59.

153. Joel S.R. Quantitative structural interpretation of the dynamical properties of cristalline polymers // Amer. Chem. Soc. Polym. Prepr. 1976. - 17, №2 -p.p.l 11.

154. Johnson A.F. Heat generation due to cyclic loading of viscoelastic hollow sphere //' Jn: Creep in structures, Berlin, Springer-Verlag. 1972. - p.p.220-231.

155. Holzapfel G., Simo J. A new viscoelastic constitutive model for continuous media at finite thermomechanical changes // International Journ. of Solids and Structers, -1996.-33, №20 22. - p.p.3019-3034.

156. Huang Honwei Thin-wflled spherical shell of Kelvin solid subjected to periodic pressure // Diqiu kexue:Zhongguo dizhi daxue xuebao. 1998. - 23, №3. - p.p.326-328.

157. Kamle S., Upreti S., Awasthi V., Singh M., Iyenger N., Kumar A. Experimental correlations of mechanical properties of joints and transverse vibrations in PMMA beams // Journ. of Applied Polymer Science. 1996. - 60, №3. - p.p.343-352.271

158. Kohlrausch R. Nachwirkung an Seide und Glassfaden 11 Pogg. Ann. 1841 -Bd.72. -S. 393.

159. Lazzary В., Vuk E. Constituve equations and quasi-static problem in linear thermoviscoelastisity // International Journ. of Engineering Science 1992. - 30, №4. -p.p.533-544.

160. Manola D. Variational theorems in linear theory of micropolar viscoelasticity // Bui. Inst. polytechn.lasi.Sec.l. 1992.-38, №1^1. -p.p.75-83.

161. Mola F., Pisani M. Linear viscoelastic analysis of Mindlin plates // Euromech. I-st Eur. SolidMech. Conf. (Munchen, Sept. 9-13, 1991).Abst.Sl -p.p.130-131.

162. Payne A.R. Hysteresis in rubber vulcanizates // J. Polym.Sci. 1974. - №48. -p.p. 169-196.

163. Ramesh T.C., Ganesan N. Finite element analysis of cylindrical shells with a constrained viscoelastic layes // J. Sound and vibr. 1994. - 172, №3. -p.p.359-370.

164. Reese Stefanie, Govindjee Sanjay A theoriy of finite viscoelasticity and numerical aspects // Int. J. Solids and Struct. 1998. - 35, №26-27. - p.p.3455-3482.

165. Sanui K., Mc.Knight W.J. Dynamic mechanical properties of polypentenamers with pendant ionic groups and hydrogenated derivatives // Brit. Polym. J. 1976 - 8, №1. -p.p.22-28.272

166. Sarti G.C. Testing thermodynamics constitutive equations for polymers by adiabatic deformation experiments // J. Nonlinear Fluid Mech. 1977. - 3, №1. - p.p.65-76.

167. Schappery R.A. Effect of cyclic loading on the temperanure in viscoelastic media with variable properties // AIAA J. 1964. - 2, №5. - p.p.827-835.

168. Schappery R.A., Cantey D.E. Thermomechanical respopnse studies of solid propellants subjected to cyclic and random loading // AIAA J. 1966. - 4, №2 - p.p.255-264.

169. Tauchert T.R. The temperature generated during torsional oscillations of polyethylene rods // Int. J. Ing. Sci. 1967. - 4, №5. - p.p.353-365.

170. Tauchert T.R., Afzal S.M. Heat generated during torsional oscillations of polymethylmethacrylate tubes // J. Appl. Phys. 1967. - 38, №12. - p.p.4568-4572.

171. Ting E.C. Stress analysis for viscoelsatic cylynders // AIAA J. 1970. - 8, №1. -p.p. 18-22.

172. Ting E.C. Thermomechanical coupling effects in the longitudinal oscillations of a viscoelastic cylinder // J. Acount. Soc. Amer. -1972. 52, №3. -p.p.928-934.

173. Ting E.C. Dissipation function of viscoelastic material with temperaturedependent properties // J. Appl. Phys. 1973. - 44, №11.t

174. Vicat L. Note sur 1 allongement progressif du fil de fer soumis a diverses tensions // Ann. Ponts et Chausees. 1834, sem.l.

175. Volterra V. Sulle equazione integrodifferenziali della teoria della elasticita н Atti Reale Accad. Lincei. 1909. -№18(2). -p.295.

176. Weber W. Uber die Elastizitat des Seidenfaden // Annalen der physik und chemie (Pogg. Ann.). 1835. - Bd.34. - p.p.247-257.

177. Weber W. Uber die Elastizitat fester Korper. // Pogg. Ann. 1841. - Bd.54. - S.l-18.