Технология моделирования объектов экономики с использованием дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Фунг Тхе Бао

• Фунг Тхе Бао
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Фунг Тхе Бао

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Обзор существующих математических моделей управления запасами

1.1. Краткий обзор теории управления запасами

1.2. Существующие модели управления запасами

Вывод по первой главе

Глава 2. О дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом

2.1. Определение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, в чем сложность

2.2. Решение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом методом шагов

2.3. Численное решение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом методом Рунге-Кутты

2.4. Метод исследования устойчивости решения дифференциального

уравнения с запаздывающим аргументом

Вывод по второй главе

Глава 3. Построение и исследование математической модели управления запасами с учетом запаздывания

3.1. Построение моделей управления запасами с использованием дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

3.2. Исследование на устойчивость модели управления запасами с учетом запаздывания и постоянной функцией спроса

3.3 Периодические колебания спроса в модели управления запасами

3.4 Случайные колебания спроса в модели управления запасами

3.5 Исследование модели управления запасами с малыми переменными функциями возмущения

3.6 Алгоритм численного исследования построенных моделей управления

запасами с учетом запаздывания на основе метода шагов

Вывод по третьей главе

Глава 4. Программный комплекс для численного исследования моделей управления запасами с учетом запаздывания

4.1. Общее описание программного комплекса

4.2. Реализация алгоритма численного исследования построенных моделей управления запасами на основе метода шагов в программном комплексе

4.3. Реализация численного метода Рунге-Кутты в программном комплексе

4.4. Программная структура, его особенности

Вывод по четвертной главе

Глава 5. Прикладные задачи

5.1 Управление запасами непродовольственных товаров на примере ореха

кешью

5.2. Управление запасами непродовольственных товаров на примере телефонов

Вывод по пятой главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Технология моделирования объектов экономики с использованием дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом»

Введение

Актуальность исследования. Использование математических методов -важнейшее направление совершенствования систем управления в экономике. Математические методы ускоряют проведение экономического анализа, способствуют более полному учету влияния различных факторов на результаты деятельности, повышению точности прогнозирования.

Применение математических методов в управлении запасами принято связывать с появившимся в начале XX века работами Ф. Харриса и Р. Уилсона, в которых исследовалась простейшая оптимизационная модель EOQ (Economic Order Quantity) для определения экономически наиболее выгодного размера заказа при детерминированном спросе. Р. Уилсоном (Wilson) в его работах была выведена группа формул, относящихся к EOQ, которая в англоязычной литературе носит его имя [131, 132]. В данной идеальной модели предполагается, что запасы мгновенно пополняются в момент, когда их уровень падает до нуля. К сожалению, данная модель не всегда применима на практике из-за упрощенности и условности рассмотренных параметров.

С середины 1960-х годов применения математических методов в управлении запасами продолжают интенсивно развиваться. Можно отметить следующих авторов: Дж. Букан, Э. Кенигсберг [18, 126], Хруцкий Е.А. [114], О. Уайт [103], Рубальский Г.Б. [91], Сакович В.А. [94], Беляев Ю.А. [11], Проценко О.Д [83], Долгов А.П. [ 35], Иванов В.Б. [44], Рыжиков В.Ю. [92, 93], Сидоров И.И. [96], Чаусова Е.В [117, 118], Кристофер М. [60], Решетникова Г.Н [88], Бродецкий Г.Л. [17], Григорьев М.Н. [28] и др.

Ими описаны различные методы и модели оптимального управления запасами, которые приобрели характер классических результатов: формулы Уилсона для детерминированных моделей размера партии и их обобщения [11, 18, 94 и др.]; модели управления запасами при случайном спросе с непрерывным и периодическим контролем уровня запасов [17, 91, 93]; модели управления запасами в стохастической постановке, в которых требовалось определить допус-

тимый уровень дефицита с точки зрения эффективного функционирования склада, как вероятность бездефицитной работы склада [18, 35 и др.] и т.д.

Существует целый ряд моделей для управления запасами, где выделяется основной параметр, на основании которого и составляется модель. В качестве основного параметра модели может быть размер заказа, интервал между поставками и другие. В [94, 97, 98] описаны модели управления запасами с фиксированным размером заказа и модель управления запасами с фиксированным интервалом времени между заказами. М.Г. Гасратовым [25] создана модель управления запасами, учитывающая рыночную среду, в которой конкурирует несколько фирм. В данной модели применяется математический аппарат теории игр, который позволяет анализировать принятие решения экономическими субъектами в ситуациях, когда на результат этих решений оказывают влияние действия, предпринимаемые другими экономическими субъектами.

Таким образом, указанными авторами разработаны различные методы и модели управления запасами, предназначенные для ресурсов различного характера и предприятий различной организационной структуры. Однако, как показали проведенные исследования, многие проблемы в управлении запасами все еще остаются нерешенными и мало исследованными.

Перечисленные модели управления запасами в большинстве являются дискретными, что оправдано предположением о дискретности поставок. Однако такие модели управления запасами редко точно описывают реальную экономическую систему. Причина этого заключается о том, что возможны ситуации, в которых поставки осуществляются непрерывным образом. Это происходит тогда, когда пропускная способность транспортного канала ограничена и поставки осуществляются малыми партиями или если речь идет о трубопроводном транспорте, технология функционирования которого предполагает непрерывность поставок. Особняком стоят поставки электроэнергии, для которых дискретизация невозможна, а также практически отсутствует возможность для создания запасов. В данных случаях уместным

представляется математическое описание системы с применением аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений (Ordinary Differential Equations, ODE). Построению и исследованию моделей управления запасами в непрерывной постановке на основе обыкновенных (стохастических) дифференциальных уравнений посвящены работы [53, 88, 94 и др.].

Одной из существенных проблем современной математической теории управления запасами является то, что большинстве существующих моделей не учитывается наличие временной задержки между принятием управленческого решения и его практической реализацией, например, между подачей заявки и ее выполнением, время задержки, требуемое для пополнения запаса при его нехватке в системе и т.д. Между тем, наличие такой задержки необходимо принимать во внимание в большинстве реальных экономических систем (указывали еще Дж. Букан и Э. Кенигсберг [18, 126 и др.]).

Работы по математическому моделированию системы управления запасами с учетом запаздывания имеются, но их довольно мало. Среди них можно указать, например, работы Е. В. Чаусовой [116, 117], Ю.И. Дорофеева и A.A. Никульченко [36], О.О. Мухиной и В.И. Смагина [71]. В них при построении моделей учитывают время задержки поставок, однако сами модели являются дискретными.

Непрерывные модели, в которых учитывается эффект запаздывания, представляется уместным строить с использованием аппарата дифференциальных уравнений с отклоняющимся (запаздывающим) аргументом (Delay Differential Equation, DDE) [10, 74, 122 и др.].

В настоящее время многочисленные задачи теории автоматического регулирования [90], техники [123], биологии [23, 37, 54, 55,], физики [69] и т.д. описываются с помощью моделей такого рода. Так, транспортное запаздывание обычно возникает в системах, в которых вещество, энергия или сигналы передаются на существенные расстояния [122]. Технологическое запаздывание может встречаться в химико-технологических процессах [29], в теплоэнергетике [80]. Построению и исследованию моделей различных

объектов и систем на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых. Можно отметить следующих авторов: Мышкис А.Д. [72, 73 и др.], Беллман Р. [10], Эльсгольц Л.Э. [122], Колесов Ю.С. [54, 55], Кук К.Л. [10], Хейл Д.[113], Красовский Н.Н.[58], Меркин Д.Р. [69], Долгий Ю.Ф. [33, 34], Тарасян B.C. [99, 100] и т.д., однако в теории управления запасами подобные модели не получили пока распространения.

Таким образом, актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью разработки математических моделей управления запасами с учетом запаздывания в предположении о том, что поставки осуществляются непрерывно. При этом их математическое описание производится с помощью аппарата дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются системы управления запасами, в которых поставки осуществляются непрерывно и учитывается наличие временной задержки между принятием управленческого решения и его практической реализацией. Предмет исследования - математические модели управления запасами с учетом запаздывания на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, численные методы и инструментальные средства поддержки их исследования.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка методов математического моделирования системы управления запасами с учетом запаздывания и инструментальных средств его поддержки на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. анализ существующих математических моделей управления запасами;

2. построение моделей управления запасами с учетом запаздывания на основе дифференциальных уравнений с запаздыванием в предположении о том, что поставки осуществляются непрерывно;

3. исследование построенных моделей управления запасами с учетом запаздывания на устойчивость;

4. разработка численных методов и программного комплекса, предназначенного для исследования моделей управления запасами с учетом запаздывания;

5. апробация результатов работы при решении прикладных задач управления запасами товаров народного потребления двух основных типов (продовольственных и непродовольственных).

Методы исследования. При проведении диссертационного исследования применялись методы математического моделирования, аналитические и численные методы исследования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, методы исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики. Для реализации программной системы использована среда разработки МАТЬАВ.

Научная новизна. Научная новизна исследования состоит в следующем.

1. Предложен новый подход к построению моделей управления запасами: модели управления запасами с учетом запаздывания в предположении о том, что поставки осуществляются непрерывно, а не дискретно, как в большинстве существующих моделей управления запасами.

2. Построены оригинальные модели управления запасами с учетом запаздывания в непрерывной постановке на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом второго порядка, отвечающие различным экономическим ситуациям.

3. Определены ограничения на входящие параметры, при выполнении которых построенные модели устойчивы, установлены случаи, когда введение запаздывания в моделях управления запасами оказывает положительное влияние на устойчивость.

4. Предложен авторский алгоритм численного исследования построенных моделей управления запасами с учетом запаздывания на основе метода шагов,

отличающийся от известного тем, что предусматривает учет ограничений на величину скачка второй производной.

5. Разработан оригинальный программный комплекс, отличительными особенностями которого является охват специфичного круга задач, связанных с численным исследованием непрерывных моделей управления запасами с учетом запаздывания, простота и удобство интерфейса. Программный комплекс создан в среде МАТЬАВ.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность научных результатов обеспечивается несколькими параметрами: корректностью выбора условий для построения моделей и исходных данных для проведения численного эксперимента; согласованностью экспериментальных и теоретических данных; высокой точностью результатов численных расчетов, сочетанием численных методов исследования моделей с аналитическими.

Практическая значимость. Практическая значимость результатов исследования заключается в следующем.

1. Разработан подход к построению специальных математических моделей для решения задач управления запасами, в первую очередь, в сфере торговли, а также в других областям экономики.

2. Создан программный комплекс, позволяющий решать прикладные задачи соответствующего класса.

Результаты диссертационного исследования использованы в учебном процессе при проведении занятий по дисциплинам «Моделирование систем», «Вычислительная математика» и «Системный анализ». Получен акт о внедрении результатов кандидатской диссертационной работы в учебный процесс ФГБОУ ВПО «ИрГТУ».

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

- XII Прибайкальская школа-семинар молодых ученых «Моделирование,

оптимизация и информационные технологии» (Иркутск, 2012г.).

- Межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых «Проблемы информационного и математического моделирования сложных систем - 2012» (Иркутск, 2012г.).

- XVII Байкальская Всероссийская конференция «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (Иркутск, 2012г.).

- Всероссийская молодежная научно-практическая конференция «Малые Винеровские чтения» (Иркутск, 2013г.).

- Вторая межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых «Проблемы информационного и математического моделирования сложных систем-2013» (Иркутск, 2013г.).

- III Международная научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Математика и ее приложения в современной науке и практике» (Курск, 2013г.).

- X Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Управление большими системами» (Уфа, 2013г.).

- XVIII Байкальская Всероссийская конференция «Информационные и математические технологии в науке и управлении» (Иркутск, 2013г.). Результаты диссертационного исследования неоднократно докладывались

на научных семинарах кафедры Автоматизированных систем Иркутского государственного технического университета (рук. д.т.н., профессор JI.B. Массель, к.т.н., доцент C.B. Бахвалов).

Результаты диссертационного исследования опубликованы в 11 научных работах, из них 3 статьи в изданиях, входящих в Перечень ВАК: «Вестник ВСГТУ», «Вестник ИрГТУ». Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013660315 (2013 г.).

Личный вклад. Все выносимые на защиту результаты получены лично автором или при его непосредственном участии.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 132 наименований. Объем работы составляет 126 страниц, 40 рисунков и 7 таблиц.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, сформулирована его цель и задачи, раскрыта научная новизна и практическая значимость полученных результатов, изложены основные научные положения, выносимые на защиту, приведена структура и краткий обзор содержания работы.

В главе 1 приведен обзор основной теории управления запасами: определения термина «запасы», классификация запасов по различным основаниям и роль управления им в работе любого предприятия различной организационной структуры на основе анализа литературных источников. Приведены основная классификация моделей управления запасами и стратегия управления запасами. Проведен анализ существующих моделей управления запасами, на основе которого сделаны следующие выводы.

Существующие модели управления запасами в большинстве являются дискретными, что оправдано предположением о дискретности поставок. Таким моделям управления запасами посвящены работы Ю.А. Беляева, Дж. Букана, Г.Л. Бродецкого, А. П. Долгова и др., однако они не всегда достаточно точно описывают реальную экономическую систему. Причина этого заключается в том, что возможны ситуации, в которых поставки осуществляются непрерывным образом. Таким образом, существует объективная необходимость в построении моделей управления запасами в непрерывной постановке. Моделям управления запасами в непрерывной постановке посвящены работы В.А. Коле-маева, Б.С. Решетниковой, В.А. Саковича, А.Н. Стерлиговой и др., хотя они пока и не получили широкого распространения. Возможно, что причина этого заключается в том, что в них не учитывается наличие временной задержки между принятием управленческого решения и его практической реализацией, которое необходимо принимать во внимание в большинстве реальных систем. Этот недостаток затрудняют применение известных непрерывных моделей управления запасами на практике.

С целью решения данной проблемы автором предложен новый подход к построению моделей управления запасами на основе применения математического аппарата дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

В главе 2 сделан обзор теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и методам их исследования посвящены работы А.Д. Мышкиса, Р. Беллмана, К. Кука, Дж. Хейла, Л.Э. Эльсгольца, H.H. Красовского, Ю.Ф. Долгого и B.C. Тарасяна и др. Рассмотрены аналитические и численные методы исследования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом: метод шагов и метод Рунге-Кутты, методы исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений, в том числе, метод D-разбиения. При этом, в частности, сделан следующий вывод:

Для дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом второго порядка решение является дважды кусочно-дифференцируемой функцией, при этом первая производная непрерывна, а вторая, вообще говоря, имеет разрывы первого рода. Однако в системах управления запасами в ряде случаев необходимо, чтобы запас не испытывал резких колебаний, в частности, чтобы была непрерывна и вторая производная. К сожалению, выполнение данного требования возможно только для очень узких классов решений.

Для преодоления указанных трудностей автором предложена модификация стандартного алгоритма (метода шагов) численного исследования дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом, предусматривающая учет ограничений на величину скачка второй производной.

В главе 3 построены математические модели управления запасами с учетом запаздывания в предположении о том, что поставки осуществляются непрерывно, а не дискретно. Были построены разновидности модели управления запасами с учетом запаздывания, отвечающие различным экономическим ситуациям.

В первом случае предполагается, что функции возмущения в системе управления запасами являются постоянными. При этом модели управления за-

пасами построены на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом второго порядка с постоянными коэффициентами.

Во втором случае предполагается, что функции возмущения в системе управления запасами являются переменными. При этом модели управления запасами построены на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом второго порядка с переменными коэффициентами.

Аналогично различным экономическим ситуациям автором были рассмотрены три вида наличия спроса в системе управления запасами: постоянный спрос, периодические колебания спроса и случайные колебания спроса.

Под управлением запасами мы будем понимать определение оптимальных размеров запасов в системе. Устойчивость в модели управления запасами означает стабилизацию уровня запаса в системе с течением времени и свидетельствует, в частности, о пригодности модели для практического применения. В связи с этим для разновидности построенных моделей управления запасами выполнены исследования построенных моделей управления запасами с учетом запаздывания на устойчивость, определены условия для входящих параметров, при которых система с учетом запаздывания устойчива (неустойчива). Показана работоспособность модели и ее пригодность для исследования прикладных задач.

Проведены вычислительные эксперименты, в результате которых определены влияния входящих параметров на свойство устойчивости системы, и случаи, когда введение запаздывания в модели управления запасами с учетом запаздывания оказывает положительное влияние на поведение системы.

Все полученные результаты оказались вполне пригодны для исследования практических задач, соответствующих задачам управления запасами в любом торговом предприятии.

В главе 4 представлено описание программного комплекса для численного исследования моделей управления запасами с учетом запаздывания в среде МАТЪАВ.

В качестве основы реализации программного комплекса выполнено комплексное численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и графическое представление его результатов, определение оценки качества управления динамических систем. Разработанный программный комплекс имеет простой и интуитивно понятный интерфейс.

В главе 5 представлены результаты решения прикладных задач: применение построенных авторами моделей и разработанного программного комплекса для решения прикладных задач управления запасами товаров народного потребления двух основных типов (продовольственных и непродовольственных) на примере, соответственно, ореха кешью и сотовых телефонов. При этом выполнены прогнозирование спроса, регулирование объема товарного запаса на складе, определение значений параметров для улучшения качества процесса управления. Результаты применения доказали достоверность теоретических исследований авторов и актуальность применения построенных моделей управления запасами с учетом запаздывания для решения прикладных задач.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по проведенному диссертационному исследованию.

Глава 1. Обзор существующих математических моделей управления запасами

В данной главе приведен обзор существующей теории управления запасами: их классификация по различным признакам, способы определения необходимых размеров запасов, показано влияние способа управления запасам на функционирование предприятия. Проведен анализ существующих моделей управления запасами, на основе которого сделаны выводы об их достоинствах и недостатках, для преодоления последних предложен новый подход к построению моделей управления запасами. 1.1. Краткий обзор теории управления запасами

Запасы играют важную роль в предпринимательской деятельности организации и способны оказать существенное влияние на ее эффективность. При этом очевидно, что заниженные запасы материальных ресурсов могут привести к убыткам, связанным с неудовлетворенным спросом, и, следовательно, к потере прибыли и потенциальных покупателей. С другой стороны, накопление излишних запасов связывает оборотный капитал предприятия и вызывает дополнительные расходы на хранение. В связи с этим, одним из важных факторов повышения эффективности функционирования торгового предприятия является эффективное управление запасами (Inventory Management). Управление запасами в общем случае состоит в определении соотношения между двумя основными факторами - пополнением и расходом запасов. Основной целью научного управления запасами является определение оптимальных размеров запасов и графика поставок, их обеспечивающего [17, 18, 25 и др.]. Для достижения данной цели необходимо учитывать различные характеристики запасов, например, срок годности, условия хранения, способ транспортировки и т.п.

Запас является определенной формой существования материального потока, поскольку последний на пути движения от источника возникновения до конечного потребителя может накапливаться (в виде запаса) на любом участке, при этом различают запасы сырья, материалов, готовых изделий и т.д. [87, 89 и

Ii

др.]. Таким образом, материальные запасы включают в себя сырье, материалы, комплектующие, готовую продукцию и другие материальные ценности, ожидающие производственного или личного потребления.

В литературе запасы можно классифицировать по большому количеству различных признаков [42, 87 и др.]. Как правило, выделяют следующие основные признаки: место нахождения, вид товарно-материальных ценностей, исполняемые функции и время.

Относительно производственного цикла запасы можно разделить на базовое сырье, средства производства, вспомогательные материалы, полуфабрикаты, готовые изделия, отходы производства и т.п. По месту нахождения запасы делятся на производственные запасы и товарные запасы.

Производственные запасы формируются на промышленных предприятиях и предназначены для использования в процессе создания товаров и услуг, иными словами, для производственного потребления.

Товарные запасы представляют собой количество товаров, которое находится у предприятий-изготовителей на складах готовой продукции или в каналах распределения у производителей и торговых компаний. Товарные запасы создаются с целью обеспечения непрерывного процесса обращения товаров и должны постоянно пополняться, однако избыток товарных запасов нежелателен, так как это увеличивает издержки.

По исполняемым функциям эти запасы подразделяются на текущие, подготовительные, гарантийные (страховые и резервные), сезонные, рекламные, и спекулятивные. Текущие запасы являются основной частью производственных и товарных запасов. Они обеспечивают непрерывность производственного или торгового процесса между очередными поставками. Количество текущих запасов постоянно меняется. Подготовительные или буферные запасы требуют дополнительной подготовки перед использованием в производстве (например, сушка). Буферные запасы готовой продукции вызваны необходимостью их подготовку к отпуску потребителям. Гарантийные (страховые) запасы предназначены для непрерывного обеспечения материалами или товарами производст-

венного или торгового процесса в случае различных непредвиденных обстоятельств. Такими обстоятельствами могут быть, например, отклонения в периодичности и величине партий поставок от предусмотренных в договорных обязательствах, задержки поставок в пути, изменения интенсивности спроса и др. В отличие от текущих запасов количество гарантийных запасов является постоянной величиной [65].

Сезонные запасы образуются при сезонном характере производства, потребления или транспортировки. Примером характера производства может служит производство сельскохозяйственной продукции. Сезонный характер потребления имеет потребление бензина во время уборочной страды. Сезонный характер транспортировки обусловлен, как правило, отсутствием постоянно функционирующих дорог.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фунг Тхе Бао, 2013 год

Список литературы

1. Абчук В.А. Экономико-математические методы [Текст] / В.А. Абчук. -СПб.: Союз, 1999.-320 с.

2. Азбелев Н.В. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом / Н.В. Азбелев, П.М Симонов // Известия высших учебных заведений. Математика, - 1997. -№ 6. С. 3-16.

3. Азбелев Н.В. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными / Н.В. Азбелев, П.М. Симонов. - Пермь: Пермского университета, 2001.-230 с.

4. Азбелев Н.В. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений: Методы и приложения / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматулина. - Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000.-296 с.

5. Аладьев В.З. Программирование в пакетах Maple и Mathematica: Сравнительный аспект / В.З. Аладьев, В.К. Бойко, Е.А. Ровба. - Гродно: ГрГУ, 2011. -517 с.

6. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. - Ижевск, 2000. - 368 с.

7. Бабский В.Г. Математические модели в биологии связанные с учетом последействия / В.Г. Бабский, А.Д. Мышкис // Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. -М.: Наука, - 1983. - 11с.

8. Баликоев В.З. Общая экономическая теория: учебник - 5-е изд. / В.З. Ба-ликоев - Москва: Омега, 2006. - 732с.

9. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.: Бином, 2003, - 632с.

10. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, K.JI. Кук.-М.: Мир, 1967.-548 с.

11. Беляев Ю.А. Автоматическое оптимальное оперативное управление материальными запасами предприятий / Ю.А. Беляев. -М.: МИНХ, 1989.-228 с.

12. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесе-керский, Е.П. Попов. -СПб.: Профессия, 2003. -751с.

13. Боднер В.А. Авиационные тренажеры / В.А. Боднер, P.A. Закиров, И. И. Смирнова. -М.: Машиностроение, 1973.

14. Боднер В.А. Оператор и летательный аппарат / В.А. Боднер. - М.: Машиностроение, 1976.-224с.

15. Бондарев A.A. Оценивание функций спроса для групп продовольственных товаров в российской экономике за 1999-2004 гг / A.A. Бондарев. - М.: ИЭПП, 2008.- 166 с.

16. Борисов Е.Ф. Экономическая теория / Е.Ф. Борисов. - М.: Юрайт, 2010. -535 с.

17. Бродецкий Г.Л. Управление запасами: учебное пособие / Г.Л. Бродецкий. -М.: Эксмо, 2007.-400с.

18. Букан Дж. Научное управление запасами / Дж Букан, Э. Кенигсберг. - М.: Наука, 1967.-424с.

19. Буэрсокс Д.Д. Логистика: интегрированная цель поставок / Д.Д. Буэрсокс, Д.Д. Клосс. - М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2001. -640с.

20. Ващенко Г.В. Вычислительная математика: основы алгебраической и тригонометрической интерполяции / Г.В. Ващенко. - Красноярск: СибГТУ, 2008.-75 с.

21. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения / Е.С Вентцель, Л.А. Овчаров. -М.: Академия, 2003. -464с.

22. Волков Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. - М.: Наука, 1987. - 248с.

23. Волтерра В. Математическая теория борьбы за существование / В. Во-лтерра. -М.: Наука, 1976. -288с.

24. Гасилов Г.Л. О характеристическом уравнении системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием / Г.Л. Гасилов // Известия вузов. Математика, - 1972. -№ 4. - С. 60-66.

25. Гасратов М.Г. Математическая модель управления материальными запасами в случае ценовой конкуренции / М.Г. Гасратов // Вестник С. Петер, ун-та.

Сер.10: прикладная математика, информатика, процессы управления, - 2007. Вып. 3,-С. 9-18.

26. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2004. - 407с.

27. Гноенский J1.C. Математические основы теории управления систем / JI.C. Гноенский, Г.А. Каменский, Л.Э. Эльсгольц. - М.: Наука, 1969. - 512с.

28. Григорьев М.Н. Управление запасами в логистике: методы, модели, информационные технологии: учебное пособие / М.Н. Григорьев, А.П. Долгов, С.А. Уваров. - СПб.: Изд. дом «Бизнес-пресса», 2006. - 368 с.

29. Турецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием / X. Турецкий. - М.: Машиностроение, 1974. - 328с.

30. Гурский Д.А. Вычисления в Mathcad 12 / Д.А. Гурский, Е.С. Турбина. -М.: Питер, 2006.-544с.

31. Долгий Ю.Ф. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием / Ю.Ф. Долгий , С.Н. Нидченко // Известия Уральского государственного университета. - 2005. - С. 50-68.

32. Долгий Ю.Ф. Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнения с запаздыванием / Ю.Ф. Долгий, С.Н. Нидченко // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. - Екатеринбург: УрГУ, -2004.-С. 159-160.

33. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений / Ю.Ф. Долгий. - Екатеринбург: УрГУ. 1996. - 84с.

34. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием / Ю.Ф. Долгий, С.Г. Николаев // Дифференциальные уравнения, - 2001. - Т. 37. - № 5. - С. 592-600.

35. Долгов А. П. Материальные запасы и логистические процессы в макроэкономических системах / А. П. Долгов. - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2005. - 240с.

36. Дорофеев Ю.И. Построение математических моделей управляемых сетей поставок с учетом запаздываний потоков [Текст] / Ю.И Дорофеев, A.A. Никуль-ченко // System Research & Information Technologies,- 2013. - №1. - C.16-27.

37. Дроздов А.Д. Об устойчивости системы "хищник-жертва"/ А.Д. Дроздов, В.Б. Колмановский, Д. Тримсанте // Автоматика и телемеханика, -1992. - № 11. - С. 57-64.

38. Дубцов Г.Г. Товароведение продовольственных товаров: учебник для студ. учреждений СПО / Г.Г. Дубцов. - 2-е изд., испр. - М.: Академия, 2012 . -336с.

39. Ельдештейн Ю.М. Логистика / Ю.М. Ельдештейн . - Электронный учебно-методический комплекс, 2006.

40. Захаров A.B. Устойчивость периодических решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием / A.B. Захаров // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал, - 2005. - № 1. -20 с.

41. Зверкин A.M. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями соизмеримыми с периодом коэффициентов / A.M. Зверкин // Дифференциальные уравнения, - 1988. - Т. 24, - № 9. - С. 1481-1492.

42. Зеваков A.M. Логистика материальных запасов и финансовых активов /

A.M. Зеваков. - СПБ.: Питер, 2005.

43. Зябин В.К. Сверхнормативные запасы материальных ресурсов в промышленном производстве / В.И. Степанов. - М.: Финансы и статистика, 1989. - 224 с.

44. Иванов В.Б. Автоматизированное управление запасами предприятия /

B.Б. Иванов, Г.Г. Куликов, Я.А. Речкалов. - Уфа: Изд-во Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т., 2002. - 104с.

45. Иохин В.Я. Экономическая теория: введение в рынок и микроэкономический анализ / В.Я. Иохин. - М.: Юристъ, 2000. - 861с.

46. Казаков А.Л. Математическая модель управления запасами (поставками) с учетом запаздывания / А.Л. Казаков, A.A. Лемперт, Т.Б. Фунг // Вестник Ир-ГТУ. - Иркутск: ИрГТУ, - 2012. - № 4(63). - С. 131-137.

47. Казаков А.Л. Математическая модель управления запасами на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / А.Л. Казаков, Т.Б. Фунг / Материалы XII Прибайкальская школа-семинар молодых ученых

«Моделирование, оптимизация и информационные технологии». - Иркутск, -2012.-С. 24.

48. Казаков A.JI. Построение и численное исследование математической модели управления запасами с учетом запаздывания /A.JI. Казаков, Т.Б. Фунг / Труды XVII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управления». - Иркутск: ИСЭМ СОР АН, - 2012. - Т. 1. - С. 125-132.

49. Каменский Г.А. К общей теории уравнений с отклонений с отклоняющимся аргументом / Г.А. Каменский. Научн. докл. высш. школы, физ.-матем. науки, - 1958.-С. 60-66.

50. Каменский Г.А. Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом / Г.А. Каменский. - Москва: Изд-во Московского гос. ун-та, - 1954. - №.165. - С. 195-204.

51. Кетков Ю. Л. MATLAB 7: программирование, численные методы / А. Ю. Кетков, М.М. Щульц. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. -752 с.

52. Кетков Ю.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Matlab versus Mathcad / Ю.Л. Кетков, А.И. Кузнецов // Математика в высшем образовании, -2005. -№3.~ С. 27-52.

53. Колемаев В.А. Экономико - математическое моделирование: Моделирование макроэкономических процессов систем / В.А. Колемаев. - М: Юнити-Дана, 2005. - 295с.

54. Колесов Ю.С. Математические модели в экологии / Ю.С. Колесов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. - Ярославль, - 1979. - С. 3—40.

55. Колесов Ю.С. Некоторые задачи математической экологии / Ю.С. Колесов // Дифференциальные уравнения и их применение. - Вильнюс, - 1981. Вып. 29. - С. 27-34.

56. Колмановский В.Б. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последствием / В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. - М.: Наука, 1981. -448с.

57. Кохно П.А. Анализ хозяйственной деятельности предприятия / П.А. Кохно, А.Д. Микрюков. - М.: Финансы, 2003. - 325с.

58. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения / H.H. Красовский. -М.: Физматгиз, 1959, -211с.

59. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 543с.

60. Кристофер М. Логистика и управление целями поставок / М. Кристофер. -СПб.: Питер, 2004.-316с.

61. Кузнецов Д.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения / Д.Ф.Кузнецов. - 4-е изд., испр. и доп. - СПб.: Изд-во Политехи, унта, 2010. - 816 с.

62. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие / Е.С. Кундышева. - 2-е изд., перераб. и испр. / Под науч. ред. проф. Б.А. Суслакова. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2006. -352с.

63. Куржанский А.Б. О существовании решений уравнений с последействием / А.Б. Куржанский // Дифференциальные уравнения. - 1970. -Т.6. -№10. - С. 1800-1809.

64. Лемперт A.A. Программная система для численного исследования модели управления запасами с учетом запаздывания / A.A. Лемперт, Т.Б. Фунг / Труды XVIII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управления». - Иркутск: ИСЭМ СОР АН, -2013. -Т.2. - С. 145—151.

65. Логистика: учебное пособие / под ред. Б.А. Аникина. - М. : ИНФРА-М, 1999.-327 с.

66. Лотоцкий В.А. Модели и методы управления запасами / В.А. Лотоцкий, A.C. Манцель. - М.: Науки, 1991.-189с.

67. Лукинский B.C. Модели и методы теории логистики / B.C. Лукинский. -СПб.: Питер, 2007. - 448с.

68. Математическое моделирование вирусного гепатита / Г.И. Марчук и др. -М.: Наука, 1981.- 350 с.

69. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д.Р. Меркин. -М.: Наука, 1987.-304с.

70. Миллер Б.М. Теория случайных процессов в примерах и задачах / Б.М. Миллер, А.Р. Панков. - М.: Физматлит, 2002. - 320с.

71. Мухина О.О. Локально-оптимальное управление запасами с учетом запаздываний в поставках и транспортных ограничений / 0.0 Мухина, В.И. Смагин // Вестник Томского государственного университета, - 2012. - №2. - С.42-50.

72. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис. - М.: Наука, 1972. -352с.

73. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / А.Д. Мышкис // Успехи мат. наук, -1977. -Т.32. Вып. 2.-С. 173-202.

74. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / А.Д Мышкис // Успехи мат. наук, - 1949. - Т.4. выи. 5. -С 99-141.

75. Мышкис А.Д. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / А.Д. Мышкис, Л.Э. Эсгольц // Успехи ма-тем. Наук, -1967. -№2 . - С.21 - 57.

76. Мышкис А.Д. О решениях линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка периодического типа с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис // Матем. Сб., -1951. -Т.28 (70). - № 1. - С. 15 -54.

77. Никифорова Н.С. Товароведение продовольственных товаров. Практикум: учебное пособие / Н.С.Никифорова. - 3-е изд., стер. - М.: Академия, 2009 . - 128с.

78. Первозванский А. А. Математические модели в управлении производством / А. А Первозванский. М.: Наука, 1975. - 46 с.

79. Платонов А.П. Модели и вычислительные методы в теории нейстронных полей: Упругое замедление нейтронов: дис. ... докт. ф-м. наук: 05.13.08 - Ди-митровград, - 2003. - с. 309.

80. Плетнев Г. П. Автоматическое регулирование и защита теплоэнергетических установок электрических станций / Г. П. Плетнев. - М.: Энергия, 1970. -408с.

81. Половко A.M. Matlab для студента / П.Н. Бутусов. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 322с.

82. Попов Е.В. Продвижение товаров и услуг / Е.В. Попов. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 320с.

83. Проценко О.Д. Управление материальными запасами / О.Д. Проценко В.Д. Рексин. - М.: АНХ , 1968. - 45с.

84. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием / Б.С. Разуми-хин // ПММ, - 1956. - Т.20, вып. 4. - С.500-512.

85. Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем с запаздыванием / Б.С. Разумихин // Автоматика и телемеханика, - 1960. - Т.21. - № 6. - С.740-746.

86. Раскатова М.И. Совершенствование управления запасами сырья и материалов промышленного предприятия в условиях рыночной нестабильности и неопределенности : дис. ... канд. экн. наук: 08.00.05 - Челябинск, - 2007. -с.243.

87. Резер С.М. Словарь терминов / А.Н. Родников. - М.: ВИНИТИ РАН, 2007. -412с.

88. Решетникова Г.Н. Синтез и моделирование системы управления поставками / Г.Н. Решетникова // Вестник ТГУ. Сер. Информатика. Кибернетика. Математика, - 2006. - № 293. - С.59-62.

89. Родников А.Н. Логистика: терминологический словарь / А.Н. Родников. -М.: Экономика, 1995.-251с.

90. Ротач В. Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования / В. Я. Ротач. - М.: Энергия, 1973. - 440с.

91. Рубальский Г. Б. Управление запасами при случайном спросе / Г. Б. Ру-бальский. М.: Сов. радио, 1977. -160с.

92. Рыжиков Ю. И. Об оптимальном оборотном запасе для замкнутых систем восстановления / Ю. И. Рыжиков // Экономика и математические методы, -1979. -№3.-С.616-620.

93. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами / Ю. И. Рыжиков. - СПб.: Питер, 2001. - 384с.

94. Сакович В.А. Модели управления запасами/ В.А. Сакович / Под ред. М.И. Балашевича. - Минск: Наука и техника, 1986. - 319с.

95. Самарский A.A. Введение в численные методы / A.A. Самарский. - М.: Наука, 1997.-239с.

96. Сидоров И.И. Логистическая концепция управления предприятием / И.И. Сидоров. - СПб.: Общество «знание», 2001, -168с.

97. Стерлигова А. Н. Управление запасами в целях поставок / А. Н. Стерлигова. - М.: Инфра-М, 2008. - 430с.

98. Стивенсон В. Д. Управление производством / В. Д. Стивенсон; пер. с англ. - М.: Изд-во Лаборатория Базовых знаний, 2002. - 928с.

99. Тарасян B.C. Конечномерные операторы монодромии для периодических систем дифференциальных уравнений с последействием/ B.C. Тарасян, Ю.Ф. Долгий // Изв. Урал. гос. ун-та - Екатеринбург,-2000. -№18. -С.67-83.

100. Тарасян B.C. Связь непрерывных и дискретных полугрупп для уравнений с последействием /B.C. Тарасян, Ю.Ф. Долгий //Урал. гос. ун-т - Екатеринбург, -2000. -28с.

101. Теория уравнения нейтрального типа / P.P. Ахмеров [и др.] // Итоги науки и техники.-1981.-Т. 19.- С. 55-126.

102. Товароведение непродовольственных товаров: учебник / А.П. Ходыкин [и др.]. - М.: Дашков и К, 2006. - 540с.

103. Уайт О. Управление производством и материальными запасами в век ЭВМ / О. Уайт. - М.: Прогресс, 1978. - 304с.

104. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. - М.: Наука, 1985. - 224с.

105. Фунт Т.Б. Исследование устойчивости моделей управления запасами в непрерывной постановке / Т.Б. Фунг, А.А Лемперт // Вестник ВСГУТУ. - Улан-Удэ: ВСГУТУ, - 2013. - № 4(43). - С. 5-14.

106. Фунг Т.Б. О модели управления запасами в непрерывной постановке с учетом запаздывания и случайных колебаний спроса / Т.Б. Фунг, A.A. Лемперт / Труды Всероссийской молодежной научно-практической конференции «Малые Винеровские чтения 2013». - Иркутск: ИрГТУ, - 2013. - С.71-79.

107. Фунг Т.Б. О моделировании процесса управления запасами с учетом запаздывания для двух видов товаров народного потребления / Т.Б. Фунг, А.А Лемперт // Вестник ИрГТУ. - Иркутск: ИрГТУ,- 2013. - № 9(80). - С. 43-52.

108. Фунг Т.Б. О непрерывной модели управления запасами со случайными колебаниями спроса / Т.Б. Фунг / Материалы Всерос. молодежной науч-практ. конф. «Малые Винеровские чтения». - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, - 2013. - С. 70.

109. Фунг Т.Б. Программная реализация для численного исследования модели управления запасами с учетом запаздывания / Т.Б. Фунг, И.О. Верхозина / Сборник научных трудов / X Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Управление большими системами». - Уфа,- 2013. Т. 1. - С.34-37.

110. Фунг Т.Б. Программная система для исследования модели управления запасами с учетом запаздывания / Т.Б. Фунг, А.Л. Казаков, A.A. Лемперт // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013660315 от 30 октября 2013.-М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент). -2013.

111. Фунг Т.Б. Численный метод решения задачи управления запасами с учетом запаздывания и его программная реализация /Т.Б. Фунг / Сборник научных трудов III Международной научно-практической конференции студентов и аспирантов. - Курск: Юго-Зап. гос. ун-т, - 2013. - С.411- 416.

112. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Нежесткие задачи / Э Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. - М.: Мир, 1990. - 512с.

113. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Хейл Дк. - М.: Мир, 1984.-421с.

114. Хруцкий Е.А. Экономико-математические методы в планировании материально-технического снабжения / Е.А. Хруцкий. - М.: Экономика, 1976. -143с.

115. Чарльз Г.Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и Matlab / Г.Э. Чарльз, П.Э. Дэвид. - Киев: Диалектика-Вильяме, 2007. -1104с.

116. Чаусова Е.В. Интервальная динамическая модель управления запасами с задержками поставок / Е. В. Чаусова // Вестник Томского государственного университета. -Томск, - 2007. - №294. - С.207-211.

117. Чаусова Е. В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и задержками в поставках / Е. В. Чаусова // Вестник Томского государственного университета. -Томск, - 2002. - №1. -С. 195-200.

118. Чаусова Е. В. Динамическая сетевая модель управления запасами с ин-тервально заданным нестационарным спросом / Е. В. Чаусова // Дискретный анализ и исследование операций. - Новосибирск: Изд-во института математики, 2002. - 248 с.

119. Шампайн Л. Ф. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB: учебн. Пособие / JI. Ф. Шампайн, И. Гладвел, С. Томпсон. - СПб.: Изд-во «Лань», 2009. - 304с.

120. Шнурков П.В. Исследование проблемы управления запасом непрерывного продукта при детерминированной задержке поставки / П.В. Шнурков, Р.В. Мельников//АиТ,-2008.-№10.- С. 93-113.

121. Шрайбфедер Д. Эффективное управление запасами / Д. Шрайбфедер. -М.: Альпина бизнес букс, 2006. - 304с.

122. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин. - М.: Наука, 1971. -296с.

123. Эрриот П. Регулирование производственных процессов / П. Эрриот. - М.: Энергия, 1967.-480с.

124. Ali I. A special method for pantograph type delay differential equations and its convergence analysis /1. Ali, H. Brunner, Т. Tang // Journal of Computational Mathematics, - 2009. - Vol.27. -№ 2-3. - P.254-265.

125. Bellen A. Numerical Methods for Delay Differential Equations / A. Bellen, M. Zennaro. - New York: Oxford University Press, 2003. - 398 pp.

126. Buchan J. Scientific Inventory Management / J. Buchan, E. Koenigsberg. -Englewood Cliffs, 1963. - 523 pp.

127. Keqin G. Stability of time-delay systems / G. Keqin, V.L. Kharitonov, J. Chen. - Birkhäuser, Boston, 2003. - 353 pp.

128. Kim A.V. Numerical methods for delay / A.V. Kim, V.G. Pimenov // Lecture Notes in Mathematics. Seoul National University: Research Institute of Mathematics. Global Analysis Research Center, 1999. - Vol. 44. - 96 pp.

129. Shampine L.F. Solving DDEs in Matlab / L.F.Shampine, S.Thompson // App. Numer. Math., - 2001. - Vol 37. - P.441- 458.

130. Virk G.S. Runge-Kutta method for delay-differential systems / G.S.Virk // IEE Proc., -1985. - Vol.132. - № 3. - P.l 19-123.

131. Wilson R.H. A Scientific Routine for stock control / R.H. Wilson // Harvard Business Review, -1934. -Vol.13. - №2. - P. 116-128.

132. Wilson R.H. New method of stock control / R.H. Wilson, W.A. Mueller // Harvard Business Review, -1920-1927. -Vol.5. - P. 197-205.