Разработка алгоритмов и программ символьно-численного интегрирования некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений при моделировании систем с переменной структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кузнецова, Ирина Сергеевна

• Кузнецова, Ирина Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецова, Ирина Сергеевна

Введение.

Общая характеристика работы.

ГЛАВА 1. Алгоритмы и программы символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Введение.

1.1. Алгоритм и программа символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянным отклонением аргумента.

1.2. Алгоритм и программа символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием.

1.3. Алгоритм и программа символьно-численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием.

ГЛАВА 2. Алгоритмы и программы символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями.

Введение.

2.1. Алгоритм и программа символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями.

2.2. Алгоритм и программа символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсами (толчками).

ГЛАВА 3. Применения разработанных программ для исследования некоторых систем с переменной структурой.

Введение.

3.1. Исследование устойчивости нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе.

3.2. Исследование математической модели динамики численностей трёх взаимодействующих популяций.

3.3. Исследование математической модели системы «хищник-жертва» при наличии толчков.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов и программ символьно-численного интегрирования некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений при моделировании систем с переменной структурой»

При моделировании сложных систем с переменной структурой, которые широко используются в различных областях науки и технике, адекватным математическим аппаратом для их описания являются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые удовлетворяют не только начальным (краевым) условиям, "но и некоторым специфическим дополнительным условиям. Класс таких дифференциальных уравнений довольно обширен.

К ним в первую очередь следует отнести дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом или, как их ещё принято называть, функционально-дифференциальные уравнения, поскольку, как сказано в [1, стр. 7]: «.учение о функционально-дифференциальных уравнениях превратилось в специальную главу функционального анализа».

К этому же.классу принадлежат дифференциальные уравнения с кусочно-непрерывными (разрывными) правыми частями. О них в работе [109, стр. 8] написано, что «.специфика в поведении систем, у которых правая часть дифференциального уравнения является кусочно-непрерывной функцией её координат, заключается в том, что на некотором конечном интервале времени число точек разрыва может не оказаться конечным. Задача состоит в описании таких движений, которые принято называть скользящими режимами».

Дифференциальные уравнения с импульсами (толчками), «представляющие собой частный случай систем с обобщёнными возмущениями и в то же время немедленно сводящихся к системам в конечных разностях» [125, стр. 7], также входят в этот класс.

Для полноты заметим, что к этому классу дифференциальных уравнений относятся уравнения в контингенциях, дифференциальные включения, уравнения, содержащие обобщённые функции.

Вопросам теории перечисленных дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, из которых отметим лишь основные монографии и статьи обзорного характера. Так, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом исследуются в работах [1, 19, 30, 64, 71, 78, 88, 111, 124, 126, 134, 135], уравнениям с разрывной правой частью посвящены работы [2-5, 26, 32, 48, 53, 60, 81, 82, 84, 98, 100,101, 107-110, 112-123, 137-139, 146, 149, 155, 163, 164], уравнения с импульсами рассматриваются в работах [6-8, 11, 14, 22, 23, 31-35, 43-47, 61, 63, 74-77, 85, 86, 92-96, 98, 99, 105, 111, 125, 128-130, 132-133, 141, 157-162, 166], дифференциальные включения исследованы в статьях [9, 20, 28, 79, 80, 106, 116, 127, 131, 140, 141, 142, 144, 147], уравнения с обобщёнными функциями в работах [39, 40, 148, 151].

И, наряду с этим, отсутствуют программы для ЭВМ, которые позволяли бы интегрировать такие дифференциальные уравнения, строить их траектории или графики решений, вычислять численные значения при заданных значениях аргумента. В частности нет этих программ в таких, широко известных математических пакетах, как MAPLE и MATHEMATICA.

Диссертационная работа посвящена разработке новых алгоритмов и составлению эффективных программ символьно-численного решения с применением современных компьютерных технологий для первых трёх из указанных выше видов таких дифференциальных уравнений, руководствуясь при этом следующими соображениями.

Во-первых, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, с кусочно-непрерывными правыми частями и импульсные дифференциальные уравнения чаще всего встречаются в приложениях.

Во-вторых, движения каждой такой системы устроены по одному и тому же принципу, суть которого сводится к следующему: если движение определено на отрезке [/0, Т], то этот отрезок может быть разбит на конечное число частей [/,,?<+1] (i = 0,1,2,.к), tk=T таких, что на каждой из частей движение системы является решением некоторого, вполне определённого, обыкновенного дифференциального уравнения. Отсюда следует, что в основу алгоритмов и программ для интегрирования таких уравнений могут быть положены одни и те же принципы.

Поскольку, как было уже отмечено, рассматриваемые дифференциальные уравнения очень часто возникают при решении прикладных задач, естественно возникает вопрос, в каких случаях решение прикладной задачи приводит к таким уравнениям. Можно выделить два случая, когда использование таких дифференциальных уравнений оправдано.

Первый случай заключается в том, что к таким уравнениям приводит само существо решаемой задачи. Так, например, при решении задачи синтеза в оптимальном управлении получаются дифференциальные уравнения с кусочно-непрерывной правой частью [21, стр. 53], [83, стр. 34]. То же самоё относится к теории автоматического управления и регулирования, где без учёта явления запаздывания невозможно достаточно точно описать динамику процесса [73, 90].

Второй случай заключается в том, что к таким уравнениям можно прийти в процессе упрощения поставленной задачи. Действительно, если некоторые из функций, входящих в правые части дифференциальных уравнений, определяются на основе экспериментальных данных, то при составлении аналитического выражения этих уравнений естественно выбирать наиболее простые функции. Но в случае нелинейных уравнений такой подход может привести к уравнениям с кусочно-непрерывной правой частью. Именно таким приёмом воспользовался А.А. Андронов, исследуя колебания тока в ламповом генераторе в случае z-характеристики [10, стр. 191].

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Во многих системах в области физики, техники, биологии, автоматического регулирования и оптимального управления и других происходят сложные процессы, которые на разных отрезках своей эволюции с необходимостью описываются различными видами обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, для некоторых систем их состояние в конкретный момент времени зависит от состояний в предыдущие или последующие моменты времени. Имеются также системы, которые изменяются по разным законам на различных участках своего движения. Некоторые системы изменяют свою структуру при достижении заранее заданных условий.

При математическом моделировании таких систем с переменной структурой адекватным подходом является использование более сложных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно: 1) с отклоняющимися аргументами, которые учитывают эффекты запаздывания или опережения, 2) с кусочно-непрерывными правыми частями, 3) содержащие импульсы (толчки).

Однако нахождение решений перечисленных выше классов обыкновенных дифференциальных уравнений представляет крайне трудоемкую задачу, так как приходится интегрировать большое количество обыкновенных дифференциальных уравнений на всем отрезке интегрирования, причем структура уравнений сильно усложняется при каждом переходе от одного участка к другому.

По поводу вопроса интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Г.Г. Малинецкий на стр. 21 своей книги [55] отмечает: «Сами нелинейные уравнения с запаздыванием - одни из наиболее сложных объектов в современном моделировании. Например, весьма непростым является анализ элементарной на вид модели - уравнения Хатчинсона x(t) = а • x(t) • (1 — x(t - т)). .Его достаточно трудно анализировать как с помощью численных, так и с помощью асимптотических методов при больших значениях параметра а». В теории автоматического управления, где используются обыкновенных дифференциальных уравнений и их системы с отклоняющимся аргументом, автор обстоятельного курса [90] на стр. 44 пишет: «Эффективное построение решений дифференциально-разностных уравнений представляет собой достаточно трудную задачу».

В работе [18] относительно исследования обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями на стр. 377 ; написано, что «. полное сведение исследования её качественной структуры к исследованию некоторого точечного отображения, как правило, делается невозможным».

Точно также обстоит дело с импульсными системами обыкновенных I дифференциальных уравнений, для которых исследование качественной структуры представляет собой ещё более трудную задачу [63-65, 92-96]. I

Трудности интегрирования указанных классов обыкновенных дифференциальных уравнений можно в определенной степени преодолеть при использовании комбинированного метода, в котором вначале выполняются символьные преобразования исследуемой математической модели, а затем на основе полученных аналитических выражений производятся численные рас- четы. Для символьных, так и численных этапов интегрирования целесообразно использовать современные пакеты, такие как MAPLE и другие подоб-> ные системы компьютерной алгебры.

Таким образом, разработка новых методов и алгоритмов, в особенности символьно-численных, реализация их в виде программных средств с использованием современных компьютерных технологий и их применение для исследования систем с переменной структурой является актуальной проблемой математического моделирования сложных систем.

В диссертационной работе предложены новые алгоритмы, реализованные в виде программ для символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений указанных выше классов, которые позволяют найти их решения в аналитическом виде, а также находить численные значения решений для заданных значений аргумента и строить графики. При помощи разработанных программ в среде MAPLE были проведены исследования конкретных предложенных в работе математических моделей, описывающих глобальный круговорот воды в природе с учетом запаздывания и динамику численностей биологических популяций: хищник, две жертвы и хищник-жертва.

Цель диссертационной работы — разработка методов, алгоритмов и программ с использованием современных средств компьютерной алгебры для символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем следующих классов: 1) уравнений с отклоняющимся аргументом; 2) уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями; 3) уравнений содержащих импульсы (толчки). Проведение с помощью полученных программных продуктов исследования ряда прикладных задач из различных областей науки.

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка программно-алгоритмической поддержки символьных преобразований и вычислений на основе средств компьютерной алгебры с представлением решений в аналитическом и численном виде для следующих классов обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем: а) с постоянным и переменным запаздыванием; б) с кусочно-непрерывными правыми частями; в) с правой частью, которая содержит импульсы (толчки).

2. Получение системы из трёх обыкновенных дифференциальных уравнений, которая представляет собой новую нульмерную математическую модель круговорота воды в природе, учитывающую эффект запаздывания стока воды в океан. Проведение исследования на устойчивость решений в аналогичных двух моделях, но без учета эффекта запаздывания.

3. Провести апробацию разработанных программ на известных задачах и применить их для символьно-численного интегрирования и исследования свойств решений следующих предложенных математических моделей: а) нульмерная модель глобального круговорота воды в природе с учетом запаздывания стока воды в океан; б) модель взаимодействующих популяций один хищник и две жертвы в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью; в) модель динамики численности популяций хищник-жертва при наличии импульсов, связанных с мгновенным изъятием из популяции жертвы определенного ее количества в моменты достижения своих максимальных значений.

Методы исследований. В работе использовались методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, как с непрерывными, так и с разрывными правыми частями, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, методы компьютерной алгебры и вычислительной математики, прикладные пакеты программ.

Научная новизна. Показана эффективность применения символьно-численных вычислений для исследования физических, технических, биологических систем с переменной структурой, которые описываются дифференциальными уравнениями как с постоянным, так и переменным отклонением аргумента, с кусочно-непрерывными правыми частями, а также содержащих импульсы.

Исследована устойчивость предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе, описываемая системой дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, и показано, что наличие запаздывания является причиной неустойчивости решений в отличие от моделей без учета этого эффекта.

Найдены и исследованы решения предложенной математической модели один хищник и две жертвы в виде системы из трех дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и показано, что существуют такие значения параметров, при которых в системе возникают устойчивые периодические колебания.

Получены и исследованы решения математическая модель в виде системы дифференциальных уравнений с импульсами, которая описывает динамику численности двух популяций хищник и жертва и обнаружено, что при определенных значениях параметров в такой системе возникает явление динамического хаоса.

Практическая значимость и полезность полученных результатов.

Диссертационная работа имеет одновременно теоретический и практический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть с успехом использованы как в теоретических исследованиях, так и для решения прикладных задач, например, в физических, биологических, системах автоматического регулирования и оптимального управления.

Полученные программы для символьно-численного интегрирования всех рассмотренных в работе дифференциальных уравнений могут быть применены при исследовании устойчивости, зависимости от параметров, отыскания периодических и стохастических движений этих уравнений в сложных системах с переменной структурой.

Отдельные положения диссертационной работы используются в учебном процессе БелГУ при проведении занятий по теории дифференциальных уравнений.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритмы и программы символьно-численных вычислений при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с постоянными и переменными отклоняющимися аргументами, систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями и систем обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсами.

2. Программная реализация алгоритмов символьных преобразований и ее применение для вычисления решений предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе с учетом запаздывания стока воды в океан и результаты исследования режимов движения в этой модели.

3. Результаты исследования решений нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе в виде линейной и нелинейной систем обыкновенных дифференциальных уравнений без учета эффектов запаздывания.

4; Результаты исследования предложенной математической; модели системы, один хищник и две жертвы, описываемой системой1 обыкновенных дифференциальных, уравнений с разрывными правыми частями, и расчеты значений параметров, при которых. в системе существует устойчивый периодический режим.

5. Результаты, символьно-численных вычислений в математической модели для биологической, системы хищник-жертва при наличии импульсов, которые показывают существования стохастических решений.

Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием теорем теории обыкновенных дифференциальных уравнений (как с непрерывными, так и с разрывными правыми частями) и теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, положений метода точечных отображений и теории устойчивости. Кроме того, результаты, полученные с применением разработанных символьно-численных программ, согласуются с имеющимися результатами, полученными другими методами и другими авторами. .

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: VIII Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 10-16 сентября, 2006); IX Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 10-16 сентября,. 2007); X Международная конференция по математическому моделированию (г. Феодосия, 15-20 сентября^ 2008); Первая Международная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (г. Минск, 10-16 ноября, 2007); IV Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 28-29 ноября 2007 г.); Международная научная конференция для студентов и аспирантов «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (г. Харьков, 23-25 марта 2007); V Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» (г. Воронеж, 28-29 ноября 2008 г.); IX Международная математическая школа (Алушта, 15-20 сентября 2008); VI Международная научно-практическая конференция «Геометрическое моделирование и компьютерные технологии: теория, практика, образование» (г. Харьков, 21-24 апреля 2009); Международная конференция по математическому моделированию (г. Херсон, 14-19 сентября, 2009); Первая Международная научно-техническая конференция «Компьютерные науки и технологии» (г. Белгород, 8-9 октября 2009).

Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационная работа выполнена в рамках индивидуального плана подготовки аспиранта, научно-исследовательского направления «Нелинейные явления в динамических системах и их приложения», утверждённого Учёным советом БелГУ от 03.11.2000 г., с планами НИР кафедры математического анализа БелГУ, а также в рамках проекта Российского фонда фундаментальных исследований (грант №03-02-6263).

Личный вклад автора. Автор диссертации самостоятельно разработал все алгоритмы, программы и получил результаты, представленные в диссертационной работе. Его вклад в проведение исследований и получение результатов является определяющим.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 18 публикациях в виде статей в журналах, в трудах международных научных конференций. Из них четыре - в изданиях по списку ВАК РФ. Программы «Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом» и «Пакет программ для интегрирования дифференциальных уравнений запаздывающего, нейтрального или опережающего типов с несколькими постоянными отклонениями аргумента методом шагов» по теме диссертационного исследования зарегистрированы в отраслевом фонде алгоритмов и программ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и двух приложений. Объём диссертации 180 страниц, 36 рисунков. Список литературы включает 190 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кузнецова, Ирина Сергеевна

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений п -го порядка с постоянным и переменным отклонениями аргумента.

2. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования систем из п обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянным отклонением аргумента.

3. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования систем из п обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями.

4. Разработаны алгоритмы и составлены программы для аналитического и численного интегрирования систем из п обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсами.

5. С помощью разработанных программ и методами качественной теории дифференциальных уравнений исследованы решения линейной и нелинейной математических моделей глобального круговорота воды в природе в виде системы из трёх обыкновенных дифференциальных уравнений без учета фактора запаздывания стока воды с суши в океан и показана устойчивость их состояний равновесия.

6. С помощью разработанных программ получены и исследованы решения предложенной нульмерной математической модели глобального круговорота воды в природе в виде системы из трёх обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом запаздывания. Определены значения параметров модели, при которых явление запаздывания приводит к неустойчивости круговорота воды в природе.

7. Выполнены символьно-численные вычисления с использованием разработанной программы и проведен анализ решений предложенной математической модели в виде системы из трёх обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью для описания динамики числен-ностей трёх взаимодействующих популяций: один хищник - две жертвы. Показано, в частности, что в системе имеются периодические решения.

8. Исследована математическая модель, описывающая динамику двух популяций взаимодействующих между собой как хищник и жертва при условии, что в момент, когда численность жертвы становится максимальной, из неё мгновенно изымается одно и то же число особей. С использованием составленной нами программы для символьно-численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсами показано, что в такой системе возникает явление динамического хаоса.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецова, Ирина Сергеевна, 2009 год

1. Азбелев, Н.В Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. — М: Наука,1991.-277 с.

2. Айзерман, М.А. Об определении периодических режимов в нелинейной динамической системе с кусочно-линейными характеристиками / М.А. Айзерман, Ф.Р. Гантмахер // ПММ. 1956. - Т.20, №5, - С.639-654.

3. Айзерман, М.А. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями / М.А. Айзерман, Ф.Р. Гантмахер // ПММ. 1957. - Т.21, №5, - С. 659-669.

4. Айзерман, М.А. Основы теории разрывных систем I / М.А. Айзерман, Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. 1974. - №7, - С.33-47.

5. Айзерман, М.А. Основы теории разрывных систем II / М.А. Айзерман, Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. — 1974. №8, - С.39-61.

6. Аматова, Г.М. Об особых точках систем с толчками. / Г.М. Аматова // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т.21, № 9, - С. 613 - 615.

7. Аматов, М.А.Об автоколебаниях в уравнениях Лотки-Вольтерра с толчками / М.А. Аматов, Г.М. Аматова // Дифференциальные уравнения. Межвузовский сборник научных трудов. Рязань. 1986. - С. 17-22.

8. Аматова, Г.М. Об устойчивости особых точек «-мерных систем с толчками / Г.М. Аматова // Дифференциальные уравнения. 1988. - Т.24, №10, -С. 1819-1822.

9. Анапольский, Л.Ю. Об устойчивости дифференциальных включений / Л.Ю. Анапольский //Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, №4, -С. 555-564.

10. Ю.Андронов, А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хай-кин. -М.: Наука, 1981. -568с.

11. П.Андронов, А.А. Разрывные периодические колебания и теория мультивибратора Абрагама и Блоха / А.А. Андронов // ДАН СССР. 1930. - №8,- С.189-192.

12. Андронов, А.А. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович и др. М.: Наука, 1966. - 568 с.

13. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1971. - 239 с.

14. Аролска, М. Периодические решения сингулярно возмущённых систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / М. Аролска, Д. Байнов // Научные труды Пловдивского университета. Математика. — 1971.- Т. 19, №1, С.109-120.

15. Базыкин, А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций / А.Д. Базыкин — Москва Ижевск: ИКИ, 2003. - 367с.

16. Барбашин, Е.А. К теории релейных дифференциальных уравнений / Е.А. Барбашин, Ю.И. Алимов // Известия ВУЗов. Математика. 1962. - №1, -С.3-13.

17. Баутин, Н.Н. Теория точечных преобразований и динамическая теория часов / Н.Н. Баутин // Тр. международного симпозиума по нелинейным колебаниям. АН УССР. Киев. 1963. - т.2, - С.29-52.

18. Баутин, Н.Н. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. М.: Наука, 1976.-496 с.

19. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения: Пер. с англ. / Р. Беллман, К.Л. Кук. М .: Мир, 1967. - 548 с.

20. Богатырёв, А.В. Неподвижные точки и автономные дифференциальные включения/А.В. Богатырёв// Дифференциальные уравнения. 1986.-Т. 22, №8, - С. 1298-1308.

21. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. М.: Наука, 1969. - 408 с.

22. Борисенко, С.Д. Об асимптотической устойчивости решений систем с импульсным воздействием / С.Д. Борисенко // Украинский математический журнал. 1974. - Т. 35, №2, -С. 144-150.

23. Бояркин, Г.Н. Об устойчивости решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений при воздействиях импульсного типа / Г.Н. Бояркин // Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14, №6, - С. 11281130.

24. Бутенин, Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. М.: Наука, 1976.-384с.

25. Васильев, М.Д. Исследование одной математической модели трёхвидовой конкуренции / М.Д. Васильев // Математические заметки ЯГУ. 2003. - Т. 10, №2, - С.33-39.

26. Викторовский, Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля направлений / Е.Е. Викторовский // Математический сборник. 1954. - Т.34(76), №2, - С. 213-247.

27. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование / В. Вольтерра. М: Наука, 1976. - 286с.

28. Ганго, Е.А. О решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / Е.А. Ганго // Учёные записки Ленинградского пединститута им. А.И. Герцена. 1971. - №404, - С.335-342.

29. Гаушус, Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований / Э.В. Гаушус. М.: Наука, 1976. - 386с.

30. Гноенский, JI.C. Математические основы теории управляемых систем / JI.C. Гноенский, Г.А. Каменский, Л.Э. Эльсгольц. М .: Наука, 1969. -512с.

31. Горбиков, С.П. Вспомогательные скользящие движения динамических систем с ударными взаимодействиями / С.П. Горбиков, Ю.И. Неймарк // Дифференциальные и интегральные уравнения. 1981. - Горький,1981, -С. 59-64.

32. Гришин, С.А. Об устойчивости разрывных систем / С.А. Гришин // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т.15, №11, - С. 1940-1949.

33. Гургула, С.И. Исследование устойчивости импульсных систем вторым методом Ляпунова / С.И. Гургула // Украинский математический журнал. -1975.- Т.34, №1, С. 100-103.

34. Гургула, С.И. Второй метод Ляпунова в системах с импульсным воздействием / С.И. Гургула, Н.А. Перестюк // Доклады АН УССР, А. 1976. -№10, - С.11-14.

35. Дружиловская, Т.Ю. Стохастические автоколебания нелинейного осциллятора с ударным поглотителем энергии / Т.Ю. Дружиловская, Ю.И. Неймарк // ПММ. 1982. - Т.46, В.6, - С.924-930.

36. Дулов, В.Г. Математическое моделирование в глобальных проблемах естествознания / В.Г. Дулов, В.М. Белолипецкий, В.А. Цибаров. Новосибирск.: Изд-во Сибирского отд. РАН, 2005. - 248с.

37. Дьяконов, В.П. MAPLE 9 в математике, физике и образовании / В.П. Дьяконов. М.: Солон-Пресс, 2006, - 720с.

38. Конопляников, A.M. Петровский // Медицинская, радиология. 1976. -№2, Т.21,-С. 3-8.

39. Калитин, Б.С. О колебаниях математического маятника с ударными импульсами 4.1 / Б.С. Калитин // Дифференциальные уравнения. 1969. -Т.5, №7, - С.1267-1274.

40. Калитин, Б.С. О колебаниях математического маятника с ударными импульсами, ч.2 / Б.С. Калитин // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т. 6, №12,-0.2175-2181.

41. Калитин, Б.С. Об особых точках двумерных систем с толчками / Б.С. Калитин // Вестник Белорусского университета. 1975. - Сер.1, №3, - С.8-11.

42. Калитин, Б.С. К устойчивости разрывных предельных циклов двумерных автономных систем / Б.С. Калитин // Вестник Белорусского университета. 1981. -Сер.1,№2, - С.44-48.

43. Козлов, Р.И^ К теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями / Р.И. Козлов// Дифференциальные уравнения. 1974. - Т. 10, №7, - С. 1264-1275.

44. Колесов, Ю.С. Свойства релаксационных колебаний одной биофизической задачи / Ю.С. Колесов; А.Г. Перетрухин // Докл. РАН. 2004. - Т. 398, №3,- С.319-322.

45. Костицын, В.А. Эволюция атмосферы, биосферы и климата / В.А. Кос-тицын. М.: Наука, 1984. - 96с.

46. Крапивин, В.Ф. Математическое моделирование глобальных биосферных процессов / В.Ф. Крапивин, Ю:М. Свирежев, A.M. Тарко. М.: Наука, 1982. -272с.

47. Куржанский, Е.Ф. Об описании множества выживающих решений дифференциальных включений / Е.Ф. Куржанский, Т.Ф. Филиппова // ДАН" СССР.- 1986. Т.289, №1, - С.38-41.

48. Лопатинский, Я.Б. К вопросу о решении уравнения у' = f(x,y) / Я.Б. Лопатинский // Труды Азербайджанского госуниверситета им. С.М. Кирова. 1939. B.l, - C.88-106.

49. Лоуден, Д. Оптимальные траектории для космической навигации / Д. Ло-уден. -М.: Мир, 1966. 152с.

50. Малинецкий, Г.Г. Математические основы синергетики. / Г.Г. Малинец-кий. М.: URSS, 2005, - 308с.

51. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. — М.: Наука, 1966.-530с.

52. Марри, Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях / Дж. Марри. М: Мир, 1983. - 397с.

53. Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и её приложения. / Дж. Мар-сден, М. Мак-Кракен. М.: Мир, 1980. - 368с.

54. Мартыненко, B.C. Операционное исчисление / B.C. Мартыненко. Киев.: «Выща школа», 1990. - 359с.

55. Матросов, В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями / В.М. Матросов // Дифференциальные уравнения. 1967. - Т.З, №3, - С.395-409.

56. Мильман, В.Д. Об устойчивости движения при наличии толчков / В.Д. Мильман, А.Д. Мышкис // Сиб. мат. ж. 1960. - Т.1, №2, - С.233-237.

57. Мышкис, А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис. М.: Наука, 1972. - 352с.

58. Мышкис, А.Д. Динамические системы с внезапным изменением / А.Д. Мышкис, А.Я. Хохряков // Учёные записки Полоцкого пединститута им. Г. Скорины. Минск. 1958. - B.l, - С.209-226.

59. Мышкис, А.Д. Бушующие динамические системы I. Особые точки на плоскости / А.Д. Мышкис, А.Я. Хохряков // Математический сборник.1958. Т.45, В.З, - С.401-414.

60. Неймарк, Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю.И. Неймарк. М.: Наука, 1972. - 471с.

61. Неймарк, Ю.И. Стохастические движения динамических систем / Ю.И. Неймарк // Межвузовский сборник. Динамика систем. Горький. 1974. -№4, - С.3-50.

62. Неймарк, Ю.И. Физические механизмы самогенерации стохастических колебаний / Ю.И. Неймарк // Межвузовский сборник. Динамика систем. Горький. 1979. - №9, - С. 115-131.

63. Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. -М.: ГИТТЛ, 1949. 550с.

64. Перестюк, Н.А. Разрывные циклы уравнения второго порядка с мгновенным изменением / Н.А. Перестюк, К.В. Цидыло // Сборник «Асимптотические методы в нелинейной механике», Киев. 1974. - С. 193-203.

65. Перестюк, Н.А. К вопросу устойчивости положения равновесия импульсных систем / Н.А. Перестюк // Годишн. висш. учебни завед. Прилож. ма-тем. 1975. - T.l 1,№1, - С.145-151.

66. Перестюк, Н.А. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / Н.А. Перестюк, В.Н. Шовкопляс // Украинский математический журнал. 1979. - Т.31, №5, - С.517-524.

67. Петровский, Г.Н. Об одной системе линейных дифференциальных уравнений с толчками в заданные моменты времени / Г.Н. Петровский // Вестник Белорусского университета. 1978. - Сер., №2, - С.7-10.

68. Пинни, Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения: Пер. с англ. / Э. Пинни. М.: ИЛ, 1961. - 248с.

69. Поволоцкий, А.И. Ограниченные решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / А.И. Поволоцкий, Е.А. Ганго // Математические записки Красноярского гос. Пединститута. 1970. - В.2, - С.60-67.

70. Поволоцкий, А.И. О периодических решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / А.И. Поволоцкий, Е.А. Ганго // Учёные записки Ленинградского пединститута им. А.И. Герцена. 1972. -№541,-С.145-154.

71. Поволоцкий, А.И. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и их периодические решения. Сборник «Современный анализ и геометрия» / А.И. Поволоцкий. Л.: 1972. - С.152-155.

72. Понтрягин, Л.С. Об устойчивости положения равновесия «релейной» системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский // Труды III Всесоюзного математического съезда. М.: Изд. АН СССР. 1956. - Т.1,- С.217-218.

73. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1976.-392с.

74. Приходько, Н.П. О циклических траекториях систем с переключением / Н.П. Приходько // Дифференциальные уравнения. 1974. - Т.10, №3, - С. 431-435.

75. Прохорова, Р.А. Линейные системы с сосредоточенным возмущением I / Р.А. Прохорова // Вестник Белорусского университета. 1975. - Сер.1, №2, - С.3-5.

76. Прохорова, Р.А. Линейные системы с сосредоточенным возмущением I / Р.А. Прохорова // Вестник Белорусского университета. 1979. - Сер.1, №1, - С.37-42.

77. Пых, Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики /Ю.А. Пых.-М.: Наука, 1983.- 182 с.

78. Резван, В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием: Пер. с рум. / В. Резван — М .: Наука, 1983. — 359с.

79. Ризниченко, Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии / Г.Ю. Ризниченко. Москва-Ижевск: ИКИ, 2003. — 182с.

80. Ройтенберг, Я.Н. Автоматическое управление / Я.Н.Ройтенберг. М .: Наука, 1971.-595с.

81. Романовский, Ю.М. Математическое моделирование в биофизике. Введение в теоретическую биофизику / Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский. Москва - Ижевск.: ИКИ, 2004. - 471с.

82. Самойленко, A.M. О движении осциллятора под действием мгновенной силы / A.M. Самойленко, Т.Г. Стрижак // Труды семинара по методам математической физики и нелинейным колебаниям. Киев. 1968. - Т.1, Вып. 2, - С.213-218.

83. Самойленко, A.M. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т.13, №11, - С.1981-1992.

84. Самойленко, A.M. Периодические решения слабо нелинейных систем с импульсным воздействием / A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк // Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14, №6, - с. 1034-1045.

85. Самойленко, A.M. Об устойчивости решений систем с импульсным воздействием / A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк // Дифференциальные уравнения. 1981. - Т. 17, №11, - С.1995-2001.

86. Самойленко, A.M. Периодические и почти периодические решения дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк // Украинский математический журнал. 1982. - Т.34, №1, - с.66-73.

87. Свирежев, Ю.М. Устойчивость биологических сообществ / Ю.М. Свире-жев, Д.О. Логофет. -М.: Наука, 1978. -352 с.

88. Скрябин, Б.Н. Об одной динамической системе с разрывной характеристикой / Б.Н.Скрябин // Прикладная математика и механика. 1968. - Т. 32, Вып.4, - С.726-735.

89. Слесарчук, В.Е. Ограниченные решения импульсных систем / В.Е. Сле-сарчук // Дифференциальные уравнения.- 1983. — Т.19, №4, С.588-596.

90. Солнцев, Ю.К. Об устойчивости по Ляпунову положения равновесия системы двух дифференциальных уравнений в случае разрывных правых частей / Ю.К. Солнцев // Учёные записки МГУ. Математика. 1951. - Т.4, В.148, - С.144-180.

91. Солнцев, Ю.К. Непрерывная зависимость решений от начальных условий / Ю.К. Солнцев // Учёные записки МГУ. Математика. 1959. - Т.9, В. 186, - С.191-203.

92. Солодова, Е.А. Нелинейные модели в образовании / Е.А. Солодова, Ю.П. Антонов // Нелинейный мир. 2005. - №3,T.3, - С. 193-201.

93. Степанов, В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В.Степанов. -М.:ГИТТЛ, 1953.-468с.

94. Степановских, А.С. Биологическая экология. Теория и практика / А.С. Степановских.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. 791с.

95. Стрижак ,Т.Г. Движение маятника, точка подвеса которого подвержена действию периодических толчков / Т.Г. Стрижак // Украинский математический журнал. 1969. - Т.21, №3, - С.413-417.

96. Толстоногов, А.А. Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения / А.А.Толстоногов // Математические заметки. 1981. - Т.32, №6, - С.841-852.

97. Уткин, В.И. Об уравнениях скользящего режима в разрывных системах1./ В.И. Уткин // Автоматика и телемеханика. 1972. - №2, - С.51-61.

98. Уткин, В.И. Об уравнениях скользящего режима в разрывных системах1. / В.И. Уткин // Автоматика и телемеханика. 1971. - №12, - С.42-54.

99. Уткин, В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой / В.И. Уткин. М.: Наука, 1974. - 272с.

100. Фадеева, JI.H. О краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью / JI.H. Фадеева // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т.5, №2, - С.343-349.

101. Фейгин, М.И. Скользящий режим в динамических системах с ударным взаимодействием / М.И. Фейгин // Прикладная математика и механика. -1967. Т.31, Вып. 3, - С.533-536.

102. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с кусочно-непрерывными правыми частями / А.Ф. Филиппов // УМН. 1958. - Т. 13,1. B.4(82), С.217-218.

103. Филиппов, А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования / А.Ф. Филиппов // Вестник МГУ. Математика. 1959. - №2,1. C.25-32.

104. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов // Математический сборник. 1960. - Т.51(93), №1, - С.99-128.

105. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью /А.Ф. Филиппов // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 151, №1, - С.65-68.

106. Филиппов, А.Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями / А.Ф. Филиппов // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т.15, №6, - С.1018-1027.

107. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с правой частью, разрывной на пересекающихся поверхностях / А.Ф. Филиппов // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т.15, №10, - С.1874-1823.

108. Филиппов, А.Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями / А.Ф. Филиппов // Математические заметки. -1980. Т.27, №2, - С.255-266.

109. Филиппов, А.Ф. Топологическая классификация особых точек на плоскости для системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями / А.Ф. Филиппов // Успехи математических наук. 1981.1. Т.36, №4, С.225.

110. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. М.: Наука, 1985. - 224с.

111. Филиппов, В.В. О существовании и свойствах решений обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных включений/ В.В. Филиппов// Дифференциальные уравнения. 1986. - Т.22, №6, - С.968-977.

112. Финогенко, И.А. О непрерывных аппроксимациях и правосторонних решениях дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями / И.А. Финогенко // Дифференциальные уравнения. 2005.- Т.41, №5, С.647-655.

113. Фуфаев, Н.А. Теория электромагнитного прерывателя. Сб. памяти А.А. Андронова / Н.А. Фуфаев. М.: Изд. АН СССР, 1955. - с.334-382.

114. Халанай, А. Системы с запаздыванием / А. Халанай // Результаты и проблемы. Математика. Сборник переводов. 1966. - Т. 10, №5, - С.85-102

115. Халанай, А. Качественная теория импульсных систем / А. Халанай, Д. Векслер.-М.:Мир, 1971.-309с.

116. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений: Пер. с англ / Дж. Хейл. М .: Мир, 1984. - 421с.

117. Цалюк, В.З. Об устойчивости по первому приближению дифференциальных включений / В.З. Цалюк // Дифференциальные уравнения. 1980.- Т.16, №2, С.258-236

118. Цидыло, К.В. О периодических решениях нелинейных систем с импульсным воздействием / К.В. Цидыло, С.С. Гулька // Доклады АН УССР, А. 1981.-№Ю,- С.21-23.

119. Цыгановский, Н.С. К вопросу обоснования метода усреднения для систем с импульсным воздействием / Н.С. Цыгановский // Украинский математический журнал. 1979. - Т.31, №4, - С.469-473.

120. Черникова, О.С. Принцип сведения для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / О.С. Черникова // Украинский математический журнал. 1982. - Т.34, №5, - С.601-607.

121. Чугунов, П.И. О зависимости решений дифференциальных включений от начальных условий и параметра / П.И. Чугунов // Дифференциальные уравнения. 1981. - Т.17, №8, - С.1426-1433.

122. Шовкопляс, В.Н. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с импульсным воздействием / В.Н. Шовкопляс // Вестник Киевского университета. Математика и механика. -1978. №20, - С.131-140.

123. Шовкопляс, В.Н. Периодические решения одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с импульсным воздействием / В.Н. Шовкопляс // Вестник Киевского университета. Математика и механика. 1982.-№24,-С.113-120.

124. Эльсгольц, Л.Э. Основные направления развития теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц // Тр. 2-го Всесоюзного съезда по теоретич. и прикл. механике. Обзорные доклады. 1965. - Вып.2,- С. 158-164.

125. Эльсгольц, Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С. Б. Норкин. — М.: Наука, 1971.-296с.

126. Яценко, Л.В. Асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием / Л.В. Яценко // Вестник Киевского университета. Математика и механика.- 1979. №21, - С.148-153.

127. Andre, J. The Local Theory of piecewise continuous differential Equations. / J. Andre, P. Seibert // Annals of Mathematical Studies . I960.- V. 5, №45, -P.226-255.tr

128. Andre, J. Uber stuckweise lineare Differentialqleichungen die bei Rege-lungsproblem auftreten I / J. Andre, P. Seibert // Archiv der Mathematick.1956. Band. 7, №2, - S.148-156.t?

129. Andre, J. Uber stuckweise lineare Differentialqleichungen die bei Rege-lungsproblem auftreten II / J. Andre, P. Seibert // Archiv der Mathematick.1956. В and. 7, №3, - S.157-164.

130. Cellina, Arrigo. Multivalued differential equations and ordinary differential equations / Arrigo Cellina // SIAM Journal of Applied Mathematics.- 1970. -V.18, №2, P.533-538.

131. Claude, H. An existence theorem for a class of differential equations with multivalued right hand side / H. Claude // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1973. - V.41, №1, - P.179-186.

132. Cornievicz, L. On the solution sets jf differential inclusions / L. Cornievicz // J. Math. Anal. And Appl. 1986. - V.113, №1, - P.235-244.

133. Demidovitch, W.B. Eine Verallgemeinerung des Kriteriums von Bendixon / W.B. Demidovitch // Z. Angew. Math. Und Mech. -1965.- 45, №2, S. 145-146.

134. Di Guglielmo, F.J. Differential inclusions with multivalued boundary conditions / F.J. Di Guglielmo // Lect. Notes and Inf. Sci. 1982. - V.38, - P.340-348.

135. Dubey, B. Persistence and extinction of one-prey and two-predator system / B. Dubey, R.K. Upadhyay // Nonlinear Anal.: Model. And Contr. 2004. V.9, №4, - P.307-329.

136. Hajek, O. Discontinuous differential equations. I, II / O. Hajek // Journal, of Dif. Equat. 1979. - V.32, №2, - P.149-170,171-185.

137. Hermes, H. The generalized differential equations x' e R(t,x)l H. Hermes // Advances Math. 1970. - V.4, №2, - P.149-169.

138. Hermes, H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generalized differential equations / H. Hermes // Proceedings of American Mathematical Society. 1971. - V.29, №3, - P.535-542.

139. Falcone, M. Maximum descent monotone solutions of an ordinary differential equation with a discontinuous right-hand side / M. Falcone, A. Siconolfi // J. Optimiz. Theory and Appl. 1983. - V.39, №3, - P.391-402.

140. Lakshmikantham, V. Notes on a variety of Problems of Differential Systems / V. Lakshmikantham // Archiv for Rational Mechanics and Analysis. 1962. -V.10, №2,-P.311-320.

141. Lig^za, J. Cauchy's problem for system of linear differential equations with distributional coefficients / J. Lig^za // Colloq. Math. 1975. - V.33, №2, - P. 295-303.

142. Shaoping, Liu The permanence of conplicated ecosystem with impulsive / Liu Shaoping, Liao Xiaoxin // J. Huazhong Univ. Sci. and Technol. Natur. Sci.- 2004 . V.32, №7, - P.114-115.

143. Li, Biwen Some new results of autonomous Lotka-Volterra N-species competitive systems / Li Biwen, Yu Shengli, Zeng Xianwu. // Acta math. Appl. Sin. 2004. - V.27, №3, - P.556-564.

144. Mayer, A.U. Discussion of Analysis of New Class of Pulse-Frequency Modulated Feedback Systems / A.U. Mayer, T. Pavlidis, E. Jury // Transactions on Automatic Control. 1965. - V.10, №2, - P.211-214.

145. Nagumo, M. Uber das System der gewonlicher Differentialgleichungen / M. Nagumo // Japanese Journal of Mathematics.- 1972. V.4, - P.215-230.

146. Paine, R.T. Food web complexity and species diversity / R.T. Paine // Amer. Natur.- 1966. V.100, - P.65-75.

147. Pavlidis, T. Analysis of New Class of Pulse-Frequency Modulated Feedback Systems / T. Pavlidis, E. Jury // Transactions on Automatic Control. 1965. -V.10, №1, - P.35-43.

148. Pavlidis, T. A new model for simple neural nets and its application in the design of a neural oscillation / T. Pavlidis // Bulletin of Mathematical Biophysics.- 1965. V.27, №2, - P.215-229.

149. Pavlidis, T. Stability of a Class of Disintinuous Dynamical Systems / T. Pavlidis // Information and Control. 1966. - V.9, №3, - P.298-322.

150. Pavlidis, T. Design of neural nets with intermittent response and certain other relevant studies / T. Pavlidis // Bulletin of Mathematical Biophysics.- 1966.- V.28,№l,-P.51-74.

151. Pavlidis, T. Stability of Systems Described by Differential Equations Containing Impulses / T. Pavlidis // Transactions on Automatic Control. 1967. -V.AC -12, №1, - P.43-45.

152. Pandit, S.G. Systems described by differential equations containing impulses: existents and uniqueness / S.G. Pandit // Rev. roum. math. Pures etappl. 1969. - V.26, №6, - P.879-887. 1

153. Rosenthal, A. Uber die Existenz der Losungen von Systemen gewonlicher

154. Differentialgleichungen. Sitzungberichte der Heidelberger Akademie der Wis-senschaften / A. Rosenthal // Mathematische-naturwissenschaften Klasse. -1927. V.19, Abhandl., P.3-10.

155. Sentis, R. Equations differentielles a second member measurable / R. Sentis // Boll. Unione mat. Ital. 1978 . - V.15, №3, - P.724-742.

156. Shen, Jiang-hua. A note on oscillation of delay equations / Shen Jiang-hua // Acta. Sci. natur. Univ. norm. Hunanensis. 2003. - V.26, №1, - P. 1-5.

157. Soliman, A.A. Stability criteria of impulsive differential systems / A.A. So-liman // Appl. Math. And Comput. 2003. - V.134, №2-3, - P.445-457.

158. Vogel, T. Systemes dynamiques Hereditaires a deferlement / T. Vogel // Rend. Seminar math. Univ. Padova. 1953. - V.22, №1, - P.64-80.

159. Vogel, T. Sur les systemes deferlant / T. Vogel // Bull. Soc. math. France. -1953.-V.81,№l,-P.63-75.

160. Vogel, T. Verifications experimentales de la theorie des systemes deferlants / T. Vogel // Journ. Phis. Es radium. 1953. - V.14, №12, - P.59.

161. Vogel, T. Systemes dynamiques Hereditaires a deferlement / T. Vogel // Ann. Telecommuns. 1953. - V.8, №11, - P.354-360.

162. Vogel, T. Breaking oscillations in servo systems / T. Vogel // Journ. Mental. Sci. 1954. - V.100, №48, - P.103-113.

163. Volterra, V. Sur la theorie mathematique des phenomenes hereditaires / V. Volterra // J. Math. Pures and Appl. 1928 - V.7, - P.249-298.

164. Wazewski, T. On optimal control problem. Differential Equations and their Applications / T. Wazewski. Prague, 1963. - 229-242 p.

165. Аматов, M.A. Интегрирование дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью математического пакета MAPLE 8 / M.A. Аматов, И.А. Клименко, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Вестник

166. Херсонского национального технического университета. Труды МКММ. Херсон. -2006. №2(25), - С. 14-18.

167. Аматов, М.А. Применение математического пакета MAPLE 8 к исследованию одного класса немарковских процессов / М.А. Аматов, Г.М. Ахматова, И.С. Кузнецова, Н.А. Чеканов // Научные ведомости БелГУ. 2007. -№6 (37), В.13, - С. 65-74.

168. Аматов, М.А. Исследование устойчивости глобального круговорота воды в природе / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, С.А. Кун-гурцев, Н.А. Чеканов // Экологические системы и приборы. 2008. - № 6, - С.42-46.

169. Аматов, М.А. Исследование модели взаимодействия трёх популяций, связанных трофическими отношениями / М.А. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова, С.А. Кунгурцев, Н.А. Чеканов // Экологические системы и приборы. 2009. - №7, - С.38-42.

170. Кузнецова, И.С. Об устойчивости нульмерной модели глобального круговорота воды в природе / И.С. Кузнецова // Дифференциальные уравнения. Известия РАЕН. Рязань. 2009. -№11,- С.5-8.