Анализ устойчивости рыночных механизмов в моделях ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Обросова, Наталия Кирилловна

• Обросова, Наталия Кирилловна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Обросова, Наталия Кирилловна

Оглавление

Введение

Глава 1. Анализ устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями

1.1 Описание модели

1.2 Анализ устойчивости равновесной цены

1.3 Экономическая интерпретация границ устойчивости

Глава 2. Потеря устойчивости равновесной цены

2.1 Потеря устойчивости стационарного решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом

2.2 Потеря устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями

Глава 3. О влиянии эластичности замещения товаров на

устойчивость рыночных механизмов

3.1 Описание модели

3.2 Анализ устойчивости равновесных цен в двухпродуктовой модели

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ устойчивости рыночных механизмов в моделях ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями»

Введение

В экономической истории известны периоды кризисов, во время которых рыночные механизмы становились неустойчивыми, а поведение экономических агентов плохо прогнозируемым. Экономисты выделяют несколько типов кризисов в зависимости от их проявлений. Так, хорошо известны финансовые кризисы, обусловленные неустойчивостью в финансово-кредитной сфере, торговые кризисы, связанные с деятельностью торговых посредников. Еще в 1841г. известный экономист Альберт Галлатин писал, что все активные торговые страны неизбежно подвержены торговым кризисам, когда ряд сменяющих друг друга благоприятных лет вызывает чрезмерное расширение торговых операций [29]. История рыночного хозяйства демонстрирует череду кризисов перепроизводства, потрясавшую экономически развитые страны на протяжении 19-20 веков. Анализом таких кризисов с начала 19в. занимались многие экономисты. Например, М.И. Туган-Барановский (1865-1919г.) указывал, в первую очередь, на чрезмерный рост производства, наблюдающийся при наступлении кризиса, Л. Лодердель (1759-1839г.) видел истоки кризиса перепроизводства в сокращении спроса [29]. Так с чем же связано возникновение экономического кризиса? Кризисные явления в экономике появлялись на протяжении новой истории западных стран и продолжают появляться в настоящее время достаточно часто, что подтверждает гипотезу о том, что рыночные отношения не являются глобально устойчивыми и не теряют устойчивость лишь потому, что становятся невыгодными для определен-

нои группы экономических агентов, а имеют свою ограниченную область устойчивости и выходят из этой области в результате эволюции макроэкономических показателей. Так, возникновение кризисов перепроизводства многие экономисты объясняют несоответствием сложившихся рыночных отношений технологической структуре экономики. Действительно, выход из кризиса обычно сопровождался изменением макроэкономических показателей, характеризующих структуру рыночных механизмов.

В математической экономике трудности, связанные с построением сценариев экономических кризисов объясняются, в первую очередь тем, что до сих пор недостаточно развит язык математического моделирования, который позволил бы формализовать представления экономистов и описывать эндогенное возникновение кризисов в макроэкономических системах. В данной работе начата разработка такого языка применительно к моделированию сценария возникновения кризисов в результате потери устойчивости равновесных цен. Перевод представлений экономистов о происхождении кризисов на формальный язык математических моделей, а также формулирование на этом языке соответствующих экономических явлений является необходимым этапом моделирования сценариев экономических кризисов.

Попытки описать сценарии возникновения экономических кризисов предпринимались в математической экономике с середины 80-ых годов [42, 35]. К этому времени достаточно хорошо развилось направление в теории динамических систем, связанное с понятием сложных аттракторов [4], позволившее предложить подходы к объяснению таких трудно поддающихся моделированию явлений, как возникновение турбулентности, динамика численности популяций с неперекрывающимися поколениями и др. [6, 37, 38, 39]. В работах [42, 35] результаты теории динамических систем были использованы для исследования устойчивости

рыночных механизмов в моделях ценообразования в дискретном времени.

В [35] рассмотрен рынок однородного товара и, следуя традиционным представлениям теории равновесия, считается, что в каждый момент времени товар продается по единой цене р, поведение потребителей описывается функцией спроса С(р), поведение производителей - функцией предложения д(р). При этом считается, что характерное время изменения функций спроса и предложения много больше характерного времени изменения цены, поэтому эти функции не зависят явно от времени. При моделировании процесса ценообразования время считается дискретным, изменяющимся с некоторым шагом.

Пусть рп - цена товара на шаге п. Предположим, что на п -ом шаге покупатели товара, ориентируясь на цену рп_1, планируют израсходовать сумму денег рп_1С(рп_1), а производители планируют выпуск и продажу товара в объеме д(рп-1). Будем считать, что потребители и производители действуют строго в соответствии со своими планами. Тогда на шаге п установится цена

рп-гС(рп~1) , ,

Рп дЬъ-0 ■ {°Л)

Стационарной точкой для системы (0.1) является равновесная цена р*, т.е. цена, при которой спрос на товар равен предложению (С(р*) = д(р*)), при условии, что она существует. В [35] проанализирована устойчивость равновесной цены в модели (0.1) для конкретного вида функций предложения и спроса. Вид функции предложения д(р) получен на основе модели Хаутеккера-Иохансена функционирования отрасли и определяет зависимость выпусков от таких макроэкономических параметров, как мощность отрасли и темп роста производственных мощностей. Построенная функция предложения имеет следую-

щии вид

д(р) = Ml 1 - (jn (0.2)

где М - мощность отрасли, а - параметр, характеризующий темп роста мощностей в отрасли, sv - характеристика отрасли (вывод данного вида функции предложения приведен в §1.3 главы 1). Функция спроса выбрана в следующем модельном виде

С(р) = (0.3)

SV

где С - масштаб спроса, /3 - степень необходимости товара (подробнее см. § 1.3 главы 1). Преимущество выбора данного вида функций предложения и спроса состоит в том, что он определяет явную зависимость этих функций от макроэкономических параметров. Экономисты связывают возникновение кризисов перепроизводства с увеличением параметра

М , ,

Л=т ^

характеризующего превышение производственных мощностей над равновесным спросом. Изменению параметра А соответствует изменение производственных мощностей в отрасли, с увеличением которых связывается возникновение кризисов перепроизводства, или изменение спроса, чрезмерное увеличение которого (инвестиционный бум) также сопутствует экономическому кризису. Проведенные в [35] исследования показали, что устойчивость равновесной цены в модели (0.1) теряется в результате превышения параметром А некоторого критического значения А\(а), и после потери устойчивости в системе возникает бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода, соответствующих последовательности значений параметра А. Величины А\(а), ^(ск),* • А^а) характеризуют запасы устойчивости рыночных механизмов. Чем меньше А\{а) и

разность Аоо(а) — Ах (а), тем меньше запасы устойчивости. В показано, что величина А\(а) в несколько раз больше величины А<х>(а) ~ А\(а). Это позволяет, в соответствии с представлениями экономистов, интерпретировать кризис как превышение параметром А критического значения А\(а). При достаточно больших производственных мощностях поведение системы становится хаотическим, т.е возникает сложная динамика цен, в результате чего экономические агенты не могут достоверно прогнозировать результаты своей деятельности. Доказано, что на периодических траекториях системы (0.1) предложение всегда превышает спрос. Такие явления в экономике называют кризисами перепроизводства. В [35] исследована зависимость запасов устойчивости рыночных механизмов от параметров, характеризующих макроэкономические структуры (производство и потребление). Показано, что при увеличении параметра а - темпа роста мощностей в отрасли - запасы устойчивости рыночных механизмов уменьшаются (ситуация "перегретой экономики"). С увеличением степени необходимости товара /3 область устойчивости равновесной цены в системе увеличивается, что также соответствует представлениям экономистов.

Идея описания возникновения кризисов состоит в том, чтобы построить модель экономической системы, в которой параметры, отвечающие за потерю устойчивости равновесных цен, изменялись бы эндогенно. Таким образом, модель ценообразования должна быть лишь одним из блоков макроэкономической модели, объясняющей происхождение кризисов. Рассмотрим подробнее схему такой модели.

Описание экономического явления начинается с выделения характерных времен процессов. При построении экономических моделей, согласно гипотезе А. Маршалла о разделении времен [10], считается, что все процессы делятся на медленные макро-

экономические процессы и быстрые (микроэкономические). Изучением процессов в медленном времени занимается макроэкономическая теория. Макроэкономические процессы - это изменение производственных мощностей и технологических характеристик производства, а также изменение предпочтений потребителя. Таким образом, в медленном времени происходит изменение функций предложения и спроса. При построении макроэкономических моделей обычно считается, что быстрые процессы находятся в равновесии. Изучением свойств этого равновесия, его устойчивостью занимается микроэкономическая теория.

Микроэкономические модели равновесия описывают результаты взаимодействия спроса на товары и их предложения на рынке в быстром времени на характерных временах, в течение которых считаются неизменными как предпочтения потребителей, так и технологии и производственные мощности производителей. Поэтому в этих моделях функции спроса и предложения считаются известными и независящими явно от времени. Обсудим взаимодействие процессов, описываемых в макро- и микроэкономических моделях, с формально-математической точки зрения.

Предположим, что процессы разделены по своим характерным временам. Обозначим через х - переменные, характеризующие медленные процессы (далее мы будем называть их макропеременными), а через у - переменные, характеризующие быстрые процессы (далее мы будем называть их микропеременными)1. Тогда схематично экономическая система будет описываться системой дифференциальных уравнений с сингулярно возмущенной правой частью

4 = д(И, у), (0-5)

Следуя А. Маршаллу, мы будем в качестве быстрых переменных рассматривать цены.

где б > 0 - малый параметр.

Первое уравнение в системе описывает медленные процессы, а второе - быстрые процессы.

Положим в (0.5) параметр 6 = 0, тогда получим систему

« (0-6) д(х, у) = 0.

По теореме Тихонова, решения системы (0.6) аппроксимируют решения системы (0.5), когда стационарное решение у(х) уравнения

= в(г' (0-7)

является асимптотически устойчивым. Подставляя это стационарное решение у(х) в первое уравнение системы (0.6), получим, что экономический процесс описывается уравнением вида

~ = /(*, у(х)). (0.8)

Модель (0.8) представляет схему макроэкономической модели, а уравнение

д{х, у) = 0, (0.9)

из которого определяется у(х), является схемой микромодели экономического равновесия.

Описывать экономику с помощью макромодели (0.8) и микромодели (0.9) можно лишь при условии, что в быстрой системе (т.е. в модели ценообразования) (0.7) положение равновесия у(х) асимптотически устойчиво по Ляпунову. Однако, в соответствии с нашими представлениями, кризису соответствует такое изменение медленных переменных ¿с, при котором положение равновесия у(х) теряет устойчивость. Таким образом, модели возникновения кризисов должны создаваться на стыке макро-и микротеорий, т.е. описывать кризис как потерю устойчивости быстрых процессов при изменении медленных параметров.

Возникает задача построения микроэкономической модели в быстром времени (т.е. модели ценообразования), в которой положение равновесия теряет устойчивость в результате изменения медленных параметров и которую можно использовать в качестве блока модели макроэкономического процесса.

Модель ценообразования в дискретном времени (0.1), (0.2), (0.3) для нашей цели не подходит, так как имеет ряд существенных недостатков. Во-первых, в дискретном времени неудобно описывать экономические явления, имеющие различные временные масштабы. Это не позволяет использовать эту модель в качестве блока модели макроэкономического процесса, который описывается в непрерывном времени. Во-вторых, шаг по времени задается извне и никак не интерпретируется. Поэтому, представляется более естественным описывать процесс ценообразования в непрерывном времени.

Большинство макроэкономических моделей описывает динамику валового внутреннего продукта (ВВП). Соответствующая модель ценообразования должна была бы описывать динамику скалярной величины - индекса цен. Таким образом, возникает проблема построения модели ценообразования на рынке однородного товара в непрерывном времени, которая наследовала бы качественные свойства модели (0.1), (0.2), (0.3) в дискретном времени.

Прямым аналогом рассмотренной выше дискретной модели

(0.1) является простейшая модель изменения цены вальрасовско-

2

го типа в непрерывном времени

<»'»>

где х > 0 - параметр, имеющий размерность Вр^мя и характе-

2В многомерном случае, когда на рынке существует несколько товаров, вопросу об устойчивости в модели вальрасовского типа посвящено большое количество работ (см., например, [27, 28]). С обзором этой литературы можно познакомиться в [12, глава 6].

ризующий скорость реакции рынка. При условии, что функция избыточного спроса С(р) — д(р) монотонно убывает по р, параметр % характеризует скорость установления равновесной цены. Разностный аналог уравнения (0.10) с шагом по времени ôt имеет вид

p(t+5t)-p(t) C(p(t)) - g(p(t))

6t ~X g{p(t)) m' 1 j

Выбирая в качестве шага по времени ôt = 1 получаем из (0.11) уравнение (0.1).

Однако, несложно убедиться, что если спрос убывает с ростом цены, а предложение возрастает с ростом цены (неоклассические предположения), то равновесная ценар* (при условии существования) является глобально устойчивым стационарным решением уравнения (0.10) 3. Итак, модель ценообразования (0.10) для нашей цели не подходит.

В отличие от модели в непрерывном времени (0.10), в модели в дискретном времени неявно присутствует инерционность в поведении экономических агентов. Эта инерционность является причиной потери устойчивости равновесных цен и возникновения сложной динамики.

В литературе встречается два способа учета инерционности. В первом способе, предложенном Х.Лоренцом [47], инерционность моделируется следующим образом: предложение непосредственно от цены не зависит, а от цены зависят его производные. Таким образом, процесс ценообразования описывается системой дифференциальных уравнений. Однако, недостатком модели, предложенной Х.Лоренцом, является то, что используемые в ней параметры не допускают интерпретации в терминах наблюдаемой

Действительно, если в некоторый произвольный момент времени I цена товара p(t) оказывается больше р*, то избыточный спрос С(р) — д(р) < 0, поэтому правая часть (0.10) отрицательна и цена p[t) убывает. Аналогично, если p(t) < р*, то избыточный спрос С(р) — д(р) > 0, поэтому правая часть (0.10) положительна и цена p(t) возрастает. Таким образом, решение уравнения (0.10) стремится к равновесной цене р* при любом начальном условии.

статистики.

Второй способ учета инерционности состоит в том, что в модель ценообразования в непрерывном времени вводятся постоянные запаздывания в реакции потребителя и производителя на изменение цены. При этом мы получаем модель ценообразования, учитывающую инерционность и описываемую дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом. Этот способ имеет ряд преимуществ по сравнению с изложенным выше. Во-первых, запаздывания в реакции потребителя и производителя на изменение цены отражают реально происходящие на рынке процессы. Во-вторых, запаздывание допускает экономическую интерпретацию - например, запаздывание в реакции производителя можно интерпретировать как характерное время технологического цикла. И в-третьих, введение запаздываний дает возможность рассматривать различные инерционности в реакции потребителя и производителя на изменение цены, что представляется вполне естественным в реальной экономической системе.

В данной работе для учета инерционности в реакции экономических агентов на изменение цены использован второй способ. А именно, в модель ценообразования вальрасовского типа в непрерывном времени (0.10) введены запаздывания в реакциях потребителя и производителя на изменение цены. Диссертация посвящена анализу устойчивости рыночных механизмов в моделях ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями. Тема диссертации является актуальной, поскольку из сказанного выше следует, что такой анализ является необходимым для построения математических моделей, эндогенно описывающих возникновение экономических кризисов.

Цель работы состоит в том, чтобы провести исследование областей устойчивости равновесной цены в рассматриваемой модели ценообразования, найти границы устойчивости при различ-

ных предположениях о запаздываниях агентов и дать их экономическую интерпретацию, проанализировать зависимость границ устойчивости от макроэкономических параметров модели и сопоставить полученные результаты с представлениями экономистов, а также проанализировать бифуркацию, происходящую при потере устойчивости равновесной цены.

Диссертация состоит из трех глав.

В главе 1 исследованы области устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями

М*) _ ,.с(р(*-п))-д(р(«-т2)) , . , .

<Й -Х я№-Т2)) т' ([)ЛА)

где Т\ > О, Т2 > 0 - постоянные запаздывания потребителя и производителя соответственно. Во всех трех главах исследование проведено для трех соотношений в запаздываниях экономических агентов: запаздывание присутствует только у производителя, запаздывание присутствует только у потребителя, одинаковые запаздывания потребителя и производителя.

В работе найдены границы устойчивости равновесной цены в зависимости от эластичностей предложения и спроса, взятых при равновесной цене, которые в экономической теории используются как важнейшие характеристики производства и потребительского спроса. Анализ устойчивости проведен при помощи метода Ляпунова исследования системы по первому приближению. Особенность применения этого метода для уравнений с запаздыванием состоит в том, что характеристическое уравнение для дифференциального уравнения с запаздыванием является аналитической функцией, а не полиномом, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому исследование знаков вещественных частей его корней затруднено. В главе 1 доказано, что потеря устойчивости равновесной цены происходит

при превышении эластичностью предложения некоторого граничного значения в случаях равных запаздываний и запаздывания только у производителя, а в случае запаздывания у потребителя существует ограничение снизу на величину эластичности предложения. Явным преимуществом данной модели ценообразования по сравнению с моделями в дискретном времени является возможность исследования зависимости областей устойчивости от величин запаздываний экономических агентов. Показано, что в соответствии с представлениями экономистов, увеличение запаздывания приводит к уменьшению запасов устойчивости и, кроме того, в случае запаздывания только у производителя область устойчивости всегда больше, чем в случае таких же равных запаздываний.

В §1.3 главы 1 рассмотрен пример, позволивший дать экономическую интерпретацию полученных зависимостей. В этом примере функции предложения и спроса взяты в виде (0.2) и (0.3). Как отмечалось выше, экономисты связывают возникновение кризисов с изменением параметра А (см. (0.4)), характеризующего превышение производственных мощностей над равновесным спросом. Выбор конкретного вида функций спроса и предложения позволил перевести эту гипотезу на язык математических зависимостей. Показано, что в соответствии с представлениями экономистов о причинах возникновения кризиса перепроизводства, в случаях равных запаздываний и запаздывания только у производителя, равновесная цена теряет устойчивость в результате превышения параметром А, т.е производственными мощностями, некоторого критического значения. Если запаздывание присутствует только у потребителя, то возникает ограничение снизу на величину параметра А. В этом случае потеря устойчивости происходит в результате роста спроса, что соответствует представлениям экономистов о так называемом инве-

стиционном буме. Анализ границ устойчивости показал также, что увеличение темпа роста мощностей в отрасли приводит к уменьшению запасов устойчивости рыночных механизмов (состояние "перегретой экономики"). Получена зависимость области устойчивости от макроэкономической характеристики потребителя - эластичности спроса, которая в примере убывает с ростом степени необходимости товара. Область устойчивости увеличивается при увеличении эластичности спроса в случае запаздывания у производителя и уменьшается в случаях запаздывания у потребителя и равных запаздываний экономических агентов.

В главе 2 проведено исследование сценария потери устойчивости равновесной цены в модели ценообразования (0.12). Для этого доказана теорема о бифуркации Хопфа стационарного решения = 0 для класса дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом ¿(¿) = — г)) при условиях дн(£,у) |(ж=0^=0) < 0, дн^у)\{х=0^у=0) < 0. Для доказательства этой теоремы исходное уравнение с запаздыванием методом шагов было сведено к дискретной динамической системе в функциональном пространстве. Затем полученная бесконечномерная задача с помощью теоремы о центральном многообразии (теоремы сведения) была сведена к двухмерной, для которой доказана применимость теоремы Хопфа. В случае | (ж==о,у=о) = 0 аналогичное исследование показало, что при потере устойчивости в системе происходит сильный резонанс. Доказанные утверждения позволили исследовать тип бифуркации в рассматриваемой модели ценообразования. Показано, что в случае, когда запаздывание присутствует только у производителя и спрос на него не постоянен (рассматриваемый товар не является товаром первой необходимости) или когда запаздывание присутствует только у потребителя, потеря устойчивости происходит в результате

бифуркации Хопфа. В случае равных запаздываний экономических агентов и в случае товара первой необходимости при потере устойчивости наблюдается явление сильного резонанса.

Глава 3 посвящена исследованию примера, позволяющего проанализировать влияние эластичности замещения товаров на устойчивость рыночных механизмов. Для этого проведен анализ устойчивости равновесных цен в модели ценообразования вальрасов-ского типа с запаздываниями на рынке двух частично взаимозаменяемых товаров. Параметры модели выбраны таким образом, чтобы в равновесии она агрегировалась в рассмотренную в главе 1 одномерную модель. Это необходимо для того, чтобы результаты анализа устойчивости равновесных цен возможно было сравнивать с аналогичными результатами анализа устойчивости в одномерной модели, полученными в главе 1. Экономисты высказывают предположение о том, что сильная специализация производства препятствует распространению рыночных отношений в экономической системе. В главе 3 предпринята попытка перевести эту гипотезу на язык математических моделей. Для экономических систем с сильной специализацией производства характерна низкая эластичность замещения товаров, поэтому представляется естественным интерпретировать сильную специализацию как малую эластичность замещения производимых товаров. Исследование показало, что области устойчивости равновесных цен определяются двумя группами условий: первая группа совпадает с условиями устойчивости в одномерной модели, а вторая группа определяет зависимость областей устойчивости от эластичности замещения. Показано, что вторая группа условий не расширяет область устойчивости по сравнению с одномерной моделью, из чего можно сделать вывод, что "разре-

чч и

зание производственной отрасли на две и внедрение рыночных отношений между ними не может увеличить запасы устойчи-

вости рыночных механизмов. Кроме того, проведенное исследование выявило существенные различия в зависимостях запасов устойчивости рыночных механизмов от эластичности замещения товаров для различных соотношений в запаздываниях экономических агентов. В случае, когда запаздывание присутствует только у производителей, доказано, что существует критическое значение эластичности замещения товаров такое, что если эластичность замещения превышает это значение, то область устойчивости от нее не зависит. Если же эластичность замещения товаров меньше критической, то область устойчивости равновесной цены уменьшается при уменьшении эластичности замещения. Таким образом, малая эластичность замещения товаров, характерная для экономических систем с исторически сложившейся сильной специализацией производства (например, для систем с административно-регулируемой экономикой) уменьшает запасы устойчивости рыночных механизмов и широкое распространение рыночных отношений в таких системах может вызвать экономический кризис. Для экономических систем с развитой системой рыночных отношений эластичность замещения товаров высока, поэтому дальнейшее распространение рыночных отношений не влияет на устойчивость рыночных механизмов. В случае, когда запаздывание присутствует только у потребителя, наблюдается противоположная ситуация: запасы устойчивости не зависят от эластичности замещения, когда ее значение меньше критического и уменьшаются с ростом эластичности замещения, когда ее значение превышает критическое. Запаздывание в реакции потребителя характерно для систем, в которых инвестиции являются причиной увеличения спроса, когда потребитель, инвестируя свой капитал в некий проект, вынужден ориентироваться на старые цены. Такой результат позволяет дать объяснение частым кризисам, возникавшим в истории

и и и /

стран с развитон системой рыночных отношении (и, как следствие, с высокой эластичностью замещения) и связанным с чрезмерным ростом спроса (инвестиционными бумами). В странах с

и ^ / с

административно-регулируемои экономикой (с низкои эластичностью замещения) запасы устойчивости менее чувствительны к увеличению спроса в результате возрастания инвестиционной активности.

Основные результаты диссертации, определяющие ее новизну, заключаются в следующем:

• исследованы границы устойчивости равновесных цен в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями для рынка однородного товара и рынка двух частично взаимозаменяемых товаров;

• доказана теорема о бифуркации Хопфа для класса дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и с ее помощью проанализирован тип бифуркации в рассматриваемой модели ценообразования;

• удалось перевести на язык математического моделирования целый ряд представлений экономистов о причинах возникновения экономических кризисов и зависимостях запасов устойчивости рыночных механизмов от макроэкономических параметров.

Теоретическая и практическая ценность диссертации состоит в том, что исследованная в ней модель ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями может быть использована в качестве блока макроэкономической модели для описания возникновения экономических кризисов.

По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ [17-23].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Обросова, Наталия Кирилловна, 1999 год

Литература

С. А. Ашманов, Введение в математическую экономику. // М. Наука. 1984, 296 с.

И. Бен, Н. Козаринов, Б. Хэссард. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. // М. Мир, 1985, 280 с.

Владимиров В.К., Обобщенные функции в математической физике. // М. Наука, 1976, 280 с.

Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин K.M., Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм. // Успехи математических наук, 1984, т. 39, N3, с. 3-37.

Ж. Йосс, Д. Джозеф, Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. // М. Мир, 1983/ 301 с.

Колесов Ю.В., Асимптотика периодического решения уравнения Ха-чинсона. // В сб. под. ред. A.M. Молчанова, А.Д. Базыкин, Факторы разнообразия в математике и популяционной генетике.// Пущино. 1980, с. 47-54.

Колмогоров А.Н, Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа. // М. Наука, 1976. 544 с.

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., Методы теории функций комплексного переменного. // М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры 1958. 615 с.

Дж. Мардсен, М. Мак-Кракен., Бифуркация рождения цикла и ее приложения // М. Мир, 1980. 368 с.

Маршалл.А., Принципы экономической науки., т. I-III Пер.с англ. // Под ред. Радыкова. М.: Прогресс Универс, 1993, 416 е., 310 е., 351 с.

Мышкис А.Д., Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. // М. Наука. 1972. 352 с.

[12] Никайдо X., Выпуклые структуры и математическая экономика. // М.: Мир, 1972, 518 с.

[13] Ниренберг Л., Лекции по нелинейному функциональному анализу// М.: Мир, 1977, 232с.

[14] Нитецки 3., Введение в дифференциальную динамику. // М.: Мир,1975, 304с.

[15] Обен Ж.-П., Нелинейный анализ и его экономические приложения. // М.: Мир, 1988, 263 с.

[16] Обен Ж.-П., Экланд И., Прикладной нелинейный анализ// М.: Мир, 1988, 510с.

[17] Обросова Н.К., Устойчивость рыночных механизмов в моделях ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями. // Сообщения по прикладной математике. М: Издательство Вычислительного центра РАН. 1999 г. (в печати).

[18] Обросова Н.К., Потеря устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа.// Математическое моделирование.- 1998, Т.10 N 5, С.47-57.

[19] Обросова Н.К., Анализ устойчивости рыночных механизмов в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями. // Сборник трудов 1-ой Московской международной конференции по исследованию операций (Москва, 10-13 апреля 1996г.) с.62-68.

[20] Обросова Н.К., Бифуркация Андронова-Хопфа в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями. // Тезисы докладов Международной конференции, посвященной девяностолетию со дня рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 31 августа - 6 сентября 1998г.), с.148-150.

[21] Natalia К. Obrossova., On Influence of Goods Substitution Elasticity on Market Processes Stability. // Тезисы докладов 2-ой Московской международной конференции по исследованию операций (Москва, 17-20 ноября 1998г.), с.27.

[22] Обросова Н.К., Анализ устойчивости рыночных механизмов в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями // Тезисы докладов XXXIII научной конференции факультета физико-

математических и естественных наук РУДН (Москва, 20-24 мая 1997г.), с.72.

[23] Обросова Н.К., Исследование устойчивости равновесной цены в зависимости от эластичностей спроса и предложения. // Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 19-22 мая 1998г.), с.53-54.

[24] Оленев H.H., Петров A.A., Поспелов И.Г., Модель процесса изменения мощности и производственная функция отрасли хозяйства. // Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах / Под ред. A.A. Самарского, H.H. Моисеева, A.A. Петрова. М.: Наука, 1986. С.46-59.

[25] Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A., Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996, 544с.

[26] Петров A.A., Шананин A.A., Системный анализ экономики: проблема агрегированного описаний экономических отношений. // В кн. Математическое моделирование. Методы описания и исследования сложных систем. М.: Наука, 1989, с. 121-157.

[27] Полтерович В.М., Об устойчивости некоторых процессов распределения фондов и регулирования цен. //В кн. Математическая экономика и функциональный анализ. М. Наука, 1974, с. 203-232.

[28] Полтерович В.М. Спивак В.А., Отображения с валовой заменимостью в теории экономического равновесия. // М. ВИНИТИ, сер. Совр. Пробл. Мат-ки, т. 19, 1982, с. 11-154.

[29] Хансен Э., Экономические циклы и национальный доход. // М. Издательство иностранной литературы, 1959. 760 с.

[30] Шананин A.A., Исследование одного класса производственных функций, возникающих при макроописании экономических систем. // ЖВМиМФ, 1984 т. 24, N12, с. 1799-1811.

[31] Шананин A.A., Исследование одного класса функций прибыли, возникающих при макроописании экономических систем. // ЖВМиМФ, 1985 т. 25, N1, с. 53-65.

Шананин А.А., Исследование условий агрегируемости экономических показателей// Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (специальность 05.13.18)// Москва: ВЦРАН, 1992.

Шананин А.А., О стохастическом поведении цены в одной детерминированной модели ценообразования. // Доклады АН СССР, 1986, т. 289 N1 с. 63-65.

Шананин А.А., Об агрегации функций спроса. // Экономика и математические методы, 1989, т. 35, N6 с. 1095-1105.

Шананин А.А., Об устойчивости рыночных механизмов. // Математическое моделирование. - 1991. - Т. 3, N 2. - С. 42-62.

Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б., Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. // М: Наука, 1971, 296с.

Boldrin М., Paths of optimal accumulation in two-sector models. // In: Economic complexity. Chaos, sunspots, bubbles and nonlinearity. // Cambridge University Press, 1989.

Boldrin M., Montrucchio L., Acyclicity and stability for intertemporal optimization models. // International economic review, 1988, v. 29, N1, p 137-146.

Boldrin M., Montrucchio L., On the indeterminacy of capital accumulation paths. // Journal of economic theory, 1986, v. 40, N1.

Brock W.-A., Hommes C.-H., A Rational Route to Randomness. // University of Amsterdam, 1995.

Coase R.H., Fowler R.F., The Pig-Cycle in Great Britain: An Explanation.// Economica, 1937, v.4, N13, p.55-82.

Grandmont J.-M., On endogenious competitive businnes cycles.// Econometrica. - 1985.- V. 53. N 5. - P. 995-1045.

Hildenbrand W., Short-run production function based oil microdata. // Econometrica, 1981, V. 49, N5. p. 1095-1125.

[44] Houthakker H.S., The Pareto distribution and the Cobb-Douglas production function in activity analysis. // Rev. Econ. Studies, 1955-56, v. 23(1), N60, p. 27-31.

[45] Johansen L., Production functions. // Amsterdam-London: North Holland Co.// 1972, 49, 274 p.

[46] Lanford O.- E., Bifurcation of periodic solutions into invariant tori: the work of Ruelle and Takens // Lecture Notes in Mathematics. - 1972 - V. 322, - P. 159-192.// Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York.

[47] Lorenz H.-W., Nonlinear Dynamical Economics and Chaotic Motion // Springer, 1995. - XV.

[48] Whithley D., Discrete dynamical systems in dimensions one and two. // The Bulletin of the London Mathematical Society. 1983, V. 15 p. 3. N. 54, p. 177-217.