Моделирование динамики распределенных систем с запаздывающей обратной связью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Захаров, Андрей Павлович

• Захаров, Андрей Павлович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Захаров, Андрей Павлович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Моделирование систем с запаздывающей обратной связью

2. Адаптивный численный метод для расчета динамики систем

с наследственной или запаздывающей обратной связью

2.1. Метод конечных разностей для расчета пространственно-распределенных систем с наследственной или запаздывающей обратной связью

2.2. Программная реализация метода

2.3. Тестирование метода

2.3.1. Численный расчет системы с постоянным запаздыванием, имеющей точное решение

2.3.2. Численное решение системы уравнений типа реакция-диффузия, содержащие нелокальное слагаемое с

дискретным запаздыванием

2.3.3. Численный расчет системы уравнений типа реакция-диффузия с дискретным запаздыванием

на плоскости

3. Численное исследование пространственно распределенных систем с запаздыванием по времени

3.1. Применение разработанного метода для численного моделирования процессов реакции-диффузии белков

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Результаты моделирования

3.2. Применение разработанного метода для расчета дискретной модели роста эпителия

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Результаты моделирования

Заключение

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамики распределенных систем с запаздывающей обратной связью»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Если состояние динамической системы в данный момент времени зависит от всей её предыдущей эволюции (или некоторого интервала предыстории, в т.ч. нулевой меры), то такие системы называют наследственными (или запаздывающими). В последнее время системы такого типа вызывают все больший интерес у исследователей в связи с многочисленными приложениями, которые включают популяционную динамику и социальные процессы, нелинейные химические реакции, процессы генной регуляции, поведение систем с автоматическим управлением, механику деформируемых твердых тел с памятью, механику реологических сред и т.д. Запаздывание может быть обусловлено самыми различными причинами: ограниченностью скорости распространения сигнала (например, электромагнитной волны), растянутостью изучаемого процесса во времени (воспроизводство популяции), наличием инерционности некоторых элементов (в теории управлении с обратной связью), существованием длинных цепочек многоэтапных реакций с известным результатом в конце (в процессах генной регуляции) и т.д.

Как правило, эволюция подобных систем в пространстве и времени описывается интегро-дифференциальными уравнениями, хотя существуют и другие методы. Например, в механике деформируемого твердого тела существует альтернативный подход к исследованию наследственных сред - введение внутренних переменных. В подавляющем числе практически важных случаев задачи с наследственной или запаздывающей обратной связью не имеют аналитического решения, а получение численного решения затруднено требованием данных о состоянии системы в пределах всего временного диапазона эволюции (или запаздывания). На практике такой подход реализуем только для сравнительно малоразмерных моделей с небольшим временем эволюции или запаздывания. В противном случае объём оперируемых данных и время расчета значительно возрастают. Оценки по-

называют, что даже для двумерных моделей хранение и обработка всех временных слоёв требует настолько значительных вычислительных ресурсов, что это сильно затрудняет использование современных ком-пыотеров. Расчёт эволюции трёхмерных пространственных моделей только усугубляет ситуацию.

Существующие численные методы (например, метод прямых) не позволяют разрешить указанные выше проблемы расчета динамики пространственно-распределенных систем, текущее состояние которых зависит от всей или частичной предыстории. Таким образом, актуальной является проблема разработки нового численного метода, включающего в себя эффективный способ хранения данных.

Цель данной работы заключается в разработке, тестировании и применении эффективного вычислительного метода для математического моделирования пространственно-распределенных динамических систем с запаздывающей обратной связью.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Разработка и программная реализация нового адаптивного численного метода для расчета динамики систем с наследственной или запаздывающей обратной связью.

2. Тестирование разработанного численного метода на задачах, имеющих точные решения или решения, полученные на основе известных численных методов. Анализ и сравнение результатов тестов.

3. Применение разработанного метода для численного расчета пространственно-временной динамики циркадианных колебаний концентраций белков в живой ткани, вызванных запаздыванием в процессах генной регуляции. Математическая модель явления включает в себя систему функционально-дифференциальных уравнений, содержащих запаздывающие по времени слагаемые.

Методы исследования. Основными методами решения задач, поставленных в диссертационной работе, являются численные методы, методы имитационного

моделирования, методы создания программных средств, а также вычислительный эксперимент.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечена их удовлетворительным соответствием точным решениям динамических систем с запаздыванием в тестовых задачах и результатам расчетов различных авторов, полученными на основе апробированных методов.

Научная новизна работы заключается в разработке нового адаптивного метода оптимизации хранения данных при численном расчете эволюции распределенных систем с наследственной или запаздывающей обратной связью. Метод предполагает хранение в памяти не всех, а только некоторых, опорных временных слоев, и последующее восстановление данных промежуточных слоев с помощью интерполяции. Применение данной методики допускает реализацию численных расчетов без обращения к компьютерным системам с большими вычислительными мощностями. Показано, что предложенный метод позво-ляет на порядок сократить время расчета при сохранении требуемой точно-сти.

Создан программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов.

Проведен детальный сравнительный анализ характеристик метода с дру-гими известными методами численного решения систем с запаздыванием, а также систем, имеющих точные решения.

Предложена модель циркадианных колебаний концентраций белков в клетках, поддерживаемых за счет запаздывания в процессах генной регуляции.

Эффективность предложенного метода продемонстрирована на примере модели реакции-диффузии белков, ответственных за биоритмы в живой тка-ни. Впервые исследованы вопросы пространственной синхронизации циркадианных ритмов в рамках как непрерывной, так и дискретно-непрерывной модели живой ткани.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования предложенного метода и разработанного программного комплекса его реализации для численного исследования пространственно-распределенных систем с наслед-

ственной или запаздывающей обратной связью, возникающих в различных приложениях естественных наук.

Полученные теоретические результаты в области моделирования синхронизации циркадианных ритмов углубляют понимание явлений, происходящих в живой ткани, расширяют представление о присутствующих в них механизмах поддержания биоритмов. Разработаны подходы к моделированию физико-химических процессов в живой ткани в масштабах гена, клетки и всего организма.

Исследования, представленные в диссертационной работе, выполнены при поддержке

Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант 14-01-96021 р_урал_а, грант 14-01-96022 р__урал_а),

Министерства образования и науки Российской Федерации (в рамках формирования государственных заданий высшим учебным заведениям в части проведения научно-исследовательских работ, ГК № 1.3103.2011),

Министерства образования и науки Пермского края (в рамках конкурса по отбору научных проектов международных исследовательских групп, соглашение С-26/244),

Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета (в рамках проекта № 031-Ф Программы стратегического развития университета).

На защиту выносятся следующие положения.

1. Адаптивный метод расчета пространственно-распределенных систем с запаздывающей обратной связью.

2. Анализ точности и эффективности предложенного метода.

3. Модель циркадианных ритмов в живой ткани, основанная на запаздывании в процессах генной регуляции.

4. Применение программного комплекса на основе адаптивного метода для исследования синхронизации циркадианных ритмов в живой ткани.

Апробация работы. Основные результаты исследования, представленные в работе обсуждались на:

- VI Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий" (ЭКОМОД-2011), (Киров, 2011);

- 20-ой Всероссийской школе-конференции «Математическое моделирование в естественных науках», (Пермь, 2011);

- European Conference on Complex System, (ULB, Brussels, Belgium, 2012);

- Всероссийской научно-практическая конференция с международным участием «Актуальные проблемы механики, математики, информатики - 2012», (Пермь, 2012);

- XX Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», (Пущино, 2013);

- Международной школе-конференции «Теоретическая биофизика. Анализ и моделирование», (Пущино, 2013);

- Interdisciplinary Symposium on Complex Systems (Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic, 2013);

- European Conference on Complex System (Barcelona, Spain, 2013).

Полностью диссертационная работа докладывалась и обсуждалась на семинарах:

- кафедры теоретической физики и компьютерного моделирования Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета, кафедры общей и экспериментальной физики (рук. проф. В.Г Козлов) Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета,

- Института механики сплошных сред УрО РАН (рук. акад. РАН В.П. Матвеен-ко),

- кафедры математического моделирования систем и процессов (рук. проф. П.В. Трусов) Пермского национального исследовательского политехнического университета,

- кафедры механики композиционных материалов и конструкций (рук. проф. Ю.В. Соколкин) Пермского национального исследовательского политехнического университета.

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации представлены в 20 публикациях, из которых 7 статей ([70], [76], [111], [115], [124], [125], [126]) опубликованы в в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации материалов диссертации.

Конкретное личное участие автора. Разработка метода и анализ полученных результатов произведены совместно с научным руководителем; адаптивный метод хранения данных предложен автором; создание программного комплекса, его тестирование и проведение вычислений осуществлены автором.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Работа изложена на 155 страницах, содержит 35 иллюстраций и 2 таблицы. Список литературы включает 126 наименований.

ГЛАВА 1.

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ

ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

В последнее время всё больший интерес вызывают пространственно-распределенные динамические системы, имеющие запаздывающие или наследственные слагаемые. Если состояние системы в данный момент времени зависит от всей предыдущей её эволюции, то такие системы называют наследственными. Как правило, эволюция таких систем описывается интегро-дифференциальными уравнениями. В качестве примера такого рода систем можно привести двухфазную среду, состоящую из жидкости и мелких твердых частиц, между которыми кроме всего прочего действует наследственная сила Бассэ, обусловленная всей предысторией нестационарного взаимодействия жидкости и частиц [1]. В качестве другого примера из механики жидкости можно упомянуть процесс адсорбции поверхностно-активного вещества на межфазной поверхности: эволюция такой системы также описывается уравнениями, содержащими интегральные слагаемые, зависящими от всей предыстории процессов адсорбции-десорбции в системе [2]. В механике деформируемого твердого тела подобного рода задачи возникают при изучении вязкоупругих наследственных сред, которые также содержат интегральную обратную связь [3,4].

В частном случае, когда состояние системы определяется не всей её эволюцией, а только каким-то конкретным моментом в прошлом, говорят о системе с запаздывающей обратной связью. Диапазон приложений теории динамических систем с запаздывающим аргументом достаточно широк [5]. Он включает в себя популяционную динамику[6,7] и социальные процессы [8], нелинейные химические реакции [9], процессы генной регуляции [10], поведение систем с автоматическим управлением [11], механику жидкости [12, 13] и т.д. Запаздывание может

возникать по самым различным причинам: ограниченность скорости распространения сигнала (электромагнитная волна в релятивистской электродинамике), растянутость изучаемого процесса во времени (воспроизводство популяции в биологии), наличие инерционности некоторых элементов (в теории управлении с обратной связью), существование длинных цепочек многоэтапных реакций с известным результатом в конце (процессы транскрипции-трансляции в математической генетике) и т.д.

В самом общем виде дифференциальные уравнения с запаздыванием для рассмотренных ранее приложений могут быть выражены в виде:

Ц- = -г,.)), X = (х](0,х2(0,...,х,Х0)т, (1)

ш

где величины г. > 0, / = 1,2,... - времена запаздывания, ^ - вектор переменных гладкой непрерывной функции. В связи с этим в литературе, например в [14], встречаются подходы к классификации систем дифференциальных уравнений запаздывающего типа:

1) системы с одним постоянным запаздыванием т = г,.,/' = 1

2) системы с дискретными запаздываниями т,.,/' = 1,2,...

3) системы с распределенными запаздываниями (правая часть дифференциального уравнения содержит интегральное слагаемое, определяемое через прошлые состояния)

4) системы с функционально-зависимыми запаздываниями (г, зависит от значения функции Х{[())

5) системы с зависимыми от времени (модулированными) запаздываниями, где значения г, зависят от времени ?.

Дифференциальные уравнения первого рода, с одним постоянным запаздыванием могут быть представлены в виде:

^ = /?(*, -г)),

(2)

где г - положительная константа. Множество динамических систем в биологии, оптике, экономике, экологии и других направлениях могут быть описаны подобного рода уравнениями. Например уравнение Маккея-Гласса [15, 16] было представлено как модель выработки крови у пациентов, страдающих лейкемией, где временной интервал, необходимый для созревания эритроцитов после их образования в костном мозге, рассматривается как время запаздывания. Соответственно, концентрация эритроцитов полагается как динамическая переменная. Другой пример, это система Икеды [17], введенная для описания динамики оптического бистабильного резонатора, где время, необходимое для прохождения света через резонатор рассматривается как период запаздывания. Наконец, динамика системы «хищник-жертва» также может быть описана, используя модель с одним постоянным запаздыванием [18]. Запаздывание входит в эту модель через временной лаг, между ростом численности добычи и вымиранием хищников.

Дифференциальные уравнения с составным запаздыванием могут быть записаны в виде (1) с более чем одним положительным постоянным запаздываниями г,.,/= 1,2,... Подобное запаздывание также носит название дискретное запаздывание. Динамические системы со сложным дискретным запаздыванием распространены в биологии (нейрологии), теории управления, экономике и популяцион-ной динамике. Приведем пример такой системы: нейронная активность является совместным процессом нескольких нейронов, где состояние каждого нейрона зависит от состояния всех нейронов, расположенных в некоторой близости от него. Следовательно, каждый нейрон получает информацию от других нейронов с различными временами запаздывания, поэтому возникает необходимость во введении составного дискретного запаздывания. Подобного вида запаздывание встречается при построении распределенных моделей «хищник-жертва» или моделей описывающих взаимодействие нескольких видов в популяционной динамике.

Следующий вид запаздывающих систем - системы дифференциальных уравнений с распределенным или непрерывным запаздыванием, которые в общем виде могут быть представлены в виде:

Модели, включающие распределенное запаздывание были предложены еще в работах Вито Вольтерра [39] и используются в таких областях как биология, нейрология, в теории вязкоупругости и экономике. Следует заметить, что в биологических системах учет распределенного запаздывания позволяет сделать модели этих систем более соответствующими реальности. Пример системы с таким видом запаздывания можно взять из текстильной промышленности, в частности процесс изготовления металлизированной ткани. В отличие от металлической проволоки, металлоткань состоит из множества дискретных волокон, которые не меняют свою длину в ходе процесса, и только их положения по отношению друг к другу и количества волокон в сечении меняется в зависимости от скорости вращения технологических валов. Длины отдельных волокон являются случайными величинами, варьирующимися от минимума до некоторого максимума, и это распределение длины волокон включают в себя распределенное запаздывание [19]. В нейрологии, пространственно распределенные нейроны и синаптические коммуникации между ними зависят от скорости распространения действия потенциалов в пространстве и также включают распределенное запаздывание.

В популяционной динамике, а также в ряде моделей распространения инфекционных заболеваний, запаздывание в системе может быть включено в виде функции от значения самой переменной (функционально-зависимое запаздывание). Общий вид запаздывающих дифференциальных уравнений подобного типа можно выразить в виде:

(3)

НУ

Функционально-зависимое запаздывание возникает, к примеру, при моделировании ряда процессов токарного производства, где промежуток запаздывания во время фрезерных операций определяется не только вращением заготовки, а также зависит от текущего и предыдущего положения рабочего инструмента. Это приводит к дифференциальным уравнениям с функционально-зависимым запаздыванием, где задержка зависит от текущего и предыдущего значения функции [20]. Другим не менее интересным примером данного рода систем является модель видового роста в популяционной динамике, где рассматриваются дифференциальные уравнения с функционально-зависимым запаздыванием, учитывающим сезонные изменения условий окружающей среды, которые в свою очередь зависят от условий предыдущих сезонов.

Существуют дифференциальные уравнения, в которых наследственное слагаемое зависит от времени. Такие системы в общем виде можно записать как

НХ

~- = П1,Х{1),ХЦ-гт (5).

ш

В данных системах, запаздывание, зависящее от времени, может быть представлено как стохастический процесс при описании динамики нейронных сетей и даже динамики сети интернет. Подобного вида запаздывание со стохастической либо хаотической модуляцией или даже простым синусоидальным запаздыванием существенно увеличивает сложность хаотических аттракторов запаздывающих систем с постоянными запаздываниями, поэтому при восстановлении фазового портрета траектория не сводится к простейшему аттрактору. Поведение таких систем значительным образом отличается от поведения системы с фиксированным запаздыванием. В работе [21] рассматривают систему с запаздыванием, зависящим от времени, в виде:

r(0 = r0 + \%(s)ds , (6)

0

где стохастический процесс.

Приведем простой пример такой системы: наличие взрывателя с задержкой, которая определяется временем между достижением ракеты или снаряда цели и его детонации, делает возможным проникновение снаряда внутрь цели до момента взрыва. Так как скорость полета ракеты уменьшается с течением летного времени, то, в целях обеспечения глубокого проникновения снаряда в цель, время запаздывания должно возрастать со снижением скорости полета.

Первые упоминания об исследованиях систем с запаздывающей связью появились в литературе еще во второй половине XVIII столетия в работах Кондорсе в 1771 г. в связи с геометрической задачей, рассмотренной еще в 1740 г. Эйлером [22]: найти, какой может быть линия, подобная своей эволюте. Позже, в связи с различными геометрическими вопросами, уравнения с запаздыванием и системы этих уравнений встречаются в работах Лакруа [23], Пуассона[24], а позже в статьях Пюизё [25], Комбескюра [26] и Пирондини [27], а также во втором томе курса теории плоских кривых Лориа [28].

Систематические изучение уравнений с отклоняющимся аргументом началось лишь в XX веке, особенно с конца сороковых годов, во многом благодаря приложениям к теории автоматического управления, и связано с работами А.Д. Мышкиса [29,30], Р. Беллмана и К.Кука [31,32], Э.Л. Эльсгольца [33], С.Б. Норки-на [34], В.П. Рубаник [35], Дж. Хейла [36]. В этих работах, запаздывающие дифференциальные уравнения в частных производных впервые получили название функционально-дифференциальных уравнений в частных производных, поскольку неизвестное решение этих уравнений содержится в правой части уравнений в качестве функционального аргумента.

Исследованием дифференциальных уравнений с запаздыванием занималась, в том числе, и Пермская школа под руководством профессора Н.В. Азбелева. Ра-

боты Н.В. Азбелева, Л.Ф. Рахматуллиной и их учеников посвящены обоснованию качественных и приближенных методов в теории и практике краевых задач. Исследуются теоретические вопросы, развивающие методы качественного анализа уравнений [37].

Наиболее широкой и очевидной областью приложений моделей с запаздыванием является популяционная динамика. В задачах математической биологии этот эффект объясняется, например, тем, что в реальных системах всегда имеется некоторое запаздывание в регуляции численности, вызванное несколькими причинами. Скажем, развитие любой взрослой особи из оплодотворенного яйца требует определенного времени. Поэтому если какое-нибудь изменение внешних факторов, например увеличение ресурсов, вызовет повышение продуктивности взрослых особей, то соответствующее изменение численности произойдет лишь по прошествии некоторого времени [38]. Как было сказано ранее, еще в работах Вито Вольтерра [39] при построении моделей динамики популяций возникали уравнения с запаздыванием. Так теория Вольтерра устанавливает, что вследствие запаздывания реакции одного из факторов существования на изменение другого фактора, а равновесие в популяции носит статистический характер, на основании чего вводится понятие волн жизни, то есть широких колебаний численности животных вокруг среднего уровня. Стоит также отметить, что Вольтерра одним из первых сформулировал основные принципы эредитарности. В системах, обладающих таким свойством, учитывается не только настоящее состояние системы или ближайшее предыдущее состояние, то есть начальные значения параметров состояния системы и некоторые производные по времени, а также и все предыдущие состояния, в которых находилась данная система, используя для этого интегральные слагаемые с запаздыванием.

Примером эредитарной системы являются вещества и материалы обладающие вязкоупругими свойствами. Поведение веществ с такими свойствами определяется не только текущим напряжением, но и прошлыми состояниями. В механике сплошных сред, изучению процессов с эффектом памяти отведен отдельный

раздел - наследственная механика. Основные теоретические и прикладные аспекты этого раздела, а также примеры систем освещены в работах [4,40,41].

В механике деформируемого твердого тела принцип запаздывания, являющийся одним из главных положений теории упругопластических процессов А. А. Илыошина, отражает фундаментальное свойство материалов твердых тел и дает эффективное средство анализа свойств функционалов пластичности, классификации процессов и построения упрощенных вариантов теории пластичности. Согласно принципу запаздывания (памяти) векторных свойств, ориентация вектора напряжений определяется не всей предысторией деформирования, а лишь предшествующим некоторым участком траектории деформации, называемой следом запаздывания [42]. Данный принцип запаздывания скалярных и векторных свойств является особенно важным при исследовании циклических нагружений, поскольку в этом случае длина дуги траектории деформации, в отличие от самих деформаций, при большом числе циклов может быть значительной, и учет всей предыстории был бы практически крайне затруднительным [43].

Важное место в теории пластичности занимает такое понятие как запаздывание текучести или задержка текучести. Данное явление характеризуется тем, что при мгновенном (или очень быстром) приложении напряжения, превышающего предел текучести при статическом (очень медленном) нагружении, пластическая деформация возникает не тотчас, а по истечении некоторого промежутка времени - так называемого запаздывания текучести. Если напряжение снято до истечения периода запаздывания текучести, остаточных деформаций не возникает, то есть в течение периода запаздывания материал деформируется упруго. Чем больше приложенное напряжение, тем меньше период запаздывания. Значение периода запаздывания изменяется от нескольких миллисекунд при напряжении порядка (и выше) статического передела прочности до нескольких минут при напряжениях порядка статического предела текучести. Явление запаздывания текучести чётко выражено в материалах, у которых на диаграмме растяжения есть площадка текучести. Изучение запаздывания текучести важно для оценки проч-

ности конструкции при воздействии динамических нагрузок (ударов, взрывов и т.п.) [44].

Явления с запаздыванием встречаются в широком спектре задач в теории автоматического управления. Здесь запаздывание рассматривается в контексте его влияния на динамику и быстродействие системы. Так, например, в технологических процессах наиболее распространенный вид запаздывания - транспортный. Подобный вид запаздывания возникаетпри перемещении вещества или энергии с некоторой скоростью из одной точки пространства в другую без изменений их свойств и характеристик. Приведем ряд примеров, рассматриваеммых в пособии Ю.Ю. Громова [45]: системой с транспортным запаздыванием можно назвать стан холодной прокатки металла, в котором датчик толщины листа по конструктивным соображениям не может находиться непосредственно под валами, а только на некотором расстоянии от них. Вследствие этого выходная толщина листа имеет транспортное или «чистое» запаздывание относительно регулирующего воздействия - степени обжима металла валами. Вторым примером объектов, содержащих транспортное запаздывание, могут служить производство стекла и бумаги. На многих этапах производства данных материалов присутствуют запаздывания, их значения в несколько раз превышают постоянные времени объекта, что создает большие трудности при управлении процессами. Большие транспортные запаздывания наблюдаются также при регулировании процессов горения, скажем, выходная величина, характеризующая процесс горения в топке мазутной печи, - содержание кислорода в дымовых газах - имеет транспортное запаздывание порядка минуты. При этом большая часть этого запаздывания сосредоточена в датчике и определяется временем прохождения газа через отборное устройство газоанализатора. Транспортные запаздывания, которыми нельзя пренебречь, имеют место при регулировании уровня жидкости в баках, при управлении шаровыми мельницами и другими объектами с запаздываниями в трубопроводах и объемах. Наиболее ярко эффект запаздывания сказывается на динамике оптимальных релейных систем, поскольку наличие в объекте запаздывания существенным образом искажает характер протекания переходных процессов в оптимальных по быстродействию си-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Захаров, Андрей Павлович, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. - М.: Наука, 1978. -336с.

2. Joos P. Dynamic Surface Phenomena. - VSP BV: Utrecht, The Netherlands, 1999.-360p.

3. Голотина JI.А., Шардаков И.Н. Численное моделирование термомеханического поведения аморфно-кристаллических полимеров с памятью формы // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2011. - Т. 4, № 4. - С. 5-10. DOI: 10.7242/19996691/2011.4.4.34

4. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. - М.: Наука, 1977.-384с.

5. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. -Springer, 1996.-V. 119.

6. Kuang Y. (ed.). Delay differential equations: with applications in population dynamics. - Academic Press, 1993. - V. 191.

7. Smith H. L. An introduction to delay differential equations with applications to the life sciences. - Springer Science+ Business Media, 2010. - V. 57.

8. Мюррей Дж. Математическая биология. Том 1. Введение. - М.-Ижевск: Изд. ИКИ-РХД, 2009. - 774с.

9. Гурли С. А., Coy Д. В. X., By Д. X. Нелокальные уравнения реакции-диффузии с запаздыванием: биологические модели и нелинейная динамика // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2003. - Т.1. -С.84-120.

10. Bratsun D., Volfson D., Hasty J., Tsimring L. Delay-induced stochastic oscillations in gene regulation // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 2005. - Vol. 102, N. 41. -P. 14593-14598.

11. Янушевский P.T. Управление объектами с запаздыванием. - M.: Наука, 1978.-416с.

12. Брацун Д.А., Зюзгин А.В., Половинкин К.В., Путин Г.Ф. Об активном управлении равновесием жидкости в термосифоне // Письма ж. техн. физ. — 2008. - Т.34, Вып. 15. - С. 36-42.

13. Петров И.А., Славнов Е.В. Моделирование течения в шнеке с радиальным зазором как системы с распределенной обратной связью, описываемой дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2012. - Т. 5, № 1. - С. 107-113. DOI: 10.7242/19996691/2012.5.1.13

14. Lakshmanan M., Senthilkumar D. D. V. Dynamics of nonlinear time-delay systems. - Springer, 2010.

15. Glass L., Mackey M. C. From clocks to chaos: The rhythms of life. - Princeton University Press, 1988.

16. Mackey M. C., Glass L. Oscillation and chaos in physiological control systems // Science. - 1977. - V. 197. - №4300. - P.287-289.

17. Ikeda K., Matsumoto K. High-dimensional chaotic behavior in systems with time-delayed feedback // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1987. - V. 29. - №. l.-P. 223-235.

18. Gerami R., Ejtehadi M. R. A history-dependent stochastic predator-prey model: Chaos and its elimination // The European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex Systems. - 2000. - V. 13. - №. 3. - P. 601-606.

r

19. Zitek P., Hlava J. Anisochronic internal model control of time-delay systems // Control Engineering Practice. - 2001. -V. 9. -№. 5. -P. 501-516.

20. Insperger T. et al. Stability of up-milling and down-milling, part 1: alternative analytical methods // International Journal of Machine Tools and Manufacture. -2003. - V. 43. - №. 1. - P. 25-34.

21. Kye W. H. et al. Synchronization of delayed systems in the presence of delay time modulation // Physics Letters A. - 2004. - T. 322. - №. 5. - P. 338-343.

22. Euler L. Investigatio curvarum quae evolutae sui similes producunt // Comment. Acad. Sei. imp. Petropol. - V. 12. - P. 1740.

23. Lacroix S. F. Traité du calcul différentiel et du calcul intégral. - Courcier, 1819.

24. Poisson, Sur les Equations aux Differences melees. J. Ëc. Polyt., VI (XIII) (1806), 126—147.

25. Puiseux, Problèmes sur les developpees et les développantes des courbes planes. Journ. math, pures et appl., IX (1844), 377—399.

26. Combescure E. Sur quelques questions qui dépendent des différences finies ou mêlées // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. - Société mathématique de France, 1874. - T. 3. - C. 305-362.

27. Pirondini G. Note géométrique // Nouvelles annales de mathématiques. - Gauthier-Villars, 1889. - T. 8. - C. 460-480.

28. Loria G. Spezielle Algebraische und Transzendente Ebene Kurven, Theorie und Geschichte, Vol. I, transi // F. Schiutte, Teubner, Leipzig. - 1910.

29. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. - М.: Наука, 1972.

30. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи математических наук. - 1949. - Т. 4. - №. 5 (33). -С. 99-141.

31. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. -Издательство иностранной литературы, 1954.

32. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения: Пер. с англ. -Мир, 1967.

33. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - М.: Наука, 1971. - 296с.

34. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом: некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием. -М.: Наука; Глав. ред. Физико-математической лит-ры, 1965.

35. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. - М.: Наука, 1969.

36. Хейл Д. К., Шиманов С. Н. Теория функционально-дифференциальных уравнений: Пер. с англ. - Мир, 1984.

37. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1991.

38. Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии // Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика. - 2002. - Т. 232.

39. Вольтерра В. Теория функционалов и интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Пер с англ. - М.: Наука, 1982.

40. Адамов A.A., Матвеенко В.П., Труфанов H.A., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. - Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - 411 с.

41. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела: Учебное пособие. - Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

42. Трусов П. В., Келлер И. Э. Теория определяющих соотношений. - Курс, 2006.

43. Ильюшин А. А. Пластичность: Основы общей математической теории. -Изд-во Академии наук СССР, 1963.

44. Ильюшин А. А., Ленский В. С. Сопротивление материалов. - Гос. изд-во физико-математической лит-ры, 1959.

45. Громов Ю. Ю., Матвейкин В. Г., Земской Н. А. Системы автоматического управления с запаздыванием. - Тамбов : Изд-во ТГТУ, 2000.

46. Турецкий, X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием / X. Турецкий. - М. : Машиностроение, 1974. - 328 с.

47. Fridman Е. Effects of small delays on stability of singularly perturbed systems // Automatica. - 2002. - V.38. - №.5. - P.897-902.

48. Шиманов С. H. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием //В сб. Пятая летняя матем. школа, Киев. - 1968. - С. 473-549.

49. Bratsun D.A. Effect of unsteady forces on the stability of non-isothermal particulate flow under finite-frequency vibrations // Microgravity Sci. Technol. - 2009. -Vol. 21.-P. 153-158.

50. Пименов В.Г. Численные методы решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. Науки. -2008. -№2.-С.113-116.

51. Пименов В.Г. Численные методы решения эволюционных уравнений с запаздыванием // Изв. ИМИ УдГУ. - 2012. - №1(39) - С. 103-104

52. Atay F. М. (ed.). Complex time-delay systems: Theory and applications. -Springer, 2010.

53. Bellen A., Zennaro M. Numerical methods for delay differential equations. - Oxford University Press, 2013.

54. Balachandran В., Kalmár-Nagy Т., Gilsinn D. E. Delay differential equations: Recent advances and new directions. - Springer, 2009.

55. Титов H. И., Успенский В. К. Моделирование систем с запаздыванием. -Энергия, Ленингр. отд-ние, 1969. -Т.361.

56. Van der Houwen P. J., Sommeijer B. P., BAKER С. Т. H. On the stability of predictor-corrector methods for parabolic equations with delay // IMA journal of numerical analysis. - 1986. - V.6. -№.1. -P.l-23.

57. Higham D. J., Sardar T. Existence and stability of fixed points for a discretised nonlinear reaction-diffusion equation with delay // Applied numerical mathematics. - 1995. - V.18. -№.1. - P.155-173.

58. Zubik-Kowal В., Vandewalle S. Waveform relaxation for functional-differential equations // SIAM Journal on Scientific Computing. - 1999. - V.21. - №.1. -P.207-226.

59. Polyanin A. D., Zhurov A. I. A new method for constructing exact solutions to nonlinear delay partial differential equations // arXiv preprint arXiv: 1304.5473. -2013.

60. Фаддеева В. H. Метод прямых в применении к некоторым краевым задачам // Труды Математического института им. ВА Стеклова. - 1949. - Т. 28. -С.73-103.

61. Блохин, A.M. Об одном варианте метода прямых для уравнения Пуассона / A.M. Блохин, А.С. Ибрагимова, Н.Ю. Красников // Вычислительные технологии. 2007. - Т.12. - №2. - С.33-42.

62. Schiesser W. Е., Schiesser W. Е. The numerical method of lines: integration of partial differential equations. - San Diego : Academic Press, 1991. - V.212.

63. Полосков И.Е. Численно-аналитические схемы анализа динамических систем с последействием // Вестник Пермского ун-та. Математика. Механика. Информатика. - 2011. - Вып.2 (6). - С.51-58.

64. Ризниченко Г. Ю. Популяционная динамика //URL: http://www. library, biophys. msu. ru/MathMod/PD. HTML, (дата обращения 15.09.2013)

65. Gopalsamy К. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. - Kluwer Academic Pub, 1992.

66. Gu K., Chen J., Kharitonov V. L. Stability of time-delay systems. - Birkhauser Boston, 2003.

67. MacDonald N. Biological delay systems: linear stability theory. - Cambridge University Press, 2008.

68. Niculescu S. I. Delay effects on stability: A robust control approach. - Springer, 2001.-V.269.

69. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учебное пособие. - Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.

70. Захаров А.П., Брацун Д.А. Адаптивный алгоритм хранения полей при расчете динамики сплошной среды с наследственной или запаздывающей обратной связью // Вычислительная механика сплошных сред. - 2013. - Т.6, №2.-С. 198-206.

71. Захаров А.П., Брацун Д.А. Численное моделирование пространственно распределенных систем с запаздыванием по времени // 20 Всероссийская школа-конференция «Математическое моделирование в естественных науках»: сб. тез. - Пермь, 2011. - С.34.

72. Захаров А.П., Брацун Д.А. Эффективный метод расчета динамических задач реакция-диффузия-конвекция с запаздыванием по времени // V Открытая научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «XXI век - время молодых»: материалы. - Пермь: ПГГПУ, 2012. -С. 144.

73. Брацун Д.А., Захаров А.П. К вопросу о численном расчете пространственно-распределенных динамических систем с запаздыванием по времени // Вестник Пермского университета: Математика. Механика. Информатика. - 2012.

- №4. - С.32-42.

74. Bratsun D.A., Zakharov А.Р. Adaptive numerical simulations of reaction-diffusion systems with time-delayed feedback // Interdisciplinary Symposium on Complex Systems: book of abstracts. - Czech Republic, Prague: Czech Technical University Press, 2013.-P.21.

75. Li J., Zou X. Modeling spatial spread of infectious diseases with a fixed latent period in a spatially continuous domain //Bulletin of mathematical biology. - 2009.

- V.71. - №.8. - P.2048-2079.

76. Брацун Д.А., Захаров, А.П. Моделирование пространственно-временной динамики циркадианных ритмов N. crassa // Компьютерные исследования и моделирование. - 2011. - Т.З, №2. - С. 191 -213.

77. Захаров А.П., Брацун Д.А. Моделирование пространственно-временной динамики циркадных ритмов Neurospora crassa // IV Открытая научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «XXI век - время молодых»: материалы. - Пермь: ПГПУ, 2011. - С.23-29.

78. Брацун Д.А., Захаров А.П. Моделирование пространственно-временной динамики циркадианных ритмов Neurospora crassa // VI Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий»: сб. тез. - Киров, 2011. - С.23.

79. Брацун Д.А., Захаров А.П. Численное исследование динамики распределенной системы с запаздыванием в модели циркадианных ритмов N. crassa //VI Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий»: сб. тр. - Киров: Вят-ГУ, 2011. - С.56-66.

80. Bratsun D.A., Zakharov А.Р. Deterministic modeling spatio-temporal dynamics of delay-induced circadian oscillations in Neurospora crassa II Interdisciplinary Symposium on Complex Systems: book of abstracts. - Czech Republic, Prague: Czech Technical University Press, 2013. - P.22.

81. Sweeney В. M. Circadian rhythms, definition and general characterization // The molecular basis of circadian rhythms. - 1976. - P.77-83.

82. Pittendrigh C. S. Temporal organization: reflections of a Darwinian clockwatcher// Annual Review of Physiology. - 1993. - V.5 5. - №1. - P. 17-54.

83. Galagan J. E. et al. The genome sequence of the filamentous fungus Neurospora crassa // Nature. - 2003. - V.422. - №6934. - P.859-868.

84. Dunlap J. C. Genetic and molecular analysis of circadian rhythms // Annual review of genetics. - 1996. - V.30. - № 1. - P.579-601.

85. Dunlap J. С. Molecular bases for circadian clocks // Cell. - 1999. - V.96. - №2. -P.271-290.

86. Lakin-Thomas P. L., Brody S. Circadian rhythms in microorganisms: new complexities // Annu. Rev. Microbiol. - 2004. - V.58. - P.489-519..

87. Lakin-Thomas P. L., Coté G. G., Brody S. Circadian rhythms in Neurospora cras-sa: biochemistry and genetics // Critical reviews in microbiology. - 1990. - V.17.

- №5. - P.365-416.

88. Loros J. J., Dunlap J. C. Genetic and Molecular Analysis of Circadian Rhythms in N eurospora // Annual review of physiology. - 2001. - V.63. - №1. - P.757-794.

89. Pittendrigh C. S. et al. Growth patterns in Neurospora: a biological clock in Neurospora. - 1959.

90. Denault D. L., Loros J. J., Dunlap J. C. WC-2 mediates WC-l-FRQ interaction within the PAS protein-linked circadian feedback loop of Neurospora // The EM-BO journal. - 2001. - V.20. - № 1. - P. 109-117.

91. Neurospora crassa genome - Broad Institute -http://www.broadinstitute.org/annotation/genome/neurospora/GenomesIndex.htm 1 (дата обращения 12.08.2013)

92. Froehlich A. C. et al. White Collar-1, a circadian blue light photoreceptor, binding to the frequency promoter // Science. - 2002. - V.297. - №5582. - P.815-819.

93. Froehlich A. C., Loros J. J., Dunlap J. C. Rhythmic binding of a WHITE COLLAR-containing complex to the frequency promoter is inhibited by FREQUENCY // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 2003. - V.100.

- №10. - P.5914-5919.

94. He Q. et al. FWD1-mediated degradation of FREQUENCY in Neurospora establishes a conserved mechanism for circadian clock regulation // The EMBO journal. - 2003. - V.22. - №17. - P.4421-4430.

95. Соколовский В. Ю., Белозерская Т. А. Действие стрессоров на дифференциальную экспрессию генов в ходе развития Neurospora crassa // Успехи биологической химии. - 2000. - Т.40. - С.85-152.

96. Lee К., Loros J. J., Dunlap J. С. Interconnected feedback loops in the Neurospora circadian system // Science Signaling. - 2000. - V.289. - №5476. - P. 107.

97. Rao С. V., Arkin A. P. Stochastic chemical kinetics and the quasi-steady-state assumption: Application to the Gillespie algorithm // Journal of Chemical Physics.

- 2003. - V.l 18. - №11. - P.4999-5010.

98. Брацун Д. А., Зюзгин А. В. Эффект возбуждения подкритических колебаний в стохастических системах с запаздыванием. Часть I. Регуляция экспрессии генов // Компьютерные исследования и моделирование. - 2011. - Т.З. - №4.

- С.421-438.

99. Hasty J., Collins J. J. Translating the noise // Nature genetics. - 2002. - V.31. -№1. - P.13-14.

100. Bratsun D. A. et al. Non-Markovian processes in gene regulation (Keynote Address) // SPIE Third International Symposium on Fluctuations and Noise. - International Society for Optics and Photonics, 2005. - P.210-219.

101. Smolen P., Baxter D. A., Byrne J. H. Modeling circadian oscillations with interlocking positive and negative feedback loops // The Journal of Neuroscience. -2001. - V.21. - № 17. - P.6644-6656.

102. Smolen P., Baxter D. A., Byrne J. H. Reduced models of the circadian oscillators in Neurospora crassa and Drosophila melanogaster illustrate mechanistic similarities // OMICS A Journal of Integrative Biology. - 2003. - V.7. - №4. - P.337-354.

103. Sriram K., Gopinathan M. S. A two variable delay model for the circadian rhythm of Neurospora crassa // Journal of theoretical biology. - 2004. - V.231. - №1. -P.23-38.

104. Gillespie D. T. Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions // The journal of physical chemistry. - 1977. - V.81. -№25. - P.2340-2361.

105. François P. A Model for the Neurospora Circadian Clock // Biophysical journal. -2005. - V.88. - №4. - P.2369-2383.

106. Lema M. A., Golombek D. A., Echave J. Delay model of the circadian pacemaker // Journal of theoretical biology. - 2000. - V.204. - №4. - P.565-573.

107. olde Scheper T. et al. A mathematical model for the intracellular circadian rhythm generator // The Journal of Neuroscience. - 1999. - V.19. - №1. - P.40-47..

108. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. - Москва-Ижевск: ИКИ, 2003. - 184 с.

109. Bratsun D. A., De Wit A. Buoyancy-driven pattern formation in reactive immiscible two-layer systems // Chemical Engineering Science. - 2011. - V.66. - №22. -P.5723-5734.

110. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. (ed.). Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences. - Cambridge university press, 2003. - V.12.

111. Захаров А.П., Брацун Д. А. Синхронизации циркадианных ритмов в масштабах гена, клетки и всего организма // Компьютерные исследования и моделирование. - 2013. - Т.5. - №2. - С.255-270.

112. Bratsun D., Zakharov A. Modeling of spatially extended delay-induced circadian oscillations synchronized by cell-to-cell communications // European conference on complex system: book of abstracts. - Belgium, Brussels: Université Libre de Bruxelles, 2012.-P.67.

113. Захаров А.П., Брацун Д.А. Синхронизация пространственно-временных колебаний в клетках, обменивающихся химическими сигналами // Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Актуальные проблемы механики, математики, информатики»: сб. тез. - Пермь: ПГНИУ, 2012.-С.110.

114. Захаров А.П., Брацун Д.А. Моделирование синхронизации биоритмов на разных уровнях описания системы // Двадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование»: сб. тез. - Москва, Ижевск, 2013.-С.81.

115. Bratsun D.A., Zakharov А.Р. Modeling of spatially extended delay-induced circadian oscillations synchronized by cell-to-cell communications // Proceedings of the European Conference on Complex Systems 2012. Springer International Publishing. - 2014. - P.445-452.

116. Zakharov A.P., Bratsun D.A. Synchronization of circadian rhythms at the scale of a gene, a cell and a whole organism // Interdisciplinary Symposium on Complex Systems: book of abstracts. - Czech Republic, Prague: Czech Technical University Press, 2013.-P.21.

117. Zakharov A., Bratsun D. Modeling dynamics of biorhythms at different scales of biological system // European Conference on Complex System: book of abstracts. - Spain, Barcelona, 2013. - P.60-61.

118. Salm M., Pismen L. M. Chemical and mechanical signaling in epithelial spreading // Physical Biology. - 2012. - V.9. - №2. - P.026009.

119. Koseska A. et al. Cooperative differentiation through clustering in multicellular populations // Journal of theoretical biology. - 2010. - V.263. - №2. - P. 189-202.

120. Danino T. et al. A synchronized quorum of genetic clocks // Nature. - 2010. -V.463. - №7279. - P.326-330.

121. Ашофф Ю., Питтендрих К., Павлидис Т. Биологические ритмы: В 2-х т. -Мир, 1984.

122. Моисеева Н. И., Сысуев В. М. Временная среда и биологические ритмы. -М: Наука. Ленингр. отд-ние, 1981.

123. Степанова С. И., Алякринский Б. С. Биоритмологические аспекты проблемы адаптации. -М: Наука, 1986..

124. Bratsun D., Zakharov A. Adaptive numerical simulations of reaction-diffusion systems with history and time-delayed feedback // ISCS 2013: Interdisciplinary Symposium on Complex Systems: Emergence, Complexity and Computation. Springer International Publishing. - 2014. - Vol.8. - P.70-81.

125. Bratsun D., Zakharov A. Deterministic modeling spatio-temporal dynamics of delay-induced circadian oscillations in N. crassa. // ISCS 2013: Interdisciplinary Symposium on Complex Systems: Emergence, Complexity and Computation. Springer International Publishing. - 2014. - Vol.8. - P.82-90.

126. Zakharov A., Bratsun D. Synchronization of circadian rhythms at scale of gene, cell and whole organism // ISCS 2013: Interdisciplinary Symposium on Complex Systems: Emergence, Complexity and Computation. Springer International Publishing. - 2014. - Vol.8. - P. 162-173