Математическое моделирование бифуркационных переходов и формирования мультистабильности в системах с запаздывающими связями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Балакин, Максим Игоревич

• Балакин, Максим Игоревич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Балакин, Максим Игоревич

Оглавление

Введение

Глава 1. Генератор с запаздывающей обратной связью. Возникновение мультистабильных состояний и их эволюция

1.1 Введение

1.2 Комплекс программ для численного простроения карт динамических режимов с учетом мультистабильности

1.3 Рассматриваемая модель

1.4 Устойчивость и бифуркации состояния равновесия системы. Условия возбуждения автоколебаний и их зависимость от времени запаздывания

1.5 Бифуркационный механизм формирования мультистабильности

1.6 Карта режимов. Эволюция мультистабильных состояний

1.7 Осциллятор Ландау - Стюарта с запаздывающей обратной связью

1.7.1 Рассматриваемая модель

1.7.2 Условия потери устойчивости и формирования мультистабильности

1.7.3 Бифуркационный механизм формирования мультистабильных состояний

1.7.4 Карта режимов с учетом мультистабильных состояний

1.8 Выводы к главе 1

Глава 2. Сложная динамика системы из двух связанных неидентичных осцилляторов Ланга-Кобаяши

2.1 Введение

2.2 Стационарные решения системы. Анализ условий возбуждения различных колебательных мод

2.3 Характерные колебательные режимы в системе

2.4 Характерные бифуркации в системе. Бифуркационная структура пространства параметров системы и особенности формирования мультистабильности

2.5 Выводы к главе 2

Глава 3. Влияние запаздывания в канале связи на эффекты синхронизации, мультистабильности и гашения колебаний в двух

взаимодействующих генераторах с инерционной нелинейностью

3.1 Введение

3.2 Исследуемая система двух генераторов с запаздывающей связью

3.3 Бифуркационные переходы и особенности формирования мультистабильности в конечномерной системе

3.4 Изменение бифуркационной структуры основной области синхронизации при увеличении запаздывания в канале связи (конечномерная модель)

3.5 Бифуркационные переходы и особенности формирования мультистабильности в системе с запаздыванием

3.6 Выводы к главе 3

Заключение

Благодарности

Список литературы

Приложение А. Реализация модифицированного метода Рунге-

Кутта 4 порядка в среде разработки Microsoft Visual Studio

2010

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование бифуркационных переходов и формирования мультистабильности в системах с запаздывающими связями»

Введение

Актуальность работы. Автоколебательные системы с запаздыванием играют большую роль во многих областях науки и техники: радиофизике, нелинейной оптике, биологии, медицине, экономике, статистике [1]

- [5].

Эффективным средством анализа систем с запаздыванием является применение математических моделей в сочетании с методами нелинейной динамики: построением фазовых портретов и спектров, анализом характеристических уравнений, расчетом мультипликаторов и использованием бифуркационного анализа.

Активное изучение математических моделей систем с запаздыванием начинается с 30-50 годов прошлого века в связи с их существенной ролью в самых различных областях науки и техники. Например, с запаздыванием приходится сталкиваться в системах автоматического регулирования технологических процессов, связанных с переносом материала и тепла [6] - [8]. Запаздывание появляется в сложных системах автоматического управления из-за конечного времени обработки информации и принятия решений в логических устройствах. Запаздывание также встречается в системах, имеющих отношение к биологии, медицине (процессы размножения, распространения эпидемий), экономике, статистике и т.Д.( [9] - [13]).

Среди всех систем с временным запаздыванием в отдельную важную группу следует выделить генераторы с запаздывающей обратной связью (ЗОС). В одних случаях запаздывание обусловлено самой конструкцией генератора и принципом его работы (клистроны, магнетроны), в других же запаздывание вводится специально для получения колебаний с необходимыми параметрами. Важную роль генераторы ЗОС играют в радиофизике, особенно в области генерации свервысокочастотного (СВЧ)

излучения. Одной из базовых схем генератора с запаздыванием является генератора на основе лампы бегущей волны (ЛБВ) с ЗОС. На основе такой схемы в 60-е годы под руководством В.Я. Кислова был разработан так называемый шумотрон. Данное устройство использовалось в системах радиопротиводействия, и, по видимому, является первым СВЧ устройством, в котором удалось обнаружить и исследовать режимы динамического хаоса [14], [15]. К числу систем с запаздыванием можно также отнести приборы с резонансными колебательными системами, такие, как резонансная ЛБВ, лазеры на свободных электронах и т.д. [16]. Кроме того, временная задержка может возникать в лампе обратной волны (ЛОВ), обладающей внутренней, а не внешней, обратной связью. В этом случае запаздывание, возникающее вследствие нелокального взаимодействия электронов и волны, становится одной из причин появления модуляции и хаоса [17] - [19]. Более подробный обзор моделей генераторов с запаздывающей обратной связью можно найти в критическом обзоре научных работ по сложной динамике генераторов с ЗОС [3].

Большой интерес к запаздывающей обратной связи наблюдается в связи с методом управления хаосом, предложенным Пирагасом [24]. В случае, когда время запаздывания в цепи обратной связи равно периоду неустойчивой орбиты, правильный выбор глубины обратной связи приводит к ее стабилизации. Важно, что при этом сохраняются параметры и период орбиты.

Новым и перспективным направлением использования систем с запаздыванием является построение генераторов хаоса с гиперболическим аттрактором. Относительно недавно были предложены первые подобные системы [20] - [23]. В работах [20] - [22] для функционирования генераторов используются внешние источники сигнала для модуляции параметра надкритичности и генерации вспомогательного сигнала. В работе [21] опубликованы результаты эксперимента по реализации странно-

го аттрактора типа Смейла-Вильямса в радиотехническом генераторе. В работе [23] численно и экспериментально исследован генератор с двумя дополнительными цепями ЗОС, позволяющий генерацию структурно

Ь

устойчивого хаоса в отсутствии внешнего воздействия.

Из проведенных ранее исследований хорошо известно, что введение

I

запаздывания в систему становится причиной возникновения областей управляющих параметров, в которых в зависимости от выбора начальных условий могут наблюдаться несколько различных колебательных режимов, то есть, формирования мультистабильности. Математическое моделирование мультистабильности в системах с ЗОС привлекает внимание многих исследователей и научных групп, этому вопросу посвящено множество научных работ [25] - [66]. Некоторое обобщение всех полученных результатов можно найти в работе [40]. Авторы отмечают, что сосуществование нескольких устойчивых (а также неустойчивых) колебательных режимов является естественным свойством систем с временным запаздыванием. Также показано, что периодические решения формируют семейства, которые существуют на определенных интервалах времен запаздывания. Увеличение времени задержки должно приводить к расширению интервалов существования семейств и их перекрытию, в результате чего формируется мультистабильность. Однако, несмотря на большое количество важных и значимых работ в этом направлении, остается открытым ряд вопросов. Например, как влияет запаздывание на бифуркационный механизм формирования мультистабильности, какие при этом наблюдаются характерные бифуркации, какова при этом структура фазового пространства мультистабильной системы. Данные вопросы рассматриваются в настоящей работе.

Добавим, что большой интерес также вызывает влияние задержки в канале связи на динамику взаимодействующих систем (см., например, [67] - [74]). Известно, что в этом случае запаздывание приводит к

существенной перестройке окрестности основного языка синхронизации, изменению расположения и размеров областей амплитудной смерти, появлению эффекта широкополосной синхронизации, мультистабильности и других нелинейных эффектов. В настоящей работе рассматривается, как влияет запаздывания в канале связи на динамику систем с большим 'количеством динамических переменных, со сложной структурой фазового пространства.

Таким образом, все вышесказанное позволяет сформулировать цель и задачи диссертационной работы.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей механизмов формирования мультистабильных состояний, бифуркационных переходов между мультистабильными состояниями, режимами синхронизации и гашения автоколебаний в динамических системах с запаздыванием.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Математическое моделирование и анализ динамики генератора' с запаздывающей обратной связью в широком диапазоне управляющих параметров, выявление типичных бифуркационных переходов и структур.

2. Математическое моделирование и анализ динамики системы двух сильно неидентичных генераторов с запаздывающими обратными связями, выявление основных бифуркационных переходов и построение карт динамических режимов на плоскости управляющих параметров.

3. Математическое моделирование и анализ динамики системы двух генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи, выявление механизма формирования мультистабильности и структуры основной области синхронизации.

Предметом исследования являются характерные бифуркационные

переходы, механизмы формирования мультистабильности и синхрониза-

!

ции в динамических системах с запаздыванием, описываемых дифференциальными и дифференциально-разностными уравнениями.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе диссертационного исследования, использовались анализ характеристических уравнений, построение фазовых портретов и спектров, расчет мультипликаторов, средства бифуркационного анализа.

Для численного интегрирования систем с запаздыванием использовался модифицированный метод Рунге-Кутта, отличающийся учетом массива значений динамических переменных на интервале запаздывания. Для получения укороченных уравнений применялся метод медленно меняющихся амплитуд. Устойчивость состояний равновесия и периодических решений оценивалась по собственным значениям и мультипликаторам. Для бифуркационного анализа использовались пакеты ООЕ-ВШТООЬ и ХРР-АиТ.

Научная новизна результатов работы (соответствует пунктам 2,5,6 паспорта специальности).

1. Развиты математические модели бифуркационных механизмов формирования мультистабильности в автономных системах с запаздыванием, что позволило выявить механизм формирования мультистабильности.

2. Построена модель взаимодействующих генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи в виде дифференциально-разностных уравнений.

3. Построена модель взаимодействующих генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи в виде обыкновенных дифференциальных уравнений для случая малого запаздывания.

I 1 •

• I"

4. На основе математических моделей построены разностные схемы и эффективные алгоритмы для систем с запаздыванием, отличающиеся учетом массива значений переменной на интервале запаздывания, что позволило провести исследование мультистабильных состояний.

5. Реализован комплекс программ для численного моделирования мультистабильности и синхронизации в системах с запаздыванием, что позволило провести исследование динамики рассматриваемых систем в широком диапазоне управляющих параметров. ■

6. Впервые проведен совместный анализ полной и укороченной ;мате-матических моделей генератора с запаздывающей обратной связью, что позволило выявить механизм формирования мультистабильности. При вариации управляющих параметров неподвижная точка в фазовом пространстве многократно претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа сед-ловых циклов. После первой бифуркации рождается устойчивый предельный цикл, а после каждой последующей - седловой • предельный цикл. Устойчивость они приобретают после каскада субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера.

7. В результате комплексного исследования неидентичных генераторов с запаздывающими обратными связями обнаружено явление мультистабильности, построены карты динамических режимов с учетом мультистабильности, проведен бифуркационный анализ.

8. Показано наличие мультистабильности в предложенных генераторах с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи. Выявлено, что введение запаздывающей диссипативной связи приводит к тому, что явление синхронизации наблюдается только для малых значений коэффициента связи. Показано, что увеличение запаздывания в канале связи между генераторами с инерционной нелинейностью приводит к расширению и перекрытию областей амплитуд-

> ( »

ной смерти, подавление колебаний при этом может происходить' при

I

отсутствии расстройки по собственным частотам. " н

Достоверность полученных результатов обусловлена тем, что результаты, полученные с помощью численного интегрирования, расчета

спектров, вычисления собственных значений и мультипликаторов не про!

тиворечат друг другу, и не противоречат ранее полученным результатам. Для расчетов использовались апробированные численные схемы и методы.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. В результате совместного анализа полных и укороченных уравнений выявлено, что в генераторе с запаздывающей обратной связью муль-тистабильность формируется в результате двух основных типов бифуркаций - суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа и субкритической бифуркации Неймарка-Сакера. При вариации управляющих параметров неподвижная точка в фазовом пространстве многократно претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа седловых циклов. Устойчивость они приобретают после ряда субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера.

2. В математической модели системы двух взаимно связанных сильно неидентичных генераторов с запаздывающей обратной связью выявлено наличие мультистабильности, в зависимости от выбора начальных условий могут наблюдаться периодические, квазипериодические и хаотические решения. В основе возникновения мультистабильности лежит каскад суперкритических бифуркаций Андронова-Хопфа, который приводит к увеличению числа сосуществующих предельных циклов.

3. В результате анализа предложенных математических моделей установлено, что введение запаздывания в канал связи существенно ме-

няет картину синхронизации двух генераторов с инерционной нёли-

' V!!

нейностью. По мере увеличения времени запаздывания характерная структура в виде языка синхронизации сохраняется только 'при малых значениях коэффициента связи. С увеличением связи выше некоторых значений область синхронизации отсутствует в смысле границы между областями периодических и квазипериодических колебаний. При любых значениях расстройки наблюдается устойчивый предельный цикл, вторая независимая частота не возбуждается. Научная значимость. Результаты, представленные в диссертационной работе, развивают и дополняют современные представления радиофизики и нелинейной теории колебаний. Установленные в диссертации закономерности и механизмы формирования мультистабильности в системах с запаздывающей обратной связью, в частности в осцилляторе ван дер Поля с запаздывающей обратной связью, в осцилляторе Ландау-Стюарта с запаздывающей обратной связью, осцилляторе Ланга-Кобаяши существенно дополняют современную теорию многомодовых автоколебательных систем. Установленные закономерности перехода к синхронизации в системе генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи вносят вклад в представления о синхронизации взаимодействующих систем со сложными связями. Также результаты диссертации использованы при выполнении работ по грантам и проектам РФФИ (№

I

12-02-01298-а), Министерства образования и науки РФ, Фонда содействия развитию малых предприятий (в рамках программы «У.М.Н.И'.К.»).

Практическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы в СВЧ электронике при разработке методов управления частотой генерации за счет переключения мод,

I

учета влияния запаздывающих отражений от удаленной нагрузки на ре:

жимы работы многомодового генератора и выработки рекомендаций по

1

возможности целенаправленных переходов между различными синхрон-

ными состояниями в ансамбле взаимодействующих многомодовых генераторов.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертацирн-

I

ной работе, докладывались на научных семинарах института электронной техники и машиностроения и кафедры радиоэлектроники и телекоммуникаций СГТУ имени Гагарина Ю.А., семинаре кафедры «Динамика машин» технического университета г. Лодзь (Польша), семинаре лаборатории теоретической нелинейной динамики (СФ ИРЭ РАН), семинаре лаборатории моделирования в нелинейной динамике (СФ ИРЭ РАН), семинаре кафедры нелинейной физики (СГУ имени Н.Г. Чернышевского), семинаре лаборатории исследования нелинейных явлений (СГУ имени Н.Г. Чернышевского), студенческой научной конференции „Presenting Academic Achievements to the World"(Саратов, 2010), XXIV и XXV международных научных конференциях „Математические методы в технике и технологиях (Саратов, 2011, 2012), ежегодной школе-конференции „Нелинейные дни в Саратове для молодых"(Саратов, 2011, 2012), VIII и IX всероссийских конференциях молодых ученых „Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика" (Саратов, 2013, 2014), X международной школе-конференции „Хаос 2013" (Саратов, 2013).

Личный вклад автора. Аналитические и численные результаты, представленные в настоящей работе, получены лично автором. Постановка задач и обсуждение результатов проводились совместно с научным руководителем.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 работ, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК:

1 Астахов, В.В. Механизм формирования мультистабильности в генераторе ван дер Поля с запаздывающей обратной связью / В.В.

Астахов, МИ. Балакин // Вестник СГТУ.-2012,- №3.-Вып. 1.-С. 24-28.

2. Кочкуров, JI.A. Динамика двух нелинейно связанных неидентичных осцилляторов Ланга-Кобаяши / Л.А. Кочкуров, М.И. Балакин

1

// Известия высших учебных заведений: Прикладная нелинейная динамика,- 2013. -Т. 21.-№3.-С. 29-36. Публикации в изданиях, входящих в SCOPUS:

г

3. Kochkurov, L.A. Numerical modeling of terahertz generation via difference-frequency mixing in two-color laser / L.A. Kochkurov, M.I. Balakin, L.A. Melnikov, V.V. Astakhov // Proceedings of. SPIE.-2013.-V.8699.-P.1-12.

Тезисы докладов и статьи в сборниках трудов конференций:

4. Balakin, M.I. Dynamical behavior of van dër Pol generator with time delayed feedback / M.I. Balakin // Представляем научные достижения миру. Естественные науки: Материалы научной конференции молодых ученых «Presenting academic achievements to the World»,3-4 марта 2011 r.-Саратов: Изд-во. Сарат. ун-та, 2011.- Вып. 2.-С. 5-9.

5. Балакин, М.И. Мультистабильность и переходы к хаосу в генераторе ван дер Поля с запаздывающей обратной связью / М.И. Балакин, В.В. Астахов // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24' сб трудов XXIV междунар. науч. конф. : в 10 т. Т.1. Секция 1. /под общ. ред. B.C. Балакирева.-Киев.: Национ. ун-т Украины «КПИ», 2011.-С. 16-20.

6. Кочкуров, Л.А. Эффективный генератор терагерцового излучения / Л.А. Кочкуров, М.И. Балакин, Л.А. Мельников, В.В. Астахов // Участники школы молодых ученых и программы УМНИК: сб. трудов XXVV Междунар. науч. конф.; под общ. ред. А.А. Большакова.-Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2012.- С. 13-14.

7. Балакин, M.И. Бифуркационный анализ осциллятора Ландау-Стюарта с запаздыванием / М.И. Балакин М.И., В.В. Астахов // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика, сб. трудов VIII всероссийской конференции молодых ученых. Саратов: Изд-во. Сарат. ун-та, 2013.-С. 33. _

8. Кочкуров, Л.А. Бифуркационный анализ двух связанных неиден-

• л

тичных осцилляторов Ланга-Кобаяши / Л.А. Кочкуров, М.И. Балакин, Л.А. Мельников, В.В. Астахов // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика, сб. трудов VIII всероссийской конференции молодых ученых. Саратов: Изд-во. Сарат. ун-та, 2013.-С. 130.

9. Астахов, C.B. Эффекты синхронизации и гашения колебаний во взаимодействующих генераторах с инерционной нелинейностью с запаздывающей связью / C.B. Астахов, М.И. Балакин, В.В. Астахов // Материалы X международной школы-конференции «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС-2013). Саратов: ООО «Издательский центр «Наука».-2013.-С. 58.

10. Балакин, М.И. Бифуркационные переходы и формирование мульти-стабильных состояний в осцилляторе ван дер Поля с запаздыванием / М.И. Балакин, В.В. Астахов // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика, сб. трудов IX всероссийской конференции молодых ученых. Саратов: Изд-во. Сарат. ун-та, 2014.-С. 17-18.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 153 страницы с 50 рисунками, 1 таблицей и 1 приложением. Список литературы содержит 103 наименования.

Краткое содержание работы

' , (

Во введении дано обоснование актуальности работы, сформулирована цель исследований, научная новизна и положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведено совместное исследование полной и укороченной математических моделей генератора с запаздывающей обратной связью. Получено дифференциально-разностное уравнение для генератора с мостом Вина и запаздыванием в цепи обратной связи. Проведено

,11

исследование устойчивости и бифуркаций состояния равновесия, пррве-ден анализ характеристического уравнения для линеаризованной системы. Изучены основные бифуркационные переходы, приводящие к формированию мультистабильности. Показано, что при вариации управляющих параметров состояние равновесия в начале координат многократно претерпевает супекритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа седловых циклов. После первой бифуркации рождается устойчивый предельный цикл, после каждой последующей - седло-вой. Устойчивость они могут приобретать в результате каскада субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера. Исследована структура плоскости параметров системы, построены карты динамических режимов в широком диапазоне значений управляющих параметров системы. Численное интегрирование проводилось с помощью модифицированного метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Устойчивость квазигармонических решений оценивалась с помощью спектра мультипликаторов. Выявлена возможность возникновения в системе квазипериодических и хаотических колебаний. Показано, что переход к хаосу может происходить либо через каскад бифуркаций удвоения периода, либо через разрушение тора. Проанализировано влияние запаздывания на возникновение колебаний и формирование мультистабильности в системе. Также в рамках первой главы исследован механизм формирование мультистабильности в осцилляторе Ландау-Стюарта с запаздывающей обратной связью. Получено

! |

дифференциально-разностное уравнение исследуемой модели с помощью

\

__I I

применения метода медленно меняющихся амплитуд. Проведен линейный анализ системы, рассчитаны собственные значения матрицы линеаризации. Получена общая структура пространства управляющих параметров системы. Проведен двухпараметрический бифуркационный анализ системы на основе собственных значений и мультипликаторов. Показано, что мультистабильность формируется различными комбинациями динамиче-

I < I,

ских режимов. Выявлено влияние седловых предельных циклов на бифуркационные переходы и структуру фазового пространства системы.

Во второй главе предложена модель двух связанных сильно неидентичных осцилляторов Ланга-Кобаяши, отличающаяся нелинейной связью. Аналитически получены условия возбуждения колебательных мод. Продемонстрирована возможность существования в системе сложных, в том числе хаотических, колебаний. Изучены характерные бифуркационные переходы в системе. Построены однопараметрические бифуркационные диаграммы. Выявлено, что при малых значениях коэффициента обратной связи в рассматриваемой системы при вариации времени запаздывания наблюдается чередование стационарных и периодических решений. Проведен анализ динамических режимов системы в широком диапазоне управляющих параметров. Показано наличие фазовой мультистабильно-сти в системе. При вариации управляющих параметров состояние равновесия в системе многократно претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа сосуществующих предельных циклов в системе. Выявлено, что мультистабильные состояния формируются различными комбинациями периодических, квазипериодических и хаотических режимов.

В третьей главе предложены математические модели генераторов с инерционной нелинейностью, отличающиеся учетом запаздывания в канале связи. Изучено влияние параметра возбуждения на динамику системы.

Изучены характерные бифуркационные переходы и условия формирования мультистабильности в системе. Выявлено влияние параметра возбуждения на характерные колебательные режимы в системе. Анализ собственных значений для неподвижной точки показал, что с ростом параметра возбуждения наблюдается последовательность из двух бифуркаций Андронова-Хопфа. Первая приводит к возбуждению синфазных колебании в системе, а вторая - к возбуждению противофазных колебаний. При существенных значениях времени запаздывания данные режимы сосуще-

I '

ствуют. Изучено влияние запаздывания на характерные бифуркационные переходы в окрестности основного языка синхронизации, возбуждение и подавление колебаний. Проведено сравнение бифуркационных переходов в системе, описываемой дифференциально-разностными уравнениями,'и в конечномерной системе. В исходной системе увеличение запаздывания приводит к расширению и перекрытию областей подавления колебаний, при значениях коэффициента связи выше критических колебаний в системе отсутствуют при любых значениях расстройки по собственным частотам. В конечномерной системе увеличение задержки в канале связи приводит к уменьшению областей амплитудной смерти, при этом наблюдается эффект широкополосной синхронизации. Для любых значений расстройки колебаний в одном из генераторов полностью подавлены, вторая независимая частота при вариации расстройки не возбуждается. Таким образом, характерная структура в виде языка синхронизации сохраняется только при малых значениях коэффициента связи.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы

Глава 1. Генератор с запаздывающей обратной связью. Возникновение мультистабильных состояний и их эволюция.

I

1.1. Введение

1

Генератор ван дер Поля с запаздывающей обратной связью является одной из базовых моделей нелинейной динамики [25], демонстрирующей колебательные режимы и бифуркационные переходы, характерные для

автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью различной

11

природы, например, генераторов СВЧ диапазона [42], [75], [76], лазеров [44]- [47], медико-биологических [77], [78] и других систем.

Изучение особенностей динамики осциллятора ван дер Поля с запаздывающей обрат ной связью привлекало и привлекает внимание многих исследователей (см., например, [23], [25], [61], [63], [79]- [82]).

Уже давно и подробно исследовано поведение системы в окрестности точки бифуркации, выявлено разбиение пространства параметров системы на отдельные зоны генерации, внутри которых возникают автоколебания на различных частотах, исследовано влияние вариации управляющих параметров на характеристики возбуждаемых колебаний. Отмечено, что имеются области, в которых сосуществует множество аттракторов. Однако, при этом остается открытым вопрос, каким образом протекает процесс формирования мультистабильных состояний, какие при этом бифуркации претерпевают состояние равновесия и предельные циклы. Также представляется интересным исследовать динамику системы при больших значениях параметра надкритичности, вдали от точки рождения предельного цикла. Таким образом, в рамках первой главы будет проведен двухпараметрический анализ динамики рассматриваемой систе-

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Балакин, Максим Игоревич

Заключение

Основные результаты и выводы диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Развиты математические модели бифуркационных механизмов формирования мультистабильности в автономных системах с запаздыванием, что позволило выявить механизм формирования мультистабильности.

2. Построена модель взаимодействующих генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи в виде дифференциально-разностных уравнений.

3. Построена модель взаимодействующих генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи в виде обыкновенных дифференциальных уравнений для случая малого запаздывания.

4. На основе математических моделей построены разностные схемы и эффективные алгоритмы для систем с запаздыванием, отличающиеся учетом массива значений переменной на интервале запаздывания, что позволило провести исследование мультистабильных состояний.

5. Реализован комплекс программ для численного моделирования мультистабильности и синхронизации в системах с запаздыванием, что позволило провести исследование динамики рассматриваемых систем в широком диапазоне управляющих параметров.

6. Впервые проведен совместный анализ полной и укороченной математических моделей генератора с запаздывающей обратной связью, что позволило выявить механизм формирования мультистабильности. При вариации управляющих параметров неподвижная точка в фазовом пространстве многократно претерпевает суперкритическую

бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа сед-ловых циклов. После первой бифуркации рождается устойчивый предельный цикл, а после каждой последующей - седловой предельный цикл. Устойчивость они приобретают после каскада субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера.

7. В результате комплексного исследования неидентичных генераторов с запаздывающими обратными связями обнаружено явление муль-тистабильности, построены карты динамических режимов с учетом мультистабильности, проведен бифуркационный анализ.

8. Показано наличие мультистабильности в предложенных генераторах с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи. Выявлено, что введение запаздывающей диссипативной связи приводит к тому, что явление синхронизации наблюдается только для малых значений коэффициента связи. Показано, что увеличение запаздывания в канале связи между генераторами с инерционной нелинейностью приводит к расширению и перекрытию областей амплитудной смерти, подавление колебаний при этом может происходить при отсутствии расстройки по собственным частотам.

Благодарности

Выражаю глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю профессору Владимиру Владимировичу Астахову за многолетнее научное руководство и всестороннюю поддержку. Благодарю профессора J1.A. Мельникова, профессора Н.М. Рыскина и к.ф.-м.н. C.B. Астахова за полезные замечания и обсуждение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Балакин, Максим Игоревич, 2014 год

Литература

1. Неймарк, Ю.И. Стохастические и хаотические колебания / Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда.-М.: Наука, 1987.-424 с.

2. Дмитриев, А.С. Стохастические колебания в радиофизике и элкет-ронике / А.С. Дмитриев, В.Я. Кислов.-М.: Наука, 1989.-278 с.

3. Кузнецов, С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью / С.П. Кузнецов // Известия высших учебных заведений. Радиофизика.-1982.-Т. 25.-№ 12.-С. 1410-1428.

4. Ikeda, К. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity / K. Ikeda, H. Daido and O. Akimoto // Physical Review Letters.-1980.-V. 45.-P. 709.

5. Гласс, Л. От часов к хаосу: Ритмы жизни / Л. Гласс, М. Маккей.-М.: Мир, 1991.-248 с.

6. Виккер, Д.А. Эффект запаздывания в процессах автоматического регулирования / Д.А. Виккер // Автоматика и телемеханика.-1937.-Т.2.-№ 6.

7. Герасимов, С.Г. Теоретические основы автоматического регулирования тепловых процессов / С.Г. Герасимов.-М.-Л.: Госэнергоиздат, 1949.-328 с.

8. Ицкович, Э.Л. Синтез схемы автоматического регулирования вращающейся цементообжигательной печи / Э.Л. Ицкович // Приборостроение,-1959.-№ 10.

9. Koopmans, Т. Distribute lags in dynamic economics / T. Koopmans // Econometria.-1949.-V. 9.-№ l.-Pp. 128-134.

10. Cunninghem, W. A non-linear differential-difference equation of growth / W. Cunninghem // Proceedings of National Academy of Science USA.-V. 40(8).

11. Feller, W. On the integral equation of renewal theory / W. Feller // Analytics of Mathematical Statistics.-1946.-V. 12.-№ 3.-Pp. 243-267.

12. Rhodes, E.C. Population mathematics / E.C. Rhodes / International Journal of the Royal Statistics Society.- 1940.-V. 103.-Pp. 218-245.

13. Roston, S. Mathematical formulation of cardiovascular dynamics by use of the Laplace transformation / S. Roston // Bulletin of Mathematical Biophysics.-1959.-V. 21.-P. 1-11.

14. Кислов, В.Я. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием / В.Я. Кислов, Н.Н. За-логин, Е.А. Мясин // Радиотехника и электроника.-1979.-Т. 24.-№ 6.-С. 1118-1130.

15. Анисимова, Ю.В. Шумотрон / Ю.В. Анисимова, Г.М. Воронцов, Н.Н. Залогин, В.Я. Кислов, Е.А. Мясин // Радиотехника.-2000.-№ 2.-С. 19-25.

16. Гинзбург, Н.С. Динамика ЛСЭ генераторов с резонаторами произвольной добротности/ Н.С. Гинзбург, А.С. Сергеев // ЖТФ.-1991.-Т. 61.-№ 6.-С. 133-140.

17. Гинзбург, Н.С. Периодические и стохастические автомодуляционные режимы в электронных генераторах с распределенным взаимодействием / Н.С. Гинзбург, С.П. Кузнецов // В кн.: Релятивистская высокочастотная электроника. Проблемы повышения мощности и частоты излучения.-Горький: ИПФ АН СССР, 1981.-С. 101-144.

18. Гинзбург, Н.С. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ / Н.С. Гинзбург, С.П. Кузнецов, Т.Н. Федосеева // Известия высших учебных заведений. Радиофизика.-1978.-Т. 21.-№ 7.-С. 1037-1052.

19. Безручко, Б.П. Экспериментальное подтверждение закономерностей универсальности и подобия для модели генератора с запаздываю-

щей обратной связью / Б.П. Безручко, В.Ю. Каменский, С.П. Кузнецов, В.И. Пономаренко // Письма в ЖТФ.-1988.-Т. 14.-Вып. 11.-С. 1014-1019

20. Kuznetsov, S.P. Hyperbolic chaos in the phase dynamics of a Q-switched oscillator with delayed nonlinear feedbacks / S.P. Kuznetsov and A.S. Pikovsky // Europhysics Letters.-2008.-V. 84.-P. 10013.

21. Кузнецов, С.П. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла-Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием / С.П. Кузнецов, В.И. Пономаренко // Письма в ЖТФ.-2008.-Т. 34.-Вып. 18.-С. 1-8.

22. Рыскин, Н.М. Сложная динамика двухрезонаторного клистрона-генератора с запаздывающей обратной связью // Н.М. Рыскин, A.M. Шигаев // Журнал технической физики.-2006.-Т. 76.-Вып. 1.-С. 72-81.

23. Баранов, С.В. Хаос в фазовой динамике осциллятора ван дер Поля с модулированной добротностью и дополнительной запаздывающей обратной связью / С.В. Баранов, С.П. Кузнецов, В.И. Пономаренко // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика.-2010.-Т. 18.-№ 1.-С. 11-23.

24. Pyragas, К. Continuous control of chaos by self-control feedback / K. Pyragas // Physics Letters A.-1992.-V. 70.-№ 6.-P. 421-428.

25. Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием / В.П. Рубаник.-М.:«Наука», 1969.-287 с.

26. Ikeda, К. Successive Higher-Harmonic Bifurcations in Systems with Delayed Feedback / K. Ikeda, H. Daido and O. Akimoto // Physical Review Letters.-1982.-V. 49.-P. 1467.

27. D'Huys, O. Synchronization properties of network motifs: influence of coupling delay and symmetry / O. D'Hyus, R. Vicente, T. Erneux, J. Danckaert, and I. Fisher // Chaos.-2008.-V. 18.-P. 037116.

28. Illing, L. Hopf bifurcation in time-delay systems with band-limited feedback / L. Illing, D. Gauthier // Physica D.-2005.-V. 210.-Pp. 180202.

29. Babkina, T.V. On multistability of nonlinear fiber interferometer with recirculating delay line / T.V. Babkina, F.G. Bass, S.A. Bulgakov, V.V. Grigo'yants and V.V. Konotop // Optics Communications.-1990.-V. 78.-P. 398-402.

30. Shiau, Y.-H. Multistability and chaos in a semiconductor microwave device with time-delay feedback / Y.-H. Shiau, Y.-F. Peng, Y.-C. Cheng and C.-K. Hu // Journal of the Physical Society of Japan.-2003.-V. 72.-№4.-P. 801-804.

31. Balanov, A.G. Delayed feedback control of chaos: Bifurcation analysis / A.G. Balanov, N.B. Janson, E. Scholl // Physical Review E.-2005.-V. 71.-P. 016222.

32. Perlikowski, P. Periodic patterns in a ring of delay-coupled oscillators/ P. Perlikowski, S. Yanchuk, O. V. Popovych, and P. A. Tass // Physical Review E.-2010.-V. 82.-P. 036208.

33. Mensour, B. Controlling chaos to store information in delay-differential equations / B. Mensour and A. Longtin // Physics Letters A.-1995.-V.205.-P. 18-24.

34. Mensour, B. Chaos control in multistable delay-differential equations and their singular limit maps / B. Mensour and A. Longtin // Physical Review E.-1998.-V. 58.-P. 1063.

35. Kim, S. Multistability in coupled oscillator system with time delay / S. Kim, S.H. Park, C.S. Ryu // Physical Review Letters.-1997.-V. 79.-V. 15.-P. 2911-2914.

36. Foss, J. Multistability and delayed recurrent loops / J. Foss, A. Longtin, B. Mensour, J. Milton // Physical Reveiw Letters.-1996.-V. 76.-№. 4.-P. 708-711.

37. Pototsky, A. Emergence and multistability of time-periodic states in a population of noisy passive rotators with time-lag coupling / A. Pototsky // Physical Review E.-2012.-V. 85.-P. 036219.

38. Campbell, S.A. Complex dynamics and multistability in a damped harmonic oscillator with delayed negative feedback / S.A. Campbell, J. Belair, T. Ohira, and J. Milton // Chaos.-1995.-V. 5.-P. 640-645.

39. Masoller, C. Noise-induced resonance in delayed feedback systems / C. Masoller // Physical Review Letters.-2002.-V. 88.-P. 034102.

40. Yanchuk, S. Delay and periodicity / S. Yanchuk and P. Perlikowsky // Physical Review E.-2009.-V. 79.-P. 046221.

41. Ramana Reddy, D.V. Dynamics of a limit cycle oscillator under time delayed linear and nonlinear feedbacks / D.V. Ramana Reddy, A. Sen, G.L. Johnston // Physica D.-2000.-V. 144.-P. 335-357.

42. Рыскин, H.M. Сложная динамика простой модели автоколебательной системы с запаздыванием / Н.М. Рыскин, A.M. Шигаев // Журнал технической физики.-2002.-Т. 72.-Вып. 7.-С. 1-8.

43. Hinz, R.C. Transient behavior in systems with time-delayed feedback / R.C. Hinz, P. Hovell, E. Scholl // Chaos.-2011.-V.21.-P. 023114.

44. Григорьева, E.B. Мультистабильность и хаос в лазере с отрицательной обратной связью / Е.В. Григорьева, С.А. Кащенко, Н.А. Лойко, A.M. Самсон // Квантовая электроника.-1990.-Т.17.-№8.-С. 10231028.

45. Grigorieva, E.V. Nonlinear dynamics in a laser with a negative delayed feedback / E.V. Grigorieva, S.A. Kaschenko, N.A. Loiko, A.M. Samson // Physica D.-1992.-V. 59.-P. 297-319.

46. Grigorieva, E.V. Regular and chaotic pulsations in laser diode with delayed feedback / E.V. Grigorieva, S.A. Kaschenko // Bifurcations and chaos.-1993.-V. 6.-P. 1515-1528.

47. Григорьева, Е.В. Мультистабильность в модели лазера с большим запаздыванием / Е.В. Григорьева, И.С. Кащенко, С.А. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем.-2010.-Т. 17.-№ 2.-С. 17-27.

48. Кащенко, И.С. Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием / И.С. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики.-2008.-Т. 48.-№ 12.-С. 2141-2150.

49. Глазков, Д.В. Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием в окрестности автомодельного цикла / Д.В. Глазков, С.А. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем.-2010.-Т. 17.-№ З.-С. 38-47.

50. Кащенко, И.С. Нормализация в системе с двумя близкими большими запаздываниями / И.С. Кащенко // Нелинейная динамика.-2010.-Т. 6.-№ 1.-С. 169-180.

51. Кащенко, А.А. Устойчивость простейших периодических решений в уравнении Стюарта — Ландау с большим запаздыванием / А.А. Кащенко // Моделирование и анализ информационных систем.-2012,-Т. 19.-№ З.-С. 136-141.

52. Wolfrum, М. Eckhaus instability in systems with large delay / M. Wolfrum, S. Yanchuk // Physical Review E.-2006.-V. 96.-P. 220201.

53. Heil, T. Delay dynamics of semiconductor lasers with short external cavities: Bifurcation scenarios and mechanisms / T. Heil, T. Fischer, W. Elsaber, B. Krauskopf, K. Green, and A. Gavrielides // Physical Review E.-2003.-V. 67,-Issue 6.-P. 066214.

54. Ruiz-Oliveras, F.R. Synchronization of semiconductor lasers with coexisting attractors / F.R. Ruiz-Oliveras, A.N. Pisarchick // Physical Review E.-2009.-V. 79.-P. 016202.

55. Hamdi, M. Control of bistability in a delayed Duffing oscillator / M. Hamdi, M. Belhaq // Advances in Acoustics and Vibration.-2012.-V.

2012.-P. 1-5.

56. Song, Z. Stability switches and multistability coexistance in a delay-coupled neural oscillators system / Z. Song, J. Xu // Journal of Theoretical Biology.-2012.-V. 313.-P. 98-114.

57. Williams, C.R.S. Synchronizations states and multistability in a ring of periodic oscillators: Experimentally variable coupling strength delays / C.R.S. Williams, F. Sorrentino, T.E. Murphy, R. Rajarshi // Chaos.-

2013.-V. 23.-P. 043117.

58. Shayer, L.P. Stability, bifurcation and multistability in a system of two coupled neurons with multiple time delays / L.P. Shayer, S.A. Campbell // Journal of Applied Mathematics.-2000.-V. 61.-P. 673-700.

59. Du, Y. Multistability and multiperiodicity for a general class of delayed Coned-Grossberg neural networks with discontinuous activation functions / Y. Du, Y. Li, R. Xu / Discrete Dynamics in Nature and Society.-2013.-V. 2013.-P. 917835.

60. Hizanidis, J. Delay-induced multistability near a global bifurcation / J. Hizanidis, R. Aust, E. Scholl // International Journal of Bifurcation and Chaos.-2008.-V. 18.-P. 1759-1765.

61. Song, Y. Hopf bifurcation and spatio-temporal patterns in delay-coupled van der Pol oscillators / Y. Song // Nonlinear Dynamics.-2011.-V. 63.-P. 223-237.

62. Sethia, G.C. Existence and stability of traveling-wave states in a ring of nonlocally coupled phase oscillators with propagation delays / G.C. Sethia and A. Sen // Physical Review E.-2011.-V. 84.-P. 066203

63. Erneux, T. Limit-cycle oscillators subject to a delayed feedback / T. Erneux, J. Grasman // Physical Review E.-2008.-V. 78.-P. 026209.

64. Dodla, R. Phase-locked patterns and amplitude death in a ring of delay-coupled limit cycle oscillators / R. Dodla, A. Sen and G.L. Johnston // Physical Review E.-2004.-V. 69.-P. 056217.

65. Loose, A. Tristability of a semiconductor laser due to time-delayed optical feedback / A. Loose, B.K. Goswami, H.-J. Wünsche and F. Henneberg // Physical Review E.-2009.-V. 79.-P. 036211.

66. Wirkus, S. The Dynamics of Two Coupled van der Pol Oscillators with Delay Coupling / S. Wirkus, R. Rand // Nonlinear Dynamics.-2002.-V. 30.-P. 205-221.

67. Shuster, H.G. Mutual entrainment of two limit cycle oscillators with time delayed coupling / H.G. Shuster, P. Wagner // Progress of Theoretical Physics.-1989.-V. 81.-P. 939-945.

68. Ramana Reddy, D. V. Time delay induced death in coupled limit cycle oscillators / D.V. Ramana Reddy, A. Sen, and G. Johnston // Physical Review Letters.-1998.-V. 80.-№ 23.-P. 5109-5112.

69. Ramana Reddy, D. V. Time delay effects on coupled limit cycle oscillators at Hopf bifurcation / D.V. Ramana Reddy, A. Sen, G. Johnston // Physica D.-1999.-V. 129.-P. 15-34.

70. Atay, F.M. Distributed delays facilitate amplitude death of coupled oscillators / F.M. Atay // Physical Review Letters.-2003.-V.-P. 094101.

71. Ramana Reddy, D. V. Experimental evidence of time-delay-induced death in coupled limit-cycle oscillators / D.V. Ramana Reddy, A. Sen, G. Johnston // Physical Review Letters.-2000.-V. 85.-P. 3381.

72. Yeung, M.K.S. Time delay in the Kuramoto model of coupled oscillators / M.K.S. Yeung, S.H. Strogatz // Physical Review Letters.-1999.-V. 82.-P. 648-651.

73. Bestehorn, M. Order parameters for class-B lasers with a long time-delayed feedback/ M. Bestehorn, E.V. Grigorieva, H. Haken, S.A. Kashenko // Physica D.-2000.-V. 145.-P. 110-129.

74. Usacheva, S.A. Phase locking of two limit cycle oscillators with delay coupling / S.A. Usacheva and N.M. Ryskin // Chaos.-2014.-V. 24.-P. 023123.

75. Рыскин, H.M. Синхронизация периодических колебаний автогенератора с запаздыванием внешним гармоническим сигналом / Н.М. Рыскин, С.А. Усачева // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика.-2009.-Т. 17.-№1.-С. 3-12.

76. Емельянов, В.В. Подавление автомодуляции в генераторе с запаздыванием при помощи методики управления хаосом / В.В. Емельянов, Н.М. Рыскин, О.С. Хаврошин // Радиотехника и электроника.-2009.-Т.54.-№6.-С. 719-725.

77. Кащенко, С.А. Об одном дифференциально-разностном уравнении, моделирующем импульсную активность нейрона / С.А. Кащенко, В.В. Майоров // Математическое моделирование.-1993.-Т. 5.-№ 12.-С. 13-25.

78. Ризниченко, Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии / Г.Ю. Ризниченко.-Москва- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.-184 с.

79. Gaudreault, М. Bifurcation threshold of the delayed van der Pol oscillator under stochastic modulation / M. Gaudreault, F. Drolet, and J. Vinals // Physical Review E.-2012.-V.85.-P. 056214.

80. Sah, S. Effect of vertical high-frequency parametric excitation on self-excited motion in a delayed van der Pol oscillator / S. Sah, M. Belhaq // Chaos, Solitons and Fractals.-2006.-V. 37.-Pp. 1489-1496.

81. Janson, N. В. Delayed feedback as a means of control of noiseinduced motion / N.B. Janson, A.G. Balanov, E. Scholl // Physical Review Letters.-2004.-V. 93.-P. 010601.

82. Maccari, A. The response of a parametrically excited van der Pol oscillator to a time delay state feedback / A. Maccari // Nonlinear Dynamics.-2001 .-V. 26.-P. 105-119.

83. Frigo, M. FFTW: An Adaptive Software Architecture for the FFT / M. Frigo and S.G. Johnson // Proceedings of the International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing.-1998.-V. 3.-P. 1381-1384.

84. Engelborghs, K. Numerical bifurcation analysis of delay differential equations using DDE-BIFTOOL / K. Engelborghs, T. Luzyanina, and D. Roose // ACM Transactions on Mathematical Software.-2002.-V. 28.-Issue l.-P. 1-21.

85. Ermentrout, B. Simulating, Analyzing, and Animating Dynamical systems. A Guide to XPPAUT for Researchers and Students / B. Ermentrout.-Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002,- 305 p.

86. Неймарк, Ю. И. D-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости линеаризованных распределенных систем) / Ю.И. Неймарк // Прикладная математика и механика.-1949.-Т. 13.-В. 4.

87. Van Tartwijk, G.H.M. Semiconductor lasers with optical injection and feedback / G.H.M. Van Tartwijk and D. Lenstra // Journal of Optics B: Quantum Semiclassical Optics.-1995.-Vol. 7.-Issue 2.-P. 87-143.

88. Van Tartwijk, G.H.M. Laser instabilities: a modern perspective / G.H.M. Van Tartwijk and G.P. Agrawal // Progress in Quantum Electronics.-1998.-V. 22.-P. 22-43.

89. Lang, R. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties / R. Lang and K. Kobayshi // IEEE Journal of Quantum Electronics.-1980.-V. 16.-P. 347-355.

90. Erneux, T. Mechanism for period doubling bifurcation in a semiconductor laser subject to optical injection /T. Erneux, V. Kovanis, A. Gavrielides, P.M. Aising // Physical Review A.-1996.-V. 53.-Issue 6.-P. 4372-4380.

91. Flunkert, V. Bubbling in delay-coupled lasers / V. Flunkert, O. D'Huys, J. Danckaert, I. Fisher, and E. Schöll // Physical Review E.-2009.-V. 79.-P. 065201.

92. Tronciu, V. Z. Semiconductor laser under resonant feedback from a Fabry-Perot resonator: Stability of continuous-wave operation / V. Z. Tronciu, H.-J. Wünsche, M. Wolfrum and M. Radziunas // Physical Review E.-2006.-V. 73.-P. 046205.

93. Fiedler, B. Delay stabilization of rotating waves near fold bifurcation and application to all-optical control of a semiconductor laser / B. Fiedler, S. Yanchuk, V. Flunkert, P. Hövel, H.-J. Wünsche and E. Schüll // Physical Review E.-2008.-V. 77.-P. 066207.

94. Haegeman, B. Stability and rupture of bifurcation bridges in semiconductor lasers subject to optical feedback / B. Haegman, K. Engelborghs, D. Roose, D. Pieroux and T. Erneux // Physical Review E.-2002.-V. 66.-P. 046216.

95. Yanchuck, S. A multiple time scale approach to the stability of external cavity modes in the Lang-Kobayshi system using the limit of large delay / S. Yanchuck, M. Wolfrum // Journal on Applied Dynamical Systems.-2010.-V. 9.-№ 2.-P. 519-535.

96. Krauskopf, B. Symmetry properties of lasers subject to optical feedback / B. Krauskopf, G.H.M. Van Tartwijk and G.R. Gray // Optics Communications.-2000.-V. 177.-P. 347-353.

97. Wolfrum, M. Instabilities of lasers with moderately delayed optical feedback / M. Wolfrum and D. Turaev // Optics Communications.-2002.-V. 212.-P. 127-138.

98. Kochkurov, L. Numerical modeling of terahertz generation via difference-frequency mixing in two-color laser / L. Kochkurov, M. Balakin, L. Melnikov, V. Astakhov // Proceeding of SPIE.-2013.-V.8699.-P. 869912.

99. Plusquellic, D. F. Applications of terahertz spectroscopy in biosystems / D. F. Plusquellic, K. Siegrist, E. J. Heilweil, and O. Esenturk // ChemPhysChem.-2007.-V. 8.-P. 2412-2431.

100. Zhu, B. Terahertz science and technology and applications / B. Zhu, Y. Chen, K. Deng, W. Hu, and Z.S. Yao // Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS) Conference Series.-2009.-P. 1166-1170.

101. Kulesa, C. Terahertz spectroscopy for astronomy: From comets to cosmology / C. Kulesa and S. Obs // IEEE Transactions on Terahertz Science and Technology.-201 l.-V. l.-P. 232-240.

102. Fitch, M. J. Terahertz waves for communications and sensing / M.J. Fitch and R. Osiander // Johns Hopkins Apl Technical Digest.-2004,-V. 25.-P. 348-355

103. Astakhov, V. Peculiarities of the transitions to synchronization in coupled systems with amplitude death / V. Astakhov, S. Koblyanskii, A. Shabunin, T. Kapitaniak // CHAOS.-2011 .-V. 21.-Issue 2. P. 023127.

Приложение А. Реализация модифицированного метода Рунге-Кутта 4 порядка в среде разработки MICROSOFT VISUAL STUDIO 2010

using System,

using System.Globalization, using System.10, using System.Text;

using System.Text.RegularExpressionsj

namespace RungeKuttaMethod {

public delegate RKM_2DPomt Denvative(RKM_2DPoint Current, RKM_2DPoint Delayed),

public struct RKM_2DPomt {

public RKM_2DPolnt(double x, double y)

this x = x; this.y = y;

public RKM_2DPoint(RKM_2DPoint p) this = p;

public Static RKM_2DPomt operator -(RKM_2DPOint rhs) return new RKM_2DPoint(-rhs x, -rhs y),

public static RKM_2DPcnnt operator +(RKM_2DPoint lhs, RKM_2DPoint rhs) return new RKM_2DPomt(lhs.x + rhs.x, lhs у + rhs.у);

public static RKM_2DPoint operator +(RKM_2DPoint lhs, double rhs) return new RKH_2DPolnt(lhs.x + rhs, lhs.у + rhs),

public static RKM_2DPoint operator +(double lhs, RKM_2DPoint rhs) return new RKM_2DPomt(lhs + rhs.x, lhs + rhs.y);

public static RKM_2DPoint operator -(RKM_2DPoint lhs, RKM_20Point rhs) {

return new RKM 2L)Point(lhs.x - rhs.x, lhs.y - rhs.y);

}

public static RKM_ZDPoint operator -(RKM_2DPomt lhs, double rhs) {

return new RKM_2DPoint(lhs.x - rhs, lhs.y - rhs);

}

public static RKM_2DPoint operator -(double lhs, RKM_7UPoint rhs) {

return new RKM 2DPoint(lhs - rhs.x, lhs - rhs.y);

}

public static RKM_2DPoint operator *(RKM_2DPoint lhs, RKM_2DPoint rhs) {

return new RKM_2DPomt(lhs.x * rhs.x, lhs.y * rhs.y);

}

public static RKM_2DPoint operator *(RKM_2DPoint lhs, double rhs) {

return new RKM_2DPoint(lhs.x * rhs, lhs.y * rhs);

}

public static RKM_2DPoint operator »(double lhs, RkM_ZDPoint rhs) {

return new RKM_2DPoint(lhs * rhs.x, lhs * rhs.y);

}

public static RKM_2DPomt operator /(RKM_2DPoint lhs, RKM_2DPoint rhs) {

return new RKM_2DPoint(lhs.x / rhs.x, lhs.y / rhs.y);

>

public static RKM_2DPoint operator /(RKK_2DPoint lhs, double rhs) {

return new RKM_2DPomt(lhs .x / rhs, lhs.y / rhs);

}

public static RKM_2DPoint operator /(double lhs, RKM_2DPoint rhs) {

return new RKM_2DPomt(lhs / rhs.x, lhs / rhs.y);

>

public override string ToString() {

return (new StringBuilderQ) .Append(this.x) •Append("\t") •Append(this.y) .ToString(),

}

public double x; public double y;

}

public sealed class RKM_2DProcessor {

public RKM_2DProcessor(Derivative function,

RKM_2DPoint current, RKM_2DPoint[] buffer, double h, double delay, double forecastDelay)

{

this.function = function;

this.current = current;

this.h = h;

this.buffer - buffer;

this.currentPointer - 0;

this.delayPointer = forecastDelay > delay

>

? (int)(forecastDelay / h) - (int)(delay / h) : 0;

if (this.delayPointer -= this.buffer.Length) this.delayPointer = 9,

}

public void Step() {

RKM_2DPoint kl = this.h *

function(this.current, this.buffer[this.delayPointer]); RKM_2DPoint k2 = this.h * function(this.current + kl / 2.0,

this.buffer[this.delayPointer]); RKM_2DPomt k3 = this.h * function(this.current + k2 / 2.0,

this.buffer[this.delayPointer]); RKM_2DPoint k4 = this.h *

function(this.current + k3, this.bufferfthis.delayPointer]); this.current += (kl + 2.9 * k2 + 2.0 * k3 + k4) / 6.0; this.buffer[this.CurrentPointer] - this.current;

this.currentPointer « (this.currcntPointer + 1) == this.buffer.Length > 0

this.currentPointer + 1, this.delayPointer = (this.delayPointer + 1) « this.buffer.Length > 0

: this.delayPointer + 1;

}

private Derivative function;

public RKM_2DPoint Current {

get {

return this.current;

>

>

public int CurrentPointer {

get {

return this.currentPointer,

}

>

private RKM_2DPomt [ ] buffer; private int CurrentPointer; private int delayPointer; private RKM_2DPomt current; private double h;

public static class Solver {

public static void Main() i

SetTask();

SolveTask();

GetResults(),

>

private static void 5etTask() {

using (StreamRrader source = File.OpenText("parameters.txt")) {

string inputData = source.ReadLine(); if (inputData »= null) throw new rxception(

"invalid data file: file is incomplete"); lambda » inputData.GetDoubleParameter("lambda'); inputData = source.ReadLine();

if (inputData " null) throw new Exception(

invalid data file file is incomplete'); epsilon = inputData.GetDoubleParameter("epsilon'); inputData = source.ReadLme(), if (inputData == null) throw new Excpption(

"invalid data file, file is incomplete"); delay » inputData.GetDoubleParameter( 'delay'), inputData = source.ReadLine(); inputData = source.ReadLine(); if (InputData == null) throw new Exception(

"invalid data file: file is incomplete'); imtialX = inputData.GetDoubleParameter("initial x value"), inputData = source.ReadLine() ; if (inputData == null) throw new Exception(

"invalid data file: file is incomplete"), initialY = inputData.GetDoubleParameter("initial y value"); inputData = source.ReadLine(); inputData = source.ReadLine(); if (inputData == null) throw new Exception(

'invalid data file, file is incomplete"); step = inputData.GetDoubleParameter("step"); inputData - source.ReadLine(); if (inputData == null) throw new Exccption(

"invalid data file- file is incomplete'); N = inputData.GetIntParameter('N ), inputData = source.ReadLine(); if (inputData == null) throw new Exception(

"invalid data file file is incomplete"); }_max = inputData.GetIntParameter("3_max'); inputData = source.ReadLine(); if (inputData == null) throw new Cxccption(

'invalid data file file is incomplete"); Rest = inputData.GetIntParameter('Rest"), inputData = source.ReadLine(); inputData = source.ReadLine(); if (inputData == null) throw new Exception(

'invalid data file, file is incomplete"); forecastDelay = inputData.GetDoubleParameter("forecast delay"); inputData ■ source.ReadLine(); inputData = source.ReadLine(), if (inputData == null) throw new Exception(

"invalid data file file is incomplete'), int count = inputData.GetIntParameter(

"delayed x-y values buffer capacity"), inputData » source.ReadLine(), n = (int)(forecastDelay / step),

if ((delay == 0) && (forecastDelay == 9)) {

delayBuffer = new FKM_2DPoint[l];

}

else {

delayBuffer = new RKM_2DPoint[(int)(( forecastDelay > delay ? forecastDelay : delay) / step)],

>

int 1-0,

for (; i < count - delayBuffer.Length; i++) inputData = source.ReadLine();

for (1 = 0; 1 < delayBuffer.Length - count, i++) delayBuffer[i] = new RKM_2DPoint(0.0, 0.0);

for (, i < delayBuffer Length, i++) {

inputData = source.ReadLine(), if (inputData == null)

throw new Exc<>ption("invalid data file: ' + "unproper delayed x-y values count"); delayBuffer[i] = inputData .Get2DPomt(),

}

results - new RKM_2DPoint[N]; Derivative function;

if (delay « 0.0) {

function =

(RKM_2DPoint current, RKM_2DPomt delayed) => new RKM_2DPomt(current y,

-lambda * current.y - current.x + current y *

(epsilon - current.x * current.x));

>

else {

function =

(RKM_2DPoint current, RKf1_2DPomt delayed) => new RKM_2DPomt(current.y,

-lambda * current.y - current.x + delayed.y *

(epsilon - delayed.x * delayed.x)),

}

processor = new RKM_2DProclssoi ( function,

new RKM_2DPomt(imtialX, mitialY),

delayBuffer,

step,

delay,

forecastDelay);

}

}

private static void SolveTask() {

for (int i = 0, i < Rest; i++)

for (int j = 0, ] < ]_max, ]++) processor Step(),

for (int i = 0, l < N, i++) {

for (int j = 0, j < J_max, ]++)

processor Step(), resultsfi] = processor.Current,

>

pointer » processor.CurrentPointer,

private static void GetResultsQ {

/* output data format* currentX currenLY */

using (StreamWritpr saver = Flip CreateText(Vesults.txt")) {

for (int l « 0, i < N; i++)

saver.WriteLine(results[l]),

}

using (StreamWriter source = Tile CreateTextCparameters.txt")) {

source.WriteLine((new StrlngBuildet()) Append( lambda \t\t\t\t\t ) .Append(lambda) .ToStringQ), source.WriteLine((new StringBuilderQ)

.Append("epsilon:\t\t\t\t") .Append(epsilon) .ToStringO); source.WriteLine((new StringBuilder()) .Append("delay:\t\t\t\t\t") .Append(delay) .ToStringO); source.WriteLine();

source.WriteLine((new StringBuilder()) .Append("initial x value:\t\t\t") .Append(results[results.Length - l].x) .ToStringO); source.WriteLine((new StringBuilder()) .Append("initial y value:\t\t\t") .Append(results[results.Length - l].y) .ToStringO); source.WriteLine();

source.WriteLine((new StringBuilder()) .Append("step:\t\t\t\t\t") •Append(step)

• ToStringO );

source.WriteLine((new StringBuilder()) .Append("N:\t\t\t\t\t") •Append(N)

• ToStringO);

source.WriteLine((new StringBuilder()) .Append("3_max:\t\t\t\t\t") .Append(]_max)

• ToStringO);

source.WriteLine((new StringBuilder()) .Append("Re st:\t\t\t\t\t") .Append(Rest)

• ToStringO); SDurce.WriteLine();

Source.WriteLine((new StringBuilder()) .Append("forecast delay:\t\t\t\t") .Append(forecastDelay) .ToStringO); source.WriteLine();

source.WriteLine((new StringBuilder())

•Append("delayed x-y values buffer capacity:\t") .Append(n)

• ToStringO); source.WriteLine();

for (int i = 0; i < n; i++) {

source.WriteLine(delayBuffer[pointer]); pointer = (pointer + 1) == delayBuffer.Length ? 0

: pointer + 1;

>

}

}

private static RKM_2DProcessor processor; private static RKM_2DPoint[] results;

private static double lambda; private static double epsilon; private static double delay;

private static double initialX; private static double initialY;

private static double step; private static int N; private static int D_max; private static int Rest;

private static double forecastDelay;

private static RKM_2DPoint[] delayBuffer; private static int pointer; private static int n;

public static class DataAnalyser {

static DataAnalyser()

{

nfi - new NumberFormatlnfo(); nfi.NumberDecimalDigits = 15; nfi.NumberGroupSeparator = " "; string pointPattern =

g"(?x)A(\s*(?<x>-?(?([.J])[.J]\d+|\d+(?([.J])[.J]\d*)) (?([Ee])[Ee][+-]\d+))

\s+(?<y>-?(?([., ])[.,]\d+|\d+(?([.,])[.,]\d*)) (?([Ee])[Ee][+-]\d+))\s*)$"; pointRegex = new Regex(pointPattern);

}

public static double GetDoubleParameter(this string data, string parameterName)

{

string parameterPattern = (new StringBuilder()) •Append("*(") ■Append(parameterName) • Append((8":\s*(?<value>")

•Append(@"-?(?([.,])[.,J\d+[\d+(?([.,])[.,]\d*))") .Append(@"(?([Ee])[Ee][+-]\d+))\s*)$") •ToString();

Regrx parameterRegex = new Regex(parameterPattern); Match parameterMatch = parameterRegex.Match(data);

if (parameterMatch.Success) {

return parameterMatch.Groups["value"].Value .GetDoubleValueQ;

}

else {

throw new Exception((new 5tringBuilder())

.Append("invalid data file: unable to read parameter \"") .Append(parameterName) . Append ( "" ) .ToStringO);

}

}

public static int GetIntParameter(this string data, string parameterName)

{

string parameterPattern = (new StringBuilder()) -Append(""(") .Append(parameterName) .Append(g":\s*(?<value>\d+)\s*)$") .ToStringO;

Regex parameterRegex = new Regex(parameterPattern); Match parameterMatch = parameterRegex.Match(data);

if (parameterMatch.Success) {

return Convert.ToInt32(parameterMatch.Groups["value"]-Value);

}

else {

throw new Exception((new StringBuilder())

.Append("invalid data file: unable to read parameter \"") .Append(parameterName) . Append ( "" ) .ToStringO);

}

}

public static P,KM_2DPoirst Get2DPoint(this string data) {

Match pointMatch = pointRegex.Match(data);

if (pointMatch.Success)

{

return new RKM_2DPoint(

pointMatch.Groups["x"].Value.GetDoubleValue(), pointMatch.Groups["y"]-Value.GetDoubleValue());

}

else

{

throw new Exception((new StnngBuilder())

.Append("invalid data file: unable to read x-y point") .ToStringQ);

}

}

private static double GetDoubleValue(this string s) {

double value;

try {

value = Convert.ToDouble(Sj nfi);

>

catch (rormatException) {

nfi.NumberDecimalSeparator = " value - Convert.ToDouble(s, nfi) nfi,NumberDecimalSeparator = "

}

return value;

}

private static Numberrurmatlnfo nfi; private static Regex pointRegex;