Применение локальных методов в исследовании колебательных решений некоторых уравнений с запаздывающим аргументом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Коверга, Александр Юрьевич

• Коверга, Александр Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коверга, Александр Юрьевич

Содержание

Введение

1. Некоторые особенности поведения решений системы уравнений Ланга-Кобаяши

1.1. Постановка задачи

1.2. Исследование устойчивости стационарного решения

1.3. Построение нормальной формы уравнений траекторий на интегральном многообразии

2. Параметрическое возбуждение хаотических колебаний в одном дифференциальном уравнении второго

порядка с запаздывающим аргументом

2.1. Постановка задачи

2.2. Анализ линейной части

2.3. Построение нормальной формы уравнения

2.4. Анализ нормальной формы уравнения

2.5. Хаотические колебания генератора электромагнитных колебаний

3. Нелинейные колебания одной распределенной динамической системы

с бесконечным запаздыванием

3.1. Постановка задачи

3.2. Анализ линейной части

3.3. Построение нормальной формы

3.4. Численный анализ

4. Некоторые вопросы колебаний ротора из материала

с нелинейно наследственными свойствами

4.1. Постановка задачи

4.2. Анализ устойчивости нулевого решения уравнения

4.3. Построение нормальной формы

4.4. Анализ нормальной формы краевой задачи

4.5. Случай невырожденного параметрического резонанса

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение локальных методов в исследовании колебательных решений некоторых уравнений с запаздывающим аргументом»

Введение

Диссертация посвящена исследованию установившихся колебательных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, возникающих при изучении прикладных задач. Изучаются установившиеся решения бифурцирующие из состояния равновесия при изменении параметров уравнения. В качестве основного метода исследования используется метод интегральных (инвариантных) многоообразий, позволяющий сводить изучение поведения установившихся решений исходного уравнения (системы уравнений) с бесконечномерным фазовым пространством к исследованию поведения решений на критическом инвариантном конечномерном многообразии. Поведение решений на критическом инвариантном многообразии может быть описано некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений может быть построена в нормализованном виде и носит название нормальной формы исходного дифференциального уравнения. Установившиеся решения нормальной формы во многом определяют установившиеся решения исходного уравнения с начальными условиями из некоторой фиксированной окрестности изучаемого состояния равновесия.

Указанный подход в исследовании уравнений с запаздывающим аргументом стал возможен в связи с построением теории инвариантных (центральных) многообразий для полугрупп нелинейных ограниченных операторов в банаховом пространстве, позволяющей сформулировать принцип сведения в исследовании нелинейных дифференциальных уравнений. Понятие инвариантного многообразия было введено А. Пуанкаре [1] при изучении отображений, порождаемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Принцип сведения использовал А.М. Ляпунов [2] при изучении устойчивости решений в критических случаях, хотя понятие инвариантного многообразия он не использовал. Различные вопросы теории инвариантных многообразий и принципа сведения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривали Д.В. Аносов [3], В.А. Плисс [4], S. Sternberg [5], A. Kelley [6], Ю.Н. Бибиков [7-10], Дж. Хейл [11].

Эти результаты систематизированы в монографиях Ф. Хартмана [12], Ю.А. Мит-ропольского и О.Б. Лыковой [13], а также А.М. Самойленко [14] во введении которой имеется достаточно подробный обзор по указанной тематике.

Начиная с 70-х годов, вопросы, связанные с изучением инвариантных многообразий, получили свое дальнейшее развитие в связи с распространением полученных ранее

результатов на динамические системы с бесконечномерным фазовым пространством (банаховым, гильбертовым). Это было связано с запросами качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, вызванные необходимостью исследования устойчивости стационарных решений, обобщением бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа на соответствующие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим значительный интерес представляло построение теории инвариантных многообразий для полугрупп нелинейных ограниченных операторов, действующих в банаховых и гильбертовых пространствах. Этому посвящены работы А.Н. Куликова [15-17], M. Hirch, C. Pugh [18]. Систематизированное изложение данных вопросов можно найти в монографиях Дж. Марсдена, М. Мак-Кракена [19], Д. Хенри [20], Б. Хэссарда, Н. Казаринова, И. Вэна [21]. Там же можно найти многочисленные приложения указанной теории.

Метод построение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение траекторий на критическом инвариантном многообразии (нормальной формы) для уравнений с запаздывающим аргументом был впервые предложен Ю.С. Колесовым [22]. Построение ведется в амплитудной форме (полярных координатах). В работе Е.П. Кубышкина [23] предложен более удобный способ построения нормальных форм уравнений с запаздывающим аргументом. Этот метод также использовался в работе С.Д. Глызина, Е.П. Кубышкина [24]. С различных позиций в квазилинейной постановке колебательные решения уравнений с запаздывающим аргументом изучались в работах А.Д. Мышкиса [25-27], С.Н. Шиманова [28], В.П. Рубаника [29], В.Н. Фодчука [30]. В диссертации сформулированные подходы применяются для изучения поведения колебательных решений некоторых дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Остановимся коротко на структуре диссертации.

В первой главе работы исследуется математическая модель Ланга-Кобаяши полупроводникового лазера с запаздывающей обратной связью. Она представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом следующего вида

E = k( 1 + ia)(N - 1 )E + yexp(-i0o)E(t - т), (0.1)

NV= -Y||(N -J + |E |2N). (0.2)

Здесь E(t) = Ex(t) + iEy(t), i = л/—1 - комплексная переменная, описывающая электромагнитное поле, N(t) - плотность носителей зарядов, J - ток накачки, k - ко-

эффициент затухания колебаний, 1/7ц - время спонтанной эмиссии, а - коэффициент, характеризующий лазер, 7 - процент отраженного излучения, ф0 - фазовый сдвиг излучения, т - величина запаздывания, равная времени, которое необходимо излучению, чтобы достичь зеркала и вернуться обратно.

Изучаются автоколебательные решения системы уравнений (0.1)-(0.2), бифурци-рующие из состояния равновесия

Е (¿) = 0, N (¿) = а (0.3)

при изменении параметров системы уравнений.

Характеристическое уравнение линеаризованной на (0.3) системы уравнений имеет

вид

Л - А(1 + га) - 7ехр(-Лт - гфо) = 0, А = к(а - 1). (0.4)

Расположение корней характеристического уравнения исследуются методом Т>-разбиений [31]. Потеря устойчивости состояния равновесия (0.3) может происходить с прохождением одного (га1), либо двух (га1, го2, < |о"21) корней характеристического уравнения (0.3) через мнимую ось комплексной плоскости. При этом оказывается, что резонансного соотношения |а2|/|а1| = 1 реализовано быть не может.

Изучается характер колебательных решений системы уравнений (0.1)-(0.2), бифур-цирующих из (0.3) в случае потери устойчивости, связанной с прохождением двух корней характеристического уравнения (0.4) через мнимую ось комплексной плоскости. В этом случае поведение решений системы уравнений (0.1)-(0.2) в окрестности состояния равновесия (0.3) определяется следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений

¿1 = (г<71 + еЛ^)^ + (с?ц12 + (¿12|г2|2)<г:1 + ... = ^(¿ь г2, г2; е), (0.5)

¿2 = (гст2 + еЛ^1))г2 + (^211^112 + (122№)г2 + ... = г2{гъ г2, г2; е), (0.6)

коэффициенты которой эффективно вычисляются, е - малый параметр.

В диссертации выполнен анализ поведения решений системы уравнений (0.5)-(0.6), установлена взаимосвязь между решениями уравнений (0.5)-(0.6) и системы уравнений (0.1)-(0.2), построены асимптотические (по е) формулы для периодических и инвариантных торов системы уравнений (0.1)-(0.2).

Во второй главе рассматривается задача параметрического возбуждения хаотических колебаний в дифференциальном уравнении второго порядка с запаздывающим

аргументом следующего вида

X + AX + x + [B + G(x, X, x(t - h(t)), X(t - h(t))] ¿b(t - h(t)) = 0, (0.7)

где h(t) = h + a • sin(wt); A, B, h, a, w - положительные параметры (h > a), G(xi, X2, X3, X4) = giXi + g2X2 + g3X3 + g4X4 + gllX^ + gl2XiX2 + ...

достаточно гладкая нелинейная функция.

Уравнения вида (0.7) возникают при моделировании электронных устройств с активными нелинейными элементами и запаздывающей обратной связью.

Изучается возможность возбуждения за счет периодического изменения запаздывания сложных, в том числе хаотических колебаний. При этом предполагается, что при a = 0 нулевое решение уравнения (0.7) асимптотически устойчиво.

Положим a = 0 и рассмотрим характеристическое уравнение линейной части уравнения (0.7)

P (Л) = Л2 + АЛ +1 + B exp(-Ah) = 0. (0.8)

Анализ расположения корней (0.8) проводится методом D-разбиений, из которого следует, что при определенных значениях параметров уравнение может иметь корни ±ioj, (oj > 0, j = 1, 2). При этом остальные корни имеют отрицательные вещественные части. При этом оказывается, что при А = А0 = Уб/б, в = в0 = Уб/з, h = h0 = 47гл/2/3 уравнение (0.8) имеет корни ±z<7i = ±г\/2/2, ±г<т2 = ±г\/2, т.е. имеет место внутренний резонанс 1:2. Указанный случай рассматривается во второй главе.

Положим А = А0 + еА1, B = B0 + eB1, h = h0 + eh1, и a = ea1, и выберем w = o1 + o2 + e#, ($ - расстройка резонанса).

Таким образом рассматривается случай комбинационного параметрического резонанса в нелинейной постановке при наличии внутреннего резонанса 1 : 2.

Уравнение (0.7) имеет в окрестности нуля фазового пространства C(—h(t, e), 0) ф C(—h(t, e), 0) четырехмерное 2n/w периодическое локальное асимптотически устойчивое гладкое интегральное многообразие поведение решений на котором определяет поведение решений уравнения (0.7) из некоторого фиксированного шара с центром в нуле фазового пространства. Поведение решений на интегральном многообразии определяется поведением решений следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений

¿1 = (i01 + Л1е + dn|z112 + d12 |Z2 12)z1 + 61Z1Z2 + ec1^2 exp(ir) + ... =

= Zl(u}t,z г2, г2; е), (т = и;£), (0.9)

-¿2 = (¿02 + А^е + 12 + ^22 |12)+ 62¿2 + ехр(гт) + ... =

= г2(и,г1,г2,г1,г2-,£), = е = 1,2). (0.10)

В (0.9)-(0.10) точками обозначены слагаемые, имеющие по соответствующим переменным более высокий порядок малости. В явном виде приведены лишь „главные" слагаемые разложений.

Комплексные коэффициенты системы эффективно вычисляются. Рассмотрим линейную часть уравнений (0.9)-(0.10). Обозначим А] = т| + ¿а] и выберем А1,В1,^1 таким образом, чтобы т] < 0 = 1, 2). Как следует из результатов работы [32] в этом случае в плоскости параметров (ш,е) существует область параметрического (комбинационного) резонанса определяемая неравенством

е^(1)(а1) + о(е) < а1 + а2 - ш < е^(2)(а1) + о(е), (0.11)

где

б(1)Ы = [(^2 - т1) 1т(с1с2) + (т1 + т^л/в] 1(2т\т\) + а\ - а12, ¿(2)Ы = [(г,1 - т1) 1т(с1с2) - (т! + г,1)у/в] /(2тЫ) + ^ "

а

В = 1т2(с1 С2) + Ие^) - 4(т1 т1)2.

В условиях (0.11) исследуется поведение решений системы уравнений (0.9)-(0.10). Положим в (0.9)-(0.10) = е1/2р^- ехр(гт), р^- > 0, = 1, 2),£ ^ е-4 считая при этом д ^ = е1/2дз, (] = 1,... , 4), и выделим главную часть уравнений „медленных" переменных р1 ,р2, в1 = — Т1 — т2, в2 = 2т1 — т2. Сделаем это для конкретных значений параметров: дЗ = 22, 0; дЗ = 23, 0; дЗ = 55, 0; д4 = 6, 0; д33 = —1, 8. Остальные = 0, к = 1,..., 4). Нормируем р.,- ^ р.,- (т^/а^ )1/2, (а^- > 0). Выбрав теперь А1, В1, таким образом, чтобы т1 = т2 = 1, = а1, получим систему уравнений

р1 = (—1 — Р2 + а12р2)р1 + С1 С0в(©1 + 71)р2 + 61 С08(—©2 + &)Р1 Р2, (0.12)

р2 = ( — 1 + а21 Р2 — Р2)Р2 + С2 С0в(©1 + 72)Р1 + 62 С0в(©2 + в2)р1, (0.13)

© 1 = ¿1 — 611Р2 + 612Р2 — С1 в1п(©1 + 71)Р2/Р1 — — С2 Б1п(©1 + 72)р1/р2 — 61 в1п( —©2 + в1)Р2 — 62 вт(©2 + в)р1 /Р2, (0.14)

© 2 = ¿2 + 621Р2 + 622 Р2 + 2С1 Б1п(©1 + 71)Р2 /Р1 —

-С2 sin(6i + Y2)pi/p2 + 2bi sin( ©2 + ei)P2 - 62 sin(©2 + ^2)P?/P2, (0.15)

в которой a12 = -5.69; a21 = -0.705; 61 = 8.17; 62 = 4.39; c1 = a1 ■ 0.3; c2 = a1 ■ 0.014; bii = 0.138; 612 = 0.527; 621 = 0.454; 622 = 0.367; 71 = -0.222; 72 = 0.322.

Параметры и - характеризуют, соответственно, расстройку параметрического возбуждения и расстройку внутреннего резонанса. Это свободные параметры. Таким образом система зависит от трех параметров - $1, и а1.

Приведем некоторые результаты численного исследования системы (0.12)-(0.15). Система численно анализировалась с использованием программы Tracer [33]. В рассматриваемом случае область параметрического резонанса в плоскости ($1, а1) симметрична относительно оси а1. Она определяется функциями 7(1) (а1) и 7(2)(а1), приведенными в (0,11). Положим 61 = 62 = 0, т.е. исключим влияние внутреннего резонанса. Уравнения (0.12)-(0.13) в этом случае не зависят от ©2. При малых а1 и любых решения (0.12)-(0.13) стремятся к единственному состоянию равновесия pi = р2 = 0, ©1 = ©о. При увеличении а1 и переходе границы области параметрического резонанса от указанного состояния равновесия ответвляется асимптотически устойчивое состояние равновесия вида p10 > 0, p20 > 0, ©0. Дальнейшее увеличение а1 приводит к увеличению p10,p20. Отметим, что этому состоянию равновесия в уравнении (0.7) отвечает асимптотически устойчивый инвариантный тор.

Пусть теперь 61,62 выбраны согласно (0.12)-(0.15). При а1,^1 принадлежащих области устойчивости и произвольном $2 все решения (0.12)-(0.15) по pi и p2 стремятся к нулю. При пересечении границы неустойчивости от нулевого решения ответвляется устойчивый цикл, размеры которого увеличиваются с ростом а1. При а1,$1 принадлежащих области параметрического резонанса возможно сложное поведение траекторий. Так, при а1 = 37.571, = 5.0 существует хаотический аттрактор. Значения его ляпу-новских показателей равны А1 ~ 0.02; Л2 = 0; A3 ~ -0.01; Л4 ~ -10.14, а ляпуновская размерность dL ~ 3.00.

Отметим, что в п. 2.5 диссертации рассмотрено приложение указанных результатов к исследованию работы одного генератора электромагнитных колебаний с запаздывающей обратной связью.

В третьей главе рассматривается математическая модель идеального распределенного ротора постоянного сечения длины /, вращайщийся с постоянной угловой скоростью П, концы которого опираются на подшипники. Предполагается, что одна из опор ротора испытывает периодическое воздействие (вибрацию). Материал ротора считается

наследственно вязкоупругим и подчиненным следующей реологической модели вязко-упругого тела [34]:

a(t) = E f (є(і)) - R(t)f (e(t + t))dT

где o(t), e(t) соответственно напряжение и относительная деформация, E - модуль Юнга, R(t) - функция релаксации, f (е) = е + f3e3 + f5е5 + • •• , (fj > 0) нелинейная функция деформации. Относительно функции R(t) (—то < т < 0) предполагается выполнение следующих условий:

0

1 R(T)dT < 1,

d2

R{r) > 0, > °>

R(T) < Mo exp(7ot), (Mq,Yo > 0),T ^ -то.

(0.16)

Математической моделью рассматриваемой механической системы является сле-16

дующая краевая задача

д2и

dt2

+ а

ди

dt

2

ди д2 . dt ds2

д2и

ds2

22

д и ds2

- R(t )exp(-iQT )b

d2u(s,t + t )

ds2

d2u(s,t + r) ds2

dT = 0,

(0.17)

. du

= Ts

d2u 2 \ d2u

— - I Д(т)ехр(-гПт)6

ds2

(

= 0,

s=0

d2 u(s,t + t )

ds2

v1 exp(i^t + ¿71),

d2u(s,t + r)

ds2

dT

ds

d2u

ds2

d2u

ds2

- R(t )exp(-iQT )b

d2u(s, t + t)

ds2

<92w(s,i + r)

ds2

(0.18)

s=1

dT

V2 exp(i^t + ¿72),

(0.19)

s=1 (0.20)

где

tt(s, t) = t) + iuy(s, t),l = л/—T, 0 < Pl,P2 ^ 1, 0 < 7l, 72 < 27Г, UJ Є R.

Краевая задача приведена в безразмерных переменных

s = z/l, u = u'/l,t = t'/to, Q = Q'to, to = m1/2l2(EIo)-1/2

o

—x

—x

o

2

— x

2

b

o

2

2

—x

функции a(Z), b(Z) являются аналитическими в окрестности точки ( = 0 и имеют вид

а(() = ao + aiZ + ..., b(() = 1 + Ьг( + ....

Здесь u'(z, t') = u'x(z, t') + iu'y(z, t') смещения средней линии ротора в направлении осей OXи OY соответственно; ось OZ системы координат OXYZ, связанной с инер-циальным пространством, направлена вдоль средней оси недеформированного ротора; t' - время; m - погонная масса ротора; aj = l4—2jm1—j(EI0)j—1aj, bj = (I0l2j)-1Ijf2j+1; Ij = J x2^j+l1 dx1 = f y^j+l1 dy1 моменты инерции поперечного сечения ротора относительно одной из осей соответствующих порядков; функция a'(() = a'0 + a1Z + • • • (aj > 0) характеризует внешнее нелинейное трение; Vj, Yj (j = 1, 2) и ш характеризуют амплитуду, фазу и частоту внешних изгибающего момента и периодической силы.

Изучается возможность и условия возникновения в краевой задаче (0.17)-(0.20) хаотических колебаний (странных аттракторов).

Уравнение (0.17) является уравнением с бесконечным запаздыванием аргумента. Следуя [23] дается определение фазового пространства для краевой задачи (0.17)-(0.20), пространства начальных условий и понятие решения.

Положим сначала v1 = v2 = 0 и исследуем устойчивость нулевого решения краевой задачи (0.17)-(0.20). Показано, что устойчивость нулевого решения (0.17)-(0.20) определяется характером расположения корней последовательности характеристических уравнений

o

ln(A) = Л2 + aoA + шП(1 - J R(r) exp((A - %Ü)r)dr) = 0, (0.21)

—те

n = 1, 2,..., шп = вП, где вп - положительный корень уравнения chвп ■ cos вп + 1 = 0. При этом потеря устойчивости уравнения (0.21) происходит по соответствующей функции en(s) = wn(s)/\\wn(s)\\b2, Wn(s) = (shвп + sinвп)(сМвп«) - cos^s)) - (chвп + cos вп)^(вп$) - sinféns)).

Расположение корней удобно исследовать методом D-разбиений. Положив Л = га и выделив вещественную и мнимую части, имеем

-а2 + -Rc(a- Q)) = 0, a0 = "

а

где

те те

RC(а) = i R(-r)cos(ar)dr, RS(а) = / R(-r) sin(ar)dr, (0.22)

составляющие нормированного комплексного модуля упругости материала Е*(а) = (1 — Яс(а) + гЯя(а)), который определяется экспериментально.

Отметим, что согласно условию (0.16) при а > 0, 0 < Яс(а),Я^(а) < 1, Яс(а), Яз(а) ^ 0 при а ^ то. Потеря устойчивости решений может происходить по одному или по двум собственным функциям еп(з). В последнем случае каждая функция еп(з) имеет собственную частоту колебаний. Такой случай в дальнейшем и рассматривается.

Пусть теперь = 0. Точку пересечения кривых, исходящих из Оп0 и Оп+10

обозначим (ап, Оп), а соответствующие им значения а через ап и ап+1. Будем изучать поведение решений начально-краевой задачи (0.17)-(0.20) при изменении параметров в окрестности указанных точек. Введем для этого параметр 0 < е ^ 1 и положим

а = ап + ап1е, О = Оп + Оп1е, ^ = ^0е1/2, (] = 1, 2),

ш = ш0 + её = 2ап — ап+1 + е^1. (0.23)

Изучим характер установившихся колебательных решений краевой задачи (0.17)-(0.20) возникающих в окрестности нулевого решения при потере его устойчивости в предположениях (0.23). Краевая задача (0.17)-(0.20) имеет в окрестности нуля фазового пространства четырехмерное 2п/ш-периодическое локальное устойчивое гладкое интегральное многообразие, поведение решений на котором определяет поведение решений начально-краевой задачи (0.17)-(0.20). Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая поведение траекторий краевой задачи (0.17)-(0.20) на интегральном многообразии будет иметь вид

¿1 = (гап + е\1п + ¿п12 + ¿12\г2\2)г1 + £1/2щА{г1г2 ехр(г^) + ..., (0.24)

-¿2 = (¿ап+1 + е\1п+1 + ^21^1|2 + ^221^212)^2 + е1/2УоА2-2 ехр(—1шЬ) + ..., (0.25)

коэффициенты которой эффективно вычисляются через параметры краевой задачи (0.17)-(0.20).

В диссертации в качестве примера рассмотрено ядро вида

а(т)-а

Д(г) = р, ] , ехр(-г) (0<а<1) 1(1 — а)

где Г(1—а) - гамма функция Эйлера, (модифицированное ядро Абеля [34]). В результате будем иметь

а

= --г-т^- сов((1 - а) аг^(а)),

(1 + сг2) 2

а

= ---т^г 8т((1 - а) аг^(а)).

(1 + а2) —

Положим а = 0.84. Соответствующие значения параметра а равны а1 = 2.888 и а2 = 21.424.

Выберем = 1.2, an1 = 1.2, a1 = 0.1, 61 = 0.21. Считая v10 = v20 = v0, вычислим коэффициенты системы (0.24)-(0.25). В (0.24)-(0.25) положим Zj = e1^-exp(iTj), (p^ > 0,j = 1, 2), t ^ e-1t и выделим главную часть уравнений „медленных" переменных p1,p2, 0 = ^t - 2т! + т2. Пронормировав теперь p1 ^ 0.05 * p1,p2 ^ 0.02 * p2 получим следующую систему дифференциальных уравнений:

p1 = (3.94 - p1 - 1.25p2)p1 + 1.8v0p1p2 cos(0 - 0.46),

p2 = (4.7 - 1.41p1 - p2)p2 + 0.003v0p2 cos(—0 + 0.55), 0 = S + 2.28p2 + 1.93p2 - 3.6v0p2 sin(0 - 0.46) + 0.003v0p1/p2 sin(-0 + 0.55),

зависящую от двух параметров v0 и S.

Система численно анализировалась при разных значениях параметров y0 и S с использованием программы Tracer [33]. Система может иметь как устойчивые состояния равновесия, периодические решения, так и хаотические колебания. Так, при S = 2.1, изменяя v0 имеем следующую динамику. При v0 = 2.8 имеем устойчивое состояние равновесия с координатами p10 = 1.624, p20 = 0.991, 00 = 8.329. Затем из состояния равновесия при v0 = 3.25 происходит рождение цикла и далее при v0 = 4.73, v0 = 4.961, v0 = 4.997 происходит серия бифуркаций удвоения периода. В результате чего при v0 = 5.05 образуется хаотический аттрактор. Его ляпуновские показатели равны А1 ~ 0.38; А2 = 0; А3 ~ -7.195, а ляпуновская размерность dL ~ 2.053. При этом переменная 0 неограниченно возрастает при t ^ то.

В четвертой главе на примере одного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом изучается поведение решений нелинейной динамической системы в случае двухчастотного параметрического резонанса.

Рассматривается дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом

x(t) + x(t) + k/ (x(t - h(t, e))) = 0, (0.26)

где k > 0 некоторый параметр, / (x) = x + /2x2 + /3x3 + ..., |x| < x0 гладкая функция, h(t, e) = h(1 + ea1 cos(w1t + в1) + ea2 cos(w2t + в2)) - величина запаздывания аргумента, в которой h, , aj > 0; 0 < в < 2n, j = 1, 2; 0 < e ^ 1.

Изучается возможность и условия возникновения в уравнении (0.26) сложных, в том числе хаотических, колебательных решений, принадлежащих некоторой фиксиро-

ванной окрестности нулевого решения уравнения (0.26) и обусловленных двухчастот-ным изменением запаздывания малой амплитуды.

Положим в (0.26) а^ = 0 = 1, 2) и рассмотрим характеристическое уравнение линейной части уравнения (0.26)

Л + 1 + к ехр(—АЛ,) = 0. (0.27)

Выберем к = ко таким образом, чтобы уравнение (0.27) имело корни Л = ±гст0 (сто > 0), а остальные корни уравнения (0.27) при этом имеют отрицательные вещественные части. Положим к = к0 + и обозначим Л(е), Л(е), (Л(е) = гст0 + еЛ1 + ...) соответствующие корни уравнения (0.26). Считаем, что к1 < 0. При этом И,е Л1 < 0.

Пусть теперь а^ = 0 = 1, 2). Положим ш^- = 2ст0 + (8j ~ 1,^' = 1, 2). Таким образом рассматривается случай двухчастотного параметрического резонанса.

В сформулированных предположениях уравнение (0.26) имеет в окрестности нуля фазового пространства С(-Л(£,е), 0) локальное экспоненциально устойчивое интегральное многообразие, поведение решений на котором определяется поведением решений некоторой двумерной нелинейной периодической системы (нормальная форма уравнения (0.26)).

Приведем вид и численные результаты системы для конкретного значения параметров. Положим в (0.26) в = в2 = 0, Л = 3п/4, /2 = 0.1, /3 = -1, V =1, к1 = -1. При этом ко = у/2, Со = 1. В результате с учетом некоторых нормировок нормальная форма уравнения (0.26) примет вид

х = (-1 + 1.6826а1 + 1.6826а2 еов(;£))ж+

+ (-0.1906 + 1.6826а2 й1п(^))у + (х2 + у2)(-х + 7.343у), у = (1.6826а2 й1п(^) + 0.1906)х+ + (-1 - 1.6826а1 - 1.6826а2 еов(*))у + (х2 + у2)(-у - 7.343х).

Положим сначала параметр а2 = 0 и будем изменять параметр а1 от нуля в сторону возрастания. Это соответствует периодическому воздействию на систему. При а1 = 0.6069 нулевое состояние равновесия теряет устойчивость, из которого рождаются два ненулевых устойчивых состояния равновесия. Зафиксируем теперь а1 = 0.8488 и будем изменять а2. Из этих ненулевых состояний равновесия одновременно бифур-цируют при а2 = 4.244 • 10-3 два устойчивых цикла. Состояния равновесия при этом

теряют устойчивость. Дальнейшее увеличение параметра а2 приводит к увеличению амплитуды колебаний периодических решений.

При а2 = 1.1972 оба цикла теряют одновременно устойчивость, и неустойчивое многообразие первого цикла пересекается с устойчивым многообразием второго, и, наоборот, неустойчивое многообразие второго цикла пересекается с устойчивым многообразием первого. Это приводит к образованию странного аттрактора (хаотического режима). Для этого случая с помощью программы Tracer [33] были вычислены ляпу-новские показатели и ляпуновская размерность; Ai ~ 0.1932, \2 « -2.6211, dL ~ 1.073.

Дальнейшее увеличение параметр а2 приводит к исчезновению хаотического аттрактора и образованию периодического решения. Если теперь уменьшать а2, то отмеченный выше странный аттрактор возникает из периодического решения через серию бифуркаций удвоения периода.

Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1) Вторая Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2005;

2) Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-20), Ярославль, 2007;

3) Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна, Воронеж, 2008;

4) Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна, Воронеж, 2012;

5) Международная научная конференция, посвященная 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского гос. университета им. П.Г. Демидова, Ярославль, 2012.

По теме диссертации опубликовано 13 работ [35-47]: 5 статей и 8 тезисов докладов. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Коверга, Александр Юрьевич

Заключение

В работе исследованы условия возникновения периодических и двухчастотных решений системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом Ланга-Кобаяши, предложенной в качестве математической модели полупроводникового лазера. Построены асимптотические формулы указанных колебательных решений. Выявлены условия возникновения хаотических колебаний в нелинейном уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом, являющимся математической моделью генератора электромагнитных колебаний с элементом запаздывания в цепи обратной связи.

Исследована математическая модель динамики распределенного ротора из материала с нелинейно наследственными свойствами, одна из опор которого испытывает периодическое воздействие. Выявлены условия возникновения колебательных решений, в том числе и хаотических. Исследовано влияние двухчастотного параметрического воздействия на нелинейную динамическую систему, в случае основного параметрического резонанса. Выявлены условия генерации хаотичесих колебаний.

Наконец, для каждой из рассматриваемых в диссертации математических моделей построены асимптотические формулы полученных колебательных решений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коверга, Александр Юрьевич, 2012 год

Литература

1. Пуанкаре, А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре — М.-Л.: Гостехиздат, 1947. — 392 с.

2. Ляпунов, А.М. Общая задача об устойчивости движения / А.М. Ляпунов — М.-Л.: Гостехиздат, 1950. — 473 с.

3. Аносов, Д.В. Многомерный аналог одной теоремы Адамара / Д.В. Аносов // Науч. докл. высшей школы (физ.-мат. н.). — 1959. — №. 1. — С. 3-12.

4. Плисс, В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения / В.А. Плисс // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1964. — Т. 28, Вып. 6. — С. 1297-1324.

5. Sternberg, S. Local constructions and a theorem of Poincare / S. Sternberg // Amer. J. Math. — 1957. — V. 79 — P. 175-187.

6. Kelley, A. The stable, center-stable, center-instable, unstable manifolds / A. Kelley // J. Diff. Equat. — 1967. — V. 3 — P. 546-570.

7. Бибиков, Ю.Н. Бифуркация устойчивого инвариантного тора из состояния равновесия / Ю.Н. Бибиков // Матем. заметки. — 1990. — Т. 48, Вып. 1. — С. 323-334.

8. Бибиков, Ю.Н. Сохранение и бифуркация инвариантного тора векторного поля / Ю.Н. Бибиков // Матем. заметки. — 1997. — Т. 61, Вып. 1. — С. 34-44.

9. Бибиков, Ю.Н. Бифуркация рождения инвариантных торов с бесконечно малой частотой / Ю.Н. Бибиков // Алгебра и анализ. — 1998. — Т. 10, Вып. 2. — С. 81-92.

10. Бибиков, Ю.Н. Устойчивость и бифуркация при периодических возмущениях положения равновесия осциллятора с бесконечно большой или бесконечно малой частотой колебаний / Ю.Н. Бибиков // Матем. заметки. — 1999. — Т. 65, Вып. 3. — С. 323-334.

11. Хейл, Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл — М.: Мир, 1969. — 232 с.

12. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман — М.: Мир, 1970. — 720 с.

13. Митропольский, Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский, О.Б. Лыкова — М.: Наука, 1973. — 512 с.

14. Самойленко, А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы / А.М. Самойленко — М.: Наука, 1987. — 301 с.

15. Куликов, А.Н. Интегральные многообразия гиперболических уравнений в случае, близком к критическому одной пары чисто мнимых корней / А.Н. Куликов // Вестник Яросл. ун-та. Ярославль — 1975. — №. 4. — С. 94-117.

16. Куликов, А.Н. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве / А.Н. Куликов // Иссл. по устойчивости и теории колебаний. Ярославль — 1976. — С. 114-129.

17. Куликов, А.Н. Применение метода инвариантных многообразий в локальных задачах устойчивости и теории колебаний: учеб. пособие / А.Н. Куликов — Ярославль: ЯрГУ, 1982. — 75 с

18. Hirch, M. Stable manifolds and hyperbolic sets / M. Hirch, C. Pugh // Proc. Symp. Pure Math., XIV, Am. Math. Soc. — 1970. — V. 14 — P. 133-163.

19. Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен — М.: Мир, 1980. — 368 с.

20. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хен-ри — М.: Мир, 1985. — 376 с.

21. Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла: Пер. с англ. / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн — М.: Мир, 1985. — 279 с.

22. Колесов, Ю.С. Метод нормальных форм для систем с запаздыванием / Ю.С. Ко-лесов // Литовский математический сборник. — 1980. — Т. 20, №. 4. — С. 73-78.

23. Кубышкин, Е.П. Некоторые вопросы динамики распределенных роторов / Е.П. Ку-бышкин // Математика в Ярославском университете: Сборник обзорных статей к 25-летию математического факультета. — Ярославль. — 2001. — С. 157-182.

24. Глызин, С.Д. Резонансные явления в одной динамической системе / С.Д. Глызин, Е.П. Кубышкин // Математика: Материалы Всероссийской научной конференции,

посвященной 200-летию ЯрГУ им. П.Г.Демидова. — Ярославль. — 2003. — С. 211218.

25. Мышкис, А.Д. Состояния и проблемы теории дифференциальных уравнений с отколняющимися аргументом / А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц // Успехи мат. наук. — 1967. — Т. 22, №. 2. — С. 21-57.

26. Мышкис, А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис — М.: Наука, 1972. — 349 с.

27. Мышкис, А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами / А.Д. Мышкис // Успехи мат. наук. — 1977. — Т. 32, №. 2. — С. 173-202.

28. Шиманов, С.Н. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием / С.Н. Шиманов // Пятая летняя математическая школа. Киев: Ин-т матем. АН УССР. — 1968. — С. 473-549.

29. Рубаних, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием / В.П. Рубаник

- М.: Наука, 1969. — 287 с.

30. Фодчук, В.Н. О непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом от параметра / В.Н. Фодчук // Укр. мат. журн.

— 1964. — Т. 16, №. 2. — С. 273-279.

31. Неймарк, Ю.И. D-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости лиа-неаризованных распределенных систем) /Ю.И. Неймарк / / ПММ — 1949. — Т. 13, №. 4. — С. 349-380.

32. Кубышкин, Е.П. Параметрический резонанс в линейных системах с последействием / Е.П. Кубышкин // Исследования по устойчивости и теории колебаний: Межвузовский тематический сборник. — Ярославль. — 1976. — С. 43-76.

33. Глызин, Д.С. Пакет программ для анализа динамических систем "Tracer". Заявка №2008610548 от 14.02.2008г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008611464. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24.03.2008г.

34. Работное, Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел / Ю.Н. Работ-нов — М.: Наука, 1977. — 384 с.

35. Кубышкин, Е.П. Параметрическое возбуждение хаотических колебаний в одном дифференциальном уравнении второго порядка с запаздывающим аргументом / Е.П. Кубышкин, А.Ю. Коверга // Моделирование и анализ информационных систем. - 2008. - Т.15. № 2. - С. 67-71.

36. Коверга, А.Ю. Хаотические колебания одной распределенной динамической системы с бесконечным запаздыванием / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Моделирование и анализ информационных систем. — 2011. — Т.18. № 1. — С. 46-55.

37. Коверга, А.Ю. Об одной математической модели полупроводникового лазера / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Второй Всероссийской научной конференции / Самарск. гос. тех. ун-т. Самара, 2005. — С. 127-130.

38. Коверга, А.Ю. Некоторые особенности поведения решений уравнений Ланга-Кобаяши / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2005. — Вып. 7. — С. 146-150.

39. Коверга, А.Ю. Характер поведения решений нелинейной системы дифференциальных уравнений в одном критическом случае / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-20: Сборник трудов ХХ Международной науч. конференции в 10 т. / Яросл. гос. техн. ун-т. Ярославль, 2007. — Т. 1. Секция 1 — С. 87-88.

40. Коверга, А.Ю. Поведения решений нелинейной системы дифференциальных уравнений в критическом случае кратной пары чисто мнимых корней с жордановой клеткой / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин //О работе семинара «Нелинейная динамика». Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т.14. № 2. — С. 86.

41. Коверга, А.Ю. Параметрическое возбуждение хаотических колебаний в одном линейном дифференциальном уравнении с запаздывающим аргументом / А.Ю. Ко-верга, Е.П. Кубышкин // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крей-на - 2008. Тезисы докладов / Воронеж: ВорГУ, 2008. — С. 90.

42. Параметрическое возбуждение хаотических колебаний в ИС-генераторе с запаздывающей обратной связью / Л.Н. Казаков, [и др.] // Вестник Ярославского госу-

дарственного университета им. П.Г. Демидова. Серия Естественные и технические науки. - 2009. — № 1 — С. 59-63.

43. Казаков, Л.Н. Хаотические колебания генератора, обусловленные периодическим изменением запаздывания в обратной связи / Л.Н. Казаков, А.Ю. Коверга, Е.П. Ку-бышкин // Вестник Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова. Серия Естественные и технические науки. — 2011. — № 1 — С. 70-74.

44. Коверга, А.Ю. Хаотические колебания одной нелинейной распределенной динамической системы / А.Ю. Коверга // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2012. Материалы международной конференции / Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2012. — С. 102-105.

45. Коверга, А.Ю. Хаотическое поведение решений одного нелинейного дифференциально-разностного уравнения в случае двухчастотного параметрического резонанса / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2012. Материалы международной конференции / Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2012. — С. 105-107.

46. Коверга, А.Ю. Специфика возникновения хаотических колебаний в одной нелинейной распределенной динамической системе / А.Ю. Коверга // Моделирование и анализ информационных систем. Труды международной научной конференции, посвященной 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского государственного университета им.П.Г. Демидова. — Ярославль, 2012. — С. 116-118.

47. Коверга, А.Ю. Некоторые особенности двухчастотного параметрического возбуждения колебаний в нелинейных динамических системах / А.Ю. Коверга, Е.П. Кубышкин // Моделирование и анализ информационных систем. Труды международной научной конференции, посвященной 35-летию математического факультета и 25-летию факультета информатики и вычислительной техники Ярославского государственного университета им.П.Г. Демидова. — Ярославль, 2012. — С. 119121.

48. Lang, R External optical feedback effects on semiconductor injection-laser properties / R. Lang, K. Kobayashi // IEEE J. Quantum Electron. — 1980. — QE-16(3). — P.347 - 355.

49. Неймарк, Ю.И. Робастная устойчивость и Б-разбиение / Ю.И. Неймарк // Автоматика и Телемеханика. — 1992, — №. 7. — С. 10-18.

50. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл ; пер. с англ. — М.: Мир, 1984. — 140 с.

51. Шиманов, С.Н. К теории квазилинейных систем с запаздыванием / С.Н. Шиманов // ПММ. — 1959, — Т. 23, №. 5. — С. 836-844.

52. Капранов, М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В. Капранов, М.В. Кулешов, В.Н. Уткин — М.: Наука, 1984. — 320 с.

53. Зубов, В.И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом / В.И. Зубов // Изв. вузов. Мат. — 1958, — №. 6. — С. 86-95.

54. Зубов, В.И. Лекции по теории управления: учеб. пособ. для вузов / В.И. Зубов — М.: Наука, 1975. — 493 с.

55. Березин, И.С. Методы вычислений, том 2 / И.С. Березин, Н.П. Жидков — М.: Физматлит, 1959. — 620 с.

56. Колесов, Ю. С. Автоколебания в системах с запаздыванием / Ю.С. Колесов, Д.И. Швит-ра — Вильнюс: Мокслас, 1979. — 148 с.

57. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Кра-совский — М.: Физматлит, 1959. — 211 с.

58. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин — М.: Наука, 1970. — 512 с.

59. Вибрации в технике. Т1. Колебания линейных систем / под ред. В.В. Болотина — М.: Машиностроение, 1978. — 352 с.

60. Дмитриев, А.С. Стохастические колебания в радиофизике и электронике / А.С. Дмитриев, В.Я. Кислов — М.: Наука, 1989. — 278 с.

61. Кащенко, С.А. Модели волновой памяти / С.А. Кащенко, В.В. Майоров — М.: ЛИБРОКОМ, 2009. — 288 с.

62. Гласс, Л. От часов к хаосу: Ритмы жизни / Л. Гласс, М. Мэки — М.: Мир, 1991. — 248 с.

63. Неймарк, Ю.И. Структура В-разбиения пространства квазиполиномов диаграммы Вышеградского и Найквиста / Ю.И. Неймарк // ДАН СССР. — 1948. — Т. 60. - С. 1503-1506.

64. Кубышкин, Е.П. Параметрический резонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении / Е.П. Кубышкин // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль. — 1978. — С. 100-109.

65. Кащенко, С.А. Раскачивание качелей при помощи двухчастотной силы / С.А. Кащенко, Ю.С. Колесов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль. — 1978. — С. 19-25.

66. Магницкий, Н.А. Особые точки типа ротор неавтономных систем дифференциальных уравнений и их роль в образовании странных аттракторов нелинейных автономных систем /Н.А. Магницкий, С.В. Сидоров // Дифференциальные уравнения. — 2004. — Т. 40 №11. — С. 1500-1514.