Исследование математических динамических моделей рынка вальрасовского типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Червонная, Елена Андреевна

• Червонная, Елена Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Червонная, Елена Андреевна

Введение

1. Глава 1. Обзор существующих динамических моделей рынка товаров, их модификация и обобщение и постановка задач исследования

1.1. Развитие вальрасовского подхода в описании динамики рынка

1.1.1. Модели рынка без учета запаздывания в поставках товара

1.1.2. Развитие вальрасовского подхода при описании динамики рынка в дискретном времени. Паутинообразная модель

1.1.3. Модели вальрасовского типа с запаздываниями

1.2. Исследование простейших моделей вальрасовского и маршалловского типа

1.2.1. Случай малого запаздывания при линейных функциях спроса и предложения

1.2.2. Случай произвольного запаздывания при линейных и нелинейных функциях спроса и предложения

1.3. Построение модификаций моделей рынка вальрасовского типа

1.3.1. Модифицированные модели рынка вальрасовского типа второго порядка

1.3.2. Модифицированные модели рынка вальрасовского типа третьего порядка

1.3.3. Модели вальрасовского типа со многими товарами

1.4. Сводка динамических моделей рынка. Постановка задач исследования 49 2.

Глава 2. Численные методы решения систем с запаздыванием. Моделирование рынка товаров

2.1. Обзор существующих методов решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

2.1.1. Определение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом

2.1.2. Аналитическое решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и запаздыванием

2.1.3. Численное решение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом методом шагов

2.1.4. Численные методы типа Адамса

2.1.5. Алгоритм Рунге-Кутты численного решения дифференциальных уравнений с запаздыванием

2.2. Альтернативные численные методы решения систем дифференциальных уравнений с запаздыванием

2.2.1. Построение алгоритма численного решения линейной системы с запаздыванием, кратным шагу интегрирования, методом Эйлера с уравниванием

2.2.2. Численное решение дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием методом Эйлера с уравниванием и интерполяцией

2.2.3. Численное решение нелинейной системы дифференциальных уравнений со многими запаздываниями на основе метода шагов и метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности

2.2.4. Построение приближенного аналитического решения системы двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и запаздыванием

2.3. Моделирование рынка товаров. Исследование моделей

2.3.1. Исследование простейших моделей вальрасовского и маршалловского типа при произвольном запаздывании

2.3.2. Исследование модели рынка вальрасовского типа второго порядка

2.3.3. Исследование модели рынка вальрасовского типа третьего порядка

2.3.4. Исследование модели вальрасовского типа со многими товарами 93 3.

Глава 3. Построение границ области устойчивости состояний равновесия моделей рынка вальрасовского типа

3.1. Существующие методы исследования устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

3.2. Описание метода построения границы области устойчивости

3.3. Построение области устойчивости для модели рынка вальрасовского типа

4. Глава 4. Стабилизация рынка вальрасовского типа в состоянии равновесия

4.1. Модификация метода Минюка стабилизации состояния равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием

4.2. Квазиоптимальное управление

4.3. Исследование стабилизируемых моделей рынка

4.3.1. Стабилизация модели рынка вальрасовского типа второго порядка

4.3.2. Стабилизация модели рынка вальрасовского типа третьего порядка

5. Глава 5. Идентификация динамических моделей вальрасовского типа

5.1. Алгоритм идентификации

5.2. Идентификация динамической модели рынка вальрасовского типа с одним товаром

5.3. Оценка точности идентификации модели вальрасовского типа в зависимости от шага идентификации и от запаздывания

5.4. Идентификация модели вальрасовского типа с одним товаром при наличии случайной составляющей в функции спроса

5.5. Частный случай идентификации модели вальрасовского типа при известных равновесных ценах

5.6. Идентификация модели рынка вальрасовского типа со многими товарами

5.7. Идентификация модели вальрасовского типа со многими товарами при наличии случайных составляющих в функциях спроса

5.8. Идентификация модели вальрасовского типа для рынка компьютерных комплектующих 161 Заключение 169 Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических динамических моделей рынка вальрасовского типа»

Актуальность работы

В настоящее время математическое моделирование динамики товарного рынка является одним из важнейших, но еще слабо изученных направлений исследования экономических процессов. Представляет большой теоретический и практический интерес построение и исследование математических моделей, описывающих с возможно большей адекватностью динамику рыночных цен и объемов поставок и продаж товаров на рынке в зависимости от соотношений спроса и предложения товаров, конкуренции товаров и продавцов, дисциплины поставок товаров, маркетинговой политики и стратегии участников рынка и других факторов, влияющих на устойчивость положения рыночного равновесия и характер рыночных переходных процессов.

Основополагающие классические работы, положившие начало математическому описанию рыночных процессов, связаны с именами Антуана Курно [1], Уильяма Стенли Джевонса [2], Леона Вальраса [3], Альфреда Маршалла [4], Вильфредо Парето, Карла Менгера [5].

Идея «нащупывания» равновесия (tâtonnement - фр.) между объемами спроса и предложения товаров впервые была высказана JI. Вальрасом [3] в 1874 г., затем эта идея применительно к проблеме равновесия между ценами спроса и предложения была развита в 1890 г. А. Маршаллом [4]. Вальрас и Маршалл считаются основателями теории рыночного равновесия. Рыночное равновесие устанавливается в точке пересечения линий спроса и предложения в пространстве координат «цена-объем» (по Вальрасу) и «объем-цена» (по Маршаллу). Математический аппарат этой теории - системы алгебраических уравнений.

В течение более полувека шло развитие этой теории в плане учета различных факторов производства, обмена, сбыта и т.д., влияющих на поведение линий спроса и предложения (А. Вальд [6], Дж.В. Нейман [7], К. Эрроу и Дебре, В. Маккензи, Раднер, Ауман). И только в конце 30-х - начале

40-х годов XX века были сформулированы разностные и дифференциальные соотношения, определяющие динамику процесса перехода рынка к состоянию равновесия (П. Самуэльсон [8]), положившие начало развитию дифференциально-разностных моделей рынка такими учеными, как Дж. Хикс [9], А. Смизис (1942) [10], Л. Метцлер (1945) [11], К. Эрроу и Л. Гурвиц (1958) [12], Ф. Хан (1958) [13], Т. Негиши (1958) [14], Л. Маккензи (1960) [15], Никайдо и Узава (1960) [16]. Почти одновременно с появлением динамических моделей рынка вальрасовского типа была осознана необходимость учета в динамических моделях рынка запаздывания, порождаемого задержками в поставках товара. По-видимому, первой моделью, учитывающей запаздывание в уравнениях динамики перехода рынка к равновесию в дискретном времени, была разностная «паутинообразная» модель, предложенная Езекилем в 1938 г. [17]. Однако дифференциальные модели рынка в течение длительного времени развивались без учета запаздывания в связи, по-видимому, с определенной сложностью математического аппарата (Дж.К. Ченг и М.П. Веллман [18], Дж.И. МакКоли и K.M. Кёффнер [19]). В дальнейшем, по мере развития теории и методов решения дифференциальных уравнений с запаздываниями, стали развиваться и непрерывные динамические модели рынка, учитывающие запаздывание (Н.К. Обросова [20-24], 1996, Ю.А. Кузнецов [25], 2002, В.В. Поддубный [26, 27], 2004, И.К. Коханенко [28], 2005). Такие динамические модели вслед за Н.К. Обросовой будем называть моделями вальрасовского типа.

Если статические модели рынка можно считать изученными с математической точки зрения более или менее хорошо (теория рыночного равновесия) [29-31], то динамика рынка еще слабо исследована в связи со сложностью соответствующего математического аппарата теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. До сих пор остаются мало исследованными вопросы устойчивости, стабилизации и идентификации систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, а, следовательно, и динамических моделей рынка.

Различные методы аналитического и численного решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом предложены А.Д. Мышкисом [32], Л.Э. Эльсгольцем [33], К.Г. Валеевым [34-36], Т.С. Зверкиной [37], А.Д. Горбуновым и В.Н. Поповым [38], JI.C. Гноенским и Г.А. Каменским [39], JT.H. Белых и A.JI. Асаченковым [40], В.Б. Колмановским [41], A.B. Прасоловым [42], С. Sartori [43], А. Bellen [44-46], R. Vermiglio [47], С.Т.Н. Baker и С.А.Н. Paul [48, 49], A. Karou и R. Vaillancourt [50]. К сожалению, эти методы не являются универсальными и не всегда применимы (например, при малых запаздываниях). Кроме того, в ряде случаев предложенные алгоритмы оказываются достаточно громоздкими. Поэтому остается актуальной проблема разработки и построения альтернативных численных методов решения дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Что касается устойчивости уравнений с запаздыванием, то этим занимались такие отечественные ученые как Л.Э. Эльсгольц [51, 52], H.H. Красовский [53-56], Б.С. Разумихин [57-59], ЯЗ. Цыпкин [60], Ю.И. Неймарк [61], H.H. Мейман и Н.Г. Чеботарев [62], Э. Пинни [63], С.Н. Шиманов [6466], Ю.М. Репин [67], В.Б. Колмановский [68, 69], Б.Г. Гребенщиков [70-75], A.B. Прасолов [76], Н.В. Азбелев и П.М. Симонов [77], Ю.Ф. Долгий и С.Н. Нидченко [78-81], Н.К. Обросова [82], и зарубежные ученые H.W. Stech [83], K.L. Cooke и J. Turi [84], Guglielml [85], A. G. Ulsoy [86], M.M. Peet [87, 88], L. E. Kollar [89], L. Berezansky и L. Idels [90], T. Kalmar-Nagy [91], B. Cahlon и D. Schmidt [92]. Аналитические методы исследования устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом достаточно сложны и плохо реализуемы численно. Они не дают явных рецептов нахождения границ областей устойчивости для состояния равновесия систем с запаздывающими аргументами в пространстве запаздываний. Поэтому остается актуальной разработка конструктивных численных методов построения границ областей устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Задачами оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями с запаздыванием, занимаются P. Wang [93], К. Kunisch [94], F. Gozzi и С. Marinelli [95], L. Berezansky и E. Braverman [96], И. M. Борковская и B.M. Марченко [97], СЛ. Минюк [98], И.Е. Зубер [99-100], A.B. Клименко [101], Г.Н. Терновая [102], И.Б. Фуртат [103], A.B. Прасолов [76]. Применительно к задачам стабилизации динамических моделей рынка в положении равновесия первыми, по-видимому, являются работы В.В. Поддубного [26,27].

Идентификация модели рынка вальрасовского типа осложнена наличием временных лагов, запаздываний реакций поставщиков товаров на изменение цен этих товаров. Работ по идентификации дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом довольно мало. Среди них можно указать, например, работы D.W. Brewer [104], С. Baker и E.I. Parmuzin [105], В.И. Ловчакова [106], A.B. Прасолова [107], В.Ф. Лебедева и Е.А. Ситникова [108], С.А. Минюка и A.B. Метельского [109].

Настоящая работа посвящена разработке численных методов и алгоритмов исследования систем дифференциальных уравнений с постоянными запаздываниями, используемых для построения математических динамических моделей товарного рынка вальрасовского типа, исследованию характера и особенностей поведения этих моделей, изучению вопросов устойчивости их равновесных состояний, стабилизации в состоянии равновесия и идентификации моделей рынка.

Цель работы

Целью работы является исследование математических моделей рынка, учитывающих наличие конкуренции товаров и запаздывание реакции поставщиков товаров на изменение цен товаров. Модели задаются с помощью систем дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами. Запаздывания считаются постоянными. В рамках указанной цели поставлены и решены следующие задачи:

1) Построение вычислительных схем решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, пригодных для работы с произвольными запаздываниями, в том числе как угодно малыми.

2) Построение и исследование различных модификаций динамических моделей рынка вальрасовского типа с использованием разработанных вычислительных схем.

3) Разработка конструктивного численного алгоритма построения границ области устойчивости положения равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздываниями применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа.

4) Исследование стабилизируемых в состоянии равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа.

5) Разработка метода идентификации систем дифференциальных уравнений с запаздываниями применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа.

Методы исследований

В ходе решения поставленных задач использовались методы вычислительной математики, теории дифференциальных уравнений (в том числе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом), теории оптимального управления и стабилизации, теории устойчивости и теории идентификации систем.

Научная новизна работы

1) На основе численного метода Эйлера с уравниванием для решения дифференциальных уравнений без запаздывания разработан аналогичный численный метод второго порядка точности для решения систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Предложено две модификации этого метода: без интерполяции и с интерполяцией. Первая модификация ограничивает выбор шага интегрирования условием кратности запаздывания этому шагу. Вторая модификация свободна от этого ограничения и позволяет, в отличие от известного метода шагов, работать с любым, в том числе как угодно малым запаздыванием, и выбирать любой шаг интегрирования, обеспечивающий желаемую точность решения.

2) Разработан новый конструктивный численный алгоритм построения границы области устойчивости положения равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. В отличие от существующих способов исследования устойчивости, алгоритм не предполагает вычисления корней характеристического квазиполинома. Метод сводится к численному поиску запаздываний, удовлетворяющих характеристическому уравнению линеаризованной системы, в котором корни квазиполинома предполагаются чисто мнимыми. С использованием этого алгоритма впервые построены границы областей устойчивости динамических моделей рынка вальрасовского типа.

3) На основе метода наименьших квадратов разработан новый алгоритм идентификации динамической модели рынка, описываемой системой дифференциальных уравнений с запаздываниями. Алгоритм позволяет совместно оценивать коэффициенты системы и запаздывания.

Практическая ценность работы

Практическая ценность работы заключается в развитии математических моделей рынка товаров в направлении повышения ее адекватности и в разработке прикладных численных методов решения задач моделирования, идентификации и построения границ областей устойчивости равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Эти методы могут использоваться при исследовании динамических моделей не только в экономике, но и в других областях науки.

Положения, выносимые на защиту

1) Модификация и обобщение динамических моделей рынка вальрасовского типа: линейные модели второго и третьего порядков для рынка одного товара и нелинейные модели для рынка со многими товарами.

2) Модификации численных методов для интегрирования систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

3) Новый конструктивный алгоритм построения границ области устойчивости положения равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.

4) Новый алгоритм идентификации системы с запаздыванием на основе метода наименьших квадратов.

Внедрение полученных результатов

Результаты работы используются в учебном процессе факультета информатики Томского государственного университета при проведении учебных занятий по курсу «Дифференциальные уравнения и основы теории управления».

Апробация работы

По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях:

1. IV Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ

2005), Анжеро-Судженск, ноябрь 2005 года.

2. VI Международная научная конференция "Наука и образование": Математическое моделирование и информатика, Белово, март 2006 года.

3. XI.IV Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс": Математика, Новосибирск, апрель 2006 года.

4. V Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ

2006), Анжеро-Судженск, ноябрь 2006 года.

5. XI Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи», Анжеро-Судженск, апрель 2007 года.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, основного текста, заключения, списка использованной литературы (139 наименований). Основной текст состоит из 5 глав и содержит 152 рисунка и 6 таблиц. Общий объем работы составляет 184 страницы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Червонная, Елена Андреевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в работе получены следующие основные результаты:

1) Проведено построение и исследование следующих динамических моделей рынка вальрасовского типа:

- линейные и нелинейные динамические модели рынка первого порядка, содержащие одну зависимую переменную - рыночную цену товара

P(ty,

- линейная динамическая модель рынка второго порядка, содержащая две зависимые переменные - рыночную цену товара P{t) и объем продаж

0(0;

- более реалистичная модель третьего порядка, учитывающая изменения во времени не только рыночной цены товара и объема продаж, но и объемов предложения Qs{t) и спроса Q°(t);

- нелинейная модель рынка вальрасовского типа со многими товарами, задаваемая системой iV дифференциальных уравнений с TV запаздываниями.

2) Разработано две формы обобщения численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений на случай уравнений с запаздыванием: обобщения методов Рунге-Кутты и Эйлера с уравниванием без интерполяции и метода Эйлера с уравниванием и интерполяцией.

3) Разработан конструктивный численный алгоритм построения границы области устойчивости системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. С помощью этого алгоритма построены границы областей устойчивости моделей рынка вальрасовского типа.

4) Разработана модификация одного из методов стабилизации по квадратичному критерию в положении равновесия решения системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на основе представления решения схемой Р. Беллмана и К. Кука. Проведено исследование линейных стабилизируемых моделей рынка вальрасовского типа с использованием этого метода.

5) На основе метода наименьших квадратов разработан новый алгоритм идентификации динамической модели рынка, описываемой системой дифференциальных уравнений с запаздываниями, позволяющий совместно оценивать коэффициенты системы и запаздывания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Червонная, Елена Андреевна, 2007 год

1. Сурин А.И. История экономики и экономических учений. М.: Финансы и статистика, 1998. - 200 с.

2. Jevons W.S. Notice of a General Mathematical Theory of Political Economy // British Association for the Advancement of Science.: Report of the 32 Meeting (bridge, 1862, October) Transaction of the Sections.- L. J. Murray, 1862.-Pp.158-159.

3. Гальперин B.M., Игнатьев C.M., Моргунов В.И. Микроэкономика: В 2 т. / Общая ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2002. Т. 1. - 349 с.

4. Маршалл А. Принципы экономической науки: В 3 т. М.: Прогресс, 1993. Зт.

5. Менгер К. Основания политической экономии. М., 2005. - 496 с.

6. Wald R. Uber einige Gleichungssysteme der mathematische Ökonomie. // Zeitschrift fur Nationalökonomie. 1936, № 7. -p. 637-670.

7. Neumann J.V. Uber ein Ökonomisches Gleichungs System and eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes. // Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums. - 1935-1936, № 8. - p. 10-18.

8. Samuelson P. A. The Stability of Equilibrium: Comparative Statics and Dynamics. // Econometrica. April 1941, 9. - p. 97-120.

9. Hicks J. R. Value and Capital. // Oxford, Oxford University Press, 1939.

10. Smithies A. The Stability of Competitive Equilibrium. // Econometrica. 1942, № 10.-p. 256-257.

11. Metzler L.A. Stability of Multiple Markets: The Hicks Conditions. // Econometrica. 1945, № 13. - p. 277-292.

12. Arrow K.J. and Hurwicz L. On the Stability of the Competitive Equilibrium, I. // Econometrica. 1958, № 26. - p. 522- 552.

13. Hahn F. H. Gross Substitutes and the Dynamic Stability of General Equilibrium. // Econometrica. 1958, №26. - p. 169-170.

14. Negishi T. A Note on the Stability of an Economy Where all Goods are Gross Substitutes. // Econometrica. 1958, № 26. - p. 445-447.

15. McKenzie L.W. Stability of Equilibrium and the Value of Positive Excess Demand. // Econometrica. I960, № 28. - p. 606-617.

16. Nikaido H. and Uzawa H. Stability and Non-Negativity in a Walrasian Tâtonnement Process. // International Economic Review. 1960, № 2. - p. 50-59.

17. Ezekiel M. The Cobweb Theorem. // Quarterly Journal of Economics. 1938, №52.-P. 255-280.

18. Cheng J.Q., Wellman M.P. The WALRAS Algorithm: a Convergent Distributed Implementation of General Equilibrium Outcomes. // Computational Economics. 1998. № 12 (1). - pp. 1-24.

19. McCauley J.I., Kuffner C.M. Economic System Dynamics. // Discrete Dynamics in Nature and Society. 2004. №1- pp. 213-220.

20. Обросова H.K. Анализ устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями. // Сборник трудов 1-ой Московской международной конференции по исследованию операций. М, 1996г. С. 62-68.

21. Обросова Н.К. Исследование устойчивости равновесной цены в зависимости от эластичности спроса и предложения. // XXXIV научная конференция факультета физико-математических и естественных наук.: Тез. докладов. 19-22 мая 1998г. -М.: РУДН, 1998. С. 53.

22. Обросова Н.К. Потеря устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа. // Математическое моделирование. -Том 10 (1998).-№5.-с. 47-57.

23. Обросова Н.К. Устойчивость рыночных механизмов в моделях ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями. // Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ РАН ,1999 - 61 с.

24. Поддубный В.В. Оптимальная стабилизация рынка, описываемого модифицированной моделью Вальраса-Маршалла // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. -С.161-171.

25. Поддубный В.В. Оптимальная стабилизация рынка, описываемого модифицированной динамической моделью Вальраса-Маршалла в пространстве переменных "предложение цена - спрос" // Вестник Томского государственного университета. - № 284. - 2004. - С. 80-89.

26. Коханенко И.К. Согласование моделей равновесия Вальраса и Маршалла. // Обозрение прикладной и промышленной математики. т. 12 (2005). - № 1. - с. 682-684.

27. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998.-240 с.

28. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Иванцов И.Б. Информационная микроэкономика. Часть 1. Методы анализа и прогнозирования. СПб.: «Нордмед-Издат», 1997. - 160 с.

29. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Губин Г.С. Информационная микроэкономика. Часть 2. Анализ закономерностей и моделирование. СПб.: «Нордмед-Издат», 1998. - 160 с.

30. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи математических наук. 1949, Т. 4.-вып. 5 (33).-С. 99-141.

31. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений сотклоняющимся аргументом М: Наука, 1964. - 128с.

32. Валеев К.Г. О линейных дифференциальных уравнениях с экспоненциальными коэффициентами и стационарными запаздываниями аргумента. Регулярный случай. // Прикладная механика и математика. 1962, 26. - вып. 2. - С. 449-454.

33. Валеев К.Г. О линейных дифференциальных уравнениях с экспоненциальными коэффициентами и стационарными запаздываниями аргумента. Иррегулярный случай. // Прикладная механика и математика. -1962,26. вып. 6. - С. 1012-1024.

34. Зверкина Т.С. Приближенное решение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -1962,1.-е. 76-93.

35. Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управления систем М: Наука, 1969. - 512 с.

36. Белых Л.Н., Асаченков А.Л. Моделирование инфекционных заболеваний. // Вычислительные процессы и системы. М: Наука, 1985 - № 3. - с. 135-148.

37. Колмановский В.Б. Уравнения с последействием и математическое моделирование. // Соровский образовательный журнал. 1996. - № 4. - с. 122127.

38. Прасолов А.В. О построении периодического решения одной системы ворого порядка с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. - № 4. - С. 470-474.

39. Sartori С. Asymptotic Analysis of Delay Differential Equations. //Manuscripta mathematica. 1982. T. 38 - pp. 225-238.

40. Bellen A. One-Step Collocation for Delay Differential Equations. // J. Сотр. Appl. Math. 1984. № 10 - pp. 275-283.

41. Bellen A., Zennaro M. Numerical Solution of Delay Differential Equations by Uniform Corrections to an Implicit Runge-Kutta Method. // Numer. Math. 1985. № 47. - 301-316.

42. Bellen A. A Runge-Kutta-Nystrom Method for Delay Differential Equations. // Progress Sci. Сотр. 1985. № 5. - pp. 271-283.

43. Vermiglio R. A One-step Subregion Method for Delay Differential Equations. // Calcolo. 1986. № 22. - pp. 429-455.

44. Baker C.T.H., Paul С. A. H. Parallel Continuous Runge-Kutta Methods and Vanishing Lag Delay Differential Equations. // Adv. Сотр. Math. 1993. № 1 -pp. 367-394.

45. Karoui A., Vaillancourt R. Computer Solutions of State-Dependent Delay Differential Equations. // Comput. Math. Applic. 1994. № 27- pp. 37-51.

46. Эльсгольц Jl. Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений // Успехи математических наук. 1954. Т. 9. - вып. 4.

47. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе М.: Гостехиздат, 1955. - 300 с.

48. Красовский Н.Н. О применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени. // ПММ. 1956, т. 20. - N 3. - с. 315327.

49. Красовский H.H. Об асимптотической устойчивости систем с последействием. // ПММ. 1956. т. 20. - вып. 4. - с. 513-518.

50. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. - 205 с.

51. Красовский H.H. Судьба одного подхода к изучению наследственных систем / H.H. Красовский, А. Н. Котельникова // Известия Уральского государственного университета. 2004. - № 32. - С. 12-24.

52. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием. // Прикладная математика и механика. 1956. - Вып. 20. - с. 500-512.

53. Разумихин Б.С. Устойчивость по первому приближению систем с запаздыванием. // Прикладная математика и механика. 1958. т. 22. - вып. 2. -с. 155-166.

54. Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем с запаздыванием. // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 6. - Вып. 21.-С. 740-748.

55. Цыпкин Я.З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью. // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 2-3. - Вып. 7. - с. 107-129.

56. Неймарк Ю.И. Структура D-разбиения пространства квазиполиномов и диаграммы Вышнеградского и Найквиста. // ДАН. 1948. Выпуск 60. - с. 1503-1506.

57. Мейман H.H., Чеботарев Н.Г. Проблемы Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций. // Труды математического института им. Стеклова. 1949. Выпуск 26.-с. 1-331.

58. Пинни Э., Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: Изд-во ин. лит., 1961. - 246 с.

59. Шиманов С.Н. Об устойчивости в критическом случае одного нулевого корня для систем с последействием // Прикладная математика и механика. -1960. Т. 24 (3). С. 447-457.

60. Шиманов С.Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием. // Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25. - № 6. -С. 992-1002.

61. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // Дифференциальные уравнения. 1965. Т. 1 (1). - С. 102116.

62. Репин Ю.М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1965. Вып. 3. -С. 564-566.

63. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 448 с.

64. Колмановский В. Б. Об устойчивости некоторых систем с произвольным последействием // Доклады Академии наук. 1993. Т. 331, № 4.

65. Гребенщиков Б.Г. Устойчивость систем с переменным запаздыванием, линейно зависящим от времени. // Устойчивость и нелинейные колебания. -Свердловск, 1983. С. 25-34.

66. Гребенщиков Б.Г. Об устойчивости нестационарных систем с большим запаздыванием. // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск, 1984.-С. 18-29.

67. Гребенщиков Б.Г. Об устойчивости линейных систем с постоянным запаздыванием и с экспоненциальными коэффициентами. // Математический анализ. Вопросы теории и методики преподавания. Л., 1990. - С. 138-148.

68. Гребенщиков Б.Г. Об устойчивости одного класса квазилинейных систем с постоянным запаздыванием. // Сибирский математический журнал. 1997. Том 38.-№2.-С. 280-285.

69. Гребенщиков Б.Г. О неустойчивости решения одной стационарной системы с линейным запаздыванием. // Изв. Уральского гос. ун-та. 1999. -№ 14.-С. 29-36.

70. Гребенщиков Б.Г. Методы исследования устойчивости с линейным запаздыванием // Сибирский математический журнал. 2001. Том 42. - №1. -С. 41-51.

71. Прасолов A.B. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов. СПб: Изд-во СПбГУ, 1995. - 146 с.

72. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: УрГУ, 1996.

73. Долгий Ю.Ф., Николаев С.Г. Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. - № 5. - С. 592-600.

74. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Бифуркационный метод исследования устойчивости решения дифференциального уравнения с запаздыванием // Сибирский математический журнал. 2005. Том 46. - №6. - С.1289-1301.

75. Обросова Н.К. Бифуркация Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. // Вестник РУДН. 2001. Т. 8 (1). -с. 66-102.

76. Stech H.W. Hopf Bifurcation Calculations for Functional Differential Equations. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1985. Vol. 109. -No. 2.-pp. 472-491.

77. Cooke K.L., Turi J. Stability, Instability in Delay Equations Modeling Human Respiration. // Journal of Mathematical Biology. 1994. 32. pp. 535-543.

78. Guglielmi. Delay Dependent Stability Regions of (^-methods for Delay Differential Equations.// IMA Journal of Numerical Analysis. 1998. Vol. 18 - № 3-pp. 399-418.

79. Asl, F.M., Ulsoy, A.G. Analysis of a System of Linear Delay Differential Equations. // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2003. Vol. 125.-pp. 215-223.

80. Peet M.M., Lall S. Constructing Lyapunov Functions for Nonlinear Delay-Differential Equations Using Semidefinite Programming. Electronic resource.,2004. 5 p. - Mode of access: http://www.citebase.org/.

81. Peet M.M. Stability and Control of Functional Differential Equations. A Dissertation for the Degree of Doctor of Philosophy. Stanford University. Electronic resource. 2006. - 163 p. Mode of access: http://www.citebase.org/.

82. Kollar L.E., Turi J. Numerical Stability Analysis in Respiratory Control System Models. // Electronic Journal of Differential Equations. Conference 12. Electronic resource. 2005. - pp. 65-78. - Mode of access: http://www.emis.de.

83. Kalmar-Nagy T. A Novel Method for Efficient Numerical Stability Analysis of Delay-Differential Equations. // American Control Conference. Proceedings of the2005. 2005. Vol. 4. - pp. 2823-2826.

84. Cahlon B., Schmidt D. Stability Criteria for Certain Third-Order Delay Differential Equations. II Journal of Computational and Applied Mathematics.2006. Vol. 188.-No. 2.-P. 319-335.

85. Wang P. Optimal Control of Parabolic Systems with Boundary Conditions involving Time Delays. // SIAM J. Control. 1975.13. - pp. 274-293.

86. Kunisch K. The Riccati Integral Equation Arising in Optimal Control of Delay Differential Equations. Electronic resource. 1980. - 16 p. - Mode of access: http://stinet.dtic.mil/oai/.

87. Gozzi F., Marinelli С. Stochastic Optimal Control of Delay Equations Arising in Advertising Models . Electronic resource. 2004. - 16 p. - Mode of access: http://www.citebase.org/.

88. Berezansky L., Braverman E. Impulsive Stabilization of Linear Delay Differential Equations. Electronic resource. 2006. - 18 p. - Mode of access: http://www.citebase.org/.

89. Борковская И.М., Марченко B.M. Об одном подходе к задаче стабилизации систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1996. - №4. - С.531-541.

90. Минюк С.А. Об одной задаче оптимального управления для стационарных систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. -2000. Т. 36.-Вып. 1.-С. 62-70.

91. Клименко A.B. Компенсатор последовательного типа в задачах адаптивного управления технологическими процессами с запаздыванием.: Автореф. дис. канд. техн. наук. Астрахань, 2006. - 15 с.

92. Терновая Г.Н. Робастное алгоритмическое обеспечение управляющих подсистем АСУ ТП с использованием наблюдателя.: Автореф. дис. .канд. техн. наук. Астрахань, 2006. - 15 с.

93. Фуртат И.Б. Алгоритмы адаптивного управления управляющих подсистем АСУ ТП с запаздыванием.: Автореф. дис. . канд. техн. наук. -Астрахань, 2006. 16 с.

94. Brewer D.W. Gradient Methods for Identification of Distributed Parameter Systems. // Decision and Control: Proceedings of the 28th IEEE Conference. -1989. vol.1.-P. 599-603.

95. Baker C., Parmuzin E.I. Analysis via Integral Equations of an Identification Problem for Delay Differential Equations. // Journal of Integral Equations and Applications. 2004. Vol. 16 - No. 2. - pp. 111-117.

96. Ловчаков В.И. Идентификация линейных динамических систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения и их приложения. — Тула: ТулГУ, 1996. — с. 37-44.

97. Прасолов A.B. Математические модели динамики в экономике. СПб: Изд-во СПбГУ, 2000. - 300 с.

98. Минюк С. А., Метельский A.B. О построении непрерывной восстанавливающей операции в задаче полной идентификации линейных стационарных систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. -2003. Т. 39. № 8 - С.1052-1057.

99. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. Динамическая модель Вальраса

100. Маршалла рынка с запаздыванием при параболическом предложении игиперболическом спросе // Вестник Томского гос. ун-та. - 2006. № 16. - С.235.239. I *

101. Справка: в 2007 г. в связи со вступлением в брак Сухарева сменила гЬя милию на Червонную. v

102. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. Исследование свободного и стабилизируемого рынка, описываемого динамической моделью Вальраса-Маршалла с запаздыванием. // Вестник Том. гос. ун-та. 2006. № 290. - С. 190-198.

103. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. Исследование динамической модели рынка вальрасовского типа со многими товарами. // Вестник Томского государственного университета. Серия «Информатика. Кибернетика. Математика». 2006. № 293. - С. 53-58.

104. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. О нахождении области устойчивости динамической модели рынка вальрасовского типа со многими товарами. // Вестник Том. гос. ун-та. 2006. № 19. - С. 322-327.

105. Сухарева Е.А. Идентификация динамической модели рынка вальрасовского типа. // Научное творчество молодежи: Материалы XI

106. Всероссийской научно-практической конференции (20-21 апреля 2007 г.) -2007. с. 50-54.

107. Вайнтрауб Э.Р. Теория общего равновесия. // Современная экономическая мысль. Серия: "Экономическая мысль Запада". / Ред.: Афанасьева B.C. и Энтова P.M. М., "Прогресс", 1981.

108. Arrow K.J. and Debreu G. Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy. // Econometrica. 1954, № 22. - p. 265-290.

109. McKenzie L.W. On Equilibrium in Graham's Model of World Trade and Other Competitive Systems. //Econometrica. 1954, № 22.

110. Kakutani Sh.A. Generalization of Brouwer's Fixed Point Theorem. // Duke Mathematical Journal. 1941, 8. - p. 457-459.

111. Knaster В., Kuratowski C., and Mazurkiewiez S. Ein Beweis des Fixpunktsatzes fur re-dimensional Simplexe. // Fundamenta Mathematica. 1929, № 14.-p. 132- 137.

112. Gale D. The Law of Supply and Demand. // Mathematica Scandivica. 1955, № 3. - p. 87-101.

113. McKenzie L.W. Competitive Equilibrium with Dependent Consumer Preferences. // Proceedings of the Second Symposium in Linear Programming, ed. H. A. Antosiewitz. Washington. National Bureau of Standards. 1955.

114. Ляпунов A. M. Общая задача об устойчивости движения. M.-JL, Гостехиздат, 1950.

115. Данилов Н.Н. Курс математической экономики: Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2006. - 407 с.

116. История экономических учений (современный этап): Учебник / Под общ. ред. А.Г. Худокормова. М.: ИНФРА-М, 2002. С. 34.

117. Muth J.F. Rational expectations and the theory of price movements // Econometrica. 1961. № 29. P. 315-335.

118. Терпугов А.Ф. Экономико-математические модели. Барнаул, 1999г., 117с.

119. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1963. - 348 с.

120. Самуэльсон П.Э., Нордхаус В.Д. Экономика: Пер. с англ.: 16-е изд. М.: Издательский Дом «Вильяме», 2001. - 688 с.

121. Поддубный В.В. Численное решение дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием методом Эйлера с уравниванием и интерполяцией. // Обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 7. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - С. 165-174.

122. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. - 232 с.

123. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление М: Гос.изд-во физ.мат. лит-ры, 1961. - 524с.

124. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.-548 с.

125. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. 424 с.

126. Бокс Д., Дженкинс Г.М. Анализ временных рядов.: Пер. с англ.: В 2 т. -1974.2 т.

127. Интернет-магазин электронной техники «Техноград». Электронный ресурс. - Режим доступа: http://technograd.tomsk.ru/, свободный.