Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Галимов, Артур Нилович

• Галимов, Артур Нилович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Галимов, Артур Нилович

Введение.

Глава I. Исследование особенностей резольвенты.

§1. Интегральное уравнение теории возмущений.

§2. Исследование множества £1.

§3. Исследование множества £2.

Глава II. Свойства решения уравнения Липпмана-Швингера и разложения по собственным функциям.

§4. Отсутствие ненулевых вещественных особенностей решения уравнения Липпмана-Швингера.

§5. Аналитическое продолжение функции <р(х, А, а;).

§6. Свойства резольвенты и разложение по собственным функциям.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном поле»

Результаты, полученные в области спектральной теории дифференциальных операторов, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, в задачах квантовой механики часто рассматриваются операторы Шредингера, используемые в теории рассеяния. При этом одним из основных является вопрос о свойствах решения задачи теории рассеяния в зависимости от спектрального параметра, а также - задача разложения по спектру этого оператора.

Известно, что при а{х) = 0, т.е. отсутствии магнитного потенциала, уравнением Лигшмана-Швингера называется интегральное уравнение р(х,\,и,) + ±. I = (0.1) л3 где Л - вещественный параметр, и £ Б2. Первые результаты о разложениях по собственным функциям оператора Шредингера с электрическим потенциалом получил А.Я. Повзнер в работе [11], связь этих разложений с теорией рассеяния установлена им же в работе [12]. В дальнейшем этой теме было посвящено большое количество работ Т.Икэбе [23], Л.Д. Фад-деева [16], Д.М. Эйдуса [18], С.Куроды [24] и других авторов з с достаточно полной библиографией можно ознакомиться в [2], [9],[13]-[15],[19]-[22]). Итоги этих исследований подведены в книге [14]. В частности, в этой книге изучается условие Роль-ника: х - у\~2У{х)У(у) £ Ь(Ш6), V е ЦШ3). (0.2) Введем однородное уравнение + *-( А)/ = 0, (0.3) где К(А) - интегральный оператор с ядром егХ\х-у\

К{Х'У'А) = уравнения (0.1). Изучение особенностей по параметру А решения ср(х. А, о;) уравнения (0.1) сводится к исследованию множества £ тех А, при которых однородное уравнение (0.3) имеет нетривиальное решение, а также асимптотическое поведение самих решений /(ж). В теореме XI.41 из работы [14] было доказано, что в классе вещественных потенциалов (0.2) множество £ ограничено, замкнуто и имеет лебегову меру нуль. Далее, в работе [10] (теорема 2.4, с.51) было доказано, что для потенциалов Рольника (0.2) множество £, на самом деле, конечно и если А £ £ \ {0}, то А2 - собственное значение оператора Шре-дингера конечной кратности. Кроме того, в работе [10] (см. теорему 2.5, с.53) для данного класса потенциалов установлено, что при каждом S > 0 для Л Е М имеет место неравенство sup / \V(x)\\(p(x, A, co)\2dx < оо,

Л|><5, А££ J

R3 где uj G S2.

В настоящей диссертации мы изучаем в L2(R3) спектр и задачу рассеяния для оператора Шредингера з fc=i где рк = i~ld/dxkl а(х) = (ai(®), а2(а;), а3(ж)) и V(x) - соответственно магнитный и электрический потенциалы, причем

А; = 1,3) и V{x) - вещественные функции, удовлетворяющие следующим условиям: г) |Ф(х)| G L{R3), \а(х)\ е L(R3), где Ф(х) = a2(x) + V(;ж) + з idiv a(x), а2(х) = ^ к=i гг) для всех ó > 0 функции fs(x) = [ |Ф(»)||х- - у\-Чу, х-у\<5

9s{x)= j \а(у)\\х-y\~2dy x-y\<S ограничены в М3, причем lim/Дж) = Ит^(ж) =0 д\0 о \*J равномерно в М3; т)

Нт вир х - у\~2{Иу)\ + ЩуШу = о. х-у\<5

Заметим здесь, что условие на /¿(ж) означает, что функция Ф(х) принадлежит классу Като (см. [17], с. 16).

Результаты работы могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений и квантовой механике.

Диссертация состоит из введения, двух глав (§1 — §3 и §4 — §6 соответственно) и списка литературы. Нумерация теорем и лемм единая и сплошная в каждом параграфе. Диссертация изложена на 74 страницах. Список литературы насчитывает 37 наименований, из которых 5 на иностранных языках.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Галимов, Артур Нилович, 2008 год

1. Вере Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1966.

2. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Из-во "Наукова думка". Киев, 1965.

3. Губайдуллин М.Б., Муртазин Х.Х. // ТМФ. 2002. Т.126. №3. с.443-454

4. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. 181 С.

5. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральные операторы. М.: Мир, 1974.

6. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.Г "1

7. Иоргенс К., Вайдман И. Спектральные свойства гамиль-тоновых операторов. М.: Мир, 1976.

8. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. Из-во Мир. Москва, 1972.

9. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979.

10. Муртазин Х.Х., Садовничий В.А. Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера. Изд-во МГУ, 1988,229 С.

11. Повзнер А.Я. О разложениях произвольных функций по собственным функциям оператора — А +с.- Матем. сб., 1957, Т.32, М, С. 109-156.

12. Повзнер А.Я. О разложениях по собственным функциям, являющихс51 решениями задачи рассеяния. ДАН СССР, 1955, Т.104, С. 360-363.

13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978.

14. Рид М, Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3 Теория рассеяния. М., 1982. 443 с.15| Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.

15. Фадеев Л.Д. О разложении произвольных функций по собственным функциям оператора Шредингера. Вестник ЛГУ, 1957, т. 7. С. 164-172.

16. Цикон X., Фрезе Р., Кирхи В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями в квантовой механике и глобальной геометрии. М., 1990, 406 с.

17. Эйдус Д.М. Принцип предельный амплитуды. УМН, 1969, т.24, С. 91-156.

18. Шноль И.Э. О поведении собственных функций уравнения Шредингера. Матем. сб. 1957. Т.42(84). №. С. 273-276.

19. Agmon S. Spectral properties of Schrodinger operators. -Ppoc. Int. Cong. Math., v.2, p. 679-684, Paris: Gauthier-Villars, 1971.

20. Agmon S. Spectral properties of Schrodinger operators and scattering theory. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa II, 1975, v. 2, p. 151-218.

21. Froese R., et al. L2 exponential lower bounds to solutions of the N-body Schrodinger equation. - Commun. Math. Phys., 265-286 (1982).

22. Ikebe T. Eigenfunction expansions associated with .the Schrodinger operators and their applications to scattering theory.- Arch. Rat. Math. Anal., 1960, v.5, p.1-34.

23. Kuroda S. Scattering theory for differential operators, I, II.- J. Math. Soc. Jaran, 1973, v.25, p. 75-104; 222-234.Публикации автора

24. Галимов A.H. Особенности резольвенты оператора Шредингера в трехмерном магнитном поле. // Международная Уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых: Тезисыдокладов. Уфа: РИО БашГУ, 2005, С. 15-16.

25. Муртазин Х.Х., Галимов А.Н. Спектр и рассеяние для •операторов Шредингера с неограниченными коэффициентами. // ДАН, 2006, т. 407, №3, С. 313-315.

26. Галимов А.Н. Об отсутствие ненулевых вещественных особенностей решения задачи теории рассеяния. // Дополнительный сборник. Материалы ХЫУ международной научной конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск, 2006. С. 10-11.

27. Галимов А.Н. О задаче рассеяния в магнитном поле. // VI региональная школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физики и химии. Тезисы докладов. Уфа, БашГУ, 2006, С. 16-17.

28. Галимов А.Н. Задача рассеяния для оператора Шредингера в магнитном поле. // VI региональная школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физики и химии. Сборник трудов. Том II. Математика. Уфа: РИЦ БашГУ, 2006, С. 15-20.

29. Галимов А.Н. Задача рассеяния для оператора Шре-дингера. // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 34. Лобачевские чтения 2006. Казань, 2006, С. 45-47.

30. Галимов А.Н. О конечности точечного спектра возмущенного бигармонического оператора. Материалы ХЬУ международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. Новосибирск, 2007. С. 34-35.

31. Галимов А. Н. О полноте волновых операторов для оператора Шредингера. Материалы докладов XIV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". Том. II. Москва, 2007, С. 86.

32. Галимов А.Н. Муртазин Х.Х. О полноте волновых операторов для оператора Шредингера. Вестник Башкирского университета. Научный журнал 2007, т. 12, №2, С. 3-4.

33. Галимов А.Н. Об особенностях решения задачи рассеяния в магнитном поле. Уфимская международная математическая конференция поев, памяти А.Ф.Леонтьева. Сборник материалов. Т.1. ИМ с ВЦ УНЦ РАН. Уфа. 2007. С. 60-61.

34. Муртазин Х.Х., Галимов А.Н. Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном поле. // Мат. заметки, 2008, т.83, №3, С. 402-416.