Развитие метода пакетной дискретизации континуума в квантовой теории рассеяния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат физико-математических наук Рубцова, Ольга Андреевна

• Рубцова, Ольга Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рубцова, Ольга Андреевна

Введение

1 Методы решения задачи рассеяния в конечномерном базисе

1.1 Различные методы дискретизации континуума в двухчастичной задаче

1.1.1 Вариационные принципы и связанные с ними методы.

1.1.2 Д-матричные методы

1.1.3 Методы построения квадратурных аппроксимаций для функции Грина.

1.1.4 Метод J-матрицы.

1.2 Использование приближенных методов для решения задач рассеяния трех и большего числа тел.

1.2.1 Метод связанных каналов дискретизованного континуума

1.2.2 Обобщения J-матричного подхода для решения задач рассеяния трех тел.

1.2.3 Рассмотрение трехтельных задач на основе вариационного метода Кона.

1.2.4 Обобщения Д-матричного подхода.

1.2.5 Метод интегральных преобразований

1.3 Выводы.

2 Метод пакетной дискретизации континуума в двухчастичной задаче

2.1 Общий формализм метода пакетной дискретизации континуума

2.1.1 Стационарные волновые пакеты и их свойства.

2.1.2 Проекция оператора резольвенты гамильтониана.

2.1.3 Пространственное поведение стационарных волновых пакетов

2.1.4 Разложение единичного оператора.

2.1.5 Связь между волновыми пакетами и псевдосостояниями.

2.1.6 Аппроксимация борновского члена в базисе СВП.

2.2 Решение задачи рассеяния в ВВП представлении.

2.2.1 Вывод поправочных слагаемых для резольвенты.

2.2.2 Более точная оценка величины поправочного слагаемого

2.2.3 Вычисление парциальных фазовых сдвигов рассеяния на локальном потенциале.

2.2.4 Случай нелокального потенциала взаимодействия

2.2.5 Исследование влияния закрытых каналов.

2.3 Представление свободных волновых пакетов.

2.3.1 Резольвента полного гамильтониана в СВП представлении

2.3.2 Конечномерный аналог уравнения Липпмана-Швингера для функции рассеяния

2.3.3 Конечномерная аппроксимация оператора рассеяния.

2.3.4 Случай комплексного потенциала взаимодействия.

2.3.5 Рассеяние на локальном потенциале. Расчеты в средних точках интервалов.

2.3.6 Сравнение точности в СВП и ВВП подходах.

2.3.7 Вычисление парциальных фазовых сдвигов для комплексного потенциала взаимодействия.

2.3.8 Энергетическое поведение фазовых сдвигов.

2.4 Дискретная версия теории рассеяния.

2.4.1 Дискретное представление для свободной резольвенты

2.4.2 Матричная форма волнового оператора.

2.4.3 Резольвента полного гамильтониана и оператор рассеяния в дискретном представлении.

2.4.4 Численные иллюстрации.

2.5 Кулоновские волновые пакеты.

2.6 Обсуждение результатов.

3 Решение задачи рассеяния трех тел

3.1 Общий метод решения задачи рассеяния трех тел.

3.1.1 Трехчастичные волновые пакеты и их свойства.

3.1.2 Проекции резольвент каналов.

3.1.3 Уравнения для проекций полной резольвенты.

3.1.4 Схема решения трехчастичной задачи рассеяния в представлении волновых пакетов.

3.2 Рассеяние составной частицы в поле неподвижного центра.

3.2.1 Вычисление амплитуд упругого рассеяния и срыва.

3.2.2 Решение задачи упругого рассеяния в одном асимптотическом канале.

3.2.3 Вывод эффективного оператора взаимодействия снаряда и мишени на основе проекционного формализма Фешбаха.

3.2.4 Изучение сходимости конечномерного представления для свободной резольвенты.

3.2.5 Вычисление парциальных фазовых сдвигов упругого рассеяния составной частицы в поле ядра.

3.3 Обсуждение результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие метода пакетной дискретизации континуума в квантовой теории рассеяния»

В настоящее время основным источником информации о характеристиках ядерных систем, таких, например, как параметры нуклон-нуклонного или нуклон-ядерного взаимодействий, являются эксперименты по рассеянию. Причем в большинстве случаев для правильной трактовки экспериментальных данных требуется учет состояний промежуточного континуума нескольких частиц. Точное решение таких задач рассеяния нескольких тел может быть осуществлено либо путем численного решения дифференциального уравнения Шредингера для волновой функции системы со сложными граничными условиями, либо путем решения интегральных уравнений Фаддеева-Якубовского для разных компонент полной резольвенты системы, причем ядра этих уравнений содержат особенности (см. [1-3]). Таким образом, прямое численное решение задач трех и большего числа тел в случае реалистических взаимодействий является весьма трудоемкой процедурой, требующей больших затрат вычислительного времени даже на современных суперкомпьютерах. Не удивительно поэтому, что приближенные методы решения таких задач возникли почти одновременно с возникновением самой теории рассеяния и остаются актуальными до сих пор. Следует упомянуть в этой связи возникший недавно большой интерес к реакциям со слабосвязанными нестабильными ядрами, такими как 9,uLi, 8Не, 12Ве, прецизионное рассмотрение которых требует трактовки континуума нескольких заряженных частиц, практически невозможной в фаддеевском рассмотрении. Аналогичные проблемы существуют также и в атомной и в молекулярной физике.

Широкий класс методов приближенного решения квантово-механических задач основан на разложении волновых функций по базисам квадратично-интегрируемых функций и представлении операторов систем матрицами в соответствующих базисах [4-65]. В результате таких приближений, дифференциальные и интегральные уравнения заменяются линейными алгебраическими уравнениями для коэффициентов разложения, решать которые в большинстве случаев гораздо проще, чем исходные. Такой способ решения был развит первоначально в задачах нахождения связанных состояний, поскольку волновые функции состояний дискретного спектра локализованы в пространстве и следовательно могут быть разложены по Ь? базису конечной размерности. Благодаря вариационному принципу Ритца, такая задача сводится к нахождению собственных векторов и собственных значений матрицы га-мильтонинана системы в выбранном базисе. Этот традиционный метод является весьма эффективным и используется в задачах многих тел.

В отличие от функций связанных состояний, волновые функции рассеяния простираются до бесконечных расстояний в координатном пространстве и формально могут быть разложены только по полному бесконечному набору Ьг функций. Кроме того, функции рассеяния отвечают весьма нетривиальным граничным условиям в многочастичных задачах. Поэтому приближенные методы решения задач непрерывного и дискретного спектра существенно отличаются друг от друга. Однако диагонализация матрицы гамильтониана в конечномерном базисе используется и здесь. Собственные вектора этой матрицы, отвечающие области непрерывного спектра, обычно называют псевдосостояниями. Их волновые функции могут рассматриваться как аппроксимации точных функций рассеяния только в ограниченной области координатного пространства. Конечный набор соответствующих собственных значений представляет собой совокупность дискретных точек. Таким образом, рассмотрение задач рассеяния в конечномерном базисе всегда связано с понятием дискретизации непрерывного спектра исходного гамильтониана системы. Такая дискретизация в настоящей работе будет называться дискретизацией в базисе псевдосостояний. Следует отметить,что помимо описанного, используется также и другой тип дискретизации континуума, называемый " биновым", который связан с прямым разбиением спектра на узкие полосы (бины), внутри каждой из которых волновая функция заменяется некоторой усредненной, в большинстве случаев квадратично-интегрируемой, функцией [4].

Методы решения задач рассеяния в Ь-2 базисе можно условно разделить на две группы. Методы первой группы основаны на приближенном решении дифференциального уравнения Шредингера для волновой функции системы. При этом строятся аппроксимации для волновых функций рассеяния во внутренней области действия потенциала в выбранном базисе. Наблюдаемые извлекаются из построенных решений путем сшивки последних с асимптотическими функциями. К этой группе относятся методы, основанные на вариационном принципе Кона-Хюльтена [5-9], R-матричные методы [17,19-24], часть методов так называемого J-матричного подхода [41-46,51-54], метод связанных каналов в дискретизованном континууме [4,61-65]. Использование таких методов в многочастичном случае является весьма проблематичным из-за сложного вида граничных условий для волновой функции системы. Поэтому наиболее часто примененяется схема так называемой кластерной редукции или метода связанных каналов [61], при которой полная волновая функция многочастичного рассеяния аппроксимируется определенной суперпозицией конфигураций, отвечающих связанным состояниям в подсистемах (кластерам) и относительному движению этих кластеров. При этом вместо очень сложного для трактовки континуума нескольких частиц возникает более простая система связанных двухфрагмент-ных каналов, которая уже допускает прямую численную реализацию в форме одномерных дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений. Известно также обобщение J-матричного метода на случай истинно многочастичного рассеяния [52], когда ни одна подсистема взаимодействующих частиц не образует связанных состояний. При этом используется метод гиперсферических гармоник, в рамках которого задача фактически сводится к одномерной.

Методы другой группы основаны на построении конечномерных аппроксимаций операторов теории рассеяния (чаще всего, для оператора резольвенты) или непосредственном нахождении наблюдаемых без использования волновой функции рассеяния. При этом используется интегральная формулировка теории рассеяния. К этой группе относятся методы основанные на вариационном принципе Швингера [13-15], некоторые варианты J-матричного подхода [47,48], метод моментов для построения конечномерных аппроксимаций резольвенты [31,32,34-38], метод интегральных преобразований [58-60], а также метод спектральной плотности [39, 40]. Большинство методов этой группы основано на использовании спектральных свойств псевдосостояний. Такой "интегральный" способ приближенного решения задач непрерывного спектра с использованием дискретного базиса выглядит на наш взгляд более перспективным, чем методы первого типа, поскольку позволяет избежать явного учета сложных граничных условий.

Каждая группа методов сталкивается с различными проблемами в случае рассеяния нескольких частиц. Для методов первой группы они связаны, как уже упоминалось, со сложным видом граничных условий. Это затруднение исчезает в рамках интегральных методов второй группы, где однако возникают довольно сложные сингулярности в ядрах интегральных операторов. Из-за сложной структуры многочастичного непрерывного спектра проблематичными становятся трактовка псевдосостояний и построение аппроксимаций операторов. В результате, практически ни один из упомянутых здесь методов не может претендовать на универсальность по отношению к решению задач рассеяния нескольких тел: все методы применимы в некоторых частных случаях. Однако из сравнительного анализа этих методов становится ясно, что развитие общего подхода к приближенному решению задач в континууме с использованием дискретных базисов должно быть связано именно с интегральной формулировкой задачи рассеяния.

Попытке создания такого универсального и эффективного подхода для решения задач теории рассеяния и посвящена настоящая работа. В основе предлагаемого метода пакетной дискретизации континуума (ПДК) лежит идея использования базиса стационарных волновых пакетов для построения конечномерных аппроксимаций операторов теории рассеяния. При этом используется биновая дискретизация непрерывного спектра. Стационарные волновые пакеты определяются математически как интегралы от точных функций непрерывного спектра по узким энергетическим интервалам. Первоначальное название таких пакетов — собственные дифференциалы [67, 68]. Они использовались в квантовой механике еще в 30-е годы для обоснования свойств состояний непрерывного спектра, поскольку в отличие от последних являются квадратично-интегрируемыми функциями. Свойства собственных дифференциалов аналогичны свойствам состояний дискретного спектра и псевдосостояний. Матрицы полного гамильтониана Н и любого оператора, коммутирующего с ним, диагональны в базисе стационарных волновых пакетов. Поэтому, исходя лишь из спектральных свойств операторов и определения новых базисных функций в форме собственных дифференциалов, легко получить аналитическую конечномерную аппроксимацию резольвенты гамильтониана, а также аппроксимации основных операторов теории рассеяния. В настоящей диссертации показано, что в рамках двухчастичной задачи рассеяния предложенный автором метод пакетной дискретизации континуума позволяет находить наблюдаемые величины, отвечающие рассеянию на локальных и нелокальных, вещественных и комплексных потенциалах взаимодействия, с одинаковой степенью сложности и практически с одинаковой точностью [71-78].

Наиболее важной является новая трактовка псевдосостояний гамильтониана системы в некотором Ь^ базисе. В диссертации показано, что псевдосостояния являются хорошими аппроксимациями для точных стационарных волновых пакетов, отвечающих тем же параметрам дискретизации непрерывного спектра (т.е. отвечающих той же системе энергетических бинов). Это позволяет находить конечномерные представления основных операторов теории рассеяния практически в любом базисе £>2 функций, что играет особо важную роль в задачах рассеяния нескольких тел. Связано это с тем, что при использовании подобных аппроксимаций матричные элементы перехода между базисными функциями в разных наборах координат Якоби, возникающие при решении задач рассеяния нескольких тел, могут быть найдены в аналитическом виде. Кроме того, этот результат позволяет использовать в рамках метода ПДК множество практических разработок других методов решения задач рассеяния в L-г базисах. Таким образом, новый метод как бы объединяет возможности обеих групп методов, рассмотренных выше.

В диссертации показано, что метод ПДК может быть непосредственно обобщен для решения задачи рассеяния нескольких тел. Так, для трехтельной задачи можно построить трехчастичные пакетные базисы в каждом наборе координат Якоби. Трехчастичные волновые пакеты обладают почти теми же свойствами, что и двухчастичные. В частности, матрицы резольвент канальных гамильтонианов имеют аналитический вид, что позволяет найти проекции полной резольвенты в пакетные представления, а затем и амлитуды разных процессов рассеяния. Кроме того, последовательное рассмотрение состояний промежуточного континуума нескольких тел позволяет строить эффективные потенциалы взаимодействия ядер или атомов, учитывающие связь с каналами перестройки.

Структура диссертации такова. Первая глава является обзорной. В ней рассматриваются основные методы решения задачи рассеяния в базисе квадратично интегрируемых функций: вариационные методы в задаче рассеяния, метод R- и J-матриц, метод связанных каналов дискретизованного континуума, метод моментов для построения квадратурных аппроксимаций функции Грина, метод интегральных преобразований, метод построения спектральной плотности. В главе 2 излагается общий формализм предлагаемого нового метода ПДК и его применение в двухчастичных задачах рассеяния. Анализируются различные варианты использования пакетных базисов и результаты численных расчетов парциальных фазовых сдвигов для случаев рассеяния на локальных и нелокальных, вещественных и комплексных потенциалах взаимодействия. Для расчетов используются базис функций гармонического осциллятора и неминимальный гауссов базис. В главе 3 приводится обобщение метода ПДК для решения задачи рассеяния трех тел, исследован случай рассеяния составной частицы на тяжелом ядре-мишени, а также представлен вывод эффективного оператора взаимодействия, учитывающего вклад неупругих каналов в амплитуду упругого рассеяния снаряда. Основные результаты диссертации приведены в Заключении. В приложении А приводятся формулы для матричных элементов потенциалов в неминимальном гауссовом и осцилляторном базисах, использовавшиеся при расчетах.

Результаты, изложенные в главах 1-3 и в приложении А, были опубликованы в работах [71-78] и докладывались на II Всероссийской конференции по физике элементарных частиц и атомного ядра (Москва, МИФИ, 2001г.), на XVIII Европейской конференции по малочастичным системам (Блед, Словения, 2002г.), на I Международной конференции по вычислительным проблемам в физике (С.-Петербург, 2003г.), а также на семинарах ОФАЯ НИИЯФ МГУ и ЛТФ ОИЯИ.

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Рубцова, Ольга Андреевна

Заключение

Настоящая диссертация посвящена разработке нового подхода к решению задачи рассеяния в базисе квадратично-интегрируемых функции — метода пакетной дискретизации континуума. Перечислим кратко основные результаты работы:

1. Для решения задачи рассеяния двух частиц развит формализм стационарных волновых пакетов. На основе свойств этих состояний найдены конечномерные аналитические представления для полной и свободной резольвент, а также других основных операторов теории рассеяния, таких как оператор перехода и волновые операторы Меллера. В результате, задача нахождения амплитуд рассеяния и других наблюдаемых сведена к решению линейных алгебраических уравнений.

2. Предложена и обоснована новая трактовка псевдосостояний в методе ПДК. Показано, что эти состояния следует рассматривать как аппроксимации именно стационарных волновых пакетов, отвечающих тем же параметрам дискретизации непрерывного спектра, а не точных функций рассеяния (как считалось ранее). Такая трактовка позволяет построить конечномерные аппроксимации основных операторов теории рассеяния практически в любом адаптированном конечномерном базисе.

3. Исследованы разные варианты применения пакетного формализма. Показано, что использование представления возмущенных волновых пакетов позволяет построить аппроксимации полной резольвенты системы для широкого диапазона энергий на основе однократной диагонализации матрицы гамильтониана в выбранном Z-2 базисе. В представлении свободных волновых пакетов нахождение наблюдаемых при каждом значении энергии связано с матричным обращением. Хотя этот вариант пакетного метода является несколько более трудоемким, чем ВВП формализм, однако он более универсален и обобщается без увеличения сложности на случай комплексного или общего неэрмитова оператора взаимодействия.

4. Для иллюстрации применимости развитого общего метода проведены численные расчеты парциальных фазовых сдвигов рассеяния на локальном, нелокальном и комплексном потенциалах взаимодействия с использованием базисов функций гармонического осциллятора и неминимального гауссова базиса. Расчеты подтвердили хорошую точность приближенных фазовых сдвигов уже при малой размерности базиса N = 10. Также иссследовано влияния вклада закрытых "пакетных" каналов в полную амплитуду рассеяния и показано, что в численных расчетах можно учитывать лишь несколько закрытых каналов близких к физической области, что позволяет уменьшить размерность используемого пакетного базиса и значительно ускорить процесс вычисления.

5. Введения кулоновских стационарных волновых пакетов метод обобщен для наг-хождения кулон-ядерных парциальных фазовых сдвигов в случае рассеяния одноименно заряженных частиц. Абсолютно аналогичный метод пакетной дискретизации континуума может быть применен для нахождения наблюдаемых в случае, когда потенциал взаимодействия представляет собой суперпозицию отталкивающего дальнодействующего и короткодействующего потенциалов.

6. Для решения задачи рассеяния трех тел исследованы трехчастичные волновые пакеты, которые строятся независимо в каждом асимптотическом канале. ТВП обладают свойствами, аналогичными свойствам двухчастичных волновых пакетов, и являются собственными состояниями проектированных гамильтонианов каналов. Впервые найдены аналитические конечномерные представления трехчастичных канальных резольвент в пакетных базисах, и подробно расписана схема решения трехчастичной задачи для процессов упругого рассеяния и рассеяния с перестройкой. В этой схеме для полной резольвенты системы вместо многомерных сингулярных интегральных уравнений Фаддеева-Якубовского используются их относительно простые матричные аналоги с явно выделенными и проинтегрированными особенностями, что значительно упрощает решение задачи. Парциальные фазы упругого рассеяния составной частицы на тяжелом ядре-мишени, найденные на основе метода ПДК согласуются с результатами, найденными в рамках другого ранее развитого метода.

Одним из основных преимуществ метода ПДК перед развитыми ранее подходами к решению задач рассеяния в Ь2 базисах является его широкая универсальность: возможность с одинаковой степенью сложности рассматривать задачи с локальными, нелокальными и комплексными оптическими потенциалами взаимодействия; возможность построения конечномерных аппроксимаций операторов теории рассеяния практически в любом конечномерном базисе; возможность нахождения параметров связанных и резонансных состояний систем. Кроме того, метод может быть обобщен для решения задач с тензорными операторами взаимодействия.

Некоторым недостатком метода является достаточно медленная сходимость наблюдаемых к точным значениям по сравнению со сходимостью получаемой в рамках других методов, использующих дискретизацию континуума (таких, как J-матричный и CDCC). Однако точность нахождения парциальных фазовых сдвигов, полученная для исследованных двухчастичных задач (10~3-10-4) является вполне приемлемой для множества практических целей. Кроме того, важным преимуществом метода ПДК является возможность использования "улучшенных" методов решения задачи рассеяния в дискретном базисе, позволяющих в дальнейшем достигать более высокой точности вычислений.

В целом можно сказать, что, благодаря возможности построения конечномерных представлений операторов теории рассеяния в различных Ь2 базисах, метод ПДК может стать основой нового эффективного подхода к рассмотрению задач рассеяния нескольких тел, основанного на последовательной дискретизации континуума.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. В.И. Кукулину, а также проф. Л.Д. Блохинцеву, В.Н. Померанцеву и всему коллективу лаборатории теории атомного ядра НИИЯФ МГУ во главе с проф. В.Г. Неудачиным за поддержку и полезные дискуссии. Особую признательность автор выражает В.В. Пупышеву за подробное прочтение рукописи и важные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рубцова, Ольга Андреевна, 2004 год

1. Р. Ньютон, Теория рассеяния волн и частиц (пер. с англ. "Мир", Москва, 1969).

2. С. Сунакава, Квантовая теория рассеяния (пер. с япон., "Мир", Москва, 1979).

3. С.П. Меркурьев, Л.Д. Фаддеев, Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц ("Наука", Москва,1985).

4. Т. Matsumoto, Т. Kamizato, К. Ogata, Y. Izeri, Е. ffiyama, М. Kamimura and М. Yahiro, Phys. Rev. С 68, 064607 (2003).

5. R.L. Armstead, Phys. Rev. 171, 91 (1967).

6. R.K. Nesbet, Phys. Rev. 175, 134 (1968).

7. E. Harris, Phys. Rev. Letters,19, 173 (1967).

8. A.K. Bhatia, A. Temkin, R,J. Drachman and E. Eiserilce, Phys. Rev. A 3, 1328 (1970).

9. E.A.G. Armour and C.W. Chainberlian, J. Phys. В 35, L489 (2002).

10. W.H. Miller, and B.M.D.D. Jaasen op de Haar, J. Chem. Phys., 86, 2061 (1987).

11. R.R. Luchese, Phys. Rev. A 40, 687 (1989).

12. A. Kievsky, M. Viviani and S. Rosati, Phys. Rev. С 64, 024002 (2001).

13. M. Cizek, J. Horacek and H.-D. Meyer, Сотр. Phys. Commun. 131, 41 (2000).

14. D.Shanks, J.Math.Phys. 34,1 (1955).

15. P.Wynn, Math. Tables Aids Comput. 10, 91 (1956).

16. J. Darai, B. Gyannati, B. Konya and Z. Papp, Phys. Rev. С 63, 057001 (2001).

17. E.P. Wigner and L. Eisenbud, Phys. Rev. 72, 29 (1947).

18. C. Bloch, Nucl. Phys. 4, 503 (1957).

19. T. Teichmann and E.P. Wigner, Phys. Rev. 87, 123 (1952).

20. A.M. Lane and D. Robson, Phys. Rev. 151, 774 (1966).

21. J. Gugnon, Phys. Rev. С 11, 291 (1975).

22. D.Baye, M. Hesse, J.-M. Sparenberg and M. Vincke. J. Phys. В 31, 3439 (1998).

23. M. Hesse, J.-M. Sparenberg, F. Van Raemdonck and D. Baye, Nucl. Phys. A 640, 37 (1998).

24. M. Hesse, J. Roland and D. Baye, Nucl. Phys. A 709, 184 (2002).

25. O.I.Tolstikhin, V.N. Ostrovsky and H. Nakamura, Phys. Rev. A 58,2077 (1998).

26. J.J. Bevelacqua and R.J. Philpott, Nucl. Phys. A 275, 301 (1976).

27. C.W. McCurdy, T.N. Rescigno and B.I. Schneider, Phys. Rev. A 36, 2061 (1987).

28. C.W. McCurdy, T.N. Rescigno, W.A. Isaacs and D.E. Manolopoulos, Phys. Rev. A 57, 3511 (1998).

29. C. Chandler and W. Tobocman, Phys. Rev. С 19, 1160 (1979).

30. L. Schlessinger and C. Schwartz, Phys. Rev. Lett. 16, 1173 (1966); L. Sch-lessinger, Phys. Rev. 171,1523 (1968).

31. W.P. Reinhaidt, D.X. Oxtoby, and T.N. Resigno, Phys. Rev. Lett. 28,401 (1972).

32. E.J. Heller, W.P. Reinhardt and H.A. Yamani, J. Сотр. Phys. 13, 536 (1973).

33. O.A. Рубцова, Разработка метода решения квантовой задачи рассеяния составной частицы в поле силового центра, Дипломная работа (М., МИФИ, 2000).

34. J.R. Winick and W.P. Reinhardt. Phys.Rev.A 18,910 (1978),ibid 18, 925 (1978).

35. C.T. Corcoran, P.W. Langhoff, J.Math.Phys. 18, 651 (1977).

36. P.W. Langhoff, C.T. Corcoran, J.S. Sims, F. Weinhold, and R.M. Glover, Phys. Rev. A 14,1042 (1976).

37. LCacelli, V.Carravetta and A.Rizzo, J.Chem.Phys. 98, 8742 (1993).

38. I. Cacelli, R. Moccia and A. Rizzo, Phys. Rev. A 57, 1895 (1998).

39. A.T. Kruppa, Phys. Lett. В 431, 237 (1998).

40. A.T. Kruppa and K. Arai, Phys. Rev. A 59, 3556(1998).

41. E.J. Heller and H.A. Yamani, Phys. Rev. A 9, 1201 (1974).

42. H.A. Yamani and L. Fishman, J. Math. Phys. 11, 410 (1975).

43. E.J. Heller, Phys. Rev. A 12, 1222 (1975).

44. J.T. Broad and W.P. Reinhardt, Phys. Rev. A 14, 2159 (1976).

45. H.A. Yamani and M.S. Abdelmonem, J. Phys. A 29 6991 (1996).

46. H.A. Yamani and M.S. Abdelmonem, J.Phys. В 30, 1633 (1997).

47. B.Konya, G. Levai, Z. Papp. Phys. Rev. С 61, 034302 (2000).

48. Z. Papp, Phys. Rev. С 55, 1080 (1997).

49. Z. Papp and S.L. Yakovlev, arXiv:nucl-th/9903078 v2.

50. Г.Ф. Филиппов, И.П. Охрименко, ЯФ 32, 332 (1980).

51. Ю.И. Нечаев, Ю.Ф. Смирнов, ЯФ 35, 1385 (1982).

52. А.М. Широков, Ю.Ф. Смирнов, С.А. Зайцев, ТМФ 117, 227 (1998); Yu.A. Lurie and A.M. Shirokov, arXiv:nucl-th/0312028 vl.

53. J.M. Bang, A.I. Mazur, A.M. Shirokov. Yu.F. Smirnov and S.A. Zaytsev, Ann. Phys. 280, 299 (2000).

54. V.S. Vasilevsky, and F. Arickx, arXiv:nncl-th/0005048.

55. В.Я. Кныр, Л.Я. Стотланд, ЯФ 59, 607 (1996).

56. A.M. Shirokov, J.P. Vary, A.I. Mazur, S.A. Zaytsev, and T.A. Weber, arXiv:nucl-th/0407018 vl.

57. A.M. Shirokov, A.I. Mazur and S.A. Zaytsev, J.P. Vary and T.A. Weber, arXiv:nucl-th/0312029 v2.

58. В.Д. Эфрос, ЯФ 41, 1498 (1985).

59. V.D. Efros, W. Leidemann and G. Orlandini, Phys. Lett. В 338, 130 (1994); V.D. Efros, W. Leidemann and G. Orlandini, Phys. Rev. С 58, 582 (1998).

60. A. La Piana and W. Leidemann, Nucl. Phys. A. 677, 423 (2000).

61. N. Austern, C.M. Vincent and J.P. Faxrell, Ann. Phys (N.Y.) 114, 93 (1978).

62. M. Kawai, and M. Kamimura, Prog. Theor. Phys. 59, 674 (1978).

63. N. Austern, and M. Kawai, Prog. Theor. Phys.80, 694 (1988).

64. R. Y. Rasoanaivo, and G. H. Rawitscher, Phys. Rev. С 39,1709 (1989).

65. M. Takashina, S. Takagi, Y. Sakuragi and Y. Iseri, Phys. Rev. С 67, 037601 (2003).

66. T.A. Brody, and M. Moshinsky, Tables of Transformation Brackets (Willey, New York, 1967).

67. А. Мессиа, Квантовая механика (пер. с франц. под ред. Л.Д. Фаддеева, "Наука", Москва, 1978).

68. Б. Вигнер, Теория групп (пер. с англ., ИИЛ, Москва, 1961).

69. Т.Ю. By, Т. Омура Квантовая теория рассеяния (пер. с англ., "Наука", Москва, 1969)

70. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции. ("Наука", Москва, 1983).

71. О.А. Рубцова, В.И. Кукулин, Представление операторов теории рассеяния в дискретном базисе, Тезис II Всероссийской конференции "ФЭЧАЯ", Сборник научных трудов (М.: МИФИ, 2001), стр.52.

72. О.А.Рубцова, В.И. Кукулин, ЯФ 64, 1769 (2001) .

73. О.А.Рубцова, В.И. Кукулин, ЯФ 64, 1882 (2001).

74. В.И. Кукулин, О.А. Рубцова, ТМФ 130, 64 (2002).

75. В.И. Кукулин, О.А. Рубцова, ТМФ 134, 459 (2003).

76. В.И. Кукулин, О .А. Рубцова, ТМФ 139, 291 (2004).

77. V.I. Kukulin, О.А. Rubtsova in "Few-Body Problems in Physics'02" (Few-body Systems Supplement 14), edt. R. Krivec et al., Springer-Verlag/Wien (2003), P.211.

78. O.A. Rubtsova, V.I. Kukulin, Formulation of few-body scattering problem via wave-packet continuum discretization method, Workshop on Computational Physics Dedicated to the Memory of Stanislav Mercuriev (Book of Abstracts, St. Petersburg, 2003), P.20.

79. A.A. Бурилов, Д.П. Костомаров и В.И. Кукулин, Математическое Моделирование 12(1), 107 (2000).

80. Э. Шмид, X. Цигельман, Проблема трех тел в квантовой механике (перев. с англ., "Наука", Москва, 1979).

81. М. Мошинский, Гармонический осциллятор: от атомов до кварков (перев. с англ., "Мир", Москва, 1972).

82. Н. Feshbach, Ann. Phys. 164, 398 (1985).

83. А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, A.M. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике ("Наука", Москва, 1971).

84. Г.Я. Любарский, Теория групп и ее применение в физике (гос. изд-во. физ.-мат. лит-ры., Москва, 1958).