Исследование разностного уравнения Шредингера для некоторых физических моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Тинюкова, Татьяна Сергеевна

• Тинюкова, Татьяна Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тинюкова, Татьяна Сергеевна

Оглавление

Введение

Глава 1 Разностный оператор Шредингера для квантовых проволок

§ 1. Предварительные сведения

§ 2 . Спектр и резольвента невозмущенного оператора

§ 3 . Квазиуровни слабо возмущенного оператора

§ 4. Уравнение Липпмана-Швингера для слабо возмущенного

оператора

§ 5 . Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного

оператора

§ 6 . Квазиуровни и рассеяние для оператора Н

Глава 2 Разностный оператор Шредингера для квантового волновода

§ 7. Спектральные свойства оператора

§ 8 . Квазиуровни слабо возмущенного оператора

§ 9 . Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного

оператора

Глава 3 Рассеяние электрона на кристаллическом слое

§ 10 . Вспомогательные конструкции и утверждения

§ 11. Уравнение Липпмана-Швингера для слабо возмущенного

оператора

§ 12 . Рассеяние для слабо возмущенного оператора

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование разностного уравнения Шредингера для некоторых физических моделей»

Введение

Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств, а также рассеяния, для некоторых разновидностей одночастичного уравнения Шредингера, возникающих в квантовой теории твердого тела. При этом рассматривается конечно-разностное приближение, но можно также считать, что физические модели рассматриваются в приближении сильной связи, поскольку оба приближения, с математической точки зрения, приводят к похожим разностным уравнениям.

Важность математического исследования уравнения Шредингера в разностном подходе (или в приближении сильной связи) объясняется, во-первых, значительно возросшей в последние 20-30 лет популярностью такого подхода в физической литературе, относящейся к наноразмерным устройствам - основе будущей микроэлектроники (см., например, [2]-[5]). (Заметим, что классическая теория рассеяния для уравнения Шредингера, основанная на интегральном (матричном) уравнении Липпмана-Швинге-ра, в настоящее время особенно актуальна для данных физических приложений, поскольку вероятность прохождения оказывается пропорциональной электронной проводимости в квантовой проволоке (см. [1]).) Во-вторых, это связано с тем, что, несмотря на физическую актуальность, математических работ, исследующих данные модели, сравнительно немного и относятся они, как правило, к решеткам Zd, с1 ^ 1. Между тем, математические модели в этой области даже в одномерном случае (на графе) имеют достаточно интересные и необычные свойства.

Отметим некоторые математические работы, близкие по содержанию к теме диссертации.

В статье [6] рассматривается двумерная модель периодического волновода с дискретным неоднородным оператором Лапласа. Доказано суще-

ствование квазиуровней (мод) и решения уравнения Липпмана-Швингера. Обсуждаются, на основе численных расчетов, особенности рассеяния вблизи квазиуровней.

В статье [7] рассмотрен разностный оператор Шредингера на графе, полученный из обычного оператора Шредингера электрона в системе, состоящей из квантовой проволоки и квантовой точки. Изучается существование и поведение в зависимости от малой константы связи собственных значений и резонансов, а также задача рассеяния для малых потенциалов.

Автор работы [8] рассматривает систему, состоящую из конечной цепочки атомов (бильярда), которая присоединена (параллельно или последовательно) к бесконечной цепочке. Исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса в случае слабой связи бильярда с бесконечной цепочкой.

В статье [9] рассматривается семейство дискретных операторов Шредингера //(/с), полученных из двухчастичного оператора, где к - двухчастичный квазиимпульс. При определенных условиях для размерностей 1, 2 доказано, что если нуль является квазиуровнем оператора Н(0), то операторы Н(к) имеют собственное значение левее существенного спектра.

В статье [10] различными способами получены формулы для функции Грина некоторых разновидностей разностного оператора Лапласа.

В [11] показано, что расстояние между собственными значениями дискретного одномерного оператора Шредингера для конечной цепочки с граничными условиями Дирихле или Неймана, отделено от нуля равномерно по длине цепочки (получена явная оценка снизу). В частности у спектров таких операторов нет вырожденных собственных значений.

Статья [12] посвящена описанию существенных спектров, а также оценкам убывания собственных функций на бесконечности разностных

аналогов операторов Шредингера и Дирака.

В статье [13] строится общая теория самосопряженного дискретного оператора Лапласа на графе, при этом основные результаты получены для графов-деревьев определенного вида.

В статье [14] изучается поведение на бесконечности решений одномерного разностного уравнения Шредингера с потенциалом, который в некотором смысле убывает на бесконечности. Кроме того, в статье представлен дискретный аналог метода ВКБ.

Целью работы является исследование собственных значений и резо-нансов, а также изучение задачи рассеяния для разностного уравнения Шредингера с потенциалами, описывающими электрон в квантовых проволоках, в квантовом волноводе и в периодической слоистой структуре.

Задачи, решаемые в диссертации:

1) изучение общих спектральных свойств разностного уравнения Шредингера с потенциалами определенного вида;

2) исследование существования и поведения квазиуровней (т. е. собственных значений и резонансов) для разностного оператора Шредингера в случае малого потенциала;

3) исследование рассеяния, нахождение в определенных случаях простых формул для вероятностей прохождения и отражения.

На защиту выносятся:

1) теоремы существования и единственности квазиуровней (т. е. собственных значений и резонансов) разностного оператора Шредингера, отвечающего пересечению квантовых проволок, исследовано асимптотическое поведение квазиуровней;

2) нахождение для данного оператора вероятностей распространения квантовой частицы в возможных направлениях, получение условий полно-

го отражения (прохождения);

3) теоремы существования и единственности квазиуровней двумерного разностного оператора Щредингера, отвечающего квантовому волноводу, исследована асимптотика квазиуровней;

4) найдены вероятности отражения (прохождения) для данного оператора в случае малого потенциала и медленных квантовых частиц;

5) нахождение вероятностей прохождения и отражения для разностного оператора Шредингера в периодической слоистой структуре в случае малого петенциала и малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер.

Перейдем к подробному обзору содержания диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав (двенадцати параграфов) и списка литературы. Применяется двойная нумерация лемм, теорем, формул, определений, замечаний и следствий (например, теорема 2.4 — это четвертая теорема в работе, находящаяся во втором параграфе).

Обозначим через Я объединение двух «целочисленных» координатных прямых, то есть

О — (Ж х {0}) и ({0} х Ж),

а через 12(Х), где X С Ъ2 — гильбертово пространство квадратично суммируемых функций на X со скалярным произведением

{<Р,Ф)р(х)= (р{п,т)ф(п,т).

(■п,т)еХ

В первой главе диссертации рассматривается разностный (дискрет-

ный) оператор Шредингера Но, действующий в 12{Q) следующим образом:

(П0ф)(0, 0) = ^(1, 0) + ф(-1, 0) + ф{0,1) + -0(0, -1),

('Н0ф){п, 0) = ф(п +1,0) + ф{п -1,0), п ф 0, (0.1)

{П0ф){0,т) = ф(0,т + 1) + ф{0,т- 1), т ± 0.

Оператор Но является гамильтонианом (оператором энергии) электрона вблизи пересечения двух одномерных квантовых проволок. Подобные структуры часто встречаются в физической литературе (см., например, [2]). Близкие модели исследованы в работах [7, 8]. Уравнение Шредингера рассмотрено для двух различных классов убывающих на бесконечности потенциалов, при этом изучаются спектр и вероятности прохождения квантовой частицы в возможных направлениях движения.

В первом параграфе приводятся определения и утверждения, наиболее часто используемые в диссертации.

Резольвенту оператора Но обозначим через 7\L0(A) = (Но — \I)~l (в дальнейшем, следуя [17], для краткости опускаем единичный оператор)

Во втором параграфе найден вид 7£о(А), исследованы существенный и дискретный спектры оператора Но-

Теорема 2.4. Существенный спектр оператора Но совпадает с отрезком [—2, 2].

Введем в рассмотрение оператор Hqi : ¿2(Z) —¥ l2(Z), действующий по правилу

(H0iip)(n) = (р(п - 1) + tp(n +1), n e Z.

Резольвенту оператора Я01 обозначим Rqi(X) = (#01 — А)-1. Ядро резольвенты, вообще говоря, продолженное по параметру Л на соответствующую риманову поверхность М, будем называть функцией Грина оператора Hq\

и обозначать

Х-у/Ж^А 2

\п—т\

Поверхность М получена склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала (—2,2); при этом [—2,2] является существенным спектром оператора Hqi (см. [15]).

В §§3-5 работы рассматривается оператор Шредингера 1~Le = 1-Lq + eV с малым параметром г > 0; здесь V — оператор умножения на вещественную функцию V(n, т) ф 0, удовлетворяющую условиям

|V(n,0)| ^ /Зе~а|п|, |V(0,m)| ^/Зе-а|т|, n,meZ, а,/3>0. (0.2)

В дальнейшем функции, удовлетворяющие оценкам такого рода, будем называть экспоненциально убывающими. Оператор У.е является гамильтонианом электрона вблизи пересечения двух квантовых проволок, при этом V описывает влияние примесей.

Уравнение Шредингера для оператора %£ имеет вид

Спектр и существенный спектр оператора А обозначим ст(А) и сгезз(А) соответственно.

Уравнение (0.3), рассматриваемое в классе /2(£), для Л 0 сг{Т-Со) можно записать в виде

("Но + = А ф.

(0.3)

Перейдем к новой неизвестной функции = ^/ГЙ^ и положим

(только для V). Тогда уравнение (0.4) можно переписать в виде

(0.5)

и, продолжая оператор — \J\V\R-o(X)yfV на двулистную риманову поверхность М функции Грина оператора Но (ядра резольвенты TZq(X)) (см. ниже), рассматривать его как оператор в l2(Q) для A G М.

Определение 0.1. (ср. [29]) Число Л, принадлежащее второму (так называемому «нефизическому») листу римановой поверхности М, будем называть резонансом оператора Не, если существует ненулевое решение ip G l2(Q) уравнения (0.5).

Определение 0.2. (ср. [30]) Квазиуровнем оператора Н£ будем называть его собственное значение или резонанс.

В случае, когда Л принадлежит второму листу римановой поверхности М, ненулевые решения ф уравнения (0.4) (соответствующие решению уравнения (0.5) (р G 12{G)), вообще говоря, экспоненциально возрастают.

В третьем параграфе работы найден критерий существования квазиуровня оператора 7ie.

Кроме того, в этом параграфе исследовано наличие квазиуровней в окрестности нуля для оператора Н£.

Для произвольной функции (¿>(n,m), определенной на Q, будем пользоваться обозначениями

/(</>) = ДА, <р) = (Я01(AV) (1) + №i(A)<p) (-1), (0.6)

(pi(n) = </?(n, 0), ip2(m) = (р(0,т),

Теорема 3.5. Оператор 1-L£ для всех достаточно малых е не имеет ненулевых квазиуровней в окрестности нуля.

В четвертом параграфе доказаны существование и единственность для решения модифицированного уравнения Липпмана-Швингера

' (fi(n, А) = ^/Ще^ - e^\R0l(\)VVm{n,\) +

+ Vlvil-1 _ p^-R0i{X)d{n),n <E Z,

ip2{m, A) = -£y/\V2\Roi{X)y/%(p2{rn, A)+ , /рТТ-Г-2 cos к + ef(VVm) - ef(VV2(p2)f(6)

+ Vlv2|-1 _ -/%(A)ô(m), m <E Z.

(0.7)

при определенной взаимосвязи между А и г; получена асимпотическая формула этого решения.

В следующей теореме рассматривается случай малого потенциала и «медленной» квантовой частицы.

Теорема 4.6. Предположим, что к = Ае1 в случае знака «+» или к — Ае в случае знака «—», где к — —7Г — к, А 0 — вещественная константа. Тогда для достаточно малых £ существует единственное решение tp Е l2(Ç) модифицированного уравнения Липпмана - Швингера (0.7), имеющее вид

<Pi(n, е) = \/|Vi(n)|(±l)n+1(l + п - \п\)Аге + 0(£2), е) = у/Щт)\(±1)т+1 Аге + 0(е2).

В пятом параграфе описана картина рассеяния для оператора 7ïe, выписаны коэффициенты отражения и прохождения. Получены асимптотические формулы для этих коэффициентов в частном случае.

Обозначим через вероятности прохождения вдоль оси От

вверх и вниз соответственно, через — вероятности прохождения

вдоль оси On вправо и влево соответственно.

Положим

С- = 2Л2 - \а% ]Г(-1У+1(1 + j - |j|)V2(j) +

2

jez

+1Аг Е^ - 2 + |1 - j| + |1 + j|)(l + 3 ~ bl)Vi(j),

4

je z

+ - 2 + |1 - j| + |1 + j|)(l + j - bDV^j).

JGZ

Теорема 5.8. В условиях теоремы 4.6 для Л достаточно близких к точке 2 справедливы равенства

Р+(А) = = Р2-(А) = + 0(,3), Р1-(Л) = 1 + (А2-2С-)е2 + 0(£3);

г/ для Л достаточно близких к точке —2 равенства

Р+( Л) - Р+(А) = Р2-(Л) = AV + О (г3), р~(Л) = 1 + (Л2 - 2К-)г2 + 0(е3).

В следующей теореме, в отличие от теоремы 5.8, потенциал мал, а к любое.

Теорема 5.9. Пусть А = 2cos£;, к G (—7г, 0) фиксировано. Тогда Р+(А) = (1 + Р)2 + В2 4- О(е), Л" W = Е2 + В2 + О(е), P2±(A) = D2 + B2 + 0(e),

где

Е =

2 + 2 соэ 2 к + вт2 2 к

В

Бт2к(1 + сое 2 к)

1+ cos2A;)2 + 4sin22A;, ~ (1 + соё2к)2 + 4зт2 2к'

2 ят2 2 к

В =

(1 + СОЙ 2^)2 + 4зт22/с'

В §6 получены следующие результаты о квазиуровнях оператора Л = Но + V. Здесь V — это оператор умножения на функцию

V Г Уо(6п^ + <5П)_лг), т = О,

1/(п, 771) — <

I 0, п = О

при некотором натуральном N > 1. Потенциал V имеет ярко выраженный «резонансный» характер.

Теорема 6.10. 1) В сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 для значений У0 достаточно близких к ±.\/Ы существует единственный квазиуровень А± = 2 сооператора К, причем

1Ч 1

N.

Б сколь угодно малой окрестности каждой из точек ±2 с?дд значений Уо достаточно близких к ±—-- существует единственный квазиуровень А± = 2созк± оператора И, причем

(ЛГ — 1)2 ч- 1V и ЛГ-1У V и АГ-1

Кроме того, в этом параграфе доказаны существование и единственность и найден вид решения уравнения Липпмана-Швингера для оператора % с «налетающей волной», распространяющейся вдоль йх {0}, а также получен следующий результат.

Теорема 6.11. В сколь угодно малой окрестности точки Ао = 0 для всех достаточно малых Уо существует единственное решение А уравнения А) = 0, причем

А = О(У03)-.

Во второй главе исследуется двумерное разностное уравнение Шре-дингера в полосе, что отвечает электрону в квантовом волноводе, также являющееся (более реалистичной) моделью квантовой проволоки (ср. одномерные операторы первой главы). В этой главе изучаются резонансы и собственные значения, возникающие, в случае малых потенциалов, вблизи особенностей невозмущенной функции Грина. Также рассматривается задача рассеяния для данного оператора. Получены простые формулы для прохождения (отражения) вблизи упомянутых выше особенностей.

Положим Г = 2 х {1,..., Ы} С

Введем в рассмотрение оператор На = (Я01 ® 1) + (1 <8> #02), действующий в 12{Г). Оператор Яоь действующий в 12{Т1), определен выше. Оператор Я02 действует в 12({ 1,..., Д^})= С^ и определяется равенствами

(Н02(р) (т) = <р(т— 1) + (р(т +1), га = 2, 1,

(Я02р)(1) = р(2),

Последние два равенства означают наличие нулевых граничных условий для т = О, N.

Положим Не — Но + еУ, где е > 0, а У является оператором умножения на вещественную функцию У(п, т) / 0, заданную на Г и удовлетворяющую условию

| У(п,т)\^Ре-а№, п<Е%, те{ 1,..., А^}, (0.8)

причем а > 0.

В седьмом параграфе найден вид функции Грина оператора Но. Положим

. Л пут ¡1, = Л - 2 соб ^ 1, з =

а =

N + 1

Лемма 7.8. Имеет место формула

N . . ,

^ / / / х \ ^г^ 2 • ( ^З771 \ • ('кЗт , ч

и0{п, 7п, п , т , А) = а вт ^ ] вт ^ ) С01 (п - п , ц3),

з=1

где

N

А^У [-2 + 2

7=1

^3

соэ м 1, 2 + 2 соэ 7TN

^ 3

— 2 + 2 соэ —-, 2 + 2 соэ

N + 1

+ 1

7Г

N+11

Теорема 7.13. Спектр оператора Но имеет вид

N

а(Но) = и[-2 + 2

7=1

соэ

зп

N + 1

,2 + 2 соб

N +1.

N71 л 7Г

- 2 + 2 сое —-. 2 + 2 сое

N+1'

N + 1

Восьмой параграф посвящен изучению спектральных свойств оператора Н£.

Теорема 8.14. Справедливо равенство

сг езз(Н£) = а(Н0).

Теорема 8.15. Предположим, что для некоторого j G {1,..., N}

(гг'.ш')еГ2

7Г J

Тогда в некоторой окрестности точек = ±2 + 2 cos ^ ^ для всех достаточно малых £ > 0 существует единственный квазиуровень А^ = оператора НЕ, аналитически зависящий от е, для которого справедлива формула

А^) = ±2 + 2сов ^±(J±y + 0{e<).

В девятом параграфе описана картина рассеяния, изучен характер рассеяния вблизи особенностей невозмущенной функции Грина для малых потенциалов. Положим

В окрестности точки Ао рассмотрим уравнение Липпмана - Швингера ф(п, m, А) = фо(п, m, А) — £ Gq(ti — п', га, га/, А) х

(п'.т')еТ

хУ(п»(п>',А), (0.9)

где «налетающая волна» (записанная для переменной kJ(]) имеет вид

фо(п, т, А) = a sin

\N + 1

(0.10)

и удовлетворяет уравнению Яо^о = А^о-Положим

Af(\)

еа

2г sin кп

Е

sm

3 (п',ш')ег Будем предполагать, что

Л ф cos

N +

j e^V(n', m/j Д) (0.11)

eos

7TJ

JTJ'— I, ■ ■ ■ : N.

(0.12)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тинюкова, Татьяна Сергеевна, 2013 год

Список литературы

1. Büttiker М. Generalizet many-channel conductance formula with application to small rings / M. Büttiker, Y. Imry, R. Landauer, S. Pinhas // Phys. Rev. B. -1985. -Vol. 31, №10. -pp. 6207-6215.

2. Miroshnichenko A. E. Engineering Fano resonances in discrete arrays / A. E. Miroshnichenko, Y. S. Kivshar // Phys. Rev. E. -2005. -Vol. 72, №5. -056611 (7p).

3. Bellissard J. Scattering theory for lattice operators in dimension d ^ 3 / J. Bellissard, H. Schulz-Baldes // Rev. Math. Phys. -2012. -Vol. 24. -1250020 (51p).

4. Karachalios N. I. The number of bound states for a discrete Schrödinger operator on Zn, N ^ 1, lattices / N. I. Karachalios //J. Phys. A: Math. Theor. -2008. -Vol. 41, №45. -455201.

5. Ziletti A. Coherent transport in multi-branch circuits / A. Ziletti, F. Borgonovi, G. L. Celardo, F. M. Izrailev, L. Karlan, V. G. Zelevinsky // Phys. Rev. B. -2012. -Vol. 85, №5. -052201 (5p).

6. Ptitsyna N. A. lattice model for resonance in open periodic wavequides/ N. Ptitsyna, S. P. Shipman // arXiv: 1101.0170vl [math-phj. -2010.

7. Чубурин Ю. П. Об одном дискретном операторе Шредингера на графе / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -2010. -Т. 165, №1. -С. 119-133.

8. Арсеньев А. А. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовой бильярде в приближении сильной связи / А. А. Арсеньев // Теор. и матем. физика. -2004. -Т. 141, №1. -С. 100-112.

9. Лакаев С. Н. О спектре двухчастичного оператора Шредингера на решетке / С. Н. Лакаев, А. М. Халхужаев // Теор. и матем. физика. -2008. -Т. 155, №2. -С. 287-300.

10. Chung F. Discrete Green's Function / F. Chung, S.-T. Yau // Journal of Combinatorial Theory, Series A. -2000. -Vol.91, №1-2. -pp. 191-214.

11. Rivkind A. Eigenvalue repulsion estimates and some applications for the one-dimensional Anderson model / A. Rivkind, Y. Krivolapov, S. Fishman, A. Soffer // J. Phys. A.: Math. Theor. -2011. -Vol. 44, №30. -305206 (19p).

12. Rabinovich V. S. Essential spectra and exponential estimates of eigenfunctions of lattice operators of quantum mechanics / V. S. Rabinovich, S. Roch //J. Phys. A: Math. Theor. -2009. -Vol. 42, №38. -385207 (21pp).

13. Dutkay D. E. Spectral theory for discrete Laplacians / D. E. Dutkay, P. E. T. Jorgensen // Complex Analysis and Operator Theory. -2010. -Vol.4, №1. -pp. 1-38.

14. Evans M. On the behavior at infinity of solutions to difference equations in Schrodinger form / Evans M., Harrell II // arXiv:1109.4691vl [math.CA], -2011.

15. Рид М. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ / М. Рид, Б. Саймон. -М.: Мир, 1977. -360 с.

16. Рид М. Методы современной математической физики. Т.З. Теория рассеяния / М. Рид, Б. Саймон. -М.: Мир, 1982. -446 с.

17. Рид М. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов / М. Рид, Б. Саймон. -М.: Мир, 1982. -428 с.

18. Тинюкова Т. С. Квазиуровни дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом на графе / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные Науки. -2009. -Вып. 3. -С. 104-113.

19. Тинюкова Т. С. Квазиуровни дискретного оператора Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2011. -Вып. 2. - С. 88-97.

20. Тинюкова Т. С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2011. -Вып. 1. -С. 99-104.

21. Тинюкова Т. С. Рассеяние в случае дискретного оператора Шредингера для пересекающихся квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2012. -Вып. 3. -С. 74-84.

22. Тинюкова Т. С. Дискретное уравнение Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова // Вестник Удмуртского университета.

Математика. Механика. Компьютерные науки. -2012. -Вып. 4. -С. 8093.

23. Тинюкова Т. С. Рассеяние электрона на кристаллическом слое / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -2013. -Т. 176, №176. -С. 444-457.

24. Ашихмина Т. С. О свойствах одного конечно-разностного уравнения на графе / Т. С. Ашихмина // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XX». -Воронеж, 2009. -С. 202.

25. Тинюкова Т. С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок / Т. С. Тинюкова // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XXI». -Воронеж, 2010. -С. 280.

26. Тинюкова Т. С. Дискретное уравнение Шредингера для квантового волновода / Т. С. Тинюкова, Ю. П. Чубурин // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения - XXIII». -Воронеж, 2012. -С. 212.

27. Березин Ф. А. Уравнение Шредингера / Ф. А. Березин, М. А. Шубин, / М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. -392 с.

28. Baranova L. Y. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrödinger operator with a perturbed periodic potential / L. Y. Baranova, Y. P. Chuburin // J. Phys. A.: Math. Theor. - 2008. -Vol. 41. -435205 (11 P).

29. Альбеверио С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеве-рио, Ф. Гестези, Р. Хёэг-Крон, X. Хольден. -М.: Мир, 1991. -568 с.

30. Гатауллин Т. М. О возмущении квазиуровней оператора Шредингера с комплексным потенциалом / Т. М. Гатауллин, М. В. Карасев // Теор. и матем. физика. -1971. -Т. 9, № 2. -С. 252-263.

31. Тейлор Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений / Дж. Тейлор. -М.:Мир, 1975. -567 с.

32. Ганнинг Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг. -М.: Мир, 1969. -395 с.

33. Морозова JI. Е. Об уровнях одномерного дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом / JI. Е. Морозова, Ю. П. Чубурин // Известия Института математики и информатики. -2004. -Вып. 1(29). -С. 85-94.

34. Herczynski Y. On the spectrum of the Schrodinger operator / Y. Herczynski // Bull. Acad. Pol. sci: Ser. sci. math. -1981. -T. 29, №1-2. -C. 73-77.

35. Simon B. Schrodinger operators in the twentieth century / B. Simon // Journal of mathematical physics. -2000. -Vol. 4, №6. -pp. 3523-3555.

36. Чубурин Ю. П. О малых возмущениях оператора Шредингера с периодическим потенциалом / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1997. -Т. 110, №3. -С. 443-453.

37. Chuburin Yu. P. On levels of a weakly perturbed periodic Schrodinger operator / Yu. P. Chuburin // Commun. Math. Phys. -2004. -Vol. 249. -pp. 497-510.

38. Чубурин Ю. П. О решениях уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1994. -Т. 98, № 1. -С. 38-47.

39. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. М.: Наука, 1971. -512 с.

40. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels I / L. Schwartz // Ann. Inst. Fourier. -1958. -Vol. 7. -pp. 1-142.

41. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels II / L. Schwartz // Ann. Inst. Fourier. -1958. -Vol. 8. -pp. 1-210.

42. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires / A. Grothendieck. -American Mathematical Society. -1979. -140 c.

43. Шефер X. Топологические векторные пространства / X. Шефер. -М.:Мир, 1971. -360 с.

44. Чубурин Ю. П. О рассеянии для оператора Шредингера в случае кристаллической пленки / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1987. -Т. 72, т. -С. 120-131.