Уравнение Шредингера для кристаллической поверхности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Чубурин, Юрий Павлович

• Чубурин, Юрий Павлович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чубурин, Юрий Павлович

ВВЕДЕНИЕ.

1 ФУНКЦИИ ГРИНА ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

1.1 функция грина для нулевого потенциала в ячейке ü

1.2 функция грина для периодического потенциала в ячейке п0.

1.3 функция грина для периодического потенциала в ячейке <>.

1.4 функция грина вблизи экстремума функции Ето{к)

2 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В СЛУЧАЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЛЕНКИ

2.1 спектр оператора.

2.2 решения уравнения липпмана-швингера.

2.3 описание рассеяния в терминах волновых пакетов

2.4 случай предельно периодических потенциалов

3 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В СЛУЧАЕ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО КРИСТАЛЛА

3.1 спектр оператора

3.2 асимптотика волновых функций.

3.3 оператор с возмущенным периодическим потенциалом

3.4 о кратности резонансов возмущенного оператора

3.5 эволюция решений нестационарного уравнения

4 СВЯЗЬ МЕЖДУ УРАВНЕНИЯМИ ШРЕДИНГЕРА В СЛУЧАЕ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО КРИСТАЛЛА И ПЛЕНКИ

4.1 связь между спектрами.

4.2 аппроксимация собственных функций. случай е <

4.3 аппроксимация собственных функций. случай е >

4.4 о числе линейно независимых решений уравнения шредингера в случае полуограниченного кристалла

4.5 об аппроксимации "пленочного" оператора шредингера "кристаллическим".

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Уравнение Шредингера для кристаллической поверхности»

В то время, как исследование обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, в частности. уравнения Хилла, проводилось уже с прошлого века (см. обзор результатов, например, в [1,2,3]), то интенсивное изучение линейных уравнений с частными производными, в первую очередь уравнения Шредингера, началось сравнительно недавно и было во многом вызвано задачами, стоящими в квантовой теории твердого тела (см.[4,5]).

Одной из первых работ по данной проблематике была статья И.М.Гельфанда [б], в которой показано наличие разложения функций из Ь2(Ик) по блоховским собственным функциям (см. ниже) периодического дифференциального оператора (см. также [7]). Далее, в статье [8], в частности, доказано, что собственные значения оператора Шредингера с периодическим потенциалом не являются постоянными по различным направлениям квазиимпульса (об этих понятиях см. ниже), на основе чего доказана абсолютная непрерывность спектра данного оператора, рассматриваемого во всем пространстве (обобщение первого из упомянутых результатов было получено в [9]). В книге [1] был подведен итог этим и некоторым другим исследованиям.

Большое количество работ было посвящено проблеме конечности числа "зон", на которые распадается спектр оператора Шредингера с периодическим потенциалом; см. об этом в [10,11]. Интенсивно исследовался случай периодического потенциала, образованного сдвигами потенциала нулевого радиуса - см., например, [12-14].

Во множестве статей исследовался оператор Шредингера с почти периодическим потенциалом (см. [15-20] и обзоры [21,22]), при этом их основная часть относится к одномерному случаю. Так, спектр одномерного оператора Шредингера с предельно периодическим потенциалом исследовался в работах [16,17]. В статье [18] для (многомерного) уравнения Шредингера с квазипериодическим потенциалом доказано существование квазипериодического решения, соответствующего минимальной точке спектра.

Очень много работ посвящено изучению оператора Шредингера с потенциалом, в котором периодическая часть, описывающая кристаллическую решетку атомов или молекул, возмущается некоторым (периодическим или нет) электромагнитным потенциалом (см. обзоры в [22,23], а также, например, работы [24-29]).

В физической литературе достаточно давно и интенсивно (в том числе в связи с потребностями разного рода технологий) разрабатываются проблемы, относящиеся к возмущенному периодическому оператору Шредингера (при этом речь обычно идет о примесях и т.п.) и к оператору Шредингера, описывающему кристаллическую пленку или кристаллическую поверхность. Соответствующие обзоры имеются в [30,31], см. также [32,33]. По-видимому, наличие такого рода физических задач могло прямо или косвенно вызвать некоторый рост публикаций на данные темы в математических журналах. Относительно возмущенного периодического оператора Шредингера в одномерном случае см., например, работы [34-36] и имеющиеся там ссылки. Асимптотика числа собственных значений в "лакуне" для многомерного возмущенного периодического оператора Шрединге-ра при больших значениях параметра возмущения (константы связи) исследовалась в работах [37,38] .

Известных автору математических работ, относящихся к кристал-ллической пленке или полуограниченному кристаллу, несмотря на всю их важность для физических приложений, очень немного. В статье [39] для достаточно "гладкого" потенциала, описывающего кристаллическую пленку, найден существенный спектр "пленочного" оператора в ячейке (для потенциалов из более широкого класса этот вопрос рассмотрен ниже, в главе 2).

В работе [40] в ситуации кристаллической пленки показано существование волновых операторов. Кроме того, соответствующий оператор разложен в прямом интеграле пространств 1'? в ячейке (см. об этом ниже).

В статье [41] для оператора Шредингера, отвечающего кристаллической пленке или полуограниченному кристаллу, производится разложение абсолютно непрерывного подпространства [42] на два подпространства, элементы из которых, будучи начальными значениями унитарной полугруппы, соответствующей данному оператору Шредингера, порождают элементы,'"перемегцающиеся"или в сторонл^ пустого пространства, или в сторону кристалла. (В пятом разделе третьей главы для некоторых классов начальных значений приведены более сильные утверждения).

По поводу двух последних работ см. также [57]

В статье [43] построены волновые функции для оператора Шредингера с потенциалом, отвечающим кристаллической пленке, порожденным сдвигами потенциалов нулевого радиуса. Заметим, что эти функции, с точностью до константы, совпадают с функцией Грина Г(х, /сц, Е) оператора #о(/ец), которая исследуется в первой главе.

Автором была предпринята попытка заполнить существующий пробел и систематически исследовать оператор Шредингера с потенциалом, отвечающим кристаллической пленке или кристаллической поверхности. Результаты такого исследования излагаются в данной диссертационной работе. Основные ее цели - это качественное описание спектра соответствующих операторов в ячейке (рассмотрение периодических операторов во всем пространстве, как известно, сводится к их рассмотрению в ячейке [1]) и нахождение асимптотики собственных функций (не обязательно из класса Ь'2). Исследуется также поведение при I —> ±оо решений нестационарного уравнения Шредингера. Доказано наличие "большого числа" не убывающих на бесконечности решений в случае плоской пленки, описываемой предельно периодическим потен циалом. Описывается асимптотическая связь между "кристаллическими" операторами Шредингера различного вида. Наконец, изучаются собственные значения и ре-зонансы, возникающие при возмущении периодического потенциала, что, как известно [44], важно в теории рассеяния. При этом основным методом исследования является переход от уравнения Шредингера того или иного вида к интегральному уравнению, имеющему в составе ядра некоторую функцию Грина; изучение интегрального уравнения базируется на предварительно устанавливаемых свойствах этой функции.

В диссертационной работе исследуется уравнение Шредингера вида (см. [45-47]) где х = (XI, х-2, £ К3; 1'*(л:) - вещественная измеримая функция, которая для простоты и единообразия изложения будет везде предполагаться ограниченной (в главах 1,2 можно, как правило, рассматривать потенциалы, локально принадлежащие Ь2 - см. [48]); число Е £ С - это спектральный параметр (в случае Е £ К данная величина имеет физический смысл энергии электрона). Всюду в дальнейшем предполагается, что У(х) - периодическая функция периода единица по переменным (Все результаты без существенных изменений в доказательствах переносятся на более общий случай периодичности с произвольной решеткой периодов в И2 - см.[49]).

Введем в рассмотрение "элементарную ячейку прямой решетки", то есть множество вида = [О, I)2 х К, а также "элементарную ячейку обратной решетки" - множество О,* = [—тг, тг)2 (см.[1,10,5]). Проекцию множества О на первые две координаты, а также множество ГГ можно рассматривать как торы; их двумерность вызвана периодичностью функции У(х) по двум переменным (см. ниже).

Будем называть функцию ф(х), х £ К3 блоховской по переменным Х}1 х2- отвечающей (плоскому) квазиимпульсу £ И2 [31], если для нее выполнено равенство ф{х + (пц,0)) - е{{к\\^ф(х), х £ Ы3, 71 у Е г2.

Будем также называть блоховской функцией сужение такого рода функции ф на множество П.

Рассмотрим унитарный оператор (преобразование Гельфанда -см.[6,40], а также [1,10]) и : 12(113) -> Ь2(П х О*) ~ Г2(0*, Х2(0)), определяемый формулой

СЩ*,^) - ]Г ф(х + (пц, 0)) („ег2 где /сц = (/сь к-2) Е Я2 (квазиимпульс). Заметим, что функция (11ф){х. А-ц) является блоховской по переменным х\,х-2 и периодической с периодом 2тг по переменным к\,к-2. (Последнее обстоятельство позволяет во многих случаях ограничиться Е С помощью отображения ¿7 можно разложить самосопряженный оператор Н = — Д-(- У(х), действующий в пространстве Х2(К3), в прямом интеграле пространств (см.[1]) Ь2{П)йк{] = Ь2{П:\Ь2{П)); Уп* при этом в "слоях" действуют самосопряженные операторы

Н(к\\) = — Д + У(х), определенные на блоховских по переменным х\.х-2 функциях из пространства Соболева И^2 (П) (операторы Н(к\\) получены из оператора иН11~1 фиксированием - см. [1,40,41]).

С физической точки зрения оператор Н(к^) является оператором энергии электрона с заданным квазиимпульсом в кристалле некоторого вида, определяемым потенциалом У(х).

Обозначим через У(х) периодический по всем переменным г = 1,2,3 с периодом единица ограниченный потенциал. В дальнейшем рассматриваются следующие операторы в Ь2(0,):

Щ\) = -д + У(х), ##„) = -д + ад,

Н,(Ц) = -Д + У(х): НР{Щ) = -Д + У(х) + У)(Ж), где потенциалы удовлетворяют условиям: У}{х) |< Се-0^3', (0.1) где С, а > 0, х% G R; V8(x) |< СеаХз, если хз < 0, где С, а > 0, и Vs{x) = V(x), если > 0. Заметим, что операторы Я(/гц), Л/(кц), иН3(кц) являются операторами энергии электрона в случае, соответственно, бесконечного кристалла, кристаллической пленки (film) и полуограниченного кристалла (или кристаллической поверхности - surface). Потенциал V(x) + Vf(x) в составе оператора Нр(к^) (р - от perturbation) может моделировать "слоистую структуру" ("сэндвич"), а также кристаллическую поверхность, если "возмущение" Vf обращает в нуль сумму V(x) +Vf(х) на достаточно большом по переменной х^ промежутке; наличие второй, весьма удаленной, поверхности, во многих случаях несущественно.

Введем, кроме того, в рассмотрение операторы Н(к) = —А + V(x), определенные на блоховских по всем переменным функциях из IV^flo) С L2(Qq), где По = [0> I)3- к - (Ат, А':>, - квазиимпульс, принадлежащий R3 или fig = [-тт. тг)3. Здесь оператор H = -А + V(x). действующий в L2(R3), разлагается в прямом интеграле пространств

L2(Qo)dk = L2(9-l, L2(Qq))

Jn-0 см. [1,10].

Все введенные выше обозначения операторов сохраняем и в случае применения соответствующих дифференциальных выражений к функциям не из L'2. Через -#о(^ц) и Щ{к) будем обозначать операторы —А, определенные на блоховских функциях, соответственно, из L2(Q) и L2(Qq). В случае рассмотрения каких-либо из введенных выше операторов в L2(R3) опускаем обозначение квазиимпульса.

Первая глава диссертационной работы имеет вспомогательный характер, и посвящена изучению функций Грина некоторых из перечисленных операторов. Результаты главы используются во всем последующем изложении при исследовании интегральных операторов.

В первом разделе первой главы дается описание функции Грина оператора в ячейке П и устанавливаются некоторые ее свойства. При оценке данной функции Грина используется равенство Парсеваля и оценка ряда через интеграл: этот способ оценки функций Грина часто используется и в дальнейшем изложении.

Во втором разделе данной главы приводятся некоторые утверждения, относящиеся к функции Грина оператора Н(к) в ячейке По- В частности, доказано, что эта функция является мероморфной как 1/2(Оо х По)-значная функция параметра

Третий раздел первой главы посвящен нахождению асимптотики фнукции Грина оператора Н(к\\) в ячейке & при х^ —>• ос: с точностью до экспоненциально убывающего слагаемого функция Грина представляет собой линейные комбинации (конечно, различные при —» ±оо) собственных функций оператора Н{к) в Ь'2(0.о)-Наконец, в четвертом разделе первой главы исследуется поведение функции Грина оператора Н(к^ вблизи экстремума одного из соб

И(Ю ственных значений Ето(к) оператора^по переменной (выражение для функции Грина, полученное в предыдущем разделе, теряет смысл в точке экстремума).

Во второй главе собраны результаты, относящиеся к плоской пленке с периодической (в первых трех разделах) и предельно периодической (в четвертом разделе) структурой решетки.

В первом разделе данной главы доказано, что существенный спектр "пленочного" оператора совпадает с промежутком [/фос). Далее рассматривается случай малого потенциала еГ^; при некоторых уеловиях оказывается, что существует ровно одно собственное значение кратности единица; найдена асимптотическая формула для этого собственного значения при е —> 0.

Во втором разделе доказывается существование решений уравнения Липпмана-Швингера, описывающих "рассеивающиеся состояния," и находится асимптотика таких решений. При этом, фактически, в более частном случае, чем в разделе 3 первой главы, проводятся подобные же рассуждения относительно функции Грина оператора Нв(к^). для которой можно получить несколько более сильные результаты.

Далее, в третьем разделе второй главы описана асимптотика решений нестационарного уравнения Шредингера, то есть "волновых пакетов", при Ь —> ±оо, другими словами, картина рассеяния частицы на кристаллической пленке. При этом, в частности, строго обосновано явление дифракции и найдены формулы для вероятности рассеяния частицы по одному из основных (дифракционных) направлений рассеяния. (Заметим здесь, что строго говоря, физический смысл имеют именно решения нестационарного уравнения Шредингера, и в этом смысле решения стационарного уравнения, несмотря на всю их огромную роль в физике, имеют вспомогательное значение).

В четвертом разделе второй главы исследуется случай предельно периодического по переменным х\,х-2 "пленочного" потенциала. Предельно периодический потенциал - это, по определению, равномерный предел периодических по Х\.Х2 функций в случае, если периоды стремятся к бесконечности. Доказано, что всякий предельно периодический потенциал можно представить в виде равномерно сходящегося ряда, составленного из периодических функций с кратно растущими периодами. Если члены ряда достаточно малы, то существует "достаточно много " решений уравнения Шредингера с модулем, являющимся предельно периодической функцией. А именно, существует решение, отвечающее минимальной точке спектра: в отрицательной части спектра имеется плотное множество точек, для которых имеются такого рода решения; наконец, такие решения существуют для почти всех Е > 0.

В третьей главе исследуются операторы Н3(к\\) и Нр(Щ).

В первом разделе главы показано, что существенный спектр оператора Нв(кц) является объединением промежутка [&у,оо), то есть спектра оператора .#о(£ц), (что соответствует частице, вылетевшей из кристалла) и спектра ("зон") периодического оператора (это отвечает частице, находящейся внутри кристалла).

Во втором разделе получен один из основных результатов диссертационной работы: показано, что ограниченные собственные функции оператора Н3(Щ\) с точностью до экспоненциально убывающего при | |—оо слагаемого представляет собой при > 0 (в кристалле) сумму собственных функций оператора Н(к)1 отвечающих тому же значению спектрального параметра Е (энергии частицы) или, другими словами, решение уравнения Шредингера для Е с оператором Н(Щ\), и сумму плоских волн, то есть решение уравнения Шредингера с оператором Ло(^||) ПРИ хз < 0 (в пустом полупространстве).

В третьем разделе третьей главы исследуется оператор Нр(к^). Его функция Грина имеет ветвление по спектральному параметр}' Е вблизи точек, в которых собственные значения Ет(к) = Е оператора Н(к) имеют экстремум по переменной в частности, вблизи границ зон. Это дает повод исследовать вблизи таких точек поведение собственных значений и резонансных уровней оператора Нр(к\\). В данном разделе получены в случае малого возмущения асимптотические формулы для собственного значения (резонанса).

В следующем, четвертом, разделе продолжено исследование собственных значений и резонансов оператора НР(Щ\). Дается естественное определение (алгебраической) кратности собственного значения (резонанса), и выявляется связь этой величины с порядком полюса функции Грина по переменной порядком полюса "амплитуды рассеяния" и некоторыми др\тими величинами.

В пятом разделе третьей главы рассматривается эволюция элементов вида где фо Е Ь2(Я?). Описаны классы элементов фо, для которых е~гН*1фо асимптотически, при I —У со, распадается в сумму е'гН°гф\ + е~гНг1р2 для некоторых фь ф<2 £ Ь2(И?).

В последней, четвертой главе изучается связь между периодическим оператором в ячейке П и операторами полуограниченного кристалла и кристаллической пленки. Также в этой главе получены некоторые оценки для числа решений уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла.

В первом разделе четвертой главы показано, что спектр оператора Н3(к^) аппроксимируется спектрами соответствующих "пленочных" операторов, причем в нетривиальном случае - вне области существенного спектра - аппроксимация происходит с экспоненциальной по числу слоев пленки скоростью.

Во втором разделе для части спектра, лежащей в промежутке (—оо, /ф, доказывается, в той же ситуации, что, с точностью до перехода к подпоследовательности, собственные функции аппроксимирующих *'пленочных1' операторов стремятся к собственным функциям "предельного" оператора Н3(Щ).

В третьем разделе это же доказано для для части спектра, находящейся в промежутке (Щ,оо). Кроме того, в этом разделе показывается, что при увеличении числа слоев в пленке ее собственные функции неограниченно приближаются к собственным функциям бесконечного кристалла. в данном разделе получена формула, связывающая коэффициенты в асимптотике "пленочной" собственной функции (аналог формулы сохранения потока).

В четвертом разделе четвертой главы на основе двух предыдущих разделов получены упомянутые выше оценки для числа решений и приведен иллюстрирующий пример.

Наконец, в пятом разделе рассматривается аппроксимация "пленочного" оператора Шредингера соответствующими "кристаллическими", полученными из "пленочного" в некотором смысле "периодическим продолжением" по переменной Если период при таком продолжении стремится к бесконечности, то спектр и собственные функции "пленочного" оператора аппроксимируются спектром и собственными функциями "кристаллических" операторов, причем в области (—оо,Щ) скорость сходимости экспоненциальная.

Результаты диссертации отражены в работах [48,56,73-84]. В работах [49,76,85,86] имеются некоторые их приложения к квантовой теории твердого тела.

Нумерация формул, а также теорем, лемм и предложений в каждой главе независимая, вида (n.m); первая цифра означает номер главы; номер (0.1) означает формулу из Введения.

Через D(A) обозначается область определения оператора А, через

16 а(А) - его спектр, через аезз(А) - его существенный спектр.

Символ —>•* означает слабую сходимость в нормированном пространстве.

Характеристическая функция множества X обозначается через \ Функцию Хевисайда будем обозначать через 6>(£) : в(Ь) — Х(-оо,о](0

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чубурин, Юрий Павлович, 1998 год

1. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 432 с.

2. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т.1. М.: ИЛ, 1960. 278 с.

3. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. 239 с.

4. Бете Г., Зоммерфельд А. Электронная теория металлов. М.;Л.: ОГИЗ, 1938. 316 с.

5. Займан Дж. Принципы теории твердого тела.М.:Мир,1974.472 с.

6. Гельфанд И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами//Докл. АН СССР. 1950. Т.76. №6. С.1117 1120.

7. Troianiello G.M. Scattering theory for Schrodinger operator with L°° potentials and distorted Bloch waves// J. Math. Phys. 1974. V.15. P.2048-2052.

8. Thomas L.E. Time dependent approach to scattering from impurities in a crystal//Commun. Math. Phys. 1973. V.33. P.335-343.

9. Дякин В.В. Петрухновский С.И. Некоторые геометрические свойства поверхностей Ферми//Докл. АН СССР. 1982. Т.264. №5. С.1117-1119.

10. Скриганов М.М. Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операто-ров//Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. 1985. Т.171. С.1-124.

11. Велиев O.A., Молчанов С.А. Строение спектра периодического оператора Шредингера на эвклидовом торе//Функц. анализ и его прилож. 1985. Т.19. Вып.З. С.86-87.

12. Павлов B.C. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой ,1//Теор. и матем. физика. 1987. Т.72. №3. С.403-415.

13. Павлов B.C., Шушков A.A. Теория расширений и потенциалы нулевого радиуса с внутренней структурой//Матем. сб. 1988. Т.137. №2. С.147-183.

14. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. 568 с.

15. Шубин М.А. Спектральная теория и индекс эллиптических операторов с почти периодическими коэффициентами//Успехи матем. наук. 1979. Т.34. №2. С.95-135.

16. Чулаевский В.А. О возмущениях оператора Шредингера с периодическим потенциалом//Успехи матем. наук. 1981. Т.36. №5. С.203-204.

17. Avron J.S., Simon В. Almost periodic Schrödinger operators I. Limit periodic potentials//Commiin. Math. Phys. 1982. V.82. P. 101-120.

18. Козлов C.M. Приводимость квазипериодических дифференциальных операторов и усреднение//Тр. Моск. ма.тем. об-ва. 1983. Т.46. С.99-123.

19. Локуциевская Е.О. Структура спектра оператора Шредингера с квазипериодическим потенциалом вблизи основного состояния. Дискретный и непрерывный случаи.//Теор. и матем. физика. 1991. Т.87. №2. С.207-219.

20. Kaminaga М. Absens of point spectrum for a class of discrete Schrödinger operators with quasiperiodic potential//Forum Math. 1996. V.8. №1. P.63-69.

21. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. М., 1989. Т.64. С.1-242.

22. Пикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990. 408 с.

23. Дякин В.В. Свойства собственных функций оператора Шредингера с периодическим потенциалом при наличии магнитного по-ля//Теор. и матем. физика. 1974. Т. 18. №1. С.70-77.

24. Новиков С.П. Двумерные операторы Шредингера в периодических полях. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. М., 1983. Т.23. С.3-32.

25. Коротяев Е.Л. О собственных функциях оператора монодромии оператора Шредингера с периодическим по времени потенциалом. //Матем. сб. 1984. Т.124. №3. С.431-446.

26. Гейлер В.А. Двумерный оператор Шредингера с однородным магнитным полем и его возмущения периодическими потенциалами нулевого радиуса//Алгебра и анализ. 1991. Т.З. Вып.З. С.1-48.

27. Гейлер В.А., Демидов В.В. Спектр трехмерного оператора Ландау, возмущенного периодическим точечным потенциа-лом//Теор. и матем. физика. 1995. Т. 103. №2. С.283-294.

28. Asch Т., Duclos P., Exner P. Stark-Wannier Hamiltonians with pure point spectrum//Math. Res. 1996. V.100. P.10-25.

29. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Двумерный периодический магнитный гамильтониан абсолютно непрерывен//Алгебра и анализ. 1997. Т.9. Вып.1. С.32-48.

30. Достижения электронной теории металлов. Т.П. Под ред. П.Цише, Г.Леманна. М.: Мир, 1984. 652 с.

31. Немошкаленко В.В., Кучеренко Ю.Н. Методы вычислительной физики в теории твердого тела. Электронные состояния в неидеальных кристаллах. Киев: Наук, думка, 1986. 296 с.

32. Szunyogh L., Ujfalussy В., Weinberger P., Kollar J. Self-consistent localized KKR scheme for surfaces and interfaces//Phys. Rev. B. 1994. V.49. №4. P.2721-2729.

33. Chulkov E.V., Sillcin V.M., Echenique P.M. Image potential states on lithium, copper and silver surfaces//Surface Science. 1997. V.391. P.1217-1223.

34. Рофе-Бекетов Ф.С. Константы типа Кнезера и эффективные массы для зонных потенциалов//Докл. АН СССР. 1984. Т.276. N=2. С.356-359.

35. Фирсова Н.Е. О формуле Левинсона для возмущенного оператора Хилла//Теор. и матем. физика. 1985. Т.62. №2. С.196-209.

36. Фирсова Н.Е. Прямая и обратная задача рассеяния для одномерного возмущенного оператора Хилла//Матем. сб. 1986. Т.130. N=3. С.349-385.

37. Бирман М.Ш. Дискретный спектр периодического оператора Шредингера, возмущенного убывающим потенциалом//Алгебра и анализ. 1996. Т.8. Вып.1. С.3-20.

38. Бирман М.Ш. Дискретный спектр в лакунах возмущенного периодического оператора Шредингера.II. Нерегулярные возмуще-ния//Алгебра и анализ. 1997. Т.9. Вып.6. С.62-89.

39. Herczynski J. On the spectrum of the Schrödinger operator//Bull. Acad. Pol. sei. Ser. sei. math. 1981. V.29. №1-2. P.73-77.

40. Davies E.B. Scattering from infinite sheet//Proc. Cambr. Philos. Soc. 1977. V.82. P.327-334.

41. Davies E.B., Simon B. Scattering theory for systems with different spatial asymptotics on the left and right//Commun. Math. Phys. 1978. V.63. P.277-301.

42. Ахиезер H.И., Глазман И.M. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с.

43. Карпешина Ю.Е. Спектр и собственные функции оператора Шредингера в трехмерном пространстве с точечным потенциалом типа однородной двумерной решетки//Теор. и матем. физика. 1983. Т.57. N=3. С.414-423.

44. Тейлор Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений. М.: Мир, 1975. 568 с.

45. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Физматгиз, 1963. 704 с.

46. Фаддеев Л.Д., Якубовский O.A. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Л.:Изд-во Ленингр.ун-та,1980. 200с.

47. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 392 с.

48. Чубурин Ю.П. О рассеянии для оператора Шредингера в случае кристаллической пленки//Теор. и матем. физика. 1987. Т.72. N=1. С.120-131.

49. Вольф Г.В., Корзников И.А., Мясников A.B., Чубурин Ю.П. Метод функции Грина для расчета электронных состояний кристаллических пленок. ФТИ УНЦ АН СССР. Ижевск. 1984. 128 с. Деп. в ВИНИТИ, №683-85.

50. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976. 280 с.

51. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

52. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. 396 с.

53. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.II. М.: Наука, 1976. 400 с.•54. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1072 с.

54. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 264 с.

55. Чубурин Ю.П. О рассеянии на кристаллической пленке (спектр и асимптотика волновых функций уравнения Шредингера). Препринт. ФТИ УНП АН СССР. Свердловск. 1985. 44 с/

56. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.З. Теория рассеяния. М".: Мир, 1982. 448 с.

57. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука,1984.752 с.

58. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

59. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 400 с.

60. Шубин М.А. Почти-периодические функции и дифференциальные операторы с частными производными//Успехи матем. наук. 1978. Т.ЗЗ. Вып. 2. С.3-47.

61. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982. 488 с.

62. Grothendieck A. Produits tehsoriels topologiques et espaces nuclearies//Mem. Amer. Math. Soc. 1955. V.16.

63. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1971. 360 с.

64. Соболев А.В. Об асимптотике дискретного спектра в лакунах непрерывного спектра возмущенного оператора Хилла//Функц. анализ и его прилож. 1991. Т.25. N=2. С.93-95.

65. Dimassi M. Developpments asymptotiques pour les perturbation fortes de l'operateur de Schrodinger périodique//Ann. Inst. Henri Poincare. Phys. theor. 1994. V.61. №2. P. 189-204.

66. Klopp F. Resonanses for perturbation of a semiclassical periodic Schrodinger operator//Ark. mat. 1994. V.32. №2. P.323-371.

67. Гатаулин T.M., Карасев M.В. О возмущении квазиуровней оператора Шредингера с комплексным потенциалом//Теор. и матем. физика. 1971. Т.9. №2. С.252-263.

68. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. 448 с.

69. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

70. Миронов А.Л., Олейник В.Л. О границах применимости метода приближения сильной связи//Теор. и матем. физика. 1994. Т.99. N=1. С.103-120.

71. Дякин В.В. Аналитическое исследование общих свойств зонных спектров твердых тел. Дис. докт. физ.-мат. наук. ИФМ УНЦ АН СССР. Свердловск. 1984.

72. Чубурин Ю.П. О спектре оператора Шредингера в случае полуограниченного кристалла. ФТИ УНП АН СССР. Ижевск. 1985. 35 с. Деп. в ВИНИТИ, №7614-В85.

73. Чубурин Ю.П. О решениях уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла. Препринт. ФТИ УНЦ АН СССР. Свердловск. 1986. 28 с.

74. Чубурин Ю.П. Асимптотическое представление Флоке решений уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристал-ла//Теор. и матем. физика. 1988. Т.77. №3. С.472-478.

75. Чубурин Ю.П. О рассеянии для оператора Шредингера в случае полуограниченного кристалла//Пробл. соврем, теории пери-одич. движений. Ижевск: Изд-во Ижевск, мех. ин-та, 1988. №9. С.63-72.

76. Вольф Г.В., Чубурин Ю.П., Рубцова Л.А. Особенности электронного строения кристаллических пленок и их проявление в поверхностном рассеянии электронов низких энергии/Поверхность. Физика, химия, механика. 1991. №10. С.81-89.

77. Чубурин Ю.П. Об операторе Шредингера с малым потенциалом в случае кристаллической пленки//Матем. заметки. 1992. Т.52. Вып. 2. С.138-143.

78. Чубурин Ю.П. О решениях уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла//Теор. и матем. физика. 1994. Т.98. №1. С.38-47.

79. Чубурин Ю.П. О многомерном дискретном уравнении Шредингера с предельно периодическим потенциалом//Теор. и матем. физика. 1995. Т.102. №1. С.74-82.197

80. Чубурин Ю.П. Об уравнении Шредингера для плоской пленки с предельно периодической решеткой//Теор. и матем. физика. 1996. Т.106. №1. С.133-144.

81. Чубурин Ю.П. О малых возмущениях оператора Шредингера с периодическим потенциалом//Теор. и матем. физика. 1997. Т. 110. №3. С.443-453.

82. Чубурин Ю.П. Об аппроксимации "пленочного" оператора Шредингера "кристаллическим"//Матем. заметки. 1997. Т.62. Вып.5. С.773-781.

83. Чубурин Ю.П. О кратности резонансов возмущенного периодического оператора Шредингера//Теор. и матем. физика. 1998. Т.116. №1. С.134-145.

84. Вольф Г.В., Чубурин Ю.П., Павлов А.Е., Рубцова JI.A. Особенности рассеяния электронов низких энергий кристаллической пленкой. Роль квазистационарных состояний//Поверхность. Физика, химия, механика. 1992. №12. С.24-31.

85. Chuburin Yu.P., Wolf G.V. Energy band-structure effects in low-energy electron scattering by a crystalline film//J. Phys.: Condens. Matter. 1996. V.8. 631-640.