Теория резонансов в многоканальных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Мотовилов, Александр Константинович

• Мотовилов, Александр Константинович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Мотовилов, Александр Константинович

Введение

1 Аналитическое продолжение матрицы рассеяния в многоканальной задаче с бинарными каналами

1.1 Предварительные замечания.

1.2 Уравнение Липпмана-Швингера для Г-матрицы на римановой поверхности энергии

1.3 Явные представления для значений Г-матрицы на нефизических листах

1.4 Матрицы рассеяния и их аналитическое продолжение

1.5 Аналитическое продолжение резольвенты.

1.6 Физический смысл собственных векторов усеченных матриц рассеяния, отвечающих резонансам

2 Задача о возмущении спектральных подпространств и операторное уравнение Риккати

2.1 Сводка известных результатов. Связь задачи возмущений инвариантных подпространств с уравнением Риккати.

2.1.1 Оценки на поворот спектрального подпространства.

Случай общего положения.

2.1.2 Операторное уравнение Риккати.

2.1.

§(20)-теорема Дэвиса-Кахана.

2.1.4 Константа л/2.

2.2 Два важных результата, связанных с константой у/2.

2.3 Инвариантные граф-подпространства и блочная диагонализация

2.4 Существование решения уравнения Риккати.

2.5 Апостериорная tg0-тeopeмa.

2.6 Оценки для нормы решения уравнения Риккати.

3 Операторная интерпретация резонансов в спектральных задачах для

2 х 2-матричных гамильтонианов

3.1 Вводные замечания.

3.2 Аналитическое продолжение трансфер-функции

3.3 Пример, связанный с многоканальными операторами Шредингера

3.4 Основное уравнение. Решения

3.5 Факторизация трансфер-функции и ее непосредственные следствия

3.6 Некоторые свойства вещественных собственных чисел.

3.7 Операторы в случае конечномерного пространства ^о.

3.8 Базисность и полнота системы корневых векторов оператора го в случае бесконечномерного пространства ^о

3.9 Явно решаемая модель.

4 Строение Г-матрицы и матрицы рассеяния на нефизических листах энергии в задаче трех частиц

4.1 Вводные замечания.

4.2 Основные обозначения этой главы.

4.3 Аналитическое продолжение Г-матрицы и матрицы рассеяния в задаче двух частиц.

4.4 Матрица M(z) и трехчастичные матрицы рассеяния на физическом листе

4.4.1 Уравнения Фаддеева.

4.4.2 Матрицы рассеяния.

4.4.3 Аналитическое продолжение матриц AfPPJJ, Ji^YM и 5Г\\

4.4.4 Аналитическое продолжение матриц ЗоМ, MJq, JoMJJ, JoMWJJh Ji^TMJJ

4.5 Описание (части) трехчастичной римановой поверхности

4.6 Аналитическое продолжение уравнений Фадцеева на нефизические листы

4.7 Представления для компонент трехчастичной Г-матрицы.

4.8 Аналитическое продолжение матриц рассеяния.

4.9 Представления для функции Грина на нефизических листах.

4.10 Об использование дифференциальных уравнений Фадцеева для вычисления резонансов

5 Численные расчеты связанных состояний, рассеяния и резонансов в некоторых трехчастичных системах

5.1 Предварительные замечания.

5.2 Дифференциальные уравнения Фаддеева для системы трех частиц с твердым кором.

5.3 Парциальные дифференциальные уравнения Фаддеева для трех тождественных бозонов с твердым кором.

5.4 Парциальные дифференциальные уравнения Фаддеева в случае гладких потенциалов.

5.5 Некоторые численные результаты по связанным состояниям и рассеянию в системе трех атомов 4Не.

5.6 Области голоморфности парциальных компонент Фаддеева и парциальной матрицы рассеяния

5.7 Резонансы и виртуальные уровни как корни матрицы рассеяния So на физическом листе.

5.8 Результаты поиска резонансов для тримера 4Нез.

5.9 Резонансы в модельной трехбозонной системе.

5.10 Результаты поиска резонансов в системе трех нуклонов (ппр).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория резонансов в многоканальных системах»

Резонансы многоканальных систем играют определяющую роль во многих задачах ядерной, атомной и молекулярной физики. В более широком смысле резонансы представляют собой одно из самых интересных и интригующих явлений, наблюдаемых в процессах рассеяния, причем последние могут относиться не только к квантовой физике, но также к оптике, акустике, радиофизике, механике упругих сред и т.д. Поэтому вопросы, связанные с изучением резонансов в конкретных системах, а также с определением самого понятия резонанса, на протяжении долгого времени привлекают внимание как физиков, так и математиков. Имея в виду, что литература по резонансам весьма обширна, в настоящем введении мы остановимся лишь на некоторых главных моментах истории рассматриваемого предмета и укажем работы, на которые будем опираться при проведении нашего исследования. Более полную историю можно найти, например, в обзорах, представленных в книгах [14, 24, 30, 52, 107, 167, 183, 184].

Основные проблемы, относящиеся к определению резонанса, наиболее отчетливо описаны Дж. Хаулэндом [79] и Б.Саймоном [202]: в противоположность обычному спектру, резонансы не являются унитарным инвариантом квантово-механического гамильтониана, и, следовательно, невозможно дать удовлетворительное определение резонанса в терминах отдельно взятого оператора, действующего в абстрактном гильбертовом пространстве. Рассмотрение резонансов всегда подразумевает явное или неявное выделение некоторых внешних структур, скажем, «свободного» или «невозмущенного» гамильтонианов, по отношению к которым и проявляются резонансы. Еще одной проблемой, связанной с резонансами является тот факт, что отвечающие им (обобщенные) собственные функции, так называемые гамовские векторы, не допускают никакой удовлетворительной интерпретации в терминах исходного гильбертова пространства.

Общепринятая интерпретация резонансов в квантовой механике как комплексных полюсов матрицы рассеяния, аналитически продолженной на пефизические листы комплексной плоскости энергии, восходит к известной работе Г. Гамова [60], посвященной описанию а-распада тяжелых ядер. Естественно, что такая интерпретация опирается на аппарат того или иного варианта теории рассеяния, в рамках которой происходит сравнение наблюдаемой динамики квантовой системы с некоторой ее «свободной» динамикой. Спектр резонансов проявляется на фоне последней и, вообще говоря, зависит от ее выбора. В этом смысле резонансы столь же относительны как относительна сама матрица рассеяиия.

В рамках теории рассеяния резонансы проявляют себя также и как полюса по энергии аналитически продолженных ядер волновых операторов (волновых функций рассеяния). Для случая сферически симметричных потенциалов интерпретация двухчастичных резонансов как полюсов аналитического продолжения матрицы рассеяния была обоснована и затем детально разработана на основании аппарата функций Йоста [85] (см., например, [14, 24, 167, 183]).

Как было отмечено Э. Титчмаршем [207], резонансы можно рассматривать также и как полюса аналитического продолжения функции Грина — ядра резольвенты гамильтониана (или матричных элементов резольвенты, вычисленных между подходящими состояниями, см. [183, 184]). В различных вариантах эта идея была реализована в работах [6, 8, 7, 20, 21, 73, 74, 80, 81, 83, 181, 199, 203] (см. также литературу, цитируемую в этих работах и книгах [9, 52, 183, 184]). Отметим, что выбор представления, в переменных которого строится функция Грина, автоматически задает внешнюю структуру, относительно которой вычисляются резонансы. Интерпретация резонансов как полюсов аналитического продолжения резольвенты послужила основой для создания теории возмущений для собственных значений точечного спектра, лежащих на непрерывном спектре. Как правило, под действием возмущения такие собственные значения превращаются в резонансы. К настоящему времени эта тематика хорошо изучена для различных классов гамильтонианов (см., например, [6, 9, 80, 83, 181]). В задаче двух частиц разработан вариант теории возмущений для резонансов, где в качестве малого параметра выступает радиус взаимодействия [7, 9].

В случае, когда потенциалы взаимодействия являются аналитическими функциями координат, эффективным средством численного исследования резонансов является метод комплексного скейлинга [20] (см. также [184, 202]), идея которого восходит к С.Лавлэйсу [120]. Преобразование комплексного скейлинга дает возможность поворачивать непрерывный спектр Л^-частичного оператора энергии таким образом, что приоткрываются определенные секторы на нефизических листах, соседних по отношению к физическому листу. За резонансы в методе комплексного скейлинга принимаются комплексные собственные числа преобразованного гамильтониана. За исключением задачи двух тел с достаточно произвольными быстроубывающими потенциалами, эквивалентность скейлинг-резонансов и резонансов в смысле теории рассеяния частично доказана лишь при N <4 и только для случая аналитических потенциалов, убывающих не медленнее чем экспоненциально [74]. На основании метода комплексного скейлинга получен ряд строгих результатов по поводу /V-частичных резонансов (см. статьи [20, 21, 74, 200, 203] и книгу [184]). Метод комплексного скейлинга весьма удобен для численной реализации. Поэтому он широко используется для практических расчетов резонансов, в особенности, в атомных и молекулярных системах [34, 82, 99]. Однако, что касается исследования строения аналитического продолжения исходной резольвенты Л^-частичного оператора энергии и, тем более, матрицы рассеяния, то здесь этот метод, уже по самой своей сути, предоставляет не слишком широкие возможности.

Хорошо известно, что наличие у квантовой системы резонансов тесно связано с возможностью возникновения и последующего распада так называемых метастабиль-ных или квазистационарных состояний. Мнимая часть резонанса, называемая его полушириной, определяет экспоненциальную компоненту в функциональной зависимости вероятности распада такого состояния от времени. Поэтому предметом многих работ явилось выяснение связи между аналитическими свойствами матрицы рассеяния на комплексной плоскости и пространственно-временным поведением волновых пакетов (по поводу соответствующих ссылок см., например, книги [30] и [52]). Широко обсуждалась также возможность в каком-либо смысле нормировать и ортогонализовывать обобщенные решения уравнения Шредингера, отвечающие резонансам (см., например, [8, 24, 61, 187]), с тем, чтобы в последующем устраивать разложения в ряд по га-мовским «векторам», аналогичные соответствующим разложениям в ряд по обычным собственным векторам. Известны также попытки (см. [15, 31, 174]) интерпретировать резонансы и соответствующие гамовские векторы для некоторых простых моделей в терминах оснащенных гильбертовых пространств [63].

Несмотря на значительный прогресс, достигнутый в описании нестабильных состояний, теория резонансов в системах с многими каналами рассеяния все еще далека от завершения. Одной из нерешенных фундаментальных проблем является строение матрицы рассеяния и резольвенты (а также Г-матрицы и других тесно связанных с ней объектов) на нефизических листах энергии в многоканальных задачах и, в частности, в задачах трех и большего числа частиц. Поскольку и матрица рассеяния, и функция Грина являются аналитическими функциями, их значения на нефизических листах должны однозначно определяться непосредственно через значения на физическом листе. Центральным здесь является вопрос о том, какие именно ключевые объекты, входящие в матрицу рассеяния и функцию Грина на физическом листе или из них образованные, задают местоположение резонансов на том или ином нефизическом листе. При наличии ответа на этот вопрос задача поиска резонансов могла бы решаться напрямую, без проведения продолжений через непрерывный спектр, и исключительно в терминах физического листа.

Еще более фундаментальной является проблема операторного смысла резонансов и гамовских собственных векторов. Здесь мы имеем в виду вопрос о том, обычным спектром какого оператора являются резонансы той или иной задачи рассеяния и в каком именно гильбертовом пространстве может действовать этот заведомо несамоспряжен-иый оператор, по сути долженствующий играть роль эффективного гамильтониана для резонансных состояний. В частности, требуется, чтобы его собственные векторы, отвечающие резонансам, представляли собой если не полные гамовские векторы, то хотя бы их определяющие компоненты. Имея на руках эффективный гамильтониан, можно было бы уже относительно легко обсуждать проблемы полноты и даже базисности резонансных состояний и/или их компонент, опираясь на хорошо известные факты из теории линейных операторов.

Единственный вполне успешный пример операторной интерпретации резонансов предоставляет теория рассеяния Лакса-Филлипса [113] (по поводу дальнейшего развития схемы Лакса-Филлипса и ее приложений см. [2, 55, 176, 177,179, 183]). А именно, в подходе Лакса-Филлипса полюса двухчастичной матрицы рассеяния на нефизическом листе ассоциируются с дискретным спектром генератора полугруппы, возникающей в результате окаймления эволюционной группы задачи проекторами на так называемое трансляционно-инвариантное подпространство. На этом основании возникает возможность доказательства полноты и базисности резонансных состояний, по крайней мере, в трансляционно-инвариантном подпространстве [176]. Схема Лакса-Филлипса имеет, однако, достаточно жесткие ограничения на область ее применимости. В случае уравнения Шредингера размерность конфигурационного пространства должна быть нечетной, что означает, что задача N тел уже при N = 3 не может рассматриваться в рамках этого подхода. Кроме того, подход Лакса-Филлипса неприменим к многоканальным гамильтонианам при наличии у них хотя бы двух различных порогов непрерывного спектра. В полной мере схему Лакса-Филлипса удается реализовать лишь в случаях, когда риманова поверхность матрицы рассеяния содержит не более двух листов комплексной плоскости энергии (см. [55, 179]). Поэтому очень важным представляется поиск альтернативных вариантов операторной интерпретации резонансов, к которым можно было бы обращаться в случае систем с многими каналами рассеяния.

Наконец, актуальным является создание новых методов численных расчетов резонансов, дополняющих существующие методы или снимающих их ограничения, такие, например, как секториальность разрешенной области поиска резонансов в методе комплексного скейлинга и обусловленная этим принципиальная невозможность вычисления энергий виртуальных состояний в случае потенциалов юкавского или гауссовского типов.

Настоящая работа преследует две основные цели. Во-первых, мы хотим исследовать строение Г-матриц, матриц рассеяния и функций Грина на нефизических листах энергии в многоканальной задаче рассеяния с бинарными каналами и в задаче трех частиц. Мы хотим выделить те ключевые объекты, которые непосредственно «отвечают» за появление резонансов на том или ином нефизическом листе. Немного забегая вперед, скажем, что в роли таких объектов оказываются определенные усечения (т.е. некоторые подматрицы) полной матрицы рассеяния, взятой на физическом листе. Выяснив строение Г-матриц, матриц рассеяния и функций Грина, мы хотим предложить практические методы вычисления резонансов и, более того, применить эти методы к расчету резонансов в конкретных физических системах.

Во-вторых, для широкого класса многоканальных задач произвольной природы мы найдем операторную интерпретацию резонансов, отличную от операторной интерпретации в схеме Лакса-Филлипса. А именно, мы укажем эффективные несамосопряженные гамильтонианы, действующие на подпространстве полного гильбертова пространства задачи, спектром которых являются резонансы. Эти эффективные гамильтонианы представляют собой не что иное как операторные корни трансфер-функций (комплементов Шура), ассоциированных с соответствующим 2 х 2-матричным представлением гамильтониана. При этом компоненты резонансных решений полной задачи оказываются обычными собственными векторами эффективных гамильтонианов, что позволяет исследовать свойства полноты и базисности систем резонансных собственных и присоединенных векторов в подпространстве гильбертова пространства задачи, рассматривая совместно с собственными векторами, отвечающими вещественным энергиям.

Наряду с результатами по резонансам мы получим ряд результатов по оценке поворота спектральных подпространств, отвечающих изолированным частям спектра самосопряженного гамильтониана под действием внедиагональных возмущений (потенциалов). Естественным языком изложения этой части материала также является представление рассматриваемых операторов в виде операторных 2 х 2-матриц.

При исследовании системы трех частиц мы будем использовать как интегральные, так и дифференциальные уравнения Фадцеева [137]. Как известно, интегральные уравнения Фадцеева [53] и их варианты и модификации для различных типов взаимодействий дали возможность получить многие важные концептуальные и конструктивные результаты (см. [53, 64, 136, 137, 211]) для физического листа в задаче трех тел. В частности, подробно изучено строение резольвенты и оператора рассеяния, доказана полнота волновых операторов и исследованы координатные асимптотики волновых функций как в случае быстро убывающих, так и в случае кулоновских1 взаимодействий [53, 110, 136, 137]. Аналогичные результаты были получены также и в случае сингулярных взаимодействий, описываемых граничными условиями различных типов [109, 110, 123]. На основе уравнений Фадцеева были разработаны различные методы исследования конкретных физических систем [26, 110, 137, 196]. Совершенно по-другому обстоит дело в отношении нефизических листов. Здесь при решении кон

Отметим, что в 1980-1990-х гг. были разработаны и более абстрактные подходы [47,50,70,201,212] (см. также литературу, цитируемую в [47]) к доказательству асимптотической полноты М-частичных волновых операторов, не связанные со схемой Фаддеева-Якубовского [53, 137, 213]. В [47] существование и полнота волновых операторов были доказаны при произвольном N для случая парных взаимодействий, убывающих на бесконечности как г~р, р > \/3 — 1, т.е. существенно медленнее чем кулоновские потенциалы. кретных //-частичных задач обычно ограничиваются разработкой того или иного численного алгоритма для разыскания резонансов, находящихся на нефизических листах, соседних по отношению к физическому листу. Обзоры подходов к расчетам резонансов в ядерных системах трех частиц на основе уравнений Фаддеева можно найти в [107] и [130].

Значительная часть диссертации посвящена распространению фаддеевского подхода [53, 137] на исследование строения трехчастичных Г-матрицы, резольвенты и матриц рассеяния на нефизических листах плоскости энергии. Мы ограничиваемся случаем, когда все потенциалы взаимодействия убывают в координатном представлении не медленнее, чем экспоненциально. В задаче двух тел с такими взаимодействиями при построении теории резонансов можно с равной легкостью использовать как координатное, так и импульсное представление. Ясно, однако, что аналитическое продолжение на нефизические листы интегральных уравнений Фаддеева [53, 137] оказывается несравненно более трудной задачей, если использовать эти уравнения форме, отвечающей координатному пространству К6. Дело в том, что в этом пространстве в роли носителей взаимодействия выступают неограниченные (цилиндрические) области, вдоль которых парные потенциалы трансляционно-инвариантны и, следовательно, не убывают. Между тем аналитически продолженные ядра интегральных операторов уравнений Фаддеева оказываются экспоненциально возрастающими. Решения этих уравнений также должны экспоненциально возрастать. Названное обстоятельство приводит, вообще говоря, к расходимости интегралов и тем самым к потере смысла продолженных интегральных уравнений в координатном представлении. В импульсном же представлении интегральные члены могут рассматриваться как интегралы типа Коши, допускающие аналитическое продолжение в явных терминах. Поэтому по крайней мере в смысле обобщенных функций аналитическое продолжение уравнений Фаддеева оказывается вполне решаемой задачей. Такого рода продолжение 5-волновых уравнений Фаддеева на нефизические листы, соседние по отношению к физическому листу, уже проводилось в [172] (см. также [130]) в случае сепарабельных (конечномерных) потенциалов ранга 1. В настоящей работе мы строим продолжение уравнений для компонент Фаддеева трехчастичной Г-матрицы Г (г) в случае достаточно произвольных парных потенциалов не только на соседние нефизические листы, но также и на все те листы трехчастичной римановой поверхности, куда можно провести спектральный параметр (энергию г) в результате обхода двухчастичных порогов.

Однако перед тем как перейти к задаче трех частиц мы обращаемся к задаче рассеяния для многоканального (матричного) оператора Шредингера с бинарными каналами. Бинарность каналов означает, что в координатном представлении все потенциалы и операторы связи между каналами имеют ядра, которые быстро (точнее, не медленнее чем экспоненциально) убывают по всем направлениям. Поэтому по сложности исследования многоканальная задача с бинарными каналами не слишком сильно отличается от обычной задачи двух частиц. Однако наличие многих порогов рассеяния приводит в ней к многолистной структуре римановой поверхности энергии, аналогичной тому строению, которое уже на базовом уровне может иметь риманова поверхность в задаче трех частиц. Разумеется, многоканальная задача с бинарными каналами рассеяния представляет самостоятельный интерес. Для нас она интересна еще и тем, что на этом простом примере мы получаем возможность продемонстрировать основные моменты схемы вывода явных представлений для Г-матрицы, матриц рассеяния и функции Грина на нефизических листах, которой мы будем придерживаться и в случае задачи трех тел. Кроме того, явные представления, отвечающие самому простому случаю задачи с бинарными каналами — задаче двух частиц, будут использоваться при работе с уравнениями Фаддеева. В качестве иллюстрации мы приведем представление для двухчастичной Т-матрицы г (г) на единственном для этого случая нефизическом листе, который будет обозначаться через П^ А именно, представление для /(г)¡П1 имеет следующий вид: г)|п, =*(г) + яЦ/5 '(г)/(г) ШГ'КгШ (0.0.1)

Все операторы, присутствующие в правой части равенства (0.0.1), включая матрицу рассеяния 5(г), берутся при том же положении энергии г, что и в левой части, но на физическом листе. Квадратный корень у/г соответствует арифметической ветви функции г1/2- Через ]{г) обозначается оператор сужения («посадки») на энергетическую поверхность. Это означает, что произведение j(z)t(z) в качестве ядра имеет полумассовую Г-матрицу, причем на энергетической поверхности находится ее первый аргумент-импульс. Наоборот, у ядра произведения (г) на энергетической поверхности находится его второй аргумент-импульс.

Из представления (0.0.1), в частности, вытекает, что после продолжения на Г^ двухчастичная матрица рассеяния дается формулой где § — инверсия на сфере единичного радиуса 52, т.е. (<?/)(к) = /(-к), к е 52. Следовательно, резонансы — комплексные полюса матрицы рассеяния на нефизическом листе П1 — представляют собой не что иное как нули самой этой матрицы, но на физическом листе По. Точнее, энергия г оказывается резонансом, если существует функция ¿2/, заданная на единичной сфере 82 и пе равная тождественно нулю, такая, что = 0. Функция (к) представляет собой амплитуду развала соответствующего резонансного состояния по различным направлениям к. В этом случае можно построить гамовское решение у^х) уравнения Шредингера в координатном представлении, содержащее в своей асимптотике при больших значениях относительной координаты частиц же!3 лишь уходящую сферическую волну с амплитудой ¿г/(—х),

Уп»(аО ~ -¡—¡—'х\ й-\у/г\х\ Я*{-х) ^ , х = х/\х\.

Наш центральный результат для случая трех частиц состоит в обосновании существования аналитического продолжения (в слабом смысле) компонент Фаддеева Мар(г), = 1,2,3, оператора Т(г) и построении явных (т.е. в терминах лишь физического листа) представлений для них на нефизических листах. Эти представления возникают как результат явного решения уравнений Фаддеева для матрицы М(г) = {Мар(г)}, продолженных на нефизические листы. Представления для М в существенном имеют следующий вид [по поводу деталей см. формулу (4.7.36)]:

0.0.2) где обозначение П/ используется для нефизических листов, которые нумеруются муль-тииидексом I ф 0, а Ь — для диагональной числовой матрицы, главная диагональ которой опеределяется через I. Оператор (¿¡(г) и «транспонированный» по отношению к ($1(1) оператор (¿¡(г) явно выражаются через матрицу М(г) на физическом листе По. Диагональная числовая матрица Л (г) является целой функцией энергии г £ С, где С -комплексная плоскость с разрезом по лучу, уходящему из минимальной энергии связи парных подсистем на Под 5;(г) [см. (4.4.25)] подразумевается некоторое усечение (зависящее от /) полной трехчастичной матрицы рассеяния 8(1). Операторы и осуществляют сужение ядер операторов ($1(1) и (¿¡(г) на различные энергетические (массовые) поверхности соответственно по их первому и последнему импульсным аргументам, так что произведениям О]^ и соответствуют ядра операторов 0/(г) и в их полумассовых вариантах.

Представления для аналитического продолжения трехчастичных матриц рассеяния и резольвенты следуют немедленно из представлений для М(г) |П/ [см. соответственно формулы (4.8.1) и (4.9.1)]. Из представлений (4.7.36), (4.8.1) и (4.9.1) вытекает, что все нетривиальные (т.е. отличающиеся от полюсов в точках дискретного спектра трехчас-тичного гамильтониана) сингулярности Г-матрицы, матриц рассеяния и резольвенты на нефизическом листе П/ имеют в точности то же местоположение и тот же характер, что и сингулярности обратной усеченной матрицы рассеяния Таким образом резонансы на листе П/, понимаемые как полюса аналитического продолжения Г-матрицы, матриц рассеяния и резольвенты на П/, представляют собой те значения энергии г, для которых матрица 5/(г), рассматриваемая на физическом листе, имеет нулевое собственное число. Разумеется, этот результат можно считать естественным обобщением на трехчастичный случай утверждения о том, что резонансы в задаче двух частиц суть нули матрицы рассеяния на физическом листе.

Практическое значение полученных явных представлений состоит в том, что из них следует возможность при поиске резонансов оставаться исключительно на физическом листе. При этом можно использовать любой метод, позволяющий вычислять при комплексных энергиях амплитуды процессов, необходимые для построения соответствующего усечения 5/(г) полной трехчастичной матрицы рассеяния. Резонансам на иефизи-ческом листе П/ соответствуют нули 5; (г) на физическом листе. Подходящим выбором для расчетов резонансов являются дифференциальные уравнения Фадцеева в конфигурационном пространстве. Например, для вычисления резонансов на нефизических листах, аналитическое продолжение на которые не требует обхода трехчастичного порога, достаточно иметь возможность решать лишь краевые задачи, отвечающие процессам 2 —► 2,3. Эта идея явилась основанием для создания подхода, используя который мы провели расчеты резонансов и виртуальных уровней в нескольких трехчастичных системах, включая ядерную систему ппр и систему трех атомов гелия 4Не. В числе прочего мы исследовали механизм превращения виртуальных состояний тримера гелия 4Нез в ефимовские состояния при изменении силы межатомного взаимодействия. Параллельно была получена серия новых результатов по связанным состояниям и рассеянию в системе 4Нез. В частности, нами были впервые вычислены фазы упругого рассеяния атома 4Не на димере 4Не2

Второй круг результатов, представленных в диссертации, имеет более абстрактный и, соответственно, более универсальный характер. Эти результаты относятся уже к гамильтонианам произвольной природы. Отправной точкой является предположение о том, что гильбертово подпространство задачи тем или иным способом разложено в ортогональную сумму $ =,фо®£>1 подпространств % и 5}] и относительно этого разложения исследуемый (самосопряженный) гамильтониан имеет вид

В частности, была рассмотрена ситуация фешбаховского типа, когда спектр диагональной компоненты Ло частично или полностью лежит на непрерывном спектре другой диагональной компоненты А[, а трансфер-функция (комплемент Шура) включающая «энергозависящий потенциал» Уо(г) = В(г—А\)~1В*, допускает аналитическое продолжение как операторно-значная функция через разрезы по непрерывному спектру оператора А] на пефизические листы римановой поверхности энергии г. Заметим, что те значения г на нефизических листах, где продолженная обратная трансфер-функция а следовательно, и продолженная резольвента (Я —г)-1 имеют полюса, являются резонансами.

Основным результатом для указанной спектральной ситуации явилось доказательство существования неэрмитовых операторов, чей спектр включает резонансы, а также исследование свойств полноты и базиспости собственных и присоединенных резонансных векторов трансфер-функции Мо(г).

Эта задача решается следующим образом. Сначала строится операторно-значпая функция Уо(%) на пространстве линейных операторов в 5эо> обладающая свойством Уо(2)у/ — Уо(г)у для произвольного собственного вектора у/ оператора-аргумента Ъ, отвечающего собственному числу г. Затем вводится нелинейное операторное уравнение и при определенных условиях доказывается его разрешимость. Решения 2 уравнения (0.0.3) представляют собой, в сущности, операторные корни трансфер-функции Мо, т.е. для них Мо(2) = 0. Далее, используя тот факт, что корневые (т.е. собственные и присоединенные) векторы решений 2 являются таковыми и для трансфер-функции Мо, мы доказываем полноту и даже базисность соответствующих подсистем корневых векторов трансфер-функции Мо. Эти подсистемы включают, в том числе, собственные и присоединенные векторы, отвечающие резонансам.

Кроме того, была рассмотрена нерезонансная спектральная ситуация, когда спектры (У (А о) и а (Л]) изолированы друг от друга, т.е.

Пусть Но - невозмущенный гамильтониан, получаемый из операторной матрицы Н при замене оператора В нулевым оператором, т.е. Но = diag(Ao,Al). Был поставлен естественный вопрос: насколько сильно изменяется спектральное подпространство о (или гамильтониана Но, когда оператор В становится нетривиальным и тем самым производится внедиагональное возмущение Но.

Мо(г)=Ао-г + Уо(г),

2 = Ао + \о{2)

0.0.3) = а151(а(А0),о-(А])) > 0.

0.0.4)

Ответ дается в терминах операторного угла 0 между исходным, и возмущенным, спектральными подпространствами. Напомним, что если Р - ортогональный проектор на а 0. - на 9)'0, то операторным углом между подпространствами и измеряемым относительно 5оо, называется неотрицательный оператор 0 = агсБШ где — тождественный оператор в (Естественность этого определения легко понять, рассматривая случай, когда оба подпространства 5оо и 5У0 — прямые на плоскости.)

Для нескольких вариантов взаимного положения спектральных множеств а(Ло) и о(А\) при условии (0.0.4) нам удалось получить оценки на норму 0 в терминах нормы возмущения В и расстояния Некоторые из полученных оценок являются точными.

Так, если спектр Ло целиком лежит в лакуне спектра А\ и ||Б|| < л/2с1, то выполняется оценка

•811011 <М где 8 — расстояние между возмущенным спектром Ло и невозмущенным спектром А\, причем 5 > 0. Это апостериорная тангенс-теорема, представляющая собой значительное обобщение известной 1д0-теоремы Дэвиса-Кахана [46].

Для той же спектральной ситуации, т.е. при условии, что спектр Ло целиком лежит в лакуне спектра Ль но при более жестком ограничении ||Б|| < с! установлено, что

1811911 < И.

Эта оценка представляет собой новую, априорную, тангенс-теорему (априорную, поскольку в оценке участвует расстояние (1 между исходными спектрами <т(Ло) и а(Л1)).

Из полученных результатов вытекают непосредственные следствия для операторного уравнения Риккати

ХАо-А^Х+ХВХ^В*. (0.0.5)

Действительно, известно, что условие 0 < ж¡2 гарантирует существование ограниченного решения X для этого уравнения (см. [103]). При этом ||Х|| = ||<Е>|| Таким образом, из апостериорной тангенс-теоремы следует разрешимость уравнения Риккати (0.0.5) для любых В таких, что ||5|| < \Jlcl, причем норма решения подчиняется неравенству ||Х|| < ||В||/5. Если к тому же ||В|| < с1, то из априорной тангенс-теоремы следует, что ||Х|| < \\В\\/с1.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

• В многоканальной задаче с бинарными каналами и в задаче трех частиц построены явные представления Г-матриц, матриц рассеяния и ядер резольвент на нефизических листах энергии, которые не только раскрывают строение этих объектов, но также и указывают на практические способы вычисления резонансов.

• Доказано, что резонансами на том или ином нефизическом листе являются те значения энергии, при которых ассоциированная с этим листом усеченная матрица рассеяния, рассматриваемая на физическом листе, имеет собственное число нуль. Установлено, что компоненты собственного вектора усеченной матрицы рассеяния, отвечающего нулевому собственному числу при резонансном значении энергии, имеют смысл амплитуд развала соответствующего нестабильного состояния.

• Предложен новый подход к вычислению трехчастичных резонаисов и виртуальных уровней на основании дифференциальных уравнений Фаддеева. Этот подход успешно применен к ряду конкретных трехчастичных систем.

• Впервые найдена операторная интерпретация резонансов для широкого класса многоканальных систем.

• Получен ряд новых оценок на операторный угол поворота спектрального подпространства самосопряженного оператора под действием внедиагональных возмущений. Доказана расширенная версия апостериорной tg0-TeopeMbi Дэвиса-Кахана и найдена оптимальная оценка на операторный угол, имеющая смысл новой, уже априорной tg0-TeopeMbi. Доказаны новые теоремы о существовании ограниченных решений операторного уравнения Риккати и найдены оценки для их норм.

Опишем структуру диссертации. Диссертация состоит из пяти глав и трех приложений. В первой главе исследуется строение Г-матрицы, матриц рассеяния и функции Грина на нефизических листах энергии в многоканальной задаче с бинарными каналами. Вторая глава посвящена исследованию задачи внедиагональных возмущений спектральных подпространств, отвечающих изолированным частям спектра самосопряжен-, ного оператора. В третьей главе дается операторная интерпретация резонаисов, порождаемых некоторыми 2 х 2-матричными гамильтонианами. Здесь же доказывается ряд результатов, касающихся полноты и базисности систем собственных и присоединенных резонансных векторов. В четвертой главе описывается строение Г-матрицы, матриц рассеяния и функции Грина на нефизических листах энергии в задаче трех частиц. В пятой главе приводятся результаты расчетов связанных состояний, рассеяния и резонансов в некоторых конкретных трехчастичных системах. Приложения А и В содержат вспомогательные результаты, используемые в третьей главе. Наконец, в Приложении С описываются реалистические межатомные Не-Не-потенциалы, которые использовались нами при проведении численных расчетов системы трех атомов 4Не.

Результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах [10, 76, 77, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 102, 131, 132, 134, 139, 141, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156,157, 158, 159, 161, 163, 164, 165]. Эти результаты докладывались на семинарах в ЛТФ и ЛИТ ОИЯИ, в Московском и Санкт-Петербургском гос. университетах, в университетах Бонна, Бохума и Регенсбурга (Германия), Институте Макса Планка по динамике и самоорганизации (Геттинген, Германия), Рейнской высшей технической школе (Аахен, Германия), в Варшавском университете (Польша), в университетах Миссури-Колумбия и Миссури-Ролла (США), в Стокгольмском университете и Стокгольмской королевской высшей технической школе (Швеция), в Институте атомных и молекулярных наук Академии Синика (Тайпей, Тайвань), Институте ядерных исследований Чешской АН (Ржеж, Чехия) и Университете Южной Африки (Претория, ЮАР), а также представлялись на различных международных конференциях и совещаниях, среди которых: XIII Warsaw Symposium on Elementary Particle Physics (Kazimierz, Poland, 1990), International Workshop "Mathematical Aspects of the

Scattering Theory and Applications" (St. Petersburg, USSR, 1991), III International Congress on Industrial and Applied Mathematics (Hamburg, Germany, 1995), International Workshop on Operator Theory and Applications (Regensburg, Germany, 1995), IX International Conference on Computational Modeling and Computing in Physics (Dubna, Russia, 1996), XV International Conference on Few-Body Problems in Physics (Groningen, the Netherlands, 1997), Mark Krein International Conference on Operator Theory and Applications (Odessa, Ukraine, 1997), International Conference "Differential Equations and Related Topics" (Moscow, Russia, 1998), XVI European Conference on Few-Body Problems in Physics (Au-trans, France, 1998), International Conference "Mathematical Results in Quantum Mechanics (QMath7)" (Prague, Czech Republic, 1998), International Workshop on Schrodinger operators (Bonn, Germany, 1998), Workshop on Nuclear Reactions in Stars and in the Laboratory (Trento, Italy, 1999), The 1999 UAB-GIT International Conference on Differential Equations and Mathematical Physics (Birmingham, Alabama, USA, 1999), XVI IUPAP International Conference on Few-Body Problems in Physics (Taipei, Taiwan, 2000), The 2002 UAB International Conference on Differential Equations and Mathematical Physics (Birmingham, Alabama, USA, 2002), Workshop on Computational Physics dedicated to the memory of Stanislav Merkuriev (St. Petersburg, Russia, 2003), International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to I. G. Petrovskii (Moscow, Russia, 2004), XIX European Conference on Few-Body Problems in Physics (Groningen, The Netherlands, 2004), IV Workshop on the Dynamics and Structure of Critically Stable Quantum Few-Body Systems (Dresden, Germany, 2005), The 8th Workshop on Numerical Ranges and Numerical Radii (Bremen, Germany, 2006).

Условимся о некоторых обозначениях, используемых на протяжении всей работы.; Всюду под \Jz — Я, z £ С, А G М, будет пониматься главная ветвь функции (z — Я)1/2. х-»

В предположении, что к G К", через к обычно будет обозначаться единичный вектор в направлении к, к = щ. Обозначение Sn~l будет использоваться для единичной сферы в W1, к е Sn~ . На протяжении всей диссертации обозначение (•, •) используется для скалярного произведения в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Скалярное произведение в R" обозначается через (•,•). Обозначение (•, •) будет использоваться также и для билинейных форм от операторно-значных функций, когда будет идти речь об их аналитическом продолжении в обобщенном смысле (см., например, стр. 24 и 128). Обозначения р(Г) и о(Т) используются соответственно для резольвентного множества и спектра замкнутого оператора Т.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Мотовилов, Александр Константинович, 2006 год

1. M. Abramowitz and 1. A. Stegun (Eds.), Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Tenth Printing (National Bureau of Standards, Washington, 1972).

2. В. M. Адамян, Невырожденные унитарные сцепления полуунитарных операторов, Фукц. анал. прил. 7:4 (1973), 1-16.

3. V. M. Adamjan and H. Langer, Spectral properties of a class of operator-valued functions, J. Operator Theory 33 (1995), 259-277.

4. V. Adamyan, H. Langer, R. Mennicken, and J. Saurer, Spectral components of self-adjoint block operator matrices with unbounded entries, Math. Nachr. 178 (1996), 43-80.

5. V. Adamyan, H. Langer, and C. Tretter, Existence and uniqueness of contractive solutions of some Riccati equations, J. Funct. Anal. 179 (2001), 448-473.

6. S. Albeverio, On bound states in the continuum of N-body systems and the virial theorem, Ann. Phys. 71 (1972), 167-276.

7. S. Albeverio and R. Hoegh-Krohn, Perturbation of resonances in quantum mechanics, J. Math. Anal. Appl. 101 (1984), 491-513.

8. S. Albeverio and R. Hoegh-Krohn, The resonance expansion for the Green s function of the Schrôdinger and wave equations, Lect. Notes Phys. 211 (1984), 105—127.

9. С. Альбеверио, Ф. Гестези, P. Хеэг-Крон, X. Хольден, Решаемые модели в квантовой механике (Мир, Москва, 1991).

10. S. Albeverio, К. A. Makarov, and А. К. Motovilov, Graph subspaces and the spectral shift function, Canadian Journal of Mathematics 55:3 (2003), 449-503.

11. S. Albeverio and A. K. Motovilov, Operator integrals with respect to a spectral measure and solutions to some operator equations, Fundam. Appl. Math, (to appear); arXiv: math.SP/0410577.

12. S. Albeverio, A. K. Motovilov, and A. V. Selin, The a priori tan0 theorem for eigenvectors, SIAM J. Matrix Anal. Appl. (to appear); arXiv: math.SP/0512545.

13. Д. В. Александров, E. Ю. Никольский, Б. Г. Новацкий, Д. H. Степанов, Возможное наблюдение возмущенного состояния ядра 3Я в реакции Н(6Не, а), Письма в ЖЭТФ 59 (1994), 301-304.

14. В. де Альфаро, Т. Редже, Потенциальное рассеяние (Мир, Москва, 1966).

15. I. Antoniou and S. Tasaki, Generalized spectral decompositions of mixing dynamical systems, Intern. J. Quant. Chem. 46 (1993), 425-474.

16. F. V. Atkinson, H. Langer, R. Mennicken, and A. A. Shkalikov, The essential spectrum of some matrix operators, Math. Nachr. 167 (1994), 5-20.

17. R. A. Aziz, F. R. W. McCourt, and С. С. K. Wong, A new determination of the ground state interatomic potential for He2, Mol. Phys. 61 (1987), 1487-1511.

18. R. A. Aziz, V. P. S. Nain, J. S. Carley, W. L. Taylor, and G. T. McConville, An accurate intermolecular potential for helium, J. Chem. Phys. 79 (1979), 4330-4342.

19. R. A. Aziz and M. J. Slaman, An examination of ab initio results for helium potential energy curve, J. Chem. Phys. 94 (1991), 8047-8053.

20. E. Balslev and J. M. Combes, Spectral properties of Schrodinger operators with dilation analytic interactions, Commun. Math. Phys. 22 (1971), 280-294.

21. E. Balslev and E. Skibsted, Boundedness of two and three-body resonances, Ann. Inst. H. Poincare 43 (1985), 369-397.

22. A. JI. Барабанов, Существует ли возбужденное состояние ядра 3Н? Письма в ЖЭТФ 61 (1995), 9-14.

23. R. N. Barnett and К. В. Whaley, Variational and diffusion Monte-Carlo techniques for quantum clusters, Phys. Rev. A 47 (1993), 4082-4098.

24. А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике (Наука, Москва, 1966).

25. P. F. Bedaque, H.-W. Hammer, and U. van Kolck, The three-boson system with short-range interactions, Nucl. Phys. A 646 (1999), 444-466.

26. В. Б. Беляев, Лекции no теории малочастичных систем (Энергоатомиздат, Москва, 1986).

27. В. Б. Беляев, А. К. Мотовилов, Возмущение собственного числа, погруженного в непрерывный спектр, близколежащим резонансом, ТМФ 111 (1997), 77-95.

28. М. С. Бирман, М. 3. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве (Изд-во Ленингр. ун-та, Ленинград, 1980).

29. D. Blume and С. Н. Greene, Monte Carlo hyperspherical description of helium cluster excited states, J. Chem. Phys. 112 (2000), 8053-8067.

30. А. Боум, Квантовая механика: основы и приложения (Мир, Москва, 1990).

31. A. Bohm, Resonance poles and Gamow vectors in the rigged Hilbert space formulation of quantum mechanics, J. Math. Phys. 22 (1981), 2813-2823.

32. E. Braaten and H.-W. Hammer, Universality in few-body systems with large scattering length, Physics Reports 428 (2006), 259-390.

33. E. Braaten and H.-W. Hammer, Universality in the three-body problem for 4He atoms, Phys. Rev. A 67 (2003), 042706(12).

34. E. Brandas and N. Elander (Eds.), Resonances: The Unifying Route Towards the Formulation of Dynamical Processes — Foundations and Applications in Nuclear, Atomic, and Molecular Physics, Lect. Notes Phys. 325 (Springer-Verlag, Berlin, 1989).

35. M. А. Браун, О связи квазипотепциального уравнения и уравнения Шредигера, ТМФ 72:3 (1987), 394-402.

36. В. С. Буслаев, Об асимптотическом поведении спектральных характеристик внешних краевых задач для оператора Шредингрера, Изв. АН СССР, сер. мат. 39 (1975), 149-235.

37. J. Carbonell, С. Gignoux, and S. P. Merkuriev, Faddeev calculations in configuration space with Carthesian coordinates, Few-Body Syst. 15 (1993), 15-23.

38. T. Cornelius and W. Glockle, Efimov states for three 4He atoms? J. Chem. Phys 85 (1986), 3906-3912.

39. Ю. JI. Далецкий, Об асимптотическом решении одного векторного дифференциального уравнения, ДАН СССР 92:5 (1953), 881-884.

40. Ju. L. Daleckii and М. G. Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Ba-nach Spaces, Translations of Mathematical Monographs, Vol. 43 (AMS, Providence, Rhode Island, 1974).

41. F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari, Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases, Rev. Mod. Phys. 71 (1999), 463-512.

42. R. F. Dashen, J. B. Healy, and I. J. Muzinich, Potential scattering with confined channels, Ann. Phys. 102 (1976), 1-70.

43. J. Daughtry, Isolated solutions of quadratic matrix equations, Linear Algebra Appl. 21 (1978), 89-94.

44. C. Davis, Separation of two linear subspaces, Acta Scient. Math. (Szeged) 19 (1958), 172-187.

45. C. Davis, The rotation of eigenvectors by a perturbation. II, J. Math. Anal. Appl. 11 (1965), 20-27.

46. C. Davis and W. M. Kahan, The rotation of eigenvectors by a perturbation. Ill, SIAM J. Numer. Anal. 7 (1970), 1-46.

47. J. Derezinski, Asymptotic completeness of long-range N-body quantum systems, Ann. Math. 138 (1993), 427^176.

48. V. Efimov, Energy levels of three resonantly interacting particles, Nucl. Phys. A 210 (1973), 157-188.

49. В. H. Ефимов, Г. Шульц, Модель граничных условий в задаче двух и трех частиц, ЭЧАЯ 7 (1976), 875-915.

50. V. Enss, Quantum scattering theory for two and three-body systems with potentials of short and long range, Lect. Notes Math. 1159 (1985), 39-176.

51. B. D. Esry, C. D. Lin, and С. H. Greene, Adiabatic hyperspherical study of the helium trimer, Phys. Rev. A 54 (1996), 394-401.

52. P. Exner, Open Quantum Systems and Feynman Integrals (D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1985).

53. JI. Д. Фаддеев, Математические вопросы квантовой теории рассеяния для системы трех частиц, Тр. МИАН СССР 69 (1963), 1-125.

54. D. V. Fedorov, Е. Garrido, and A. S. Jensen, Complex scaling of the hyper-spheric coordinates and Faddeev equations, Few-Body Syst. 33:2-3 (2003), 153-171.56